马科维茨均值方差模型有效边界

我们先来一起简单回顾一下概率嫩的基本知识。我们知道一个随机变量 x 可以用它的概率密度函数 f x 呢？刻画如图所示的是两个均值为零方差不同的正态分布的密度函数。随机变量 x 的均值和期望值表示为 ux 等于 ex， 也就是后面四指上表达的这么一个这个积分形式。随机变量 x 的方差通常即为这个 c 个码 x 的平方或者是 varence x， 它是这个 x 减去 e x 的平方的这个期望值。 对于两个随机变量 xy， 我们可以定义他的这个斜方参为 c 个码 xy， 也就是等于 c o v。 通常写成就是扣 variance of xy， 它是 x 减 e x 乘上 y 减意外的期望字。两个随机变量 xy 的相关系数弱 xy 定义为 c 个码 x 万，除上 c 个码 x， c 个码 y。 从上面的定义我们还可以看出随机变量 x 与 x 自己之间的斜方叉。 c 格码 x 的平方实际上等于 c 格码 xx。 相关系数一定位于负一到正一之间，如果大于零，则表示两个随机变量正相关。 如果小于零，这表示两个随机变量互相关。如果等于零，两个随机变量不相关。特别的，如果随机变量 x 等于 y， 那么他们的相关系数等于正一及完全正相关。如果 x 等于负万，这相关系数为负一，表示完全负相关。从现在开始，为简单起见，我们只考虑一次性及单期的 投资组合选择问题，而不考虑可以将投资收益用于再投资的多期问题。假设每种资产的未来收益用一个随机变量来描述其分布的规律，可以根据历史的数据或者其他的方法预测得到 收益的均值，也就是这个随机变量的期望值，用来衡量这种资产的平均的收益状况。 收益的方差或者标准差，标准差是方差的平方根，用来衡量这种股票收益的波动的幅度。 两种资产收益的斜方差表示他们之间的相关的程度。马克维斯所建立了模型的关键思想是， 投资组组合的收益也是一个随机变量，这个随机变量的均值或者期望值用来衡量投资组合的预期的收益， 而他的方差或者标准，他用来衡量投资组合的风险， 投资者自然希望收益最大化，风险最小。所以用数学的语言，这是一个双目标的优化问题。那我们首先来看看 用方叉来衡量风险是否可以解释投资风扇化的合理性，也就是说风扇化投资是否确实可以减少风险。假设两种 资产的收益率分别用随机变量 x 和 y 表示，其方差分别为 vans x 和 vans y。 当投资 xy 对应资产的比例分别为小 x 和一减小 x， 投资组合的收益可以表示为 z 等于小 x 乘大 x， 加上一减小 x 乘上大万。那么按照概念人的知识， z 的方差 very 是 z， 就应该表示成如下的这个形式。 例如，如果我们进一步假设 x 的方差和 y 的方差相等， 并且投资 x 和 y 的比例都是二分之一，也就是 x 等于一减 x 等于二分之一， 那么当 x y 的相关系数肉 x， y 等于二分之一，他们现在是正相关，那么可以计算出 vans z 就等于四分之三的 vans x。 如果相关系收入等于负的二分之一，这时候他们 x y 是负相关，那么 z 的方程 vansz 可以计算出他是等于四分之一的 farens x。 在接单情况下， 如果相关系数肉 x y 是等于一，也就是 xy 完全正相关，可以计算出 vans z 等于 vans x。 如果他们完全负相关，也就是相关系数肉 xy 等于负一，可以计算出 vans z 是等于零。可见 最的方差小于最多，极端情况下是等于 xy 的方差。分散化投资的风险确实比不分散时要下降， 除非 xy 完全正相关的时候，他们是不变的。这实际上是具有一般性的一个结论。虽然我们上面只是以几个特殊的例子来进行了说明，下面 我们通过一个简单的例子来体会马国际君子方差模型的建立和求解。这个例子中的数据在后面还会反复用到。假设可供你投资的只有三种股票， 即为 abc， 而且你已经收集到过去大 t 年大 t， 这里选择等于十二， 这十二年的历史数据如表所示。例如第二行第二年的数据一点三零零表示年初也投资一块钱，年底的时候其价值为一点三零元，也就是说年收益率是百分之三十。 其他数据的含义完全类似最后一列，我们给出的是当年股票指数的收益情况，这里我们暂时先不考虑他有什么用处。 假设你期望你的投资的年收益率至少达到百分之十五，那么应当如何进行投资呢？ 将三种股票 abc 的收益率分别表示为二一二二 二三。投资组合表示为投资三种股票的资金的比例分别为 x 一， x 二， x 三。 这图纸组合的收音率 r 四 r 一 r 二二三。按照系数 x 一 x 二 x 三进行线性组合的结果， 因为 r 一 r r r 三为随机变量，所以 r 显安也是一个随机变量。 按照马可畏智的思想，其优化模型而向其决策的目标就是使 vr r 最小，也就是 vans r 最小，方差最小或者是风险最小，其约束条件是 r 的这个均值 e r 大约等于百 百分之十五。由于我们假设资金全部用完，不允许剩余，所以我们加上约束条件， x 一 x 二 x 三之和是等于一的。最后我们假设 x 一 x 二 x 三都是大于等于零的啊，不考虑融资融券，买空卖空这样这种情况。 这就是著名的马克维茨的君子方叉模型。 按照我们前面概念论的知识，我们把 i i 的期望值记成 mua， 把 r i 和 rg 的斜发仓继承 c 个码 ig。 那么前面我们所说的投资的组合 r 的收益 e r 就是 u i x i 的和，而决策的目标函数分论是 r， 可以根据概率中的知识进行相应的这个计算。最后我们会发现它实际上是写成一个二字形的形式，这里的 x 是表示的投资组合的构成的这个项链。而 ceo v 实际上是斜方叉矩阵， 一般来讲，斜方他矩阵是一个镇定矩阵，严格来说是一个非附近的矩阵。 所以我们最后得到的君子方差模型就是在一系列的线性约束底下优化一个二次的目标函数，可见这是一个二 规划模型，因为斜方差矩阵 c o v 一般是镇定矩阵，严格来说是非固定的，所以这个规划问题通常是一个突的 r 规划是具有有效的算法进行求解的。 剩下的问问题是如何确定模型中的参数 mu 一、 mua mu 三以及斜方差距正 c o v。 这是数理统计中的参数估计问题。及根据样本数据估计总体的参数。 我们用 rit 分别表示第七年、第二种股票的年收益，也就是前面我们表格中的数据。 但是前面表格中的数据我们表示的是收益，而不是收益率，也就是说把它减去一就得到了收益率。我们分别用样本均值 和斜方叉来估计总体的君子和斜方叉，也就是说我们的这个 mua 用 r i 的一半来进行这个表示，而这个塞格玛 a 键，我们用 下面的这样一个公式来进行表示。注意，在斜方叉的计算中，我们除以 t 减一而不是 t， 是为了保证 估计的无偏性，这在概率统计的书上都会有介绍。你自然会想到，如果 用过去若干年的历史数据来估计未来的收益，一个隐含的假设是，这些股票的未来表现应该与过去过去的历史表现类似。 这一假设一般只对历史比较悠久、业务比较成熟的公司的股票，如南筹股 近视成立。而对于业务刚刚起步，处于高速成长期的公司的股票，如创业板的股票就不一定合适。这时你可能就需要采用其他的方法来预测未来的收益了。具体根据前面中的表中的数据， 我们带入上面的公司进行计算，可以得到没有一，没有二，没有三和相应的 c、 o v， 也就是斜方差矩阵，可以看出股票 abc 的期望收益风险是一次增加的。 使用这些参数，然后再利用相应的优化软件，例如拎狗软件 或者买那个软件的优化工具箱进行计算，可以得到这个均值方差模型的最优解释，也就是说我们的最优的投资方案大致是投资 a 约占百分之五十三， b 约占百分之三十六， c 约占百分之十一。 这个优化问题的目标函数的值方差为零点零二二四一，也就是标准差为零点 幺四九七，期望的收益率正好是百分之十五，及约束条件正好取到了等号， 这是容易理解的。可以看出标准差近视也是百分之十五，这是一种巧合。如果我我们认为投资组合的收益近视服从正态分布的话，那么最后的收益率 位于期望收益的一个标准差之内，也就是位于百分之零到百分之三十的概率大约有百分之六十八。在下一节中，我们将一起来体会该模型的更多应用。

参考黄启府金融经济学基础一书，黑色是书上内容，棕色是补充的内容。 有效前沿的求解先来整理符号标记， n 是资产数量， q r、 p 是组合收益率是随机变量， v 是方叉斜方叉矩阵是非其意且对称的。 w 是组合的权重，由于可卖空，取值可以是负数一是个资产的期望回报率， e r p 是组合的期望收益取值是无界的。有效前沿的求解问题可以表述为， 在具有相同期望收益率的资产组合中，具有最小方差的资产组合称为前沿边界的资产组合。 一个资产组合 p 是一个前沿边界的资产组合，当且仅当 n 为资产组合权重项量。 w 是以下二次规划的解 求，二分之一乘 w 的转制乘 v 乘 w 的最小值。二分之一是为了计算方便，设定的系数，不改变计算结果。 约束条件有两个，第一个是收益率条件，相当于收益率是给定的，数学表达为 w 的转制乘以等于 e r p。 第二 二个是权重约束条件，求和为一，数学表达为 w 的转制乘项量一等于一。 用拉格朗日法求解， l 等于二分之一乘 w 的转制加 lamb 乘括号 e r p 减 w 的转制乘以加干嘛乘一减 w 的转制乘向量一， 其中 land 和该骂大于零。一阶差分条件为，偏 l 比偏 w， p 等于 v 乘 w， p 减 lamb 乘以减 gamma 乘项量一等于零。这里面因求二次密的导数得到的系 数二与模型设定的二分之一抵消。注意是 w 不是 w 的转制，偏 l 比偏蓝的等于 e， r p 减 w 的转制乘以等于零，与约束条件一是一致的。 pl 比偏干吗等于一减 w 的转制乘以等于零，与约束条件二是一致的。 下面补充求解方法采用加减消元法。因 v 乘 w， p 等于 lend 乘 e 加 gamm 乘项量一，因此有 w， p 等于 lend 乘括号 v 的 e 乘 e 加干嘛乘括号 b 的逆乘向量一，取转制又乘一和向量一有 e， r， p 等于 w， p 的转制乘 e 等于 e 的转制乘 w， p 等于 land 乘括号 e 的转制乘 v 的逆乘 e 加 game 乘括号 e 的转制乘 v 的逆乘项量一。 一等于 w， p 的转制乘向量一等于向量一的转制乘 w， p 等于 land 乘括号向量一的转制乘立的逆乘一加 gamma 乘括 括号向量衣的转制成 d 的逆成向量衣，用 a， b， c， d 简化表达设定。 a 等于向量一的转制乘 v 的逆乘 e 等于一的转制乘 v 的逆乘向量一 b 等于 e 的转制乘费的逆乘 e， c 等于向量一的转制乘费的逆乘向量一 d 等于 b 乘 c 减 a 的平方， 于是有 c 乘以 r， p 等于 land 乘 b 乘 c 加 m 乘 a 乘 c， a 乘 e， r， p 等于 lend 乘 b 乘 a 加 m 乘 a 乘 a， n， d 等于 d 分之 c 乘以 r， p 减 a 加 m 等于 d 分之 b 减 a 乘以 r， p。 再来看个参数的正负性， 由于 v 的逆是正定的，因此有 b 大于零和 c 大于零，采用构造法证明 d 大于零。 由于 v 的逆是正定的，因此有 a 乘 e 减 b 乘项量一这个整体的 短至乘 v 的逆乘 a 乘 e 减 b 乘项量一，这个整体大于零。只需证明上数表达是恰好等于 b 乘 d， 则可证明 d 也是大于零的。 下面是计算过程，不一一去读了。这里面只需要一步一步算就可以了。重要的是，如果向亮成矩阵，成向亮的结果是标量，那么它的转制就是它本身， 资产组合的权重是唯一的。 w p 等于 g 加 h 乘 e r p， 其中 g 等于 d 分之一乘括号 b 乘 b 的逆乘 象量。一减 a 乘 f 的逆乘以其中 h 等于 d 分之一乘括号 c 乘 f 的逆乘以减 a 乘 f 的逆乘向量。一 要得到上述结果，直接把 land 和 gamma 带入 w p 的表达式即可。 组合 p 一和 p 二，当期望收益率不同时，可以生成 q， 也就是 e r q 等于 alpha 乘 e r p 一加一减 a l 房乘 e r p 二。证明的方法是把 w p 一和 w p 二 代入 g h 的表达式，然后整理会出现组合 p u 的期望收益率，再次反向代入 g 和 h 的表达式。 下面看斜方叉曲线图，任意两个前沿边际组合 p 和 q 有斜方叉矩阵。 covariance r p r q 等于 w p 的转制乘 v 乘 w， q 等于 d 分之 c 乘括号 e r p 减 c 分之 a 乘括号 e， r p 减 c 分之 a 加 c 分之一。 证明的方式是 w p 等于 lamb 乘 v 的逆乘 e 加干嘛 成 v 得逆呈向晾衣这个表达式带入替换 w p， 记录 land 和 gammo 的角标，防止混乱。 进行整理后，可得到 covariance r p r p u 等于 lamp p 乘 e r p u 加 gamma p。 然后再将 land 和 gamble 的具体表达式带入进行通分，提出相同的组合，期望收益率减 c 分之 a。 这个部分用来之后计算期望收益率方差曲线将长竖向进行整理即可。最后将 q 替换为 p， 有 组合 p 的方差等于 d 分之 c 乘括号 e r q c 分之 a 的平方 加 c 分之一。最后进行整理即可得到 sitma 的平方， r p 等于 d 分之一，加 c 乘以 r p 的平方减二 a 乘以 r p 加 b。 当取 sitema 的平方 r p 最小时， e r p 等于 c 分之 a 称最小方叉组合 m v p。 画图如下， 下个视频将用上证指数和纳斯达克为例，用 matlab 模拟这个图形。