月牙面积计算公式图解

你好，我是高董老师，我们一起看动数学。两个相同的圆相交构成了这个月牙，上面的弧长是二十七，下面的弧长是二十四，两个圆弧最宽的距离呢是二，求月牙的面积， 那么两个相同的圆他所相交，那么最长的这部分 ef 实际上就是等于 两个圆心之间的距离。沿着西低，我们可以看到图形的左边和右边呢是对称的性质， 这样呢，这一部分的长度是二十七和二十四，所以呢圆的圆周 长是二十七，加长二十四，这样可以得到圆的半径呢是等于二拍分之五十一。 然后我们看一下月牙部分的面积，它是由三个面积的构成，一个是扇形 acd， 减去扇形 bcd， 然后呢再加上菱形部分的面积，那么扇形 acd 的面积呢是圆的面积乘以五十一分之二十七。 扇形 bcd 部分的面积呢是圆的面积乘以五十一分之二十四。然后看一下菱形部分的面积，那么他呢是两个对角线的成 乘积的一半， ab 的长度呢是二，所以 cd 的长度呢是两倍的根号，而平方减一， 这样我们可以得到月牙部分的面积呢，他是拍分之一百五十三，加上四倍的根号二六零一，减去四拍的平方。这道题的解析就是这些，我们下次再见。

数学怨言也很美。

小朋友们好，欢迎来到意大利小学数学，点击关注，我们可以获取更多的小学说资料。今天我们看这一道五年级数学里边的思维拓展拔高题啊，求月牙的面积，那这道题是否是五年级的题目呢？是否超高呢？ 我们一起来看一下。正方形 abcd 的边长是二，里边呢，有一个圆和他相切，其中呢，以 a 点为圆心的这么一个四分之一圆和 大圆以及和正方形，最后组成了这么一个月牙的面积，是我们要求的， 要求月牙的面积呢，它是一个不规则图形，那我们就用规则图形相减，那你比如说 可以用圆的面积剪辑啊，空白部分 b 面积 s 一，所以 s 是不等于圆的面积剪辑 s 一啊， 那 s 一怎么求啊？有同学发现 s 一呢，他是在这个扇形里边， 所以我们可以用三型的面积啊，剪辑这么一个角落。所以最后呢，有的同学呢，按照这种思路计算出来了。第一步，正方形的面积剪辑圆的面积，再除以四，得到小边角的面积，假设小边角呢，我们记住 s 一啊， 那这些是不是都是 s 一啊？ 那 se 的面积我们劣势为 二乘二，请问圆的面积是多少？请问圆的直径是二， 半径呢？是一，所以啊，派乘一的平方，所以 s 一就等于四点派， 然后呢，半径为这个地方，不对啊，半径为二啊，为二的十分之一圆，他的面积减去啊，三个小小边角，那我们想一想，这个扇形的面积好不好求啊， 四分之一派 r 的平方， r 是谁啊？ r 是二， 减去啊，三个一二三，而减去三个 s 一 得的空白部分，假的，他是 s 二， 可否这样去求啊，我们代入这个音乐分什么派啊，就是变成派减去三倍的四，减派 三个码，这样的话音乐分大家看一下。减去啊，这个是三派加派，四派减十二， 那 s 二的面积，求助以后那要求的 s 远的面积等于圆的面积， 圆的面积是多少？派 r 的平方，也就说还是派 圆的面积减去啊， a 十二，大家可以看一下，最后得到是十二减去啊，三拍， 对不对呢？ 看是整个过程呢，无懈可击。但是呢，这道题呢，实际上并不是五年级的题目啊，这个地方出错了，你看半径为二的这么一个三角形，减去三个，怎么可能是 a 三呢？ 你看还有这些小的地方，我们用绿色来表示，这个地方你也减去了，这个地方你也减去了，你不应该减去三个，对不对啊？所以这道题呢，显然不是小学的题目。好了，这道题我们就分析到这里。

讲一下月牙定理，这个定理的话，百分之九十九的老师都没给孩子们讲过。那什么是月牙定理呢？他就是以直角三角形三条边为直径，画出了三个半圆，形成了下图的阴影。什么意思呢？他首先得有一个直角三角形，对吧？然后以这条直角边 为直径画了一个半圆，然后以另外一条直角边为直径画了一个半圆，然后接下来以斜边为直径，画了一个空白的大圆，然后就形成了如图这样子，两个圈圈一和圈圈二，这样子像月牙形状的阴影。 而通过月牙定理我们可以得到的是什么呢？也就是这两个月牙形状的阴影，他和下边这个三角形面积三角形的面积是相等的， 也就是阴影部分的面积是等于圈圈一加圈圈二，也就等于三角形的 面积。好，因为他得到了等于三角形的面积，所以说阴影部分的面积就变得非常好。算了，因为这个三角形他是直角三角形，那直角边乘直角边除以二就可以了，所以说等于八乘六除以二等于二十四。 那这个时候你肯定会问，哎，为什么呀？对不对？好，那接下来我们一起来证明一下，为什么他是相等的。首先阴影部分他不是个规则图形，所以说我没办法用 公式的方式去把它算出来，所以说这只能怎么办呢？只能通过这种途径，就是 s 阴影等于什么？整体 整整个图形来减去什么空白，对不对？好，那整个图形怎么算呢？首先你看一下这左边左上角是不是有个半圆， 对不对？直径为八的这个半圆和直径为六的这个半圆，再加上下边这个三角形的面积，是不就是整体？而空白部分是个大的半圆，所以说阴影部分的 面积可以怎么怎么写呢？整体把它写出来，他就是左半圆加什么右半圆， 然后再加三角形， 然后减什么？空白部分是大半圆。好，接下来的话， 我们把三个把它算出来就可以了，因为我如果我们要证明阴影部分的面积是不是等于三角形，对不对？阴影部分等于三角形的话，那我们是不是要证明左半圆加右半圆是不是等于大半圆的？好，接下来抹下去，那阴影 就等于左半圆，你看他的直径为八，所以说他的面积就是二分之一拍，乘以半径是四的平方，加上右半圆 直径为六，那就是二分之一拍乘以三的平方，再加上。好，三角形的面积，我们就不写下来哈，把它直接写成三角形就可以了。 好，减大半圆，直径为十，那就是二分之一拍乘以五的平方。好，接下来我们可以得到的是什么呢？你看你观察一下 这这三个是不是有相同的部分？二分之一派，所以说用乘法分配率把它结合起来， s 阴影就等于二分之一派，乘以 四的平方加三的平方，这是什么？要注意啊，这是减，就是减五的平方，括起来再来加旁边有个三角形。 好，写好之后，那这个时候段我们可以非常容易的发现，你看这个括号里面四的平方是等于十六，十六加九减二十五是等于零的，所以说阴影部分的面积这个整体就等于零了，所以说就等于三九 行，那就证明了，对吧？好，那这个就是月牙定律，那你学会了吗？抖音。

巧求月牙型面积好，同学们，今天我们继续来讲另一部分面积的求法。这道题呢，他让我们求的是两个不规则月牙形面积之和。从大方向上我们能看到他应该使用两个半圆加上一个直角三角形面积减去一个半径为二点五的半面。好，所以说这道题我们来列下算式、 fm 之类的好，我们来看下算式，从算式上我们会发现他前面的两个圆面积之和刚好是等于下面最大的一个半圆，所以说一部分的面积我们转换成了三角形的面积等于六。

这道题目小学生做稍微有点超纲，不过我们略做解释也是可以做的。来看题目，直角三角形的边长分别是三厘米，四厘米，五厘米， 分别以三条边为直径画三个半圆，求阴影不反的面积。小学生可能会有一点困惑，以五厘米这个为直径画的这个半圆，那这个点，直角三角形的这个点刚好在这个半圆上吗？ 啊，这一点可以肯定的告诉你，确实是这样子的啊，为什么刚好在这个半圆上呢？我们就先不做，不，不证明了，这就稍微啊，超出了我们的内容了，你就知道这个点一定是在半圆上就可以了。那 现在我们要算阴影图形的面积呢？最直观的方法就是整体减空白，整个图形的面积算出来，把空白一减不就可以了吗？而整个图形的面积怎么算呢？整个图形的面积不就是 小半圆，加上中等半圆， 再加上这个直角三角形的面积，是不是就是整个图形的面积啊， 然后整个图形的面就会算了，减掉空白，空白不就是个大半圆吗？现在这道题你自己会算了吧。好了，自己把 答案算出来，写到评论区吧。呃，另外呢，这个题目还有更简单的方法，但是这个更简单的方法呢，稍微有点超纲了，我们就不说了， 有同学还在问我说这个题目的派取多少。好吧，既然你非要问我派取多少，那我就告诉你，派取 三点，一四一五九二六。好，来做一做吧，把答案写到评论区。

大家好，我是唐老师啊，今天我们继续九年级数学原专题 的前景第六十四节，如图，已知 o a o b 为圆 o 的半径，且 o a 等于五，那就是半径等于五， a o b 等于十五度，那么 ac 垂直于 bc ob ec， 阴影部分的面积为多少？那么阴影部分的面积啊，以我们以往的经验，阴影部分的面积是不是很快可以出来？阴影部分的面积等于什么 s 上行，什么 a o b 减去什么 s， 三角形 a o c 是不就可以了？那么上型的面积啊，圆形角他已经告诉你了，十五度对不对？除以三百六十， 再乘以派 r 的平方二十五，对不对？减去三角形的面积底乘以高都不知道，但是知道这个是十五度，那么我们就可以借助三角函数对不对？ oc 二分之一底 d o c， 那么这个叫 oc 和斜边的关系，那就是 coce， 对不对于显示，那就是 coc 影十五度 再乘以什么五，是不是就可以出来了？因为一弦指他是 oc， 比上五，然后就等于多少？ 扩四饮十五度对不对？那么我们要取入这一条的时候，那就得扩四饮十五度乘以五，同样 ac， 也不知道 ac 是十五度所对的对边，所以刚好是正弦值，那就乘以 c 银十五度， 对不对？再乘以五，同样的出来。那么这个地方进行约分，我们先约啊，这个地方十五和三百六，三月份五，三月份一百二十啊，约分一，这个对，是二五一，十二十四， 那么得到的就是二十四分之二十五判，然后减去二分之一，二分之二十五， 靠 c 引十五度，再乘以 c 引十五度，对不对？那么关键在这个地方啊，他用到一个 背讲公式对不对？那就是谁赢的，什么二倍放就等于多少，二倍的谁赢，放在乘以扣四赢方，对不对？得到这么一个东西，所以这两个乘起来，那么把这个二除过去， 所以这个等于二十四分之二十五判，再减去多少？有一个二分之一了，那就四分之二十五，再乘以什么谁赢两倍十五的两倍三十度， 那么此时这个换掉二分之一，这最后这个就换成八分之二十五，那么进行通分就可以了。二十四分之二十五判，那么后边是八，这换 减二十四分之，你都乘以三，那么就三五十五，二三得六七十五，最后等于二十四分之二十五判，减去七十五就 ok 了，那么得到了最后的面积， 就是这样的关系，非常的直径。当然大家看到这个还有可能必须要联想到的另外一个，是不是 因为垂进定理，是不是右边下边还有一个跟他一模一样的东西，对不对？垂进定理他是一样的，所以我们在求的时候求这个三角形的面积， 然后再减去这个弓形的面积，那么阴影部分的面积就等于二分之一先放好，那么也 就是 s 上行，他的圆心角就等于三十度了，对不对？十五十五，是不是三十减去 s 三角形的面积， 那么三角形的面积底，我们还是要通过这样的关系来求，对不对？因为这个是三十度，这两边相等，那么一百八减三十等于一百五十，每个七十五还是没办法求，还是要通过正弦值和于弦值来进行球， 所以不管是怎么样这种方式还是单独来求，都要用到了这个关系阵弦啊，这个纸和鱼弦纸的介入，所以此时我们用到的也就是这种关系，那么关键的难点就在这个地方， 这个地方是大家需要用到的，那么才是简介体的关键，大家学会了吗？

今天我们再讲一遍月牙定理，那什么是月牙定理呢？它是以直角三角形三条边为直径，画出了三个半圆，形成了下图的阴影。求阴影部分的面积。 那首先这个图形是怎么产生的哈？他是以任何一个直角三角形，以他的直角边其中的一条直角边画一个半圆，以另外一条直角边画了一个半圆，然 然后以这个三角形的斜边又画了一个更大的半圆，就形成了如图这两个月牙形状的阴影，而这两个阴影部分的面积 刚好就等于中间这个三角形的面积，我们就把这个定理叫做月牙 定理，所以说阴影就等于直角边，八乘六除以二就等于二十四。好，那么接下来的话，我们来证明为什么圈圈一加圈圈二等于三角形的面积。 好，我们是如何去证明的呢？是用整体剪空白，你看一下整个图形，整个图形阴影部分是不好算的，我们只能用整体 减空白，虽说阴影是等于整体减空白的，那整体等什么呢？整体我们可以换算成，你看啊，左 左边一个半圆加右边这个半圆，再加中间这个三角形，是不是？是不是就是整体了啊？左边半圆加右边半圆加中间这个三角形，所以说就是左半圆 加右拌匀，然后再加三角形， 然后扩起来减去空白，空白部分是不就是大半圆， 对吧？好，如果说我们要证明阴一部分是等于三角形的话，相好 s 阴是不是等于？如果是等于这个的话，那么是不是就可以要证明左半圆加右半圆是不是就等于大 半圆，对不对？那那么接下来我们写一下，你看左半圆，他的直径是八，那么他半径就应该是四，所以说他的面积应该是二分之一派乘以四的平方加右半圆，又 右半圆的直径是六，那它的面积就是二分之一派乘以三的平方，再加上三角形，我就写下来哈，三角形，然后再减大半圆，那是不是二分之一直径是十派乘以 五的平方？而现在我们可以得到的是，你看这三个是不是可以用乘法分配率，对吧？都有二分之一派，所以说就等于二， 二分之一派乘以括号，四的平方加三的平方减五的平方，再加上一个三角形。好，那阴影照常写下来。 好，这个括号里面四个平方是十六，十六加九刚好就等于二十五，所以说括号里面刚好就等于零，所以说阴影就等于三角形， 那这样子就把它证明了。好，然后这个括号里面是等于 零的，就这样子就证明了月牙定理当中这两个阴影部分的面积是等于下面这个三角形的面积的。抖音。