垂足和垂点的区别

七年级下册数学我们今天讲第二个知识点，垂线和垂线段。很多同学来学这点知识点的时候呢，分不清他俩有啥区别，什么是垂线，什么是垂线段？ 一个视频教会你，垂线的话，他是直线的话，他是无限延伸的能量吗？没有长度没办法度量垂线段呢？线段是有长度的对不对？他是可以度量的，这是两个最本质的区别。 那么看一下什么叫做垂线，两条直线相交，有一个角为九十度，那看两条直线，直线 a 和直线 b 相交，有一个角九十度， 那么这两条直线就是互相垂直的，所以说当我们去做几何体做证明的时候，那么如何证明他俩是垂直关系呢？找到一个角为九十度就可以， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其中他们的焦点叫做垂足。 那么看垂线的话有什么性质啊？在同一平面内过一点，注意，有且只有说明这句话啊，他是唯一性，就一个，没有别的。 有一条直线与已知直线垂直，所以说像这样的话，相当于在同一平面内过一点，只能画一条直线与已知直线垂直，画不出第二条来。 那么看垂线段，垂线段是可度量的，那我们看这个图，那么通过点 p 是 不是做这 pm 垂直于谁呀？ l， 那 么 pm 的 长度就是点 p 到直线 l 的 距离。告诉一个简单方法，看到距离你就想什么呀，垂线段就行。做题的时候啊，看到距离想垂线段，那么它的性质什么呢？垂线段是最短的，那我们看一下 pm 是 不是为 p 到 l 的 距离啊？是不是它这是 最短的，看 pm 一、 pm 三、 pm 二都没有它短，那么这是垂线和垂线断的距离，把它去学明白，那么大哥老师在这个寒假会有寒假的免费学习，想跟的话直接关注就可以。

小伙伴们大家好，这个视频呢，我们来分享一下。垂足三角形以至三角形 abc 上面有三个动点 def， 求三角形 def 的周长的最小值， 那么碰见让球周长最小值，我们第一反应要干什么呢？我们可以利用对称的思想把这个三角形的三边给展开，对不对？好，接下来我做点地关于 ab 和 ac 的两个对称点，第一和第二， 接下来我们连接 d f 和 d 二一，那么此时利用对称的思想，我们可以知道 d e f 等于 d f， 第一呢就等于这边的第二 e 了，那接下来两点之间线段最短， 可以确定当第一 f e 和第二四点贡献的时候，那么这个三角形的周长就最小了。好，项目解决起来很简单，对不对？那么问题就来了，第一第二个长度又该如何确定呢？ 在这里面呢，我取三角形 a d 一，第二连接 a d 一 a d 和这里面的 a d 二，根据对称我可以知道这三条线段的长度是相等的， 那么接下来具体该如何确定第一第二呢？假如我在这里面我给出了角 bac， 这个角等于这门的六十度的话，那么根据对称我可以知道 圈圈和这边的叉叉呢是相等的，那所以说角第一 ad 二，这个角呢就是二倍的角 bac 等于这么的一百二十度， 那所以说三角形第一 a， 第二就是以顶角为一百二十度的等腰三角形，那么他们三边比例关系是这么的一比一比高三了，那么我们可以知道第一第二他就等于这边的根号三倍的 a， 第一 同理就等于根号三倍的 ad 了，那么要想让这门的周长最小，只需要让 ad 取得最小就可以了。那么 ad 什么时候取得最小值呢？我们看到点 a 是一个定点，点 d 呢，是 这里面的 bc 上的一个动点，那么什么时候 ad 取的最小呢？接下来我们容易想到垂线段最短，比如说当 ad 和这里面的 ai 重合的时候，此时这两个三角形的周长就最小了。 好，然后接下来我让这里面的 f 和 e 分别跑到贡献的位置。 好，那这个位置就这个场面最小了。那么我们可以确定此时点地呢，就是 bc 边上的垂足， 那么具体点 e 和点 f 这两个点又有什么特殊的位置要求呢？接下来我连接 b、 e， 再连接这里面的 cf， 在这里面呢，我们慢慢分析一下。好，我标这个角 是圈，我们根据对称呢，这个角也是圈，标这个角呢是叉，那这个角呢也是叉。然后因为 a、 d 一的长度和这边的 a、 d 二的长度是相等的，所以说我可以知道圈和叉是相等的。哦，原来呀，这两个角也是相等的， 最后就是四个圈了呗。接下来我设这里面的四个角是这边的 x， 那么 x， 从而我可以知道角第一， ad 二这个角呢，就是这边的一百八十度减去二 x， 那么角 bac 又是多少呢？他就等于这边的九十度减去 x， 那么九十度减去 x 具体是哪些角呢？好，我们观察一下，因为这个角是 九十度，那所以说我们可以知道九十度减 x， 他还有的是叫 e、 d、 c， 这个角还有谁呢？叫 b、 d、 f， 他们这些角呢都是相等的。 好，我们现在给你看一下 bac 这个角和 edc 相等有什么用呢？ 因为呀，我知道 e、 d、 c 这个角，加上这里面的 b、 d、 e 这个角是一百八十度，那所以说现在那么 b、 a、 c 这个角呢，加上这边的 b、 d、 e 这个角，哎，也等于一百八。好，那么这两个角加起来八能想到什么呢？ 对，我们能想到这边的 abde， 他四个点是四点公园的。 ok， 四点公园的，那么四点公园。同样的道理，这里面的 bdf 这个角和 bac 相等，那我们可以知道 afdc 也四点公园 也四点公园。实际上啊，这里面不止这几个圆，我们还可以发现有第三个圆，那现在我把它画出来， 这里面有三个四点公园，那么三，那个四点公园，我们接下来就可以利用圆的知识来进行突破了。 接下来我们看这里面的 abb 这个圆，我们发现胡 ab 所对的圆周角有角， ab 这个角 没有角 adb， 我们知道潼湖所对的圆周角是相等的，所以说现在我可以知道角 ab 这个角， 他就等于角 adb 这个角等于这边九十度了，那么从而我可以知道这边的 b 一呢就垂直于这边的 ac 了。同样的，在这个 afdc 这个园中，我们也可以知道这里面的角 afc 等于角， adc 也等于九十度，那么从而我们可以确定这里面的 cf 就垂直于这里面的 ab 了。 好，从而我们可以确定 d、 e、 f 为三角形 abc 上的三 垂足，那么从而我们可以得到一个重要的结论，就是当第一 f 三个点为垂足的时候，此时三角形第一 f 的周长就最小了。好，那么通过这个图我们还能发现什么结论呢？ 在这里面，我们刚才已经知道这两个角就相等了，所以说 ad 呢，他就平分角 fd 一了，他是一个平分线。那在这里面呢，我们还可以证明 b e 平分 角 fed， 我们还可以证明 cf 平分这里面的角 efd， 在这里面感兴趣的同学可以自己证明一下。如果有三条角平分线了，那你能想到什么呢？对了，这三条角平分线交于这个点呢，就是三角形的内心， 那么内心就是什么呢？内切元的圆心。好，接下来呢，这个视频我们内容讲完了，我们总结一下最后的结论。 好，当三角形 d、 e、 f 为垂足三角形的时候，三角形 d、 e、 f 的周长最小。第二个垂足 o 为三角形 d、 e、 f 内心。

垂竹曲线，这里有一条红色的曲线，还有一个绿色的点，在曲线上一点引出切线，然后过绿点做切线的垂线，我们就确定了垂竹的位置。 对于曲线上所有的切线做垂线，我们就得到了垂竹的轨迹，这个黄色轨迹就是红色曲线。关于绿点的垂竹曲线， 反过来红色曲线就是黄色曲线。关于绿点的反垂竹曲线。对于同一条曲线，绿点的位置不同，垂竹曲线的形状也不一样，这个绿点不一定非要在曲线外，他也可以在曲线上。 接下来我们来看一看圆的垂竹曲线， 当绿点在圆心时，他的垂竹曲线也是一个圆，而且半径相等。当绿点在圆上时，他的垂竹曲线是一条心脏线， 这是心脏线的垂竹曲线， 这是抛物线的垂竹曲线。当绿点在抛物线的顶点上时，它的垂竹曲线是一条漫夜线。 当略点在抛物线的准线上时，他的垂竹曲线是一条环索线。

一年级数学下册，我们接着来讲第二个课时，两直线垂直， 我们一起来看一下啊，其实在垂直呢，我们小学的时候也是学过的，以及我们七年级上册几何我们也有接触到，对不对？什么是垂直？就是两条直线所成，角度是九十度的话就是垂直，也就是一个直角， 对不对？垂，我们可以是垂线直组个词吗？不就是直角吗？从小学就在接触直角，以及我们的直角，三角形，直角、三角板，这些都是非常常见的。那么为什么到初中还要接着学垂直啊？肯定知识在不断的深入吗？ 我们的学习目标呢，就是你必须得知道，不仅你要知道垂直这垂直，你还要知道垂直他是由什么组成的，是由垂线、垂足、垂线段等等他们的概念， 并且呢要会画图，这个里面最重要的有五个字，垂线段最短。这个呢，这五个字必须是会写，不能出错哦，因为有时候呢，他会考到这五个字怎么写？ 我们一起来看一下。复习引入一下。上节课我们第一课时讲的是两直线相交，什么是相交来着？相交就会出现对顶角和零补角，那么有什么性质？我们已经讲过了，对顶角相等，零补角互补吗？ 特殊情况，人家说了，当角 a、 o、 c 这个角度等于九十度时，那其他角是多少度？你想想 a、 o、 c 是 个九十度，九十度。当然如果你这个符号不知道一会也会讲，一般情况下你是有接触的吗？这个是垂直，在上学期讲过，其实就是 这个符号，你的直角我这么画是不是都有可能啊？就是你的这个正方形，不就是或者长方形的四个直角吗？那么人家就是这样的一个折线，就称之为是直角的一个符号， 就是你正方形或矩形的啊，这四个角都可以是，只要是两条直线垂直的都叫垂直符号，那么 ok， 我 们一起来看一下。这个是九十度，角 a、 o、 c 是 九十度，那么我们根据我们条件，因为 ab 与 cd 相交，相交的话对顶角相等，所以角就是 ab、 c、 d， 所以 角 a、 o、 c 是 不是就等于角 b、 o、 d 对 顶角相等，等于九十度啊？当然这有一个角，还有一个角 a、 o、 c 等于九十度， 对顶角这个也是九十度了，菱角是互补的，那么角 a、 o、 c 的 零补角是谁呀？不就是角 b、 o、 c 和角 a o、 d 吗？ 不就等于一百八十度，减角 a、 o、 c 不 就等于九十度吗？所以说只要有一个角是九十度，那么另外三个角也是九十度的吗？ ok， 那 么这两条直线在位置上有什么关系？刚才是数量上他们都是九十度，那位置上有什么关系啊？不就是垂直吗？这两条直线是垂直的关系，垂直是用来描述关系的，我们一起来看一下。 说垂直定义是我们第一个知识点，垂直的定义我刚刚已经说了，其实说白就是两条直线所成，角是九十度，他就是垂直。 当然我们一起来看一下这个模型，两个木棍还是两个木棍固定在一起，然后呢，我们进行一个旋转的变化，你看 b 不 断的转转转转转转到这个位置对不对？那小 f 你 看到刚才还记得他的变化，不是从这个方向 逆时针旋转，也就是他所成的角会有什么变化呀？你看一开始的时候是锐角对不对？最开始是这样的，好，接着转转转，转到这个特殊角的时候，我们知道三角形分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。 这是我们在小学的时候就学过，只要这个三角形的符号啊，我就直接画个三角形了，不写字了，然后还有钝角三角形， 对吧？那么这个角度不就是从锐角到钝直角又到钝角了吗？那么它的关系是不是就出来了？ 那么这节课我们讲的就是直角，因为锐角和钝角上一节课两直线相交，其实就包含了，对不对？那么我们一起来看一下，说当 f 是 九十度的时候，它有什么样的位置关系来着？刚才已经说了是垂直 转到这个位置，这叫垂直关系。垂直关系说当 f 是 九十度时， a 与 b 是 垂直的， ok？ 垂直是什么呀？垂直其实说白了是一个特殊的相交情况，因为垂直的话也是相交呀，对不对？只不过是转到一个特殊角度而已。 那么我们一起来归纳总结一下垂直的定义，你看如图，我们可以画是不是 a、 b 和 c、 d 垂直他随意换啊，你不用说我非得是这种田字格的中间的那个，必须是这种方方正正的。不是啊，你随便移嘛，对不对？他都是垂直的。 那么垂线的定义就是什么呀？就是当两条直线相交所成的四个角，有一个角是直角时，那么这两条直线就垂直。为什么一个角是直角，那么另外三个角都是直角，所以 只要有一个角是九十度，那么这两条直线就垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，也就是 ab 是 c d 的 垂线， c d 是 ab 的 垂线。无所谓啊，互为垂线，他们的焦点就叫垂足， 因为你停到这不动了吗？钝足足不就是脚吗？停止停到这垂到这。 ok， 我 们一起来看一下垂直怎么表示。这个就是我们刚才所讲的，我既可以直角画到这，也可以画到这，也可以画到这，也可以画到这，对不对？所以说垂直的符号只要是直角的形式就行，无论方向是怎么样的， 然后文字的话就是它与它互相垂直这两个字就可以了。垂直我们也可以用这个符号来表示，比如说写，因为 ab 垂直于 cd， 这个就念作 ab 垂直于 cd， 你 写文字很麻烦呀，对不对？我们数学就是为了干嘛？就是为了简略吗？ 数学很多都是。呃，你会发现啊，以后你会经常发现，他会对几何语言进行一个简略，比如说因为每次要写文字多不多？多呀，所以你上学期学了倒三角这三个点就叫因为吗？ 那么所有的几何经常需要用到符号，所以你一定要学会。你看 ab 垂直于 cd， 那 么垂直符号 说若要强调 a 垂直，嗯，就是若要强调垂足，那么你就要写一下垂足为 o， 一 般情况下垂足用到只要说明垂直关系就可以了， 我们来看一下啊，那么什么是判定？就是让你判断一下 ab 和 cd 这两条直线是否去是否垂直， 这叫判定。判断，确定的意思组词嘛？判，判断，定确定判断，确定这两条直线是否垂直，就去证明他们两个垂直。那怎么证明两条直线垂直？只要是九十度，那么就证明垂直， 那性质是什么？已知垂直了，你就能得到四个角都是九十度吗？你可以这么写，随意写一个角也行，写出来四个角也行，随意。当然用到哪个角写哪个角更简单一些吧。 ok， 这就是我们的垂直的一个性质，一个判定，已知垂直则九十度，已知九十度则垂直。它们两个是互逆的， 那是第一个知识点。接下来看第二个知识点，垂线的画法。我们刚才已经知道什么是垂线了，就是两条直线互为对方的垂线， ab 是 c、 d 的 垂线， cd 是 a、 b 的 垂线互为垂线吗？垂足为 o 这种，那么它怎么画呀？假如给了你一条直线，你能画它的垂线吗？这就是这节课的重点呀， 不是，也不是，这节课的重点是这节课的一个组成部分。这不是什么重点，因为你到做图的时候，但是你也必须掌握做图技巧，因为好多需要做辅助线。你的几何，你现在呢？初中几何，这才刚开始，你上一学期学了一部分，这学期学一部分，每个学期都要学一点点的深入 说。第一个画已知直线 l 的 垂线，你能画多少条？你给你个直线 l 能画多少条？与它垂直是不是很多条？无数条 说过直线 l 上的一点 a， 你 看看清楚了，是过直线 l 上的一点 a， 重点之上，他在直线上一点 a， 你 能画几条垂线？第三个问题，在直线 y 一 点 b， 你 能画几条垂线？过这点就也就意味着让你画必须得经过你，比如说我在这画了一条垂线，这就不满足题，因为他既没过 a 点，也没过 b 点， 那我到底有几条呀？我们带着这个问题一起来实际操作一下。首先第一个说过，直线上一点 a 做垂线， 能怎么来做图？你说你要怎么做呀？其实就拿你的三角尺的，就你买的那一套尺子里面都能用。首先第一个可以拿你的这个呃，直尺 去往上走，顶到这个直线的位置。当然其实啊，在你真正做图中，也没有必要去非得拿直尺去比到那拿你的三角板去，沿着让这条边 和你的已知直线 l 重合就可以。所以第一点落线就把三角扁，三角板的一直角边，你看，移到直线上，这也是一种方法， 明白吗？更简单一些，就你只需要一个工具就可以。刚才瑞哥说的这个，拿三角拿直尺去顶住也可以啊，这样是不是更直接更垂直啊？是不是绝对不会有一点点误差了？ 第一是把三角板的一边靠在已知的直线 l 上，就靠在已知的直线往上， 这点该怎么样了？移动呀，因为只要你移动的过程中所有的都是他的垂线，比如说刚才移到这，然后移到这，移到这，是不是无数条垂线呀？ 好，接着移到 a 点的这个位置，不就是过点 a 了吗？所以三角板的另一直角边，这不是刚才重合的一条直角边是他吗？另一条直角边，这不这一条吗？他就怎么样了？过已知点，过已知点就可以挂了吗？ 这不就是你的垂线吗？然后用线画出来，沿着三角板的另一边用，一定是用的什么呀？用的是铅笔啊，一般情况下，当然你到考试的时候用的是碳素笔，然后画出它的垂线就可以了，这是我们的三步骤。 ab， 这就是它的垂线。看清楚了，是垂线，这是一条直线 a b 直线，这样的垂线能画几条？肯定是一条呗。因为你过点 a 了吗？再往那，再往左走，他就不能过点 a 了吗？你看，你想想这个问题，你要再接着三角板再往这走，不过点 a 不 满足提议啊。 所以说过直线外一点呢？一样的道理，一落到他的线上，第二步，然后移动过点 b， 一 画，还是为一，一条，对不对？过直线外一点，也只能画一条垂线， 那么这个结论我们就知道了，无论是直线外还是直线上一点，他都有，且只有一条直直线。一条垂线，前提是一定是过点，不管是哪个点。所以人说同一平面的过一点， 这一点可以是直线上，也可以是直线外，尤其只有一条直线与已知直线垂直。注意一点是，尤其只有一条，人家说了这一点对不对？记住这两个就可以了。接下来看第三个知识点，垂线段最短， 说灌时呢，要把河中的水引到你的这个农田处，因为我们过去啊，都是农业社会嘛，对不对？我们尤其是古代是农耕社会，浇如果没有水，地怎么长呀？所以说你需要把水给引到你的地里面， 那你就要去挖渠呀，怎么挖更就是你更快速的流到你的水里，你的地里面是不是？那怎么挖呀？你想想肯定是最近的距离挖呗，是不是？比如说就跟你从家到学校，家到学校， 我们上学期就讲过两点之间是线短最短的，对不对？直接连线最短，你要绕个弯儿，绕一个弯儿肯定远了呀。那同样道理， 那怎么样就会找到这条最短的距离呢？我们一起来看一下这个 cd 对 不对？过 p 点，像这做，其实垂线段是最短的。当然我们一起来验证一下，是不是生活中的常识就是垂线段最短。 但是我们验证一下，说如图过 a 点呢？像已知直线 l 是 不是画一条垂直的线段？有几条啊？尤其只有一条 和几条不垂直的线段，那么我们就可以画很多个，对不对？你看有垂直的，有不垂直的，那哪个最短呀？很明显最短的是 a d 吗？ 是不是很明显的是线段谁最短呀？ a d， 其他的都比它长，肉眼可见。 因为直角三角形中谁最长？肯定是斜边最长嘛，他们每一个都组成了一个直角三角形，直角三角形斜边最长，那对斜边最长，然后直角边最短了，所以 a d 最短。 ok？ 人问 a d 最短，你能用一句话说结论吗？其实就说白了，就是 过直线外一点。是不是所有线段中只有垂线段是最短的呀？只有这个垂线段。我们上一节课有人说这个为什么是叫线段？什么是线段？线段是有端点的呀？而我们刚才讲的是画垂线，过 a 点向 l 上画垂线， 这是一条直线，而你现在我只到这个河，这就可以了，你接着再往外挖，那你说这个河你挖到你地就行了，你还用管别人吗？是不是不用管？所以只有这一段叫你的工作量，也就是你的垂线段。垂线段是最短的简称， 我们一起来看一下这样的立体知识点。主要就是那三个，第一个，你得知道什么是垂线概念，第二个，你要会画垂线。第三，你要知道垂线段是最短的。 如果让你求长度，其实说白了是谁呀？假如说你和你这个农田到河的距离是什么？是垂线段的长度，长度才是距离， 你不能说从家到学校五千米，你说从家到学校 ap 距离可以吗？不可以，距离就是一个长度，是有你可以测量的。我们来看一下像的立体说如图呢，角一是三十度， ab 垂直于 c d， 如图。那么画出来，一旦遇到题目啊垂直符号了，你就找到这两个直线，然后用这个符号描述出来解做题，一边做一边标。角一，这是三十度。 首先因为，嗯，直接写角度没有什么所以，但是垂直有啊，垂直就能得到什么九十度啊，所以角 aoc 等于九十度，或者角 boc 等等。那四个角嘛，我随意先写一个九十度，一会不够了可以加，如果你不知道，你就先想着， 然后接着往后读。垂足为 o 没什么用， e f 为 o。 呃， e f 经过点 o， 这个你都是看图能看出来。问你角二角三的度数，那角一和角二是什么？角？ 对顶角那角三，所以说你有角二，你求角三的话，那我怎么办？我是不是知道角 a o d 就 可以角 a o d 等于九十度，又因为角一等于三十度，所以角二就等于角一等于三十度。理由就是什么呀？ 对顶角相等。 ok， 那 所以角三就出来了呀，角三就等于什么呀？是不是就等于角 a、 o、 d 去减去角二不就是九十度减三十度是六十度吗？与角吗？为与角的概念。 ok， 这是我们的 知识以及例题就讲完了，我们来看一个相应的练习题。这是这是书上的一道题啊，说如图呢，直线 a、 b、 c、 d 相交于点， o、 e、 o 垂直于 ab， 人已经给你画好了垂足为 o， 那 我直接就写了呀， 这些都是废话，直接写 e、 o 垂直于 ab， 减 垂直了就能得到九十度吗？所以随意写角 b、 o、 e 是 不是就等于九十度这个位置角 e、 o、 c 等于三十五度，让你求的是 a、 o d， a、 o d， 那 你是这个 是不是我们可以看到 a、 o、 d， 它的对零角是角 c、 o b 啊，对不对？那我求上 c、 o、 b 不 就可以了吗？所以 b、 o、 e 等于九十度，就因为角 e、 o、 c 等于三十五度，两个角之合不就出来了吗？角 c、 o、 b 不 就等于角 e、 o、 c 加上角 b、 o、 e 等于九十度，加上三十五度，一百二十五度。所以 a、 o、 d 就是 等于角 c、 o、 b 就 等于一百二十五度，例由就是对顶角相等，当然不用写例由 就写完了呀。这节课我们主要讲的是不是就垂线的概念以及垂线段的概念，并且你要知道垂足不是，你要知道垂线段最短，垂线段最短，它的概念就是点到直线的距离，垂线段， ok， 以及你两个有且只有，一定要记住这个有且只有以及同一平面内随意的一点。 ok， 这节课我们就讲到这里，有什么不懂的可以评论区留言哦！

看这个脚，这是一个足跟挨不住地一个的足弓抬高，其实他是有前脚的，是垂足的，去去行走的，那这个脚就跟他基本上一模一样，这做好以后大小应该差不多，他因为他的他的足弓是高变了，如果展开以后这脚可能就差不多了，两个手是一样，但是做一个脚好处是他能照顾好自己， 并且恢复特别快，吃了一碗饭你要跑这个脚上长的特别快，并且长了以后骨头长的特别硬，要同时做的话，以前不同时做，这一个脚恢复两个月，两个脚恢复四个月， 这两个月同时做的话也得三四个月长，也很痛苦了，这样话就很自然，他这做了以后恢复好了再做这个脚就差不多。这个病一般都在腰上，随着他成长越来越重， 然后到一定年龄做完手术以后，经过康复，他跟正常人差不多，比如说走路慢情况下跟长的差不多，但是跑跳不生病，不生病，最起码比他以前的自己好，好太多了，对不对？行不行？这帅哥小伙子，你看你的腿多好看啊。

他正常人出了个车祸，把整个根骨的皮肤给弄坏死了，有根骨，这个整个这个皮肤全坏死了。有根骨，但是没有根骨，包括这个外膜皮肤，所以你看这个根骨其实没有打开，这个根骨就是骨头加皮肤， 这个嘞，他前后都受伤，就后面都内侧血管过去了，所以说他成垂走了，这个脚像跳芭蕾舞一样，这个脚正常在这个脚放平了，用脚走点走，走多少年？十来年了，他到一定年龄，这个顶不住，身体机能一蜕变，他就开始疼痛，他都走不成。他是个创伤性的垂走的，一个垂走症，没有内外翻，没有马蹄， 这个来做起来手术就很困难，关键是皮肤条件对手术不利，动刀子少，穿针多后能调的是关键。就说术后第三天，第五天还调，每天调三度，五度、十度，十天都调三十度，五十度都出来了，对吧？ 咱这的目的是从垂走零度调到九十度，然后再给他回过来十度。他现在调着，他可以下力走，他一点点走，先保护性动作走，调到一定程度基本上落着地啊，要穿鞋带、软鞋垫走，走一段时间，慢慢把鞋垫拍成正常的鞋垫行走。

哈喽，各位朋友，这节课呢，我们一起来看一下三坐标里面垂足功能的应用与介绍，我们一起上机练习一下 啊。接下来我们来看一下这个垂族功能啊。垂族功能呢需要我们输入一个元素，一个点元素， 那么点元素呢，就是像点圆、椭圆球槽，圆环上面这个元素呢像直线平面，圆柱、圆锥，就是要有方向性的，那么假定是我们要测这个点到这个左侧平面的这个垂度点， 我们首先把这个平面输入进去，再把这个电元素输入进去。哎，我们确定一下，那么这个垂足电的 x， y， z 的值就出来了，这个呢就是垂足功能。

见十五做钟垂二背角立马线，一三五和一五零延长两线补直角，十五、四五连两线，等腰直角就出现三十、四五和六十做好垂线得结论。这就是书本上没有但是中考一定会考到的二级公式，很多孩子不知道就很吃亏。 像这样的二级公式，在这本书里还有七十三个，如果你能把它们都掌握了，你会发现初中数学学起来有多轻松。比如等腰三角形中的距离公式， 只要在等腰三角形内有三个垂直，则可以马上得出三条线段的关系。学会了这个二级公式，在面对这类三垂直的题型时，就可以省去做辅助线和计算面积的功夫，直接利用公式三秒得出答案。像常考的五大角度模型、三大最值模型、瓜豆阿史源模型 这些快速解题的公式，你要是学会了，考试真的就跟翻书抄答案一样简单，而且步骤越少，正确率也会更高。每个二级公式的推导、演变过程都十分详细， 孩子有不懂的地方也可以观看视频讲解，家长就不用费心去教了。初中数学根本不用去报班，初一到初三都可以用，而且还是全国版本通用，家有初中生的家长赶紧准备起来吧！

今天我们来讲香蕉线里面的垂线。图一，当直线 a、 b 绕着这个点 o 逆时针旋转，转成 a、 o、 c， 这个角是等于九十度的时候，如图二，你能求出其他角的度数吗？这个图形有什么特点呢？此时两条直线的位置有什么关系呢？ 我们观察下面的图片，能找到其中香蕉的，这也是香蕉的。 在生活里面，有图中位置关系的两条直线都是很常见的。比如我们现在来看，取两根木条 a、 b， 将它们钉在一起，固定木条 a， 然后转动木条 b、 a、 b 所夹的角是角。 r 法就是这个角，转动木条的同时，观察它的夹角变化。第一个问题是，在木条 b 转动的过程中，什么样也随之发生改变？第一个问题， a 与 b 所成的角也会随之发生改变。 问题二，木条 b 与 a 乘九十度的位置有几个？此时木条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系？这时候 ab 乘九十度，这个位置只有一个，唯一一个。而且 a 与 b 垂直， 两条直线 ab 相交所成的四个角中，有一个角是直角的时候，你看我这里画了垂直符号。记住，这两条直线互相垂直，记住 a 垂直于 b， 这个是垂直符号。两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，他们的焦点叫做垂足，这个点 o 就是 垂足。 比如我说 c、 d 是 ab 的 垂线，或者说 ab 是 cd 的 垂线，必须要说谁是谁的垂线。垂直的判定与性质判定是这样子的。如图，如果直线 ab、 cd 相交于点 o， 角 a、 o、 d 等于九十度，我们就说 ab 跟 cd 垂直垂足为 o， 语言符号是因为角 a、 o、 d 等于九十度，是已知条件，所以 ab 垂直于 c、 d， 这是垂直的定义。垂直的性质是什么呢？如果直线 ab 垂直于 c、 d， 垂直为 o， 那 么我们就可以通过这个定义推出它的性质，这个角 a、 o、 d 等于九十度。 判定就是通过找到一个角九十度，从而判定这两条直线垂直。而性质就是，我知道这两条直线垂直，从而知道这个角是九十度。 语言符号就是因为 ab 垂直于 cd， 是 已知条件，所以角 a、 o、 d 等于九十度，这是垂直的定义。有一个角是九十度，剩下那三个角也会是九十度的。我们来思考一下，两条直线垂直和相交有什么关系呢？ 垂直是属于相交的特殊情况，所有垂直的两条直线一定会相交，但是相交的两条直线不一定垂直。第二个要思考的是，能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有三种呢？比如相交、平行垂直。 在同一平面内，两条直线的位置只有两种情况，就是相交和平形，而垂直就是相交的特殊情况而已。好，第三个要思考的是，如何判定两条射线垂直呢？或者两条线段呢？ 如果两条射线所在的直线相交，并且所成的角为九十度，那么这两条射线垂直，将线段延长，使其成为直线。如果这两条直线相交，所成的角是九十度的，那么这两条线段垂直。好，现在我们看到例一， 如图一，直线 n、 n 交于点 o， 角一是等于九十度的，所以这两条直线垂直，这个是垂直的判定。第二小题，若直线 abcd 相交于点 o， 且 a、 b 垂直于 c d， 角 b、 o、 d 是 等于九十度的。如图二， b、 o 垂直于 a o， 角 b、 o、 c 与角 a、 o、 c 的 度数比是一比五，就是我这里占了一份，然后我这个大角是占了五份，那说明我这个 a、 o、 c 是 占了四份的， aoc 是 多少度呢？我把这个九十度平均分成五份求出来，每一份是十八度，而我这个 aoc 占了五份，所以是十八度乘以五，求出来它是七十二度。 aoc 是 占了四份的，所以用十八度乘以四份等于七十二度， b、 o、 c 就是 十八度，他的补角就是一百六十二度，因为是一百八十度减去十八得到的。我们继续来看一下垂线的画法及基本事实。我们画一画，用三角尺或者两角器画已知直线腰的垂线。 第一个就是经过直线上的一点 a， 画腰的垂线，这样的垂线能画多少条呢？第二个是过直线腰外的一点 b， 画腰的垂线能画几条呢？我们一起来看一下。 如图，已知直线 l， 我 先画一条直线 l， 标上名称 l， 然后放尺子，再把这个三角尺靠上去画下来，这个就是他的垂线， 标上 a、 o 画垂直符号，这样画幺的垂线是可以画无数条的。但如果我在直线幺上点了一个点 a， 过点 a 画直线幺的垂线。第一步是放直尺，然后再用三角板套过去，然后移动三角板，移动到 a 点这个地方画垂线， 画垂直符号，标上 ab， 这一条就是过 a 点画幺的垂线， 这样的垂线只能画一条。我们再看已知直线 l 和直线外一点 n， 过点 n 画 l 的 垂线。首先第一步是放直角，然后把三角尺靠过去移动，碰到这个点， n 画下来，然后画垂直符号，标上 n 这个交点， 这个垂足为 n。 画到这样的垂线可以画一条。我们得出基本事实就是在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 我们看到另一过点 p 画射线 ab 过线段 ab 的 垂线，我们看第一个是这样子的，垂直符号要标上。 第二个是这样子的，尺子推过去之后，碰到 p 点，画垂线，画垂直符号，这里面 p 点在外面，我们必须对 ab 这条线段进行延长，要画虚线，然后放直尺，三角尺推过去，然后放下来画垂直符号。我们过点 画射线或者线段的垂线，是指画点与射线线段所在的直线的垂线。我们再看到垂线的性质及应用。我们在灌盖的时候，要把河中的水引到菜地劈处，如何挖掘使渠道最短呢？ 你能不能将这个实际问题转化为数学问题？首先这一条河就相当于一条直线 l， 这个菜地 p 点相当于这条 l 外的一点。我把这些房子啊，树啊，河啊都省略，什么菜地啊都省略，只剩下了一条直线 l 跟 p， 我就可以把这个实际问题转化成数学问题，相当于过直线幺外的一点 p 做垂线。好。我们在直线幺上是否存在这样的一点，在所有连接直线幺与 p 点的线段中，长度最短？ 我们来看一下，在直线上有无数个点，试着取几个点与 p 相连，比较一下线段的长短。有什么发现呢？ 我们可以看到这里有很多条线，可以画无数条，但是只有 po 的 长度是最短的，这样的线段 po 只有一条， 我们用一句话来总结观察得到的结论，垂线的性质，连接直线外面的一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，我们就要说成垂线段最短。垂线段就是 po 红色的这一条， 点到直线的距离。直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。线段 p o 的 长度叫做点到直线的距离。 好，现在我看到第五，想问，如果图中的比例是一比十万水渠大约要挖多长？那么我们测量图中这个垂线是四点七厘米，所以实际上是 四千七百米，这里是四点七，去乘以十万，求出来等于四十七万厘米，然后再把厘米转化为米，缩小一百倍，就等于四千七百米。现在我们来暂停视频，尝试做一下， 现在我们来核对答案。如图，下列说法正确的是哪一个呢？线段 ab 叫做点 b 到直线 ac 的 距离。错了，因为这里面 ab 这里他没有垂直符号，他不一定是垂直的，所以不对 b 选项。线段 a、 b 的 长度叫做点 a 到直线 bc 的 距离。不对，因为这里面也是没有垂直符号，不能确定。 线段 b、 d 长度叫做点 d 到线段 bc 的 距离。不对，因为点 d 在 这里到 bc 的 距离。应该是这样子的，是这一条不是 b、 d 的 长度。线段 b、 d 的 长度叫做点 b 到 ac 的 距离，这个才是正确的， 有垂直符号。好，现在我们来暂停视频，自己尝试做一下这道题。好，我们来核对答案。 在数学课上，同学们在练习或点 b 做线段 ac 所在直线的垂线段时，有一部分同学画下列四种图形正确的选择 a 选项。因为我的底边是 a、 c， 我的顶点是 b， 我 要画 a、 c 外面这一点。 b 的 垂线的话， a、 c 太短了，我们就要画延长线，延长线要画虚线，然后再画他的垂线，这垂线段是在这个三角形外面。好，现在我们暂停视频，自己尝试做一下。现在我们来核对答案。 如图，从位置 p 到直线公路 m n 共有四条小路，若用相同的速度行走，最快到达公路 m、 n 的 小道是哪一个呢？那就是垂直线段最短 p b 这一条选 b。 第三题，如图， ab 垂直于 bc， 垂足为 b， ab 是 等于三的 p 点。点 p 是 射线 bc 上的动点线段。 ap 的 长不可能是多少呢？ 这里面是不可能二点五的，因为这条斜边不可能短于直角边三。好，现在我们暂停视频，自己尝试做一下这两道题。好，现在来核对答案。 如图，点 o 在 直线 ab 上， c o 垂直于 d， o 于点 o。 角一是等于一百五十度的角三的度数是多少？ 因为角一跟角二是零补角，所以角二是等于一百八十度，减去一百五十度是等于三十度的，而角二跟角三又等于九十度，所以角三是等于九十。减去三十度，得出来是等于六十度的。选择 d 选项。 第五题，点 a 到直线 bc 的 距离，这个线段是 ac 的 长， bc 的 长是点 b 到线段 ac 的 距离。好，现在我们暂停视频，自己尝试做一下。 好，现在来核对答案。第六题，如图，在某村村头 p 处有一条河流，为方便出行，村民想在两岸搭起一座简易木桥，则在什么处搭建最短，那就是垂线段 p、 b 最短，所以在 b 处搭建最短。好，现在我们来看一下第七题，我们暂停视频，自己尝试做一下这道题， 现在我们来核对答案。如图， o 是 直线 ab 上的一点， o、 c 垂直于 o、 d， 垂直为 o。 若角 b、 o、 d 是 等于三十二度的，求 a、 o、 c 的 度数。第二小题，若角 a、 o、 c 比上角 b、 o、 d 是 二比一，求 b、 o、 d 的 度数。我们先回答第一题， 因为 o、 c 垂直于 o、 d， 所以 这个角 c、 o、 d 是 等于九十度的。又因为角 a、 o、 b 是 一个平角，所以 a、 o、 b 是 等于一百八十度的。 因为 b、 o、 d 等于三十二度，所以角 a、 o、 c 就 等于一百八十度。减去 b、 o、 d 这个三十二度，再减去 c、 o、 d， 这个九十度等于五十八度。 第二想问，因为 c、 o、 d 等于九十度， a、 o、 b 等于一百八十度， 角 a、 o、 c 加上角 b、 o、 d 就 等于一百八十度。减去直角 c、 o、 d。 九十度等于九十度，就因为他们的笔是二比一，所以角 a、 o、 c 是 等于两个角 b、 o、 d 的， 所以三个角 b、 o、 d 就 等于九十度，所以一个角 b、 o、 d 就 等于九十度。除以三等于三十度。 好，我们来总结一下这节课我们讲的垂线里面的垂线的定义，还讲的垂线的画法，就是 一放二靠，三移四挂。然后还讲了垂线的基本事实，就是在同一平面内过一点，有且只有一条直线与一直线垂直，垂线的性质是垂线段最短。好了，我们这节课就上到这里。

垂釉与创业有什么关联？垂釉是指釉料在高温下因流动性大而向下垂流，形成垂坠状的釉痕， 狼牙红垂足即为此现象。我们创业不能操之过急，规模不能盲目扩张，市场没有吃透就急于铺垫，团队没有练好就急于扩招，必然会导致利润下滑。

更了之后，走路出现了足下垂，为走路造成了困扰。这款足托你必须备上，无论腿粗腿细都可放心佩戴。足托的设计很好， 他可把下垂的脚掌往上提，避免走路刮底的情况。而且它分为两种款式，晚上睡觉也可使用。 b 抬不起来脚，你也是这样来纠正锻炼的吗？那你可能不知道，这款新型工具专为足下垂、足内翻的盆友设计， 行走时把一端固定在鞋带上，可防止脚尖下垂，改善走路拖地现象。两端魔术贴绑带固定调节。中间弹力绳可提拉脚踝背屈角度，这样固定保持，可缓解脚踝，灵活纠正足下垂。 就因为足下垂的问题，使得走路失去了平衡力，一不小心还会歪倒。后来多亏了家人给我淘来了这个好工具，将弹力绳穿过鞋带，把下垂的脚掌提起来， 这样可避免磨地的情况。他有两种款式，还能直接套在脚掌上固定足型。有足下垂的朋友，这款工具千万别错过！