单元刚度矩阵为什么是对称的

平面连单元包含两个节点，每个节点包含三个自由度，分为沿着轴向的拉压、垂直于轴向的弯曲以及围绕节点的扭转。首先构造平面连单元的位移函数。构造沿轴向拉压的位移函数 u x 等于 a， 零，加上 a e x。 这是一个关于长度改变量的简单现象方程垂直于转向的弯曲 v x， b 零加 b x 加上 b 二 x 的二次方，加上 b 三 x 三次方。勾到这个 v 函数的原则要满足唯一确定性和从低阶到高阶的原则。他的四阶导是 v， 零。 围绕节点扭转的物业函数，并不是构造的，它是基于量的小变形理论推导的。小变形的情况下，要求 c 的角很小，它宁能 c 等于 c， 它即关于 c 的函数。 c 的 x 等于挠度。对 x 的一届求导，求导公式为，对 xa 四方求导等于 ax 的 a 减一次方最多项是求导，等于分别对多项是 向求导带相加。围绕节点扭转的 v 函数为垂直于轴向弯曲函数的一阶倒数，即 c 大 x 乘以 b 一加上二 b 二 x 加上三 b 三 x 的二次方。引入单元节点条件，两个节点分别命名为矮节点和这节点定义单元长度为 l。 将节点条件带入关于三个最多分量的 v 函数。 首先将两个节点的轴向位移接点条件，即矮接点的 x 等于零，这接点的 x 等于 l。 分别带入位移函数 u x 等于 a， 零，加上 a e x， 得到 u i 等于 a， 零和 u g 等于 a， 零，加上 a e l。 用已知进店条件和单元长度 l 表示无疑函数中的系数 a 零和 a 一并 将其带回位移函数 u x 等于 a 零，加 a ex， 得到用已知接点条件和单元长的 l 表示的位移函数 ux 等于 ui， 加上 l 分之 u g 减去 uix。 将函数的向展开，并将节点位移分量 ui 和 ug 提取出来作为系数，表示为一函数。将这个为一函数转化为矩阵形式。用一个行阵乘以一个向来列阵的形式表示前面的这个行阵被称为形状函数，也就是差这函数。实际上这个表是轴向拉压的形状函数，也就是感单元的形状函数。 将另外两组节点的弯曲自由度分量和转角的分量分别带入构造的弯曲位移函数和用弯曲位移函数推倒的转角位移函数，分别得到用弯曲自由度分量 v i、 v j 和转角最后分量 c 大 i c 的这表示了四个 v 一函数系数 b 零 b 一、 b 二、 b 三。其中 l 为定义的单元长度是一个长数 v i c 大 i v s 等于零式的节点分量，所以可以直接推导出 b 零等于 v i， b e 等于 c 大 i v j 和 c 的 j v i s n l 时的接点分量。带入两个 v 函数之后，得到这两组用多项式表示的等式。给这两组等式配项在上下相减消 向等式两侧移动向提取 b 二，得到一个关于 b 二的多项式表达。把多项式中的 b 零、 b 一替换成节点自由度分量，得到一个用两个节点自由度分量表达 b 二的多项式。把求解出来的用节点自由度分量表达的 b 二以及 b 一带入 c 台 j 求解 b 三，带入 b 一、 b 二移动等式左右的项， 然后两侧分别除以三二方提取 b 三，再分解提取公用常数项，并化解得到一个用两个节点为一分量表达 b 三的多样式。到这里我们通过多样式的运算，得到了用节点这个分量表达 位移函数系数的样式。然后我们再把这些节点位移分量表达的位移函数系数代入构造的弯曲位移函数和推导得到的节点扭转位移函数，进而得到用节点自由的分量表达的弯曲位移函数和节点扭转位移函数。带入之后，节点的位移分量 vic 的 i， vgc 的 g 代替原系数的 b 零 b 一 b 二 b。 然后分解带入的多项式，分别提取节点为一分量作为新的多项式系数。将弯曲为一函数和扭转为一函数的多项式转化为矩阵和项链。列阵乘机的形式包括前面推导得到的轴向拉压的为一函数，前面的行矩阵分别是关于两单元脑曲和转角的形状函数 平面的单元共计两个节点，每个节点三个自由度，共计包含六个自由度，需要一个六节向量列阵，也就是包含 u i v i c 塔， u g， v g c。 在这六个自由度分量的列阵，这能够进行矩阵的成绩运算。我们把这个四阶航阵的列数用零元出口的方式由四阶补齐到六阶。接下来我们用直接平衡法推到梁那样的钢头矩阵，这里需要引入单元的节点力分量分别为两个节点的等效节点力， 包括两个节点的轴向力、简历弯距。首先我们需要引入单元的轴向正应变，也就是梁的拉压应变。轴向应变是关于轴向不移的一级导数， 即长度的改变量比上原长度一对位移函数进行一届求导。这个表达式中的矩阵为线性多样式转化的矩阵，因此对其求导，即对这个矩阵的元素进行分配。求导，得到几个函数的矩阵乘以表达式节点的轴向力， f i x 等于 e a 乘以长度改变量除以原长度， e a 乘以应变， f selen a 作为长数直接呈入矩阵的每个元素，得到关于节点轴向力的用矩阵和节点自由度分量的向量。列阵成绩的表达是 以这一方向为正。接下来求解单元节点的简历和弯距的表达是两的，弯距根据欧拉挠求文方程，等于挠度。关于 x 轴的二节倒数， d 方 v x 比上 d x 方是一个复合函数，同时对 x 是求导，等于函数 v x 的一阶倒数，等于对行距阵以向量乘积。表达式中的行距阵中的元素分别进行一阶求导，同时再乘以 ea 及抗风刚度量解它的简历为弯距对 x 轴的一届导数的牢度。关于 x 轴的三界导数，同样，这里 d 的三四方 v x 比呢？ dx 三四方也是一个复合函数。同时对 x 轴求导，等于函数 v x 的二阶导数，等于对矩阵以限量乘机。表达式中的航序阵的元素分别进行二届求导，再乘上 e， i 及抗风刚度。 面对玩具和简历表达失踪的航矩阵的元素进行降低球导运算，并将抗王刚斗一矮以常数的形式呈露。矩阵 到云南之后，弯距表达式的横震中包含 x 的一阶项，简历表达式中全部为常数项，其中简历以矮几点方向为正，几点力喝载条件及矮几点的 s、 n 零这几点的 s、 l。 带入几点力喝点的矩阵表达式 实际上就是带入弯距的距离表达式，因为只有弯距表达式的行政中包含 x 的一阶的。像带入之后得到关于节点简历和弯距的距离表达式， 同时连列前面推导得到的轴力矩阵的表达式得到格式一致的六度矩阵表达式，他们是关于节点力、等效、赫载、抗温、抗压、刚度和节点自由分量三者之间的关系表达式。 这些表达式都包含了关于节点最后分量的六节项链列阵，跟这些表达式进行合并。等式左侧得到的是节点力和载分量列阵，这是一个六节的项列列阵。等式右侧包含 共用的关于节点自由分量的六节项链列阵，同时还得到了一个关于抗王、抗压、刚度以及单元长度等组成元素构成的一个六阶乘以六阶的方阵，这个方阵就是我们要推导的关于平面两阶的两单元的刚度矩阵。刚度矩阵是一个方阵， 缸斗矩阵的维度以结构的自由度数相同，每个自由度对应一个行和一个列。缸斗矩阵对于线弹性结构是对称的结构的。缸斗矩阵是一个悉数矩阵，大部分元素都是零，有奇异性和非龄带动分布的特征。 ok。