垂心奔驰定理向量公式的证明

前面我们介绍了平面项链的奔驰定理，根据奔驰定理，我们可以推出四星的一些项链形式，这里面我们继续讲垂星，垂星是三角形三条高线的焦点， 那么这里面 hbc 的面积我们用二分之一 hbhc 乘三这个角来表示，注意 afhe 这个四边形有两个角是直角，所以对角会互补，这两角互补的话，那就是推出这个角，你看也就是跟 a 角互补，赛意值会相当，并且这个角呢就是角 a 同里 推出这个角是角 b， 扩散 a 是 h f b 上 h b， 扩散 a b 呢是 h f b 上 h a 可以推出 h a h b 的比值就是扩散 a 与扩散 a b 的比值同样 b c 一样，那么三个三角形的面积之比，最后就可以转化成三个角的正确值之比。 最后我们再根据我们讲的奔驰定理，就能推出垂心的这个限量形式了。最后还是两道例题，第二题呢，更有难度。

a 向量奔驰定律，三角形内一点 p， p， b， c 的面积数乘所对的向量 p a， 加上 t， a， c 的三角形面积数乘所对的项 p b， 再加上三角形 p a， b 的面积竖乘所对应的向量 p c， 哎，这三个的和是零向量。 从 p 点出发，向三个顶点引三个项链，抽象看他类似于奔驰的车标。所以， 所以呢，我们把这个定理称之为向量奔驰定理。这个定理呢，从理解的基础上很好记忆， 也就是说， a 所对应的三角形 p b， c， 我们减去为 s a， 它竖成 p a。 同样的 s b， p b， s a， p c 这三者的核是零项量。 这个二级结论呢，很好记忆，我们更关注的是它的证明，其中所体现的通法。 第一项链分解法，注意到这个结论是一 一个向量的等式，右边呢是零向量，我们很容易想到把其中一部分通过一项变成这样的形式， 如果再把 s c 除过来，那么这不就是一个项链。当然，这个是 p c 的反项链，这个项链是另外两个项链的一个线性组合。 很容易想到，这不就是平面项链基本定理吗？平面内如果有两个不贡献的项链，那么任一个项链都 可以被唯一的分解为这两个像量的线性组合。那么接下来呢，我们无非就要证明这个 lemond 和 mu， 哎，就是这两个三角形的面积比 好了。思路很明确，我们接下来呢，证明。为此呢，我们选定 p a 和 p b 作为两个 g 项量，要把这个负 p c 进行分解。首先， p c 反向延长到 p d 是得这两者相等。于是呢， p d 这个相量当然就是 p c 的反向量。接下来分解 斜，当然过 d 点做 b e 与 p a 是平行的，那么它与 b p 交点为地点，与 b c 交点呢，即为 f 点。 这样的话呢， p e 与 p b 的比值当然就是 g s 与 g b 的比值。 注意到刚才这两者是相等的，所以呢， f g 与 g c 是相等， 那么这两个的比等于这两个的比，其中这一部分等于这一部分， 而这二者的比当然就是 s c 与 s b。 哎，我们有这个线段笔，等于这两个三角形的面积，于是方向相同的两个项链，他们中间的数乘系数就是 s b b s c。 同样道理，我们可以得出 p d 这个项量在 p a 上的分量， p h 等于跟它同构的一个式子， 于是 p c 的反向量，也就是 p d， 使这两个分量的和，把这两个比值带入，然后把 s c 乘到左边， 然后再把这一项移过去。哎，并立，自然而然就整出来。 接下来呢，我们看通法二，哎，坐标法像量的另外一套通法就是坐标法， 我们以 p 点为圆心，建立一个直角坐标系。现在呢，我们需要把所有的条件结论都坐标化，这点 a 点 b 点 c 坐标。 接下来呢， p a 由于 p 是圆点嘛，所以 p a 的下量当然就是 x c。 百一 p b p c 类似， 不妨设 a b c 啊，是一个逆时针方向，那么 p a b 也是一个逆时针方向。三角形 p a b t a b 哎，这个三角形面积呢，我们在教材中有它的公式啊， b 版教材必修第三册第八十四页，同学们可以翻一下。 那么它的面积公式呢？是它们的坐标交叉相减，取决对值 再乘一半。如果这是逆时针方向，那么绝对是符号，可以脱掉啊，如果是顺时针呢，那么要交换一下位置。 好，我们把 p a， p c， p b 项链都可以用坐标表示，哎，三个面积也都可以通过坐标表示，那这个问题不 就迎刃而解吗？我们来看，把 s a 带进去，注意 s， a 呢是 a 点所对应的 p b， c 啊， b 点呢，是 x r 斗 y r 啊， c 点是 x 三到 y 三，哎，所以这二者呢，出来的面积啊，注意角码，这是第一个，那 p a 呢？当然是它，同样 这个式子呢，比较长，我们呢，哎，先看一看它的 x 分量啊，这有两分量， x 分量，外分量呢， 那么 x 分量等于这一部分乘以 x 一，加上这一部分乘以 x 二，加上这一部分乘以 x 三。那么这个呢，显然有六项啊，三个正的，三个负的，我们把它整理， 哎，发现找两两相销，哎，当然 x 分量就是零，同样道理啊，外分量也是零，那么这个项量他就是零，零当然就是零销量。结论用完了， 其实我们在教辅书上还能够看到很多种关于向量奔驰定理的证明，我们在证明当中，首先要回归通法来理解它的本质，其次呢，我们再注意一些手法。 好，最后呢，我们讲一讲三角形四心的向量式。由于有这样的一个向量奔驰定理， 那么如果 p 是三角形的重心，也就是三条中线的交点，这个三角形被分成了三部分， 显然它的面积比呢，是一比一比一，把这三个比值呢带进去。所以呢，它对应的限量条件就是 p a， p p， p c 三个相量的和是零项量， 也就是说，如果 p 式重心，那么它的等价条件是这个向量等式成立。 第二，如果 p 是内心，也就是内切圆的圆心，也就是三条角平 分线的交点，那么这个时候呢，这三个三角形的面积比，我们先看这两个，他们的高都是那群半径，所以面积比呢，是小 a 比上小 b。 答案，这三个的 b 当然就是小 a， 小 b， 小 c 的 beach 把这三个笔直带入到这里，于是呢，就有这样的一个项链的等式， 如果 peach 内心，但要驾驭这个想要条件成立 好，关于外心，也就是外结缘的原心，关于垂心，也就是三条高线的交点。哎，它的 相应的三个三角形的面积比，你来推一下，然后就可以得到相应的下量式条件 好。最后，新高一，新高二，新高三，高端在线一对一，跟着我迈入高中数学新世界， 理解高中数学新思维，掌握高考数学重难点，欢迎报名！

高中数学当中有一个听上去很贵，用起来很酷的定理叫奔驰定理。咱们今天来看一道例题，已知 o 点在三角形 a、 b、 c 的内部，并且有 o、 a 向量，加两倍的 o， b 向量，加三倍的 o、 c 向量等于零向量， 求这三个三角形的面积之比是多少？首先咱们来介绍一下什么是奔驰定理。在三角形 abc 中， o 是三角形内部一点， 如果 x 倍的 o、 a 向量加上 y 倍的 o、 b 向量，再加上 z 倍的 o、 c 向量等于零向量，那么三角形 a、 o、 b 的面积 和三角形 a、 o、 c 的面积和三角形 b、 o、 c 的面积之比恰好就是这几个系数之 比。那么比例分别是谁？ a、 o、 b 对应的系数应该是 o、 c 的系数 z， a、 o、 c 对应的应该是 o、 b 下降的系数， 也就是 y、 b、 o、 c 对应的应该是 o， a 的系数，也就是 x。 知道这个结论之后，咱们来看这道题目。 a、 o、 b 的面积应该是 o、 c 的系数，也就是三 aoc 的面积，也就是 ob 的系数二， boc 的面积就是 oa 的系数一，所以最终答案就是三比二。比一。知道了奔驰定理，咱们就可以快速地求解三个三角形的面积之比。

有同学在评论区留言说想听奔驰经理这个例题，那我们一起来看一下。三角形 abc 是单位元 o 的内减三十行，所谓的单位元就指的是半径为的一个圆， 然后已知三倍的 o a 加四倍的 ob 加上五倍的 oc， 等于零项链，那么这是一个项链关系，然后求的是面积，所以我们应该考虑奔驰定理。那奔驰定理呢？我们应该知道， o、 a、 o、 b、 o、 c 他们所对应的系数加起来等于零，他们所对应的系数刚好等于他们的面积比，也就是说 这个 a 对应这块面积 o、 b， c 这块面积是三份，那么同样 b 对应这块面积应该是四份，这回应该是五份，他仅仅反映的是一个比例，并不是数量。然后呢？呃，这个题目咱要解的话，咱们需要求出其中一块的数量，那么怎么求呢？这个题目里边我们唯一知道的就是这个圆的半径是一，但是我们不足以求面积，那我们 需要更多的信息，这个项链里边除了表示奔驰经理的面积关系之外，我们还可以体现出另外一个信息，就是三四五，我们一个非常熟悉，所以这题目呢，咱可以做这样一个操作，三倍的 ov 加上四倍的 ob， 等于负五倍的 oc， 我为什么要移到两边呢？因为他们平方和刚好是有关系的，那我左右两边分别平方下， 左边平方之后得的是九 oa 方，加上十六倍的 ob 方， 再加上二三六四六二十四笔的 ov 成功。 b， 然后呢，右边是什么？就是简单就是二十五 oc 的平方，但是要注意这个 o oeoboc 是不是都是半价，也就是我们都是一，也就说这个九加十六应该是二十五，加上二十四， b 的 oa 乘上 ob 等于二十五，乘上 o c， o c 也是一，对吧？那这样我们可以得出 o 为乘上 o b 应该等于零。那既然等于零，说明 o 为和 o b 是垂直关系啊。然后他的两条边上都是一 直角，三角形变成为一，所以它的面积应该是二分之一。再根据比例我们可以轻松求出这个三角形 a b 四，面积应该是五分之十二。

数不是很整齐，但是大家要学会奔驰定律的这种面积的一种应用。哈喽同学们，今天教给大家一个向量领域一个常用的大招，叫做奔驰定律，大家来一起来看这道例题，看看我们的定律内容应该怎么去运用出来。 那么一个三角形 a b c， 说 m 点呢？是它内部的一个垂心，那什么叫垂心？大家应该都知道三条垂线，三条高的一个焦点啊，那么它还有什么条件呢？说三倍的 m a 加四倍 m b 加五倍 m c 等于零向量，那么这样的一个两个条件，让咱求 cosine b 的 多少， 大家可以点个暂停，自己尝试一下，看能不能做对， ok， 屏幕前的家长请做好收藏。大家一起来回顾一下什么叫奔驰定律，奔驰定律就是我们的三角形内部任意一个点，那么是不是把三角形切成了 三份，大家看能理解吧？那么三份有三个面积啊，那这个叫 s 一， 这叫 s 二，这叫 s 三的话，大家看 s 一 乘以这个向量，向量 a， 向量 a 加上 s 二乘以这个向量， 这叫向量 b 吧，向量 b 啊，再加上 s 三乘以这个向量，叫向量 c， ok， 等于零向量。有这个面积乘以这个向量，加上这个面积，乘以这个向量。加这个面积，乘以这个向量，等于零向量。 那么这个其实应用还是比较广的，比如说老师给大家举一个这道题，咱先放着啊，咱们马上去讲，比如说咱们经常遇到的这个重心，大家来看重心是不是中点呢啊？重心，大家看中点，这叫重心，那么它的这几个面积有什么样的？一个就是说这个是叫 o， 这叫 abc， 它的 o a 和 oboc 有 什么样的一个结论呢？就是奔驰定律推出来的，那么大家注意这是重心，那这两个是，这是终点，它俩面积是不是一样啊？ 他俩面积一样，大家来看这这两个三角形，他们的底边这个重心，大家都知道二比一，所以说这俩的面积是不是他二倍啊？所以说就能推出他俩一样，跟他相等，他他他他他面积都一样， 那么面积都一样的话，会推出什么呢？会推出这个面积是两份，这个面积也是两份，这个面积也是两份。那么二二二是不是约掉了，对不对？那约掉了就会得出来， o a 加 o b 加 o c 等于零向量，大家看这就是重心的一个重要结论，这就是由奔驰定律推出来的。 ok， 我 们可以继续探索一下啊，老师多说两句关于奔驰定律，那么大家可以看一下角平分线，角平分线的焦点叫做 内心，大家看知道吧？内心因为角平分线上的点到三边的距离都相等，你看内切圆圆心嘛，对不对？那么大家看，这个边叫 a， 这个边这个角叫 a， 这边叫小 a， 这个点叫 b， 这边叫小 b， 这个点叫 c， 这个边叫小 c。 那 么大家注意，这个面积 是不是等于 c 边乘以 r 二除以二，这个面积 a o c 是 不是等于小编乘以 r 二除以二， 那么这个面积是不是等于小，这个边乘以 r 除以二，大家有没有发现 r 都一样啊？所以说这个面积就正比于因为高都一样，正比于边长底边边长，所以说它就可以得出来 s 一， 比如这个边就对比，对比出什么小 a 乘以 o a 加上小 b 乘以 o b 加上小 c 乘以 o c 等于零，也就是说内心他就有一个重要的结论，边乘以向量加上边乘以向量加边乘以向量等于零，也就是类似于这种相的重要的推论，它都是由奔驰定律来衍生出来的，所以奔驰定律是一个他们的源头，大家还是要掌握的。 ok， 我 们根据这个奔驰定律来解现在这样的一道例题，大家来看， 那么我们再做题，三倍的 m a， 说明 m a 这条向量对应的它是三份的一个面积，我不是说它面积得三，是它面积是占三份，大家看能理解吧？比例，那么 m b 对 应的呢？ m b 对 应的这个面积是四份，那么 m c 对 应的呢？这个面积是五份，大家看到这应该是很简单的，对不对？那么总面积是十二份，对吧？ 那么我们求 cosine b， 大家注意，咱们做三条辅助线，因为是垂线呢，我们把它垂下去，这是垂直，这是垂直啊，这个也是垂直， 大家看这个 b 角是不是跟这个角互余啊？那么这个角是不是跟这个角互余啊？因为这垂直对不对？所以说我们要求的其实是，哎，这个角这里是对顶啊，对吧？其实我们要求的是这两个角，大家看能理解吧？这两个角的口塞， 那么好，大家跟上老师的节奏，那么这个边我们设为 x 的 化，设为 x， 也就是这个，这个点叫 m， 这个点叫，呃，这么的吧，叫嘚 e f， 那 么 m f 等于 x 的 化，请问大家 f c 等于什么？ 哎，问题来了， f c 是 不是这个三角形的高啊？那么这两三角形是不是同比 不等高，那么也就是面积之比，就是边高之比，对不对？那面积之比我们都知道，小的比大的应该是五比十二啊，对不对？所以说整个高，这个是 x 的 话，整个高应该是几 x 呢？应该是五分之十二 x， 大家看能理解吧？也就是整体占十二份，他占五份，五比十二，五比十二，他要是五 x， 他 十二 x， 他 是 x， 他 是五分之十二 x， 大家看能理解吧？ ok， 同学们，这个是 x， 整体是五分之十二 x， 那 么 c m 就 应该是五分之七 x， 也是 c m 等于五分之七 x， 对 不对？那么同理我们设谁呢？我们设这条边，因为我们就口在你，他不得他比他吗？对不对？这条边也就是嘚 m， 大家来跟上 d m， 我 们设它为 y 的 话，这个长度的 y， 大家看啊，那么这个总长度的几呢？我们看这个三角形 b c m 这三角形和 b c a 这两三角形，以这个为底，这个高和这个高之比是几呢？ 它的面积是三，它的面积是十二，一比四，那么也就是这个长度是 y， 那 总长度就是四 y， 那 么这个 a m 就 应该是 三 y， 大家看能理解吧？这个是 y， 这个是四 y， 那 这不就是三 y 吗？四减一不得三吗？对吧？所以我们来得到这是三 y， 这个是 y， 那 么好，在三角形 r t 三角形的 c m 中，口在 b， 但是我就写口在 b 了， b 角等于这个角的余角等于这个角，大家看能明白吧？口在 b 等于什么呢？等于 y 比 y 比五分之七 x， 五分之七 x， 那 么在二 t 三角形 m f a 中， m f a 中这个角，大家看这不是对顶角吗？对吧？口算等于 x 比三 y， 口算 b 等于 x 比三 y， 也就是这两个数它是相等的，我们可以把 x y 求出来，对不对？那么我们求一下， y 除以五分之七 x 等于 x 比三 y， 我 们对角相乘三 y 方等于五分之七 x 方，我们要把谁求出来呢？我们把 x 比 y 求出来，把 y 挪过来， x 方除以 y 方， 把它挪过去，应该等于三五一十五除以七，那么开根号就能得到。 x 比 y 等于根号下十五比七，那么 x 比 y 再除以三，不就得答案吗？所以说口无杂音， b 应该等于他除以三，也就三分之一乘以根号下十五比七，那么这个东西我们把它由理化就行了。上下同乘，根号七，也就是二十一分之根号 一百零五，那这个数应该是不太能约了吧？呃，他是等于三乘三十五五七，应该是约不开了。答案就等于二十一分之根号一百零五。数不是很整齐，但是大家要学会奔驰定律的这种面积的一种应用。

速学奔驰定律，这是平面向量中非常重要的结论，告诉你们一个秘密，学会奔驰定律，长大可以开奔驰！大部分学生都熟悉这个定律，但是总结不到位，快来和主播一起速记四心与奔驰定律的结论。王展的展， 你那么聪明，我想你已经学会了。快来康康这道题，通过题中条件想到奔驰定律，推出各个三角形的比值，直接计算搞定。