绕y轴旋转的旋转体体积公式推导图
好，同学们好，今天我们来看一下高中数学里面关于旋转体体积的一个球法，那么我们以椭圆为例啊，说一个椭圆绕着 y 轴旋转啊，球它所形制在一个几何体，也就是椭球的体积， 那我们高中阶段求啊旋转体的体积啊，两个思路。第一个就是利用我们所学过的主根原理啊，主根原理，主根原理的关键在于确定洁面的啊，面积特点，那我们知道这个椭圆绕着外轴旋转所形成的洁面，他应该是一个圆，所以说我们要找到这个圆的半径， 有面积和半径的关系，那么半径的话，我们可以清晰的看到它是和这样一个变量是有关系的，那我们可以看一看它等于谁的平方啊，等于谁的平方，那么这个平方就应该是啊，就应该是 b 分之 a y 啊，另 x 等于 b 分之 a y 的话，那我们就可以找到这样一条直线，就是 y 等于 a 分之 b x， y 等于 b x， 那么 也就是说这一部分的体积，他是由这样一条直线绕着外头旋转而来的，那么旋转而来的应该是一个，应该是一个什么圆锥的结合体，对吧？应该是一个圆锥的结合体，所以说这个时候啊，我们有组合原理，我们就可以得到啊，这样一个半妥球的一个体积就等于圆柱啊，这样一个圆柱的体积，对吧？这样一个圆柱的体积，剪掉一个 圆锥的一个体积啊，这个圆锥啊，这样一个圆锥的体积。好，那么这样的话计算就比较简单啊，比较简单，所以说最关键的就是根据这样一个洁面的特点去构造这样一个结合体， 那么第二种方法我们还可以采用啊，我们啊这个经常用的一个方法叫无限分割，所谓无限分割，还是我们看这个半球，我们把这个零到 b， 这个，呃，这个这个短半轴进行无限分割。分割的话，那你开始是均分啊，我们采用的方法是对的，均分分成恩分，因为这样的话，我可以算每一个每一份的 高度都是 n 分之 b， 这就是均分的一个好处。那均分完了之后，因为无限分割，所以说可以把它近似的看成一个小的圆柱体，小的圆柱体，那么这个时候啊，这个时候他的一个半径啊，这这一条边半径他就比较重要了，那么半径我们去找一找规律，第一个就应该是 a， 第二个就应该是把 a 分之 b 带入这样一个 圆方程求出来啊，这个也是一个个的去求一下啊，难度不大，求出来结果就是这样的，那么你看这里是啊， b 方，二 b 方，接下来就是三 b 方，四 b 方， 好，这里啊，注意一下，这个规律比较明显，那么接下来这个半妥球的一个体积，我们就可以用极限的方法啊，相当于把这 n 个 圆柱体，我们来取一个极限啊，体积求和，那么把我们啊这个公式带进去，对吧？底面乘以高啊，然后啊继续啊去化解，别看它式的复杂，但是它的规律性非常明显啊，非常明显，所以说整理一下就会得到这样一个公式，这个公式在数列当中啊，也是比较常见的啊，比较常见的， 那么再运用求极限的法则，直接就出来了啊，直接就出来了，那么这个妥球的体积，我们求出来也是三分之四，拍 a 方臂，和我们前面球的方法一致。那么第三种方法，我们就是啊，利用微积分的一个方法啊，可能有些同学学过，有些同学没学过啊，那这里主要就是一个积分，积分实际上就是在某一个方向上，对某一个量的一个累炸 啊，某一个方向上某一个量累加，那么显然这里我们是在啊这个 y 轴方向上，从负臂到臂啊，对这样一个面积进行累加，形成了这样一个旋转体， 那么复 b 到 b， 我们这么去表示，那么对面积啊，形成了一个累加时代， y 轴的方向，我们后面有一个 d y， d y 实际上是不是 that y， 对吧？ that y， 然后这里是面积的一个表达式，所以说应该是派二方。 刚才我们求得了这样一个半径啊，放进去就可以了，好，那么这样一个表达式，就是啊，就是这样，就这样，好，这是一个半径，那我们怎么去求他？实际上就是啊，求导航 圆函数即可啊，圆函数即可，那么求和这个圆函数，他从负 b 到 b 积分，相当于把 b 带入这个式子啊，减去把副 b 带入这个式子上一个结果，那进而就得到了这样一个表示啊，也就是把 b 带进去，把副 b 带进去啊，一减就要出来了，拓球的一个体积， 这是啊，用积分的方法啊，用积分方法，如果你学过微积分，那么你对无限分割的思想也有一个深刻的认知啊，那我们再来看一下， 如果我绕着 x 轴去旋转啊，一样的，我需要把 x 轴方向这个面积啊给它表达出来，对，表达出来，那么这个显示就是钣金，对吧？就是这个钣金，这个钣金。 那么积分的话也是从啊，这里应该是从啊负 a， sorry， 这里又是负 a 到 a 的一个积分啊，那么负 a 到 a 积分，积分求得了圆函数，圆函数求出来之后，然后直接做差，就出来了一个三分之四判 b 方 a， 这里有点区别，对吧？也就是说绕着 x 轴旋转和绕着 y 轴旋转得到的这个头球，这个体积，不是啊， 不是同一个拖球。好，今天我们就分享到这里，感谢大家。
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07:23查看AI文稿AI文稿啊，接下来给大家讲一个求旋转 t t 级的新的方法，叫套筒法或叫珠壳法，也从地方呢叫珠壳法。这个东西无所谓啊， 这个东西它是计算 xoy 坐标面上的图形绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积公式。当然你绕 x 轴旋转也是一样的，原理是一样的啊， 他这个思路是什么意思呢？就将旋转体我分割成很多很多很薄的套筒和柱壳一样的，然后利用积分把这些柱壳的体积呢累加起来，得到旋转体的体积。 他的方便之处在于，虽然我的图形是绕着外轴旋转，但是我的机诸科法积分是沿着 x 轴积分，那这样做 的时候呢？会计算比较方便，你比如说咱们见过俄罗斯套娃，对吧？一层套一层，一层套一层，那洋葱一层包一层，一层包一层，那比如说我以洋葱为例， 我这个洋葱的体积是多少呢？那我就把每一层的体积求出来，这样一层一层的累加起来，是不是就是总共的体积啊？就是这个意思。 好，那我们来个举个例子，我们说看由连续曲线 y 等于 f， x， 直线 x 等于 a， x 等于 b 以及 x 轴就围成了这个曲边题型， 那曲面题型是这样的，就是绕外轴旋转一周而得到的旋转体的体积。哎，现在咱们大家把这个旋转体的体积在脑子里，先想想 一下他是个什么样的形状。好，我们来看一下啊，假设我有一块黄色的区域，就单黄色这块区域， 我绕着 x y 轴旋转一周以后，是不是类似一个空心的圆柱，对吧？或者空心的这个套套筒一样的， 或者套筒一样的这个东西， 那整个的区域是不是每一个？如果我切割成无数块的话，每一个这样一层一层切，是不是就有无数个这样的小套筒，或者空心的珠壳一样的东西？好，假设我把它分割成这么几块，那最外层是个蓝色 的，呃，中间紫色、黄色的，再是淡蓝色，再是绿色，那他的泡面图是不是就这个东西？那俯视图是不就是最外层是个蓝色、紫色、黄色啊，淡蓝色、绿色这么无数个小圆柱，对吧？ 那我这个总的体积，我是不是只需要把这个蓝色的体积加上这个紫色的小套筒的体积？那就这个套筒啊，一层套一层吗？对吧？或者是小，我们说叫什么柱壳，这个东西黄色的、淡蓝色的、绿色的，我累加起来是不是就总的体积？ 当然如果我分分的非常非常非常的细的话，那这个体积就很精确。那比如说我举个例子，那我把这个每一每一个的，呃套筒啊，这个柱壳，他的这个宽度啊，这个宽度，我都 状态是 dx 这么一个宽度，那他的非就是非，非常非常非常细，然后我累加起来是不是就是我的整个的旋转体的体积？ 比如说，那我们要累加的话，我以黄色的这块体积，那这个黄色的这个套筒，这个小珠壳，它的体积是怎么求呢？ 那举个例子，我们说既然绕着这一周啊，他的体积，我如果从中间割一刀的话，展开是不个类似个小的长方体，那这个长方体的，这是他的长， 这是他的高，嗯，这一块就是他的宽度，那他的长其实就是个小圆柱，这个小套筒，他的圆的底面积，圆的周长，对吧？就这个东 东西，是不是就这个长度啊？圆的周长等于二派二。这个半径是几呢？二十几呢？就正好到这个外轴的距离是 x， 那就算就是二派 x， 那这个高度是不？就在这一刻，他的 y 的值，也就是 fx 值，所以这个高度就是他的 fx。 那宽度，咱们说了，我每一层都是让他的宽是等 相等的都是 d x， 那再乘以，再乘以啊，乘以 y， 再乘以这一个，是不就整个这个小圆？嗯，黄色的 叫套筒的体积或者小柱壳的体积，那微黄，这不就长乘以宽乘以高就等于二太 x 色高是 y， 乘以宽是 d x， 或者你写成二派 x f x d x 是不是一样的 啊？那这是黄色的，那其余的是不是也是一样？我把它累加起来就行了，所以总的体积 是二派 xydx， 那多少个累加呢？从 a 到 b 这么多小套筒小柱盒，体积加起来就行了，所以他的积分区间是 a 到 b。 好，这就是咱们这个旋转体的体积，所以是 v 等于二派 x y d x 从 a 到 b 上的积分。好，这就是我们所说的诸客法或套筒法。 好，举个例子，呃，求 y 等于 c x 与 x 轴所围成的图形绕 y 轴所得的旋转体的体积。那我们先把图像简单易化，那它这个绕 y 轴，这个旋转体的体积怎么求呢？咱们说 为，呃，我随便画一个吧，那我求这个最窝这一个的小。那个套筒的体积是二派， 因为他的周长是不二派 x 到这里的距离是 x 这一个圆周，那 y 是这一颗的 y， 宽是这个 dx。 那多少个这样的小套筒小柱壳加起来呢？从零到派上这么多啊，所以位就等于零到派上二 二派 x。 好，这个 y 是这个高度是几呢？高度是 y， 等于 cx， 那再乘以 cx 就行了。好，这就是我绕着 y 轴所得的旋转的体的体积。 那绕 x 轴呢？如果绕 x 轴旋转怎么办呢？也是一样，你也可以把它当成一个无数个这样的小套筒，一层一层套起来的，对吧？ 好，嗯，这就是我们所说的住客法或叫套筒法。把这个思路好好的想一下，一层一层的累加。怎么累加？
213一个数学老师
03:50查看AI文稿AI文稿圆转体的题型有两种，第一个呢，洁面法，这个我把原理讲一讲，假设我们有一个几何体，然后呢，我有一个坐标轴， 在这个错爆轴上任何一点，比如这个 x 这个点，你去找这个几何体啊，它的这个洁面 s x 如果都是已知的，然后呢， x 的范围是在 a 和 b 之间，这个几何体的体积就等于直接对 s x 求定几边。我们简单的叙述一下，你在 x 轴上画一个长度为 d x 的小区间角，这边是 x 加 d x 这个点， 这一段上面这一小节，它的体积，当我这个 d x 比较细的时候，这一小节是不是即使可以看成是一个柱体， 主体的体积是不是等于底面积乘以高？它的底面积呢？是 s x， 高是 d x， 所以说底面积乘以高是不是 s x 乘以 d x， 然后你再把所有的小区间加起来取极线，是不是就是 a 到 必上的积分？就这个公式这么来的。就说啊，你只要能够把任何一个地方的解面积都找出来，我是不是就可以求体积了？ 讲一个经典的应用，小学就跟你讲过的一个东西，圆锥的体积，我们来算一算，他等于底面积乘以高，再乘个三分之一，对不对？我们假设这个圆锥，他的底面半径是 r， 高是 h， 那他的体积建个坐标轴，圆锥的顶点在我们设成圆点，那么下面是不是就是 h？ 根据刚才的思想，我只要把任何一点 x 这个位置，这个地方，他过来结麦几，算出来是不就行？这个结出来是不是一个圆？我这样做个高跟大家交易，这个点到最下面，这下面这排是大耳，整个这个长度 是不等于 h， 我们已知的是不是这一段是 x 想求的是不是这一段？假设是 r， 用比例这两个三角形是相似的，那么小 r 比大 r 是不等于 x 比 h 这个小于的半径就等于 h 分之大 r 再乘个 x， 我们的洁面积派倍的 h 分之大 r 小 x， 它的平方洁面积出来了，我拿这个洁面积派儿方除以 h 方，然后呢？ x 方，这不零到 h 积分就行， 结果呢？你看三分之派 h 方分之 r 方，是不是 x 立方 h 零往里带就三分之派 r 方乘以 h 算出来了。企业面积是已知的，我们面积就能算出来。 那么接下来旋转题啊，最基本的公式是这个假设一条曲线 y 等于 f x， 这个 x 呢？从 a 到 b， 我们拿的这一部分呢？他绕着 x 轴来旋转，那这个体积是多少？ 其实你按照前面的思路找个截面去，你在 x 这个点，你做一个截面截出来，你看又是旋转题啊，但你这个截出来是不是一个圆圆的半截？就是 是 s， 就是 f x x x 是不是就等于派倍的 f x 的平方 v 就等于从 a 到 b， 派倍的 f x 的平方 d x。 我们还有些别的形状的图形，其他形状，其实公式你不用每个都去背它，你记得我只要把这个节面积找出来，然后再积分是不是就可以了？我们第六题，平面区域是由这个曲线它与 x 轴手围成 d， 绕 x 轴旋转 所得到的这个旋转体的体积。我们来画一下，它在零到 pa 之间， x 等于零和 pa 的时候， y 是不是都是零？这这两个端的都是相交的，它 x 的回程是不是这样一个图形？那你看这个要绕着 x 的旋转体体积直接写派倍的 f， x 的平方是不算基本就行派倍的零到一根号 x 乘以上引派 x 的平方 dx， 也就是派倍的零到一 x 乘以上引派 x 的平方 d x， 然后你算这个定积分就行。另， u 等于派 x， 派呢，你看，从零派这个 x 呢，是等于派分之 u 的善于 u 的平方 d x 呢，等于派分之一。 由派分之一零到派 u 乘以三引优的平方 d 优，那就是二分之一零到派善引优的平方 d 优，等于他在零到二分之派上积分的两倍。所以呢，就直接是这个结果呢，就是四分的派完事了。
906李擂讲考研数学
03:08查看AI文稿AI文稿老师，这个题也没见过呀。啊，这道题啊，你看他是题做标让你求旋转题的题，你没见过是吧？嗯，很正常。那这道题怎么做呢？要用到一个新的公式啊，用什么呢？我们可以通过二重积分来求旋转题的题题啊，他的公式啊，是这样子 好， v 等于二派 rdxd 版算二十几的啊。所以呢，这个儿啊，它是呢地内点到旋转头的距离啊。你比如，如果你知道 s 手转，这里距离的是外或者是外的绝对值，让外的手转呢，这里距离的是 x 或者是 x 的绝对值。 好，那么这个故事怎么来的呢？我们简单的推倒一下，假设啊，我们有一个平面区域地，现在绕着这个矮子走，算 好，那他的体力可以怎么算了？你看吧，我们在区域地上挖一个小块，这个面积是 dx 地板，你想这一小块绕着，哎，手转出来什么形状？老师拿了个胶管给他比划一下，你看啊，他转出来之后是不是大概是这么一个胶管的形状， 那这个胶管的体力怎么算呢？你把它剪开是吧，剪开都是怎么样？这是一个柱体，嗯啊，那不一定是圆柱，它这个里面不一定是圆啊，那不管怎么说，反正你这个里面是多少？它就是以那个为体的一个柱体，近视的是一个柱体，对不对？ 好，也就是大概是这样一个形状的，是不是啊，那么他的体积是多少呢？你看啊，体面积是 dx 乘以底板，嗯，这个叉都是多少？ 这个长度，你看是不是这样转在一圈的周长是吧，那就是二排 r， 这个 r 是什么呢？ r 是这个小块到旋转头的距离，那不就是点到旋转头的距离吗？是不是好，所以整个体型呢？最近视的是二排 r 乘以 dx， 对吧？然后呢，你再对每一个小块求和，完了之后呢， 就整个去地上吧。啊，这就是公司的牛奶，有了这个公司呢，我们可以把所有的旋转体 体积啊，都统一的。这个问题你看一下啊，不管让什么走转啊，不管他的旋转走是不是坐标走，你只要把什么呀，你只要把区区域上的点到旋转中的距离而表示出来，往里带，再去二十五级别是不是就可以？嗯，好，那具体我们知道谁能注意啊？这个区域地是什么形状呢？ 这叫什么呀？星，这个星星线你认识吧？嗯，把它图上这样子去。好。然后呢，这个星星线啊，他关于 x 都是对称的啊，那关于 x 都对称的。我算这个旋转体的体积，你只用算什么呀？是不是只用算上面这一半转出来体积就可以了？嗯，而你算上面这一半，注意一下啊，要不要乘二啊？ 不用，不用，什么这个旋转题啊，他上下转完之后是重叠的，是吧？最后呢，我管这块叫第一。好，我最后呢，是不是在第一上桥的时候就可以了？嗯，好，我们来办公室，是吧，那就是在第一这个区域上，因为他到 a 手转啊，这个 r 是外，对不对？ 那就是二派 y， dhsd 来算，这个按出去就可以了，撤下来就好算了，对不对？这半中一分怎么算啊？很明显有举多标，对不对？嗯，好，我们先把这个转换的举过标啊，这个二派 y 等于二派 r 乘以三七塔，然后呢？ dsdy 的是 r 倍的 drdc 塔 啊，然后定线呢？这个也很简单啊， r 从零到一加科赛系统啊， c 塔是从零到开，然后这个第一步击出来的。好，应该是这个。你像 r 房啊，积分积出来是三分之一 一加 cosyc 卡的三次法。嗯啊，然后呢？这个可以等到啊，我可以抽一分啊，然后再算就行啊，抽空的答案等三分之八拍。关注内存岁月超神。
1541李擂讲考研数学
13:28查看AI文稿AI文稿同学们大家好，我是让数学变得更通透的夏洛阳老师。今天我们来讲一个比较重要的知识点，叫做旋转体的体积。 对于旋转题的体积这个地方呢，很多同学做题都是要去背公式的啊，做题就是套公式，实际上各位你如果仅仅是套公式，真的解决不了灵活的题目。所以今天我们不套公式，来 套思想，套模型，来给大家讲一道特别经典的旋转体体积的问题。但是我们不绕坐标轴旋转。 好，我们下面来看这道题目。九三年的这道题目说什么呢？说现在我们已知图形 a 有 x 方加 y 方等于二 x， 那实际上这个就是 x 减一的平方加 y 的平方等于一， 这个圆的内部吗？小于等于一与 y 大于等于 x 是一个直线所围成的区域，就是这个黄色部分， 然后让他绕 x 等于二，旋转一周，就是这个绿色的直线旋转一周，得到旋转题的体积。好了，如果这道题会做的话，就说明这个知识点你完全是可以的。 下面夏老师要用两种方法给大家去讲，因为对于我们这种题的话，一般来讲都是有两种方法的。哪两种方法呢？第一个就是我们这里在进行分割的时候，我们选小句型，我们第一个叫数选小句型， 什么意思呢？就是我们对黄色部分进行旋转吧，我们先对他进行分割，分支分割成一个一个的小句型。那比如说呢， 我们现在呢就给他分割成竖着，分割成一个小句型。我们来看喽，你来看现在我给他分割成一个小句型。好了，一个一个的选其中一个，那你就要看小句型转成了什么 体，不要关注整体，整体一点都不重要。小句型就转成了一个空心圆柱体，因为他比较长，我就不画了。那大体画一下样子是什么呢？就是这个样子呗，你来看 就是一个空心圆柱体。 空心圆柱体啊。那对于这个空心圆柱体，我们写下来，我们的步骤就是写小巨型转成空心圆柱体。而且 这个空心圆柱体是特别薄的，他的厚度这个灯他 x 是趋于零的。所以这个空心圆柱体咱们的计算是要把它展开成一个长方体的， 展开成一个长方体，所以给他变成一个长方体。 那长方体的长是什么呢？长方体的长，再乘以高，再乘以宽。比如说我去画一画，大家去感受一下这里的空心圆柱体。实际上还是我画一下吧，能画出来我就画出来。好 大约的啊，就这样一个空心圆珠条啊，大约是这个样子的啊。 ok 啊 ok。 那这个时候你 你要把它展成长方体是什么意思呢？就是你把它放下来，就相当于我们给它展成一个长方体，因为它特别薄嘛。大家自己可以拿一张纸哦。各位，你拿一张纸 啊，拿一张 a 四纸，你把它两个边啊卷起来，你会发现，哎，这个长方体不就是一个空心圆柱体吗？所以咱给它展成一个空心圆柱体之后，那你会发现， 把这个空气原体给它展开，展开之后，它就变成了一个长方体。那对于这个长方体来讲，我们长方体的长是谁嘞？ 长方体的长就很简单了呀，长就是底面周长，你想想这样就像一个山楂卷，各位山楂卷你给它展开之后，这个长就是 他的周长嘛。所以你看来我们用颜色来表示吧，比如说我们就用一个蓝色来表示。看好，这是底面喽， 底面周长是吧？底面周长就是这个长对吧？那于是我们这个长是什么呢？长就是二派 rr 是谁呢？ r 就是半径哦，半径就是这个点到这个点的一个距离。 那他实际上就等于什么呢？你把它放下来，这个点就是 x 吗？这个点就是二吗？就是这两个点这样距离吗？所以这个半径就是二减 x 二排 r， 这是长。 那我们的膏是谁嘞？膏应该来讲就是这个部分。大家来看，我们把它画出来就是这个部分，这叫膏，这叫膏的话，把这个膏 就这个部分写高是吧？这个高给他表示出来，上面这个曲线写成 y 等于多少多少 x。 下面这个曲线给他表示出来，下面这个曲线叫 y 等于 x 是吧？上面这个叫 y 等于。根下二 x 减 x 方， 二 x 减 x 方。所以这个高是谁呢？高就是这里的根下二 x 减 x 方，再减去这个 x。 乘乘以高，乘以宽是谁呢？宽就是这个厚度啊各位，宽就是我们这里他这个 空心圆柱的厚度，就是这个部分，就是这个部分啊，这是长，这是高，这是宽对吧？宽就是这里的 dx。 然后我们写下来 x 范围是什么呢？一定要注意黄色部分经过 x 范围是零到一上。把这一个一个小长方体的体积给他 算出来之后，把所有的都给累加起来，累加起来之后，这个 x 就是零到一上进行积分。好了，这是第一种方法，就是我们数选小句型，转成了空心圆柱体。 空心圆柱体特别薄的时候，就给他展开成长方体。长方体的长就是底面周长，主要是找这个核心的这个半径，二派 r 对吧？这里长是吧？高 宽对吧？长高宽那就可以了。这个样子。嗯，这是我们第一种方法叫竖选小句型。第二种方法叫什么呢？ 第二种方法我们就是对这个题横选小句型。他这种方法会更简单一点，叫做横选小句型。大家容易出错，但是相对来讲 计算比较简单。横选小句型是什么意思呢？就是指我在这个地方横着选一个小句型。 比如说你看我横着选一个小巨型，绕这个绿色部分进行啊旋转， 那你会发现这个小巨型如果绕绿色轴旋转，好像也是个空心圆柱。但你自己一定要想象啊，各位，这个厚度是这么厚？这个厚度不是趋于零的，它是两条线之间的一个叉吗？所以这种情况下，如果是一个特别厚 空心圆柱体，那我们此时就给他补上一个小句型，然后我们用大的圆柱减小圆柱就好了。所以此时你的小句型转成了什么呢？ 确实是又是一个空心圆柱体，但这个与上面最大的区别就是这个空心圆柱体的厚度不是区域零的，他是两条曲线的叉。而这里我们这个空心圆柱体的厚度是这个 dx， dx 是区域零的。只有你这个厚度 宽区零的时候，才能给他展成长方体才精确啊。好吧，那这个时候转成空心圆柱体，他比较厚，那我们就用给他变成什么呢？ 大圆柱减小圆柱就好了。那大圆柱减小圆柱。这个 v， 这不是 s 喽，这是体积，是 v。 那 v 就等于什么呢？ v 一减 v 二。那 v 一是什么呢？ v 一就是我们大巨型浅蓝色加 深蓝色这个句型。那这个实际上就是这个句型。旋转嘛，绕轴旋转这种肯定是个圆柱体嘛。圆柱体就是底面几乘以高。就是排啊方啊，是谁呢？啊？就是这个红色部分嘛。 这个红色部分大家一定要注意。那这个两个的叉啊，就是这个红色的长度。那这个长度是什么呢？这个长度一定是 x 之叉，大家一定要注意。上下之叉叫 y 一减 y 二。左右 幼稚叉叫 x 一减 x 二。所以请把这两条线的 x 等于多少写出来，这叫 x 等于 二。这叫 x 等于什么呢？给他反解出来。那原来这个方程叫 x 减一的平方加外方等于一。 x 减一的平方就等于一减外方。 x 减一等于正负 跟下一减外方。 x 减一等于 x， 等于一加减跟下一减外方。因为这个地方是个左半圆左半圆，因此他就是一减去。千万不要弄错啊。这里这个方程是一减去跟下 一减外方啊，一减去更加地方。所以第一个派 r 方。我们在这个地方 r 方是什么的？ r 方就是一 减去跟下一减外方的平方来。底面积乘以高。高是什么呢？高就是厚度 d y。 哦，因为这个厚度是 d y 了对不对？ y 就是在零到一上太 f 方。 第二个板块，第二个板块是这个浅蓝色的小句型，浅蓝色小句型。他的半径就是这个 x 等于二与这条线的一个 叉吗？这就是 x 等于 y 吗？所以你会发现这个半径是派 r 方。 r 是谁呢？ r 就是二减 y 阔起的平方，然后厚度是 dyd， 面积也乘以 高是吧？这个高底面积乘以高嘛。啊，圆柱体的这个高就是低弯就这个这个地方。那再累加起来，累加起来就是积分嘛。积分。所以这个地方要注意，这叫 底面积， 这叫底面积， 这叫高。底面积乘以高是一个圆柱体的体积，而这个半径才是重要的。切记，这里的半径是 x 之差。这是 x 一减 x 二。我这里写错了，不是一减，是二减 对吧？是二件是吧？那这个地方也是 x 之差，一定要注意。所以你看这个地方对待外积分就行了。你自己比较一下，你会发现我们这个积分肯定是更简单的。他积分很简单。然后这个地方稍微哎， sorry sorry， 各位，我这个地方写错了，是二减去一减，跟下他。说的他 太快了呀，应该是二减去扩起来，一减去跟下一减外方的平方，而是他是二减去一减去的对吧？啊，是这个样子 对吧？啊，这他。所以你这个半径呢？是注意一下他稍微化解一下是非常好计算的。那你看你的数弦小句型，就计算就有点复杂了。尤其是计算二减 x 乘以根下二 x 减 x 方。这个地方，希望大家 注意一下。因此大家一定要注意。实际上我们旋转体的体积，咱们不应该背公式，应该背的是模型。他就两个重要的模型。哪两个重要的模型呢？第一个模型就是圆柱体，小巨型转成了圆柱体，就是底面积乘以高。 第二个模型啊，叫做空心圆柱体，但这个空心圆柱体特别薄，就可以被展成长方体，就长乘以高乘以宽。因此我要把它形象的讲座叫一个叫切片，一个叫 打卷。就相当于把原来这个呃旋转体的旋转体啊，给它切成一片一片的圆柱体，这叫切片。给它打成一卷一卷的空心圆柱体，这叫打卷。所以不让坐标轴旋转的时候，你要去套这两个最基本的模型。 而这个特别厚的这种空心圆柱体，是我们切片法的一个应用，就是用大圆柱减小圆柱 啊，好不好，就这个样子了。好了，如果你能够理解这道题目的话，那对于旋转体的体积来讲，应该来讲绝对就达到了考研的水平。好了，那我们今天的视频作就到这了，下期视频再见，拜拜。
129新东方考研数学夏路洋
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