立体几何二面角余弦值公式图
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05:36查看AI文稿AI文稿找到平面角，假设现在有两个平面相交于一条直线，我们各取他们的一半，也就是说要这两个半平面， 那就可以看成是从这一条直线出发的两个半平面所组成了这个图形， 那么这个图形就叫做二面角，中间这条棱叫做二面角的棱。我们假设 g 为 l， 这两个半平面呢，就叫做二面角的面， 那么这个二面角就可以记作阿尔法杠 l、 杠贝塔。如果分别在这两个半平面内找到一个点，点 a 和点 b， 二面角也可以记为 a 杠 l 港币。而二面角的棱有时候也可以用两个大写字母来表示，比如说直线 pq， 于是二面角也可以表达为尔法杠 pq、 杠贝塔，或者是 a 杠 pq 杠 b。 这些技法都是二面角的表达方式，那么二面角毕竟他后面落到一个角字上， 二面角的大小应该怎么表示呢？如果从棱出发，分别向两个平面做两条直线，那么会做出很多不同的角， 哪一个能代表二面角的大小呢？我们可以过点 a 向冷 p q 做垂线。假设垂足是点 o， 过点 b 也像棱做垂线。如果他们恰好垂在了同一点处，也垂在了点 a 处，那么角 aob 就叫做二面角的平面角，它的大小就代表了二面角的大小。 我们具体表达出来就是分为这么几个要求，第一点哦，要在冷上属于 p q。 第二， oa 要含于平面而法，并且 oa 垂直于 pq。 第三， ob 要含于平面贝塔，并且 ob 垂直于 pq。 所以说相当于从这一条棱上出发，向两个半平面分别引垂线， 这样的话就能保证都垂在同一个位置，那么这个角就是他的平面角。既然二面角是由两个半平面所围成的，那么他的平面角的大小最小可以是零度，那就是把这两个半平面给他合起来， 如果完全放平，那就是一个平角，所以二面角的曲直范围应该是零度到一百八十度的 b 区间。我们来看一道题目，这里给了一个三棱锥 a、 b、 c、 d， 他的个棱长均为二， 那就是一个正四面 t， 求的是二面角 a 杠 cd 杠 b， 它的余弦值。按照我们刚才讲的二面角的做法，想找到它的平面角， 就需要分别在平面 a、 c、 d 和平面 c、 d、 b 这两个半平面内分别找到交线 c、 d 的垂线，并且要垂在同一点处。 由于 a、 c、 d 这个三角形是一个等边三角形，想在这个半平面内做 c、 d 的垂线，可以取 c、 d 的终点，假设是点 e， 我们再连接 a、 e， 那么由于 a、 c 等于 a、 d， 所以根据三线合一，可以得到 ae 垂直于 cd， 并且这个 ae 的长度是等边三角形的高，应该等于根号三。有了这个垂直以后，我们还需要在另一个半平面 bcd 当中找到垂直于交线的那条直线，并且要垂在同一点处。由于这个三角形也是一个等边三角形，我们连接 b、 e， 同理可得 b、 e 垂直于 c、 d， 并且 b、 e 的长度也等于根号三。所以根据二面角的定义，他们两个分别属于两个半平面， 并且呢都垂直于这个交线，垂足也落在了同一点处，所以这个角 aeb 就是二面角，他的平面角。那么接下来只要求出这个角的余弦值就可以了。 在三角形 a、 e、 b 当中， a e 等于根号三， b， e 也等于根号三， a b 等于二。 想求这个角的余弦值，我们可以利用余弦定理扣三角， a e， b 等于 a e 的平方加 b， e 的平方减 a， b 的平方 除以两倍的 a e 乘 b e 代入进去就是三加三减四 除以二乘跟三乘跟三计算出来等于三分之一，这就是这个二面角的余弦值。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。
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21:14查看AI文稿AI文稿大家好，今天呢，咱们来讲一讲立体几何来求线面角，二面角，还有一面直线角，讲的主要是纯几何的方法啊，那么咱们来说一说。 首先呢就是一面直线角，它方法非常简单，核心思路就是把一面直线 l 一 和 l 二 平移到哪？平移到相交的位置，这个平移的过程中可能用的是平行四边形，对边平行，也可能是用的什么，用的是中位线，比如说 l 一 原来在这呢，然后平移到 l 一 撇的位置，这个利用的就是中位线了，都有可能。 那么我们直接来做一道题，这道题的话是一个小题啊，选择题，他说的是， 呃，在棱长为一的正四面体中好了，然后 m 点还有 n 点都是中点，现在问的是 a m 和 c n 这两条线，它之间夹角的余弦值显然是 e 面值线吧，然后它这个夹角怎么就你得先把夹角给做出来，怎么做出来呢？ 显然，显然我们只需要把它平移到相交的位置就可以了吧，来我平移一下，首先连接一下 md， 连接完这个 md 之后的话，我在 md 上取一个终点吧，比如说这个终点就是 点 e， 这个可以了吧，我先写上辅助线的做法啊，连接 md， 然后呢， md 的 中点为点 e， 那 么此时根据中位线 n e 就是 平行于 am 的， 原来问的是 am 和四 n 的 夹角，现在已经平行到相交位置了。 然后咱们问的是谁，问的不就是 c n 角 c n e 吗？那怎么办？那继续连呗，那继续连接谁？连接 c e， 所以 我们只需要解三角形 c n e 就 可以了， 那么因为正四角形每个面哎，因为它这样一个正四面体吧，它的每个面都是正四角形，对不对？那所以咱们在这样一个三角形 c n e 中还是很好求的。首先请您告诉我 n e 等于多少？根据中位线，它等于二分之一的 am， am 的 话，比如说棱长为一，或者说边长为一的 a b c， 你 说这个 am， 它的高，或者说它的中线等于多少啊？那当然是二分之根号三，二分之一再乘二分之根号三，那就是多少，那就是四分之根号三。好了，一条边已经求出来了，那么我们继续了哈， 还有谁？还有，接下来就是 c e 了。 c e 的 话，我们可以直接借助勾股定律，用 m e 的 平方 再加上 mc 的 平方来求就行。因为三线合一嘛，此时我们的 dm 也是垂直于 b c 的 底面， b c d 也是一个正三角形， m 点是中点，那 dm 当然就是高了。 那好，还是根据这样一个勾股定律吧。那我就直接写吧，你告诉 m c 是 多少？二分之一，你说 m e 是 多长？哎，二分之根号三的一半，那不还是四分之根号三吗？所以它你要继续去算的话，就是根号下四分之根号三的平方，再加上二分之一的平方，这个我就不多说了哈， 那最终咱们用勾股定律算出来，就是四分之根号七，那还有谁？还有我看一下啊。啊，对，还有另外一条边，还有第三条边吧，那条边 也就是说 c n 这条边， c n 不 用多说了，它三线合一，在 a c d 这个正四角形里头，你说 c n 等于多长啊？ c n 当然是等于二分之根号三了。 行了，不用多说了，三边都知道，所以此时口算角 c， n， e， 它呢，根据余弦定理我们就可以得出来，它是等于 c n 的 平方加上 n e 的 平方，再减去 c， e 的 平方，这个我们都是知道的，二倍的 c n 的 长度，再乘 n e 的 长度，那最后算一下， 它的平方是四分之三，再加上十六分之多少。我看一下啊，十六分之 n， e 的 平方是吧？ n， e 的 平方的话，那就十六分之三，然后再减去谁，再减去 c e 的 平方，那就是十六分之七， 然后二乘二分之根号三，再乘四分之根号三，我们最后一计算，就可以算出来等于三分之二了。所以你说选什么？当然是选择 a 了，这个呢，就是意面直线角，我们只需要通过平移。这道题用什么来做的平移啊？用中位线做的平移， 把两条异面直线平行到相交位置，然后解三角形，这个解三角形用的是于弦定力，那么另外一个就是线面角，线面角其实也不麻烦啊，首先告诉你我们图中研究的是什么？ ap 就是 那条直线，空间中的直线 f 就是 空间中的一个平面。求直线 ap 和平面 f 的 夹角。套路是这样的啊，都是有套路的。首先我们把 ap 叫做斜线， 这条直线它跟平面 f 的 交点点 a， 这交点叫做斜足，我们随便过 ap 这个直线上随便找一个点，当然你不要跟点重合了啊。然后过这个点点 p 呢？做 f， 这个平面的垂线，垂足是点 q， 有 了斜足了，有了垂足了， 杨老师顺便给点 p 起了一个名字，它就叫斜点。那么这三个点 ap， q 是 不是形成了一个直角三角形？ 此时我们其实就是把线面角它的平面角做出来了，其实也就是截角 p a、 q 就 够了，剩下的话，你求出 c、 t， 然后它的三角函数值，比如说正弦值、域弦值就够了。原来是这么回事， 那行吧，现在咱们就来做一道题。这个第一问的话是相当容易的，我呢就来过快速的过一下啊，它是这么说， 首先底面是正方形，这样一个四棱锥，并且 p d 是 垂直于底面 a、 b、 c、 d 的 行，然后第一问怎么说的？ 第一问说的是证明一下平面 a、 e、 c， 然后垂直于平面啊， p d、 b 怎么证明？很好正看了啊。第一问，我写下过程，因为是正方形，谁啊？ a、 b、 c、 d 是 正方形呗，所以咱们可以得出来，对角线互相垂直，此时 a、 c 就是 垂直于 b、 d 的。 然后继续啊， a、 c 还垂直于谁啊？你看好了，因为 p、 d 垂直于整个底面 a、 b、 c、 d， 所以 说 p、 d 垂直于底面内所有的线吧，包括 a、 c 在 内。现在我相信圈一圈应该能告诉你了， a、 c 既垂直于谁 bd 又垂直于 p d， a、 c 垂直于平面里头两条相交直线啊。你要写的话，你当然可以写得更清楚一些，因为 p d 和 b、 d 相交，对不对？交于点 d， 并且 p d 和 b、 d 呢？它都是在什么里头？都是在 平面 p d、 b 里头， ac 垂直于平面里头两条相交直线，所以 ac 就 垂直于整个平面 p、 d、 b 了。 行了吧，线面垂直，最终我们就可以推出来谁垂直，就可以推出来面面垂直了，所以此时 a、 c 所在的谁过 a、 c 的 所有的平面，包括这个 a、 e、 c 在 内，就垂直于 平面 p、 d、 b。 没问题啊，这个很简单。那另外这个第二问的话，咱就要详细的来说一说，因为第二问涉及到一个什么，涉及到求这条直线 a、 e 和平面 p d、 b 所乘角的这样一个大小。 他要问角的大小的话，大概率就是特殊的角吗？什么一百，什么六十度啊，等等的九十度啊，或者四十五度、三十度等等一些特殊的角啊，来吧，看一下 a、 e 吧。 看好了，不过呢，这个需要你做一下辅助线啊，一会啊，需要你做一下辅助线，它的话，其实只需要你接下来连接一下点 e 和对角线的交点，比如说 a、 c 和 b d 交于点 o， 我 连接一下 e、 o， 就 这唯一一条辅助线连接它就够了，别的呢？都不需要。 那行吧，现在请你看好了啊，它给了数据了， p、 d 等于根号二， a、 b 是 等于一的，也就是底面 a、 b、 c、 d 这个正方形的边长等于一， 然后咱们这样来啊，咱们这样来，它告诉你是 p a、 c、 e， p a， c、 e 的 这样一个体积，看到了吧， a、 c、 e 这样一个体积，它是等于十二分之根号二。你这样来， 因为 p a、 c、 e 的 体积，它是等于 p a、 b、 c、 d 的 体积，再减去谁呢？再减去 p， a、 c、 d 的 底。呃，这样一个体积，然后再减去，用这样一个勾股法分成好几部分嘛。嗯，然后呢， 咱们继续来啊， a、 c、 e， 然后呢再减去这样一个 e abc， 对， 减去这一部分。那么接下来咱们假设点 e 到平面 abc 的 距离呢，是 等于 h 的， 这个 h 实际上就是谁，就是图中的 o、 e 的 这样一个长度。好了，现在我们用含有 h 的 式子带入谁带入圈一里头，圈一的话，左边咱们算一下啊，左边的话就是十二分之根号二呗，右边的话，它是等于 三分之一底面积，底面积就是一的平方嘛。 abcd， 然后高的话就是根号二，三分之根号二，咱们直接这样来写，然后再减去 p， a， c， d， 看一下啊。呃， p， a、 c、 d 的， 然后接下来是 p， a， c、 d 的 体积，它的话是三分之一乘二分之一一的平方，这就是 a、 c、 d 的 面积嘛，然后再乘这个高，高的话是 根号二，这个算出来是六分之根号二，然后再减去谁呢？ e， a， b， c， e， a， b， c 的 话，那继续，那就是三分之一 乘二分之一的这样一个底面积， a、 b、 c 的 底面积，然后再乘这个高，那么接下来很快就算出来，这个 h 是 等于二分之根号二了。就这么回事啊，算出来了。 好，算完这一部分之后的话，我们就可以得出来谁啊，实际上点 e 它就是谁， 点 e， 它就是 p、 b 的 终点呀。为什么？因为这种情况下，你已经知道了它这个 h， 也就是图中 o， e 的 长度，它是等于二分之一的 p， d 的 平且等于它的。 那此时根据平行线分析呢？乘比例，那你说点 e， 点 o 是 终点，点 e 是 不是也是终点？是的啊，咱们可以点得出来，点 e 是 终点。行了，现在不用多说什么了， a、 c 是 垂直于 平面， p， d， b 于点 o 的。 那既然如此的话，所以我们就可以得出来，你看 a、 e， 这就是这条斜线吧，点 e 就是 斜足，点 e 就是 什么斜线？斜点吧。然后呢， p b、 d 就是 那个平面，所以此时我们角哪个角？角 a e、 o， 它就是谁角 a e、 o 就是 我们要求的 线面角了，就是直线 a e 和 p d、 b 所成的角。那么接下来这个长度就非常好。算了啊，来吧， 底面是边长为一的正方形，那而且它是一个直角三角形，对不对？然后 a o 不 就是对角线的一半二分之根号二吗？ 然后呢， o， e 也是二分之根号二。哎，不用多说什么了吧，那此时我们就得出来了， tan 角 a e、 o 在 哪个？在直角三角形 a o， e 中，它是等于二分之根号二，再比上二分之根号二，它其实是等于一的，它等于一的话，不就是角 a， 嗯， a e、 o 它是等于多少？等于四十五度嘛？既然它等于四十五度，所以说接下来咱们就可以说明什么了。接下来咱们就可以说明所乘的角，那不就是四十五度不就可以了，你写全就行了。 行了，接下来最难的一条就是二面角。二面角是怎么定义的？两个半平面 alpha 和 beta 相交，交线就是 l， 那 么从 l 呢？ l 上面找一个点点 o， 分 别向 alpha 这个平面内和 beta 这个平面内做垂线，此时 ob 和 oa 分 别在 beta 和 alpha 这两个平面内，而且都跟交线 l 是 平行的，那此时 aob 就是什么？ a o， b 就是 二面角，它所对应的平面角。接下来解三角形 a o、 b 就 够了，清楚了吧？那行，接下来咱们还是来看这道题。 这道题仍然是第一问比较简单，它首先告诉你平面在四棱之中，平面 p、 a、 b、 c、 d 是 垂直于 a、 b、 c、 d 这个底面的，并且 a、 b、 c、 d 咱们先研究清楚啊，它给的大小都是完全确定的，是一个直角梯形，那咱们先把这个平面画出来，直角梯形啊， 好嘞，这个是 a、 b、 c、 d 等于二了，然后这是直角了， 然后 a、 b 和 b、 c 的 长度都是一行吧，这也是直角，那根据连接 a、 c， 如果连接 a、 c 之后的话，这不就一比一比根号二吗？是不是？然后四十五度，根据余弦定律等等等等，你也可以得出来哪个角啊？你或者说别的方法吗？这个是四十五度， 这个是一百三十五度，一百三十五度减四十五度。哎，那这不也是个直角吗？所以也能够得出来这是根号二的，没问题，这个就是非常特殊的一个 a、 b、 c、 d 直角题型，出题的时候经常见，那么继续了 又告诉你， p、 b 等于根号五，然后 p、 b、 ab 和 ap 其实都知道，咱们看一下这个直角三角形啊，首先 ap 的 长度 等于多少？等于二吧， ab 的 长度等于一吧， pb 长度等于根号五。哎，他等于根号五的话，那接下来根据勾股定律的逆定律，不就可以得出来一个直角三角形吗？所以第一问不就解决了呀。行吧，咱们来看第一问啊，第一问求的是 三棱锥 p、 a、 c、 e 这样一个注意啊，点一是终点，求它的体积，那这样来，因为 p b 的 平方等于 p a 的 平方，再加上 a、 b 的 平方，所以 p a 是 垂直于这个 a、 b 的， 然后 a、 b 它事实上是交线呀，也就是说因为平面 p a、 b， 它垂直于平面 abcd， 并且它的交线就是谁，它的交线就是 ab， 垂直于交线，则垂直于平面，等等等等，这个我不用想写了吧？所以此时的 pa 是 垂直于 平面 a、 b、 c、 d 的。 对啊，面面垂直，推出来线面垂直吗？那么现在我们就可以得出来它的高是什么？哎，它的高就这个四棱锥的高， 它是 pa 的 长度是等于二的，那么因为点 e 是 中点，嗯，因为点 e 为 p、 d 的 中点。所以说我这个三棱锥 e、 a、 c、 d， 它的高呢？是多少？它的高当然是刚才它的一半了，它的高就是等于一，没问题，这个高的话，我写成 h 撇吧，它等于一， 那于是我们这个体积就可以求了呀。本来你求的是 p、 a、 c、 e 的 体积，咱们换一下，换成 d， a、 c、 e 的 体积，因为你点 e 是 中点，这样换没有任何问题的。 那于是咱们再继续换，你以 a、 c、 e 为底不太好算，那你换底换成 a、 c、 d 为底就很好算了，对不对？那就是三分之一乘二分之一， 再乘二乘一，没问题啊，三分之一底乘高吧。高是多少？高是一啊，刚才就这个地方算出来了，所以最后咱们可以算出来它的体积是三分之一的就够了。这个第一问还是非常简单的，咱们主要是研究一下第二问。第二问，问的是谁的余弦值啊？ 问的是 e、 a、 c、 d 的 余弦值， e 在 哪？ e 在 这，交线 a、 c 在 这， d 在 这。哦，问的是这样一个，显然这样一个二面角，它是一个锐角吧。行了，咱们来求一求，我直接把图形给你画出来。咱们还是用纯几何的方法来做啊。那么做辅助线的话，主要是你得知道 怎么做。看好了，因为点 e 是 终点，所以咱们取的是 h 点 h 点，它也是终点，它是 a、 d 的 终点， 那么连完之后的话，此时根据中位线 e、 h 肯定垂直于 p， 平行于 pa 啊，然后 e、 h 的 长度呢？那肯定等于二分之一 pa 的 长度，中位线嘛，那它就等于一了。那么现在看，因为 pa 垂直于 平面 a、 b、 c、 d， 所以 什么？所以它的平行线 e、 h， 它也是平行于，也是垂直于平面 a、 b、 c、 d 的。 行，得出来这些信息，那么得完这些信息，其实你想做的是什么？继续做了啊，做辅助线。好，咱们继续取，因为你是终点嘛，取谁的终点呢？取 a、 c 的 中点是 f 点，然后我们顺便连接谁，连接 f h 和 e f， 那 很容易知道此时的 f h 它是平行于 c、 d 的 啊。我们在一开始我给你画这个 a、 b、 c、 d 的 平面图的时候，你就已经知道了谁，你其实就已经知道了这个 a、 c 是 垂直于 c、 d 的， 那么 c、 d 的 平行线，哎呀，所以不就得出来了吗？ f h 和它平行吧，那此时 f、 h 不 也垂直于 a、 c 吗？太好了， 这就是半平面上的交线吧，对不对？这是半平面交交线，你现在这个交线已经垂直于谁了？你这个 f、 h 已经垂直于交线了， 那么接下来就差一步了。差哪一步？哎，就差这个 ef 为什么也垂直 ac？ 实际上它有一个三垂线定律啊，但是三垂线定律教材上没有吧。那咱就直接呃，根据什么我写一下思路吧。 首先看 e、 h 垂直于平面，你说咱想得的是什么？想得的是 e h 垂直于平面里头所有的线，包括 a c 在 内。现在你仔细看一下圈一和圈 a c 垂直于 平面那两条相交直线，当然你应该写全啊。所以 a c 就 垂直于整个平面线面垂直吗？垂直于哪个平面？ 垂直于 e f h 啊？所以 a c 就 垂直于 e f h 里头所有的线，包括 e f 在 内。我想得的就是这两条啊。你 a c 垂直于谁？垂直于 f h 八，然后呢？ a c 还垂直于 e f 八，这样不就符合二面角的定义了吗？所以我们要求的是哪个角啊？我们求的是角 e f h， 行了吧，目标非常明确了，求的就是这样一个角。那剩下咱们就算一算，我标一下就行了，反正它是个直角三角形嘛。好。 呃，那现在 cd cd 刚才平面图画的时候是应该等于根号二吧？哎，那 f h 解三角形， f h 不 就等于二分之根号二吗？对， 那 e h 是 等于几？等于一对吧？算出来了，那么 f e 呢？ f e 你 勾股定律来算不就行了？一的平方再加上二分之根号二的平方，我算一下是多少啊？ 啊？二分之三根号加二分之三吧，那就是二分之根号六。哦，原来如此。所以此时余弦值口算角 e f h， 那 它就等于 f h 再比上斜边 fe， 那 于是就是二分之根号二，再比上二分之根号六。所以最后结果就是这道题的结果。所以这节课大家应该学会了三个角吧。一个是一面之线角，怎么解决？ 意面直线角，你得用平移到相交的位置，然后解三角形去解决，这是意面直线角，记住啊，它的范围是零到九十度之间， 垂直的时候是九十度，那么线面角怎么办？线面角的核心就是你得找出来垂足，斜足，还有那个斜点，解直角三角形 a q p 就 行了。 那么如果是二面角呢？如果你要用纯几何方法来做的话，你必须过交线上一个点做出来 alpha beta 平面内两个垂直的线，一个是 o a， 一个 ob， 然后解三角形 a o b， 剩下的就可以解决了。那么今天咱们就讲到这吧，分享课堂知识，感受世界之美。我是安范老师，下期课再见！
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00:31查看AI文稿AI文稿就你还不会空间中一面所成角与弦值啊，学着点。我们来看 a b， a p 等于 a， d 都等于二， n f f 分 别为中点，求 m n 和 f c 加等弦值。 第一步我们见个戏，第二步我们找坐标，第三步我们找项链第四步就是用头带齐的等于项链成项链笔上抹长成抹长，但一定要加绝对值哦！最后结果三分二被勾二，再学不会我打死你。
608数学王超子老师
02:18查看AI文稿AI文稿二面角的降维打击来了，不切记，不设坐标，找对平面角就能瞬间破题。 看这道经典题，一个三棱锥中，角 a， p d 等于角 b， p c 等于角 a， p c 等于六十度，求这个二面角的余弦值。很多同学一碰到二面角就想间隙，这个题你间隙做一下，告诉我你用了多长时间？ 今天咱们用最基础的底层逻辑，直接找二面角的平面角，三十秒搞定。 第一步，先锁定二面角的棱，也就是 p b， 在 p b 上任取一点 o， 为了计算方便，直接取 p o， 等于一取，一计算就成事。关键来了，过 o， 在 平面 p a b 内做 p b 的 垂线。 同理，在平面 p b c 内也做 p b 的 垂线， o m 垂直 p b o， n 也垂直 p b。 所以 角 m o， n 就是 我们要求的二面角的平面角，关键一步完成。 这两个都是含六十度的直角三角形 p o 等于一，所以斜边都是二，直角边都等于根号三。 第二步，构造三角形，求边长，现在就剩 m n 不知道了。别急，看三角形 p m n 两边都是二，假角为六十度，直接等得出 m n， 得二。把三角形 m n 单独拿出来， o m o， n 等于根号三， m n 等于二。求斜角的余弦值，大家都会了吧，直接套用余弦定力，结果就是三分之一。 你看，完全不用间隙，也没有复杂运算，找对平面角就是降维打击。记住二面角核心口诀，先找交线，再曲列做垂线。 以后遇到同类二面角题目，就用这个方法，比借记快十倍！
177左手数学
00:57查看AI文稿AI文稿摆在间隙硬算二面角，学霸早就用这个公式直接秒杀。 今天我带你学习面积摄影原理如图写平面 abc 的 面积即作 s 塔，投射到平面上的硬质面积即作 s 撇。设两个平面形成的锐角，二面角是 c 塔， 那么 cosine theta 等于 s 分 之 s 撇。这个就是面积射影定律，它描述了平面图形在另一个平面上的正射影面积与圆面积之间的关系。这里要注意 s 撇在分子 使用条件，第一，圆图形必须是平面图形。第二，摄影必须是正摄影。改定义常用于计算二面角。
374数学拆解师
05:41查看AI文稿AI文稿我通过这道题给大家提个醒，立体几何的题，它本质上其实是解三角形的问题，立体几何本质上就是解三角形，那就如果你不见细的话，你想处理立体几何问题，就给他当解三角形来做啊。很多时候如图啊，也是二面角 r 杠 l 杠 a 上 的棱上有两点，是 a 和 b， a、 b 两个，然后呢？ c 是 在平面 r 反内， c 在 平面 r 的 内，然后 a、 c 是 垂直于 l， a、 c 和 l 垂直，然后再往下呢？它说 d 在 平面为它内， b 在 平面直角内， b、 d 垂直于 l， e、 d 垂直于 l， 所以 a、 c 和 b、 d 就是 两个平面二面角的，然后再往下看，他说 a、 c 的 长等于一，然后等于 ab 的 长， ab 的 长也是一，等于 b， d 的 长， b、 d 的 长也是一。则。下面说法当中正确的是， 所以首先第一个 a 选项的话，你只要给他转化记底就行了啊，我把 a 选项给你写出来，怎么去转化记底？你把向量 c、 d 转化成向量 c， a 加上一个向量 ab， 再加上一个向量 ab， 就是 我转化记底的原则是什么？大家说的我尽量去找那个夹角是已知的，所以你看我转化出来的 c、 a、 c 和 ab 是 垂直的，然后 b、 d 和 ab 也是垂直的， 所以你再乘，再乘以后边你就是向量 c、 d 再乘以向量 ab， 这是 a 选项啊， c、 d 乘以 ab， 所以 该垂直的垂直的都约掉了，所以剩了这个 ab 的 平方，那 ab 的 平方啊？好，这是 a 选项 b 选项。这个题要问的一个选项 四 d 啊，问四 d 选项是吧？那我就直接看 d 选项啊，直接看 d 选项，他说如果 c、 d 的 长等于根二， c、 d 的 长是根二，那么求二面角， c 杠 b、 d 杠 a 的 比余弦值是多少？ c 杠 b、 d 杠 a 啊。好了，那现在不是求这两面二面角啊， c 杠 b、 d 杠 a。 那 你现在想一下，我得找什么？是不得找交线的垂线？首先第一个平面啊，你看你做二面角啊，我们还是得学一些几何法啊。 第一个平面， c 杠 b、 d 杠 a， 你 得找 b、 d 的 垂线啊，我们这边找到什么？是不是 c、 d 垂直于 b、 d？ 这是第一个下面的点角，在这个平面当中，哪条线垂直于 b、 d 的？ a、 b 是 不是垂直于 b、 d？ 第二个 a、 b 是 不是垂直于 a、 b 垂直于 b、 d？ 所以 你要求这两个面的二面角的话，就应该是正好是这个角，你看啊， a、 b 垂直于， 这是 a、 b、 a、 b 垂直于 b、 d， 然后 c、 b 垂直于 d， 就 这样，就这样，这个角，这个角，这个角就完了。 这个角十二面角，它好不好？求这个长，我看一下啊，他说如果 c、 d 长等圆号二， c、 d、 c、 d 垂直啊， c、 d 不 垂直， b、 d 是 吧？ c、 d 不是 b、 d 啊，好，那这个头发也不对了，那我在干啥？是不是再找一个，再找一条垂线是吧？再找一条垂线的话，我想想我得找谁？我是在过 c 做 b、 d 的 垂线，那这样，我们过 c 做 b、 d 的 垂线啊， 过 c 和 b、 d 的 垂线，现在看下这些角度，都知不知道这些，这个什么能求啊？过 c 和 b、 d 的 垂线，那么 ab 的 长得一， ab 的 长得一， ac 的 长，那么这个长是两毫二。然后他又告诉我什么了？告诉我 c、 d 的 长也是两毫二， c 的 长也是等于二，那 b、 d 的 长等于，所以它应该是一个等腰三角形，对吧？它是一个等腰三角形，那么它的线面角形在哪呢？刚才我们说 b、 d 是 垂直于一的， b、 d 垂直于 a、 d， 所以 我直接做这个点，做一个平行线， 那么这个角，这个角才是二面角啊，刚才我发错了啊，这个角不是这个角，是二面角。那么接下来你只要把 c、 d 的 长出来，把 a、 d 的 长出来， 解三角形就行了。再把 c、 a 的 时候求出来，在这个三角形呢，我解一下三角形啊，那现在我们看一下。首先第一个假设，这个，这个点是终点啊，这个终点是 m， 那 我们解一下第一个第一个三角形， 呃，这是 c 点，然后这个是中点 m， 这是 b 点，这是 d 点啊。下面我们看这个长是多少？二，这个长是零 e， 是 吧？那就是二十米，所以 cm 的 长，我们再算一下， cm 的 长等于多少呢？ c m 长等于根号下二减四分之一，二减四分之一，就应该是二分之，根号七，这是 c m 长， c m 长，求出来呢？ ab 长呢？ ab 长， 不是 ab 长，这是 n 点啊，这是 n 点。那么 m n 的 长度就应该等于二分之一， m n 等于二分之一， ab ab 长等于一，所以这个长也等于二分之一，这是 m n， 那 么最后剩一个，最后剩一个 c n， c n 的 长怎么数？ c n， 那 我再看一下，再看一下 cad 这个三角形，对吧？那么这个长是一 ad 的 长， ad 的 长是不是？ 嗯， ad 的 长， ad 的 长是不是也是根号二，对吧？因为 b、 d 是 垂直于 ad 的， 所以 ad 的 长它也是根号二， ad 长是根号二，还剩下谁？
68大连浩然数学
02:26查看AI文稿AI文稿厦门三减数学第十四题填空题啊，这道题并不好做，在考场上面要突破，他呢有一点点难度。这道题呢，是立体几何题目，他是翻折把这个梯形折了起来，但是他给了一条项链的关系式，这条项链的关系式并不好处理。我们来看看这个题怎么说的，如果能把这个项链的关系处理清楚的话呢，就比较好做，因为这个项链的关系式是用来找洞点的轨迹的，又是这种，我们又遇到这种要把项链的关系式转换成几何轨迹的问题， 而且是空间的高考热门考点。我们看看这道题怎么处理它。先读一下题，这有个梯形， a， b， c， d， a， b 平行于 c， d， a， d 垂直于 a， b， 这是一个直角梯形，然后一是 c， d 上的一点， a， b 等于 b， c 等于 c， d 等于两倍等于二。然后呢，可以得到啊，这个角角 a， e， d 呢？因为一比二，这个直角呢，这个角 a， e， d 应该是等于六十度的，又是一个六十九十度的直角三角形呢， 然后把这个 a， e、 d 沿着这个 a， e 把它折起来，这个折面是可以动的， a， d 撇上面有一个点， m 乘以 a 等于五。在这还要对一个二面角的概念呢， 有一定的理解，有一定空间想象力，但是最麻烦的还是很明显，我们是要找到 m 的 轨迹的，我们想想这个 e， a 啊， e， a 是 确定一个向量， e， a 是 不会动的，那么呢， c， m 是 可以动的， 平面向量基本定力，遇到问题就把向量分解了。这里我们因为是 a， e， 我 们可以尝试一下把 c， m 拆解成 c， a 加 e m 或者 c e 加 e m， 拆解成 c a 加 e m 或者 c e 加上 e m， 应该都是能做的，因为这个 c a 或者 c e 都是确定的。那我们看这条解析，是啊，看看这条向量关系是写出来什么样。他说 c m 乘以 e a 等于五，我们选这个来试一下，我们就会得到 c a 乘以 e a 加上 am 乘以 e a 等于五，是一个定值。嗯，这一个呢，显的 e a 是 定值的，因为 c a 和 e a 都是什么确定的，这是定值。那问题就来了， e a 那 是定的，那么意思就是什么 am 在什么 e a 上的投影长度也是定值定长的，所以说什么呢？又因为什么角 m a e， 它等于三十度定角啊，对吧？这个三十度定角啊，再结合这个投影的定长。所以呢，什么 am 的 什么长度，应该是怎么定长的啊？这里呢，我就计算就直接跳过了啊，这些长度啊，角度啊，单曲中都可以得到什么 am 的 长度三分之三的， 那么 am 的 长度三分之三定长的，说明什么？这里不知道你们想不想到啊，那就说明这个 m 点，它是绕着一个圈转的， m 的 轨迹是个什么圆啊？ 圆心在哪里啊？圆心在 a 一 上呢，那半径呢，应该是等于三分之根号三，这个三分之根号三，再乘以一个三点三十度，等于什么？ 六分之根号三。那接下来我们只需要算什么？这个圆心，假设这个圆心是 o， 点到什么 b c 的 距离，假设这个垂度是 h， 把 o h 的 长度给算出来，那这个角最大值是不是应该什么？ 挣钱的价值，是不是就应该是这个半径怎么样？除以什么 o h， 那 么这个 o h 长度就不多说了，这个就比较简单啊，这里有一个平行四边形，也就是平行四边形的高转出来呢是根号三，六分之，根号三除以根号三等于六分之一，答案也就六分之一吧，所以关键是能利用好这一部分，就是 n 的 轨迹，这个才是什么？这个才是最难的。
72吕小胜
00:51查看AI文稿AI文稿好，那么这个立体几何的二面角的一个计算方法要求他的正选指南。我们这里用到了一个向量法，高中立体几何非常重要的一个核心方法， 那用项链法求二面角的一个正弦值或者余弦值。首先我们要求出这两个面所对应的法项量，对吧？这第一步法项量求出来之后呢，我们第二步才是进行一个计算，套用余弦的一个限量公式， 对吧？然后我们求出来余分之后呢，我们可以把它转换成我们想要的这个正弦值就可以了。好，这个题呢就是关于一题结合的一个向量法的一个计算。
41晓数教育邓老师
29:30查看AI文稿AI文稿二面角的深度掌握是关键。湖州市三模第十七题，这一题更加复杂，我感觉这一题它的难度放在第十七题太可惜了，应该放在第十八题的计算量有一定大。 嗯，空间感也非常要强。我感觉这一题可以与深圳二调的第十九题可以结合起来研究与深圳二调啊。 那十九题的视频我也出在我的抖音号上了，大家 b 站也发有，大家也可以去搜一搜，往之前的上面内容去翻一翻，两者可以相互比较一下。这种图形都是斜的，没有竖的，垂直的题型，难度还是非常大的 好。但是这两个题，十七题和深圳二调第十九题，他的第一小问都还是非常好证明的。我们来看看图形吧。通过图形来理解第一小问要怎么做。首先这是个三棱锥，三棱锥 p、 a、 b 是 等边三角形，其中边长都是二二二 b、 c 边为四一，又是中点，这有个垂直 a、 b， 垂直 a、 c， 哎，底面是一个等腰啊，是一个直角三角形，而且是六十度。直角三角形二四，所以这个是六十，这个还为根号三二又根号三，这个是三十度，对吧？信息还是蛮多的， 一又是中点，一是中点，这两边都是二二，然后他这个信息是最特殊的信息了。 这里给了两个二面角，一个是 p a b 杠 c， 另一个是 p b c 杠 a。 他 们的二面角的曲值分别是 记为阿尔法，一个是记为贝塔，其中阿尔法还给个范围，那也就是说这个二面角给出来了，他的平面角度分没有阿尔法和贝塔，那这个图形说明他并不是直的，也就是要我们来正 出这个二面角的平面角到底在哪？找出这个平面角到底在哪？好，第一小问，相对来说还是简单的求证 a b 垂直 p e。 那 第一小问，我们先思考下，思思路， 题目中说要证 a、 b 垂直 p e， 那 我们逆着来，两条线明显是一面直线，一条在这， 另一条在里面都不相交，对吧？所以这叫意面直线，那就要正其中一条线垂直另外一条线所在的平面， 证明 p e 所在的平面或 p e 垂直 ab 所在的平面， 那到底是正这个还是正这个呢？好，显然观察一下，这里是个等边三角形侧面，侧面是个等边，那因此等边中一连着条，是不是跟 ab 是 垂直的？ 那这里又有个垂直。如果这条线是中点连接这个 e 点，这两条是不是也是垂直？平行的平行垂直，那显然就观察到 我们要正 a、 b 垂直面 p e 所在的平面，那此时要做一个辅助线连接这个，取这个为 o 点， 连接 o e， 再连接 po， 因此我们要正的面就是正 a、 b 垂直 po， 那 正，那就叫正 a、 b 垂直面内的两条相交直线，分别就是 o、 e 和 po， 那 这个好不好正呢？相对来说还是蛮好正的， 那 p o 最好正了， p o 为中线，所以它也是高等边三角形嘛。这边呢，因为 o e 是 平行，且等于二分之 a c， 而且 a c 就 垂直咱们的 ab， 所以 两个条件一起就推出来了， 那就是这就是证明思路。那我们就正着来写一下了啊。第一小问， 第一小问，取 a、 b 中点 o， 然后连 p o 和 e o， 因为在等边三角形 a、 b、 c 中， p o 为 ab 边上中线，它又是等边角形，又是中线，所以 p o 是 垂直 ab 的 好。然后在三角形 a、 b、 c 中， o e 为中位线， 所以 o e 平行且等于二分之一个 a c 补上。又因为 a c 是 垂直 ab 的， 题目给了，所以垂直也传递过来， o e 就 垂直 ab， 然后 p o 加 o b 等于 o， 所以 a b 垂直面 p o e， 嗯，还要指出 p o 和 o e o b 都属于这个 面， p o e 中好，第一问就证明结束，相对来说，嗯，还算容易证明。呃，只要我们耐心一点，观察一下这个第一小问不是太难，那我们来了，不进入重头戏。第二问， 那记住第一问的记住信息要写在图中，那第二问，它的信息要怎么去捋呢？ 题目中说这个 r 法角为六十度，也就是说 p a b p 一 杠 ab 一 杠 c， 它的二面角的平面角为六十度。那我们还是沿着第一问的刚刚作出这个垂直的思路，取这个中点 o 了。 刚刚我们说这个是垂直的，那也就是说 p 垂直公共棱，不，这个二面角 a b 就是 公共棱，而 o o b 是 不是也垂直于公共棱？那也就是说，第二问，我们由 e 之， 我们角 p o e 就 等于 r 法， 对吧？ p o 垂直共功能， o e 也垂直共功能。我们第一问已经都证出来了， 所以 p o e 就是 r 法，也就等于三分之派，这个角度就是六十度。那因此我们是不是能建立坐标系，求出向量，是不是就能把 c p 和面的法向量都算出来？间隙以这个作为圆点， x 轴， y 轴实线轴穿在这里， 好，以 o 以杠 x y 实线建立直角坐标系。 好，那算长度了不，这是中点，所以 b 坐标出来了， 这终点这段是二，所以 b 坐标就是一零零，这个，因为这个是二，这是一，这个是垂直的，所以 o 一 长度就为根号三，所以 o 一 就是零，根号三，零 补上啊。嗯，我这里简单写一下吧，我就不写出来了，这里计算过程大家自己算一下吧。这个还是六十度呢，对吧？标上那最难一点就是 p 坐标， p 坐标， 因为我们看出这是一，这是二，所以他们算出 p o 的 长度其实也为根号三，它等于根号 p b 平方减 o， b 平方就为根号三，我就不算了啊，这个是根号三。呦，这个为根号三。刚刚说这个数值也是根号三，看到了吗？这条边也是根号三， 两条都是根号三，那因此要六十度，所以是不是就说明 角 p o、 e 等于六十度， p o 等于 o b 都等于根号三，所以三角形 p、 o、 e 为等边三角形，很特殊吧？等边三角形，那因此 p 点坐标 p 往底面做垂线， 垂足就在 o b 中点，所以 p 坐标是非常轻松就拿下了。 p 坐标就是零，逗号二分之，根号三，逗号六十度，二分到三，这个是， 这个是根号三，这是一半，那就是二分之根号三，那这个高就是根号三倍，就为二分之三，通过勾股也可以算，因此就算得二分之三。中间的计算过程我这里就不呈现了啊。 那好，那基本上坐标出来了哦，那 a 坐标作为这边 a 坐标就是负一零零，那 c 坐标就是负一， 这个长度是二又根号三，二又根号三零，好，所以我们绕的 p c 向量， p 坐标零二分之。根号三二分之三，好。 p c 向量用 c 减 p 负一，逗号 二分之二减二分之一，就是二分之三。有根号三，逗号负二分之三好。 p c 向量出来了，我们这要算 p a b 向量， p a b 色面 p a b 嗯， 的法向量为 n， 得到即为 x 零， y 零是限零 好。 n 垂直面内的 a b 向量， n 垂直面内的 p b 向量吧。 所以推出 n 乘以 a b 等于 n 乘以 p b 等于都等于零啊。好，我把 p a b 向量写出来， a b 向量， b 减 a b 减 a 二零零。 p b 向量， b 减 p b 负二分之。根号三负二分之三好，那这个也就是二 x 零等于零， x 零减二分之。根号三 y 零，加上减去二分之三直线零。所以我令 实线等于一，则 y 零等于口。算一下，实线等于一，一，这个挪过去就是二分之三。一除二二约根号三一除就得负。根号三好， 所以它们的 n 向量就为零一负根号三好。那我们下面角设 p c 与面 p a b 所乘夹角为西塔，扣上西塔就等于。呃，不是 线，面角是三角形的，等于勾三角。 p c 向量和法向量的夹角的绝对值代公式， p c 乘 n 除以两个的模的绝对值。好，两个一层。嗯哼，画出来是哪两个层呢？ p c 是 这个向量， 是这个项链和这个项链好，大家也习惯性考试的时候也画一画， 这样子能快速的分辨出我们要用哪个角一乘，那分子就是二分之三。又根号三减，加上负负的正了二分之三，又根号三，再除以 p c 的 模和 n 的 模， p c 的 模平方平方一加四分之二十七加四分之九，四分之四加三十六，四十就得根号十。 n 的 模一加三得二。好， 三根号三，除以二根号十就得二十分之三，又根号三十， 对吗？有点疑惑。咦，十分之三又根号十，哪里算错数了？ 十分之三又根号十，咳咳， 哦，写反了，真是的， 把项链这里写反了， n 就 赔零。哎呀，太久没写题负根号三，太久没写项空间那项链题的计算了。魔还是二啊？魔是普遍的 缩腹，缩腹，现在在用这两个相乘，这个乘这个就得分子是得二分之 九，负的减去二分之三绝对值分母二乘根号十，分子就得负十二就得六， 二根号十，十分之三，六根号十。好计算。对了，哎呦，说明还是要练哦， 不练的话计算能力会下降，容易疏忽，容易疏忽啊，好老师也有点磕磕绊绊的算出了答案。第二小问， 嗯，整体来说，第二小问不是太难，但是你要是不会做出这个二面角的平面角的话，很难确定这个六十度大概在哪里，怎么使用。 不确定这个六十度你就求不出 p 点的坐标，所以这题压力就在这里。好，第二小问就搞定了，那接下来我们继续看第三小问 好，继续研究第三小问，说明我们要题目要求我们要把这个 阿尔法角和贝塔角都表示出来。这个第三问，我才能把天井阿尔法，天井贝塔求出它的最小值。目标是什么呢？我们肯定要我们知道有两个变量是求不出范围的，对吧？ 嗯，因为没有其他条件了嘛。说明我们要建立一个阿尔法与贝塔的关系式， 把其中一个角给去掉。题目给了一个贝塔的范围，对吧？给了一个贝塔的范围，说明我们要把这个阿尔法角去掉。也就是说这个是指整体，最后整体只是出现天井阿尔法的一个关系式， 那一个方程一样，由天津阿尔法的范围求出整个的范围。好，思路就是这样。那我们怎么去找阿尔法和贝塔关系式呢？请看，我们还是要在图中找出这个两个角线。首先先找找 这个就是阿尔法。第一问解证了。问题来了，贝塔没有，贝塔在哪里呢？ 贝塔是 p 一 杠 bc， 一 杠 a， 公共棱就是 bc， 对 吧？那说明我要找出， 呃，它的二面角的平面角，怎么去找呢？过 p 往 abc 这个面做一个垂线， 垂直 去，垂直为 y 点，然后再过 y 往这条 b c 边上做垂线，垂直，记为 f 点。好，那我们再连这条 p f， 那我们就适当的正出这，这个角就是 beta 角。好，现在正出这个 beta 角先，这要正的话，不能直接用 alpha 角，是因为第一问正过，那第三小问先证明 过 p 作 p m 垂直 o b。 嗯， 又因为 a b 是 垂直面， p o b p o e， 所以 a b 也垂直 p m， 但因为 pm 垂直了两条，且这个 a b 和 o b 都是在它们面 abc 的， 所以 pm 垂直 abc。 好， 这个是垂直的，那 此时我们又做，所以 p m 就 垂直了， b c 补上这个啊。嗯，又过 m 做 m f 垂直 这个 b c 于 f 点。哎，那 m f 是 不是在底面呢？垂直这个对吧？嗯，那因为 b c 既垂直 m f， 且 b c 又垂直 p m， 所以 b c 垂直面， 这是两条，那 b c 不 就是二面角的公共棱了吗？所以角 p f m 就是 它的平面角。被它 好简单解释一下这条 b c 边这公共棱 p f 垂直 b c。 嗯，这还没正啊，补上。所以， 所以 b c 垂直面 p m f， b c 垂直两条线，所以垂直面，所以 p c 垂直 p f。 那 也就是故咱们的角 p f m 就是 a， 它角。 再解释一下， b c 垂直整个红色三角形的面，那因此 b c 就 垂直 p f 就 找出这个其中一个面了的垂线 m f 也垂直公共棱，所以两条垂线，它的夹角就是二面角。 好找出阿尔法和贝塔了。那我们找找阿尔法贝塔关系，有没有发现这两个三角形中，它的公共的边是不是就是 pm？ 两个二面角的三角形中，它的公共边就是 pm， 那 也就是说 pm 就是 它们阿尔法角和贝塔角的桥梁，这是贝塔角， p m 是 什么桥梁？那因此在两个三角形，在 r t 三角形 p o m 与 r t 三角形 p f m 中，我们是不是有 在两个三角形中，我们先看 p o m。 先拿这个角，这个边是求的，这个是公共边。咱们先写出 p o 的 长度为根号三一二，根号三好，那也就是说散热法是等于 p m 比上 o p o， 所以 p m p o 为根号三啊，根号三散热， 散热法又找到桥梁了不？ p m 可以 用散热法角表示 o 央，同理的 o 央等于根号三扣三纳法。与弦呢？这条是与弦零比斜扣三纳法，所以 o 央就等于根号三乘扣三纳法。好，两个边都有了，那继续找一个关系， 咱们这个 p m 长度是不知道的，那我们找到一个关系，就是 a c 是 为四， a c 等于啊，不是四为二，又根号三，这个我们算出来了，那而 o e 是 等于二分之一个 b c， 它就为根号三，所以 m e 就 等于 根号三减去 o m， 找到这个桥梁，且一个特殊的三角形啊。在这个 r t 三角形 m f e 中， 这个我们第一问中写出它是六十度的，对不对？这是四，这是二，对吧？直角三角形一下算出这个角是六十度，所以通过相似这个边就是三十度了，所以也是推出 m f 就 等于二分之一个 m 一 短边等于斜边的一半，这是直角三角形。好，这里我就不过不过多说明了啊，等于 y m 等于二分之一和 y m 一， 就是上面这个 二分之根号三减二分之一 o m 好， 所以我们所说的天井贝塔就等于对比斜， 就等于 p m 比上 m f， p m 是 多少呢？根号是，哎，三杀人脑法， m f 是 多少呢？ m f 是 这个二分之一，根号三减二分之一 o m o m 又是多少？根号三扣三脑法， 根号三塞纳法除以二分之根号三减二分之根号三扣塞法。一约分子分母同时除以 二分之根号三，就得二塞纳法除以一减扣塞纳法。 好，那因此原式我们就转换了，所以天井四分之天井阿尔法分之一，加上天井贝塔分之一，就等于四分之 塞纳法。分子 cos 法加上二塞纳法，一减 cos 法，通分分母都是四塞纳法，乘个二 cos 法加上二减 cos 法 等于二减 q 三二法除以四十二纳法，好，整个式子只剩下一个角度了，一个角度我们就可以求范围了哇，经历了这么漫长的运算， 发现这个还是有点刁钻，接下来就更刁钻了，其中二法角范围是零到二分之派。这个怎么求范围呢？不少同学说，老师我求导，求出它曲子范围求导有点复杂，这题 有个技巧，什么技巧呢？请看。因为 sine alpha 加上二分之三分之 pi， 它是等于 sine alpha， cosine 减去加上二分之根号三。 cosine 不是三分之派。你这个凑一下，凑出这个，外面配个二， 怎么凑呢？打开这个是这个，是这个，不出这个好，继续改。这个凑六分之派二，二分之根号三。萨亚纳法加上 二分之一扣在二法，要发现他刚好就得根号三加扣在二法。好，这里有个加扣在二法，注意跟分子中的这个长得很像。为什么凑这样凑呢？两倍，这个是不是刚好是小于等于二的，对吧？ 此时是不是推出二减扣在二法就大于等于根号三。 当什么时候成立呢？当 sine alpha 加六分之 pi 等于一时，就有最小值为根号三。也就是说 alpha 加六分之 pi 等于九十度时，所以 alpha 等于六十度时，由等号成立。 这个不等式就牛逼了啊，很难想得到。所以我们原式是天井阿尔法分之一加天井贝塔分之一就等于二减 cosine alpha 除以四， sine alpha 就 大于等于分子， 我的分子就换成大于等于。 哎，少个根号三了，抱歉，那少个三呢？嗯， 就变成根号三。塞纳法，这里不少个根号三了，除以四塞纳法，塞纳刚好约就是根四分之根号三，所以四分之根号三就是最小值。 哇，这个立体几何太变态了，完全是立体，立体几何与解三角形、三角函数 完美结合。 好，大家好好品味这一题，非常漂亮的一个题目。好，就到这。
22柯帆学数学¾
