今天我们介绍一个非常牛的赛瓦定理。三角形 a、 b、 c 内有一点 o 连接 b、 o 并延长交 a、 c 一点 f 连接 a、 o 并延长交 b、 c 一点一 连接 c、 o、 b 延长交 a、 b 一点 d。 那么就有 a、 d 比 b， d 乘上 b 一比 c 一乘上 c， f 比 a， f 等于一。这个定理好记吗？ 不好记。那怎么办呢？我们就应该找规律，从三角形 a、 b、 c 当中任何一个顶点出发，沿着一个方向我们来写，就会出现了 a、 b 乘上一个 b， c 乘上一个 c a。 然后呢，这个 d 就是 a、 b 上的点。 b、 d 比 a d， e 是 b， c 上的点， b e 比 c， e、 f 是 a， c 上的点。就 c、 f 乘 a、 f 等于一。这个定理怎么正呢？如果用常规方法来正，将会比较麻烦。如果你知道我们以前讲过了共编定理，那就完全不一样了。 我们观察 ad 比 bd， 它是三角形 aoc 和三角形 boc 的面积之比。因为三角形 aoc 和三角形 boc 它公共 ceo 边，所以它的面积之比其实就等于高之比。而三角形 它与这个三角形它是相似的，所以就等于 a、 d 比 b d。 也就是 a、 d 比上一个 b、 d， 它会等于三角形 aoc 的面积比上三角形 boc 的面积。同样的道理， be 比上一个 ce， 他就会等于三角形 abo 的面积比上三角形 aco 的面积。而 cf 比上 af， 同样的道理，他会等于三角形 boc 的面积比上三角形 aob 的面积。所以 ad 比上 bd， 乘上一个 be， 比上一个 ce， 乘上一个 cfbaf， 就会等于三角形 a、 o、 c 的面积比上三角形 b、 o、 c 的面积乘上三角形 a、 o、 b 的面积，比上三角形 a、 c、 o 的面积。乘上三角 型 b、 o、 c 的面积，比上三角形 a、 o、 b 的面积。我们知道 l、 c 和 l、 c 可以掖掉 l、 b 的面积和 l、 b 的面积，掖掉 b、 o、 c 的面积和 b、 o、 c 的面积。掖掉结果等于一搞定。
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04:48查看AI文稿AI文稿来，今天咱们一起来讲一个非常牛的定理，赛瓦定理。在之前的视频中呢，咱们讲过明年劳斯定理，明年劳斯定理和赛瓦定理同出一门，但是他们的形态上还是有一些区别的。 我们知道了三角形 abc o 是三角形 abc 内一个点连接 aobo 以及 co， 并且延长分别交 bc、 ac 和 ab 与 d e f 三个点。那么这个时候我们得到的结论是什么呢？是 a f 比上 fb 乘以 bd 比上 dc， 再乘以 ce 比上 ea 等于一，这个就是赛瓦定理的内容。那么我们如何来证明他呢？今天咱们来用一种易 一条辅助线都不加的方式来证明他。大家先跟我来看第一个式子， a f 比上 bf， 那么对于 a f 比上 fb， 大家仔细观察，那么 af 和 fb 他分别是三角形 afc 和 bfc 的底边， 而且你会发现 afc 和 bfc 的高是相同的，既然高相同，那么底边的比就等于面积比，所以他应该等于三角形 afc 的面积比上三角形 bfc 的面积。 然后大家再仔细来观察，那么 afc 和 bfc 这两个东东，实际上如果把 fc 看成什么，看成底的话，他的面积比同样也能用相应的高的比来。 也就是说，我的三角形 afc 和三角形 bfc 的面积比可以用 a 到 fc 的距离及 b 到 fc 的距离，也就是 h 一和 a 叉的比来进行代替。 那么咱们再来观察这个 h 一和 h 二，他们的比又可以等于谁呢？大家来观察 a o c 和 b o c 这两个三角形 c 和 b o c 的边欧 c 是相同的，而且你的 a 和 b 到 o c 的距离之比分别是 h 一和 h 二的，你发现又是同底高的比，就是面积 b， 所以这一别一下就可以是三角形 aoc 的面积比上三角形 boc 的面积。那么这个式子我们既然已经证明了， 后面两个式子照着他的逻辑同理可得。我们知道的是 bd 比上一个 dc 等于的是 bd 对应的是三角形 aob 的面积，而 dc 我们对应的是三角形 aoc 的面积。 至于最后一个 c， e 比上 e a c e 比上 e a， 他就应该等于的是 c。 在这里，三角形 b、 o c 的面 比上三角形 a、 o b 的面。那么现在呢，我们把这个式子，这个式子和这个式子都去进行相乘， 左侧相乘就是我们要证明的式子的左半部分，而右边咱们把它分别写出来，三角形 aoc 比 比上三角形 b， o c 乘以三角形 a、 o b 比上三角形 a、 o c， 再乘以三角形 b、 o、 c 比上三角形 a、 o b 的面积， 你会发现他和他约掉了，他俩也约掉了，最终的结果就是一。也就是说，这个柿子我们利用面积的代换就证明结束了。 有的同学一定会问啊，你讲了这么多，这道题到底有啥用？这个定理干啥的？咱们来简单的看一下，如果我现在告诉你了意式 ac 的终点， 并且告诉你 bf 呢，是 ab 的三等分点， bf 是一份， bf 是两份。问你 bd 和 cd 的比是多少？咱们直接用刚才的赛瓦 定理来解决内容。那么 a f 比上一个 fb 乘以 bd 比上 dc， 再乘以 ce 比上 ea， 就等于一来同学们跟我观察， ae 和 ec 的比直接就是一了。 然后我们知道的 a f 比上 fb 就是二比一，乘上 bd 比上 dc 等于一，所以 bd 和 cd 的比就是二分之一。 这道题目我们就搞定了，同学们，塞瓦定理今天务必学会，小哥！
9405数学赵观察
02:05查看AI文稿AI文稿这期讲一个很哇塞的定理，叫做赛瓦定理，点欧是三角形 a、 b、 c 内任意一点，则有这三组比例相乘等于一，这就是赛瓦定理。他跟梅涅劳斯定理在课本里是没有的，但是自主招生和竞赛是经常考。 上期视频讲了梅涅劳斯定理，现在用梅涅劳斯定理来证明下塞瓦定理过程特别简单， b 一分别交于绿色三角形三条边所在直线于点 b、 o、 e。 根据梅涅劳斯定理就有这三组比例相乘等于一。 同样， c、 f 分别交于蓝色三角形三条边所在直线于点 c、 o、 n 根据梅涅劳斯定理也得到这三组比例乘积等于一，再用二式除以一式化减后，就 得到赛瓦定理。赛瓦定理特别容易记，三角形的三个顶点任意取一个作为起点，选一个方向绕一圈，三组比例乘积等于一。赛瓦定理应用也特别广泛，比如去证明三角形各种星，可以说是直接秒杀。 大家学三角形各种心的时候，是不是特别好奇，为啥三条线能相交于一点？用塞瓦定理证明就特别简单了。 下面用塞瓦定理去证明三角形三条中线相交于一点，也就是三角形的重心，如下图， ad 和 be 是三角形的中线， 交于点 o， 连接 c， 又交于 a、 b 与点 f。 我们要证明点 f 也是 a、 b 的终点就行了。根据赛瓦定理就有这三组的比值相乘等于一 d 和 e 又是 b， c 和 a、 c 的终点，就容易算出 a、 f 等于 f b 了。固点 f 也是 a、 b 的终点，就证明了三角形三条中线相交于一点了。 塞瓦定理的另一种形式叫做角元塞瓦定理去证明垂心、内心等等各种心也是特别简单。塞瓦定理可以说是好记又好用，是不是很哇塞？
1.1万阿基米动画数学![[数学竞赛]边元塞瓦定理的证明及运用#数学竞赛 #高中数学 #初中数学 #几何 #数学](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/1c3a282c3dd89666d6c076d84843f83b~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2099541600&x-signature=lPiU0f%2FWCDcG8U0Wj6uf0jyFyPI%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=2026071614155336F65C7AA63E3805AC8A)
09:02查看AI文稿AI文稿大家好，上节课我们讲完了数学竞赛中的梅念劳斯定理，这节课来讲萨瓦定理，然后关于这个萨瓦定理的话，他又可以细分为边缘和角缘，这个角缘的话咱下节课再讲。这节课主要讲关于边的这样一个萨瓦定理，然后你发现很像都是三个笔直乘积等于一， 与这样一个美女老师定理比起来。那好，现在咱们来看一下什么是边缘策划定理，那边缘策划定理内容指的是这样的，已知 d f 是三角形 abc 三边上的点，且 adbec f 交易点 p， 这个记忆方式非常好记啊，你看你来开始转圈就行了， bd 比上 dc， 然后再乘 c e b 上 e a， 然后再乘 a f b 上 fb， 正正好是什么呢？正好是顶跟分顶转了一个圈，那既然是顶分分顶转个圈的话，成绩等于一就可以了。其实他的记忆方式跟谁非常像啊， 跟咱之前讲的梅念劳斯定理的记忆方法非常像，顶回分顶转个圈。那么我们这节课的重点主要是证明，证明的话我讲两种方法吧。第一种证明方法的话是用什么来证明的？不用做辅助线，是用面积法来。呃， 确定的，你比如说第一个比值，咱们可以看成谁和谁的面积比值呢？来看吧。呃，先来看这个比例，比上 dc， 他实际上可以确定出来他俩的笔是等于谁啊。首先看小的，三角形的话肯定等于下边这样一个 pbd 比上 pcd， 那就写就可以了。好，那他等于三角形，先写大的吧。你看 abd 比上 adc 这个面积之比吗？应该理解吧，因为他俩高是一样的，底的比就是面积的比。那我们先写大的吧，大的三角形是 abd 比上谁啊？比 上啊，三角形 adc， 那好，然后两个小的三角形的话，就是从点 p 出发了， pbd 比上 pdc， 那好，继续来，那还等于什么面积呢？还等于三角形 p bd 比上三角形 pdc， 那好。嗯，关于这样一个笔直的话，他有什么关系啊？有这样一个分笔性质吧，就是说分子减分子比上分母减分母，只要分母不等于零就可以了，或者分子加分子，现在我们用减号， 你看了啊？呃，左边比较大的这样一个分子减去分子，你看三角形 abd 的面积，分子减分子比上三角形 pbd 的面积，然后等于谁呢？等于三角形 adc 分母笔分母啊，分母减分母，然后再减去三角形 pdc 来，先看分子 分子相减，你看 abd 减去 pbd， 这就是什么东西啊，不就是 abp 吗？对吧？三角形 abp 原来是这个意思，然后右边的话，这样一个 cd 分母就相当于比上谁，相当于三角形 acp 这样一个面积比。哦，原来是这样一个呀，实际上这个结论是什么？如果 bd 比上 dc， 正好等于这样两部分面积的比，他在小学奥数中其实叫燕尾定理。之前我也讲过啊，你知道就知道，不知道也没关系，这样 比还是可以比出来的。那同理可得你看了啊，我们只需要用什么呢？只需要用，那就是比例比上 dc 等于这两个面积之比就行了。那同理的话，第二个你看该 cd 比上 ea 了吧。那 ce 比上 ea 的话，那其实就等于谁啊？那不就等于这样的啊， bcp 比上 cbp 吗？那就写啊， bcp 比上 abp 其实就是小学奥数中的燕文定理。那第三个，第三个也一样啊，第三个的话该 a f 了吧， a f 比上 fb， 那其实不就等于就他比上他等于谁呢？等于 a c p 比上 b c p 好，那一二三这三个式子相乘就行了，一乘二乘三， 一乘二乘三的话，一定要注意是等号左边相乘，等号左边相乘，等号右边也要相乘。等号左边的话，实际上就是我们结论里头这样一个 bd 写吧，比上 dc 顶配温顶吗？ c 一比上 ea， 然后再乘 a f 比上 fb， 然后面积的话，你可以看一下，分子里边其实是可以消掉的。你看分子里边有个 bcp 吧，分母里边有个 bc， 这个可以削成一，对不对？然后 acp 和谁呢？ acp 和这样的 acp 也可以削掉。那继续来看，这个分子里边 abp 和这个分母里边的 abp 是不是都削成一了？那详细过程我就不写了，他的笔值等于一，那这种方法他的好处是不需要做辅助线， 然后其实还是挺快的。这种方法如果你知道小学奥数中的这样一个燕尾定理，也就是 abp 比上 acp 的比值恰好等于 bb 比上 dc 的话，那其实这个是可以秒出答案的。 但是呢，这样吧，咱们还讲另外一种，如果你是没有学过这个燕尾定理的话，咱们做辅助线也有一种比较简单的方法，利用相似。 那好做辅助线了，怎样去做辅助线呢？过 a 点做一个平行。我把这个辅助线呢写到右上角啊，过 a 点做 m n 是平行于 bc 的，那既然做完平行之后的话，相似 非常容易得到你比如说，哎，这俩是不是一个八字形的相似啊，是吧？然后 am e 和 cbe， 这是不是也是个八字形的相似啊？然后同样的道理 看了啊，这样一个八字，这个八字也是相似，但是这个八字的话，中间出现了一条线，这样一个红色的八字，其实分成两个小的八，这两个小的八字的话，会有这样一个结论，你可以自己正一下，非常简单啊，初三同学肯定都会的。 a m 比上比上谁？ a m 比上 a n， 其实左边应该写 n 点的啊，要不然就乱了，对不对？ a m 比上 a n， am 比上 an， 实际上就等于下边这个 bd 比上 dc， 那我们直接写了啊，看了同学们直接写这样一个结论， bd 比 dc 就等于 am 比上 a， 那第二个笔直 c 一比一 a， 那写吧， c 一比一 a， 这个要找哪组相似了？同学们， c e 比上 e， a 的话，记住这个点，不是这个点，应该是 n 点啊。好， c e 比 e， a 的话， c e 比一啊，那转换成什么？转换成了 am 比上 bc， 那就写吧， am 比上 bc， 然后应该是 bc 比上 am， 这个不能写反了，对吧？然后再继续，再接下来的话，就是 a f 比上，然后 fb， 那 a f 比上 fb 又等于什么呢？咱们要看哪个相似俩，那肯定是这样一部分，这样一个八字形的相似，对吧？ a f b 上 fb， 那不就正好等于 a n 比上 bc 吗？然后就结束了，对吧？那好，接下来看，你看 bc， 分子分母各一个，成起来以后可以消掉吧，然后 a n 可以消掉吧，分子分母消掉以后， 然后 am 也可以消掉吧，所以还是相乘这三个式子。那这三个式子相乘之后的话，左边是什么东西啊？左边不就是这样一个结论，到好左边的情况吧。右边的话，刚才我已经解释过了，乘几等于一，然后就正完了。这是第二种方法，利用一下八字形的相似就可以这 理解了吧。两种正确方法。那么关于这个边缘萨瓦定理的话，他实际上还有一个逆定理，那么他的逆定理是什么呢？刚才是已知这三条线是怎么样的？三线共点与点僻可以推出这样一个结论来，那么他的逆定理是，如， 如果有这样一个乘积等于一，你比如说已知 bd 乘 cd， 把 bd 比上 cd， 然后再乘 cd 比上 ea， 然后再乘 a f 比上 fb， 也就是说顶着分顶转个圈，如果三个分是他的乘积等于一的话，也可以得出来这 三条线，也就是说 a、 b， b、 e 还有四 f 是三线共点的理解了吧。三线共点推乘积等于一，这个呢，是边缘赛法定理。 那么如果是乘积等于一，推出这样三条线段的位置关系，也就是说三条线段是共点的，这个就叫边缘赛瓦定理的逆定理，这个大家知道就可以了。这个正面方法非常简单，我就不再追述了。然后接下来练习一道非常简单的问题啊， 他已经告诉你 b 可以比上 k c 了，又告诉你 k l 比上 a l， 然后让你求 a n 比上 n b 的比值，这就太简单了呀，由这样的边缘赛尔定理直接推就可以了，你看啊，中间等等会咱们倒一下，中间分给他们换一下，变成了这样一个 c， l 比上 l， a 等于右边也得换一减 t 比上 t。 那继续吧，因为由边缘赛瓦定理可知， bk 比上 k， c 乘 c， l 比上 l， a 再乘 a， n 比上 n， b， 你看 乘几等于一，对吧。大家来看了啊，前两个笔直都是已知的，让我们求第三个笔直，那其实很简单了对不对？那我们就写就行了啊， s 一减 s， 那下面的换一下 t 分之一减 t， 然后再乘 a， n， nb 等于一，那不就求出来了吗？所以说， a n b 上 n b， 他究竟等于多少啊？等于 t 减去 s t， 然后 s 减去 s， t， 就这样一个笔直，我们横向填这样一个结论就可以了。这节课你学会边缘三法定理了吗？分享课堂知识，感恩数学之美，我是杨帆老师，下节课再见！
362会放羊的教书匠
03:14查看AI文稿AI文稿今天我们讲小升初奥数赛瓦定律，小升初要掌握的定律，今天这个视频我们主要是讲，一、什么是赛瓦定律？二、赛瓦定律的简单运用。我们看题目如图，三角形 a、 b、 c 中 a、 d、 b、 e、 c、 f 相交于点 o。 好，我们先讲第一个问题，什么是赛瓦定理？在讲赛瓦定理之前，我建议你去看一下燕尾模型这个知识，因为这个定理的推导，我们全运用的是燕尾模型这个知识。 接下去我们来看一下三角形啊，这个 a、 b、 o 的面积比，这个三角形 a、 o、 c 的面积。根据燕尾模型，它就是等于 b、 d、 b、 c、 d。 再根据燕尾模型，我们看一下这个三角形面积比这个三角形面积也就是三角形 b、 o、 c 的面积并 上三角形 a、 o、 b 的面积等于 c、 e、 b、 a、 e。 再根据燕尾模型，我们看紫色的这个和蓝色的，也就是可以得到三角形 a、 o、 c 的面积。 b。 三角形 b、 o、 c 的面积是等于 a、 f、 b、 b、 f。 所以这三步我们全运用的是燕尾模型的知识。那在接下去我们看一下 b、 d 比 c、 d 乘上 c、 e 比 a、 e， 再乘上 a、 f 比 b、 f 等于的是三角形 a、 o、 b 的面积比三角形 a、 o、 c 的面积乘上三角形 b、 o、 c 的面积比三角形 a、 o、 b 的面积乘上 三角形 a、 o、 c 的面积比三角形 b、 o、 c 的面积。接下去等号右边我们进行约分，三角形 a、 o、 b 面积和分母的三角形 a、 o、 b 面积约分。再看一下三角形 a、 o、 c 面积 和这个分子三角形 a、 o、 c 面积越分。然后呢，三角形 b、 o、 c 面积和三角形 b、 o、 c 面积越分，另外一块都是变成 e 了，所以的话，我们最后就得到 b、 d 比 c， d 乘 c， e 比 a 乘 a， f， b， b、 f 等于一。这个我们说啊，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 比 e， c、 f 相交于点 o， 我们就可以得到 b， d 比 c， d 乘 c， e 比 a 乘 a， f， b， b、 f 是等于一，这就是赛瓦定理。那我们回到图当中，再去看一下啊，你看啊，看我的鼠标， b、 d 比 c， d 乘上 c、 e， b， a、 e 乘上 a、 f， b， b、 f 等于一，正好是这样一圈，对吧？好，接下去我们讲第二个问题，赛瓦定律的简单运用。如图，在三角 角形 a、 b、 c 中， a、 d、 b、 e、 c、 f 相较于这个几点，那么我们知道 a、 f、 b、 f、 b 是一比一， b， d 呢？比 d， c 是二比三，求 c， e 比 a， 那这样一来的话，我们直接根据赛瓦定律是不就可以 a、 f、 b、 f b a、 f、 b、 f、 b 乘上 b， d 比 d， c 再乘上 c 一比一， a 数等一好， a、 f、 b、 f、 b 的话是一比一，对吧？ b、 d 比 d， c 是二比三乘上 c， 一比一， a 最后等于一，那我们把经过计算， c、 e 比 e、 a 的话，就是等于三比二，这就是塞瓦定律的简单运用。好了，今天我们就讲到这里，希望对你有帮助，谢谢！
750无名老师
10:22查看AI文稿AI文稿今天有一个帅哥，他问我这样一道题目，那他说是初中的一道简单的几何题。好了，我们计算这个角四的角度，好，大家可以看一下。首先这是个等于三角形 角一角二啊，四十度和三十度，那意思就是底角是七十度啊，根据这个情况啊，我们可以计算出啊，这一个角他是等于五十度的，以及顶角啊，是四十度 啊，所以我们要算角四啊，我就不妨把它设为 x 啊，这边这边就是四十减 x。 好，然后那这道题其实我想了一下，我用初中的啊，所有的方法啊，包括什么做旋转 好，还包括这道是在阳三角形做中水线啊，我可以发现一些啊，很奇特的一些，嗯，等量关系，几何关系啊，但是我都没有办法删除这个 x， 所以这里啊，我就准备尝试啊，用一下 塞瓦定理，顺便就把塞瓦定理的这个缴源形式的证明给到给到。大家好，我们可以来看一下啊， 啊，叫塞瓦地理啊，是什么一个东西啊，我们来观察这个三角形啊，他，首先他一定会有这样一个等等间关系， s， c、 a、 p 的面积，他比上三角形 p， a、 b 的面积 乘以三角形 abp 的面积好，比上 三角形 pbc 的面积乘以三角形啊，这里是 bcp 的面积， 比上三角形 pca 的面积 好，大家看一下，这样存起来啊，他一定会等于一啊，为什么啊？因为你看 这个 c、 a、 p 和 pca 不是可以抵消吗？ pab 和 abp 也可以抵消啊， pbc 和 bcp 啊，也可以互相约架，最后就等于一。 好，然后我们根据三角形的面积公式，大家看 c、 a、 p 的面积公式，那不就是啊，这里我们知道哈，一定等于二分之一乘以 c， a 乘以 pa， 再乘以他们夹角的正弦尺表，这里是三亿四十减 x， 好比上 p a b， 大家看 p a、 b 的面积，我就可以用 p a 乘以啊， ab 乘以他们夹角的领先指 乘以三 ex 接下来 abp 的面积啊，用同样的方法， 二分之一 bp 乘以 b， a 乘以腮印，他们夹角啊，角二，也就是三十度啊，也就是三十度。 好，再乘以二分之一啊，乘以 pb 乘以 bc 乘以三以四十，再乘以二分之一，这里是 pc 乘以 bc。 哦，写错了， pc 乘以 bc 乘以他们夹角啊，那就是角三角三就是二十度。 在出笔上，二分之一 pca 的面积，那就是 pc 去乘以 ac， 再乘以三五十度嘛， 他们最终的结果啊，就会等于一。那我们可以来看一下啊，这整个柿子当中， p a 越调， p a 越调啊，这里 pb pb pc pc 好， c a 在哪里？ c a 这里约掉 ab， ab 约掉啊， bcbc 约掉啊，二分之一，当然自然而然的他就约掉了。所以我们通过一轮化解，最后我们就会得到这样一个式子，三以四十减 x 比上三应 x 乘以三应三十度比上三应四十度， 乘以塞于二十度，比上塞于五十度 等于一啊，于是我们要计算的这个角四，他就形成了这样一个含有 x 的三角方程啊，现在我们只要去解这个三角方程就可以了。好，我们一起来解下这个三角方程啊。啊，怎么去解 啊？首先这里不要着急把它打开， 三以三十度，我们知道他等于二分之一， 三应四十度啊，这里有个三应二十度，所以我就用二百家公式首先将它打开。 三应五十度啊，没有办法化解，先原封不动的斜上好，然后我发现三应二十度，这里可约钓好，然后对柿子 进行一步处理，最后就会得到三引四十减 x 等于四倍的三引 x。 扩散引二十度，扩散引五十度， 哦，写错了，惭愧啊！这里应该是塞应五十度啊，应该是塞应五十度， 好，塞五十度啊，这里大家可以看这里的柿子含有 x， 这里的柿子含有 x 好，实际上我们知道扩散二十度和三五十度他一定是常熟啊，所以我们要想办法将他进行一个处理啊，怎么去处理呢？ 啊，这个五十度啊，我不太喜欢，我们就这样来编一下 翻译，五十度不就等于扩散音四十度吗？为什么我要变成扩散音四十度 啊？那就是因为我用极化和差的时候，二十度和四十度他就可以组成我们喜欢的六十度这样一个角，我们就会组成六十度这样一个角。好，我们来看一下怎么去操作。 先拿一个二百三 x 放在这里， 乘以一个二倍的扩散音四十度乘以扩散音二十度。 好，这里就可以进行计划和差了啊，他不就应该等于扩散液两角， 这和那就是六十度加上扩散一两脚之差二十度 啊。扩散六十度，我们又可以变换，因为他等于二分之一，所以就变成了三 ex 加上二倍的 三英 x 和三英二十度。于是我们将含有三英 x 的给他移向 扣身二十度好等号的左边，此时我们 需用啊和差化机啊，和差化机这个和差化机的公式实际上也很简单，这样吧，我把它写在这个旁边啊，和差化机的公式 啊，他的公式是这样，比如说我这里是三应 a 减去三应 b， 他就会等于两倍的，或三应二分之 a 加 b 等于三，二分之 a 减 p 好，于是我们原式的左边 啊，他就应该等于两倍的扩塞，两角之和除以二，那就是四十减 x 加 x 除以二。二十好， 三亿两角之差好，两角之差除以二啊，那不就是二分之四十减二 x 啊。这里好，我没有化解好，我们下一步再来化解 二就约掉了，是吧？你看，二倍扩散二十度，这里扩散二十度就约掉了，所以还剩一个三应二十减 x 就等于三应 x， 这里显然 x 为锐角， 显然 x 为锐角吗？对吧？所以他们的三角函数，三角函数这个正弦值相等，那么他们的角是不是就应该相等？所以二十减 x 就等于 x， 所以 x 等于十度 啊，就解出来了啊，这道题，呃，我觉得这个方法等他比较暴力啊，但是他其实要用到的思路啊，并不复杂， 如果各位有更简单的好一个几何的方法啊，欢迎大家能够告诉我，帮我解答一下，谢谢！
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01:32查看AI文稿AI文稿今天讲赛瓦定理啊，赛瓦定理是非常重要的一个定理，就给到了一个三角形，中间随便来一点，然后这样连连连，就会有个结论，就是 bd 和 dc 的比值，这条边上的这两边比值，再乘以 c、 e、 e、 a 这两边的比值， 再乘以 a、 f、 f、 b 的比值，这样随便乘起来，它的结果就是非常奇特的一对吧。那么然后应该如何证明呢？也很简单，可以用到我们在上节课所学到的燕尾定理，可以很快搞定。那么先来看 bd 和 dc 的比值其实是等于谁呢？ 等于我们刚才所说的 s、 a、 o、 b 的面积比上 s、 a、 o、 c 的面积，这是一定的。那与此同时， c、 e 和 e、 a 的比值，它又是等于谁呢？它其实等于 s、 b、 o、 c 的面积，比上 s、 b、 o、 a 的面积好。那么最后的 a、 s、 f、 b 上 f、 b 的比值又等于谁呢？它其实等于 s、 a、 o、 c 的面积比上 s、 b、 o、 c 的面积。这三是左乘左，右乘右啊，都给乘起来，那么也就是 b、 d、 d、 c 乘以 c、 e、 e、 a 啊，再乘以 a、 f、 f、 b， 它其实是等于我们的 s、 a、 o、 b 比上 s， a、 o、 c， 然后再乘以 乘以 s、 b、 o、 c， 再比上 s、 b、 o、 a， 再乘以 s， a、 o、 c 比上 s、 b、 o、 c， 这样就搞定了。好，所以大家知道，真的非常开心的发现，这俩没有了，这俩消掉了，这俩也没了，所以说最终结果当然就是一这么。
376飞哥一分钟数学
08:43查看AI文稿AI文稿角圆赛瓦定理及其推广上节课呢，给大家介绍过边缘赛瓦定理这节课，我们要学习的角圆赛瓦定理呢，与边缘赛瓦定理的内容呢很相似。 而且角圆赛马定理的证明过程呢，我们也可以应用边缘赛马定理去证明。 好了，我们先看一下角圆赛瓦定理的内容。如图 p 为三角形 abc 锁在平面内一点 p 点呢不在 abbc、 ac 三条直线 上延长 apbpcp 分别交对边或期延长线与点 def。 那么有 三角 cap 比上三角 pab 乘以三角， abp 比上三角， pbc 乘以三角， bcp 比上三角 pca 等于一。 为了书写简洁呢，我将这六个角分别记做如图所示的角一角二角三角四和角五角六。我们先看正法一、面积法 三角形 a、 c、 d 的面积比上三角形 a、 b、 d 的面积，通过正斜面积公式，等于二分之一倍的 a、 c 乘 a、 d 乘以三角一，比以上二分之一倍的 a、 b 乘以 a、 d 乘以三角二。 月分得 a、 c 倍的三角一，比上 a、 b 倍的三角二。又因为呢，三角形 a、 c、 d 的面积比上三角形 a、 b、 d 的面积呢，还应该等于 c、 d 比上 b、 d。 因为呢，他们是高相同的面积比呢，就是底边之比。 所以呢，我们得到 a、 c 三角一比上 a、 b 三角二，等于呢 c、 d 比上 b、 d。 同理可得 a、 b 三角三比上 b、 c 三角四，等于 a、 e 比上 c、 b、 c 三角五比上 c、 a 三角六，等于 b、 f 比 a、 f。 将白色矩形框中的三个等式相乘，得 左边呢是 a、 c、 b、 a、 b 乘以 a、 b、 b、 c 乘以 b、 c、 b、 c、 a 乘以三角一比三角二，乘以三角三比三角四，乘以三角五比三角六。 右边呢，是 bf、 bfa。 乘以 a、 e、 b、 e、 c。 乘以 c、 d、 b、 d、 b。 而紫色矩形框中的部分呢，通过约分显然等于一。而右边橙色矩形框中的内容呢，根据我们 上节课讲过的边缘赛瓦定理，他的成绩呢，刚好是一。最终呢，我们就证明出了角圆赛瓦定理。 三角一比三角二，乘以三角三比三角四，乘以三角五比三角六，等于一。记我们最终想要证明的结论，成立 这个正法呢，是从面积入手，然后得到相应的比例。是根据之前学过的边缘赛法定理为基础证明的角圆赛法定理。下面呢，我们再看一下该定理的第二种证明。 如图，在三角形 abp 中，由正弦定理可知，三角三比三角二， 等于 p、 a、 b、 p、 b。 同理可得在三角形 b、 p、 c 和三角形 a、 p、 c 中。根据正弦定理，我们可以得到另外两个等式三角五比上三角四，等于 p、 b、 b、 p、 c。 三角一比上三角六，等于 pc 比 pa。 将白色矩形框中这三个等式相承德 三角三比三角二，乘以三角五，比三角四，乘以三角一，比三角六， 等于 p a 比 p， b 乘以 p， b 比 p， c 乘以 p、 c 比 p a。 等号的左边呢，经过顺序调整，可以写成三角一比三角二，乘以三角三 比三角四乘以三角五比三角六。而等号右边呢，经过计算，约分显然等于一。这样呢，我们也证明出了角圆赛瓦定理。 实际上，我们也可以过点 p 做 px 垂直 ab 与 xpy 垂直 bcypz 垂直 acuz。 三角一等于 p z、 b a p， 三角二等于 p x b a p。 所以呢，三角一比上三角二等于 p， z 比 p x。 同理，可得三角三比三角四等于 px 比 py， 三角五比三角六等于 py 比 pz。 将这三个等式相乘，也 可以证明出角圆赛瓦。定理记三角一比三角二，乘以三角三比三角四乘以三角五比三角六，等于一角圆。赛瓦定理的证明呢，就给大家介绍了将近三种方法。 下面呢，我们来看一下角圆赛马定理在四边形乃至多边形中的推广。 如图在突四边形 abcd 内认取一点 p， 连接 papb pcpd。 则有三角一比三角二乘以三角三比三角四乘以三角五比三角六，再乘以三角七比三角八等于一。这个题呢，正 名呢，可以通过刚才的第三种证明方式很快的证明出来。我过点 p， 分别做 p、 e 垂直 a， d 于 e， p、 f 垂直 ab 于 f， p、 g 垂直 bc 于 g， ph 垂直 cd uh。 则有三角一等于 p e b、 a p。 三角二等于 p f、 b、 a、 p。 两事相处，可得三角一比三角二等于 pe 比 pf。 同理，可证 三角三比三角四等于 pf 比 pg 三角五比三角六等于 pg 比 ph， 三角七比三角八等于 p h 比上 p、 e。 将一、二、三、四这四个等式垒成，得三角一比三角二 乘以三角三比三角四乘以三角五比三角六乘以三角七比三角八。等于右边是 p e 比 p， f 乘以 p， f 比 p， g 乘以 p， g 比 p， h 乘以 p， h 比 p e。 右边呢，可以通过约分 约掉 pf pepgph。 显然呢，结果等于一， 这样我们就证明出角圆赛瓦定理在四边形中也成立。类似的，我们 可以将角圆赛网定理推广到 n 边形中，他依然是成立的。好了，有关角圆赛网定理的证明呢？及其推广就给大家分享到这，同学们，再见了。
75超哥的数学
01:53查看AI文稿AI文稿大家好，这一期我们讲萨瓦迪尼。如图所示，在三角形 abc 内， adbe cf 小于 odm。 结论是 a、 f、 b、 f、 b 乘以 b， d、 b、 c， d 乘以 c， e、 b、 e、 a 等于一。好。我们来证明一下。这个的证明我们要用到上一期讲过的 燕尾。 根据那个地理，我们知道 a、 f 以上 f、 b 等于三角形 a、 o、 c 的面积，以上三角形 b、 o、 c 的面积。而这个 b、 d 以上 c、 d 等于三角形 a、 o、 b 的面积。以上三角形 a、 o、 c 的面积。而这个 c、 e、 d、 a、 e 等三角形 b、 o、 c 的面积，以上这个三角形 a、 o、 b 的面积。我们将 这三个等式相乘，就得到这个等式。左边相乘得到这个的左边，右边相乘等于一。好。塞瓦基尼我们就分享到这里。
01:12查看AI文稿AI文稿那些你曾经了？如指掌的公式定理赛瓦定理任意三角形中任意点，如图所示， 则 a、 b、 b 乘以 c 比， d 乘以一，比 f 等于一。怎么证明？如图做垂线两直角三角形为相似三角形，所以 a、 b、 b 等于 h， e 比 h。 二、 橙色三角形和蓝色三角形共比，所以橙色三角形与蓝色三角形的面积比等于 h， 一比 h， 两是合并。那么再来看这两个三角形，同样的方法可以证明 c、 b、 d 等于粉 色三角形面积比橙色三角形面积同理一比 m 等于蓝色三角形面积比粉色三角形面积 等。式两边相乘，可以得出 abb 乘以 cbd 乘以一， bf 等于一。你学会了吗？
2619青衫学长（图解数学）![[数学竞赛]塞瓦定理在圆中的形式 #数学竞赛 #平面几何 #中考数学 #几何 #数学 #高中数学](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/e56ad5ba115685df63d650ba1ac50c52~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2099541600&x-signature=Pj5rkGQd8LasDCi5pv8ogQpC2FE%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=2026071614155336F65C7AA63E3805AC8A)
06:12查看AI文稿AI文稿大家好，这节课来讲一下圆形里边的塞瓦定理。之前已经把这个边缘塞瓦定理，还有角圆塞瓦定理给讲完了。塞瓦定理的话，一方面是证明这样一个结论，另一方面是根据这样一个乘积等于一的结论呢。反过来，正三条线是交于同一个点的。这是塞瓦定理啊最大的用处。 之前的缴源萨瓦定理和边缘萨瓦定理咱们都已经讲过了，应用还有这个证明方法了，至少都讲了两种证明方法啊。嗯，这节课的话讲一下这个拓展。 嗯，稍微复习一下这个角缘萨瓦定理。边缘萨瓦定理就不多说了啊。角缘萨瓦定理实际上之前也讲过，为什么复习他呢？因为他的证明里头也用到了元啊。那好，来说一下吧，这角缘萨瓦定理是怎么证明的。 我们先来观察这样的角一和角二和角三吧。这个角二和角三大概 告诉我是在哪个三角形里头。角二角三的话，我们需要观察的是三角形 app 啊。在三角形 apb 里头，根据这样的正弦定理吧。其次是个边角互化吧。也就是说角的这个角的正弦，角二的正弦是一次的，角三的正弦只能也是一次的。 所以就直接画成角二的对边边画角角和对边吗？那好了，角二的对边啊，我们发现是 pb， 然后这样的。这个，嗯，角三的对边呢？是 a p。 嗯，我就写上 p a 吧。 同样的道理，这个角四角五一样了吧。角四角五的话，你观察的应该是这样一个三角形了。 pbc 了。还是根据三角形 pbc 里头的正弦定理的。其次是的互化。那么此时角四比上角五，你对边吗？那不就是 pc 比上 pb 吗？那最终同样的道理，这个角 六比上角一呢？也是正弦定理。不过此时角六角一的话，你应该观察的是 apc 这样的三角形了。根据正弦定理，边角互化，这个角六的对边是角六的对边是 ap， 我写成 p a 啊。然后这个角一呢， 角一的对边是 pc 啊。那你这三个量乘起来，我们此时就把这样的角的正弦成绩分别转换成了 pb 比上 p a， pc 比上 pb， 然后再乘 p a 比上 pc。 这你一画你也知道。最后结果等于一啊，对不对？分子分母一销，最后结果就是一了。非常简单，利用了一下。什么利用了一下 啊，外接源的正前定理，你得记住啊。正前定理的其次，是的边角互化。那现在来看哪呢？来看一下第二个，这也是我们这些课的重点，主要是研究圆形中的塞化定力。为什么有 这样一个结论。好了，既然讲的是圆形中的司法定律，你肯定要问了，老师，这个圆在哪呢？跟看来这个图完全一样啊。这个圆我画出来不就行了吗？此时我们需要画出来 abc 的外接圆。 画完外界圆还不够。画完外界圆之后啊，延长 bd， 跟这个外界圆交一点 q。 同样的道理， 延长 ce 跟这个外卷交易点 n， 延长 a f 交外接源于点 m。 也就是说此时几个点是共圆的呀。此时除了 abc， abc 肯定是在这个圆上，因为你画的就是 abc。 外接源 除了 abc 以外，这个 mn 还有 q 吧，六个点是公元的。注意这六个点是在同一个圆上的，那现在的话，我们就要挣这样一个结。这个结论特别有意思，你看转个圈就可以了。 bm 这条弦，哎，赚了吧。 bm 完了该 mc 了。 mc ccqq a 那 cqq a 那最后一组 a n 比上 n b a n n b 哎呦，直接转个圈，然后比值乘积等于一吗？对吧？直接转一个圈啊， bm 比上 mc 等于 cq 比上 q a 不是等于啊，是 bm 比上 mc 乘 cq 啊，比上 q a 再乘 a n 比上 nb， 最后成绩结果等于一。这个简直是太有意思了。那现在的话，咱们的任务就是如何证明这样一个圆形中的下法定理。 怎么证明呢？极其的容易。刚才缴延萨瓦定理，我们已经说出这样的结论了，他等于什么呢？稍微换一下顺序啊，刚才已经正过了 三角二角一倒了一下，分子的顺序一样的啊。然后接下来什么呢？接下来就是三角四比上三角 三，再乘三角六以上，三角五等于一。这个是角按萨瓦定理的内容，这个你刚才已经知道了，咱已经复习完了。现在的话是要转化。那么怎么去转化呢？根据正弦定理吗？ 这个正弦定理的话，正弦定理肯定是跟外队员的半径有关了对吧？正弦定理 这个正形定理的话，根据的是最大的这样一个圆，六点共圆的，这个最大的圆，那么根据这样一个外界圆他这个比如说我们把这个外界圆的半径即为二，这个可以吧。圆心的话，可能是在这样一个点欧的位置啊，他跟点皮不一定是重合的。那现在怎么办呢？ 那现在你看这个角二和角一是不是也可以转化呀？这三角二他是根据正确定理，我稍微换一下， 他等于什么？等于 a 比上二 r 吧。这个不就是正前定理的内容吗？懂了吧？那既然分子有二，分母有二，我就直接转换就可以了。那好，这些关键是这个 a 是谁？角二的对边你看看是谁吗？小二的对边是 bm 这条线啊。所以我就把小 a 其实转换成 bm 就可以了。 也就是说第一组这样的笔直呢，我们直接就转换成了根据正确定理， bm 比上 mc 第二组这样的笔直。三角四比上三角三，那不就是 cq 比上 q a 吗？ 那第三组三角六比上三角五，那最终等于什么？那其实也就是等于 a n 比上 n b 的啊。你想想，角五的对所对的这条弦不就是比 n 吗？对吧？啊，好了，角六的话是 a n 比上 n b。 那好， 就结束了。最后结果呢？他就是等于一的。注意，圆形中的塞瓦定理是根据这样的角圆塞瓦定理，再结合一下正形定理推出来的啊。刚刚我们讲完的这样的角圆塞瓦定理。还有第二个，这节课的重点，笔头圆形中的塞瓦定理 都是通过这样的外界缘结合一下挣钱定理挣出来的，还是非常有意思的。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨万老师，下期再见。
182会放羊的教书匠
15:14查看AI文稿AI文稿大家好，有一段时间没有讲高等数学了，有很多同学怀疑杨老师是不是不更新高等数学了，看答案肯定是否定的啊，我还是要继续更新高等数学。那今天我就来讲一讲拉格朗日中制定理证明的两种方法。 其实关于拉格朗日定理证明的话，主要是构造封面上这样一个函数，并且为什么要构造这样一个函数？把这点了解清楚了，这个拉格朗日中制定理就非常好理解了 呢。在讲拉格朗日中制定理之前的话，先要讲他的基础就是罗尔中制定理，罗尔中制定理呢，又是由费马定理证明出来的，任何一本高等数学的教材上都有详细的讲解， 并且这个罗尔中治定理啊，非常好理解。他的前提一样啊，在什么某一个函数 fx， 这就是函数图像啊，他在 b 区间上是连续的，在这一段上必须是连续的，然后在开区间上任何一 这个点呢，都是可导的，可以求导。并且第三点在区间端点处的函数值相当在这个图像上实现，就是 fa， 等于 fb， 咱们都写出来了，知道就可以。也就是说这两个端点 a 点和 b 点是一样高的，它的函数值一样 行。那结论是什么呢？罗尔中指领里的前提分三条， b 区间连续开区间刻道，并且端点值相等。那么结论就是在区间 a 到 b 这样一个开区间内，至少存在一个点可在，使得可在点这个处导航数的值是等于零的。 那么看图像，其实你也能看出来什么意思啊，他的几何意义指的就是如果你满足这三个前提，满足这个卢尔众定理的前提，他的函数在 a 到 b 上至少存在一个点，至少存在一个点的点 p 啊， 使得曲线在某一个点处需要有水平的切线。肯定是这样的，并且有的人可能说，老师我如果就是一条水平的线呢？这个 fx， 那任何一个点的位置，他的导航数字值都是等于零，也就是说水平缺陷吧。那有同学说了，老师你画这个图像是不是凑巧啊，他有两个极致点，那如果我画了一个，他只有一个极致点呢？ 一个机制点，你看这个点的屁数，它是不是水平的切线呀？也就是说导航数的值等不等于零，肯定等于零啊。所以说罗尔中指定理非常容易理解，那既然有了罗尔中指定理，那接下来再来讲解拉格朗日中指定理就非常简单了。 拉格朗日中制定理呢？前提大概一样，但是少了一条。他的前提指的是什么？在 b 区间上是连续的这个函数，并且在开区间内是可导的， 前两个条件一模一样，但是他不需要两个端点相等啊，也就是说你看 a 一点和 b 一点，他说了相等吗？不一定，含数值一个高一个低，或者相等都可以啊。所以说拉格朗是正式经理，和罗尔正式经理，他的关系是什么？ 其实那个罗尔中治硬理就是拉格朗日中治硬理，一种特殊情况，当断点制一样的时候，就变成了罗尔中治硬理了，这个大家理解就可以。 那结论是什么？当你满足前两个条件，在 b 之间连续开之间可倒，那么我们就可以得出一个结论来，则在区间 a 到 b 内部至少存在一个点，可在使得可在出。这个导航数的值等于什么？等于 ab 连线，你看呀，导航数的值，你说 这个等号右边是什么东西？等号右边不就是 a 和 b 之间这条连线的斜率吗？原来 ab 连线的斜率是这个意思啊，那么如何理解又如何？那么关于拉格朗日中日定律如何理解又如何证明呢？我们先来看几何意义啊，看这个图， 他这个几合一非常容易理解，函数 fx 如果满足前两个条件，必须要连续开圈，可导这样一个前提下，那么此时函数 fx 在区间 ab 之间某一点处，至少某一点啊，肯定是存在缺陷于 ab 这条直线是平行的，你看图 c 点 是不是有这样一条跟 ab 平行的切线啊？那么到了这个地点是不是也有一条平行的切线啊？至少存在一条平行的切线的，跟 ab 平行。 那么现在要证明的话，需要跟之前的罗尔正定理结合起来，罗尔正制定理，它需要增加一个条件，这个括号三条件叫什么？叫端点值必须相等。 大家想一个问题啊，你现在呢，已经学过罗尔众志定理了，还可以把罗尔众志定理当成以这条件来用了。那么现在罗尔众志定理你如何能够让这样一个图，也就是拉格朗日众志定理这样一个图变成罗尔众志定理？ 其实也就是说，关于这个函数，如何能够让 a 点出他这个函数的值和这个 b 点处函数的值原来是不一样的，变成一样其实好理解，看好了，同学们啊，这个 fx 是这条黑色的图像，大家都知道 我写一个东西，现在告诉我是什么，首先看好了啊， y 等于什么呀？ y 等于 kx。 哦，我现在有点理解什么意思了，我们构造这样一个函数就行了。大家不理解的就是后边为什么要有这样一个东西呢？其实很好理解，看 好了啊，嗯， y 等于 kabab 的话，其实很好。求 ab 之间的旋律，然后 x 减去 a， 那根据点斜式的话， y 应该减去什么？ y 应该减去 fa， 那写到右边去的话，实际上啊， ab 这条直线他是谁呢？ ab 这条直线实际上就是，嗯， kb 是谁？ kb 实际上根据两点之间斜流公式，他就是 b 减 a 分之 fb 减去 fa 好新过道这样一个函数，那么再来个 x 减 a， 再把这个原来的负 fa 移到等号右边去，变成了加 fa 了。 哦，那我清楚怎么回事了，实际上我只需要由原来这样一个黑色的图像怎么样？原来这个黑色的 frx 这样一个图像剪去这条直线的图像，不就把它拉平了吗？ 所以我直接减去这条直线的图像了啊，好， f x 减去这个 y 就是减去等号右边这一部分，所以到后边的话，实际上你可以构造出什么形式来？相间以后，你后边可以减去这个 fa， 也就是说，我们只需要让原来这个 f x 再减去谁啊？减去这条倾斜的直线 ab 减去这条 ab 之后的好处就是原来 a 点和一点水平了，那后边减去这个 fa 的话，实际上就是减去谁了？减去这条直线的解析室了。 那现在看好了啊， fx 好说吧， fx 他在 b 区间肯定呀，还是连续的，然后在开局间呢，还是可以求导的，并且请大家仔细算一下，这个大 fa 和大 fb 新构造的 这样一个函数等于谁？要注意啊，后边是加了一个减去 iphone 的小 iphone 等于多少等于零啊？你看是不是必须连续开机箱可导，并且端点之相等？ 所以罗二中制定里三个条件满足了吧。三个条件满足了，那结论是什么？结论就是在 a 和 b 这样一个内部，至少存在一个直科赛，怎么样啊？至少存在一个直科赛，使得大 f 片 可赛是等于零的。大 f 片可赛不就相当于你等哈右边球倒吗？那其实也就是小 f 片 可赛正好等于谁？正好等于他啊，因为右边这一部分化学这一部分求导的话，只剩下谁了，只剩下这个斜率了，减去这个 b 减 a 分之 fb， 减去 f， a 等于零。那实际上移向之后不就是这个 fp 二克赛等于 b 减 a 分至 fb 减 fa 吗？所以说罗尔政指定里现在应该知道怎么证明了吧，关键就是要构造这样一个辅助的函数。 这个辅助函数怎么构造出来的？我们其实可以这么来，立即原来你这个 fx 有这样一个向上的趋势吧，从 a 点到 b 点之间， a 和 b 这两个点他不一样高，如果一样高的话，就可以利用已经学过的罗尔众指定里了。 那怎样让 a 点和 b 点这两个点一样高，或者说函数值一样的，只需要减去 ab 直线的解析室，就构造出这样一个函数来了，现在是不是就很好理解了？最后结合一下鲁尔称定理，很好证明。其实我要讲两种方法，另外一种方法就是反推分析的方法。数学分析的方法呢？ 我们从结论向一个条件去套就行了。现在你是不是想证明这个东西啊？你想要证明？嗯，这个 f 我写一下吧， b 减 a 分之， fb 减去 fv， 注意，这是一个长数啊，它实际上就是 ab 两点连线的斜率减去 f 片 可在等于零。注意，这个可在呢，是开卷 a 到 b 内部的某一个自变量的值吧。你想证明他等于零，其实相当于 要证明谁啊？其实相当于要证明的。就是我继续写了啊，其实相当于要证明的。就是看好了 fb 减去 fa， 我再抄一遍， b 减 a 分之，然后减去 fxix 等于几啊？ 这个 x 等于可赛等于零。那我为什么要写成这样一种形式呢？其实好理解，同学们，他的原函是我相信大家都是理解的吧。你说括号里头这样一个 原函数好找吗？就是说某一个函数求到以后得到中考里头这样一个函数其实好找啊，他的原函数其实就是 fx 本身他的原函数，因为他本身是一个 kb， 是一个长数啊，是一个已知的长数么？长数？他的原函数不就是乘一个 x 吗？所以后边乘一个 x。 哦，原来他的原函数是这么回事啊。现在已经找到原函数了啊。那么找到这样一个原函数之后的话，那就更好了，我们现在构造这样一个函数啊，另大 fx 等于谁？等于 b 减 a 分之 fb 减去 f ax， 这个实际上就是谁啊？这个斜率就是 ab 之间的斜率，那么其实这条直线我想说明的是跟 ab 这条直线它是平行的关系，我们用这样一个平行的直线再减去 ffx 和用 ffx 减去这样一个平行的直线，你说本质上有区别吗？没有区别，只是 相反数而已，对吧？两个，这两个这是相反数的关系啊。所以接下来应该清楚了，把由分析的方法，逆退的方法得出来这样一步，那么 得完这样一步之后的话，现在你应该想到对于大 f 这样一个函数来讲，还是利用罗二冲击定力。为什么？你看好了啊？因为 我这个 fx 我简写了，大 fx 在 a 到 b 这样一个 b 区间是连续的，然后呢？在开区间呢？是可导的，并 且你可以算一下吗？这个大 fa 和大 fb 分别是多少？并且这两个端点值相同相等。我们算一下啊，这个大 fa 你也带入，把 x 等于 a 带入，最后整理一下，可以得出怎样的直来啊？得出来的是 b 减 a 分之 afb 减去多少？减去 bfa， 并且这个 fb 算出来同样的，这他俩长得一样啊，现在清楚了吧？对于大 fx 这样一个函数来讲， d 区间连续开区间科的，并且两个端点制一样，现在是不是又可以利用罗尔正治定理了？所以说罗尔正治定理在 内部 a 到 b 内部至少存在一个点可赛，使得谁啊？使得这个大 f 片它是等于零的，那实际上也就相当 等于什么？你经过整理之后，就相当于这个小 fpxa 就是等于 b 减 a 分之 fb 减去 fa 的。然后呢？拉格朗是总经理，我们就挣完了。所以有两种方法，一种是直接构造函数的方法，另一种方法呢，是分析的方法，两种方法都是非常巧妙的， 对吧？那最后呢，我们还是讲一道题，讲这道题之前的话，还是说一下拉格老师中间的比经常用这两种形式啊，都非常好理解，只不过是把这样一个竖着写的形式写成了横着写的形式了，对吧？ 那么后边这种形式主要是用在微分和求导一些证明题上，然后前头的话，常见的问题，其实大部分用的都是左边这种形式，注意这个可在是 a 到 b 开圈内部的某一个点，大家知道就可以。那现在要看了，证明这样一个常用的不等式 啊，这个不懂事非常重要。那么怎么去证明这样一个不懂事呢？我跟大家说一下啊，你看这个位置有几个不懂号啊？有两个不懂号，实际上是连续吧，三个量连续用了两个不懂号，这样一个连续不懂。也就是说 a 小于 b 小于 c 这样一个形式，并且 abc 之间都是有某种联系的， 那这种情况下大概率用的就是拉格朗瑞总经理非常有技巧性的啊，这样一个题目，那看了，我们可以构造这样一个函数，假设 ft 等于捞 nt， 显然因为 x 是个正数吧，所以说这个 ft 他在哪啊？在一到一加 x 这样一个一圈内，是符合什么定理的？符合拉格朗日中指定理的。嗯，符合拉格朗日充定理，因为 他在这样一个内部是怎么样的？在必须间是连续的，开间是可导的，并且他就符合拉格朗日中制定理了吧。那既然符合拉格朗日中制定理的话，那接下来写下 l n e 加上 x， 实际上你可以理解为 l n e 加 x 再减去零，这个零其实就是 l n e 啊，你看是不是从一到它，哦，那会非常好理解。再来看它等于什么？它实际上就是等于 f， 一加 x 再减去这个 f 一等于什么？在一到一加 x 内部存在某一个值吧，这个值我们写，为什么 写为科赛啊？注意啊，此时这个科赛在哪呢？在一一到一加 x 之间，反正是某一个数字就行了。然后算一下啊，他是应该乘的是一加 x， 再减去一十 就是乘 x 本身就行了。那最终的话，他求导非常容易啊，他求导就是七分之一，那 f 片可赛不就是，嗯，可赛分这 x 嘛，因为后边成了个 x 行圈一这个式子还是非常有用的。那继续来写， 大家要注意一个问题啊，这个地方，哎，那我清楚了，因为什么？因为你这个科三，他是这样一个数字，对吧？他是在一到一加 x 之间的，所以，因为他们三个都是正手，所以反过来，那就是一加 x 分之一小于 可赛分之一，小于一分之一，那再乘一个 x 呗，因为 x 是一个正数，所以实际上相当于一加 x 分之 x 小于可赛分之 x 又小于 x 本身。请告诉我这一部分是谁呀？根据圈一，这个 是字，实际上他这个圈一就是捞啊，一家 x 证明完了吧。所以这道题还是很重要的，一定要记住这样一个重要的不懂事啊，分享课堂知识，感受书杰之美。我是杨帆老师，下节课再见！
3896会放羊的教书匠
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