求极大值与极小值的详细步骤
哈喽，大家好，今天我们接着讲导数的应用，如何去求极大值。首先看到右侧立题，那我们在求极之最值之前呢？我们首先要确定给定函数的定义域。 此题订阅对 x 没有任何限制。 r 或者写输无穷到正无穷。 找在定义域之内的几大指就到。看图。公式 画剪十字，十字相乘法。 二次函数 x 一等于三， x 二等于一。 开口向上。那么在肤穷到一， 服从到一， 一到三。 三道正无穷，有图可得富一到富无穷到一， 导函数大于零，单调递增。一到三导函数小于零，单调递减。三到正无穷，导函数大于零，单调递增。我们现在的题目要求是找及大致在这个点处 f 一，我们要带入原始 f 一等于一，减六加九减三， 一减六加九减三等于一。这是一种判别方法。还有一种判别方法呢，是我们已知 注点 x 一等于三， x 二等于一。那么对已知注点处，我们求二阶道函数， 二阶导函数，在该点处大于零及小值点，在该点处小于零及大值点。所以说这个地方我们可以去找注点对应二阶导函数的数值，找小于零的点 判断其大值。所以说这一道题填空即大值为是一个数值，答案为一。 其实最值题目第一步写定抑郁。
粉丝2267获赞3.0万
相关视频
![导数分析函数的极值与最值[导数5] #高中数学 #高考数学 #极值与最值 #导数](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/3e40571eb5e7c88b3ec97cb2f077fef0~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2102824800&x-signature=FVkveGbg%2BFUvX16UosYYZVR3M8g%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=2026082314443766755A22945E8B3C587E)
21:03查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们继续来讲导数系列课程的第五讲极值与最值。如何利用导函数来求函数的极值与最值呢？来看，首先介绍一下什么是函数的极值和最值啊。极值呢，非常简单，比如说有一个函数是 y 等于 fx， 然后这个 x 零是在定义域内能取得到的，如果对于 x 零附近的任何一个点，注意是附近很小的啊，左边右边都包括对于 x 零附近的所有的点 x 都有 f x， 它是小于 f x 零的，实际上就是这个含义，看这个点 就是横坐标，他就是 x 零啊，然后他的纵坐标呢，我写上吧，就是 fx 零，大家可以看到他附近呢，对于这个点 a 来说，左边比他低，右边也比他低，所以此时这个点 a 呢，我们就成为一个什么， 应该知道这个意思吧，所以此时呢，我们就称 f x 在 x 零处取得一个极大致，肯定是一个极大致。当然你需要注意的是，一个函数可能有很多极大致的啊，嗯，比如说 点 a 所对应的这个点是个极大值，那点 b 所对应的这个 x e f f， 这个 f x e 其实也是一个极大值，对吧？可能有很多极大值的啊，因为极大值只需要跟附近所有的点比较就可以了。嗯，那么技法也告诉你了，我们把这个 x 零 成为极大值点，所以大家一定要记清楚，极大值点，他肯定他不是一个坐标点啊，你不能说极大值点是点 a， 不对，你也不能说极大值点，他是 x 零， fx 零都不对， 那怎么说横坐标啊， x 零才是它的最大值点，这个一定要记清楚了啊，那么如果在 x 零附近都有什么呢？ 都有 fx， 咱们还是看同样的图，换成蓝笔看这个点 c， 对于点 c 来说，比如说他的横坐标是 x 二吧，然后纵坐标就是 fx， 那对于这个点 c 来说，他附近所有的点都比他大呀，你看对于任意的他附近的啊， fx 都是大于 fx 零的， 能理解这个意思吧。那么此时我们就怎么说说这个函数在点 x 零处取得极小值。极小值是谁？极小值就是那个 f x 零，那此时我们画这个图的话，极小值就是 f x 二了啊。我们此时啊，把这个 x 零称为函数的一个极小值点，你看横坐标才是极小值点或者极大值点， 统称极大值和极小值都叫做极值，极大值点和极小值点都叫做极值点。一定记清楚了，极大值点极小值， 他指的是那一个点处的横坐标。还有几点要注意的是，首先第一点呢，极值他是一个局部的概念，他不是说在整体这个图像上讨论的。我们刚才画这个图的话，其实非常形象，你看 点 a， 它只用跟附近这些函数值比较，包括这个点 c 和点 b， 能理解这个意思吧？有极大之点，有极小之点。嗯，所以比如说咱举一个例子， y 等于绝对是 x， 它的图像呢？我相信大家应该是非常非常熟悉了吧，这就是 y 等于绝对是 x 的图像。 那么对于这个图像来说，他在什么地方取得极小值？在 x 等于零这个地方取得极小值，但是在这个零的地方是不可导就不可导，原因很简单啊，因为你这个左边的导数呢？零负左边这个导数是等于负一的，然后零正零的右边这个导数呢？等于正一，他 这个导数不能发生突变啊，发生突变的话，他就不可求导了啊。在 x 等于零这地方，必须左导一，导是平滑过度的才行啊。这是第一条，然后来看第二条，其实极大值和极小值不一定有必然的联系。比如说我画一个图， 咱们拿这个点 a 来说，它这个 f x 一，它是个什么点？是个极大值点，那么对于这个点 b 来说，这个它的纵坐标呢？我们写为 f x。 二， 你看极小值点还有极大值点，现在清楚了吧？所以这个极小值不一定就一定比这个极大值要小。反过来， 极大值也不一定比这个极小值要大，就极大值和极小值之间，它是没有必然的大小关系的。记清楚了哈，因为极大值的极小值都是在那个点的附近去找的。附近这个字 很重要啊。来看函数的极值点处，倒数肯定是零的，当然前提是这个函数它可以求到啊。如果遇到 y 等于绝对是 x 的话， x 等于零这个地方是不可以求的啊。如果一个函数既有极值在那个极值点处又可以求到，那么极致点处的倒数一定为零，这个肯定是对的啊，那 画图实际上就可以理解。你看，拿这个平滑过度的点 a 来说，它的切线肯定是水平的吧。点 b， 它所对应的这个 f x， 就这个函数值吧，是个绩效值吧，它的也切线也是水平的，所以说导数就是零。嗯，导数不就是切线的斜率吗？ 但是反过来，倒数为零的点可能不是极致点，它有可能叫什么点呢？有可能人家对应的是那个注点，能理解这个意思吧。举个例子， y 等于 x 三次方，这个图像非常有意思。咱之前举过很 很多的例子，都是用 x 三次方来画的，他只有在原点处，这个切线呢？是水平的，是 x 轴，对吧？但是除了这个点，人家都是单调递增，都是单调递增，他只是只不过在原点处停了一下，所以所对应的点人家叫注点，就不叫极致点了。 能明白我的意思吧？虽然在 x 零就 x 等于零这个地方，它的切线是水平的，也就是说它的导数是零，但 x 等于零并不是函数的极致点。肯定不是的啊，反过来就不一定对了。 那行，现在咱们做一道题，这个题非常简单啊，快速做一下就行了。两个图对应的是八个点吧？比如说 x 等于 a， 什么？肯定是个极小值点吧？ x 等于 b， x 等于 b 的话，那肯定对应的是极大 直点吧，这个都很清楚。比如说 c 对应的什么？ x 等于 c， 极小值，极大值，极小值 f 呢？极大值 g， 极小值 h， 这个都好说啊，咱就不详细来写了。但是它后边还有问题啊，咱读完这道题， 然后他怎么说呢？他说这些点的函数值跟这些点的，呃，就所对的函数值，还有这些点附近的函数值有什么关系？肯定有关系啊，你看 fa 比它附近所有的函数值都要小，所以 f a 称为极小值，那么 f b 它比附近所有的函数值都要大， f b 就称为极大值，这就是他们这样一个区别。至于 c、 d、 e、 f、 g 这些点的话，道理都一样啊，极大值，极小值，那么在这些点处，他的倒数符号有什么规律呢？好说，你看啊，在 x 等于零，它的左边 f 撇肯定是等于零的，但是左边单调递减啊，所以左边如果拿这个导函数，咱们标这个正负来说的话，左边肯定是负的， 然后 a 这个地方是零，右边又成为正的了，因为函数单调递增不就是导数为正的意思吗？包括这个 f、 b， 道理其实也一样， 左边为导数为正吧，右边导数就是负的了，也就是说在这些点附近，他怎么样，他的导数符号肯定是要么左边是负，右边是正，要么左边是正，右边是负，反正左右的导数符号肯定相反。能理解我的意思就行啊，在极致点附近，只要这个函数可以求导， 那么极致点左边和极致点右边，它的导数值肯定是符号相反的，一个是正，一个是负啊。记住这一条，那么 第二条啊，第二条就是告诉你，在高中阶段，咱们对于函数来说求极致的方法，因为对于高中来说，我们学的都是基本冲道函数啊。嗯，那么对于基本冲道函数来说的话，他肯定都是可以求到，而且都是平滑的曲线。 那么首先要求极值的话，就得先确定函数的定义，所有的函数问题，其实第一步都应该先求出他的定义啊。第二步呢，就是求导，然后让导数等于零，根据导数等于零求出来的根呢？检查什么？检查这个导数在方程根的左右的值的符号，如果呀， 倒数，比如说倒数在左边是负，右边是正，那这个函数就是左边是减，右边是增，也就是说 x 等于 a 这样一个点，所对应的是什么点呀？是极小致点，如果是左正右负呢？咱们再举个例子， x 等于 b， 左边倒数是正的吧，右边倒数是负的吧，那此时 x 等于 b， 就成为极大值点了，一定要搞清楚。那么再接下来咱们练一道题啊，来看这个例二了两道小题吧。第一道小题的话，看他怎么问呢？他说函数 fx， 它的导函是注意它是 f 撇的图像啊，一定搞清楚。那么 f x 在什么？在这样一个区间上，就图中所画的这样一部分啊，其他部分咱们不讨论有没有极致点，如果有的话，有几个极致点？就是问你这个情况呢？其实很好说，同学们啊，咱们就看这个正负就行了。 a b， 你看 a 的左边怎么样啊啊？ a 的左边肯定倒数为正，那就是单调递增， 然后 a 到 b， 导数为负吧，这一段在 x 轴下方呢，导数为负，就是单调递减，然后再继续他这个，嗯，从 b 到 c 再到 d， 我们继续来看就行了啊。 c， d， b 到 c 之间的话，肯定是单调递增的，因为导数在 x 轴上方，然后 c 到 d 之间又单调递减，然后又单调递增，就这样一个道理。那既然如此的话，接下来极大值点，极小值点，不就是很好讨论了吗？你左边增，右边减 它 a， x 等于 a， 就是一个极大值，嗯，然后极大值点，然后 x 等于 b 呢？就是一个极小值点，极差的值点，极小值点。 所以在这一段上，你说应该选什么？选 c 就行了，两个极大值点，两个极小值点，不就这么简单吗？啊，继续来看这个括号二啊，括号二说的是什么？说的是这个函数他 大致的图像应该是什么？首先我们求导对不对？求导，当然求导之前的话，先确定一个特殊的点啊，他跟外轴焦点，比如说 f 零，当横坐标等于零的时候，他纵坐标，实际上就求的是总结句啊，他算出来是二分之一，也就是说这个点过什么？这个函数他过 零。逗号，二分之一这个点啊，这个还是很重要的啊，所以说 c 肯定就错了，你不可能过远点，对吧？那好，继续往后边看。接着又要求导了，那么求导之后的话，会变成三 x 方减去二 x， 这个是相当容易的啊。 嗯，然后让它等于零，一下就看出来了， x 等于零， x 另外一个减的话是三分之二。那既然如此，所以这个倒数的图像我们大概画。注意，我画的是倒数的图像啊，倒数的图像这边是零，这边 三分之二，所以零的左边啊，是单调递增的吧，因为倒数，为什么倒数为正啊？然后零到三分之二，倒数为负，是吧？单调递减，所以是增减增。现在应该清楚这个意思吧，零的左边他一定是单调递增的。 然后接下来选什么？直接选 a 就行，只有 a 选项才是符合我们的结论的就可以了。那么接下来我一我们一会要研究大题啊，但是研究大题的话，经常不仅让你求这个极值，主要是求这个最值。如何求这个函数在 b 区间上的最大值和最小值呢？好说， 比如说我随便画了一个图啊，他左边这个端点就是 x 等于 a， 右边这个端点呢，就是 x 等于 b 啊，都是因为是 b 圈，所以我们标成十心，然后 c、 d、 e、 f， 这应该清楚这个意思了吧？ c、 d、 e、 f、 g 都是什么？要么是极大值点，要么是极小值点。我们要确定最值的话，最值肯定只有一个，要么怎么叫最呢？是不是最值就指的是最大值来说，就指的是 在这个土地，当然是点这个最小值呢？最小值不知道，有可能是左边这个端点这个地方函数值最低，也有可能是 x 等于 d 的时候，这个函数值最低。所以我们确定最大值和最小值呢？第一步就是先把所有的函数极致求出来，其次再把两个 f a 和 f b 这两个端点这求出来，然后比较 所有的极值和这个端点值最大的啊，那就是最大值，最小的那就是对应的最小值了。就这个意思，那么有一些需要我们注意一下。第一点，首先需要你注意的就是 刚才即直指的是局务概念，但是现在这个函数的最大值和最小值是整个区间上的整体性的概念，最大值必然是整个区间上函数值对应的最大者，那最小值就是整个区间上所对应函数值中的最小者了。 第二点，函数的极值可以有多个，但是最值最多，最多只能有一个，为什么？要不然怎么叫最啊？是不是咱们现在来看一下大题如何求极值和这个最值啊？第三题还是不太难的啊。嗯，首先来看， 他已经说了 x 属于 r 了，所以低音域他说 r， 咱们就不写了啊。低音域是 r， 他已经写上，咱们就不写了。所以第一步咱们直接求导就可以啊，求导以后的话，变成了六 x 方减六 x， 这个呢，还是非常容易的。把六 x 提出来， x 减一，让这个导数等于零，我们求出来两个值，两个根，其中一个是零，另外一个呢，就是一。那接下来如果你实在不明白的话，画表格就行了啊，我那个表格就不画了，我把这个意思给你写出来， x f 撇 x， 然后还有还有它啊， 好，当 x 在什么范围内？当 x 在负无穷到零之间的时候，显然他这个导数为正的吧，咱们就写个加号啊。当 x 等于零的时候，导数也为零，当 x 在零到一之间的时候，导数就为负了，咱就写个减号， 然后当 x 大于一的时候，显然它还是导航是为正的，所以这正先增后减再增。那么 x 等于零，它对应的是什么呀？所对应的 f 零就是极大值啊。其实这个 f 零你 先求出来的啊，然后，嗯，这个 f 一锁定的是什么？锁定的就是绩效值了，就是一些。那既然如此的话，我们求一下啊，很好求，你说这个极大值 f 零等于几？当然是等于一的，这个非常好求啊。 嗯，然后这个极小值呢？极小值就是对应的 f 一，这个 f 一求出来是多少？正好等于零，你看极小值是零，然后极大值呢？等于一就求完了，就不用多说了啊，考试时候写的详细一些就可以。 那么第二文的话求的是最值，最值的话你一定看清楚啊。首先 f 一等于零，极小值，还有 f 零等于一极大值求出来，那么端点值是不是也得求啊？我们求一下端点啊，在端点上看一下这个 f 负一端点值显示负四，这个 f 二呢，我们也算一下，是等于五最大的，这四个值里头最大的是五吧，所以说这个最大值 我们就这样写了啊，就是五，那最小值是多少呢？最小值当然是负四了，写上就可以。所以在求这个最值的时候，我们只需要怎么办？只需要把所有的极值求出来，把所有的端点值求出来，然后比较他们的大小，就能直接求出最值来了。 那么接下来刚才所有的问题啊，都没有涉及到含参数的问题，现在这道题含参数了，什么叫参数？就是参数，参数他是有可能变化，很可能涉及分裂讨论的啊。已知函数 x 方减去 a， 然后呢，求的是在一到中无穷上的最小值。这个题的话，其实也不需要你求这个定义了，因为人家已经规定了， x 大于一肯定是有意义的啊，如果他没有说 他求的这样一个最小值，那你就得怎么办呢？你就得先写定义了啊，他已经规定了 x 大于等于一了，那所以先求导吧。嗯， 求导的话非常容易，二 x 减去 x 分之 a， 但是光写到这的话肯定不行，我们要写成那种容易判断正负的形式啊，同分一下，同分以后的话，就变成了二 x 方减去 a。 显然我们主要讨论的是这个分子里头二 x 方减去 a， 为什么？因为你这个分母肯定是正点 x 大于等于一了，所以这个导数的正负仅仅取决于这个分子，二 x 方减去 a， 然而呢，二 x 减去 a， 它其实就是关于 x 的一个抛物线，一个二次函数的形式， 应该清楚吧，所以接下来分类讨论。分类讨论的依据肯定也清楚了。第一类，当这个负 a 大于等于零，其实也就 a 小于等于零的时候，这种情况下的话，这个 r x 方，你想呀，那负 a 肯定大于等于零吧， r x 方肯定是正的正数，再加上这个负 a， 那肯定是一个大于零的数字， 也就是说，我们很容易得出来， f 撇是个正数， f 撇是正数的话，所以这种情况下， f x 在整个 他需要的一到中穷这样一个范围上，肯定是单调递增的，单调递增的话，最小值很好求，最小值就等于那个 f 一，是吧？那 f 一我们待入求一下一的平方减去 a， 乘劳为不就是一减去等于一吧。好，第一个已经求出来了第一种情况， 第二种情况的话，我们这个导函数呢，需要稍微变一下形式，怎么变呢？其实也很好变啊，就这个分子变一下形式，我们把二呢先提出来， x 方减 去二分之 a， 然后因为此时他这个 a 怎么样了？刚才你讨论的是 a 小于等于零，那现在我们肯定是要讨论 a 大于零的时候， a 现在是个正数了，这种情况下，我们就这样来啊。接着刚才这样一个思路， x 方减去二分之 a， 这个分子要因是分解了吧，那就变成了 x 加上根号下二分之 a， 然后 x 减去根号下二分之 a， 是这样吧。好，所以说分析起来就非常容易了，如果你只需要画这个 f 片的图像，那其实是非常好画的。 你看，左边是负的根号下二分之一吧，右边是正的根号下二分之一吧。但是有一个问题，一个根是负的，另外一个根肯定是正的，那这种情况下，哦，这个外 轴我们只研究哪一段？只研究 x 大于等于一的这一段。那现在怎么办？你就得研究这个一究竟是在 什么？在原点和二分之根号 a 的中间，还是说在哪啊？在这个二分之根号 a 的右边了，是吧？所以又得分类讨论了啊。看现在分类讨论的依据，应该清楚了吧，当什么时候啊？ 嗯，当根号下二分之 a 小于等于一题写的就是在图中一在右边了啊。嗯， 其实也就是 a 小于等于二，那当然是大于等于零了啊，在这一段零到二的左开右 b 吧，因为有个大前提，讨论的是 a 大于零。嗯，行。写完这一段之后的话，显然一到正无穷上 干嘛呀？ fx 在整个一到真空群上，他就是单调递增的，那最小值实际上还是那个 f。 一求出来还是一行吧，够了吗？不够。还有另外一种情况，第二种， 也就是说这根号下二分之一是比一要大的，一在什么地方？一在这啊，所以你要讨论一的右边导函数，我画的是导函数的这样一个草图啊。所以这种情况下的话，这个 fx 在哪？在整个零到根号下二分之 a 它是干嘛的？它是单调递减的，因为导航是为负在整个二分之 呃， a 这样一个根号下啊，到正无穷时单调递增，那现在的话，这个最值应该求出来了吧，此时它这样一个最小值可不是 fe 了，而是，而是这个 f 根号下二分之 a， 我们带入这样一个解析式里头也很好求啊，二分之 a 减去二分之 a long 二分之 a 就可以了，就这样一个结果。那综上所述的话，大家现在肯定清楚无 综上所述，分类肯定是要综上所述。综上所述的话，其实当 a 小于等于零和 a 在零到二之间这种情况，它的结论都是最小值是一，所以综上所述应该怎么答我呢？就直接换成红笔来答了啊。最后综上所述。 综上所述啊。当什么？当 a 小于等于二的时候，我们这个最小值就是等于几的等于一的求出来了。当 a 大于二的时候，我们这个最小值是多少呀？刚才也求出来了，一定分类讨论最后都要写综上所述 的啊。好，就这样一个结果就写完了。现在应该知道怎么求函数的极值和最值了吧。分享课堂知识，感受数学之美！我是安分老师，下节课再见！
6434会放羊的教书匠
01:51查看AI文稿AI文稿哎呀，划都划到了，这种基础题看一下吧，因为他容易错呀。这种题啊，是导数系列应用里边八大题型。第四个，求极致和极致点。这里面首先明确一个概念，什么叫极致点？他是个点吗？ 啊？他是坐标吗？ no， no， no， 他是取得极值时所对应的 x 值，他和零点一样，就像是函数值等于零的时候所对应的 x 值一样。好了，这道题他是一道小题，问我极小值，那显然我们要 定域求导，然后去画出他的单调区间，然后去看一下他哪块区比较极大，对不对？好了，开始首先定域的话是 r 好，我们对他进行求导， x 加一乘以 e x 加上 e x， 后面减 x 减二，到这了之后怎么办呢？记住了， e x 看到了之后啊，就得把它往外踢，也就是往外提好，提到这了之后我们发 哎，后面这个也有一个 x r， 所以我们可以把它这样的提出来， 提出来一个 x 加二，然后啊里面 e x 减一就好了。好了，到这了之后的话，我们显然能够发现啊，这里面没有参数，大胆的去写，它等于零了之后，其中一个根呢，是负二，另一个根的话，哎，是零。嗯，那我们接下来可以画表 句话，单调区间，哎呀，就非常轻松了，如果你要考场上快速解决的话，我教给你个方法，我们可以描绘出他的草图，他有一个根负二，一根是零，那在正无囧的时候， 他一定是正的，哎，中间一定是负的，这边是正的，所以说他显然是增减增，那这块的话，零就是极小值点，所以说把零带去啊。找题答案就选 b 啦，不知道你学会了没有哦，有一点我 题一下，如这道题是大题，问你及值。哎呀，假如这道题就一个几小值，你就说只有几小值等于多少吗？也要强调一下无极大值哦。好了，相信你已经学会了。
1993吴旭老师讲数学
01:31查看AI文稿AI文稿看到题目当中的极小指点四个字，大家就要明白，实际上就是求函数的极指点。哪些点是极指点呢？ 极值点最有可能产生的地方就是定义域内导数不存在的点，或者是一阶导数为零的点，也就是注点。因为极值点的取值范围必须在定义域内，所以第一步要先求定义域。本题无论 x 取什么值都有意义，所以定义域是 x， 属于全体指数。二、不可导点和一阶导等于零的点都和一阶导有关，所以接下来要求一阶导数得到掰撇等于六， x 方加上六 x， 很显然式子里不存在让表达是无意义的点，也就是不存在不核桃点，那么就考虑一跌倒为零的情况。另外，撇 零得到 x 等于零， x 等于负一这两个注点。第二步，判断谁是极小值点，可以求二阶导数。如果二阶导数大于零，注点就是极小值点极大值的情况。与此相反，本题二阶倒败凉皮等于十二， x 加六 把 x 等于零，哎等于负一，分别代入得到，哎，两撇零等于六大于零，哎，两撇负一 等于负六小于零。因为外两撇零等于六是大于零，所以可知 x 等于零为极小值点。好，所以横线上写极小值点为 x 等于零。
745利哥谈升本
04:23查看AI文稿AI文稿同学们好，欢迎来到郝老师专升本数学课堂，我是大家的党老师，我们这节课要学习的内容是函数的题尺。 好，我们来看一下。首先看一下函数极值的概念。函数的极值的概念定义。设函数 fx 在 x 在 ab 内有定义， x 零属于 ab。 若存在一个 x 零的领域 在其中，当 x 不等于 x 零的时候，这里的领域是什么意思？就是以 x 零为中心的一个小范围内。 好，现在说了，这个 fx 在这个区间里面有定义，并且这个 x 零就属于这个区间范围内的。而且我还要找一个不属于跟这个 x 零不相等的 x， 随便去 找。哎，我发现如果除了这个 x 零这个点以外，我随便找一个 x， 我发现这个 x 零都比这个 fx 要大。 就是说我找到了一个点 x 零点，除了这个点以外，他周围的值都比他小。那这个时候我们的这个 x 零点是不是就叫做极大值？则称 x 零为 fx 的极大值点？ 好，再接着往下下一个，称 fx 零为函数的极大值。一定要搞清楚什么叫极值点，什么叫极值点，什么叫极值。 好，接着往下下一个下一个。若我发现哎，我随便取一个 x， 我任意的取，随便取出来的一个 x 都比这个 fx 零 要大。那我也就是说，假如说这个班里面有一个同学，我找到这个同学之后，我在这个班里面随便选一个同学，随便选出来的同学成绩都比他低，那这个同学是不是就是第一名吉大志啊？ 好，现在还是我找到了班里面的一个同学，除了这个同学以外，我随便的去选，随便选了一个同学，成绩都比他好，那这个同学是不是就是最后一名，也就是他为极小值点， x 零为极小值点， fx 零为极小值。 好，一定要搞清楚什么是极值点，什么是极小值。极小值是把含把这个点的值带进去之后，最终得出来的结果。好，这是我们函数的极值概念，极大值点与极小值点统称为极值点。好， 把这个概念看完之后，接着往下下一个。我们来看一个。假如说我现在给你给了一个这个函数。好，这个函数我们把图像给大家画出来。哎，画出来这个图像之后，我发现在这个小区间范围内，在这里这个点是不是比他的周围一个领域范围内所有的值都大？ 在这种情况下，我就说 x 等于一为极大值点， x 等于一为极大值点， f 一等于二为极大值。 哎，我发现在这里二取的这个点，他的一个小的淋浴范围内啊。好， x 等于二为极小值点。哎，他比他周围的值都要小一点。那这个时候 f 二等于一，但二这个值进去发现函数值算出来等于一是极小值。什么是极值点， 什么是极值？一定要搞清楚。好，这是我们结合图像来看了一下。接着往下下一个需要大家注意到的东西是，第一个函数的极值是函数的局部性质。 就像刚才大家会发现在这个地方。哎，如果我非要去说的话，你说，哎，是不是在这个函数里面真的没有比二更大的值了？这里是不是出现比二更大的值啊？但是我们说了，我们的极值是出现在什么范围内的？是某一个领域范围内， 某一个领域范围内。所以我们这里说了极致的存在是什么？是局部性质，某一个很小的局部范围内。好接接着第二个对常见的函数及时可能出现在什么地方？ 可能出现在一阶倒为零或者一阶倒不存在的点，就是他可能出现极致的地方。一阶倒为零的点和一阶倒不存在的点可能出现极致。
86杭州好老师升学帮
03:53查看AI文稿AI文稿我们接着来看题型，九点一的例二啊，这是二零一三年的科考题，他说已知函数 fx 等于 x 的平方乘以一的负 x 之密，求 fx 的极小值和极大值。 那这是一个很基础的题啊，咱们通过这道题熟悉一下求集值的步骤啊。那根据咱们刚才说的，呃，步骤第一步应该是先写定义域，对吧？当然了，这道题的定义为二，你也可以不写，是不是定义为二的时候可以省略哈。但是咱们也写上吧， 倒数，呃，他的倒数是二， x 乘以亿的负 x 米，加上 x 的平方乘以亿的负 x 米，再乘以一个负一，别忘了，然后我可以提出来，一个亿的负 x 米变成二 x 减去 x 的平方，对吧？然后再分解一下，一是吧，负 x x 减二 e 的负 x 米， 对不对？那接下来我另倒数等于零，我能得出 x 一等于零， x 二等于二。接下来我是不是应该表示求单调性了？求完单调性才能表示出来极值，对吧？那单调性应该 当 x 属于，你注意啊，这个东西 e 的 fx 你是恒正的，所以只管前面就行了。是不是开口向 下，这是一个零，这是一个二，对吧？所以当 x 属于富无穷大到零并上二到正 无穷大的时候，这个的倒数啊，是不小于零。当 x 属于零到二的时候，倒数大于零。所以 fx 在 负无穷大到零和二到重无穷大是单调递减的，然后在零到二上是单调递增的，然后再强调一遍哈，这里的单调性啊，你不能写箭头在答题纸上，我这是为了方便快一点哈。 好了，那接下来就他大概的草图是什么样的设备应该先减再增再减。所以零对应的是极小值，二对应的是极大值，对不对？这是 fx p 的图像，这是 fx 图像，你注意啊，这个图像不用在答题纸上写。 所以当 x 等于零时， fx 曲吉 小值，那么起小值就等于 f 零等于把零往里面带呗。 a 还是零，对吧？当 x 等于二十， fx 取 吉大指，那吉大指是 f 二 带进去应该是四乘以的方式，乘以，也就是一方分之四。然后这道题就完事了哈。然后我需要钱的 一个事啊，求极值的时候，不管是极大还是极小，你一定得告诉我什么时候取。也就当 x 等于多少的时候取啊。当然，求最值也是你得需要告诉我什么时候取啊。 这是一个需要注意的。第二个需要注意的，如果问你集值的话，比如说他只有一个集大值，然后你求出集大值之后，你得 告诉我没有技巧值，你不能就不写了，懂吧？有，你写出来，求出来没有，你得告诉他没有。嗯，好了，这道题我们就写完了啊。
24姜正霖高阶数学
07:39查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们分享的是函数的积值，搞清楚什么是函数的积大值、积小值。如何求函数的积大值与积小值？ 我们看这样的知识点。函数基值对应函数 fx。 若函数 fx 在 x 等于 a 处的函数值， x 等于 a 处的函数值，比它在 x 等于附近其他的点的函数值都要小。 这是 a。 a 点的函数值要比周围个点的函数值都要小。并且 a 点的导数为零。 a 点左侧的倒数值倒函数是小于零的。哎，左侧单调地点下来，右侧倒数大于零，递增上去。 那么这是我们把 a 叫做是函数的极小值点， a 叫函数极小值点，那么 fa 就叫做函数的极小值。 所以什么是极小值？ a 处的值要比周围个点的值都要小，并且 a 点的导数为零，左侧导数小于零，右侧导数大于零。 fh 的极小值。那么极大值定义在 x 等于 b 数的值， b 数值都要比周围个点值要大，并且 b 点处的倒数值为零。 也切线与 x 平行，在矮腿 b 附近，左侧，左侧是上升的，是单调低增，所以倒数大于零， 右侧这么倒数小于零。我们把 b 叫做函数的极大值点， s 等于 b。 这个 b 是极大值点。极大值点啊，就字面上取的那个值，函数值比周围各减值都要大，这点导数为零。这个 b 叫做是极大值点。 fb 叫做函数的极大值。 就这个图像来讲，这里有一个 x 等于 c 的时候，他的倒数也是为零。左侧倒数大于零，右侧倒数小于零。哎，这点值都比周围个点值大。所以 x 等于 c， 也是他的一个极大值点。那么 f、 c 也是函数的一个极大值。 这就说明一个函数可能存在若干格及大值，若干格及小值。第一个题目函数定义是二。他的导函数图像如图所示。 也说导函数图像。那么在一到二 g 之间倒数值时，正值二到四之间倒数值时，负值 四到五。导数值是大于零的。问题。下面结论错误的是。一到二上为增函数，一到二上导数大于零，单递一增。所以这个是一个增函数。对的。三到四，三到四的上是导数，是小于零的，是单调递减函数，这个也是对的。 一到三上有几大值？一到三上导数为零，点是二， 二的导数为零，左侧单调递增，上升再下降。二到三是单调递减。所以 x 等于二，是它的极大值。 x 等于二，是极大值 m， 二是他一个极极大值。所以函数在一到三上有极大值。那么错误的当然就剩下四 d 了。 x 等于三是极小值点吗？是极小值点，必须倒数为零。一、三的倒数并不为零。 所以 fx 在一到五上， f 等于三十。一到五上的记性点是错的。 时间在一到五上，倒数为零点。一个是二，一至四四的时候，倒数为零，左侧小倒数小一点，右侧大大一点。所以在一到五上，即小之点是四。 对。错误的结论是四 d。 第二个题目函数 fx 等于二 x， 三次方加 a， s 方加三十六 x 减去二十四，在 x 等于二处有积值。我们根据集值定义是积点，可能是积大的点，也可能是积极小 点。前提必须这一点的导数为零。所以需要求出这个函数的导函数。导函数呢？就是六 s 方加上二 ax， 再加上三十六。 因为是极值，所以导数一定是为零。二数导数为零，解得 a 等于负的。十五。要求函数的单调递减区间。当然要找到这个函数的导函数，在 a 等于负十五，数带进去以后， 导航数是六 x 方减去三十 x 加三十六。那么导函数分解因素行驶以后是六倍的。 x 减二，乘以 x 减三。 单调递减应该让导函数这么大，小于零，所以他解除了大于二，小于三。 大院小学三数函数单调递减，所以他单调递减区区间是二到三。第三个题目是给出函数让我们求他的机值。 所以要想求极致，必须找到导函数为零的点。同时要根据导函数为零点，把他第一时间分开若干若干段，搞清楚导数为零点的左侧，右侧是单调递增还是单调。所以第一步呢，要求导函数 在导函数一容易算。三 x 方减去六， x 减九，让导函数等于零。算出 x 等于负一 s 以三。那我们就可以画出导函数的图像。 倒数为零点，一个是 x 等于负一，哎，这一点倒数为零，哎，它倒数为零，倒数为零点。还一个是 x， 等于三， x 等于三数，倒数为零。 那么这时候这个负一实际上是他的极大支点，三是他的极小支点。只要我们可以把他的单调性含出变化，列出一个表啊， 也就是倒数为零点负一三。把整个实数级范围分为负无穷到负一，负一、负一到三三三到中无穷。 那么负无穷到负一数。倒数。函数大于零的，所以函数是单调递增的负一数倒数为零，负一到三数单调递减啊，倒数小于零。那么这样的话，左边单调递增，右边单调递减。 负一数倒数为零。所以 s 等于负。一是函数的极大值点， f 一是函数的极大值。那么三的数倒数为零为零。左侧的是 之后倒数是负的。函数是单调递减，减下来再增上去。所以三是极小之点 f 三是函数的极小值。所以通过这个表接和定义就可以得出 f 等于负。一是函数的极大值点。函数有极大值是 f。 负一等于十， f 等于。三是函数的极小值点。 函数有极小。知识 f 三等于负，得二十二。只想通过导函数分解，就是这个函数呢，是不是上升下降再上升？ 负一 f 负一是极大值， f 三是他指什么呢？极小值。注意极值点是自变量 s 取的这个值啊。负一是极大值点，正三是极小值点。而不是说那个点。学好数学，极乐无穷。
46湖
03:38
