山西中考数学15题万能解题技巧
各位老师呢，今天有话要说，如果啊，咱们在山西太原八年级下学期还没有学会三角形可解性的同学们啊，这次期末考试一定就吃亏了啊，我们说中考，你要是还没学会，那吃的亏就更大了。好，我们来看看这道十五题，已知它是一个等腰三角形啊，中间有个三线合一， o 是 bc 的 中点。好，我们从标记了上来讲啊，这个角是三十度，那么这个是直角，那么这个角是三十度，它是六，而且呢，这个是给了一个三分之一，也就是说它是二和四那六，那这个 a o 就是 三， 那么 o b 呢？是三倍根号三，那么 oc 呢？用三线合一得到了，它也是三倍根号三。 好，我们来看看到什么呀？在这个三角形当中是一个什么样的已知条件呢？是一个边 角和这个边已知的，那证明他是一个三角形，具有可解性。好，那我们可解性的方法是坐高把三十度包进去，那么二就是一啊，这段呢就是根号三了，那么所以说这一段呢，哎，就是二倍根号三， 由一二倍根号三，就可以用勾股定底得到。 o f 呢，是根号十三。好，我们又根据我们的一个旋转，那么 o f 等于 o e， 那 么 o e 呢？也等于根号十三。 好，我们现在再来看这个三角形，这个是已知是根号十三，对不对？而这个呢是三倍根号三，而这个呢是三十度的角。我们发现什么？也就发现这个蓝色的三角形 具备可解性，为什么呀？他是一个边边角的可解性。我再描写一下啊，这是根号十三，这是三倍根号三，这是三十度。好，这是边边角的可解三角形，因此我们的方法就是做垂线， 把这个三十度包进去。好，三倍根号三，那这个就是二分之三倍根号三， 由 o e m 啊，这个三角形就可以得到。勾股定律算出来，它是二分之五。好，因为我们知道它是六，它是三，那么这个就是三的一半，是二分之三，那这面是二分之三的话，那么上面的这一段呢，就是一了。 好，那我们 bo e 的 面积呢，就是底 b e， b e 是 六，加上一是七啊，是七， 七乘以高二分之三倍根号三，再乘以二分之一啊，底乘以薄数二，就等于四分之二十一倍根号三啊，这是我们的答案，用了两次三角形的可解性，所以老师说呀，如果你还没有学会三角形可解性的啊，这些同学们将来要吃大亏了啊，要注意， 好贵。老师呢，再给大家介绍一个间隙法去解这道题。我们观察到这是一个标准的等腰三角形，三线合一， 因此呢，我们就是以它为 x 轴，而 o a 呢为 y 轴，这样建立坐标系最好看，最好求。 每个点的坐标，我们很容易求到啊，因为 o e 等于 o f， 我 们先求一下 f 点的坐标吧，好， f 点依然是做垂直。刚才我们其实也得到了啊，这是一，这是根号三，这是二倍根号三，所以说点 f 的 坐标呢，就是二倍根号三，逗一， 好，这个时候我们再来看点 e 的 坐标，很多同学说呀，他点 e 的 坐标不会求，那么老师我们来看，他是一个三十度，那么证明这个角是不是也是三十度，所以说我们可以设这个短直角边为 x， 那 这个长直角边呢？就是根号三 x。 如果大家用根号三等于根号三，再用勾股定律，比如说是三加 x 括号的平方，再加上他的平方等于十三的话， 结发一定是很复杂的，因为这涉及到了一个初三的结发，但是现在的老师教给大家一个全新的结发，一个关于平面直角坐标系内三角形面积的一个快速结法，它是一个什么模型，老师给大家写上啊？是， 比如说它是 x 一 y 一， 它呢是 x 二 y 二，那么与原点连线，这个三角形的面积就会等于 x 一 y 二 y 一 的绝对值再除以二， 这就是这个的面积，那么这样乘起来，他不会出现平方向，明白吗？所以说我们知，当我们知道了他是算出来是根号十三以后，好，经过这两个点，就可以算出他的一个面积。 我们刚才知道了，如果设了 x 之后呢，其实点 e 的 坐标呢？就是根号三 x， 动什么呀？三加 x。 好，因此我们练一个方程，这个方程一定是一次的。首先呢，它的面积啊，就是我们可以用到用四分之根号三 a 方，就是 根号十三的平方是十三，这就是整个我们快速当时记忆的一个等边三角形面积的求法。等于什么呀？等于刚才我们介绍的这种两个啊，横坐标乘以重坐标，就是它俩相乘， 减去它俩相乘啊，比如说因为我们加绝对值嘛，二倍，根号三乘以三加 x 括号，再减去什么根号三 x， 加个绝对值除以二。通过这么一解呀，很容易就解出了 x 等于二分之一，这是一个一次的方程， x 等于二分之一，也就意味着你看我们之前 b、 o、 e， 其实呢，我们已经知道这部分的面积了，对不对？它就是三，这是三倍根号三， 三倍根号三乘以三除以二呢， a、 e、 o 这部分的面积就是等于底， a、 o 是 三再乘以我们刚才的这个高，我们求出 x 等于二分之一，那么高就是二分之根号三，用底乘以高就能求出这个绿色阴影部分的面积，那么这两个面积相加，仍然可以得得到我们的正确答案。 我们重述一下啊，老师的第一种方法是三角形的可解性，用了两次直接解出来。第二种方法呢，用的是什么平面直角坐标系的一个间隙法啊，然后又用到了什么？平面直角坐标系两点乘 三角形的面积公式。好，老师，希望大家呢，以后都能用到这些比较高级的啊，几何的思维，也可以用到不同类型的一些几何技巧。好，今天贵老师的课，下课。
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04:16查看AI文稿AI文稿hello， 孩子们，今天中午呢，二零二六年山西中考呢，已经结束了，那我是呢，刚刚拿到了试卷 啊，刚上完课啊，我们一起来看一下这个第十五题，说实话，这个题呢，这是历年来没有直接给过咱们梯形，而且呢，在做完题之后，其实你会发现模型的考察要相对弱一点，相对弱一点，但是这个里面有一个点，就是直角三角形， 这个直角三角形啊，我们这个直角三角形双等腰去构造，构造完以后去倒角，倒完角以后相似，那是大概这么一个思路。那接下来我们一起来 看一下孩子们，那角 b 呢？它是九十度， ab 等于十，那这是一个，呃，五和五，那这是等腰三角形， r 和 r 度，接下来我们过点 e 去做平行， 过点 e 去做平行，那这样的话，上面这不就是一个等二三型吗？ alpha 和 alpha 倒角上来，这也是 alpha 和 alpha， 那 这个地方是互余，假设是 beta， 那 这个角也是 beta， 那 也是 beta， 那 也就意味着这个点 m 应该是我们的终点， 这个点是 m 中点，我们再过点 g 去做一个平行。孩子们啊，过点 g 去做一个平行，那做了平行以后，刚才那是，呃，中点嘛？刚才是中点，那这样的话， 这个 e m 就 应该是我的这个小梯形的一个中位线，那这个长度是三，这个长度也应该是三啊，然后再过点 g 呢，去做一个垂直， 假如这是 p 点三，三，这是四，那这也是四，这是一个小的矩形，哈，小的矩形，好，这是四，那这是五，这是四，这是三，那这个时候 f 的 正切值就可以出来了啊，正切值就应该等于四，除以八，应该等于 一比二，那这就简单了，这是一比二，那说明这个整个大三角形也应该是一比二啊，也就说三角形 b e f， 它的这个阿尔法正切值也是一个一比二，所以说 b e 长度等于等于七，所以说 b f 长度等于二倍的 b e 长度等于十四。 ok， 这是第一种思路，那第二种思路呢？孩子们，我们一起再来看一看啊。 第二种思路，在这个图里面呢，孩子们，其实我们还可以发现一个事情，这是直角，这是直角， 上下平行，那就应该是一线三垂直，相似吗？一线三垂直相似，这个角如果是 f， 那 这个角也是 f， 这个角是 b 的， 这个角是 b 的。 然后呢？那刚才咱们倒角的时候，这是 f， 这是五，这也是五，也就说这个角也是个 f。 哎，那我们会发现，对顶角过来，这是 f， 那 f 和这个角互余，这是 b， 那 这时候你会发现，第一应该是角平分线，那我们可以想到角平分线 性质吗？角平分的性质到角两边的距离相等，所以我过点 e 去往这边做一个垂直，这也是一个思路啊。那假如这是点 m， 做一个垂直，那 a e 等于三， a e m 也是，也是三， 也是三。好，那这个地方这是垂直，那我们可以考虑有点 g， 再往这边去做一个垂直，再产生一个九十度，再产生一个九十度啊，那这样的话，这是垂直，这也是垂直 啊，这是垂直，而且上下平行的这个角也是二分，可以说再次出现了角平分线，也就说这个题里面我可以看到两次啊，或者两个角平分线， 两个角平分线。好，那这是三，这也是三，那这是三，总长度是十，这是四。然后接下来剩下的思路跟刚才就有点像了。孩子们啊，就有点像了，所以说这是四，这是三，那他的正切值 啊，它正切值应该是个一比二，所以说整个这个大的三角形 b、 e、 f 当中正切值也是二，所以说这个 b、 f 长度等于二倍的 b、 e 长度 等于十四，这个思路也是可以的。你观察一下这个第二个思路。孩子们啊，三垂直向四倒角，倒完角之后用了两个角平分线，性质怎么样？你做对了没有？
1075支点数学张老师
01:57查看AI文稿AI文稿同学们好，一起来看一下二零二六年山西中考真题的第十五题。不了解题目的同学可以先暂停阅读一下题目。 根据题中哪一只信息，咱们知道 a、 e 等于三， b、 e 等于七，那么咱们就可以根据这些边的长度或者边的比例关系来构建相似三角形。 这里咱们延长 d、 a 与 f、 e 的 延长线交于点 k， 就 构建了一组以此为基础的八至相似三角形， 但是只知道相似比其他长度短缺，所以解决不了问题。咱们再看题中还有什么重要的一只信息。 三角形 g、 c、 f 是 一个等腰三角形，那么你会发现三角形 d、 k、 g 也是一个等腰三角形，而 d、 e 还垂直 k、 g， 那 么就是典型的三线合一。 由于目前长度还是短缺，所以咱们可以考虑根据相似比设未知数，这里八至相似，它们的比值是三比七，所以咱们就可以设 k、 e 为三 x， 那 么 e、 f 就是 七 x。 根据三线合一， k、 e 又等于 eg， 所以 eg 也是三 x， 那 么 g、 f 就是 四 x。 有了新的比值关系，咱们就可以继续以此为基础去构建相似。这里咱们过点 g 做一个 b、 f 边上的高，就会得到一组 a 字相似的三角形，并且它们的相似比为四比七 而已知 b、 e 就是 七，那么 g、 h 的 长度就是四，并且题中已知 c、 f 等于 c， g 等于五，那么 c、 h 就是 三，此时就能得到 g、 h、 f 的 三边。 最终要求 b、 f， 那 么咱们直接根据这两个三角形的相似比就能算出来，最终 b、 f 的 长度为十四。
51李亮老师
07:40查看AI文稿AI文稿各位二零二六年的中考考生们，这是一道我们刚刚上午才考完的一道十五题啊，有的人说他非常的难，那这道题到底难不难呢？他的答案是多少呢？我们说一下要求最后 b f 的 长度呢？ b f 等于十四，你做对了吗？来，我们简单说一下， 如何告诉你 a d 平行于 b f 好， a d 平行 b f， 并且 a d 垂直于 a d， ok， 这是直角。同时还告诉你 d e 垂直， e f， 这也是直角，这也是直角， ok， 搞定！那有的同学立马就想到了，老师，这不就是典型的一二三一线三垂直吗？ 直接秒掉一线三垂直呗，这是一个正常初三学生都应该会的一个考点。 ok， 当你还忽略了一个非常重要的点啥了， a d 平行于 b f o c 等于 c， f 等于五，这是平行，这是等腰最常用的一个考点，也是我们在二零二五年中考考点常用的一个思路，叫做角平分线加平行出等腰。现在有等腰，有平行线，那我是不是就得找 角平分线了？所以我得找角平分线。那想找角平分线怎么办了？那大量的角得有呀， 谁给你提供了一线三垂直吗？你不要一直在想用一线三垂直相似啦，全等去做题，用相似做题其实挺难的，你要去想他跟我们之后的一些题型的关联是什么，一些条件的关联什么，所以我要去根据什么 角平分线加平行出等腰的这个思路。哎，再利用一线三垂直的倒角思维去做题。 ok， 我 们开始给大家标角啊，简单标一下， 我们标这个角是阿尔法，好，这个角是阿尔法之后呢？那这个角是贝塔，阿尔法加贝塔是九十度，那所以我知道角 f 呢，就是 贝塔，角是贝塔之后呢？ o c 等于 c f， 所以 这个角呢，也是贝塔，你是贝塔，我也是贝塔，好搞定。那在直角三角形 d e o 中，那你是贝塔，阿尔法加贝塔等于九十度，所以这就是阿尔法。那还有在 直角三角形里 e a e 中，所以这哥们就是阿尔法。所以你找到角平分线了吗？那角平分线就是我们所说的 d e ok， 这是一个非常重要的考点。 看，当我们得到 d e 是 个角平分线之后，同时还会得到 a d 平行于 bc， 那 角平分线加平行出等腰，这是会出现大量的等腰三角形啊。哪些大的等腰三角形？非常简单，也就是我们接下来想出现的 辅助线怎么搞？延长 d e 呗，同时延长 e f 呗，延长 f e 啊， 与 a d 交于点 h， 然后呢？ d e 与 f b 呢？交于点 q？ ok， 那 其实这道题到这啊，你就清楚了，那这里头会产生大量的等腰三角形，比如谁呢？ 这个角是不是就北它平行呗，这是北它，那所以 d h 等于 d o， 所以 我们会得到等腰 三角形 d h o 同理还有吗？当然还有了，这个角度就是阿尔法 平行加角平分线出等腰，这是个非常典型的看阿尔法，阿尔法好，所以还有一个等腰三角形。谁了？ c d q 两个等腰三角形的出现，那接下来你能得到什么信息呢？我们要求 b f， 那 你得把 b c 求出来， b c 在 谁里头？你会发现了 b c 跟它相关的是在 q f 里头，这里头有一个非常 重要的相似，谁和谁相似呢？相似里头三角形 h d e 相似于三角形 f q e， 我 用这些，这样三角形肯定相似，因为它用的是八字形相似，那它俩相似之后，那相似比我也知道了，相似比就是三比七，那时，所以我就可以围绕， 围绕底下的边，是不是设未知数了？我设 d h 是 三 x， 则 q f 呢？就是因为你是高之比，是三比七，那所以底边之比也是三比七，也是七 x。 那 我得到七 x 还有吗？还有信息吗？当然 有了，你看嘛， d o 刚刚说了 d h o 呢，是等幺三角形，所以 d h 等于 d o 也是等于三 x。 同时刚刚又说了 d c c d q 是 怎样三角形？ d c 是 等于 c q 的， 那你 d c 现在就是怎么说？三 x 加五，同理，那 q c 呢？你说是几？ 这是七 x， 总长减掉五，那不就是 q c 吗？那就等于七 x 减五， 也就是 c q 的 长度，那这时候我直接解出 x 等于二分之五， 当它解出是二十分之五，那我就知道 q f 的 长度呀。那这时候一个非常典型的思维，在 r t 三角形 q e f 中 竖着的，然后告诉你 e b， 它是垂直于 q f。 快 告诉我想到什么？最典型的摄影定律，那摄影定律你看一下， e b 的 平方，也就是七的平方，就等于 q b 的 乘积就等于 q b 乘以 b f。 那 怎么办啊？设呗，这这哥们是 y， 则 b f 能不能搞定出来呢？当然能了呀，刚刚七 x 已经等于 f， 等于二分之五，那七 x 等于二分之三十五，所以那这条线段的长度就是二分之三十五减 y， 那 所以我会得到就是 y 乘以二分之三十五减 y。 哥们，这就是一个非常简单的一元二次方程，解出来一个 y 等于 十四，或一个是二分之七，那肯定要把十四给它射掉了。当 y 等于十四的话， 那你这七 x 二分之三十五，再加上这个五，就是远低于这个十四了，所以十四要舍掉，那只能剩下二分之七。当 y 等于二分之七十， ok， 那 我们这道题是不是就搞定了？当 y 等于二分之七之后，二分之七，答案就是二分之 二十八，也最后的答案就是 b f 等于十四即可。其实这道题的核心思路，你要想想你的辅助线怎么做出来的？你的辅助线思维一定是因为他俩平行和 等腰三平行出现。我要想到一个非常重要的思路，叫做角平分线加平行出等腰，那他得出是角平分线。 ok， 那 是最简单的，即是 脚一根线又是平行，那我是得做出这两个辅助线。一旦把这两个辅助线做出来，我是觉得这道题反而变得简单了，这应该后面的内容就是我们平时练习的一些知识点。 ok， 你 做对了吗？十四。
3638太原培阳教育柴凯老师
04:58查看AI文稿AI文稿二零二六山西中考十五题抢先看！题干是一个梯形， a、 b、 c、 d 角 a 和角 b 都是直角， e 是 a， b 上一点，并且 d、 e 垂直， e、 f、 f 在 b、 c 的 延长线上。接下来给出句， a、 e 是 三， b， e 是 七， c、 g 是 五， c、 f 是 五。最后求一下 b、 f 的 长 好，我们怎么入手这个题？从特殊信息出发，这里的两个五就暴露了三角形 c、 g、 f 是 一个等腰三角形， 再加上 a、 d 和 b、 f 是 平行线，角平分线加平行出等腰，那有了等腰，有了平行，一定也存在角平分线，我们可以尝试着把这个角平分线来找一找啊。所以辅助线我就可以去选择延长 f、 e 和 d、 a 的 延长线交于一点，那我们假设这个焦点为 m 点， 然后标角度等腰三角形，这两个角度我记作阿尔法对顶角过去，这个也是阿尔法，然后内错角过去， f 的 内错角正好是角 m， 所以 角 m 也是阿尔法。于是我们可以看到还有一个三角形 d m、 g， 这也是一个等腰。那因此你的 d、 e 就 不只是垂线那么简单了，它是等腰三角形的三线合一，因此这两个角贝塔贝塔也是相同的。出现角平分线， 然后继续使用角平分线加平行出等腰，把 d、 e 延长，与 c、 b 的 延长线交于一点， 继续假设交点为 n， ok， 那 把这个贝塔内错角下来以后，正好就是 n， 所以 这个角也是贝塔。我们就可以知道 cd 和 c、 n 的 长度也是相等的。好，接下来我们假设吧， d g 如果是 x， 利用 dm， g 是 等腰，所以 dm 的 长度也应该等于 x， 而另一个等腰是 c、 d、 g， 那 这条边长是 x 加五，说明 n、 c 的 长，它也是 x 加好。最后借助一个八字形，相似三角形 m、 e、 d 和三角形 n、 f、 e， 它们两个相似，所以列比例就可以了。上面的 x 比上，下面的 x 加五，再加这个 c、 f 的 五，也就是 x 比上 x 加十，就等于好高支笔，高支笔写出来正好是一个三比七， 那这里我们就可以把 x 算出来， x 等于二分之十五，这样的话，就把整个题的条件往前推进了一步，而算出来 x 这个题离成功就不远了， 它是二分之十五，下面是一个五，一共就是二分之二十五，所以 c、 d 这个总长度是二分之二十五，而 c 而 a、 b 这个长呢， 它是十，也就是正好是个二分之二十。我们继续添加辅助线， 把这两根直靠在一起，这里做一条垂线以后，那么这个长度等于 a、 b， 也就是二分之二十。 所以对于这个三角形，其实已经不言而喻了。能看出来这个三角形很特殊，二分之二十五，二分之二十，它正好是满足三比四比五三角形，所以这条边长肯定就是二分之十五。 这个三四五一旦发现题目，就可以宣告结束，因为三四五的大锐角是二阿尔法，你看这个位置，等腰三角形 外角二阿尔法，三四五的大锐角是二阿尔法的话，那就意味着阿尔法应该是一比二比根号五的小锐角，这就是二倍角模型。因此整个三角形 e、 b、 f， 它是一个一比二根号五三角形，那 e、 b 等于七，所以 b、 f 就 等于十四。到此结束，你做对了吗？
70专治压轴的杨老师
02:43查看AI文稿AI文稿已知 a、 e 长度为三， ab 全长为十，那下半部分应该是七，这里还已知了一个等腰三角形，腰长为五， 给了一组平行和一个垂直。我们首先十五题一定是要用相似的，那相似用的最多的就是构造平行线，平行出 a 型，平行出叉型，所以我们可以这里头可以看到 五五，是不是已经有一个一比一了？在八字的这个地方。 好，我们在八字这个地方是不是做可以做一个叉形的相似，那这里是等腰三角形，这也会是一个等腰三角形，所以我们设为 x 和 x， 我 们这么一画就好感觉出来了，这应该是一个直角三角形，斜边中线定力。好，那我们验证一下，是不是 这是等腰，角一等于角二，那角一和角三是个互与，那，角二和角四也互与一二相等，等，角的与角是相等的，所以角三等于角四，所以这里就是一个等腰，所以这也是 x， 所以 这就是直角三角形，斜边中线定力， 那既然我们构造的是平行，这是一个中点 x， x， 这是一个中点，那这边依然也是一个中点。是哪的中点啊？是这的中点，所以你会发现 这是不是咱们一直说的斜缝的直角三角形？斜缝的直角三角形就要构造一线三垂直 腰相等，全等腰不相等、相似，所以这是不是又得到了一个相似三角形，所以我们得到了一个一线三垂直的相似以及叉形的相似。好，那这个位置就应该是三，因为一比一，一比一， 那刚刚这儿全程是七，上面三，下面是应该是四。好，这个位置是四，我们现在要求的是 b、 f 的 长度，你会发现，哎，我们把这儿补过来，这儿是不是就是四？因为这就是一个矩形，那 这段长度是不是就是三？所以我们现在只需要求这段长度就可以了。然后这相当于也是做了一个垂直，你会发现这是有一个很躺着的。 a 型相似， a 型相似。四比 七等于八笔全，对不对？我们上笔全等于上笔全好，四比七等于八笔，我们要求的 b、 f， 所以 b、 f 等于五十六七八，五十六除以四等于十四。
28优数老师
04:45查看AI文稿AI文稿我们接下来看一下第十五题啊。第十五题也可以有不一样的方法，但是我就给大家简单讲几种，因为我觉得常规方法才是最简单的方法来，它是这么说的，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于二倍根号五， b、 c 四边形这边 c、 d 也是二倍根号五， bc 是 六。 tangent 这个角，那给 tangent 这个角，我们一定是要把这个 a、 b、 c 这个角放到哎直角三角形里面去的，所以往这里做个垂直 啊。假设这个是 q， 所以 a、 b、 q 这个三角形应该是对边比邻边是二比一，也就是一比二比根号五，那就很简单，这个是四，这个就是二， 对吧？四和二，那最后又给我们 c、 e 等于 c、 d， 那 c、 e 等于 c、 d， 那 你想就想想到三线合一，往这里做个垂直，对吧？往这做个垂直啊。假设这个是 h， 那 这很明显，这两三角形分出来的应该都是二四二倍根号五，二四二倍根号五， 能明白我的意思吧？那接下来这个时候，你就很明显的可以看出来这个长度啊，这是二四二倍根号五，这个也是二四二倍根号五嘛，所以这个长度它就是四，这个长度 他依然是六。而我们这个题问什么呀？这个题问 d、 f 的 长度，我现在很明显就能知道 f 点是 b、 d 的 极点分点，因为它是四比六，也就是二比三，对吧？二比三，也就是 d、 f 占了整个 b、 d 的 五分叉。如果我想求 d、 f 的 话，只需要把 b、 d 求出来就行，那 b、 d 能不能求，好不好求呢？那也是相当的好求，怎么办呀？这个角我都知道了，我直接往这里做个垂直就可以了 啊，往这做个垂直就可以了啊，这个时候应该很多同学就一眼能看出来了，这个是二四， 大家懂吗？二倍根号五，所以整个这个是八，这个是四。一比二比根号五，所以整个这个是四倍根号五， 能听懂吗？整个这个就是四倍根号五，因为这个长度是二，这个长度是六，合起来是八，这个是四，所以 b、 d 它就是四倍根号五， b、 d 是 四倍根号五。根据刚刚我说的三角形， 这俩三角形是相似的，是二比三的关系，所以我要求的 d、 f 占整个的五分之二， b、 d 对 吧？也就是五分之八倍，哎，根号五，五分之八倍根号五啊，我觉得这个方法是最简单的，当然你也可以用一些其他的方法啊，这个方法我就猜了啊，你也可以用些其他的方法啊，比如说你判断完这个之后 啊，有同学可能会这么去想啊，这个是二四二倍根号五，对吧？往这里做完垂直之后，发现这个也是二四二倍根号五，这是全等的吗？这个时候就能发现这个三角形，它也是一比二比 根号五。能不能理解？这个三角形它也是一比二比根号五，这个时候就很容易能发现，这个角它应该是一个。哎，直角，这个角是一个直角啊，有人问这为什么这个角是个直角呢？你看啊，很简单，这个角 一比二比根号五，或者是我往这里做个垂直，给他解释方便一点啊，这个角也是一比二比根号五的，那个角， 能看懂吗？这个角也是一比二比五的角，这个角和这个角会相等，因为这是个等腰梯形，或者说这个角内错角到这里你都能看懂，所以这俩角相加是九十度的，可以证明他是九十度啊，可以证明他是九十度 啊。同理，那这个角其实如果你往这里做的垂直，这个角是一比二比根号五，这个角一比根号二，比根号五，所以这个三角形它其实就是个三比四比五的三角形啊，用特殊角用的比较多的同学就可以这么去做了。好吧，那比如说你确定了之后，那就比较简单了，这个是直角， 这个是六，那这个就是三，这个就是三倍。哎，根号五，那这个是三比四比五的一个，呃，三角形啊，三比四比五的一个三角形。 也不对啊，一比这个是六，应该占根号五分啊，这个是六除以根号五，这个是十二除以根号五 啊，这个是三比四比五的三角形啊，那这个就是八除以根号五了啊，六比根号五吗？八比根号五吗？所以答案是五分之八倍，根号五也能直接秒，是吧？啊？给大家提供这两种思路，但是我个人觉得还是第一种思路，常规方法对大家来说更好啊。
53支点数学徐老师
02:42查看AI文稿AI文稿亲爱的同学们大家好，二零二五山西中考数学已落下帷幕，这道填空十五题是我刚刚拿到手的， 就在上一分钟啊，我还在给高二的同学上课，现在刚刚下课中。今年中考的学生啊，说今年的十五题不好做，搞得心态比较炸裂，想让我讲一下，那正好呢，就给大家一块录制一个视频。今年的这个十五题，比起往年来说，这种题型确实比较特殊， 以往很少直接给你梯形，这道题呢，给了一个梯形直角还有等腰，把很多以往我们见过的模型全部都淘汰了啊，就是一个纯粹的让你自己去构造脚边倒相似的问题。 那么我在以前中考前的课上给大家讲过一个内容，叫直角三角形的双等腰倒角。那么恰好在这道题就考出来了。这道题目呢，给了 c g， c f 是 等腰，所以可以考虑过一点去做平行线 啊，一点去做平行线，我们做这个平行线，同学们，如果做了 em， 对 吧？我们做了 em 去平行于 bf。 那 这样的话，你可以把底下的等腰就倒到上头了，倒上去这个题就好做很多喽， 你看这个阿尔法，有了这个阿尔法搞上去，这不就是一个直角三角形边 c 一 等腰吗？把这角设贝塔尔法，贝塔互于，阿尔法贝塔互于，所以 dm 和 em 相等， 那么 em 又和 mg 相的。此时此刻， m 是 这儿的终点，这就比较舒服了，因为我们做的平行线。那现在我过 g 点再次去做平行线，请你往这儿做平行线，因为这儿都垂直嘛，所以这个位置也是垂直。你做的平行线， m 终点做平行过去，所以 e m 相当于是这个小直角梯形的中位线了啊，所以 e 也是这终点， a e 三带进去，这是三，这是三 ab 全长十，所以这些就是四。然后你又知道这哥俩是五，那这哥俩是五，你看到五，还有个数值的线是四，那都不用多想，直接做垂线就行， 是吧？做垂线把那个四弄过来，这不就可以算边吗？比如这个，这个写 n 吧，那这条线就应该是三， 是吧？那最后呢？实际上我就只需要用 g n f 和那个 e b f 它的相似，把这题搞定，用四去比上一个七， 等于这个 n f 就是 八去比上一个 b f， 八去比 b f， 那 这一个可以快速推出来， b f 就 应该等于十四。 好了，各位同学，这题我就讲到这，如果你还有其他想法，我们可以在评论区交流一下啊，今天时间也比较仓促啊，就只给大家分享这么一种解法，就这样，你们先看看，稳定心态，不要影响后面的考试心情啊，考完就放下就行了，你们都是最胖的，不是，你们都是最棒的，加。
133支点甄老师讲数学
07:50查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，今天给大家总结了一个山西中考数学必考的知识点，就是尺规作图当中的特殊角度作图。 为什么说他必考？因为我们尺规作图常用的是垂直平分线和角平分线，而特殊角度的作图离不开这两个方法，所以这个知识点必考。 那这些特殊角度的作图你都会吗？崔老师一个视频教会大家赶紧点赞加关注，转发给你的小伙伴，或者转发给家里有中考生的家长。那么我们来看第一个特殊的角度六十度。如何以 a、 b 为边做一个六十度的角？ 大家记住，涉及到六十度的角，一定要想到等边三角形， 那我们可以以点 a 为圆心， ab 为半径画弧，再以点 b 为圆心，同样是 ab 的 长度为半径画弧，这样我们就截取了三段相等的线段， 那假如这个点是点 c， 那 这个时候我们连接 a、 c 和 b， c 就 形成了一个等边三角形，那么这个时候角 c、 a、 b 就是 六十度， 这是六十度的做法。那么明白了六十度，那怎么做三十度呢？非常聪明啊，这个时候我们就用到六十度的角平分线， 我们做一个六十度的角平分线，不就出现了三十度吗？我们可以以点 a 为圆心，任意长度为半径画弧，再以这两个交点 e、 f 为圆心，大于一半的长度为半径画弧， 这个时候连接 a 点和这个交点，假如说是 g， 那 这个时候 a， g 就是 角 c， a、 b 的 角平分线， 那这个时候这个 g、 a、 b 就是 三十度。那么接下来我们来看九十度啊，这个是经常考的还是线段 a、 b， 我 们可以做一条 b c 垂直于 a、 b， 那 怎么做呢？我们可以延长 a、 b 到点 c， 然后以点 b 为圆心，任意长度为半径画弧，截取线段 e、 f， 这个时候做 e、 f 的 垂直平分线，以点 e 和点 f 为圆心，大于二分之一的长度为半径 画弧。这样的话，连接这两个交点，我们就做了 a、 b 的 垂线， 那这个点是点 e， 这个点是点 f， 那 么这个时候 f b a 就是 九十度， 过直线外一点，做已知直线的垂线，这是他的画法。那九十度会做了，四十五度是不是就会做了呀？ 我们可以做九十度的角平分线就会出现四十五度，那同样的，比如说十五度，我们可以做三十度的角平分线，七十五度我们可以把它拆成三十度和四十五度。 那么大于九十度的角呢？我们可以采取这些角度的补角，比如说十五度的补角是一百六十五度，三十度的补角是一百五十度，六十度的补角是一百二十度，四十五度的补角是一百三十五度， 七十五度的补角是一百一十五度，那这些特殊的角度就都可以画了。那崔老师给大家介绍的呢？这个是常规的方法，再给大家说一种斜修的方法，我们从九十度说起吧。 线段 a、 b 做一个角 c， 使得角 a、 c、 b 等于九十度。那我们可以做线段 a、 b 的 垂直平分线， 交于点 o， 这个时候呢，截取 o、 b 的 长度，垂直平分线上画弧点 c， 那 这个时候连接 a、 c 和 b c， 那 么这里的角 a、 c、 b 就 一定是九十度。 因为我们做了两个全等的等腰直角三角形，那还有没有其他的办法？ 一定不要忘记圆，在圆当中，我们学习过直径所对的圆周角是九十度，所以如果我们以线段 a、 b 作为直径画一个圆， 那这个时候在圆上任意取一点 c， 是不是这个角 c 都等于九十度呢？那在这个方法的基础之上，我们推导一下，如果你想做一个一百三十五度的角，就不要忘记圆的内接 四边形。圆的内接四边形有什么性质呢？圆的内接四边形，对角互补。给大家举个例子啊，比如说这个一百三十五度的角， 那我们的思路是这样的，你想做一个一百三十五度的角，利用圆的内接四边形的这个知识点，那它的补角呢？是一个圆周角四十五度，说明它的圆心角是九十度。 那利用这个思路我们来看，我们首先做 ab 的 垂直平分线， 那这个时候呢，同样的 交点是 o， 那 么截取 ob 画弧，这样做出一个九十度的角， 那这个时候呢，这个交点我们给它定为点 c， 以点 c 为圆心， a， c 为半径，我们画一个圆， 那这样的话，我们在圆上任意找一点 d， 比如说就找这里吧 d， 那这个 a、 d， c 一定是等于四十五度的，因为它的圆心角是九十度，所以圆周角是四十五度，那这个时候你在略弧 a、 b 上任意找一点 d， 它的角度都是一百三十五度，对吗？这就是利用圆的内接四边形去做特殊角度的办法。怎么样，你学会了吗？关注崔老师，积累更多中考必会的解析技巧！
13:41查看AI文稿AI文稿各位同学大家好啊，我是大嘴老师，咱们今天讲一个特别实用的话题啊，就是在考场上我们做选择题的时候，有哪些小技巧能帮我们去提速，把时间留给后面的大题。还有在考场上，如果我们碰到不会做的题的时候，我们能够怎么准确的猜出答案？ 接下来呢，我们用二零二五年一个去年的中考真题给大家说一下，当然也不是所有的题都可以蒙，都有技巧啊，嗯，我就这里呢，就在那些特殊的题上，我们我就不用正常的做法去做题了， 咱们来看一下，先看第一题，说下列个数中比负三小的数是他们注意一下这个点啊，这个第一题一般就是送分题，你就两个字，仔细 不要看看错数。有的同学，哎，三看成负三了，负三看成三了，把正符号给漏了。第二个题，中心对正读心， 让我们判断中心对称图形。咱们之前说过一个方法，就是咱们把卷子给倒过来是不是？那这个地方再给他们说一个方法，就是你来看它的上下是否一致，或者左右是否一致。咱们来看啊，这个 a 上面是两根线，下面是个半圆，一样吗？不一样，所以说 a 肯定不是中心对称图形，你的中心对称图形上面和下面还有左面和右面都是一样的啊。咱们来看 b 上面是这这样的，斜的四根线，下面呢？六根线不一样，所以说二 b 不是 c， 上面是这个图形，下面这是空的，所以 c 也不是，那只能选 c 了，是不是第三题，第三题这种题啊，我就给他们说说，只要是第三题这种的，你就把右边儿 全给我堵住，然后呢，自己去算，不要被他给带进去。这种题的最容易出错的也就是被出题老师的那个，出题老师可是知道咱们同学们容易怎么错，所以说他就把你容易错的，哎，脑子里容易那那一那一下，哎， 就想歪了，他就那那那个点，他就特别容易猜到，然后他就按那个给你出，很容易把很多同学就带偏了啊。就咱们来看，加法合并同类项， 你字母都不一样，怎么加呢？所以说你这个地方一看，哎，他五 a b， 你 就怎么加起来的错， b 错不能加，看，嗯，二二 b m 的 二次同底中相乘底数不变，指数相加指数是二和四，相加起来是 m 的 六次来看他是 m 的 六次吗？哎，他是，这个时候咱们 就选二 b 了，再看 c， 呃，咱完全平方公式去展开，是不是？去过号的话， a 减 b， 咱们说了完全平方公式，记住开几项开三项， a 方减二 ab 加 b 方基础公式，他甚至跟你背的公式字母都是一样的，所以说 a 看他也不一样，所以说 c 错了。四 d， 咱们来看 a， 咱们这是积的乘方，是不是每一项都乘方，再把它们的 的密相乘，最后结果乘起来，是不是做二十三次这个地方啊，很容易把你带偏的。二十三次几 八是不是？那直接就可以排除他了，他是几，他是六，所以说错了。然后 m 的 六次 来看第四题，第四题是说给了我们 a o 等于 c o， 哎，把条件标起来， d o 等于 b o， 然后呢，是说让我们看两个三角形， a o b 和 c o d 全等的依据题里目前咱们来读的条件是只有这，所以说排 cd 就 排了，是不是？那这个时候咱们来看题里还有其他条件吗？ a、 b 里如果你去蒙的话，你看题里压根就没有给 a、 b 等于 c、 d 的， 所以说就不选 a 了，只能选二 b 了。题里就没有给三条边相等，只给到两条边，我怎么能得到边边边呢？所以这个时候你如果你想确定的话， a 看 a， 他 们有对顶角就可以了，这个时候，而且你看的话，你只盯着这两个对顶角看，因为你边角边， 边角边的那个角就是两边的夹角，你就只看两边夹角是否相等就行了，你不用去纠结其他的角，不用去看什么角， d 角， a 角 b 角 c 来就第五题这种题不用解，直接带特殊值。 a 选项小于二的时候，比如我们就带一带一进去的话，比如说我们带一带带到第一个里面。二乘一加一 等于几？三三大于五吗？不大于啊，所以说 a 错，二 b 二 b， 你 主要大于等于的时候啊，你不要带这个等号，不要带三，你就带个四，带个四进去，比如说带个四，二乘四 加一等于九，哎，九大于五，这个时候不要着急，着急下结论，因为你有两个不等式，你再把四带到下面，就是一减十二等于负十一，负十一大于负八吗？不大于啊，负十一比负八小，所以说 二 b 也错啊。呃，二到三之间说五，二到三五带减，你不会带二点五吗？是吧？带个简单数。二乘二点五 加一等于多少？五加一等于六，六等于五吗？大于满足再看。一减三乘二点五， 二点五等于一减七点五等于负六点五啊，负六点五大于八吗？大于。哎。满足，所以说你来看 c 对 四 d 肯定错了，因为咱们只要有一个解，有个特殊值，就说明有个解了，那肯定他就不可能是无解情况，所以这个题就选的啊 c 了。第六题，第六题，这个题啊，有的同学 看到终点，咱们正常思路，看到终点第一反应，两个终点又连起来了，第一反应就中位线了，是不是啊？但是我不会中位线， 我初三，这个相似面学的非常差，那这个时候怎么办呢？他，我们来看向量，数量关系，一定的是，你看都是 o e， 你 仔细看啊，就是我们蒙的时候也要看看选项，看看题的条件，它是平行四边形，是不是平行四边形？你至少知道 a d 等于 bc 吧， 是不是？所以说这个题肯定先排掉 a b， 为什么你 a d 等于 bc 的， 那你如果 a 对， 那你 b 也是对的呀， 是不是啊？因为 a d 和 bc 是 相等的，那你 b 对 a 也对，所以说不可能，你不可能，咱们出多选啊，所以说 ab 同时排掉，那大家看一下。呃， c 式等于 abd 式呢？等于 ac， 那 等于 ac 的 话，咱们 o 刚才不是说是 ac 终点吗？意思是 o a， 咱们是二分之一 a c， 如果四 d 对 你是不是得 o a 和 o e 相等啊？那你来看图里 o a， o e 相等吗？明显 o a 更长一点呀。所以说 四 d 不 对，因为 o a 不 等于 o e， o a 不 等于 o e， 所以 四 d 错，所以这题就选 c 了，就咱们不会的前提下啊。第七题，看到波动情况，有些东西就去算方差了，在这浪费大量时间。去年考试有个图，我一个学生下来跟我说，老师，那个第七题我算了好久， 我说你为啥要算呢？他说不让咱们通过方差的大小来判断他的波动情况吗？方差大，波动大，方差小。我说你这个时候你跟你说只要他给出数据了，你就不需要去算，那他只要不是让你去计算方差的大小， 你就可以，你就不需要通过计算方差来得到他的波动情况，你直接看数据就可以。什么意思啊？咱们来看啊，他的最低是最高，高气温最低是六，最高是十二，六到十二，波动了几，波动了六，咱们这个低气温最低是二。 呃，最高是最低是负二，最高是二，你波动了四，那谁波动大？那明显你这个波动六波动的大呀。说，你就看咱们这组数据的最大值和最小值，它们相差大的你波动就大呀，相差小的波动就小呀。看，这就够了，你不需要去解除方差啊，在这浪费时间，纯浪费时间。第八题， 圆的问题，有的同学圆的问题让你觉得也不太好。呃，有的时候最简单，咱们中考去量能行吗？可以，我只能说可以，但是说不敢保证百分之百的准确， 因为我忘了是哪一年。那个图就是咱们选择题里的图，他就量不出来。不是说百分之百，有些老师说有一定准的不是百分之百的啊。这个东西我可以去量，但量的时候同学注意一下啊，如果你这个题假如啊，你量了个四十三度出来， 你不要就耿耿着就就学没四十三。不，你找跟他最近的四十五，知道这这个意思吧？就量的话你也注意啊，但带脑子去量啊，你不要不要憨哼哼的，量出来多少就去找，没有量不出来，因为他有的时候不一定是百分之百准确的啊。 咱们那个这个题怎么做啊？这个题有一个小技巧啊，就是你看他，你知道弧相等对应弦相等吗？ 如果你不知道弧相等，那你他既然这个题里其实就只给了一个直径，只给了一个弧相等，那弧相等的话，我就把 a、 c、 b、 c 这连起来，因为我们，嗯，初中阶段啊， 你不就无非就是一些线段的关系，角度关系集合，是不是？所以说你给弧，实际上就给线段关系了，给了 a、 c、 b、 c， 那 这个时候一看，哎，这四十五度， 二四十五度，题底是不是只能让我们根据题的条件找出四十五度的角，找不出其他任何角度的角了？我，所以我就我就去蒙四十五度了，这个题我就去蒙四十五了， 而且这个题我看着就像优先就排 cd， 为什么看就没有那么大，是吧？ 九题，这种题是最简单的发放在第九题，其实非常非常简单啊，他这这么多组数据就带特殊值，你，你有时候你也不用去设 y 等于 k， x 加 b， 万一解错了呢？你带这种，有时候我带数，万一算错了，这种东西都就都一百以内的一个加减乘除，你都算，不明白吗？是不是 这个时候带特殊值，有时候我带个一九，我不想带小数，可以吗？可以啊，比如说我们带 x 等于一， x 等于九 这个地方来算外是否是一，哎，算出来九除以九，哎，就是一，就是，你不要着急啊，你至少带上两个点，或者说你都带一遍，比如说带完以后，这个地方带九， x 带九，算出来九十九，带九八十一，所以说他排了，他带九算出来是不是也是一？九分之一乘以九是不是也是一？这个地方是八十一分之一，所以说先排了 b、 d， 那这个时候你会发现你带九一的话，你注意啊，都带一边，都带一边的话，那从 a、 c 里面选，那你说我就说，我就去蒙了，不，你这还有这么多点了，你再随便带一个呀。 x 带十八九除以十八， 这个是不是二分之一啊？是二吗？不是，所以说 a 排了，那带一下这个试试，九分之一乘以十八，哎，二跟他这个是不是？所以说这个题就选 c。 第十题啊， 第十题，有些同学假如不会做啊，你仔细来看，你这两个一模一样，是一样的，是不是啊？一样的话，你来仔细来看你这个地方其中一块，比如说拿这个第二块这来说啊，这一块是不是可以看成是扇形减去这个空白？ 这个时候你只要能看懂这个点，你其实你你你能蒙的大的蒙蒙对的概率就会就是大大的增增加了。什么意思啊？咱们来看一下，你知道哎，我是用一个大的扇形剪一个空白三角形来得的一小块，是不是？比如说这个来得的这一块，我红色这一块 就是用 s 扇形，可以写一下 b、 d、 c 减去 s 三角形 abc， 是 不是？那假如你 b、 d、 c 不 会算，你会算直角三角形吗？要说我直角三角形不算底，乘高除以二啊，是不是你从小学到大的这个是四，你说这妈这只给了我个底，我不会算高，怎么办？ 那这个时候你来看题里给的 b， a， c 是 直角三角形，而且 ab 等于 ac， 你 知道这是等腰直角三角形吗？比如说做个高， 呃， o 啊，我站住 a， 我 看 af 吧，这四十五度，那你你看的话，你要 b， c 是 四，你能 c f 是 几，你能猜出来吗？你从下往上做不应该是二吗？你说为啥你等腰三角形从下做了高呀？三线三线合一性质是不是初一就学过的？ 然后呢？ a f， 这也就是二了，哎，那这个咱们面积二分之一乘以底，再乘以高，哎，算出来三角形面积是四，面积四，那最后咱们注意啊，你的总阴部分面积是不是要你减出来这一块要乘以二的话，乘以二的话，你有没有注意你是两个扇形 减去八呀？减去八，那时候你来看，这个时候你就妥了，减八的有谁？ c d， 所以 说这个题就是从 c d 里面选一个， cd 里面选一个，就是说那我该选哪一个呢？选哪个？这个时候呢？那你这个说实话，你前面不会算二派或者说四派的话，那这个时候咱们就 就是，呃，就只能是 c 二选一了，但是这个里面有一个技巧啊，就说因为我们发现咱们这里面八派和二派，如果你就想啊，咱们陈老师从迷糊的角度来说，嗯，是不是前面这个四派 都有相同的，哎，更能迷惑，你就说，哎，有的人会发现呀，这两个有可能优先排这种特例嘛，优先排特例，所以说这两个里面，哎，再去迷惑一下，这个时候呢，咱们蒙 d 的 可能性是不大一些， 蒙 d 的 可能性大一些，所以这个题就选的是这个题，实际上就选的四 d， 咱们正常做三百六十分之 n， pi， r 的 平方三百六，然后 n 呢，是四十五度，等于二十到三角形吗？ pi 呢？ 呃呃， pi 就是 pi， 然后呢 r 呢？是咱们的 b c 值半径，所以说是四个平方，最后算出来就是四，就是咱们的二 pi， 二 pi 再乘以二的四 pi 就 算出来就是 四 d 了。咱们选择题啊，就是这个样子了，就是咱们同学们总总之说啊，遇到不会的啊，你别慌，你用逻辑去推，不要瞎蒙， 你多多多少少就该带特殊值，带特殊值，该用题的条件呢？呃，就是你不会算呢，你看看题的条件，能利用起来，让他去符合题的条件去，是不是？ 嗯，咱们呢，这个今天这个视频呢，说到呢，下一期呢，我给大家一起再说一下咱们最后四道大题，就是咱们二十二，十一，二十二，二十三，这四道大题有个特点就是长， 咱有很多同学读呢，读不明白，咱们就专门讲一讲怎么去读题，怎么去筛选条件，然后跟着大习老师的橘子走，中考肯定没有问题，大家下来呢，好好复习，我们下期见。
137是大嘴老师吖
09:08查看AI文稿AI文稿hello， 各位同学，大家好，徐老师又来了啊，今天给大家来讲一下今天刚考完的山西中考第十五题。呃，给大家讲了两种方法啊，我认为稍微简单的两种方法，但是比较难想啊， 来一起来读下题。他说在四边形 a、 b， c， d 中， a、 d 平行， bc 角 b 等于九十度， a， b 是 三， a， a， b 是 十， a， e 是 三， c、 f 等于 c， g 等于五，来标一下这些条件啊，这个是三，整个是十，那这个是七，这个是五，这个是五， 它是直角，因为平行它也是直角，然后它也是直角。让我们求 b、 f 的 长， 那其实求 b、 f 的 长，这里一定要注意一个东西啊，这里面包含的东西有很多很多，那我们该怎么去求呢？你会发现这个三角形和这个三角形，它其实就是一个三垂直的相似，这个能理解吧？比如说我标这个角是阿尔法，那这个角一定是阿 尔法，这个角也会是阿尔法， 所以你会发现啊，这个三角形，这个三角形，还有这个三角形 啊，这个整个三角形啊，都相似啊啊，至于几比几比几的相似，我们不知道。最后问我们的 b f 等于多少， b， f 等于多少，那其实这个题啊，没有想象中的那么难。好吧，给大家提供几种简单的思路。第一个思路啊， 那我觉得这两个思路都可以啊，就是这俩角它是相等的，这俩角相等，还有平行， 这个想的什么角分线加平行出等腰，对不对？角分线加平行出等腰已经有平行了，所以我们可以有一种这个思路是这么样子的，延长 d 啊，延长 c、 b 交余点 q， 好 吧，交于点 q， 那 这个时候这个角，这个角以及内错角就相当了，所以这会是一个等腰啊，能看懂吧？我简单的记在旁边啊， c q 会等于 c d， ok， 那 等腰里面考的最多的是什么吗？那不就是三线合一吗？所以过 c 点可以大胆的去做一个垂线啊，大胆去做一个垂线，假设这个点是 h， 那 h 点必定是 d q 的， 呃，中点，也就是说这两个会相等，好吧，然后 也就是 q h 等于 d h， 那 接下来你就会发现三和七，我能知道这个三角形是相似的啊，这个三角形是相似的，能看懂吗？相似，相似，比是三比七，所以 d e 比上 eq 啊， d e 比上 eq， 就是 等于 a， e 比上 b e 等于三比七的，也就是说如果它是三份，它会是七份，那合起来就应该是十份。和 h 点是中点，它应该就占五份，所以整个的比是三份，比两份，再比五份 啊，能理解这意思吧？这个是比例啊，三比二比五，是 d e 比上 e， h 比上 h q， 那 三比二比五，这会又有一个相似啊，又有个相似，因为垂直，垂直平行嘛， a 字相似， a 字相似，这个时候你就会发现 这个长度是五，那我的 d g 是 可以求的，因为它俩的比也得是三比二，所以 d g 它就会是二分之十五， d g 会是二分之十五，好吧， d g 这个是三比二比五啊，然后根据另一个相似就可以求出 d g 啊，等于二分之十五，也就是 c d 会等于二分之二十五。那这个时候怎么办呢？我其实要求的是什么？ 我其实要求的是 b f， 怎么求呢？那这还有个 r f 作为 r 倍角啊， r f 作为 r 倍角，然后往这里做一个垂线， 你会发现这个是几啊？十，这个是二分之二十五，所以这个 r alpha 所在的三角形，它的比例是确定的啊，能不能听懂我的意思，它 r alpha 所在的这个三角形，比例是确定的 啊，这个比例是确定的， ok， 来我们来算一下啊，这个是十，也就是二分之二十，这个是二分之二十五，所以这个只能是二分之十五，其实就是一个三比四比五的三角形嘛， 对吧？三比四比五的三角形， ok， 那 这个三角形是个三比四比五的三角形，嗯，那怎么求它呢？那很简单， tangent 二 f 是 三比四啊，四比三啊，四比三，大的比小的四比三，所以 tangent 二 f 这个三角形，它应该是个一比二的三角形啊，对吧？这个角也应该是个一比二的三角形， 能明白这意思吧？所以这段长度其实就可以求了。这段长度怎么求呀？这个是三， 那这个就是二分之三，那这个就是二分之三啊，这个就是二分之三， 那我要求的 b f 不 就是二分之三加上二分之十五，再加上五吗？也就是九加上十四十四， 好吧，角分线啊，三线合一，然后在里面各种用相似，其实这个方法也不是很简单，对吧？但是啊，确实是我们学过的方法里面能做的。这个是法一，来说一下法二 啊，自己可以暂停的看一下啊，说一下法二法二，它其实也是利用这个直角和这个角分线 啊，这两角相等。我再说一遍啊，为什么这两角相等？这个角阿尔法跟这个角阿尔法相等，因为这是一个三垂直相似，垂直啊，垂直，垂直。 ok， 那 这个是阿尔法，因为等腰，这个就是阿尔法，所以这个也是阿尔法，所以这个两个三角形它也是相似的啊，这三个三角形都是相似的， 好吧，那这两个角就相等，这就是角分线，所以角分线其实还有一种做法，不知道大家能不能理解啊？这是个直角，还有一种做法是往这里连一个线啊，连一个平行线，做一个平行线，做的是 e h 平行， e h 平行，这个 a d 平行 b f。 那 这个时候有一个东西大家一定要理解啊，有个东西一定要理解，就角分线，这俩角相等， 没问题吧？然后平行内错角相等，所以这里会有个等腰，也就是说这个角会和这个角相等， ok， 我 标一下啊，角一会和角二相等，没问题吧？角分线加平行数等腰啊， h d 等于 h e， ok， 那 角一和角二相等，那角三就必定会跟这个角四，也就是这个阿法相等，为什么呢？因为角一跟角四互余，角二跟角三互余啊，所以角三和角四相等，所以这个和这个又会是个等腰， 其实就是斜边中线的应用。好吧，那这个时候就可以得到 h 点，它应该是我们 d g 的 一个中点， h 点是 d g 的 一个中点， 没问题吧？那这个时候根据终点啊，我其实又可以知道他是终点了，又知道平行了。我是 b g 的 终点，所以我可以大胆的从 g 点再引入一条平行 啊， g q 啊，它是平行的，好吧，那这个线就会作为我们这个梯形的中位线，或者是你直接用平行线分线段成比例，一比一等于一比一，而这个长度是三，所以 啊，这个长度也得是三，而整个这个长度是七，那这个长度就得是四，那这个长度是五。把这个四平移过来啊，往这里做一个垂线， 往这里做一个垂线，它就是四，那它就是三。那同理，这个三角形它是一个三比四、比五的三角形， r f 是 四比三，那 r f 分 解的值，它就是应该是一比二，一比二 啊。能不能理解？一比二的话，那这个是七，那这个就会是十四，这个是七，这个就会是十四。也不用一个一个去解读了 啊，这是法二啊，这是法二。当然很可能还有其他的方法，大家可以发挥你的想象力，我们一起来探讨探讨。好吧，这个题咱就讲到这。
40支点数学徐老师
04:02查看AI文稿AI文稿现在我给大家讲一下咱们山西中考二零二六年数学第十五题的一个解析思路，就是根据网上的这个网友的回忆，咱们把这个基本的内容咱们 呃看一下。首先高了一个呃题目当中的要求， a， d 平行 b， f， d， e 垂直于 e， f 角 b 等于九十度， a， e 等于三， ab 等于十， c， g 等于 c， f 等于五，那么可以很容易推算出 ab 等于 ab， 减 ab 等于 十，减三等于七，那么求必 f 的 长度。那么咱们用到的一个基本思路是什么呢？就是延长 ef 交 d， a 的 延长线于点 h 啊，那么根据这个咱们常用的这个相似的思路，咱们可以做，因为题目当中咱们很容易得出一个什么结论来，就是呃，一线三垂直模型，那么 d， a， e 和 e、 b， f 是 相似的，那么的话 a， e 告诉你是三 e， b 告诉你是七，那么很容易得出来一个就是呃，那么 b， f 是 等于七 k， 呃，那么根据这个也可以根据这个相似， a、 h、 e 和 e、 b、 f 是 相似的烟，因为他们是平行线，那么又构成两个相似，那么构成相似以后，那么根据这个 a， a、 e 比上 e， b 是 三比七，那么容易得出来 a h 是 设 a， a， h 是 三 k， b， f 是 七 k， 那 么就是根据题页，咱们首先能够快速的往这个中考的模型题里头进行转换， 那么常见的就是平行线，那么构建相似，还有就是一线三垂正方形，你们首先看到这一点，那么然后再根据 g， c， f 是 一个等腰三角形，那么因为 c， g 等于 c、 f 两个底角相等，那么延长以后做出 h， d， g 和 g， c， f 是， 呃，那么是相似三角形，那么容易得出这两个角就相等， 那么角 h 和角 h， g、 d 是 相等的，那么根据相似的话，这是呃三 k 的 情况下，那么然后咱们再看，根据这个 a， e， h 和 a， e， d 是 相似三角形好，那么这是垂直，这是垂直，容易挣出两个相似，那么根据相似的话，你把 a、 d 呢求出来，是 k 分 之三， 那么 a， d 是 k 分 之三的话， h d 和 d g 相等，所以的话 d， g 就是 三 k 加上 k 分 之三，过点 b 作 d， i 垂直于 b f， 那 么在这个 d i c 当中，利用勾股定律啊， 那么 d i 是 等于 a， b 是 等于十的，那么啊， i c 呢？是等于七 k 减去五，然后把 a、 d 又和 b i 相等，然后七 k 减去五，再减去 b i 啊，那么容就容易得出 i c 的 长度来，是七 k 减五减去 k 分 之三， 那么 d i 了，是等于 a， b 等于十， b， c 等于三 k 加上 k 分 之三加上五，那么利用勾股定律列出方程来，在这方程的话，一定要注意一下，那么要利用呃因式分解平方差公式进行 呃分解，这个做这个呃解析的这个思路，平方差公式， a 方减 b 方等于 a 加 b 乘以 a 减 b， 那 么列方程求解，呃，最后求解出 k 等于二分之一，明显不合适，要舍去，因为这个七 k 二分之七 k 比这个 c f 五还小了， 所以的话这个二分之一舍去，所以 k 算出来是二，所以最终答案 b f 就 等于七 k 等于七乘二等于十四啊，那么这是我的一个思路，我觉得这个难度还是在咱们平时复习的范围之内啊，那么祝愿咱们考生取得一个好的成绩。
09:27查看AI文稿AI文稿我们看一下这个山西省中考第十五题亚洲填空，先读一下题，四边形 a， b， c， d 两 a， d 是 平行于 bc 的 角， b 是 九十度，哦，那么角 a 也是九十度，这里就得到了一个直角题型。 看一下线段的关系， ab 是 十， a， e 就是 三，那么 b， e 就 应该是个七，然后告诉我 c， f 和 c g 等于五， 那我们这里，然后这里还有一个角 d， e， f 是 九十度，那这很明显是不就出现了我们的一线三垂直呀？一线三垂直怎么办呢？我是不是肯定要过点 g 做 ab 的 垂线 m， 那 我们去看这个三题型， a， d， g， m， 那 既然是一线三垂直，我去做一个辅助线吧，我做 做 e， g 垂直于 d， g， 这时候看关系啊，我把这个角与它相等的角，我全部给它标注出来， 那么这个和这个， 因为这里是九十度嘛，因为这里是九十度嘛， 那么此时我的这些角，这个点和这个角和这都应该是相等的。同理，这些都是我的三角形，那么我就 得到了这里三角形 a， d， e 全等于三角形 g， d， e 三角形 e， g， 哎呀，有了 g 了， h 吧，我写个这里，写个 h 吧， g， d， h， g， h， 啊 啊，这两都是全等的，那你说这两个小三角形和这两个小三角形都是全等的，那么全等了以后，这肯定也是个 e， h， e， m 都应该是个三，那 m， b 就应该是个四。然后再回到这里， g， e 和 g， c， g， c， f 和 c， g 是 五，旁边是四，那很很明显，我要过点 g 做 b， f 的 垂线 k 吧。好了，那这时候 g k 就是 四， g， c 是 五，那么根据三、四、五 c， k， 它就是个三。 好，我得到了这个关系，那这个时候要求的是 b f 的 长度，那我们另啊来个相似吧。我们另 b g g m x x， 那 是不就等于 b k 也是 x 好 了？那么根据 g m 是 平行于 b f 的， 所以 g m 比上 b f 就 等于 e， m 比上 e b， 那 也就是 x 比上 x 加八是不等于三比七。 计算一下，七 x 等于三， x 加二十四，四 x 等于二十四， x 就 等于六，那么 b f 长是不就十六加八十四？ 哎，这里利用了一线三垂直全等去证明这个呃线段的长度，然后用一个相似去把它勾股定律，然后用相似去算出 b f 的 长度。 我们了解了题目以后，我们再来看第二种方法。这里观察到 d e， g 是 一个直角三角形， 那我想着，哎，过点 e， 过它的直角顶点，做一条关于与 a、 d 平行的线，也说做 e h 平行于 a， d 交 b， d， g 于 h 点。那么这个时候咱们看啊，因为底下为什么我要做平行呢？它是平行于 c f 的， 这个底下的 c， f， g 是 一个边长为五的等腰三角形，那么做平行线是不？我的三角形 e， h， g 也是一个等腰三角形， e、 h 是 等于 h g 的， 它俩相等， 那既然它俩相等，我们在直角三角形中，直角三角形斜边上的中线是不等于斜边的一半。哎，那我们是不是就可以得到 d h 等于 e， h 等于 g h 同理，那就得到 h 为 d g 的 终点啊？ h 是 终点， 那我此时再过点 g 做 ab 的 垂线， 那你看 h 是 中点平行线，那么 e 是 不是就变成了 a e 为 ak 的 中点？那么这个时候 a e 是 三， e k 就是 三， b、 k 就是 四， 那么同样的道理，我再去做垂线，哎，把这个四平移过来以后， 这个时候 c、 m 就是 三了吧？哎，继续利用相似 x x 是不就可以得出 b f 的 长，也就是 x， b， x 加八是不等于三？比七，最后得到 x 是 等于六的八六十四，这是第二种方法。 嗯，我们接下来再看一种方法，这里看到了平行，然后这里有一个等腰 cf 既是等腰，那么很明显，我是要想着把这个 ef 给它延长， 延长了以后和 d、 a 的 延长线，哎，交于一点 h。 那 么看啊，这里因为三角形 c， f， g 是 等腰， 那么我的三角形 h， d， g 是 不是也应该是一个等腰三角？又因为 d、 e、 g 这里是直角， d， e 是 垂直于 h、 g 的， 那么这个时候是不是就会出现 三线合一啊？也就是说这个 e 点是 h、 g 的 中点，那么这里它俩是相等的，是不就它俩是相等？那我肯定，哎，继续做 g， m 垂直于 a， b， e 是 h， g 的 中点，那么平行以后， g、 m 与 h d 是 平行的，所以 e 就 为 am 的 终点。当我得到了它是终点以后呢？这个长度三三，这里就是四吧，那么这边是五，这边是五，我去再做一个垂线，是不又回到我们 三四，呃，五这个直角三角形里面去。 继续，依然是 x， x 用比例 x 比 x 加八等于三，比七得到 x 等于六，我们最后又是不是又得到了 b， f 等于十四？
4老李数学
06:08查看AI文稿AI文稿二零二六一点通抢分卷的这个十五题啊，那这道题呢？其实我觉得难度并不大啊，就是可以不做辅助线就做，但是不做辅助线的话，他可能数字不太好算， 做辅助线的话更好算，更方便。还是从两个角度来说啊，第一个角度，咱们讲一下相似三角形的角度。那第二个角度，咱们讲一下解直角三角形的角度啊。来看题说如图。 而第三角形 a、 b、 c 中角 a、 b、 c 等于九十度， ab 的 长度是个一， bc 的 全长是个四， d、 e 分 别是上面的点连接了 a、 d 和 b， e 交于点 f， 如果角 b、 e、 c 这里是一百三十五度， cd 等于三倍的 bd 好， c、 d 占三份， b、 d 占一份，说明这是一，这是三。好啦，同学们，接下来来这个时候，你应该能看到三角形 a、 b、 d， 这是一个等腰直角三角形，所以这个角是四十五度角。 那么一百三十五的隔壁这也是四十五度角，所以同学们，对吧？这么俩角都是四十五度，他们都对着 a、 b 这条边，说明啥？说明同弧所对圆周角相等啊，对不对？所以当你看到这俩都四十五度的时候，马上要想到 a、 b、 d、 e 四点共圆啊， a、 b、 d、 e 四点共圆，这个时候直接连接了 d， 那 么显然这边应该是九十度啊，因为这有直角，则 a、 d 为圆的直径，直径所的圆周角为九十度，所以这应该是垂直。 那么再来看 ab 这条边长为一啊， bc 这条边长为四，所以角 c 这个 r 法角，它所代表的三边关系应该是一个一比四比根号是七的比例关系，所以 a、 c 的 全长根号是七， 同时小三角形来， e、 d、 c 和大三角形 abc 相似啊，那么它的三边关系也应该是一四，根号十七， 所以 d、 e 的 长度直接出来就应该是一个根号十七分之三， ec 的 长度为根号十七分之三乘四十二 啊，那所以用 a、 c 减去 e、 c 根号十七，减去根号十七分之十二，得到了根号十七分之五。这个时候你就又知道了，这个贝塔角它代表的三边比例关系应该是一个三比五来，同学们 三比五，比根号下九加二十五是根号三十四的比例关系，所以来把角贝塔同弧所对圆周角转化转化到这啊，左边贝塔三五，根号三十四， 右边四十五度角，直接过点 f 向下做垂直，好给一个垂直，则这边为三 x， 这边为五 x， 这边为根号三十四 x， 那 么四十五度角等腰直角三角形 h、 d 也是三 x， 所以 同学们直接 八 x 等于一，那么 x 等于八分之一，那么我要求的 b、 f 等于八分之一乘以根号三十四等于八分之，根号三十四，搞定 啊。所以大家看到直接用解直角三角形的方法去做，虽然说我们做了两次辅助线啊，但是呢，它其实很好算，也很好去想 啊，这是第一个，来我们看一下不用辅助线。好，那我们再来看一下不用辅助线，用相似三角形的方法去做这个题，那这个时候就是你要看到还是 b、 d 为一， ab 为一，这个角为四十五度角，隔壁为一百三十五度角。 我又知道 bc 也是一个一百三十五度角角， c 是 个公共角，则显然三角形 来 a、 d、 c， 它要相似于三角形啊。 b、 c， 那 么这俩三角形相似来对应边长成比例，我们直接给它做对应来。注意，拿小三角形的 b、 e 去比上 a、 d 等于 ec， 去比上 dc， 等于 bc， 去比上 a、 c。 好， 那么往里面填数字就可以了。来， b、 e 的 长度我们不知道 啊， a、 d 的 长度显然是个根号二，等于 ec 的 长度，我们也不知道来 dc 的 长度，这是一个三，等于来 bc 的 长度给一个四 ac 的 长度，根号是七 好，然后交叉相乘，截值可得马上来， b 的 长度等于根号十七分之四倍，根号二啊！ e、 c 的 长度等于根号十七分之十二，同样用全长根号十七减根号十七分之十二得到这边是一个根号十七分之五，好，那么又知道 a、 d 的 长度根号二来，我射 啊，这里为 x， 这里为 y。 来，同学们，你能看到是这个圈圈角和这个圈圈角，它俩应该相等，再加上对顶角相等，这俩三角形又一个斜八字形的相似，对吧？所以来这个 a、 f 是 啥？ a、 f 应该是根号二减 y， 而这个 ef 是 啥？ ef 是 十七分之四倍，根号三十四减 x 好， 直接继续找比例关系啊，用 根号十七分之五比一等于根号二减 y， 比上 x 等于十七分之四倍，根号三十四减 x 比上 y。 好， 他俩相乘出来一组啊， 他俩合并再出来一组，好的，继续用这两个方程解出来 x， x 等于八分之，根号三十四。 搞定啊！就这个方法，他虽然说不需要做辅助线，但是他计算过程其实很复杂啊，所以我建议还是用解直角三角形的方法更方便， ok。
436陈进步讲数学
08:57查看AI文稿AI文稿一条视频给大家讲清楚山西中考十五题的一个答题的思维方式，希望大家能够开窍，我们用五步法来给大家讲解一下这种类型题的话到底该怎么做。那么第一步的话就是我们要掌握基本的策略。 初中阶段的话，我们求线段长度的话就五大工具，那么我们山西的中考的话，一般考的都是线段长度的求法，那这五个工具分别是，第一个相似三角形用来求解线段，利用相似比。 第二个就是勾股定力，勾股定力这里面的话包含着双勾股，勾股方程和基本的勾股定力，这是三件套，这个必须得会。 第三个的话就是三角函数，三角函数的话除了我们常见的三角函数的模型啊，什么背靠背啊等这些之外，你还要记住三四五一二三四五，模型七二四二十五这个角度具体是多少？ 第四个工具的话是等面积法，那么这里面的话，如果让你求高线或者是双高的时候，我们用等面积法来求解线段长度，第五的话就是两点之间距离公式，那么本质的话就是我们用间隙法来进行解析啊，这是比较通用的一个用代数来解决几个问题的方法。 那么以上的话我们是说的哎，你要心中有一个基本的策略，你要知道哎，求线段长度这种问题的话，我们该用什么样的办法来进行求解？第二步的话就是我们拆解题中的条件， 通过题目所给的条件的话，计算相应的数据，并用铅笔进行标注啊，为什么我们强调用铅笔呢？因为如果你用中性笔标完之后的话，图废了之后你再画图会浪费很多的时间 啊。解难题的话要算不要看，你要算一下，有很多同学的话，拿过题之后的话，他就一直在那盯着看，这样的话浪费时间你也解不出来题。 那么难题的话，其实无非就是两种类型，第一种话就是你真的是不敢做的题，因为你自己觉得，哎呀，这道题咋这么复杂呀，我不想做啊，不敢做，那么最后的话就是你不会做，也就是题目当中涉及到的 题型方法，辅助线这些东西的话是你不会的啊，这是两种情况，但很多题的话，其实大家都卡在了第一种情况，就是不敢做，不敢下手啊，这是很可怕的。第三步的话就是做辅助线，那么常见的条件要有基本的 条件反射啊，我们常见条件的话，他这个辅助线的条件反射大家要能够清楚啊，比如说我们说你有线段笔，要想到这个构造平行 角、平分线，四大模型、中点六大模型、二倍角辅助线该怎么做啊？或做角平分线，或者是构造等腰外角等等等等这些东西，那么这就是你要去储备的知识，因为如果你不储备这些知识的话，你就没有办法解决这些问题，所以这个部分是大家要学的东西。 第四步的话就是确定策略啊，根据条件产生的辅助线，选择合适的求解线段长度的策略，你到底刚才我们说那五个工具，你到底用哪个来进行解析？ 第五步的话就是精准计算啊，因为我们现在命题的这个数据啊，他这个都是比较大的数据啊，所以说计算量很大，他主要是为了 杜绝什么我们在考试当中有这种猜蒙的现象，我们在十年前的时候，我们考试当中他很多题的话，你就可以蒙出来，比如说一点五倍根号二啊，二倍根号三，这些数据是可以猜出来，但现在命题给出来的这数据的话，一般情况下你用量猜的话是猜不出来的。 这里面的话我要给大家做一个说明啊，我们成功来源于不断的尝试，但这仅限于平时做题，我们真正在大考当中，这十五题的话，你只有十分钟的时间，如果你做不出来，你赶紧放弃啊，不要耽误了其他的试题啊，要考虑我们考试的一个得分率的问题啊， 并不是说十五题适合所有的人啊，这个大家要能够清楚啊。那么接下来之后，我们按照刚才咱们讲的这个思维策略，我们看一看咱们整体啊，就是二零二六年太原市九年级期末测试的这个十五题，我们看一看按照这个策略怎么解这个题。 首先的话，我们拿过题之后的话，我们先把这个基本的线段 e、 f 看一下，按照目前这个情况来看的话，他题中 a、 c 和 bc 的 长度是六，然后呢，角 a、 c、 b 是 九十度，这是一个等腰直角三角形， d 是 ab 的 三等分点啊，那么能求出来这里面 ab 的 长度图啊，应该是 呃，二倍根号二。然后呢，题目当中还给你的是角 a、 d、 c， 这个角和角 a、 b 相等， 这就是所有的条件，那么接下来我们要干的事情就是要把条件进行拆解，题中给出来角这个条件他到底要干嘛啊？那么我们可以想到 角度相等的话，这条件联想第一个等腰三角形，第二个角度相等的三角函数值可能是相等的。第三个那么这里面可能是为了我们的相似做了一个准备。好，那这里面我们找到两对相似，第一个相似，大家可以看到我们这个 a、 d、 f 这个三角形啊，和 a、 e、 b 这个三角形，它是一个反 a 相似，这个你要能够看得出来啊，你要能够熟悉基本的一些这个几何上的知识啊。 第二个相似的话，就是我们说的这里面的 a、 c、 d 啊，和这个三角形 a、 e、 b 这两个三角形相似， 那么以上的话，其实都是通过角相等这个条件得出来这么个结论啊，那么通过这个的话，我们就可以把所有的数据其实全都破解出来。如果你有相似之后的话，那么我们知道， 呃，这个边长是六啊，这个边长是六，那么这边的话是六倍根号二，这个位置是二倍根号二，这个长度是四，这个长度是二。其实大家发现了吗？我们这里面的话 e 点也是三等分点， d 点也是三等分点，那么根据 平行线分线的成比例定律啊，你灵活运用一下的话，其实你连接一下 d、 e， 那 么这里面的 d、 e 和 a、 c 应该是平行的，我们逆用了一下平行线分线的成比例定律，这是我们角相等的一个条件，给出来我们能想到哪些东西啊？这是第一个， 那么我们以数据都有了哈。当然如果你要连接 d、 e 的 话，那么这里面的话，其实可以用相似就可以解出来这个题了。这里面的话，我们可以看到这个 a f、 c 和这里面的 d、 f、 e 这两三角形相似的，并且 a e 的 长度可以利用勾股定力直接解出来，然后呢能知道 a f 和 e f 的 线段比，进而解出来 e f 的 长度啊，这是我们第一种方法用相似解决了。 好，那么接下来之后我们看看还可以用其他的哪些方法来解决这个问题呢？当然这些方法的话，包括辅助线的来源都一定来源于题目当中的条件 啊，那这需要你去储备这些东西，比如说题目当中告诉你个线段笔，这个线段笔的话，大家可以看到我们这个线段笔的话，除了能够给出线段长之外，我们还有一种就是平行辅助线， 他告诉你线段比的话，其实你可以构造 a 形相似， x 形相似呀，对吧？那么这里面大家可以看到第一种辅助线，那就是过点 a 做 a h 平行于 bc， 那 么这里面会出现两个八字形啊，前面第一个，第一种是 adh 和这里面的 bcd 的 相似， 第二个的话，这里面的 a、 h f 啊，和这里面的 c、 e、 f 是 相似的，但是你无论用相似还是怎么样，前面那个我们第一步的 给角度那个相似，你必须把它看出来的，这样你才能求出来 a e 的 长度，进而用相似求出来这个 e f， 也就是 a e 这个线段长度一部分的长度，就是这样啊。好，那么还有第二种，那么你就可以过点 b 再做 这个平行线，那么实际来讲的话，这里面的话，他这两种辅助线做法的话都是一样的啊，都是一样的，其实都是在用相似来解决问题啊。那么除此之外的话，我们还可以用别的方法来解决吗？可以，两点之间距离公式，就是我们常用的通俗的我们说的这个间隙法来解决问题， 大家可以看到哎，我们可以过 c 点做一个 y 轴，然后呢以 ab 为 x 轴，然后间隙，当然前面所有的该破解的数据你都该破解啊，所以我们对于这个十五题啊，咱们在进行处理的时候，大家一定要干嘛呢？先把该 分析出来的数据先把它分析完，分析完之后这是最基础的，然后才知道你去做辅助线，对吧？你就可以按照我们以上五步的操作来进行去解这种题啊。 然后呢咱们第三步当中的话，这里面的话，他出现那个是这个关于辅助线的一个条件反射，这些东西大家要能够去积累啊，去听老师讲，或者你自己去总结。
814谭谈数学
11:13查看AI文稿AI文稿刚刚张老师拿到了十元负限时训练三的试卷，以及山大负的校内的一次模考题目，这两套试卷品质都非常高。张老师先把这个十五题给大家做一个讲解，我们一起来看十元负的这个十五题。矩形 abcd， h 和 e 呢，分别是边上的中点，特殊条件标注一下，然后 c e 和 c h 连起来之后， c e 是 一个角， b c h 的 角平衡线，那这个角是 r f， 这个角也是 r f 点， f 为靠近 h 点的三等分点，那说明 f h 如果是一缝的话，那么 c f 就是 两缝等分点，然后连接 df， 已知 ad 的 长是等于二， ad 的 长是二，那说明这就是一，让我们求的是 df 的 长。 这道题最大的特征其实有特殊条件，有角分线，有中点，所以我们通过这个角分线与中点来处理。法一，我们通过角分线 以及加上平行线，我们得出等腰，看能不能把这道题解决。 c 是 角分线，并且 bc 和 a， d 是 平行的，所以我们把 c 给它延长出去，与 d a 的 延长线，让它交于一个点。这样画完之后，其实就出现了一个等腰，这个点是 m 点， 那么左右平行，所以角 bce 这个 r 法就内错到了顶点 mh 这个 r 法，此时三角形 mhc， 它就是一个等腰三角形，并且途中两个红色阴影的三角形，它应该是全等的，因为 e 是 个中点， 在 bc 等于二的情况下，那么 am 也等于二，所以这个等腰，它的腰长应该等于三，所以我们得出了 x 应该是等于一的，因为 c h 现在等于 m h， 那么此时三角形 d h c 它应该是可解的，斜边是等于三，一条直角边是等于一，所以这个长方形的乘，我们可以算出是二 b 根号二， 然后 e 又是个中点，所以一半 b 应该是根号二。也就是说此时这个 r 法对我们来说是已知的，因为它所得的三角形呢？两个直角边的比是根号二，比了个二 要求的这个 d、 f， 我 们可以把它放到三角形 d、 f、 h 或者 d、 f、 c 里面，都可以把它处理。比方说我们放到 d、 h、 f 中，它是个等腰，我们过 h 点向 d、 f 做一条垂线段，垂足式 q 点， 那么此时这样分完之后， bc 和 ad 平行的话，两个 r 法就内错到了顶点。 h 处的这两个 r 法又是等腰。三线合一之后，所以这个小角其实是 r 法。 r 法所得的三角形，它其实是根号比了个二，比了个根号六的， 所以此式三角形 d、 h、 q， 它应该也是这样一个比例。斜边现在是一，一对应的是根号六方要求的这个 d、 q， 它其实是根号二方，所以乘一个根号，再一个它乘一个二，三线合一，所以这个数字的结果其实就是啊。 d、 f， 我们把它稍作化解，根号二和根号六约一下，这是根号三，所以结果应该等于根号三分之二，其实就是三分之二倍的根号三。第二个思路看到了角分线，还可以用角分线的这个定力来处理。 我们的做法是把 c、 h 延长出来，再把这个 b、 a 给它延长出来。这个交点如果是 m 点的话，那么这两个 r 法是一样的，然后 e 又是个中点，所以这是一缝。这个 am 和 c、 d 应该是相等的，所以它应该是两个 a， 那么此时根据角平分定，我们会得出来 b e 比上 e m 是 一比三，它应该是等于 bc 比上一个 cm 的， 而 bc 是 等于二，所以 cm 应该是等于六。 并且这样做完这个这个 h 点应该是 mc 的 一个中点，那换句话说，我们其实可以读出来 f h 它也是一，它是二，它是三。 写到这 h d 又是 e 的 话，那么做法和法意就一样了。接下来要么记一号三角形，要么记二号三角形，都可以把它搞定，因为此时这个阿尔法对我们来说是个已知角。 第三个思路，我们直接通过相似也可以解决这个题。比较特殊的地方在于，如果我们把这个 d、 f 给它延长一下，那么它必然经过 b 点，这个也可以把它说明，因为左右两个三角形，这是一，这是二。 h f 是 一份， c， f 也是一份， c、 f 是 两份 平行，这两个小角应该是相等的，所以可以正等，他俩其实就是相似的。相似之后我们会发现来继续上下平行之后，上下两个三角形依然是相似，所以我们可以得出来 b、 e 和 c、 d 是 一比二，那么这一段 和这一段是一比二。刚才左右的八字形相似之后，也可以得出来， df 和 f b 是 一比二。 同一条线段有两个比例，但是他们俩总分数都是三，所以我们可以读出来此时这个 f 点以及这个 q 的 三等分点，此时这个 q 点，其实它就是啊 b、 f 的 中点以及这个 c q， 它又是个角平分线，所以角平分线和中线重合了，那就可以得出来三角形 b、 c、 f 啊，它必然是个等腰，三角形 它是等腰之后，那么就可以得出来 cf 应该也是二，那同理， h、 f 应该就变成了一了。接下来和前面两种思路的做法其实是一样的，就是来解三角形 d、 h、 f 或者三角形 d、 c、 f 不可以，这是师院副现实训练三的十五题，我们接着来看山大副的这套试卷里面的十五题，长得特别像二零二四年百校联考一的十五题，有兴趣的同学们可以看一下。那道题目用说的是三角形 abc 是 个等腰，三角形 ab 的 长是等于五， bc 也等于五 底边， ac 呢，是等于六， d 点是个中点，特殊条件中点给它标注出来。过 c 点做了个 ad 的 垂线， 交与 a、 d 的 延长线于一点，让我们求 d 的 长，这个位置是个九十度。做这道题，我们读完之后，它的核心其实就是一个等腰，是五、五、六的一个等腰以及一个垂直，还有一个中点。好法一，我们通过中点的处理以及解三角形，可以把它拿下。 abc 是 个等腰，所以过 b 点向 a、 c 做一条垂线段，这个垂足是 h 点， d 点也是个中点，所以我们过 d 点，依然向 a、 c 做一条垂线段，这个是 q 点。那么此时我们可以得出来， a、 h 的 长应该是三， c， h 也是三， d 是 个中点，所以这个是二分之三，它是二分之三。 d、 q 的 长应该是二，因为这个 b、 h 的 长是四。 这么写完之后，此时图中的这个角一啊啊，我们就把它确定了，因为角一所在的这个三角形是三角形 a、 d、 q 这个直角三角形中，它的三边是确定的，一条直角边是二，还有一条直角边是三加二分之三，这就是二分之九， 所以二比上二分之九，其实就是四比九的一个直角三角形。那么当然它的斜边其实也可以把它比出来。四的平方是十六，九的平方是八十一，所以比的是根号九十七，所以角一对我们来说是个已知角。 接下来在三角形 a、 c、 e 中，这个三角形也是一个四比九，比根号九十七的三角形，它的斜边呢是六、六，对应的是根号九十七分。 现在我们来求 a、 e 的 话，他对呢是九分，所以乘一个九这个式子就是 a、 e 的 长。然后在三角形 a、 d、 q 中，他依然是一个四比九，比根号九十七的直角三角形。 现在给我们已知的是两条直角边，那么斜边其实可以把它算出来。这个 a、 d 的 长应该等于二分之根号九十七， 那么所以 d 的 长应该等于根号九十七。分之六九五十四，减去二分之根号九十七。接下来就是一个重计算的一个过程了。反而看到路，我们除了刚才结合等腰三角的三线合一来做的话，也可以直接把 a、 d 给它倍长出来。 我们延长 a、 d 表说到 a 撇这个点，使得 d a 和 d a 撇是一样长的，再把 a 撇 c 给它连起来。图中左右这两个三角形，它必然是全等的， 那它全等之后，这是五，所以这也是五。 a、 c 的 长是六，以及被长完之后，它不仅转一边，还转一角，所以图中这个角一就变到了这个角二， 然后角一和旁边的这个角是角三，那么我们知道的是角一和角三的和，其实是三比四、比五的直角。三角形中的大锐角做法其实就是过 b 点画一条三线合一的线之后，我们可以读出来，那也就是说此时三角形 a、 c、 a 撇中这个大角对我们来说是已知的， 它就是一百八十度减去三四五的直角，三角形的大锐角，所以三角形 a、 c、 a 它是可解的。那做法就是把 a、 c 给他延长出来， 过 a 撇，再向刚才的延长线做一条垂线段。这个如果是 q 点，这个角四是三、四五直角。三角形中呢？大锐角，所以他是四，他是三， 我们一样可以得出来，正确角三应该是等于四比九的。搞清楚这个角之后，那么在顶点一这个角是九十度的情况下，我们就可以用解三角形的办法来处理了。接下来的做法和前面的做法基本是一样的， 或者法三，我们直接用一个大招叫中线长定力，也可以快速的得出这道题的结果。因为 a、 d 是 一个中线，在 a、 b 以及 a、 c 还有 b、 c 都知道的情况下，用中线长定力直接可以一步得出来 a、 d 的 长。 这个结论就是 ab 的 方就是五的平方，加上 ac 的 方就是六的平方，等于两倍的 a、 d 方，再加上一个 b、 d 的 方， b、 d 其实就是二分之五，所以一平方就是四分之二十五。由这个式子我们就可以得出 a、 d 的 长，这个 a、 d 的 长应该等于二分之根号九十七。那么此时三角形 a、 b、 d 它其实就是个边，边边的一个 三角形，它是可解的，我们过 b 点向 a、 d 做一条垂线段，如果这个垂足是 q 点，那么此时 d 点是中点，并且 e 处、 q 处是九度的情况下，你会发现这个 d 和 d、 q 它是一样长的 来，它是 x， 它是 x， 那 么 a、 d 的 长就是二分之根号九十七，再给它减去 x， b、 d 的 长是二分之五， ab 的 长是六，所以两个直角三角形列勾股方程就可以把它解决。 做法就是五的平方，然后减去二分之根号是九十七，减 x 的 方应该是等于二分之五的平方，减去 x 的 平方， 通过这个式子也可以把 x 给它算出来。以上是师院附和山大附这两所咱们太原市面上的顶级名校考过的这个数学卷里面的手题， 二十三题，张老师抽空明天给大家去做一个分享。山大附给出的解析里面二十三题给了两个答案，但是张老师认为应该有三个答案啊，到底为什么是三个答案，我们明天给大家做一个解答。
148太原初数张老师
02:49查看AI文稿AI文稿如图，四边形中 a， b， c， d 已知 a， d 平行 b， c 角 b 角 b 等于九十度 a， b 等于十 a， e 等于三 c， f 等于 c， g 等于五角 d， e， f 等于九十度。求 b， f 等于多少？我们我先做了一个，嗯， 写不上了，就这样 e， e， e， h 吧。 e h 平行 a， d， a， d 平行 bc， 所以 e h 也平行 bc。 然后这个角设角呃， 就是 e， e， d， h 为 beta， 呃叫 e， g， h 等于 alpha， 那 因为叫 d e， g， 它是九十度 d， d， e， f 为九十度，所以 阿尔法加贝塔就等于九九十度就等于角 d， e， g 所以 角 d， e， g 也等于阿尔法加贝塔，所以阿尔法等于阿尔法，所以 e h 等于 g h 贝塔等于贝塔， d h 等于 e h， 嗯，所以呃 d h 等于 g h， 那 我们设 d h 为 x， 那 么 g h 也为 x， 嗯， 根据左边的这个 a， e 比 b， e 就 可以得知 d h 比 g， c， h 的 值。三比七等于 x， 比 x 加五解得 x 等于四分之十五， 那 x 等于四分之十五加四分之十五加五，呃，等于四分，等于二分之二十五。呃， 那再根据我再做 d 算，直接 dp 吧， dp 平呃 dp 平行 ab， 那 这一 d dp 就是 一个平行四边形，所以 ab 等于 dp， 那 么 ab 等于 dp 等于十， dp 等于十，就可以根据勾股定律求出来 p， c 的 值为二分之十五。然后再根据 x 设 a， d 现在为 a， a， d 为 x， 嗯， x 比上三，就等于呃， 这边 b， e 七比上呃 b， f， 这是相似三角形嘛。然后 b， e 就是 七比 i x 加上二分之二十五，解得 x 等于二分之三，那整个 b f 的 长就是二分之三加二分之十五加五等于十四。
12牛杯杯
00:40查看AI文稿AI文稿中考数学第十五题考过的所有的解题，所有的题目 一题多解啊，每个十五题都有七八种解法，我们拿出来去研究它，看看中间有什么规律，来研究中考的命题方向以及规律，为我们下一年的初三学生提供 优质的解题方法以及技巧。
6追逐的梦
12:50查看AI文稿AI文稿二零二六金生学金标押轴卷的这个第十五题啊，也就是他的名校模拟的六月好。那么这道题同学们非常的简单啊，但是这道题我们来不讲一题多法，这道题咱们来讲一讲多题一法啊，我把这道题以及其他的几个相关联同类型题目我们放在一块看， 包括我们百校联考五 a、 五 b 的 十五题啊，结合到一块看，你会发现所有的题其实就一个方法，从一而终下来，你学会一种方法就能够做出所有的答案。 好的来，我们看下题。如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 的 长度是一个二倍根号， bc 长度等于六，摊进的角 abc， 这个角的摊进的值是一个二，连接 b， d 点， e 是 a， d 边上一点，连接 c， e 交 b， d 于点 f 好， 若 c 一 等于 c， d 来。同学们等腰三角形明显三线合一来过点 c 向上做垂直，好给个 h 点。 那么这个时候同学们啊，我们能看到 e、 h 和 d、 h 相等啊，同时你还能看到这个二倍根号，我挪过来 角 abc 的 摊点的值也挪到了角 a、 d、 c。 这由此可见，这个三角形 c、 d、 h 是 一个一比二比根号五的比例关系，所以斜边是二比根号五的话， h、 d 为二好，三线合一，这边也是二，这边是个四， 那么 bc 长度是六， a、 d 长度也是六，六减四，这里应该是个二好。此时我们要去求的是 d、 f 长，显然四比六应该是一个二比三的比例关系， 所以我只要求得 d、 b 的 全长啊，然后再乘以一个五分之二，就应该能找到 d、 f 的 值，那 d、 b 全长来求长度，把长度放进直角三角形中去 啊，给个点 g， 显然这个四挪过来，这个 d j 长度还是四，对吧？二挪下来，这边还是二，所以你能看到整个 b j 全长变成八啊， d j 长度是个四啊，那么他又应该是一个一比二的比例关系。所以来 d b 的 全长为四倍，根号五， 那我们的 df 直接用来四倍，根号五乘以五分之二，等于五分之八倍，根号五啊， so easy！ 好， 那么来我们把这个题再变化一下啊！这就让我想到了 这份卷子，是九年级第二次模拟测试卷，我也不知道这是啊，哪家出的，但是这个十五题跟我们刚刚做的这道题非常的像好。如图，在平行四边形 a， b， c， d 中， ab 的 长度是个六口三引， b 是 个三分之一。来，我们过点 a 向下做垂直好， 给个 h 点，则 cosine b 的 话，应该是一个 bh 和 ab 的 比例关系，所以显然 bh 的 长度是个二，那么满足了啊，小直角边和斜边是一比三，说明它是 一比二倍，根号二比三，那这个 a h 高度就应该是一个四倍，根号二好，再来看一下这个点一和点 f 分 别是啊， bc 和 c d 上面的点，那么连接 a， e 和 af， 若点 e 是 bc 的 中点 好，且 ab 和 a、 e 相等来等腰三角形三线合一，那么这里也是二好，此时点一又是中点，这里是个四， 注意，呃，记住，还有一个很重要的条件，叫做角 d 是 二倍的角 e， a， f 来，同学们，角 d 是 二倍的角 e， a， f 设这里的，而法则角 d 这里应该是一个二，而法 来平行四边形对角相等，这也是 r 法等腰对等角，所以这里也是 r 法。内错角相等，所以这个大角 e a d 也是 r r 法，所以这里就是 r 法。好，那我们继续用平行线产生的八字相似。 再一个啊，看到角平分线想什么呀啊，叫做平行线夹角平分线 b 出等腰嘛，所以这个辅助线你看呼之欲出，对吧？还是延长 a f 交 b、 c 的 延长线。来，咱们给一个点 g 啊，那这个时候来平行线夹角平分线出等腰，我们知道 a、 e 的 长度等于 ab 等于六则， e、 j 的 长度也是六则， c、 j 的 长度应该是个二。 好，而这边的话啊，四加四应该是一个八，所以同学们，你能看到 a、 d 和 c、 g 的 比例关系为八比二，为四比一。 所以题目中让我们去求的 a f 线段的长，就是我求出来整个 a g 再乘以它的五分之四就完了 啊，那么 a g 的 长度好求吗？对吧？这个 h g 也有了直接勾股定律，求就可以了呀。 啊，所以来用四倍根号二整体的平方再加上一个来，这边是一个八的平方再开方。好，那么算下来，这是一个根号下的九十六 啊，所以我们要找的 a f 长度等于五分之四，乘以根号下的九十六来把九十六开开，那就变成了五分之十六倍的根号六啊，也搞定。 所以大家看到这个题仍然是什么呢？第一啊，刚才那个是一比二比根号五的比例关系是吧？在这是一个一比二，被根号二比三的比例关系啊。那么接下来我们仍然是平行线加角分线出等腰啊，借助平行线产生的八字相似的需求。 好，那我们继续来变化，我们来看到百校联考四，也就是他的五 a 啊，里边的这个第十五题，道理是一样的，同学们啊，非常的典型。如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，点一是 a、 b 上一点连接了 c， e 啊，将三角形 c， b， e， 哎，沿着 c、 e 折叠，得到了三角形 c， f， e 好， 点 b 的 对应点 f 恰好落在了 a、 d 上，连接了 a、 c 交 e、 f 与点 g。 若 ab 的 长度是个五好， d， f 是 二倍的， a， f 好， 则 e、 g 的 长度是多少？那么来，同学们啊，你看这道题对吧，它不就又是平行四边形。那我们会发现折叠吗？折叠考啥？我们一直在说有折叠必有角分线， 对不对？这一折叠，哎，这个角平分线就出来了，继续平行线夹角分线出，等腰。所以来咱们的辅助线啊，来，根据这里的 f 和 f 相等啊，咱们的辅助线过点 f 去做 ab 的 平行线， 好，与这相交于了 h 点，与这相交于了 p 点啊，那这时候你就会发现，哎，这不就是来了吗？什么呀，就是 e b 等于 ef， 平行线夹角分线出等腰内错角 r f， r f 相等，则 ef 等于 f h 好，说明这三条线段一样长。然后我们再来看同学们，这有一个一比二的比例关系。换句话来说，到了这边来，咱们给一个点 g， 也有一个二比一的比例关系， 所以这条线段跟这条线段的比值就是二比三的比例关系啊，所以 f、 h， 这也是 三的比分，所以 fh 加上 hj 总共五份，五份对应了五，那一份不就是一吗？这你就可以直接把它们的长度看出来了， fh 为三， hj 的 实际长度就是二， e b 的 实际长度也是三，所以 ef 的 实际长度还是三。 那么现在咱们就要求是吧？ e g 好， e g 来，隔壁这边是二，我只要知道 f p 的 长，那么俩人的比例关系， f g 和 g e 的 比例关系看是不就出来了 啊？那么这个 f p 的 长怎么求呢？一样，同学们，多简单呀。又是一比三等于一比三，所以这是五的话，那这就是三分处 好，所以 f p 的 长度是三分之五来跟二去比，那么三分之五比上二等于五比六啊，所以这是五比六的比例关系。所以来， e j 等于啥？ e j 等于三乘以十一分之 啊六，最后结果是十一分之十八。好，那么你说到了这，你如果还没有彻底理解这个题的话，来，同学们，咱们再看一道题，咱们把百秀两个的五 b 一 块来看他是吧？你会发现真的是千变万化，万变不离其宗 啊！如图，在矩形 a b c d 中点， e 是 b c 的 中点来， b e 和 c e 相等啊，连接了 a e 好， 连接了 a e， 把它嘣往这做一个翻折， 呃，得到了三角形 a f e， 点 b 的 对应点为点 f， 连接 d f 并延长交 b c 于点 g。 若 ab 的 长度是三， ab 的 长度是四，则 b g 多长来？同学们，方法很多，咱们 固定不变啊，延续刚才的思路。什么叫延续刚才思路呢？看折叠带来啥？角分线，而平行线、加角分线 b 处等要来，我们过点 f 做平行好，做完平行以后，与这边咱们相交于点 p 好，马上有 b 的 长度是二则 e， f 长度也是二，折过来 f p 长度还是二，那这个时候你再看同学们，而法跟这个而法一样，这是一个二三根号十三的直角三角形， 尔法所代表的三边比例关系就是二三刚好十三，那么这个时候等腰三角形，想啥三线合一，往这来，咱们做个垂直，好给一个 h 点，根据二三刚好十三的比例关系来，同学们， h e 的 长度等于啥？ 等于二除以根号十三，再乘二等于根号十三分之四， 那么 hp 的 长度短腰三角形三线合一也应该是根号十三分之四，而这个全长 ae 刚好是个根号十三，根号十三也就是根号十三分之十三 啊，那么根号十三分之十三减去两个根号十三分之四，剩下应该是个根号十三分之五。那么同学们，这时候你又会发现一个问题啊，什么呢？如果我们的这个 f q 吧啊，平行于底下的 bc， 也就平行于 a d， 那 么 p f 跟 a d 的 比例关系是一个二比四，是一比二的比例关系。说明 f 点什么点？中点？ f 点是中点，那点 p 是 不是也是中点？点 p 是 中点的话，同学们注意，这个时候来你就看到了，这给个 o 点 p o 的 长度 应该等于 ap 的 长度都是根号十三分之三了。所以同学们又看到了，来这个三角形 啊， p f o 和三角形这一 o 他 俩相似，八字相似。来比例关系是一个五比三的比例关系，所以直接二乘以五分之三等于五分之六， 那么 g e 的 长度是一个五分之六，那显然 b g 的 长度二减五分之六为五分之四， ok 了， 当然还有其他方法，对吧？比如说过点 f 做垂直，但是计算起来会比较麻烦，所以同学们看这四道题看起来不是同一道题，但是你会发现我做的方法始终是一样的， 对不对？始终是借助平行线，用八字相似去解决问题。而做平行线的时候，从第二道题开始，一直都是平行线加角、分线出等腰。所以同学们学会一种方法， 要解决一类题，不光要去看一题多法，更应该会的是多题一法。掌握我们的通信通法，才是你真正在考场上制胜答题的关键。
527陈进步讲数学
