高一二面角余弦值计算公式

找到平面角，假设现在有两个平面相交于一条直线，我们各取他们的一半，也就是说要这两个半平面， 那就可以看成是从这一条直线出发的两个半平面所组成了这个图形， 那么这个图形就叫做二面角，中间这条棱叫做二面角的棱。我们假设 g 为 l， 这两个半平面呢，就叫做二面角的面， 那么这个二面角就可以记作阿尔法杠 l、 杠贝塔。如果分别在这两个半平面内找到一个点，点 a 和点 b， 二面角也可以记为 a 杠 l 港币。而二面角的棱有时候也可以用两个大写字母来表示，比如说直线 pq， 于是二面角也可以表达为尔法杠 pq、 杠贝塔，或者是 a 杠 pq 杠 b。 这些技法都是二面角的表达方式，那么二面角毕竟他后面落到一个角字上， 二面角的大小应该怎么表示呢？如果从棱出发，分别向两个平面做两条直线，那么会做出很多不同的角， 哪一个能代表二面角的大小呢？我们可以过点 a 向冷 p q 做垂线。假设垂足是点 o， 过点 b 也像棱做垂线。如果他们恰好垂在了同一点处，也垂在了点 a 处，那么角 aob 就叫做二面角的平面角，它的大小就代表了二面角的大小。 我们具体表达出来就是分为这么几个要求，第一点哦，要在冷上属于 p q。 第二， oa 要含于平面而法，并且 oa 垂直于 pq。 第三， ob 要含于平面贝塔，并且 ob 垂直于 pq。 所以说相当于从这一条棱上出发，向两个半平面分别引垂线， 这样的话就能保证都垂在同一个位置，那么这个角就是他的平面角。既然二面角是由两个半平面所围成的，那么他的平面角的大小最小可以是零度，那就是把这两个半平面给他合起来， 如果完全放平，那就是一个平角，所以二面角的曲直范围应该是零度到一百八十度的 b 区间。我们来看一道题目，这里给了一个三棱锥 a、 b、 c、 d， 他的个棱长均为二， 那就是一个正四面 t， 求的是二面角 a 杠 cd 杠 b， 它的余弦值。按照我们刚才讲的二面角的做法，想找到它的平面角， 就需要分别在平面 a、 c、 d 和平面 c、 d、 b 这两个半平面内分别找到交线 c、 d 的垂线，并且要垂在同一点处。 由于 a、 c、 d 这个三角形是一个等边三角形，想在这个半平面内做 c、 d 的垂线，可以取 c、 d 的终点，假设是点 e， 我们再连接 a、 e， 那么由于 a、 c 等于 a、 d， 所以根据三线合一，可以得到 ae 垂直于 cd， 并且这个 ae 的长度是等边三角形的高，应该等于根号三。有了这个垂直以后，我们还需要在另一个半平面 bcd 当中找到垂直于交线的那条直线，并且要垂在同一点处。由于这个三角形也是一个等边三角形，我们连接 b、 e， 同理可得 b、 e 垂直于 c、 d， 并且 b、 e 的长度也等于根号三。所以根据二面角的定义，他们两个分别属于两个半平面， 并且呢都垂直于这个交线，垂足也落在了同一点处，所以这个角 aeb 就是二面角，他的平面角。那么接下来只要求出这个角的余弦值就可以了。 在三角形 a、 e、 b 当中， a e 等于根号三， b， e 也等于根号三， a b 等于二。 想求这个角的余弦值，我们可以利用余弦定理扣三角， a e， b 等于 a e 的平方加 b， e 的平方减 a， b 的平方 除以两倍的 a e 乘 b e 代入进去就是三加三减四 除以二乘跟三乘跟三计算出来等于三分之一，这就是这个二面角的余弦值。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。

这种三角函数题，如果你还在连立求塞和 cosine， 那 就太不成熟了。直接画图。 tangent 阿尔法等于二，那对边就是二，邻边就是一。勾股定律的斜边，根号五。 sin 阿尔法等于对边比斜边 cosine 阿尔法等于邻边比斜边 cosine 阿尔法减四分之派用两脚叉余弦公式把各个值代入等于十分之三倍，根号十。

上课，同学们好，请坐！上课前，老师想问一下同学们，扣在十二分之派等于多少呢？谁来说说？好，第二位同学， 哦，你说，十二分之派是我们所熟悉的特殊角，无法直接得到它的余弦值。好，请坐。那，同学们思考一下，十二分之派可不可以转化成我们熟悉的两个角的和或差呢？ 哦，非常好！三分之派减四分之派，那问题就可以转化为如何求 cosine 三分之派减四分之派。哎，那像这样的两角叉的余弦，我们又该如何求解呢？那带着这个疑问，我们一起讲解今天的学习两角叉的余弦公式。 好，那接下来如果将三分之 pi 化为任意角 r， 四分之 pi 化为任意角 v 头，那问题就可以转换为更一般的形式。如何求任意两角差的余弦？ 那请同学们回复一下我们之前所学习的自导公式。 cosine 派减 alpha 是 等于负的 cosine 阿尔法的 sine cosine 二分之 pi 减 alpha 等于 sine alpha 的。 我们发现诱导公式当中的任意角与特殊角的差的余弦与这两个角的正弦值与弦值有关。哎，那两个任意角差的余弦是否也与这两个角的正弦值与弦值有关系呢？那我们就来探讨这个问题。 那我们不妨从诱导公式当中建立研究思路来研究这个问题。好，请同学们大致回顾一下，我们是如何推出这组诱导公式呢？ 好，第三名同学哦，非常好，我们首先是找到了几何关系，然后呢，我们利用了坐标表示，最后呢，我们实现了单数化。非常好，请坐， 那我们不妨就按照这个研究思路来研究这个问题。 哎，那我们该如何找到几何关系呢？嗯，很好。借助单位圆， 这是一个单位圆，它与 x 轴正半轴相交于点 a， 那 么点 a 的 坐标就为，哎，一零。 由于问题中涉及到了角阿尔法贝塔，阿尔法减贝塔，那我们就在单位圆中做出这些角。为了不失一般性，我们先来探求阿尔法贝塔中间不符合，也就是阿尔法不等于贝塔加二 k 派。 好，接下来我们以 x 轴的非负半轴为矢边做出角阿尔法，其中边与单位圆相交于点 p e， 那 p 的 坐标该如何表示呢？先说说好第二个同学哦，非常好。根据三角函数的定义， cosine alpha sine alpha。 然后呢，我们再做出角吹它，其中边与单元相交于点 a e， 那 么 a e 的 坐标该如何表示呢？哎，非常好！ cosine beta sine beta 哎，那我们该如何做出角 alpha 减 beta 呢？哦，好多同学发现角 a e， o， p e 的 大小就是 alpha 减 beta 呀， 哎，但是同学们，根据诱导公式的研究思路，我们需要知道角的中边与单位圆的焦点坐标呀，那是不是要让角的一边与 x 轴转正半轴重合呀？那我们该如何实现呢？ 好，第四排位置非常好，我们可以让角 a e， o p e 绕着点 o 顺时针旋转贝特角，这样呢，角的一边 o a e 就 会与 o a 重合， 那这样呢，我们就可以做出角阿尔法减贝特，我们记其中边一单元角顶点 p， 那 么点 p 的 坐标就为，哎，非常好！ cosine 阿尔法减贝特 sine 阿尔法减贝特。 那老师，请问一下同学们，在刚刚旋转的过程中，角的大小改变了吗？ 哎，没有变。那么根据圆的旋转对称性，角的大小没有改变，那弧 a e p e 与弧 a p e 就是 相等的，那当我们连接 a e， p e 与 a p 时，它们对应的弦呢？ 哎，很好，也是相等的。那这样呢，我们就找到了几个关系， a p e 等于 a p， 那我们该如何时间代数呢？哎，很好，利用坐标表示。那接下来我们就利用两点间的距离公式表示出， a p e a p a p e 等于 cos 阿尔法减 cos 根号下 cosine 阿尔法减 cosine 贝塔的平方加上 sine 阿尔法减 sine 的 平方， 然后呢，等于 cosine 阿尔法减贝塔减一的平方， 然后再加上 sine 阿尔法减贝塔减零的平方。 那接下来呢，我们可以对等式两端同时平方拿掉根号，然后呢，对平方向进行展开，再进行化解。好，那请同学们按照这个预算思路自行在草纸上进行化解，看看你可以得到怎样的结果呢？ 好，谁来说说你的结果？好，最后一排同学哦，非常好，你最后化解得到了 cosine 阿尔法减贝塔等于 cosine 阿尔法乘 cosine 的 贝塔加上 塞尔维亚乘塞尔维亚。非常好，请坐，但是同学们，我们以上研究的情形是阿尔法与贝塔中间不重合的情况，那如果阿尔法贝塔中间重合，也就是阿尔法等于贝塔加平方 k 除以 c， 那 么上市还成立吗？那同学们不妨自己证明一下。好，谁来说说你的证明结果？ 第三排同学，哦，非常好，你将被阿尔法等于被他加二倍派带入到等式 左端当中，发现是等于一的，哎，再带入到等式右端当中，发现它还是等于一的，因此左端等右端上是还是成立的。 那其实不管这个阿尔法贝塔处于低极象限重不重合，我们利用圆的旋转对称性，我们都可以得到这样的结论，也就是对于任意的角阿尔法 贝塔，我们都有 cosine 减贝塔等于余弦的乘积加上正弦的乘积的形式， 那这就是我们今天所学习的两角叉的余弦公式，我们可以简记为 c 阿尔法减贝特。那么两角叉的余弦公式呢？它给出了叉角的余弦与阿尔法贝特的正弦与弦之间的关系。 哎，那通过以上的学习呢，我们课堂开始的问题是不是就迎刃而解了呀？我们可以利用两脚叉的一线公式对题进行展开，等于 cosine 三分之派乘 cosine 四分之派，再加上 sine 三分之派乘以 sine 四分之派的 通过展开，我们发现它们都是特殊的三角函数值。哎，等于二分之一乘二分之 根号二的，加上二分之根号三乘二分之根号二，那最后的结果就是 i 等于四分之根号二加根号六的。 好，本节课呢，我们利用右角公式的研究思路，得到了两脚叉的运行公式， 并且呢，我们通过一道练习题，感悟到了两脚叉的一线公式在解决数学问题当中的重要作用。好，那课下呢，请同学们完成课后练习题，本节课就上到这下课。

同学们好啊，咱们高中学完鱼弦定律之后呢，你会发现啊，这个鱼弦定律呢，它跟勾股定律有着千丝万缕的联系， 那么其实说白了，勾股定律就是鱼弦定律的一个特殊情况是不是？那么这道题呢，其实就是考察这个知识点的啊，在三角形 a、 b， c 中， c n， a 的 平方加 c n， b 的 平方小于 c n c 的 平方，问三角形 a、 b， c 的 形状是什么？ 那么对于这样的一个结果，咱们可以用正弦定里的角换边，对不对？因为两边是其次，是 我们可以得到 a 的 平方，哎，我直接写吧，就是 a 的 平方加 b 的 平方小于 c 的 平方。那么这里的话呢，我要给大家讲，那么这三边的平方满足什么关系的时候，它分别是什么样的三角形？我们最熟悉的哈， 比如说两条 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，我们推出它是什么呀？直角三角形，那这个是勾股定律对吧？ 那如果 a 的 平方加 b 的 平方，哎，那么它小于 c 的 平方，那么如果满足这个的话呢，证明它 cos 那 个余弦定律的公式，它是小于零的， c 是 一个钝角，那证明它是什么呀？钝角 三角形，你记住哈，就是有一条边的平方大于另外两条边的平方，和只要存在一组这样的边，那么它一定就是钝角三角形，因为 c 这条边所对的那个角就是钝角， 那什么时候是锐角三角形呢？那我们来看一下，那就是我们要同时满足任意两条边的平方， a 方加 c 方也大于 b 方， b 方加 c 方呢，也要大于 a 方，那为什么这样呢？因为咱们的锐角三角形呢，它要求比较高， 对吧？啊？锐角三角形，你必须满足三个角都是锐角才行，你这样的话呢， cosine a， cosine b， cosine c 都是大于零的，那么 abc 都是锐角，但是钝角三角行为啥就这一个呢？因为钝角三角形，只要有一个角是钝角的三角形，就是钝角三角形，是不是这个你看跟我们的 初中学的啊，定义是完全符合的，那么你看我们这个满足一条边的平方大于另外两条边的平方和，那么所以这个 c 所对的角一定是钝角，那么这个就选 c， 它一定是钝角三角形。说白了，鱼弦定律呢，就是 啊，勾股定律的扩充，勾股定律呢，就是鱼弦定律的一个特殊情况，你学会了吗？

挑战一个视频，带你快速学会正余弦定理解三角形！全都是考试里的高频必考点，多学一道，多长五分，在评论区打出我必看完我们直接开始。先来看我们的第一个题型，余弦定理来解三角形， 我们来看一下哈，什么时候用余弦定理呢？在这道题目里面，他告诉我们，在三角形 abc 中， ab 等于二倍的根号二， bc 等于根号五，然后这个 a 是 四十五度， 我们大概画一个三角形哈，比如说这个角是 a 吧，然后 ab 呢，它是二倍的根号二角 a， 这里是四十五度，然后 bc 呢，是根号五，对吧？这些条件我们画到三角形里面，咱们大概是已知的嘛，然后角 b 是 三角形 abc 中的最大角。 那大家先来想，他给你这一句话，他的目的是啥呢？他肯定是有用的，不然他为啥要强调 b 是 最大角呢？大家一定要注意哈， 这个时候你就要想到，在我们这里有一个非常重要的结论，叫做什么呢？叫做大边对大角对不对？所以说它告诉你角 b 是 三角形 a、 b、 c 中的最大角， 那就说明 a、 c 这条边，它应该是这个三角形里面最长的，对不对？咱们这个图画的可能不太标准哈，就大家能理解就可以了。 对应的 a、 c， 它应该是最长的那个线段，这是我们一边读题应该一边推出来的条件，数学就是一边读题一边往外推条件哈，然后再往下看，它说 d 是 a、 c 上的一个点， a， d 等于二分之一 d c， 那就是说当地 c 等于二的时候， a、 d 等于一呗，它是一个三等分点嘛，对吧？并且 d、 c 要长一点，所以说那这个地点在这里，对吧？然后 a、 d 比 d、 c， 它对应的是一比二，现在让我们去求 b、 d 的 长度是多少， 那我们来想哈。在这个题目里面，我们先在三角形 a、 b、 c 里面来看，因为角 a 是 四十五度， a、 b 和 bc 都有了，那么很明显，现在我们已知两边一角， 我们已知两边一角的话，我们可以用什么？大家来想两边一角，其实这个时候呢，你想想哈，嗯，你可以用正弦定理，你用正弦定理的话，你也可以求出，呃，你也可以求出这个二倍根号二所对的这个角嘛。因为你看 bc 根号五和它对的这个角有了， 然后 a、 b 根号二和它对的这个角，你也可以把角系求解出来，但是这个角系呢？你求出来会比较麻烦，因为你求了角系呢，还要求角 b， 还要去求这个 a、 c 是 比较复杂的，所以说不如我们直接去用余弦定理哈。就这道题，很明显你应该去用余弦定理，因为余弦定理更简单， 咱们可以直接去用我们的余弦定 cosine 角 a， cosine 角 a， 那 不就是 cosine 四十五度吗？对吧？ cosine 四十五度，所以就等于二分之根号二， 它就等于等于什么呢？等于 a、 c 的 平方，咱们设 a c 为 x 哈，就是 x 方再加八再减五，然后就是二，乘个二倍根号二，就是四倍的根号二嘛，再乘个 x， 对 不对？大家来看，我们是不是可以快速得到一个方程，然后在这个方程里面，我们来化解一下 对应的，我们让，呃，我们直接让这一块和这块相乘哈，那就是 x 方加个三就等于就等于四 x， 因为它上面这个根号二乘根号二就是二了嘛，和下面这个分母这里的二就消掉了。化简一下呢，就是 x 方减四， x 加三是等于零的，用一下十字相乘法，那对应的要么 x 等于一，要么 x 等于三呀，我们是不是可以快速算出来？ 那现在那这个 a c 是 等于一，还是 a c 是 等于三呢？这个时候难道两种情况都成立吗？我们需要需不需要去舍弃呢？大家来看一下。 这个时候就需要用到我们这个条件了，大边对大角，所以说 a、 c 是 最长的，所以说 a、 c 一定等于三，它不可能等于一哈，因为如果 a、 c 等于一的话，它就不是这个三角形里面最长的这条边了。 所以说我们现在就得到了 a、 c 的 长度是三，那么 a、 d 就是 一， dc 就是 二了呗。现在要求 b、 d 的 长度，那这个时候怎么去求呢？ b、 d 的 长度， 那很明显你可以放到下面这个三角形里面呀，因为 a、 d 的 长度是有的， a、 b 的 长度也是有的，然后角 a 也是有的， 那你就再用一个余弦定里呗，对不对？我们设 b、 d 是 x， 我 们来进行一下求解，这个时候我们可以得到 cos， 四十五度就是二分之根号二嘛，它就等于 a、 d 的 平方，再加 ab 的 平方，再减 b、 d 的 平方，然 再除个二乘一，再乘二倍。根号二呢，就是四倍的根号二，对应的呢就是九，减 x 方就等于四了吗？也就是 x 方是等于五的， 所以 x 就 等于正负根号五了吗？然后负数肯定要去消掉的，所以最终就是根号五了，那么答案就是我们的 c 选项是不是就快速求解出来了？所以说这道题呢，它就是典型的通过余弦定里来进行解题哈。那我们继续第一个题型来给大家总结一下，对于余弦定里，什么时候我们要利用它来解三角形呢？ 对应的有几下以下三种情况哈。第一种就是我们已知三边来求任意角的话，那这个很明显你三个边都知道了，那肯定是要去用于弦定理吗？对吧？然后第二种情况呢，就是已知两边和其中一边的一个对角， 这种情况下咱们也可以去用余弦定律吗？两个边都知道了，还还，然后还有一个角知道了，这不就是已知两边及一角吗？那肯定是也可以用余弦定律的。然后第三个呢，就是三角形中有分线的情况，就大概是这样子，这是一个三角形，然后这里 你看三角形里面中间来了一条线，把一个大三角形分成了两个小三角形，这个就叫做有分线的情况。那这个时候你可以考虑用两次余弦定律， 为啥呢？因为这两个角他们是互为补角的，所以说这两个角他们的余弦值加起来应该是等于零的，所以说你可以在这里你看在这里用一次余弦定律，在这里用一次余弦定律，然后他们的和为零 用两次余弦定也可以来列方程，这个也是一个比较常考的情况，大家可以总结一下哈。比如说在我们这道题目里面，咱们在求 b、 d 长度的时候，如果说这个角 a 是 四十五度，它给的不是角 a， 它给的是角 b 的 话，那这个时候你看你肯定不能放到三角形 a、 b、 d 里面来进行求解了嘛？因为 b、 d 把这个角 a、 b、 c 给它， 给他分了一下，分成了两个三角形了吗？然后我们也不知道角 a、 b、 d 的 度数是多少，我们也不知道角 d、 b、 c 的 度数是多少，就不能放到这两个小三角形里面了吗？对吧？那这个时候如果说我们要去求 b、 d 的 长度的话，怎么去求呢？咱们就是可以你看 在这里在这个三角形里面列一个余弦定律，在 b、 d、 c 里面列一个余弦定律，你看利用这个角来列，然后在下面这里，在这里再列一个余弦定律，然后他俩的余弦定律加起来为零，然后在这两个方程里面，你看 它们对应的不就是只有 b、 d、 x 这一个位置量吗？对吧？ cosine 加 cosine 是 等于零的，然后我们来求解 x 就 可以了，这个对对应的呢，就是你看这个度数，如果不好去求的话，它给的是角 b 的 度数，咱们不好直接去用，不好直接去求 b、 d 的 话，那么你可以用两次余弦定律哈， 这是我们对应的第三种情况，大家可以自己去总结一下哈，都是非常常考的一些题型。 ok， 那 我们继续往下看，再来看我们第二个题型，关于正弦定律来解三角形。 那什么时候我们习惯去用正弦定理呢？我们通过题目来给大家讲解一下哈。比如说第二题，这是一道多选择题，他说在三角形 a、 b、 c 中给了一个这个条件，然后如果角 c 等于三分之派，让我们去求 b 分 之 a 等于多少？ 那像这道题为什么要用正弦定理呢？因为你会发现很明显的一个点，他没有给你任何一条边，对不对？他给的全是跟角相关的， 所以说你可以其实大致的记一个呃，小结论，或者说小的一个思考方向吧。就是如果说边多的话，那我们一般去用余弦定律， 如果说给的角多的话，我们一般用正弦定律。就这个东西他不是百分百准，但是他大概是这么个意思，你可以大概按照这个方向去思考，比如说在这个题目里面，他一条边都没有，那肯定是要用我们的正弦定律啊，对不对？ 我们来看他给的条件，甚 c 加甚 a 减 b 等于三倍的甚 b 又有 c 又有 a 又有 b， 你 看 abc 都有了，那这个很明显肯定不行呀。所以说这里涉及到第一个解析思路，给大家来总结一下哈。 我们涉及到了第一个解析思路，就是如果出如果说他给的式子涉及到三个角 abc 的 话，那么一般咱们对应的解析思路就是我们要把三个角，我们要转成两个角， 怎么去转成两个角呢？这里有一个非常常用的一个小结论，或者说转换的一个方法，大家需要去记一下哈，就是算 a 一定是等于算 b 加 c 的， 同理算 b 也等于算 a 加 c 嘛，算 c 也等于算 a 加 b， 这个都是呃，都是成立的哈，就同理嘛，对吧？这个为什么成立呢？ 因为 a 加上 b 加 c， 他 俩加起来，你看他们几个加起来和是什么呢？和为一百八十度呀，对不对？ 如果它们和为一百八十度的话，那么对应的它们的正弦值肯定是相等的，比如说算六十度等于算一百二十度，对吧？然后算呃，算三十度等于算一百五十度，这些，呃，这些结论大家都清楚吧？ 所以说我们一般通过这个来进行转换，这个小结论大家需要去记一下哈。那么对应到这个题目里面，你看这里有 a， 这里有 b， 这里有二 b， 那 很明显是要把 c 给换掉了吗？把它换成 a 加 b 啊。 所以说这个式子我们化简一下，它对应的就是 sin a 加 b， 再加上 sin a 减 b， 就 等于三倍的 sin 二 b， 这个时候我们接下来要化简这个式子，我们要涉及到和差角公式，对不对？ 你看 a 加 b， a 减 b， 要利用和差角公式把它给它展开嘛，对吧？这些式子咱们都要展开，展成最简哈。 那前面这个展开呢？它就是 sun a 乘 cosin b， 再加上 cosin a 乘 cosin b， 对 不对？再加上 cosin a 减 b 的 话，它就是 cosin a， cosin b， 再减去 cosin a， cosin b， 对 吧？这是左边， 然后右边的话是三倍的 cosin b， 这个时候我们要用二倍的 cosin b， 那 二乘三就是六嘛，六倍的 cosin b 了呗。 我们这个时候来化简一下， cos a 乘 b 减 cos n， c cos b， 这个消掉了，然后这两个加起来就是二倍的 cos a cos b， 就 等于六倍的 cos b cos b， 这个时候二和六消一下，这个左边消掉了，右边就变成三了，对不对？也就是 cos a cos b， 就 等于三倍的 cos b cos b， 那 这个时候 是是有一个比较容易出错的点哈，就是有些同学会直接把 cosine 消掉，这样的话对不对呢？大家可以在弹幕里打一下，我能不能直接把 cosine 消掉呢？这个在我们初中就是一个易错点了吧，很明显是不能消掉的，因为 cosine 它可能等于零呀，对不对？如果 cosine 等于零的话，这个式子同样成立呀。 所以说这里我们要分情况讨论。第一种情况就是我们的 cosine b 如果等于零的话，那对应的其实这个式子同样成立，这是第一种情况，我们得到 cosine， b 等于零，那这个时候对应的 b， 它就等于二分之派了呗。 现在 c 是 三分之派，那对应的 a 呢？ a 就是 六分之派了呗。现在三个角我是不是全部求解出来了呢？它现在要求 a 比 b 的 值， 那这个时候大家来想，这道题目里面一个边都没有给你，最终要让你去求边长的比值，那这个时候我们肯定不可能直接去求 a， a 的 长度以及 b 的 长度了，咱们肯定要进行转换对不对？ 那么 a 比 b 可以 怎么进行转换呢？这里不就涉及到边角互化了吗？对不对？两边之比它是不是可以转换成什么呢？转换成四 n， a 比四 n b 呢，对不对？ 因为 a 比 sin a， 它是不是就等于二 r 的？ 所以 a 是 不是就等于二 r 倍的 sin a， b 是 不是就等于二 r 倍的 sin b， 然后二 r 消掉了，所以 a 比 b 就 等于 sin a 比 sin b， 对 吧？ 就大家在做题的时候一定要注意哈，你看一个边的条件都没有给你，最终要让你去求边的比值，那就说明它它最终一定是可以转成角的，大家能理解吗？这个是咱们常常见的一个思路哈，大家需要记住， 所以说我们现在来进行代值， sin a 呢，就是 sin 三十度，那就是二分之一了呗。 sin b 呢，就是 sin 九十度， sin 九十度是一嘛？二分之一比一就等于二分之一了呗。所以说 a 选项正确，这是第一种情况，对吧？然后它还有第二种情况，一定不要忘了还有第二种情况， 那如果说 cosine b 它是不等于零的话，那左右两边就能消掉了呀，所以 cosine a 就 等于三倍的 cosine b， 那 cosine a 比上 cosine b 就 等于三了呀。那咱们这道题要求的不就是 cosine a 比 cosine b 吗？所以说很明显答案是什么， 那答案不就是三了吗？ d 选项也是正确的，所以说第二题他只有两个解，就是 a、 d 这两个选项哈，这是我们正弦定力来解三角形，我们来给大家总结一下，什么时候我们常用正弦定力呢？首先第一种就是已知两角和任意的一个边求其他的边和角，这个可以去求，我们来给大家总结一下， 因为 a 比算 a 是 等于 b 比算 b 是 等于 c 比算 c 的， 对不对？这个是我，这个我们是知道的这个式子成立，然后他说已知两角，那比如说我们知道算 a 和算 b， 他 说还知道任意的一个边，就可以求其他的边和角，那这个很明显是没有问题的呀，因为它们最终等于二 r 嘛。 那假如说你现在知道的是 b 的 话，那很明显立马就可以把 a 求出来，然后因为算 a 算 b 有 了，所以算 c 肯定是已知的呀，对不对？ 那这个时候如果说，呃，你知道的任意一边是 c 的 话，也完全没有问题，因为 sin a 和 sin b 有 了，那么 sin c 一定可以求解出来，对吧？因为 sin c 不 就等于 sin 括号里面 a 加 b 嘛，对不对？你反正你利用咱们的和差角公式转一转，肯定能转出来的。那这个时候假如说你知道的 c 的 话，也没有问题，这个 sin c 呢，可以求，然后对应的 这个 c 是 已知的，那是不是 b 就 可以求了？是不是 a 就 可以求了，对吧？所以已知两角和任意一边，我们肯定可以去用正弦定理哈。然后再来看第二种情况，已知两边和其中一边的对角，那这个就更简单了嘛，大家来看哈， 它说已知两边，比如说我现在知道 a 和 b 其中一个边，比如说我现在知道这个边吗？点呃，这个 b 所对的对角，那不就是 c n b 了吗？那很明显，这个 c n a 是 不是立马出来了？ c n a 有 了，那是不是 c n c 也就能求了呢？对不对？所以 c 也就能求了呀？第二种情况也可以哈。 然后第三个呢，就是遇到含有边的其次式或者 c n 的 其其次式，比如说 a 比 b， 它们上下都是依次的，它是一个其次式， 那么边的奇次式，它是可以转换成角的奇次式的，角的奇次式也可以转换成边边的奇次式哈，这个互相转换这块，它也可能就是在提示你，你可以用正弦定理。所以说第三点大家需要去注意一下，这是我们第二个题型，关于正弦定理来解三角形，大家看一下自己能不能跟上哈。 然后我们再往下看，再来看我们第三个题型，关于面积公式的一个应用，这个在我们这块也非常重要嘛，对吧？比如说第三题，他说在三角形 abc 中，内角 abc 的 对边分别为小 a、 小 b、 小 c， 如果 a 等于二 b、 c 等于二， b 等于二，求这个三角形的面积是多少？ 那么大家来想一下，他给的每一个条件背后肯定都是能往下推的。比如说他现在告诉我 a 等于二 b， 那 这句话，那这个条件我怎么去用呢？大家来想， 我们这个时候肯定要把它转换成正弦或者余弦呀，对不对？咱们现在研究的就是正余弦定律，所以说他给你单纯一个角的条件的话，你要把它往正弦或者说余弦上面画。比如说咱们现在我们最常见的肯定是往正弦上面画吗？比如说我们可以得到 c、 a 就 等于什么呢？就等于 sin 二 b， 因为这两个角是相等的，所以它们对应的正弦也是相等的。那这个时候右边我们用一下二倍角公式，那就是二倍的 sin b cosin b 了呗，对不对？你看 sin a 等于二倍的 sin b cosin b， 现在它是一个关于角的一个关系，但是这个关系式呢？很明显它没啥用， 因为你想想 sin a、 sin b、 cosin b， 它们放到一块有啥用呢？它不太好用呀。所以说你要想一想怎么进行转换呢？我们这个时候是不是可以考虑用一下边角互化呢？ 因为我们这里还知道一个条件， c 等于二， b 等于二，所以说你可以试着进行一下边角互化，左右两边分别有 c、 a 和 c， b， 对 不对？那对应的其实我们可以得到 a 就 等于二 b 倍的 cosb 吗？这个我们是不是可以快速得到？大家来思考一下，这个很明显可以得到呀，对不对？ 然后我们现在知道二 b 等于二，所以 b 是 等于一的，那不就是 a 就 等于二倍的 cosb 吗？其实也就是 cosb 等于二分之 a， 那 这个条件很明显比上面这个，你看 下面这个 cosine b 等于二分之 a， 很 明显比上面这个要看起来好用的多了嘛，对不对？看起来更能用起来。那这个时候我们就按照咱们得到的这个条件，我们继续往下思考， 现在我们知道 c 等于二， b 等于一，对不对？我们现在还知道 cosine b 等于二分之 a， 那 我是不是就可以在 cosine b 这里我们来列一下余弦定律了呢？对不对？你看 cosine b， 它，呃， cosine b， 它就等于二分之 a， 它就等于 a 方，加什么呢？加 c 方，也就是加四，再减 b 方，再除个二 a c， 那 就是二乘 a， 再乘 c 的 话，就是四 a 了嘛。我们来化解一下，就是 a 方加三就等于个就等于个二， a 方， 也就是三等于 a 方，所以 a 等于正负根号三，那咱们肯定要的是 a 等于根号三嘛，对不对？那我是不是就把 a 的 值求解出来了？现在 a 的 值也有了， a 是 等于根号三的，我们要求三角形 a、 b， c 的 面积的话，怎么去求呢？ 咱们这个时候呢，其实有两种思路，第一种思路呢，就是一个比较简单一点的，就是你能发现这三个边之间是有关系的，他满足什么呢？大家来看一下，看出来的同学可以在弹幕里打一下哈，这三条边满足什么关系呢？ 你发现 a 方加 b 方是不是等于 c 方呢？它是不是满足我们的勾股定律呢？对吧？所以说你会发现它是一个直角三角形呀，对不对？三边之比啊，三边分别是一根号三以及二，那要求面积的话，那不就是一乘根号三，再乘二分之一吗？所以答案就是我们的 c 选项呀，快速做出来了呀， 这是一种简单的思路哈，那如果说这道题他给的三条边他们不满足勾股定律的话，那么你如何去求呢？大家来思考一下，我们学题型一定要把那些普遍一点的方法学会哈，因为并不是说每一道题都会有这些，都会有这些简变的小技巧，我们还是要学普遍的方法的。 那大家来想，如果已知三边现在一个角都不知道让你去求面积的话，怎么去求呢？我们来给大家总结一下哈，咱们对应的解析思路呢，就是第一步先用余弦定理，然后第二步再用我们的面积公式，因为我们先要用余弦定理求出 cosine 的 值。就是第一步我们先来求 cosine， 比如说我们现在求一下，我们任意去求一个哈，比如说我求一下 cosin， cosin c 吧， cosin c 等于什么呢？我就随便选的一个角哈，它就等于 a 方加 b 方，也就是三加一，再减去个四，再除个什么呢？再除个二 a b， 那 就是 二倍的根号三嘛，上面变成零了，所以 cosin c 等于零， cosin c 等于零的话，那么 cosin c 就 等于一了呀，对不对？ 所以第一步是求 cosine， 然后第二步呢？第二步就是求 sin 了嘛，因为 cosine cosine 方加 sin 方是等于一的，所以 cosine 有 了 sin 就 能求出来了，对吧？然后求出 sin 以后，第三步就是我们用公式了呗，对不对？我们直接上 面积公式，面积公式 s 就 等于二分之一 a， b 乘 c 嘛，对吧？然后同理就就等于二分之一 b， c 乘 a 就 等于二分之一 a， c 乘 b， 对 吧？你就去选一个你现在，呃可以去用的这个面积公式代入就行了。比如说我们现在知道乘 c 等于一， 所以说我这个 s 就 等于二分之一，乘 a， 再乘 b， 再乘 c， 那 就是二分之根号三了呗。我们是不是就快速求解出答案是我们的 c 选项了呢？对不对？这个是朴实一点的方法哈，就是三步走，求 cosine， 求 sin， 再求面积公式。所以说基于第三个题型，我们来给大家总结一下 对于面积公式的一个应用。这块大家需要知道一个点，就是它的应用情况的话，第一种情况就是我们如果已知两边及夹角的话，那你就直接上公式就可以了，对不对？两边和夹角都有了，那直接上公式呗，那还说啥呢，对吧？ 然后第二种就是我们已知三边，那这个时候就是第一步先用余弦定里求出角，然后第二步呢得出算，然后第三步呢，再用面积公式呃，去求面积对应的是我们刚才讲的三步走哈，大家一定要把这一块对应的一个解析思路好好的我们给进行总结一下哈。 所以说大家其实可以发现，你看老师每给大家讲一道题型，都会给大家总结一些他对应的一个答题思路，对不对？因为这个才是咱们提分的关键。咱们数学你想提分的话，那么你学习的时候，你就必须要去学不同题目他背后对应的这些答题方法。 你像为什么咱们很多同学你上课一听就懂，但是一到考场你拿笔就蒙了呢？为什么你错过的题反反复复的错，稍微换个包装你就又不会做了呢？ 咱们被说中的同学，你可以在弹幕里扣个一，根本原因不在于你刷题刷的太少了，更不是你脑子笨，而是因为你永远停留在就题答题的一个浅层， 你没有建立起这套举一反三的模型库。所以如果你现在的数学成绩死活卡在瓶颈期，你靠自己怎么都突破不了的话，你就不要在低效死科了。你可以直接通过这里把你最近刚考完的一张卷子以及成绩发过来，我直接帮你做一次最深度的试卷分析，可以帮你揪出思维上的一个漏洞哈， 大家可以带着你的问题直接来找我哈。好，我们继续来看下一个非常重要的一个题型，我们第四个题型 在考试里面也是非常常考的嘛，对吧？比如说这道题，我们来给大家讲一下，他说已知三角形 abc 的 内角， abc 的 对边分别是小 a、 小 b、 小 c， 那 么能判断判定三角形一定是等腰三角形的是哪个？那大家来想，我们得到什么条件就可以判定他是等腰了呢？大家来思考一下， 那我是不是得得到它的边相等，或者说角相等呀？对不对？我得到这两个条件，要么从边出发，要么从角出发，我得到条件才可以，对不对？那我们依次来看一下 a、 b、 c、 d 四个选项。说白了，这种题目它对应的解析思路就是不断的进行化简，把它给你的式子不断化简，看你能不能得到关于等腰的一个条件就可以了。 比如说我们这里的 a 选项，那这个时候既还有边，又还有角，那我要怎么办呢？我肯定要进行边角互化呀，对不对？那这个时候我画成边还是画成角呢？ 那肯定是画成角要简单一点，因为如果一般边画角的啊，一般角画边的话，余弦定里那个公式那么大一堆，对不对？很复杂，所以说最好咱们能边画角的，咱们就尽量边画角哈，用正弦会简单一点。 比如说这道题我们来化解一下，那它就是乘 a 口乘 b， 就 等于乘 b 口乘 a 了，对不对？那这个时候你把它移到左边，它不就是，嗯，把它移到左边，它就是减去这个东西等于零吗？ 那大家来看，它现在得到的这个式子是不是一个和差角公式的展开式呢？左边这块儿，它 不就是 sin a 减 b 吗？对吧？大家来看， sin a 减 b 等于零，那不就是 a 减 b 等于零吗？那不就是 a 等于 b 吗？所以说当你得到 a 等于 b 的 时候，我们是不是就可以快速得到它是一个等腰三角形了呢，对吧？所以 a 选项正确， 然后再来看我们的 b 选项， b 选项的话，我们依次来看哈， a 是 正确的， b 的 话，它是 cosine b 乘 cosine c 等于 cosine 二分之 a 的 平方， 那么这个时候你看哈，它右边是一个平方的一个式子，那平方的话，大家要去想什么？大家来想一下， 在哪一个公式里面出现了正弦的平方呢？很明显就是我们的二倍角公式呀，对不对？我们的 cosine 二 a 是 不是就等于一减二倍的 cosine 的 平方呢？ 那现在它是四方二分之 a， 那 它是不是就等于什么呢？就等于一减我们的 cosa， 再除个二呢？大家来看一下，这一步能不能跟上，它就等于二分之一减 cosa， 因为它本来是二分之 a 嘛，那乘个二不就变成 a 了嘛，对吧？ 然后我们化简到这一步以后，我们来想哈，那接下来怎么继续化简呢？现在这个式子里面既含有 b， 又含有 c， 又含有 a， 大家来想一下， 那我先把它继续化简一下哈，我们可以先试着把二给它乘过去，那就是二倍的 cosine b， cosine c， 它就等于什么呢？就等于一减个 cosine a， 对 吧？ 现在还有三个角 abc， 那 么根据我们之前讲的解题思路，我们是不是可以试着给它变成两个角呢？ sin a 等于 sin b 加 c， 那 么 cosine a 等于什么呢？ cosine a 是 不是就等于负的 cosine b 加 c 呢？对不对？这个是咱们之前讲过的公式哈，就是诱导公式那块讲过的，就不跟大家讲为什么前面加符号了哈，大家不知道的可以回过头来去复习一下， a 和 b 加 c， 它们加起来是 pi 对 不对？如果两个数它们和为 pi 的 话，那么它们的 cosine 值是互为相反数的，这是大家一定需要注意的哈， 所以说这里是同样的思路，我们同样要把三个角换成两个角，因为现在都是余弦，所以说我们用余弦的这个公式， 咱们来进行代入，它就等于一加上 cosine b 加 c， 对 不对？现在这里是和差角公式了，所以说我们来列一下哈，它就是一加上 cosine b， cosine c， 再减去 cosine c， 对 不对？我们可以化简到这一步，然后左右两边我们可以把这个 cosine b， cosine c 消一下，那就是 cosine b， cosine c， 把这个再移过来，加上 cosine sin c， 就 等于一了呗。然后这个呢，这个又是一个和差角公式呀，对不对？它又是一个和差角公式，它就是 cosin b 减 c 嘛，对吧？ cosin b 减 c 等于一，那就是 b 减 c 就 等于二分之派了嘛，对吧？ 那 b 减 c 的 话就等于零了嘛，所以说那 b 就 等于 c 了嘛，所以很明显 b 选项也是没有问题的呀，对不对？这个 b 选项我们可以同样可以推出来， b 等于 c， 你 看两个角相等，那它肯定是等腰三角形嘛，对吧？现在 b 选项也是正确的哈。然后我们继续往下看， 再来看我们的 c 选项， c 选项的话，怎么进行化简呢？这个时候哈，你看你可以考虑边画角，也可以考虑角画边。这道题呢，大家可以自己试着去暂停视频，你自己都去试一下哈。然后因为前面我们一直在讲正弦，所以说这道题我们试着给大家讲一下余弦 如果说角化边的话，它同样可以，因为你看有 a 有 b 有 c 边比较多了，所以说，呃，然后后面给的又是 cos， 所以 我们我们如果说想到余弦定里的话，也是非常正常的，因为它本来边就比较多，然后出现的又是余弦，所以说我们自然可以想到要把这个角化成边，对不对？那我们这个时候来给大家化简一下哈， 那就是 a 减 b 就 等于 c 乘 cos b， cos b 是 啥呢？它是不是二 a c 分 之什么呢？二 a c 分 之 a 方加 c 方减 b 方，然后下面这里和这个 c 消掉了，就变成二 a 了呗，对不对？和这个 c 直接消一下哈，然后同样的道理，这个 cos a 呢，它就是减去 二 b c， 那 就是二 b 分 之什么呢？二 b 分 之 b 方加 c 方减 a 方，然后这个时候左右两边 我要在同乘个二 a b， 我 要给它消一下我，我要给它去分母嘛，对不对？同乘二 a b， 那 得到的就是二 a 方 b 再减去什么呢？再减去二 a b 方， 就等于 a 方 b 加 c 方 b， 再减个 b 的 三次方，再减去。一定要注意哈，这里是乘了个 a， 对 不对？然后一定要加括号哈，因为这里在去括号的时候容易出错，所以说我们先带着括号来给大家去写，然后化简一下呢，就是减去什么呢？ 它是减去了 ab 方，再减去 a c 方，再加个 a 的 三次方，对吧？然后这个时候我们先来化解一下 a 方 b， 然后呢，这里也有 a 方 b， 所以 说咱们先消一下，这块消掉了，然后这个这个二没有了，对不对？然后 ab 方的话，这里也是有两个的，你看 a b 方 a b 方，所以说也是也是直接把这个消掉，然后这里二没有了，是不是可以先消一下呢？对不对？然后最终剩下的就是这两个，这两个以及这两个对不对？我们全部移到左边，那就是 a 方， b 再减去 a， b 方，再减去 c 方 b 再加 b 的 三次方， 然后再加 a， c 方，再减 a 的 三次方等于零。然后我们化简到这里的。这里以后经常会有同学说，哎，那接下来我不知道怎么办了呀？这个式子太复杂了呀，这里老师可以跟大家总结一下哈，像这种还有二次、三次的式子，咱们对应的解析思路非常简单，就是你先去看最高次，咱们先把最高次的共音式给他提出来， 这个思路大家一定需要记住哈，非常简单，非常常用。比如说你看这里有 a 的 三次方，对不对？那我就尽量的有 a 的 三次方，我就要提供音式，那我下一步我是不是找 a 的 二次方， a 的 二次方没有，我再找 a 的 一次方嘛？咱们一般都是可以找到 a 的 二次方的、 a 的 二次方的，然后把它们放到一块， 给它们作为一部分哈。比如说现在这里是不是有 a 的 平方 b 呢？所以说你就把 a 方提出来，那它剩下的不就是 b 减 a 了吗？对不对？那这两个搞定了， 然后同样的道理，你再来看一下，这里是不是还有三次呢？是不是还有一个 b 的 三次方，对不对？那你再去找它的下一个就是 b 的 平方，或者说 b 的 三次方，你就去从最高次往下找哈， 如果说这里还有 b 的 三次方的话，那你肯定是先进行一下加减嘛，对不对？那如果说没有的话，那就那就去找 b 的 二次方呗，对不对？给它们进行提供一式，我们把 b 方提出来哈，提出来以后，那就是括号里面 b 减 a 了呗，你看它里面是不是 它最终剩的都是 b 减 a 呢？所以说你就会发现了，你这样化减肯定是没有问题的。那再往下看，剩下的一个是减 c 方 b， 一个是加 a c 方，那肯定是把 c 方提出来了呗，那剩下的呢？是一个 a 减 b， 这个的话跟前面不太一样，所以说你这个时候提个符号，你变成个减 c 方，然后里面呢里面变成 b 减 a， 让它尽量一样，这个时候你看是不是每一项都含有 b 减 a 呢？对吧？所以说你再把 b 减 a 提出来，它就是 b 减 a， 再乘括号里面 a 方加 b 方减 c 方等于零， 那这个时候你就化简成你想要的一个形式了，对不对？那对应呢？它就两种情况，要么 b 减 a 等于零，那不就是 a 等于 b 了吗？然后要么就是 a 方加 b 方减 c 方等于零，那不就是 a 方加 b 方等于 c 方了吗？第一种情况是等幺，第二种情况呢？ 第二种情况它满足勾股定律，它很明显是一个直角三角形，所以说你会发现它对应的是有两种情况的呀，它不一定是等腰三角形，它还可能是直角三角形，所以说这个是不能确定的，大家能理解吗？我们就把这个 c 选项快速给它搞定了， 所以说咱们老师刚才给大家讲的那个方法怎么去提供音式，大家一定需要记住哈，从高次出发，一步一步的去找它们之间相关的，这是我们的 c 选项，它是不对的哈，它没有办法判定。然后我们继续来看，再来看我们的四 d 选项哈，刚才 a b 是 正确的。再来看一下四 d， 这个怎么进行化解呢？大家来思考一下。这个呢，其实它比较新颖哈，这道题比较新颖，大家现在不会的话也没关系，老师给大家讲一下它对应的一个思路哈， 就是左边是腺 a 方加腺 b 方，然后右边呢是二倍的腺 a 乘腺 b。 那 这个时候有些同学可能上来我们可以想到就是把它变成 a 方加 b 方，就等于二 a b 腺 c， 我 们可以这样去想对不对？这是我们能想到的第一步， 然后这个时候我们可能肯定想尽可能的把边放到一块嘛，那对应的不就是腺 c 就 等于什么呢？二 a b 分 至 a 方加 b 方，对吧？然后做到这里以后，其实你可以试着继续进行化简呀，对不对？ 因为下面是 a 乘 b， 上面是 a 方加 b 方，它是一个。其次的，我们试着继续化简一下，它就等于二 a b 分 之 a 方，加上二 a b 分 之 b 方，再化简一下，那不就是二 b 分 之 a， 再加上 二 a 分 之 b 吗？那你再来看这两个东西，这两个东西能让你想到之前学过的什么东西吗？它们之间的乘积是不是大于等于 二倍的根号下，这两个东西做乘法哈，那就是二 b 分 之 a， 再乘个二 a 分 之 b， 它等于啥呢？这个时候根号里面就剩下了什么呢？ a 和 a 消掉了， b 和 b 消掉了，就剩下根号下四分之一了，那就是二乘二分之一了嘛，对吧？二乘二分之一，那最终乘出来就是 呃，乘出来就是呃，乘出来就是一了嘛？我们就快速求解出来了，我们发现 c 大 于等于一，那对应的 c 的 范围应该是多少呢？ 它的正弦值最大值就是一，它不可能比一再大了，对不对？所以说其实这个东西我们最终得到的就是 sin， c 是 等于一的，那说明什么呢？说说明 c 是 九十度呀，我们是不是可以得到这个条件？ c 是 九十度，对吧？那这个 c 等于九十度是什么时候取得的呢？ 是这两个式子相等的时候取到的，对吧？也就是 a 除个二 b 就 等于 b 除个二 a， c 等于九十度的时候，它还满足这个条件，那我就把这个条件给它拆一下呗，对不对？它拆一下呢？就是二 a 方， 呃，就是二 a 方就等于二 b 方，那不就是 a 方等于 b 方吗？那不就是 a 等于 b 吗？ a 等于 b 的 话，它对应的不就是等腰三角形了吗？所以很明显四 d 也是正确的。四 d 是 一个比较特殊的情况哈，就是我们通过和基本不等式进行结合，然后我们推出 ab 之间的关系，大家看一下自己能不能跟上。这是我们第四个题型， 关于第四题呢，我们来给大家总结一下。如果说我们想判断三角形的形状的话，咱们一般对的答题思路就是将已知的边角关系，我们转化为统一的边或者角的关系不就行了吗？对不对？因为 你要判断形状的话，无非就是判断一下是不是等腰三角形，是不是直角三角形，对吧？那咱们都是要把边角结合到一块的关系，最终转换成统一的边或者角之间的一个关系哈。 然后最后这里也给大家总结了一些比较常见的情况哈，比如说出现边或角相等的时候，可以判断等腰或者等边，如果说两个边相等，只能判断两个边相等的话，那不就是等腰了吗？如果能判断出三个边或者三个角相等的话，那不就是等边了吗？对吧？这些大家都可以注意一下哈。 然后后面的话就是关于你看利用余弦定律嘛，对吧？如果 a 方加 b 方等于 c 方的话，根据勾股定律，它直接就是九十度了呗。如果 a 方加 b 方大于 c 方的话，那我们肯定可以利用余弦定律嘛， 那 cos 的 话，它不就等于 a 方加 b 方减 c 方再除个二 a b 吗？现在很明显它是大于零的，那说明它是一个锐角呀，所以角 c 就 等于九十度了呗。然后同理，如果是小于 c 方的话，那就是大于九十度了呗，因为 cos 是 小于零的嘛，对吧？就这些东西大家都可以呃，都可以去记一下哈， 反正就理解就行了，不用死记硬背，我们都是可以快速理解的吗？对吧？这是我们第四个题型， ok， 那 以上就是咱们关于郑裕贤定理解三角形的一些必考题型了啊，但是说实话，你光学会这几道题，他顶多只是让你多拿几分， 咱们高中数学真正的分水岭，他拼的根本不是你刷了多少道题，而是你底层的一个学习逻辑。很多同学可能不知道哈，就老师我以前数学也是不及格的一个底子， 然后我之所以能一路逆袭到多次满分，我靠的就是一套极度理性的数学抢分系统，因为题海战术救不了低分，但是对的方法可以， 所以说老师把我把我自己从不及格到多次满分，我所有的一些底层的学习方法呃，以及避坑指南，老师全部整理成了一节内部逆袭方法课。 大家想打通数学思维的你想快速提分的，那么你可以通过这里加我，这节课老师我免费发给你，你花半个小时看完，就能立刻停止你的低 效无效努力。最后呢，大家也千万别忘了三连加关注，老师接下来会继续给大家更新我们高中数学的一些必考题型，以及对应的解析思路哈，那我们下期视频再见，大家拜拜！

好，再画二 x 加上，等着看他让你来求 x 属于啊，多少范围？负十二分之差到二分之差上在这个范围内的最大值和最小值， 来吧。二十四，啥算啥？算吧，或者来对，首先你需要先把它看成啥，做整体。我们令七等于啊，二 x 加三为派，那因为就给你 s 范围的 s 啥范围？从负十二分之派开始，一直到二分之派，你要根据这个范围把这个范围算什么范围？ 对，二 x 加三分之派，它的范围就是来去代部分代下来负十二分派往里代二乘负十二分派等于多少？负六分派，对吧？负六分派加三分派就等于六分派，六分之派到哪能来代他？二乘二分派是个派， 派加三分之派，三分之四派，那也就相当于这里的 t 属于多少？六分之派到三分之四派，那么你整个 y 得上是不是得逃在 t 啊？ t 在 六分之派到三分之四派的范围内， 那么由这我们要算逃在 t 范围的时候一定要注意。要干啥？你要干啥？ 画图，一定要画图啊，一定要画图，你不画图容易错，一定要画图啊，他是从六分之三到三分之四派来画图，好在图像换一下，就这样的，就这样。 那这块是二分之派，这块啥派？这是二分之三派，这是多少二派？那么六分之派是三十度，那大家应该看是在这是从六分之派到三分之四派，这是啥？这是派， 三分之四派比派数多一点，所以大约三分之四派就在这。好了，那你来看一下这段图像上最低点是几派的？不是最低最小值多少是负一，所以它的最小值是负一，那最高点在哪？体格就在六个派体格，所以要知道桃派六派的多少， 桃派三是多少？二分之根号三，所以就出来了最小值是负一，最大值是几？二分之根号三，记住了吗？

今天给大家分享一个如何快速确定二面角的余弦值是正还是负，亦或是说跟你的法相量所求的余弦值到底是相等的还是相反的？那么首先先从如何去用法相量啊？这个去求得你这个二面角的假角啊，用相量法求吗？对吧？那肯定你要先求得这两个面的什么呀？法相量啊，那我们就画一画假说啊，下面这个面的法相量是这样的， 然后我们左边这个平面的它的这个发现量给它画出来。啊， 是这样的啊，我们之前就知道了，那二面角的这个 ct 是怎么找到的，是不是由你这个两个面里分别都找到和你这个胶线垂直的那两条线，那两条垂直线哎，所呈的夹角才是你的二面角，对吧？所以啊，你既然是什么呀，我们就从发现的这一两条垂直线 啊，假设这是垂直了，然后假设这 也是怎么样？也是注意知道，那这两条线哎，所形成的这个夹角就是什么呀？就是你这两个平面的这个所成的二面角。那我们来研究研究这个大角到底和你这两个法相量有什么关系，对吧？哦，我们把这个法相量标成，呃，一个是 n， a， 这个点是 b， 这个点是 c 吧，这个点是 d， 那 a， b， c， d 这个四边形，它的内角和应该是一百八，对吧？啊，你这垂直角一直垂直角 c， 这也垂直一百八，所以，哎，我要求的这个二面角正好和这个角是怎么样的？是互补的，而这个角最顶部是正好是这个角，而这 角恰好是向量 m 和向量 n 的假角，那么由此可得哦，这样的两个反向量，如果同时朝向我们二面角的内部的话，他们的假角和我要求的二面角的假角斜太正好是互补的，那么两个角互补意味着他们的余弦值 cosin 就是怎么样的？就是互为相反数啊，如果你忘了的话，你可以回忆一下 cosin 的这个 图像长什么样子啊？这应该是大概吧，长这个样子是不是啊？这个地方是二分之派，你说零到二分之派，这是二分之派到派，所以说两个角互补，那么他们的余弦就是互为相反数啊，是这个样子的。那我们 有同学已经发现，老师说，你这个不是一个非常啊这个特殊的一个样子吗？两个法相量都同时朝向这个二面角的内部，没错，却是这样的，这只是其中一种情况。那么既然有两个法相量同时朝二面角的内部，就有可能两个法相量都同时朝 二面角的。什么呀？外部啊，朝内朝外，是对于你这个二面角来说啊，这样的话是不相当于朝这个面这个内部，对吧？那我们来看看朝外会不会是这样的结果，那我们就把这个箭头换一下就可以了啊，我们把这个擦掉 啊，这样的话，是不是相对于二面角来说，他是朝外的？朝外的话，你会发现，哎，我这两个发型的恰好是这个，这个依然和我的二面角是怎么样的互补的？所以由此你可以总结第一种情况，你所算出来的这个两个面的发型量，同时朝 内或同时朝外，也就说同向，那么你用法向量所算出来的这个余弦值就应该和你二面角的余弦值是怎么样的相反的，对吧？啊？那我们在旁边写一下， 同时向内或同时向外， 余钱只要回下面。 okay， 这是第一种情况，那我们来看看啊，刚才说的同时指向内或同时指向外是这样的，那有没有可能以内一半呢？当然有这种情况，是吧？那就是第二种情况，那我们一起来看看第二种情况他是什么样子？ 那我们就像刚刚一样啊，我们把它擦掉，然后我们让它一指，一个指内一个指外， 然后把它补充滤镜。嗯，这样啊，刚刚这里写的是第一种情况啊，我们让这个指向这啊，这期就相当于说是指内了，是不是？然后我们让这个指外， ok， 那我们说了向量的这个，这个是 m 吧，向量 m， 这个是向量，向量的夹角是必须是共起点，是不是？那这里是相当于是一个共起点，所以这个法向量他们俩所乘的夹角应该是哪一个？是不是应该是这个， 对吧？哦，还是我们按照刚刚的推理，我的这个二面角的斜的值是应该跟这个角是怎么样的互补的？哎，我发现这个角正好和法相量的假角也怎么样也互补，所以你由此可以判断，如果你的法相量一个值内一个值外，那你这个法相量所算的余弦值正好应该等于你这个什么 二面教育限制，因为此时此刻他俩怎么样角相等，不再是怎么样互补了，是吧？ ok， 所以我们总结一下第二种情况， 那就是一内一外，是吧？一内一外怎么样余弦值相等，那余弦值指的是法线的余弦值和二面角的余弦值，对吧？啊， ok， 所以由此其实就可以判断出什么来了。我要想知道和我用法相量算出来这个余弦值是相反还是相等，我需要 要去判断法项的指向，对吧？这是一个思路，我们来看看具体的题目，操作一下。 ok， 我们一起来看到这道题啊，这道题原本是让你去求正线值，那简直就是送你分了对吧？正线值就不需要考虑正负了，你直接根号下一减扣四，整个平方开个号就可以了，那我管你余先值是正式负呢，所以说这个题有点水题了是不是？那 我们假把这题改掉啊，我们就是去算余弦中，看能不能够判断出来，用刚刚那个方法能不能快速的判断出来到底是和你求这个相反还是相等啊？我就用法项量去看啊，那我们就直接把这两个法项量就算出来啊，我们就跟大家一起算第一个，呃，平面 aef 的一个法项量是一一负一，然后这个平面 efae 的法项量是一四二，所以我们只需要把这个法项量想办法放到这个 坐标心里去就可以了。我们来看看啊，这个很明显这肯定是 x 轴，对吧？啊，这个是 y， 这个是 z 啊，我们的原则是 x 轴逆时针旋转九十度的 y， 对吧？啊，这大家统一一一复一那一啊，相当于是不是在你这个 x 上取一对吧，然后呢？接着在外上也取一，在外上也取一，就相当于一一在这地方，对吧？啊一，你好找啊，在 x 外上找，然后负一，你告诉我是向上还是向下？负一啊？向 不上，你看自己都是正方向，所以向量 n 他应该长这样，对吧？然后你怎么样？你要判断这两个平面对于法向量来说，他他是怎么冲哪的，是不是？所以你把这个法向量平移到 a e f 这里来就可以了啊？ a， e， f 是不是在这儿，对吧？让你把这个平移过来， 是不是长这个样子？对于这个二面角来说，那你说这个向下 a 是朝内还是朝外？是不是相当于是从外往这个二面角这里里面来，所以是不是朝内，对吧？哦，所以这个一下就看到，哦，是朝内的，这个你就偷偷的怎么样？拿铅笔画一下就可以了，因为考试时不需要你非常的解释出来，对吧？你只需要 啊，油图怎么样，然后你就直接算就可以了啊，你不需要把这一步放在这个答题纸上，那么再看另一个一四范，那很很明显，一二四大概在这吧，这不还是在这样的一个一项线，然后怎么样？二，那是朝上还是朝下？朝上，对吧？正的吗？朝上，那这个是 m 吗？现在 m 对不对？那你就将这个怎么样平移到平面 e f a 一比不就可以了吗？对吧？平一啊，一平一，你发现对于这个二比较来说， m 是不是也相当于怎么样？是朝内的，对吧？我们刚才说了，两个都朝内怎么样来着？余弦值互为相反数，所以你算出来的 cosin 值应该等于什么？等于你这个什么呀？布的 cosin n 和 m 的这个夹角的发型，这个发型的夹角的余弦值，对吧？然后我直接开了， 他们俩会像美术啊，因为我判断出来的他都是同时朝内的啊，只有一内以外才会是怎么样相等啊？所以你考试时候也不用解释，直接写就可以了啊，然后你算出来就行，这个你应该会算，是不是直接带你去算就可以？

hello， 大家好，我们今天来看两角和与差的正弦与切和正切公式，这一节里面就是公式比较多，然后你知道这些公式，然后你要去知道怎么去算题就可以了，然后我们来看这些公式怎么去记。数学公式一定不要死记硬背，一定是要有技巧的去把它记住。 我们先来看两角和或者两角叉的余弦公式啊， cosine r 减 beta 或者 cosine r 加 beta 怎么记一个公式？ cosine r 减 beta 等于 cosine r 法， cosine beta 加 cosine 加 sin r 法 sin beta。 我 们来观察一下，前面是 cosine， 所以 我们拆开之后的第一个 也是 cosine， 所以 我们把它减记为啊，我自己这样记的，减记为 c c s s， 可以 这样理解吧，你看 cosine 阿尔法减贝塔等于 cosine 阿尔法 cosine 贝塔加 cosine 阿尔法心灵贝塔 c c s s 然后 cos 有 一个不太相同的点，就是这里是减，那后面就是加，这里是加，后面就是减，这这样子就可以记到 cosin 阿尔法减倍塔和 cosin 阿尔法加倍塔了，叫做 c c s s 是 cosin， 你 就 c 开头。然后那我们来看两角和两角它的正弦公式呢？ cosin 阿尔法加倍塔和 cosin 阿尔法减倍塔 sin 求 sin， 那 我开头的一定是 sin s， 所以 我们把这个记做 s c c s s 开头 s c c s 这里需要注意的点啊，这两个地方需要注意的注意的点都是我这里的 r 法在前，贝塔在后，我后面乘的应该也也是 r 法在前，贝塔在后， r 法在前，贝塔在后。这个顺序是不要变的啊，因为它牵扯到一个这个加减，就这样子，如果不变的话你比较好理解。 然后但是 c c 呢？前面是加，后面还是减不变号好，现在是 c c s s 变号， c 是 s， c c s 不 变号。然后紧接着我们来看 tangent， tangent， 我 们直接看减法， tangent r 减贝塔，然后变成了它，就跟前面两个 c 和 cosine 不 太一样了，它变成了一个分数，分数之后上面就把它直接拆开， 直接拆开 tangent 的 r 法减 tangent 的 贝塔，比上一加 tangent 的 r 乘以它的贝塔。这个需要你稍微的去记一下，或者你多做几道题巩固一下。然后注意的点就是这里是减，上面是减，上面是减，下面就是加， 然后这里是加，上面是加，上面是加的话下面就是减，这是 tangent， 然后变形的话我们就不看了，直接乘括号就可以了，这是我们今天学到的，一共是六个公式，不要去死记硬背，多做题，把它记住。 然后我们来看这道题，这道题是 cosine 一 百二十五度乘以 cosine 五度，加上 cosine 三十五度乘以 sin 五度， 所以我们肯定是要把它凑成 c c s s 或者是 s c c s， 对 吧？那我们来看哪个比较好凑啊？这个是 cosine 一 百二十五度，这个是 cosine 三十五度， 这两个肯定是要变成同样相同的度数，而且其中一个是要变成吸引的，那我就先对它下手，我想把它变成吸引。那我来看一下 cosine 一 百二十五度其实就等于什么？是不是等于 cosine 三十五度加上九十度，哎，好像跟这个三十五度合到一块了，它就等于什么呀？是不是？这是不是诱导公式？ d 就 等于负的 sin 三十五度，哎，它变成这个了，我是不是就可以用这个公式了？那所以这个式就变成了负的 sin 三十五度乘以 cosine 五度， 加上 cosine 三十五度乘以 sin 五度。那我，嗯，把负号提出来，就等于负的 sin 三十五度乘以 cosine 五度，减去 cosine 三十五度乘以一个 sin 五度就等于负的。看这里就等于，首先它是 sin sin 多少呀？三十五度减五度， 所以就等于负的 sin 三十度。这我就很好解了， sin 三十度等于二分之一加上负号，所以是 b 是 负的负二分之一。这就是把这个公式和我们前面的诱导公式放到一起，写到了一道题里面。然后我们再来看一个第二题， 第二题是二分之一 sin 十五度减去二分之根号三 cosine 十五度。这个题其实牵扯到了一个什么？我们常我们在这个公式里面常用的一个叫做辅助角公式， 当我们碰到有 sin， 有 cosine， 并且前面是有一个常数的时候，比如说就是 a 倍的 sin， 而法减去 b 倍的 sin cosine， 而法就类似于这样子的。这时候我们第一步干嘛可以记一下啊？第一步是提， 我同时提取，把前面的系数同时提上根号上根号下 a 方，提完之后第二步我这个式子就会变，然后第二个式子就是凑， 我凑什，我凑什么，我把它提出来之后，这个式子的前面的系数我就看能不能凑成 sin 多少度或者 cosine 多少度。然后第三步我们就可以套公式了， 这样说你可能比较那个什么，我们来看这道题啊，第一步是不是题？我要提取的是根号下二分之一括号的平方加上二分之负二分之根号三，括号的平方就等于四分之一加四分之三等于一， 所以我们提一出来，这就不用提了，对不对？那这个就等于。好，那我就可以来凑了， c 十五度二分之一， cos 十五度二分之二三，所以我要往哪凑？ s c c s 上凑，那 s 是 c 十五度，那乘以 cosine 多少是等于二分之一 的。好，对， cosine 六十度，也就是 cosine 六十度是等于二分之一的，对吧？那再减去 cosine 十五度 s， 然后乘以 sin sin 多少度是二分之，根号三是六十度，你会发现其实前后这两个应该都是度数是对应相等的。好，那我再套套公式，你就等于什么？ sin i 括号十五度，减去六十度就等于一个 sin 负的四十五度就等于负的 sin 四十五度就等于负的二分之根号二 来 b 选项。我们来看这个辅助角公式啊，如果前面他他提的不是一，可能是可能是别的，那你提出来之后，你得到了这个这个数，你就想，你就去凑， 往哪凑，往 cosine 多少度？ cine 多少度凑，凑出来这个式子一定是能套入到我们今天学到的这个公式里，然后就套，套完我们就可以解出来这个数了。这个这种，这种， 这种算法，在我们往后的很多三角函数的题里面，包括呃，选求那个最大值、最小值，都很常用，我们可以多加练习啊。好，我们今天这节课就讲到这里，我们下次再见。

hello， 大家好，我们今天来看二倍角的正弦与弦和正切公式， sin 而法 cosine 而法，那当这个角是而法的二倍的时候， cosine 而法 cosine 而法，这个时候这个公式是什么呢？我们一起来看一下啊。那可一样啊，我们这一次一共就是 五个公式，这五公式弄清楚，然后会用，那其实就很简单了，那我们先从头来看啊，公式不是让你死记硬背的，是让你去灵活应用的，我们去找技巧去把这些公式记住。我们先来看吸引二耳法， 吸引二耳法，这把它变成什么呢？把二放出来二倍的吸引耳法，这样是不是很好理解？然后再乘以个 cosine 耳法，这就是吸引二耳法，然后 cosine 阿尔法。对于 cosine 阿尔法来说呢，它有三个公式比较难记啊，记得就是 cosine 阿尔法，它是 cosine 嘛，所以 cosine 在 前的都是它减人家，所以 cosine 阿尔法平方减 sin 阿尔法平方，二倍的 cosine 阿尔法平方减一，然后有一个关于 sin 阿尔法，就是一减去二倍的 sin 阿尔法， 只要是 cosine 阿尔法在前面，它减人家，如果是 sin 阿尔法就在后面被人家减，然后 tangent 阿尔法其实就是完全的是昨天学的这个阿尔法加贝塔，你把它带进去就可以了，二倍的 tangent 阿尔法比上一减 tangent 的 阿尔法平方， 这就是我们今天学今天的这个二比特公式，它下面这个所谓的降密公式，其实就是用这两个公式的一个变形啊，就是如果你碰到了 cosine alpha 平方，或者碰到了 sin alpha 平方，你不想让它平方想要一次密，那你就把它变到 cosine 二 alpha， 然后我们就来看例题啊。嗯，比较简单的， cosine cosine 八分之派的平方减 sin 八分之派的平方， cosine 在 前减后面的，这一看就是等于什么？一看就等于 cosine 二，而法也就是二乘以八分之派 就等于 cosine 四分之派。 cosine 四分之派是多少？二分之根号二公式一，公式， 公式记得比较清楚，那这些题就很简单，然后第二个， sin 四分之三派乘以 cos 啊， sin 三分之四派乘以 cosine 三分之四派。 sin 乘 cosine 像谁啊？是不是像不像？像 cosine 二法？ cosine 二法等于二倍的 sin 二法 cosine 二法， 它这里就等于什么？它就等于二分之一倍的 sin 二乘以三分之四派，对吧？就等于二分之一的 sin 三分之八派。三分之八派等于什么呢？又等于二分之一的 sin， 想一下，等于二派加上三分之二派等于二分之一的 c 三分之二派，所以它就等于多少啊？ c 三分之二派是二分之根号三乘以二分之一，所以是四分之根号三。 让我们来看最后一个，最后一个是告诉我了， c 尔法加六分之派是三分之根号三，然后让我求 cosine 二法加三分之派。 我们先来观察一下 sin 尔法加六分之派和 cosine 尔法加三分之派有什么关系。首先它是个二倍角，对吧？那我先把这个二提出来呢， 就等于尔法加上了一个六分之派，哎，好像 cosine 这是 cosine 尔法，这是 sin 尔法，所以 sin 的 一个等于三分之刚好三。那我求 cosine 的 二倍等于什么？那我可以这样啊，如果这样不太好看的话，我就可以我射 而法加六分之派等于 t。 那 我现在题目就是我已知 sin t 等于三分之根号三，让我求 cosine 二 t， 那 我 cosine 的 二倍角公式关只关于 sin t 的 只有一个一减去二倍的 sin t 的 平方，那我们再进去等于一减去二乘以三分之根号三的平方， 所以就等于三分之一。那换过来我就可以得到他其实就等于一个三分之一。木啊，相对来说还是比较简单的，主要是把公式理解透，借牢就可以了。好，我们这个二倍角就讲到这里，我们下次再见。

今天给大家说一说解三角形该怎么学，也就是正弦定律、余弦定律这一块呢，公式比较多啊，正弦定律、余弦定律、面积公式等等，很多学生呢，他学乱套了，公式都会，但他不知道该怎么去用。所以我们要做的第一件事情就要知道 哪些题目该用正弦定力，哪些类型该用于弦定力。你比如说之两边及一角可求第三边，那一般就用于弦定力，但之两角一边再求另一边，往往就用正弦定力。 这三边或者比例要求角的话，就应该用余弦定力。所以你要把各类各样的题型全部分好了，这些用正弦，那些用余弦，你先把它分清楚了，这样的话你做题才不会乱，否则你一套公式你就套错了。 接着我再说第二个，因为正弦定律，余弦定律这一块，他往往和我们高一所学的三角函数融合在一块，你比如说诱导公式和二倍角公式和基本关系 这些内容如果你学不透的话，我们往往会出现正弦定逆弦定理，我会做，但是呢，做着做着做着用到前面知识的时候，我卡住了， 所以想要学好这个内容，一定要把前面学过的这些相关的三角函数知识点给我学神学透了，把这两个搞定了，你的解三角形也就没问题了。

来，同学们啊，咱们学完余弦定理之后呢，我们知道余弦定理呢，已知两边和其夹角可以求第三边，已知三边可以求任意一个角， 但是呢，它的作用远不止于此啊。你看这道题，已知锐角三角形的边长分别为二、四、 x， 问实数 x 的 取值范围，还可以用来求边长的取值范围，那啥意思呢？比如说，我给大家举个例子哈，余弦定理的话呢，我们有一个，就比如说我就是 cosine 吧， cos a 等于 b 方加 c 方减 a 方比上二 b c 好， 那么因为这个 cos 呢，它在零到派上是单调递减的，对吧？呃，你看哈， 如果这个角 a， 它到底是锐角，直角还是钝角，那么由谁来决定呢？分母二 b c 肯定是正的，是不是就由分子 b 方加 c 方减 a 方啊，就是两边的平方和和另一边的平方它们之间的关系来决定。 那么你既然你是锐角三角形，那是不是你这个任意一个角都得是锐角， 所以 cosine a 大 于零， cosine b， cosine c 都大于零，那么这个我就不再写了，意思就是说呢，任意两条边的平方和都要大于第三条边的平方，这样的话呢，才能保证三个角都是锐角，听懂了没有？那所以它的三条边是二四 x， 那 我们就可以列出 三个，哎，保证三个角的锐角，那就是二的平方加四的平方大于 x 的 平方，二的平方加 x 的 平方大于四的平方，对不对？那就是四的平方加 x 的 平方大于二的平方。哎，这三个式子必须同时满足，才能保证三个角的锐角， 才能说它是锐角三角形啊，咱们来解一下，第一个呢是 x 平方小于，那么十六加 四是二十，嗯， x 平方，第二个呢是 x 平方大于谁呢？这是十六减四十二，对吧？那这个呢是横乘以的，你不用管，因为四的平方都已经大于二的平方了啊，所以咱们得到了第一个不等式，那就是 x 大 于负二倍的根号五，小于 二倍的根号五，那么第二个呢？大于大的，小于小的，那开方那大于二倍的根号三过 好， x 小 于负二倍的根号三，那么他俩呢？咱们取这个什么呢？公共部分。那你这个 x 是 边长，你肯定得大于零啊，所以他俩合起来啊，去掉负数，再取公共部分。所以我们最终可以得 x 大 于二倍根号三，小于 二倍根号五。那么它的取值范围的话呢？你不要写成这个结果哈，我告诉你，最终结果最好要写成集合的形式，这样保证不会出错，所以我们写成区间的形式吧，那就是二倍根号三大于二倍根号三，小于二倍根号五，它是开区间，你学会了吗？

同学们好，今天我们将一起探索一个非常重要的三角恒等变换公式，两角差的余弦公式。在正式学习新内容之前，让我们先回顾一下之前学过的知识。还记得诱导公式 cosine 二分之派减而法等于三而法 cosine 派减而法等于负的 cosine 而法吗？它们都是特殊角与任意角，而法差的余弦 与角阿尔法的三角函数值的恒等关系。如果将特殊角换成任意角，比如用角贝塔代替二分之派，是否能得到差角阿尔法减贝塔的余弦与角阿尔法、角贝塔三角函数值之间的恒等关系呢？ 现在让我们进入探索环节，算长度，进而建立等式。接下来，请大家和我一起用距离公式计算这两条线段的长度 问题三、线段 ap 与 a 一 p 一 的长度分别是多少？我们知道平面上任意两点， p 一、 x 一 y 一 p 二、 x 二 y 二间的距离公式， p 一 p 二等于根号下 x 二减 x 一 扩起来的平方，加上 y 二减 y 一 扩起来的平方。那么要求线段 ap 与 a 一 p 一 的长度只需按照公式计算即可。 a p 等于根号下 cosine 阿尔法减贝塔减一括起来的平方加上 cosine 阿尔法减贝塔的平方，等于根号下二减去二倍的 cosine 阿尔法减贝塔。 a 一 p 一 等于根号下 cosine 法减 cosine 贝塔扩起来的平方，加上散而法减散贝塔扩起来的平方，等于根号下二减去二倍的 cosine 法 cosine 贝塔减去二倍的 cosine 法 cosine 贝塔。 计算完成后，可以发现，两条线段的表达式都化简为二，减去二乘某个量， 既然它们的长度相等，那么这两个表达式中的某个量也必然相等，这就是最后一个问题的突破口。 今天的学习我们知道两角叉的余弦公式为 cosine 法减贝塔等于 cosine 法乘 cosine 贝塔加散，而法乘散贝塔。 请大家课下思考，我们如何通过两角叉的余弦公式得到 cosine 法加贝塔与角，而法角贝塔三角函数值之间的关系呢？下节课我们来揭晓答案。

上课，同学们好，请坐，同学们，我们前面一直在学习项链的相关内容，那我们今天来看项链可以帮助我们解决哪些新问题？ 那其实我们今天的研究对象呢？同学们也并不陌生，在必修一时，我们学习了三角函数的六个导公式。 好，现在请同学们开始回忆诱导公式帮助我们解决了什么样的问题呢？嗯，请你好，诱导公式帮助我们把任意角的三角函数转化到了。哎，零到二分之派上， 很好，请坐好，那既然已经转化到了零到二分之派上，现在老师有这样一个问题，十五度也是一个零到二分之派上的角，请问你会计算 cosine 十五度吗？ 哦，你说它不是一个特殊角，我们并不知道它的余弦值怎么样去计算。 嗯，你有想法哦，这位同学说，十五度虽然不是一个特殊角，但是它可以写成两个特殊角的差，四十五度和三十度的差。好，它就等于 cosine 四十五度减去三十度。 哎，那这个式怎么去计算呢？哎，有同学猜想说，会不会是四十五度和三十度的余弦值之差呢？现在请同桌之间相互讨论，来看看能不能画等号。现在开始 好讨论，差不多了。嗯，你来分享哦。不可以画等号，为什么扩散以十五度是哎大于零的， 而这个减法得到的是，欸，一个小于零的数，所以它们不能画等号。 欸，那这个究竟怎么样去计算呢？实际上，这就是我们今天要去探讨的内容，两角和以差的余弦公式， 也就是说，我们今天希望得到 cosine 阿尔法减贝塔的公式。 好，那我们究竟怎样去探讨它呢？乍一看好像没有办法下手。我们回忆在诱导公式中有没有长得跟它比较类似的柿子呢？ 嗯，请你好，这位同学说，我们之前学过 cosine 太简，尔法 哎等于什么？哎，等于负的 cosine 尔法 cosine 二分之 pi 减，而法就等于哎 sine 而法 好。看样子这两个式子都跟而法的三角函数值有关系，所以我们猜测哎 cosine 而法减贝塔应该也跟而法和贝塔的三角函数有关系。 好，那我们究竟怎样去探究它呢？回忆诱导公式是在哪里进行探究的？嗯，请你好，在单位员中。好的，请坐。所以我们今天依旧在单位员中对它进行探讨。首先换一个单位员。 好，我们既然想在单位员中对它进行探究，我们首先需要找到阿尔法角，贝塔角。哎，那我们怎么找呢？ 我们知道阿尔法和贝塔他们两个都是任意角，所以我们只能找到它的中边， 而它的中边呢？哎，似乎又有非常多种情况。那同学们想一想，我们能不能简化一下我们的探求过程呢？有哪些性质可以帮助我们简化探求过程呢？老师，提醒一下，思考余弦函数它有哪些性质？ 嗯，你有想法？好，这位同学提醒我们，余弦函数它是一个哎周期为二拍的偶函数， 所以我们完全可以研究尔法和北塔都属于零到派时的情况。而且由于它是偶函数，我们完全可以只只探讨尔法大于北塔的情况。好，老师总结一下，也就是说我们可以讨论 尔法减去贝塔大于等于零小于等于二十的情况。好，那这样我们的中边就非常好确定了。首先画出贝塔的中边在这里，尔法的中边在这里。 好，设贝塔和单位圆交点是 b， 阿尔法和单位圆交点是 a， 好， 那角 a o b 是 不是就是我们的阿尔法减贝塔？ 好，那我们自然的可以写出 a 和 b 的 坐标， a 和 b 的 坐标是，哎， cosine 阿尔法 sine 阿尔法 b 的 坐标是，哎， cosine 贝塔 sine 贝塔，好，那么接下来我们要去计算的就是阿尔法减贝塔，也就是这个角 a o b 的 余弦值。 我们在这堂课开始的时候提到，我们希望使用向量去解决问题。好，向量解决问题，我们分为哪几步呢？嗯，请你来回忆。 好，这位同学说，我们首先需要转化，何为转化呢？是把我们手上的几何问题转化为代数语言，所以我们要在里面找到向量。哪两个向量，哎， o a 和 o b， 好，来，第一步，转化， 转化，我们得到 o a 向量，它就等于 cosine r 法 sine r 法 o b 向量，它就等于 cosine bta sine bta。 好， 第二步呢？ 第二步是什么？嗯，请你好，这位同学说，第二步，我们需要找到合适的运算来帮助我们解决问题。好，思考，我们希望得到余弦值，哪个运算可以得到余弦值？哎，大家都异口同声的说，哎， 向量的哎，点乘好。第二步，运算 好，我们要计算 o a 点乘 o b， o a 点乘 o b。 有 几种计算方法，哎，两种，第一种，使用定义等于 o a 向量的模，乘 o b 向量的模，再乘它们的夹角。夹角是什么？哎，夹角就是我们要求的 cosine r f 减维他， 所以它就等于 cosine r 减给它。好，还有一种计算方法是什么？哎，利用坐标好，利用坐标，它得到的答案是什么呢？ o a 向量， o b 向量点乘，这就是。哎，分别相乘并相加，得到的答案是，哎， cosine 阿尔法 cosine 比特加上 sine 阿尔法 sine 比特。 好。哎，那同学在同学观察这两个式子，我们似乎已经得到了我们所想要的答案，那为了补全我们向量解决问题的一个流程，最后我们把它翻译成， 我们想要的 cosine r 减维他就等于 cosine r 法 cosine 维他加上 cosine r 还有 cosine 维他。 好，那这样呢，我们就得到了两角叉的余弦公式， cosine r f 减 sine 就 等于 cosine r f cosine b 加上 sine r f sine sine b。 好， 我们现在有了两角叉的余弦公式， 接下来我们来探讨两角和的一线公式，还需要这么麻烦的去探求吗？能不能利用诱导公式呢？嗯，轻音好，它告诉我们 两角和的一线公式，只要把这里的贝塔变成负贝塔就可以了。好，现在呢，请同学们拿出草稿本自己计算开始。 好，老师看到同学们都写的差不多了，哎，一起来跟老师对一下答案。 cosine 阿尔法加贝塔呢？刚同学说只需要把这里的贝塔变成负贝塔就可以了，所以它还是一个哎，两脚叉的余弦公式， 我们代入刚刚得到的公式，等于 cosine 尔法乘 cosine 负贝塔加上 cosine 尔法乘 cosine 负贝塔。那根据诱导公式， cosine 负贝塔就等于 cosine 负贝塔， cosine 负贝塔就等于负的 cosine 贝塔，所以 cosine 尔法加贝塔就是把中间的这个加号变成了减号。我们来进行归纳， cosine r 法加北法就等于 cosine r 法， cosine bea 减去 sine r 法， sine bea。 好， 那到这里呢，我们就得到了我们两角和以差的余弦公式。那同学们，这个公式啊，它好像有一点长，我们怎么样去记忆呢？哎，观察一下这两个式子， 嗯，来帮大家总结一下记忆方法哦。这同学说，哦，它们两个后面这些式子都是一样的，都是 cosine 先相乘，再是 cosine 相乘，但是呢，只是符号不同， 如果前面的符号是负号的话，是减法，那后面就是加法，如果前面是加法，那后面就是减法，非常好，请坐， 那利用这个符号对应以及函数都相同，我们就可以把这个公式哎，记得非常牢。那好，我们得到了公式，来解决一下我们最初的问题。 cosine 十五度等于多少呢？ 那就等于 cosine 四十五度减三十度等于什么？嗯，请你好同学说，等于 cosine 四十五度乘 cosine 三十度 加上 sine 四十五度， sine 三十度， 就等于二分之根号二，乘上二分之根号三，再加上二分之根号二乘二分之一，最后等于四分之根号六， 加上根号二。好，所以同学们在利用两角绿叉的余弦公式的时候，要看清楚括号中间的哎角度以及符号， 然后利用对应的公式进行计算。好，那么到这里，我们本节课的内容呢，就要告一段落了。本节课我们利用了向量这样一个非常有效的工具，去研究了两角合一差的余弦公式，解决了我们最初的问题， 好课下呢？老师给同学们留一个思考题，请同学思考我们能否用其他的方式来证明两角叉的余弦公式。老师提醒一下，以 o x 轴为其启示轴， 表示阿尔法贝塔以及阿尔法减贝塔能否利用距离相等来进行证明。好课后，请同学们完成课后题题，将知识进行内化。好的下课。

好，各位同学们好，今天我们要学习的是对边对角的模型来求解三角形当中类似于周长面积，或者是对应的一些角度关系，或者是边长关系的取值范围。那这里边呢？首先介绍第一种情形，是 对边对角任意的一个三角形，没有去对这三角形做限定，然后要求周长和面积这一类问题，我们应该怎么样去进行操作。然后首先第一个小题的话， 这个东西是非常简单的，就是全部都是一个正弦的形式啊，而且其次是它的一个次数方子都是一个二次，我们可以先把它转换成一个边长结构 啊， a 方减去一个， b 方减 c 方，然后等于个 bc， 这过程里边的话，待会那些二 r 其实我们都可以直接给他约掉，所以是 b 方加 c 方，然后再加上一个 bc， 那 至此呢，我们可以借助我们的余弦定理看一看哪一个地方可以稍微化解一下。 b 方加 c 方减去一个二倍的 b c， 然后再选上一个扣三 a， 那 也就是负二扣三 a 等于个一，求出来这个角 a 是 等于一百二十度或是三分之二派。那什么是对边对角呢？现在的话将大家说这个题目当中呢，我们是知道 角 a 是 多少，这个地方是一个一百二十度，然后还有一个是小 a 呢，是等于个三角 a， 是 等于三角 a， 是 等个一百二十度。那如果我们现在要求写的是一个周长的最值的话，那我们可以稍微的这个东西来写出来，这是什么是周长呢啊？那就是小 a 加小 b 加小 c 吗？ 啊，所以方程 abc 的 周长我们可以写成是三加 b 加 c， 你 要求解周长最大值，实际上就是要求解 b 加四的最大值，而 b 加四的最大值，我们可以给他起个名字，叫做两个边长和，或是叫两束之河，那两束之河的话，跟我们其中的这个呃对边对角究竟有存在一个什么的关系？通常来说就是建立起鱼弦定律，先给他列出来，我们先说一句话，叫根据一个鱼弦定律，那可以得到 a 方等于 b 方加 c 方来减去一个二 b c 扣三 a， 那 实际上就是刚才上面这个式子我们先给他写下来，那因为 a 方的话知道小 a 是 得多少，所以就 a 方就等于一个九，那好了，这一个位置的话，我们待会其实是要求和的一个最大值。和的最大值应该怎么样通过这个余弦定力来去进行一个联系呢？首先我们可以把 b 方加 c 方呢，先给它写成是 b 加 c 和的平方， b 加 c 和的平方，之后的话相当于是加了一个二 b c， 那 你要减一个二 b c 还给它，然后再减去一个 b c 加二 b c， 然后再减去一个 b c。 啊，那这个过程当中其实就已经出现了我所想要的这个东西， 我所想要的这个地方是有一个 b 加 c， 那 后面的话，其实我不是很喜欢的东西，是叫我们的 b c 两数之 g， 而我们怎么样去建立起两数之和和两数之 g 的 关系？这个过程当中我们可以尽量去根据一个 基本不等式来做转化，因为这个都是边长，所以它肯定都是正数 b 加 c 大 的二倍的根号 b c， 那我们此时可以看到，呃，这里边的话，我是要把其中的这个 b、 c 给它消掉，所以怎么样去操作？刚好 b c 小 于等于，这边是二分之 b 加 c， 然后 b、 c 的 话就小于等于四分之 b 加 c 的 和的平方，那我们就一步一步把这个两者之间的联系给它建立起来啊，这个地方有一个等式关系，那 b c 的 范围其实一旦显现前面的话，是不是还有一个符号，我们就把这个符号乘进去负 b c 大 于等于负的四分之一，然后再乘上一个 b 加 c 的 和的平方，大一点，负四分之 b 加 c 的 和平方。好，那前面这里还有一个是 b 加 c 的 和的平方，我们就再把它给它削上去 b 加 c 的 和的平方来减去一个 bc 会大于等于什么呢？ b 加 c 的 和的平方来减去一个 四分之一 b 加 c 的 和的平方，所以这个过程当中它得到的结果其实是四分之三 b 加 c 的 和平方啊，四分之三 b 加 c 的 和平方。左边这个式子应该变成是谁？ b 加 c 的 和平方减 b c， 这个结果不是等于九吗？所以我们就可以看到，哎，那这个式子当中它可以写成我们小于等于九啊，小于等于九 四分之三 b 加 c 的 和的平方小于等于九，那 b 加 c 的 和的平方就可以写成九乘上一个三分之四。而我最后要求的是谁？我最后要求写的是 周长当中这里边 b 加 c 的 一个最大值，所以至此之后呢，其实是可以直接把它开一个平方，那下来等于根号十二，也就是二倍根号三，为什么情况下其实才能够取到 b 加 c 的 最大值？是不是取到这个等式是成立的时候，这个等式成立应该怎么样去写呢？等，当且 仅当其中的小 b 等于一个小 c 等于一个根号三的时候，这个等号我们说它会成立的一个 条件啊。 b 等于 c 等于一个根号三时，等号如果会成立，那我们给他往上面去带啊。那这个地方 b 加 c 的 最大值呢？我就可以确认清楚，他应该是等于一个二倍根号三，要求周长的最大值，也就是三加上一个二倍根号三，这是他的一个 最重要的形态啊，最重要的形态在周长的最大值。然后还有一个是小 a 等于三造型面积的最大值的话，我们待会看一下这两者到底有什么样的一个区别或联系哈。好，所以我们至此前面的这个周长的问题，其实就是讨论 在于弦定理当中合击关系怎么样去进行一个转化，我们通常是会根据基本不懂事去转化，那最后呢， 得到了这样的一个范围，在什么情况下他才能够取到最值？一定要注意清楚，这个地方要用当且紧当这两个我们去根据基本不懂事来操作出来的结果，他的等号其实才会成立，才能够取到一个最大值。 那么我们现在再来看一下第三小题，跟这个呃，我们的第二小题有没有什么样的一个共同之处？首先角 a 还是跟刚才一样那一百二十度，然后角 a 是 等于三，所以不能把这个面积的公式写出来，就应该去记作 二分之一 bc， 然后再乘上一个三 a 三，一百二十度四分之根号三 bc。 所以 现在你说这里边要求值面积的最大值，面积的最大值实际上也就是要求 bc 的 最大值相当，我要求的是 bc 的 最大值， bc 的 最大值，我到底应该怎么样去求啊？那这个过程里边是不是可以把它理解为是叫 两数之积？两数之积是谁？哎，两数之积的话，是不是还是可以借助我们刚才的这个余弦定力， a 方对 b 方加 c 方，然后再加上一个 b c 啊，对 b 方加 c 方再加 bc 啊。由于 a 方的话，我们是可以直接给它解出来是等于个九，所以 b 方加 c 方是得多少等于个二倍的 bc 啊？这个 b 方加 c 方是带的二倍 bc， 那 它是怎么来的？这个地方是我们的一个重要不等式。当然你如果说我忘却了重要不等式，应该怎么样去操作？ b 加 c 的 和平方带的二 b c， 哎，这个 b 加 c 是 不是可以直接写成带的二倍 b c 的 平方，然后再减去一个二 b c， 那 得到结果是不是四 b c 减去二 b c， 实际上也就是等于一个 二 b c 啊。你就可以把这个完全平方式子的形态先写成一个和根 c， 后面还跟着一个是加 b c， 所以 我们给它放在一块， 得到结果就是三倍的 b c 应该小于等于九，三倍 b c 小 于等于九，那么 b c 就 应该是小于等于三。最后我们可以说上一句话叫当且仅当，而在什么情况下会成立呢？小 b 等于个小三， 等一个根号三的时候，我们所对应的这个等式啊，我们所对应的这个等式其实是会成立的，好吧，那大概呢？是这么一个流程，当且减当 b 等 c 等根号三时，等号成立，那我们自然要求解其中面积的最大值的话，就直接把这个式子套进去 四分之根三，然后再来乘上这里边是等于个三，所以最大值就是四分之三倍，刚好三做。如果对一个普通的造型，然后知道对边跟对角要求周长和面积的最值，我们通常是把 余弦定理给它罗列出来，余弦定理当中这两者的关系完全平方的关系也好，或者是说两数之间的关系，它其实强调的都是一个和 还有一个鸡的形式。和跟鸡的形式里边的话怎么样呢？我们最后可以用基本不等式来建立起它，这里有一个不等式的关系，当且紧当这个等号相同，这是我们最后的倔强。

好的，接下来我们去看第四个题型，我们讲一下正义弦定律，那正义弦定律里面我们主要分为这七个题型进行讲解，第一个题型就是我们正义弦定律的直接使用，第二个就是面积与周长问题，第三个是判断三角形的形状，第四个呢是对边对角问题， 那么第五个是我们对边菱角决定取值范围的一个问题，第六个是中线问题，第七个是角分线问题。那么这个问题都是我们高考中考的频率比较高的，也是我们在月考中的一些必考题型，也就是说在月考中我们正弦定律的大题实际上就是从这里面去出的。 所以老师接下来分为三个视频，把这一块七个题型给大家进行一个详细的讲解，那么这个视频较长，希望大家点赞收藏。没有关注老师的给老师点一波关注。 ok， 那 么我们接下来看第一个题型。首先呢，第一个题型我们讲到的是正弦定力的直接使用，那在正弦定力的直接使用的时候，我们必须得了解到的原理是什么？在这呢用的比较多了，就两个，一个是我们正弦定力的边化角，还有角化边，那也就是说我们出现其次边或者其次角的时候，我们优先考虑正弦定力。 什么叫其次边或者其次角，那我们说的白话一点的意思就是每一个等量关系中，它每一项都含有相同个数的边或角，此时的角的话，我们把它理解为某一个角的三角值，正弦值。还有一个就是我们如果在一个等量关系中，它出现了三个角 abc 都有的情况下，是我们一定要使用我们的三 a 加 b 等于三 a c 或者 cosine a 加 b 等于一个负的 cosine c， 类似这样的公式去减少角的个数，这样我们就可以直接使用正弦定点进行化简。首先呢，我们先看第一个题呢，告诉我们 在三角形中 abc 所对的边分别是小 a、 小 b、 小 c， 告诉我们根二 c 减 b 倍的 cosine a 等于 c， 并且告诉我们 b 边的三倍的根二，让我们算三角形外接圆的面积， 那要算外接圆的面积的话呢，我们知道它的这个 s 是 不是等于一个 pi r 平方，那就让我们算它外接圆半径的平方，那就让我们算它的外接圆半径。也就是说题目中给了我们 b 边等于三倍根二，实际上这个题目就让咱算求的是 b 角等于多少， 因为如果我们知道了 b 角，我们是不是直接可用正弦定 b b 塞引 b 是 不是就等于一个二二，就可以把它的外径半径去求求出来了？所以呢，关键看的是第一个式子，我们如何化减根二倍的 c 减 b 倍的 cosine a 等于一个 c， 那在这个式子中，我们发现它要用的是不是就是第一个项出现了相同个数的边 c b c， 那 所以呢，我们要用正弦定给它变换角了，所以我们根据正弦定得到的是根二倍的塞引 c， 减去塞引 b 乘以 cosine a 等于一个塞引 c 了。这题目这有点问题，这边是 a 边，所以呢，我们把这个题就变成了一个塞引 a。 三 a 之后呢，我们去观察，发现了这个题目中是不是含有三个角都有了？出现三个角， a， b， c， a， b， c， 对 吧？我们 a， b， c 三个角都有的时候，我们要用它来减少角的个数，那具体去画谁呢？我们的目的就是为了减少角的个数，那所以呢，谁能消掉我们就画谁。比如说在这个时钟肯定要把三 c 换掉，因为啥呢？后面是不是有个三以 b 乘以 cos a， sin b， cos a 的 话，它就是我们的 sin a 加 b 里面展开的某项，所以把 sin a 加 c， 把 sin a 这个 c 变成 sin a 加 b 就 可以了。那我们进行一个更换，那就变成根二倍的 sin a， c 写成 sin a 加 b， 减去一个 sin b 乘以 cos a， 然后呢，再等于我们的 sin a， 所以呢，我们给它展开，变成了 sin a 乘以 cos b， 加上一个 cos a 乘以 cos b， 完了之后，减去三引 b 乘以 cosine a， 等于一个 cosine a。 那 么接着呢，我们进行一个处理，发现约掉了之后就剩了一个，谁约掉了之后，我们就会得到我们根二倍的 cosine a 乘以 cosine b， 等于 cosine a。 那 么在算形中呢，我们 cosine a 不 能零，所以我们直接把 cosine a 也给它约掉了。把 cosine a 约掉之后呢，你发现我们会得到我们的 cosine b 就 等于一个二分之根二啊， 所以我们的角 b 就 等于四分之 pi， 四十五度，那也就是说我们算出来了角 b 等于四分之 pi 的 话，是直接代入到我们刚才所得到的这关系中。我们的二 r 就 等于一个 b 比三 b， 那 就是三倍的根二，比上一个二分之根二， 所以呢，我们知道了二 r 就 等于一个六二零六 r 零三，所以 pi r 平方就等于九 pi， 所以呢，这个题选择 d 选项啊，那也就是说我们在做这种直接使用正弦定的时候，它并不是往往的 让我们用一个正弦定或余弦定，这个问题就结束了，往往我们要去结合这两条进行使用，这是我们最最基本正弦定里面最最基本的一个情况，大家一定把这个东西要进行掌握。 ok， 那 知道了之后，我们再去看第二个题目，看大家能否做出来。首先观察一下给它这个式中是不是每一项都有相同个数的边 b 边 a 边 c 边，所以进行一个正弦定理的编号，角 sin b 乘以 cosine c 乘以 cosine b， 这样的话呢，我们也给它展开，那就是塞引 b 乘以 cosine c 等于一个三倍的塞引 a 乘以 cosine b， 再减去一个塞引 c 乘以 cosine b， 这样的话呢，我们再去看谁能约掉。观察一下塞引 b cosine c 和塞引 c cosine b， 我 把塞引 c cosine b 挪过去，是不是就变成了塞引的 b 加 c 了，等于三塞引 a cosine b， 也就是说我们一定要使用第二个， 变了之后，我们可以把三 b 加 c 变成了三 a， 你 发现我们自然会减少角的个数，对吧？所以我们读到了 cosine b 就 等于一个三分之一，非常的简单。 ok， 那 么第三题留给大家当做一个作业，大家用上面所学到的方法进行一个练习，看能否算对呢？ 这个题目的答案呢，老师可以告诉大家，算出来我们的角 a 等于一个三十度六分之派， ok， 这是我们第一种题型正确定义的直接使用。第二种题型就是我们的面积与周长的问题， 面积周长问题，在这我们只需要去掌握其中的一些运算规律就可以了，实际上也比较简单，那在这用的比较多的，那就是我们的面积问题，我们的面积公式，大家要记住必须要掌握的是面积公式，我们是跟角走， 什么叫做跟脚走，跟脚走的意思就是说这个题目如果知道了哪个角，那你就要写出这个角所对应的面积公式，比如说知道了 b 角，那你要想到的是 s 等于二分之一，什么 a c， c， e， b 这个角对应的就是 c e 里面的这个角， ok， 这是面积公式。然后第二个如果是周长问题的话，我们一定要去算的是完全平方，比如说我要算 b 加 c， 一 般来讲都知道一个边，对吧？比如知道 a 边，我们要求 b 加 c 等于多少，那你要解的是完全平方， b 加 c 的 平方，完全平方 这个是他们里面的一个比较重要的一个地方，也是我们做题比较常用的一个东西啊，大家在把这两个方法掌握清楚就可以了。比如说我们看一下这道题目，这道题目它讲的是内角占线 abc 所对的边小 a， 小 b， 小 c。 并且呢告诉我们这样一个式子，那就是 b 加 c 乘以个 c， 以 b 加三引 c， 等于一个 a 倍的三引 a 加上三 b 三引 c， 那 对这个第一问我们应该干嘛？那有的同学老师每一项是不是也有相同个数编，我们能不能采用这个编化角也可以，但这个题目应该让咱使用的就是 角化编，为什么？因为它每一项都有其次的三引，并且它只含有三引，所以对这种类型大家一定要去总结清楚，它实际上就让咱角化编了， 等滑边我们只需要去把它所有的三也变成边就可以，那就是说 b 加 c 乘以一个 b 加 c 等于一个 a 乘以 a 加上三， b 乘以 c， 这样展开我们对应，想到对应使用的公式就可以进行化简了。比如说前面就变成了一个 b 加 c 的 完全平方，那就是 b 方加 c 方，再减加上一个二 b， c 等于一个 a 方加三 b c 二 b c 挪过去的话，所以呢，我会得到 b 方加 c 方，减去 a 方再等于一个 b c。 这样的话呢，我们是有一个余弦定理，减 a 方呢，肯定 cosine a 了，对吧？因为我们的余弦定理 cosine a 等于 b 方加 c 方减 a 方比上一个二 b c。 所以呢，我进一袋会得到 bc 比上二比 c 等于二分之一。所以呢，我们角 a 属于零到 pi， 角 a 就 等于三分之 pi 就 可以了。所以第一问，我们算出来它是一个六十度。第二问，我们一块去看一下，他说 a 边等于根六，面积等于 根三，让我们算周长，你看这是一个标准的求周长，你看这是一个标准的求周长。并且此时 a 角是不等于三分之 pi 六十度， 所以呢，让我们算出来这个面积，它面积告诉你 s 三角形 a， b， c 等于一个根三，那此时的话呢，结合我们面积公式跟角总，我们刚总结出来这个做题方法，对吧？给了 a 角所有能想到的这公式对应的肯定是二分之一，什么 b， c 乘以三也 a 了， 那这样的话呢，我们要展开看能得到一个什么东西，对吧？三 a， 我 们是二分之根三，那就是四分之根，三倍的 b， c 等于个根三，所以这个题目我们推出来， b， c 就 等于一个四， 那么 b 乘 c 知道了啊，看一下我们手中的筹码，对吧？ b 乘 c 知道了，并且 a 边和 a 角都知道，让我们算周长，那也就是让我们算 b 加 c 了，要求 b 加 c， 我 们说了要求 b 加 c 的 平方，也就是说 b 加 c 的 平方等于 b 方加 c 方加二 bc， 二 bc 已经知道了是一个八，那所以就让我们算 b 方加 c 方了， b 方加 c 方。大家思考一下，这个东西在哪个公式中会出现 b 方加 c 方案，那是不是自然而然就想到了我们的 cosine a 啊，不需要刻意的去记这个套路，你只需要去想到在做题时候想到我们应该干嘛就可以了，所以你把这个公式写出来，是不自然而然就结束了。我们知道了 cosine a 等于二分之一 二 b， c 分 之 b 方加 c 方减去 a 方六，所以呢，我们会通过这个得到了 bc 等于 b 方加 c 方减六， 那所以我们会清楚的得到 b 方加 c 方是不是等于 b c 加六等于我们的十了，所以呢，我们清楚的知道了， b 方加 c 方就等于十八，所以直接得到了 b 加 c 就 等于根号十八， 根号十八就等于三倍根二，所以呢，你的周长为，这是我们三倍根二，再加上一个 a 根六是不就可以了， 那就是三倍根，二加根六就是它的周长，比如说在算周长问题的时候，大家一定要注意，取到它的完全平方就可以了，这是它的做题方法，一定要去记住。第三个老师要讲的就是我们 判断三角形的形状，那么判断三角形的形状我们要了解到的比较常见的一个，那就是我们的等腰或直角的这个三二 a 等于三引二 b 时，那我们推出来两个，一个是 a 等于 b， 一个是 a 加二 a 加二 b， 两角互补或者两个角相等的时候，它都使得三二 a 等于三二 b， 对 吧？那这个呢？我们推出来是不是就有一个等腰三角形了？这个呢，我们推出来就是我们的直角三角，因为你的 a 加 b 等于二分之二，所以是不是一个直角 这个比较常见。再一个就是你推出来我们的角相等，角相等或者边相等，推出来它是等腰或者等边，或者你推出来勾定力、逆定力，我们也推出来直角， 就说跟我们三角形形状有关的一些点，我们在这只要通过我们的正弦定律把它推出来就行了。比如说这块的第一个题，我们看一下 他说了这个二 a 乘以 cosine 二分之 c 的 平方等于一个 b， 边乘以一个 e 减 cosine a， 再加上一个 a。 首先这个式子呢，我们要先要做的就是它跟横的边环形结合 cosine 二分 c 方向角，将 b 升角完了之后，再看它是啥，对吧？所以呢， cosine 二方等于一个二分之 一加 cosine 阿尔法，那就是一加 cosine c 等于一个 b 乘以一减 cosine a 加 a， 然后乘完之后呢，我们会得到它，就变成 a 乘一加 cosine c 等于 b 乘一减 cosine a 加 a， 每项都有相同个数的边，所以我们采用 正弦定里的变化角，所以 a 变成了塞引 a， b 变成了塞引 b， 这个 a 也变成了塞引 a， 所以 约了之后呢，我们发现这项三 a 后面这个三 a 约掉了，对吧？ 那变成了塞引 a 乘以 cosine c 是 左边，然后右边变成了塞引 b， 减去一个塞引 b 乘以 cosine a。 那这个式子中是不是又是我们第一个题型中讲了一个一个等量关系中呢？它含有三个角，所以呢，你采用我们刚才的三 a 加 b， 或者三 a 加 c， 三 a 加 b 加 c 等于另外一个的这样一个关系去减少角的个数，那在这具体要画谁，我们需要去看一下。 发现三 a cosine c， 这有三 b 三 b， 如果写成三 a 加 c 的 话，展开应用这一项就可以消掉，所以你需要把三 e b 给它换掉， 三 b 换成三引 a 加 c， 引的 a 加 c， 并且把它展开，你发现左边这一项是不是就自然而然的给它消掉了？ 所以呢，我们展开消掉了之后的话，这边就变成了一个零等于一个这个三 a cosine c 加上一个 cosine a 乘以 cosine c， 然后呢，再减去一个 cosine a 乘以 cosine c， 这样我们把这个式子给它写出来观察一下， 所以三引 b 乘以 cosine a 等于一个 cosine a 乘以 cosine c。 注意此时的话呢， 就是这个 cosine 能不能约的问题。 cosine 如果你要除掉 cosine 的 话，你得分情况讨论，那么第一个那就是 cosine a 不 等于零时，那我直接除了，此时你发现你的 cosine b 是 不是等于 cosine c， 这个推出来角 b 等于角 c 等腰三角形是没有问题的。然后第二种情况呢，就是你的 cosine a 如果等于零的时候， 是不是也成立了，你的 a 等于一个二分之一也成立，所以这两种情况都成立了，要么是等腰，要么是直角，所以呢，选择四 d 选项。这个题目就是对于 cosine a， 我 们在除的时候要分类讨论， 同除 cosine a 分 类讨论，老师写到这， ok， 那 么第二个题跟第一个题呢，有点类似，那我们可以一块去看一下。第二个题应该如何去求解呢？这个题也是我们刚刚结束的宝剑魔的一个单选第七题啊，我们一块去看一下， 他说 a 比 cosine a 等于一个 b 比 cosine b， 那 对于这个式子，那明显的就是一个什么 含有相同个数的边了，那所以呢，我们把它变成 cosine a 比上 cosine a 等于一个 cosine b， 比上 cosine b。 做一个 交叉相乘，会得到 sine a 乘以 cosine b， 就 等于一个 sine b 乘以 cosine a。 第二个题呢，我们去看一下，它是 a b cosine b 等于一个 b b cosine a 了，那么此时的话呢，它明显呢有相同个数的边，所以我们猜先采用的是正弦定 a 边变成了三引 a 比上 cosine b， 等一个 b 边变成三引 b 比上 cosine a。 完了之后呢，我们交叉相乘，会得到的是 cosine a 乘以 cosine a 等于 cosine b 乘以 cosine b。 这样的话，我们分别使用一个二倍角公式， cosine 的 二倍角公式，它呢就变成一个二分之一 cosine 二 a 等于二分之一 cosine 二 b 了。这样的话呢，我们 给它化简一下，变成了三以二 a 等于三以二 b 了。此时我们就转换成上述所讲的一个内容，它呢分两种情况，第二种情况就是我们的二 a 等于二 b， 推出来 a 等于 b 就是 等腰了。第二种情况就是我们二 a 加二 b 等于一个一百八，推出来我们 a 加 b 就 等于九十度了，直角三角形。 所以呢，这个题应该选择是我们的四 d 选项。 ok， 这两个等腰直角都比较特殊，所以希望大家下去一定要去总结清楚。 ok， 那 我们今天的这个视频先到这里，我们后面再接着去看下面的题型。