圆变成三角形的过程

如何将一个圆形变成三角形？同时也讲解一下平滑顶点、直线点、脚步顶点、开放路径、曲线段和伸直弓形这些之间的区别和运用。 我是春哥，喜欢点赞并关注或者长按点赞键可能会有意想不到的效果， 下面讲解圆形变三角形。在菜单栏中点击插入，选择椭圆，按住 shif 键就成为一个正圆。 选中圆形并右击鼠标，点击编辑顶点，在四个方位出现实心小黑点，这个实心小黑点 点就是平滑顶点。将鼠标移到小黑点处，右击鼠标选择删除顶点，将鼠标移动到线条处，右击鼠标， 点击伸直弓形。在另外两条线使用于同样的操作，变直线之前成为曲线段，变直线后成为伸直弓形，这样三角形就已经完成。 鼠标一到到实心小黑点处，按住鼠标左键拖到顶点，可以改变该顶点位置。 我是春哥，长按点赞键可能会有意想不到的效果， 点击插入一个矩形，右击选择编辑顶点， 这个实心小黑点就是角度顶点。再点击鼠标左键 出现空心小白点，移动小白点位置可以将直线变成平滑曲线，也让该角度顶点变成平滑顶点，拉长或拉短。了解曲度变化程度， 选择矩形，点击编辑顶点。将伸直弓形改为曲线段， 但是曲线的区域固定感觉不美观， 右击鼠标点击开放， 这样矩形就打开了。 在右击鼠标，点击关闭路径。以上就是圆形变成三角形 以及编辑顶点一些基本操作讲解，我是春哥，喜欢的点赞并关注或者在评论区留言，谢谢！

如何找到三角形的内心呢？首先画任意一个三角形 abc， 分 别做角 b、 角 c 的 角平分线相交于 o， 经过 o 做 b、 c 的 垂线，交 b、 c 于 d。 然后以 o 为圆心，以 o、 d 的 长为半径画圆，该圆即为三角形的内切圆， o 为内心。

啊啊。

今天我们来看这道题，这道题过程比较多，我讲的时候会先讲思路，然后到最后展示全部的过程来看。第一小题求证 b、 e 等于 d e。 其实做压轴题的时候，我们可以先看小题的题目，先看我们想要得到什么，再去题干当中找我们需要什么，这个可以加快速度 求证 b、 e 等于 d e， 我 们可以通过证明等角相等来证明它是一个等腰三角形，我们要证明的等角就是角 b d、 e 和角 d b、 e， 那 证明这两个角相等，我们需要什么才要去题目当中找条件。 题目当中提到 b、 d 这个线段是经过圆心 o 的， 并且等边三角形 a、 b、 c 内接于圆 o， 所以 我们就可以判断 这两个角是相等的，为什么呢？因为 ab 等于 bc， bc 和 a、 c 是 垂直的， 原因是 o 点和 b 点都在 a、 c 的 垂直平分线上， 因为这里 o、 a 是 等于 o、 c 的， 因为垂直平分，这里就应该要有一个垂直， 所以 b、 d 就是 三角形 a、 b、 c 的 高线， 那 ab 等于 ac， 所以 它同时也是角平分线，这样就得到角 abd 等于角 cbd， 我 们可以标为这两个角相等， 先标为角一和角二，然后我们再去题目当中找剩下的条件，它还提到一个角相等，是角 g 等于角 abe， 也就是这两个角。那么通过等量代换，角一和这个角相搭，相相加，就等于角二和这个角相加， 角二和这个角相加，得到它们的外角角 b、 d、 e， 所以 角 d b、 e 和角 b、 d、 e 就是 相等的，得到 b、 e 等于 d e。 核心的思路写在这里，然后我们把第一小题的辅助线擦掉，去看第二小问，求证 m、 n 为三角形 a、 b、 c 的 中位线。 求证中位线，我们就要证明 m 和 n 分 别是 ab 和 bc 两边的中点，也就是证明 b m 等于 a m， b n 等于 c n。 怎么证明呢？我们需要继续去题目当中找我们需要的条件。 我们可以假设一下，如果 m、 n 是 中位线，那么它和 a、 c 应该要是一个平行的平行，因为这里是九十度，所以这里也是九十度，因为内侧角相等，那什么情况下这里会是九十度呢？ 我们已经知道 b e 等于 d e， 它是一个等腰三角形 e、 p 如果是高线，那么它同时也会是角平分线， 那它具体是不是角平分线？提，因为题目当中提到 h 是 弧 b、 f 的 中点，所以 弧 b、 h 和弧 f h 是 相等的，所以它们所对的圆周角也相等，这两个圆周角刚好构成角 b、 e、 d。 可以 说明 e、 p 是 角 b、 e、 d 的 角平分线。 当我们的倒推和前面呃反的条件相遇的时候，倒推和正推条件相遇的时候，我们就可以做出来这道题。 我们来梳理一下思路。因为 h 是 弧 b、 f 的 中点，所以弧 b、 h 等于弧 f、 h， 所以他们所对的圆周角相等，也就是角 b、 p 等于角 d e、 p。 又因为 b、 e 等于 d e 根据三线合一，角平分线同时也是高线，所以 e、 h 垂直于 b、 d。 因为 a、 c 和 b d 也是互相垂直的，所以 e、 h 和 a、 c 相互平行。在平行的条件下，我们就可以利用平行线截线段成比例的性质来解决这道题。 具体的步骤就是，因为 e、 h 平行于 a c， 所以 b m 与 am 的 比值等于 b n 与 c n 的 比值，同时也等于 bp 和 dp 的 比值。在这里面， bp 和 dp 的 比值其实是知道的， 因为等腰三角形角平分线是高线也是中线，所以也可以得到 b p 等于 d p， 也就是 b p 比去 d p 值是一， 这样子我们就会最终证得 b m 等于 a m， b n 等于 c n。 推回结论来看第三小题，求 a e 比去 b e 的 值。 这三小题有一个比较好的方法，就是我们只提取我们需要的线段，剩下的线段一律去掉。 这个线段提取的过程是需要自己去发现的，我已经把它提取出来了，要求 a e 与 b e 的 比值，我们只需要下面这张图中的线段。我们来看这张图， 求比值，我们需要正相似，那 比值相等是由相似得来的，所以我们这里 a e 比去 b e 的 值，肯定是由另一组线段的比例得来的。 那具体是哪组线段呢？我们要先来找相似， 我们连接 o e 设角 a b e 是 x 度。在图上标角的过程，大家看一下，这里是三十度， 所以因为半径相等，角 bo 也是三十加 x 度，然后就是简单的角度的计算， 推过来得到角 b a e 是 六十减 x 度。 同时因为这里有个垂直，所以角 b m e 是 三十加九十等于一百二十度。 那我们可以看一下三角形 a b e 和三角形和 e b m 这两个三角形看上去很像是一个子母形的相似， 那如果角 a e b 也是一百二十度，那这个相似不就结了吗？那就可以折出来了，那它是不是一百二十度？答案告诉我们，是的角 a、 c、 b 是 六十度。因为 四边形 a、 c、 b、 e 是 一个圆，内接四边形，所以它对过去的角 a、 e、 b 是 一百二十度， 这里有一个公共角，这里有两个一百二十度就能够证明我们的子母形相似角 a、 b。 三角形 a、 b、 e 全等于不对，是相似于三角形 e、 b、 m。 这样子， a、 e 和 b、 e 的 比值就会等于 e、 m 与 b、 m 的 比值。 重点就是求出这个比值了。如何求出这个比值呢？ 刚才我们连接 o、 e 是 为了通过推到圆心角得出这个圆周角的度数，但后面我们其实发现得出这个圆周角的度数并不重要，因为我们前面已经可以得到一个一百二十度了，这是减少我们解析的步骤。 现在这个 o、 e 就 有其他的用途了， 我们再连接一条 o、 a， 前面正出了中位线，所以 b、 m 等于 am， 把这两个都设为 x， 然后 a、 d 就是 ab 的 一半是 x。 现在我们要熟知一下这个模型， 含三十度的等腰直角三角形，不对，含三十度的直角三角形。三边之比一比，根号三比二，所以 b、 d 的 长度就是根号三 x， a、 d 和 o、 d 的 比是根号三比一，所以 o、 d 的 长度是三分之。根号三 x， 那 么 o、 a 和 o、 b 都一样，都是 o、 d 的 两倍，所以 o、 b 等于 o， a 等于二， o、 d， 它们都是三分之二，根号三 x。 因为我们前面得到了 e、 h 是 b、 d 的 垂直平分线，所以 b、 p 和 d、 p 相等，它们都是 b、 d 的 一半。那 b、 d 的 一半是多少呢？ o、 b 是 三分之二，根号三 x， o、 d 是 三分之，根号三 x， 它们两个相加除以二，就得到了 b d 的 一半， 所以 b 的 一半就是根号三 x 除以二，所以 b p 的 长度 是二分之一的 b、 d， 也就是二分之，根号三 x。 因为 o b 的 长度是三分之二，根号三 x， v p 的 长度是二分之，根号三 x。 所以 我们想要求出 em 的 长度，我们就要用 pe 的 长度减去 pm 的 长度。因为 pm 的 长度是已知的，是二分之一 x， 它是 b m 的 一半。原因是这个角是三十度角， a b d 是 三十度，所以 e p 的 长度可以用勾股定律求得。 e p 的 长度就是 o e 的 长度平方减去 o p 平方， o p 是 o， b 减去 b p， 算出来是六分之，根号三 x。 那 我们再把这些算出来，可以得到 e p 的 长度是二分之，根号五 x。 这里的计算过程是不展示，因为要算的话，这里就写不下了。 然后就可以求出 em 的 长度， 使 pe 减去 pm 是 二分之，根号五减一 x， 得到了 em 的 长度。我们还知道 bm 的 长度，所以 em 和 bm 的 比值 就可以得到是二分之根号五减一，也就是 a e 和 b e 的 比值。这道题就这么做完了。 这道题里面我们综合运用了反推的方法，以及提取信 息的时候，一个条件都不能漏，可以先看小题，再去题目当中找信息。 今天这道题就讲到这里，现在展示一下全部的过程。