欧拉公式对角螺旋线
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03:29查看AI文稿AI文稿被称为宇宙中最神奇完美的公式欧拉等式，它甚至被称为上帝公式，包含了什么秘密呢？原来整个宇宙的起源都在这个等式中。 我们简单概括一下，欧拉等式， e 的 ipad 四方加一等于零，以两个神奇的无理数 e 和 pi 作为基石，三个基本数字一零 i 作为变量，就形成了数学循环的一种很等式，是不是非常简洁美妙而且神奇呢？ 我们来剖析一下本质，做一下变换，就得到了。 e 的 ipad 等于负一， 看见了吗？这其实是一种从一到负一的镜像的计算，从正物质宇宙到反物质宇宙，其实只有一个一百八十度的镜像，两个相反的世界而已，同时存在于时空的重要 之内。我们还忽略了一种中间状态，那就是呈九十度夹角的虚数的空间。正世界空间与反世界空间的中间位置有一个九十度垂直的方向，就是时间的维度。时空是等价的，但时间和空间相互垂直，相差了一个虚数，爱 i 的平方等于负一，负一的平方回归一，这就是一种时空的循环。于是我们看到了数学空间与天之空间一样，被分为了四个象限，正 反、正虚、反虚的四个时空象限，他们每一个都是独立存在且相互垂直的，这就是天之四方，天方地圆，宇宙都在方圆之内，所以伏羲女娲手中拿的此规，就是对天地之度量的工具。那么 关键来了，这四个时空象限怎么联系在一起呢？通过了指数 e 和圆周率派联系在一起，互通有无，这就是螺旋旋转的数学。指数的旋转会形成正弦波和余弦波的组合。在数学上， e 的 ict 四方函数可以被分解为正弦函数和余弦函数的和，这在物理学上有着深刻的意义。因为这样子，螺旋的转动就发出了各种正弦波和余弦波的投影，就形成了各种波动。物理波动出现了耳波动，形成了宇宙中一切的实际。 所以宇宙中一切的物质和思想都来自于波动，波动来自于螺旋指数 e 在圆周率派上的转动，所以螺旋也是欧拉等式的源泉。指数 螺旋曲线只有一个参数，那就是代表发散度。不同的角度参数 b 就构成了各种比例的螺旋。当然，宇宙中的创生不会随便取一个比例的，有两种比例特别胜出，分别是黄金比例和水晶比例的螺旋。而在时空物理中，一种毛定好的曲线 b 等于二的时候，就得到了时空曲线方程，未来我们将会详细解释它。这项。我们看到了指数螺旋形成了各种美丽的图案。 最后，我们怎么回归到神奇的上帝公式欧拉等式呢？把螺旋的发展度变化无限缩小，到达极限的时候，螺旋就变成了圆。在这个圆的四个方角上，我们得到了指数螺旋的一个特殊节， e 的 ipad 加一等于零，它代表什么意义呢？归零 欧拉等式的意义是旋转宇宙的起点，也是终点。
3509昆仑墟·e派时空
07:07查看AI文稿AI文稿大家好，这期讲欧拉公式，在漫长的数学历史长河当中，诞生了无数美丽的数学公式，他们宛如一颗颗璀璨的明珠，光彩夺目，而只有他被称为上帝公式，他就是欧拉公式。那我们来看一下他有什么特别之处啊。 它的形式是这样的，一的 i x 次方等于 cosine x 加上 i 乘以三 x， 其中一是自然长数， i 是虚数沙眼， cosine 呢，是三角函数。当 x 等于派的时候啊，公式就变成了一的 ipi， 次方等于负一，这个就是欧拉横等式。 这个等式包含了自然长数、虚数、圆周率和自然数。每一个单拿出来啊，在数学史上都是非常炸裂的存在。而欧拉公式竟然以一种极其简洁的形式，轻描淡写般把他们 结合了在一起，在以简洁唯美的数学世界里啊，难怪他会被称为上帝公式吧。事实上，与欧拉公式相近的公式，在此之前就已经被发现了。其实这也不奇怪，我讲虚数的那期视频呢，也有推导到类似的结果啊， 例如一七零七年，法国数学家蒂莫福就发现了一个这样的公式， cosine x 加减 i 乘以三 x 的 n 次方，它是等于 cosine n x 加减 i 乘以三 n x 的。 又例如，一七一二年，英国数学家罗杰科特斯在研究螺旋线无常的时候呢，就得出了一个这样的公式， l n cosinex 加上 i 乘三 x 呢，它是等于 ix 的 啊，这里注意一下啊， l n 这个符号呢，是后来欧拉取的啊，是表示自然对数的意思。在此之前，数学家们呢，都是用别的方法去表示自然对数的啊，这里我为了大家好理解，直接就用 用了 l n 啊，包括虚数 i 也是后来欧拉给的符号，在此之前呢，虚数都被写作根号负一，我为了方便表达啊，也是直接用了 i 的啊。 这个公式呢，可以说是无限接近欧拉公式了，只要两边同时取一为底的指数操作就可以了。不过科特斯在一七一六年突然离世，这一结果呢，也从未正式发表过。接下来为了说明欧拉公式，我得先讲一下这个自然长数是什么啊？ 自然常数一，其实我们在高中的时候呢，就接触过了，他和 pi 一样，也是一个物理数来的，他约等于二点七一八二八。 自然长数又被称为欧拉数，但是欧拉数却不是欧拉发现的，是雅阁部博努力在研究存款复利的时候发现的。注意一下这里的博努力和流体力学的博努力啊，不是一个人， 流体力学的是丹尼尔博努力啊，他是雅格布的侄子。这里说明一啊，其实是有两个数学模型可以选的，一个呢，是一年之内无穷次存取 gc 啊，博努力用的就是这个。第二个呢，就是定期只存取一次啊，但是你可以存无穷多年， 不过不同年份的定期啊，就会对应到不同的利率，因为时间无穷细分这个事情对我来说呢，有点离谱啊，所以我这里用的就是第二个模型。 假如银行规定了一个这样的规则，存一年利率就是百分之一百，存两年利率就变成了百分之五十，也就是二分之一，存三年利率变为三分之一，而存 n 年呢，利率就变成 n 分之一， 复利的意思就是今年的本加息呢，会变成下一年的本啊。好，那么我们用一个具体的例子来说明啊，我有一块钱， 存一年之后，到手就是一加上一乘以百分百等于二。存两年，最后到手呢，就是一加上二分之一，加上一加上二分一，再乘以二分之一的，也就是一加二分一的二次方，等于二点二五。 存三年，最后到手的就是一加上三分之一的三次方，等于二点三七的，以此类推啊。存 n 年，最后呢，到手就是一加上 n 分之一的 n 次方。哎，这个时候好像发现存的越久，赚的就越多。如果我存无穷多年，那么本息会不会最后就是无穷多呢？ 不会，他只会无限趋向于二点七一八二八点点点点，对吧？甚至呢都到不了二点七二。我们可以画一个一加上 x 分之一的 x 次方的函数图像啊，可以明显看到，函数值到了二点七一左右啊， 就上不去了。欧拉在他后来的注册中多次引用到了这个数，并且给了他一个符号一，所以这个数也被后人叫做欧拉数了。这个自然长数有什么特别的地方呢啊，我们来看一下啊，假如有一个指数函数是以一为底的，也就是 y 等于一的 x 次方， 我们随便找一个点吧，例如 x 等于二，那它的函数值呢，就是一的平方，在这一个点的倒数，也就是切线的斜率，它也是一的平方。 函数曲线与 x 轴围成的面积呢，它也还是一的平方。放眼整个数学界，这个函数的特性啊，也是独一份的啊， 当然，三角函数三 x 啊，求两次导之后呢，会变成自己的相反数啊，这个特性倒是和 e 的 x 方啊有点类似，感觉这两个函数冥冥之中就是有关联的。当然，对复数领域和三角函数领域研究颇深的 欧拉也是这样认为的。一七四八年，欧拉发表了一篇名为无限研究导论的论文，里面就引用了蒂莫夫的公式啊， 我们来看一下啊，两式相加除以二，就得到了 cosine 的 n x。 两式相减除以二 i 就得到了 cyan 的 n x。 欧拉大胆的把 x 取了无穷小，于是呢，就有了三眼 x 是等价于 x 的，扣上 x 呢，是等价于一的啊，那么式子呢，就变成了这样， 然后再取 n 为无穷大，令到 n x 等于 k 啊，那么就有 x 呢，是等于 k 除以 n 的。最终的式子呢，又变成了这样。 哎，大家看，这不就是我们刚刚讲过复利的计算形式吗？这个其实就是一的 i k 次方，而这个呢，就是一的负 i k 次方， 所以最后 q 三 k 和三 k 呢，就变成了这样。哎，我们看这两个式子，拿二式乘以 i 再加上一式， 于是乎，我们就得到了欧拉公式的最终形式码， q 三 k 加 i 三 k。 之前讲虚数的时候就提到过，它可以在副屏面上表示旋转，所以呢， e 的 i k 四方也是一样的。 举个例子，五乘以一的 i 三分之拍次方，这个数表示了负平面上五为半径，逆时针旋转了六十度所在的位置。 又例如一个负数一加 i 化成负指数，形式是怎样的呢？在负平面上画出来一加 i 的点在这，它的半径就是根号二全过的角度刚刚好是四十五度，也就是四分之派。用三角函数表示呢，就是根号二乘以 扣上四分派，加上 i 乘以三四分派，也就是根号二乘以一的 i， 四分之派次方。好。至此，欧拉公式就跟三角函数和旋转关联了到一起。 你想想啊，复离液激素还得用沙哑和抠上两种函数做基底去分解，如果用一的 ic 塔次方去做基底的话呢，一个就够了。好了，这期讲到这，下期我们讲复离液变换在复数域的展开，我们下期见。
1627有趣的理工男
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02:33查看AI文稿AI文稿欧拉恒等是很美，因为他把自然长数 e 圆周率派、虚数单位 i、 自然数一和零这五个最基本的数字，用两个基本的运算符号加号和等号连了起来。 但实际上啊，欧拉公式的完全体是这个样子的。不过要么为什么说为了追求女生，什么事都能做的出来呢？ 现实中不容易，追到梦中还不得过把瘾呢。于是呢，我让 x 等于角度 c， 他 画一个单位的附平面 co 赛引 c 塔，在这找到 i 赛影 c 塔，那么这个三角形的角度就是 c 塔，这个弧线也正好是 c 塔。还记得爱代表了旋转吧，所以 e 的爱 c 塔方就是这样的圈。 哎，我们都知道派是一百八十度，所以 e 的爱派是方，就是 e 旋转一百八十度， 扩散引派等于负一，散引派等于零，所以 e 的爱派四方加一等于零。意思就是说，自然数一绕坐标中心旋转， e 的爱派四方也就是一百八十度，再平移一就回到坐标原点了。 等等，难道我的女朋友，他是在疯狂暗示我，不管和我怎么样爱的魔力转圈圈，他终归还是想要回到原点，恢复单身状态。 这是要和我分手的节奏吗？因为在梦中出现的欧拉横等式，我和现实中的女朋友分手了，当时他就懵了，他问我说欧拉横等式是什么？哈，我跟他， 他说欧拉恒等式是欧拉公式的特殊情况，欧拉公式实际上是赛印 x 和扣赛印 x 再加入爱之后的泰勒展开结合体啊。当时呢，他更懵了，还留下了一句话说，以后找男朋友绝对不找理工男。 哎，没有女朋友就没有吧，我这不是还有欧拉呢吗？但是欧拉恒等是为什么叫宇宙第一公式呢？真的只是因为这五个最基本的数字和运算符号这么简单吗？ 实际上啊，宏观宇宙的构成本质是旋转的，带有圆周运动和自旋性啊。微观世界呢，也是旋转的，也带有圆周运动和自旋性。 而欧拉公式描述的核心呢，正式旋转和频率。所以呢，在某个角度上叫他宇宙第一公式一点都不为过呀。
1391雅桑了吗
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01:36查看AI文稿AI文稿我们画一条连续的线，随意画哦，然后首尾相连，像这样。好啦，数数有多少个焦点，一二三四五六七 八九，然后有多少条边？一二三四五六七八九十十一，十二，十三十四十五，十六，十七十八。再数数有多少个面，一二三四五六七八九十十一。 哦，对了，最外面的也算一个区域哦，我们用焦点减去边，再加上面等于二，我们再画几个试试看， 都是这个结果。哎，有点意思啊，也就是说，我只要知道其中任意两个数字，那么第三个数字自然就能算出来。这个规律是欧拉发现的，所以也被称为欧拉公式。 欧拉一笔画定理，他有许多非常有趣的应用，像科斯堡七桥问题、最优路径问题、拓补学等等都是以他为基础的。不过不知道大家注意到没有，刚才我们的画图是在平面上的，而且是一种全覆盖哦。我想请问 像这样的全封闭的多面体算不算一种全覆盖呢？他是否也符合欧拉定理呢？把平面和立体的结合起来思考，这就是三百年前从二维过渡到三维的数学思维，欧拉牛。
62.2万爱思考的乌鸦
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02:08查看AI文稿AI文稿今天上午的直播分享课呀，我们讲了立体图形的初步，在这里呢，老田分享一个欧拉公式，这个公式啊是关于棱柱、棱锥、顶点、面棱之间数量关系的一个公式。讲公式之前呢，我们先填写一个表格，我们看一下，摁，棱柱有多少个顶点？我们 知道 n 棱柱上下两个底面啊，都是一个 n 边形，那么这个底面呢，就有 n 条边和 n 个顶点，所以我们可以很容易写出，上面的底面有 n 个顶点，下边底面也有 n 个顶点，总共加起来啊，就是二 n 个顶点，那么有几个面呢？我们知道上下两个底面啊，这个数量是固定不变的， 唯独变化的就是 n 棱柱的侧面。因为底面啊是一个 n 边形，每一条边呢，都组成了一个侧面，所以就有 n 个侧面，所以 n 棱柱总共有 n 加二个面。那么有多少条棱呢？我们把 n 棱柱啊分成上中下三个部分，上底面 有 n 条棱，中间部分呢是 n 条立柱，下底面同样也有 n 条棱，所以加在一起正好是三 n 条棱。我们再来看一下棱锥， n 棱锥呢，我们知道他只有一个底面，也是 n 边形，也就是有 n 个顶点，但是他的上底面呢，变成了尖尖角的一个顶点，所以总共的顶点个数啊，就是 n 加一。那么 n 棱锥有几个面呢？我们知道 n 棱锥只有一个底面， 同样这个底面，这个 n 边形啊，每一条边形成了 n 个侧面，所以就是 n 加一个面。再来看一下 n 棱锥的棱数，我们可以看到竖起来的这个侧棱啊，总共有 n 条，再加上下底面的这个 n 边形， n 条棱呢？总共就是二 n 条棱。好了， 我用大写字母 v 来代表顶点数， f 代表面数， e 代表棱的条数。根据这个表格啊，我们很容易发现，无论是棱柱也好，棱锥也好， 好，他的顶点数量加上面的个数，减去棱的个数，哎，他等于一个长数。二，这个公式就是欧拉公式。其实比起欧拉公式啊，上面这个表格更加重要，因为你会发现，无论是能住也好，能追也好，我 只要给出你其中的一个变量，比如说顶点的个数，我很容易就能求出 n 等于几。那么有了 n 了，我就会很快求出另外两个变量的数量。关于欧拉公式，你理解了吗？
1288爱分享的老田
03:07查看AI文稿AI文稿啊，各位粉丝大家好，我是数学老刘，很长一段时间没有更新视频了啊，因为整种原因。那么从今天开始，数学老刘回归了。 那么也是从今天开始呢啊，我会把北师大版的数学初中数学我们从初一第一章节开始 去讲解每一章节重难点以及必考点的技巧和方法。啊。好，那么今天我们来看一下啊。在咱们这个第一章，初一的第一章就是七上第一章里面的这个 丰富的图形世界当中呢，我们先来看这些几何体可以给我们带来一些什么样的规律啊？首先我们来看四棱柱。四棱柱，他的棱数有十二条，顶点数有八个，面数有六个。同样， 那么三棱柱里头，棱数有九条，顶点数有六个，面数有五个。由这两个我们可以推出 n。 棱柱，他的棱数是三 n 条，顶点数是二 n 个，面数是 n 加二个。那么我们通过 这三个数据，也就是棱数、顶点数、面数，我们可以得到一个什么样的规律呢？往下来看，棱数减去顶点数等于面数减二， 那么也就有了三 n 减去二， n 等于 n， 加二减二，也就等于 n。 同样咱们的可以写成什么样呢？面数加上顶点数减去棱数等于二，也就有了 n 加二加上二， n 减去三 n， 最后等 等于二。好，这是我们的柱体啊。接下来我们来看一下锥体。我们来看四棱锥。四棱锥的棱数有八条，顶点数有五个，面数也有五个。三棱锥，他的棱数有六个，顶点数有四个，面数也有四个。 那么由此我们可以推出 n 棱锥，它的棱数有二 n 条，顶点数有 n 加一个，面数也有 n 加一个。 那么由此我们看一下啊，是否符合我们上面注体的这个规律啊。我们来看棱数减去顶点数，等于面数减二。我们试一下，棱数是二 n， 那么顶点数是 n 加一，面数也是 n 加一。我们带进来以后发现了，哎， 完是 n 减一，左边是 n 减一，右边也是 n 减一，是一个等量关系好。那么接下来我们用下面的这个公式套一下 n 加一，也就是面数加上顶点数减去棱数。我们来看 n 加一，加上 n 加一，再减二 n， 结果就是等于二。那么这个公式呢？我们把它称为欧拉公式啊。 那么这个公式的由来就是这样的一个关系方式得到的。至于说他的应用呢？好呃，数学老刘会在下一个视频当中给大家进行讲解他的应用。
288数学老刘
14:17查看AI文稿AI文稿初二的一道压轴题，欧拉分式第一问的话，对 n 等于二的进行证明，那我们就是把这些写一遍。一个 a 的平方， a 减 b， 括号乘以 a 减 c， 这个时候你先可以观察一下它的分母会有什么不一样， 分母的这一部分，它其实就是缺一个它们共有的，它们三个是可以合在一起的，这种几个数乘在一起，正好是缺一个 b 减 c， 还有一个 b 减 a， b 的平方，再加上 c 减 a， 括号起来 c 减 b， c 的奔驰 c 的平方。如果我们以 以 a 减 b 和 a 减 c 为正，那应该还缺一个 b 减 c， 这边你要注意的就是 b 减 a 就要变成是负的，这个是负的， 然后 c 减 a 也是负的，那如果我们让 b 减 c 是正的的话，比如说我这边标一下在下面正正，那这边 b 减 c 也是正的话， b 减 a 就会是对应是负的， c 减 a 也会是负的， c 减 b， 这个也会是负数，那这边两个负数就是正负相比了，直接就变成正的。 那为什么说我们这边要用正负呢？我们要给他顺序纠正回来，这样才会是符号正确。所以他的下一步的话，先给他 纠正一下 a 减 b， 括号起来 a 减 ca 的平方，这边提负号，把这个负号提到前面来，那你就会得到是 b 减 c， a 减 b， 然后 b 的平方加上后面这边，我们直接给他纠正回来， a 减 c， 还有一个是 b 减 c， 这边是比较容易出错的。第一步再往下的话，我们给它通分，通成一样的就可以是 a 减 b， a 减 c， 还有一个是 b 减 c， 那第一个数里面 a 的平方，它缺的是 a 减 c 啊，缺的是 b 减 c， 所以 a 平方乘以 b 减 c， 划起来减去第二个 b 平方呢？缺的是 a 减 c， 第三个 c 平方，缺的是 a 减 b， 那这样的话，接下来有两种思路，一个是展开分子，对分子进行处理， 比如说我这边把分子我们给它展开去算一下，就是 a 平方，括号啊，分配进去 a 平方， b 减去 a 平方， c 减去 a， b 的平方， 这边要注意去括号里面符号要变，变成 b 平方， c 加上 c 平方， a 减去 b， c 的平方， 那我们要重新给他们组合一下，我们看一下，首先这一个 这两个我们先给它抽出来，比如说提一个 a， b， 然后还剩一个 a 减 b， 括号起来，然后下一个这两个，这两个组合的话，多去试一下就好了。把 c 给提出来， 那就是 b 平方减 a 平方，然后剩下的这两个啊，那我们刚才可以不用展开，加上 c 的平方， a 减 b， 那中间这一个再平 平方差，我们可以再给它展开，就是 c 乘以 b 加 a， 乘以一个 b 减 a。 这边为了方便，待会我们计算的时候，我这边把它的前面填一个符号，这边变成 a 减 b， 然后前面 a， b， a 减 b， 划起来，加上 c 平方， a 减 b， 那这个时候我们就可以把 a 减 b 给整个提出来， a 减 b， 括号起来，乘以 ab 减去 cb 加 a， 括号起来，加上 c 的平方，整个再括号起来， 中间这一个用因式分解， a， b 和 c， c 交叉相乘，这边是负的，所以 c 这边是， 那么拆完之后就是 a 减 c， 划号起来，乘以 b 减 c， 划号前面也是 a 减 b， 正好是等于这个分母的， 那这个是第一种方法，从分子去搞定他们。那再来第二种方法的话，就是分母 分母的话，这个展开会比较容易一点，我这边就不再讲了，展开之后跟分子展开的会完全一样，展开之后会跟这边我们展开的是一样的，所以这一边就自己去算一下，主要是 音式分解倒推会难一点。 第二问的第一个， 我们就直接取 a 等于二零二二， b 等于二零二一， c 等于二零二零，这样带进去的话就会得到这一个式子了，可以直接出来的， 我们带进去试一下二零二二的三次方啊。我们带到这一边来，把这几个带到上面， 然后下面的话就会分子分母的话就是二零二二，减去二零二零，然后还有一个是 a 减 b， 二零二二减二零二一，那这一部分就跟第一个已经完全满足了。然后再来第二个中间项，二零二一的三次方除 除以 b 减 c， b 减 c， 二零二一减二零二零，乘以 b 减 a 是二零二一减二零二二，那你如果发现这边是等于负一负一的话，前面这边是加号，所以你把负号提到前面，他就会变成减的，那第二项也满足了。再来第三个 二零二零的三次方，那分子分子的话是 c 减 a， c 减 a 是二零二零减去二零二二，那这个是负二， 算完是负二。再来是 c 减 b， 二零二零减二零二一，这个是负一负二，所以它 是等于正的负，负的正，那这样的话就完全跟这边形是一样，所以按照他题目说的， n 等于三的时候，也就是这个三次方，那这个圆是 其实就等于二零二二，加上二零二一，加上二零二零是等于六零六三，这是第二的第一问， 最后最后一问的这一个。呃，观察一下分母的形式，其实跟题目给的这个类似，但是它有一些是加的，有一些是减的， a 减 c 跟这个 a 减 c 也是对应上的，但这边 b 加 a 和 b 加 c， 还有一个 c 加 b， 还有个 a 加 b， 跟跟 b 有关系的都变成加号了，那我们要怎么办？在做的时候，我们可以给他强行修改成 a 减去负 b 的形式， a 减去负 b 乘以 a 减 c， 然后这边就是 a 减去负 b， a 减去负 b， 然后这边是 a 减去负 c 这样的一个形式啊。 b 减去 c 减去 c 减去负 b 这样的一个形式。还有 后面的是 c 减 a， 然后 c 减负 b， 这样的话，也就是说待会我们配成的话，上面应该是一个负 b 的平方，这样我们才会好算一点。然后这个时候我们再往下整理 看一下它的分子，有括号的，基本上是要先打开去算一下， a 加 b 乘以 a 减 c， 先写清楚 e 减 a 的平方， 加上 b 加 a 和 b 加 c， 一减 b 的平方，然后是加上 c 减 a， c 加 b， e 减 c 的平方。那你注意，这边有平方的我们可以留下来，因为待我们搭配出来之后也要有平方， 他平方都还是一样的。那这些一怎么办？一也是可以留下来的， n 的零次方啊，不对，就是 a 的零次方，他就等于一，所以我们可以把它当成是 a 的零次方，那我们就把这个算式给他拆开， 有一的放一起和 a 的平方， b 平方， c 平方，我们给它放一起，那这样的话我们就会得到 a 这边，顺便把分母也给它改写掉， a 减去负 b， 然后这边 a 减 c 分之一拆开之后，他应该是再减去一个跟他一样的，这两个是对应的。哦，我只是给他方程上下来写，但我这一排不够写。 a 减负 b 好起来， a 减 c 分至 b 平好， a 平方。 减的 a 平方我放在下面了，这两个是一起的，那这边还是用加 上面还是一下面是 a 减 负 b 画起来这个形式。还有一个是 啊，对，这边是在这个的，嗯，也没错， a 减负 b， 再来一个是 c 减负 c 啊， c 减负 b， 下面的也是一样的，把 b 平方减 b 平方，我这边写在下面是 a 减负 b， c 减负 b， b 平方，最后一个也是一样， c 减 a， 这边照写，另外一边是 c 减负 b， 只有我们这边就相当于把 b 换成了负 b 啊。对，这边也要改写一下负 b 的平方，这边还是 e， 下面是减去 c 减 a， c 减负 b 这个形式 c 平方。然后我们观察一下跟上面的这个欧拉分式有没有基本一致。 这一个开头像 a 减 a 减负 b， a 减 c， 这个一致，那这一边中间 像的话，他是 b 减 c 和 b 减 a， 那这边是 a 减负 b 和 c 减负 b。 给他们换一下位置之后，其实就相当于左边乘一个负号，右边也乘一个负号，那又是负负得正，所以两边一起翻过来，还是一样的形式， 所以第二个也是有满足的。再来是最后一个 c 减 a 和 c 减负 b， 这个也是满足的，那也就是说这一整串它是 n 等于零的情况，这个就等于零，那他要减去下面这一串，下面这一串对应的也是满足他 n 等于二的情况。就是一，我们这边给他括号起来，里面就都变成了加的， 这个就等于一，所以他这个圆式就会等于零减一，最后是等于负一，中间这一些处理他正负符号的会比较复杂一点，所以做的时候要认真细心一点。
76酸菜包
08:45查看AI文稿AI文稿听说你的朋友很厉害，那他一定看过艾伦贝克尔的数学动画吧。上回叔说到小城把带师部的余弦和带须部的政弦放在一起，得到了欧拉公式。为什么把这带师部的余弦和带须部的政弦放在一起就能得到欧拉公式呢？ 嘿，那就老不堪一为敌的支书函数的秘籍数了。秘籍数又是什么？首先我们要知道级数是什么？级数是由一些以数字相加得到的组合，每一项都是按照一定的规律生成的，它可以使用线相相加，比如灯叉数列一加到一百， 也可以是无穷多项相加，比如公比为二分之一的无穷相等比数列之和。如果这些相加的结果趋近于一个有限的之，我们说起书是收敛的，可以计算出它的和。如果相加的结果没有确定的值或者趋向无穷的， 那么级数是发散的，没有有限的和。而蜜级数，他的每一项都是长数乘一遍两 a 克斯的蜜。我们注意到这些级数中有一些感叹号，他们表示的是阶程，阶程是一个增长数于小于等于他的所有增整数的成绩，比如 三的阶程就是三乘二乘一等于六。在我们讨论一亿为底的指数函数之前，让我们先来了解一下什么是自然底数。亿我在此前的视频分享过，以最早在银行复利的计算中被完整提出来，大约等于二点七一八二八， 还在科学上有许多重要的应用。那么以一为底的指数函数的秘籍数是怎么来的呢？这就不得不提到泰勒级数了。泰勒级数又是什么？看样子你是要打破砂锅问到底了。泰勒级数的推倒机与函数，在某一点的所有街道数。 这是一个数学上的概念，其基本思想是用一个无穷极数来逼近函数。哎哎，函数是什么？导数又是什么？我在之前的视频里分享过函数和导数的定义，现在用小学生都能听懂的语言再来简单介绍一遍。咱们可以把函数想象成一个机器，给他一个数， 他会根据一定的规则给咱们返回一个新的数。比如有一个函数叫作加二，如果咱们给他一个数五，他就会返回七， 因为五加二等于七。所以如果有一个函数来表示我们的未知随时间发生了变化，那么这个函数的倒数就表示我们的速度。 导书可以帮助我们了解函数是如何改变的，我们可以把它想象成一个速度记。举个例子，当我们在骑自行车时，我们的速度就是我们的位置函数的导数。这意味着，如果 我们骑的越快，速度越大，导数就越大。如果我们停下来不动，速度就是零，导数也就是零。比一届导数更高的导数作为高级导数，高级导数就是对函数的导数在求导。比如咱们还是在骑自行车，我们的加速度就是我们的速度，函数的导数 也就是我们的位置函数的二阶倒数。如果我们越来越快，那么加速度大于零，半阶倒数也就大于零。反之，如果我们越来越慢，那么加速度小于零， 八级导数也就小于零。如果我们的速度保持不变，加速度就是零，八级导数也就是零。有了以上的知识，现在我们回到泰勒奇数的推导。泰勒奇数是个好工具，它的核心思想是用一个无穷奇数来逼近某一个函数。假设有一个函数 a f x， 希望在点 a 处找到这个函数的金丝值，那我们可以从长数开始，然后慢慢添加越来越高阶的项，使得这个金丝再连一点的所有导数都与 a 辅 a 可死的相应导数相等。我们首先选择一个长数项， a 辅 a， 这样在 a x 等于 a 十，近四值就等于函数值。接下来我们添加一个信息项，这样在 a x 等于 a 十，近四函数的一阶导数就等于 f a x 的一阶导数。我们继续添加一个二次项，这样在 a x 等于 a 十， 这次函数的二阶倒数就等于 a 负 a x 的二阶导数。以此类推，我们可以继续添加更高阶的项。每个项都是 a 负 a 乘以 a x 减雷的恩次密除以闷的阶程，其中 a 负 a 零是 a 负 a x， 再 a x 等于 a 处的 a n 阶导数。这样我们就得到了泰勒奇术的一般心事。当泰勒奇术中的雷斗于零时， 我们就得到了麦克劳零级数。根据自然底数一的特性，我们能得到一等 x 次方的任意界导数都是他自身，所以一等 x 次方在 x 等于零处，等级导数都等于一的零次方。也就是以，把这些只带入到麦克劳零级数的公式中去， 我们就能得到以自然底数因为底的指数函数的密集数。然后我们按照欧拉的方法把 ax 替换重挨重 ax， 接着对展开始精心整理，把叙述的成计算出来 以后，把不包含蓄摔的象和宝宝还爱的象放在两个括号里，我们会得到两个技术。巧合的是， 左边这个不含蓄数挨的级数恰好是御写函数的麦克劳令展开始，右边帮含蓄数挨的级数恰好是这些函数的麦克劳令展开始。这真的只是巧合吗？不巧，用这些函数和预 函数替换上书籍数，我们就得到了欧拉公式的完整表达式。欧拉公式结识了指数函数、三角函数和复数之间的深刻关系。到西塔取不同的实数之时，意达埃西塔私房的结果是一个单位元上的点。 也就是说，勾拉公式可以用来表示副平面上以圆点为中心的单位圆上的点。这并不难理解， 因为组成欧拉公式是不合局部的余弦函数和正弦函数等，就是定义在单位元上的三角函数。如果负平面中的点位欧拉公式，那么所有点的模长都可以表示为可散音平方与散音平方和的平方感。众所周知， 这个等式横等于一，也就是说乌拉公式所表示的所有点到圆点的距离都是一，而这正是单位圆的定义。当我们把西塔等于派带落到这个公式，就得到了火柴人 动画中的欧拉很等式，这也是当小成把替核桃合并时，会变出另一个主角小艺，以及小艺得于赋予的缘故。现在我们回到前面跳过的剧情就能明白，小艺这个欧拉展开可不是乱展开，他是有备而来。接下来，小成知道符号是转了个头， 说明符号具有反向的作用。小虫学会这一招之后，在后续剧情中用符号追上了小艺，并且成功躲过致命一击。当小虫起身来追小艺的时候， 我们看到小易逃出派，改变自身指数上的弧度大小，画出一个半圆号逃离。为了解释这个半圆轨迹，我们来看看欧拉公式的完整形式。 此前我们已经介绍了欧拉公式在抚平面中表示的是一个单位元把一个元的弧度大小为二，派小一本身等于负一，在单位元的最左侧，当他的指数减去派时 值弧度等于零，起值位移对应的是大位元的最右侧。我们可以把这个过程看作是用来公式从派遣小为零的区间的变化，所以其对应的轨迹就是一个半圆。小常在追击小意的过程中，射手藏了称号和爱，等下马上就会用到这两个道具， 事实就是力量。为了更快追上小艺，小程拿出道具称号，对此审视下，程法肉眼可见的加速了，这种加速效果看起来跟是平加速一样，毕竟是平加速的按键，也是一个称号呢。烟抽着去一笔记，小程向小艺丢出符号， 成功让小易转向刹车。这种刹车方式和高铁的电制动非常类似，通过产生一个和电动机转向相反的电磁力曲作为制动力，使电机停止转动。哎嘿嘿，小易在刹车过程中还不忘踹开小程。接下来双 方发生的战斗式加减法的比劈，主打一个比大小小 成绩非小易之后发动二乘二的弓箭攻击。这里有个细节，从零到九的数字里只有死核七的底部是接纳，而其实之数，小易用减号挡住发射过来的数字四，并将数字四放到坟墓中去做壁画出一个八分之一圆弧， 这对应的就是欧拉公式从零到四分之派的轨迹。我们可以看到小一跑到空中后，小城再也没有集中过，比禁敌对空可比敌对地难多了。这时候小城掏出另一个道具哎 成在自己身上，也在空中画出了白圆的轨迹。通过前面的结论，我们已经知道成以爱的几何意义，就是逆时针旋转九十度，遗憾的是小成没办法将爱绑在 在自己身上，很快就落到了地面，让小一给逃走了。之后就是我们此前分析过的剧情，小城从爱出发把小一造了出来。后面的剧情就是艾伦贝克尔的数学动画中全片高潮的部分，数学知识密度相当之高。 泰蒙也会在下期视频中继续分享火柴人数学动画的解析，希望能对你有所帮助。
11.7万派蒙科普
12:24查看AI文稿AI文稿之前的视频中多次用到了欧拉公式，也有同学私信我，让我好好的分享一下欧拉公式是怎么回事。那么今天我们就来好好分析一下欧拉公式。要理解欧拉公式，首先得理解数，最开始我们用到的就是自然数， 我们要数鱼补了多少条，我们要数苹果摘了多少个。刚开始的时候发现他们够用，但是到了后来发现他们不够用怎么办？有了欠债的时候，我们开始用起了负数啊，那么负整数和正整数合在一起就变成了整数， 用符号 z 表示啊，多余的负数呢？表示的意思就是减少或者说负债。而有了整数 z 发现的还不够用啊。比如说两个人要分一个苹果，每个人只能分二分之一，三个人分一个苹果，每个 怎么分三等级啊？增加了分数之后，分数和整数放在一块就变成了油腻数。我们用 q 表示吧，里面增加的分数往往表示的是分割的意思， 所以我们写的分数里面通常有一个红心啊，表示分割开来。再来看第三种，当有理数不够用的时候，有理数什么时候不够用了呢？算正方形的对角线的长度，得出根号二，他不够用了怎么办？拓展到了无理数和有理数的组合实数， 其中这个五里数典型的代表是正方形的对角线。接着啊，我们发现在球这一元二次方程的时候，出现了一个增根，而这个增根呢，可以用一个另外一个资源的数来表示，虚数 i 等于根号负一来表， 这个时候我们就拓展到了负数。 ok， 你以为这些数？我们再来理解一下为什么说实数实际上是虚数的一个表象。首先一般的一元三次方程值， ax 三次方加 bx 平方加 cx 加 d 等于零， 他都可以画上 x 的三次方，加上 px 加上 q 等于零这种形式。画这种形式之后，我们可以把它的三个根给求出来啊，求出来的四里面，我发现多了一个位置，说 w 啊，这个 w 实际上是 二分之负一加根号神癌。我们再看一下他的一个一元三次方程的一个图像，我们发现啊，他的解有可能是一 二三三个，也有可能是一两个，也有可能是一个，不管怎样，他总有一个结。 我们考虑三个解的情况，三个解都是实数解，那么这个时候我们知道 w 等于二分之负一加根号三挨，把它带到里面计算，我们会发现， 即使这里有虚数，但是他整体表现出来的还是一个时速，所以说时速 只是一个虚数的表象。从这个一元三次方程的的求中数我们就可以看出来，也就是说我们许久所认识到的一个实数，实际上只是虚数的一部分啊。理解完一元三次方程，我们再来看一看负平面上的单位元， 正常的鉴定一个 x 轴， y 轴是我们所熟悉的，当我们把 y 轴变成虚数轴， x o 变成时速轴，这个就构成了一个负平面。 如果在这个副平面里面选一个圆啊，画一个圆，单位长度是一的话，我们会发现任意点的坐标是什么呢？我们角色的角度是吉他的坐标是狂闪是一趟， i 沙也是一趟，这是他的一个坐标， 这个可以表示负平面上圆的一个坐标，你理解了这个坐标，我们再来看看负平面上加法和乘法的一个意义。我们举最简单的例子啊，一和挨在一起啊，一加挨表示什么呢？我们不知道，但是我们可以把它画出来啊。一表 的是这个点或者这个项链，从原点吧指向他的一个项链，而 i 表示这个项链，一加 i 这个点在哪里？在这里表示的是这个项链。 ok， 我们看这个加这个用平时变形的法则， 刚好就可以把这个项链给画出来，也就说一加 i 实际上是我们标个字母吧， o a 项项加 ob 项链，他是项链的一个项项，这是他加法的一个含义啊。而关于他乘法的一个含义比较理解啊，一乘以 i 一表示这个响亮，把乘以 i 变成了这个响亮啊，我们可以理解上把一旋转成九十度，我们再把这个 i 乘以 i， 发现到等于负亿啊， 在这里我们可以理解成乘以 i 又旋转的九十六万，所以说他可以表示一种旋转，但是他仅仅表示旋转呢？不只是啊，如果 i 乘以 六，哎，他就是负六了，所以说他从 i 这个单位一长度变成负六，他不只是旋转了九十度，他还身长了六倍啊。虚数相乘表示的是 长度的拉伸和角度的变化，这个长度是他到这个圆点的长度，这个角度变化也是他和圆点还有 xo 所形成的一个角度。理解的负平面的加法是项链的加法，负平面的乘法，长度的拉伸和角度的变化。 我们再来探究一下货拉公司最早是如何看出来的？是如何被发现的？首先有个叫太累的人啊，使用他的方法把三 s 给展开了，他同样把科三 s 给展开了， 接着呢，一的 x 方等于，他发现这三个数字很像，但是又有些区别啊，那这个区别到底在哪里呢？当他发现虚数的时候，他带入了一个虚数，然后每一项都带了一个虚数，最后他发现把虚步和十步写在一起， 竟然是和上面两个狮子成对应关系的红色 x 加上 id 三十。实际上这个在欧拉之前 就已经有人发现，只不过欧拉对这个公式的研究更深入，所以啊，这个事就叫做欧拉公式。他有 有哪些比较奇妙的应用呢？或者是该如何理解他呢？说到理解，他还得从一的一个本质说起吧，一是三底数，他等于根去向英雄，那的时候一加 n 分之一的人吃饭，但是他，但是当他碰到虚数 a 的时候，你的 a 吃饭，他是怎样一个减 n， 他实际上是等于 n 去 m， 那的时候 e 加 i 除以 n 等于吃饭， 那这个数字该如何理解呢？我们可以画附数平面，这个是实轴，这个是虚数轴。哀，我们可以把，恩从小到大开始取，就能发 现在的规律。比如说我们首先取这个 n 等于三，那么这个一加上 a 除以 n 的 n 次方，就写成了一加 i 除以三的三次方，这个是一加 i 除以三的一次方，他成了一个之后就变成这个点， 那成了一个之后，他变成这个点，我们会发现这个长度增大，角度也增大了。当我们把 n 取另外一只的时候， n 等于十的时候，我们发现啊，他的长度也在增大，但是增大的很缓慢，这角度也在增大。当我们取 n 非常大的时候啊， 这个是 n 等于一百，一加上二除以一百的一百之分，我们可以看到它的长度几乎没有什么变化，只是角度变化。角度变化了多少呢？这个角度将近是一啊， 也就是说 e 的 x 方等于一，加上 i 除以 n 的 n 次方。当喷去向右胸大的时候，他的这个长度半径是没有变化的，他变化的只有这个角度。 这个角度是多少呢？我们再把它写一遍，一的 i 乘以一，这就是一的 i 四方的一个几和一。你写成一的 i 四方的一个几和一啊。我们再来看一看一的 ipad， 四方的几个一啊，一的 i 四方可以写成这样， 而 e 的 ipad 脂肪同样可以写成这样。我们用相同的方法，当 n 取二十的时候，他是长度增加，角度也在增加。当 n 取一百的时候，我们会 发现他的长度几乎没了增加，但是他的角度会变得增加，这个转弯的角度就是派，那么 e 的 ipad 就很明显，他的意思就是 单位长度是一，胯部的弧度是派，就是这一点。或者说这个项链我跟你演。这个我们再来理解一个非常普通的，好多人都不明白二的 i 次方是什么意思， 我们稍微的把它化点一下，我们知道 x 等于一的 nonax 方啊，这个可以说是一个比较无聊的变化，但是当涉及到负数平面的时候，经常会用到这个，比如说二的 x 方可以写成一的 诺奥迪 s 等于一个 i 乘以诺昂，他的意思就是弧度是诺昂，你 立了这些，最后我们再来说一下欧拉公式与三角函数之间的关系啊。刚刚我们开了展开的方法，探究了狂乱式的 加二乘三四的等于一的 ic 的时候，但是能不能用几何的方式去讨论他们的关系。可以啊， 这是一的 ict 代表的一个圆，加上这个一还是一个相反的啊，这是一的负 ic 大一，这个角度是 c 的，那么这个角度也是 c 的。这两个是一个 等腰的，那么画条线，那么这个肯定垂直的，这个长度是这个总长的一半，这个总长是多少呢？ 是一的 ic 塔一减去一的负 ic 塔一啊，这两个项链先减了，再除以二，就是这个项链了，而这个项链是什么东西呢？ 刚好是 a 乘以三西塔呀，所以三西塔等于一的 i c 塔一减去一的负 i， c 塔一 除以二来，同理啊，这个扩散式的是这两个项链相加的，形成这个项链的一半。 ok， 我理解了，从三角函数推欧拉公式，从欧拉公式推三角函数，我们再来理解最后一个公式，一的 ipad 十方加一等于零，实际上他只是欧拉公式的一个特质。 一的埃西塔四方等于矿山西塔加上埃及山西塔，当西塔等于 pass。 一个 i 派十分等于科三派加 i 等于十二派，这个刚好是等于零，这个刚好是等于负一。 一项意大利派次方加一等于零。他之所以如此的著名，是因为他把自然数，把圆周率派，把自然底数， 还把虚数给紧密的联合在一起了，而且还产生了一个神奇的结果，您有关于欧拉公司的另外一些奇特的应用，我会放在本视频的合集里面啊，感兴趣的可以去看一下。
7408火星课堂
01:55查看AI文稿AI文稿同学们好，今天是四月二号，每天学一点，坚持学一年。今天和大家分享一个欧拉公式，微加 f 减一等于二。任何一个简单多面体都满足微加 f 减一等于二。一个简单的公式就体现出了所有简单多面体的共同特征。 简单多变题指的是由若干个平面组成的几个题，比如四面体、三棱柱、长方体等等。所以含有曲面的几个题 不是简单多面题。其中 v 指的是零点数， f 指的是面数， face 一指的是棱数 a。 比如 四面体中，顶点数是四个，面数是四个，棱数是六个，四加四减六等于二。再比如，长方体中顶点有八个，面数有六个，棱数有十二个，八加六减十二也等于二。那么由若干个 n 边形组成的 分 b 几和题仍然满足 v 加 f 减一等于二。我们将面数继承 f 的面。先拿出一个面，此时一个 n 边形有 n 条棱， n 个顶点，此时 v 等于一等于 n。 拿出第二个面和前面组合，此时会减少一条棱，两个顶点， 所以此时一加一等于一。我拿出第三个面和前面组合，仍然减少一条往两个顶点， 此时微加二。当我们继续增加第四个面，此时微加三等于一。 我们拿出第五个面组合 v 加四等于一，我们拿出第六个面组合， v 加五等于一。因此我们发现了自然区的规律，当我们拿出倒数第二个面组合，此时一共有 x 一个面，满足 v 加 f 减二等于一。经过整理，发现 v 加 f 减一等于二。同学们，你能数出三等座的零点数、念数和能数来验证这个规律吗？评论区留下你的答案。
293崔老师(日历数学)
02:57查看AI文稿AI文稿这个东西号称是世界上最完美的公式，又叫上帝公式，据说里面包含着上帝的创世秘密。你看，右边是零，表示的是五，是空，左边是一，表示的是有，是存在。最神奇的就是这一坨，好像整个世界运转的秘密，他都包含在里面了。你看，里面有个派，表示 是原则运动，有一个自然成熟意表示的是自然，还有一个爱，表示的是虚束，这三者居然可以用同一个，甚至精确的联系起来，这到底说明了个啥？我 把它合起来读，就是天下万物，生于有，有生于无。哈哈，真的理解的感觉怎么样？是不是玄玄乎？神圣铭秘？当时一阵感叹，过后的感觉， 啥也没学到，这样不好。我们的专栏就是要去妹，就是要说点干货，让小学生能够理解，中学生听了可以提分，大学生听了想转专业。好，下面我们开始这个意义，叫 做自然场数。哎，问一句，怎么他就自然呢？他凭什么配的上自然两个字啊？原因是，假设小 a 去银行存款，年利率是百分之一百，一年过后到期去取，就一块变两块。 但是聪明的小 a 发现，如果半年之后就去取出来利息和本金一共一点五元，再一并存入的话，那么年底就应该是二点二五元。如果每个月去取存一次利滚利，那年终就应该是二点六一三元。 那么这样无限细分存取时间，每细分一次就增加一点收入，直到每分每秒每个普朗克时间取存一次，那最终可以增加到这么多元。 就是这个式子，看好了，他大有用处。他表示的是连续负利增长，每乘以一个，这个就表示负利一次，左边的一是本金，后面的这个是利息。在这按揭中，植物成长，生物反而止好的时候，都是按照这个负利增长， 比如说这个螺丝口，所以一加自然长数。好，接下来我们来看这个，哎，表示的是个什么意思啊？有人说，哎，等于负一开根号错，这个只是计算方法，我问的是什么意思？哎呀，其实表示的是旋转的意思，在负平面上，一乘以二就到了这里，再乘以二就到了这里。看吧，乘以 两个 i 就变成了负一。更一般一点，在负平面上，我们要旋转任意的塞他脚，就只需要乘以这个就可以了，这个能理解吗？好了，一切准备就绪，好， 游戏马上开始。正常数一等于这个，如果年利率不是百分之百，而是 ipad 的话，那么就是这个，我们把它拆开来看啊。一表示一个木头 乘以这个了，其实就是旋转一个很小的角度，朋友，因为角度很小的时候，扩散一下它就等于一闪一下，就等于他本身。这个这小学就 学了吧。好，连起来看。一根木头以非常小的角度旋转，旋转，旋转，连续旋转个半圈，就转到了相反的方向，这就叫欧拉公式。欧拉公式就是说将一根木头连续旋转个一圈， 也会得到一颗圆，神不神奇？惊不惊喜？意不意外？更意外的是，我们把阿拉公司印在了一个纪念扑克牌上面，他是大网吧的存在，就在左下角的小黄车里面，你看美不美观，收不收藏？送不送礼？
5.8万王春森