崔梦迪的数学讲得好吗

哈喽，大家好啊，我是必见玄鹤。今天想给大家讲一下二零一九年天津理科数学的压轴导数题，这题考察了数列、三角函数以及导数里面的同构等等一系列的知识，并且这道题每年都会被模拟卷拿过去抄袭。 在我做这个视频的时候啊，我就发现前几天考的南京盐城一模的试卷，他的最后一道大题目就完完全全的抄袭了，这个题目基本上是一模一样的，那足以证明这道题目质量还是很高的，时隔六年还在有地方抄袭这道题。那今天呢，就给大家用三种好的方法讲解一下这道题。 首先方法一就是一个比较常规的思路，我会用第二小问的结论啊，然后逐步的在第三小问中进行调整。方法二呢，是我们不从导数的视角，而从一个竖列的视角构造一个地推竖列，然后去证明。而方法三呢，也是一个非常巧妙的方法， 它很简单，只需要两步就可以把这道题写出来，运用的是一个切割线的放缩。 首先我们来看看这道题啊，第一小题就简单说一下了，他要研究 f x 这个函数的单调性，你直接对它求导，也就是 g x 去研究它就行了。那 g x 等于什么呢？等于我们的 e 的 x 次方乘以 cosine x 减去 cosine x。 后面这个东西啊，你用一个辅助角公式，然后进行一个讨论就行了，很简单， 我们来看看第二小问。第二小问说，当 x 属于四分之派到二分之派 b 区间的时候，让你证明这样的一个不等式是大于等于零的。哎，这个不等式，你会发现啊，它完全不含任何的参数， 就只有 x 这一个变量，对吧？所以完完全全的，你就直接定这个式子等于一个新的函数 h x， 然后直接去求导写就可以了。所以这个第二小问啊，实际上也不难，我们来看看啊。 另， h x 等于 f x， 加上 g x 乘以括号，二分之派减 x。 那 这边呢，我们对 h x 求导的话，我们可以直接对这个式子整体进行求导，你没有必要直接把 f x 这个具体的式子带入进来， 我们求导之后就是什么呀？ f x 求导就是 f x， 而题目说了， g x 是 f x 的 导函数，也就是 f x 等于 g x 吗？ 后面呢，就是这样的一个式子，你会发现，哎， g x 和负 g x 消掉了，所以只剩下这个东西。那这个东西的讨论就非常简单了，我们把 g p x 写出来， g x 等于 f p x 等于这玩意，那 g p x 呢，就等于负二 e 的 x 次方乘以三 x， 所以整体啊，就是负二 e 的 x 次方乘以三 x， 再乘以二分之派减 x。 在 我们 x 属于四分之派到二分之派的时候，很显然，我们的三 x 是 怎么样的？是大于零的，那整体 g 撇 x 就是 小于零的， 并且我们的二分之派减 x 呢，是大于等于零的，所以 h 撇 x 就是 小于等于零的。因此 h x 呢，在四分之派到二分之派上是单调递减的，单调递减要证明它大于等于零，所以 h x 就 大于等于它最右边的这个端点值 h 二分之派， h 二分之派带进去就是零，所以证明完毕了，可以看到这个第二小题值 h 二分之派带进去就是零，所以证明完毕了，可以看到这个第二小题就是服务的。 接下来我们就要看第三小问，设 x n 是 函数， u x 等于 f x 减一，在这个区间内的零点，其中 n 是 属于这个大 n 的， 让你证明这样的一个不等式 是成立的。这边大 n 是 啥呀？是自然数积吧，自然数积是零一二等等等，所以这个 n 是 可以等于零的，这面要注意， 那这道题什么意思啊？其实他就是有一个数列 x n 这边的 x 零呢？是哪个地方的零点？他是我们四分之派到二分之派上的零点，对不对？然后 x 一 呢，是属于什么？ 二派加四分之派，然后二派再加二分之派上的零点，也就是说我们这个函数啊，有无数个零点，他的零点啊，从左到右排列啊，形成了这样的一个 x n 的 一个竖垫，然后 x 零呢，就在四分之派到二分之派上，让你证明这样的一个式子， 这个式子啊，左边有 x n， 右边呢又有这个 x 零，可以说相当的复杂。那面对这样一个不等式，哎，我们来看看如何去写啊。 首先我们就把已有的一些条件先列出来，我们现在有什么条件啊？只有一个 x n 是 它的零点吧，也就是 u x n 等于 f x n 减一，并且是等于零的，因为是零点嘛，所以代入进去就是 e x n 次方乘以 cosine x n 是 等于一的。 写完这个式子之后，你发现还有条件吗？没有任何条件了，是不是就相当于只有这一个条件，让你去证明一个不等式，那接下来该怎么做呢？哎，到这个地方你可能就没啥思路了。那没啥思路的时候，你一定要想，第二小问那么简单出给你是干啥的呀？ 那肯定是为我们第三小问服务的。你看我们的第二小问，我把第二小问抄在这了，第二小问是这个 x 属于四分之派，到二分之派的时候，有一个不等式是成立的。哎，不等式，我们这题不就是要证明不等式吗？所以就思考一下，我们这个第二小问的不等式有啥用？ 那第二小问的不等式，你首先要思考我们什么东西落在四分之派到二分之派这个范围内啊？ 很显然吧，我刚刚说了，他有无数个零点 x 零呢，恰好就是在四分之派到二分之派这个范围内的， x 零符合第二问的条件，所以 x 零带入进去，这个不等式是成立的， 对不对？那除了 x 零之外呢？这道题已确实是有 x 零这个部分在这的，但是他还有一个 x n 在 这啊。 哎，你仔细一看就会发现啊，我们的 x n 它是属于什么呀？二 n 派加四分之派到一个什么二 n 派加二分之派这个范围的。 那么 x n 减去二 n 派属于什么范围啊？不就应该属于四分之派到二分之派这个范围的吗？ 对吧？因此，再进一步的你会发现， x n 减去二人派也是属于我们四分之派到二分之派范围内的，也符合这样的一个不等式。 所以我们是不是可以利用把这个式子啊，带入到我们的不等式里面，得到一个关于 x n 的 关系，然后尝试去把这个部分给消掉啊，对不对？顺着这个思路，我们就来尝试一下， 注意这边还有个细节，因为它的范围啊，是开区间四分之派到开区间二分之派，而我们第二问啊，是 b 区间 b 区间它是可以大于等于的，而我们的取等条件不就是在端点取的吗？第二小问写的， 所以这边因为它不会等于这边的二分之派，所以不应该是大于等于号，应该是严格的大于号，对吧？好，那我们就把这个式子啊，代入到我们的 f x 加 g x 乘以这个东西大于等于零的式子里面， 就得到了这个式子。哎，切，到这一步，你应该发现你这个方向完全是没有问题的，因为这是个啥呀？这个东西化简一下，不就是二人派加二分之派减 x n 吗？不就是题目上的这个条件吗？ 对吧？所以这个方向肯定是没问题的。那接下来我们肯定希望把这个式子啊单独的给它拎出来， 那单独拎出来我们就要去考察一下这个 g 括号 x n 减去二人派的一个正负性，才能把它这一项移到右边去，然后在两边同时除以这个 g 这个东西。 那我们就考察一下 g x 吧， g x 等于 e x， 次方程以 cos 三 x 减去三 x。 现在啊，我们的括号里面的 x n 减去二人派是四分之派到二分之派这个范围内的，可以发现在这个范围上 g x 一定是小于零的，这没问题吧？ 你把这个三 x 的 图像和 cosine x 画出来，这个焦点嘛，不就是四分之派嘛，那四分之派到后面的这个二分之派范围内一定是什么呀？ 一定是我们的三 x 比 cosine x 要大，所以 g x 一定是小于零的，它小于零不就说明我们的 g 括号这个东西小于零吗？对不对？ 所以我们的二 n 派加上二分之派减 x n 就 应该小于这个东西，那这个东西我们把它带入进去，就得到这样的一个式子。接下来就是这道题第一个比较难的地方，也就是这个式子该如何去化解，如何去处理呢？ 仔细来看啊，这个地方你肯定会想当然的，我们把这两个式子给消掉，消掉之后肯定是可以去写的，但是写着写着你会发现好像有一点点复杂，复杂原因就是因为题目要证明的这个式子有一个 e 的 负二 n 派次方，但是你如果直接在这个地方， 我们把这两个 e 的 多少多少次方消掉，你后面就很难再出现 e 的 多少多少次方了。因为题目它的分子上有一个 e 的 负二 n pi 次方嘛，那么就不妨把这个 e 的 x n 减去二 n pi 次方啊，拆成 e 的 x n 次方乘以 e 的 负二人派字方，这没问题吧？也就得到这边的这个式子，并且啊，这个负号啊，我们把它转换到这个式子里面，变成 sin 减 cosine 的 形式，因为题目上它这边的分布也是 sin 减 cosine 的 形式，整体一化减，我们就得到这个式子， 这个没问题吧？那这个式子仔细去看啊，我们 cosine x n 减二人派， 根据诱导公式，它就应该等于 cos x n 吧。而且我们题目最开始写的一个条件到现在都没有用到，那就是 e 的 x n 次方乘以 cos x n 是 等于一的，所以这个式子很自然的，它居然是等于一的， 所以啊，我们整体的式子就化简成了这个式子， e 的 负二人派次方比上下面的这个东西好，那现在 二人派加上二分之派减 x n 是 小于这个式子的，要证明我们题目上这个东西啊，是小于这玩意的，那不就是我们接下来只要去尝试证明它小于谁啊？小于 e 的 负二 n 派次方比上 塞 x 零减去 cosine x 零吗？那要尝试去证明这个式子，不就尝试去证明下面的分母要大于右边的这个分母吗？也就是这个式子 啊，注意，这边的三 x 零减去 cos 零，以及这玩意一定都是大于零的，刚刚就已经说过了，那写到这个部分啊，下面该如何证明呢？我们要思考一下了。这是这道题第二个比较难的地方，也就是这玩意你该怎么去证明 好，我们来看看啊，这个式子像不像铜构啊？ 为什么想到同共呢？因为左边的部分，哎，又有这个撒盐，又有这个撒盐，右边的部分又有这个撒盐，又有这个撒盐，并且 x n 减二人派， x n 减二人派 x 零 x 零很像我们同共的式子吧，那如果要构造出同共的话，我们还少了一个部分，那就是右边少了一个 e 的 x 零次方， 如果右边有一个 e 的 x 零次方，那我们构造一个新的函数，叫做 e 的 x 次方，乘以括号 sin x 减去 cos x， 那 左边不就能表示成我们这个函数把 x 等于 x n 减二人派带入进去，右边呢，就能把 x 零带入进去了，对不对？那么就朝着同步的这个方向去思考一下，你会发现啊， x 零是属于四分之派到二分之派的，那么 e 的 x 零次方一定是大于一的，对不对？所以啊，右边这个东西啊，它一定就小于，我们 给它再乘以一个 e 的 x 零次方，是这个式子没问题吧？好，那仔细看啊，这个式子它既然小于这个玩意儿，那我们能不能去尝试证明这个东西大于这个东西啊， 对不对？如果证明出来这个东西大于这个东西，又因为这个东西啊是大于这个东西的，那我们同样是可以证出来的。而这个形式啊，不就是我们的刚刚说的同构的形式吗？ 那我们就可以构造一个新的函数，也就是 e 的 x 次方乘以三 x 减去 cos x， 还需要构造吗？根本不需要构造的，我们刚刚说了题目上的这个 g x 啊，它天生的就等于 e 的 x 次方乘以什么 cos x 减去 cos x， 所以我们这个式子大于这个式子，要证明的话，那也就是要证明负的 g 这个东西啊，大于负的 g x 零，那化简一下，就是要证明 g x n 减二 n pi 小 于 g x 零， 没问题吧？好，那仔细看啊，要证明这个式子的话，那我们肯定要去研究我们 g x 的 一个单调性， g x 等于啥的，等于 e x 次方乘以 cos 三 x 减去三 x， 我 们刚刚求它的导数， g 撇 x 是 啥呀？ g 撇 x 是 我们的负二 e x 次方乘以三 x x n 减二 n pi 以及我们的 x 零啊，它都属于四分之派到二分之派。 在四分之派到二分之派上 g x 怎么样？一定是单调递减的吧，因为这边的 g p x 是 小于零的，单调递减，我们就只需要去证明什么， 只需要去证明 x n 减二人派大于 x 零， x n 减二人派大于 x 零，怎么去证明呢？哎，这就是这道题目的第三个难点，这个难点突破之后，你就把这道题写出来了，我们来看看啊。 那我们就要去聚焦于我们的 x n 和 x 零都有怎样一个条件了，哎，很显然就一个条件， f x 零等于 f x n 等于一，是题目上零点的一个条件吧，也就是得到这样的一个式子。 那这个式子里面我们希望得到 x n 减二人派，那你肯定要针对这个式子进行一些构造，把它变成 x n 减二人派。而我们天生的刚刚想到这个 cosine x n 减二人派的 对不对？所以啊，我们写一下， e 的 x 零次方乘以 cos 零等于 e 的 x n 次方乘以 cos x n 就 等于 e 的 x n 次方乘以 cos x n 减二 n pi 没问题。那仔细看啊，哎，我们这个东西是不是应该大于 e 的 x n 次方减二 n pi 啊？ 这个设置没问题吧？而现在又相当于构造出了一个新的通购，这玩意大于这玩意构造一个新的函数， e 的 x 四方乘以 cosine x， 而这个函数不就是我们题目上的 f x 吗？ 所以这玩意大于这玩意就相当于是 f x 零大于 f x n 减二人派。而我们最一开始第一小问就证明了 f x 在 四分之派到二分之派上是单调递减的， 因此就证明出来了 x n 减二人派是大于 x 零的，对不对？所以 x n 减二人派大于 x 零就能得到 g x 零，大于 g x n 减二人派就能得到这个式子。而我们这个式子又是大于 sin x 零减 cosine x 零的，所以这个式子就大于 cosine x 零减去 cosine x 零。 那既然如此，就证明出什么了呀？就证明出我们的这玩意是小于 e 的 负二 n 派 比上一个 sin x 零减去 cosine x 零的，因此这个东西整体就小于这个东西，也就把题目上的这个不等式证明出来了。 所以这就是我讲的方法一，方法一，是这类题目很常见的一个思路，就是利用第二小问的给出的一个简单的不等式，带入到第三小问的某个部分，然后去一步一步的去调整，一步一步的去思考，你接下来到底要去证明什么。 好，那接下来我们来讲讲方法二。方法二，我会从竖列的角度来剖析一下这道题。我们要证明这样的一个不等式，可不可以把左边这个式子整体啊，构造出一个新的竖列 a n， 它等于二 n pi 加上二分之派，再减去一个 x n， 那 现在就只需要去证明我们的 a n 小 于右边的这个式子，对不对？那构造这个新的数列之后呢？我们肯定要研究它的初矢象，初矢象的话是 a 零， a 零是不是就应该等于二分之派减去 x 零， 二分之派减去 x 零的范围，如何去研究啊？哎，那我们肯定这个时候就要去研究 x 零的范围了，这个范围的话，我们需要借助第二小问的条件。第二小问是这样一个不等式， f x 加上 g x 乘以括号，二分之派减去 x， 在 四分之派到二分之派上是大于零的。 此时我们只需要把 x 零带入到这个式子里面，也就是 f x 零加上 g x 零乘以二分之 pi 减去 x 零，它是大于零的。这边不就出现了一个二分之 pi 减 x 零，也就等于我们的 a 零吗？ 所以由第二条文可以得到，二分之 pi 减去 x 零啊，是小于我们的三 x 零减去 cos 零分之一的。哎，这个式子啊，你发现它不就是我们右边要证明的这个式子的一个子结构吗？ 顺着这个思路啊，我们就把刚刚的过程写一下，令 a n 等于这样的一个新的数列，那 a 零初矢像就等于二分之派减 x 零，它就小于 sin 减去 cosine 分 之一。 注意，我们的 a n 所有的东西都是有个范围的，因为题目说了，我们的 x n 是 属于什么呀？二 n 派加上四分之派到二 n 派加上二分之派这个范围内的。 所以你带入到这个式子里面，所有的 a n， 他 都是在零到四分之派上的。现在我们题目就转换成了要证明 a n 小 于右边的这个式子，而我们这个部分啊，他和我们的 a 零是有关的。 那是不是我们可以去尝试证明 a n 小 于 a 零乘以这个东西？因为如果证明到这个式子成立，我们的 a 零呢？他又小于这个东西，那不就应该 小于 sine x 零减去 cosine x 零分之一的负二 n 派次方嘛。所以啊，要证明它可以尝试去证明 a n 小 于 a 零乘以一个这个数，对不对？所以啊，再仔细看， 我们尝试去证明它，也就是要证明这个式子，我把这边的 n 次方拿出来可不可以？那看到这个你想到了什么呀？能不能想到等比数列啊？ 等比数列的通项公式不应该就是 a n 等于 a 一 乘以 q 的 n 减一次方，不就等于 a 零乘以 q 的 n 次方吗？就如果 a 零给他一个定义的话，不就等于这个吗？这玩意不就像一个等比数列吗？只是把它的等于号变成了一个严格的小于号，对不对？ 所以啊，我们可以尝试去证明 a n 加一比上 a n 小 于号，对不对？所以啊，我们可以尝试去证明 a n 加一比上 a n 小 于这个 e 的 负 二派次方。因为如果证明到这个式子，我们就可以利用这个等比数列的这个。哎，通向公式的这种写法呀，累乘法 a n 就 等于 a n 除以 a n 减一，再乘以 a n 减一，除以 a n 减二，等等等等，一直到 a 一 比上 a 零，再乘一个 a 零，而它 如果证明出这个式子的话，这玩意小于 e 的 负二派次方。这玩意小于 e 的 负二派次方一共有多少项？一共有 n 项，那不就是小于这个东西了吗？对吧？所以接下来我们只需要去证明这样一个复杂的数列啊，只需要去证明它 a n 加一比上 a n 是 小于一个这个常数的就行了。那接下来尝试去证明这一点。 要证明这一点的话，我们有哪些条件呢？还有一些条件是没有用到的，比如 e 的 x n 次方乘以 cosine x n 是 等于一，这个条件我们到现在就没有用到，那如何运用到这个条件啊？哎，仔细看啊，我们设了 a n 等于这个东西，而我们的 x n 是 不是就应该等于二 n pi 加上二分之 pi， 再减去一个 a n 啊？ 因此我们把这个式子里面的 x n 啊，都用 a n 去代替，就得到了这样的一个式子。那这个式子，哎，前面化简不了，但是后面这个 cosine 里面的这个东西啊， cosine 二人派，先把二人派去掉二分之派减去 a n， 再加一个 cosine， 它是不是就应该等于 sine a n 啊， 对吧？所以就是这个式子的一，现在我们需要得到 a n 加一和 a n 的 关系。 我们现在写出了 a n 的 一个式子，那我们还需要去把这边的 n 变成 n 加一，写出一个 a n 加一的式子，对不对？好，那写出一个 a n 加一的式子之后呢？我们把这两式消除，就得到什么呀？这边消除的话， 二分之派和二分之派就消掉了，然后这边的二 n 派和二括号 n 加一派就只剩下了一个负二派，所以就得到了这个等式。 所以接下来我们就尝试啊，去从这个等式里面证明出这个关系。这个式子再化简一下的话，就是写的好看一点啊，就是 e 的 负二派次方等于散点 a n 加一比上散点 a n， 再乘以 e 的 a n 减去 a n 加一次方这个式子， 那么得到这个式子啊，你仔细看，我们刚刚不是要去证明 a n 加一比上 a n 小 于 e 的 负二派次方吗？现在 e 的 负二派次方就在这个地方啊，所以现在我们就尝试去证明 a n 加一比上 a n 小 于 散点 a n 加一比上散点 a n 再乘以一个 e 的 a n 次方，比上 e 的 a n 加一次方，这个式子很像什么呀？是不是很像同构的式子啊？ 因为有关 a n 和 a n 加一的所有的项啊，他们都有散这个部分，以及 e 的 什么什么次方这个部分，还有单独的这个部分，所以我们把它改写成一个统购的形式，就是这个式子。 要证明这个式子，我们就构造一个新的函数，叫做 x 乘以 e 的 x 次方比上三 x， 那 构造出这个新的函数之后呢？就相当于是让你证明 p a n 加一要小于 p an。 要证明这个的话，就要去研究 p x 函数的一个单调性，对吧？实际上，如果你构造出这个数的，并且证明出它是一个单调递增的，已经就把这道题写出来了，就接下来你只需要去证明，嗯， a n 是 大于 a n 加一的就行了，对不对？ 那接下来我们就去尝试证明一下这个 a n 大 于 a n 加一啊。仔细看啊，我们要研究 a n 和 a n 加一的关系，应该就是要去研究谁和谁的关系啊。 注意，我们的 a n 是 等于这个东西的，要研究 a n 和 a n 加一的大小关系，其中我们的 a n 是 应该等于 二 n 派加上二分之派和减去这个 x n， a n 加一呢，就是二 n 派加上二派， 再加上二分之派，减去 x n 加一。所以我们要比较的是这两个东西的大小关系，要比较这两个东西的大小关系，是不是就应该是比较 x n 加上二派和 x n 加一之间的关系啊？ 这两个关系应该是很好去比较的，因为因为我们题目上有 e 的 x n 次方乘以 cosine x n， 它是等于 e 的 x n 加一次方乘以 cosine x n 加一，它都等于一。 而我们的这个式子啊，是不是可以把它的 e 的 x n 次方放松成 e 的 x n 加上二派次方， 然后 cosine x n 呢？它又等于 cosine x n 加二 pi， 所以 我们就得到这个东西，它是大于我们的 e 的 x n 加一次方，乘以 cosine x n 加一。然后我们又知道 e 的 x 次方乘以 cosine x 次方，它在四分之派到二分之派上是是单调递减的呀，所以我们就得到了 x n 加上二派一定是小于 x n 加一的，因此就得到了 an 是 大于 an 加一的。 得到了这个式子之后啊，你再去根据我们刚刚这个地方得到这个 ps 的 单调性是在四分之派到二分之派上是单调递增的。那这道题就写出来了，就这个式子就证明出来了。 那如果你这个式子的单调性并没有那么容易的就研究出来呢？哎，那你仔细再看啊，你还可以再进一步的放松，因为我们的这个 a n 是 大于 a n 加一嘛，所以 sin a n 加一，比上 sin a n 再乘以 e 的 a n 次方，比上 e 的 a n 加一，这个东西整体就怎么样啊？它肯定是大于 sin a n 加一比上 sin a n 的， 对不对？因为这玩意儿它就大于一了， 那我们就可以尝试再放松一步，然后尝试去证明这个东西是成立的。那这个东西成立也很好去证啊，也是同构，你构造 h x 等于三 x 比上 x， 它的单调性总好研究的吧。哎，肯定比这个东西好研究啊。那接下来只需要去证明这个 h a n 小 于 h a n 加一， 那很显然你写一下，这是成立的，所以就证明完毕了。好，这就是我们的一个方法二，方法二相对也有点难度啊，你要构造一个新的数列，并且要看出来他这个东西啊，实际上和一个内等比数列是有关的， 然后逐步的往等比数列这个方向去靠，你要证明这个内等比数列是严格小于的，就要去证明这个 a n 加一比上 a n 是 小于他这边的一个，相当于是可以说是公比吧。 然后接下来就往这个方向去证明吧。啊，根据我们的题目的条件，把它转化成有关于 a n 的 这个式子，然后得到 a n 加一，两个式子相比啊，就构造出了我们的 e 的 负二派次方，然后接下来就是利用同构去写就行了。 好，最后我们再来讲一个非常简单的方法，叫做切割线放松。那这个题目为什么会想到切割线放松呢？因为你仔细看这个部分，这个部分能不能看作二 n 派加上二分之派，括号再减去 x n 啊？而我们二 n 派加上二分之派，能不能看作两个横坐标相减啊？ 就二 n 派加上二分之派，肯定是一个很特殊的点，对不对？他带入到任何三角函数上面都是一个非常特殊的点，然后 x n 呢？又是我们的一个零点的横坐标， 可以看做两个横坐标相减吧。那两个横坐标相减，能不能想到我们的斜率啊，因为我们斜率的式子啊，就 k 等于什么什么东西，下面我们构造出两个点之后呢，它下面的分母就是两个横坐标相减嘛，所以就想到了切割线放松，利用这个斜率比大小得到什么不等式， 我们仔细看啊，那你要用切割线放松的话，你肯定要想到，哎，我们的这两个点啊，它到底是哪个函数上面的坐标呢？那这边我们要想到 利用 cosine x 作为我们的放缩函数，为什么要利用 cosine x 啊？因为如果你用 cosine x 的 话，我们题目上的这个 e 的 x 次方乘以 cosine x 等于一，这个条件就可以去用了。 并且你的二 n pi 加上二分之 pi 这个点啊，带入到 cosine x 里面，它是一个非常特殊的值，是什么？是零对不对？ 好，顺着这个思路啊，我们来写一下，我们先把几个点都取出来啊，先把最一开始这个点给它取出来，这个点的话就是二人派加上二分之派以及零。在这个 cosine x 图像上还有一个点是 x n 和 cosine x n， 注意啊， x n 的 范围应该是 x n， 它属于什么二 n 派加上四分之派，到一个二 n 派加上二分之派，是不是 x n， 它就在我们二 n 派加上二分之派的左边一点点啊，并且这个距离不超过 这个两个的差值四分之派啊，对不对？所以我们大家画个图像来仔细看这个图啊，如果我们的 n 取零的话，那这个点就是二分之派零，对不对？ 这个点呢？此时的 x n 就 在四分之派到二分之派之间，大概就在这个地方，这个是四分之派的话，它就在这， 那相当于这两点连起来，就这个东西的斜率，对吧？那如果 n 取一的话呢，我们这个点就应该是二分之五派， x n 呢，就在这个地方，就是蓝色的这边的一条线，如果 n 等于二呢？就是 这个点和这个点之间的一个斜率啊，这都是一条割线，对吧？这样的一条割线，他的斜率可以和谁进行一个比较啊？是不是可以把我们的这边的零，这边的二派，这边的最高点啊，和我们的这边的二分之五派这边的二分之派连起来啊， 也就是二 n 派加二分之派，这个点和我们的二 n 派这个点啊，连起来 可以看到啊，我们蓝色这条线是不是更陡的？我们的红色的这条线一定是没有蓝色这条线陡的吧？你随便画几个都是这样的，比如这边啊，这是我们红色的，然后呢，这个是我们的蓝色的。 再比如后面这个地方呢，这是我们红色的，然后呢， x n 在 这个中间，这是我们蓝色的，一定都是蓝色的。斜率要比红色的这个斜率的绝对值要大吗？ 对不对？好仔细看啊，也就是说最开始这个蓝色的斜率是这个东西啊，红色的斜率啊，是这个东西，那一定就有 这个东西绝对值大于这个东西，那绝对值的话，把符号去掉就行了，所以就是这玩意是成立的，这玩意成立哎，就很好写了。我们的二人派加上二分之派减 x n， 题目上是有的，就这个部分嘛， 所以我们把它化解一下，也就是题目要证明 e 的 二 n 派次方比上二 n 派加上二分之派减 x n 要大于三 x 零减去 cosine x 零，对不对？ 好，那现在我们去使用我们上面的这个不等式，这个不等式的话，就是我们的二 n 派加上二分之派减去 x n， 它应该是小于什么呀？小于这边的二分之派乘以一个 cosine x n， 对吧？所以我们把它利用到我们的这个式子里面，整体就应该大于派分之二乘以 e 的 负二 n 派次方比上 cosine x n， 而我们 cosine x n 是 怎么样的呀？ e 的 x n 次方乘以 cosine x n， 它是等于一的， 所以我们把 cos x n 用 e 的 x n 次方去代替，就得到了这个式子，对不对？那这个式子仔细看 x n 是 等于啥的？ x n 的 话，题目好像只说它的范围，它是属于二 n pi 加四分之 pi 到二 n pi 加二分之 pi 之间的。 哎，这两个合并起来，不就是 e 的 x n 减去二 n pi 次方吗？ x n 减二 n pi， 你 仔细看这个范围啊，它是不是应该是一个非常微小的量啊，对吧？如何去说明这一点呢？ 我们还是设 x n 等于二 n 派加四分之派，也就是它的这个初识的范围再加一个微小的量 a n， 这个 a n 就 一定是属于零到四分之派的，对不对？所以 这两个式子合并起来，就变成了派分之二乘以 e 的 an 加上四分之派次方，而这个式子可以直接放缩吧。我们利用长减不等式， e 的 x 次方大于等于 x 加一，所以它就大于派分之二乘以 an 加四分之派加一 an 怎么样？一定是大于零的吧， 所以这个式子整体就应该大于一个二分之一，加上派分之二，一定是大于一的吧，所以这个式子整体就应该大于一个二分之一，加派分之二，一定是大于一的吧？ 大于一就说明我们这个式子大于一，而我们右边这个式子，它一定是小于一的，为什么？因为一个浮角公式，它等于根号二倍的三， x 零减四分之派，我们的 x 零是属于四分之派的，所以 x 零减四分之派就属于零到四分之派。在零到四分之派上， 我们根号乘以它的范围一定是小于一的吧，所以右边小于一，左边大于一，不就证明出我们这个东西是大于三 x 零减去 cosine x 零的吗？所以就证明完毕了， 对不对？因此这就是我们的一个方法。三、切割线放缩这边的切割线放缩为什么能想到？因为我们可以把它看作两个点的横坐标相减， 看作横坐标相减还没有结束，你还要想这两个点要放在哪个函数上呢？哎，根据这个横坐标，我们想到三角函数，又根据题目上的 e x 四方乘以 cos x 是 等于一的，我们就想到 cos x 这个函数， 对不对？好，那构造出来之后呢？我们把这两个点构造出来之后，还要想它的斜率要去和谁的斜率比较， 很明显的，我们发现啊，你的 x n 是 介于啊，介于这个二派到这个二分之五派之间的，就这个这个范围内嘛，都是在这个范围内的。那这个范围内呢？我们很容易去把两个端点连起来，是不是你会发现这个中间的部分啊，它都是凸在外面的，所以呢，我们就可以和它的这个端点的连线的斜率去比较， 那一比较就构造出的这样的一个不等式，然后用不等式去放缩着，放缩着就写出来了，所以这是我们的方法三，也是非常非常好的一个方法。 好，这道题目就讲到这里，希望大家能够学到东西，三种方法我觉得都挺值得去掌握一下的，感谢大家的收看。