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00:15查看AI文稿AI文稿被外校名师做的几何动画课件震惊了！只要会打字就能做出这样的几何演示，实时演示点和线段的运动轨迹，分步骤展示绘图过程，演示模式下还能使用手写笔记。我还以为大家都在手搓，没想到已经这样了。
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04:50查看AI文稿AI文稿好，这一组第三位女生，平面图形是四五七，立体图形是一二三六八，看一下正确答案，四五七， 一二三六八。非常好，看来大家对概念应该是了解的非常清楚了，这立体图形和平面图形， 来，我们说一说，在我们的生活当中有很多的物体吗？在这里面你能找到哪些立体图形不？ 我们从左往右按顺序来啊。第一个。好，这一组第四位男生，嗯，第一个金字塔是能追哇，提到了金字塔，他能找到的是能追。好，请坐。 第二个。这一组第五位男生，呃，我觉得第二个这个图形，它是有一个长方体和一个真方体构成的哦，下面是长方体，然后上面是真方体。不错，有两个， 还有同学有补充吗？这一组第三位女生，还有一个球体，非常好，你观察的很仔细， 在这个正方体里面还有一个金银色的小球，它是一个球体。好，第三个图了啊，这一组最后一位男生，呃，有一个长方体和一个圆柱，有一个长方体，有一个圆柱，很好， 请坐。最后一个图 有答案不？有，嗯，它是一个六六楞柱和一个就是有一个六楞柱组成的。 好，请坐，他说的是这是一个六楞柱，有同学需要纠正的吗？ 他是一个棱柱，有没有问题？没有，但是是几棱柱呢？这一组最后一位，这是八棱柱。哦，对，因为他的两个底面是几边形。八八边形我们看清楚啊，是八边形，所以他应该是八棱柱啊，但是棱柱是没有错的。 好，这是我们从生活实物中找到的立体图形。那从我们的生活实物中发现一下平面图形， 你来第一个，第一个，我是一个三角形，有三角形，然后里面还有两个线段， 非常棒，里面还有两个线段，请坐。看。好了，那第二个， 那你们，呃，有圆形和两个线段，有圆形和两根线段，非常好，还有不？有四个扇形，有四个扇形，太棒了，还有，哎， 对，这一组最后一位女生，有一个圆形和一个线段。呃，你是说的第二个吗？第四个，你说第四个了，我们还在讲第二个。好，第四个是不是一个圆形和线段？不是，是的。那中间挑了哪个？第三个，第三个。那第三个里面有什么？平面图形？ 有几个三角形？嗯，对，是的吧，没问题吧？嗯，好，那下一排了 有什么？这一组最后一位男生，嗯，有几个圆形，还有一个线段，嗯，有圆形，有线段，还有不？嗯，好像，好像还有个圆柱， 还有个圆柱。啊，这是找什么图形啊？我们要找平面图形。好，请坐。这一组最后一位男生，嗯，这里面有， 他说了圆形还有线段，扇形，哦，还有扇形， 还有不，请坐，是的，是扇形，并且这个扇形 还可以是一个半圆，有没有？哦？除了这个之外还有吗？没发现哎，这一组最后。
07:50查看AI文稿AI文稿最近一个视频，我跟大家聊了一下这个基本型的事情啊，主要针对几何辅助线添加，可能会涉及到了一些 点吧。所谓的规律啊，总结出来，一般规律就是基本型为了高效上手压轴题，包括并不是单纯的套模型，前期是学模型，后期呢是去模型化， 再早一点的时间就是结合当下嘛。七年级正常你很多校内开三角形再学三角形是吧？明确表示三角形这块重要的内容是啥？倒角角质计算， 角质计算吧，没说完啊，没说完你等你学完全，等去系统的训练过这个基本型之后，倒角还在的，而且超级重要。 回来我再絮叨一下这个倒角的事啊，你比如暑假，暑假咱们分类练各种辅助线添加的这个底层逻辑， 比如先前提到了角平分线是吧？角平分线几乎是必考的。碰到角平分线题我可以不会做，无论二十题还是这个二十六、二十七题，我可以不会做，但是我脑子里有路子，一二三，大概往那使劲做。二十六二十七题我可以不会做，但是我脑子里有路子，一二十六二十七的全等啊， 包括这个什么平行角分出、等腰，三角形垂直角分出等腰等等吧。就是思路得有咱家孩子脑瓜里面这个路子他得有，他有门路题可以不会做，题不会做， ok， 咱们再拆解看看是因为啥。你不能说这个，这个角平分线我不知道他往哪使劲，那不行， ok， 知道往哪使劲是一个事，后面实际在操作的过程中，很长一段时间你会发现很多孩子他知道往哪使劲，他知道就是正常碰到，比如说还是角平分线吧，他知道常规的那几类的处理策略，但是呢，那个题他没通， 没通，你要细分析。不一定啊，但是高频出现一种情况是啥呢？还是倒角，你会发现咱就这块就不是那么细了，就是什么铅笔标注这事咱不说了，他角吧，他没标干净。这个倒角的意思他没有 捣鼓脚了，意识没有，就拿过来一个题的话，就想一眼就是看穿啊，一眼就出答案，这种不知道干什么着急忙慌这种，或者夸夸就一顿套上来，就连辅助线了，开始找关系去了。这明白加辅助线目的是啥呀？ 他提干中重要的信息我要能用上，能把已知和结论贯通链接起来，我要不加辅助线那更好啊，他不链接不起来吗？试着去做连接，加辅助线建立关系，这意思没有人上来，就连谁连谁，你细问吧。他也解释不明白为什么连他 等底子打的牢靠了。一推二，二推三，常规辅助线添加能理顺好，慢慢的再有那种麻烦的题不通了之后怎么办？再天马行空去啊，但中间还会涉及到这个倒角这个事。 ok， 倒角呢？再再隐身，再往深说一把。说的是啥呢？你说你说老师，这辅助线他添加，他梳理完了，你说他倒角不是在前面就练过了吗？怎么加辅助线的时候他倒角还做不好呢？他有的有的孩子吧，你说习惯也非常好，他也知道倒角重要，他也去找了， 也标注了，但是他没看到里面重要的信息。这个说的是倒角，他有目的性， 带着劲去的。我不是说把脚飙干净拉倒了，我带着劲去的，结合体感信息，这个也是类似的啊，类似的你比如总结脚分配线的处理策略，倒脚也是需要总结出来，一般规律可能会出现哪些？ 对，可能会得到什么呀？倒脚目的是啥？倒脚能得到什么呀？就往那使劲啊，倒脚他是有路子的。也是， 你看到八下的小孩，现在啊，比如九年级的马上中考了，他们如果说自己有这种独立思考的话，他们能比较清晰的表达出来。那你说导角啥目的？ 几个题干中呈现的各种角关系给你什么合差了，背叛了谁家谁得谁，什么九十一百八这种的是吧？带着这个比例关系的，那导角大概有几种？我简单几句话给大家再理顺一下，可能会出等角是吧？等角？你等角你干嘛用的呀？ 对吧？题可以不会做，但是这思路得稍微清晰一些，但是他不可能覆盖百分百的题啊，但是大概的大概的百分之八九十的比例你得跑不了。就是这些结合着边关系是吧？等角结合边关系去干嘛？去构造全等三角形， 或者是去构造相似，所谓的一边一角，当然有构造全等，也有构造相似了，还有啥？你比如说九年级 有等角了，可能会结合着三角函数去实现方程的建构，对吗？那什么与角，补角，外角，这个咱就不多说了啊，不展开说了，一边一角他不一定是一边一等角，还有这些其他的对角啊，外角啊，补角啊这种啊， 往下还有啥？你就说超高频的呗，是不是超高频？你说导角还有啥？二倍角，三倍角，二倍角，三倍角啥时候出来的就拔上去有吗？二倍角，三倍角，题中给你了，或者没给你，给你别的东西，你自己导出来的二倍角关系，你说他干嘛用呢？嗯？ 等号三角形的构造是吧？基本上就结合着等号三角形的构造，回头还是进一步再去干嘛？缝成间隔， 还有啥哈尔滨特色啊，咱哈尔滨特色啥绝配角干嘛用的呀？用于等号三角的判定和构造，常见的几类？一二三有哪几类啊？等门门清你得是吧？倒角出，等腰贡点绝配啊，内外绝配啊，或者不挨着的那种怎么办啊？思路得有， 还有倒角还有啥？说了仨了吧。还有倒角第四个特殊角啊，有的时候你倒角就出现了隐藏的特殊角，你像八下，只要没学那个三角函数啊，仅限于四十五六十，还有啥三十以及他们的补角，等到三角函数进来之后呢？任意的一个角，三角函数值都有，那全叫特殊角了 对吧？出特殊角怎么办呀？往下怎么办呀？做垂是吧？把头角扔直角三角形里面怎么做垂 啊？做本身那条边的垂啊，做对边的垂啊，还是怎么的？垂目的再往下是干嘛？为了解三角形是吧？撒边撒内角六个信息，三角形里面你去配凑一下，看看够不够三个信息，然后再有的话就是啥第五个倒角可能会出特殊角度关系， 你就不一定了。常说的比如说背角的鱼角三角形是吧，什么二倍鱼，三倍鱼啊，包括什么镜面角啊等等。这种 还是针对倒角这个事啊，再通过这么一个视频啊，再嗯，梳理一下，梳理一下，理顺一下， 现在的七年级单纯的就是角度计算，等晚一点暑假的时候结合着基本型倒角也会再明晰一下，就是我刚才提到大大概这些，当然具体做题的时候可能还有其他的分支吧，这种 这是我觉得重要的事，导角基础且重要，必考八上，整个八上很多同学都接触到这个构造了，就不管学的怎么样，系统怎么学的，学校内考试肯定见了吗，对吧？半年吗？ 呃，结合往年经验呢，我到后面有的策略会调整，有的孩子真的就目标降低一些，只要把导角这事干的非常六，把导角这事干的非常六，把信息标注这事干的非常六， 构造练的什么样都可以都能接受，八下继续练，但是就怕什么呢？这个导角的意识没有，没有认为导角很重要，没有认为这个信息标注很重要，也没有上心，就一个铅笔，现实情况就有，说了八百遍就不知道用，你说这个几何能学好吗？
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04:21查看AI文稿AI文稿咱们哈尔滨市的家长总能听到基本型三个字，这个基本型更多说的是几何这一块。从八上开始啊，全等学完了，等到三年级学完了，大概在十月份，十月份还有考试 就比较有难度了，他们中间没有什么缓冲，因为几何的构造啊，是一个难点，比如辅助线的添加，是吧？针对于这个辅助线的添加，想孩子自己能独立上的了手。这个压轴题前期呢，需要系统全面的梳理一下辅助线添加的一般规律， 所以模型我个人理解为就是一般规律啊，就是基本型也行，咋说都行啊，他就是福利线添加添加的一般规律。结合着往年咱们去应试吗？对吧？去年，前年，往年近些年在哈尔滨市各校啊，这个月考啊， 其中啊，期末呀出现的这个几何压轴题，他里面涉及到的一些连接的这个底层逻辑，咱给他拆解干净。你不可能上来，你刚学，学完新课，然后你就直接做那个名师一号，比如说是吧，做那个大题去了，你做不动， ok， 那 就需要梳理一般规律。一般规律。呃，基本型我个人理解是两个词吧，我老老跟老在提的两个词，一个是系统，一个是全面啊，系统，一个是全面。系统简单理解为 你比如说可以先从全等这个角度切入常见的一边一角，对吧？还有旋转高频出现的，再有就是 m 型的勾道高频出现，然后当然还有别的。 对啊，你假期你，你比如暑假这个大块时间，你数学你是肯定要给的吧？你肯定要深挖几盒呀，你过了时间不就没有了吗？ 挖，你可以挖圈子，按这个一般思路去理顺圈子理完之后呢？你比如再往下，你可是可以按住这个什么导三角形去梳理跟导三角形有关的一些常见结构。 有哪些啊？绝配角等等的啊？一二三四，然后再往下，你比如按这个条件类的这个分类去找。比如啥呢？就是角平分线出现了，往那使劲啊，一二三四五六出现终点了，咱往那使劲啊，一二三四五六出现面积了，咱往那使劲。一一二三四。不一定， 他其实里面存在着一定的逻辑思维，链条不乱，这就稍微系统一点。梳理全面其实说的是啥，也非常简单。全面这个词啊，就是你看这模型吧，每个人理解都不一样。每个老师啊，大概就是十多类吗？十多类他老出现，他老考对吧？他老考，你在孩子 就是这新学期开始之前，应试之前就是参加这种月考之前，参加考试之前我先提前处理到啊。他往年他老考老考 对吧，又不是偶尔出现了一次的那种结构啊，我非得拿出来再总结个型？不用了，那个就不用特地总结了，结果那道题咱拆解干净就行了。他老出现，咱不得提前拆梳理完吗？你要漏掉了，那就不全面了。大概这个意思好理解吗各位？ 所以七乘八的暑假是关键啊，关键稍微有点追求，你不一定是男九以上的省重点，你就是中间提对省重点，你 稍微有点想法。八年级这个暑假啊，七乘八这暑假特别关键，数学这科多给点时间深挖几科。 当然学完基本型之后呢，他有个内化的过程，需要训练啊，需要训练配到一些典型的题型，以整体为主，最好再晚一点时间，我会提到一个词叫去模型化，对吧？前期呢，学学结构，包括你学代数，他不一样的吗？学代数，比如同底数密的乘法法则， 对吧？你最开始学，你搞明白他咋来的，你想用你不得带点背诵的成分吗？当你用的时间久了之后，那个法则你就不用背了，就直接知道那个计算怎么算了。其实几何也是类似的， 只有在前期的时候，咱们会去强调一下基本型，慢慢的这个模型也不特地去强调模型了，因为你单纯掌握模型，他那个亚洲体还是做不了 基本型吗？你想吧，基本两个字，必知必会啊，对吧？他不是套模型，你套模型那太肤浅了。咱这个规律他是有人先给你总结了，但是还是需要孩子自己需要长时间的实践反思。他反复去纠篇，哎，才能理解的比较通透。去发现一些规律，验证完了加以利用吗？ 短时间内突破不太好突破的啊。几何这个东西一定是大量的时间和精力吧，所以很多的时候呢，是公平的，是公平的。
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15:45查看AI文稿AI文稿这道题出的非常有难度，非常综合，既考几何，又考三角换圆，题中的动态思维也难倒一大片同学。这道题呢，三个圆，我们直接把图画出来，明显三个圆是外切的关系，三个完全一样大的圆， 两两外切，这个圆是这个位置关系。那在这种情况，现在有一条任意的直线，斜率不能竖直的直线跟每个圆都交于两个点，然后截得三段弦长。现在说 k 可以 是任意实数，就说明这个直线怎么转 都能跟他各有两个焦点。截得三段弦长，可能吗？啊？ k 可以 取任意实数，那你看，比如说，我都知道我肯定会找这条切线，找特殊情况，你就找切线。 那这条切线，你看这条切线现在符合 t 吗？不符合 t 吧，他跟你这两个圆只有一个公共点。那好，如果这条切线往上挪，保证斜率不变，这个 k 等于切线， 那你看，跟这个圆就没有公共点了，不符合 t。 所以 这条线往上挪，跟右下角的圆没有公共点，不符合 t。 而这条线往下挪呢？ 跟上边的圆又没有共点了，也不符合 t e。 所以 你就知道，如果这条切线，这条线是这样的，一个线的时候是两个圆的，公切线的时候，你这个 k 就 不符合 t e， 所以 不能取任意实数，因此 a 不 对， a 不 对，非常好判断。你一旦判断出 a 不 对之后， 剩下的我们在平时也经常跟各位讲，高考真题里压轴最后一道十一题，经常是三个选项，所以剩下的即使你不会做，你随便蒙一个都是对的。那我们来看接下来二 b 选项怎么快速判断说满足 三个相等的直线 l 共有三条，那如何能让三个相等呢？我们来看一下。首先呢，我们就先找什么呀？我们就先找一条水平线，从特殊情况开始出发，我们先找一条水平线， 如果你想让三段弦长相等，首先你水平线画的这两段长度是不是一定相等？这俩必然相等，那么当他往上挪的时候，你发现根据我们动态直线的零点存在定力，那最开始怎么样？我先做这条切线，我先做这个圆的切线， 你发现 s 一 和 s 三有长度，这个 s 二等于零，那是说 s 二比较小，当你往上平移挪到这个位置的时候， s 一 等于零， s 三等于零， s 二比较大，所以在你变化的过程中，中间一定因为它是单调的， s 一 是单调递减的， 对吧？ s 一 是减小， s n 减小， s 二增加，所以中间一定有，且仅有一个时刻，这三段是相等的，这就是动态直线平移 啊。根据零点磁带定律，最开始底线两边相等，中间小，最上边中间大，两边小，那中间一定有一个相等的瞬间，所以这条线可以直接确定这有一条符合 t 的 l 一， 那这个位置如果满足了，根据对称性，我们就应该知道什么。 那根据对称性，你应该知道我们现在这条线是跟这两个圆心平齐的，跟 o 一 o 三平齐的，那我就可以怎么样？我就可以再找这样一条线跟 o 一 o 二平齐吧， 那这条线 l 二是不是应该也存在一条啊？是不是也应该存在一条啊？那同样我再找谁呢？再找跟这两个圆心平行的这条线，那这 l 三是不是也存在一条啊？所以 l 一、 l 二 l 三总共有三条二 b 就是 对的了， 所以你看是不是并不难算，利用对称性和动态直线去移动，直接去做，不用算啊。那这里如果有人深究说，那老师啊，我这三条线都是平行的，那我如果有这样一条线行不行？注意看。我现在说 这个圆在这，这圆在这，这圆在这。有人说，那老师我这样画一条线呢？我能不能这样画一条线，让这三段相等，斜着画能不能这三段相等？那你想啊，如果这三段相等了， 那是什么情况啊？那咱们就看这两段相等，那这两段相等不就意味着这两个圆心到这个直线的距离相等吗？那这条线不就跟这条线平行了，也就是我们求的什么，就是我们求的这根绿线呢？ 所以其实你这种情况就是这里的绿线，因此你想的这种交错的情况也算出来啊，所以这道题二 b 是 对的。最后我们再来看 c 选项，那我们来讲讲第三问啊， c 选项， c 选项呢？还是这三个圆？ 现在说让我们判定三个弦长之和为三的线有几条，我们来看啊。首先我们会发现， 我们就找这条水平线，因为对称性，我们就找水平线，那这条水平线你看啊，我找哪个位置呢？找一个特殊位置，也就是过这个切点的这条水平线。 那么由于对称性，其实你这个 o 三点，这应该是 o 一 o 二，这个的高度 h 是 跟这个高度 h 是 相等的，都是等于二分之根号三。如果你找这个过这个公切点，这条水平线其实应该可以算出这个结果。 那这条线的长度多少呢？你发现这条线的长度正好是这是一，这段长正好二分之一， 二分之一，二分之一，二分之一，所以总长这段红线长恰符合 s 一 加 s 二加 s 三等于三，你一定要找到这根线，这根线的时候，三段线段为什么特殊？因为 s 一 s 二 s 三是接起来的，那既然是接起来的和是三就满读题，那现在我就知道这条线有一个，那同理这个位置的绿线和这个位置的红线是不应该各有一个， 所以你现在知道满足 t 的 线已经有三条了，现在说多余三条，你是不是还得再找一条线出来？那怎么找？首先呢，这条直线我们就要动态变化了，来看，我把图画大， 我们来动态变化，来，我们看这条水平线在这个位置，我们现在啊让这条线往下移动一点点， 用一个动态的极限思想啊，向下移动一点点，那我们看这三段线段会变化，那么这时候化曲为直来看左边这段用切线代替，所以我们做垂直 这块会多出一个。我记这段长叫嘚特 x， 然后呢，这段长 这我也用切线进四，这因为是这个点是公切点，用切线进四，所以这段长也叫 der x， 因此 s 一 加了二倍的 der x， 原来 s 一 在这底下 s 一 撇加了二倍的 der x 啊，这是极限思想为原版。那好，我们再来看 s 三，同理，你这条切线，由于对称性，这两条切线是完全一致的， 所以你看这个位置也是 der x， 这位置也是 der x， 那 你 s 三也加了二倍的 der x， 那 么再来看 s 二的变化，你看啊，这个位置就是 der x， 这位置是 der x， 那 你的 s 二到 s 二一撇往下走，那你 s 二是减了二倍的 der x， 所以 你就知道叫做直线 l 向下移动， 你的 s 一 加 s， 二加 s 三，一撇应该等于 s 一 加 s， 二加 s 三，多了四个的 x， 少了两个的 x， 也就加上二倍的的 x， 所以 应该是变大了的， 那变大了，就意味着此时这个的 s 一 加 s， 二加 s 三，他是大于三的，因为这个瞬间是等于三的。这是这道题的关键，还是动态变化。我移动一点点看变化， 所以这个位置大于三，那大于三，我们就要看再往下走，走到临界是什么？走到临界就是那条切线，这条切线是最终状态，那么算一下这条切线的长度， 那这条切线其实很好算。这条切线经过计算，你会发现这个的长度是一，那这段的高度 h 就 等于根号三减一，那于是我们可以估算这个长度， 这长度是二分之 s， 应该等于根号下一减去 h 的 平方，那就等于根号下一减去它的平方是四，减二倍根号三，所以应该是减四加二倍，根号三等于二倍，根号三减三，开根 约等于一点七三二乘以二，三点四六，零点四六开根，所以它是小于零点七五的，显然小于零点七五，那这个的长 s 一 就要小于一点五，那 s 一 加 s 三就小于三，而中间 s 二是等于零的。所以你发现，当你这条线往下移动的时候，我们看它的和， 最开始和是三，然后往上移动，最后又小于三，那么他一定有两个瞬间等于三是零点存在定力。所以那就意味着符合 t 的 线一定有最开始的一条，和相切之前一定还有一条，所以这是有 l 一 和 l 二两条直线， 那么同理，这边也有两条线，所以你满足 t 的 至少有六条， 慢读题至少有六条，因此 c 选项正确啊。所以这道题呢，就是不是硬算，就是看我们动态变化。 a 和 b 选项的动态变化是比较简单的，直接看出什么呢？直接看出直线旋转，利用对称性即可。 c 选项的动态变化要结合特殊位置移动的时候一个微圆思想。 好，那最后我们来看四 d 选项， b 和 c 是 对的， a 不 对，那来看四 d 对 不对？首先呢，在高考里啊，一般来讲这么复杂的题，第一， 一般来讲正确选项都是三个。另外高考真题里像最后这种最复杂的选项，大多数是对的，当然你在考场里肯定不敢蒙他对，那么来看看怎么算这个数。来，我们重新画一下图，三个圆这样一个大小关系。然后现在这题说什么呢？这道题说一条直线过这个点的一条直线 首先跟三个圆都有交点啊，这样一条直线跟三个圆都有交点，交完之后呢？现在求三段和的最大值。那请问怎么设未知数？ 这道题明显是几何，我们只是说小题中几何的青带数，所以来我设这个角为 c 塔来做垂线，所以这段长度是一，于是这段长 应该就直接 cosine theta， 所以 这个 s 一， 这个 s 三来， s 一 加 s 三就等于四倍的 cosine theta， 因为这段肯定是相等的，同时呢，因为对称性，这两段都相等于是做垂线过来，这是 theta， 于是这段也是 cosine theta。 那 么 这段弦长和它的弦长之合就是四倍的 cosine theta。 那 么现在要算 s 二来做垂线， 我们现在知道这是 theta 的 余角，所以这个角度就是 theta， 然后这个的长度是根号三，所以这段长就是根号三倍的 cos theta。 那 根据这个三角形的勾股关系来，我们算这个三角形的勾股关系，我们就有 二分之 s 二等于根号，下一减去三倍的 cos 方 theta。 所以我现在就知道我的和应该等于这三者之合。四倍的 cosine theta 加上二倍的根号下一减三倍的 cosine 方 theta。 我 设置了一个角度 theta， 因为我们说过这种问题一定是中几何的，那中几何你就不要设斜率 k， 不要连立，那变成解析几何的大题了，咱就设个角度，就可以快速得到这条显长的表达式。现在要求它的最值，那这式子求最值， 如果你通用基础学得好的话，这就是 i 换元的平方和为定值求最值，那么来看，等于四倍的 cosine 方 c 加上四倍的减去十二倍的 cosine 方 c 开根。那现在我们想想啊，你看我射左边式子为 a， 右边式子为 b， 可不可以找到 a 方和 b 方的关系？ 我们想把这抠散方消了，注意，这没有平方啊，这没有平方，那你看 a 方是十六倍的抠散方 c 塔，如果你给他乘个三，这就是四十八， 对吧？然后 b 方呢，是四减十二倍的抠散方，如果你给他乘个三，就是什么呢？就是十二减去， 不好意思，不是乘三乘以四，那就是十六减去四十八倍的扣三方 c 塔，那这两个加和就等于十六了。于是你找到了所求就是 a 加 b 的 最值满足其中 三， a 方加四， b 方等于十六，通过整体换元得到平方和为十六，求 a 加 b， 那 这就是一个二元最值问题。那遇到这种问题就是均值最值，用什么三角换元？所以呢，你就假设 a 方 三点霍元除以什么呢？三分之十六加上 b 方除以四等于一，所以你就设 a 等于根号三分之四倍的 cosine theta 啊，换一个值吧，换一个 cosine f 呢，就等于二倍的 sine。 所以 所求和等于 a 加 b， 也就是根号三分之四倍的 cosine 加上二倍的 cosine 添加辅助角等于根号下平方和三分之十六加上四倍的什么呢？哎，倍的 cosine 加阿尔法添加辅助角 啊，把它的辅助角系数摘出来，那就等于根号下三分之十六，加上三分之二等于三分之二十八开根，也就等于三分之二倍，根号下二十一。 所以一看就直接对了这道题 b c、 d， 所以 这道题出的非常有难度啊，通过动态思维卡掉绝大部分同学， 让稍微有一点点动态思维不死算的同学可以快速的判断 ab 选项，让动态思维很灵活，有极限思想的同学可以快速判断 c 选项， 那做到这基本上就是思维灵活，不需要计算，有极限思想同学可以拿到四分，如果想拿满分，那这时候呢，你不光要思维灵活，几何性得好，同时你的代数计算得相对比较简便 啊。你得能把，你看这题非常综合，既考几何，又考直线斜长表达式，又考什么呢？又考啊，整体换元，最后又有三角换元，求最值啊。所以非常综合。答案就是 b c d 啊，搞定了。
410北大胡源数学优题库
01:48查看AI文稿AI文稿嗯，不管几年级的，在哈尔滨市，不管几年级的，这个压轴题里面有个关键的点，怎么压轴题能做的顺利呢？或者是怎么能高效的去突破一下压轴题，尤其是几何。这里面有个重要的事， 提亮是必须的啊。首先提亮是一定要有的，然后咱们说这个反思各大总结是吧？他有点看不见摸不到，就是简单讲。简单讲啊，你家小孩做这个压轴题时间给够了是吧？他有一定的思考，他没通，但是他应该是能拿到一些有效的信息，甚至有一些想法， 然后往下可能提高中某个没用到的信息不知道怎么用了，以及前面刚拿到的一个结论啊，比如挣了一个全等，再往下怎么能和提高中那个没用上的信息，或者其他没有用上的信息联系起来，包括要求的结果，这是个路子，要结合一下。 然后还有一个就是简单讲啊，简单讲其实重要的事还是说思路，其实说白了就是没通没关系，没通没关系，那个思路前面拿到那些东西一定要有个确定性的判断。啥呢？是合理的还是不合理啊？你前面比如政的内部权能到底合不合理， 你不是自己做了不通了，看答案拉倒了，听老听老师讲完就结束了。嗯，你的那个想法，你家小孩那个想法一定要被判断，一定要判断是对 他 ok， 他 对接着往下把他思路给他打通掉，顺着他那个路子，他要不通不合理，指出来。为什么不合理啊？类似有些方程是恒等式建立是吧？为什么出恒等式啊？他里面一定有原因的把这个事给拆解干净， 这样的话后面你再加体量，再加这个反复各大总结压轴题，才能就是高效的去突破啊。高效突破，要不然就总是在原地打转这种。
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