分母有根号的式子如何化简
好，同学们好，欢迎跟张老师学数学，我们再来一道画剪啊，画剪四加根号三，减根号是九分之八比根号三，这样画剪的话，我们只要把这个分母中的根号去掉就可以了啊，我们采用的方法是分母有理化啊， 分母有理化的话，那需要对这个分母给他成一个配方，而且不是配方配成一个平方叉的公式啊，然后去掉更好。那么这是三项，我们该如何配平方叉公式呢？我们会发现，观察一下， 四的平方加上这个根号三的平方呀，就等于根号是九的平方，所以我们给他前两个分到一组， 那么我们就这样做啊，四加根号三啊，减根号是九， 这个啊，我们再给他配一个平方，插弓式的话，我们需要给他乘一个什么呢？乘一个四加根号三啊，加根号十九，对不对？当然分子也得乘啊，四加根号 三啊，再加个根号是九啊，这样啊，我们分子就不要动了啊，给他抄上来就行了。四加根号三，加根号是九啊， 分母呢，我们用平方插公式，那就是这个是 a 减 b 乘以 a 加 b 的形式，那就是四加根号三的平方，减根号十九的平方，对吧？那么我们给它分子还不要动啊， 分母四加根号三的平方，用平方完全平方和公式展开就是，嗯，四加上个八倍根号三，加一个四的平方啊，加八倍根号三 加根号三的平方，再减去根号十九的 啊，平方啊，好，我们最后这一步给他算出来啊，八倍根号三，四加根号三，加根号十九，那么就是四四十个四的平方是十六啊，十六加三，十六加根号三的平方是个十九， 十九加八倍根号三减去一个根号，十九的平方是一个十九，对吧？那么十九减十九啊，约掉。 嗯，抵消掉啊，所以这个分母呀，也变成了一个八倍根号三。那么八倍根号三和八倍根号三啊相约，所以最后的结果就是一个四加根号三加一个根号。事情这样的话啊，就分母就没有根号了。已经化解了。好，我是张老师，欢迎关。
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06:45查看AI文稿AI文稿各位，越难的题啊，越要迎刃而上啊，就像这道题，你要能做出来，你不是天下无敌了吗？我们来看一下啊，化简根号下三加根号下五， 减根号下十，三加根号下四十八，比上根号六加根号二，看起来很复杂，很吓人啊。但是遇到根号带根号的，你记住一个诀窍，你要从里边开始往外边化解，明白吧？你要从最里边的开始化解，你看到没有，这一坨是不？最里边的， 你先别着急，你先把它化解，看它等于什么。各位，只要看到根号下 带根号的啊，根号下带根号的，他一定是完全平方式。那有的同学问了，这个家伙一定是完全平方吧？一定是他一定是某个数加某个数的平方，不然的话，这道题他就出错了啊，就是数学家过来，他也解不出来啊， 所以这个家伙一定是某个数加某个数的平方，好，怎么弄？各位，你看他这个根号四十八啊，他是多少呀？能不能把四提出来？四提出来是不是二倍根号十二呀？是不是二倍根号十二？这个 那有的同学说了，为什么不给他化简成四倍根号二啊？必须化成二倍根号十二。为什么？因为 a 加 b 的 平方，各位，完全平方是他有个 a 平方，有个 b 平方有个二 ab， 所以这个系数啊，必须是二，这个系数必须是二，所以根号四十八，就给他化解成二倍根号十二。这个道理能不能明白？然后十三加他再开方， 你会发现一个问题，十三是不是可以拆啊？十三可以拆成一，加十二，再加两倍根号十二再开方。各位， 一的平方加根号十二的平方加两倍的，他乘他是不是完全平方式啊，对不对？所以这疙瘩啊，这一大坨啊，他能化解成什么呢？根号下一加根号十二的平方 再开方，这个道理能不明白？也就说这么一大坨其实就等于一加根号十二， 对不对？好，这么一大坨等于一等于多少？一加根号十二 啊，一加根号十二。那五减一加根号十二等于多少啊？咱一步一步来啊，不能着急啊，这个题得得认真啊啊。五减去它等于多少？是不是等于根号下就这么一大坨啊？ 啊？变成多少了？变成根号下五减它的话变成四了，四减根号十二了， 对不对？就这么一大坨啊，它变成这么多了，变成这么多了，这个怎么化解？这个根号十二是不是又可以提出来一个二啊？四减二倍根号几二倍根号三啊？ 那有的同学看到这说，我会了，这个四也可以拆啊，四给他拆成一加三啊，一加三不等于四吗？再减两倍根号三，这是不是又是一个完全平方式啊？是不是根号一减根号三，扩起来的平方再开放呀？ 啊？一的平方加根号三的平方减两倍的，它乘它是不是一减根号三，平方再开放？也就说这么一大坨，它开放之后等于多少？开放之后是不是等于一减根号三？ 不对啊？不对不对不对，做题要认真啊，这个开方是正的，这个开出来必须是正的，所以它应该等于多少？根号三减一对不对？它应该等于根号三减一吧？ 啊，也就是这么一大坨啊，最后等于根号三减一啊，就这么一大坨啊，然后再加上三，加上三，他加上三，变成多少了？是不是加二啊？是变成加二了， 变成根号，也就是说上面这一大坨变成根号根号下，根号三加二了，到这一步就难了，这根号三加二能不能配方 啊？他等于多少？有的同学说，这这前面没有二了呀，啊？这根号三，这前面没二了，怎么办？各位？没有二，强行给他加上二啊，怎么加二？注意了，这个方法 让他上面乘上二，他这这一大坨啊，同时乘上二， 那你还得再除上二，这个道理能不明白啊？这一步很关键啊，他的系数不是没有二吗？乘上二，他也乘二，除上二，这不就有二了吗？你看看这一坨能不能配方 上面这一坨，上面这一坨是不是二倍？根号三加四四，是不可以拆成一加三啊，再除上二，一加三，再加两倍根号三，这上面是不是完全平方？是，上面是谁的平方？是不是根号一？根号一加根号三的平方就是一加根号三的平方呀， 对不对？上面没问题啊，再开方，下面呢？下面是不是根号二啊？怎么这么乱？这个题，这个题有点难，对不对啊？我擦擦，没问题啊，它等于多少呢？它等于一加根号三，比上根号二， 对不对？他是不是等于他没问题吧？然后也就说上面这一大坨啊，变，变成这么多了啊，然后再除上这么多。我的天，这题怎么这么难啊，咱们继续啊。一加根号三，除上根号二 啊，再除上它，是不是再除上它啊？根号六加根号二，原式是不是变成这个样子了？然后分母有理化，分母有理化其实也可以把这个根号二提出来啊，这个根号二根号六提出来个根号二也可以啊 啊？把它根号二提出来和这个根号二相乘，不就变成二了吗？乘上这是根号几？根号三加一啊， 对不对啊？到了这一步，你看根号二提出来和这个根号二乘变成二，他变成根号三加一，咔咔一削啊，是不是二分之一啊？对不对？是不是二分之一啊？这个老师这个板数有点乱，回头大家自己再好好也算一下，各位。
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564三乐大掌柜![[初二数学期末复习]实数](https://p9-pc-sign.douyinpic.com/tos-cn-p-694b40/okQ1xJBp9ao0BFA7nUtDNgG1C1AfP9kqLQfOEN~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2100700800&x-signature=poElX4UWhUGrHF4pbHe70jB3MsI%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=202607300014546FF2E1D9896263EC77C4)
29:14查看AI文稿AI文稿此问题它掌握了一部分哈，对不对？根号一百四十四的算术平方根。 根号一百四十四，这个数学符号它表示，它表示什么？它表示一百四十四的算术平方根，对不对？ 那这个东西就是什么十二，十二，十二的三十平方是根号十二，对不对？这个是没错的，对吧？但是作为结果，他又不完全正确 或者不合理，对不对？因为我们已经学过二次根式的花紧了吗？这里面有开的进方的，所以我们要把它画成最简二次或者整数，因此正确答案。 那么这就提示我们要要复习哪些东西？第一个 算数平方根的概念啊，洛， x 平方等于 a， a 大 于等于零，则 x 叫做 a 的 什么啊？ 好极了，记住， x 等于正负根号 a， 根号 a 叫做 写上 a 呀，写上就对了， 对吧？这个数学符号，这个是平方根，这个是算数平方根，对吧？ 那么我们还要注意的是，最减二十根是它满足三个条件 一，走了。 最减二十根是满足三个条件一。 所以复习就是复习的意义就是第一遗忘的规律就是容易忘，所以要复习。 所以第一个是分母不含根号，第二根号内不含分母，三，根号内不含 开得进方的因素或者因素。 这小朋友就提醒我们了嘛，看好啊，就此我再举两个小例子，一，根号八分之一的算数平方根 二，根号三减二分之一啊，不对， 根号三减二的倒数三呢？三呢？ 三十二零三减八，也括号平方的算式平方根。 一笑了笑， 学习， 嗯， 回来你对不对？刚才对他来说还没有启发到位。他写了根号八分之一嘛，还没有启发到位这些孩子就需要纠正 还是没有启发到位。 你不会传在后面。你先传给哪个姑娘 继续。 嗯 来我这手看你了握个手来坐吧。 你刚写对是写对吧？这个地方用到了根二下 a 平方等于 a 的 绝对值对吧？ a 的 绝对值那就是八减八一减三对不对？这个地方的倒这个两个字叫倒数。小朋友你是不是不认识我的字啊。 根号三减二分之一对吧。然后他分母有根号，那么没有分母有理化就分子分母都乘以根号三加二， 根号三加二分子上也是根号三加二。我倒是看到你答案根号三加二也有呢但是要注意分母算出来几啊。负一分母说出来是负一所以结果应该是负根号三 减二。上一个是写出来是根号八分之一对吧。但是这不是最减二十根所以我们要把它分不八。我们要出去 至少乘几啊。乘二就够了，不要乘八乘二。二八一十六嘛。十六平方数呀。来过来别个头摇把这句单词写出来。 哎，我觉得女孩子可笑了这个意思这个问题 是吧。这个题目再次提醒我们啊，就是说二次根式相当于并算结果要化为进行二次根式的函数有这类意义啊。那么这里面还涉及到实数的有关的概念。数个平方根倒数 是吧。呃平方根什么？等等下面我们看第二个卷体 用必进法来求时数跟号我们取得范围把它保留到十分位它是一个范围。那么这个题目呢是说问法不太合适，书上它是一个例子，对吧？你 我现在跟大家分享一下这个问题，怎么想啊？首先根号，这个根号他是开不出来的，对不对？开不出来的开不出来，那我怎么办呢？我的想法是他，他左右两边有两个平方数是可以开出来的， 五大于最近的平方数是四，小于最近的平方数是九，对吧？他们是可以开的出的，所以我让他开两同时开这个一开就是二，这个一开就是三，对不对？是吧？ 那么现在我们明确刚好是二和三这两个整数，我们要把它逼近到什么？十分位？逼近到十分位，那这个怎么办呢？下面不知道怎么办呢？老是你的时候二点一，二点二，二点三，二点四，一的时间就二点九吗？ 我们有一个办法，这个办法呢，你喝喝肯定会得管用的，肯定会学到，你们的初中学不到的。我教你个方法叫二分 法， 我现在取这两个端点的算数，平均二加三等于除以二多少？ 二点五，对吧？二点五，结果发现二点五的平方是多少？六点五比的五大吧？还比五大，对不对？对，还是比五大，那么那么不行的话再来个， 再来个，呃，再来个二和二点五，比二和二点五，取平均数算一下多少？ 二点二五。二点二。也就是说刚才什么意思？刚才什么意思？就是说根号五在二和二点五之间，对不对？对哎，我就这个意思，我是写这里哈。根号五在二二点五之间，能理解吗？明白，理解不？哎， 我是提前告诉你，偷偷告诉你是算多少？二点 二二五，对吧？二点二五，二点二五。近视，你取十分位就近视二点三，对不对？是吧？那么二点三的平方你算一下多少？ 二点三的平方是五点什么？五点二九，是吧？五点二九五还是小于五点二九，那么就说根号五大于二，小于什么？ 五点二九对不对？五点二九我们再说出来，小于出来，傻呀，小于二点三对不对？小于二点三是不是？一定是吧？再来 b 肯定他的毕业单位，那我们再取他的平均数二加二点三的平均数是多少？二点一，二点一，一五，二点一，五一等于二点二对不对？二点二的平方多少？ 四点多少？四点八四，对吧，那么就那么就知道了吧，根号大于二点二，小于二点三，哦， 就是取半取半，取半半半半，我都忘了 这这个所谓逼近，用什么工具去逼近？用奥本就是取它的两个端点的平均数去逼，对吧，听懂吧。啊，就是这样的题目，那你们上面有一个题目，你们那个简单，是根号六，对吧？嗯， 那个比这个还简单一点，这个这个地方要取平均数的，要是还要取近视数。好了，这个题目没弄到这里，那会读了啊。 此方法在必经法当中，具体的应用工具叫二根。好了， 下面第三题，更接近于哪个自然数？我们来研究一下根接近是什么意思？来，我们先看这个有根号十，先解决它，对不对？根号十，那先看十在哪两个有方数之间是九和是吧？ 十六之间，那九和十六他更靠近谁啊？更十更接近于谁？九更接近九，对不对？哎，懂了，那么下一步 同时取算数平方根，根号十小于四大于三，那么请问根号十根几进于谁啊？根几进于谁？三，哎，根几进于三就这样推啊，看见没？会了吗？下面就是根不等式性质来的 负根号十取相反数嘛，就两倍除以乘以负一嘛，两倍除以负一方向改变，对吧？那就是根负根号十小于负三大于什么？负四？请问根几近于谁？ 根尖尖水，根尖尖负三对不对？根尖尖负三是不是？是的，然后再根就不等式的性质，两边各各不是，这个三项都加六六加六， 这个左边加六三，右边加六是二，方向不变，是吧？根尖尖水三对，根尖三， 你用这个方法一定能确保你做对，不用猜，确保做对。 赶紧一字不拉的和他的，真的不要看着他，你看，听懂了吗？一字不拉的跟起劲，跟起劲，跟起劲来，三四五六 手抓那个，实际上举报是不是省心了？嗯啊， 来，小朋友们再看一个题目，这个题目有一开始看的有点懵点，有的时候打了 a 和 b， 哪算呢？我也不知道啊，对吧？这个呢，好一点，对吧？这根本干俯的。这个是立方根，这是平，算是平方根，然后这样子的问题，怎么做呢？ 怎么做呢？哎，还是还是跟刚才的那个思路差不多，就是我们看五十四，五十四在哪两个立方数之间， 这是立方根吧？立方根二七，最尖的小的是二十七， 最轻的大的是六十四，对吧？那因此三次根号五十四就大于三，小于什么？四对不对啊？大于三小于四，就这个是大于三，小于四的下面九十六 大于最近的大于最近的是六十四，小于最最近的一百二十五，所以三十根号九十六是小于五大于什么四的。那孩儿们已经得到这个东西了， 那么我们就知道 a 的 范围在哪里，说 a 大 于什么？三小于什么五，成功够了， 那再成功一个。这个这个大家知道的。大于一小于什么？二，这个大于什么？二小于三，二根号三大于一，小于二，根号七大于二小于三，所以 b 大 于一小于三，对不对？ 又成功一个了，就这样子的。 那么要问你，现在因为这句话，你确定表现的是正整数 a b， 所以 我们确定 a 等于多少四， b 等于多少二等于什么？ 就是这样一个三角形解法，二十四方，我们提前做出来的。 所有这些方法都可以称为叫什么呢？估技术估值的啊，时速的估值 啊，叫实数的估计，对吧？实数的估计，特别是五位数的估计嘛，主要是五位数的估计对不对？五位数 我们可以把它估值在两个整数之间，甚至估值到十分位的两个数之间， 是吧？这三个题目都是关于食宿的东西，理解了吧？这个也是中考考那个类型啊，只有你做，做什么难，也不会太难了， 这个已经非常简单了，经常会出现这种危险，大家还是会看到的，对不对？他这题目他有什么意？他一个会这个，接下来是他是两个不等式性质，就说这题目他还考察了不等式性质 好，那么第五个呢？也跟时数的估计有点关系，因为你要先估计的范围，然后再确定它的整数， 知道吧？嗯嗯，但这个题目那一次好像他是不是已经问过这个问题，我又忘了，这个问题你怎么去求 x？ y 这边是根号三，根号三的估计。当然一种呢，就是用记时值了。根号三一点七三二嘛。这个， 但是用可能不太合算，还不如就根号三大于一，小于什么二，那么十加根号三就小于十二，大于十一，对不对 啊？他有的兄弟说他整数，他没说整数部分，其实他如果问你整数部分，你就知道整数部分是十一，对不对？那这个地方他表达的是不是整数部分，那要你去确认的。 为什么你确认 x 就是 整数部分？因为你想，哎，对，在这里，条件在这里呢？ 没有这个条件， x 不 一定就是整数部分，但是有了这个条件，但这个也是小数部分，所以 y 也是小数部分嘛，对不对啊？哎，这说明 y 也是小数部分，因此 x 整数部分哪有简单的来。 x 就 等于了十一， x 等于十一，你表示小数部分怎么表示？ 那就拿整数，拿这个原数减去什么整数部分，所以小数部分 y 就 等于十加根号三减十一就是根号三。 咱们下面再再梳理一下哈。此数的有关概念当中也今天有问，有人问我，然后我把它赶走了。哪个学生？我说了，给他念吧。 时数分为有理数和无理数，对吧？时数分为有理数和无理数， 这个是有理数，分为整数和什么分数，对吧？是不是？ 这个没有问题吧？但是我们要特别注意这个，有的人长得像分数，有的人就长得像人，其实他不是人，对不对？ 有的人他长得道貌岸然，其实一肚子坏人。不能看表象。就是有的数好像看起来是分数，比如说如 二分子 pi， 你 看他看起来像个分数，其实他不是分数。还有二分子跟到二这种类型，跟到三这种类型，你看带分数线，但他不是分数， 为什么呢？因为他爱和公交车，他不是什么整数，不是整数，所以这类他不是分数啊，不是， 那么不是分数。当然他也不是有理数，他也不是有理数，这个要小心。那么关于无理数这个概念，我跟大家说，我教你一招，你基本上用的中考一点问题没有，就是常见的三种无理数。 常见三种？不是不是讲课的人讲，我说你们又没有几个转向过来卷决过来，对不对啊？ pie pie 的 非零倍数。 对，你一定要讲非零倍数，它说 a pie 是 一个字母 a pie， 它说是尾数，当有一天 a 九零呢， 对吧？第一个你需要带整号哎，且开方开不进， 你带整号跟二十六开方开进了。第三个就是 完全是人造，人造卫星，比如说屁股后面带省略号，中间在每两个一之间一次增加零，一次增加零，增加一个零就不能就不是，对不对？就是常见嘛。所以你看那三个屏幕秒杀， 对，你使用三个屏幕，你看到他以后秒杀完全秒杀了，你根本一起。你对我老哥会请教， 没有啥的问题。 那下面抓紧时间做回做克朗堆ا六。 但是学生在做这个题目的时候，他的表示是，他是， 比如说二分之一减二分之 a 减一的平方根是正负二，学生就开始去表示他，其实这个问题是有问题的， 你这样解法就有问题，你怎么表示？哎，他说正负根号下二分之一 a 减一等于正负二，请问你接下来怎么算？ 我掏个平方哪有两比平方是吧？那你干的不是傻事吗？你活着定义吗？对了，有的学生你活着定义就是他定义在那里吗？ 你的平方根是正负二，说明他的平方就等于他了。对啊，哎，所以我们的解法回归定义 这了，二分之一 a 减一等于正负二，然后平方紧急了，一平方根的平方就等于未知数吗？ 不对吗？耶，你看在这呢， x 等于正负根号 a， x 是 a 的 平方根呢？他就满足这个角 x 平方等于 a 吗？回归到定型， 那同样的，下面也回归了定义，这个题目就已经了解了。那么正负根正负二就是四嘛，正负二的平方是 二， b 加一的立方根是二，那就 b 加一等于二的立方，二的立方就是八，是不是？所以这个 b 算到了七，这个 a 算出来的是十一。说就知道 说说呢。
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00:49查看AI文稿AI文稿三秒之内算出任意数的算数平方根，学到就是赚到，你就是全班的数学天花板。 根号下八十七怎么整？先找一找他比他小的那个最近的平方数是谁呢？是不就八十一？八十一九的平方等于八十一，那八十一再开根号是不是就是 九，对吧？那这个九就是作为了根号八十七的。什么呀？整数部分，它的小数部分是什么呢？找一找这两个数的差值， 七减一，再让这个整数部分呢？再乘以二，放在我们的分母上，九乘以二，整个计算一下，它是约等于九点三的。怎么样，这个方法快不快？
3351敏敏老师数学思维训练
03:21查看AI文稿AI文稿四道不定积分，我们一题三解， x 乘以根号下 x 方减二， x 减三分之一。首先看的根号下是二次，其实本质上是一个一次 欧拉变换，把这个根号下二次变成 x 减 t， 因为后面是减二 x 减三嘛，所以应该是比 x 要少的 x 减 t， 再来解出 x， 用 t 来表达，还有 d x 左右平方。 第一种方法，把它代入之后，就都是变成 t 的 形式，然后把分母的二次和这里的二次都消掉，注意分子要翻上来一个二次，因为这里分母有四次，这里有 分母有四，这里有二。分母的分母相当于有二，翻到分子上来就是分子的二，这里整理完事了以后就是分子的相反数，所以这里一消，前面加上符号，变成这样的形式， 再代入，代过来了以后，符号因为二个 ten 呢是奇函数，所以直接变到里面去这个形式。 第二种，根式整体换元，根式整体换元指的当然不是把这个根号下二次直接整体换元，如果那样子的话，还不如用第一种呢。 根式整体换元指的是我们把它变成根号下，里面是一个比的形式，里面是一个分式，进行这样子的一个变换。 根号下分式，这就是我们想把它换成 t 的 部分，把它换成 t， 我 们在旁边解一解这个 t 和 x 之间的关系，以及 d x， d t 的 关系。 根式整理画圆，在解出这里的 x 和 d x 之后，就只需要带入，然后整理，整理完事了以后该约的约，最后得到这样子的式子，把它变换形式。 三是三角部分画圆，就把分母配成平方的形式，就变成了根号下 x 减一的平方再减四，这个形式显然是可以把它换成 second， 三角部分画圆，把它整理成这个形式。 x 减一化为二，被 c 的 t 倒出来变成 cosine t 加二。因为这里分子分母同时乘以 cosine t， 就 变成 cosine t 加二分之一。这个式子一般就有 one 的 公式了，所以用 one 的 公式代入 得到这样的。接下来整理变成二，比上 u 方加三，积分公式再往回带。 这三种解法解出来的结果呢，是一个千奇百怪呀！三种解法各不相同，结果也各不相同，但实际上大家如果能把它们进行三角变换，画三角形，还有一些各种函数的变换的话，其实它们三个 这三个长得这么不一样的东西，结论是相同的，感谢大家的收看！
74小阿文数学
01:09查看AI文稿AI文稿大家好，来看一道题，分母有理化，一加根号二减根号三分之一。 我们来做一下，要让分母有理化，这里一加根号二减根号三，可以乘上一个一加根号二加根号三， 这里其实就是把一加根号二当成一个整体， 那就是一加根号二，括号平方减三好，一加根号二，括号平方，就等于三加二根号二，所以这个三 就减掉了，那就是二根号二分之一加根号二加根号三， 然后同时乘以根号二，会得到四分之根号二加二加根号六，这样分母有理化就完成了。这道题目就分享到这里。
38小萨爱做数学题
