ax各国翻译是啥意思

这是一个限性方程组，所有能够让这个等式成立的 x， 我 们叫做这个方程组的解集。有的方程组解集是一个点，有的这条线，有的是一个平面或更高位的东西。如何判断解集长成什么样？今天我们就来说一说。欢迎来到导系列教程第四集， 我想用这个系列帮你打通微积分跟限量代数之间的逻辑，形成一个一体的数学知识系统。那么话不多说，我们直接开始 ok 了，家人们依旧导系列，依旧赣中学。今天我们看的是宪性方程组解的结构。首先什么是宪性方程组？ 一个宪性方程组就是一堆这样的方程拼在一起放在一起叫做宪性方程组。什么样的方程呢？就是每一个未知数有很多未知数，每一个未知数分别乘以个常数加起来， 然后呢，等于另一个数，一堆这样的方阵放在一起，就叫做现象发生组。如果你看过前几集导系列的话，你就可以轻松的把这个现象发生组写成如下的等价形式。 什么样的形式呢？就是啊，你把里边的每一个长数挑出来，把它放一个框，形成了一个矩阵，然后乘以每一个未知数，把它竖过来拼成一个列向量，然后它乘以它就等于这个东西，然后呢，它又等于这个长数列向量， 这个东西就等价于它。为什么呢？这一步到这一步是一个矩阵乘以向量的定义，它等于它，为什么就等价于它呢？因为 列向量的相等，它必须是每一个分量都相等，所以这个东西就包含了，它等于一，它等于二，所以说我们把这个东西改写成了一个非常简单的形式，也就是 a x 等于 b， 对于任何的矩阵，任何为数的列向量，都是可以把它改写成这样。我现在写了一个二乘三的矩阵，只是为了大家方便理解它更好看一些。如果 x 零满足 a， x 零等于 b x 零就是这个方向数的一个解 线型方程组，有的时候没有解，有的时候有唯一解，有的时候有无穷的解，所以为了完全的理解这些解的结构，我们必须得搞懂如下的四个概念。今天的视频看完，如果你能完全的理解这张表，就算是你这一块属于是学明白了，所以我们从头开始看第一个概念， span of a， 什么叫做 span of a？ span of a 就是 a 的 值域，当然 a 它不是矩阵嘛，为什么它会有值域呢？看过前几期导学的同学会知道，一个矩阵，我们把它跟一个函数等同的看待哪个函数呢？ 首先函数它有什么特点？你输入一个东西，它会确定的返回给你一个东西，对不对？所以第一步我们首先搞懂它所有可行的输入都是什么。然后第二步，每一个输入我们都找到对应的输出是什么，我们是不是就相当于知道了这个函数的全部信息呢？ 所以对于这个矩阵，我们任意的输入这样的一个 x x 二 x 三，这就包含了所有可能的输入。那么一个 x x 二 x 三，我们把它映射到哪，就是恰恰映射到这个二维向量，那么这个就是它的输出。所以我们把这个矩阵和 输入这个输入这个的这个函数是等同看待的，也就是说什么呢？我们把 a 看成一个函数，那么输入一个 x， 我 返回给你 a， x， 这个就是它代表的函数是什么？那我这里要说一个免责声明，就是我们刚刚说的把这两个东西 a 和函数等同看待的这个东西只是在欧式空间中成立，如果在更广泛的线空间中，一个限性映射就能写成这个形状的函数，我们就管它叫做限性映射，限性映射和它对应的矩阵不能等同看待，但是在欧式空间中我们这样做是自然的，所以 后面遇到相似的问题，我们都是在欧式空间中谈论的，我们就不再提了。什么叫做 a 的 值域，一个函数的值域，就是当你吃进一个 x， 吐出一个 a， x， 所有你可能吐出来的东西组成一个集合，这个东西就叫做一个函数的值域。那么 a 的 值域我们给它起一个名字，为什么呢？因为这个限性映射的 或者叫矩阵的值域，我们会经常用到，它是一个非常重要的概念，所以我们给它起了一个名字叫做 span of a。 那 么我们为什么要定义出这个东西呢？ span of a 在 解方程的过程中有什么用呢？啊？我先来给大家看这个 span a 一 般长成什么样，对吧？这个是一个 三乘二的矩阵，就是大家看底下这个矩阵啊，这个矩阵它的 span 长成什么样呢？它的 span 就 长成这个样子，它就是一个这样的平面。再来给大家看另一个，比如这个三乘二的 矩阵，它的 span 长成什么样呢？就是它所有可能出来的结果，被这个 a 乘过之后，也就是都落在这条线上，也就是说 span a 就是 这条线。然后呢，我们还可以再加一个矩阵，它的 span 就是 另一个这样的平面。那么我们为什么要研究 span 这个东西呢？ 就是在我们解方程的过程中，它是等价于另一个比较重要的东西。如果存在 x 使得 a x 等于 b， 那 么我们就说这个方程是不是有解， 那么有解是不是就等价于 b 落在了这个 span 里边？为什么呢？因为我们输入 x 得到了 b， 说明什么？ b 是 一个可能得到的东西，也就是说 b 在 a 的 所有可能得到的东西里，那么也就是 b 属于 span a， 所以 b 属于 span a 等于 ax 等于 b 有 解。那我们研究 ax， b 有 没有解，只要研究 b 是 不是在 span a 里边不就完事了吗？在里边就有解，不在里边就没解。 所以为了研究他们俩之间的关系，我们介绍下面这个概念，就是向量组方程的空间。我们通过上面的演示可以看出一个规律，就是矩阵 a 的 列向量永远是在 span a 里边。给大家看一下，就是这个矩阵，它三个列向量，我们画出来列向量是啥？列向量就是把它每一页抽出来，做成三个不同的向量， 看一下它的列向量就是这三个向量，那么当我把它删掉的时候，它的列向量就是这两个向量。我们看到是不是 a 的 列向量总是在 span a 里边的， 为什么呢？因为这是个废话，因为我们之前课程里说过了，就是 a， 它的列向量是什么呢？就是每一个单位向量对应的输出，在这个例子里，你输入一零零， 不同的维度的单位向量长得不一样的。我们这个就拿三 a 举例，当你在这个矩阵里输入一零零，你得到的是什么？你得到的是不是就是一四？为什么呢？我们看这个对应的公式，当你输入一零零， x 一 是一 x 二， x 三都是零，那上面这个东西后，后面两项都没有了，只剩一个一。 然后呢？这个底下也是后边两个都没有，只剩一个四。所以当你输入一零零，他得到是二五， 那么我们就发现一个规律，就是你输入的是第几个单位向量，它就会返回给你第几个列向量。所以说 列向量都是 a 能吐出来的东西，也就都在 span of a 里边。但是另一方面，整个 span a 反过来仅仅通过所有的列向量就能够刻画，也就是说不仅是 span a 包含了所有的列向量，整个列向量它还能决定整个 span a。 我们看 a x 等于什么？是不是等于这个乘，这个等于什么呢？我们可以把它改写成这个样子，就是上面这个公式，这个是 x 一 加二 x 二加三 x 三，这个是四 x 一 加五 x 二加六 x。 那 么我们是不是可以把一四单独拿出来，然后让它俩同时乘以 x 一， 因为你看上下有两个 x 一 啊，这个是用于了，不用非得这么写。我们让 x 二统一乘以二五， x 三统一乘以三六，不就完事了吗？ 一个是向量乘法，向量数乘和这个加法的定义嘛，对吧？所以我们这样写出来，发现这个 ax 完全可以写成 x 一 乘以它的第一个列向量，加上 x 二，乘以它的第二个列向量，加上 x 三，乘以它的第三个列向量。 所以说一个矩阵的所有输出都能写成这种形式，那也就说明它都是列向量拼出来的，那输入 x 就是 告诉你每一个列向量拼出来的，那输入 x 就是 告诉你每一个列向量拼出来的怎么拼。所以这个和我们之前看的定义， 也就是说把每一个行向量看成一个向量泛函，然后每一个分量都是这个向量泛函的输出啊，这一二三是一个向量泛函，它 take 了这个 x e x 二 x 三，输出了一，这是相对应的这种看法，这个是以行向量看，我们现在的这种看法就是以列向量看，就是你输入以 x e， x 二 x 三，就是以 x e， x 二 x 三的方式组合这些列向量而已。这个拼的过程，我们发现这个拼的过程很有特点啊， 它就是每个列向量分别乘以一个数，然后再加在一起。这个东西在向量数中是非常常用的一个过程，我们把它叫做向量组合，也是所有的乘以个数，然后呢再加在一起的这个组合方式，就叫做 向量的过程。和矩阵相乘，输入一个向量，输出一个向量的过程是一样的，那么我们就用同一个名字来定义这两个过程。 我们把这个向量组 v 一， 一直到 v n 能够拼出来的空间，能够限性组合出来的这个空间叫做这个向量组章程的空间，记作 span v 一 到 v n， 也就是所有能写成 k 一 v 加 k 二， v n， 一 直叫加到 k n v n 的 这些东西，所有的 k 都是任何的一个常数， 那么所有 a 输出的东西都是 a 的 列向量拼出来的，然后呢？每个列向量拼出来的东西都是 a 的 一个输出嘛？就是你乘 x 一， 加乘 x 二，加乘 x 三拼出来的东西，就是你这个矩阵输入这个向量拼出来输出出来的东西。所以说 span a 跟 span 它的列向量 是完全等同的一个东西，它属于它，它也属于它。那么我们现在来看可知化这一点，就是所有 span a 里边的向量都能表示成列向量的一个向量组合。我们来看，就比如这个矩阵，它的 span 长成什么样呢？ 它的 span 是 整个三维空间，那我们来看是不是整个三维空间中的任何一个点，旋转一个角度，任何一个点 都能写成 v 一、 v 二、 v 三的限行组合，对不对？那我们再来看一个 span， 不是 整个空间的一个矩阵，看这个矩阵就是大家一定要注意看下边这个矩阵，上面是我为了方便打字搞的这么一个东西，就是实际上咱们看的是它的 span 这个东西，它的 span 就是 一个平面，那这个平面上的点有什么特征？就是它上面任取一个点都能够写成 v 一 的某个倍数，加上 v 二的某个倍数，所以这一点咱们就也是通过格式化的方式验证。 那么为什么我们已经有 span of a 了，我们还要有 span 这个 a 的 列向量呢？因为我们要看方程能不能解，就是要看 b 是 不是在 span a 里边， 那这个东西不能直接看呢？这个 span a 你 也不知道它长成什么样，对吧？我们用脚本可以把它画出来，但是你正常来讲，你光看一个矩阵，我们不能直接看出它长成什么样， 但是我们要看 b 是 不是属于这个 a 一 到 a n 周长的空间，就很简单了，我们说了 这个 span of a， a 到 an 这个符号就是它前面可以是任何数，然后后边必须是 e， 那 e 是 不是也就对应了它的第一个列向量，就是所有冒号、逗号。 e 这个东西就是它的第几个列向量的意思，然后这个就是 a 的 列向量张成的空间， 我们说了它列向量张成的空间是所有列向量能够拼出来，能够牵性组合出来的东西，那么我们只要看 b 能不能被它们拼出来，不就完事了吗？ 所以这个问题其实跟刚刚是一样的，我们还差一步转化，就是说怎么看 b 能不能被他们拼出来呢？我们只要比较这两个空间的大小就可以了。 我们来看这个空间和这个空间相比啊，它有没有比它大啊？前面是什么呢？前面就是 spin off a 嘛，后边啥？后边就是 a e 到 a n 跟 b 一 起合力拼出来新型组合出来的空间。 那么如果这个空间把 b 加入到这个向量组里边，它章程的空间变大了，说明什么？说明 b 肯定有它自己的过人之处，说明 b 肯定不是吃干饭，肯定不是所有 a 能表示的东西，肯定不是 b 表示的，只是一个他们本来就能表示出来的东西， 否则这个空间不会变大。那么如果 b 加到这个里，这个空间还跟原来一样大，也就是说 b 加进来和 b 加进来之前 是以同一个空间，那也就说明什么呢？ b 为它张成这个空间没有带来任何的贡献，那么 b 自己是不是它这样的一个 span， a 一 到 b 里边的这样的一个东西，就是前面都乘的是零，然后 b 自己是一 对不对，那是不是也就说明 b 肯定是属于这个东西的，也就是 b 能够被它张出来？所以到最后我们就得到了这个结论。我们就看 b 加进这个向量组里整个 span 有 没有变大，如果变大了，说明 b 不 在里边，所以就没有解。 如果这个整个空间没变大，说明 b 干的活， a 也能干，也就说明 b 在 spin off a 里也就有解。所以我们就把整个有没有解的问题转化成这两个空间是不是有真包含关系的这个问题。 那么怎么看这两个空间谁大呢？空间大小怎么比较呢？对不对？就是正常两个集合，我们看谁大就是谁包含谁。但是空间他有另一个更容易看出来的性质，就是限性空间的尾数。 在说起为数之前，我们至少得说有限为限空间是什么？我们发现其实我们说到现在提限空间这个词已经提了好几遍，但是我们并没有严格定义它是什么。 限空间这个东西，它数学上来讲，它是一个很抽象很广泛的东西，百无禁忌啥玩意？你只要符合八个规则，它就都是可以被叫做限空间。 但是呢，我们这是一个比较简单的课程，比较基本的 v i 构建直觉的课程，所以我们只讨论在欧式空间当中的向量代数，所以我们现在说的向量空间就都是欧式空间的向量子空间。 那么如果 v 是 r n 的 一个子集，并且对加法和数成封闭，什么叫做对加法和数成封闭？就是两个在 v 里的东西加不出 v 外边的东西， 那么一个在 v 里边的东西乘不出 v 外边的东西。也就是说一个向量你再怎么拉长或者再怎么反向，它都一定还在 v 里边，这个东西它就叫做 v， 是 一个向量空间，就是如果里边的每个东西都乘不出去，也夹不出去，那么它就是一个 r n 的 向量子空间。 那么有限维向量是什么呢？就是能够被有限个向量张成的空间，它就是叫做一个有限维向量空间。 呃，如果不考虑这是 r n 的 子空间的情况下，那么显然任何的 span 都是限行空间。首先对加法封闭，我们可以验证一下，就是 u 是 它限行组合出来东西， w 是 它限行组合出来的东西，那它俩相加还是个限行组合呀？只不过把这个系数替换成各自相加的而已。乘也是一样的，只不过把每个系数换成了这个系数，乘以你要乘的那个数。所以说我们之后提到的限行空间都默认是欧式空间，如果不是欧式空间我们就不考虑， 但是我们其实学到最后会发现，就是所有的有限为限空间，其实他是跟欧式空间其实是一样的，就是不考虑什么内基结构之类的，只考虑它限性空间的结构。其实所有的有限为欧式空间，只要为数一样，他们都是一样的， 那么我们一般理解空间的为数，我们讨论的是什么呢？ e 维的空间，我们想象一下 e 维的感觉就是一条直线， 二维的空间是一个平面，三维的空间就是整个空间。我们发现我们在学线段代数之前，好像就对这个维数有一个感知了，但是你从来没有想过这个维数，这个数我们是怎么去理解它的？我们是怎么直观的去理解它？明明没有严格定义，我们却还是知道线就是一维的，面就是二维的，这是咋做到的 呢？其实理解一个维数的方式就是增成它最少需要一个向量， 哪个项链呢？就是我们在这条线上任取一个项链，那么我们想得到一条线上任何一个点，我们只要想到这边点，我就乘一个数，想到那边点，我乘一个负数，这整条线都被一个项链覆盖了，那也就是说他就是这个项链张长的线圈组合出来的东西， 那么二维呢？二维就需要两个数了，对不对？就是啊，我们随便搞两个项链，我们就发现他整个二维空间就被他张成了。就比如说一个地图上，我想来这， 那么这个地图他就会告诉你先往北走这么多，再往西走，这么那正好任何一个点都可以通过这样的描述达到。所以说我们发现这样是一个二维空间， 也就是说我们理解为数的方式就是张成他最少需要几个向量，因为其实你描述一个二维空间上的点，三个向量行不行？其实也行，只不过就是比较容易了，其实你两个向量就够，所以没必要用三个向量， 所以我们再来看底下这个事，对于 spanofa 一 一直到 a n 张成它最多需要 n 个向量，大家要注意这个最多和最少的区别，我们说的为数是张成它最少需要几个向量，我们现在已知的是张成这个空间最多需要 n 个向量 啊，因为就是你已经用 n 个向量张成了吗？那么你就是最多就只用这么多，是吧？什么？为什么我们要强调最多呢？难道去掉一些其实也能张成吗？ 有的时候是这样的，有的时候这些列向量会藏进一些凑数的。也就是说如果你把某一个删除啊，你会发现这个 span 并没有变，你会发现这个 span 还是原来一模一样的那个空间，那么这个时候就说明这个向量是多余的，表示出整个 span 其实根本就不需要它，我们把它删掉了也一样嘛。 我们还是看刚刚的一个例子，我们回到这个地方，我们来看这个东西，它的 span 是 这条直线，对吧？那么当我把其中的一个列向量删掉，我发现这个矩阵变成只有这一个列向量了，然后呢，我们发现 它张长的空间还是原来的那空间，那么再举一个不是一维的例子，我们发现这个空间它是一个三个向量张长的空间，那么如果我随便删掉一个，就比如我把它删掉， 发现这个章程空间还是原来的那个，对不对？还是同样的这个平面， 如果我随便再删掉另外一个，发现还是这个平面，所以我们会发现这个向量组里没有一个固定要删掉的东西，就是你不管删掉任何一个你最后得到的章程的空间都是同一个空间， 所以我们发现其实这个向量组删掉任何一个都是原来的那空间，也就是说它其实是一个可以被删掉的向量组，可以删其中元素的向量组。那么如果我们要计算 span of a 的 尾数，我们是不是先先表述它最少需要 几个向量，那我们只要把这个列向量删到最短即可删到再也删不下去了，如果再删的话，它的这个 span a 就 保不住了。 那么我们如何判断一个向量在不影响 span 的 前提下能不能删掉呢？我们用的就是下面这概念，限性相关性。如果一个向量组 v e 到 v n 存在，可以删掉，但是不影响它 span 出来这个空间的向量，我们就称它是一个限性相关的向量组， 如果这个向量组它已经没法删任何向量了，如果你删了它， span 就 会变小，那么它就是一个向量无关的。这这句话就是我们给想达到的最终结果起了一个新的名字，就是我们要把它删成一个向量无关的向量组。那么通过刚刚的三个向量张成空间地址，我们可以看到 一个可以被删掉的项链，就像是一个公司里可以被炒掉的人，他不一定是因为没干活，他被删掉的原因就是因为他可替代性太高了。刚刚的那个例子里，你删掉一个项链，为什么这个项链删掉了，原来的 spa 还在，就是因为 他干的活，剩下两个项链还能干，那有没有是因为一个项链就他自己啥也没干，所以整个他是一个现象相关的事呢？ 我们发现并不是这样的，就是比如刚刚的那个例子，就是你删掉任何一个它的 span 都是不变的，也就是说每个人都是等同的可依赖的。所以就是在向量组这个语境下，不存在某个是最没用的，然后另一个是比较有用的 向量相关。有一个比较重要的 criterion， 就是 判断一个向量组是否向量相关。有一个比较重要的方式，就是说如果存在这样的 n 个数， k 一 到 kn 不 全为零，能够使得以 k 一 到 kn 为计数的线圈组合等于零，那么就说 v 一 到 v n， 它是一个线圈相关。这个话大家听起来可能绕，主要就在于 k 一 到 kn 不 全为零的这个地方， 那为什么呢？就是 k 一 到 k n， 如果他全是零，那这个是个废话，他肯定就等于零，那任何向量组都是线线相关的，那这个肯定不是我们想要的。所以就是我们这个假设其实是一个默认的假设而已，就是为了避免异常出现，所以这个东西其实可以不看，这个东西是一个默认的事， 就是说一个向量组只要能限性组合出零，只要能迂回了一大圈，我是走出了一些路程的，然后我最后把零给表示出来了， 就说明一定存在害群之马。为什么呢？因为如果我把零表示出来了，说明什么呢？说明其中的一个项链跟另外的一堆项链迂回的表示出来。复了复了一下，他们俩干的是同一个事， 我们来看一下具体的证明是什么样的，至少有一个 k 不是 零，那么我们就把这个不是零的 k 重新编号成 k 一， 然后那个 v 也是随着它重新编号的，那么我们就发现 k 一 v 一 可以写成负的，那么 k 不是 零，它就可以除。我们把它除到对面，发现 v 一 跟它表示出来的是同样的一个东西，也就是我刚刚说的那个感觉，就是大家伙干了一大圈，发现干的就是你干的事，那么就相当于公司里炒人，对不对？就是说一个员工他看起来干了很多事， 但其实另外一些员工发现我们就付出不同的努力，然后加在一起的这个效果跟你干的这个效果就不一样吗？那肯定你干的事你就可以被替代，老板直接把它炒了。所以说我们只要不断的删除列向量，删到现象无关为止，我们就能够知道 span of a 它的尾数是多少。我们把这个尾数记作 dimension of span of a 就是 一个线段的尾数，是 dimension， 它的符号是 dimension， 那 么 dimension of span of a 它有另一个比较重要的名字，因为这个概念我们会经常用，就是 span of a， 它的尾数是多少？ 我们给它起另一个名字，叫做 rank of a。 rank of a 它的意义就是 a 的 值域的尾数啊，就是它的 rank， 或者呢叫做 rank of a， 一 直到 an。 这个有两种理解方式，一个是跟刚才一样的，就是从 span 的 方式理解，就是说 a 一 到 an 这个向量组， span 出来的空间尾数叫做它的 rank。 另一个其实就是我们刚刚说的这个过程，就是这个向量组你删到最短， 删到再也删不动为止，它的长度是多少就叫做它的 rank， 那 么这个再也删不下去的向量组，我们就称为它是 span of a 的 一组极。 为什么叫一组集呢？就是正常来讲，我们说一个数学概念，我们说这个函数它的导数是几，我们不会说它的一个导数是几，为什么呢？就是因为导数它是唯一的嘛，一个可微函数，它在某一点的导数就是一个导数。 那么 spinoff 的 一组集说的是可以有很多集，很多东西都能作为同一个东西的集。就比如说我们上面看到一个其实也张扬的是一个平面，所以说他们俩都是这个平面 的基，基是一定存在的。因为有限维限空间他的定义就是他能够写成一个有限长向量组的 span， 所以 通过不断的删除这个 span 成他的这个向量组，删到最后他一定是一个向量无关的基。然后呢，第二个事就是尾数，他是量定义的，也就是同一个空间不会有两个尾数。什么叫量定义？就是如果一个东西啊，他同时可以是两个东西，那他就没有意义。 如果一个空间他既可以是二维的，也可以三维的，那这个维数这概念就没有存在的必要。因为你说这个维数的时候，你都说不准他是谁吗？那你怎么描述他呢？ 不过幸好呢，维数他是一个量定义的东西。我们现在来证明这件事，如果一个空间他既是三维空间，又是二维空间，那我们把这两组集写在一起，写上一个像两组， 那么我们现在尝试把它删到现象无关为止，我们发现 d， e 肯定是其中一个删法的结果，为什么呢？因为 a、 b、 c 都是 spend d， e 里边的东西， 所以说它们仨都是可以被删掉的。那我们把这三个删掉，发现只剩 d、 e 了，它肯定是一个二维空间，然后矛盾了，所以它这个假设不成 e， 所以 一个空间不能是既是二维又是三维。那么把这两个东西改成 m 维和 n 维，我们就发现有限维空间的尾数都是确定的，都是量定义的。 另一个事呢，就是小 g 能够扩展成大 g， 也就是说一个子空间，就是如果一个向量空间包含另外一个向量空间，我们就称它是它的子空间。 如果两边的这个 abc 是 g， d， e 也是 g， 既然它是真包含，那肯定存在一个不属于 span of d e 的 f， 我 们把 f 加进去，发现通过这个尾数的两定义性，我们就可以知道这两个东西它就是同一个空间。 最后一个事，如果线型空间是真包含的关系，那么它的尾数肯定就比它的尾数大。我们把这两个线型空间各取一组，即首先这个大的空间，它的尾数不可能比小空间的尾数小，否则与尾数的量定一形冲突。也就是说这个小的，如果它的尾数更高的话， 它是不符合这个量定义的，就是政法就跟咱们这个量定义是一样的，假设两者相等的情况下，任取一个不属于它的这个向量，因为它是真包含关系，所以肯定有一个不属于它的嘛。把它加进里边， 发现还是与量定义的为数冲突，为什么呢？因为如果这个向量组还能继续添加，那么 n 等于 m， 那 我们就找到了一个比 m 更长的向量组，那么这个与维数的良性异性冲突。 所以说这个命题反过来说的就是如果两个空间有包含关系，为数相等，那他俩一定是一个空间，因为如果不是一个空间的话，那他的这个为数肯定是不相等的，就是一个逆否命题。 所以现在我们最终就得到了腺性发生阻。可解性与 rank 的 关系怎么看呢？我们把 b 加到原来的这个列向量组里，这个记法就是说把 b 作为矩阵的最后一列添加到这个 a 里边，实际上就跟把 b 添加到这个列向量组里是一样的东西。 rank a 杠 b， 如果比 rank a 大 的话，也就是说 a 和 b 一 起长上的空间符号是打错了，大家不用在意。 也就是说 a 和 b 合力张长的空间比 a 自己张长的空间大，也就是说这个空间它真包含它， 那么说明 b 的 加入给向量组带来了它原本无法表出的东西，所以说明方程无解，也就是 b 是 在这个 a 的 span web 里。 反之，如果 b 加进去加不加一样，那就说明 b 是 可以被 a 表出的，那么放上有解，那么这有几个趣味小练习，大家如果看完了刚刚的部分，估计都是能一眼看穿，我们就跳过这个部分，我们就不看这几个练习，直接继续往下进行。我们终于讲到腺性发生组有几个解了， 说完了怎么用 rank 判断腺性发生组有没有解，我们再来看它如果有解的情况下有多少解， 其中的关键就是限性代数基本定义，它说的是什么呢？ dimension of domain 是 什么？ domain 就是 定义域，一个限域设它定义域的尾数等于它零点几的尾数，这个 kernel 就是 零点几，加上它的值域的尾数。这个 image 它为什么是值域呢？值域不是 range 吗？因为就是我们在谈论限行代数的时候一般用 image 不是 range 吗？因为就是我们在谈论限行代数的时候一般用 range 嘛，因为就是我们在谈论限行代数的时候，一样的， 就是 image 和 range， 它是同一个东西，都是值域。但是 image 的 翻译一般叫做像，其实都是一个意思嘛。这个等式翻译成我们能够理解的语言，其实就是定义域有几维，等于 f， 把几个维度映射成了零，加上 f 的 值域有几位， 那么这个东西我们是要去直观理解它，因为它的证明实际上相当的简单，我现在就简要的证明一遍，首先能用 dimension， 它必须得知道它们三都是现性空间，那现性射它的定域必须是定义在一个现性空间上的嘛， 那么核就是零点几，就是 kernel。 核跟值域为什么都是现空间呢？首先值域它肯定是现空间，因为它是列向量张成的空间嘛。 kernel 你 去拿这个封闭性验证一下，发现两个东西相加，它的值是零，那么它俩相加之后，它这个值也是零， 那乘一下也一样嘛，所以这个部分都是很好去验证的，所以它们俩都是现性空间。那我们取一组 kernel 里边的 g， 然后呢， 我们知道小鸡可以扩展成大鸡， can 是 属于它的这个定义域的，就是零点级，肯定是属于定义域的，把它扩展成一组大鸡， 然后这个大鸡它的象呢？我们发现正好都是现象无关的，也就能组成这个 image， 它的它的象，所以这个证明基本上是这样，就是这个证明，你没有必要听懂，我们主要是为了从直觉上理解现象，代入基本定律，你才能真正的知道它是怎么回事。 f， 它作为一个向量衍射，它的尾数相加恰好就是定义域的尾数，也就是零点级的尾数和象的尾数相加。直观的理解向量数基本定律怎么做呢？ 函数这个东西，它就类似于压缩软件，它最多只能是无损压缩，因为函数它是什么？就是你给定一个输入，我只能给你一个确定的输出，所以说一个输入只能对应一个输出，那么我最多就是把这个输入完好无损的带到一个点，然后另一个输入带到另一个点， 那么最多就是无损压缩，所以就是一个输入产生不了两个输出，我不可能把信息变多，所以如果一个东西他不是单摄的情况下，他就是一个有损压缩，无论如何他都不可能把信息变多，他只能变少或者不变。 限性代数基本定律核心内容就是说当这个压缩的方式是限性映射的时候，全部的信息 就等于损失的信息加上剩下的信息。就是这句话看起来是个废话，全部信息肯定等于损失的信息加上剩下的信息啊，难度就是在于我们怎么理解全部信息，损失的信息以及剩下的信息，损失的信息就是 kernel of f。 kernel of f 是 什么？就是它零点级，就是所有的这个 kernel f 里边的东西都被压缩到零点了，也就说我们无法判断它是从哪来的，所以这些信息就永久的损失了，所以这个它的尾数是损失的信息， 那么剩下的信息是 image of f， 那 么 image of f 就是 它所有可能吐出来的东西，那么它吐出来了一整个空间，那么它不就是剩下的信息吗？就是它已经带到了它的培育里，所以它的植育就是剩下的信息。 那么其实这个想法不仅是在线性代数里有这个公式，其实在别的代数结构中也是有长的差不多一样的东西，那么剩下的信息都是值域或者跟值域同构的一个东西。而损失的信息在这个在线代数里是 kernel f， 在群论里它就是一个正规子群，其实也是 kernel f， 然后环论里边是对应的是理想，而损失的这个东西有一个别名叫做什么呢？叫做被磨掉的东西，磨掉的东西就是这一些信息之间的差别，我都不管了，这个叫做磨掉。我们来看一个最简单的例子， 就是磨这个词本身，它一开始是描述什么，一个什么样的感觉呢？比如一个数，它磨二是啥意思呢？它就是一个从所有整数到零和一 这么个双点级的为映射，他把所有基数映射到一个杠一的这么一个东西，所有的偶数映射到杠零的这么一个东西，也就是说基数和偶数分别映射到他们的代表元，基数的代表元是一，偶数的代表元是零， 那么这个函数它就是磨掉了二的倍数关系。什么意思呢？就是在这个函数压缩信息的途中，所有的基数都映射成了一个点， 所有的偶数映射成了另一个点，导致最后呢只剩下两个点了，所以说它剩下的信息就是一和零，损失的信息就是二 n 加一和二 n 里边的那个 n， 所以 损失的信息意义就是它把多少信息压缩成了一个点，而一个限性映射，它会把多少信息压缩成一个点呢？答案就是一个零点级，那么多的点，为什么呢？大家来想一下，对于 amh of f 里边的一个 u， 也就是说 啊，它可能吐出来一个东西 u， 它的原象是什么呢？原象就是所有能被射到 u 的 这么一些 v 组成的集合，这是那个所有能射到 u 的 东西，然后 f 就是 这样把它归并到一个点，变成 u 了，那么这个东西就是它的原象， 那么这个原象它有多大呢？其实就是 kernel f 这么大， kernel f 就是 零的原象嘛？我们其实可以直接把这个集合写出来，这个集合是什么呢？就是 v 加上 u 零 u， 零就是 kernel of f 里边的任何一个东西。我们去验证一下， f v 加 u 等于 f v 加 f u， 那 f u 是 几呢？ f u 是 零就是限性映射，这个 f 和加减是可以拆开的，所以可以把它拆到加号的外边， 所以 f v 加 f u， 其实它就是 f v， 所以 它跟这个 v 加 u 两去到的是同一个地方，就是 u， 那 么里边的东西它跟 kernel f f f 是 一样多的，所以你看不懂的话，没关系，我们用一个函数化脚本看一下这是怎么个字。这个矩阵， 这个蓝色的是它的零点集，然后橙色的是它的值域， 那么这个紫色的东西代表什么意思呢？整个这个紫色面上的一个点都被映射到了这一个点，我们发现当这个面在不同地方的情况下，这个点会跑到不同的地方。 那你说建行社他压缩了多少信息，是不是就一目了然了？就是说每一个这样的二维切片的信息都被压缩成一个点了，也就说这个三维里边的东西，其中的二维被他压扁了。那最终为什么会只剩下一个橙色的这个一维的东西呢？那很显然 三维的东西被你压没了，两维你肯定只剩一维吗？对吧？呃，这不就是限行代数基本定律吗？ 所以也就意味着当 x 是 一个解，那么 x 加 kernel f， a 里边都是解，所以在已经判断有解的情况下，我们找到了一个解。 x 零要看一共有多少解，我们就看 kernel a 是 几维的就行了。因为 x 加 kernel a 里任何东西都是解， 所以那么 kernel a 是 几维的呢？就是 domain of a 减去 image of a 啊，也就是 n 减 rank a 为 n， 就是 咱们输入向量的尾数，所以当这个数是零，也就是 n 等于 rank 的 情况下， 那它代表了什么呢？就是这个列向量组质很高，我是满质的，也就是说我每个向量都带了不同的地方，那不就是完全没压缩吗？完全没压缩代表什么？代表它零减级就是零，它零减级就一个点， 所以说它只有一个解，就是它有解的情况，也就只有一个解，那么 n 如果大于 rank of a， 说明我在运输的过程中确实是损失信息了，那么这些损失的信息去哪了？都被压缩进这个解里边了， 那就有无限多的解。所以综上所述，看解的结构无非就是看 rank a 和两个数的关系。第二，看输入的向量是几维的，这个 n 的 关系 先比 rank a 和 rank a 杠 b， 如果加把 b 加进去，这个东西比原来大了，那就没有解，否则的话就有解。 如果已经有解了，你想看是只有一个解，还是有一堆解，那就看 rank a 和 dimension of domain a， 它大小关系是什么？如果我原来输入的是 n 维的，那你映射完了，这个维数变小了，说明你丢东西了，损失信息了，那肯定就有一堆解。 如果你啥东西没丢，那么原来这点呢？到对面也是点，所以那就相当于啥信息没损失，那就只有一个键。那么这基本上就是本期视频全部内容，我们下期再见，拜拜。

这个 x 和斧头是不一样的嘛？我一直以为是一个斧头。是 x， a x， ready go mother is making a mango cake， 亲一亲，没问题啊， mango， 我觉得有问题，不是芒果，是 mango， mango， 嗯嗯嗯， mango， 嗯，没问题啊，非常棒。 okay， number two mr ox is writing an x on the box x， 开口大了，好像我都听成了斧头了，小一点。 x， x， 哎，好的， x， 这个 x 和斧头是不一样的吗？我一直以为是一个斧头。是 x， a x， 嗯， x， a， x， x， 字母 x 是 x， 小口，我说的是 哪个？ ax 斧头对不对？ x， 看他听力也有问题，哈哈哈。 x， x 都不太清楚。 x x， 他非但开口大，而且他发音部位靠后， 他是一个后元音。 x， 你体会一下，是不是从接近喉咙出发出来了？ x， 嗯，对，然后 x 在前面， x 是前元音，而且开口是中开。 x， 哎哎哎，对吧？是不是在前面？哎哎哎，我们换一个好了。就是比如说 bad 和 bed， 这个能听出来啊， bad 大口对吧？ bed 小口 fat， 这是哪个是大口的？对的， fat 小口，嗯，对的。来看看今天的互动题吧。字母 x， 单词 e x 和 a x， 读音相同的单词个数有一两个，二三个。

x 三千的 ax 五四零零的这个奖是什么意思啊？其实它并不是一个具体的型号，比如说像这个，他这个 ax 代表的是这个 wifi 六的标准八零二点幺 ax 的这个 wifi 协议，然后呢，像这个五四零零呢，代表的是二点四 g 五 g 加起来的这个双屏的理论数率的总和。但是这款路由器的具体的准确的型号呢？叫 tl 高 xdr 五四三零一展板，还有什么区别啊？比如说有的时候有个客户在我这里买了一台路由器， 他说，哎，我买的是一个 ax 五四零零的，为什么你给我寄过来的是一个五四三零呢？他没有搞明白这两个名词之间的概念的区别，就是 ax 五四零零啊，他其实可以有很多型号的产品，比如说像我手里拿的这个五四三零，他是 ax 五四零零的，我买同样还有 ax 五四零零的，比如说五十八 零或者五四七零，还有面板型的 ap， 比如说五四零零 gi 或者西顶 ap 五四零 ggc， 那么这么多的型号都是 x 五四零零。所以呢，就是说如果你讲的 ax 五四零零，它其实并不代表具体某一个型号的产品， 但是如果讲，比如说 tl 杠 xdr 五四三零一展板，那么他的无线规格就肯定是 ax 五四零零的这样一个型号规格。

无限路由器上的 a x 和 a c 到底是什么意思？有什么区别呢？路由器上写的 a c 幺九零零 a x 三千到底是什么意思啊？今天帮您解惑啊！ ax 和 ac 分别是八零二点幺幺 ax wifi 和八零二点幺幺 ac。 wifi 的简称，也就是我们常说的 wifi 六和 wifi 五， 分别表示不同的无线通讯标准，和移动信号中的四 g 和五 g 的关系类似啊， ax 协议也就是 wifi 六的无线性能更好，但是也需要手机等终端支持才能体现，否则你用 wifi 五和 wifi 六是没有区别的哦， 那问题就来了，无限规格 ax 三千到底是啥意思啊？无限规格可以从 ax 加三千两个方面来理解啊。 ax 就是我们刚才说的 wifi 六的无线通行协议。三千指的是路由器的二点四 g 无线规格六百兆，加上五 g 的无线规格两千四百兆，这两个频段总共可以达到三千兆。简单粗暴的来讲， ax 或者 ac 后面的数字越大， 代表路由器的无限协商速率越高，网速越快，性能也会更好哦，你明白了吗？

大家好，欢迎来到 excel 二十四课第十五课， power query 翻译成中文就是超级查询数据获取与转换工具。 它这个解释比较啰嗦，你只要记住它有两个功能就行了，一个是多表合并，再一个是数据清洗。 power query 这个函数是微软内置的功能插件， 目前 wps 还没有这个功能，它正在内测中，估计也快上线了。今天咱们就重点看一下它这个多表合并功能。看一下这四张表格， 杭州、上海、深圳、成都这几张表格的行数加起来是有八十五行，结构不同。 咱们今天的任务是把这几张表格合并成一张表，然后在后期添加数据的时候能够一键更新。 咱们先新建一个表格， 点击数据获取数据来自文件，从 excel 工作簿 导航器选择多项， 一二三四，把这个四项选中之后，点击转换数据， 然后看一下这地方有合并查询，还有这个追加查询，他们这两个的区别。我分别说一下这个合并查询，就是说当这几个表格文件 处理的结果就是列数增加，行数不变，而这个追加查询呢，它这个结果是行数增加，列数不变。所以说咱们选择追加查询，点击 追加为新查询 三个或更多表格可用的表有四个，咱们都给它双击一下，给它添加至要追加的表。 好都过来了，咱们点击一下上传关闭并上载，关闭并上载至， 咱们看一下合并表是什么样子。点一下表选项，然后新表点击，确定 这个行数应该是八十五行，加上表头应该是八十六行，看一下结果。啊 对，八十六行，咱们再来看一下，当原表格数据发生变动的时候，这个 j 加一这张表格会不会发生数据变动？先看好，这是第八十六行啊， 给它复制俩吧。 com 加 c com v 保存文件保存，关闭 文件保存一下， 右键刷新 好，数据同步更新过来了这个金额这一列看着咋这么别扭呢？给它换，给它调个位置， 出现四个箭头的时候，摁着 shift 键给它调到一个你想要的位置。 好了， power query 功能的介绍先到这里，感谢观看。

awm 大家都知道吧，那么我手里的这把呢，不是 awm， 它是比 awm 还要更牛逼的当代高精狙击步枪的标杆之作，英国精密国际 a 叉 m， 好 马配好鞍，那我们今天这根标杆呢，也是给它搭配了瞄准镜中的劳斯莱斯斯密特本德。如果把这个折叠枪托伸开啊，它的长度大概有一米二五，我的身高是一米六，大家可以看一下它，这个已经到我的胸口了啊， 空枪的重量是六点八公斤，非常非常的沉啊，还不算上瞄准镜还有其他配件哦，太沉了，跪着说吧！ a 叉呢是它的名字， mc 的 意思就是可更换枪管，可以更换三种型号的枪管，点三三零，点三零八，还有点三三八，今天我手里的这把枪呢，用的就是 标准的点三零八七点六二乘五十一纳头蛋。点三零八的口径的话，它的有效射程可以达到一千米。个人接触的这个高精狙啊，不是特别的多，但是这把狙击步枪呢，我看他的第一眼我就觉得他非常的帅气。大栓啊，也是非常非常的丝滑，非常丝滑， 颜色呢有沙色，黑色，还有绿色，我个人呢还是比较喜欢这个绿色的，因为他比较绿。这把枪是英国主流的高精度狙击步枪， 一般的部队是不会给派发的，只会配发给最精锐的狙击单位，这种单位的行动的话，往往都是不会被公开的。狙击手这个词大家可能都听说过，但是狙击手的含金量大家可能不太懂，我简单的给大家说一下狙击手的含金量，所谓一人顶一连，如果是非常专业的狙击手的话，他可以 决定战争的走向，顶尖的狙击手基本上都是万里挑一的人才，尽管是标杆制作，但是他也不是没有缺点的。老铁这把枪的售价啊，大批量采购价大概是一万五千美金的左右的样子，还不算上镜啊，如果算上镜，再加上其他配件下来的话， 可能要达到两万美金左右。哪怕就是民用版的 a 叉 mc 啊，也不是普通人能够玩得起的，因为啊，能够买这把枪拿回家把玩的人啊，往往他在家里还有更多的狠货。这把枪在西方国家是非常受欢迎的啊，但是不知道为什么，在国内的民用销量市场依然为零，那这个值得考究， 可能是因为太沉了，上街拿着不太方便吧。下面给大家展示一下我们的 a 叉 mc 三百米开外上班时的样子， you are！

申请国际驾照别盲目，日本韩国必须 i d p， 其他一百八十国啊，用 i a a 翻译件搞错就白跑，到了国外租车点呢？驾照啊，不能用，尴尬又耽误行程，这就是申请国际驾照的常见坑。 核心结论， i a a 是 翻译件，覆盖短期旅行， i d p 专用于日韩，需搭配本国驾照。各国法规不同，比如去欧洲自驾用 i a a 美 问题，但去日本没 idp 直接被拒，自驾游兴奋出发却因证件不符卡在柜台，损失时间和心情。解决方案，三步搞定，先确定目的地国家要求， 再选 i a 或 idp 类型，最后线上提交材料申请，分不清具体国家要求。别担心，在支付宝或微信搜考证通进入小程序，选全球驾照， 根据目的地选 i a a 或 i d p， 填信息上传材料就能办，一般三至五天出件，超方便。小程序呢，还有视频教程和客服帮你先搜跑政通，查清楚再办，省心又稳当，让你海外自驾一路顺风！

我爱你 ister 灏灏，热气 bili bili 我 love you 你 的 team 蓬荜蒿马浩 kita 雷克罗森尼斯尔弗蕾特 acusantapadum yegoskull moon rakastansen made a sight toot。

最近 x 上上了翻译功能，就一下打开了战争迷雾啊，都能互相看到各国网友啥想法。刷到一个网友的总结，说，韩国区啊，全是在讨论半导体投研搞钱方法，中美 ai 竞争分析 技深有专业卷亡本亡。而日本区呢，日常排外，骂老中，骂老中游客啊，女号一发，颜色内容流量直接起飞。这个就非常符合我对韩区和日区的刻板印象。 韩国区呢，就是极度焦虑搞钱半导体卷啊，日本区的就是排外颜色沉沦。这不是简单的网名成分差异，就是日韩两国的文化、企业文化、办公室，政治和核心价值观 在过去三十年的集中体现。韩国文化里面有一个核心观念叫恨啊，一种交织的屈辱，不甘，必须复仇的复杂情感。 韩国人明白，作为一个地缘政治夹缝中的小国，那资源匮乏，一旦停下来就是掉沟里了。在韩国呢，不搞钱不专业就等同于慢性自杀， 全社会都在疯狂的崇拜迎。不管是不论是高考选秀还是半导体投研， x 上的韩国区，其实就是首尔江南区那种窒息竞争的互联网的延伸。 日本呢，是加拉帕格斯群岛化，三十年的经济停滞让年轻人普遍失去了对宏大叙式的兴趣。什么中美竞争，中美 ai 竞争，关我屁事？ 日本文化讲究不给人添麻烦，但是在网络这个匿名的厕所里，现实中压抑的攻击性就会转化为对外部的排斥，比如对中国游客的排斥。 而颜色内容这个流量起飞，也正是日本的高度发达的风俗产业。和现实中年轻人这种性退缩，恋爱降级，在虚拟世界中的待长 企业文化上都知道，日本搞老人政治，搞年功序列志和秉义志，一个项目要层层上报，还盖几十个章，为了不犯错就没人做决策。 韩国呢，比如三星海力士，搞财发独财和自上而下的 top 档啊，会长一个人拍板，全集团买单，赌对了就全盘通吃，赌输了， 赌输了就一起下海摸鱼啊。日本企业容错率低在日本企业呢，不犯错比立大功更重要，就这种文化就直接干死了，需要快速迭代的互联网和半导体的竞争。韩国的容错率很高，当年三星搞存储连续亏了十三年，硬扛过来的， 价值观上更是差距大。韩国的价值观是高度功利，而且面向未来的他们对新事物的接受度很高，比如韩国是全球炒大饼炒美股最疯狂的地区之一。嗯，在 ai 和半导体竞争中，韩国人有一种我要不搭上这班车就会被开出国籍的紧迫感 啊。所以他们的 kol， 网红，网民啊，都在疯狂的消化最前沿的信息。日本的价值观更偏向保守，那他们习惯把过去的事情做到极致 啊，就是所谓的工匠精神，但是对这种颠覆性的泛式转移相当迟钝。所以韩国人在聊 ai 怎么改变半导体设计的时候，而日本的很多企业还在讨论怎么把传统汽车的零件公差再缩小零点一毫米。 在现实中的产业落后，就导致网络上的集体心态失衡啊，最后就成了在历史和地缘话题上寻找虚无的优越感。所以一边是还没吃饱还要搞钱准备随时在工作岗位上干的猝死 啊。另一边是平城废柴令河死宅啊，天天敲着键盘发泄对生活的不满啊。都是老钟的错，都是老钟的错，老钟太坏了啊，用个 ai 画图还要造谣说老钟吃狗肉汉堡，包装上都是日日语，还蠢的真是让人无法直视 啊。比比护士的粉丝都能算，博士毕业了也不算，反正各有千秋吧。

主播主播，你看这个旋转体公式，好了，不用说了，我知道你意思，这大学讲十分钟给你推导出来。好，这个视频我们来聊一聊章鱼十八讲里面这个曲线绕着一个斜直线，他旋转的一个体积，我们是， 呃，怎么算的？或者说这个公式是怎么推导出来的吧？当然在讲这个之前我们先叠个讲啊，我本人并不推荐大家背诵这个公式，因为为什么？因为我做了这么多年题，其实我发现没有哪道题非得用这个公式才能解， 而且这个公式的话，你记下来，我估计后面用上的次数不会超过三次，对吧？但是呢，为什么还是要讲这个视频？一的话是要满足一下大家的好奇心，二的话就是说在这个推导过程当中，我们其实是能学到很多数学上的一个思维的， 所以说这个推导过程听一下还是对你理解这个东西是有帮助的。但反倒是这个结果的话，它其实并没有那么的重要。 好，然后我们来具体看一下这个结论他是怎么推导的啊？首先我们先来看一下这个条件，他是讲述了一个什么样的题目呢？就是说你看我们这里有一个有一个任意的一个曲线，对不对？我们平时转的时候是不是要么绕 x 轴转，绕 y 轴转，然后现在的话他给了你一条任意的直线， 就是我这个斜直线，对吧？但是这个条直线的话，他有一个条件，就是说你任何一条，呃，垂线与 l 至多有一个交点，什么意思呢？就是说你不能出现这样子的一个情况，呃，比如说是这样子，然后你这样子旋转的话，它是不行的，你必须得这种垂线下来，你跟 l 它只能有一个交点，是这么一个意思，对吧？然后接下来它是说 l 绕绕 l 零， 就是你这个曲线啊，绕这个 l 零旋转出来一周所得的一个旋转体的体积是多少，对不对？然后像这个东西的话呢？我们首先考虑的就是用那个微元法，我们把它呃，就是你这个东西旋转的话，那它旋转出来是不是？ 呃，这么一个一个的这种小圆盘呀？对不对？那我们其实就是说我们拿出其中一个圆盘来算，然后最后用积分的一个方式把它给呃积起来就可以了，对不对？好，那我们来看一下，我们要算这个圆盘， 我们给它画出来，我们要算这个圆盘的一个体积，哎呀，画的有点难看，我重新画一下，就这样子，这样子， 如果说我们要算这个小小的微圆的这个圆盘的它的一个体积，我们需要知道的是哪些东西？首先你这个半径我们是要知道的，对不对？然后你这个高我们也是要知道的，半径知道高，知道这个体积微圆底 b， 我 们是不是就算出来了？ 好，那我们首先来算一个最简单的，就是你这个 l 到上的一个点到 l 零的一个距离是多少？那这样的话我们可以用什么点到直线距离公式，对不对？ 那我们就假设这个点任意一点是 x y 嘛，对不对？ x y 那 点到直线距离公式我们带进去，带进去是不是？就是呃， a x 加上 b， y 加上一个 c， 然后除以一个根号向 a 方加 b 方，对吧？再看一下， 啊，就这个吗？对吧？这是我们高中的一个公式，点到直线距离公式。好，然后这个地址到了，接下来我们要求的其实就是这个，呃，高，对吧？高，我们把它记为 h 的 话，这个我们可以把它写为是一个点 h， 就是 你 这里，这里你变了 d x， 我 这里对应过去，它一定会有一个 d h， 对 不对？然后这个 d h 等于多少呢？你说等于 d x 嘛？那肯定是不不一样的，对不对？这个就是它并不是一个等价的这么一个关系，我们需要用那个几何关系把它给 呃算出来，那我们来看一下，就是当我们就是我们在积分的时候，无非就是 a 到 b 什么东西，然后 d x 嘛？所以说 d x 我 们可以认为是已知的，那我们就是有了这个 d x 之后，它能够产生多少的一个位移？就是你这个直线啊，你这个直线能发生多少的一个 呃，长度，对不对？这个东西我们可以把它记为 d l， 那 我们接下来要把这个 d l 给它算出来，对吧？ d l， d l 是 怎么算的呢？那我们来看啊，我们把这个东西就是当我们 d x 区域足够小的时候，我的这个 l 是 不是可以近似的看成一条直线，对不对？那我们把这个小三角形给它拿出来， 拿出来之后你可以看一下，这里，这里，这里，这边是 d x， 没有问题，对吧？这边是 d y 也没有问题。然后这个东西这个斜的，斜的，这个就是 d l， 对 不对？那我们近似的把它看成一个那个直角三角形的话，那我们是不是可以用勾股定律了呀？ 它就是等于 d x 方加上 d y 的 平方，对不对？好？然后这个 d y 我 们知道，就是在一元函数微分选里面， d y 它其实就是等于 f x 一 撇 d x， 对 不对？那我们把这个东西带进去，然后把 d x 提出来，它是不是就是一加 f p x d x 啊？不对， d x 可以 提出来，这边有个平方 d x， 对 不对？那 d l 我 们也表达出来了。然后接下来下一个问题是什么？这个 l 就是这个 d l， 它等于这个对应过去，你看这里对应过去，它跟 d h， 其实我们眼睛看看就知道这两个东西肯定不相等，对吧？但是我们可以知道，就是这这样子，我们投影过去，其实我们也知道这个东西叫做投影，对不对？那这个 d h 它的一个长度是不是就是 d l 在 你这条线上投影的一个长度呀？那投影公式我们是知道的，对不对？投影公式，那我们就可以知道我们的 d h d h 它是等于 d l cosine theta 加一个绝对值，对不对？这样子， 那我们的这个投影长度是不是也就知道了？那接下来我们还有哪个不知道呢？是不是 cosine theta 不知道呀？ cosine theta 其实就是这个， 呃，但是呢，我们知道两个东西啊，一个的话就是你这里，你这里它的一个，呃，怎么说呢？它的一个方向我们是知道，这个它的方向我们也是知道的，对不对？两个方向我们都知道的话，那我们 cosine c 它，它其实是可以用那个夹角公式来算，对不对？ 那我们把这两个给他写一下， l 一 直是一个直线，那我们知道就是这种一般式的直线，它的方向向量是什么？ s， 它是等于 b 负 a， 对 不对？你如果不理解的话，你可以把它写成一般式，就是 y 等于负 a 加 减 c 减 c， 然后这里 x 除以一个 b， 对 不对？这样子？然后呃，你给他化简一下，其实也能化简出来它的方向向量是什么 啊？然后接下来还有一个是我们的这个，这一条，对吧？这一条我们把它这个底 r， 我 们把这个方向向量记为 r 好 了啊？为，为了跟这个 s 有 所区分， 我们把它记为底 r， 底 r 是 等于什么？底 r， 它就是我们这个曲线发生的一个微小的一个位移，这个位移的话，我们近似的把它看成 d x 跟 dy 就 可以了，对吧？ x 轴方向的位移，然后 y 方向上的一个位移，对不对？然后呢？这个 dy， 我 们把它跟 dy x 统一起来，那就是 f 一 撇 x， d x， 对 不对？然后 dy 知道了， dy s 啊，这个 s 也知道了，那我们 cosine theta 是 不是能用我们高中的那个夹角公式呀？ 加减公式，它是等于 d r 点击 s， 然后除以一个 d r 的 魔长，然后 s 的 魔长，对吧？然后接下来的话我们就把它给带进去，那是不是 b d x 减掉一个 a 看一下 f p x， d x 除以一个 根号下一加 f 撇平方 d x， 然后根号下一 a 方加 b 方，对不对？好？然后这个东西的话呢，我们有了这个东西之后，我们 d h 是 不是就可以算了？我们把这些这些用过的，我们给它擦掉啊？擦掉。那我们的 d h d h 根据前面的公式数字就是等于 d l， 然后 cosine c， 它的绝对值，那 d l 等于多少？已经算出来了，它是等于根号下一加 f 撇方 x， 这边加个括号吧，这样子 里面有奇异 f 撇 x 平方，然后在这里有本身有个 d x， 对 吧？然后再乘以一个 b 撇 x 减掉 a f 撇 x 绝对值，然后除以一个根号下 e 加 f 撇方， 然后再底 x， 再乘以个根号下 a 方加 b 方， 对吧？好，然后这样的话你可以看到这样的东西是可以消掉的，对吧？消掉，然后只剩下这一部分，这一部分的话，那我们是不是就算出来等于 a f 撇减掉一个 b， 然后除以一个根号线 a 方加 b 方 d x 呀？对不对？好，然后这样的话我们知道了 d h 刚刚那个圆盘，还记得吧？就这个圆盘，哎，有点难看，我重新画一下吧。 这个，这个是一个圆，呃，圆柱，相当于是个小圆柱嘛，对吧？那它的一个 d v， 它是等于什么呀？是不是等于派地方 d h 啊，对吧？ 那派，然后地方看一下，地方是在这里，这里的话是 a x 加上 b y 加上一个 c 平方，然后除以一个 a 方加 b 方，对吧？然后后面的话我们把这个东西带进去， a f 撇减掉一个 b， 然后除以一个根号 a 方加 b 方，嗯，然后 d x， 对 不对？ d x， 好， 然后我们把这个常数给它挪出来，这个就先擦掉了啊，常数给它挪出来，它是等于派，然后 a 方加上 b 方二分之三，然后 这边的话是 ax 加上 b y 加上一个 c 平方，然后 a f 撇减掉一个 b dx， 对 不对？然后我们最终的题就是不是就是积分 a 到 b， 然后 d v 啊？然后后面这个东西你看一下，就是我们题目里面条件里面的这个东西，它是一模一样的，对不对？好，然后这个证明就给大家讲到这里，谢谢大家。

护照翻译，很多人一听到标准格式就觉得要去线下口干杯，其实现在办理线上翻译非常方便，得不失口就能拿到符合各国使领馆要求的正规文件。 通过专业的线上渠道，如今公办办理不仅能确保术语准确，还能获取带有公章和资质的电子版或纸质版翻译件，让你的签证申请一路绿灯。 那么签证和护照的标准英文翻译到底成什么样呢？通常包含三个核心部分，第一，个人信息栏，姓名、性别、国籍等必须与原件完全一致，不能有拼写错误。第二，证件关键信息， 比如护照号码、签发日期以及最重要的有效期。第三，翻译声明与盖章。正规的翻译件底部必须加以翻译专用章，记住，自己随手翻译的文件在官方审核中通常是无效的。