韦东奕不等式小于27证明过程
让我们来看看最近知乎上又有哪些稀奇古怪的问题。这个问题询问一个高中不等式证明题，我一看是一个三元的不等式 题目条件是 x、 y、 z 都大于等于零，一个求和小于等于六，求证一个看起来很恐怖的乘积小于二十七。讲道理，这个问题看起来怪是邻询，我觉得其本质是非对称导致的。所谓非对称，意思就是 x、 y、 z 在 式子中交换两个以后不是原来的式子。 不管怎么说，我们还是先分析一下吧。首先，我们看到的一点是，虽然题目条件是小于等于六，但是其实只需要等于就行了。 我们可以这样考虑，假设 x 加二， y 再加三， z 小 于六，那么肯定存在一个大于一的数 t， 使得两边同成 t 以后变成等于六，这个时候 x、 y、 z 就 分别调整为成 t 以后的数值了。 如果这个时候能够证明不等式成立，那么把 x、 t、 y、 t 等代入，就能分出一个 t 六次方 t 大 于一，所以二十七肯定大于由 x、 y、 z 构成的不等式，因此只需要证明等于六的情况即可。这个事情并不难理解， 我们以前说过，不等式最重要的就是取等条件，这里我们能够知道取等条件吗？经过一番尝试，我发现似乎很难直接猜出取等条件，因为这里不等式是非对称的，所以以前的设三个相等之类的办法不奏效。 因此，这个不等式的困难之处我认为有两点，首先，我很难直接找到取等条件。其次，条件和不对称的猜不出。取等条件的事情我们确实没办法， 但是式子不对称的事情，我们可以想想办法，如果我们想办法让式子转化为对称的，那么可能就好解决了。 我先从条件开始看，这个系数一二、三看起来就像一个三角形堆多起来的，就像我这里写的， y 加了两次， z 加了三次，或许条件就可以直接分开成三个式子。 就像这样，让 a 等于 x 加 y 加 z， b 等于 y 加 z， 然后 c 等于 z， 因为 x y z 非负，所以肯定有 a 大 于等于 b 大 于等于 c， 这里先不去管它，这样做的一个好处就是 条件转化为 a 加 b 加 c 等于六，变成对称的了。现在我们把 a、 b、 c 代入不等式，看看会变成什么样。 带入一看，不等式变成了这样的关于 a、 b、 c 的 式子，前面的三个乘肯定是对称的，但是后面三个括号还是有点不对称。不对称的原因在于 a 充当了两次被减数， c 一 次都没有，但是这也正常，如果完全对称，那式子肯定是负的了。 这个两两相减的式字相乘，不知道让你想起了什么。我想起了三次方程的判别式，我来解释一下这是怎么回事。首先考虑这样一个以 abc 为根的三次方程，它的判别式就是三个根相互减在平方，这里的三个减保证正好其实就是判别式开根号。 所以原来的不等式就是说考虑这样一个三次方程，三个根的和为六，要证明三个根的积乘根号下判别式小于等于二十七。 我们知道至少判别式本身完全是三个根的对称多项式，也就是说整个不等式就可以和三次方程的系数联系起来，因为根据维达定律，三次方程的系数联系根的对称多项式，这样我们就将整个不等式转化成了对称的形式。 我估计出题的人就是这么想的，从三次方程构造对称的不等式，然后换元，破坏对称性。好的分析了这些以后，我们必须要面对不等式应该如何证明的事情了。 我发现从本质上来说，题目就是给一个求和，证明成绩小于什么东西。那办法很容易，想用均值不等式。 但是如果要用均值不等式，我们就需要将求和进行拆分。然而我们不知道应该怎么拆。不过这个事情我们高中时候遇到很多，不知道怎么拆，就待定系数，然后解出来系数，最后装作注意到可以怎么怎么拆就行了。 什么意思呢？意思就是说，我将 a 加 b 加 c 设成这样一个拆分式子，式子中每一项都对应不等式中的乘积系数，用 k 一 到 k 六假设，然后对这整个式子用均值不等式，那么就把乘积凑出来了。 因为 a 加 b 加 c 等于六，因此可以得到不等式的左边小于 k e 乘到 k 六的倒数。如果我们知道 k 一 到 k 六，那不就完事了吗？可惜我们现在不知道， 不知道怎么办，不知道就去构造方程解出来。我们有两个办法，构造系数的方程，第一，对比分拆的系数。第二，使用取等条件对比系数。这个事情非常容易理解， 因为不论怎么分拆式子，它们本质上还是等于左边的 a 加 b 加 c。 因此将右边的式子中 abc 的 系数分别找出来和左边的系数对比就行了， 这样一对比就得到了三个 k 的 方程，因为左边系数都是一，所以方程中都等于一。接着我们看取等条件，均值不等式。取等条件是什么？是所有项相等，因此这里分拆出来的每一项都是相等的。 这种相等会带来一个新的好处，就是可以用 a、 b、 c 表示 k 一 到 k 六。原因是这样的， 因为分拆出来的每一项都相等，于是我就可以让它们都等于 k 一 a， 那 么其实就是六。 k 一 a 有 题目条件六 k 一 a 等于 a 加 b 加 c 等于六，所以 k 一 其实就等于 a 分 之一。 这里说明一下，这里的 a 其实表示的是取等的时候 a 的 取值，并不是说任何时候 k、 e 都等于 a 分 之一。 按照类似的手法，我们可以把 k 一 到 k 六全部用 abc 表示。就像这样，然后我们将 k 们带入到对比系数得到的方程组。就是这样一个关于 a 到 c 的 方程组。三个方程三个未知数，原则上说是有机会将 a 到 c 解出来的， 但是我们这里并不试图去切实地解出 a 到 c 的 对称式， 由这些对称式，我们就可以拼凑出三次方程，其解就是 a 到 c 了。好的，对于这个方程组，我们应该怎么做呢？ 我们观察到，虽然每一个单独方程并没有完全的对称性，但是三个方程组合在一起，对 a、 b、 c 是 对称的。因此在我们操作的时候，必须要完全平等对称地进行处理。 比如说我将三个式子加起来，那么分母有减号的项全部抵消，结果是三个量的倒数和为三。这个式子就是简洁漂亮的对称式了。 此外，我还可以第一个式子乘 a， 第二个式子乘 b， 第三个式子乘 c， 然后加起来，我们会看到分母有减号的项，会两两配对变成一，于是我们得到求和为六。但是这是题目条件，并没有得到更多的东西。 类似的，我们可以将刚刚乘的项改为平方，这样可以得到平方和的结果，所以我们得到了用对称式表示的方程。 我们这里可能需要对乘平方求和这一步再进行一些解释。正如这里所写的等式，右边因为都是一，所以乘完求和自然是平方求和。 对于方程组的等式，左边第一项，因为都是 a、 b、 c 的 倒数，所以乘平方就是 a 到 c 了，求和以后就是 a 加 b 加 c。 至于那些分母是作差的象，其实两两配对以后，分子就是个平方差，这样会贡献出来两倍的 a 加 b 加 c， 而 a 加 b 加 c 的 数值我们很清楚，就是六，于是平方和顺理成章地变成十八了。接着，我们将这些式子转化成三次方程的系数。对于三次方程系数，无非就是 a 加 b 加 c， a 乘 b 乘 c， 还有两两乘加起来，用我们这里已经获取到的对称式计算这几个数绰绰有余。 结果就是这样，加起来是六。题目条件，两两乘再加是九，三个乘是三。所以根据维达定律，三次方程也就千呼万唤使出来了。就是这样的式子，我们这里还是用 t 做变量，因为前面的 t 不 会再用了，不用担心混淆。 这里我们得到的结论是，原来不等式中取等的 abc 其实就是这样三次方程的三个解。为了不混淆，我们就用大写的 abc 表示这个方程的三个解吧。现在我们将整个不等式的证明过程正找走一遍， 相当于把之前的内容顺一下。首先令 abc 为这个三次方程的三个解，用这三个解，我们可以说注意到 k 一 到 k 六等于这些。 然后由题目条件六等于 a 加 b 加 c， 可以 拆分为这样的式子们，系数就用上面的 k 表示， 然后均值不等式将所有项乘起来。因此关于小 a 到 c 的 式子，小于等于 k， e 乘到 k 六的倒数等于大 a 乘到 b 乘。根号下判别式 由维达定律 a、 b、 c 等于三。接下来就是算判别式的事情了，三次方程的判别式可以用系数表示，在网上可以查，我这里直接用结式算了，算出来结果是八十一，正好能开出来。不得不说出题人良苦用心啊， 代入直接就得到小于等于三乘八十一，开根号结果是二十七，这就证明完毕了。值得说明的是，以上过程中只利用了根与系数的关系，没有必要真的把 a、 b、 c 解出来，这就是对称性的威力，如果没有对称性，我们恐怕还在那里苦哈哈的解分式方程组呢。 当然，为了完整性，我们还是看看这个方程应该怎么解。解三次方程第一步当然是要把二次项去掉，比如换元 m 等于 t 减二就得到无二次项的 m 的 方程。 我们在很久很久以前说过这种三次方程应该怎么解，利用三角函数就行，具体方法我不说了，把之前内容的结果放在这里。对于我们这里， p 等于一， q 等于二分之一， 于是三次方程的解，很容易就用三角函数表示了是关于九分之派的一系列角度，然后这里 k 取零到二， 这样 a 到 c 也就可以分别显示地写出来，再反推回最开始的关于 x， y， z 的 不等式取等条件也就是这样的。好的，到这里我们就完整证明了不等式，并且给出了取等条件。你学废了吗？
粉丝3.0万获赞34.4万
相关视频
03:17查看AI文稿AI文稿到货了到货了，前两天购买的伟东一组编的数学能力的六年级的这一本已经到货了，伟神组编肯定是必出精品，那么这一共是三本，一本书， 一本答案，一本草稿本。草稿本是这种分区的，它的答案的话就是以咱们这本书上的题目答案为主。给大家先看一下目录， 因为他是全国版的，所以说里面会涉及一些七年级的内容，比如有理数、正负数、 不等式、密算、勾股定律，可能还涉及到一点哎，八上的内容。其他的呢，主要以六年级为主，以这种圆圆柱、圆锥排列组合、钟表问题和一些工程问题。咱们先看一下，比如我随便翻到一讲 简单的不等式，他一般是分三个模块，第一，例题的讲解，这里的二维码可以扫描，有短视频。 第二，知识点呢，总结归纳。第三，相当于例题配套的练习题。那么练习题呢？每一个章节大约八到十个题或五到八个，这个就是五个，他是分星的，比如二星的题，三星的题， 是吧？好，那这里的话咱们强调一下他这个视频讲解，这个视频讲解呢，因为我扫描了几个，嗯，他不是韦神亲自讲的，可能是助教的老师，或者说帮助编辑的这个老师录制的。 好，咱们再回到目录，它这里面呢，有比较有趣的地方，就像每一个都会有这种小的，这种小的呢，比如咱以这个沙漠灌盖， 主要是这种哎，比较好看的这种漫画性质的，然后探讨一个数学问题，也是可以进行学习的。还有一个模块，就是啊，他最后留了一个模块 叫艺术空间，那么这一本书的艺术空间呢？一共是六道题， 后面就没有了哈，那每一讲呢，总结一下，就分为例题，还有归纳重点，还有能力提升。 能力提升呢，题目并不是太多，如果说孩子做题时间没有那么充足，其实这本教材还是啊非常好的，如果说孩子想多练题的话，那这本教材可能题目上会少一些。后续呢，刘老师也会 借助这本书给同学们讲解一下里面的一些题目，如果感兴趣的同学可以持续关注一下刘老师。后续的话，我们会出一个系列， 把这本书给解一下，因为韦东翼在我们济南哎是韦神哎一般的存在哈，有兴趣的同学们或家长们都可以看一看。
49刘老师盘数学
02:21查看AI文稿AI文稿很多人知道这条不等式链，却不知道怎么证明，今天我就来讲一讲对任意两个正数 a、 b， 条和平均小于等于几何平均小于等于算数平均小于等于二次平均。 从左到右分别是条和平均、几何平均、算数平均二次平均等号当且仅当 a 等于 b。 比如 a 等于一， b 等于四，四个均值严格递增排在数轴上很好认， 证明分三段，中间几何平均小于等于算数平均，用完全平方。左边条和平均小于等于几何平均，把中间不等式用到倒数上，右边算数平均小于等于二次平均，用向量 先证。中间几何平均小于等于算数平均。根号 a 减根号 b 的 平方大于等于零，展开得到 a 加 b 减二倍。根号 a， b 大 于等于零，两边除以二，就是算数平均大于等于几何平均。 根号当前仅当根号 a 等于根号 b， 也就是 a 等于 b。 再证左边 对正数一比 a 一 比 b， 使用已经正过的几何平均小于等于算数平均，得到一比。根号 a， b 小 于等于 a 加 b 再除以二， a、 b 两边都是正数，取倒数后，不等号变相就得到几何平均大于等于条和平均 等号，同样当 a 等于 b， 所以 最左边其实是中间不等式的推论。最后正右边设向量 u 等于 a， b 向量 v 等于一。一点击式 a 加 b， u 的 模长是根号 a 平方加 b 平方， v 的 模长是根号二。 由点击小于等于模长相乘，得到 a 加 b 小 于等于根号二乘根号 a 平方加 b 平方，两边除以二，就是算数平均小于等于二次平均等号当向量平行，也就是 a 等于 b， 三段合在一起，就是条和平均小于等于几何平均小于等于算数平均小于等于二次平均。整条链等号当前仅当 a 等于 b。
467奥卡姆的刀片
06:21查看AI文稿AI文稿大家可以看到，这就是我们高一第二章不等式的经典题型。 二次型不等式横乘力问题也是我们高一月考高频错题之一，需要注意的细节很多，也非常考验数形结合和转化化规思想的运用，那今天大王老师为大家带来解析思路和技巧。那首先 我们来看，之所以叫二次型不等式的横成力问题，是因为有时候我们常常容易忽略二次项系数为零这样的特殊情况，那我们可以看到，呃，这就是我们 常见的三类横成力问题的题型啊。我们首先看第一类，它是已知函数对 x 属于二， f x 小 于零，横成力求 m 的 取值范围，那这类问题我们叫做 在 r 上的横成力问题。 那对于这种在 r 上的横成力问题，我们需要从竖形结合的角度来考虑，但是刚才大王老师说了，这里面有一个很大的陷阱，就是弱 m 等于零，因为人家只是说函数，没有说二次函数，所以 m 是 可以等于零的。那如果 m 等于零，现在我的 f x 就 横等于负一，那他小于零，一定是横乘立的，所以这种情况下没问题。接下来若 m 不 等于零时，这才是一个二次函数小于零的问题。那么看如果要二次函数小于零，他是不是一定是开口向下，并且和 x 轴没有交点？所以我们只需要满足两个条件，第一，二次向系数小于零，让他开口向下。 第二，让他的的小于零，这样的话他就和 x 轴没有交点，那我们求解即可。接下来我们来看例二， 已知函数，若对 x 属于一到三， f x 小 于五，减 m 横成力求 m 的 取值范围。好，那这个时候我们注意给的是 x 不 再属于全体实数了，而是一到三，这就是给定 区间的横成力问题。 那好，那既然给定了区间，我就没有办法像第一一样分析它整体的图像了，所以这个时候我们要用到一个高中非常经典的方法，叫做参变分离。 首先我们将 f x 小 于五减 m， 把它变形成为 m 倍的 x 方减 x 加一减六小于零啊，也就是我们把 m 全都提出来， 然后接下来 m 倍的 x 方减 x 加一小于六。那所谓的参变分离，其实就是让参数在不等号的一边， 让变量在不等号的另一边。因为我们现在要求的是 m 的 取值范围，所以我应该把 x 方减 x 加一给它除过去。但是在这里大家要注特别注意一个事情，因为我现在 是不等式，左右两边同除， x 方减 x 加一，那我一定要去验证一下 x 方减 x 加一有没有可能有正负上的区别。因为我们都知道，如果左右同除负数，它是要变号的，那我们看一下 x 方减 x 加一，它整体是一个开口向上的二三数，并且它的的它是小于零的， 那就意味着它的曲值是恒大于零的，所以我左右同除，不用考虑编号，那 m 应该小于 x 方减 x 加一 分之六。那做完参变分离之后，我们会发现这边是一个关于变量的新的函数，那 x 是 属于一到三的，现在我要让这个不等式横成力，只需要让 m 小 于 x 在 一到三上的最小值即可。 那这是第二类给定区间的横成力问题。最后我们来看第三类还是弱 m， x 方减 mx 减一小于零。我们注意，现在是对于 m 数一到二横成立了，求 x 取值范围，那我们看好像跟前面的题差不多，只不过是原来是给 x 的 取值范围求 m， 现在求的是反了，所以这类问题叫做给定 我们常规意义上的参数取值范围 求变量。那这个时候我们怎么去解呢？很简单，我们要去做参变互换。 什么叫参变互换？就是给了谁的取值范围，把谁看作是自变量，求谁的取值范围，把谁看成是参数。然后接下来我们再去做参变分离。 好，那对于这道题来说，我们可以把它变行为 x 方减 x 倍的 m 减一小于零， 对 m 属于一到二横乘以，那现在它就是一个关于 m 的 一次函数了。那好，那接下来我们去做擦面分离。还是 这次，只不过这次我们要把 x 方减 x 放在左边，那就是 x 方减 x 乘 m 小 于一，那这个时候我们要左右同除的是 m， 因为 m 是 属于一到二的，所以我们不用去考虑编号 不等号方向的问题，直接 x 方减 x 小 于 m 分 之一。那好，做完擦面分离之后，还是我们把 m 分 之一看作是 m 数一到二上的一个反比例函数，那如果要这个不等式横乘立直，需要 x 方减 x 小 于 m 分 之一的 最小值即可，只不过大家不要忘了这里面给定区间了，所以是在一到二上的最小值，那最后就可以直接求解出答案。
45高中数学大王老师
04:15查看AI文稿AI文稿今天讲高一数学第二章不等式里面的一些题型看，利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 看。另一，这个也是一个常考的题型， a 大 于一，小于三， b 大 于二小于四，求 b 分 之 a 的 取值范围。这里一个 b 分 之 a， 咱们是不是可以写成 a 乘以 b 分 之一啊？ 所以咱们能不能写出一个 b 分 之一的范围？因为 b 是 怎么样的？大于二小于四， b 分 之一呢？ b 分 之一就怎么样，他要跑到这边来，所以是大于 四分之一，小于他跑到这边来。大于四分之一，小于二分之一。哦， a 又是怎么样的？ a 是 大于一小于三的，不等是有一个这样的性质， 不能是有一个这样的性质是什么？ a 如果小于 b， 当然 a 和 b 都是大于零的，然后零 a、 c 和 d 也是大于零的， c 和 d 也是大于零的。那 a 如果小于 b， c 如果小于 d， 那 a、 c 就 小于什么？ b 乘以 d， 前提是它们都是正的。那你看这个 a 分 a 的 范围位知道了， b 分 之一的范围知道了，那咱们是不是可以爬两个相乘啊？所以 a 乘以 b 分 之一就怎么样？大于四分之一乘以一是四分之一，小于二分之三， 所以 b 分 之 a 应该大于四分之一，小于二分之三，所以它的取之范围就是四分之一到二分之三。 好，再看下面一个。下面一题是 a 减 b 属于零到一， a 加 b 属于二到四，然后求的是四 a 减二 b， 咱们要看看这个四 a 减二， b 能怎么样？ 四 a 减二， b 能写成几个 a 减 b 和几个 a 加 b， 这样的话，咱们就可以用这个性质了，看看四 a 减二 b， 咱们假设它写成了 m 个 a 减 b， 然后加上 n 个 a 加 b， 来求一下 m 和 n 给它乘进去，这个就变成 m， a 减去 mb 加上 na 加 nb， 含 a 的 放到一起 m a na， 那 就是 m 加 n 倍的 a 减 mb 加 nb， 那 就是加 n 减 m 倍的 b， 然后左右两边对应相等多少？ a 四 a， 所以 m 加 n 就是 四， m 加 n 等于四，这个是 n 减 m 就 等于几，就等于负二，咱解出 m 和 n， 解出和 m 和 n 这两个一加就是解就是 n。 二 n 等于二， n 等于一， n 等于一， n 等于一的话， m 就 等于三， m 等于三，也就是这个四 a 减二， b 有 三个。什么？三个 a 减 b 和一个 a 加 b， 咱们看看 a 减 b 是 什么样的？ a 减 b 大 于等于零，小于等于一，咱们是几个 a 减 b， 三个 a 减 b， 所以是三倍的 a 减 b 应该怎么样？大于等于零，小于等于三，然后再来个 a 加 b， a 加 b， 是 a 加 b 大 于等于二，小于等于四，咱们就是一个一个就好了。那你看现在它和它一加， 因为他们都是正的吗？大于等于零的哪个式子，用的是哪个性质？也就是如果零小于 a 小 于 b， 然后零小于 c 小 于 d， 那 是不是两个小的相加就小于两个大的相加 a 加 c， 就 小于 b 加 d， 所以 咱们这个一加是 三倍的， a 减 b 加 a 加 d 就 怎么样？大于等于这边是零加二就是二， 小于等于这边是三加四就是七，所以这个化简完就是四， a 减二， b 大 于等于二，小于等于七，所以答案就是 b。
06:25查看AI文稿AI文稿高一错点基本不等式及基本不等式列证明同学们好！我是方志中教育的高中数学老师，那么这节课我们一起来看一下这道比较经典的高中不等式题目。 在讲解题目之前，一起来回顾一下基本不等式列。在初中阶段，我们学习过完全平方公式，我们知道 a 减 b 的 平方大于等于零，可以扩展得到 a 方加 b 方大于等于二 ab， 其中 ab 属于实数二。那么紧接着我们将根号 a 和根号 b 替换为原来的 a 和 b， 因此可以得到根号 a 的 平方加上根号 b 的 平方大于等于二倍的根号加 ab。 经过一系列的化解，可以得到根号加 ab 小 于等于二分之 a 加 b。 在 变化的过程中，我们会发现 ab 的 取值范围发生了变化， a 要需要大于等于零， b 同样呢，也需要大于等于零。 但是在基本不等式中，如果 a、 b 取零，那么基本不等式就会失去很多研究的价值。因此我们规定啊， a、 b 它都要大于零。作为一个正数存在， 现在我们可以将 a 分 之一和 b 分 之一替换掉原来的 a 和 b， 可以 得到以下的这样的一个不等式。最后我们取这样的一个导数，可以得到根号加 a， b 大 于等于 a 分 之一，加 b 分 之一分之二。 然而我们回到最初，当我们看到 a 方加 b 方大于等于二 ab， 我 们会思考如果左右两侧同时加上 a 方加 b 方，会变成什么样的一个形式，那我们会得到二倍的 a 方加 b 方大于等于 a 加 b 的 平方。紧接着我们左右同时乘以四分之一，就可以最终得到二分之 a 加 b 小 于等于根号下 二分之 a 方加 b 方。其中 ab 大 于零，那么我们就可以得到比较简易的这个不等式。由于 ab 大 于零， 因此根据正数可平方的这样的结论，这样的性质，我们就可以得到 a b 小 于等于二分之 a 加 b 的 平方小于等于二分之 a 方加 b 方。 我们接下来将根号 b 代替原来的 b， 根号 a 代替原来的 a， 就 可以得到根号下 a， b 小 于等于二分之，根号 a 加根号 b 的 平方小于等于二分之 a 加 b。 综上所述，我们就可以得到这样的经典的基本不等式列。 好，那我们来接下来看一下题目 a 选项 a 方 b 加 a， b 方的最大值。那我们可以先将 a、 b 这样的共同项提取出来，就等于 a b 乘以括号下 a 加 b， 因此可以推得就等于 a b， 根据完全平方的这样的公式。好，那我们一起来看一下题目。 a 选项 a 方 b 加 a b 方，我们可以将它的共同项 a、 b 提取出来，变成 a， b 乘以 a 加 b， 也就等于 a b。 根据不等式链可以知道 ab 是 小于等于二分之 a 加 b 的 平方，因此 a 选项中我们可以推得 ab 是 小于等于四分之一的。当前，仅当 a 等于 b 等于二分之一时，我们的等式成立，而 ab 等于二分之一都大于零，满足我们的条件，所以 a 选项没有任何的问题。 b 选项 根号 a 加根号 b 除以二的平方，很明显是小于等于二分之 a 加 b 的。 那因此我们可以直接推得根号 a 加根号 b 是 小于等于二倍的根号加二，分之 a 加 b 加 b， 就 可以得到根号 a 加根号 b 是 小于等于根号二的， 并且减到 a 等于 b 等于二分之一时，我们的等式成立。所以 b 选项中最大值不是一，而是根号二。第三题第三小问 c， a 加二， b 加二，再除以个 a 加 b， 问我们它的这样那个最小值是多少？当我们看到所谓的加二时，咱们就一定要敏感，它实际上可以写成 a， b 分 之 a 加二， b 再加上二乘一，而一可以用 a 加 b 去替换，因此我们可以进一步的得到，它就等于 a， b 分 之三， a 加 四 b， 所以 可以推得等于 b 分 之三，加上 a 分 之四。对于这类的这样的一个和它的最值，我们可以去利用乘一法去进行一个求解。 所以 b 分 之三加上 a 分 之四乘上一，也就等于 b 分 之三，加上 a 分 之四，乘以 a 加 b， 最终可以推得等于 c 加 b 分 之三， a 加 a 分 之四 b， 那 么它是大于等于七加两倍，根号加三， a 除以乘四， b 除 a 大 于等于七加四倍，根号三。 那什么时候可以取等值呢？很明显应该是三， a 除 b 等于四， b 除 a， 并且 a 加 b 等于一时可以取等值，那最终可以推得 a 等于四减两倍，根号三， b 等于两倍，根号三减三。因此 c 选项没有任何的问题，我们可以取得这里的最小值。最后 d 选项二， a 加 b 分 之一，加上 a 加二， b 分 之四。当我们看到这里的题目时，一样没干这里的分母，我们会发现 它可以相加得到三， a 加三 b， 也就是三，所以我们可以想象，如果我们的右侧乘以的三， 再乘一个三分之一，它相当于是乘以一，对我们题目没有任何的影响，但是它有个大大的好处，我们可以将三用三 a 加三 b 替换掉，也就是用二 a 加 b， 加上 a 加二 b 给它替换掉。因此可以将这个题目化简成为，三分之一乘以 二， a 加 b 分 之一，加上 a 加二 b 分 之四，再乘以括号加二 a 加 b， 再加上一个二加 a 加 b， 那 么进一步话就可以得到等于三分之一的中括号加五加 a 加 b 除以二 a 加 b 的 中括号，那么最终大于等于三分之一乘以五加两倍的根号下， a 加二 b 乘四括号加二 a 加 b， 再除以二 a 加 b， 再乘以一个 a 加二 b， 其中括号可以得到大约等于三分之九，也就是三。 当前减到什么的时候，我们的等式会成立呢？也就是 a 加二 b 除以二， a 加 b， 等于四倍的二 a 加 b 除以 a 加二 b， 即 a 加二 b 等于两倍的二 a 加 b。 那 通过这样的计算，我们会发现，最后 a 是 等于零，而 b 等于一时，等于成立。但是在题目 已经告诉我们 a 大 于零的情况下，我们知道这样的一个等式是没有办法成立的， a 等于零，没有办法得到它的一个最小十三，所以这个 d 选项就是错误的，因此这道题目 d 是 错误的， b 也是错误的，所以选择 a 和 c 选项，那么这就是我们这道题目的讲解。
66方之舟成长中心
00:47查看AI文稿AI文稿这个题牛顿需要用到两个基本不等式条件，拿下来因式分解，由我们的均值不等式可得。因为 x y 都是大于零的， x 方加 y 方就大于等于二， x y 两边再减去 x y， 得到 x， y 大 于零， 大于零的部分加上大于零的部分还是大于零，红色部分大于零，那另外部分就只能等于零， y 就 等于一减 x， x 平方， y 就 等于 x 平方乘以一减 x t t 一个二分之一出来，再用一个三元不等式， 我们发现这部分可以把 x 消掉，变成二十七分之八，带回原式整理得到 x 方， y 小 于等于二十七分之四，当前仅当 x 等于三分之一是取等，我这里就不写了，最大值就求出来了。关注牛顿，下次继续。
839MST晴天
06:42查看AI文稿AI文稿收，欣赏了阿树的舞蹈后，我们来学习今天的知识点。等式与不等式性质我们先来看第一个概念，不等式。 我们用数学符号不等于大于小于大于等于、小于等于等于连接两个数或代数式，以表示它们的不等关系。还有这类不等式号的式子叫做不等式。我们把用小于或者大于连接的不等式，用小于等于或大于等于连接的不等式，叫非严格不等式。 常见的文字语言与符号语言之间的对应关系，我给总结如下，表示大于、高于、超过的，我们都用大于号。表示小于、低于、少于的，我们都用小于号 表示大于会等于至少不低于的，用大于等于号，表示小于或等于至多不等于不超过的，用小于等于号。接着我们来复习一下等式的性质。首先，对称性。我们已知 a 等于 b， 可以 推出 b 是 等于 a 的， 并且符号是可逆的。 我们如果知道 a 等于 b， b 等于 c， 也可以推出 a 是 等于 c 的， 它是同向性。我们如果知道 a 等于 b， 那 么两边同时加上一个数或减去一个数，是不是等式不变呀？也就是 a 加减 c 等于 b 加减 c， 它也是可逆的，这是等式的可加可减性。 我们如果知道 a 等于 b， 那 么 a 乘 c， 是 不是一定能够推出 a 乘 c 等于 b 乘 c 啊？这是同向可成性。 同理，如果说我们知道 a 等于 b， c 不 等于零，和刚才可乘性一样，两边同时除一个 c， 是 不是等式还是相等的呀？这是同向可除性。 下面我们来看不等式的性质。第一点，对称性。如果 a 大 于 b， 一定能够推出 b 是 小于 a 的， 它们之间是可逆的。第二点，传递性。如果 a 大 于 b， b 大 于 c， 一定能够推出 a 大 于 c， 这是同向的传递性。 第三点，可加性。如果 a 大 于 b， 那 么等是两边同时加上一个 c， a 加 c， 一定大于 b 加 c， 这个也是可逆的。第四点，可乘性。 如果 a 大 于 b， 此时呢， c 大 于零，两边同时乘一个正数，我们能够推出 a 乘 c 大 于 b 乘 c， 那 如果 c 小 于零呢？两边同时乘一个负数，那不等于方向改变，可以推出 a 乘 c 小 于 b 乘 c。 第五点，同向可加性。 a 大 于 b， c 大 于的儿，那是不是一定是大的加大的，一定大于小的加小的，也就是 a 加 c 大 于 b 加的儿，这是同向可加性。 第六点，正数的同向可成性。如果 a 大 于 b 大 于零， c 大 于等于的大于等于零，那么大的乘大的，一定大于小的乘小的吧，所以这是正数的同向可成性。 最后，正数的乘方性。如果 a 大 于 b 大 于零，那么一定能推出 a 的 n 次幂大于 b 的 n 次幂，那小 n 呢，一定是属于自然数的，并且 n 一定大于等于二，这是正数的乘方性。下面我们来看一道练习题。若 a 的 绝对值大于 b 的 绝对值，则下列不等式成立的式。 首先呢， a 的 绝对值大于 b 的 绝对值，如果两边平方，是不是能够推出 a 方大于 b 方呀？所以的正确，如果说 a 等于负二， b 等于一的时候，满足 a 的 绝对值大于 b 的 绝对值，但是此时 a 小 于 b， a 选项 a 减 b 大 于零，也就是 a 大 于 b 不 对， c 选项 a 大 于 b 也不对。当 a 等于负二， b 等于负一的时候，也满足 a 的 绝对值大于 b 的 绝对值。但此时呢， a 分 之一大于 b 分 之一，所以 b 错误。下面我们来看本节课最重要的两个式子，比较大小的方法。 做差法与做商法是比较两个实数大小的最基本的方式。做差法的步骤呢，首先是先做差，再变形，然后再判断差的符号，最终得出结论。做商法的步骤呢，是先做商，再变形，然后判断商与一的大小，最终得出结论。 我们来看一道例题。今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周白菜价格分别为 a 元每斤， b 元每斤 a 不 等于 b， 王大妈每周购买十元的白菜，李阿姨每周购买八斤白菜。王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为 m 一、 m 二，则 m 一 与 m 二的大小关系。 首先我们要知道平均价格等于什么呀？它是不等于总钱数比上斤数呀？那对于 m 一 来说，王大妈的平均价格一共花了多少钱？每周花十元买菜，所以分子是十乘二，那多少斤呢？每周十元， 第一周是 a 元美金，第二周是 b 元美金，是不是应该比上十比 a， 再加上一个十比 b 啊？这个是两周的斤数，加起来，化简之后，它就等于 a 加 b 分 之二 ab。 那 对于李阿姨的平均价格来说，她一共花了多少钱呢？每周买八斤，所以总钱数一定是八， a 加八， b， 每周买八斤，所以分母是十六。化简之后，它等于二分之 a 加 b。 接下来我们来进行作差， m 一 减 m 二，它就等于二。 a， b 比上 a 加 b， 再减去一个二分之 a 加 b， 我 们来通一下分二倍的 a 加 b 分 之四， a， b 减去 a 加 b 的 平方，我们将分子打开，就变成了二倍的 a 加 b 分 之四 a， b 减 a 方减二， a， b 再减 b 方， 最终分子提一个符号出来，就变成了二倍的 a 加 b 分 之负的 a 减 b 的 平方。显然呢， a 和 b 都是大于零的，而分子平方一定大于零，所以有一个符号整体是小于零， 所以 m 一 减 m 二一定小于零， m 一 小于 m 二。这道题呢，我们选 c 好， 我们来看练习三，设 a 大 于 b 大 于零，比较 a 方减 b 比上 a 方加 b 方与 a 减 b 比上 a 加 b 的 大小。对于分式来说，我们首选 b 值法， a 方减 b 方，比上 a 方加 b 方，它等于 a 加 b 乘 a 减 b 比上 a 方加 b 方。因为 a 大 于 b 大 于零， a 加 b 也是大于零的，所以 a 减 b 也大于零， a 方加 b 方也大于零，所以这个式子整体它都是大于零。 而第二个式子， a 减 b 比上 a 加 b， 我 们知道 a 减 b 大 于零， a 加 b 也是大于零的，所以这个式子整体也是大于零的。 那么所以我们用 a 方减 b 方，比上 a 加 b， 再比上 a 减 b 比上 a 加 b， 这个整体，它就等于 a 加 b 乘 a 减 b 比上 a 方加 b 方，再乘上 a 减 b 分 之 a 加 b， 它等于的是 a 加 b 的 平方，比上 a 方加 b 方，将其化简打开，就变成了 a 方加 b 方加二， a， b 比上 a 方加 b 方，就等于一加上 a 方加 b 方分之二 a、 b。 显然呢，它一定大于一。所以我们知道， a 方减 b 方比上 a 方加 b 方一定大于 a， 减 b 比上 a 加 b。
526阿数
00:22查看AI文稿AI文稿开始就因为进行一个覆盖引领的方法证明了啊，高围的时候是狗肉巴克斯的，出来一堆就是用覆盖的方法，用这个方法挺好的，是可以。呃，也得给出借比较好的，而且是对各种类型的替代函数 都都满足。这个机就是说这是 mm 一体和 m 两体。一体把， m 里面是。
241李老师教数学（聊城）
03:54查看AI文稿AI文稿为什么高一就学过的均值不等式？很多同学高三一轮还在丢分，不信你恭喜。记不牢，根源在于不会灵活配凑，新高考从来不会给现成定值得拆，向天向来创造，今天就让主播用六十秒带你 快速掌握所有高频考法。今天来讲一个特别重要的内容，叫均值不等式，练，今天给个名称，他叫完背的均值不等 式，就是很简单，我们上节课讲过根， 根号下的 ab 是 小于等于二分之 a 加 b， 好 吧，这个叫几何均值，这个我们把它叫做算数均值，把它进行一个拓展，它是小于等于根号下的 a 方加上 b 方除以二， 这个叫做平方均值。好，那么实际上我们还能够大于等于什么？是 a 分 之一加上 b 分 之二，这个叫调和均值。你会发现，如果我们要研究均值不等式，都是这个均值不等式链的一个应用， 屏幕给什么我们就用什么呗，对吧？那比如说我们来看一下第一题，你看他说是 a 加 b 等于四，然后问以下的这些式子哪个是有最值啊？首先我们来看一下， 方加 b 方和我们的 a 加 b 是 分别给到的，就算数均值和平方均值，我们可以知道啊，这里 a 加 b 除以二，一定是小于等于根号下的 a 方加 b 方除以二。 ok， 好， 我们把 a 加 b 等于四带进去，我们就可以得到是四除以二 小于等于根号下的 a 方加上 b 方除以二。看我两边同时平方之后，应该是四小于等于 a 方加 b 方除以二，那我们可以得到 a 方加 b 方应该是大于等于 八，那么也就意味着他应该是有最小值，并且他的最小值就是八，这没问题吧？好，那么接下来我们来看一下第二个根， 根号 a、 b 有 最小值，这对吗？你看 a 加 b 等于四，我们就可以得到 a 加 b 除以二，是大于等于根号下的 a、 b 分 别给到的是几何均值和我们的算数均值。好，那么接下来我们把 a 加 b 等于四，带进去 得到根号下的 a、 b 是 不是应该小于等于二？也就说 a、 b 一定小于等于四，注意这是它的最大值，所以我们看到 b 选项一定是错的。好，接下来我们看 c， a 分 之一加 b 分 之一，我们可以想到是不是一个叫调和均值，我们可以得到 a 加 b 除以二， 大于等于 a 分 之一，加上 b 分 之一分之二，这个叫做调和均值。那我们可以知道， a 加 b 等于四带进去可以得到 a 分 之一加上 b 分 之一分之二小于等于二， 那该约的约掉之后，实际上我可以得到 a 分 之一加上 b 分 之一，是大于等于一，而大于等于一，所以最大值一定是错的，它应 该是有最小值，可以吧？好，问题是最后一个根号 a 加上根号 b 分 之一，它有最大值，那这个东西是什么均值呢？是不是有点像平方均值？什么叫平方均值呢？应该是 a 加 b 除以二，是小于等于根号下的 a 方加上 b 方 除以二。那么我把根号 a 与根号 b 把它给带进去，整个式子我们可以得到是根号 a 加上根号 b 除以二， 小于等于根号下的二分之 a 加 b， 对 吧？所以可以得到根号 a 加上根号 b 除以二，可以小于等于根号二，是吧？所以那化简之后，对于这个式子，我们可以得到应该是根号 a 加上根号 b 分 之一，大于等于二倍的根号二分之一， 所以他应该有最小值，所以这个也是错的，换句话说，我们就可以很轻松的得到答案，选的应该是 a， 对 吧？学会了的话，大家来看一下这道题，打出你的答案。苦练十年，不如名师指点。每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。
607数学君
20:56查看AI文稿AI文稿二十分钟带你拿下在职高考必须掌握的这几种解不等式，一个视频彻底掌握 这个题，我相信百分之九十九的人他都会做错，你们可以自己试一试啊。我们先讲一下这个，第一个像这种题的话，我们就只需要合并同类项，把它同类给它放一边，那它就是三 x 减二， x 小 于五加上七， 只要这一项他越过的这个不懂号，他就要变符号，所以说这个你看这个正二 x 他 是不是移过去变成了负二 x， 然后这个负七移到右边去，他就变成了正七，这个一定要记住啊，所以说 x 他 就小于十二。 然后我们再看一下这个，那像这种的话，我们就只需要把这两个根给他解出来，那就是分别令这个二 x 减三等于零， x 加四也等于零，然后就是 x 算出这个 x 它等于这个二分之三， x 等于负四，然后去画竖轴，把这两个根标出来啊，一个是负四，一个是二分之三，所以说然后看大于取两边，所以说负四的朝左，二分之三朝右，最后是取这个竖轴上面的并集啊， 所以说那就是 x 小 于负四或 x 大 于二分之三，当然用区间也可以，就是负无穷大， 因为这个位置是负无穷大吗？这个位置是正无穷大，那他就是负无穷大到负四并上二分之三到正无穷大，就这两个答案，他都是可以的啊，都可以的，咱们看下这个第，最后这个 这个横着他怎么做呢？他就直接两边同时乘以 x 加一区分母，他就怎么做呢？三小于 x 加一，就是他把这个给它乘过去了啊，然后就是这个 二小于 x， 然后他就说 x 大 于二，这个答案肯定是错的啊，肯定是错的，为什么呢？因为这个 x 加一，你并不知道他是正的还是负的，如果他是个正的，那你乘过去 这个没问题，他这个方向是不会发生改变的。如果这个 x 加一他是个负数的话，那么这个不等号是不是要发生改变？所以说我们肯定是不能乘过去的，并且啊， 他这个有可能还是零，对不对？反正就是说肯定是不可以的啊，那这个怎么办呢？这个的话，那我们就采取一项通分，就是把这个 x 这个一给他挪到左边去，所以他是不是在通过分，那就是 减 x 加一分之 x 加一再小于零，然后就是 x 加一分之三减 x 加一再小于零，然后最后再合并一下，它就变成 x 加一分之三减 x 再减一小于零，所以 x 加一分之这个负 x 负 x 再加上一个二小于零，那到这一步之后，由于这个上面这个 x 的 系数是负数，像这种情况，我们一定要先把它这个这个符号给它变成正的，怎么变呢？那这个我们就两边同时乘一个负一呗，那就是负一，两边同乘一个负一啊， 这个乘负一是不是还是零？那把这个负一乘到上面去，那么它是不是这个整体就变成什么了？它就变成了 x 加一分之 x 减二大于零。一定要注意哦，两边同时乘以一个负数的时候，它应该要 这个不等号的方向是要发生改变的啊，然后到这一步之后，你看两个因式消除大于零，那么是不是就意味着它们相乘也会大于零呢？所以说这是不是就是应该是 x 减二， 然后这个 x 加一大于零，然后这个解法就跟上面这个是一样的啊，那就不太强调了。那么就是 x 等于二， x 等于负一，所以大于。取两边你把数轴划出来之后， 把数轴划出来之后，那就是负一，一个是二小于负一大于二，所以这个最后答案是什么呢？就是 x 小 于负一或 x 大 于二，这个才是正确答案啊。 然后再接着看一下下面这个解，不能是组啊，那这个这种题就是先分别去解，我们把上面这个解出来，那么它就是 二， x 加 x 再加大于一，所以三， x 就 大于一，所以 x 它就大于三分之一，把这个给它除过去啊，把除过去，所以上面第一个算出来，就 x 大 于三分之一，下面这个一样的，那算下面这个，就是我们把这个 x 减四， x 那 就小于负一，再减二。这里一向的时候一定要注意啊，只要你越过这个不懂号，它就要发生符号的改变， 正变负，负变正啊，然后合并一下，这个是不是就等于这个负三？ x 小 于这两个合并是不是等于这个负三？所以两边是不是怎么办？是不是同时除以这个负三，所以这里一定要注意哦。哎，负三， x 除以负三，应该大于这个负三，除以负三啊， 两边同时除以一个负数的时候，不等这个不等号，它的方向它是要发生改变的啊。所以说最后答案是 x 大 于一，所以这就 x 大 于一，像这种不等式组啊，也就是这种，你最后解出来这个答案，你放到了这个括号里面， 这种组它是要取交集的啊，我们画一下数轴，那这个三分之一在这，然后这个一在这，所以说三分之一在这，然后这个这样子你看对不对？它们的交集在哪呢？是不是就是在这些区域啊？ 所以说算出来它的答案是不是应该是这个 x 大 于一，这个才是这个不懂事主的最后答案啊？别忘了最后去交集。 然后我们再看一下下面这种题，下面这种题就需要因式分解啊，十字相乘法啊，可能大家都听过，不会小伙伴就认真听啊。那这个的话，我们就把这个首尾，这个你看首尾给它拆开，那么这个 x 的 平方它就只能拆成 x 乘 x， 那 么就是 x x， 那 么这个正六他是不是可以拆成很多组啊？他可以拆成二三一六六一三二，还有这是全部贴上符号，他是不是也可以，那么到底哪一组才行呢？这个我们就要去验证， 就要去验证啊，怎么验证呢？假如说我们拿一组来做一个试验，比方说我们就把这个六给它拆成二和三嘛，那就是交叉相乘之后，你看这两项相乘是不是等于这个二 x， 然后这两项相乘他是不是等于这个三 x， 然后我们再把这两个结果给他加在一起啊？二 x 加三 x， 他 是不是等于五 x， 这个结果他要和中间这一项要一模一样才算你拆正确了，很明显此时我们把这个六给他拆成二乘三是不对的啊。所以说那 我们观察一下，你看他中间要的是这个用，中间要的是这个负 x， 很 明显我们把这个正六拆成两个正数，他肯定是不行的啊，他绝对是不行的，因为你拆成两个正数的话，他们合并之后的结果一定是个正的，他不可能是个负的。那么我们是不是就应该拆成负的啊？ 要么你拆成负二和负三，要么你就拆成这个负一和这个负六，对不对？那我们就试试呗。那负二和负三什么形呢？负三乘 x， 它是不是等于这个负三 x， 这个乘，它是不是等于这个负二 x 两个再相加，负二 x 加上 加上这个负三 x， 它是不是等于这个负五 x？ 哎，你看此时是不是就猜对了，此时猜对了的话，那么说明我们就要往下一步写了，下一步去写了，然后就直接横着写，就它两为一组， 它两为一组，那就是 x 减二，然后下面这两个再为一组，那就是 x 再减三小于零。哎，你看此时这个是不是又回到了我们上面的这种题啊？是不是先去解它的两个根，对不对？那就是 x 等于二， x 等于三，然后画竖轴， 二在这三在这小于取中间，所以说他这个数轴怎么画就应该是要，要的是这些他们中间的部分，那么这个数轴就这么画呗。所以他最后答案，那么就是二小于 x 小 于三，或者你用区间也可以，那就是二到三的开区间，这个你上面这个你写成集合也可以啊， 都一样，它都一样啊，然后这种题也是一样的，哪怕它这个系数不是一，也可以十字相乘法啊，那么它就是把它拆成二 x x， 然后这个正二拆成什么呢？它是不是可以拆成一二，然后负一负二，或者说负二负一是不是都行？这位置换一换也可以，我们观察一下啊， 它中间是这个负的，很明显它肯定是不可能拆成两个正的啊。如果你拆成这个一和二，你看你交叉相乘之后，一个是 x， 一个是四 x， 这两个相加它不可能是负五 x 啊，所以说我们就只能拆成负的，那么我们就把这个正二给它拆成这个负一和负二，看行不行呢？ 这个是不是等于负 x， 这个等于负四 x， 你 看这两个相加，它是不是就刚好等于中间的负 x， 是 不说明我们猜对了，所以说那就直接写，那就是 二 x 减一，然后 x 减二小于等于零，所以说解出来一个 x 等于二分之一，一个 x 等于这个二桨树轴 二分之一，这实心啊，因为它这里是等号，它有等号，这里也是实心。二小于写中间对不对？所以说最后答案是不是二分之一小于等于 x 小 于等于这个二，或者写成区间也可以。 然后我们再看一下像这种题，这种题一定要千万要注意哦，当这种二次项的系数它是负数的时候，一定要先给它变号啊，把符号给它变成正的之后，我们再去接着这种方法去做。怎么变呢？我们可以两边同时乘以一个负一，那就是负一， 负一倍的 x 方加二， x 再加三，是不大于零乘负一啊。因为我们之前讲了，你两边同乘负一的时候，它的不等号方向是要变的啊，所以这个去掉括号，它是不是就是 它是不是就是这个 x 负一乘，负 x 方，它是不是就等于 x 方？负一乘这个三它是不是等于负三大于零？乘负一就是零。哎，你看到这一步之后，是不是又回到了我们讲的这种类型了？ 这个一定要注意哦，这里应该是这个样子做的啊，所以拆开那就是这个负三，是不是拆成必须是一正一负啊，对不对？你要么这个符号放上面，要么这个符号放下面， 那放上面还是下面呢？你观察一下呗，中间这个是负二 x， 那 很明显你放在上面的话，你交叉相乘的结果是不是正二 x 啊？你看负 x 三 x 这两个相加的结果是不是正二 x， 所以 不是负二。很明显这个符号是不是应该放在下面？ 放在下面他是不是才是 x 负三 x， 你 看这两个合并之后的结果是不是才是负二 x， 所以 说猜对了啊，我们合并 x 加一，然后 x 减三 大于零，所以说解出来 x 等于负一， x 等于三，所以画数轴，那就是一个是负一，一个是三大于取两边，对不对？所以最后答案是不是 x 小 于负一或 x 大 于三， 然后再看看下面这种啊。哎，你看这种没有长数项的之后怎么办呢？我们就只需要提供一式就好了。什么时候用这个十字相乘法呢？就是这里三项都齐全的时候，我们就采用十字相乘法，那这里没有长数项，他就只有两项，像这种我们就提供一式，怎么提呢？他都有 x， 我 们是不是可以提个 x 出去？ 提个 x 出去，那么括号里边的啊，那么他就每一项都少一个 x 就 好了啊，所以 x 平方少一个 x， 他 是不是就变成 x 了？ 然后这个这个负五 x 它提了个 x 出去之后，它是不是就省上了这个五了？所以它就小于零，你看此时是不是就又变成了我们这两个因式相乘的形式？所以一样的啊？所以那就是 x 等于零，那 x 减五等于零是一样的啊，就分别让这两个，分别让前后的这两个因式都等于零，解出这两个根 就好了，所以 x 等于零， x 等于五，一样的画竖轴，其实你熟练之后不需要画竖轴，为什么？它的竖轴是不是一定是取中间啊？小于取中间嘛，那就是零和五的中间呗，那就是 不熟悉的同学还是可以画一画啊，熟悉了之后就不用画了，那就是零小于 x 小 于五区间的话，那就是零到五的开区间。 那像这种呢？像这种只有二次项，那怎么做呢？一样的啊，一样的，你就只需要，反正你就只需要把这个看做等号就完事了啊。上，其实上面这些你都是，你看我们到了这一步之后啊，我们是不是都是把这里看做等号，然后去解除了这两个根？ 你看上面包括这里，你看是不是一样的？我们都是把这里先当做等号解出两个根，然后再再根据那个大于取两边，小于取中间的那个， 那个口诀，然后去取最后答案，对不对？那这个也是一个道理啊，那是不是 x 平方等于十六，能解出来这个 x 等于正负根号十六，那么 x 它就等于四， x 就 等于负四，最后是不是一样的话，数轴那就是这里是负四，它这里是四大于取两边，所以最后答案是不是 x 小 于负四或 x 大 于四写成区间，那就是这个样子的，并上四到正无穷大。 我们再看这个公式啊，这个公式前面也提到过啊，它这种就是很标准的一个公式，那么我们就只需要把这个除变成你 x 减二除以 x 加三，它会小于零，那么你这个 x 减二除以这个 x 加三，就乘上它也会小于零。这个道理很简单啊，比方说你这个 负二除以三，它是不是一定是小于零的？那你把这个负二乘以三，它是不是也会小于零，对不对？它就这个原理啊， 你一正只能说明他们是一正一负，一正一负，你相处小于零，他们相处也会小于零，那么这个解法就跟上面又是一样的啊，所以解出来 x 等于二， x 等于负三，画数轴小于且中间其实都不用画了，他的答案是不是就是负三小于 x 小 于二 区间，那就是负三到二的开区间，然后再看下这个四点，这个题有坑啊，这个题有坑，基本上百分之九十九的人他都会在这里掉进去啊。 还是一样，我们发现它是两个分式相除，那么就要写成相乘的形式，它们相除会大于等于零，那么它们相乘是不是也会大于等于零，然后解出来 x 等于负一， x 等于三，然后大于取两边，对不对？画竖轴一个，这里是实心负一，然后画出来。 所以很多人就觉得这个答案就应该是按照我们刚刚讲的那个，是不是 x 小 于等于负一或 x 大 于等于三，这是不是正确答案？ 这不对啊，我们忽略了一个点啊，由于这个分式，这里是不是，你看他是不是这个在分母啊？ 分母是不能等于零的啊，如果你这个 x 减三，他等于零了，他是不是就没有任何意义了？也就意味着什么呢？我的这个 x 他 应该是不能取三的啊， x 他 应该是不能等于三的，所以此时这个位置应该是空心才对啊，这个是空心，也就是说最后最后的答案应该是这个才对。 x 小 于等于负一或 x 大 于三，这个等号千万不能取啊。上面这个我们不用没有关心这个，它分母等不等于零是因为什么呢？是因为它这里本来就没有取等于零啊，对不对？它就这里只取到了这个小于零，那么下面这个式子它就不一样了，它这里有了个等号，你只能取到上面这个分子，它的那个端点，也就这个负一 能取到这个负一，但是不能取到这个分母的这个端点，这个一定要注意啊。 然后下面这种题他就稍微带了点难度了，这我们要分析一下嘛，分析一下，你看你 x 减二分之 x 加一乘以 x 减五的平方小于零， 那么这个 x 减五的平方啊，你不管怎么样，他是不是很大于等于零啊？也就是说这是不是横为一个正数， 它都有横为一个正数了，那么你说要使得这个整体它要小于零的话，那么我们是不是就只需要满足这一项，它要小于零就好了呢？所以你拆解一下，它是不是可以变成 x 减二分之 x 加一乘以 x 减五的平方小于零，由于这好永远是一个正数， 那么现在你要让这两个因式相乘小于零的话，这不就意味着这一项一定是个负数，因为这项已经横为正了， 它们两个相乘一正一负，它们相乘是不是才会小于零？所以说我们这个要满足这个不等式成立的话，就只需要满足什么呢？它就等价于 x 减二分之 x 加一小于零就可以了。你看这里是不是到了我们哪了？是不是到了我们上面讲的这种类型了，然后我们就给它快速解一解啊，那么它就是 x 等于负一， x 等于这个二，所以它是不是负一小于 x 小 于二，区间就是这个啊， 这种题其实它也不复杂，然后来到我们的绝对值点，不懂？是啊，这个绝对值的话，只需要记住，只要是这种，你看框小于这个 a， 当然啊，前提是这个 a 是 个正数啊，前提这个 a 是 个正数，我们才有这个，那么它就等价于什么呢？它就等价于这个 负 a 小 于这个框，再小于这个 a， 它就等价于这个，相当于就是说你上面这种形式，它就可以变成下面这个样子。 所以此时啊，这个我们根据这个这个变换的法则，它是不是可以变成负五小于 x 减三小于五，你看此时的这个框是谁？这个框是不是这个 x 减三啊？然后这个 a 是 不是那个五？就是反正是对应着对应着这个法则去变换就行了啊，然后我们去解一解就好了。那这个怎么解呢？其实没必要把它拆开解啊，很多小伙伴怎么解的呢？他是把这个 x 减五小于五，减三小于五给他拆开去解的，其实这种是没必要的啊，他没必要这样解， 我们就只需要在这个整体上面去解就好了，我们把这个负三挪到两边去不就好了吗？对不对？那就是负三挪左边。我们前面讲过，只要你越过了这个不等号，那么它就要变符号，所以说负三变正三 小于 x 小 于这个五加三，哎，对不对？四十二，然后这就好了，所以说它是不是就等于这个负二小于 x， 再小于这个八，你看这不就答案就出来了吗？写成区间也可以 看一下这种绝对值大于的啊，那这种大于的它就对准什么呢？假如说这个框的绝对值大于这个 a， 那 么前提也是这个 a 要大于零啊，那么它就对准一个什么变化法则呢？那就是这个框的绝对值框它要大于这个 a 或框小于负 a。 当然如果它这里是等号有是大于等于的话，那么你就这里就跟着变呗。也就是说这两个符号它有没有等号就看这，你看这就好了啊。所以看一下此时的筐，它是不是这个二 x 二 x 加一， 然后这个它就变成了二 x 加一，它就大于等于这个三，或 二 x 加一小于等于这个负三，然后我们分别去解出来就好了。前面这个解出来，它是不是就是这个二 x 大 于等于这个三减一，那就是二呗， 那就是二啊，那再把这个二除过去，那就是 x 大 于等于一。这里注意哦，这里不需要变号，它不需要变这个方向的啊，因为你除的是正数，不需要变啊，那这个后面这个也是 二， x 小 于等于这个负四，对不对？你加一移过去，是不是负四，再把这个二除过去，那就 x 小 于等于这个负二，所以这就是最后答案啊，这就是最后答案。那么我们写成区间也可以，那就是负无穷大到这个负二的左开右闭，并向这个一到正无穷大的 左闭右开。然后我们再来看一看这种，这种你们就比较特殊了啊，你想一想，这个一个绝对值它都大，它大于一个负数，那肯定是 r， 就是 说这个不等式的解集肯定是 r， 也就是说你的 x， 你 不管等于多少，这个不等式，它都是横成立的啊，因为这个一个绝对值啊，它绝对是恒大于等于零的， 也就是说现在这个三 x 减五，它它是一个恒大于等于零的东西，就说你这个 x， 你 不管怎么取，就这个东西，它的恒是一个正的东西， 那么你一个正数，它绝对会大于负二呀，所以说你 x 不 管怎么取，这个不等式都是永远成立的啊，所以说那 x 就 应该是属于 r 二，也就是说这个不等式的解集是不是应该是负无穷大到正无穷大， 你 x 随便取呗， x 随便取，它都是成立的啊，这个要搞懂，所以记住，这种绝对值大于一个负数，它的解集就是 r 啊，这个就不需要解了。那么下面这种呢？绝对值小于一个负三，那这种你想一想，我们前面都讲了啊，绝对值它横大于等于零， 这里也就是说这个四 x 它减一，它横是一个正数，它都是一个正数了，它怎么可能会小于负三呢？所以这个 x 值，不，你不管怎么取，它都不成立， 你 x 不 管等于什么，他都不会让这个不等式成立。所以此时的这个答案是空集啊，就是说没有空集，是他没有一个元素会满足这个不等式，那就是空集呗，这个一定要记住啊。 然后下面这种的话就稍微变下形嘛，对不对？我们把这个正负七移到右数去不就好了吗？啊？四 x 减一是不是就小于等于七？这样你看是不是就回到了我们刚刚下面讲过的 这个，这个绝对值小于，绝对值小于一个正数的这种情况，然后我们解一解就好了啊，就是负七小于等于四， x 减一小于等于七，对不对？然后就是把这个负一挪到两边去， 那就是这个负六小于等于四， x 小 于等于这个八，那这怎么办呢？我们就把这个四除到两边去就好了呗，那就是相当于是四分之负六，四分之负六 小于等于 x 小 于等于四分之八，然后再约一下分它是不是就等于负的二分之三小于等于 x 小 于等于这个二？所以最后答案写成区间也可以。下期想听什么，大家可以打在评论区啊。
2806中职数学乔
08:37查看AI文稿AI文稿本视频耗时九分钟，挑战零基础，学会高中数学所有知识！解无参不等式，内容全梳理，考点全覆盖。 解无参不等式，我们可以借助函数，利用数轴串根法进行求解。第一步，我们先进行标根，我们可以把不等式的左边记成一个函数，令函数值为零， 可以得到一个方程。先求得方程的两个根分别为负一和五，在数轴上把两个根标出来。第二步，根据函数的单调性进行穿根，因为最高项次数为负的， 所以当自变量趋近于正无穷时，函数值会趋近于负无穷，所以在五的右侧是单调递减的。利用数轴双根 可以得到大致的图像，是这样子的。第三步，我们根据不等号来定解集，题目让我们找的是小于零的， 随时找竖轴下方的图像。对到竖轴，我们可以知道 x 的 起值范围是在负一的左边和五的右边，因为没有等号，所以端点是必须挖空的。我们最后可以得到解集为 x 小 于负一或 x 大 于五。我们再回顾一下数轴串根法的三个步骤，第一步，转化成方程进行求解，然后在数轴上把根标出来。第二步，利用函数的单调性进行串根。第三步，通过不等号来定解集。我们接着看第二小题 函数对值的不等式，我们第一直接可以进行分类讨论。 四 x 减一大等于零时，截对值去掉会等于它本身，这是第一种情况。第二种情况，四 x 减一小于零时，叠对值去完等于整体的相反数，那整体的相反数会等于各项的相反数，可以得到 这个不等式组，从而分别解这两个不等式组的解集即可。 x 大 等于四分之一的同时 x 又要小等于二。由第二个不等式组可以解得 x 小 于四分之一的同时， x 要大等于负的二。由第一 个不等式组，我们可以解得 x 大 等于负，二分之三 小于四分之一。两个解集起并集得到 x 大 等于负，二分之三，小等于二。这是第一种解法，我们看第二种解法，可以先进行移项，然后对这个式子两边进行平放， 绝对值的平方就会等于它本身的平方，我们可以移向过来，利用平方差进行因式分解，可以得到四个 x 加六乘以四， x 减八 相等零。然后借助竖着窗根法，先找到两个根，分别为负，二分之三 和二，展开可以得到二次相吸数为正，所以过了二他会奇异的一正无穷，所以整个函数图像是这样子的，小等于零。取数轴下方的图像，对到数轴上来， 可以得到 s 的 范围是这一块，因为是有等号，所以端点是可以取得到的，所以我们可以得到最终的解集是 x 大 等于负的二分之三， 小等于二。这和我们刚才用分类讨论的解法解出来的是一致的。我们再来看第三种解法，由四 x 减一的绝对值小等于七， 我们可以得到结对子里面的整体要小等于七，大等于负。七。解这个双边不等式，左中右同时加一可以得到四， x 大 等于负，六小等于八，再左中右同时除以四 不等号方向不变，得到 x 大 等于负的二分之三，小等于二。解出来的解集和前两种方法是一致的，通过对比可以发现， 利用第三种解法会最为简洁。第二种方法是指因为他不用进行分类讨论。第一种方法会比较麻烦，要进行分类讨论好，这是关于这道题的三种方法的提供，可以自行选择。我们接着看第三小题，混式不等式我们可以转化成 整式不等式，整个混式小于零，说明分子父母一号， 所以我们可以把整个不等式转化成三者相乘。小一点我们可以借助竖轴穿根的话，先找到三个根，分别为负一、二和五，对左边进行展开， 可以知道最高次项是四次，并且系数为一是正的，所以在五的右侧他会单调立正。因为五的指数是二，是偶次 穿不过去，所以整个穿跟的情况是这样子的。二是鸡翅的穿过来，一也是鸡翅的穿过去，所以竖着穿跟完整个图像的。其实是这样子的，要找的是小一点的部分，随时找竖着下方的图像， 也就是这一段。对到竖着上来，可以得到 s 的 范围是负一到二这一块， 并且没有起到等号，所以两个端点是挖空的，所以我们可以得到最终的解集为 s 大 于负一小于二。 两边开竖着穿根的话，有一个特别要注意的点，就是因式的次数，如果是鸡翅的图像是可以穿过去的，如果是偶次的，那个根是穿不过去的，总结起来就是鸡穿鹅不穿。我们接着看第四小题，我们可以对父母进行分类讨论。 第一种情况，二 x 加三，如果是大于零，可以把父母乘过去得到四减 x 必须大等于二 x 加三。第二种情况，二 x 加三小于零，四减 x 会小等于二 x 加三，因为父母小于零，两边同时乘父母不等的方向必须改变，然后再分别解这两个不等式组即可。 三的也可以利用到分类讨论来做。那刚才在分析二的时候有讲过，分类讨论必定会比较繁杂， 那四的我们能不能借助三的做法来做呢？最主要的差别是右边是一，不是零。 所以我们第一步，先移项过去变为零，然后再通过分子父母的符号情况进行转化。第一步，先移项得到这个式子，再进行通分并验算，可以得到父母是二 s 加三， 分子是一减三， x， 分 子的值是大等于零的，从而我们就可以转化成分子乘父母要大等于零。因为分子父母同号 特别注意的一个点，因为分子乘父母大等于零是可以起到零的，但是这里的二 s 加三是父母不能起到零，所以要把耶数条件写上。对第一个不等式，我们用竖着穿根法，先找到两个根为负的二分之三 和三分之一，对这个不等式的左边展开，可以得到二次象棋数为负，所以过了三分之一，他是会单调递减的， 所以整个图像的其实是这样子的，大等于零起 s， 左上方的图像对下来 s 的 范围是负二分之三到三分之一之间，并且两个端点都能起到， 又由第二个不等式可以解到 x 不 能等于负的二分之三，所以左端点负的二分之三要挖掉，所以最终的解集是负二分之三到三左开右闭， 所以我们可以得到最终 x 大 于负的二分之三，小等于三分之一。我们回顾三根式的，我们是利用法规的思想方法。
155数理扫地僧
03:29查看AI文稿AI文稿本视频耗时四分钟，挑战零基础，学会高中数学所有知识，一元二次横乘利内容全梳理，考点全覆盖。我们接着看考点八， 一元二次的横乘利问题或存在性问题。我们先看例题，八杠一，先记不等式的左边为 f x， 告诉我们这个是指大于零横乘利。因为二次项是含差的，所以我们先对 a 进行讨论。第一种情况， a 如果等于零，会退化成一大于零，那确实对任意的 s 属于 r， 一 是会大于零的，所以当 a 等于零时，不等式横成力。第二种情况， a 如果不等零， f x 大 于零，要横成力， 所以约束条件是开口必须向上，且与 s 轴没有交点，所以得了它要小于零，把得了它转化成关于 a 的 式子。解这个不等式组，得到 a 的 范围，其公共部分 a 大 零小于四。因为是分类讨论，所以要再把一二两种情况并起来， 所以得到最终 a 大 等于零，小于四，所以 a 的 起值范围是零到四，左边 b 右边开。我们接着看例题，八杠二，给出 x 的 范围。这个不等式横乘力。 因为只有一个地方含 a， 所以 我们对这个不等式进行缠边分离。先把 x 平方根 e 移到左边去，因为 x 是 属于二分之一到二是大零的，所以两边同时除以 x 不 等号不变。把右边含 x 的 式子记为 f x， 因为要横乘以，所以 a 要大等于 f x 的 最大值，所以我们现在只要把 f x 的 最大值求出来即可。 可以先把负号提出来。这是一个打勾函数，我们由 y 等于 x 加上 s 一 的函数图像，可以得到 f s 的 函数图像。关于 a 轴对称就可以得到 f s 的 图像， x 的 范围是二分之一到 二。通过图像我们可以知道 f s 的 最大值在 e 处几道会等于 f 一， 把 s 等于带入解析式，得到最大值是负二，因为要横乘以，所以 a 要大等于 f s 的 最大值。 u 因为最大，所以我们求得等于负二，所以 a 大 等于负二，所以最终答案是负二到正无穷。左边 b 右边开，我们接着看例题。八杠三边际不等式的左边为 f x， 已知在 s 属于一到四，这个不等式是有解的， 所以只是 a 平方减三， a 小 等于 f x 的 最大值即可。所以我们只要先求出 f x 的 最大值，借助 f x 的 函数图像， x 的 范围是一到四，所以我们可以得到 f x 的 最大值。再 对称着二出其到把二代入函数解析式化简一下等于四，因为要了解，所以 a 的 平方减三， a 要小等于四。解这个不等式，得到 a 大 等于负一，小等于四，所以我们可以得到 a 的 起装为四，负一到四两边 b。
78数理扫地僧
