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03:15查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来学习二次函数的焦点式公式。我们知道二次函数的一般式是 y 等于 a， x 的 平方加 b， x 加 c。 当抛物线与 x 轴有两个焦点时，我们可以将它写成另一种形式， 这就是焦点式。 y 等于 a 乘以括号 x 减 x 一， 乘以括号 x 减 x 二。这里的 x 一 和 x 二就是日焦点的横坐标。 那么焦点式是如何推导出来的呢？我们可以通过韦达定律来验证它的等价性。设二次方乘 a， x 的 二次方加 b， x 加 c 等于零的两个根为 x 一 和 x 二。 根据韦达定律，两根之合等于负的 a 分 之 b， 两根之积等于 a 分 之 c。 现在我们把焦点式展开，得到 a 乘以括号内 x 平方，减去两根之积，加上两根之积， 将伟大定律代入，也就是把两根之和和与两根之积替换掉，乘进去之后化简正好得到一般式 a， x 的 二次方加 b， x 加 c， 这说明两者是完全等价的。其中系数 a 决定了抛物线的开口方向，当 a 大 于零时，开口向上，当 a 小 于零时，开口向下。 我们来看第一道例题，已知抛物线与 x 轴交于点 a 负一，零和的 m， b 三零，且经过点 c 二负六，求抛物线的解析式。 因为已知与 x 轴的两个交点，我们直接设焦点式为 y 等于 a 乘以 x 加一，再乘以 x 减三， 接着把点 c 的 坐标代入解析式中，代入后得到物六等于 a 乘以二加一，再乘以二减三， 计算括号内的值得到负六等于负三 a， 从而解得 a 等于二。所以抛物线的解析式为， y 等于二倍的 x 加一，乘以 x 减三，展开并化为一般式，就是 y 等于二， x 平方减四， x 减六。 第二道立体如何从函数图像中求出解析式呢？观察图像，抛物线与 x 轴交于负一零和三零两点，顶点坐标为一四。 同样的，我们社交点是为 y 等于 a 乘以 x 加一，再乘以 x 减三，将顶点坐标依次代入得到四等于 a 乘以一加一，再乘以一减三，计算得出四等于负 a， 解得 a 等于负一。 因此，解析式为 y 等于负的 x 加一，乘以 x 减三，展开得到 y 等于负， x 平方加二， x 加三。 最后，我们来总结一下二次函数焦点式的核心要点。第一，适用条件，当题目明确给出抛物线与 x 轴的两个焦点坐标时，优先设焦点式。 第二，易错点，在社交点式时，千万不要漏掉二次项系数 a， 它决定了抛物线的开口和形状。第三，方法迁移一般式、顶点式和焦点式之间可以灵活互化，根据已知条件选择最合适的形式是解析的关键。
86UF数学
18:14查看AI文稿AI文稿本视频时长十八分钟，带你搞定二次函数基础，交点式 y 等于 a 倍的 x 减 x 一 乘以 x 减 x 二性质，先点赞收藏再细品吧！兄弟们， 首先先认识一下交点式，什么叫交点式？长成这样的一个形式，长成这样的二函数，它叫做交点式来，同志们，你能不能直接品出这个二函数？它为什么要叫做交点式？ 你参考之前咱们学的顶点式。为什么叫顶点式？是因为它一可以一眼看出顶点，那这个玩意为什么叫焦点式？就是因为它可以一眼看出焦点来，能看出焦点不？ 能不能看出这条二次函数，它与我 x 轴的两个焦点是不肯定可以吗？来想一想，我怎样求这个二次函数与我 x 轴的一个焦点呢？是不就是另外等于零 啊？那我就另 y 等于零嘛？那另 y 等于零，我就可以得到一个 a 乘以 x 减 x 一， 乘以 x 减 x 二，它等于零。得到这样一个方程来，我们解出的这个解，它就是所对应的交点横坐标。 那你说什么时候它会为零？那是不就是 x 等于 x 一 的时候，或者 x 等于 x 二的时候，必须就是这一坨为零，或者这一坨为零， 是不是它就能为零？好，那现在看一下啊， x 取到 x 一 或者 x 二的时候，这条抛物线它就与我的这 x 轴就是有交点了，就是交点。所以那你现在想一下，如果这是一条二次函数，我假设 a 大 于零了啊，然后呢？它与我的 x 轴相交， 那此时这两个点你能不能直接看着它写出来？这个点是不是 x 一 逗零，这个点是不是 x 二逗零？ 所以为什么把这个形式叫焦点式呢？就是它可以一眼看焦点。好，那就我举个例子，举一个具体的例子，比如说 y 等于二倍的 x 减一，乘以 x 加三，能不能一眼看出我这条二次函数与我 x 轴的焦点，是不是就还是啊令 y 等于零？ 另外等于零的话，是不是二倍的 x 减一乘上 x 加三，它等于零？来，只要你前面是学过英式分解的，你就知道它这两个东西等于零，那就只能是 x 等于一，或者 x 等于负三。那这个一和负三是不就是我二次函数与我这个 x 的 交点？那再看它开口，开口朝上 啊，那如果与 x 轴有交点的话，这个点就是一个负三斗零，这个点就是个一斗零。好，那 ok 了，我们再随便练一个吧，我再随便写一个，比如说 y 等于一个负的二分之一倍的 x 加五，再乘上一个 x 减七。来，同志们，写一下它的交点首先是不是也是令它等于零？ 令它等于零的话，是不是负二分之一的 x 加五乘上 x 减七要等于零，那由我们之前学的知识我就知道，它要等于零的话，必须 x 加五等于零，或者 x 减七等于零，那就只能是 x 等于负五，或者 x 等于七。 那我现在要看这条抛物线与 x 的 交点，那交点横坐标是不是就是负五零七零，那这个抛物线画出来是不是应该头朝下 开口朝下，因为 a 是 负的嘛。然后他的两个焦点是谁呢？焦点一就是负五逗号零，焦点二就是七逗号零。来，同志们，我想看一下啊，给了你这样的一个焦点式了之后，除了这两个焦点，你还可以把谁得出来思考一件事啊？我们说我们想要得到啥来着？ 对称轴，顶点来这些能不能出来？对称轴是能出来的啊，你这焦点都知道了，我们是不是说过，学对称点的时候，对称点横坐标相加除以二， 它就是我的轴嘛？好，那你的轴是多少？是负五加上七再除以二，那负五加七是二，除一个二，那就是 x 等于一，就是我的对称轴。 好，那现在呢？我们已经具备了一个能力了，就是我给你焦点是你能够一眼秒出焦点，并且还可以一眼秒出它这个对称轴。 好，那我们现在反过来就是大家能不能去自己求出这个焦点式来？那我举个例子，我就说这个有一条抛物线，它的 a 是 等于二的，它与 x 轴的两个焦点是谁呢？是一个一逗号零和一个负四逗号零。来，你能不能直接给我写出它的一个焦点式？ 是不，肯定很可以啊，如果你一眼写不出来的话，怎么办呢？你一眼写不出来的话，你就把焦点式把它原本的形式写出来，它等于 a 倍的 x 减 x 一， 乘上 x 减 x 二，是不是长成这样？那你一个一个对应的是二， 这个一对 x 一， 这个负四对 x 二，你给它往里带，带进去的话，就是 y 等于一个二倍的 x 减一乘上 x 加四啊，注意减负四啊，千万是负四整体带，别把符号忘了。 所以这是不是就是我给你一些焦点，你要能给我写出焦点式？好， ok， 那 现在我再给大家去画一幅图，你看一下你能不能给我求出它的焦点式，或者你求出它的一个二次函数的一个表达式啊？ 我现在随便画一个开口朝上，然后呢？这是 x 轴啊，这是 x 轴，然后它的一个焦点呢？这是一个一零，这比如说来一个三零，然后我再找一个点，比如说这个点是个五逗号六。来，同志们试着求一下这个二次函数，它的表达式能够求出来不？ 那怎么求？首先我们要求表达式，是不是一般都要设表达式啊？那你怎么设这个表达式呢？你会设 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 吗？ 不会了吧，他都已知两个交点了，我肯定设交点式嘛。那我设的话，就是 y 等于 a 倍的 x 减一，乘上 x 减三，这是不交点式。然后现在看，我要求出这个表达式，我少几个参数 是不需要解出这个参数 a， 那 一个未知数是不只需要一个点就可以解了？那你看有没有？ 有吗？这不是有一个五逗号六吗？你把五逗号六带进来，这个题数就解完了，所以你就往里带，那带进去的话，就是六等于一个 a 乘以五减一，乘以五减三。好，那五减一四，五减三是一个二。好，那你现在四乘二八，所以呢，六等于一个八 a， 那 我的 a 就 等于四分之三。好，那最后你把这个 a 回带进去，我的表达式就有了。表达式就是一个 y 等于四分之三倍的 x 减一，乘上 x 减三。 搞定。好，那现在大家应该已经有两个能力了啊，就是学了焦点式之后，第一个能力呢，是我要由焦点式啊，从焦点式一眼看出焦点，就举个例子， y 等于一个负三倍的 x 加六，乘上 x 减三，你要一眼能出焦点来，能不能秒出？ 那不就是负六逗号零，一个三逗零吗？所以这是第一个能力，就是你要由焦点式秒看出焦点。那么第二个能力呢？ 就是你要有我们的图像，或者说是给你的焦点和另外一个点去求出表达式。就比如说我现在还是这么一幅图，我说这个点是一个负二逗号零，这个点是个四逗号零，上面还有一个点是一个，比如说六逗号七，你能不能给我求出他的表达式呢？ 那求的话肯定是社交点式，然后将另外一个点带入呗。那社交点式我肯定设的是 y 等于 a 倍的 x 加二，乘上 x 减四，设完之后来把这个六斗七往里一带结束。 所以这是现在希望大家学了焦点式之后具备的两个能力，一个是由焦点式推焦点，一个是由我们的焦点去求表达式啊。反过来来，那我给大家去顺手来个题目，咱们去算一下，比如说 y 等于一个负二倍的 x 减个二， 再乘以个 x 减五。来，同志们给我求一下这个函数的最大值，那这个有小伙伴就会发蒙了，就说你怎么突然从焦点式给我跑到最值去了？ 您的跨度如此之大，来我们分析一下怎么玩啊。首先由这个焦点是你能得到啥？是不是可以秒出焦点？首先你看得出来，这个抛物线是头朝下的，开口朝下，因为 他的 a 是 个复数。然后呢，你还可以秒出他的焦点，他的焦点一个是一个二斗零，一个是五斗零，来二斗零，五斗零出来了，你什么就有了，轴是不就有了？来，轴是多少？是二加五除以二， 那就是二分之七，来那轴都有了，最值怎么求？把二分之七往里一带就有了，所以它的最大值就是负二乘上一个二分之七减二，再乘二分之七减五就可以了。这个我就不算了啊，不想算分数就给你们摆在这了。但是来，小伙伴们，方法知道怎么用了吗？ 有的小伙伴刚才也说，老师我可以把它画成一般式，用一般式画成顶点式，用顶点式求出最值多费劲啊是不是？首先可以不可以？绝对可以，但是我不想那么算，有点麻烦，但是你来看，由我们的焦点式秒出对称轴，对称轴所对的这个点，顶点顶点是不是最值就出来了？ 好，那这个方法会了之后呢？回头你再看到这样的焦点是让你求最值，我们就不用说是苦兮兮的，再把它去展开，展成一般式，再从一般式我去配方，配方分成顶点式啊，那样子的话，你小伙伴都已经做到下一题了。来，那这个 ok 了，我们下一个题啊，来，同志们，这个题大家去尝试一下，看看怎么玩。 来，这个题有没有小伙伴说，老师我就把一零和负三零给他带进去啊，里面就是 b 和 c 两个未知数嘛，两个方程解两个未知数一定能解，有没有这样说的，肯定有这么玩的，首先这么玩可不可以呢？一定可以啊，但是呢，有一点笨了 啊，就有一点太过于依赖于我们之前的基本功了。那这个题明明有更加巧思的地方，因为他给的这俩点是什么呀？同志们， 这都给出焦点了，我就直接写焦点是不就行了？我直接写焦点式是不就可以了？而且你看一下，焦点式前面是不是 y 等于一个 a 倍的 x 减 x 一 乘 x 减 x 二，前面是不是只只有一个参数 a， 然后这两个是焦点的横坐标？那你现在看，这里面 a 是 给了的， a 是 负一 好， a 是 负一。所以这个题需要去解方程吗？不需要，我可以直接把 a 等于负一带进去，把一带到 x 一， 把负三带到 x 二，这函数我就直接出来了。来，我们试一下，它就是 y 等于一个负一乘上一个 x 减一，乘上 x 加三， 所以最后解析式就是它，你要是想把它整理一下的话，就是负的 x 平方加上一个二， x 再减三，最后整理出来是负 x 平方减二， x 再加三，这就是你的二次函数 啊。所以来看一下，有没有必要说是把一零和负三零都带进去解 b 和解 c 啊？那样子太慢了，太慢了。方法没有问题，但是明明有更好的方法，更好的方法就是一定要观察出来这俩是焦点，是与 x 轴的焦点，我用焦点是可以秒除。 ok 了，来下一个题再思考一下来，他说这个抛物线与 x 轴的交点是这两个，然后说因式分解它的结果式来，那你现在思考一下啊，因式分解它是什么意思？是不就是要把它写成一个什么东西乘一个什么东西的形式？好，那你再看这个式子和我的二次函数有什么关系？ 它就是我二次函数后面这一整坨。哎，那你是不是就可以分析出来了？其实我只要把这个二次函数 他的一个焦点式写出来，那不自然就是一个因式分解过的形式吗？你来思考一下，我们焦点式的形式是不是就长这样？这不就是因式分解之后的结果吗？所以呢，来，我要因式分解它，其实就是把我的抛物线写成焦点式。有没有小伙伴说我要把 m 和 n 解出来 啊？说我把这个负三分之七和五零给他带进去，把 m、 n 解出来可以，但没必要，因为我都知道焦点式我可以直接写出它的焦点式，而且来看 a 是 不是确定的？ 我们的一般是焦点是顶点，是前面的 a， x 平方，前面的相都是确定的，就是一个二嘛。所以你去写它的焦点式，就是 y 等于一个二倍的 x， 加上三分之七乘以 x 减五，就是它本人。 好，那你现在看，你要因式分解它出来了就是它。所以我们这个题，其实你就是把题读懂，看看它在考察你啥， 他绝对不是在考察你把负三分之七零和五零带进去解方程组的，他就是看你对焦点式有没有熟悉度来，没问题，我们再看一个这个玩意来看，他说 y x 增大，而增大， 出现什么了？出现增减性了。好，那你思考一下啊，增减性我们要研究的时候，是不是一般情况下都是要借助图像的？那你觉得我的图像要画出什么就可以了？ 我需要三点画图吗？还是需要五点画图？还是需要找到顶点？需要吗？我要研究他的一个增减性，我只需要什么东西，只需要开口和轴，我要研究增减性，是不是知道开口了，知道轴了，知道开口了，知道轴了，我就可以分析增减性了。所以这个题我就是也是，我只需要开口和轴。那你现在看 这个抛物线开口是朝上还是朝下的？很明显这 a 是 大于零的，它是开口朝上的啊。那开口朝上来画个开口朝上，那轴呢？轴你看得出来吗？轴也不知道。那我先画一个，我也不知道轴是几，先放到这好，现在不知道轴是几，但是你看你能把啥得出来？ 你是不是可以把与 x 两个焦点得出来？两个焦点，一个是 x 等于 m， 一个是 x 等于三，那焦点就是一个 m 号零，一个三逗号零。那我就把这个轴画出来，这是 x 轴，然后呢？这个焦点和这个焦点其中一个是三零，一个是 m 零，但是你知道哪个是三零，哪个是 m 零吗？啊？不知道，但是你想想， 一个是三，一个是 m， 你 的轴能不能出来？我没有告诉你 m 的 值啊，你现在看不出来 m 和三谁大，所以你不知道 m 和三谁写在两边，但是无所谓。你中间的轴是怎么算的？轴是 x 等于二分之 x 一 加 x 二，这个 x x 二是与我的 x 轴的两个交点的横坐标。那你来看， 都是加起来除以二。那我无所谓，你俩谁左谁右，所以来把轴算一下，轴就是 x 等于二分之 m 加三 轴出来了，那我现在已经可以研究增减性了，因为有轴有开口足够了。来，那你现在看，他说 x 大 于等于负二的时候， y 随 x 增大而增大。 那你看一下啊，我们的那个区间的最值其实就是 s 大 于等于负二的时候，就是在我的抛物线上截取一段。那你现在看， y 要随着 x 的 增大而增大，我这个区间应该是截在我的对称轴左边，还是截到对称轴右边？ 我要满足 y x 增大而增大，那是不是一定要取对称轴右边的这一侧？所以我的负二是不是可以在这个位置， 负二也可以再往右，也可以再往右，可以一直往右，都是满足的，因为再往右边取 y 都是随着 x 增大而增大的，但是这个负二你可以再往左一点，可以再往左一点，到顶点，来到了顶点的左边还可以吗？就不行了，如果说我的负二取到这边了，那它这个抛物线就是先下降再上升了， 那就不满足了啊，所以呢，我的这个负二最多最多取到顶点，然后就是顶点往右是 ok 的。 好，那我就可以列了一下嘛，那我的负二和这个轴什么关系？我发现负二一定在我的轴的右边啊，所以呢，我就可以列出来二分之 m 加三角于这个负二的。 那我们每次写不等式，是不是要考虑一下这个等号能不能取？那你看一下嘛，能不能取到这个轴，负二能不能和轴相等？可以嘛，负二取到轴的话，来轴的这右边是不是都满足 y x 增大而增大，所以这个等号可以取。 好，那现在我们去解一下它是不是就完事？了解它的话，大家应该都会吧，是不是 m 加三是小于个负四的 m 就 小于个负七结束，所以来看一下这个 m 的 值，我最后也不知道是多少，然后这个 m 和三谁大谁小我也不知道 啊，刚开始是不知道的，所以呢，我刚开始这两个点我都没有标，但是我发现不影响我去算轴，那我只要有了轴，有了开口增减性，我就会了啊。来， ok 了， ok， 我 们再看一个题吧，来这个题玩一下。 首先这种题一定是要画图的，而且他是不是把那个焦点是明明白白都给你了，那我就先画图吗？那这个焦点是开口朝上，然后呢，焦点是一个二零，一个四零，那我就画出来，这是二零， 这是四零，是不是画出来画完之后再往下看啊？他首先第一个说的是 s 大 于三的时候， y 随 s 增大而增大，那又是增减性，那增减性的话是不是要看轴？那你现在知道二零和四零能不能求出轴？ 说可以吗？直接二加上四除以一个二，那就是一个 x 等于三，所以轴就是 x 等于三。那现在来看一下第一句话，他说大于三的时候， y c x 增大而增大，对不对？大于三的时候， y c x 增大而增大，没问题啊，所以第一个对的， 他说图像与 x 有 交点啊，有交点吗？有没有？这不是明摆这两个交点吗？所以呢，来也没问题，也没问题。 好，再看，他说在二到四之间， y 大 于零。来，你看在二到四之间， y 呢，很明显在 x 轴下方呢啊，这是 x 轴，它在 x 轴下方呢，那肯定是小于零的。所以呢，错了 啊，这个就错了，再看图像与 y 轴交于我们的零四，那这个怎么看？同志们，那你就把 x 等于零带进去嘛，把 x 等于零带进去，算一算它的纵坐标是不是四，是不就可以了？那你就往里带来，把这个 x 等于零 带入，那你往里带，它就是 y 等于一个零减二乘以零减四，零减二负二，零减四是一个负四，那最后答案是一个八，所以来交于零四吗？ 不对，交于零到八，所以这个改成八就对了啊。所以呢，四也是错的。再看对称轴， s 零三啊，这个没毛病，咱们早都已经分析出来了， s 是 三， y 有 最小值，负一。 哎，最小值怎么求？同志们需要把它再去化成一般式，再化成顶点式吗？不需要，因为我现在是不是已经知道轴是谁了？来，把轴的这个 x 同坐标带进去，它所对应的纵坐标是不是就是最小值？所以我只需要把啥呀？把这个 x 等于三带入我的二次函数，那我们就带吧，来令 x 等于三，那我对的这个函数就是 y 等于三减二乘以一，三减四，是一个负一，最后等于负一，没问题 啊，没有问题，所以六是对的。所以最后错误的是哪一个呢？是三和四啊，是三和四。 ok 了，我们再来最后一个题吧。首先， x 减 a 乘 x 减 b， 开口朝上的焦点是， 那开口朝上的话，他又说 a 是 小于 b 的， 那这个点就是 a 都零，这个点就是 b 都零。好，现在再看，他说这个直线与 x 等于二的交点是 m 和 n 来，那 m 等于二是不是一定在这个 x 轴的上方？那是不是就这样一条直线，它是一个 y 等于二， 左对应的这个焦点的横坐标是不是就是 m 啊？这个是 m。 然后呢，这个是 n 啊， m 小 于 n， 所以 这是 m， 这是 n。 来，那你现在看能不能一秒出 m？ a b n 的 一个大小，那很明显这是 m， 这是 a， 这是 b， 这是 n， 是 不是一秒出答案？所以最后选啥？ m 小 于 a， 小 于 b， 小 于 n， 选 a。
931程程跃动数学
02:06查看AI文稿AI文稿一元二次方程啊，一共有五大解析的方法和技巧，那今天啊，我来给大家说一种非常好用，可以秒出答案的方法，叫做因式分解法。 那如果咱们孩子啊，现在就计算这一块，还经常拿不到满分，这个假期咱们一定要把计算能力提上来了啊，一元二次方程，这我给大家准备了计算的必刷题，家长们打印出来，假期每天十道题，带孩子提升能力，建立思维好不好？ 下面咱们就来一起看一下这个问题啊。因式分解法，在解一元二次方程的过程当中，你把它应用好了，二次函数很多题都是可以秒的，他们是相通的。那具体我们因式分解当中这个十字相乘法怎么用？我就再来带着大家用这个视频复习一下 十字相乘法呢，它是我们在音式分解那里学到的技巧啊，有三大原则叫做竖着拆，交叉成横着验。什么意思啊？来看把 x 平方拆成两数相乘的形式， x 和 x 六拆成两数相乘的形式是啥呢？不知道啊，因为六可以拆成一乘六、二乘三很多种组合，但是我得保证一个前提叫做什么呢？ 这两个数交叉相乘再相加，结果是中间的五， x 看没看见，所以怎么交叉相乘才能出来五呢？哦，我会发现，二和三相乘等于六，而三 x 再加二， x 正好等于五 x， 对 不对？ 所以这种差就是合适的，那我们把它写出来，那不就是 x 加二再乘 x 加三等于零的形式吗？ 那他俩相乘等于零，能不能解 x 啊？能啊， x 一 等于负二， x 二是不等于负三，直接出答案，所以有关于这种一元二次方程的因式分解法，咱们主要就是竖着拆交叉成 最后要什么横着写结果，而且得保证交叉成完之后的结果和依次相相同。那后面这道题我就留给大家小试牛刀来练一练，请你来算一算这道题最终的解是多少吧！
1044依依老师da数学
01:15查看AI文稿AI文稿同学们好，来看下这道题。已知直线负二分之一， x 加二，与 x 轴交于点， b 与 x 轴的交点是令它的 y 等于零，零等于负二分之一， x 加二，负二分之一， x 等于负二， x 等于四，所以一点的坐标四都零 与 y 轴的交点是点 c， 那 令 x 等于零， y 等于二，所以 c 点的坐标是零到二。现在我们把已经得到的点标在题目中。因为 ab 都在 x 轴上，所以我们可以用交点式去设二次函数的解析式。 y 等于 a 倍的 x 减 x 一 乘以 x 减 x 二，我们把两个点代入，可以得到 y 等于 a 倍的 x 加一，这里负负得正， x 减四。 把 c 点的坐标代入，可以得到二等于 a 倍的括号，零加一，零减四，化简负四， a 等于二，所以 a 就 等于负二分之一。 再把 a 的 值代入到之前设的解析式中，可以得到 y 等于负二分之一倍的 x 加一， x 减四，化简。负二分之一倍的 x 的 平方减四， x 加 x 减四， 负二分之一， x 平方减去三， x 减四。再把负二分之一乘进去，可以得到负二分之一 x 的 平方加上二分之三， x 再加二。这道题我们就讲完了。
168静静
26:34查看AI文稿AI文稿啊，我们接着来看一看今天要学习的内容。第一呢是二次函数的这个什么交点的问题， 我们前面讲过啊，我们要去求函数啊，求二次函数呢，与 x 轴，或者说呢与 y 轴的交点坐标，那么我们就是令这个什么， 如果求 y 轴的焦点坐标就是你 x 等于零，求与 x 的 焦点坐标就是零， y 等于零，那么你零 y 等于零之后呢，它就得到了一个 a， x 方加 b， x 加 c 等于零，对吧？那这个时候呢，因为你是二次函数吗？所以你的 a 呢，是不等于零的， 那你会发现它最后就变成了一个什么，变成了一个一元二次方程。那我们说呢，如果我们的这个一元二次方程，它的根的个数和这个什么 和这个得糖呢，是有关系的。所以如果与 x 呢，如果有两个焦点，那就说明什么？说明你最后这个方程解出来应该有什么？应该有两个不相等的实数根，既然是有两个不相等的实数根，所以呢，就可以得到什么得糖呢？是大于零的， 那如果是一个焦点呢？一个焦点，那就说明什么？说明这个什么方程应该是有两个什么两个相等的实数根啊，既然是一个焦点，有两个相等的实数根，所以得糖呢，就等于零， 嗯，他如果是没有焦点呢？那就说明什么？说明得它小于零啊，得它小于零，当然这是给一个什么任意的一个什么一元二次方程 啊，他说了指方法啊，这方法呢，只属于什么 x， 没有范围啊，也就是说呢，有时候我们在做题的时候，你可能怎么样？他这里 x 呢，给你一个限定条件，对吧？那你就不能这么去做了啊，也就是说呢，具体题目啊，就具体分析。 好，接下来我们来看看这个第一题。他说呢，抛物线与 x 有 两个公共点，既然只有两个公共点，所以我们另外等于零的话，那么这个方程是不是应该有两个不同的实数根呢？ 对不对？所以那直接是得它啊，直接看它的，得它，我让它大于零就行了，那得它呢，是 b 方，也就是三十六减四， a c， 所以 大于零，这样我们就直接得到 m 小 于九，那这就做完了啊， 啊，这是这个第一题，第二题，他说呢，关于 x 函数呢，有 x 时候有唯一焦点，唯一焦点呢，说明什么？说明他的这个什么得它呢，就等于零，对吧？所以 b 的 平方呢，就是四减四， a 等于零，这样的话呢，我们得到 a 等于一，那这个题啊，我们做到这里做完了没有呢？ 那你一定要认真去审题啊，因为它这里呢，它只说关于 x 的 函数，它并没有说是一次函数还是二次函数啊，而且呢，它是有唯一的焦点，对不对？也说呢，你只要看到这个什么二次项前面啊，它含有什么参数的时候， 那你就要想一想，它有没有可能是零。那如果题目明确告诉你是抛物线，那一定要满足这个什么 h 不 等于零的，那现在呢，它是函数，它并没有说是二次函数，所以呢，你要分类讨论啊， 当 a 等于零的时候， a 等于零，那么这个函数就变成了 y 等于负。二， x 加一，这是一个什么？ 这是一个一次函数，而且呢，它的 k 是 负的，也就说呢，它的图像啊，大概啊，大概是这个样子，既然你的图大概是这个样子，那么与 x 轴呢，确实也是怎么样？只有唯一的一个焦点，所以呢，它是怎么样符合题目意思的？那同样的呢，第二种啊，就是当 a 怎么样？ 当 a 不 等于零的时候， a 不 等于零，那就变成了一个二次函数，一个二次函数与 x 轴有唯一的交点，那就说明得它啊要等于零，所以最后得到 a 等于一啊， a 等于一，也就是呢，这个题啊，最后答案应该是两个啊， 啊，这是第二题啊，你说认知审题啊，它有没有说啊，就跟我们这个什么题目说关于 x 的 方程有几和什么关于 x 的 方程有两个不同的实数几，对吧，这是不一样的啊，这都是有区别的啊啊，接着呢，我们来看这个第三个， 它说呢，抛物线啊，抛物线呢，与这个什么？与这个坐标轴啊，有两个公共点， 那抛物线与坐标轴有两个共点，说明啥呢？首先啊，不管怎么样，它与 y 轴怎么样，与 y 轴是一定有一个交点的啊，不管你怎么样，你的与 y 轴的交点坐标呢，始终是零多少 c， 对 吧？不管你怎么画啊，也说明它与 y 轴呢，一定是有一个交点的。既然与 y 轴有一个交点，它现在说呢，与坐标轴有一个公共点，那说明什么？ 说明 d 的 平方减去四 a c， 它应该等于零啊，等于零，那这样的话呢，我们把它减一减，那就应该是九 m 的 平方减去四倍的啊，这里在算的时候，我们可以先算后面这个啊，那应该是二 m 的 平方加 m 减二 m， 那 就是减 m 减一等于零，所以最后呢，把它展开啊，那就应该是 九 m 减八 m， 那 就应该是 m 的 平方加上四 m 加四等于零，那你会翻算出来， m 呢，就等于几啊？等于负二啊，这正好是个完全平方式啊， 也就是说呢，得到 m 等于负二啊， m 等于负二，那当然一样的，这个题啊，我们做完了没有？也是没有做完啊，也是没有做完， 就说呢，与作半轴有两个公共点，根据我们刚才的分析啊，他与 y 轴呢，一定是有一个交点的，那么此时他与 x 轴是不是有一个交点呢？这是可以的啊，那还有没有情况呢？就是呢，我的如果啊，如果这个什么 二次函数与这个 x 轴呢，有两个公共点，只不过说呢，他与 x 的 公共点和与 y 的 公共点，那是同一个点，对吧？那这个时候，那就怎么样也是两个点 啊，也就说呢啊，什么叫既在 x 上，又在 y 轴上，那说明这个点是什么？是圆点啊？对的啊，就是圆点，也就说呢，我们还有一种情况，就是过圆点，也说呢，第一种情况啊，是 delta 等于零啊，第二种情况就是过圆点， 那过远点的话，那么这个时候呢，那就直接是什么 c 等于零，也就是二 m 加一等于零，我们得到 m 等于负的二分之一，所以这个题的答案应该是负二或者负的二分之一 啊。当然，这个题目如果它给的不是抛物线，它说它若函数啊，如果改成的是若函数， y 等于它啊，与坐标轴有两个共点，那此时这个题啊，还多一个答案啊，那可能还会多一个答案的啊，就算如果这个题啊，我把它改一下，不是抛物线啊，他直接告诉你，若函数 y 等于它与坐标轴有两个共点，那么此时还有种情况就是它等于零 啊，有时候呢， m 减一，如果等于零，那么 m 呢，是不等于一啊？你把一带进去，你会发现它是个什么， 那就变成了 y 等于把一带进去，那就变成了三 x 加三，你三 x 加三，那是一个什么？大概是一个这样的图，对吧，那你会发现它与坐标轴呢，确实也是，怎么样也是两个交点， 那也是呢，如果它是个一次函数，对吧，而且呢，是一次函数啊，不够圆点的啊，一这样的图的话啊，那么它也是与坐标轴呢，有两个公共点。所以啊，也就是说呢，这里一样的，也是要怎么样也是要认真去审题的啊。 也说呢，如果是函数啊，那么最后呢，应该是有三种情况啊，第一种呢，是什么？德塔等于零啊，如果说是题目啊，是与坐标轴有两个公点的话啊，那么第一种情况是德塔等于零啊。第二种情况啊，就是我们的这个什么果园点 啊。第三种情况啊，就是这个什么它是个一次函数啊，而且是不过原点的一个什么一次函数啊啊，这是我们的这个第一题啊。接着呢，我们再来看一看这个第二题， 他说呢，二次函数与一次函数啊，问这两个图像相不相交啊？如果相交啊，有几个焦点，并求出焦点坐标，那我们就要想一想了啊，我们之前说这个什么，呃， 我们在八上学一次函数的时啊，八下学一次函数的时候，我们是怎么去求直线与直线的交点坐标的？我们是不是把它连立啊？对不对？那同样的，我想求二次函数与一次函数的交点坐标，那我也是一样的把它连立， 然后呢接着呢，那么我解去解这个方程啊，因为都是外码，所以最后呢就变成了 x 的 平方加上二， x 加三等于三， x 加五， 那如果这个方程啊，最后呢，没有实数根的话，那就说明什么？说明没有焦点啊，没有焦点，如果有实数根的话，那就说明什么有焦点。当然我们看解一解啊，看这个能不能解出来啊，那应该是 x 的 平方减 x 减二等于零，所以是加一减二，也就说那一个啊是负一，一个呢是二， 既然你都已经把这个 x 算出来了，所以怎么样他肯定是有焦点的，你有两个不同的时值跟。所以有什么有两个焦点啊，有两个焦点，而且呢焦点坐标呢？分别啊，横坐标是负一带进去啊，这个什么负三加五，那就是二，还有一个焦点坐标呢，应该是二逗号，二三得六，六加五十一啊， 这就是我们的第一问啊，接第二问啊，他说呢，把它怎么样？向下平行 k 的 单位啊，下，那就直接变成了 y 等于三， x 加五减 k， 对 吧？然后呢，他说呢，直线与抛物线呢？现在只有一个焦点啊，只有一个焦点，要求 k 的 值，那还是这样的，我们把这个新的直线和我们的抛物线去连立， 那最后呢就得到了什么？得到了 x 的 平方加二， x 加三等于我们的三， x 加五减 k 一 项啊，所以变成了 x 的 平方减 x 减二加 k 等于零，既然你只有一个焦点啊，所以最后呢，我们的的它也就是 b 的 平方 减去四 a c 啊，四 a c， 那 就应该等于零啊，也就是说呢，我们怎么写过程呢？因为啊，对吧，因为只有一个焦点啊，也说你写到这里之后，你可以接着怎么写过程。是因为啊， 因为只有一个焦点， 所以啊，就把这句话写到后面来啊，写到后面来， 然后呢，接着呢，就选过程啊，这就过程，就这么去写啊，完了之后，我们就可以得到这个四倍的 k 减二，对吧？是等于一的，也就是我们的四 k 等于四 k 减八等于四 k 等于九，所以 k 等于什么？四分之九啊，这就是我们的第二本。 那接第三问啊，第三问，他说呢，若过点负二负六的直线与二次函数只有一个交点啊，求直线截一次。那你要求直线截一次啊，那我就设 y 等于什么？ y 等于 k， x 加 b， 直线截一次嘛，所以是 y 等于 k， x 加 b， 然后呢， 其中啊，你说你的 k 能不能等于零呢？因为他说的是吗？这里啊，他说的是直线啊，你要注意啊，他并不是说的是吗？一字函数，他说的是直线，所以这里的 k 他 可能是等于零的，这个时候，如果 k 等于零，那就是一条水平的线，那你说你既然考虑的水平的线，有没有可能是数值的线呢？ 那确实是可以的啊，因为这个题吧，他说的是直线啊，也说了，你要把数值的线也要考虑进去啊，如果是水平的线啊，我们现在要他那只有一个焦点啊，那我们就怎么样？首先他经过负二度和负六，所以我们带进来啊， 那就应该有负六等于负二 k 加 b 啊，这第一第二呢，我们把它连立，对吧？把这个直线和我们的抛物线连立，那就应该是 x 的 平方加上二， x 加三等于 k， x 加 b 移过来，那就应该是 x 的 平方加上二减 k 倍的 x 加上三减 b 等于零。 一样的，因为只有一个焦点啊，所以呢，应该还有个什么，还有个德塔等于零，也就是啊，二减 k， 括号的平方减去四倍的三减 b 啊，它应该等于零， 那你说这怎么办呢？接着啊，接着，那我们就把这个什么上面这个四则呢？变个形，把它带到下面来就行了啊。那 b 呢？是等于二 k 减六的， 所以是二减 k， 括号的平方减去四倍的三减去二 k 减六啊，因为你是二 k 减六，那这个是二 k， 最后去括号加六啊，就等于零，然后呢去解这个什么去解这个方程啊， 那这个是 k 的 平方减四 k， 这里呢有个加八 k， 所以 是加四 k， 然后呢，你这里是加四加四，然后再加什么 加四，这种没几啊，这不对金了啊，负二负六，这什么一个根都没有。 负六等于负二 k 加 b， b 呢，等于二 k 减六，二 k 减六 b 的 平方减四 a c b 等于二 k 减六，这没毛病啊， 加四 k 加四 k， 这也没问题啊，四四减四减十二 哦，三加六是九啊，三加六啊，是加六啊，三加六是九四九三十六，所以是减三十六等于零 啊，减 k 方啊，加四可以减三十六等于零，那最后呢，把 k 算一算啊，当然这个题呢，它不能实相乘，所以我这个用什么快一点，用配方法快一点啊，左边里面加个四，所以最后得到 k 啊，它应该等于负二，加减两倍，根号十， 那 k 出来了， b 呢，肯定也出来了，对吧？那我之后我就不去解释了啊，你说 k 出来了，答案就已经出来了，但是呢，我们刚刚已经说了，那它是直线，直线啊，既然是直线，你不说我的这个抛物线呢，是开口是向上的，对吧？这么一个抛物线， 那么你画数字的线啊，你画随便画数字的线，它确实呢与抛物线呢，怎么样也是怎么样，只有一个焦点呢，也就是那数字的线，它也是符合题目意思的。那你想想，一个数字的线要经过这个点， 那么它就应该是什么数值线上的点，横坐标是一样的啊，所以就是嘛，就是 x 等于负二，也知道还有一个答案应该是 x 等于负二。 除了啊，我们的这个现在算的这两条直线截式以外啊，还有一个答案啊，也说的这个题啊，应该是有三个答案，因为它说的是直线啊，直线就跟我们之前学这个什么 它一次函数是一样的啊，它如果没有说是一次函数，而是说是直线的话，那也可能是什么是水平的线啊，或者数值的线，这是一定要注意的啊，因为水平的线啊， k 就是 零啊，数值的线，它的 k 呢？你到了高中就知道这叫什么，这叫不存在啊，数值的线， k 呢，是不存在的啊， 所以啊，但是呢，它也是符合题目意思啊，符合这个题目的意思的啊，这就是我们的这个例二 啊。接着呢，我们再来看一看啊，对于这个什么 x 给的范围，那么我们就不能用判别式去做了啊。啊，那这种题，那我们又应该是去怎么去做呢？ 首先啊，这个二次函数啊，我们要怎么样？要会画图，对吧？当然这个题目我需不需要画这个什么？需不需要画坐标轴呢？啊？其实这一种题呢，也怎么样？其实也不需要啊，你看啊，首先它开口是向下的，开口向下对应轴呢，是我们的 x 等于二，对吧？ 然后呢，一到四，一到四呢，一在左边，四呢在右边，而且一到二的距离到对折的距离是一，四到对折的距离呢，是二。我说呢，开口向下的时候，你到对折距离越大，那对应的 y 的 值呢？就越小，所以啊，这就是它的大概的图像呐。 那现在呢，我们有一条直线， y 等于 t， y 等于 t 啊，我们说呢，你要知道它就是一条什么样的线， y 等于 t 呢，是一条水平的线呐， 他现在说的有交点，有交点，那现在我画的这个图呢，很明显和我的这一部分的怎么样？他是没有交点的，所以你的图像怎么样，得再往上移，到哪里开始有交点呢？就是怎么样？这样的一条线的时候是不是开始有交点了？ 一直到哪里呢？到这里他也是吗？也是有焦点的，那到这里是也是有焦点呢，对不对？一直到哪里呢？一直到这个地方啊，到这个地方他都是这么有焦点的，所以有焦点的位置啊，最后呢，应该在哪里？从这里是不是到这里啊？ 对不对？那么只是对应的 t 的 值是多少呢？因为这个地方它的横坐标是四，所以我们可以把中坐标算一算，把四带进去，负十六加十六，那就是四十多毫零，那这里呢，它的坐标是多少呢？它是顶点啊，所以是二十多号。把二带进去，那是负四加八，那就是四。 我们要什么水平的线？水平的线呢？它的什么 y 是 一样的啊？水平的线 y 是 一样的，也就是纵坐标是一样的，所以呢，这个地方 t 呢是零，这个地方 t 是 四，那这样的话，那我们最后就得到 t 呢？应该是大于零，小于等于四 啊，为什么是大于零啊？这也是为什么我们前面要把这里画空心的原因，是因为我们的二次函数它并不包含这个点，所以呢，你如果 t 等于零的话，它其实叫没有交点，只不过说呢，这是它的临界位置啊，是很重要的，对不对？ 包括那上面为什么能取啊？是因为我的图像是经过了这个点的，所以你的直线如果也是它的话，那那正好是有一个焦点啊，所以是符合题目意思的。 那做到这里啊，我们怎么样？我们就把这个题呢，怎么样？再摸索一下，讲一讲。它现在说是有焦点，有焦点呢？有一个呢，那也叫有，对吧？那如果改成有什么有两个焦点呢？啊？ 所以如果是有两个焦点，那么此时这个什么答案又应该是多少呢？啊？你会发现什么时候开始有两个焦点呢？就是在哪里啊？在这个地方呢？在这个地方，这是一个，这是一个， 对不对？包括我们刚才画的时候呢，这个地方啊，从这个地方开始，这是不是就是两个了呀？对不对？所以我要把这个坐标也算一算，那应该是一逗号，把一带进去，那就是一逗号。三 啊，也就是 t 啊，在这个时候呢，对， t 就是 三，在三的时候刚刚好的，因为这里呢是什么？这里是空心啊，这里是空心，也就是说呢，在这里的时候呢，它也是只有一个，对吧？只有一个啊， 所以呢，我们要有两个，那 t 呢，就应该是大于三，小于四啊，因为等于四的时候呢，它是什么呀？它是一个，所以你想有两个焦点，那么 t 的 范围呢？就应该是什么三到四，这个就是我们的这个什么竖形结合啊， 啊，这是我们的这个题。那接着呢，我们再来看一下这个什么下面的这个逆二啊，下面这个逆二， 它现在说呢，与 x 轴交于 a， b 两点点， a 在 点 b 的 左侧，与 x 的 交点，我就另外等于零，所以得到 x 的 平方减二， x 减三等于零，十字相乘，加一减三，所以应该是一个是负一，一个啊，那就是三， a 在 b 的 左侧啊，所以我们大概画个图，一个是负一，一个是三， 开口呢，也是向上，所以它的图啊，大概 大概是个这么个图啊。啊，这里呢，当然也是负三，对吧？逆 x 等于零的时候是负三，这是一，这是二，这是三， 这是负一。现在呢，他说怎么样？他说呢，顶点啊，顶点为 m， 当然这个 m 好 像没什么卵用，对吧？然后呢，将二次函数在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折啊，下方的部分沿 x 轴翻折，其实就是就是他的图像啊，就是绝对值啊， 所以说呢，最后我们的图啊是什么样子的呢？就大概啊，大概是个这个样子 啊，大概是一个这样子的图。完了之后，他现在啊，他现在说到我们的这个什么 y 等于 x 加 n 啊，与与这个图像呢？尤其只有两个公共点啊，要问 n 的 取值范围。 好，那这个题怎么做呢啊？首先这个顶点啊，这个顶点啊，这里呢？是我们的这个什么？这是我们的这个一逗号，把一带进去，那应该是一减二减三，那是一逗号负四，所以这个地方那就应该是我们的这个什么一逗号四啊。如果啊， 现在是直线 y 点 x 加 n， 那 y 点 x 加 n， 我 们在画图的时候可以怎么样？首先他是个向上的图，对吧？我们可以让他先没有焦点呢，如果是这样的图啊，如果是这样的图， 那没有焦点，对不对？那我就怎么样把它往上移啊？移动到什么时候呢？到这样的时候呢，你会发现啊，在这里的时候啊，找到临界位置啊，找到临界的位置， 你说如果我的图像是这样的时候，你会发现这个时候呢焦点啊，是一个，那如果我再往上啊，再往上，你会发现，这个时候焦点的个数是不是就是两个了呀？对不对？ 如果是经过了三逗号零啊，经过了三逗号零，我们把它带到外，等于带到直线里面去，那我就可得到 n， 那 就是等于什么等于负三的， 那你会发现，如果我是往上平呢，说明你的此时的这个 n 比这个什么负三应该怎么样？是不是要大呀？对不对？那一直到哪里呢？那你会发现啊，到哪里呢？到这个地方的时候， 到这个地方的时候呢？此时它有几个？一个、两个、三个，对不对？所以呢，只要在这之间呢，你看在这里的时候，它也是一个两个，对不对？也就是说呢，我们需要把这个地方对应的这个什么 n 的 值呢？也算一算， 这这里呢，就是经过了，是吧？经过了负一逗号零，我们把负一逗号零带进去啊，得到 n 等于一，所以呢，你的 n 应该啊，符合题目的意思的 n， 那 就应该在什么？在这这两个之间，也就是这个什么 n， 他 要怎么样？大于负一，小于大于，大于，大于负三， 小于一都不能去的啊，因为等于三的等于负三的时候，是一个，等于这个什么等于这个一的时候啊？是三个题目说有几个题目说有两个啊，所以不行。那当然，我们做到这里做完了没有呢？ 你还要再往再再看了，我再往上画的话，再往上平移，那你会发现只是有几个了，一个、两个、三个、四个，对不对？那也不行了啊，那接着再往上啊，一直到哪里呢啊？一直到我们这里啊，如果说呢，有一条线啊，和我们的这个什么 凹陷，你会发现怎么样？只是相切的时候，是不是相切的时候？那这个时候有几个点？一个点， 两个点，三个点，这也不行，对不对？也不行？一直到哪里呢？再往上，再往上，此时那不就是这里一个，这里一个，是不是两个，对不对？所以我们还有一种情况，就是相切，就是我们的直线 y 等于 x 加 n， 与这一部分啊，与这一个抛物线啊，与这一个抛物线啊，与这一个抛物线，它是相切的， 那么这个抛物线呢，是把我们的 x， 这个什么，把我们的这个啊 y x 翻折了，所以你要知道这个它的解释是啥，正好呢，我们昨天讲的这个什么我们的二次函数的几何变换， 你关于 x 翻折，那么你的这个抛物线的解释啊，是我们的 abc 都变成相反数，也就是应该是变成了 y 等于负 x 平方加二， x 加三 啊，也就说呢，应该是这两个这个直线和这个抛物线呢，它是相切的，相切呢，就是有一个交点啊，只有一个交点，只有一个交点，那就是年底之后，它的得它等于零，所以我们算一算，那应该是负 x 平方加二， x 加三等于 x 加 n， 所以应该是 x 的 平方减 x 加 n 减三等于零，那么此时我们算出来啊，利用得它等于零，那就应该是一减去四倍的 n 减三啊，要等于零，所以是四 n 等于十三， n 等于四分之十三。 也说呢，这个时候啊，这个时候对应的啊，对应的这个地方呢，是四分之十三往上走，对吧？往上走，所以是 n， 怎么样？ n 大 于四分之十三， 比如说这个题的答案应该是 n 大 于四分之十三，或者我们最开始写的啊， n 大 于负三，要什么小于一，这就是这个题的答案啊，这个题的答案， 那么当然刚才呢，我们也怎么样分析过了啊？如果说是啊，这个题目呢，他现在是是这个什么两个公共点，对吧？如果是一个公共点呢啊，一个公共点呢？就是嘛呢，从我们刚才的分析啊，一个公共点就在这里啊，所以是一个的话啊， 那就是 n 等于这个，是吧？负三，如果是两个两个呢，这是题目的答案啊，那就不说了啊，如果是三个，那又有一个答案啊，如果是三个呢？刚才通过刚才的分析啊，这里啊，这条线他是三个，所以此时对应的 n， 那 就是我们的一，或者 那你看我们刚才相切的时候是不是也是三个？所以还一个是什么？是四个啊？ 四个啊，四个在哪里呢？就是在这一条线和什么和这一条线之间，对不对？那你看这个时候啊，他都是四个啊，所以呢，应该是在这个什么一和四分之十三之间啊，也就是呢，如果是四个的话，那么此时的答案 应该是 n 大 于一小于四分之十三，也就是那你把这个学会之后，不管他问的是两个点，还是如不管他问的是有两个公共点还是三个公共点，还是四个公共点，那我们都有答案的啊， 啊，这就是我们的塑形结合啊，当然还有一定的分析，对吧？一定的分析，因为你要有两个公共点啊，那我们这里呢，要考虑临界位置啊，就是直线和抛物线怎么样相切的时候啊， 啊，这就是这个题。好了，接着呢，我们在下一个视频里面啊，去讲这个什么二次函数与方程不等式啊。
64为爱停刘
04:28查看AI文稿AI文稿二次函数的图像及性质不会学会这一招，大题直接多拿八分。设一般式求二次函数表达式的方法是，看见题目中说一次函数经过三个点，就设一般表达式为 y 等于 x 方加 b， x 加 c， 代入已知点即可求出 abc。 若有点在 y 轴上，则 c 在 该点的纵坐标。例如，给了三点 a、 b、 c 点， a 的 坐标为零负三，则 c 为负三。设表达式为 y 等于 a， x 方加 b， x 减三，代入另外两点 b 点 c 点。列出方程组，可求 a 为一， b 为负。二， 即函数表达式为 y 等于 x 方减二， x 减三。设顶点式求二次函数表达式的方法时，当题目已知函数过顶点 h 勾 k， 就 设顶点式。 y 等于 a 倍括号 x 减 h 的 平方加 k， 再代入一个点求 a 即可。当顶点为一逗负四时，设表达式为 y 等于 a 倍，括号 x 减一的平方减四，将 b 点三逗零代入，可求出 a 等于一的平方减四。设焦点式求二次函数表达式的方法式。 当题目中明确二次函数图像兼顾 x 轴上的两点时，就设表达式为 y 等于 a 倍 x 减 x， 一 乘 x 减 x 二，再代入一个点求 a 即可。例如，当两点为 a 负一，负零， b 三负零，设表达式为 y 等于 a 倍， x 加一，乘 x 减三， 将 c 点一负负四代入，可求出 a 等于一，即 y 等于 x 加一，乘 x 减三，化为。一般是 y 等于 x 方减二， x 减三。 要想熟练掌握二次函数的性质，必须学会画草图，步骤是，一、画出对称轴。二、利用顶点坐标公式确定顶点并描出。三、利用 a 确定开口方向。四、确定函数和 y 轴的交点。若函数的顶点坐标与 x 轴的交点坐标能确定，函数图像就会非常准确画出。 例如，画函数 y 等于 x， 方减二， x 减三的图像，一、画出对称轴 x 等于一，二确定顶点一、逗负四，三开口向上。四、与 y 轴交点为零，逗负三，最后画出函数草图。根据函数图像明确函数的性质，主要包反以下五点，一、开口 二、对称轴，三、过定点。四、增减性。过定点包括三类顶点以及与坐标轴的交点 增减性，这里与对称轴和开口方向有关。开口向上，对称轴的左侧减，右侧增。开口向下，对称轴的左侧增，右侧减。五、函数平移问题针对顶点式较为简单， 平移规律是左右平移变 x， 对 x 进行左加右减，上下平移改变 y， 对 函数整体进行上加下减。例如，将抛物线 y 等于 x， 三减二， x 减三，先向上平移五个单位，就先把抛物线表达式变成顶点式。 上一期就整体加七，左移五，就对括号里的 x 进行加五，即可得到平移后的函数表达式。 下期预告二次函数的最值问题。
68初中数学源源老师
00:43查看AI文稿AI文稿二次函数给了两个 x o 焦点，孩子还在计算方程组。焦点是一步搞定，你看，给了两个 x o 焦点，直接耗用焦点式模板， y 等于 a 乘 x 减 x， 一 乘 x 减 x 二。 比如焦点是一零和三零， x 一 是一 x， 二是三，塞进去减一式框架直接出来，再给一个点，比如说抛物线上有个点是负二，二， 把它塞进刚才的框架里， a 直接求出来，等于负二。你看两个焦点，给你搭好框架，一个点帮你把 a 揪出来。解一式直接写 y 等于负二乘 x 加三乘 x 加一，开口向下也不怕，模板也不变 焦点式。就这两步，给焦点，套模板，给点求 a。 明天讲在内式做法，把一般式、顶点式、焦点式全部串起来。
128喜欢数学的老王
03:20查看AI文稿AI文稿这个视频里，我来给你讲讲如何求函数的解析式。拿一般式来说，这里有 a、 b、 c 三个未知数，所以要想把它们都求出来，那就需要三个条件。举个例子来说，告诉你这个二次函数的图像经过了点一零点二、负一和点三零，让你求它的解析式。 设为 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c。 由于它经过了这样三个点，那咱就可以把这三个坐标带进解析式，得到， a 加 b 加 c 等于零， 四一加二， b 加 c 等于负一九， a 加三， b 加 c 等于零。到此，咱就得到了一个三元一次方程组，只要把它解出来就行了。算一算也就可以得到， a 等于一， b 等于负四， c 等于三， 那这个要求的解析式，也就是 y 等于 x 三减四， x 加三了，搞定。像这样，先把解析式设出来，然后利用清的条件列方程，把系数多求出来的方法就叫做待定系数法了。 不难看出，设一般式的方法十分粗暴，只要知道了三个点的坐标，那就可以直接代入求解相应的方程组啊。 但是三一万方程组解起来有难度，还容易错，所以当你看到其他信息的时候，可以使用更高级的方法。比如这里给了你顶点， 但就可以设顶点式。你知道顶点式的解析式，也就是 y 等于 a 乘 x 显示的平方加 k， 它的顶点坐标是 h， k 在看题目中， a 这个点二负一就是它的顶点坐标，因此这里的 h 就是 二， k 就是 负一。那把它俩带进解析式，也就可以得到， y 等于 a 乘 x 减二，平方减一。很明显， 现在就只乘 a、 j 一个待定系数了，而题目还告诉咱，这个抛物线还经过了一零和三零这两点呢。那咱不妨把 x 等于一， y 等于零带入解析式，也就是这样算一算， a 就 等于一， 那这个解析式也就是 y 等于 x 减二的平方减一啦！搞定！不难看出，只要知道了抛线的顶点坐标，那顶点式中的三个系数就可以先确定列，而剩下的那个 a 只需要一个方程就可以解决啦。是不是很简单呀？除了刚才这两种方法之外，还有一种求解析式的方法是焦点式。 所谓焦点是，也就是说，如果抛物线与 x 轴有两个焦点， x 一 零和 x 二零，把它的解析式儿也都可以写成 y 等于 a 倍的 x 减 x 一， 乘 x 减 x 二， 很好理解。如果让这个函数等于零的话，必然能得到 x 一 和 x 二这两个解，也就保证了它跟 x 轴有差两个焦点。但是固定两点的抛物线有很多几何不确定呀，所以这个 a 就是 控制形状的。 而这个解析式非常适合题目中给出焦点的情况，比如这个题目中一零和三零就是两个焦点，因此，把这个一和三带入解析式，结果就是 y 等于 a 乘 x 减一，乘 x 减三，哎，又剩下这个 a 了。 接下来，咱就把剩下的这个点二和负一带进来，也就是这样算一算，这个 a 就 等于一，那这个解析式也就是 y 等于 x 减一乘 x 减三啊！搞定！ ok！ 总结一下， 要想求解二次函数的解析式，咱就可以使用待定系数法来解决，其中一般式门槛最低，只需要知道三个点的坐标，那就可以列方程组来解着了，如果知道了顶点，那用顶点式就会解很多，而如果知道了函数根 x 轴的交点，那就可以用交点式了，听懂了吧？呵呵。
91洋洋老师讲数学
01:04查看AI文稿AI文稿二次函数图像过点负一零三零零负三。求函数解析式啊？这里边我们知道交点来函数的交点是不是这个，这个 x 等于负一和 x 等于三，那么就可以用交点式来求啊。好，已知已知。 x 一 等于负一， x 二就等于三，那么设焦点是，设焦点是 y 就 等于 a 倍的，那么 x 加一，乘以括号 x 减三。但这个设完之后，我们把这个零和负三代入进去，当 x 等于零的时候， y 等于负三，那么 x 等于零，那就是 负三。 a 等于一， a 等于一，来代入这个式子，接着代，那 y 就 等于 x 加一，乘以括号 x 减三。 好，这里面乘出来 x 平方减三， x 加 x 减三。好，就等于 x 平方减二， x 减三啊，理解了吧。
90中职数学进阶
02:21查看AI文稿AI文稿还在用一般式解决二函数的解析式问题，利用焦点式一招秒杀此类型的解析式。已知抛物线与 x 轴交于 ab 两点好，什么时候用焦点式，什么时候用一般式或什么时候用顶点式？之前的视频给大家讲了， 如果出现三个式子的时候，是大家应该想的是一般式，那今天我教会你一个新的不一样的式子，就是这个焦点式。你会发现题上一旦出现关键词交与并且适合 x 时候交这个题，用焦点式。 焦点式，它的解析式是啥？焦点式解析式是 y 等于 a 倍的 x 减 x 一， 乘以 x 减 x 二， 其中这个 a 还是不为零的好，那接下来呢？跟我一块把它这两个焦点给他带进去，所以带进去的结果叫 y 等于 a 倍的 x 加一乘以 x 减三，这是它 且经过这个点。那我现在是不是里面有个未知数，就是这个一 a， 那 我把这个 a 要给他求出来的话，经过这个点，所以我应该把这个点给他带到这个解集式里面去，把这个小 a 求出来。好，那这个 x 就是 一， y 就是 负三，那就等于负三倍的 a 等于一加一乘以一减三。所以 a 这个题算了一个四分之三， 整体的解析式就等于四分之三倍的 x 加一乘以 x 减三。有些学生写到这就完了，记住了，在焦点式的解析式中，用焦点式求出来的时候，这个式子要给它进行展开。什么意思？ 就是我要把它的这个 x 跟后面这个分配进去，它就是四分之三倍的 x 平方。好，减去三， x 加 x， 再减三，合并一下，四分之三倍的 x 平方减去二， x 平方减去二分之 x， 二分之三， x 减去四分之九。好，这是本道题。 这个题要注意的个点是什么时候用焦点式？他说了交于这两个点，并且是跟 x 交，所以带进去，带完之后一定要将这个式子给它展开成一般形式。好，本期结束。
72教数学的小张老师
10:02查看AI文稿AI文稿我们来做一个啊，中考代数模拟题啊，是关于这个二次函数的， y 等于 x 平方减去二， x 减三啊，这是一个没有未知数了啊，这是一个非常具体的二次函数，过 a b c d 过 a b c a b c 啊， 然后 p q， 还有这个 p q 啊， q 点在这里，并且 pc 关于这个抛物线对称轴对称， pc 这两个点啊，关于对称轴对称这个角 o p q， o p q 是 九十度，求这个 q 的 坐标，要把这个 q 的 坐标求出来呢， 呃，我们首先可以根据这个二次函数去确定一下相关的一些点的一个坐标位置啊。那首先这个 c 点我们是可以很容易又确定出来啊，因为它是跟 y 轴的交点， y 轴的交点也就是 x 等于零，我们带进去啊，就会发现这个它应该是 c 点，是 x 等于零，然后 y 呢，就是负三 啊，这是 c 点坐标，那 ab 呢？是这个二次函数跟这个 x 轴的交点， x 轴交点的话，我们另一看可以把它做一个 这个因式分解啊，那我们因式分解的话，可以用十字相乘法，呃，这里的话就是一一三一，中间是负数，所以说这里也是应该是负三啊，也就是我们可以把它做因式分解，得到 x 减三，乘以这个 x 加一。 呃，所以说，呃，这个 a b 两个点的一个坐标应该是横轴啊，这个是负一啊，那就是这个 a 点就是负一零，然后呢 b 点呢？就是三零，好，呃，这就是 a b c 三个点的一个坐标啊，那接下来我们来看一下 p 点的坐标能不能确定的出来，他告诉我们这个 p c 啊，是关于这个抛物线的对称轴对称的啊，那我们就把这个抛物线的对称轴找出来啊，抛物线的对称轴的方程，我公式我们是知道的，就是负二， a 分 之 b 啊，那我们这里的 a 对 应的值是一啊，也就是二乘以 b 对 应的是负二，那放进去啊，所以就消掉那负负得正，那就是一啊，也就是说，呃，这个它的对称轴是一， 那对称轴是一的话，我们可不可以算出这个 p 点的这个横坐标啊？我们根据这个对称轴呃的一个关系啊，跟这两个点的一个关系可以得出什么东西呢？ x c 加上 x p 啊， 怎么样啊？它是两倍，这个对称轴的这个值的两倍啊，也就是二乘一，那 x 零等于多少？ x 零就是零，所以说 x p 呢，就等于二啊，也就是说我们就可以得出这个 p 点的横坐标的值，就是二。好，得出二了之后，我们就可以把它带进这个方程去啊，带进这个方程就得到这个 p 点的纵坐标 二二得四，减去四啊，就是前面就消掉了，然后就是负三，所以说这个 p 点的这个坐标我们就求出来了，那现在我们要求这个 q 点的坐标，它只告诉了我们这个 o p q 啊， o p q 是 个九十度，那 这里的话，我们 q 点的坐标横坐标和 q 点的横坐标和纵坐标，我们都没有办法去知道，那我们可能要去借助于什么这条线啊，这条线， 然后把这条线直线的方程解出来，然后跟这个二次函数抛物线交点啊，就是连逆解方程就可以求出这个 q 点坐标，那这条线的这个呃 方程好不好？求，我们假设这个交点是 d 啊，假设这个跟它的交点是 d 啊，好，那你要把这个方程就，呃，把这个 d q d p 这条线段的这个它的方程解出来，我们已经知道这个 p 点的坐标了，那 我们就需要去解决这个 d 点的坐标，对吧？ d 点坐标是跟 y 轴的交点，那它的这个 x 值肯定也是零，那么它的纵坐标我们就 o c， 我 们是知道的啊，它是这个 o c 的 长度是三， c 的 坐标是负三嘛，那我们就需要去把这个 c d 啊，这一段的长度求出来，这一段长度好不好求 啊？ c p 的 话， c p 的 话跟这个 u， 呃，跟这个 y 轴啊，它是个什么关系啊？跟 y 轴它是个垂直关系啊，因为 c p 啊，它是关于这 s 轴对称的啊，对称的话它肯定是，呃，关于这个对称轴啊，抛物线的对称轴对称，那对称轴的 对称轴，这个 x 等于一，它是不是平行于这个 y 轴嘛？是吧？那它对称的话就肯定是垂直嘛，然后这两条线也是平行的，所以说这个 c p 啊，我们就会知道这个 c p 它肯定是垂直于这个 y 轴的啊， 啊，垂直的话我们就会得出，呃，这里又有一个 o o p q， 这是个直角啊，这是个直角，那这里直角里面再套一个直角啊，这就是我们可以用这个摄影定力啊， 就会有 c p 的 平方等于这个 o c 啊，乘以这个 c q， 呃，如果说你不熟悉这个东西啊，不熟悉这个东西，我们用相似三角形也是可以的，那怎么去呢？呃，去得出这个东西呢？就是，呃，假设这个角是二法啊，假设这个角是二法，那这个角肯定是二法，对不对？因为 这个角和这个角是互余的啊，这里是直角嘛，啊，然后这个角在这个地方跟这个角也是互余的，那也就是说这个角和这个角是相等的啊，所以说它们是二发，那我们就可以得出这个三角形呢， o c p 啊，哎，这里是二发，然后这里是直角，那剩下这个角肯定也相等啊，这里假设是贝塔，这个角是贝塔的话，它肯定是也是相等的啊，所以说我们就三角相等的，之后它就是相似的，我们就得到 o c p， o c p， 这个三角形相似于这个呃， o 点对应这个 p 点啊，就是像，就是这个 o c p q 啊，这个三角形，那呃， c 点的话，对应的就是在这个三角形里面，它是垂足啊，那它还是对应 c 点啊，然后还有一个就是 q 点，所以说我们就会得出这个，呃， o c 啊， 比上这个 pc， 它等于什么东西呢？等于这边的是 pc 啊，这里是 pc， 比上这个 c q， 也就啊，这就是 pc 的 平方等于 o c 乘以 c q 啊，也就是它嘛，对吧？ 哎，你如果说不知道的话，可以用这种形式去推导啊，我们如果你熟悉的这个摄影机，你就可以直接写出来，也就是这个垂线等于这两节啊，分成的，把斜边分成两段的，之后它的分别相，把这两段相乘等于这个高的。呃，平方。 好，那 c p 的 长度我们是不是可以求出来？ c p 的 长度就是二啊，就是这个 p 点的横坐标，所以说就是二的平方等于 o c 的 长度就是三，那 c q 呢？我们不知道，就是三分之四啊， 好， c q 我 们就求出来了啊， c q 的 长度求出来，求出来之后我们就可以得出这个 q 点的坐标， q 点的坐标的话，呃，需要把这个 o c 的 这段长度啊加上来，呃，而且它是负值啊，注意啊，它是负值，你不要看，看错了啊，也就是负三再减去这个三分之四啊，那好，这个是 y 值啊， 它的横坐标是零，然后呢？负三减去三分之四啊，那么最后的这个坐标就是负 三三得九，这里就是十三啊，三分之十三。好，那这个 q 点的坐标我们就求出来了，就是来接下来就可以算这个斜率啊，斜率就是我们可以用观察这个 p 点啊，也就是负三减去这个值啊，那加上这个三分之十三，然后呢？二减零啊， 这里的话就是二分之，可以通分三三得九，十三减九就是四，那就是，呃， 三分之二啊，哎，你不用这个斜率，就是 y 一 减 y 二除以 x 一 减二 x 二，这样去计算，也可以我们通过这个图去观察，去计算，直接算这个斜率啊，怎么算呢？就是实际上这个斜率就是二法，就是这个二法的正切值，就是这个角度。二法嘛。哎，我们 你可以这样去做一条平行线，做一个垂线，过 q 点做啊，然后 p q 这条线的话，它的这个斜率是不是就是这个二法嘛？对吧？ 也就是这个阿尔法的正切值，它这个阿尔法的正切值，贪婪阿尔法是不是就等于这个 c d 的 长度比上这个 c q 的 长度，对吧？那 c d 的 长， c d 的 长度我们是不是已经求出来了，就是三分之四，然后 c p 的 长度呢？就是二，所以说就等于这个三分之二啊，哎，我们这样实际上比这个算的要更快一些啊。 好，我们这个斜率就求出来了，斜率求出来了之后，我们就可以用点斜式去写出这个呃， p q 的 这个直线方程，它的直线方程呢，我们就是 y 参照这个 q 点啊，参照以 q 点为参照点，那就是 y 加上啊，是要减这个部分，所以说就加上， 呃，三分之十三，等于这个 k 斜率就是 k 三分之二乘以这个 x， x 减去的是零啊，所以说就是这样子，然后把这个方程呢再转一下啊，就是 三分之二 x 减去三分之十三。好，这个直线方程我们就得到了，得到了之后我们要去接下来就是跟这个啊抛物线去连立啊，那么我们得到一个连立方程，就是它应该是等于 x 平方减去二， x 减去三 啊，没错啊， ok， 没写错啊。好，把这个左右两边同时乘以三，也就是这边就是二 x 减去十三，等于这个三 x 平方减去六 x， 呃，这里就是九啊， 好，移项三 x 先放，减去八 x 这里，呃，移过来就是加十三，那就是十三减九就是四啊。 好，呃，这个的话，我们可以做十字相乘，三一二二中间是负号，所以说两个都负啊，二三得六，加上这个负二也是负八，刚好也就是三 x 加二， 然后 x 减二等于零 x， 我 们就求出来是三分之二，或者说是一个二啊，而这个二这个点呢，就是这个 p 点的这个横坐标，是吧？那我们的 q 点的横坐标就是这个三分之二，那么就是这个 x q 啊，就是三分之二，那我们得到这个 q 点的这个横坐标了之后，就可以 把这个值带进这个直线方程，或者说是这个二参数里面去啊。我们带进这个直线方程来求一下，也就是这个 y q 啊，它就是三分之二乘以三分之二减去，呃，三分之十三等于通分，三三得九，四减去， 呃，三三得九，一三得三。好，这上面就是九分之三十九减四，那就是三十五啊， 好，我们就可以写出这个 q 点的呃，坐标，也就是三分之二，然后负九分之三十五啊，这就是 q 点的坐标。
45爱数学的宝爸
31:10查看AI文稿AI文稿hello， everybody， 我是 神奇小猪，欢迎大家来到新高考一轮复习函数篇第一节二次函数。 经历完今年的高考，新高考的命题特点已经非常非常明显了，传统的那种套路题目他会考，二级结论他还考，而他为了达成一些选拔人才的目标，他还故意设置很多反套路的题目。 所以现在普通同学你如果想考高分，真就啥都得学才行。而且现在很多小题大题的亚洲题，还喜欢多模块的一个综合，把概率竖列放在一起，竖列圆锥曲线放在一起，还有把圆锥曲线和导数放在一起的 很多题目，你如果没见过的话，你最后一问在考试的时候几乎不可能做出来。而且最后他现在还喜欢把一些简单或者中档题目包装成一道难题， 需要大家识破这层包装，你敢上手才能得分。谁要是被这些个题目样子吓到了，你不敢动脑不敢动手，新高考专门就要刷掉谁，那为了应对这些新高考的这些个变化，本一轮复习合集今天开始更新。 那首先占用一点时间，我们来回答一些大家可能会对这个合集一些常见的问题。比如第一个谁来看这个合集？我个人推荐大家当前分数是在九十到一百三十五分的同学来看这个合集， 目前分数九十分以下的宝贝，而且你这个最后的目标分数也不超过一百二了，你去看高中数学大合集就完全够用了。一百多个视频那也已经七点一亿，播放里除了高考最难的那种压轴题，这里面没讲到之外，别的真的几乎都讲到了。 好，那么回过来，一轮复习合集跟我们大合集哎，有什么区别？他有什么特点呢？首先，我们这一轮复习肯定不可能完全是零基础开始讲，你说你什么函数定义域都不知道，那么显然这个合集不适合你。 我们一轮复习，很多题目给大家挑的是比较灵活的，而且对于那种特别固定的僵化的题型总结，很多其他老师爱讲，因为这么背课，这么讲确确实是最简单的，但我们的合集选的题目需要大家带脑子才能做，这才是新高考喜欢的方向。 最后，有关我们的难度比例基础，中档进阶大约是四比四比三，你别问我四加四加三为什么不是十比例关系，谁说加起来一定是十？小爷我爱是几就是几，黄金比例调和油一比一比一的，那加起来不也不是十吗？拿好纸，拿好笔，带好脑子，别的事你别操心。 哦，对了，因为我们这个合集呢，面向的人群是广大的不同同学，这个基础啊，确实是不太一样。所以呢，我们这个合集，每一道题目都会给大家标好他的难度星级，还有题目来源，大家伙你结合自己的需求去看， 比如说，如果你最后你只想考个一百一十分，像一些五星题目，你肯定是完全可以过掉的。反之，如果你现在分数已经一百二以上了，那这类四星四星半五星的题目反而是你重点要关注的。那当然，眼尖的同学已经看见了，我们会有一小部分自主招生，还有竞赛题目， 为什么？因为很多高考题不骗大家啊，真的就改编于一些精彩题目，那几乎就一模一样的，把原来题目的这个椭圆变成双曲线，就出成高考题了。所以大家不用太担心，凡是我选过的题目都是有可能要考到的，高考不考的，我不会给大家选。 废话已经说这么多了，我们现在开始学习，我们先给大家复习函数这个模块，因为这个模块可以跟其他任何一个模块进行连接，我们大约给大家分了六大部分。那今天这节课，我们讲这必会函数当中的第一个二次函数， 或许有的同学心中有疑问呢，哎，你个二次函数至于讲一节课吗？我怎么没看见市面上有老师这么讲啊？听完这节课，你就知道二次函数原来有这么多考法， 比如你常见的根的分布，你可以跟最值问题结合，大家会发现，今年的新高考，一卷大量的不等式放缩，这些个最值问题往往是同学们最害怕的。然后有时候呢，人家甚至把二次函数藏在一道题目里面，你没看出来是二次函数，那就是不可以的。 最后，我们还会给大家举几道二次函数和不等式结合的题目，让大家开开眼。那么先花一分钟复习一下二次函数， y n a x 方加 b， x 加 c， 你 得先会画图。首先画这个开口， a， a 大 于零，开口向上， a 小 于零，开口向下， a 等于零，二次函数没有了，变成一条直线类。看完开口看对称轴，对称轴是负二， a 分 之 b， 对 称轴可以小于零，可以等于零，也可以大于零， 影响我整个函数的左右平移。第三步看单调，单调是 b 方减四， a， c 小 于零，没有零点等于零，一个零点大于零，两个零点。那最后看这个小 c， c 是 我整个函数跟 y 轴的交点， c 大 于零， c 等于零， c 小 于零。 这四步走能保证你把二次函数图形画清楚。很多题目都需要画图来做。哎，再多说一嘴啊，有的同学这个初中的公式有可能忘了，比如说那顶点坐标，你还记不记得？横坐标肯定是对称轴，负二 a 分 之 b， 纵坐标是四， a 分 之四， a， c 减 b 方啊，能背的话最好是背一下啊。 那么先来到两星简单题，初中生都得会啊。设 abc 大 于零，问二次函数图像可能是哪个？ a 影响开口， a， b 影响对称轴， c 影响跟 y 轴的这个交点，是吧？那把对称轴那个公式写一下， x 等于负二 a 分 之 b， 所以 对 a 选项，它的开口是向下的， a 小 于零了，然后，呃，对称轴这个位置呢？它还是一个负值， 所以整个你这想是负值的话，那我 a b 反而应该是同号，因为你整个前面有符号，所以 a 小 于零， b 也小于零，然后显然它跟 y 轴截去， c 是 小于零的。那我姥姥也能看出来，这仨玩意一乘三个负数，乘完应该是一个负数，不能是正数，所以 a 不 对。 因此按照这个思路，每一个判断一下是不是就行了呀？判断到最后， d 选项你发现才是对的。开口大于零，轴大于零，它大于零，意味着 ab 是 一号的， a 大 于零， b 就 小于零，最后 c 也小于零， 俩复数，复数得正了，然后再乘整数大于零。没错，选 d， 轻松愉快哈，那大家现在会画图了。呃，第二个知识点，二次函数常考的就是伟大定律。 如果我们的二三数已知有两个零点的 x 和 x 二，那么 x c 加 x 二是负， a 分 之 b， x c 乘 x 二是 a 分 之 c， 它能怎么考？ 举两道简单题目，一二年重庆高考啊，说这两个是方程，它的两个根，呃，让我把这个值求一下。 说实话，你这俩是根，那我这二次方程的根我其实一定会算，只不过呢，我可能要因式分解一下。或者说呢，我求幺四方程的根，我其实一定会算，只不过呢，我可能要因式分解一下都行。 那么这道题呢，因为人家问的是 tangent 的 r 加贝塔三角函数公式，它等于 tangent 的 r 加 tangent 的 贝塔除以一，减去 tangent 的 r 乘以 tangent 的 贝塔。这是两根之合，这是两根之积。我可以直接用伟大定律做出来。 首先，两根之合是负，它分之，它是三，两根之积是它分之，它是二。所以答案蹦出来，负三 下一一五年上海高考，他说给我了三个方程啊，这个方程 a 一 不知道，这个方程 a 二不知道，这个方程 a 三不知道，但是都是一元二次方程。然后 a a 二 a 三是正的实数。要说当 a a 二 a 三乘等比数列的时候，下面哪一个能推出方程三无实根？ 什么叫方乘三？五十根，意味着它的的就小于零的是它方减四倍的它乘它。比如 a 三平方减十六小于零，也就是 a 三方小于十六。 我想知道 a 三怎么样，我要先知道 a 一 二怎么样， a 一 二三有关系吗？当题目说连续三项是等比数列的时候，那那式子还记得不？等比中项简单复习一下啊。有的题目说 abc 三项啊，连续的是等差，你列的式子是二 b 中间那项等于 a 加 c， 如果说连续三项是等比以数列，那么 b 方等于 a 乘 c， 所以 这道题目呢？ a 二的平方等于 a 一 乘以三。那我刚才刚得到，我想推出来， a 三平方小于十六，我只要 谁是 a 三，把 a 一 除过去，不就是 a 三吗？ a 一 分之 a 二方就是 a 三。现在说 a 三的平方啊，就是它的平方要小于十六，也就是 a 一 方 a 二的四次幂小于十六。 哪有这 a 一 二多少多少次幂呢？咱看选项给你提示了啊。说人说一二，谁有十根，谁没有十根，有没有十根，我要看这俩方程的 d 方减四，我记为 d 一， 第二个方程等于二， a 二减四倍，它是它 a 二减八，但我想让它大于零还是小于零，这考察的是这不等号的方向。你最后想推出来的是这个式子， 意味着你得把原有的你已知的这个量啊，往大了去变，怎么往大变？我分子分母肯定分别来看，分子得变大，分母反过来得变小。 分母变大，我意味着我怎么变大呀？它得小于谁才变大？这 a 一 方显变小，我列的不等式应该是 a 一 方大于谁，这不才给它变小了嘛。 所以不等号的方向出现了， a 一 相关的要大于谁，所以我令它一大于零，我试一下。 a 二相关，你要小于谁？所以我让 a 二相关这个东西小于谁？我令它小于零，试一下， 大概率是这样的啊，没错，简单一验证， a 一 方呢是大于四，这个 a 二方呢是小于八，那他得四次密就小于八，八六十四， oh my god， 六十四除以四，真的正好是十六，是不是说明什么？说明在我词种嘚的一嘚的二大于零小于零的情况下，我这式子就成立了呗。 所以方程一大于零有根，呃，但是二小于零，无根选 b。 这是我们今天二次函数的第一种题型，画图和表达定律都是初中知识，接下来我们来看第二种题型，二次函数和根的分布问题。先用两道选择必刷一百奖的基础题目，让大家热热身啊！ 二次函数的根的分布呢？一般有两种方法。第一个，这里面不是有参数吗？哎，你就去想这个带着参数的这个图怎么画，画图的方法，或者有的时候这个参数形式比较单一的话，你可以分离参数来做，分离完一般变成一个分式函数。 但显然有的时候你像第一题这 m 和 m 方，你这就没有办法分离函数。所以今天呢，我们重点讲画图的方法，它是万能的。第一题是一个开口向上的二次函数，它在这两个区域内各有一个数根，零一二一点点两根，然后你开口还向上，那不傻子都会画吗？ 然后你就看图说话，我们对这 m 有 什么要求，能让这个图形长这样呢？算零数函数值你得大于零吧，一数函数得小于零吧，二数函数值也得大于零吧。所以对于这道题来说，这三不等式一列结束了， 不信你看啊，我反着来想也一样，零一二一个二次函数，开口向上的想经过大于零，小于零，大于零这三点的话，你，你说这图咋画？ 这不肯定，零一之内有一个根，然后转上去，一二之内再有一个根嘛。所以这仨不等式，哎，零一二往里那么一带得到三个 m 的 一元二次不等式，分别长这样的，解完取个交集， m 的 取出范围是零到四分之一。再来一题， 现在变成，呃，我在一到正无穷上有两个不相等的数根，那我还是能画图是吧？这是一俩根呢，我画在这，然后怎么办？ 我完这题照上一个是有难度的，因为这题的开口不确定，哎，咱可能是这么划，也可能往下划， 所以这时候笨宝贝一下就要开始分类讨论啦。那你先别着急，这 a 的 位置呢？这有 a， 这有 a， 但是这个位置没 a， 这个位置没有 a， 意味着这数是固定的，是四，它是我跟 y 轴的拮据，对不对？ y 轴我没画啊，大约在这呢。我第一种情况，你跟 y 轴截距确实是正的，但是第二种情况，你 y 轴截距是负的，显然不符合题，你根本就不用讨论它。 a， 你 算完必须得大于， 然后开口确定了。那我为了把这个图形画成这样，我还要列什么不等式呢？画图四步走，开口对称轴 d， 它还有 c。 第一步开口，你已经确定完了，我要看对称轴了， 你自己看你这图长这样的，对称轴在哪？肯定得在我这个临界点一的右边吧。所以不等式负二它分之，它比一大。 哎，能取等不？能不能试一试？如果真取等了，你这个函数你画成这样，你这俩根呢？你肯定是一个比一大，一个比一小，不可能两个都比一大，所以不能取。等 对称轴看完了，下一个看什么看 der 它，因为你光满足这两个条件还不够哎。比如你看这图像，现在我还是开口向上对称轴还是比 e 大， 但是我，我连根都没有，你为了保证它真的有俩根的话， der 它要大于零 der 的是 b 方减四， a， c 也是它减十六， a 大 于零。好，做到这呢，我要问问题了，我现在列了三个不等式，够不够？还需不需要列别的啊？给大家五秒钟思考时间， 原则上来说不够画图几步走，大哥，是四步走。开口对称轴的时候啊。那我就看这个特殊点是跟 y 轴的交点在哪？但是如果有定域的限制， 定义域的端点值本身就是一个特殊点，它是正是负，你需要列，因为什么？我给大家举一个反例，如果我把图画成这样，满不满足？所谓的好开口向上对称轴大于一，而且 der 大 于零，但是它符合题一吗？不符合题一， 所以为了把这种情况排除掉，我需要列一个，让一处的函数值得在上面，不能跑下边去，所以把一带进去啊。我比如说它是 f x f 一 得大于零， 但这道题呢？你没列这个也没事，因为你如果把 f 一 算出来的话， a 减 a 减二加四，哎呦，是二二，天然比零大，所以你列不列它无所谓，但如果换一道题，你就得好好列出来了。那来解一下各个不等式，非常好解啊。 a 大 于零，移过去二， a 小 于 a 加二， a 小 于二，这完全平方是展开 a 方加四 a， 然后后面还减十六 a， 那 就减十二， a 加四大于零，这一看没法因子分解，我就求根公式。 根是二 a 分 之负 b 加减根号下 b 方减 c， c 就是 一百四十四，减十六是一百二十八， 哎，够恶心。一百二十八是四乘三十二，哎，也就是，哎，六十四乘以二， 所以这个数能开出来六十四是吧。八倍根号二，剩下除以二六加减四倍。根号二取什么范围？我来画图，我来画这个二次函数图像俩根一左一右的啊，都是这个值大于零， 你要么小于左边的根，要么大于右边的根，根号二十一点四一四。呃，乘以四的话，大约是五点多，六加减五点多，这个呢，是零点几的数， 同时别忘了你 a a 比二小啊，你这个根显然这个范围是超过二的，所以这边我不要了，我只要左边 a 比这个零点几的数要小，同时还得大于零作为答案。 以上举了两道不同的根的分布，那有的同学比较疑惑啊，哎呀，都是根的分布，我怎么列的不等式的，这个思路不一样呢？第一题，我只需要列啊，他这几个三个特殊点的函数值大于零，小于零，大于零就行了。第二题， 我又算了，对称轴啊，又去列了的，怎么这么复杂呀，我到底什么时候用第一个方法，什么时候用第二个滑动方法？ 哈，这问题呢，我在二零二三年八月十号那视频或者大家直接主页搜根的分布就好了，我给大家介绍过一个规律啊，我直接把结论告诉大家， 所谓根的分布，就是人家题目中告诉你根在哪个区间里，让你求三入取之范围是不是那任何一个区间拿出来，他一定是，哎，至少有一个端点的，对吧？比如说这个端点是零 一一二，呃，这个区间端点呢？是一。我们的规律是，如果你发现人题目说的两个根之间啊，两根之间存在端点值的话，那么这种题就比较简单，你直接列端点的正负就好了。但是 如果题目的图形你一画完，两根之间有这端点值一吗？一在一，一不在里面，在外面呢。这时候就比较复杂，你要用二次函数画图的思路，第一步，开口，第二步，对称轴，第三步， derta， 第四步，这个端点函数值去看。 这是我给大家总结的规律。那如果有宝贝特别想再复习一下根的分布，去这个视频，从头再学去这一轮复习视频，我给大家进进阶。有时候咱根的分布可以跟不等式结合，结合 已知 a、 b、 c 都是正整数，这条件很很重要啊，有的同学看不到是正的，而且是整数。那这个方程呢？两个根， x c x 绝对值小于一， x 二绝对值小于一。问我 a 加 b 加 c 的 最小值是多少？ 哎，你第一开始看起来好像人畜无害的啊，这是一个根的分布问题。好，那我现在给大家翻译条件了，这 x 一 小于一，我翻译成第一个根，在正负一之间， x 二绝对是小于。我翻译成 x 二大于负，一小于一。 哦，那合并一下，就意味着写成一句话，这二次方程在负一到一这区间内有两个不同根。给大家五秒钟时间，告诉我这么写对不对？有没有什么纰漏？ 这根的分布啊，在这啊，你单独去看它。这句话确实没有错，但是人家题目第一开始说了， a b， c 是 正整数， a b c， 什么？ a， b， c 是 二次函数，这个系数二次方程根和系数是有关系的，两根之合，两根之积，我都列出来， 那你 abc 都正值，那这个就是负的，下边就是正的俩根。成绩是正值，说明他俩是同号的你，你俩相加又是负的，说明一定不是正加正，只能是负加负， 所以这里面的绝对值特别损啊。他俩本身是里面的值是负值，并不是在正负一内有俩根，而是负一到零内有俩根。这个翻译才没错， 好坏呦。然后就用常规的画图法来做呗。两个端点值，呃，负一到零，开口得向上， a 不是 正数吗？好嘞，那然后我们四步走，分别是开口对称轴， d， 它还有对应的特殊点， 开口不用列，开口大于零，这对称轴肯定是在负一到零内的。列出来第二步， d 它 b 方减 c， c 小 于零，不可以得大于零。 最后你光满足这俩还不行，我们还有那个叫特殊点，对吧？这道题谁是特殊点？端点值一定是特殊点，因为你看这个负一和零处，函数值是不得大于零啊。 因为你一旦把图比如说画成这样，开口我也向上对准着，我也在这嘚瑟，我也大于零，但是我把腿劈的太开就不行，这俩根跑负一到零之外了，我得把这种情况给它去掉。所以这两点函数值带进去大于零才行。 负一带进去， a 减 b 加 c 大 于零，零再带进去 c， 呃，大于零，哎， c 肯定是大于零的 c 正整数。所以呢，最后一个可列可不列，我就光看这三个。第一 个，我先化简啊，两边我同时乘以负二 a 啊，二 a 是 正的，负二 a 是 负的，所以它乘负二 a， 它也乘负二 a， 我 就得到 b 的 取值范围了， b 要大于零，小于二 a。 最后我们要求 a 加 b 加 c 啊，三个正整数相加的最小值。这求法过程是比较困难的。为什么？因为我们已知的三个条件都是不等式，我们要由不等式啊推出来一个式子的最小值很麻烦， 咱得结合这三个式子的一些特点去分析，这需要我们一起来动动脑子，那我们先来写一写吧。这第二个式子，呃， b 方，呃，这移过去大于四 a、 c 两边开根号的话，那应该是 b 大 于二倍根号 a、 c。 再下一个，因为每一个式子我发现它都有 b， 是 吧？那我就以 b 为中心，那我把 b 移过来， b 小 于 a 加 c。 好， 那么现在这三个式子要在 a、 b、 c 同时是正整数的时候，还得同时成立。 what can i do？ 这题几个变量啊宝贝们？ a、 b、 c 是 三个变量。多元问题，我们最大最重要的思想就是消元，但是 题目里面没有等式让你消元，这都是不等式，所以不等式咱能怎么消？多个不等式？哎，中间咱都已经呃化成 b 了，他想同时成立的话，你 b 比它大，那 b 呢？还比这个小，哎，比这个小。所以有的聪明宝贝想到了 你想让 b 存在的话，比 b 大 的这俩数是不是都得比这个小的数要大才行？要不然把 b 逼死了，没有 b 是 不是？所以 b 想存在二， a 大 于它， a 加 c 大 于它。 聪明宝贝应该是能想到这了吧。那我就从这开始讲第一个式子，那明显二二约掉两边平方一下，我能得到。呃，这个 a 是 大于 c 的 好， a 比 c 的 这个，这个第二个式子，两式的和大于等于二倍量成。哎，这怎么挺像基本不等式的呢，它就大于等于。这个好像蛮成立的啊。我暂时也先不管它， 这地方我三个正值相差最小值，那我就肯定是往小了想是不是？哎，说实话，这目前我真没招了啊。大家放心，新高考你没招的时候多得很，不会你也得动笔试，动笔作。比如说，我就往小了想，我就让 c 等于一，我试试看，试试总不要钱，我看看能怎么的。 此时这三个式子变成 b， 呃，比这个二倍根号 a 要大， b 二， a 要小，这俩式子五合并成一个了啊。然后第三个 b 呢，还得比， a 加 c 是 一，二， a 加一还得小。 最下面的问题是，我 b 和 a 分 别取几啊？我要找到一个合适的 a 值，使得这两个式子同时成立，而且那个 b 呢，中间还得还得是有整数的，我花个数都试一试， b 比这个大， 比这小，我看看 a 取几的时候，这俩端点之内能有 b 这个整数。哼，最小值我还是从小了开始取，比如说 a 是 比 c 大 的，刚才说了，所以，所以 a 不 用取一 a， 咱从二开始取 a 取二的时候我看看二倍根号二和三之内有整数吗？ 这二点八，这三中间没有整数对不对？所以 a 取不了二， a 取三到四之内没有整数，取不了三取四， 二倍根号四就是四。呃，四加一是五，四和五之内有整数没？没有，你找不到这样的 b 对 不对？所以，所以就没办法了，继续往上取。 h 五二倍，根号五和六之间有没有整数？二倍根号五是多少？是根号下二十？回答我，有没有六是根号下三十，这里面肯定是有个完全平方数，是不是根号下二十五啊？所以此时我找到了一个 b 的 值，合适嘞？它是五， 往后还用再看过？比如说我 h 再再取六，再取七。没必要，因为你随着 a 变大了， b 一定也随着变大。你要求啥？你要求的是最小值，此时就是 c 等于的时候的最小值。 c 是 一， a 是 五， b 也是，那一加五加五，呃，就是十一考试。你如果没有太细想的话，那，那你就蒙十一。那你如果再细想细想啊， 我现在算的指是啥？我现在指是让令 c 取一的时候，它的一个最小值， c 能不能有可能是 c 比一大一点， c 取二取三，然后结果呢？呃， a 加 b 加 c， 反而呢比十一还小，这是有可能的啊。 那我严谨做题的话，呃，我还得证明一下，当 c 从二开始取 c 大 于等于二的时候，会发生什么事？我的思路呢，还是一样的，我先用 c 的 值推 a 的 值，然后再用 a 的 值去夹 b 的 值， a， c 从二开始取，那 a 从几开始？ a 比 c 大， 刚才推出来的是吧？我 a 肯定。呃，至少从三开始取，那我 a 大 等于三， c 大 等于二， a， c 在 哪呢？这有 a？ c 是 不是？这比三大，这比二大，那整体它就一定大于二倍根号六，所以 b 一定比二倍根号六要大。 那我还是仿照刚才的一样啊，我画数轴，二倍根号六在哪？他是根号下四六，二十四。呃，根号二十五是五岁，这个值应该是四点几的一个数，那 b 比这个四点多的值要大还是整数？ b 最小得是五，对不对？哎， b 大 于等于五。 好，那现在我看似把 a、 b、 c 的 最小值都算出来了，然后 a 加 b 加 c， 有 的宝宝一看，哎呦， a 加 b 加 c， 二加三加五是十，比这十一还小嘞。哎，你别急啊，这，这不等式咱还没用呢。现在 b 最小是五的情况下， b、 b、 a 加 c 是 小的， a 加 c 肯定是一个整数 对不对？那比五大的整数是谁？最小是六，因此，此时你无论怎么推，你 a 加 b 加 c 加起来大于等于五加六还是十一， 所以分两方面讨论。 c 等于一的时候，我发现最小值是十一啊， c 大 于二的时候，我发现最小值你最小也就取到十一，所以十一就是最后答案。 这道由不等式推不等式的题目就让我连蒙带猜的做出来了，但是严谨不？非常严谨，你得敢上手敢试才能做的出来。 好了，这是我们今天的第二部分内容啊，有关二次函数的根的分布，我们接下来看第三种题型，跟二次函数值域相关的这类题呢，出难的也也可以很难。 已知不等式，这是一个不等式组啊，中间是一个二次函数，它比 a 大， 比 b 小。 解集呢？哎，正好也是。呃， a 到 b 问 a 加 b 的 值是多少， 这就涉及到你这不等式，你怎么去看它的问题啊？有同学直接啊把这 a 移过去，然后 b 移过去呢，看成两个不等式，你去解了，这你百分之百解不出来。 这题我怎么看？这上下界是 a b， 你 解完的解还是 a b？ a b a b， 你 不要动，你别搁那一项，一来一去的你就做不出来了。我就光看中间这一点， 中间这里面没参数 a b 对 不对？所以它的图像一定是可以确定的，它是一个开口向上的二次函数， 左右对称的，这有一个对称轴，然后你看啊，我现在呢，什么叫大于等于 a， 小 于等于 b 啊，不就这二次函数的函数值在 a b 之间吗？所以我用两条水平直线去截啊，截出来两个啊，大于等于 a， 小 于等于 b， 你 做着做着，试着试着发现， 哎，你要是这么截截中间这段，截出来几段，我脚趾头也能看出来是一二两段， 那两段对应的 x 坐标一定是两个部分，不可能是这一个区间，对吧？大哥，你是一个区间，怎么样能是一个区间？我这最下限得往下移，在这个区间范围内把这一段截出来了。 哎，这么画我对应的 x 坐标，把 x 轴画出来啊，这不才能最小值是 a， 呃，最大值是 b 吗？好聪明，宝贝，已经做完了， a 和 b 分 别，你需要去求是多少吗？哎，有同学还，哎，你把 b 啊带进去这函数值啊。呃，这个让它等于 b， 你 还用跟它求呢？ 人家让问你， a 加 b， a 加 b 是 什么？是二倍的中心坐标，二次函数，左右对称的，你这个轴只跟这个函数有关，是谁啊？负二，它分之，它算完是二，那你这俩点横坐标加起来就是二倍的，二就是四， 完成任务很巧妙啊，你需要画图去理解。嘿嘿嘿，这题没想的太好的同学，下一道题啊，你继续想，继续动脑。浙江模拟。呃，这个函数长这样的，他对一切 x 属于正负一内都有 f x 绝对值小于等于一。 问我现在截啊正负二之内的区域的时候， f x 最大值是多少了？哎，这题你要是不画图，你咣咣的用手去算，来吧，过程长，这样你要是能做出来，牛死了。你正常做的话，你会用到我们未来要给大家讲的绝对值的一些不等式才能做对。那能不能另辟蹊径，做俩字画图。 现在啊，画一个平面直角坐标系，他说在 x 正负一范围内，函数值绝对值，哎，总是比一小的，所以呢，最大不会超过一，他最小函数值不会超过负一，相当于我两条一正一负的水平直线，正负一把这函数控制住了， 不能太离谱哈，那我把 x 值范围正负一也画出来，那这里面函数长的样子，我只要在这范围内就行。那可以，我这个稍微平缓一点画。 我也可以呢，稍微稍微拱一点化是吧，甚至我对肾轴有可能跑出去啊。我这边的长这样的也在正负一外内就 ok， 这长的样子太多了。那问我什么？问我在正负二的时候，我区间想扩大到这个地方，问我这 f x 新的最大值是多少， 这次你蒙也得给我蒙出来啊。你就想，对于一个给定的 x 范围的一个二次函数，我怎么样能让他的这个函数值最大值变大呢？ 我求最大值，我肯定想这个函数增长越快，他不就越大吗？相对来说，所以我这个小口口开的越小越好。这范围内，呃，咣当增上去了，对不对？越小我增长的反而其实是相对来说增长率越高。 就我回过来画二次函数图像的时候，我尽可能的让这个开口，啊，紧一点。你要是随意的这么一画开口啊，这个显然比较张开，我要紧，越紧越好，越小越好。那么这个样子就顶在这个地方， 上顶天，下顶地，左顶左右顶右，你不可能找到一个比我这个再紧的了， 哎，那有同学说，哎，我可以再紧一点，你这画的不好啊，哎，我可以这样画呀。这这这不更紧了吗？你傻呀，人家现在是正负一之内的范围，你要这么画的话，你二三十还没画完呢。你是长这样了？你长这样的话，你正负一的这个范围咣当上去了，超过我要的这个范围了。 最红色这个例子就是开口最紧，使得在一到二内增长是最迅速的一个函数了，不可能再迅速了，蹭蹭往上增，才能使得正负二内的曲值是最大的。 因此我只需要把此时的这个二次函数的解析式稍微求一下初中知识啊，经过这点是谁啊？零负一，这是一一，这是负一一。哎，当然，因为我这个对称轴就是 y 轴本身，所以我直接设的话，我就设 y 等于 ax 方，再加加几啊，这是负一， ax 方减一， 所以想经过一一点带进去，一等于 a 减一， a 是 二，那函数是 y 等于二， x 方减一，它在这个区域的最大值，把二带进去，二乘二的平方减一 等于七，和刚才哐哐算的答案一样。所以这道题你更多的是干嘛呢？是感受，通过画图呢？你去理解这个事，你真的代数去做太麻烦了，不建议大家考场那么做。
5.0万一数儿（直播答疑版）
01:49查看AI文稿AI文稿抛物线和 x 轴只有一个公共点，就是方程只有一个根，绝大多数考生都漏看了。前提条件，一上考场就踩坑。今天用动态动画完整推演判别式的几何意义，搞懂底层原理，再也不用死记硬背。 二次函数与一元二次方程是一枚硬币的两面，方程的十根，就是抛物线与 x 轴公共点的横坐标。 随着抛物线从下往上缓慢移动，与 x 轴有两个交点时，对应方程有两个不相等时，根判别是大于零。继续上移，两个交点合并在一起就是镶嵌。此时方程有两个相等时，根判别是等于零，这就是分界点。 再往上移，抛物线与 x 轴没有公共点，方程无实根，判别式小于零，即便改变开口方向，判断规律仍然成立。 第一大坑判别式只适用于一元二次方程，二次项系数 a 不 能等于零，退化成一次函数时，判别式就失效了。第二大坑有公共点，包含相切的情况，所以是 delta 大 于等于零，不是只看大于零。 第三大坑，在限定区间内讨论焦点，不能只看顶点位置，必须看区间端点的函数值。分类讨论 大于零，两焦点小于零，无焦点等于零，是切点 二次前提。记心间，点赞收藏，赴习无忧！
43聚像化
