有限数列有极限吗

今天我们说一个又简单又复杂的事，数列极限的定义是什么意思？如果不管这一大堆，我就直观的理解数列极限的话，也就是当这个项数第一项、第二项、第三项、第 n 项到无形多项的时候，这个数列会趋近于什么？我写两个简单的，你应该很容易就能看出来， 但是这一大堆字母看起来就很复杂了。在理解这一坨之前，我们要明确一个事，那就是极限的核心就在于要无限的逼近而不能到达， 而这一坨字母要做的就是表示出如何无限的逼近而不能到达。那我们先来认识符号，这个倒置的 a 呢，就表示全部，也就是说在这个范围内啊， 每一个都行，那才是行。而倒着的这个 e 呢，就表示存在，也就是存在一个行，那就行了。我们先看最后这个式子，这个大 a 呢，就是我最终会 得到的这个数列的极限，这个数列会逼近于 a 啊，那我用 x n 减去这个 a， 会得到他们两个的差值，那两个数啊，差值越小，说明越接近，对吧？那有多接近呢？就看这个一部戏弄的值了，我讨厌习大字母，所以把它换成大黄豆啊。 我们现在呢，取一个超简单的数列啊，比如 x n 等于二 n 分之一，很容易判断啊，这个数列是趋近于零的，对吧？ 越来越小，所以说大 a 呢，这个极限就是零。好，我们回头看第一句话，对于任意的大于零的大黄豆取值都有这个。第四句话，那我们先取两个看看，取一个三分之一，再取一个七分之一， 那当取到三分之一的时候，代入发现，哎，不就是这个 x n 小于三分之一吗？那我们对照一下表格，它是从第几项开始小于三分之一的呢？哦，是从第二 第二项开始。我们开篇第二三句话里面的那个大恩就表示正整数，意思是从这个第大恩加一项开始啊，后面的所有项运算起来都符合这个小于号。这个第四句话，那如果把大黄豆的取值改成七分之一呢？那就是从第四项开始呗，后面的都符合这个条件。 例子如果能看懂的话，我们把它放在图像里面就一目了然。横轴是象数，纵轴是象的值，我们把它连起来看啊， 我取的三分之一和七分之一呢，其实分别是两个范围，因为是绝对值嘛，它是大于零的，对吧？我们函数的一部分会藏在这个范围里面， 从哪开始藏的？从大恩开始，这个范围不断缩小的话，大恩是不是也要跟着又一样，如果大黄豆的曲直慢慢到无穷小，而相应的呢？这个大恩就要到无穷大了 吧。你会看到，随着范围越来越小，图像会越来越逼近我们知道的极限零。听到这你可能觉得，哎，这不是颠倒了吗？因为我们是从已经知道结果的角度去给大家讲，这个是什么意思？ 如果不知道，正着讲的话，极限是逼近而不能到达。反复强调，我说我找到了一个正整数大恩，从这个大恩像开始的，后面的所有像都特别接近某个数值，证据就是 从这开始做差的，差值很小，那另一个人就反对了呀，这个差值是最小的吗？不一定吧，我还能找到更大的大恩，使这个差值更小，也就是更接近了。如果我总能找到更大的大恩， 那不就是趋向于无穷吗？那如果随着大恩增大的无穷大，我们的函数值或者说第 n 项与某个数值的误差达到了无穷小，我们不就 就可以说这个数列是趋近于这个某个值吗？对吧？体现出一个动态的过程。 这就是如何解释一个严格的数学定义。说实话他对萌新是很不友好的，我还是建议在入门阶段用那种大白话就能解释的道理来理解会比较好。有的人总说，哎，你这个科普不严谨啊。说的好像全世界只有他一个人知道数学很严谨的样。好，记得关注。

一、二分之一，三分之一，四分之一，五分之一，六分之一。 d n 位的时候就是 n 分之一是吧？等等等等等等。无线往后放， 你越往后放，位置越大，分母就越大呀，分母越大，这个倒数是不是就越来越趋向于零啊， 他会越来越接近于零，越来越接近于零。所以这个时候呢，我们就说这个数列有极限，极限是啊，零。这样一来我们就知道了啊，你这个数列最终的变化特征是跑到零那个地方去了对吧？哎，就是这么一个含义。 那么这个数的变化是根据什么来变的呢？刚才我说过，每一个数放完了以后就是固定不变的了吧。 这个数怎么看起来他是在变呢？是因为位置不同，数不同吧。所以这个数列极限的表示形式就是对于 xn 这个数列的项来说，当位置 n 无限增加的时候， n 无限增加，也就是位置无限靠后的时候吧，这个位置上的数逐渐趋向于一个长数 a 啊。当然这个地方呢，就叫做就是趋向于零的是吧？啊，就产生了这么一种符号， n 趋向于无穷， x， n 极限为零啊。这个 n 趋向无穷指的是排列的，为此无限增加的时候，对应位置上的这个数的大小会和零越来越近。能听懂吧，就是这么一个含义。

同学们大家好，今天我们来学习数列的极限。简单的说，若数列无限的趋向于某一时数，则该确定的时数称为此数列的极限。 比如这里数列 an 不断的靠近实数 l， 则其极限为 l。 如何将这个想法严格化呢？下面我们来看个例子。设数列 an 等于负一的 n， 次方除以 n， 根据这个通向，我们可以很容易的计算出， n 为一时， a， n 为负一， n 为二时， a， n 为二分之一， n 为三十， a n 为负三分之一， n 为四十， a， n 为四分之一，等等等等。下面以 n 为横坐标， a n 为重坐标，建立坐标系， 将数组里的像表示在坐标系中。从图像上我们可以看到，随着 n 增大，数列在不断的靠近横着的那条坐标轴，可以猜测数列的极限为零。 究竟是不是这样呢？我们来听听这两个同学的讨论。从图像上看，随着 n 增大， a n 在不断靠近零，可以遇见，最终 a n 会无限的接近零，也就是其极限为零， 无限接近接近到零点六，可以吗？当然可以，我们以零为中心，二倍零点六为高，做出一个绿色的矩形区域， 显然落在这个绿色矩形区域内的点与零的距离都是小于零点六的。这里可以看到，除了第一个点，其他点都落在区域内，这说明 从第二个点开始，所有的点与零的距离都小于零点六。嗯，看来零点六是可以的，那零点三可以吗？当然也是可以的， 我们只需要将高度缩小为二倍零点三，这样绿色区域内的点与零的距离就都是小于零点三的了。 可以看到，此时虽然第二个点和第三个点落到了区域外，但是从第四个点开始，其他的点仍然在区域内，说明从第四个点开始，所有点与零的距离都是小于零点三的。 嗯，看来零点三也是可以的。那零点二，零点一都可以吗？可以的，无论你给出多小的距离，我都可以告诉你从哪一项开始能满足要 要求。也就是说，数列与零的距离可以是任意小，其极限回零。 在刚刚这段对话中，右边这个同学在不断的质疑，而左边这个同学在不断的求证。通过这不断的质疑与求证，我们最终确定了这个数列的极限为零。 确定是确定了，但是要精确表达还不容易，下面我们来看看数学家给出的定义。 设 an 为一数列，既然是定义数列的极限，当然要给出数列，将他们表示在坐标系中，就是这些蓝点， 如果存在时速 l， 这里的如果代表猜测，有可能是他，也有可能是他，不过这里最有可能 的还是他，因为随着 n 增大，数列与这条直线的距离在不断的减小， 然后假设这条直线是 l， 则 l 就是我们猜测的数列极限。 既然是猜测，那么就需要验证，下面这几句话就是在验证。首先来看这最后一句， a n 减 l 的绝对值表示的是数列与 l 之间的距离 要小于 excel， 就是以 l 为中心，二倍 excel 为高，做出一个矩形区域， 显然落在这个区域内的点都满足 an 减压的绝对值小于 epc 了。这里除了第一个点，其他点都落在了绿色区域内，那么这里只需要选择大 n 等于一就能满足对所有的 n 大于大 n， 有 a n 减 a 二的绝对值小于 ebcylon。 不过我们要注意，定义里还有一句话，就是不论他多小，意思是 ebcylon 不管有多小，都需要存在这个大 n。 比如这里将 excel 缩小后，我们可以将 n 取到这个位置， 这时依然有小恩。大于大恩时， a n 与 l 的距离都小于 yipseilon， 也就是落在绿色区域内。满足了这些条件，我们就验证出 l 是数列的极限，它的数学表达是就是这个式子， 这就是数学家们给出的数列极限的定义。

大家好，我是教书匠啊。这节课我们继续来讲高等数学的。第二讲极限，主要是数列极限啊，后边还会讲这个函数的极限。什么是极限呢？首先我们来介绍一下古人是怎样通过极限的这样一个思维，最终得出来这个派的 假设有一个圆。这样啊，先做圆的内结正六边形，这个是好做的，然后面积呢，我们把这个内结正六边形的面积计为 a 一，然后再做圆内结的正十二边形，然后计为 a 二，一直做这个正二十四边形，计为 a 三。 那么一般的，我们把圆内结正六乘二的 n 次方减一边形，它的面积呢，即为 a n， 然后这样的话，就可以得到这个圆内结正多边形了。 当你这个圆那些正多边形的边数趋近于无线的时候，实际上就相当于一个圆了，这就是极限的思维，最终是可以帮助我们算出这个派的。但历史上真正流回发 发明的那个鸽元素跟这个不太一样啊，人家是计算什么的呀，人家是计算这个内界多变形和外界多变形都要算的啊，用这样一个中间夹的方法得出来这个派的。那么来看了， 显然当这个恩越大的时候，这个内阶正多边形呢，他就越接近圆，他的面积啊，就越接近于这个真正的圆的面积，就越精确了。 那么刘和用个人数的话，他是计算到哪？计算到了元内阶正多少正一百九十二边形啊，然后得到这个派呢？约等于三点一四，这个当然不是很精确了，从哪开始啊？从这个小数点后第四，嗯，第四位开始就不是很精确了， 但是呢，后来祖宗之，南北朝时候啊，南北朝时，后来呢，过了一二百年吧，这个祖宗之呢，计算到，计算到多少？计算到元内皆正，这是多少？两万四千五百七十六遍 行，也就是 n 等于十三的时候，你带一下这个通识啊，六乘二的十三减一次方，最后得出来应该是两万四千五百七十九变形。这个真的太有耐力了，肯定是付出了一番艰苦卓绝的努力才算出来的。 当 n 等于十三的时候，我们发现，这个他算出来这个派已经非常接近这个精确值了。历史书上也写了呀，祖冲之啊，他算出来的派呢，也叫祖绿，也叫蜜绿。最终呢，他是约等于这三点，他是在三点一四一五九二六和三点一四一五九二七之间的，是吧？ 显然，当这个 n 趋于无穷，也就是这个圆，那些正度边形趋于无穷的时候啊，我们能够得到这个精确的派，这个其实就是数列的极限。现在你应该直观上对数列极限有这样一个理解了吧。那用标准的数学语言来表示极限是怎么来定义的呢？来看啊，标准的数学语言是这样定义的， 我们定义啊，这个啊， s， n， 他是一个数列，嗯，然后若存在一个常数 a， 对于任何一个正数啊，无论这个正数，这个怎么读呢？ emx 得二的啊， emc， 这个读个 emc， 对于任何一个正数， emc 总存在正整数 n， 当这个下标，这个小 n 是下标啊，这个大 n 是我们取的某一个正整数，知道吧？当这个小 n 大于大 n 的时候，不等于是 x 减去 a， 然后小于 em 九，大家还知道这个绝对值得几个亿是什么吗？ 说啊，这绝对值几何意义？比如说竖折上两个数字 a 和 b， 当然左右调换这个 a b 的顺序也一样啊，他们呢，就代表 a 减 b 这样一个绝对值了，竖折上两个数字之间的距离就代表绝对值啊，原来绝对值是这样一个含义啊，那其实又代表什么呢？代表你看右边这个 m 秀这个正数无论多 多么小，我这个 xn 和最终取到的这样一个常说 a， 他的距离呢，可以无限的接近于零，是不是无限的接近于零？当这个小 n 下标达到一定程度的时候，应该能理解这个意思啊，都成立，那么此时我们就成常说 a 为数列 xn 的这样一个极限了。 或者呢，我们就称竖列 x 是收敛的，收敛于长竖 a， 那么也可以这样来记，这个是专门的极限的定义啊， mimt， 这这个 lr m 啊，这个是 mimt mimt， 大家应该知道是哪个单词吧， 记下这样一个单词啊，然后这个是取的下标，当这个 n 区进行无穷的时候，这样一个数列就可以一直逼近于 a 了，就这个意思，当然也可以继承后边这样一种记法啊，主要是用左边这样一种记法，你发现了，原来中间这个位置，人家就是等于号，就是严格的等于号啊。来看吧， 拿一个图画一个竖轴来理解的话，我们看一下这个 a 呢，假如说这个 x 三这样一个数列啊，是存在这个极限 a 的，刚刚我不是介绍了吗？绝对值得几和一，那你说绝对值，这个 x 减去他代表什么呀？不就代表距离吗？这就代表 x 减去 a， 他的距离等于这个英雄的时候。但是左边的话，你向左不也有个距离吗？ x 减去 a 这样一个距离等于一米九的时候，左右两边都有，那左右两边加起来不就是两个一米九吗？对吧？那什么意思啊？当你这个下标大于 n 的时候， n 加一， 零加二， n 加三，他都永远是在这样一个范围里头的。也就是说，当这个下标 n 足够大的时候，我这个 xn 最后这样一个数列的取值，他永远被夹在这样一个非常小的范围内。一定要注意，是任何一个正数，当这个音响特别特别小的时候，可以小到这种程度，还可以继续小下去， 所以我们最终呢，就可以逼近于这样的极限了，应该理解了吧。那好，继续来看。如果说我们不存在这样的场所， a 的话，就说数列呢？他没有极限，或者说这个数列是发散的，是吧？如果说数列有极限就叫收敛，如果没有极限就叫发散，只能记住就行了。也可以说利用他 xn 呢？不存在啊。 嗯，显然祖冲制啊，通过流或者隔元数球派的近似值，他不就相当于我们理想什么？这个 a n 代表什么来着？代表正六乘二的 n 减一次方边形，他的面积啊，是不是？好好好，那我知道了， 那你想一想啊，当这个圆的半径他等于一的时候，他的那些正度边形的面积，当这个那些正度边形的边长取景于正无穷的时候，最后求出来面积不就正好等于派吗？这个呢，还是要注意，他就是等于号，那形象理解的 的话，你可以理解为包子里头他的馅啊，取决于零了，那这个包子就不再是包子，那最终就变成馒头了。这个不就是极限很好的一种理解方式吗？直观上的理解啊。 学完了数列极限的定义之后啊，接下来我们证明两极限。现在我们先来看这个第二题，再来看第一题哈，这个第二题的话简单一些，第一题就比较难了，我们来看第二题。第二题的话，你想要根据数列的定义，数列极限的定义呢？ 他最终肯定会涉及到这样一个二 n 加一，三 n 加一，减去二分之三小于英雄。 那么我们还是要计算一下，这个计算完了之后的话，这个绝对号里头我们通分一下吗？很容易得到这样一个结果，那通分之后得到这个结果，那绝对好吗？绝对好的话就变成了正义了，变成这个样子了，那再继续啊，他肯定是小于什么？当这个分母你再变小一点吗？分母变小，整个分数不就变大了吗？他肯定是 小于这个恩分之一的。这个不用多说，这个放松非常简单。那最终的话，你想一下，我们最终要取的是小于啊，原来这个英雄跟这样的这个谁啊？恩分之一有关系啊？ 那我们要使得，使得谁使得这个二 n 加一，三 n 加，其实实际上就是 xn 减去那样的极限，二分之三小于英雄，我们只需要取什么？我， 我们其实只需要取这样的 n 分之一，小于一米九，也就是 n 大于啊，一米九分之一就可以了，这个理解吧，所以说，于是呢，我们就可以这样来写数列计算的定义了啊，对于任意的正数，一米九大于零， 然后你取这个 n 的时候要怎么取啊？我们取这个 n 的时候这样来取吗？等于这是个取种符号的，你取这样一个正数，当这个 n 分大于这个大写 n 的时候，就一定存在小于一米九，是横成立的，对吧？我们已经进进行过放松了，上面这两行都是为了说明这一点的， 那在接下来的话不就可以下结论了吗？这就是定义啊，无论这个英雄多么小，我们总能取到这样的正整数，然后当 n 大于这个正整数的时候，总有这样的 x 同 横向减去极限，他总是小于这样一个无论多么小的正数。 emmix 的这个呢，其实也叫做 emcon 的定义，数列是这样的，当然，如果你要证明的是函数极限，我们下一个再说，那就是 emcol 的定义了啊，这以后再说吧。那现在第三行不就符合这样的数列极限的定义吗？所以我们就直接下结论， 因为他当 n 趋近于无穷的时候呢，这样一个数列二， n 加一分之三， n 加一，实际上这个就是数列的通项呢，他就等于二分之三。哦，原来是这个意思，现在我们终于可以来挣第一个了。好了，现在我们来看这个第一题啊，第一题的话 怎么去挣呢？我们首先要写这样一个数列 x 三的通项吗？他的通项呢？显然 x 一呢，我们可以看成零零点九，你看成一减去零点一吗？这零点一我们写上十分之一，那你这个 x 二的话，就是零点九九，这没问题吧？那就是一减去一百分之一了， 那 x 三显然就是一减去一千分之一。那也好，所以说呢，他的通降 x n 的话，就等于一减去十的 n 次行分之一。 那既然都写出这样通向来，那接下来实际上就简单了啊，我们这样来写最终一步，肯定会涉及到什么？涉及到这样的一减去十的 n 层，这是通向啊， x 减去极限减去一， 他小于什么？小于这样的一米九，那经过整理之后的话，实际上相当于谁呢？相当于这个十的 n 次方分之一小于一米九。那不妨左右两边取什么？那不妨我们左右两边取， 取这样的对数运算就行了啊，你看，左边取这样的对数运算呢，实际上就是 n， 右边以十为底啊，一米九分之一。哦，原来是这个含义啊，那接下来就太简单了。所以我们在取电影里头这个大恩的时候，不妨就来再来一个取种符号，这不就可以了吗？ 没问题吧。所以接下来我们就写定义了啊，无论这个一米九大于零，无论这个大于零的数字多么小，要使得这样的 xn 减去一，这就是他极限啊，然后小于一米九横成立。经过刚才的分析呢，只需要什么？ 我们其实只需要这样的十的 n 次方大于一米九分之一，实际上相当于 n 大于多少？ n 大于 log 一米九分之一就可以了。那么现在于是呢，我们要娶谁啊？我们不妨娶这样的大。恩，刚才已经解释过 过了，等于多少？取整了啊，落个音球分之一啊，那取整完了之后的话，显然当这个谁，当 n 大于这样的小 n， 这个下标大于这个正整数 n 的时候， 肯定就有什么肯定有 x 三减一小于一米九横乘力。那所以最后我们就可以下去了啊，利用他零点九九选他，最终其实就等于几，他就是等于一的。哦，原来极限的定义是这么来的呀， 现在你理解为什么零点九九循环他等于一了吧，人家是有严格的定义的，现在我们介绍一下收敛数列的性质啊，一共有四个，我们一个一个来介绍。先来看第一个定理啊，第一个定理指的是收敛数列极限的唯一性。唯一性啊， 如果他指的是如果苏烈艾克森，他收敛的话，就是说他存在极限，那么这个极限只能是唯一，只能有一个，我们证明如何证明这一点的？反正法呗，也就是说他的极限呢， 少存在两个，那最终会推出来矛盾的。什么意思啊？也就是说，当 n 趋近于无穷的时候，这个 x n 不仅趋近于 a， 这个 x 呢，还趋近于 b， 其中 a b 不相等，我们不妨利用这个 a 啊，小于 b 就行了。 现在我们要取一下什么呢？取一下这个 a 和 b 中间他这样一个值的一半，也就是令这个音球等于二分之 b 减。为什么要这么取？其实写着写着你就明白了， 显然既然你说呀，当 n 区群无穷的时候呢，他有两个极限，那么根据数列极限的定义，刚刚我们不是讲过了吗？那代表这个 x n 减去 a， 他肯定是小于这样的音效小于二分之 b 减 a 的，对于所有的正数，你都得满足啊，无论这个正数多么小， 那继续来看，也代表 xn 减去 b， 他也是小于二分之 b 减 a 的，那绝对值运算还不简单吗？ 然后看第一个，第一个运算完了之后的话是，你看我们算的过程中， x 减 a， 他应该是怎么样？他应该是小于二分之 b 减 a 这样一个正数的，那实际上推出来就是 x n 要小于二分之 a 加 b。 但是第二个式子呢？我们推出来的是 x， n 大于二分之 a 加 b， 一个数字怎么可能既大于 a。 嗯，二分之 a 加 b， 又小于二分之 a 加 b。 所以说， 是不是说跟数学矛盾了呀？你怎么可能既大于一又小于一，没有这样的数字的。所以呢，最终呢，我们就可以说明他确实是唯一的，不可能存在两个级两个以上的极限，理解了吧？现在我们来看第二个， 收敛，书里的有界性。什么叫有界性呢？如果书列收敛，那么他就一定是有界的。我们回忆一下上节课刚刚讲完的有界，什么叫有界啊？就对于所有的，恩啊，对于所有的自然书，正常说，恩吧， 那么都存在这个 x 呢？是小于等于 m 的，这个就叫邮件。关键是你怎样去取这样的 m？ 这个第二点怎么证明啊？还是这么写，因为什么？因为你这样的 x， 他是存在极限的。我们不妨把这样的极限呢？假设为多少？假设为 a， 那根据数列极限定义，肯定存在这样大于零的英雄吗？但是此时这个英雄我们取一就行了。对，因为对于任何大于零的英雄都可以，我就取一，有什么不可以呢？ 一定是怎样啊？一定存在正整数 n 啊，一定存在这样的正整数 n， 当这个下标大于 n 的时候呢，一定是有这样的 xn 减黑 小于一的。其实这个位置应该写音不行，但是音不行，已经写一了，我就这样写了。所以说呀，当这个小 n 这个下标大于 n 的时候， 一定有什么？一定有 xn， 他怎么样？他是等于 xn 减 a 再加 a。 哎呀，根据绝对后不懂事吗？他肯定是小于等于这样的 xn 减 a 再加上 a 的绝对值，然后实际上就是小于一加 a 的绝对值的。 哦，原来是这个意思。也就是说呀，只要这个小恩，只要这个小恩是大于恩，你取得这样一个正整数的， 那么此时此刻他所有的 x n， 他最大最大也超过不了这个一家人。但是你不能光讨论这个小恩大于恩，大于这个正容说恩的时候吧，你还得讨论什么？还得讨论小于这个恩的情况， 比如说 x 一怎么样， x 二怎么样， x 三，一直到 x n 怎么。哦，我明白了，那我直接取这几个数字，这一 是 n 加一个数字中的最大值，让这个最大值等于我们那样一个界限不就行了吗？显然，此时此刻，无论你这个 n， 无论你这个下标怎么去取，你此时的 xn 的绝对号肯定是小于等于 m 的， 理解了吧，所以就证明了这样一个数列他肯定是有界的。好，证明完了，重点是在于你这个 m 怎么取。来看第三个，第三个的话是收敛数列的饱耗性。什么叫饱耗性呢？就是说，如果你的极限是大于零的， 那么最终肯定存在这样的正整数。恩，当这个下标，嗯，非常大的时候呢，你所有的数列的值都是大于零的。反过来，如果你的极限是小于零的时候，也肯定存在这样的正整数 n， 当你这个下标小 n 大于这个正整数的时候，都有 x 三小于零，这个就叫饱耗性。饱耗性的话，只要我证明了大于 零，你自己肯定会证明小一点的。那现在我们就证明一下这个极限大于零的情况。那关键在于哪呢？你看着看着就明白了。看好了，同学们，现在我来写，根据数列收敛定义对于任意的正数，但是此时这个正数我又要动手脚了，我让他等于二分之 a 吗？是不是等于二分之 a？ 那么肯定是存在什么？存在这样一个正整数，当我这个下标大于这个正整数的时候， 一定是能够保证 x 减去 a 小于一米九的，这个就是数列极限定义。但是此时一米九，我们写成了二分之 a。 哦，那不就相当于 x 减去 a 大于负的二分之 a 小于二分之 a 吗？ 那我们再整理一下，再整理一下，不就变成了二分之 a 小于 x， n 小于二分之三。哎，哎呦，你说呢？因为 a 是大于零 零的吧？因为 a 大于零，所以此时 x 又大于零，所以说，你看极限大于零，他此时当这个 n 大于零的时候，当这个下标非常大的时候，数列也必须大于零，这个就是保耗性。这个保耗性还是非常容易理解的。 第四个呢？第四个定律指的是什么呀？如果竖列 x 三收敛于小 a， 那么他的任意一个子竖列也收敛于 a。 什么叫子竖列？ 比如说你把数列中所有的基数相单独扔出来，不改变顺序的情况下，那么此时拿出来的这个新的数列就叫他的一个子数列了。 或者你把这个数列中的 x 一拿出来，你拿 x 二， x 二，拿完 x 四， x 八， x 十六，然后 x 三十二，一直往下数下去。这个呢，其实也叫原来数列的一个子数列。你记住啊，子数列拿出来之后， 你不要重新排序，顺序呢？还是原来的左右顺序顺序不能改变。那么怎么证明？非常好证明，我给大家显示一下就行了啊，应该是最后最后一个最容易证明的，只不过你不会写而已啊。假设 此时他这个 snk 哦， snk 哦，这个下标 n 也是有一定的铜像的啊。然后呢，他是原来数列的任意一个子数列，那此时啊，因为你原来这个数列是取景 a 的啊，他收列为 a 等价于。你看， 无论这个一米九多么小，我们总存在这样的正整数。当下标大于这个正整数的时候呢，我这样一个距离小于一米九横成立，一米九无论多么小都成立啊。 那此时我们只需取这样的大写的 k 等于 n， 然后当 k 大于，当这个小 k 大于 k 的时候，后边我就不多说了，你自己看一下就能理解。我们现在呢，还是做一道 例题来看一下。这个例题是这么说的啊，他说如果一个数列他收敛于 a 的话，那么这个数列绝对号以后呢，也是收敛于绝对号 a 的。那好说，我们先证明一下这个数列啊，好正的啊。 那根据数列题型的定义，那已知条件肯定呢，是可以这样来写的，无论这样的英雄大于零的数字多么小，总存在这样的正数，当这个下标 n 大于这样的正整数的时候， 一定能够保证 y n 减去 a， 他是怎么样？他是小于一目九横成立的。那此时绝对号不等是又派上了用场了，因为这样的 y n 的绝对号减去 a 的绝对值， 他等于什么？他肯定是小于等于 y n 减去 a 的，然后小于一米九，也就是说他也小于一米九，什么意思啊？看好了，同学们，他小于一米九， 无论说这个音小多么小，总存在正整数 n， 当这个下标大于 n， 这个下标足够大的时候啊，我你看了啊，这个绝对好，减去 a 的绝对好，这个不就是数列极限定义吗？所以我们最终就可以下结论了，此时外恩绝对值这样一个数列，他的极限呢，就是原来 a 的绝对值。 那最终他括号后边又写了一个，这个逆命题不成立。逆命题为什么不成立啊？好说吗？逆命题的话，就比如说啊，我来一个数点，当这个 y n 等于负一的括号的 n 次方的时候，实际上他要么是正义，要么是负一嘛，当这个 n 是偶数的时候， 当这个恩是基数的时候，这个分情况对吧？他一直在正义负义之间波动的，你想啊，绝对值这个外恩呢，他是不是有有极限，你想想是不是这个道理？他的极限呢，实际上就是趋近于正 正一的，因为你有个绝对号了，但是本身你去掉绝对号以后，还有几千万没有，他只能在正一负一之间摆动，他 可不收敛啊。原来这个万元可不收敛，所以这个命题他反过来之后，逆命题呢？并不成立。所以这节课你学会数列极限定义，你知道为什么零点九九循环等于正一了吗？分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下节课再见！

初中生都可以学会的高等数学之数列极限。首先我们来认识一下数列，经过观察可以看出，无穷多个数按下列顺序排列成为数列，即为其中被称为数列的一般像或通向正整数按称为通向的下标。对于给定的数列， 由于各项取值由期下标确定，所以数列可是为定义在自然数级的函数。用初中生可以理解的语言来说，可以理解为一个数列可以在实数范围内 满足某意运算法则，并可写出相应表达是 y 等于 f 这类函数表达，我们称之为下标函数。在前面举例的数列 前两个相应的下标函数为。观察下列数列，会发现当下标案无限增大。各项取值分为两大类，一类为 n 趋近于无穷时，数列 趋近于某个常数，如下里无限趋近于零。另一类则无此特点，如下图，四、五、六当案趋于无穷，是数列不趋近于某个常数。设有一数列和常数列。当案趋近于无穷时， 但无限趋近于常数，则称为此数列的极限，或称此数列收敛于即为。由此势力一、二、三中的极限如下，而四、五、六中没有极限，所以我们称之为发散的。下一期教大家数列极限的证明。

什么是数列的极限？一分钟我来讲清楚。对于某个数列来说，如果我们一直写下去，他会逐渐的接近一个确定的数，那么我们就说这个数是数列的极限， 该怎么去表示无限接近这个过程呢？对于数列 xn 来说，假设存在这样的数，我们只要用 xn 与这个数做差的绝对值非常小就可以了， 有多小呢？他可以小于一个我们任意给出的一个正数，无论这个正数是多么小，总存在一个正整数，使得项数大于这个正整数的时候，不等式是成立的。如果这样，这个数就是这个数列的极限，数列就是收敛的，否则我们就说这个数列是不存在极限的，数列是发散的，你听懂了吗？

什么是竖裂的五一性呢？就是如果一个竖裂，他要收敛，这些要存在的话，必然是唯一的。怎么去理解这个事情呢？比方说，如果一个竖裂收敛于二跟二无穷逼近，他能够再跟另外一个不同的三无穷逼近吗？ 肯定是做不到的。这就是他的无疑性啊。看似好像没啥可说，考试呢，没什么可考的。但是呢，考试的另外一个方向就是他逆风逆袭啊。 什么是逆否命题呢？啊，如果说原命题是从收敛啊，得到极限是唯一啊，从 a 推出来 b 啊，这就是原命题啊， a 是收敛， b 是唯一，那他的逆否怎么说？ 还有没有印象啊？好，首先逆否命题就是 a 特加 b 啊，如果是正确的话，非 b 推出来非也是正确的。命题和逆否命题同真同价。好，那现在呢？ b 是极限唯一，那非必呢？就是极限不唯一。那好， 再来看啊，推出来非啊， a 是收敛，那么非 a 呢？就是不收敛，那就是极限不存在。好，这样呢，就可以得到。如果极限要不一，那极限一定是不存在的。好，举个简单例子，比如说负一的恩仓啊，这就是一个数列极限啊。 好，难道极限存在而不存在呢？好，我们看啊，负一的分仓分区偶数的时候全都是一，那就熟练为一。 好。如果那要取基数的，负一的三差，负一的五差，负一的七差，全是负一，那就收敛于负一。好，我们就知道他的极限不唯一。好，那就说明极限是不存在。 所以就告诉我们，以后呢，在做题过程中，如果你用不同的方法，或者你在做题的时候算出来极限，有两个不一样的答案，说明这个极限是不存在的啊，这就是他的唯一信号，考试的方向。

数列极限和函数极限完全相同，有三大性质，唯一性、有界性、保号性。这三个性质不需要你单独去记，你就把它和函数的三个性质合到一块记，就一定不会出错。 函数极限的唯一性指的是函数有极限，极限一定是唯一的。好一个数列如果有极限也得是唯一的，那么如果这个数列的数在两个数之间来回跳，这叫不叫有极限啊？ 你比如说我就有这么一个数列，一负一，一负一，一负一，一负一，我就这么往后排， 这个数列有没有变化特征啊？这个东西要注意了，和函数一样，你发现他的数一会是一，一会负一，一会是一，一会负一，在两个数之间来回跳，是吧？这不叫做有极限，这个时候他的变化规律不统一 啊，不统一，他可以无限的接近于一，也可以无限的接近到负一上去，是吧？但是他不能整体，所以这叫做极限，不存在好吧？啊，所以极限存在了，一定是啊，唯一的啊，一定是唯一的。 第二一个收敛。什么叫收敛啊？就是有极限的数列，有极限的数列一定是要有界的，咱那个函数的有界性说的是 x 区 x 零的时候，函数有极限，对吧？那么咱 在 x 零附近，函数就是有界函数这个地方一样，数列如果有极限，它一定有界，这个东西和那个函数的性质并得一块记就行了。

五分钟理解极限定义，只要方法掌握好，没有提供功能的朋友们大家好，今天啊给大家去讲解一下高等数学的一个基础极限，也就是说什么叫极限？那咱们看一下，其实极限的本质应该是什么呢？其实在我看来应该是一个无限趋势而取不到的一个过程。 那你比如说拿一个例子来说，咱们经常用到的圆周率拍，圆周率拍呢？等于三点一四一五九二六，对吧？他是不是真正的一个拍？不是，所以咱们就可以理解为三点一四一五九二六呢？就比较接近于这个拍，是这样的吧。 那你比如说同级版书上给的一个例子，古代数学家刘辉是吧？他怎么样呢？他就想到了一个个元数，因为在古代呢，他是没有计算圆周率，他这个哪个东西的计算员的面积，那他就会想在一个圆里面，我内接正多边形，那他的面积是不是就比 较接近于他的一个形式了，是吧？我那边六边十二边二十四等等，就比较无限接近于他的啊。那你比如说最近生活的一些意思，大家是不是都经常用到一个 app？ 好，你上去他就给你一个红包，让你，然后让你砍一刀，是吧？砍一刀，然后之后呢？你看一下，他先给你四百九十九， 你帮忙砍一刀，四百九十九块一等等，你会发现在之后再给你金币银币，那通过数学的角度来说，他是不是应该是无限趋近于五百而取不到的？那告诉大家一个发家致富奔小康的方法，你在最后砍一刀的时候呢？你找一个新用户，一般大概率几率比较大，几率比较大。 好，这是咱们极限的，其实生活中的一些例子，咱们看一下极限的定义是怎么给的，很多同学呢，是觉得极限的定义会比较抽象，会比较抽象。咱们想极限既然是个无限去进而取不到的，那你怎么用数学的语言表示两个东西无限去进？你比如说 你怎么去表示零点零零零零零一和零很接近呢？那咱们想，那你是不是就可以用一个距离，对吧？所以数学语言里面呢，有一个东西叫距离，你用距离去表示他们的一个无限趋近的过程，是不是就可以了？那你比如说像他的一个概念， 对于他来说呢？他说对任意的一步性都大于，总存在大按大于，当小按大于大按的时候，对，总有挨个能减 a 的，绝对是小于一步性能，这是什么呀？这就是 距离，挨个德和 a 的距离， a 的距离要怎么样呢？要任意一条。怎么任意一条呢？他说啊，对任意的一个行动大一点，也就是说一个行动可以可大可小，你取得一万也可以，但是你也得取到零点零零零零零零一 也可以，所以是不是就可以表示他们两个无限小？但是呢，既然这已经描述成无限小的的话呢？为什么非得给当大安大 的时候，当小恩大于大恩时，他才怎么怎么样呢？对吧？那也就是说举个例子，雷 mate n 确定无穷 n 分之一的极限等于零，那但是咱们把图形往这一划，他的第一项是一，第二项二分之一，三分之一，四分之一点点， 那在头几项的时候，他有没有那么趋之于理？相对来说没有，所以就是我给了一个临界值。什么临界值呢？只有当大恩在这，当小恩大于大恩的时候，他才无限接近于他，他才无限接近于他，所以他是这样的一个过程。而或者说咱们也可以怎么去理解呢？ 因为这个数列啊，他是趋近于无穷的，而这样的两句话也在描述小恩趋近于正无穷的过程，因为数列的运动呢，是往正无穷运动的，正无穷运动的，所以这是这样的两个理解，对吧？好，咱们要达到这样的一个水平，或者咱们再要达到这样的一个理解，咱们说明这个概念 算是掌握了，或者算是理解了。我不要对大家背的古话烂熟，明白吧？那对于同济版书上，他会有这样的一个例子，大家会发现同济版书上画的一个图，他说在这个 a 的两端，这是 a 减，怎么样？一批统，这是 a 加一批统，为什么呢？你会发现 xn 减 a 的绝对是小于一部系统，那咱们是不是就可以写成 xn 减 a 大于负一部系统，小于正的一部系统， xn 就大于 a 减一部系统，小于 a 加一部系统， 那也是不是就是说 x 应该落在 a 减一系统和 a 加一系统之间，对不对？落在这里边，落在这里边的话呢？他有一个前提是小 n 大于大 n 的时候，这个东西才成立。所 所以你会发现同济版那个书，为什么里面给的是大 x n 加一，你比如 x n 加三， x n 加七点点，而多在外面都是 s 一 x x x 五 x， 这样， 是吧？因为只有当小恩大恩大恩的时候呢，这个东西大恩加一以后呢，才会落在 a 的附近，才会描述他们两个无限拘谨，对吧？这就说明咱们理解了。那对于他来说，如果咱们狩猎的极限理解了，那你同样的函数的极限自然而然也理解了。那你比如函数的极限， 他说 fx 减 a 的绝对是小异性，那是不是也就说 fx 和这个 a 无限接近，就换个表达式而已，对不对？表达而已，但是要注意 x 绝对值，因为函数 x 可以去定正确，也可以去定后全同样的去定一个定点，那你想想去定一个定点，你如何去描述去定一个定点呢？ 你刚才如何描述 fx 的区别 a， 你就应该如何描述 x 的区别，一个定点 x 减 x， 零的绝对值距离是不是大于零，小于一个任意小的，这呢就可以了，所以这是体现的概念，咱们要达到理解就可以了。

各位同学大家好，我是航航老师，欢迎大家来到本期视频，今天呢给大家分享一个关于数列集成定义，那么这个定义呢，是我们从初等数学勾读到高等数学的第一个关于高数的知识点。首先看一下书上定义是怎么定义的，然后来给大家解释一下， 对于任意的一幅色统带领，而这个呢，道走的大 a， 我们称任意的存在大 n 大于零，反过来写的一个 e， 我们称存在当小 n 大于大 n 时， a 跟减 a 的绝对值小于衣服色统啊，我们就把此事 定义成尼密特 n 去无穷大， an 等于 a 或者 an 取经 a 在 n 去无穷的时候，也可以叫做 an 收敛于 a， 那么 这个极限为什么低音成这样？那么我们是去怎么样去理解这个极限呢？哎，我给大家呢准备了一个 实力，比如说 a， n 等于 n 加一除以二 n， 那么大家可以看一下这个数列，那我们发现这个数列呢，在 n 取一的时候，他是取一了， n 取二的时候呢？取二分之一， n 取三的时候取三分之二，那么一是取一取，当 n 取一百的时候，我写了一下是两百分之一百零一，最后我们发现随着 n 不断的去变大， 那么事实上我们的 an 是慢慢的向二分之一接近的，用一个比较口头的表述来表示一下这个数量极限，就是说当 n 不断向无穷大靠近，我们树立 an 会向一个速靠近，那么这个 过程呢，就称之为数列极限，当然这个表述很好理解，但是不够精确，那么这个时候呢，我们可以通过上面的 数列极限的精确定义，再给大家解释一下么？时尚对于这个任意的衣服色统，带领这个衣服色统呢？我们可以称它为一个误差， a， n 减 a 的绝对值小于衣服色统，就是数列 a， n 和 a 这个数两个相减，取决于这什么小于这个无差，我只要给定一个无差，我们总能找到一个大根，大根就是像素，当小根大于大根时，就是这个像素的后面的像 与 a 之间的距离都小于我们给定的误差。好，我们举个例子，比如说，哎，我们就取 等于十分之一，当然这个误差要大点，哎，那么 an 以二分之一为极限， an 减二分之一的绝对值，那我们减一下，我们发现是等于二分之一的， 他要小于我们给定的误差十分之一，对不对？所以说我们可以推得 n 大于五，换句话说，只要我大人取五，从第五项开始， 我 a 跟和二分之一之间的距离就小于你给人的误差十分之一。比如说我还可以取衣服自动取一百，那么 a 跟和二分之一之间的误差，当然他要小于一百的话， 我们可以推的 n 是大于五十的。爷爷说，如果我给您的误差是一百分之一，那么这个时候只要从第五十项开始，那么后面的 a 都与 二分之一之间的距离，或者误差小于一百分之一。哎，当衣服这种呢，等于一千分之一，那么同样的 a n 减二分之一的绝对值小于一千分之一，那么最后呢？我们可以取得 n 代五万，也就说我只要从第五百项开始的时候，从五百零一项，五百零二项，到后面的所有项，他和二分之一的距离都小于你给人的误差。 当然我们一无是统，可以继续往后取，你随便取。哎，你不管取一千分之一，一万分之一，一个亿分之一，只要你能取一个大于零的数，那么我总能找到一个大人，这个大人 后面的像和二分之一之间的距离总小于。你取的这个误差，其实就是找一个衣服侧桶，这个衣服侧桶是误差，误差是任意的，是随便取的，谁取的是我们自己取的。只要你取定了这个误差，我们就能找到一个答案，如果能找到，那么我们就成黑恩的极限 为大 a， 如果你找不到这个大人，那就说明 a n 的极限不为大 a 了。好，现在大家可以看下这个题，让我们证明尼米特 n 去无穷大 n 加一分之 n 减一的极限等于一，那么请看，对于任意的 依附色统代理要使得 n 加一分之 n 减一，极限为一，意味着 n 加一分之 n 减一和一之间的距离，他要小于我们认给的误差。衣服色统也意味着 n 加一分之二， 他要小于衣服色统，那么我们可以解的二分之 n 加一要大于衣服色统分之一。所以说我们把这个二乘过去，我们解的 n 大于衣服色统分之二再减一， 我们就可以取大人等于衣服色统分之二减一去等。因为什么？因为我们知道数列的每一项啊，都是一个整数，对不对？第一项，第二项，第三项，所以说这个大人肯定也是一个整数，所以我们去整，当小 n 大于大人，是用 n 加一分之 n 减一，再减一的，绝对值小于衣服色统，所以说 厘米特 n 去无穷大， n 加一分之 n 减一，极限值等于一。那么大家为什么大家可以看一下子，对于任给的衣服色统大一点存在大跟大大一点存不存在？存在啊，你只要给我一个衣服色统，总能找到大人，大概是几？ 就是把你给的这个误差取到乘以二减一，比如说你给误差衣服这种取零点一大于零，那么我找不到大人，找到我的大人就是零点一分之二减一去成，也就说他是十九项。不过你这个时候你， 你误差给我零点一的话，那么我从第二十项开始，这个 n 加一分之 n 减一和一之间的误差都小于零点一，那么当然你还可以去跟大大，哎，比如说你取衣服这种等于零点零一，要大大，他大有零吗？大有零，那么这个时候我能找到大恩吧，找得到他其实就是什么？就是二除以零点零一减一去等，答案就是一百 九十九，其实有什么你给我误差是零点零一，那么我能找到，大约是从第两百箱开始，那么 n 加一分之 n 减一和一之间的误差都小于你给定的误差零点零一。好，本期视频呢就到这里结束，谢谢大家的观看。

昨天我出了道题啊，一三空格七九，问中间这个数字是啥？哎，我说答案是六六六啊。现在就来说为什么。其实这个数字啊，不光可以是六六六，他可以是任何数字。为什么呢？因为他是一个有限的数列啊，不光一三七九，中间可以填任何数字，二四八十也可以。为啥呀？不信啊。这个其实只要初二数学水平就 够了啊。让我们假设一三空格七九，这个空格处的数字是 a， a 可以是任何数字，可以是整数，可以是分数，可以是无理数，甚至可以是 拘束。他就是个代号。然后呢，我们给这五个数字标上序号一二三四五啊。然后呢？假设有个函数 fx， 然后呢，我们就可以猜一个函数 fx 的表达式。我们就猜他是一个吉数令。 fx 等于 a x 加 a， 二 x 平方加 a 三 x 三次 方，加 a 四 x 四十方，加 a 五 x 五十方。然后再带入就好了。则 f 一等于一， f 二等于三， f 三等于 a， f 四等于七， f 五等于 九。写出来就是这个式子啊。看这变成了啥？五元一次方程对吧？是不是初二数学啊？这初二就学了多元一次方程了吧。这是一次方程姐，他连开根号都不需要，连初三数学都用不到啊。并且这个方程组没有重复的方程吧？并没有一个方程是另外一个方程 的倍数吧。五个独立方程，五个未知数， a 一到 a 五，所以这个方程他必定有解。可以把 a 一、 a 二、 a 三、 s、 a 五这五个系数写成 a 的表达式。像这样，刚才我们说了 a 可以是任意数，如果我们要让 a 等于六六六，这么一带入，你就会发现 a 一到 a 五，分别是这五个数字。丑是丑了一点，但是我们把 fx 这个函数 给算出来了，他就是这样的。所以只要 fx 是这个函数，中间填六六六，那就没毛病。再进一步，任何一个数列，只要他是有限的，都可以这么弄，无非就是等式右边不是一三七九了，你可以设他 为 b 一 b 二、 b 三、 b 四、 b 五，最后写出来是他们的表达式。而且如果这个数列不是五个数字，是 n 个，那无非就是你列方程的时候，是 n 个方程，对应系数 a， 一直到 a。 当然了，这个方程组你非要用大学数学去做的话，那就是把这个方程写成个矩阵啊，求他们的逆矩阵，两边一程就答案算出来了。 计算复杂也不怕，可以用 max max。 现在明白了吧，这种题他压根不是数学题啊，他就是个脑筋急转弯，因为他没有唯一的答案。以后如果在做小学奥数，碰到这样找规律的题啊，真找不出来，你就随便写个你喜欢的数字， 多写六六六也行。然后老师不给你分，你就找到老师啊，把这个方法教给他，保证他让你直接跳级。听没听懂都点个赞呗。

讲第二重要极限的时候，也有一些数列形式，比如说 n 区域无穷的时候，一减 n 分之二的 n 次 me， 这个极限是多少啊？历年真题当中有一个，还记得吧？ 是不是把一加的这一项和他做乘积放在指数上，结果就是一的负二次米是吧？有这个题。像这种题哈，你就记住 一看，这个是个数列极限，但是和函数极限的那个形式是不是非常接近啊？你就按函数极限的原则去算，万无一失。 听懂了吧？按函数极限的原则去算，万无一失啊。比如 n 去向永 无穷， n 方加上二 n 再加上三，比上 n 的三次方减二， n 减五求极限零，零 就是零。看懂了吗？你就按照函数极限的计算原则去处理它就行了，这个是完全正确的。好，当 n 需向右无穷的时候， sin n 分之一等价于谁啊？ 是不等价于 n 分之一啊？因为 n 区域无穷的时候， n 分之一是不是区于零啊？所以森无穷小，等价也无穷小吧。就这样去化解 他的所有的运算性质和函数是一样的。其实能能理解吧啊，所以包括刚才咱们讲过的这个唯一性啊，有界性啊，和 保号信啊，都和函数一模一样。你合起来记一个结论就行了，既适用于函数，也适用于数列。听懂了吧？