超弦理论欧拉的公式

我们画一条连续的线，随意画哦，然后首尾相连，像这样。好啦，数数有多少个焦点，一二三四五六七 八九，然后有多少条边？一二三四五六七八九十十一，十二，十三十四十五，十六，十七十八。再数数有多少个面，一二三四五六七八九十十一。 哦，对了，最外面的也算一个区域哦，我们用焦点减去边，再加上面等于二，我们再画几个试试看， 都是这个结果。哎，有点意思啊，也就是说，我只要知道其中任意两个数字，那么第三个数字自然就能算出来。这个规律是欧拉发现的，所以也被称为欧拉公式。 欧拉一笔画定理，他有许多非常有趣的应用，像科斯堡七桥问题、最优路径问题、拓补学等等都是以他为基础的。不过不知道大家注意到没有，刚才我们的画图是在平面上的，而且是一种全覆盖哦。我想请问 像这样的全封闭的多面体算不算一种全覆盖呢？他是否也符合欧拉定理呢？把平面和立体的结合起来思考，这就是三百年前从二维过渡到三维的数学思维，欧拉牛。

注意看，如果我们在一个数上乘以负一，就会得到他的负值。如果我们再乘以一个负一呢？哎，他又变回了正值。如果我们连续乘下去呢？那结果自然是负正负正这样不断的交替循环了。 这一波极其无聊的操作呢，简单的说，就是偶数次相乘得正，基数次相乘得负。但我们也可以换一种没那么无聊的解释，那就是我们实际上在操作一个数的旋转。当我们把一个数乘以负一，实际上是把它旋转了一百八十度，指向了他自己的反方向， 再乘以负一呢，就是再转一百八十度，于是又转了回来。嗯，这个负一很不简单啊。好，现在让我们来看看另一个更著名的负一。这应该是数学中最有存在感的一个负一了， 它出现在欧拉公式的右边，这个公式表示我们刚刚盘过的乘以负一的操作，也可以用乘以这么一坨来表。 有朋友要说了，就这个旋转一百八十度的操作，乘以负一已经是最简洁的表达了，你再换成这么一坨，不是更复杂了吗？呃，复杂，貌似确实是复杂了一点。不过呢，这样一来，我们就可以用这个式子来表达各种不同角度的旋转了。 因为很明显，这个式子里的派就表示一百八十度的弧度值。那如果我们换成其他弧度值呢？那就想怎么转就怎么转呢？比如，我们把这个值从零到二派来个逐渐增加，那么就会是这么个效果。 可是问题来了，如果我们不是旋转一百八十度的话，这个数就不在时速轴上了，那他是个啥玩意呢？呃，在这种情况下，我们需要增加一条虚速轴来扩大速的范围，也就是把时速拓展到了负速域。我们用欧拉公式的完整形式来理解这一点会更加简单。比如当我们把一个速 旋转四十五度角，那么他在复数域中的表达式就是这样。现在我们只讨论旋转操作，所以我们可以把操作限制在一个单位元上，让我们来像视频开头一样玩一玩连存。不过这一次我们不转一百八十度了， 老师来转一个角，阿尔法也就是这样。不过这个样子呢，式子就太长了，让我们来简化一下，变成这样。根据指数的运算法则呢，我们可以直接把这个 n 拿到括号里面来，跟阿尔法存在一起，然后我们再把左右两边都套用欧拉公式，于是就变成了这样。 哎，这不就是地貌符公式吗？是第一，没错，这是复数域的一个关键公式，当年地貌符那可是费了老大劲，用怠速方法辛苦推导出来的，可是在欧拉公式的加持之下，他的推导居然只有一步，这都已经不能叫推导了，这就是个自然转换。好吧，我们再仔细看看这 这个故事。在正弦函数和余弦函数的质变量上乘以一个系数，实际上就是在调整正弦波和余弦波的频率，就像是这样， 那也就是说，在负数域的连乘最终会转换成旋转速度的加倍。这个理解起来还是很直观的，因为在旋转上连乘，不就意味着原来只转一圈的时间里，增加到两圈或者三圈或者其他倍数的吗？嗯，丝滑的很。 好了，我们刚才用连续旋转推导出了地貌符故事，不过连城表示每次旋转的角度都相同。如果我们先转一个角阿尔法，再转一个角背他呢？ 也很简单，我们先转动一个角阿尔法，于是就需要在衣上乘以这么个式子，那接着再转一个角背他呢？那就再乘以这么个式子呗。很显然，这个式子还能再变换一下。根据指数的运算法则，我们可以直接把这两个角 角度相加，这个没毛病，本来就是这样的，两个角度加在一起，于是我们又有了两个相等的式子。那我们再把两边都转换成欧拉公式看看。先来左边的，很简单，就是这样了。 右边呢，稍微复杂一点。这是复数的乘法，其实也没有多复杂了，就是完全按照一般的乘法法则分项相乘就可以了，只不过碰上 i 乘以 i 要算成是负一， 于是就变成了这样。现在这两个式既然是相等的，那么十步就等于十步，虚步就等于虚步。哎，这不就是正弦和余弦的和差公式吗？ 第一，这就是正义。以前的和差公式，那些看上去很复杂的三角公式，实际上从欧拉公式来推倒，只不过就是一两步的事情，极其简单，所以我们都没必要去背这些公式，只需要记住欧拉公式就行。碰上了在当场推倒的来的。 现在地貌符公式和差公式都有了，那当然不能漏了被角公式啊。其实已经知道和差公式以后呢，被角公式就只是一个变量替换的事，简直就不值一提。那还有和差画积积化和差呢？那也是在和差公式上用一两步就能推倒出来的，用不着死记 好了，最后我们来八卦一下大数学家。地貌符我们在讲概率论的时候已经多次提到过他，他是正太分布理论的早期贡献者。这位哥哥呢，出生在法国，但因为当时的法国形势混乱，他逃难到了英国。作为一名逃亡难民， 他在英国过得那是相当的贫穷，靠着给别人的小孩当家庭教师为生。也正因为穷，他没有结过婚，一辈子都孤独一人。就是这样毫无希望的人生中，他有一天 从朋友那里借到了一本书，那是牛顿刚刚出版的自然哲学的数学原理，在这本书里，微积分正式诞生。蒂莫福在读完几页之后就热泪盈眶，那一瞬间好像他的贫穷，他的孤独都不再重要，他如痴如醉的学习着， 要知道他同时给几家人做家教，回到家就已经很晚，所以很多的时候他都是在通宵夜读。这样的严重睡眠缺失在他年老之后进行了反视，他患上了嗜睡症。他在数学界的朋友开玩笑的把这个事编成了个数学题 设，地貌符每天都要比前一天多睡四分之一的时间，每天的睡眠时间形成了一个等比数列，当他每天睡满二十四个小时的时候，我们就将永远的失去他。请问我们要多久吃席哦？呃，必须说地貌符的朋友们也都够损的，但是让我们来想象一下这样一个场景，一个人贫穷到 什么都不能拥有，连睡眠都是奢侈，所有的人都认为这样的人生令人绝望，但是我们的帝莫福呢？他的心中有光。 好了，今天我们用欧拉公式为基础，把三角函数中最常用的一些公式兜了个底，并且还见识了一位贫穷的数学家如何在贫穷和孤独之中，为解析三角学打下了坚实的基础。 下一期视频我们将继续沿着大师们的思路来剖析三角函数，感兴趣的朋友请千万别忘了点赞加关注，谢谢大家！拜拜！

被称为宇宙中最神奇完美的公式欧拉等式，它甚至被称为上帝公式，包含了什么秘密呢？原来整个宇宙的起源都在这个等式中。 我们简单概括一下，欧拉等式， e 的 ipad 四方加一等于零，以两个神奇的无理数 e 和 pi 作为基石，三个基本数字一零 i 作为变量，就形成了数学循环的一种很等式，是不是非常简洁美妙而且神奇呢？ 我们来剖析一下本质，做一下变换，就得到了。 e 的 ipad 等于负一， 看见了吗？这其实是一种从一到负一的镜像的计算，从正物质宇宙到反物质宇宙，其实只有一个一百八十度的镜像，两个相反的世界而已，同时存在于时空的重要 之内。我们还忽略了一种中间状态，那就是呈九十度夹角的虚数的空间。正世界空间与反世界空间的中间位置有一个九十度垂直的方向，就是时间的维度。时空是等价的，但时间和空间相互垂直，相差了一个虚数，爱 i 的平方等于负一，负一的平方回归一，这就是一种时空的循环。于是我们看到了数学空间与天之空间一样，被分为了四个象限，正 反、正虚、反虚的四个时空象限，他们每一个都是独立存在且相互垂直的，这就是天之四方，天方地圆，宇宙都在方圆之内，所以伏羲女娲手中拿的此规，就是对天地之度量的工具。那么 关键来了，这四个时空象限怎么联系在一起呢？通过了指数 e 和圆周率派联系在一起，互通有无，这就是螺旋旋转的数学。指数的旋转会形成正弦波和余弦波的组合。在数学上， e 的 ict 四方函数可以被分解为正弦函数和余弦函数的和，这在物理学上有着深刻的意义。因为这样子，螺旋的转动就发出了各种正弦波和余弦波的投影，就形成了各种波动。物理波动出现了耳波动，形成了宇宙中一切的实际。 所以宇宙中一切的物质和思想都来自于波动，波动来自于螺旋指数 e 在圆周率派上的转动，所以螺旋也是欧拉等式的源泉。指数 螺旋曲线只有一个参数，那就是代表发散度。不同的角度参数 b 就构成了各种比例的螺旋。当然，宇宙中的创生不会随便取一个比例的，有两种比例特别胜出，分别是黄金比例和水晶比例的螺旋。而在时空物理中，一种毛定好的曲线 b 等于二的时候，就得到了时空曲线方程，未来我们将会详细解释它。这项。我们看到了指数螺旋形成了各种美丽的图案。 最后，我们怎么回归到神奇的上帝公式欧拉等式呢？把螺旋的发展度变化无限缩小，到达极限的时候，螺旋就变成了圆。在这个圆的四个方角上，我们得到了指数螺旋的一个特殊节， e 的 ipad 加一等于零，它代表什么意义呢？归零 欧拉等式的意义是旋转宇宙的起点，也是终点。

为什么欧拉公式被称为世界上最完美的公式？它巧妙之处在于其简单的式子中就蕴含了很多重要元素。意识自然对数的底，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺旋，都离不开。易长数排含于其中。最完美的平面对称图形就是圆，而且怕和意识两个最重要的无理数。 最重要的运算符号，加号和等号含于其中。之所以说加号是最重要的符号，是因为其余符号都是由加号衍生而来。减号是加法的秘密，运算乘法是累计的加法。而且从你一开始学算数，最先遇见就是等号，相信你也会同意这句话。最重要的两个原级虚数单位挨在里面，零元零单位，一是构造群环域的基本元素， 而区单位啊，使数轴上的问题扩展到了平面。现在你知道欧拉公式为什么美了吗？是因为这个公式的精简，他没有多余的字符，却联系着几乎所有的数学知识。 有了加号，可以得到其余运算符号。有了零一，就可以得到其他的数字。有了牌，就有了圆函数，也就是三角函数。有了牌，就有了虚数。平面相量与其对应，也就有了哈密尔的四元数。现实的空间与其对应，有了一，就有了微积分，就有了和工业革命时期相适宜的数学。

哇哦， 对对对。

我们分享一个十分特别的公式啊，所有战术的平方的倒数和等于六分的派方。如果我们只看前面， 我们绝对不会想到所有自然数的平方的倒数和会跟原有什么关系。如果应要是能关系的话，他肯定会二和一有什么关系。为什么呢？因为我们可以这么去估算他，他是小于或等于一， 一乘以一分之一，加上一乘以二分之一，加上二乘以三分之一，加上三乘以四分之一，这样一直循环下去啊，化剪之后，他是一 加一减二分之一加二分之一减三分之一加三分之一啊，这样不能下去啊，结果呢？它是等于二啊，小于等于二。同理啊，我们可以证明它大于等于 一点五的，后面都消掉了吗？ 也就是说这个式子是大于一点五小于二的一个数，是吧？我们通过这个方式，我们可以确定他的一个范围，那凭什么他就等于派的地方除以六呢？这个就得从欧拉说起了，这个公式把欧拉推向了数学大神的宝座。为 怎么是这个设置而不是欧拉公式呢？其实这个欧拉公式不是欧拉发现的啊，大家叫了那么多年，实际上是叫错了。欧拉公式是由罗杰科特斯提出来的，他比欧拉早三十年提出了这个设置，只不过他当时把这个公式写成了这样啊， 他写成了一个对数形式啊，而欧拉在三十年后就写成了一个指数形式。那为什么大家都把它叫做欧拉公式呢？有两个原因啊，第一个原因是欧拉比罗杰克特斯有名，第二个原因还是因为欧拉比罗杰克特斯有名啊，好 调侃就到这里啊，我们继续分享欧拉早年最重要的两个发现啊，这是其一，其二是我上次分享的一个式子，所有自然数的和等于负一十二分之一啊，这两个非常特别的式子，让欧拉一举成名啊， 为什么？因为两个式都非常的吸引人的眼球，特别是下面一个，为什么说自然数的和等于负于三分之一啊，为什么他这个负数啊，其实是上面一个啊，为什么说自然数的平方的导数和跟派有关？ 我们刚推导过啊，他是一点五到二之间，你要接近他也应该接近一个数啊，凭什么这个数跟派的地方除以六有关，这公式又跟语言有什么关系啊？我们把这个疑问留到视频的最后啊，先来看看欧拉是怎么证明的公式的。其实在欧拉之后啊，大家都用非常直观的一个公式来理解他，就是你们很 数，在我这期视频中也分享过啊，这样不断的加下去，实际上他是一个函数的样子，一除以一个刚码函数，我会把刚码函数的衔接放在视频的下方，零到五，胸大 x 的 s 减一次方，除以一的 x 方减个一啊， 也大家现在理解他，这么理解他了，当 s 等于负一的时候啊，上面是一加二加三加四啊，一直加到正无穷的自然数，他是等于负一十二分之一啊，带到这个里面啊，求出来就是负一三分之一， 那 s 等于二的时候呢，上面那个四就是一的平方分之一加上二的平方分之一，加上三的平方分之一啊，那么不行加下去啊，带到这个里面啊，发现他是等于派方除以六啊，也就是说这个非常重要的弥漫函 数啊，有两个比较重要的特征值，这两个特征值把欧拉推向了数学大神的宝座，那当时欧拉是不是用这个你们还是证明出来的呢？不是啊，我们今天来看一看，欧拉 是如何证明这个柿子的啊。其实欧拉证明这个柿子啊，还是跟泰勒骑士有关啊，因为这个三， x 等于 x 的一次密除以一的阶层，减去 x 的三次密除以三的阶层啊，这种跳跃式的隔断啊，减加减加之间的循环，形成一种 不一样的美感。在求这个式的解的过程中啊，我先分享一个基本的概念吧， x 减一等于零，那么退出来 x 等于一啊，这不是废话吗？我再写一个啊， x 减二乘以 x 减一 等于零，退出 x 等于一或二，而 x 减三乘以 x 减二等于 x 减一等于零，退出 x 等于一二三啊，也就是说我们可以得到这样一个结论啊，这个最高次是一次， 这个最高次是两次，这个最高次是三次啊，展开之后啊，三次的有三个结，二次的有两个结，一次的有一个结啊，所以如果是 n 次的话啊，可以推出有 n 个结啊。好，有人就会马上反驳我说， ax 减一的平方啊，明明只有一个结呀， 凭什么说他有两个解？我们说的是一般形式啊，只是当做一个理解啊，不是严格的证明啊，况且这个式子啊，我们也可以认为他两个解，一个解是一，另外解还是一啊，因为这个是特殊形式啊，这个才是一般形式，这个一般形式的解的个数就跟他的次数有关啊，理解了这个啊，我们就可以 把它也配成 x 减去 x 一， x 减去 x 二这种形式了啊，因为一个四展开，肯定是 x 加上 x 平方，加上 x 三十方，加上 x 四十方这种形式吗？只不过因为他的指数是偶数的这些啊，象系数都是零了啊，所以消掉了，只剩下指数基数的这些象了，所以说他写成一字分解的形式应该是 x 减 x 一， x 减 x 二， x 减 x 三啊，这种形式啊，而且 x 一 xl 三十四啊四， 他等于零的一些减。明白了这个啊，我们就可以去算这个试试了，他可以写成 x 减 x 一， x 减 x 二， x 减 x 三啊， 这样不停的写下去啊，这些 x 一 x 二个三啊，都是他的解，他的什么解呢？他等于零的时候的解啊，而三 x 等于零是什么时候呢？ x 等于 k 派的时候，也就是这个 k 啊，属于整数，举例子就是这个 x 等于零，正负派，正负二派，正负三派，正负四派啊，那么写这种形式就是 x 减零， x 减派， x 加派， x 减二派， x 加二派，我们写多一点，为了方便观察，那这个式子和我们要做的这个式子有什么关系呢？好像没啥关系啊，我们尽量的把它配上相似的形态啊，后面两个都是可以合并的啊，一个平方减派方， 这个能不能写成 x 平方除以派方减一啊？ x 平方除以二派平方减一， x 平方除以三派的平方减一啊，他同样可以写成这种形态啊， 我们知道啊，从这个式子里面，我们可以推出啊，他乘以后面的一，一推出这个的系数啊，是一对应的啊，他是一，那这个 x 三这方的系数是谁呢？我们看啊，这 x 平方乘以这个的系数，刚好就 是 x 三次方除以派方啊，接着他再乘以后面中的一个负一，负一负一啊，因为后面除了这个啊，他是成对出现的，所以他的系数是负 的。我们再看这一个啊，这是 x 平方，再乘以最前面的一个 x 啊，他是 x 三次方除以二派的平方。同理啊，他是这样的，这个 x 三次方除以三派的平方， 前面一个符号啊，这样不停的加下去啊，他是不是等于最开始的这个 x 三次方，所以三的结成， ok， 我们是不是把 x 方削掉啊？他是负的，一除以派方，加上一除以二派的平方 加上一除以三派的平方。这么不停的加去啊，它是等于负的三的阶层分之一啊，等于负六分之一。最后我们是不是成功得正啊，把派方移到这边来嘛，把符号削掉， 一的平方分之一，加上二的平方分之一，加上三的平方分之一，你不能加去啊，等于六分之派方。是不是通过这种方式巧妙的证明了这个题目证明的过程中存在着两个难点啊，一个理解这个一元 n 次方程，有 n 个根，他 写成因式分解的形式。第二个是为了保证每一项都相等，我们应该怎么配里面的式子啊？如果知道太了展开式的话，这个证明的过程实际上是初中就可以理解的过程啊。实际上关于这个式子还有另外一个神奇的展开啊，他展开是四分之派，等于 啊这话多聊一下这些推倒过程，并没有把这个柿子和派联系上啊，为什么这个柿子和派有关系呢？实际上 如果大家把自然数这个无限延长的轴看成一个弧，也就是说他在无穷远处又跟自己闭合的话啊，大家大致的就会理解为什么这个所有自然数的平方的导数和的六，那派方呢？ 如果大家希望知道关于这个的更详细的解释啊，可以在弹幕上打上，想知道我会根据啊这个呢视频跟大家重新的讲述一下这个公式啊，关注我，让学习变得更有趣一点。

在一七四零年，大数学家欧拉写下了著名的欧拉公式及 e 的 ipad 词方等于负一。 他将自然对数的抵译、虚数、单位癌和圆周率派这三个最常用的数学常数融为易卢，优美、巧妙，常常被称为上级公式。 可这是为什么呢？我相信很多小伙伴和我一样，第一次看到 ora 公式之后觉得满头问号，什么是 e？ 为什么服数能放到指数上？优美之余，它又有哪些应用呢？今天的视频，我将带大家以小学生二年级都能听懂的难度来理解这一晦涩而优雅的公式。 许多教科书和视频中喜欢用 type 展开来 证明欧拉公式，利用三角函数的泰勒展开变换一下再拼起来，恰好就得到了欧拉公式。然而，这样的证明有几个问题。首先，他以泰勒展开为基础，这对很多人来说未免有些尖深了。 此外，他的展开一般是定义在实数上的，推广到复数域后是否仍然成立，这里需要服变函数来回答这个问题，而这又是一个大坑。 在这期视频中，我将展示一种全新的可视化的理解方法，在地球直观的同时揭示出公式背后的几何意义。不过，为了展示这个证明，我们需要一些基础知识的铺垫。 首先，我们会回顾指数函数和 e 的来源，最后，我们会介绍负数的运算法则以及复数乘法的几何意义。最后，一切 就绪之后，我们就可以直面欧拉公式了。嗯，如果你对自己的数学有信心，可以直接跳到第三部分。 要理解欧拉公式，我们首先要理解 e 及自然对数的底 一在数学中随处可见，从光的衰减到用于近似阶层的 sterling 公式，从自然对数再到正态分布， 都有他的身影。毫不客气的说，他是知名度仅次于派的数学常数。然而，我们今天只关注他的一个方面。意的起源 e 最早是在研究复利时被提出的。假设李华有一单位的本金存进了银行年利率 vr， 一年之后他就有一加二单位的钱等等。这里有一个问题，银行一年结算几次呢？如果银行一年结算两次，每半年的收益率相应的减为二分之二，那一年之后，李华就有一加上二分之二的平方这么多钱。 第一期的收益二分之 r 也被记住了。第二期的本金额外产生的利息是李华的总收益增加了。 那如果一年分三期呢？总收益是一加上三分之二再立方，经过计算，发现他比一年两期的收益还要高。 你可能已经猜到了，当一年分的期数越多，总收益一加上 n 分之 r， n 次方就越多。令人意外的是，当期数 n 区域无穷时， 总收益并不会趋于无穷，而是趋于一个确定的极限。当 r 等于一及年化收益率为百分之一百的时候，这个极限恰好就是亿。 这里的关键在于，虽然指数 n 区无穷，但每期的收益 n 分之一也在减小，最后二者相互抵消，收敛在一个确定的值，这便是大名鼎鼎的自然对数的底。也许你的高速课本上不会介绍这段历史，但是他确实是有实用含义的。 以时间为自变量，对李华的银行存款作图，就得到了我们熟悉的指数函数，每个时刻的资金增长率都是定制，这就是指数函数的定义对吗？ 这个函数又被记为 e x p， 而 t 等于一时的值二点七八就是李华的一年后的总资金。 我们之前都假设 r 等于一，那如果 r 不等于一，会发生什么呢？事实上，通过几个巧妙的变换可以发现，此时求极限后的收益率就是 e 的 r 次方，利率越高，收益就越大，是不是很合理呢？ 回顾刚刚的分析，问题的关键其实并不在复利问题本身，关键的是我们赋予的指数函数另一种意义。在这个具体问题中， r 本身只是一个利率，但是我们也可以将 r 抽象出来，将 r 视作一个作用，作为一个抽象的变换。 当原本要变化 r 时，如果我们把变化细分成无穷份，每一次都变化 r 的 n 分之一部分，那么最后得到的就不再是 e 加 r， 而是 e 的 r 次方。 注意，严格来说，这一结论只在底数为 e 时成立。如果底数不是 e， 而是任意时数 a， 那指数上会相差一个长数。 可能有的同学已经开始好奇了，如果 e 上放的指数不是 r， 而是一个虚数，例如欧拉公式中的 ipad， 那会发生什么事情呢？ 这对应了极限中将 r 切换成 ipad 情形。但这个带虚数的极限现在对我们来说还是太复杂了，还没有办法直接处理。 我们需要进一步研究复数和复数乘法，将他们理解的更透彻，才能回来处理这个极限。关于复数，我不打算从头讲起，那样的话，视频就太永长了。如果你对复数或者抚平面完全不了解，我建议你可以 先去看一看刘老师做的这个视频，或者医术的这个视频，讲的都很好。这是一根竖轴，将负一开根号就得到了虚数单位癌，所有实数和虚数组合在一起，就得到了全体复数，又或者说抚平面。 这里我不得不提一句，抚平面这个概念最早也是由欧拉引入的。复数的加减法很简单，只需要把十步和虚步分别相加就可以了， 反应在抚平面上，就是两个复数对应的相量相加。但复数的乘法就有些复杂了，我们要用乘法分配率展开四项化减整理之后，才能得到一个仍然看上去很复杂的式子。复数乘法真的就只有这样粗鄙的理解方 是吗？答案是否定的。当复数被放在平面上的时候，我们其实还可以用另一种方式来描述复数，不是用横纵坐标，而是复数与十轴的夹角和踏到远点的距离 这两个量。对于符数其实还有专门的叫法，这就是人们常说的符角和魔肠。如此一来，我们除了可以用食部和虚部描述一个符数之外，还可以用符角和魔肠来描述它。这两种描述方式是等价的， 这就好像把浮平面看作极作标题一样。下面我们来看几个具体的例子。例如，对于符数，根号三加 i， 它与十轴的夹角是三十度，模长则可以根据勾股定理算出是二。如果 我们想让他的辅角是四十五度呢？利用三角函数很容易就可以算出对应的符数是根号二加上 i 乘以根号二。我们关心的问题是，如果两个符数相乘，会发生什么？ 面对这样一个复杂的数学问题，一个好的习惯是先从简单的例子入手。我们不妨先考虑根号三加上癌乘以他自己的情形， 打开四项，利用 i 的平方等于负一化减，再合并同类项，最终就得到了二加上二，根号三 i。 这个结果的辅角是六十度，刚好是两个因数的辅角相加，而它的模长是四，刚好是因数的模长的乘积。真的有这么巧吗？我们换几个数试试看。已知二加 i 的辅角 是二十六点五度，而他与自己的沉积也就是三加四。矮浮角是五十三度，刚好是二十六点五度的两倍。 到了这里，我们好像发现了一个规律，两个符数相乘，结果的符角是因数，符角的相加结果的模长则等于原来因数等模长的乘积。 不过，这是我们从归纳观察得出的结论，并不严谨。事实上，利用三角函数的和插角公式，我们可以在一般情况下严格的证明这一结论。由于证明有些永长，我就不仔细推倒了，有兴趣的话可以暂停观看。 这意味着什么？这意味着我们对复数乘法有了一个全新的、强有力的理解手段。复数乘法不再仅仅是一坨灰色的 代数推倒，而被赋予了鲜明的几何意义。一个负数 z 乘以另一个符数 z 二，就相当于在辅平面上逆时针旋转了 z 二的辅角，再根据 z 二的模长放缩相应的倍数。 有了复数乘法的几何意义之后，我们终于可以直面殴打公式了， 还记得吗？我们在第一部分通过复利的概念和无限细分的方法，引出了指数函数和 e。 一个很自然的想法是，如果把这一思想运用到复数上，会发生什么？ 这里我们选取了欧拉公式中的 ipad 作为代表，当然，你也可以带入其他的复数。注意，在等式的左边，复数已经出现在了指数上，这看上去有一些离经判， 但此时等式的左边正是由等式的右边定义的义的 ipad 次方，并不意味着义乘自己连续乘上 ipad。 不，不是这样的，它是由右边的极限定义的。换句话说，我们正在发明新的数学理论。 大多数没有受过正规训练的同学可能会对右边的极限束手无策，但索性我们刚刚研究过辅助乘法的几何意义，而这正是处理这一问题的有力工具。 等式的右边其实不过是一串复数的连城，而处理任何极限，一个有效的方法都是先看看 n 比较小的情形。让我们先从 n 等于一的时候开始，从一乘以一加上 ipad， 得到的结果就是一加上 ipad 扫过的面积。我用 这个小三角形表示。当 n 等于二时，我们把一加上 ipad 分成两部分，先乘以一加上二分之 ipad， 然后再乘一次，得到的结果。在这里， 当我们乘以一加上 ipad 除以二，小三角形变矮了，因为虚步变少了。当我们再次乘以一加上二分之 ipad， 根据复数乘法的几何意义，我们只需要再次转过相同的角度，放大相同的倍率。 从一怎么到一加上二分之 ipad， 那么从一加上二分之 ipad 就怎么到它的平方， 注意到了吗？扫过的区域仍然是一个直角三角形。因为两步我们扫过的三角形是相似的，我们乘以了同一个符数。那 n 等于三呢？一加上三分之 ipad， 再乘以一加上三分之 ipad， 再乘以一加上三分之 ipad 等于四呢？一二三四。 聪明的同学可能已经猜到会发生什么了。随着 n 不断的增大，这些三角形会逐渐的弯曲、收拢， 最后当 n 区域无穷时，变成一道半圆。这也就对应了连乘机一一加上 n 分之 ipad， n 次方会越来越趋向抚平面的左边。可这是为什么呢？ 让我们来看一看每一个小三角形。当 n 很小的时候，他们都是直角三角形，斜边与直角边相比，每一步都增长了很大的比例。而当 n 很大的时候，三角形越来越扁，斜 边与直角边几乎相等。每乘上一个，一加上 n 分之 ipad， 几乎不改变原来的模长。当 n 区无穷的时候，每个小三角形近一次成为了一个很扁很扁的扇形，模长就不再增长了，而整个一连串的三角形也就变成了真正的弧形。 嗯，有的同学可能会觉得这样推理不严谨，每个三角形的边长增量是无穷小，可以看作一个扇形。但无穷的三角形放在一起就不一定了。 一加无穷小等于一，但一加无穷小的无穷次方就不一定了。严格来说，这是一个一的无穷形式的未定式。但实际上可以证明，每个小三角形带来的模 长增量是 n 分之一的高。介物从小因此连成 n 次之后，极限的结果还是一受篇幅限制，我就不展开了，有兴趣的同学可以参考高数课本。 言归正传，我们的下一个任务是确定这个扇形的终点落在哪。确定了终点在抚平面上的位置，我们也就确定了原来连成绩的极限，进而也就得到了亿的 ipad 四方的结果。 看上去，负一是一个非常显然的结果，但是我们希望能给出一个更具体的解释。实际上，这并不难回到 n 等于一的情况， 大三角形的竖直直角边代表虚部，长度是 pi。 而当 n 区域无穷的时候，每一个小三角形 意味着乘以一加上 i 乘 n 分之派，那么它的直角边边长就是 n 分之派。所有小三角形的短直角边共同构成了大圆弧的周长，因此整条圆弧的弧长就是 n， 乘以 n 分之派等于派。 根据弧长公式，我们立马就得到结论，圆形角是一百八十度，这确实是一个完整的半圆。 由于半径是一，我们立马就可以读出圆弧的终点就是抚平面上的负一。从而我们也就证明了 ola 公式 e 的 ipad 次方等于负一。 数学中有一句话，当一个公式中出现派的时候，你一定要去问自己那个圆在哪里？ 当我们谈论 ola 公式时，千万不要认为 ola 公式是变了什么戏法，在十轴上把 e 变成了负一。恰恰相反， ola 公式的奥妙在负平面上，他借助极限和单位源的力量，在十轴上方深为打击，绕了一大圈之后才来到了负一。 如果只有十轴是不可能完成这一任务的。换句话说，欧拉公式中的那个圆在抚平面上。 现在我们已经对欧拉公式有了形象而扎实的理解，我们还可以进一步将它推广。 如果公式中出现在符指数上的不是派，而是任意角 cat， 那会发生什么？当符指数上带入另一个符数，我们仍然可以通过前面的极限来 理解。进一步，我们最终仍然可以回到熟悉的抚平面上，通过几何的直觉来理解他。回到刚刚的三角形和弧形。此时，小三角形的短直角边长都变成了 n 分之 cta， 而不是之前的 n 分之派。 最后的弧长也相应变成了 seta 而不是派。利用弧长公式，此时圆弧的圆形角就是 seta， 终点落在 cosine seat 上，有 seta 的位置，也就是 cosine seta 加上 i sine seta。 例如，当 cta 等于二分之派，圆弧的圆形角便是一个直角九十度，终点刚好落在曲轴上及虚数单位 i。 而当 cta 等于派时，我们就回到了之前的情况。这样一来，我们就得 得到了更为一般的欧拉公式。 e 的 i sit 次方等于 cosin sit， 加上 i 乘以 sine sit。 你以为故事到这里就结束了吗？不，才刚刚开始。 由于欧拉公式和圆有着千丝万缕的联系，许多科学领域中常常用它来表示旋转。在 cta 中插入 omegat， 我们就有了一个随时间 t 增长的圆形角，这就是旋转，一种可以被数学语言描述的旋转。 在力学和电学中，科学家用它来表示震荡。在光学中，物理学家用它来表示电磁波的相位。甚至在复利业变换和量子力学中也因此而有了欧拉公式的身影，可以 说，欧拉公式已经成为理工科不可替代的一块基石，在机械、光学、电力、原子物理等领域有着重要的应用，竟然影响着我们生活的方方面面。欧拉公式你学会了吗？

听说你的孩子很聪明，那就让他看看这个吧。这是派，这是欧拉，很懂事。哎，派怎么会跑到这里去呢？走，跟上可丽的节奏！我们都知道他是圆周率，而圆周率是圆的周长和直径的笔直，可以用来记载圆的周长， 也可以用来计算员的面积。但在欧拉红等式中，他表示的是弧度，那么弧度又是什么呢？他和角度有什么关系？弧度是一个测量角度的单位，就像读书一样。但不同的是， 弧度是基于圆的半径与该圆周上的一段弧的关系定义的。也就是说，如果一段弧的长度等于圆的半径，那么这个角度就是一弧度。所以如果用弧度表示圆的话，整个圆又要拍弧度，因此一度等于一百八十分之拍弧度。用这个 等价关系，我们可以推算出弧长的计算公式， l 等于西塔乘以二。派啊，除以三百六十化减一下得到， l 等于西塔乘以二。值得一提的是，在现实生活中，角度使用的比较多， 因为使用角度会使表达更加直观，而弧度则更多地使用在科学计算号数学中。因为使用弧度会使表达更加简洁，所以在意的泰勒奇术展开以及 优拉公式等著名数学公式中，通常甲丁 ax 是已弧度位单位的角。怎么样，学会了吗？关注本派盟数学回回考第一！