拉普拉斯进化顺序图

拉普拉斯变换是副理业变换的升级版，是的，你没有听错，就像功能手机升级到智能手机一样，非常厉害的。那么为什么要升级副理业变换？又有哪些问题呢？ 你可能觉得复理业变幻已经很强大了，既然这么强大，那除了处理信号之外，能不能用它来干点别的？ 比如解危分方程？还真有这个可能，因为复理业变换有一个重要的性质，那就是函数 n 解导数的复理业变换等于其复理业变换乘以 i o m a， g r 的 n 次方。 现在有一个微分方程， y 的二节导数加 y 等于负的 f。 解微分方程就是要把 yt 的函数解析式求出来。我们将微分方程的等式两边同时进行 行复理页变换，再利用函数倒数复理页变换的性质，就能把微分方程变成简单的代数方程了。这里的大 f omega、 大 y、 omega 分别是小 ft 与小 yt 的复理页变换， 这样就很容易求出大 y omega， 然后再通过复理页逆变换就可以得到 yt， 很完美，像变魔术一样就把微分方程解出来了。 这就是传说中的解危分方程的神器吗？还不能高兴的太早，马上就要面临问题了，因为富力爷变幻存在着比较严苛的限制条件，他要求函数必须是有限个断点，有限个集值， 最重要的是他要求函数绝对可击，意思就是信号函数在富无穷到正无穷上必须是有限的，因此无数的常用函数，诸如指数函数、 二次函数，甚至连常数函数都不能进行复理页变换。与此同时，复理页变换在处理信号衰险的时候也面临困难。比如在物理学中，单摆的运动会被看作是一种简协运动， 用一个关于时间的函数来表示他近似于一个正弦曲线。用复理页变换就能得到更简单的疲欲表达，看起来很完美，但是在自然界中却无法真正找到这样的间隙运动，因为真实世界总会受到阻尼的影响，所以实际的运动函数可能是这样的。 事实上，单百会按照一种指数衰减的模型逐渐变小。自然界中有许许多多现象符合指数衰减的规律，比如地震波的传递，放射性物质的衰变。再比如人们记忆的遗忘曲线护理液变 换能告诉我们函数中存在哪些正弦曲线，却不能很好的处理衰减因素。如此一来，拉普拉斯变幻便应运而生。拉普拉斯变幻本质上是复利业变幻，更一般的泛化形式。为了说明什么是拉普拉斯变幻，我们通过一个例子来展开接下来的讲解。 对于不满足复理页变换要求的二次函数 f t 等于 t 的平方，把这个函数乘以一个衰减系数 e 的富伽马 t 次方。这样一来，当 t 趋于无穷大的时候， t 的平方乘以 e 的富伽马 t 次方，在无穷大处的极限是零。 为了把小于零的部分过滤掉，我们再乘以一个单位积月函数，这样就可以得到一个可以进行复理页变换的新函数 g t 了。把 g t 的复理页变换展开，在 把指数部分合并到一起是这样的。然后把伽马加 iomega， 用一个复数 s 代替，这就是拉普拉斯变换，它是一个从食欲到复数欲上的积分变换，其中复数的虚部代表频率，食部代表着衰减因子。 这个函数的输入输出都是负数，所以涉及到四个变量，它的图像可以用一个立体图形来表示。 输入 s 用负平面上任意一点表示。输出 fs 的模长用 s 到曲面的垂直距离来表示，而 fs 的香味就用颜色来表示。 当你把图像画出来，就会知道，复里叶变换其实是三维图像中伽玛等于零时的切面，也就是过须轴的那个切面。这就是为什么拉普拉斯变换使复里叶变换更一般的泛化形式。 现在我们可以结合衰减系数，把任意的函数分解成若干代指数衰减因子的正弦函数的线性组合。这样一来，我们就可以按照真正的衰减规律分解信号了。 更重要的是，拉普拉斯变换没有复利业变换那么多的限制条件，他可以轻松地用于求解微分方程。 现在我们去试一下函数一阶倒数的拉普拉斯变换是这样的，二阶倒数的变换是这样的。再回到刚才的微分方程， y 的二阶倒数加 y 等于负 f， 对方程两边同时进行拉普拉斯变换就是这样的。同样的道理，我们可以得到关于大 ys 的代数方程。求出 ys 之后，再进行拉普拉斯逆变换，就可以求出函数 yt 了。因为不存在复利 变换那样的限制，他对于大多数函数都适用，所以他被广泛用于求解线性常微分方程、偏微分方程和积分方程等问题。怎么样？关于拉普拉斯变换你了解了吗？今天的讲解就到这里，您可以关注梯度世界，了解更多精彩内容。

注意看，这只猴子在一个数学情景下，遭遇到了一个二元函数，这个函数呢，有两个变量，分别代表仙女和桃子，这两个变量之间呢，相互影响，比如仙女会造成桃子数量的迅速衰减， 等到桃子衰减到零的时候呢，整个函数值也会趋近于零，也就是桃子没了，仙女也跑了，那可真是鸡飞蛋打。所以猴子当机立断采取了措施，他拔下了猴毛，定住了仙女变量，这样他就可以完全控制桃子变量。虽然对于猴子定住仙女后，居然选择去摘桃子的行为，让我们觉得 那啥哎，但从纯粹数学角度来看呢，他的选择实际上是一个很牛的数学模式。让我们单独把函数拎出来看看， f 等于 x y， 嗯，在多元函数里呢， 他确实可以算得上是相当简单的，我们可以把它看成是一个面积函数，只不过长和宽都不确定，所以呢，面积增长的方向，增长的速度都是未知的。所以我们要怎么去分析这个函数呢？还好猴子已经给我们指明了方向，我们定住一个变量，这样呢，就可以完全控制另外一个变量了。 比如我们像猴子一样，定住仙女来整活，假设是定在二这个数字上面，那么整个函数就变成了 f 等于二 x， 那么它的面积增长呢？就是这样，其中一条边呢，一直保持二这个数字不变，哎，居然变成了一个连小学生都能计算的东西了。 这就是为什么说猴子的数学模型很牛的原因，他把复杂的东西瞬间变得非常的简单。当然你肯定要说了，可是我们只是假定仙女是二啊，而实际上人家仍然是个变量啊。嗯，你是 对的。不过呢，也好办啊，我们可以参照一下福利业变换的做法，整出一个频谱表出来。只不过这一次呢，我们的横坐标不是频率，而是函数在仙女变量在各个定格下的所有状态。 因为我们已经知道，所谓七仙女就是七个仙女，所以横坐标呢，就是七个坐标，他们表示函数的七个状态。或者你也可以理解为一个复杂函数被转换成了七个简单的函数，这其实就是复利业级数的思路，我们展示借用一下，现在我们来变化一下 x 的值试试。 哎，七个函数的变化呈现出明显的规律性，也就是说，如果我们把这七条平谱线连接起来的话，我们又能把七个简单函数组合成另外一个函数。而且很明显，这个新的组合函数呢，跟我们的原函数 f 等于 x， y 是不一样的。嗯， 很有意思哦，我现在非常好奇这个新的函数到底长成啥样，问题是怎么求出这个新函数来呢？我们来观察一下这个平谱表，当我们把七个函数顶点连接起来以后呢，整个画面看上去就很像是一个弥漫合的过程图。弥漫合是干啥用的？ 求定积分呗。那我们就来求一求定积分，为了简单起见，我们就求从零到十这个区间的定积分吧，他的式子呢，就是这个样子，要注意的是，式子里的 y 就是我们的仙女变量， 他们现在呢，已经被我们定住，所以在求积分的时候呢，直接把他们看成是长数就好了，那这样一个积分就很简单，我们口算一下，因为我们知道 x 平方的倒数呢，就是二 x， 那么能够得到 x 为导数的圆函数就一定是 x 平方除以二。然后我们再把上下界的边界值带入到式子里来，再用上界减去下界，就 得到了一个新的函数 g 等于五十 y。 哎，居然从一个二元函数变成了一个一元函数，桃子变量直接就被消元了。为啥会这样呢？因为之前我们是从猴子的视角来看 f 等于 xy 这个函数， 而现在呢，我们是从仙女的视角来看整个函数，仙女的视角当然跟猴子的视角不一样了。好了，先不管那么多，反正呢，这是我们自己推导出来的一个数学变换，虽然价值可能比不过复利业变换， 但至少对于我们自己而言，其意义也是十分的巨大。因为五十年之后呢，我们很可能会因为这个变化而成为科学院的院士，所以现在我们必须给他起个名字，呃，因为我们家养的喵的名字叫做饺子，所以呢，我们就叫他饺子变换吧。 好，我们来把饺子变换的公式整的正规一点。我们刚才所做的一切呢，都已经在这个式子里了，现在让我们把 s 这个空位给留出来，再随 边丢一个函数进去，这样整个式子就变成了一个黑盒，你输入一个函数，得到的是另外一个消过元的新函数，所以它本身呢，是一个函数的函数。因为这个变换现在叫做饺子变换，所以我们用一个话题字接来表示它。 于是最终的饺子变换公式就变成了这样，他就表示，你把任意一个函数乘以一个仙女变量，经过饺子变换之后呢，就得到了一个只含有仙女变量的新函数， 而你原来的变量呢，就被无情的消原掉了。嗯，明白了，这其实就是个参考系的变换，把原来的 x y 参考系变换到了仙女变量的参考系之下。不过为了严谨起见，我们把这个成果先提交给数学史上最擅长变换的拉弗拉斯来看看。 他看了以后就笑了，说，你这个饺子变换虽然是正确的，但是连个鸡毛的用处都没有啊，啊，凭什么啊？他说，你看， 你这个变换最大的问题就在于他只能够研究固定区间的函数，一旦你把积分上界扩展到无穷大，整个变换就会变得非常的不稳定。比如当我输入 s 平方这个函数，因为他是发散的，那么你的积分值在仙女变量的任何分段下都会是无穷大，那就一点意义也没有了。 呃，这确实是个问题，不过拉普拉斯接着说，所以仅仅只是乘以一个仙女变量是不够的，我们需要的不是一个仙女变量，而是一个仙女函数。这个仙女函数呢，应该能够完成这么个功能，就是他能够把发散函数都给整收敛了。 哦，有这么个函数吗？呃，你可以试试这个函数，也就是一的负 x y x 方，当我们把仙女定住，比如定为二的时候，这个函数就长成这个样子。这个函数的特点呢，就是他会很快的趋向于无穷小，并且一直在延 好，我们再拿刚才那个发上函数来试试，也就是 x 平方，把它乘以我们的仙女函数，你瞧，一个发上函数就被整的服服帖帖，老老实实的趴在了地上，而且当我们来改变仙女参数从一到七，我们的发上函数呢，就会变得越来越服帖， 哎，很有意思哦。所以我们要定住的不是一个变量，而是一个能够控制收敛的函数，而能够完成这一使命的函数呢，就是一的负 x y x 方，所以我们用它来替换掉我们的鲜血变量，于是公式呢，就变成了这个样子。 不过这个时候拉普拉斯说了，兄弟，不好意思啊，这个变换呢，现在不能够再叫做饺子变换了，我决定叫他拉普拉斯变换，于是他把狮子中的几个符号换了个写法，变成了下面这个样子。没错了，这就是让无数大学生一听名字就泪流满面的拉普拉斯变换，他实际上就是这么简单，说白了， 他就是一种换元法，用这种方法呢，可以把一些复杂的计算先换到更简单的视角，也就是我们所谓的仙女视角，解算完成之后呢，再换回来，非常的方便。然而，到底什么是仙女视角呢？被变换的函数在仙女的眼里到底又是个什么样子的呢？ 我们先直接给出答案。在仙女的眼里呢，韩叔又一次回到了副品面，而且再一次被绑在了一个高阶的欧拉大转盘上，被甩来甩去。不过呢，这又是一个新的话题了， 我们下个视频再详细说，因为接下来我们还需要解释一下上个视频里留下的作业。首先是派等于四的问题，我们在不断切掉正方形缺口的时候呢，会形成一个由长条形所组成的近四圆形，他的面积确实是无限接近于圆的， 因为这很明显是个弥漫核嘛。但是在边角的处理上，这种切法跟割元素呢，有着致命的差别。以割元素来切割的话，随着多边形边的增加， 两边之间的假角也会变大，当切成无数边的时候呢，这个假角就会趋近于圆滑，使得最终的多边形处处可到。然而以正方形或者矩形的方式来切呢，直角永远都会是直角，所以我们得到的其实是一个面积与圆相等的锯齿盘。 我们来总结一下，凡是回答直角不变、锯齿圆以及分型的朋友，你们都是对的。另外还有位大神级的朋友用 l e 范数来解释了派等于四，在某类飞欧几何中也是说的过去的。这个回答实在是太赞了，说实话，我自己都还没有这么深入的去思考这个问题， 惭愧啊。因为没有来得及征求这位朋友的同意呢，我不敢私自展示他的 id， 这里就直接贴上他的回答来膜拜一下。范数这个概念呢，就是在不同的空间中如何去定义两个点之间的距离。这位朋友的回答里呢，已经解释的相当的清楚，我就不做展开了。另外还有 很多朋友直接回答了，没什么好反驳的，他也就等于四啊。呃，因为我不知道你也是用 l e 范数来理解这个问题呢，还是直接躺平呢？ 所以我这里就只好仰天长啸两次好了。今天我们从积分换元的角度来阐述了一下拉普拉斯变换，个人感觉从这个角度来理解呢，是最直接了当的，但拉普拉斯本人其实并不是从这个思路来推导的。下一期视频，我们一起来顺着拉普拉斯本人的思路来重新推导一遍拉普拉斯变换。 在这个过程中呢，我们将再一次感受到欧拉公式的无所不在。感兴趣的朋友请千万别忘了点赞加关注哦，拜拜！

好，我们再来看这道题啊，求下列时间函数的拉 plus 变换收敛欲以及零级点图。 第呃，第一个就直接套公式了，单边指数的公式，一的负 a t 乘上 u t， 它的拉式变换就是 s 加 a 分之一，所以呢，第一问的就是 s 加二 分之一，再加上 s 加三分之一，然后收敛域呢？啊，收敛域，第一个是 i s 大于负二，第二个呢，是 i s 大于负三，其他收敛的交集就是 i e s 大于负二，对吧？好，然后我们再来看第二问 啊，第二问，第一个还是它是 s 加四分之一哎，第二个呢，这个是 e 的负五， t 成 u t， 然后又成了 sine 五 t， 哎，我们碰到 sine 的话，优先级是最高的，什么先乘 sine omet 乘右梯啊，下 omet 就是 s 方加上 omeg 方分之 omeg， 然后呢，乘以的负五梯代表 s 一位啊，所以就是把所有的 s 变成 s 加五 的平方啊，哎，随之就是它的拉式变换啊。然后呢，第一个针对第一个信号，它是 i r e s 大于负四，针对第二个呢，是 i e s 大于负五啊，水综合就是 i e s 大于负四啊，啊，对，它还让画零几点图啊。我们第针对于第一个，第一问的零几点图，就是一个在负二， 二也是在负三，负二负三，然后横坐标是 i e s， 然后这是 i m s 或者 g m m s 啊，好啊，第二问的零点图是在这么画的啊， 或者你用西格玛和这种梅格也行啊，它有个极点是 s 等于负四，这就是负四，然后还有一个呢，是 s 等于，这是多少？负五加减五之一，对吧？负五加减五之一，你要分母等于零，你就能求出来啊，所以它就是在负五这里， 然后纵坐标呢，有个加减五之一啊，所以它就是还有两个极点在这里的啊，还在这里啊，然后它还让我们画零点，是吧？还让我们画零点啊，这个你还得给它通分啊，才能画出它零点， 所以它第一问的这个零点就是 s 加二，乘上 s 加三分之二， s 再加五，所以这个零点是 s 等于负二分之五，负二点五 在这啊，然后还有个零点在哪里？在无穷远处，在无穷远处有一个零点，因为你 su 穷的时候，它是等于零的啊，然后零点的个数呢，是要和极点个数相同的啊， 如果不同的话，就在无穷远处去凑啊，然后这个呢，这个其实也要同分啊，有点麻烦。 同分之后它应该是 s 加四啊，乘上这个，然后再 s 方加上 这 s 加五的平方，是吧？ s 加 s 方加十， s 再加五十再加五，然后再去减啊， 然后再去再去求出他的这个零点啊，这我就不给他求了。 好，然后我们再来看下一个，下一个是 e 的二 t 乘以 u 负 t 和 e 的三 t 乘以 u 负 t 啊，这个呢，也是直接可以背下来，我们知道 e 的负 a t 乘 u t 啊，或者 e 的 a t 乘 u t 的拉式变换，我们就可以直接写出来， e 的 a t 乘 u t， 它就是 s 减去 a 分之一，对不对啊？然后呢，这个它变变优负题的话相当于什么？我们还知道 它的反变化的话，如果是非因果的反变化，是负的一的 a t 再乘上 u 负 t， 对不对啊？所以把这个符号拿过去，我们就得到一的 a t u 负 t， 它的拉伸 变化就是负的 s 减 a 分之一啊，所以这个就是负的 s 减二分之一，然后再加上负的 s 减三分之一啊，所以就是负的 s 减二分之一加上 s 减三分之一 啊，所以这个极点呢，一个在二，一个在三啊，但是他左边开口这个是 i e s 小于二， j i c 小于三，这是他在收敛意识在最左侧极点的左边啊，西格玛小于二， 然后零一点，图啊，就是通分之后，你找他零点就直接一划就行了。好，我们再来看第四个啊， 这个第四个是双边指数信号有绝对值，我们要把绝对值去掉啊，所以他就是 t 乘上 e 的负二， t 乘 u t， 然后再，哎，前面还有句子，当 t 大于零的时候是它，是吧？当 t 小于零的时候，它是减去 t 再乘上 e 的二 t 再乘上 u 负 t， 对吧？然后分别对这两个进行拉式变换就行了。针对第一个，它的拉式变换是 那 t 乘 u t， 它的油烟机更高啊，有一指数油烟机降到最低啊。 t 乘 u t 的拉式变化是 s 方分之一，然后一的负二梯呢，进行 s 一位，所以就变成了 s 加二的平方分之一，哎，然后收敛率呢？是 is 大于负二 啊，然后呢？这第二个呢？它是 t 乘上负 t 乘 u 负 t 负梯乘上一个负梯，他刚好也是 s 方分之一是吧？啊，所以这个乘乘一的二梯就是加上 s 减二的平方分之一，对吧？啊，所以我们把这两个给他加到一起啊，加到一起， 所以我们就能表述他的这个几点啊，一个是在负二处的二阶几点，一个是在二处的二阶几点，注意这个表述几点的时候才表述二阶啊。呃，直接 这样画一个叉啊就可以了，我觉得，然后在下面写在负二处和正负二处为二阶几点， 然后再同分求它零点啊，然后呢，我们看第一项，它的收敛率是 i e s 大于负二，第二项呢，是 i e s 小于二，所以它的收敛率就是负二到二， 是吧？啊，好，然后我们再来看，哎，我们这个是看的是第五个是吧？第四个是还没讲， 我们来看下第四个啊，这四个跟它的差别就差了一个 t 的绝对值啊，所以就是在这块变成正的就行了，对吧？啊，这个题不影响前面的，所以这就是减啊，这是第四问的话，跟它的几点位置是相同的，但是零点会有差别啊。 好，然后我们来看 f 的这一个 f 这一个呢？它这个虽然它加了 t 的绝对值，但后面有个 u 负 t u 负 t 代表 t 小于零，所以这个绝对值加跟没加一样，绝对值就等于负 t 的，对吧，因为它已经把 t 限定在小于零的时候了。 再就是负梯乘以的负二梯，再乘上右负梯，然后负梯乘右负梯呢，是 s 方分之一，然后一的负二梯代表 s 一位，它就是 x 加二的平方分之一，所以它的这个是在负二处有一个二阶的起点的啊，然后在无穷处有个二阶零点。 好，然后我们再来看下一个 g x t 等于，在 t 大于等于零，小于等于一的时候就等于一，所以我们给它分段函数去掉，给它形成表达式的形式，它就是 u t 再减去 u t 减一， 就用拉式变换，它就是 s 分之一，再乘上一减去一的负 s 啊，然后几点呢？是哎，这个几点大家注意啊，因为它是一个实线信号啊，所以它虽然说这块有个几点， 但是你发现没有，他零点也是在零处的，所以他零处你可以这么画，在零处有个极点，同时有个零点，然后在下面标标注一下啊，这个在零处零极点相消啊，他其实瘦脸就是瘦脸，就是全平面，这个瘦脸就是全平面， 实现信号收敛欲全平面，然后下一个 h h， 这个，哎，还是去啊，我们去这个 分段函数，哎，翻他其实也是个实线型号，对不对？我们不用求就知道他收敛率一定是全平面啊，就梯程上 ut 再减去 ut 减一， 然后再加上二减七，再乘上 u t 减一，再乘上 u t 减二， 减去啊， u t 减一的减去 u t 减二啊，然后呢？这这种题啊，其实，呃，我们用那个微分性质求的更快一点啊，求他拉式变换就是零到一的时候是在这，对吧？一到二的时候呢，是在这， 是吧？啊，所以他这个三角什么用？微分性质，高是高是一啊，高是一，微分性质呢，就他求二阶倒，求二阶倒的话，他就变成了一阶倒是这样， 二十一，这是负一，二阶档呢，就是这样两个冲击了啊，这是一个冲击高度为一，这呢冲击高度为二，负二啊，啊，这呢有个向上的冲击为一，所以你求他的 拉这变化，如果你求出来的话，它是等于一减去二倍的 e 的， 这个应该就是一，是吧？一的负 s， 然后再加上一的负二 s， 对吧？啊，然后呢，再除以 s 方，因为它是二阶微分嘛，我们知道 f 两撇 t 就是等于 s 方，它的福利啊，就是等于它拉拉不拉丝啊，就是 s 方乘上 f s， 所以 f s 就等于 f 两百 t 的拉伸变换，除以 s 方， f 两撇 t 的拉平就是它的，除以 s 方就是我们这道题的结果啊。然后呢，它这道题收敛意识全平面，因为它会产生零点相消的相相消的现象，你会发现它这个分子可以写成一减去一的负 s 的平方，分母呢，是 s 方啊，所以分子在 s 零处有二节极点， 分母在 x 零零处分，分子在 x 零零处有二阶零点，分母在 x 零零处有二阶极点，所以相消收敛 点域扩大全平面。好，让我们再来看下一个， x t 等于 dert t 加上 u t， 它的拉不拉丝直接可以写啊，就是一加上 s 分之一，然后在 x 等于零处有个几点啊，收敛域是 r e s 大于零，然后下一个，哎，是 这什么冲击带尺度变换的是吧？哎，这个得了三 t 我可以写成什么？可以写成三分之一得他 t u 三 t 啊，大家注意， u 三 t 它只是里面代表一个范围啊，因为它跟它定义有关，我们借阅的定义就是括号里面 三 t 大于零的时候，哎，这个东西 ft 是等于一的，三 t 小于零的时候， ft 等于零。哎，所以它就跟你看它解出来它是就相当于 t 大于零和 t 小于零，所以 u 三 t， 大家记住， u 三 t 就是等于 ut 题的，所以它可以化解成三分之一 u t， 三分之一的 l t 加上 u t， 它的拉布拉斯就是三分之一，再加上 s 分之一啊，所以它这个积点也在 s 等于零，然后收敛率呢？ s 大于零。好，这是这道题的全部内容。

拉普拉斯变幻是护理液变换的升级版？是的，你没有听错，就像功能手机升级到智能手机一样，非常厉害的。那么为什么要升级护理液变换？又有哪些问题呢？ 你可能觉得复理业变幻已经很强大了，既然这么强大，那除了处理信号之外，能不能用它来干点别的？ 比如解危分方程？还真有这个可能，因为复理业变换有一个重要的性质，那就是函数 n 解导数的复理业变换等于其复理业变换乘以 i omega 的 n 次方。 现在有一个微分方程， y 的二节导数加 y 等于负的 f。 解微分方程就是要把 yt 的函数解析式求出来。我们将微分方程的等式两边同时进行 行复理页变换，再利用函数导数复理页变换的性质，就能把微分方程变成简单的代数方程了。这里的大 f omega、 大 y、 omega 分别是小 ft 与小 yt 的复理页变换， 这样就很容易求出大 y omega， 然后再通过复利业逆变换就可以得到 yt， 很完美，像变魔术一样就把归分方程解出来了。 这就是传说中的解危分方程的神器吗？还不能高兴的太早，马上就要面临问题了。因为富力爷变幻存在着比较严苛的限制条件，他要求函数必须是有限个断点，有限个级值， 最重要的是他要求函数绝对可击。意思就是信号函数在富无穷到正无穷上必须是有限的，因此无数的常用函数，诸如指数函数、 二次函数，甚至连常数函数都不能进行复理页变换。与此同时，复理页变换在处理信号衰险的时候也面临困难。比如，在物理学中，单摆的运动会被看作是一种简协运动， 用一个关于时间的函数来表示，它近似于一个正弦曲线。用复利页变换就能得到更简单的疲欲表达。看起来很完美，但是在自然界中却无法真正找到这样的间隙运动，因为真实世界总会受到阻尼的影响，所以实际的运动函数可能是这样的。 事实上，单百会按照一种指数衰减的模型逐渐变小。自然界中有许许多多现象符合指数衰减的规律，比如地震波的传递、放射性物质的衰变。再比如人们记忆的遗忘曲线，复理液变 患能告诉我们函数中存在哪些正弦曲线，却不能很好地处理衰减因素。如此一来，拉普拉斯变幻便应运而生。拉普拉斯变幻本质上是复利业变幻，更一般的泛化形式。为了说明什么是拉普拉斯变幻，我们通过一个例子来展开接下来的讲解。 对于不满足复理页变换要求的二次函数 f t 等于 t 的平方，把这个函数乘以一个衰减系数 e 的富伽马 t 次方。这样一来，当 t 趋于无穷大的时候， t 的平方乘以 e 的富伽马 t 次方，在无穷大处的极限是零。 为了把小于零的部分过滤掉，我们再乘以一个单位积月函数，这样就可以得到一个可以进行复理页变换的新函数 g t 了。把 g t 的复理页变换展开，再 把指数部分合并到一起，是这样的，然后把伽马加 iomega， 用一个复数 s 代替，这就是拉普拉斯变换，他是一个从食欲到复数欲上的积分变换，其中复数的虚部代表频率，食部代表着衰减因子。 这个函数的输入输出都是负数，所以涉及到四个变量，它的图像可以用一个立体图形来表示。 输入 s 用负平面上任意一点表示。输出 fs 的膜长用 s 到曲面的垂直距离来表示，而 fs 的香味就用颜色来表示。 当你把图像画出来，就会知道，富里耶变换其实是三维图像中伽玛等于零时的切面，也就是过虚轴的那个切面。这就是为什么拉普拉斯变换使富里耶变换更一般的泛化形式。 现在我们可以结合衰减系数，把任意的函数分解成若干带指数衰减因子的政协函数的线性组合。这样一来，我们就可以按照真正的衰减规律分解信号了。 更重要的是，拉普拉斯变幻没有复利业变幻那么多的限制条件，他可以轻松地用于求解微分方程。 现在我们去试一下函数一阶导数的拉普拉斯变换是这样的，二阶导数的变换是这样的。再回到刚才的微分方程， y 的二阶导数加 y 等于负 f， 对方程两边同时进行拉普拉斯变换就是这样的。同样的道理，我们可以得到关于大 ys 的代数方程，求出 ys 之后，再进行拉普拉斯逆变换，就可以求出函数 yt 了。因为不存在复利 变换那样的限制，他对于大多数函数都适用，所以他被广泛用于求解线性常微分方程、偏微分方程和积分方程等问题。怎么样，关于拉普拉斯变换你了解了吗？今天的讲解就到这里，您可以关注梯度世界，了解更多精彩内容。