二次函数压轴题存在性问题
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03:23查看AI文稿AI文稿九年级期末重难点二次函数综合相似存在性问题好还是叠变里的题？如图，有这样一根抛物线，他过点 a 六斗零过点 b 三斗二分之三与 y 轴交于点 c， 连接 a、 b 并延长交 y 轴与点 d 圈一，求该抛物线的表达式。那这一问呢？比较简单，我们利用待定系数法，再通过点 a 和点 b 的坐标即可得到抛物线的表达思维。 y 等于负的二分之一， x 的平方加上四 x 减去六， 而抛物线与 y 轴焦点 c 的坐标为零斗负六。另外，我们同样可以通过点 a 和点 b 的坐标求出直线 a 比的解析式为， y 等于负的二分之一， x 加三，进而求得点 d 的坐标为零斗三。好，我们再来看圈二，点 p 是线段 a、 c 上的一个点，如果三角形 o、 a、 p 和三角形 d、 c、 a 相似，求点 p 的坐标。在三角形 d、 c、 a 中，因为点 d、 点 c、 点 a 的坐标都是确定的，所以三角形 d、 c、 a 的形状也是确定的。 而根据点 a 和点 c 的坐标，我们又可以得知， co 是等于 ao 都等于六的，再加上角 coa 是一个直角，所以三角形 aoc 就是一个等腰直角三角形， 因此，角 dca 就等于角 oap 等于四十五度的。那也就是说，在三角形 dca 中，角 dca 是等于四十五度的，而在三角形 oap 中，角 oap 也是等于四十五度的。 那在这一对相似三角形中，角 o、 a、 p 和角 d、 c、 a 就是一组对应角，这样情况就变得简单了。情 况一，当 ao 和 cd 为这两个相似三角形的对应边时，那 ao 比上 cd 就应该是等于 ap 比上 ca 的，而 ao 我们知道了是等于六的， cd 呢，是等于六加上三，也就是等于九的。 而 c a 因为三角形 a o c 是一个直角边为六的等腰直角三角形，因此它的斜边的长度 c a 就应该是等于六倍的根号二。 由此我们就可以解得 a p 是等于四倍的根号二。那因为要求的是点 p 的坐标，所以我们过点 p 来做 p， f 垂直于 x 轴，垂足为 f e 正三角形， a p f 为等腰直角三角形，而 a p 呢，又是等于四倍的根号二，所以 a f 就应该是等于 p f 等于 a p 除以根号二，那算出来呢，就是等于四的。而 o f 就应该是等 a o 减去 a f， 那也就是等于六减去四，算出来呢，是等于二的。所以点 p 的坐标即为二斗负四 情况二，当 ao 和 ca 为对应边时，也就是 aob 上 ca 应该等于 ap 比上 cd 的。同理，我们就可以先求出 ap 的长度是等于二分之九倍的根号二。 然后呢，过点 p 做 x 轴的垂线，设垂足为 f 一撇，进而求得 a f 一撇等于 p， f 一撇是等于二分之九的，然后再求出 o f 一撇是等于二分之三的，所以点 p 的坐标即为二分之三豆负的二分之九。 综上所述，当这两个三角形相似时，点 p 的坐标为二豆负四或二分之三豆负的二分之九。这种抓住不变量，再利用相似的性质以定制动的阶梯思想，请大家总结一下。
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04:47查看AI文稿AI文稿二字函数存在性问题是一种常见的二字函数压住性问题，今天大静老师带大家梳理这一类题型的做题方法。我们先从其中最常考的一种叫等腰三角形的存在性问题给大家去讲。 那么第一问的解疑是直接给到大家， y 等于 x， 方减二， x 减三。第二问，探究对称轴上是否存在点 p， 使得以 p d、 a 为顶点的三角形是等腰三角形。若存在，求出 p 点坐标，那么大家想想看， 这个等腰并没有说是哪两条边相等，所以我们上来要先去讨论到底是哪两条边相等三种情况。第一种情况， ad 等于 ap。 好，我们来看一下。那么 ad 等于 ap 的话， p 点不知道，但是 a 点和 d 点你是可以算出来的坐标的， d 点坐标是一，逗号负四， a 点坐标呢是负一，逗号零。那么你的 ad 的长度我们就可以算出来，我们拉一下， 这个是垂直，这段长度是四，这段长度是二，所以我们可以算出来 ad 根号下二的平方加四的平方二倍根号五。 那你 a， p 等于 a， d 等于二倍根号， p 点又得在对称轴上，也就是说在直线 x 等于一上面，那么你的 p 点的坐标， p 点的位置应该在这码的，叫做 p 一，那么 p 一的坐标的话是一逗号四，因为这个 p 一和 p 点啊，和 这个地点他应该是对称的。关于 xo 对称对不对？所以第一个咱就算出来了啊，我们把它擦掉，我们接着再看好。除了我的 ad 等于 ap 之外，我还有哪些讨论呢？有啊，对吧？ da 等于 d， p 好， p 点在直线 x 等于一上面， d a 等于二倍根号，那你的 d p 是不也应该等于二倍根号五啊？ 但是你的 p 点到底在 d 点的上方还是在 d 点的下方，我不知道，也就说都有可能。那如果 p 点在 d 点的上方，那么这个点横对标是一，在负四上方，距离为二倍根号五，那是不是加上二倍根号五？ 同理，如果你在下方的话，你的横指标是一，纵指标是负四，再减掉一个二倍更好。所以 d a 等于 dp， 算出来的两个 p， 一个是一负四， 加上一个二倍根号五，一个是一负四，减掉一个二倍根号五。好，这是第二种讨论情况，那么第三种讨论情况 大家看一下，那是不是就变成了我们的 p a 等于 p d， 那 p a 等于 p d 怎么画呢？大家注意了，那么也就说 p 点到线段 a、 d 的两个端点的距离相等，那么 p 点是不是应该在 a、 d 的垂直平分线上，对不对啊？你很容易就 把它画出来了，比如说画一下，哎，这个是 p， 那我怎么去求 p 的坐标呢？大家想想看，如果我把这个点叫做 m 的话，是不是只需要求出 mp 的长度就行， 对吧？那么这个 mp 的长度怎么求呢？这是一个勾股定理里面比较常见的求解线段长的方法。你可以把 pm 的长度设为小 m， 那么你的 dp 就是四节 m， 你的 dp 又等于 ap， 所以你的 ap 也是四节 m， 再根据你的 am 等于二，你在三角形 amp。 中利用勾股定理列方程，那就是 m 的平方加上一个二的平方，那它应该等于 四减 m 的平方，我们把它展开算一下， m 方再加上一个四等于十六， 减上一个八 m， 再加 m 方两侧的 m 方抵消掉八 m 就等于十二 m， 就等于二分之三，所以此时拼的举报是一逗号负的二分之三，所以一共有四个答案， 这个就是二次函数中等腰三角形存在性问题的处理方式，你记住了一定要看情况去讨论，那么每种情况下把图画出来，然后的话根据图中啊包括条件中的一个等量关系去进行求解。
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06:26查看AI文稿AI文稿二次函数存在性问题是中考的常考题，尤其是在压轴题里面，那见的是相当相当的多呀，很多同学到现在居然还不会 好，那我们今天就一道二次函数的矩形存在性问题，给大家来细说一下。做存在性问题通常会有两种方法，第一种是代数法，第二种是几何法。 如果说是代数法的话，他的方法就非常的死，也就是说只要你的计算能力足够的强，那你这个题目就不会错，但是你的计算能力稍微弱一点，你这个题目就必然拿不到分。好，那我们来看一看这两种方法，哎，究竟是怎么弄的呢？先看第一种，如果说是代数法的话，你看啊， 他说 p 是抛物线对称轴上的一个洞点，然后以 p、 q、 b、 c 四点组成的四边形，是以 bc 为边的矩形，大家来看一下， c 点和 b 点都在这， p 点是对称轴上的一个洞点，我们是要把对称轴写出来， x 等于负二分之 b， 那对称轴是 x 等于三，所以你可以直接用代数法的话，就是设 p 点，横坐标是三，纵坐标是 t， 而是。好，那接着以 b、 c 为边，那就会有两种情况呗。第一个就是角， p c， b 等于九十度， 大家看这是一个 p e， 这是九十度，按数法怎么列式子呢？哎，简单，就是 p e， c 的平方 加上一个 bc 的平方，等于 pb 的平方，你刚刚 p 点有了， c 点也有了， b 点也有了，你是不是必然可以把你设的那个 t 求出来，求出你设的 t 之后，怎么来求出 q 点呢？ q 点是平面上的一点，你用终点公式，朋友们，你看 p b 的终点和 c q 的终点，他们是同一个点，你用终点公式是不是就必然可以求出 q 点？这是第一种。第二种一 b 这边为直角画下来，把它， 这是 p 二，那我们列出来的式子就是 p 二 b 的平方加上一个 b c 的平方等于 p 二 c 的平方。同样，你还可以用终点把另外一个 q 二给它找出来。 好，这就是代数法呀，是不是很麻烦？当然你肯定可以算出来，朋友们计算能力足够强，肯定可以算出来。如果说这道题目我不想用代数法，用几何法怎么做呢？也可以 正好用我们之前讲的 k 型相似一线三等奖，哎，就可以做出来了，就会简单很多啊。大家看看，我们要求这个 p 点的时候， 你就直接过 p e 往这边做一个垂线，同学们看一下，这个三角形 p m、 c 和 和三角形 cob 是不相似，并且 c 点的坐标是零四，这边是四，这个整个长度是八， 坐标八零吗？所以他的 ceo 和 bo 的比是一比二，那么 pem 和 mc 的比也是一比二，这是三，这是六，你看，我立刻就有了。第一个 pe 点的坐标就是三，逗号十，对吧？怎么求 qe 点呢？还是一样的呀，往下做一个垂线，用 k 型， 咱们知道这是三，这是一个六，所以 q 一点的坐标，哎，也可以立刻把它求出来，就是十一，逗号六， 这就是一个几何法。同样的，你可以用几何法处理第二个十字 t 二 n b 和三角形 b o c 是 相似啊，已经知道了， co 和 bo 的比是一比二，所以我们的一个 bn 和 prn 的比也是一个一比二，那我们知道这个 on， 这边是三，整个是八，这是五啊，这是十，所以 pr 的坐标立刻是不是出来了？ 三，逗号负十，那同样你还可以用 k 型把这个 q 二给它解出来啊，这个大家就自己去求。 第二个是以 bc 为对角线，同学们以 bc 为对角线，那就说明你此时的屁点啊，这边是直角，所以同学们可以先把图啊给他画一下。 好，大家看一下，咱们先把图画出来， 图画出来之后，我们再来求一下这个 p 点，假如说这是 p 三，现在如果说我想要用这个相似好不好走呢？一样的呀，你是不是还是可以用一线三等奖， 这里是不是一个 k 型啊？那这个 k 型，你看这是三，这是五，好，可以设这边是 x， 就我设上面的一小段哈，是 x， 那 c o 是四， 所以这一块是 x 加四。来，大家看，用一个相似比，是不是就可以把 x 求出来了？好，同样在下面的点也是一样的，用刚刚那个方法你求。 还有一种就是以下面那个为直角，直角在下面 还是一样的方法啊，朋友们设点坐标， 然后把它求出来就可以了，跟刚刚是一样的，用相似来做这道题目。祥老师呢，方法已经告诉大家了，评论区能不能有同学迅速的给出这道题目的答案呢？可以敲在评论区里面哦。
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08:19查看AI文稿AI文稿今天我们一起来做一个二次函数和菱形存在性的问题啊，那先要给同学们打个预防针啊，这个视频呢，可能会比较长，但是你看完之后绝对是对你有非常大的帮助的啊。好， 那么现在来看一下这道题，那这道题啊，题根里面呢，说的是这个和抛物线啊相关的一些信息啊，他叫 x 轴于点 a， 点 b， 然后叫外轴于点 c， 动点 p 在这个抛物线对称轴上。呃，然后接下来的话呢， 他第一问求的是抛物线的解析式，我们这里直接把 ab 两点带进去就可以得到解析式了，这里我就不多说了， y 等于负 x， 方加二， x 加三。 好，接下来主要看一下第二问啊，说点 q 是平面，至少做标系内的任意一点啊，是否存在这个点 q， 使得以 a 点 c 点 p 点 q 点为顶点的四 边形是什么形？是菱形啊，存在，求这个点 q 坐标不存在，说明理由。好，那么这道题呢，就是典型的一个菱形存在性的问题， 以抛物线为背景。那么此时针对于这一类的问题呢，我们一般是两个思路啊，一个思路呢，就是先让这四 点为顶点的图形是一个平行四边形，然后再结合菱形的一个判定定理啊，去给他添巧点，让他变成菱形。那么另外一个思路呢，就是我们今天要用的思路啊，就是把菱形存在性的问题给他转换，转换成什么呢？我先来给你们画一个菱形，你看一下。 哎，这是一个菱形，那么我任意连接他的一个对角线，比如说这里，那此时我是不是就可以得到这是一个等腰三角形，这也是一个等腰三角形，对吧？换句话说，就是我在菱形的 这四个顶点里面，我认取三个点，这三个点围成的图形一定是一个等腰三角形，所以此时我们就可以先把菱形的存在性问题转换成等腰三角形存在性的问题， 确定了其中的三个点之后，再去来定第四个点，能明白吧？那么这三个点首先要的肯定 就是，哎比较确定的一些点了。那么在这四个点里面，你看一下， a 是一个定点，我肯定是要了， c 是一个定点，我肯定也要了啊。然后 p 和 q 呢？由于 p 在对称轴上，它相对于 q 啊，更确定一些，所以这个 p 我也是要的。那么这道题呢，我就把它先转换为， 我让这个三角形 acp 是一个等腰三角形，那你来看啊，比如说这是 a， 这是 c， 这是 p， 你这个三角形定下来 来了之后呢？哎，接下来我们再把它，哎相当于翻折过来，对应的这个 q 点坐标是不是也就确线了下来了啊？这是我们的一个思路啊。好，那接下来呢，我们就先来做这个等腰三角形存在性的问题 啊。那这里的话，根据我们之前所学的这个等腰三角形存在性问题，他应该是要分成三种情况的，哪三种情况呢？那你来看一下这里的 acap 三个点是不是都可以作为等腰三角形的顶角顶点啊？所以对应的三种情况就是以 a 为顶角顶点，以 c 为顶角顶点，以及以 p 为顶角顶点 啊。那么今天的话呢，由于 a 和 c 他俩是等价的啊，所以呢，我会详细的先去讲以 a 为顶角顶点以及以 p 为顶角顶点，那么以 c 为顶角顶点的这种情况，同学们可以自己去做一下。好吧，首先我们先来看以 a 为顶角顶点啊，那么此时的话呢， 哎，我的 ac 是不是就相当于是这个腰了？那么你要去找 p 的话，我是不是以 a 为圆心，以 ac 长为半径，画这样的一个圆，那么这个圆和对称轴的焦点就是我们所要的这个点 点 p 的位置啊，那此时你会发现他交在了两个位置，这个我记 p 一啊，这个呢，我们记做 p 二。好，那接下来呢，我们分别来求一下 p 一和 p 二这两个点的坐标啊，那此时我们知道的是 a p 一等于 a c， a p 二也等于 a c， a c 是多少呢？根据 a 和 c 两点的坐标，可以得到它是一个三 三倍的根号二啊，那么此时这个 ap 一啊，就是一个三倍的根号二，那你再结合对称轴这块对应的是一， a 这块对应的是三，可以得到这段长是一个二，那么我们构造这样的一个直角三角形，斜边 三倍根号，一个直角边是一个二，所以可以得到另外一个直角边。勾股定理啊，就是根号十四 啊，那么此时也就是说 p 一啊，他的横坐标是一，纵坐标是一个根号十四啊，那么同样的方式呢，你看一下，我在下面构造这样的一个直角三角形，依然得到这一段长，是一个根号十四，那么 p 二啊，他的横坐标是一，纵坐标就是负的根号十四没问题吧？ 好，那么此时你看啊，这个 p 点已经确定下来了，接下来我再教你 q 点如何去确定。首先我们先来看 p 一对应的这个 q 一啊，那么此时你看 a c a p 一在这里我说了，那个 q 点是不是相当于我把它这样，哎，翻折过去嘛，对吧？啊，因为我们此时是 a c 等于 a p 一的，这两是作为菱形的那两个零 边的。好，那么你想一下，我翻折上去，哎，对应的这个 q 一的位置啊，假使在这一块，那么他的坐标应该怎么去求呢？菱形的对边也是平行写相等的，那么意味着，哎，我从点 a 到点 c， 他的一个平移方式就应该和 p 一到 q 一的平移方式是相同的。来看，从点 a 到点 c， 他是不是相当于是往左平移三个单位长度，然后往上也平移三个单位长度，这段是三啊，那么意味着我从 p 一到 q 一，也应该是往左三个单位长度，然后往上三个单位长度， 来，根据 p 的坐标，往左三个单位长度一减三，哎，就是一个负二，往上三个单位长度，那么就是根号十四，再加一个三，所以这就是 q 一的坐标。那么同样的方式，我们再来看一下 q 二的坐标啊，那此时 p 二在这一块 c a 啊，在这个位置，那么相当于我们的这个 q 二呢？哎，他差不多就位于这个位置。好，现在再来看一下，那么你是从这个 a 往 c 是左三上三，那么 p 二到 q 二也应该是左三上三，来，根据 p 二的坐标， q 二左三 一减三，负二上三，那么应该就是三减根号十四，哎，这就是 q 一和 q 二的坐标了。那么第二种情况呢，就是我以 c 作为这个顶角的顶点， 此时就是以 c 为圆心， c 长为半径去画圆，然后交对称轴于两个点。同样的方式，你去求一下 p 三和 p 四坐标，对应的再去求 q 三和 q 四的坐标。这个情况，我把答案留在评论区啊，自己去对一下答案。那接下来呢，我们再来看一下第三种情况，也就是这个以 p 为 角顶点啊，这个相对于前两种情况就不太一样了，不一样在什么地方呢啊，那么此时我是要让 pa 等于 pc， 对不对？那相当于是我的点 p 应该要在 ac 这个线段的垂直平分线上。好， 那么你再根据 coa， 它又是一个等腰直角三角形，所以 ac 斜边的垂直平分线，它恰好就是斜边上的。这个啥呀， 高线你再给他延伸过来嘛，是吧？好啊，那么此时我们就知道这条线啊，他的表达是，就是 y 等于 x， 现在我要求的就是他和对称轴的焦点，就是我们第三种情况下对应的这个 p 五啊，他的一个点坐标啊，那么这也是比较好求的啊，你把 y 等于 x 和这个对称轴 x 等于一啊，连力就可以很容易得到 p 五的坐标呢，就是一个一一一。好，那么接下来呢，我们再来看一下，这种情况下，这个点 点 q 对应的坐标是多少？这里是 p 五了啊，我们知道的是 pc 等于 p， 哎，对吧，那么你的 q 是不是应该是在这样的一个位置，这个位置是 q 五？好，来看 q 五坐标应该怎么去求？哎，是不是我从 p 到 a 的一个平移方式就和 c 到 q 五的平移方式是相同的来 p 到 a 啊，坐标由一一到三零，他应该是右二下一，所以从 c 到 k 五也应该是右二下一啊，那么对应的 k 五的坐标应该是一个二 二。好，那么到这的话呢，我们这个离心存在性的问题啊，大致的一个思路以及具体的这两种情况下的一个点坐标就给同学们讲完了啊。那么想在这块着重练习的同学呢啊，也可以再做一下这道题啊，自己再训练一下。
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01:43查看AI文稿AI文稿一道复杂的压轴题，怎么一分钟解决？学会这个结论就够了。已知抛物线解析式， e 是对称轴上的动点， f 是抛物线上的动点，当 a、 c、 e、 f 构成平行四边形时，求 f 点的坐标。 用常规方法做，需要结合图像构造全等三角形比较复杂，但用了这个结论就可以不看图，不做辅助线，甚至不计算就解决问题。 假设四边形 abcd 是平面内的一个平行四边形，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，那这个点 o 就即是 ac 终点又是 bd 终点，换句话说， ac 和 bd 的终点是同一个点。 然后我们利用终点公式就得到了这样两个等式，不知道终点公式的话，可以看我前面的视频，然后把这两个式子 化解，就得到了这个结论。接下来我们就用这个结论解决这道题。首先根据已知的解析，是可以得到平行四边形 efc 的其中两个顶点坐标 a 点坐标三，逗号零。 c 点坐标零，逗号三。 由于点一是对称轴上的动点，所以设一点坐标是移动号 a， f 是抛物线上的动点，所以设 f 点，坐标 b， 逗号复辟方加二， b 加三。然后我们根据刚才的结论列方程。 在列方程之前还有一点需要注意，题目只说了 ac 是边，并没有说 a 和 e 相对还是和也相对， 也就是说图像还有一种可能是这样的，因此我们就要分类讨论。第一种情况，如果 ea 相对， cs 相对，那就这样做。第二种情况，如果 ec 相对， as 相对，那就这样做，轻松搞定。
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04:03查看AI文稿AI文稿二次函数综合相似三角形存在性问题，算已知，找等角列比例好，我们来看这一道中考题，如图，有这样一根抛物线叫 x 轴与点 a 和点 b 交， y 轴与点 c， 点 a 和点 c 的坐标告诉我们了顶点低的横坐标为一 圈一。让我们来求抛物线的解析式，那这一问呢，解决起来比较简单，因为在解析式中有三个位置系数，但题目中呢，给了三个等量关系，因此我们就可以利用带定系数法以及对称轴公式分别求出 a、 b、 c 的值。 那最后呢，算出来这一根抛物线的解析式是 y 等于负的， x 的平方，加上二， x 加三。好，我们来看第二问过点 c 做直线 l 与 y 轴垂直，与抛物线的另一个交点为点 e 连接 a， d， a， e， d。 在直线 l 下方的抛物线上，是否存在着一个点 m 过点 m 做 m， f 垂直于 l， 垂足为 f， 使得以 m、 f、 e 三点为顶点的三角形，也就是三角形 m f， e 与三角形 a、 d、 e 相似。 好，函数中的相似三角形存在性问题。第一步，我们把椅子给算出来。首先根据抛物线的解析式，我们可以把点滴、点 e 和点 b 三个点的坐标都给算出来。 然后我们再使用两点距离公式，分别可以求出 a、 d、 d、 e 和 a e 的长度。而这三条线段的长度呢，又是一组勾股数，也就是 a、 d 的平方是等于 d、 e 的平方，加上 a、 e 的平方。 由此我们就可以得知，三角形 a、 d、 e 是一个直角三角形，而角 a、 e、 d 就是这个九十度的直角，并且呢， d、 e 比上 a， e 是等于一比上三呢。我们列出这两个条件，主要就是为了进行下面的两步，也就是在这两个相似的三角形中找出固定相等的角，从而来减少需要讨论的情况。 我们来看，因为点 m 是在直线 l 下方的抛物线上的，我们先任意找一个位置，然后呢再做 m f 垂直于 l， 那此时在三角形 m e f 中，我们很容易知道，角 m f e 就是等于角 a e d 等于九十度的，这两个就是相等的角。 好，接下来就是第三步列比例。根据相似三角形的性质，把对应边列成比例四，从而来求出所求点的点坐标。因为点 m 是在抛物线上的，所以此时设出点 m 的含餐坐标，那因为点 m 是在直线 l 的下方的，所以它的横坐标 t 一定 是大于二或者是小于零的。此时线段 e f 的长度就等于 t 减去二的差的绝对值。因为点 m 也有可能在 y 轴的左侧，而 m f 的长度呢，是等于点 f 的中着标减去点 m 的中着标，算出来呢，就等于 t 的平方减去二 t。 好，此时我们再来通过直角三角形他的两条直角边来列出比例四。首先是当 e f 比上 m f 是等于 d， e 比上 a e 的时候，那也就是 e f 比上 m f 等于一比上三十。 根据这一个比例，是我们可以得到 t 减去二的差的绝对值。比上 t 的平方减去二， t 的差是等于一比上三的。那通过解这一个关于 t 的方程，可以得到 t 的值是等于二或者三或者是负三的，因为 t 的曲子范围是大于二或者小于零的，因此 使 t 等于二这一个根要舍去。同理，当 mf 比上 ef 等于一比三时，我们又可以列得一个关于 t 的方程。 再经过解方程，我们可以求的 t 是等于负的三分之一的。综上所述， t 的值是等于三或负，三或负的三分之一是三角形 m、 f、 e 和三角形 a， d， e 是一个相似的关系， 然后再代入 t 的值，求出点 m 的坐标。总结一下，我们在解决函数背景下的相似三角形存在性问题时，我们主要把解题的过程分为三步， 第一步，算已知。第二步，找等角。第三步，列比例。同学们总结一下，预祝大家考试顺利，金榜题名！
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05:02查看AI文稿AI文稿听完这道中考真题，你一定会学会四十五度角的存在性处理策略，这是二零年广西中考真题压轴题的第三问啊， 来看一下题说设动点 p 在这个抛物线上，那么这个抛物线表达式我们已经求出来了，现在问说，哎，当角 p a c 等于一个四十五度的时候， m 的值是多少？好，那这里的关键点呢，就是我们要构造出这样的一个四十五度的角，以此来求点 p 的坐标。 那说到四十五度，我们应该能想到九十度，是吧？哎，有四十五度，有九十度，应该立马就能想到一个三角形，叫做等腰直角三角形，所以这里啊，我们就可以把这个四十五度的角呢，给它构造在等腰直角三角形里面，去， 再结合等腰直角三角形，利用乙线三垂直哎，来求点的坐标。接下来我们就来看一下这个等腰， 知道三角形应该怎么去构造啊，我们要在 a 这块一会出一个四十五度，对吧？所以呢，就在另外一个定点 c 这块出一个九十度比较容易，所以呢，我们过点 c 做 ac 的垂线， ok， 那这块出一个直角，哎，这块又出来一个直角， 好，接下来呢，我们以 c 为圆心， a c 肠胃半径啊，画这样的一个圆好，那么这个圆呢，会和刚才的红色虚线啊，交在 q 一以及 q 二这两个点的位置，那我们知道 a c 和 c q 一以及 c q 二都是相等的，那我们把 a q 一连起来，会发现这里的 a c q 一就是一个等腰直角三角形角 a 这块是一个四十五度，哎，四十五度的角出来了，那么 a q 一这条线呢，和抛物线就交在了 p 一的这个位置，这就是我们一会儿所要求的一个 p 一的点，好吧，那么另外 呢，我们再把下面的 a q 二哎，连起来，同理啊，这块还是会出一个四十五度，那么 a q 二和抛物线的另外这个焦点 p 二就是我们所要求的另外一个点 p。 好，那这两个点 p 我们找到了，怎么去求它的坐标呢？我们以 p 一为例啊，我们会发现 p 一呢，它是 a q 一这个直线和抛物线的焦点， 所以啊，我们得知道 aq 一这条直线的表达式，对吧？好，那要知道 aq 一直线的表达式，我们是不是得知道 q 一的坐标。好，所以说，我们一会先把 q 一的坐标求出来，然后呢，得到 aq 一的直线的表达式， 再去把这个直线和抛物线连立，就可以得到 p 一的坐标了，那么下面 p 二也是同样的道理，所以接下来啊，我们就把这两个等腰直角三角形呢给它哎剥离出来，去求 q 一以及 q 二的坐标。 我们把三角形 a c q 一剥离出来是这个样子，把三角形 a c q 二剥离出来是这个样子，接下来我们来求 q 一的坐标，由于 a c q 一呢，它是一个等腰直角三角形，所以呢，我们就可以构造一线三垂直全等模型， 过点 c 做一条水平的线，过 a q 一，分别做刚才这个水平线的，哎，两个垂线，那这里我们就会得到啊，这个直角三角形和这边的直角三角形是全等的，根据 ac 这两个点的坐标得到，这是六，这是三， 所以对应的啊，这一段就是一个三，这一段就是一个六，由此可以很容易得到 q 一的坐标是一个三三好了，有了 a 点的坐标负六零 q 一的坐标三三，我们就会得到 a q 一这条直线的方程 y 等于三分之一， x 加二。那么接下来我们把所 求到 a q 一这个直线啊， a q 一这个直线的方程和抛物线的方程啊，给他连立起来呢，就可以得到点 p 一的横坐标了。好来，我们连立的结果得到 x 的值等于一个三分之五或 负六，那我们会发现负六其实是点 a 的横坐标，所以呢，把它舍掉，也就意味着在这种情况下，我们求出来点 p 的横坐标呢，就等于一个三分之五。那么同理，我们在三角形 a c q 二里面呢，再构造一线三垂直全的模型。 好，那这里会出现 a 这个和这个全等，那么这是六，这是三的话，这边就是一个六，这边就是一个三，对应 q 二的坐标呢，就是一个负三负九，由此可以得到 a q 二这个直线的方 方程啊，就是 y 等于负三， x 减十八。同理，我们把 aq 二的直线方程呢和抛物线的表达式啊连立起来，这个时候解出来 x 等于负五 或负六，那么负六依然是 a 点横坐标折掉，这种情况下，对应 p 点的横坐标就是负五，那么我们所求的 m 的值呢，就是三分之五或负。 最后再来总结一下四十五度角的存在性处理策略。第一步，构造等腰直角三角形，这里有一个小技巧，把定点作为直角顶点去构造。 第二步，利用一线三垂直拳的模型去求点的坐标。第三步，将直线方程和抛物线连立起来求焦点。如果你觉得有用，双击加关注。
1347叮当-ding初中数学
06:28查看AI文稿AI文稿很多同学在解决二次函数中平四边形存在性问题时，不会画图，总是漏解，那是因为你没有掌握万能终点法，这个视频教会你这类题到底应该怎么做。首先需要大家明确，平四边形存在性问题一共有两种考法。首先第一个就是三定一动的问题，三个定点，一个动点，这种情况是比较好判断的。 而第二类题型呢，是两定两动的问题，准确来说是两个定点，一个半动点，一个全动点。半动点的意思就是这个动点它的轨迹是已知的，比如说在 x 轴、 y 轴或者是在抛物线的对称轴上进行运动，所以它的横纵坐标之一是已知的，我们称之它为半动点。 而全动点呢，就是横龙坐标都未知。那对于这两类题型，不管哪一类，只要你想用万能终点法求解，都离不开终点坐标公式。那在这随便给大家举个例子，比如说 a 点坐标我们用 x 一 y 一来表示， b 点坐标我们用 x 二 y 二来表示， 那他们的终点应该怎么来写呢？其实大家在这可以把终点想象成 a、 b 各自的平均值，所以终点的横坐标就是 a b， 横坐标相加再除以二。那终点的纵坐标就是 a b 纵坐标相加，再除以二。 因为平行四边形，它对角线是互相平分的，所以这个焦点 o 既是 a、 c 的终点，也是 b 对的终点。那么我们可以利用 a、 c 表示出 o 的合作坐标，同理也可以利用 b 对表示出 o 的横纵坐标，那么横坐标等于横坐标，纵坐标等于纵坐标，就可以列出一个方程组，进而来求解了。 那我们拿下面这道题为例看一看，这个方法到底应该怎么来用啊？已知呢？抛物线 y 等于 x 方减二， x 减三，那它与坐标轴相交于 a、 b 两个点，所以我们首先能判断出 b 点坐标为负一斗零， a 点坐标为三斗零。而 e 点呢？它是一个动点， 在抛线的对称轴上进行运动，所以它就是我们所谓的半动点。因为我们通过负二 a 分之 b， 能确定出对称轴是 x 等于一，所以一点它的横坐标始终为一。纵坐标我们不知道，所以我暂且设一个未知数，用小 a 来表示。 然后 f 点是这个抛线上的一个动点，所以它的横动坐标都未知，就是全动点呗。所以我们可以把它的坐标换一个位置时候，用 b 来表示，纵坐标往抛线当中带入，也就是 b 方减二， b 再减三。 ok， 那如果你想利用这个万能终点法来求解，我们是不是得先把四个点坐标都表示出来？我把它罗列一下， a 点是三斗零， b 点是负一斗零， e 点是一豆 a， f 点是 b 豆， b 方减二， a 减三。所以大家会发现，在四个点坐标当中一共有两个未知数， a 和 b， 需要我们来判断，那两个未知数肯定需要两个方程。就像我刚才所说 说的，你利用横坐标等于横坐标，纵坐标等于纵坐标，我们是不是正好可以列出一个方程组，进而来求解 ab 这两个未知数的值了？ 那在这还有一个重要点需要大家知道，就是对于这种存在性问题，我们肯定是要分类讨论的，而现在我们是利用平四边形对角线互相平分的这个性质来求解的，所以肯定是以对角线作为分类讨论的标准。那按照对角线我们可以分成几种情况呢？在这有一个小的方法， 首先你把四个点罗列出来了，那么你只需要固定其中一个点不变，然后分别跟另外三个点去进行组合， 去充当我们平四边形的对角线。所以我们在这一共有三种三种组合方式。因此我们在用万能终点法解决平四边形存在性问题的时候，只需要讨论三种情况，比如说第一种情况， ab 组合为其中一条对角线， 那另一条对角线一定是 e f， 那第二种情况呢？就是以 a e 为对角线，另外一条对角线一定是 b f。 同理第三种情况就是以 a f 为对角线，那另外一条对角线一定是 b e， 所以我们按照对角线一共可以分成这三种情况，那接下来就可以利用万能终点法去列方程了。比如说先看第一种 abef 为对角线的时候，这时候我们压根就不需要借助左边的这个抛物线来画图了，直接画一个平行四边形， 按照我们所说的这四个点，需要大家重新标记一下，我利用上面这个图啊， a b 为对角线，另外一条对角线是 e 和 f， 所以 这个焦点我们用 a b 表示一下它的横坐标，也就是三加负一，再除以二，这是它的横坐标，那用 e f 再来表示一下 o 点的横坐标，也就是一加 b 再除以二。 ok， 因为在这里面都有除以二，那这个分母二我们就可以直接去掉了，所以只留分子就是三加负一等于一加 b。 那这个时候 b 是不是直接能求了？那 f 点坐标其实就已经可以得到了，但是 我们为了更准确一点，把纵坐标这个方程也列出来。还是啊，利用 a、 b 两个点表示出 o 点，它的纵坐标就是零加零等于 e 和 f， 他的动作标相加就是 a 加 b 方减二， b 再减三。同样，因为除以二等号，左右两边都有，我们就不写了啊。 所以通过这组方程，我们可以直接求出 b 的大小，确定出 f 坐标的第一种情况。那下面这个也都是一样的方法。如果 a、 e、 b、 f 为对角线，那我们只需要改变一下这四个点的位置，现在 a、 e 为对角线，那另外一个是 b、 f。 所以首先我们 是利用 a、 e 的横坐标表示 o 点的横坐标，也就是三加一等于再用 b、 f 横坐标表示 o 点的横坐标等于负一加 b。 同样，那 b 是不是也能求啊？那纵坐标就是 a、 e 的纵坐标零加 a 等于 bf 的纵坐标零加 b 方减二， b 再减三。 ok， 这样的话，我们 a 和 b 其实都能求，不管让你求 f 点还是一点坐标，我们是都能够解决的。那第三种情况也是一样的方法，再一次调整这四个点的顺序， 此时呢，我们是 a、 f 为对角线，然后 b、 e 为对角线。那接下来我们用 a、 f 横坐标相加就是三加 b 等于 b， e 横坐标相加就是负一再加一。呃，动作标相加也是一样的，零加上， b 方减二， b 减三，等于纵坐标 零加 a， 这样 ab 都能求，所以最终我们是肯定能够判断出这个 f 点坐标以及一点坐标的。对于这种万呃对于这种方法来求解平四边形存在性问题的时候，大家要时刻谨记。我们是讨论三种情况，而这三种情况都是按照对角线为分类标准进行讨论的。 那小的技巧就是你固定其中一个点不变，分别去跟另外三个点进行组合，那其中一条对角线确定了，另外一条对角线肯定能确定。并且你用万能终点法解决的时候，都不用在抛物线当中画图了，只需要画这样一个平行四边形，改变四个点的位置，然后利用终点坐标公式来列方程即可。
310数学孙孙老师![[中考数学]二次函数压轴小题，学会这些，解题易如反掌 #初中数学 #二次函数 #中考数学](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/18a990986150c747109d9d0c51c5af02~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2101096800&x-signature=QjkZWUFXbTAvTPZtdjYz8BBKiMo%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20260803142911563365A287433F8C38B2)
11:57查看AI文稿AI文稿大家好，这节课我来讲一下二次函数的压轴小题。很多同学遇到这类问题啊，肯定是非常为难的。为什么为难呢？因为这类问题它的特点就是给你一个二次函数抛物线的图像。那 那么让你选择以下这四个，究竟哪个对哪个错？他甚至可能会出现五个六个选项啊，然后你少选了不行，多选了也不行吧。咱来看一下，我把常见的知识点呢，分成了六类。 第一类最简单的，那开口方向定位就指的是开口向上的时候，此时 a 是大于零的，那开口向下的时候，抛物线开口向下啊，那此时 a 就是小于零的。这个非常简单了。左同右翼定 b 的意思是什么呀？ 那对称轴在外轴左侧的时候怎么样？对称轴在外轴左侧的时候，那这种情况下肯定是好腹壁处。二、 a 小于零吧， ab 是同号的。那如果说啊，右翼 指指的是对称轴在外轴右侧的时候， a b 是 e 号的，此时你已经可以确定 a 了，然后就可以确定这个 b 了。就这样一个意思。然后什么叫外轴交警 c， 这个太好说了， 看 y 等于 ax 方加 bs 加 c。 那对于这样一个标准是来说，如果你把 x 等于零带入的话，那前头就都是零，最后就剩下 c 了，也就是说这个抛物线肯定是过零的。好， c 的抛物线跟外周的交点，咱们可以直接写上零的好 c， 就这样一个意思。那接下来咱们练一道非常简单的例题， 直接看图了。你看啊，前头他是不是一个符号啊，二十项系数，他是一个负一吧， a 等于负一小于零，所以开口向下，人家画的图像也没毛病。那第二点，他接下来让你判断这个 b 和 c 的这个正负好说呀。左同右翼定 b 吗？你就想啊，复 b 除二， a 小于零。这就是对称留在 左边的意思。这个不就是 a b 同号啊。那 a b 同号的话，那 a 小于零呢？ b 也只能小于零了。就这个意思。 c 呢？ c 一看我们就知道， c 刚才已经标过了，零的话 c。 因为你抛物线跟外轴是交易正版的轴，所以这样一个 c 他是这么数。所以正确答案应该选什么你自己就知道了。 b 小于零， c 大于零。咱们看第二个知识点。 第二个的话是判别是我随便画一个图像吧。那请同学们告诉我，我画的所有都是抛物线的。什么呀？抛下的标准是咱们主要讨论这个形式。 那对于这样一个标准式来说，请大家告诉我，嗯， w 等于 b 方减四， a c 究竟是大于零等于零还是小于零？很显然是大于零。为什么？我们结合一下图像来看，你就想啊，他这个叫什么？这个 w 叫一元二次方程根的判别式。那一元二次方 当成长什么样子？不就是 ax 八加 bs 加 c。 原来这个位置跟的是 y， 那我现在让这个 y 等于零不就可以了吗？ y 等于零的时候不就是跟 x 轴有几个交点？我们发现左边这个图 x、 y、 x 有两个不同的焦点， 两个不同的焦点，那就指的是什么？指的是这样一个一元二次方程有两个不相等的实数根，所以判别是大于零就有了。这个懂了吧？接下来我们看一下啊，下面这样一个例题啊。这个图像以下不正确的是。我先问四 d 对不对？ 四 d 肯定对。为什么判别是大于零？就是方程有两个不相同的食物根，就意味着图像跟 x 只有两个不同的焦点。这不就完了吗？那继续来看。接下来我们看一下究竟哪个不对啊？ a 大于零对了呀，因为你开口向上，那 b 大一点不对。左同右。 e 把对称轴在外轴右侧，所以 a 币应该是一毫币，应该是小于零才对。所以呢，不正确的我们直接选 b。 剩下就不多说了，来看第三个。第三个带特殊值。什么叫带特殊值呢？我们看一下这道例题。这个例题里头我随便写一个。咱们先来看这个圈四吧。圈四对不对？ 圈四你看你对比一下。原来这个标准是 a x 方加 b， x 加 c。 你告诉我，当这个 x 取几时候？ a 乘的是一， b 乘的也是一。这个好说。当 x 等于正一的时候， a 加 b 加。哦，我懂了。原来他这个 a 加 b 加 c 指的是 是什么？指的是后线过的是哪个点啊？过的是一逗号， a 加 b 加 c。 原来他顶点的纵坐标，他就是 a 加 b 加 c 嘛，他就这个意思啊。对于这个图像来说是这样。你看啊，因为他这个点是在哪的。当 s 等于 一的时候，所对应的抛物线上的点是在 x 轴上方。所以这个 a 加 b 加 c 应该是这个函数值应该大于零吧。所以这个圈子是对的。现在来看一下这个第五个对不对吧？四是对的。那第五个对不对？ 第五个的话，请你告诉我， c 肯定没有变，因为 y 等于 ax 方加 bx 加 c 里头，这个 c 前头肯定没有乘 x， 对吧？ c 就不用变了。当 x 取几时候可以变成圈儿五这种形式啊？好说。 当这个 x 标准式里头，你把这个 x 变成二，那当 x 等于二的时候， a 乘二的平方，我直接改成 a 乘四不就行了吗？那 b 乘二写成二 b。 你想呀，当 x 等于二的时候，这个位置是 x 等于零， 这个位置是 x 等于一，那 x 等于二的位置，你对称一下应该是在哪啊？根据抛物线的对称性，他应该是在 x 轴下方吧。当 s 等 等于二的时候所对应的。这样抛物线的图像这样一个点是在 x 轴下方的，所以应该写小一零。所以第五个就是错的，大家知道就可以了。这就是带特殊值这样一个道理。那还有第四类， 第四类是如果说一个狮子里的话，就圈一圈二圈三圈四就好几个选项。然后一个狮子里头只含有 a 和 b 这两个字母。我们首先应对首先来考虑的是对称轴。为什么？ 因为对称轴这个公式在大题小题里都可以直接用。对称轴 x 等于数 b 除二 a， 它这个式子里头只含有 a 和 b 这两个字母啊。所以。 所以我这个圈一圈我就不判断了，你们自己都会判断了。我们直接来看圈三是对的还是错的。嗯，圈三的话是这样的，二 a 加 b 大于零。我们肯定是要往这样一个对称轴的形式上去凑了， 那行吧。嗯，二 a 大于什么？大于腹壁，我移过去没问题。那接下来的话，我做除法了，一定一定要特别小心。如 如果这道题开口向下的话，你有同学说老师，我直接除一个二一行啊，你除一个二一，左边变成了一，然后右边除二一的话，如果是我画的这样一个红色图像，你记住左右两边除的是负数，或者说乘了个负二一分之一，你要变好的。当然对 对人家原图来说，因为他开口向上，开口向上， a 就大于零，左右两边除了二一这样一个正数，那不能放下就不用变了。他的意思是对称轴在一的左边，对称 轴在移的左边吗？我们看一下图像，嗯，确实对。乘轴是在 x 等于一的左边的。那么这道题呢？他这个圈三就是对的，你知道就行了。圈一圈我就不多说了啊。非常简单。现在继续来看图 第五个。第五个相对难一些。第五个的话，咱们来看一下吧。完完整整来做一遍这道题。看第一个。嗯，首先 abc 开口向上，这个 a 大于零，左藤右翼 a 和 b 一毫码， b 小于零，所以圈一是对的。嗯，继续来看第二个。这个第二个的话是四， a 加二， b 加 c。 这不就是当 x 取二时候，函数值他指的是小于零的意思吗？咱们看一下 x 等于二在哪？零 一二的话，对称啊，在这个位置。那所以说大于零应该是嗯，圈儿是错的。那圈儿三怎么说呢？那圈儿三的话，咱们来看一下 哦。 a 减 b 加 c。 这个第一次遇到啊。 a 减 b 加 c 的话，请你告诉我，这个相当于当 x 曲底。有同学说是一不行，你得去的是负一。负一的话， a 乘负一的平方还是 a， b 乘负一，那就写上负 b 加 c。 原来是当 s 等于负一，当 x 等于负一时候，大概在外轴左边这个位置嘛，那肯定是所对应的。这样一个抛物线是在 x 轴上方。大于零是没有问题的。你写大于零， 对圈三也是对的。咱们重点的重点呢？其实这道题主要是看这个圈四。咱们现在来看一下这个圈四对不对啊。你先读题， 他说的是左边 a 加 c 括号的平方，然后是小于 b 的平方的，那对不对呢？你看你先移到一边，这个没问题吧。我变了一下，行，等加变换啊。嗯，那继续了。平方减平方。哎呀，英式分解平方差公式嘛。那第一个就变成了先加 b， 然后呢，再简历。那第一个课很好说啦，他指的是 x 等于一时候的函数值 乘 x 等于负一的时候的函数值小一点。也就是说，当 x 等于一的时候，他这个函数值和 x 等于负一时候，这两个函数值呢，是一号的。一正一负，对不对？ 咱们看对不对嘛。当 x 等于一的时候，这个函数值显然是在这样一个位置。我写上外一，当 x 等于负一的时候呢，他这个函数值显然是大于零的时候。这个我写上 y 二、 y 一、 y 二这两个点啊，它分别是在 x 轴上方和下方一个正一个负。所以这两个函数值确实一号。所以这个圈四呢，就对了，就没问题了。咱继续来看这个第六个知识点。第六个是最值类型。最值类型实际上有两道例题，咱们先来看第一道。 这个第一题的话，前途不说了啊，非常简单。我们重要的是来看这样一个第四个，请同学们直接看图，他说呀，图中这个二次函数呢，是过负一和 三个好零这两个点的。原来这个对称轴是 x 等于一啊，咱们算出来了，请同学们来看它。这个圈四说的是对于任意的 x， 就是说无论 x 取什么，都有 a， x 方加 b， x 大于 a。 这个好像不太不太知道怎么办？你跟原来的解析是，一般是对比一下，一般是里头人家有个 c， 他是不是偷偷的把 c 给藏掉了。实际上他相当于让你证明的是 a x 方加 b， x 左边加个 c， 那我右边也得加个 c。 好，我知道了。那你这个右边的话，肯定是当 x 等于这个正一的时候的函数值。左边的话是什么？是当 x 区 x 的时候的函数值。也就是说无论 x 取几，他这个函数值都得比 x 等于一的时候。要这个肯定对啊，同学们， 因为你就想啊，这个函数值 x 等于一，这是什么？点开口向上，这是函数值的最低点，是抛物线上的最低点啊，所以函数值是最低的。这个管它是对的呀。这么的有意思，你一定要记住啊，左两边它要少碎了，你加上 c 就知道什么含义了。我们继续来看第二题。 第二题是另一类最初问题，然后仍然是啊，这圈一圈啊，很简单，我就不太多说了。还有包括这个圈三，然后也不多说，咱主主要还是看这个圈四，看对不对。这个圈四的话，我也不知道对不对，一定注意了。 y 等于 ax 方 加 b， x 加 c， 他的顶点横坐标，其实也就是对称轴的公式。你这个呢，大题小题都可以直接用，复 b 除二 a， 但是顶点重读标呢？你把 x 等于复 b 除二 a， 带到原来的解题式里头， 会变成四 a 分之四 a， c 减 b 方。原来这个是顶点纵坐标啊。我画圈的顶点纵坐标，这个不是公式，不能在大题里直接用，但是小题咱们可以用啊。那现在你看了是不是非常接近啊。这个圈四 圈四对不对？你换嘛。左边来一个符号，左两边同时乘负一四 a c 减 b 方，左两边同时乘负数。不同的方向要改变方向的啊。所以就变成了负四 a。 那左右两边同时除四 a 吧。注意做乘法和除法的时候，一定要考虑这个数字是不是正数啊，是不是负数。 这个四 a 开口向上， a 大于零，那四 a 也是大于零。左右两边同时除四 a 同时除了一个正数不等号方向啊，不变。那右边的话就是负一。他的意思是什么？他的意思是顶点中轴标比负一要小，你顶点中标本来就比负一要小， 你看这个顶点 m 点， m 点比，这样一个负一本来就是低的嘛。所以说这个圈四是对的。那好了，六个知识点呢？常见的知识点算完了，实际上还有很多啊，考试时候你灵活一些，一般来说就这几个。分享看到知识，感受数学之美。我是张帆老师，下期再见。
1173会放羊的教书匠
01:13查看AI文稿AI文稿一分钟搞定。压轴题给出二次函数与坐标轴交于 ac 两点。在抛物线上找一点 q， 使得加角等于四十五度，求 q 点坐标。这个题最快的方式是构造前途。这里有一个一乘以三的直角三角形，所以我们只要在旁边再次构造一个形状相同的一乘以三的直角三角形 连接 cn， 我们会得到一个等腰直角三角形。因为这个三角形全等于他，所以 ac 等于 an， 他是等腰三角形。那这个角凭什么是九十度呢？这个角是 a 二吧， 这个脚是贝塔。我们知道埃尔法加贝塔等于九十度，而这两个三角形全等，所以这个角也是埃尔法。我们刚说埃尔法和贝塔相加九十度，所以这个角一定是直角。既然他是个等腰直角三角形，所以这个角一定是四十五度。因此，直线 cn 与抛物线的焦点就是我们要求的。 因为二字函数已知，我只要求助直线 cn， 一定可求焦点。根据二字函数，我们知道 c 点坐标是零负三，这个线段等于四，这个线段等于一， n 点坐标四负一。知道恩点知道 c 点可求直线 y 等于二分之一 x 减三。 知道一次函数和二次函数的表达是求二者的焦点。像这种苦力活，直接交给量就好了。搞定。
1.5万亮亮巧解数学
28:40查看AI文稿AI文稿这个专题我们来玩转阿斯函数与相似三角形存在性问题。那么解决这类问题的思路呢？就是一个数学建模。在这里常用到的数学模型就是构造方程这么一个强大的数学模型。 那既然是方程的话，那方程就离不开等量关系。而这类的等量关系呢，就来自于相似的判定元素，或者说相似的性质。有的时候啊，那我们知道相似的对应边是成比例的， 通过相似三形的对应编成比例，就可以给他列列一个。哎，相似方程。有的时候呢，还可以构造啊方程组这样的模型。那方程组模型的话，如果能够找到那里的动点是某两个图像的焦点的话， 你可以用这两个图像的简易是连列起来的方程组的简，然后去寻找焦点。 ok， 我们少啰嗦，上干货。看不到利益说如图以至抛物线，它里面的两个带内参数 bc 不知道说经过三角形 abc 的三个顶点， 咱们看一下 a 点坐标知道， b 点坐标知道。哎，两个点的坐标就够了啊。因为我们来看一下，这里就两个带零参数。于是呢，把 ab 两个点的点坐标带入就可以确定啊。抛下来解释了， 来继续看说。 ac 呢，它平行于 x 轴。来看下图。 ac 平行于 x 轴的话，说明 ac 两个点的纵斗标一致。只要简易是出来了，那么这里 a 点的纵斗标，我们可以看出来他是啊，对 它是一啊。 a 点的做作标是一的话，直接令我们的这里的解释当中的含水之外等于一，就可以得到关于 x 的方程。解方程就可以求出来 那个 c 点的坐标，然后继续来看。说点 p 呢，为抛物线的顶点。你看，只要简易是出来了顶点，根据顶点作别公式啊，就可以轻松搞定。或者把它配成顶点式。点 q 在直线 ac 上，点 q 在直线 ac 上，现在呢，直线 ac 就在这里，等 的点 q 就在上面动。当以 cpq 为顶点的三角形与三角形 apc 相似的时候， 求这类的点 q 的坐标好。首先呢，这个三角形 abc， 它的三个顶点坐标呢，是可以确定出来的，也就说它的三个顶点都是定点。我们把它称为是妈妈三角形。 那么跟他相似的这个三形呢，就是儿子三角形啊。那么妈妈在这里有了他的三条边的比例，关系也就非常清楚的啊。确定出来了，我们可以利用相似三形的对面成比例来把这个相似方式给他列一下啊。接下来咱们要研究一下， 研究一下谁呢？先研究他妈妈啊。那他妈妈如何来研究呢？你看 a 点 b 点这个坐标，知道我们通过 ab 两个点的点坐标呢，就可以利用啊我们的两点间的距离公式。或者说呢，给他 构造一个啊直角三角形也可以。我们过 a 点啊，做水平线，就是 ac 这条水平线。然后呢，过 b 点做千锤线，你看出来这么一个直角三角形，你可以看看这个直角三角形的千锤高度啊。这个千锤的这条直角边就是 b 点的动作标，减去 a 点的动作标，口算可以算出来对不对口，算，算的话他就九。 那么再看一下水平的这条直角边，哎，就是这段长度，其实就是 a 点的横道标减去 b 点的横道标是多少？对，就是也是九，哎，他也是九。 那么这个三角形我们给他记为是 abj 的话，他就是啥三形，他就是等腰直角三形。形容等腰直角三形斜边。我们根据国五定点化，就是九倍的 根号二。你看好了啊，他妈妈这个三形当中的 ab 的长度，咱就会确定出来了。至于我在这给你写的是一个思路图，不是一个答题过程，要做一个区分啊。 里面呢会加入一些箭头，目的是帮你去融会贯通的。那支气燃，还要支气缩一燃吗？现在我们可以通过刚才的这种分析呢，哎，达到 ab 的长度是九倍的根号二。好，他的长度出来了，再看还有谁可以确定呢？就是这里的 c 点， 需要直达一下它的坐标，就可以确定出来 ac 的长度。同时呢，还要明确一点，如图所示的这个角。一，它是多少度？ 是不是四十五度角，因为他是等一下这角三角形的啊，锐角吗？好把它标上啊。就是这里的角 bac， 就是妈妈三角形当中有一个四十五度角。那么对于儿子三角形来说，一样跟他相似的话，肯定也得有个四十五度角。那么我们看看他是不是隐藏了有个四十五度角。稍后的话，我们给他做一个进一步的分析。 那继续来看，还能够获取什么信息呢？就是 c 点的坐标必须把它求出来，那就依赖于我们这个抛物线的 简易是了。好，我们这个泡泡。现在简易是需要把 a 点的坐标给他带进来，然后那 a 点坐标带进来的话，就得到方程组，就是一等于啊，三分之一 乘以 x 的平方， x 是零了，那你看，前面这两下都变成啊零了。于是呢，就求得了 c 等于一，你看，就这么简单是吧，这个 c 就确定出来了。那再把这里的哎必点的坐标给他带进来。好，二者就组成了发声组。必点坐标带起来就是十等于 啊，三分之一乘以八十一，然后再减去九 b， 再加上 c。 好， c 已经求出来了，它等于一，带入就行了，那就可以求得 b 的值啊，此时 b 的值呢？一求它等于二。因此，对于这 这个题来说，抛物线的简易式，它是至关重要的一个事情，后面呢，都需要用到它啊。此时抛物线的简易式就是外等于三分之一， x 的平方加上二， x 加上一。有了简易式了，那就算是有了武器了啊。这就是函数的一个模型的一个魅力。 那么接下来如何确定 c 点的坐标呢？ c 点的重度标是一，因此呢，我们就另这里的外等于一， 好，另外等于一。就既然得到一个方程，就是三分之一， x 平方加上二， x 加上一，他等于一，这么一个方程吗？减这个方程啊，一减的话，求他 x 一，他等于负六。 x 二呢，他等于零，等于零的。这个啊，其实就是 a 点的横位标，而等于负六的，这个才是我们哎四一点的横位标是吧。由此的话，就 可以确定出来我们 c 点的横坐标啊。由它可以得到 c 点的坐标就是负六，横坐标是负六。那么纵坐标呢？哎，纵坐标当然就是一是吧，好， c 点的坐标就是负一逗啊，负六逗号一 负六多少亿？好，这点坐标求出来之后，我们继续往一下再走的话，你看哈，这是环环相扣的，就可以确定出来。妈妈三人行当中的这条边。 ac 的长度是不是就六个单位？ 就用 a 点的合同标减去 c 点的合同标，其实就是 c 点合同标的绝对值就行了。好，对于妈妈来说呢，哎，他比较辛苦。但是呢，研究下他的三条边啊，那这个是一个六。还有就是 bc 的长度， bc 的长度呢，我们现在先稍后研究啊，用得着的时候我们就研究，他，用不着的时候我们不研究， 因为它里面出现了这个四十五度角，就是如图所示的角 bac 角。 bac 这个角是四十五度。接下来咱们就要看儿子了， 看看儿子三角形里面有没有四十五度角。如果儿子三角形里面无论如何都出不来四十五度角的话，那就不不再抱有希望了啊。现在我们找一下儿子三角形，就是 cpq 相当 c 点是个定点， p 点呢，哎，需要把 p 点给他研究一下。怎样研究 p 点呢？ 就是把我们的抛物线的简约式给它搬过来啊，给它，比如说给它配方成一个顶点式的话，那就是或者是用顶点作别公式，这两个都要非常的灵活啊。好，接下来呢，咱给它配方。 我给你说一下，如果把一般是给他配方成顶点式，你可以给他提出来一个什么呢？提出来前两项啊，提出来一个三分之一。好，括号里面的二 四项就变成了系数，变成了一了。括号里就是 x 平方，然后加上注意加上六 x。 好，我们就只提前两项的这个啊，那这里面呢？括号里面开始给他配方配一次项系数一半的平方，那就是加上三的平方， 你还得再给他减去三的平方，总是要还的吗？好，这样的话，一保持一个等量的平衡，括号外面还有一个加一，你看这是啥呀？这是不是完全平方？是啊，套用完全平方公式的话， 他也就等于 x 加上三扩起来的完全平方。记得外面还有个三分之一乘进来分配率啊，三分之一跟他乘三分之一呢，还有跟这个负九乘上，那再跟外面的一啊，再合并起来， 于是给他画成顶点式，也就可以确定出来他的这个好，他俩一成的话，那就是负对，他俩一成就是负三，然后再跟这个 一合并起来，就是负二，因此就是减二就行了。这就是他的顶点。是。那由此的话，就可以确定出来屁点的坐标了，对吧？好，屁点的横坐标就是另这个完全平方等于零，就可以得到挨个等于负三。因此必点的横坐标呢，就是负三坐坐标呢，就是这里的这个哎，长数负二啊。 所以的话，这个屁点的点子标也就确定出来了。其实儿子三行当中现在确定出来屁点，他也是一个定点，当然抛物线不动，他的顶点当然也就不动了啊。现在呢，我们再来研究一下，里面有没有四十五度角呢？好像是如图所示的这个角 哎，也就是说我们这个是在妈妈三行当中是角一的，那个角是四十五度角。那么我们再看一下啊，妈妈三行当中是角一，在儿子上行当中这个角二，咱们推一推，他是不是四十五度角。我们的方法是这样的，过屁点做一条千锤线就 垂直于 ac 啊。与点 h 的话，现在我们看看这个三角形 pch 是不是等下直角三角形就行了啊。那么咱看看这个 ph 的长度。 ph 的长度其实就是啊， cp 两点的什么 哎，千锤高啊，千锤距离那用 c 点的动作标一减去 p 点的动作标负二，一减，负二是三个单位。好，再看看 ch， 其实就是 cp 两点的水平距离了。我们就用 p 点的横坐标减去 c 点的横坐标，那 p 点的横坐标是负三。 那么 c 点的合同标呢？哎，是负六。所以这一减的话，他也是三个单位哦。果不其然哈。在这里这个三角形 pch， 他也是一个等腰直角三角形。也就是说现在儿子三角形里面也有四十五度角，那显然这两个角就是对应角了。对于儿子 三形当中就是角二，他也是四十五度，当然就跟他妈妈当中那个角一是相等的。那接下来要是这两个三角形相似的话，我们就围绕着对应角的两条夹边，那么对应角的就是四十五度角的这两个夹边啊， 那一长一短。因为他妈在妈妈三行当中， ab 这条边跟 ac 这条边不正好是那个角一的那个四十五度角的夹边吗？这叫一长一短啊。妈妈三行当中啊，四十五度角的两条边有一长一短。那么对于儿子三行当中那那两条夹边分别是谁呢？ 就是三角形当中二三型的 pcq 那个 q 点现在还不知道在哪里，我们可以给他换一下。如果是这种情况的话， q 点跑到这里来，你看了，那么 cq 就是短边，那 cp 就是长边，也有可能。 cq 是怎么样？ cq 也有可能是啊，长编。比如说他长在这里， q 点在这里的话，那么 cp 是短边。此时这个角还是那个四十五度角，你说这个时候是不是也是跟他妈妈相似啊？所以这个妈妈仨也行哎，比较伟大，他有两个儿子啊。那也就跟他分情况，分类讨论了。 那接下来咱们给他分享。第一种情况就是啊，当三角形 pcq 来， pcqq 点在这个位置，我们给他继位。现在呢，看好了，当三角形 pcq， 呃，相似于三角形 b， a c。 注意我们运用了相似符号，就要对应的顶点写到对应的位置上来了。此时我们啊，长边比长边，短边比短边，就是四十五度那个角了啊。那么对于我们的耳 儿子三型来说，短边 cq 比上妈妈三型，当中，短边就是 ac 儿子三型里面的长边， cp 比上妈妈三形里面的长边 ab。 好。现在我们这个呃，只要把 cq 的长度求出来，然后就可以知道 q 点的坐标了。因为 c 点的横着标知道 q 点的纵的标肯定跟 c 点的纵的标一致。 ko 点的横坐标呢，他比 c 点的横坐标大了这么一段长度，又大了一段 c k o 的长度。所以一切的问题只要把 c k o 求出来就行了。那么 a c 的长度我们知道是吧，他是 六好，这是妈妈三行里面的，然后妈妈三行里面还知道 ab 的长度。那么 ab 的长度咱们前面求过了，是九倍的根号。二是他的长篇，那么 cp 儿子三行里面的 cp 的长度。哎，其实我们 我刚才说了这段长度是啊，啊三，这段长度是三，所以等下这下他鞋边呢，或者两点间的距离公式都可以确定出来。这里的啊， cp 的长度啊， 他就等于扣算就知道了，三倍的扣。二啊，这是我们对于儿子三行做的一个补偿啊，给他补上这个东西，所以我们用到谁，我们就给他补上谁。哎，这样的话，我们就一个相似方程，漂漂亮亮的列出来了。 那么里面的位置数呢？就是我们之类的哎， c q 吗？然后教他一三成就解这个方程就行了啊。要 c q 比六，等于三倍的跟二，比上九倍的跟二，三倍的跟二比，九倍的跟二。一比的话就是一比三吗？口算你可以算出来这里的 c k o 的长度吧， 此时一球的话， cq 的长度就等于二， cq 的长度是二的话，所以此时对应的 q 点的坐标就应该是在 c 点横坐标负六的基础上往右来 两个单位，是不是负四呀？ q 点的横的边就是负四，那么 q 点的坐的标呢？当然就是一了哦。所以此时这种情况下啊，那我们就 q 点的坐标求出来了。好，我们再看第二种情况 啊，第二种情况的话，就是长边跟短边互换一下啊，那就是当三角形 qcp 啊，注意对应关系啊，对应顶点写到对应的位置，相对三眼型 bac 的时候。 好。现在对于儿子三人行里面的 cq， 我们总之要把这个 cko 求出来。那此时的 q 点如图所示啊， 他是 cq， 是长边的情况下。哎，我们看括号里面这个 q 点啊，那也就是我们刚才说到的啊，这种方案的时候， q 啊，这个阴影面积啊， 阴影的图形。那接下来呢，对于我们的儿子，三省里面的 cq 啊，长边，比上妈妈三省里面的长边就是 ab， 就等于儿子餐饮里面的 cp， 他是短边。此事比方妈妈餐饮里面的短边就是对，就是 ac 好。其实呢，就是在第一种情况下，把分子保持不变，把分母互换一下啊。那现在呢，你看 ab， 他是九倍的根号二代入，然后 cp 呢，他是三倍的根号二。 思路非常的清晰啊，就是一个方程啊，方程是一个强大的武器。那同样是减这个相似方程啊，一减的话就可以求出来 cq 口算也差不多是吧。那他俩一乘就是三九二十七，乘以 k 二的平方，就是二，就五十四。然后呢，他俩一乘六倍的 cq 等于五十四，所以 cq 就等于六九五十四吗？他就等于九。他等于九的话，那就是 q 点的横坐标。就是在 c 点横坐标的基础上，往右推九个单位，往右推九个单位的话，也是啊，负六加九也就等于三。 那动作变的当然还是一。因此，在这种情况下，我们也把这里的哎 q 点的点坐标求出来了。那后面呢，你别忘了答上综上所述呢，符合条件的 q 点的坐标哎，是这么两个， 然后我给你答案就可以了。那总之就是一个方程啊，构造出方程，我们就赢了。好，我们再来看我们的丽二哎，看看丽二又出来啥东西了呢？ 好，如图已知抛物线，他哎，简易是彻底给他了。 us 如交于点 a， 那这个 a 点作别知道呃，和点 b 啊，点 b 坐标也知道哎。通过这个 ab 两个点的点坐标就可以确定出来一个东西啊，就是 ab 的长度。 那么 ab 是多长呢？就是由 b 点的横坐标四减去 a 点的横坐标负一，也就是五个单位长。 然后说过点 a 的直线 y 等于 s 加一。交抛物线。另一个点是点地，那此时呢，就可以一下子把这个地点左边给他取出来，就是连力二者的啊， 减一是是吧。好了，咱们给他连理一下啊。其中这个抛下的减是 y 等于二分之一， x 平方减去二分之三， x 减去二。 那直线的这个是 y 等于 x 加一。你还要看到更多的东西，就是这个直线的斜率，我们把它称为是啊 k 值啊，就是依次这样的系数 k， 我们把它叫做比例系数。同时呢，还叫做斜率，因为它掌管着直线的倾斜程度。 当他是一的时候，那是太好了，因为他预约两个座位都是夹角，就是四十五度角。哎，为什么呢？我们手 稍后做一个解释啊。相当的话，我们连理这两者的解释是就可以得到这么一个方程组。这个方程组呢，减是非常好减的，你用代入相应法就可以啊。比如说消掉 这里的 y， 就得到一个方程啊，就是二分之一， x 平方减去二分之三， x 减去二，然后等于 x 加一嘛。 这是一个关于 x 的一元二次方程。一减他的话，求他他是有两个根的， x 一等于负一， x 二，哎，他等于六。那么对于这类的焦点地的话呢， 为什么他有一个负一呢？哎，这个负一，这个其实就是另一个焦点，就是 a 点，因为 a 点他也是焦点，对吧？那么显然就是六的。这个才是我们地点的点坐标。因此呢，地点的坐标由此就可以知道了啊。地点的横坐标就是六，那么他的纵坐标呢？ 就是把它带入到啊这个直线当中来就行了，带着抛物线也行，但是抛物线预算量大一些，因为带了二次线了， 加入直线当中口算就可以算出来 x 加一吗？也就六加一是七。这就是我们地点的坐标啊，就这么轻松的出来了啊。六，逗号七。 好，我刚才说到了这个了，倾斜程度的问题，那么我们还可以给他利用这种思路来构造一下。比如说过地点做一条千锤线啊，做 dj 垂直于 ab 啊，与点 g 的话， 那么这段长度你可以看出来地点的动作标吗？就是七对吧。好，你看这段长度呢，就是用地点的横坐标六减去 a 点的横坐标， a 点的横度是负一，所以减的话，这段长度是不是也是七啊？ 那 aj 也是七。那对于这个等腰直角三就行了吧，就是直角三角形 adj 啊， 那他就成了一个等腰直角三角形了，因为里面呢， aj 他等于 dj。 好，既然是等腰直角三角形的话，我刚才说的那个四十五度角也就诞生了啊。就如图所示的这个角一看到了吗？由此呢，可以知道这个角一呢是四十五度角，这是个好角啊。 好，我们接下来读题说。呃，点 p 呢，在 x 轴上点 c。 哎，横坐标知道众多，也不知道咋办，得爱入马。因为这个点 c， 他在抛物线上， 那就毫不犹豫的把它带入到我们抛物线的简易式里面来。好，带进来的话，就可以确定出来他的点的纵的标了。啊，那就嗯，等于。所以我给你画的是个思路图啊，不是一个答题过程，要做一个区分。那么我们思路地图会画的话，也就说明我们的融会贯通了。写那个答题过程简直就太简单了对吧？好 带进来的话， a 就等于二分之一乘以一的平方，减去二分之三乘以一，再减去二，给他一计算。这个时候就可以确定出来此时我们这个 c 点的重度标 a 的值啊，等于负三，这个非常好算啊。 由此呢，就可以进而得到 c 点的坐标，就是一度号负三。好，把它再图上标一下，一度号负三。 然后说当以点 pbc 为定的三眼型与三眼型 adb 相似的时候，哎呀， 我们看看，看看妈妈在哪，是不是就是 adb 这个三角形，他就是妈妈三角形。那这个三角形呢？哎，那显然就是儿子三角形了。他俩相似的说。让我们求点屁的坐标。首先要搞清楚点屁他在哪里。哎，点屁呢？看看他在哪里呢？现在没话 看出来，他告诉你了，在 x 轴上。那么此时 x 轴与我们的 bc 是不是有个夹角啊？这个角就是这个角，如图所示啊，看到了吗？就是这个角，也就是我记上角二，就是这个角二。 那么这个角二，这是我们儿子三角形里面的啊，一个内角。那那个点屁现在不清楚待在哪里哎，我们先随便画一个啊，点屁有可能在这个位置的话呢，咱们就画上。好，现在的话，我们三角形 啊， ppc 出来了啊，三角形 ppc 出来了，那要跟妈妈相似的话，由于他并没有使用相似符号，他没有使用相似符号，里面是大有含义的，可能会出现多种情况。 现在呢，我们先来研究妈妈三角形啊。好，你在写答题过程的时候不要出现妈妈呀，儿子呀之类的，这个呢，咱是非常形象的来讲题 的啊。好，对于妈妈三角形来说，也就是三角形啊， adb 啊。这个三角形里面我们看看知道的哪些数据啊。首先那个角一就是角 bad， 这个角啊，角 bad 这个角，我再涂上标的是个角一的符号啊，咱们标的更加清楚一些。看好了，就是这个角啊，我给他记为角一的话，他呢刚才他们已经研究了，他是一个四十五度角啊， 他是一个四十五度角。那么我们稍后看看儿子三行当里面是不是也有这样的角啊，要不的话他就不能相似了。 然后对于儿子三角形来说，咱们来看儿子三角形就是 p b、 c。 好，咱们来看一下里面啊，这个过 c 点做 x 轴的，这么一条千锤线的话，跟这里的 b 点啊，好做。 作为是 c h， 我们做的是 c h 让他垂直于 x 轴啊， c h 让他垂直于 x 轴与点 h。 那么咱数一下这个 c h 的长度， 哎，其实就是 c 点众多，标的绝对值是不是就三个单位。那么再看看 bh 的长度， 由于 b 点的横坐标是四，那么 c 点的横坐标是一，所以 b 点的横坐标减去 c 点的横坐标，这一减就是水平这个边的长度了，是不是也是三个单位， 因此呢，我们也就放心了啊。现在就是说什么呢？就是说这里的三角形 bch， 他也是等腰直角三角形了。那么在儿子三行里面就是这个角二，他有四十五度角了，有四十五度角。接下来就是 展开讨论了，就是两边成比例，就是这个夹四十五度角的两条边成比例，这个是符合相似相应判定的。就是两边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形。那利用这个判定就可以轻松搞定他。你看跟我们的利益是不是如出一辙啊。 那么研究一下，对于妈妈造型来说，四十五度角的这两条夹边啊，一、一长一短，其中这个长边 ad， 那它是多少呢？你就把它放到这个等腰直角三角形 adj 当中，因为两条直角边都是七是吧，斜边就是七倍的根号二啊。所以 ad 这条长边呢，就是七倍的根号二。 这是妈妈三行当中的长边。再看妈妈三行当中四十五度角的那个夹边的短边呢，就是 abab， 它是一条水平边，就用 b 点的横坐标减去 a 点的横坐标， 也就是五对吧？好，这个就是短边，一长一短。然后我们再看儿子三行当中谁是长边，谁是短边。没说，我们就研究一下在儿子三行当中那个角二，那个四十五度角的两条边的长度。其中可以确定的一条边就是 bc 的长度。 bc 的长度呢？我们就把它放到那个等腰直角三角形 bch 当中，看到了吗？等腰直角三角形 bch 当中，由于这个直角三角形的 这个直角边长是三吗？所以他的鞋边就是三倍的根号。二啊，等腰直角三元的鞋边是直角边的根二倍。 好，他有可能是长边，有可能是短边。因此，接下来干什么要给他分情况来讨论了。你看，这就是我们这类问题的一个解决方案啊。那第一种情况呢，就是我们这个 bp。 哎，可能如图所示，他是个短边的话啊。 那么 bp 比上妈妈三型当中，短边就是 ab， 就等于儿子三形当中的那 bp 是短边。那 bc 呢？就是长边喽。比上妈妈三型的长边，就是比上 ab。 然后带入数据， ab 呢，他是五， bc 呢，他是三倍的根号二， ad 他是七倍的根号二。好了，你看，一个漂漂亮亮的相似方程就这么列出来了。然后一减的话，就可以把 bp 的长度求出来，如出一辙吧。好， bp 呢，就等于七分之十五。 那因此此时的 p 点的坐标哎，就是在 b 点的基础上，往左推七分之十五个单位。那 b 点的横坐标是啊，是四。所以四减去七分之十五，一减的话，也就是七分之十三。好，这就 p 点的横的标。 p 点的中的标呢，因为他在 x 中上，所以他的中的标就是零。这样的话，这第一种情况就搞定了。好，我们再来看第二种情况。第二种情况就是把短第一种情况当中的长边短边互换一下啊。那么对于儿子三行里面的这个 bp， 如果他是长边的话， 那他就比上妈妈三行当中的长边是 ad 是吧？好，就等于儿子三行里面呢，这个时候， bc 成了短边了，比上妈妈三行那边短边就是 ab。 然后带入数据， ad 的长度是七倍的跟二， bc 的长度是五，那 ab 的长度呢？是五啊。 bc 的长度是三倍的，根号二啊。 bc 的长度是三倍的，根号二。这就是三缺一吗？这个比例是当中这四条线段的长度 有三条，知道了，求内一条。哎呀，这是三条，欺负一条啊。那太简单了，交叉相乘，那他一层的话，五倍的 bp 就等于七倍的跟二，乘以三倍的跟二啊。然然后呢，就可以求穿我们这个 bp 的长度，他就等于五分之四十二。 然后这个就是长边的情况下，长边的情况下，咱们可以在图上给他勾两下线条，那叫屁点哎。长边的时候假设是在这个位置的啊， 我们放到括号里面来。那好，这个时候三角形你可以把它哎通过型的这个维度充分的做一个想象对吧？好，此时呢，我们对应出来的 p 点的坐标就是在 b 点横坐标的基础上，往左减掉多少，减掉这么一个长度是吧？一减的话就是负的五分之二十二。这边是 p 点的横坐标，纵斗标呢，当然是零。于是的话，后面给他 打上就行了。综上所述啊，也就说这里的符合条件的点屁呢是有两个。那这就是我们的这种情况啊。一个呢，要记得我们在解决这类问题的时候，一定要给他分类讨论啊， 你会发现我们无论利一还是利二都遇到了这种情况啊。多情况问题一定要给他分类讨论。分类讨论思想是我们数学当中一个非常重要的核心思想啊，他可以解决多情况问题，解决一些复杂的问题。 好了，我们总结一下解题三步走。第一步呢，就是射，第二步是找，第三步呢，就是见。那射什么呢？一般来说就是射我们那个 不确定点的坐标或动点的坐标。一般来说设这个点的横字标或纵字标，有的时候呢，可以设边长，有的呢，甚至连设都不会设，直接让他自身当做位置数。比如说这里呢，就让 bp 当做了位置数，对不对？当然这道题你可以设 p 点的坐标，完全可以啊。 比如说你要设了 p 点的坐标的话，咱们就可以这么来跟他玩啊。比如说我们设 p 点的横坐标，是啊， t 中坐标呢，不用我们设，他是领。然后那么此时如果在这个点亮关系当中 bp 的长度，你看 bp 的长度，就是把这个 bp 换成谁， 换成 b 点的横图标，减去 p 点的横图标， b 点的横图标是四，那 p 点的横图标是 t。 于是的话就得到一个关于 t 的方程了，那就是四减 t， 比上五就等于三倍的跟二，比上七倍的跟二。你看这不就关于 t 的方程吗？ 直接求出来 t 的话，那个 t 值求出来，一下子就是得到。我们一步到位了，就得到这里的七分之十三类似。这边也是一样的啊，这就是我们第一步上啊，那不上的时候它里面也是有未知数的。那第二步呢，就是找等难关系。在这个等难关系相似三角形里面，往往会出现有隐藏 挡着他对应角，找到对应角之后，另两条夹边成比例就行了。我们可以来列一个相似方程，或者说来列一个比例方程。那这就第三步，根据他这个胆量关系，构造出来这个方形方程，这样的一个模型减方程就可以确定我们的值了。 ok， 希望这个专题能够带给你满满的收获，尤其是这种方法上的提升，拜拜！
475曲传韵
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02:52查看AI文稿AI文稿十秒钟搞定一道压轴题！给出一个固定的二次函数，与坐标轴交于 ab， 两点连接 ab， 产生固定的依次函数。让我们在抛物线上找一点 q， 使得三角形 qab 的面积等于三角形 pab 的面积。 这个利用常规方法比较麻烦，但如果我们知道巧用平行线，那就完全不一样了。那我们不妨在抛物线上找一点 q， 连接 q a 和 q b， 也就是我们要使得这个三角形的面积等于 pab， 也就是这个三角形的面积。 此时你会发现两个三角形有一条公共的底边，也就是 a、 b 是这个三角形的底边，同时也是这个三角形的底边，两个三角形底边公共，所以我只要使得高相等就可以了，也就是 p 点到 a、 b 的距离和 q 点到 a、 b 的距离相等。那我怎么样才能使得距离相等呢？给出一组平行 线，我们知道平行线间的距离处处相等，如果你这个线段是 h， 那我这个线段一定也是 h。 我们要使得 p 点和 q 点到 a、 b 的距离相等，所以我们只要过 p 点做 a、 b 的平行线就可以了，也就是这两条直线平行，那么它与抛物线的焦点就是我们要的 q 点。 那这个 q 点坐标怎么求呢？两直线平行， k 相等，你这个 k 等于负一，所以这条直线的 k 也等于负一，因此我可以写成 y 等于负 x 加几的形式。那后面这个数字是几呢？因为我们经过 p 点，所以可以把坐标二九带进去，横坐标是二，纵坐标是九，所以我们求出来后面数字是十一。 已知二次函数和一次函数的表达式，而 q 点是二者的焦点，所以我们可以拿出他们的表达式去构造方程，最终求出来 x 一等于二， x 二等于三，这个二指的就是 p 点的 横坐标，所以 q 的横坐标是三，而 q 点在这个函数上面，把三带进去，我们可以求出纵坐标等于八。如果你以为这个题就这样结束了，那你就太天真了，我在下方能不能有一点 q， 使得这个三角形的面积等于撇 b 的面积呢？很明显是有的，那像这样的 q 点怎么找呢？ 给出一条直线，把它往上平 m 个单位，再把它等距离往下平 m 个单位。因为我们平移的距离是相等的，所以这两条垂线段的距离也相等。这条直线的表达式是负 x 加五，我的表达式是负 x 加十一，二者的关系是向上平移六个单位， 所以我们只要把绿色的 ab 等距离往下平六个单位，向下平六个单位，我们只要在表达式后面对应减六就可以了。所以我的表达式是 y 等于负 x 减一。此时这个直线与抛物线有两个交点，一个在这里 把抛线延长，另一个 q 点在这里已知二次函数和一次函数的表达式，所以我们可以构造方程求出焦点，最终我们求出 x 一等于负一， x 二等于六， 也就是他们的横坐标分别是负一和六。把横坐标带到一次函数中，可求纵坐标分别是零和负七。此时我们就把所有的 q 点全都找出来了。搞定。
4.9万亮亮巧解数学
05:03查看AI文稿AI文稿二次函数结合动点的特殊图形存在性问题是初中数学的重难点，有很多学生在遇到此类问题时总是无从下笔，今天就用一道题来让你抢分。好，我们来看题目。 题目告诉我们有一根抛物线，它与 x 轴交于点 a 和点 b， 并且呢，点 a 在点 b 的左侧，与 y 轴有交于点 c 顶点的坐标，也告诉我们了第一问，让我们来求这根抛物线的解析式。那这一问呢，还是非常简单的， 因为题目中给了顶点的坐标，而解析式呢，又是只有两个未知的参数，因此我们可以利用这根抛物线的对称轴以及这个顶点的坐标，通过待定系数法求得这个解析式。 那这一问呢，我不多做讲述了，我们主要来看第二问。在第二问中告诉我们有一个点 e， 他是抛物线对称轴上的一个动点， 若点 e 使得三角形 e、 b、 c 为等腰三角形，让我们来求满足条件时点 e 的坐标，那我们来分析这一个三角形 e、 b、 c。 因为在这个三角形中，点 b 和点 c 是两个定点， 而第三个能使得这个三角形为等腰三角形的顶点 e， 他是在抛物线的对称轴上运动的。因此呢，这道题的题型就适合我们上一个视频中所讲的两元一线定等腰这种辅助线的做法。 那关于这种辅助线不了解的同学呢，可以去看一下上一个视频，也就是此时，我们分别以点 b 和点 c 为圆心，做出两个圆， 然后再做出 bc 他的垂直平分线。那么因为点 e 是在抛物线对称轴上运动的，因此抛物线对称轴与我们刚才画的这两元一线的交点，即为满足条件时点 的位置。那我们还是跟上一个视频中一样来进行分类讨论。首先呢，我们以 bc 为腰，那此时又可分为两种情况，就是这个等腰三角形分别以角 ebc 和角 ecb 为他的顶角顶点时的两种情况。 我们先以角 e、 b、 c 为他的顶角顶点来进行讨论。此时我们以点 b 为圆心，以 b、 c 的长度为半径做圆， 这一个圆呢，与对称轴有两个交点，我们分别把它设为 e 一和 e 二，也就是说，此时 e 一和 e 二这两个点都能使得三角形 e、 b、 c 为等腰三角形，而且呢，这一个等腰三角形又是以角 e、 b、 c 为顶角的。 那接下来我们怎么来求出这两个点的坐标？我们来观察图形，因为点 e 在这根抛物线的对称轴上运动的，抛物线的对称轴又始于 x 轴垂直的，因此在图中有多个直角存在，我们就可以考虑是否可以通过构造直角三角形，利用几何的方法来求出点一一和一二的坐标。我们先设对称轴与 x 轴，焦点为 d， 此时我们来看这一个三角形，也就是直角三角形 e、 d、 b。 在这一个直角三角形中，它的斜边一一比的长度应该就是等于 bc 的，因为他们俩都是这个圆的半径。而在题目中呢，我们又可以很容易的去求出点 b 和点 c 的坐标，分别为三豆零和零豆负三。 那由此我们就可以得知， oc 和 ob 的长度应该就是相同的，他们都等于三。那在这一个等腰直角三角形 ocb 中，我们就很容易可以求得他的斜边 bc 的长度应该就是等于三倍的根号二二， 而又因为 e、 e、 b 的长度等于 b、 c 的长度，所以说呢， e、 e、 b 的长度也等于三倍的根号二。好，我们再来看另外一条直角边 d、 e、 b， 因为 d、 e、 b 这一条直角边，它的长度应该就是等于点 b 的横坐标减去点 d 的横坐标得到的差， 而点 b 的横坐标是等于三的，点 d 是在对称轴上运动的，由此我们就可以得到 d、 e、 b 这一条线段的长度应该是等于二的。 好，那在直角三角形 e、 e、 d、 b 中，我们已知了斜边和一条直角边的长度，我们要来求 e、 e、 d 这一条直角边的长度，是不是就可以利用勾股定理了？ 算出来以后呢， e、 d 这一条直角边的长度就是等于根号十四的，而我们要求的点 e、 e 的众坐标，他刚好就是等于 e、 e、 d 这条线段的长度，因此他的众坐标 标即为根号是四。而横坐标呢，因为点一都是在对称轴上运动的，那他的横坐标就为一。由此我们可以得到一一这一个点的坐标即为一。逗，根号是四。 而经过观察呢，我们又可以发现，一一和一二这两个点，他是关于 x 轴对称的，而点一二又是在第四象限的，由此我们就可以得到一二这一个点的坐标即为一逗负，根号是四。 好，我们讨论完了以角 e、 b、 c 为顶角的情况，我们再来讨论以 b、 c 为腰的情况下，以角 e、 c、 b 为顶角时。
5492自主学习戴
02:47查看AI文稿AI文稿一分钟教给你压轴题，给出二次函数与坐标轴交于 ab， 两点点屁在对正轴上，使得三角形为等腰三角形，求点屁坐标， 我们只要知道两点间距离公式就够了。给出两个坐标，求点 a 和点 b 之间的距离。 ab 等于横坐标，相减等于三，拿出来平方纵坐标相差四个单位，拿出来平方再开方等于五。 用两点间距离公式可以把这个三角形的三边都求出来。首先我们来求 pa 横坐标相差一个单位，拿出来 平方重坐标是 m 减三还是三减 m 呢？因为你最重要平方，所以不管是 m 减三还是三减 m 都可以，那我们就不妨是 m 减三，拿出来平方再开放。所以我们求出来等于根号下一加上 m 等平方减六， m 加上九，整理一下，等于根号下 m 的平方减去六， m 加上十。我们再来求 pbp 的横坐标是一， b 的横坐标是三，三和一相差两个单位，拿出来平方， 一个重坐标是 m， 一个重坐标是零。很显然我们有 m 减去零，重坐标相差 m 个单位，拿出来平方再开放。所以我们求出来等于根号下 m 的平方加上四，我们再来求 ab。 你不管是用两点间距离公式，还是用勾股定理，我们求出来都是三倍根号。二， pap 是等幺三角形，谁是底谁是幺，说的不明不白的，我们需要做的就是分类讨论，把顶点当做讨论的对象。首先考虑 p 为等幺三角形的顶点，大概长这个样子，也就是 pa 等于 pb， 那我们过程怎么写呢？我们只要说当 pa 等于 pb， 也就是这两条线段相等，那 pa 在这里， pp 在这里，我们只要列出一个方程就可以了。左右两边同时平方，我们求得 m 等于一，因为这个 m 指的是 p 的纵坐标，所以此时屁点坐标就是一一。我们再来考虑 av 顶点图形大概长这个样子， 也就是当 ap 等于 ab 的时候， ap 在这里， ab 在这里，所以我们就要列出一个方程，然后在左右两边同时平方，得到一个我们非常熟悉的一二字方程。求解的过程我们就省略了，因为 m 指的是 p 的重坐标， p 二 三加根号十七， p 三三减根号十七。最后考虑 b 为等幺三角形，顶点图形大概长这个样子，也就是 ba 等于 bp， 当 ba a 等于 bp， 也就是这两个边相等， ba 在这里， bp 在这里，我们只要构造出一个方程就可以了。然后我们在左右平方求的 m 等于正负，刚好十四，所以最终我们可以把五个 p 点坐标全都求出来搞定。
1.3万亮亮巧解数学
07:05查看AI文稿AI文稿好的，我们接下来看二次函数，他说如图，抛物线 y 等于负二分之一， x 平方减二， x 加六，顶点是 d， 这个 ac 两点分别是与坐标轴焦点，他问抛物线上是否存在点一是二倍的角 cad 是吧？这角他的两倍等于角 oae 是吧？ o 一，这角是这角他的两倍。让我们求出一点坐标，那么这个题，首先我们先看一下这个角他是否是特殊角，是吧？如果是个特殊角，十五度呀，三十度，那么这个题就很简单 啊，所以说我们先看一下，首先把 a、 c、 d 三点坐标求出来， c 点零六，然后 a 点就令 y 值等于零，是吧？解除这个二次方程，可以十字相乘因式分解，最终求出来 a 点坐标 负六零，然后求地点坐标是吧？可以利用公式法，首先横坐标负的二， a 分之 b 就是负二，然后把负二带进去，求出来中坐标八，那么这三点坐标求出来之后，通过计算，我们发现这个三角形 a、 c、 d， 他是一个直角三角形啊，可以把三边长都算出来，然后利用勾股定理。当然通过这个题，我们可以给大家介绍个新的概念，就是我们学习依次函数那一块 k 值是吧？也就是直线的斜例。我们对于两条直线，如果 l 一平行于 l 二， 那么这两条直线它的斜立 k 一就等于 k 二啊。如果两条直线 l 一垂直于 l 二，那么这两条直线是吧？它的 k 一乘以 k 二等 等于负一是吧？后为负倒数。像这种东西，我们对于亚洲题中最后一问就可以直接用就行了。那所以说我们通过观察这个 ac， 他的学历很明显就是一吗？因为 oc 等于 oa， 他就等于数值距离比上水平距离，是吧？是等于一， 然后这个 cd 他的 k 值，是吧？两个坐标点的重坐标之差比上横坐标之差嘛？ 八减六比上负二减零，是吧？算出来等于负一，是吧？那么这两条直线他的 k 值互为负到数，所以说这个角是直角，那么这个角是直角，之后我们看一下，是吧？弹琴 角 c a d， 它就等于 c d 比上 a c 嘛？ c d 比上 a c， 那 c d 通过勾股定理，对吧？二比 根二比上 a c 六倍根二它就等于三分之一，那么一个角它的正确值是三分之一，它不是一个特殊角啊。当然，我们还没有学到三角函数这一块的同学，可以先了解一下，在直角三角形中， 这个角正切直，就等于对边比上这个角相邻的直角边，是吧？那么这个角既然他不是特殊角啊， 随着角 o a 一，它的度数我们并不能算出来，那这里就要用到二倍角，我们初中阶段没有公式，没有公式怎么办呢？是吧？构造二倍角，把它推出来嘛？ 我们构造个两倍的阿尔法，怎么构造还记得吧？是不是做中垂线呢？做 a d， 它的中垂线，是吧？构造一个二倍角，那么这个角它就是两倍的阿尔法。此时我们把弹筋 两倍的 a 法给它算出来，那首先它是等于 c d 比上，那这个点是 b 点 c b， 我们把 c b 算出来，那怎么算？设未知数是吧？我们就设 a b 是等于 b d 等于 x x x， 那么 b c， 它就等于 a c 减去 x， 也就是六倍杠二减 x， 那此时我们利用勾股定理是吧？ b、 d 的平方是等于 b、 c 的平方，加上 c、 d 它的平方，那么 b、 d、 x 平方就等于 b、 c 六倍根二减 x 它的平方，然后加上 c、 d 的平方，加上 c、 d 是等于二倍根二，二倍根二，它的平方算出来 x 等于三分之十倍根二，那么 bc 就等于六倍根二，减去三分之十倍根二，所以说 bc 他就等于三分之八倍根二，那么 cd 二倍根二，那么这个弹筋两倍的 r 法就等于 四分之三，对吧？当我们到了高中学习了二倍角公式，这个一下都出来了，那为什么我们要算出两倍的阿尔法他的正切值，因为我们要算出直线他的解析式，是吧？先把它擦掉，那么这个角 oa 就是两倍的阿尔法嘛。所以说弹性 角 o a 一，它就等于四分三，那么我们对于依次函数，是吧？这个直线与水平线它的夹角。假设贝塔，那么这条直线它的斜立 k 就等于这个直线与水平 夹角，他的正切直弹紧贝塔，当然这个 k 有正有负 k 的绝对值，这个我们要知道，其实直线他的 k 值 就是这个直线它的坡度嘛，是吧？坡度就等于数值距离比上水平距离，所以说就是它的正切值啊。那我们知道这个之后，假设一点，是吧？在这个位置，这个 a 它的解析式就可以算出来，因为这个角两倍的阿尔法嘛， 那么弹进二阿法是等于四分之三，所以说这个直线 a 一，他的 k 值 k a 一就等于 四分之三吧。当然这个 a 一即可能在上面，也可能在下面，是吧？一一一二，所以说 k 有两个值，正负四分之三，那我们知道 k 值 这个 a 点坐标，就可以把直线 a 一它的解析式算出来， a 一一它的解析式， y 是等于四分之三， x 加上二分之九。啊，怎么算？可以用带电系数法先算吧，比如说这个 a 一一就设它 y 等于 k， k 首先是四分之三，四分之三， x 加 b， 是吧？然后把 a 点坐标分六零带进去求助。 b 是二分之九，所以说 a 一是这个，那同理，下面这个直线 a 一二就是 y 等于负的四分之三， x 减去二分之九。那最后一步就连力分别将这两条直线连力抛线，是吧？比如说连力，第一个就是 y 等于四分之三， x 加上二分之九 与抛线 y 等于负的二分之一， x 减二， x 加六啊，连力求出来坐标 一点就是二分之一，八分之三十九，是吧？啊，同理，这边年历之后一二点就是二分之七，负的八分之五十七，是吧？两个点坐标啊。
1683数学唐老师
