复变函数re是什么意思

各位同学大家好，今天呢，我开始大家对于复变函数做期末考试的复习工作，那我们这部分的主要分成是考点、分值、知识点 和必考习题，做以下四部分的讲解。题目来源于各个学校的期末考试卷，应该说对大家的期末考试复习工作有比较大的参考作用。 你如果能把我讲的所有的知识点包括习题弄明白的话，对于全国绝大部分院校同学来说，考到六十分以上是没有任何问题的，但是一定要跟着姑姑一边学一边记啊，不能说看一遍就算了，好 好，我们下面来看一下。第一个考点就是复数的基本概念，那这部分呢？主要考试题型呢？基本上是选择题或者是填空题，包括一些 算题的部分啊，那么他的知识点包括以下的几个部分，首先什么是负数二的平方，应该等于负一， 然后欧拉公式非常重要，后面我们在积分变换里也将会用到欧拉公式。一意为底的 i c 的字方等于库撒一斯一塔，加上 i 被的撒一思一塔，一意为底的 ic 的字方，这里出现了一个负号，他等于库撒一斯一塔减去爱贝的撒一思一塔。那么 这两个公式呢，还有相应的变换，也就是库塞斯塔，咱们可以写成是二分之一 为底的 i c 的四方，加上一意为底的负 i c 的四方。而三 e c， 他呢，咱们可以写成是二 i 分支，一意为底的 i c 的四方，减去一意为底的负 i c 的四方。好，这是两个公式相应的变形，那对于 给了我们一个复数来说，他的十步，我们用 i e z 来表示，应该等于这部分，而虚步呢？用 i m z 来表示，这部分呢？是那关于他的运算，姑姑不再一一的去给大家去解释，那如果两个 虚数相等，那么他的十步相等，虚步也相等，他们的代数和等于十步的代数和加上虚步的代数和乘积啊，我们可以用一次分配率计算出来，这是他的十步，这是他的虚步， 而两个复数相除，我们用这种方法呢叫做分母有理化，对他进行分子分母同时乘以 x 二减去 i 倍的 y 二，那么下面呢，将会变成一个平方叉， x 的平方加上 y 的平方，上面依次的变成这样的两部分。好，这是他的运算，还有一种 运算呢，叫做共恶复数，共恶复数就是把虚部的符号变一下，那么共恶的计算技巧这里要注意，就是 z 和其自身的共恶复数，其乘积应该等于 x 的平方加上 y 的平方，那这个 x 的平方加 y 的平方呢？ 就是 z 膜的平方吗？所以有下面的这个式子， z 的膜等于根号下 x 的平方加 y 的平方， 我们也可以把它写成是根号下 z 乘以 z 的公鳄。好，第六辅角，那这里面一定要注意，就是当 z 不等于零的时候，项链 z 和 x 轴注意是正向之间的夹角。 c 塔，我们把它记做是 角啊。 ct 零加上二 k 拍，而这个 ct 零注意是腹拍到拍，是这个范围内，我们把它叫做敷胶组织，那要注意敷胶 组织的变化范围是复拍到派，尤其是这边是 b 的，这边是开的。那还要注意，这里是 z 不等于零的时候，那 z 如果等于零的时候呢？他的辅角呢？为任意方向？这是在选择题里经常会出现的一类判别正步的选项。

啊，留数，留数很重要的一个名词，就是又称为函数，它是复变函数论中的一个重要的概念。那么解析函数 f z 在孤立几点？ z 得 z 零处的一个洛朗展开式 f z 呃，等于 c 嘛， n 等于负数到正无形 c n 乘以 z 减 z， 零的 n 次方。这表达式的呃中啊，啊 z 减 z， 零的负一次方向的呃系数 c 减一啊，成为呃 f c 在 z 等于零处的流数。 那流失的概念由法国数学家科西提出的，他在一八一四年于巴黎科学院宣读的论文关于定积分理论的报告一文中就已经接触到 这个概念了。这流数啊，比较完整的论数是在他一八二五年的论文就关于积分限位虚数的呃定积分一文中给出的。 第二年，他提出了积分流数的数据，根据指出了 f z 在 z， 零处的流数就是 f c 在 z， 零的洛朗整开式 z 减 z， 零的负一次方向的呃系数。 那么到了一八四一年，他建立了流数的积分表达式，就 f z， 零等于 e， f z， 啊，等于 z， 零 等于二排 n， 二排 i 分之一啊，然后积分表达是是嘎，然后 f z， e， t， c 表达是，积分表达是其中把积分路径 啊刚么表示以这名为中心的小圆。一八四六年科学又指出说，如果区县刚么包含包围了一些积点，那么积分 呃 f， gam， f， c， d， z 的值就等于 f c 在这些基点的流数之和的二派 n， 二派 i 倍，也就是呃积分表达式啊，积分 gam f c， d， z 等于二派 i e， f c， 其中呢， e f z 是科学英语表示流数之和的记号，这个结果被称为流数定理。那么 流失定理在复变函数论中有广泛的应用，例如利用他可以计算一些个一些个比较复杂的定期分等等啊。

各位同学大家好，这个呢，我们说一下，这个复变函数当中啊，有一个科西弥漫方程，这个用的是比较多的， 而且呢，初学者呢，可能对这个不太了解，就说 f 在 z 和岛他是对应的，满足一个方程组的，也说他的这个十步 fz 啊，他写成十步须步吗？十步和须步必然有一定的联系，那这个方程组很多同学记不住，怎么去记呢？ 我们可以这样来理解啊，咱看一下啊，这个 fz 啊，其实就是 x 加上矮外，然后呢，这头呢就是 uxy， 再加上一个矮背的 vxy， 既然可倒的话呢，我们先可以两边直接对 x 去倒了，两边对 x 去倒的话，这应该就是 f e 撇，这里头是 z 啊，这里头是 z 对不对？相当于类似于复合修道一样， f e 撇 z， 紧接着 z 对 x 求是一，这地方就变成了 u 对 x， 再加上一个矮背的微对 x， 线性，对吧？然后呢， 两边的还是这个表达式啊，表达式两边对歪球的话，也是 f 先队里边的整体 c 球导 c 对歪球的话，会出现一个 i， 然后呢，右边呢是优对歪，再加上一个矮背的位对外 我们怎么处理呢？你看第一个表达是为了保证左侧是一致的啊，第一个表达是两边同成一个 i， 同成一个 i 啊，那这地方就变成了负一了，对吧？变成负一了， 所以呢，我们这地方你看现在就变成了减去一个 vx 了，是吧，减去一个 vx， 这样也别拉屎。那这时候你看一下啊， 他对应的，他对应的这左侧，相当意味的右侧应该相当的十步等于十步，虚步等于虚步，你看一下就会得到了。优对 x 等于 v 对 y， 优对 y 呢？等于负的 we 对 x， 这样就得到了。可惜里面方程 也说刚才最初我们算的这个地方没有 i 的那个，就是 f， e， p， r， z 就是优对 i x 加上 i b 的 v 对 x， 就是他那个导数值吗？就是这个表达式， 这个大家必须要起来的啊，这是相当于是联系复变和这个时的之间的一个桥梁啊， 有的时候我们叫克西里曼方程，有的时候呢？用这个辅的和 real cia 方程吗？辅的和十的之间的一个桥梁，很关键的一个函数。

根据复变函数定义看，最直接显然的复变函数就是自变量，是复数，在一个映射关系下，对应一个音变量也是复数。 而复数可以在平面上表示点，也可以表示一个像量，因此很自然就可以描述平面像量场了。比如表示一个点电鹤的电场，取一个过该电鹤的平面。研究 很自然的可以用复变函数描述位置和该点位置上的场墙。信号处理变换的本质就是在食欲和频欲无节操地变换同一个信号。 很多时候，他需要把一个食欲信号变换成无数个不同频率的信号的叠加。对于一个不停地重复的食欲 信号，可以被叠加成频率上的其各种一倍、二倍、三倍、四倍频率的加权和。然后利用欧拉公式自然而然的把负指数引进来了，他可以很方便的把乘法、除法运算变成加减运算。 量子力学要使用复数，这是绝对必须的，并非仅仅出于便利。我们研究自变量和函数值都是复数的函数，其可谓的条件是什么？这个条件可以写为两个微分方程，柯西林曼方程组， 这个负函数的实步和虚步作为两个时值二元函数共同满足该方程组。也就是说，负变量函数求变化率这件事情与时变量函数 求变化率是本质上不同的，前者本质上涉及微分方程，而后者并不涉及。如果一个复函数是可危的，那么它等于它自身的泰勒极数。这件事对于实函数来说一般是不成立的。

我们来看一下这个辅数 z 的化解啊，这个辅数 z 呢，应该是分子分母同乘以它的共个复数，这个共个复数是辅 i， 然后后面的共个复数呢，是一加上 i， 所以整理一下，前面是等于负 i 的啊，后面这个呢，刚好是减去，这是二分之三，哎，再减个三，除以 i 方得负一的啊，等于二分之三， 再减去一个二分之五哎，所以这时候的十步应该是等于二分之三的虚步，等于负的二分之五。 公告辅数 c 呢，就应该是二分之三，十步变序步变成相反数，加上二分之五 i， c 的摩长应该是十步的平方，再加上虚步的平方。开个号，这个很好算，这应该是二分之个号三十四， 这个点在第四项线啊，所以他的辅角 应该等于辅角主值，再加上一个周期二 k 拍，是吧？辅角主值由于是在第四项线，直接就是不变的，直接就是阿克他，你呢？ y 比上 x 就行了，再加上一个二 k 拍。 我们看第四个小题啊，第四小题呢，主要是利用 i 的四次方式，等于一的 i 的平方呢，是 等于负一的啊，所以四个一轮回，这应该就是一了，这应该是四，这可以写成哎的二十次方，乘以一个哎，再加上一个哎，所以应该是减去一减去四哎，再加上一个哎， 等于一减去三，哎，所以十步是一，然后虚步是负三，磨长应该是根号十， 也是在第一次上线浮角组织啊，先算个浮角组织，刚好是敷的啊，卡塔尼的三， 最后加上周期二开拍就行，就是整个的辅角，是吧。我们看第八题啊，他说画成三角形式和指数形式，三角形式，指数形式，最关键的是魔长和那个辅角主值，所以我们来看一下，这个角度是 零，这个角度是二分之派，注意这头对应的是拍，这头是负的二分之拍，然后这有一个是负派，但是负拍是取不到的，然后我们注意，一四是不变的，一四直接就是阿克萨尼的 y b x 就行，然后呢，二是加派，三是减派，一四不变，二加三减啊，把它记起来，所以挨的位置，挨的位置应该是在这个位置，这应该对应的将来位置是挨，是吧，这是自己的挨的位置，所以角度直接摸长是一，角度是 二分之派，当然你可以写成了扣三二分之派加上矮背的 c， 二分之派，负一在这个位置啊，负一的角度对应的是拍的，所以摩长 h 等于一 c， 再对应的是 拍辅导组织啊，所以这时候的负一可以写成了 r 倍的扣三也拍，加上一个矮倍的三也拍，当然可以写成了指数形式，就是一的 ipad 下面这个一加根号三的时候，这个摩长应该是等于二的。这个佛教主持 c 塔就是阿克，他念的 ybx 是等于三分之派的，所以这是一加上根号三。 i 就可以写成了 r 倍的扣三音非他加上 i 倍的 赛菲塔，这是三角形式。指数形式呢，就是二的一的 i 三分之盘。再看第四个啊，第四个魔长呢？再算一下魔长，魔长应该是根号下一一减去 取扣塞塞的平方，再加上一个塞塞方，这个如果打开的话，里边实际上是写成了二减去二倍的扣塞塞的，这个当然是等于 利用被角公式啊，这应该是里边就是二一减扣赛引刚是二倍的赛因二分之三的平方，所以直接就是二倍的赛因二分之三， 因为这现在翻是领导拍的啊，这是正的，没问题，这是摩长。那这时候呢，你就可以直接写啊，佛教组织的话，你要算起来还是比较麻烦的，可以利用被角公式。利用被角公式，这不有个二位三也二分之三吗？刚用一次了，他其实 这里面这还剩了一个赛眼二分之三，再加上一个矮背的扣三眼二分之三，二分之三应该是介于零的二分之派之间的利用诱导公式， 这个就可以写成了扣塞音二分之派减二分之范，然后加上矮背的塞音二分之派，减去二分之分，这样就出来了啊，这是他的三角形式，如果指数形式的话， 这是 r， 然后呢， e 的 i 非塔就是二分之拍减分，可以这样写，是吧？再看第五题，第五题稍微的整理一下啊，分子分母同成一个公共数数，负一减来， 所以这个画完之后是多少呢？很简单， 是一减 i 啊，一减 i， 所以摩长直接就是根号二了。角度呢，是在第四项链，直接就是阿克坦尼的负一等于负的四分之派。一定要小心一点啊，我们的三角形是就是 r 扣散音，注意是负的四分之派加上了矮背的散音负的四分之派。 我们习惯上约束。这地方必须是佛教主治啊，佛教主治不要用记偶性化解啊，就这样写的就可以写的等于指数形式。下面的指数形式格号二应该是 e 的 i 负的。 看第十四题啊，求这种密的密超过次数比较高的。我们都用指数形式把这个根号三减 i 画成指数形式，需要算他的 r 和 c， 他 r 呢是二，很明显 c， 他注意是第四向线 ybx 应该是负的六分之派，所以这时候这个根号三减 i 就变成了二倍的 e 的负的六分之派，然后 i， 那将来他的五次方就等于这个后面的五次方，所以是二的五次方，然后一的负的六分之五派，哎，这些二的五次方，这应该就变成了 cosai4 的六分之五派，再加上一个 iv 的赛因 负的六分之五派，这些人是可以算出数来的。最后就是负十六倍个号三减去是六 i 的。下面这个做法是一样的，一加 i 呢，可以写成了模式个和二，然后呢，角度是一的 i 四分之派， 所以这时候他的六四方就等于后面的六四方，刚好各号六四方就是八了，是吧。然后 e 的 i， 这是二分之 三派，这是八乘以扣三也。我拉公式啊，二分之三派加上矮背的三也二分之三派，所以是等于负的 白的。下面看这个 n 次方根啊， n 次方根用的公式呢是 n 次根号下 z 等于 n 次根号下 r 是抠赛音， n 分之 c， 他加上一个二 k 派加上一个矮配的赛音 n 分之 c， 他加上一个二 k 派， k 呢？零一一直到 n 减一的。所以最关键的还是这个 r 和 c， 他对于负一来说，对应的 r 其实就是一 c， 他对应的是拍。那直接带着公式就行啊，直接带着公式，所以六次根号下负一，一定要注意，他是六个根啊，六根， 比如说六分之派加上一个二 k 派，加上挨背的赛音六分之派加上一个二 k 派， k 从零一二三四五，有时候这个算的太麻烦了，其实我们 可以上课的时候说过啊，这样一件事情，这个根呢？这六根可以把这个圆是六等分，所以你找出一个就够了，比如说显然这两个是的，然后六等分的话， 这对应一个，这对应一个，是吧？这个角度对应的是六分之派，这有个负的六分之派，然后这应该是六分之负的六分之五派，这应该是 六分之五拍，再加上这个符哎和哎这两个点，这样就把这个点找出来了，这现在是角度啊，所以将来可以写成了一的 i 六分之派， 这做法是一样的啊，也在办公室是一样的。看第四题啊，第四题的话先把这个一减 i 画出来，摩长呢是个号二，角度呢是等于负的四分之派带进去，应该是个号二的三分之一次方， 然后这应该是扣赛音三分之负的四分之派加上了二 k 派，这是再加上一个矮背的赛音三分之负的四分之派，再加上一个二 k 派，这样一个结果， 那将来有一个二的六分之一次方，扣赛音负的十二分之派加上一个矮背的赛音负的十二分之派。 一定要注意三个值啊，小心点。

好，接下来我们说负边还有积分的一些性质，其实就跟以前基本没差别，设 f， z 和 gz 是一个连续积分漏镜来， fz 的 dz， 然后等于负的 c 逆啊，然后 fzgz， 这其实啥呢？就是一个漏镜啊，从 o 到 p 的积分等 等于负的从 p 到 o 的积分，跟咱们学的那个第二类取件积分很像吧，讲方向啊，从 o 到 p 和从 p 到 o 结果有一个复号的关系。好， 如果你这个漏镜已经反了，那么结果填个符号就 ok 了啊。第二个 k 是作为一个长寿往前拿着，跟以前都一样哈，然后加法的，这个积分等于积 积分的加法是吧？积分加减法，这也很 ok。 来。第四个射， c 是 cec 啊，连接而成，就他有两段是吧？比如说我们这的这个 o， a， p 是吧？从 o 到 a 再到 p， 我可以分成 oe 的积分，再加 ap 的 积分，这以前也见过是吧？基本跟你微积分学里边没有什么差别啊。大逻辑顺一下就过来了，给大家五秒钟时间，大家再随便感受一下。 好，接下来我们举个例子，射计算这个 a， e， d， d， 其中 c 是从原点到减是吧？这就是一开始了，我们说讲解如何写一个参数方程那个东西。好，我们具体来看，首先积分路径的参数方程，第一个是零 原点到一加二是吧？我们把这个图一搞出来，你就发现他的直线方程是 y 等于 x。 好，所以写参数方程 zt， 我直接就来了啊， z 的原含是什么？ x 加二位的 y， 我发 发现 xy 之间相等，所以 x 射位踢的时候爱踢，然后自己的表达形式好，带进来写他的十步，这个作为被击函数，是吧？所以 l ez 呢，就是踢本身，然后 dz 你要把它求出来，这一步不能少啊，一加二倍的， 我是关于踢球大的。好，全部带进去啊。一 z 呢？抄进来，那就是踢被的，然后 dz 也抄进来，一加二倍的的踢，然后踢的取值范围呢？是零到一。好，我们继续做一步计算。那一加二作为一个长寿就不说了，踢的原案数显然是二分之一踢的平方， 带起来就二分之七八，加上二分之七八，乘以二打一，数零到二。具体计算呢，我们就不带系数了，得到这样一个结果，好，一带进去，减去下界零带进去就 ok 了。好，第二个题，积分路径的参数方程。首先是 y 等于 x 的平方这样一个形式，那么 你是沿着原点到他，我们依然是写出他的参数方程， z， t 等于 t 加爱 t 的平方。特别强调，当 x 取 t 的时候，实际上 y 是 t 的平方，用 t 建立了 x 跟 y 之间的关系。好，我们接着来他的十步，显然就是 t 了，然后他的 dz 就等于 关于踢球道，那就是一加上二踢二倍的 gt。 好，我们带进来，阿一 z 倍的 dj， 然后具体就是踢，抄进来，然后 dz 也抄进来，一加二踢二倍的 gt。 好， 进一步化解。那我们依然说关于踢球的，然后踢第一个踢呢？关于踢球的就二分之一踢的平方，第二个是叫踢乘以二，踢二是吧？二踢的平方是不是三分之二踢的三次方啊？好，我们回忆一下，主体是踢的平方吧，原函数就踢的三次方，为了保持一致，所以我在前面添个三分之二二， 让他的信守一致哈。如果这个点还没送过来，你可以把他的倒数求一下，是吧？一求倒数三过来了，恩爱提帮。好，这是一个常见 n 接倒数的这个求解方式啊。零到一，然后带进去，具体计算，我们就不再坠数了，没有意义哈，来第三个积分路径有两段之间构成，我们是从 o 到 a 再到 p。 好， 第一段 x 轴当直线的参数方程，那么显然 x 我们没有限制是吧？ x 随便取，然后 y 的取，这是个零，所以就是 t 加上零乘以二。好，具体他的十步呢，就是提 dz， 对了， dz 等于一倍的 gt， 后边是个零哈，我们带进去呢，一加一二，我们再把这一道方程也搞出来。一到一加二是吧？那显然 zt 就等于什么呢？ x 是一，然后 y 是随便取之，我们设为 t， 然后构成一个 zt 的积分函数。好，我们接着看他的十步，显然就是一了，然后他求到以后， dz 注意了，我是关于踢球的，一是长寿球道是零二倍的 dt， 然后进一步带进去，那么就接着往后走，先带第一段是吧，也就是 oa 这一段的计算方式，零到一，然后踢抄进来一倍的 dt 写上，他再写第二段，第二段的十步是一，然后第四是二 记题，他也是零到一，做积分。好，我们就得到这样一个结果，那么合一下之后，直接求原按数，他这二分之一七的平方，这是二乘以七，然后打一竖零到一，就得到结果了。好，给大家五秒钟时间，大家把这个题的计算再看一看啊，非常清晰，希望这种题大家一定要掌握，来，五秒钟搞定他。 好，接下来我们讲一个非常重要的观念，叫柯西古萨定理。好，我们说长寿 f z 的单联通币内处处解析，然后 呢， fz 沿壁内任何一条封闭曲线， c 的积分为零， fzdz 等于零，简单来说就啥呢？ fz 是被击函数，然后沿一个路径 c， 如果你是闭合的，他的积分就是零，要求是你处处解析。好，一般说都是解析的，那咱们直接看计算积分，然后二 z 减三分之一记 z， 然后 z 的拇指取一。那首先我们看 看这个 z 的摩值取于他的积点啊，二 z 减三，分母不能为零吧，所以二 z 减三等于零，得到 z 等于点五，那么 z 等于点五是他的积点， 但是他的范围，你看 z 的膜值为一，也就说他实际上是一个半径为一的圆一点五，这个没有意义的起点，他并没有在我们的积分区域之内，也就这个积分路径之内，也就所谓的不在 z 的膜值小一点一中。好。 所以我们说函数二 d 减三，在 z 小一点一内是封闭取件，处处解析。在这点说明一下你所见到的常见函数，什么 x 分之一，二 d 减三分之一，什么 y 分之一啊，那些都叫常见函数，他们都是解析的，唯一的就是他的分母不为零， 这个零点是一个起点。那你发现分母为零的时候，一点五并不在我的范围之内，是吧？因为你的取的这个积分范围是 z 的拇指等于一啊，那 你这个封闭区间里是没有积点的，也就没有一点五这种没有意义的点。好，所以他出入解析，那么根据这个科西古萨定律，我就得到他的积分值是让一个零 来给大家五秒钟时间，大家再结合这个题感受一下科技股。擦定，其实简单来说就是一个分布取件，然后他的积分磨值为零，那么具体判断呢？就你这里边没有无定义的点，对吧？好，五秒钟搞定他。 好，我们再拿一个具体的例子，还是说科西古萨定理叫封闭取件，处处解析，积分为零是吧？来计算积分，他，然后积分取件是 z 减二的拇指等二分之一，然后得到这样一个倍镜函数。好， 我们首先观察 z 乘以 z 的平方加一分之一，我先找显然无定义的点吧，因为你是一个分数吗？所以 z 分之一减去 z 的平方分加一分之 z。 好，具体我们看怎么拆的，我要 列项之后才能算你无定义的点，所以首先写肯定有个 z 分之一，然后有个 z 的平方加一分之，我不知道是多少，随便加设。然后两个通分一下来，看清了通分，第一个 z 应该乘以 z 的平方分之一，就通分上去了。哎，通分以后，前面就 z 的平方加一， 这是减去，然后我怎么样把它等于左边呢？写上写个 z 就可以了。好， z 朝这一写呢？因为你通风的时候应该乘个 z 吧，那他通风的结果显然就跟左边一样。好，我提示这个地方可能有一点点逻辑上的难度。一， 一般来说，我们分解两个乘法，直接就是应十分之一，再来一个应十分之一，他俩不是减法就是加法，搞完之后你再调上面的细手，哎，通常来说都是一，不是一呢，就是个 z 或者什么 z 加一啊，或者自己减一，类似于这样的或者二分之一啊，你具体调一下就出来，这随便调一下，两边通风一下，你感觉这里应该像几，是吧？哎，调一调就出 出来了。好，接着我们对 zb 上 z 的平方加一，进一步列减， zb 上这平方加一，我们对 z 的平方加一，改成 z 加二，乘以 z 减二， 因为一等于二的平方吧。啊，所以是平方差公式哈，那 z 加二分之乘以 z 减二分之，所以我直接改成 z 加二分之一和 z 减二分之一， 上边应该是多少呢？我也不知道，是吧？啊，我一般就是假设唯一，然后咱们看一下，然后我拿到 z 加二和 z 减二之后，我两个通风一下，一乘，左边是 z 减二，应该乘到分子上吧，然后右边一乘呢？是分子上去了， z 加二，我两个一加是什么？呃， z 是吧，跟前边多了一个二，所以我乘个二跟你扯平了。 实际上大部分的列相基本上都是一或者一个非常简单的 z 或者什么负 z 啊。二分之一这种长寿类的问题难度不大，你简单通风一下是吧，从左边到右边，然后回一下就出来了。好，我们 接着往下走，那显然 z 分之一减去，后边这个通风，结果列列，想成这样一个结果哈。接着我们找他没有定义的点，显然就分母为零的点，对于第一个 z 分之一来说，他的起点也就无定义的点是 z 是零， 那么弦这个点就在零零点，是吧？然后 z 加二分之一，他的起点是 z 加二去零，就分母为零的时候， z 等于负二，所以他对应的点在负平面内是零负一。好， 我们具体来看这个效果啊，他对应的点是零负一，刚才第一个是零，零这个点是吧？第三个，他们俩这个点呢，都不在 z 减二小一等于二分之一之内。先看 z 减二小一等于二分之一是啥？实际上 z 减二后边这个二呢，是零一这样一个点，就是在负平面内， x 取零，外取一这样一个点，实际上就 z 减去一个 z， 零吧，减去某一个点，然后他的膜值呢，在二分之一之内，所以 他是以零一为圆星，得到半径二分之一的一个圆。这个地方希望大家逐渐去熟悉啊。如何看一个魔只化成一个圆的形式，是吧？ 位减去某一个圆点，你高中所学的是吧？一个星的点减去一个某个点，哎，然后他距离是吧？那个距离小一等于多少？是不是就这个意思啊？我用一个星值自己减去一个点，然后他的距离小一点二分之一。好， 那么显然呢，这两个没有定义的点都在这个积分区域之外，所以我们称他们在这个积分区域 z 减二等于二分之一内，都是闭合且解析的，显然根据这个科西古萨定理，他的积分就零了。然后我们看 z 减二的起点是 z 减二等于零，显然 z 等于二，他 他的范围是在零一，看到没， z 减二，他这个点本身就在零一，他正好在我们的积分范围，这个 z 减二的摩值等于二分之一的这个 曲线内部，所以在这个点，我们在这个范围内不解析啊，因为你你有零，是吧？无敬意啊。单独计算好，我们整个式子呢，对他进行进一步化解，就整个积分对象拆成三个减法的计算。好，我们进一步就是什么加减法的积分等于积分的加减法，是吧？好， 对于前两个我们单独计算，刚才已经说他们都是闭合切铁西，然后呢，我们就称根据科西谷萨经理就是零了，然后减去后边这一部分，那后边这一份是一个公式，我们暂时先不讲为啥，后边讲到后边自然会让大家解释这个公式，在 这里你直接跳就行了，我们在这里重点是学习科西古萨定理。好，至于后边这个直接带公式，我给你解释一下。怎么看公式啊？锐减二分之一，看，这是 n 加一次方，那显然你这里是什么一次方，所以 n 取零。好， n 取零呢？人家说 这是二派二，然后呢？所以我直接就等于负二分之一。好，这个形式就是乘以二派二。后边我们会讲这个公式是怎么来的，再教你记，这里不用倒数来 给大家五秒钟时间，大家结合这个题，把科西古萨定理再仔细看一下，也就是封闭曲线，处处解析他的积分为零，要求你这里边都得有定义，是吧？也就是无起点，如， 如果有起点，咱们要单独集团，如果无起点，咱们就是闭合界。解析积分为零啊，起点在他外部就 ok 了，五秒钟搞定他。

不要再讲了，不要再讲了，道理我都懂。好，我是垃圾，但我带不上。

那有些同学啊，让我录零三数学，复片函数、初中数学，高中数学。哈哈，宋老师的压力很大。还有同学啊，让我录大学物理，还让我录宏观经济，围观经济啊，说让我把大学的课程都把它包圆了，对吧？宋老师能力有限吧？ 这个零单数学和复变函数啊。呃，是两门专业课。呃，大家可以搜索网上有没有其他的老师的视频啊。在此说一声，无能为力啦。