excel公式幂次方怎么输

哈喽，欢迎来到汤姆老师的数学课堂，今天咱们要开启初中代数里非常重要的一个板块，密的运算。关于密的概念，你在初一上学期其实就已经学过了，我们简单回顾一下，求 n 个相同因素积的运算叫做乘方，乘方的结果就叫做密，用公式表示就是下面这样， 其中 a 叫做底数， n 叫做指数，这个式子就读作 a 的 n 次方或者 a 的 n 次幂。而今天我们要学的幂的运算就是建立在这个基础概念之上的。一共包含四个核心的运算法则， 同底数密的乘法、密的乘方、积的乘方以及同底数密的除法。在开始学习之前，我们先明确一下本节课的三个核心学习目标。一、熟练掌握密的运算四大核心运算法法则，理解法则的推导原理，能准确完成各类密的基础运算。 掌握四大运算法则的逆运算，能运用逆运算解决求值化简类问题。三、理解并掌握零指数密和负整指数密的定义，能完成相关的计算和大小比较。 ok， 搬好小板凳开课， 我们先从最基础的同底数密的乘法开始。顾名思义， 底数相同的两个或多个密进行相乘的运算，就叫做同底数密的乘法。所以，判断一个算式是不是同底数密的乘法，只有一个核心标准，看底数是否完全相同， 他和指数是多少没有关系。比如二的三次方乘，二的四次方底数都是二，是同底数密的乘法， a 的 平方乘 a 的 三次方乘， a 的 五次方底数都是字母， a 是 同底数密的乘法。负三括号的四次方乘以负，三括号的平方底数都是负三，是同底数密的乘法。 x 减 y， 括号的三次方乘以 x 减 y， 括号的五次方底数都是代数式。 x 减 y， 也是同底数密的乘法。反过来，像二的三次方乘以三的平方底数，一个是二，一个是三。 a 的 平方乘 a 的 三次方底数，一个是 a， 一个是 b， 这些底数不同的，就不属于同底数密的乘法。搞懂了定义，接下来就是核心的运算法则，咱们先从具体的例子入手来推导一下，帮助大家更好的理解和记忆。 比如计算二的三次方乘二的四次方。根据密的定义，二的三次方是三个二相乘，二的四次方是四个二相乘，那两者相乘之后，咱们数一下，这里一共是三加四，等于七个二相乘。 根据密的定义，就是二的七次方，所以二的三次方乘以二的四次方，就等于二的三加四，也就等于二的七次方。 同理， a 的 平方乘 a 的 三次方，前者是两个 a 相乘，后者是三个 a 相乘，相乘之后就是五个 a 相乘，也就是 a 的 五次方。所以 a 的 平方乘 a 的 三次方，就等于 a 的 二加三，也就等于 a 的 五次方。通过这两个例子， 大家就能发现同底数密乘法的核心规则了，即同底数密相乘，底数不变。指数相家用字母表示，就是 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 加 n 次方。简单证明一下，根据密的底， a 的 m 次方表示 m 个 a 相乘， a 的 n 次方表示 n 个 a 相乘。 那么 a 的 m 乘以 a 的 n 次方，就是一共 m 加 n 个 a 连续相乘，而 m 加 n 个 a 相乘，根据密的定义，就可以记作 a 的 m 加 n 次方， 因此也就有了 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 加 n 次方成立。不难理解，这个法则还可以推广到多个同底数密相乘的情况，比如三个、四个甚至更多个同底数密相乘，规则是完全一样的。 另外，还需要强调一个非常重要的点，这个法则的逆运算同样成立，也就是 a 的 m 加 n 次方，就等于 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方。很多同学只记法则的正向使用，却忽略了逆运算，而这个逆运算在后续的求值化解、因式分解中是绝对的高频考点，大家一定要和正运算一起记牢，形成正向和逆向的双向思维。 比如已知 a 的 m 加 n 次方和 a 的 n 次方的值，让你求 a 的 m 次方，就要用逆运算把 a 的 m 加 n 次方拆成 a 的 m 次方，乘以 a 的 n 次方，再代入计算。 ok， 同底数密的乘法法则推到逆运算都讲完了， 那接下来我们通过几道例题来应用一下。第一题，下列各项中两个密是同底数密的，选哪个？根据我们前面讲的同底数密的定义，满足底数相同的密，那就是同底数密。 所以我们分别来看一下。先看 a 选项 x 的 平方，那它的底数显然就是 x， a 的 平方，底数就是 a， 所以 底数不相同。再看 b， 负 a 括号的五次方，它的底数是负 a。 a 的 三次方，它的底数是 a， 底数也不相同。 c 选项 x 减 y， 括号的平方，底数是 x 减 y， y 减 x 括号的平方，它的底数是 y 减 x， 所以底数也不相同，实际上它们是一组互为相反数，所以这道题的答案就选 d。 负 x 的 平方，底数是 x， x 的 三次方，它的底数也是 x， 所以 它们就是一组同底数密。这里稍微提醒一下啊，有的同学可能会误以为这个负 x 的 平方底数是负 x， 这是错的啊，我们讲它可以看作是 x 平方的相反数，底数就是这个 x。 下面我们再来看一下第二题。 第二题考察的是同底数幂的乘法运算，一共四个小问题，我们分别来看一下。第一题让我们计算负外乘以 y 的 平方，再乘以负外括号的三次方。显然在这个算式当中，这个幂的底数是不相同的吧。所以第一步要把它们改写成底数相同的形式，再来进行运算。 那这里负外我们可以写成负一括号乘以 y 的 平方。关键这里的 负 y 括号的三次方，我们可以写成负一乘以 y 的 三次方，因为负数的基次方还是负数啊。那这样我们就可以再进行下一步的运算了。 那负一乘以负一负负得正，所以最终结果是正的，那这里就符合同底数密乘法的运算了。根据同底数密的乘法运算法则，同底数密相乘，底数不变，指数相加，所以最终结果底数还是 y， 指数相加，这里相当于是 y 的 一次方，一加二加三， 结果就是 y 的 六次方。再来看第二题， p 减 q 括号的五次方，乘以 q 减 p 括号的二次方。哎，这里的底数也不相同，所以我们还是要改写一下啊，改成底数相同的形式，那这里改写呢？显然改写这个是更简单。我们讲这个 q 减 p 括号的平方，那实际上就是 p 减 q 括号的平方，它俩是相等的。为什么呀？其实也很简单，那这里的 q 减 p， 实际上是可以写成负的括号 p 减 q 的 形式吧。括号的平方， 显然我们讲负一的 o 次方还是一，那最终结果就等于这个形式，所以这个算式就等于括号 p 减 q 的 五次方乘以括号 p 减 q， 括号的平方，那底数不变，指数相加，所以最终结果就等于 p 减 q 括号的七次方。再来看第三题，那第一步同样还是把它们改成底数相同的形式吧。那这个是 s 减 t 括号的 m 次方， 这个是 s 减 t， 括号的 m 加 n 次方。所以我们要把这个括号里面的 t 减 s 换成 s 减 t。 改写的方法也很简单，只要填一个符号，那括号里面就是 s 减 t 吧，它就等于 s 减 t， 括号的 m 次方乘以 s 减 t， 括号的 m 加 n 次方，再乘以 负一乘以括号 s 减 t， 那 这里相当于是 s 减 t 的 一次方啊。我们一般的一次方是可以省略不写的，那最终结果呢？就是负的 括号 s 减 t， 底数不变，指数相加，加起来，它就等于二 m 加 n， 再加一。 再看最后一小题， x 的 n 次方乘以 x 的 n 加一次方，那就等于 x 的 二 n 加一次方。加上 x 的 二 n 次方乘以 x， 底数不变，指数相加，也就等于 x 的 二 n 加一次方， 所以最后就等于二倍的 x 二 n 加一次方。再看第三小题，这道题主要考察的是同底数密的逆运数， 我们知道同底数密的乘法法则用字母表示，就是 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方等于 a 的 m 加 n 次方。底数不变，指数相加，那它的逆运算呢？就是 a 的 m 加 n 次方，是可以写成 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方吧。 先看这个第一小问，它告诉我们 a 的 m 次方等于二， a 的 n 次方等于八，让我们求 a 的 m 加 n 的 值，那显然 a 的 m 加 n 次方，它是可以写成 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方吧。这里实际上用到的就是同底数密乘法的逆运算改写成这个形式，那这个问题就简单了，我们说 a 的 m 次方是等于二的 a 的 n 次方是等于八的，所以就是二乘以八，也就等于十六。 再看第二小问， x 的 m 次方等于四， x 的 m 加 n 次方等于六十四，让我们求 x 的 n 次方等于多少，那同样也非常简单，我来简单的写一下这个过程啊。 因为 x 的 m 加 n 次方等于六十四，所以 x 的 m 次方乘以 x 的 n 次方就等于六十四。又 x 的 m 次方等于四， 所以四乘以 x 的 n 次方是等于六十四，那显然这个 x 的 n 次方就等于十六。这道题主要考察的就是同底数逆乘法逆运算的直接应用，同学们只要掌握这个运算规则，那计算起来难度并不大。接下来我们再来看一下第四小题， 已知二的 m 加三次方，加上三的 n 加三次方 也能被十九整除。要想做好这道题，同学们首先需要理解一下这一句话，什么叫做二的 m 加三的 n 次方能被十九整除啊，那换句话说，这句话的意思相当于告诉我们，这个二的 m 次方加三的 n 次方，他应该恰好是十九的倍数吧。 比如说二的 m 次方加三的 n 次方等于十九，哎，那十九可以被十九整除，或者呢，它等于三十八，那三十八也可以被十九整除吧。所以这句话我们可以把它改写成二的 m 次方加三的 n 次方等于十九 k， 这里的 k 呢？ 它可以取一二三，那所有的整数吧。那现在我们就来看一下，这个二的 m 加三次方，加上三的 n 加三次方，是不是也能被式求整除？我们来简单的写一下它的计算过程啊。 结由题可得，二的 m 次方加上三的 n 次方，它应该是十九的倍数，可以写成十九 k， 这里的 k 可以 取大于等于一的整数。下面我们根据这个条件看看能不能推出来这个二的 m 加三次方，再加上三的 n 加三次方，也能够被式求整除。那首先我们把这个算式改写一下，它可以写成二的 m 次方乘以二的三次方，加上三的 n 次方乘以三的三次方，那二的三次方就等于八，所以它就等于八乘以二的 m 次方， 那三的三次方等于二十七，那就加上二十七乘以三的 n 次方。接下来这一步直观重要，同学们，看， 单纯的去看这一步的话，我们好像并不能说明他和十九之间存在某种关联，但是这里我们只要稍作变形，就可以把他和我们前面的条件关联起来。同学们看，这个二十七乘以三的 n 次方，是不是可以改写成 八乘以三的 n 次方，再加上十九乘以三的 n 次方？那有同学可能会有疑惑，哎，为什么要这样去改写呢？这里有一个八乘二的 m 次方，这里有一个八乘三的 n 次方， 他们是不是都有一个数字八呀？那这样我们就可以把这个八提出来了吧，提完以后，他就可以写成二的 m 次方，加三的 n 次方，不就跟我们的这个已知条件关联起来了吗？这一步继续改写，他是可以写成八乘以二的 m 次方，加上 八乘以三的 n 次方，再加十九乘以三的 n 次方，再把它俩合并，那就等于八括号二的 m 次方，加三的 n 次方，再加十九乘以三的 n 次方。 同学们看，这个二的 m 次方加三的 n 次方是等于十九 k 的 吧，所以它就可以写成八乘以十九 k， 再加 十九乘以三的 n 次方。那显然到这里这道题其实就已经证出来了啊，这个算式和这个算式当中都有这个数字十九吧，所以我们可以把这个十九提出来，它就等于八 k 加上三的 n 次方，也就是说，这个二的 m 加三次方，加上三的 n 加三次方，它是等于十九倍的 括号八 k 加三，显然他是能够被这个十九整除的吧。那这样我们就把这道题整完了。在证明的过程当中，我们是用到了这个同底数密 乘法的逆运算，那这道题的关键呢，就是这个二十七乘以三的 n 次方，我们要能想到把它改写成八乘以三的 n 次方，加上十九乘以三的 n 次方吧，同学们花点时间消化一下，学完了同底数密的乘法法则，我们来学习第二个核心法则，密的乘方。 很多同学刚学的时候，会把密的乘方和同底数密的乘法搞混，所以这里一定要认真听。首先咱们先搞清楚什么是密的乘方，从字面的意思就能理解。把一个密看成一个整体，再对它进行乘方计算，就叫做密的乘方。简单说就是 a 的 m 次方，括号 n 次方这样的形式。 其中括号里的 a 的 m 次方本身就是一个密，外面的 n 次方是对这个密进行乘方运算的次数。核心就是先有密，再乘方。 举几个例子， a 的 平方，括号的三次方，就是把密 a 的 平方整体进行三次方，属于密的乘方。 负 a 的 三次方，括号的平方，就是把密负 a 的 三次方整体进行二次方，也属于密的乘方。搞懂了定义，接下来咱们还是用具体的例子推导一下密的乘方的运算法则。比如计算 a 的 平方括号的三次方，根据乘方的定义， 它表示三个 a 的 平方相乘，这是不是就变成了咱们刚学的同底数密的乘法了？底数都是 a， 指数相加二加二加二等于六，所以结果就是 a 的 六次方。 大家看，这里的指数六刚好可以表示成二乘三，也就是括号里的指数二和括号外的指数三相乘的结果。因此，我们可以总结出 me 的 乘方核心法则。 me 的 乘方底数不变，指数相乘公式表示为， a 的 m 次方的 n 次方等于 a 的 m 乘以 n 次方。 简单证明一下，根据乘方的定义， a 的 m 次方，括号的 n 次方表示 n 个 a 的 m 次方相乘， 这是 n 个同底数密相乘。根据同底数密的乘法法则，底数不变，指数相加，也就是一共 n 个 m 相加，等于 m 乘以 n， 所以 最终结果就是 a 的 m n 字方。同样，这个法则也可以推广到多层密的乘方， 比如三个括号的情况，记住，不管有多少层乘方，都是底数保持不变，所有的指数全部相乘，这个推广形式大家也要记牢。 由此可以清楚的看出，密的乘方和同底数密的乘法是完全不同的运算。同底数密相乘是乘法运算，底数不变，指数相加，密的乘方是乘方运算，底数不变，指数相乘， 一个相加一个相乘，大家千万不要搞混了。最后，和同底数幂的乘法一样，幂的乘方法则的逆运算同样成立，也就是 a 的 m 乘以 n 次方等于 a 的 m 次方的 n 次方，也等于 a 的 n 次方的 m 次方，其中 m、 n 均为正整数。 这个逆运算在考试中特别常用，比如已知 a 的 六次方等于八，求 a 的 平方的值，我们就可以把 a 的 六次方拆成 a 的 平方，括号的三次方代入就可以得到 a 的 平方等于二， 这就是逆运算的典型应用，大家一定要掌握。 ok， 接下来咱们同样通过例题来巩固一下这部分的知识点。 先看第一题，那这个第一题主要考察的就是幂的乘方运算和积的乘方运算它的直接应用。先看第一个 x 三次方，括号的三次方，那这里就属于幂的乘方， 那根据幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，所以它就等于 x 的 九次方， 同理这个也是幂的乘方，底数不变，指数相乘，那负号当然也不变，所以就等于负的 x 的 二 m 次方。再来看负二 a 的 三次方，括号的平方，哎，这个就属于 g 的 乘方了吧。 那根据 g 的 乘方运算法则，我们要把 g 的 每一个因式分别乘方，再把所得的这个幂相乘，所以我们先把这个负二平方， 那就等于四 a 的 三次方，再平方就等于 a 的 六次方，所以结果就等于四 a 的 六次方。 这里千万要注意，一开始计算的时候，很多同学总是会把前面的这个系数负二给他漏掉。继续看负三 x 平方 y 括号的三次方，那根据 g 的 乘方，每一个音式都需要乘方，那首先把负三给他三次方，也就是 负的二十七，那 x 平方的三次方就是 x 的 六次方，那 y 的 三次方，哎，就是 y 的 三次方。 再看负三 x 平方括号的三次方，先把负三给他三次方，他就等于负的二十七乘以 x 的 六次方。这几个相对来说都比较简单，那最后一个呢？ 就稍微有一丢丢难度啊。这里是五分之一乘以十的三次方，括号的五次方，再乘以二十五乘以十的平方括号的三次方。那首先第一步我们还是遵循这个 g 的 乘方， 把它的每一个音式都给他乘方，所以它就等于五分之一括号的五次方。再乘以十的那十的三次方，也就是十的十五次方。乘以二十五的 三次方，再乘以十的六次方。好到这一步，我相信大家都能写出来，对吧？那接下来同学们看 十的十五次方乘以十的六次方，这属于同底数密相乘吧，所以它是等于十的二十一次方。但是前面的这个五分之一的五次方和二十五的三次方呢？哎，那这里是需要稍微变形的啊，二十五，我们讲他是不是五的平方啊， 所以它就是五的平方的三次方，那实际上也就等于五的六次方。所以改写完以后，这个算式它是可以写成五分之一括号的五次方，再乘以五的 六次方。那么同学们看，这里我们还是可以继续简化这个五的六次方呢，我可以把它写成五的五次方乘以五吧， 也就是说这个算式可以写成五分之一括号的五次方，再乘以五的五次方，再乘五，再乘以十的二十一次方。这样改写的话，我们就可以把这两个数放在一起， 那他就可以写成五分之一乘以五括号的五次方。那这里实际上是用到了这个 g 的 乘方的逆运算啊， 再乘以五，再乘以十的二十一次方。同学们看，那这一项是不是就变成一了呀？所以它最终的结果就是五乘十的二十一次方。所以同学们在做这个 me 的 运算的时候，一定要注意灵活变通啊。接下来我们再来看第二题， 那第二题依然是三道计算题，我们分别来看一下第一题，三， x 的 三次方乘以 x 的 七次方，那这个是同底数密的乘法，底数不变，指数相加，所以它是等于三倍的 x 的 十次方。 接下来同学们看这个负二的平方，那就是负四吧，所以相当于是负四的三次方，再乘以 x 的 四次方，是等于负的六十四， 那前面又一个符号，那最终结果就是，正的就加上六十四倍的 x 的 四次方，那这里呢，就是 x 平方的五次方，也就是 x 的 十次方吧，所以减去十倍的 x 的 十次方， 这两个就可以合并同一项了吧。所以最终结果呢，它就等于负七 x 的 十次方，再加上六十四倍的 x 的 四次方。继续看第二题，这里主要考察的是 d 的 乘方， 我们要把这里面的每一项都要记得给它平方吧，那先负四分之五的平方，也就是十六分之二十五，那 x 的 二 n 次方，再乘以 y 的 六 n 次方，那加上同样也是括号里面的每一项都要给它 n 次方，也就是 x 的 二 n 次方 乘以 y 的 六 n 次方，这两个算式也是同一项吧，所以接下来要合并同一项啊，那最终结果就等于十六分之四十一， 再乘以 x 的 二 n 次方，乘以 y 的 六 n 次方。第三题，那前面也是同底数密相乘，底数不变，指数相加，等于负的 a 的 十二次方， 再加五倍的 a 的 十二次方，再减三倍的，这里是 a 的 三次方，括号的三次方就是 a 的 九次方，后面二加一也是 a 的 十二次方，这三个也都是同类项吧，所以最后合并同类项， 负一加五减三，那最终结果就等于 a 的 十二次方。那这个第二题我们就说完了，下面再来看一下第三小题，那这道题主要考察的是密的乘方的逆运算。 关于密的乘方的逆运算，根据我们前面讲的用字母表示，也就是 a 的 m n 次方，它是可以写成 a 的 m 次方，括号的 n 次方， 也可以写成 a 的 n 次方括号的 m 次方吧。我们来看一下这道题，已知 n 为正整数，且 x 的 二 n 次方等于四，让我们求这个算式的值，看起来好像比较复杂啊，那接下来呢，我们就想办法把这个算式 通过化简，跟这个已知条件建立联系。截七倍的括号 x 的 三 n 次方，括号的平方减去十八括号 x 的 平方，括号的二 n 次方。首先根据密的乘方，我们来化简一下，那它就等于七乘以 x 的 六 n 次方，再减去十八乘以 x 的 四 n 次方。这个算式当中和我们的已知条件 x 的 二 n 次方好像看起来没有直接的关联吧， 所以这里我们需要通过这个密的乘方，它的逆运算把这个算式进行改写。同学们看，这个 x 的 六 n 次方是不是可以写成七乘以 x 二 n 括号的三次方啊？这样一改写，哎，这个已知条件不就能用上了吗？ 同样的逻辑，那后面就可以写成减十八乘以 x 的 二 n 次方括号的平方。我们把这个 x 的 四 n 次方改写成这个形式，那这样 我们这个 x 的 二 n 次方就可以带进来了吧，它是等于四，那最终这个算式呢，就可以写成七乘以四的三次方，再减十八乘以四的平方，算出来，最终结果就等于一百六十。接下来我们再来看一下第四题， 那第四题主要考察的就是积的乘方的逆运算，一共三个小问题，我们依次来看一下。先看第一题，计算八的二零二四次方，乘以负的零点一二五，括号的二零二三次方。 显然这道题首先我们要把这个小数改写成分数吧，也就是八的二零二四次方乘以负的八分之一，括号的二零二三次方。 那接下来我们就可以把这个八的二零二四次方改写成八的二零二三次方，再乘以八，再乘以负的八分之一括号的二零二三次方。一旦这样改写以后，我们就可以把它俩 奇合在一起了吧。利用这个 g 的 乘方，它的逆运算，也就是这个 a 的 n 次方乘以 b 的 n 次方，是可以写成 ab 括号的 n 次方，所以它就等于括号八乘以负的八分之一，这里改成中括号啊。二零二三次方再乘以八， 这里一结合就变成负一，那负一的二零二三次方还是负一吧，所以最终结果就等于负八。 再看第二题，已知二 x 加上五 y 减三等于零，求四的 x 次方乘以三十二的 y 次方， 它的值是多少？根据这个已知条件，二 x 加上五， y 减三等于零，也就是说这个二 x 加上五 y 等于三，这个条件有什么用呢？不着急，我们来看看要求的这个算式通过改写以后，能不能和它产生关联。 那四的 x 次方乘以三十二的 y 次方，那要想运算的话，我们要把它改成同底数密的乘法吧， 那四就可以写成二的平方括号的 x 次方，那乘以三十二，实际上就是二的五次方。括号的 y 次方也就等于二的二 x 次方乘以 二的五 y 次方。同学们看，同底数密相乘，底数不变，指数相加，所以它就等于二的二 x 加上五 y 吧。我们又知道这个二 x 加五， y 等于三，那所以最终结果就是二的三次方，那答案就是八。 再来看这个第三小题，那第三题的思路和我们这个第二题的思路是一样的啊。根据这个已知条件，我们要想求这个 x 的 值，所以 要把这里的八和十六都写成以二为底的这个密的形式，那这个已知条件就可以改写成二乘，以八呢，就可以写成二的三次方，括号的 x 次方 十六就可以写成二的四次方，那最终是等于二的二十三次方。那左边它是满足同底数密 相乘吧，那底数不变，指数相加，也就是二的一加上三， x 加四，它是等于二的二十三次方，也就是说一加三， x 加四，它是等于二十三， 最终解出来这个 x 呢，就等于六。同学们花点时间把我们刚才讲的这几道题好好消化一下，接下来我们来学习幂的运算。第三个核心法则，积的乘方。这个法则是后续做整数乘法的基础，尤其是单项式乘，单项式几乎全靠这个法则， 大家一定要认真听。首先我们还是先搞清楚什么是积的乘方，和幂的乘方类似，把几个因素相乘的积 看成一个整体，再对它进行乘方运算，就叫做积的乘方。简单说就是 ab 括号 n 次方这样的形式，其中括号里的 ab 就是 两个因素 a 和 b 相乘的积， 外面的 n 是 对这个积进行乘方的次数，核心是先有积再乘方。比如 ab 括号的三次方，就是把 a 和 b 的 积 ab 整体进行三次方，属于积的乘方。 二 a 括号的四次方，就是把二和 a 的 g 二 a 整体进行四次方，属于 g 的 乘方。负三 x y 括号的平方，就是把负三 x y 的 g 负三 x y 整体进行二次方，也属于 g 的 乘方。 搞懂了定义，咱们还是用具体的例子推导法则。比如计算 ab 括号的三次方，根据乘方的定义，它表示三个 ab 相乘。咱们用乘法、交换律和结合律，把所有的 a 放在一起，把所有的 b 放在一起，就变成了 括号。 a 乘 a 乘 a 乘以括号， b 乘 b 乘 b， 也就是 a 的 三次方乘以 b 的 三次方。所以 ab 括号的三次方 等于 a 的 三次方，乘以 b 的 三次方。你看 g 的 乘方，就是把 g 里的每一个因素分别进行乘方，再把得到的幂相乘，这就是 g 的 乘方的核心法则。用字母表示，就是 ab 括号的 n 次方等于 a 的 n 次方，乘以 b 的 n 次方， 其中 n 为正整数。简单证明一下，根据乘方的定义， ab 括号的 n 次方表示 n 个 ab 相乘。 根据乘法、交换律和结合律，把 a 和 b 分 别分组，就得到了后面的这个式子，也就是 a 的 n 次方乘以 b 的 n 次方，因此这个法则成立。然后这里有一个高频易错点， g 里的每一个音式 都分别乘方，千万不能漏乘，尤其是 g 里有数字因素，有负号的时候，一定要记得给数字，给负号也乘方。 比如二 a 括号的三次方，很多同学会写成二 a 的 三次方，这就错了，必须给二也进行三次方，正确的结果是八 a 的 三次方。再比如负三 x 括号的平方，要给负三也进行二次方，结果是九 x 的 平方，而不是负九 x 的 平方， 这是最常见的错误，大家一定要注意。显然，这个法则同样可以推广到多个因素相乘的乘方，这是最常见的错误，大家一定要注意。显然，这个法则同样可以推广到多个因素相乘的乘方。 另外，和前两个法则一样， g 的 乘方法则的逆运算也同样成立，也就是 a 的 n 次方，乘以 b 的 n 次方，就等于 a b 的 n 次方。这个逆运算的用处非常大，尤其是在一些复杂的减变运算中， 适当的变形可以大大简化计算过程。比如计算二分之一括号的十次方，乘以二的十次方。如果我们分别算十次方，再相乘会非常麻烦。但是逆用 g 的 乘法法则就可以变成二分之一乘二括号的十次方，也就等于一的十次方，等于一，一下子就出结果了。 下面还是通过几道例题来巩固一下。先看第一题，计算负 a 的 七次方，除以负 a 的 四次方。根据同底数密除法的运算法则， 同底数密相除，底数不变，指数相减，所以这个第一题，他的底数依然是负 a， 指数相减就是七减四，那就等于负 a 括号的三次方。那化解一下，也就是负的 a 的 三次方。好，再看第二题。那第二题呢？第一步我们要把它的底数统一一下吧，这三个都是 x 减 y， x 减 y， x 减 y， 那 这里是 y 减 x， 所以 给它改写一下，因为这里是平方吧，所以它可以直接写成 x 减 y 括号的平方。关于它为什么可以直接写成这个形式？前面我们有一道题已经详细的讲解过了啊，那这里就不再重复了。统一底数以后，它就可以写成 x 减 y 的 九次方，除以 x 减 y 的 三次方，除以 x 减 y 的 平方，再除以括号， x 减 y， 底数不变，指数相减，所以底数依然是 x 减 y， 那 指数呢，就是九减三减二，再减一，那结果就是 x 减 y， 括号的三次方。 第一题还是比较简单的，我们再来看一下第二题。第二题给到了我们这样的一个条件，让我们求这个 x 的 值，那显然要想求出这个 x， 肯定要把这个等式当中所有的数写成以二为底的密的形式吧。 这里我来简单的写一下它的过程啊。解，二除以八的 x 次方，乘以十六的 x 次方等于二的五次方，那也就是二除以八是二的三次方。括号的 x 次方，二的三次方，括号的 x 次方， 那十六是二的四次方，括号的 x 次方等于二的五次方，也就是二除以二的三 x 次方，乘以二的四 x 次方，等于二的五次方。 那同底数密相除，底数不变，指数相减二，可以写成二的一次方吧，所以它就是二的一减三 x 次方，再乘以二的 四 x 次方，等于二的五次方。这里我们再强调一句啊，就是关于这个既又除又乘的运算，我们说乘除的优先级是一样的吧，所以我们要按照这个从左到右的顺序依次来运算，那最后它就变成了同底数密的乘法运算吧。底数不变， 指数相加，也就是一减三 x， 加上四 x 等于二的五次方，也就得到了这个二的一加 x 次方等于二的五次方，显然这个 x 就 等于四。 下面再来看第三题，第三题给了我们三个已知条件，五的 a 次方等于二，五的 b 次方等于六，五的 c 次方等于四十八。让我们解决接下来的三个小问题，那第一个让我们求 五的三 a 次方的值等于多少？第一个非常简单，根据这个密的乘方，我们知道五的三 a 次方，它是可以写成五的 a 次方括号的三次方吧。我们知道五的 a 次方等于二，所以它就等于二的 三次方，结果就是八。第二小题求五的 c 减二 b 次方，它的值。哎，那这里实际上考察的就是同底数密除法的逆运算， 也就是 a 的 m 次方减 n 次方，它是可以写成 a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，所以五的 c 减二 b 次方，它就可以写成五的 c 次方除以五的二 b 次方。 那五的 c 次方我们知道它是等于四十八的吧？那五的二 b 次方呢？根据密的乘方，把五的二 b 次方改写一下，它就可以写成五的 b 次方括号的平方。哎，这样的话，我们就可以把这个已知条件带进来了啊，也就是四十八除以 六的平方算出来，它就等于三分之四。第三小题直接写出字母 abc 之间的数量关系， 五的 a 次方等于二，五的 b 次方等于六，五的 c 次方等于四十八。要想写出这三个字母之间的关系，那显然是要通过二、六、四十八这三个数来进行转化吧。 同学们，看这个四十八，它是不是可以写成六乘以八呀？我们又知道这个四十八，它是等于五的 c 次方， 六它是可以写成五的 b 次方，这个八是不是二的三次方？那我们又知道这个二它就是五的 a 次方吧，所以这个等式它最终就可以写成五的 c 次方，等于五的 b 次方，再乘以 五 a 括号的三次方，也就是五的 c 次方等于五的 b 次方，乘以五的三 a 次方，那根据同底数密的乘法，所以实际上它就是五的 b 加三 a 次方吧， 于是我们就得到了五的 c 次方，是等于五的 b 加三 a 次方，那不就得到了 abc 之间的数量关系吗？也就是这个 c， 它是等于 b 加上三 a。 接下来我们再来看一下第四题， 那第四题看起来还是比较复杂的啊，首先也是给了两个已知条件，让我们求这个代数式的值，那这里是十八次方啊，我们来看一下怎么转化 a 的 三 m 次方等于六十四，同学们看它是不是可以改写成 a 的 m 括号的三次方等于六十四啊， 谁的三次方等于六十四啊？那不就是四吗？实际上我们通过这个条件就得到了这个 a 的 m 次方，实际上是等于四的 a 的 n 次方，它又等于八。那接下来我们肯定要把要求的这个代数是转化成 a 的 m 次方和 a 的 n 次方的形式吧， 只有通过这样的转化，你才能求出它的值啊。我们来看一下括号 a 的 三 n 减去二 m 次方，减三十三，括号的十八次方。根据同底数密除法的逆运算， a 的 三 n 减二 m 次方，它是可以写成 a 的 三 n 次方，除以 a 的 二 m 次方，再减三十三括号的十八次方。继续改写 a 的 三 n 次方，又可以写成 a 的 n 次方，括号的三次方再除以 a 的 m 次方，括号的平方减三十三， 然后再整体给他十八次方吧。同学们看， a 的 n 次方等于八，所以他就等于八的三次方，除以四的平方， 减去三十三括号的十八次方。通过计算，我们发现这个八的三次方除以四的平方呢，他就等于三十二，所以最终这个结果就是负一括号的十八次方，那就等于一。 所以这道题最终这个代数式的值就是一啊。经过前面的学习，我们已经了解了幂的三大乘法运算法则，接下来咱们学习和乘法对应的除法运算法，同底数幂的除法， 这是密的运算最后一个核心法则。学完这个，咱们就把密的运算整体体系搭建起来了。首先先搞清楚什么是同底数密的除法和同底数密的乘法对应。他的定义也特别简单，底数相同的两个密进行相处的运算，就叫做同底数密的除法。 核心判断标准还是底数完全相同，只要底数一样，两个密相处，就是同底数密的除法。比如 a 的 八次方除以 a 的 三次方，底数都是 a， 所以 是同底数密的除法。负 a 括号的七次方除以负 a 括号的四次方，底数都是负， a 也是同底数密的除法。 老懂了定义，咱们还是用具体的例子来推导法则。比如计算 a 的 五次方除以 a 的 三次方。根据密的定义， a 的 五次方是五个 a 相乘， a 的 三次方是三个 a 相乘，所以 a 的 五次方除以 a 的 三次方，就是下面这个式子， 分子分母约分约掉三个 a， 还剩两个 a， 也就是 a 的 二次方。大家看，这里的指数二，刚好就是被除数的指数五减去除数的指数三的结果，所以 a 的 五次方除以 a 的 三次方，就等于 a 的 五减三次方，也就是 a 的 二次方。 由此，咱们就能总结出同底数密的除法的核心法则。同底数密相处，底数不变，指数相减，用字母表示，就是 a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 减 n 次方，其中 a 不 等于零， m n 为正整数，且 m 大 于 n。 这里有三个必须要注意的点。第一，底数 a 不 等于零，因为零的任何正整数次密都是零， 而零做除数没有意义，所以底数绝对不能为零。第二，单独的一个字母，它的指数是一，不是零。比如 a 的 六次方除以 a， 这里的 a 的 指数是一，所以结果是 a 的 六次方减一等于 a 的 五次方。很多同学会误以为 a 的 指数是零，算成 a 的 六次方， 这是典型的错误。第三， m 大 于 n， 这一点是为了保证结果里面的这个密，它的指数始终为正整数， 是为了方便你理解。但 m 等于 n 以及 m 小 于 n 的 时候也是成立的，这个我们后面会讲公式的证明方法和前面完全一致，请你思考后自己尝试证明一下。 然后和前面的法则一样，同底数密的除法法则的逆运算也同样成立，也就是 a 的 m 减 n 次方，等于 a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，其中 a 不 等于零， m n 为正整数，且 m 大 于 n。 这个法则在求值类题目当中经常会用到。 基础的同底数密的除法法则讲完了，下面来聊两个特殊情况，也就是 m 等于 n 和 m 小 于 n 的 时候，同底数密的除法。咱们先看 m 等于 n 会得到什么结果。比如计算 a 的 五次方，除以 a 的 五次方。根据除法的基本规则， 一个数除以它本身，结果肯定是一。而按照同底数密的除法法则，底数不变，指数相减，结果就是 a 的 五次方。减五次方，也就是 a 的 零次方，这两个结果肯定是相等的， 即 a 的 零次方等于一，此时 a 右上角的指数为零，所以我们就把这种形式的密称为零指数密，并且可以得到零指数密的定义。任何不等于零的数的零次密都等于一。 这里必须重点强调 a 不 能等于零，因为这个 a 的 零次方是通过同底数密的除法推导出来的。如果 a 等于零，那这里分母上的 a 的 n 次方就变成了零，这就没有意义了。因此，零指数密中底数 a 一定不能为零， 这个点是选择题的高频考点，大家一定要记牢。 ok， 这是 m 等于 n 的 情况，我们得到了零指数密的定义。下面再看 m 小 于 n 的 情况。比如计算 a 的 二次方，除以 a 的 五次方。按照分数约分的方法，结果就等于一除。以三个 a 相乘， 也就是一除以 a 的 三次方。按照同底数密的除法法则，底数不变，指数相减，结果就是 a 的 二减五次方，也就是 a 的 负三次方， 这两个结果也是相等的，此时 a 右上角的指数为负的整数，所以我们就把这种形式的密称为负整指数密，并 且可以得到负整指数密的定义。任何不等于零的数的负 p 次密等于这个数的 p 次密的倒数 p 为正整数。公式表示如下， a 的 负 p 次方等于 a 的 p 次方分之一，其中 a 不 等于零， p 为正整数。 这里大家一定要注意，当底数为负数时，需要看指数的奇偶性来判断符号。比如负三括号的负二次方等于负，三括号的平方分之一等于九分之一，此时底数是负三而不是三， 所以在做预算的时候，一定要把负三整体做二次方之后再取倒数。因为二是偶次幂，所以得到的结果不是负数，而是正数， 这一点一定要格外注意。不要以为指数是负数，计算后结果就一定是负的，这个理解是不对的。同底数密的除法法则还有延伸的零指数密、负整指数密咱们就都讲完了。大家有没有发现，我们最开始学密的运算时，指数还只是正整数， 而通过零指数密和负整指数密的定义，我们已经把密的指数范围从正整数扩展到了全体整数。比如我们前面学的同底数密的除法法则，原本要求 mn 为正整数， m 大 于 n， 现在有了零指数密和负整指数密的概念，这个限制就被打破了。 同底数幂的除法法则可以扩展为 a 的 m 次方，除以 a 的 n 次方等于 a 的 m 减去 n 次方，其中 a 不 等于零，且 m n 为整数。 同理可知，我们之前学过的所有幂的运算法则都不再局限于指数为正整数的情况，而是可以推广到指数为任意整数的情况， 即下面这几个公式中的所有指数都不再要求是正整数，只需要是整数即可。了解了这一点，初中所有和密的运算相关的题目我们就都可以做了。那下面咱们就来做几道例题巩固一下。 第一题，若二分之一括号 x 加三的零次方有意义，问 x 的 取之范围，那这里考察的其实就是零指数密吧。我们讲零指数密，这里同学们一定要注意，零的零次方是没有意义的，所以 括号里面只要满足 x 加三不等于零即可，也就是说 x 不 等于负三，所以这道题的答案就选 c。 再看第二题，已知 这个等式等于一，让我们求 x 的 值等于多少。那这道题呢，虽然看起来好像很简单，但是在做的时候是非常容易出错的啊，因为这里实际上是需要考虑分类讨论的。 假设这个底数 x 减一，它就是一的话，我们讲一的任意次方，它的结果都是一， 所以显然是符合要求的吧，对不对？我们来看一下啊。那第一种情况呢，就是当 x 减一，它就是一的话，也就是 x 等于二，那么这个算式它就变成了一的三次方，那显然它就是等于一的，所以是符合要求的。那第一种情况呢，这个 x 呢，就等于二。 同样的逻辑，假设我们这个 x 减一，它是负一的话，负一的偶次方是不是也等于一啊？比如说零次方呀，二次方呀，四次方啊，对吧？只要是它的偶次方， 那么依然满足，结果是一 x 减一等于负一的话，此时 x 是 等于零的吧，那 x 等于零这个算式呢，它就变成了负一括号的负一次方，那显然这个结果是等于负一的啊，它不等于一，所以 x 减一等于负一的时候，它是不符合要求的。 第二种情况排除，还有第三种情况，第三种情况就要考虑到我们这个零指数密码，假设这个 x 方减一，它是等于零的，并且满足 x 减一不等于零，这里要注意啊， 不是说只要零次方就可以了，一定要考虑括号里面不为零，不然它是没有意义的。那这样解出来呢， x 它是等于负一， 所以最终这个 x 等于二和 x 等于负一都是符合要求的。那这道题答案呢，就是二或负一。 我们再来看一下第三题。第三题说 a 是 等于负九十九的零次方，那我们知道任何数的零次方都等于一，所以这个 a 呢，实际上就是一，那 b 呢，它是等于二分之一的负一次方，那这里考察的就是我们的负整指数密啊。 那关于这个负整数数密呢？ a 的 负 p 次方是等于 a 的 p 次方分之一，所以这个 b 它是等于二分之一的负一次方，那实际上就是二分之一的一次方分之一，所以这个结果其实就等于二。 再看这个 c， 它是等于负二的平方，那 c 呢？它就等于四，对吧？这个比较简单，那最终 abc 的 大小，那就是 a 小于 b 小 于 c。 再来看第四小题，那第四小题是涉及到这个零指数密和负整指数密的一些计算，我们分别来看一下。先看这个第一题， 那显然这个三减二派是不带有零的吧，它的零次方呢，那就是一。那二分之一，它的负二次方，也就是二分之一的平方分之一， 再加上二分之一括号的平方分之一，那负一的 g 次方，那就还是负一啊，所以最终算出来这个结果呢，它就等于四。 再看第二题，负二的平方就是负四，那这个 pi 减去三点一四，显然它也不为零啊，所以它的零次方呢，还是一。 二分之一的负二次方，他就再加上二分之一括号的平方分之一，那就是负四。加一，再加，那就是四， 最终结果就等于一。再来看一下这个第三题，那这里实际上考察的还是积的乘方吧。但是现在这个指数是负数，我们说这个指数是负数， 依然满足这个 g 的 乘方。比如说这个 a 的 负三次方，那括号的负二次方，那它就可以写成 a 的 负三次方，乘以负二次方。同样， b 呢，也是的，它的负二次方再乘以负二次方， 再乘 a 的 负三次方，再乘 b 的 三次方，乘以负三次方。 化简一下，它就是 a 的 六次方乘以 b 的 四次方，再乘 a 的 负三次方，再乘 b 的 负九次方。接下来我们满足同底数密相乘，底数不变，指数相加，所以它就是 a 的 三次方。同理， b 的 四次方乘以 b 的 负九次方，也就是 b 的 负五次方。所以最终结果它就可以写成 a 的 三次方乘以 b 的 负五次方。当然你也可以把它写成 b 的 五次方，分之 a 的 三次方，这样也是可以的啊。 我们再来看一下这个第四小题，我把这个地方区分一下，那首先还是根据这个 g 的 乘方，我们来化解一下，它就等于二的平方乘以 a 的 四次方，再乘以 b 的 负六次方，再乘以 a 的 负二次方，乘以 b 的 负二次方，它们是一个整体啊， 那这里有乘有除，我们讲，那就从左到右依次运算啊。我们先来算前面这个部分，二得四，乘以这个三，那就三四十二。那 a 的 四次方乘以 a， 也就是 a 的 五次方， b 的 负六次方乘以 b， 那 就是 b 的 负五次方，再乘以 c 除以括号， a 的 四次方乘以 b 的 负二次方。同底数密相处，底数不变，指数相减，那就是十二乘以 a 的 五次方减四次方， 那就是 a 的 一次方，就写成 a 就 好了。那同样， b 的 负五次方，底数不变，指数相减，负五减负二，那就是负加二，也就是 b 的 负三次方，那 c 不 动带下来，最终结果，哎，就是十二乘以 a 乘以 b 的 负三次方，再乘以 c， 当然你也可以把它写成 b 的 三次方，分之十二倍的 a， c。 好， 这两个是一样的，都是可以的。 关于这个零指数密和赋值指数密的运算，同学们在计算的时候一定要小心啊。好了，同学们，今天咱们用一节课的时间把密运算的四大核心法则，还有延伸的零指数密、赋值指数密全部讲透了。下面是整节课的关键核心概念总结， 有需要的可以直接截图保存，课后好好复习巩固。今天的课就讲到这里，我是 tom 老师，咱们下节课再见！拜拜！

x 的 三次方和根号 x 在 excel 当中是如何显示和计算的？在一个单元格当中输入一个 x， 然后点击插入，点击符号，找到数学，找到三次方的角标，这样你就实现了 x 的 三次方的输入，但是这种的话是无法计算的， 我们以二的三次方为例，那正常情况下，我们会输入一个等于二，然后再次找到符号，插入三次方的符号回车。大家能看到这个公式来说，它既不是一个计算规则，也不是一个数字， 仅仅是一个符号，那怎么计算二的三次方呢？我们再次输入一个等于，然后输入一个二，紧接着咱们再按 shift 加六，注意一定是在英文的字母之下，然后我们再输入一个三，这个就代表二的三次方的计算，我们再回车等于八， 对吧？那么好，现在三次方的显示和计算你都已经会了，那么请问根号该如何显示和计算呢？这里咱们以根号三为例， 首先显示就很好实现了，我们还是点击符号，找到数学，然后在下面找到开根号这个符号，再输入一个三，这个就代表根号三了，该如何计算呢？ 这里面要给大家提供三种方法。首先第一种我们都知道开根号其实不就是三的二分之一次方吗？那我们直接就等于三减号，然后括号一除以二，对吧？一点七三二。那第二种我们用函数来计算，我们直接等于一个 s q r t 返回正平方根，这里面输入三也是一点七三二。还有第三种方法，我们直接用 power 函数啊，你可以把这个 power 函数用在任何求平方或者开根号的计算当中，这里呢我们直接等于 p o w e r， 第一个参数代表数值，我们直接输入三密次呢，就是二分之一，一除以二，那车依旧是一点七三二。

今天我们要聊的呢，是一个比较有意思的话题啊，就是数学当中的指数函数，特别是我们如何用一种非常严谨而且又很优雅的方式来给他下一个定义。没错，这个定义呢，其实是要依赖于积分和反函数的。嗯， 这个问题其实是挺关键的。对，那我们就直接开始今天的讨论吧。好的，咱们先来讨论一下，就是这个指数运算它的定义以及它的逻辑困境。 我们都知道，呃，二的三次方等于二，乘，二乘二等于八，那如果这个指数是分数或者是无理数的时候，我们应该怎么去理解它呢？这确实是个值得思考的问题。比如说像二的二分之一次方， 其实就是在问哪个正数自乘之后会等于二？对，那二的三分之五次方呢？就是呃，二的五次方再开三次方根，对，这些还都比较直观，但是到了二的派次方 就没有办法解释成 pi 个二相乘了，因为 pi 不是 自然数嘛。是的，那这个时候我们就没有办法用 简单的乘法来解释了。那如果说这个指数是一个无理数的话，比如说二的派次方，那我们要怎么去严格的定义它呢？这个问题问的很专业啊，一般我们会用一个极限的方式来做，就是用一串有理数 r n 来无限地逼近 pi， 然后呢，我们再去考虑这个竖列二的 r n 次方，当 n 趋向于无穷大的时候，它的极限是不是存在？而且这个极限是不是会跟着你选的这个竖列 r n 的 不同而不同？对，如果说不管怎么选，这个竖列 极限都存在，而且都一样，那我们才可以把二的派次方定义成这个极限值。听起来这个极限的存在性以及它的唯一性好像并不是那么显然啊，没错没错，而且更让人头疼的是，你还要去证明这个用极限定义出来的二的 x 次方 作为 x 的 函数，它是连续的，甚至是可微的，对，这个整个的基础其实是非常不牢固的。原来是这样，那我们接下来就讨论一下指数函数的这个逻辑漏洞所带来的一些危机。你能具体说说，就是我们在使用 指数函数和自然对数这些东西的时候，到底有哪些逻辑上的隐患呢？比如说我们经常会把 e 的 x 次方当成是一个对于任意使数 x 都有意义的东西，对吧？对，然后我们会认为它的值域是大于零的，并且它的导数还是它本身。 然后我们也会直接去用自然对数 l、 n、 x 说它是 e 的 x 次方的反函数。 但是其实这里面是有一个很大的循环论证的，就是你在没有严格的定义五里数指数密之前，其实这些东西都是没有逻辑基础的 哦，所以说我们平时认为的这些非常显然的求导公式，其实都还没有被真正的证明过。对，没错，而且我们一直在用的这个一约等于二点七一八等等这些其实你都没有办法说明他是怎么来的，就是你在使用了很多年之后，你才发现哦，这个底层竟然是一个 没有底的深渊，对，是一个逻辑的黑洞。好吧，那我们下面就进入一个非常有意思的话题了，嗯，就是历史上数学家们是怎么尝试去补上这些漏洞的？ 好，那在这个过程当中都遇到了哪些循环论证或者说逻辑陷阱？早期的数学家他们就是想，我能不能先把 a 的 x 次方定义清楚？ 对，然后他们就先从有理数的指数 a p 除以 q 入手，然后呢，再用极限的方式去逼近无理数指数。 嗯，但是呢，你要想证明这个过程中涉及到的一些连续性和可导性，你又会反过来需要用到 e 的 x 次方本身的一些性质，所以就会陷入一个先有鸡还是先有蛋的困境。 而且这个推导的过程也会变得较为复杂，你需要很多关于识数的完背性还有连续性的一些细致的讨论。看来这个路是走的非常的艰难啊， 那数学家们后来是怎么打破这个僵局的呢？这就要说到哈代的一个非常革命性的想法了，他就是说我们不要一上来就硬着头皮去定义指数函数，我们可以先从对数函数出发，好，他用一个非常简单的积分去定义了自然对数， 然后呢，他就很自然地推出了对数的所有的运转法则。对，最后他再把指数函数 e 的 x 次方定义成这个对数函数的反函数， 这样一来，整个的这个理论框架就变得干净利落，而且没有任何的循环。原来是这样啊，那我们接下来就好好地看一看这个新的理论体系的地基，也就是这个用积分定义的自然对数。嗯，你能说说这个定义到底是怎么回事吗？当然可以， 其实这个定义就是对于 x 大 于零，我们把 l n x 定义成一到 x 上一除以 t 的 积分。 哦，那这个定义它只需要用到离慢积分的一些基本的东西。因为一除以 t 这个函数在零到正无穷上是连续的，所以这个积分是一定有意义的。它完全不依赖于任何之前的关于指数或者对数的一些结果，所以它是一个 非常纯粹的出发点。嗯，那我们如果从这个积分定义出发，怎么去一步步地推出这个对数的运算性质呢？好问题，我们可以用微积分基本定理 直接就得到 l n x 的 导数是等于 x 分 之一。对，然后呢，我们就可以构造一个辅助函数， f x 等于 l n x。 嗯，接下来对它求导。利用列式法则，你就会发现 five x 也是等于 x 分 之一。也就是说，这两个函数 l n x 和 l n x， 它们的斜率处处相等。是的，所以这两个函数肯定只相差一个常数。那我们就可以设 l n x 等于 l n x 加 c。 然后我们只要令 x 等于一，马上就可以得到 c 等于 l n a。 哦，所以 l n a b 就 等于 l n a 加 l n b。 这个就不再是一个假设了，而是一个经过严密推导的定理。好的，那我们现在就可以来聊聊指数函数的诞生了。嗯，我们怎么能够通过反函数的思路 严密地定义出指数函数，并且摆脱掉所有的逻辑循环？我们知道，自然对数函数 l n x， 它是在零到正无穷上是严格递增并且连续的。嗯，所以它的反函数一定是存在的，而且是唯一的。 那我们就可以把指数函数 y 等于 e p x x 定义成 l n y 等于 x， 哦，对，这个就完全是通过几何上的镜像来得到的，所以这里面没有任何的极限过程，也没有任何的循环定义， 它就是非常干净的一个定义。哦，这样啊，那我们现在知道了，这个 ex p x 和 l n x 是 互为反函数，那我们怎么来求这个 ex p x 的 导数呢？其实我们可以直接利用反函数求导的这个法则，对，就比如说我们有 y 等于 x p x， 那它就等价于 x 等于 l n y， 然后两边同时对 x 求导，就可以得到一等于 y 分 之一乘以 y 撇，哦，所以 y 撇就等于 y， 也就是 x p x， 嗯，所以我们就神奇地得到了 x p x 的 导数，就是它本身。嗯，那我们继续往下深入探讨一下这个自然常数 e 到底是个什么东西？嗯，就是你能不能从几何或者说从解析的角度 给我们一个比较直观而且严谨的解释呢？呃，从几何上面来看的话， e 其实就是让函数 y 等于 t 分 之一，这个曲线和 t 轴以及 t 等于一和 t 等于 e， 这两条直线所围成的面积刚好等于一的那个唯一的点。 哦，对，所以它的定义是非常几何的，而且是非常明确的。哦，原来 e 是 跟面积近近联系在一起的，那这和我们那个 e s p x 又有什么关系呢？其实我们就可以把 e 定义成 x p e， 哦。然后 至于大家熟悉的这个 e 约等于二点七一八二八等等，这些其实只是一个数值上的近似， 对它真正重要的意义还是在于它是由这个积分的面积以及指数函数和对数函数的性质所决定的，是一个非常自然的常数。好的，那我们接下来就来到了一个很有挑战性的问题了，就是我们现在终于可以回答 任意的 a 的 x 次方这个东西到底是什么？嗯，对吧？特别是我们一直很好奇的这个二的派次方，现在我们怎么能够 用我们新的这套理论给出一个完全没有漏洞的解释呢？有了我们前面的准备之后呢，其实我们就可以对于任意的 a 大 于零 和任意的实数 x， 把 a 的 x 次方定义成 e x p 括号 x 乘以 l n a。 哦，那你说的这个二的派次方就是 e x p 括号派乘以 l n 二 这样的一个定义，它是建立在积分和反函数的基础上的，所以它是在整个实数轴上都有明确定义的，而且它是没有任何逻辑上的漏洞的，它是一个实实在在的数值。那我们最后要聊的就是这个新的理论体系，它的这个整体的结构， 嗯，就是我们到底是怎么样从一个最简单的积分定义出发，然后把整个指数和对数的理论 严谨而且简洁的给建立起来。整个这个体系它的起点就是我们把 l n， x 定义成从一到 x 上一除以 t 的 积分，然后把 e x， p x 定义成它的反函数。 这一步就非常的关键，听起来确实非常优雅，就是这个导数和运论法则都变成了这个定义的直接推论。对，比如说我们可以马上得到 l n x 的 导数是 x 分 之一，然后 e p x 的 导数是它本身对数的运算率和指数的运算率也都可以很轻松地被推导出来， 然后包括我们的这个 e 的 定义以及 a 的 x 次方的定义都是自然而然的就出来了，整个这个结构就像一座非常精美的大厦，每一块砖都严丝合缝。行吧，那我们今天从一个看似非常简单的问题出发，就是指数到底是什么？ 然后一路深挖，挖出了这个数学基础里面的巨大的空洞，然后又一起见证了数学家们是怎么样用积分和反函数这两个工具 把这个空洞给补上，并且建造起了一座全新的坚不可摧的数学大厦。好了，那么这就是今天的全部内容啦，然后感谢大家的收听，我们下期再见吧，拜拜！拜拜！

初一的家长注意了，命的运算是我们旗下考试的重点内容，百分之九十的同学面对这样的问题，总是无从下手，或者是一做就错，公式都记不清，更别说做题了。其实关于命的运算就是这六大公式，今天刘老师带你拆透这六个公式背后的底层逻辑。我们来看一下。 第一个， a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 加 n 次方，这是一个投底数密的乘法对吧？底数是相同的，但是两个底数相同，指数是不同的，所以底数不变，指数相加。那么这个公式它是怎样推导而来的呢？我们可以看一下， a 的 m 次方，就代表有 m 和 a 相乘，也就是 a 乘 a， 再乘 a， 一 共有 m 个 a， 然后去乘以 a 的 n 次方，也就是乘以 a 的 n 次方。有 n 个 a 相乘，也就是 a 乘 a， 再乘 a， 这里的话就有 n 个 a 相乘。那他们来看一下，我们数一下，这一共有多少个 a 相乘呢？是不是 m 个加上什么 n 个，所以一共有 m 加上 n 个 a 相乘，那么就是 a 的 m 加 n 次方啊，这是同底数密的乘法。第二个， a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 减 n 次方啊，这两个也是底数是相同的，但是指数不同，做了除法，那么我们就要要底数不变，指数相减，为什么呢？我们来看一下， a 的 m 次方代表 a 乘 a 乘 a 乘 a， 要 m 个 a 去除以 a 的 n 字吗？也就是 a 乘 a 乘 a 乘 a， 那 这里的话有 n 个 a， 是 不是？那上下一抵消？注意， m 是 大于 n 的 啊，也就上面的 a 多，下面的 a 要什么少？那么我们通过约分 a 和 a 约掉， a 和 a 约掉，一直约下来之后的话来一定要观察，那么剩什么呢？哎，他比他多，那是不是剩 m 减 n 个？什么 a 是 不是剩 m 减 n 个？ a 相乘，那么就等于 a 的 m 减 n 次方 啊，这是同底数 b 的 除法。我们再看第三个公式，这个是什么？叫 g 的 乘方，为什么？你看 a 和 b 是 不是相乘，相乘的结果不就是 g 吗？所以这个叫 g 的 乘方啊， g 的 乘方。我们来看一下 g 的 乘方等于什么呢？就是把括号里的每个音式， a 要乘方， b 也要乘方，也就等于 a 的 m 次方乘以 b 的 m 次方。那么这个公式的推导是怎么来的呢？我们来看 ab 的 m 次方，应该是有 m 个 ab 相乘，是不是也就是 ab 去乘以 ab， 再乘以 ab 再乘以 ab， 一 直有多少组 ab 相乘呢？是不是 m 组好？也就这里的话，一共有 m 组， a b 相乘，那 a b 就是 a 乘 b， 也就意味着是 a 乘 b 乘 a 乘 b 乘 a 乘 b， 是 不是一直有 m 组？这样的 a b 相乘，也就有 m 和 a 以及 m 和 b 相乘？ m 和 a 相乘就应该等于 a 的 什么 m 次方？是不是 m 和 b 相乘，就应该等于 b 的 m 次方？所以 a b 的 m 次方就应该等于 a 的 m 次方乘以 b 的 m 次方，这就是积的乘方。要把这里的每个音式进行什么乘方啊？这个一定要注意好，我们再看下第四个，这个叫做什么呢？叫做 me 的 乘方啊，因为 括号里是 a 的 m 次方，这个也读作 a 的 m 次 me， 这个 a 是 底数。 m 是 什么指数？整体 称作什么？ me 读作 a 的 m 次幂，也读作 a 的 m 次方。好，那这个公式是怎么推导出来的呢？我们来看一下 a 的 m 次幂的 m 次方，应该是表示 n 个 a 的 m 次方向乘啊，也就是 a 的 m 次方乘以 a 的 m 次方，再乘以 a 的 m 次方， 省略号再乘以 a 的 m 次方。那么这里的话应该有多少组 a 的 m 次方呢？是不是应该有 n 组？ 是不是好，有 n 组，那这的话就不是同底数幂的什么法乘法吗？ a 的 m 方乘以 a 的 m 方乘以 a 的 m 方来，这就是同底数幂的乘法。底数是不变的，是不是底数是不变的？指数相加，那么这里的 m 要什么？加 m 再加 m， 加省略号再加 m。 有 多少个 m 相加呢？因为有 n 组 a 的 m 乘方，所以这里的话 应该有 n 个 m。 是 不是 n 个 m 相加不就是 m n 吗？是不是 n 个 m 相加 m 个 n 个 m， a m 相乘相加的和不就是 m 乘以 n 吗？是不是好，所以等于 a 的 m n 次方。 好，那尤其是第五个，第六个。很多同学啊，只背背下了他最终的一个结论，但是很少有同学知道他们的推导过程，其实啊，他俩人的公式都是通过上面的一些东西推导而来。我们来看一下， 好， a 的 零次方等于一啊。当然了， a 是 不等于零的，当 a 等于零的时候，它是无意义的。 a 不 等于零，也就任何数的零次方都等于一。 a 不 为零啊，不为零的数，它的零次方等于一，它是怎么推导过来的呢？我们用的是同底数密的除法推导而来。我们来看一下 a 的 零次方等于一，那我是不是可以理解成 a 的 m 次方去除以 a 的 m 次方，朋友们来看一下，它是等于同底数密的除法，底数是不变的，指数要相减， m 要减 m， 那 同学们观察一下，那是不是等于 m 减 m 是 不是等于零？也就等于 a 的 零次方， 而 a 的 m 次方除以 a 的 m 次方，这两个数是不是相同？相同的两个数相除，它们的商是什么？一， 是不是？同学们，对吧？比如说二的三四方除以二的三四方，二的三四方是八除以二的三四方，八 八除以八是不是等于一？好了， a 的 m 四方除以 a 的 m 四方等于一， a 的 m 四方除以 a 的 m 四方，还等于 a 的 什么零四方都是它的什么结果？所以 a 的 零四方就应该等于这里的什么一。好，这是关于 a 的 零四方等于一这个公式的推导。我们再看一下最后一个 a 的 负 m 次方等于 a 的 m 次方分之一，它是怎么来的呢？好，这里的话就要用到这个公式以及这个公式。我们来看一下 a 的 负 m 次方，我们可以理解成是 a 的 零次方去除以 a 的 m 次方。同学们来观察一下， a 的 零次方除以 a 的 m 次方， a 的 零次方，我们知道是等于一的， 对吧？一除以它不就等于一除以 a 的 m 四方吗？是不是我们再根据同底数密的除法，它还等于什么呢？比数不变，指数相减， 零减 m 好， 那是不是就等于 a 的 零减 m 不 就负 m 吗？也就是 a 的 负 m 四方就应该等于 a 的 m 四方分之一，因为 a 的 负 m 四方是它的结果， a 的 m 次方分之一也是它的结果，所以这两人是什么相等的？所以 a 的 负 m 次方就等于 a 的 m 次方分之一，这就是关于逆的运算。几个公式的推导，你学会了吗？关注李老师，学习路上不迷路。

最近发现很多七年级的学生在计算密的时候经常出现错误，比如说我们给大家举个例子啊，就是 我们有两道题，第一个是咱们大家看一下，就是告诉你，已知 a 的 m 次方 等于三， a 的 n 次方等于五。问， a 的 m 加 n 次方等于几？很多孩子顺手就写了 等于八，还有下面一个就是已知 a 的 m 次方等于六，让你求 a 的 二 m 次方等于多少？有同学顺手一下，二乘六等于十二。 那么这两个答案，大家知道这两个答案都是错的啊，那么我们分析一下原因是什么？分析完之后的原因就在于孩子在写题的过程中对公式不够熟练，这是第一个。第二个是就是 写题的时候根本没有去想公式，就是呃，想当然，自己随意的胡编乱写，就是看见有乘就开始乘，看见有加就开始加， 那么正确的算法应该是什么呢？是我们按照咱们密的运算，那么 a 的 m 加 n 次方应该等于 a 的 m 乘以 a 的 n 应该等于， 你说 a 的 m 加 n 应该等于， a 的 m 乘以 a 的 n 次方应该等于十五。同样呢，那么下面这一个 咱们的 a 的 二 m 次方应该等于的是 a 的 m 的 平方，应该等于六的平方。 按照公式来说，咱们 a 的 二 m 应该等于什么？ a 的 m 的 平方应该等于三十六。 那么如何避免这样的错误呢？那么我们总结了两个，第一个就是孩子一定要熟练公式，第一一定要对公式非常熟练 啊。第二个是我们写的时候按照公式一个步骤一个步骤的给他写下去，不能想当然，那么这样的话，我们下次再写这个题就不会再写错了。

密预算一共就有八个公式，你记住了，你就是全班的数学天花板。第一个，同底数密相乘，底数不变，指数相加。第二个，同底数密相处，底数不变，指数相减，底数不能为零。第三个，密的密，底数不变，指数相乘。第四个， 积的密，积中的每个因子分别取密，再相乘。第五个，商的密，分子和分母呢？分别取密，然后再消除，分母不能为零。 第六个，零指数密，任何非零数的零次密是等于了一的第七个负指数。任何非零数的负指数次密呢？它是等于了这个数的正指数次密的倒数。

大家好，我是小 n， 今天给大家分享 excel 中常用的数学函数 pi 函数，让你三十秒就能掌握成密计算技巧。你是不是经常需要计算数字的成密？比如计算面积、体积、增长率，手动计算太麻烦，用 pi 函数一键搞定。 pi 函数的核心功能就是返回数字的成立，使用方法非常简单。举个例子，如果你要计算二的三次方，只要输入等于 pi 一、 b 一， 其中 a 一 是底数二、 b 一 是指数，三，瞬间就能得到结果。八、是不是超级方便？再比如，你要计算十的平方，使用公式等于 pi 二 b 二，其中 a 二是十， b 二是二，结果就会变成一百。 如果你需要计算任何数的零次方，比如五的零次方输入等于抛入 a 三 b 三，其中 a 三是五， b 三是零，结果就会变成一。这是数学中的基本规则哦！不过要注意几个常见坑，第一，参数类型错误。如果参数不是数字类型，函数会返回拉入。错误 解决方案是确保参数式数字类型可以使用 vowel 函数转换。第二，复数的偶次密。如果底数是负数，且指数是小数，函数会返回，那么错误解决方案是确保负数的指数是整数或使用其他函数组合实现预期效果。 第三，空白单元格。如果参数是空白单元格，函数会返回 vowel。 错误解决方案是使用列函数判断单元格是否为空， 避免意外错误。第四，文本数字。如果参数是文本格式的数字，函数会返回 vo。 错误解决方案是使用 vo 函数将文本转换为数字，或确保单元格格式为数字。掌握了泡尔函数，你的数学计算效率会大大提升， 工作学习都能更轻松。觉得有用的话，点赞、收藏，分享给更多朋友！评论区告诉我你最想了解的 excel 函数，我们下期见！

咱现在解决的是指定逆公式，只对逆，有很多同学都是用背的，但是背就容易出现什么高一上学期咱学的，然后等到期末总忘，等到高二高三的时候依旧忘，所以咱怎么办？咱补背，咱去想一下， 只和逆是相对来说比较简单的，对不对？指数函数的话，你如果考试的时候真的有点想不通怎么办？你去想二的三次方等于多少？ 二的四次方，二到平方四次方角大是不是四八三十二是二的五次方，那就相当于是三加二还是三乘二加二加二，所以 a 的 m 四乘以 a n 四等于 a 的 m 加 m 加 n， 同样那边乘积是不是也是这样的一个套路？ 嗯，对吧？这个指是比较简单，那我接下来说讲个密密的话怎么办？也不用去硬背。我们小时候是不是学过 x 二分之一次？它相当于开根了吧？开根，如果我没写这块是不是一， 我这块没写这块是不是二，那你就会发现一跟他进去了还是二跟他进去了一，一跟他进去了。这就叫做拿熟悉的干嘛去记忆你不熟悉的一是不是在上，所以是上跟他进去了还是下跟他进去了？ 上就结束了，对吧？所以所有的问题其实出现在哪里？出现在我们那个对数函数，这是叫加，他这块就是乘，那这块是减，这块就是什么？ 除非常好，那我们现在是唠半加唠勾加就是什么成，你说老师我不喜欢背，我想背这个，就这背，这晚上做梦的时候都不一定能背，这 abc 都不一定放哪个位置了， 对吧？所以尽量不要拿这些去硬背。怎么办？我们就记一个例子，落个二加，落个五是一加就是成。哎，这样是就好记很多了。这是第一个，第二个，我们现在是歘歘 b b 是 不是就化简消掉？那你 c c 是 不是也分就只剩 a 和谁了？ 哎，对，但是你不敢，你不知道原理是什么，这个原理是什么还记得吗？换底 非常好。什么叫换底公式？换底公式指的是什么？是不是换了换，换了就是 同样的一个底，对吧？那比如说我们现在讲烙哥以 a 为底的时候，都换成烙哥以十为底而记吧，这是 b， 这是就是 a， 这是就换了底了。那原来谁，原来 a 在 下面，他现在依旧在下面，原来 b 在 上面，他是依旧在上面， 明白这意思吧。好，那接下来我们再继续他现在这个位置，就换成 log 以谁以 b 除以 log， 以 a 继续 log c 除以 log 谁 b log d 除以谁 log c。 哎，非常好， 是不是现在就化解消掉，所以现在此时此刻就变成谁了？是不是 log d 除以 log a， 那 就变成 log 以谁为底了？ 对，就是这样的道理，那面我就不用再写，是直接直接消掉就变成一。 现在这两个式子都完事了，到这块就开始懵了，一直到这块是不是整不明白，对吧？我们先研究几个问题哈，拿熟悉的去干嘛记你不熟悉的。五分之四就等于是五分之四除以谁， 哎，很好，就等于一除以谁四分之五，那我如果说 n 分 之 m 就 等于谁， 哎。 m 分 针比一或者是一，比上什么 m 分 针去它的倒数，对不对？好，那我现在去想啊，你说老师这些我好像都明白，但是我记不住是怎么回事？拿生活当中实际去记， 怎么叫做实力取经。我们是不是买这个票去看球？嗯，对吧，咱去看球，咱们实名制买完这个票了之后，这个座即便是很紧张，你能换座呢？谁能同意啊？那都花钱来的对吧？所以你座不能换，但是你帽子是不可以往外扔， 咱现在去想一下哈，这是几个元素？ abm 四个元素。你首先你要去跟谁是帽子？ m n 非常好 m 可是肩膀头上那个东西才是帽子对吧？那我们的这个帽子可以往前扔，是不是扔到 n 分 之 m 一 动吗？不动你也可以不写，省略，完全可以，是不是这么个情况？那 n 分 之 m 我 是不是可以先说，天秤，我欺负你，你都帮我拿着 对吧？你都帮我拿着，是不是？ n 除以 m 分 针， 这是不是好记很多了？好，继续我们再说。看这里啊， a a b b 三三四四， 对吧？读两遍是不是就有耳音了？好，继续啊， a a b b 三三四四，明白这意思吗？那我现在说我这个公式是不是它的一个翻版？现在差事差谁的事？差三的事？九的事还是十六的事？ a a 三不动，那就差谁的事？差九的事吧。我要把九换成谁就能变成三呢？ 非常好。三的平方，如果说我现在换成的是一个三的平方，十六再换成四的平方，二二是不是就正好底调变成一了？所以现在是变成 log 以三为谁四的倍数。现在 a a b b 是不是好很多了？所以现在的公式什么基础的变形，然后还有一个是特别容易遗忘的，我们说一个哈，二到三方等于谁？等于的是八对不对？我现在如果变成 log 的 形式，二是一就是在底下， 那我就问你，我还能不能写成 log？ 以二为三的倍数等于八？那不能了，你多少得有点转换吧。那就已经是三和八的位置发生了一个什么对调，对不对？所以 log 以二为八的倍数等于多少 非常好记。例子是就只记这种就行，对调二是底就不变了，三和八是进行对调。 明白这意思了吗？所以我们这个公式就一定要知道几个原则，第一，你不要硬背。第二，你要拿你熟悉去寻你不熟悉的。什么叫熟悉的？这个是叫熟悉的。什么叫熟悉的？唠个二加唠个五是不等于一是叫熟悉的。这么熟悉，明白了吗？嗯，行啊。

幂的运算根本不用死记硬背，核心就六大基础公式，今天华姐把这六大公式跟你从用法区别易错点一次性讲透，以后题目不管怎么变，你都能一眼看准，一步作对。我们来看，第一个叫同底数幂， 那碰到同底数幂相乘之后呢？我们的结果是底数不变，指数呢？做的是相加的运算， a 的 m 四方，乘以 a 的 n 四方就会得的 a 的 m 加 n 四方。 哎，它经常跟我们的下面这个你去搞混啊，一会我来教你怎么能把我们公式能精准了。 me 的 乘方呢，是底数不变，指数相乘是 am 的 整体的 n 次方，它是等于 a 的 m 乘 n 次方，那这个我怎么能快速的把它俩区分开呢？我们来看一下这个，我们做的是乘法运算。乘法运算，那你的指数呢？你的指数结果是一个加法运算，对吧？哎， 我们由本来的乘法运算变成了指数，来做一个相加，然后我这个是一个什么运算？ a m 的 n 次方，它本身要算的是一个乘方的运算，那我们的结果这个指数变成什么呀？ m 乘以 n 是 一个乘法运算，所以你来看， 我们由乘法变成加法，由乘方变成乘法，这相当于对我们的指数进行什么呀？进行一个降级运算了， 对吧？所以大家记住一个点啊，就是我们的指数呀，是一个降级运算的，有了这一点，我们的公式就再也不用记混了。那第三个是我们积的乘方，把积的每一个音是分别乘方最终得的密，再去作相乘啊。 a 乘 b 整体的 n 次方，就会等于 a 的 n 次方，再乘以 b 的 n 次方， 这个你可以怎么去理解呢啊？就是我们本身有两个小人在，我们的底数让它整体的 n 次方。如果说假设想象一个场景，它下雨了， 两个小人呢，现在是共搭了一把伞啊，为了我们分开之后呢，不被雨淋，那每个人还要再分到一把伞，对吧？所以就是 a 的 n 次方乘以 b 的 n 次方，每个人都要跟着一把伞。 好，那么第四个呢，是我们同底数密相除，底数不变，指数做的相减啊， a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，是 a 的 m 减 n 次方， 这个也可以套我刚才给你总结的这个指数降级运算，原本呢，我们做的是一个除法，然后你的指数呢？哎，降级成了减法，哎，所以仍就是指数降级运算。第五个是我们的零指数密啊，任何非零数的零次方啊，都会等于一，也就是 非零数，比如说 a 是 一个非零 a 的 零次方，结果就是一，用一参与计算就可以了。第六个，我们负整数指数密，任何不等于零的数的负 n 次方，次密等于什么呀？等于它的 n 次方密， n 次方次密分之一，这个大家可以怎么理解呢？我给大家写到这里， a 的 负 n 次方等于 a 的 n 次方分之一啊，这个你就可以把这个符号给它往上长长长长长长成分数线， 长出分数线之后呢，来写个一，剩下的只有 a 的 n 次方了啊。这个在我们考试的时候呢，经常出一些易错题，比如说二分之一，它的一个负呃，二次 方你可以怎么去算呢？注意，算的是二分之一，它的二次方再整体分之一，对吗？你要把这个分数线给我拎上去啊，长成一个分数线。 那二分之一的二次方呢？是四分之一啊，再来取一个倒数呀，结果就是四，所以不要算错了，这六大公式有了我们一些基本的啊，这个总结规律之后呢，大家在考试的时候就不管你的题目怎么去变，公式就一定用不错了，你学会了吗？

接下第一次月考，这道亚洲题直接全军覆没，因为这道题他考察的就是我们的构造法，而有百分之九十五以上的孩子搞不清楚我们的构造法是什么，所以说今天这个视频，猫老师给大家讲清楚我们构造法的两大技巧，同时大家还要注意， m 的 预算不仅要有技巧，你还要对它所涉及到的公式以及口诀极其的熟悉，所以孟老师把口诀和公式都给你准备好了，同时还有我们 m 预算必考的十五大题型，一定要找我来拿，这样开学以后我们 m 的 预算才能拿满分。好，那我们下面来看一下这道题目，他说若 三的 x 次方，五的 y 次方等于四十五，让我们求这个东西。首先第一个构造技巧，你来观察要求的这个里面有 x， 有 y， 而这个 x 和 y 都在我们已知条件中的什么中出现了指数，所以你要把它们在指数中给它造出来。 那么如何在指数中造出来呢？那一定和这里的有关系，因为这个指数是 x， 所以 在它啊，我就可以写成三， x 的 x 四分之二次方，你看 x 分 之二就在指数上了，那它就等于四十五的 x 分 之二。 ok， 那 接下来用公式，三的 x 的 x 分 之二次方，那就等于三的 x 乘以 x 分 之二，也就是三的二次方等于九。 ok， 那 我们还要造出谁呢？ y 分 之一，所以要借助前面的五的 y 字方，那大家来看，五的 y 次方的 y 分 之一次方，就是四十五的 y 分 之一次方。那注意观察，五的 y 次方的 y 分 之一次方， 就等于五的 y 乘以 y 分 之一，也就是 y 次方，答案就是五。 ok， 那 第二个需要知道的技巧，也就是我们的口诀，你注意观察要构造的这两个指数是相加， y 相乘 利用的是我们的逆行预算，所以这里我要用这两个同底数逆给它进行相乘，那就变成了四十五的 x 四分之二次方。 乘以四十五的 y 分 之一次方，那么就等于四十五的 x 四分之二次方。 加上 y 分 之一次方。那大家注意观察，四十五的 x 分 之二次方等于九，而后面这个等于五，那它俩的乘积就是四十五，而四十五就是四十五的一次方，所以我就可以知道你的指数就等于一。那这个题的答案就是一。好了，那今天学的两个技巧你搞明白了吗？拜拜，我们下期再见。

命的运算是初一下学期考试的必考点，也是孩子们考试当中特别容易丢分的易错点。很多孩子碰到比较基础的运算还可以，但是像碰到这种稍微复杂一些，带点综合的运算就直接晕掉了。别担心，这类题的解析方法其实就是构造同底数， 或者是构造同指数。一条视频，用最简单的讲法带你掌握这一类题的解析思路。说已知这个结果呢，等于是零，问你他的结果应该是多少？那么去 掌握密的预算，首先呢，你要去掌握好它的四大核心基本公式，带领同学们简单去复习一下。首先第一个呢，是同底数密相乘， a 的 m 字方，乘上 a 的 n 字方，他俩的底数是相同的，都是 a， 那 结果怎么样呢？底数不变，仍然是 a， 把指数进行相加， m 加上 n， 这是我们的第一个公式。那么第二个公式呢，是幂的乘方， a 的 m 字方，它本身是个幂，我再呢把它去乘方，变成它的 n 字方，那这个结果等于多少呢？底数不变，仍然是小 a 指数，干嘛 相乘 m 乘上 n， 结果就出来了。那么第三个公式呢，叫做 g 的 乘方， a 乘 b， 它已经是一个 g 了，然后把它去进行乘方，那这个结果等于多少呢？等于把 g 的 每个音式分别乘方啊，也就变成 a 的 m 字方， b 的 n 次方，再把它俩的结果呢，去进行相乘， a 的 m 次方，乘上 b 的 n 次方，就是第三个公式的结果。好，那么第四个公式呢，跟我们的第一个公式呢，非常像，第一个公式这个地方是乘，那第四个公式， a 的 m 次方，除以 a 的 n 次方，它变成除法了，那这个结果是多少呢？ 你看相乘的时候，这个指数呢是相加，那相处的时候呢，这个指数呢，也就直接相减就可以了，变成 a 的 m 减去 n 次方。那 当然了，在这各位同学们要去注意一下啊，我们这个 a 呢，一定要去强调好，它是不能够等于零的，因为除数这个东西，它是不能够为零的。那接下来呢，我们再来看一下这道题啊，他问的结果是四的二 x 加 y 次方，乘上八的 y 减 x 方，这个结果应该是多少？就这个结果看完之后呢，还是非常发晕的，因为我们在这四大公式当中呢，它的特点要么是指数有点关系， 要么呢是底数相同的。所以说你要进行的第一个操作，一定要把指数或者说是底数变成相同的，也就说我们要构造相同的底数或者是指数，那你说这个题我能构造吗？你看在这个地方呢是一个四，这个地方呢是一个八，它的底数明显是不相同的， 但是你要注意四是个什么东西，四其实就是二的三次方，那他的底数不是相同的吗？都是为二的。 所以说这道题呢，我就可以简单的去改写一下，二的平方的二 x 加 y 次方，然后八的 y 减 x 方，我就可以写为二的三次方的 y 减 x 方。好，那么此时你分别来看一下，这两个式子就变成什么东西了，不就变成了一个幂的乘方了吗？ 那么简单整理一下，它就等于啥呢？要变成了二的，我把这个二直接往外乘二的四 x 去加上二倍的 y， 乘上一个三，直接往外乘，也就变成二的 三 y 减去三倍的 x 也就变成它了。好，那此时你会发现这个底数为二，这个底数也为二。用这四个公式当中的哪一个是不是此时应该是用我们的第一个了呀？同底数密相乘，底数不变，仍然是二。指数相加四 x 减三 x， 它也就变成了一个 x。 二 y 加上三 y， 这个呢，也就变成了五 y， 哦，也就变成了这个结果。那你说 x 加五 y 的 结果是几？人家告诉我们在这减三等于零，那这个东西不就为三了吗？所以说它的结果也就变成二的三字方，结果也就为八。这个题的答案也就出来了，你学会了吗？搞定。

哈喽，我们期下的同学们，这道题是我们密的运算里面一道非常重要的题优题，也是这两年的一道新题目啊，那这道题如果说你能观察出来你掌握方法非常快，秒杀啊，直接秒，如果你没有学过或者说不知道好的方法，那你可能做下就会非常的慢。 好，那么秦老师带大家来秒一下这道题目啊，我们来观察题目。六的 a 次方等于二零一零，三百三十五的 b 次方等于二零一零。求 a 分 之一加 b 分 之一。大家有没有发现一共就三个数字，六，三百三十五，二零一零。 应该机智的同学们发现了啊，六乘以三百三十五刚好等于二零一零，那这个对我们后面有什么作用呢？咱们先放一放， 那我们看啊，六的 a 次方等于二零一零，我希望用上这个二零一零当作为过渡量，那六的 a 次方我可以通过两边同时变到六的 a 次方的二 a 分 之一次方等于二零一零的 a 分 之一次方。两边同时乘以 a 分 之一次方， 那么你看六不就解脱出来了吗？等于二零一零的 a 分 之一次方。同时三百三十五，我也希望它解脱出来，解脱出来以后他们俩是不是可以去乘呀？ 那三百三十五要解脱出来跟左边一样呀，他原来是 b 次方，那我外面给他来个 b 分 之一次方，那这里的二零一零是不是也可以给他来一个 b 分 之一次方，因为里面是一致的， b 分 之一也是一致的。那三百三十五释放出来了，等于二零一零的 b 分 之一次方。 那这个时候咱们就可以来用到上面这个部分了，六乘以三百三十五等于二零一零，那也就是说六乘以三百三十五，我给他变成二零一零，替换一下六就是二零一零的 a 分 之一次方，三百三十五就是二零一零的 b 分 之一次方就等于二零一零。 你看这两个人是不底数相同呀？咱们可以给他变成二零一零的，同底数密相乘。 a 分 之一加上 b 分 之一次方就等于二零一零。 那这个时候发现了没多少零一零，那它指数也是一样的，它的指数 a 分 之加 b 分 之一，这个指数不就是一吗？答案就出来了， a 分 之一加上 b 分 之一等于一。 所以啊，一开始你先观察出这个式子，观察出来以后，你要想解放出这个六，怎么解放？给它括号来一个 a 分 之一词放，那左右两边都是 a 分 之一，解放三百三十五，那两边同时来一个 b 分 之一， 那最后解放出来以后，就可以用上这个式子替换里面的六和三百三十五，然后最后得到 a 分 之一加 b 分 之一，不就是我们的一吗？好了，如果有更多的问题可以评论区给你们录视频，好好的讲解啊。

指出这出 b 还能考什么快，具体出个什么向推一下开秒看这道题。根号乘根号二是不是等于二？它俩 a 乘四倍，根号二 a 向秒，根号 a 等于 a 的 二分之一次方， 它俩乘等于 a 的 二分之三次方，再开三次方，记着礼尚往来，所以 a 的 二分之三在上面再除以三等于二分之一，一约乘二分之一次方，选择二 b 秒。 这道题来看一下公式。 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 加 n 次方，所以它就可以变成什么呀？变成二的 a 次方的平方乘以二的 b 次方，代数等于四，平方十六乘以八 一百二十八 c 项秒下一题，横过点让这等于零， s 减二等于零，解得 x 等于二， a 的 零次方是不是等于一啊？一减一等于零，随 y 就 等于零，直接四 d 秒这个题让求值域找 c， c 到正无穷就可以，那么 c 是 二，所以就是二到正无穷开区间秒。最后题，先把一给它拆解成一，是不是拆解成三分之一的零次方 再来看，这是一个减函数，所以符号要相反。 x 平方减去三， x 加上二应该大于零，大于去两边直接撕 d 横向粉丝电话喂，还想听 开秒看这道题，然后比大小先写成分式，这是五分之六，这是三分之四，然后交叉相乘，三乘六是十八，四乘五是二十， 十八小于二十，所以这就是小于秒。固定点让真等于一，解得 x 等于负二。 a 的 几次方是一啊，是零次方， y 就 等于零，直接 a 向秒。像这种题不用换底，直接约分。把四和四约了，五和五约了 三的几次方是九啊，三的平方二秒比大小，当 a 大 于一，他应该用的是同号 a 小 于一，应该用的是异号，看，这，这是大于一吧。同号一点二是大一点一，所以这是大于零点五。小于一应该用异号二。小于四，那这就是大于 零点六。小于一，他是异号一点一是小于一点二，这应该用大于二，应该用同号六。小于七，这是小于。直接秒看这道题，先看这是等于一 这俩，再用这个公式，它等于 log 二十乘以五等于 log 一 百十的计算，一百是不是平方，这等于二 二再减去一，所以剩一个一秒。最后一题，把二分之一带住，四的二分之四方是等于根号四，对吧？这 log 以二二为底，二分之一啊，是负一四方，根号四是二，二减一就等于一秒。单招小诸葛晚上半点直播来看我。