万能通项公式

哈喽，大家好，这里是杰森，今天我们来讲一下数列球通向公式，我们首先来看一个公式啊啊，这个需要的同学可以直接截个图， 然后我们讲几个例题啊啊，第一种方法叫做基本量法，就当这个题中啊，已经知道这个数列是一等比或者等差数列或者其变形的，就已知他是一个什么形式的数列， 然后可以将竖列里面的式子啊，改写成 a 一 d 或者是 a 一和 q 的基本量组成的式子，也就是用他基本的公式来进行求解啊。然后我们看一下这个利益， 他说已知 a n 为一个等差数列， b n 的话是一个等比数列，那么告诉你他的手相还有一个 a 五和 b 五要你求他的一个通向公式好，那么我们根据他的已知条件可以得到。就比方说我们先求 a n 啊，先求 a 先做这个，那么根据 a 一，他等于一 a 五等于了五倍的 a 四减去 a 三，好，那么后面这个的话， a 四减去 a 三，实际上就是他的一个攻差就低了 啊，所以的话，呃，实际上可以写成一加上四 d， 他就等于了五个 d， 就 a 五的话，把它写成一加上四 d， 然后后面就是五个 d， 那么可以算出来 d 的话，应该就等于一了， 那么 d 知道了，然后手相也知道了，所以 a n 这个数列的话啊，他就是 a n 应该就等于一加上 n 再减去个一啊，所以等于 n。 好，然后后面求那个等比数列，那么根据已知条件， b 一是等于一的 b 五，他等于了四倍的 b 四减去 b 三，那么根据已知条件，我可以得到 q 的四次，他应该是等于四倍的 q 三减去一个 q 二啊， q 的平方，然后把这个式子啊进行一个化解， 那么也就是呃， q 的四次方减去四倍的 q 三，再加上一个四倍的 q 方等于零，然后两边同时除个 q 方啊，那么 q 的平方减去一个 个四， q 加上一个四就等于零啊，那么这个应该是一个完全平方的展开，所以的话 q 就等于二啊，所以这个 bn 他就等于二的 n 次减一。好，这个的话就是用基本量法来进行一个求解。 好，然后下面我们看一下用降序相减的方法来进行求解的。 我们首先看一下这个公式啊，这是他的一个呃求和前前恩象合的一个公式，这 sn 的话啊，等于 a 一加到了 an， 然后 sn 减一就是少一项啊，那么他是加到 a 的 n 减一次的， 然后我们就可以得到这个嗯，通向啊，他其实就是两个求和的相减就可以了啊，那这里要注意， 就是你在减的时候，他是 n 大于二的，所以我们还到最后啊，基本上都是要检验一下，当 n 等于一的时候，这个 a 一是不是等于 s 一，也就是说这两个公式是不是可以合起来啊，如果合起来的话，就只要写一个式子就可以了， 咱们来看一下这个标啊，这里出列前 n 项和为 sn， 然后已真的是两倍的 sn 等于三个 n 加上了三，要求 a 的一个通向，然后根据已知的条件， 二倍的 sn 他是等于三 n 加上三啊，所以的话我先求出 a 一，那 a 一的话， s 一相当于就是 a 一，所以这里直接改写成两倍的 a 一等于了三，等于四方加个三，所以 a 一的话求出来就等于三的，那么当这个 啊 n 大于一的时候，也就是 n 大于等于二的时候啊，那么两倍的 sn 减一，就我少一下，那么他套进去应该是三的 n 四减一，再加个三， 好，那这样的话， sn 减一的话，相当于是两倍的 an， 那就等于了两倍的 sn 减去两倍的 a 三减一 啊，这的话就是一个通向啊，然后的话我们再把这个整体进行带入啊，两倍的 sn， 他就是 三个 n 啊，三的 n 次方加个三，再减去一个，三的 n 减一次，加上个三。 好，然后所以的话啊，把它化解一下，那就三的 n 次方减去了三的 n 次减一 啊，那么也就是两倍的 a n 啊，他等于这个，那么 a n 的话，我们就可以求的出来啊， a 的 n 次方，他其实就是三的 n 次减去了，三的 n 减一，再除个二就可以了。好，那这里的话其实还可以再化减一下啊， 这三的 n 四减去三的 n 四的话，你可以先把它提个供应式出来，那就三的 nn 减一次，把它提出来，那第一个还剩个三，第二个的话就剩个一了啊，所以的话把它除个二之后，就相当于抵消掉了，那么三的 n 次减一。 好，然后这里的话，你可以把这个 a 给带进去检验一下啊，然后你会发现他应该拼不起来了，所以 a 的话，他应该有两个，一个是等于三，就是当 n 等于一的时候，还有这三 n 减一，当 n 大于一的时候啊，或者 你写大于等于二的时候也可以， 下面我们看立三 啊，已知数列 an 满足了 a 一加上三倍的 a 二，再加上三的平方 a 三啊，这样连加加到三的 n 减一次，乘 a n 等于了三分之 n 加一，然后让你求这个数列的一个通向公式。好，那这里的话，我们还是一样，首先求出 a 一， 那 a 一的话，只要当这个 n 等于一的时候，我就可以求助 a 一了， a 一的话就等于了二分之三啊，就直接套到公式里就可以了。那么当这个 n 大于等于二十 啊，你写 n 大于或者写 n 大于等于二都可以啊，就一个取等号了，一个没取等号啊，然后那么 a 一加上三倍的 a 二，再加上点点点，加上 n 减二，然后 a 的 n 减一次，那么就等于三分钟啊，这一步的话，实际上我们就是把它的 前 n 减一项的和给算出来，因为题目给我们的是到 n 项的，然后我们现在这里的话需要到的是 n 减一项，这样的我做叉之后，他就会哎，一个抵消掉， 那我们把题目给我们的这个式子称之为一式，然后刚刚写的这个称之为二式，那么一式减去二式啊，你就会发现他的某些项目就会抵消掉 一减二，比方说他的第一项 a 一就会和这个 a 一抵消，三的二 a 四，那么和这个三的二 a 四，他就会抵消，那第三个和第三个抵消，所以到最后啊，剩下来的他其实剩的只有这个三的 n 减一次，乘上 a 的 n 次，就左边啊，他的前面的全部都会抵消，只剩下了最后这一项，然后等于后面也一样，那后面的话就直接相减就可以了， 就是整个方程左边减左边，右边减右边，然后这个减出来就得三分之一啊，所以的话，我这个 an 他就应该等于 一除上一个三的 n 次方啊，就直接两边同时除以三的 n 减一次，那么算出来就这个 啊，所以的话，我这里啊， a n 它的通向啊，就等于了三分之二，就到 n 等于一的时候，然后下面一个是三的 n 次分之一，当 n 大于等于二的时候， 下面我们 看累加法啊，首先知道一下啊，什么叫做累加法啊，如果地推公式它是写成这种形式的，那么可以用累加法来求一个通向公式，也就说这个等号的左边它是 a 的 n 加一减去 a n 啊，它两个差一项， 然后右边的话啊，它是一个关于 n 的一个表达式啊，这里的话用直接用 fn 来代替了啊，并且是能够进行这种求和的。然后还有一个前提就是这两个系数必须要相同，你系数不相同的话，你就抵消不了啊啊，所以到最后啊，就是一个做叉的形式啊，主要还是一个做叉的形式好，那么相应的来看一下立体 啊，看下历史啊，然后已知等差数列，他告诉你这是一个等差数列，嗯，满足了这么一个形式，然后数列 b 的话啊，满足的是后面这个式子啊， n 是属于这种数的， 然后求竖列 a n 和 b n 的一个通向公式。好，那我们发现 a n 的话，就是他前面的 a n， 他应该没有满足，说两个式子减一减，就没有满足这个做差的形式啊， 那么这个时候应该怎么做？我们可以直接呃设一下，就先列两个式子， a 的一词加上一个 a 的二次啊，他应该等于一，就是当 n 等于一的时候，把它这个式子给写出来，然后再写一个 a 等于二的时候，这个式子 把它写出来，因为它是一个等差数的呀，所以的话，你可以把它当做一个二元一次方程组来进行求解， 那这样的话啊，再把它写成这个手相和公叉的形式啊，等于一，下面这个呢，应该是三个 ae 加上四倍的 d， 他应该就等于四 啊，然后可以把这个方程给解出来啊， a 一的话应该等于零啊， d 的话应该等于一啊，所以的话，我这个 a n 啊，就直接根据他的公式写出来就可以了， a 一加上一个 n 减一的 d 词啊 d， 然后就等于 n 减一， 这个的话就是一个 an 的一个通向啊，接下来我们看这个 b 的通向啊， bn 的话，那么他这里他是相减的一个形式，所以的话，我可以根据前面的那个做法来进行求解 啊。这里的话，当 n 等于一的时候，我们先写一下， n 等于一的时候， b 二减去一个 b 一应该等于三倍的 a 一， 好，那么 n 等于二的时候， b 的三次减去一个 b 的二次等于三倍的 a 二， n 等于三的时候，那么 b 的四次减去一个 b 的三次等于三倍的三的 a 三次方， 然后 n 的四次 n 等于四的时候呢，就 b 的五次减去一个 b 的四次等于三倍的 a 四， 好，那么点点点啊，省略一下，当 n 等于了 n 减一的时候，那么就可以求到 b 的 n 啊， bn 减去一个 bn 减一，那么他就等于三的 an 减去一。 好，这个时候啊，你就会发现，如果我把这两个式子啊给进行一个累加啊，进行求和，那么我们就可以得到这么一个式子， 因为你左边加左边啊，右边加右边之后，那么你会发现加起来的话，那个 b 二和下面的 b 二就抵消了， b 三和 b 三抵消， b 四和 b 四抵消，那么到最后的话，他应该剩下的就只有一个 bn 了。还有第一项的一个 b 一，那把它加起来之后， b 的 n b n 啊减去一个 b 一，那么等于了，然后再把右边给加起来，右边的话就三的 a 一次加上三的 a 二次加三的 a 三次加加加，加到最后加到的应该是三的 a n 减一次方 好，那这个这样加起来的话，我们把这个呃 b 一给移过来，那么 bn bn 的话，应该 b 一移过来，加上 后面 a 一的话，因为是等于零的，所以就是三的零次加上一个三的一次，然后再加三的二次，这样加这个加加到最后应该是三的 n 减二次放， 然后后面再加一个一啊，就是前面这个 b 的，然后把它化解一下，那么他应该是等于三的零次去乘上一个一减去三的 n 减一次， 除上一个一减三啊，因为后面的话，他其实是一个等比数列，等比数列，所以你直接套等比数列的公式就可以了。然后最后再加上个一啊，就前面那个 b 一把它给加上来，然后把这个数字给化解一下 啊，化解一下，应该是三的 n 减一次加个一啊，下面的话应该是二， 然后我们再检验一下，就是 b 一等于一的，那么把它带进去之后，你会发现这个是满足了这个式子的啊，符合上市的，所以的话我可以把两个给合起来 啊 bn 等于了三的 n 减一，加上个一除以二，同时 n 是属于这个正成数的，就把 b 带到这个数字里面，他也是满足的，所以我们可以把两个数字给合起来，就不用像前面的那个要一定要分开写 好这个的话就是用雷加法来进行一个球通，那我们再来看一下利物已知这个竖列啊，他是一个组合型的竖列啊，然后前恩向和为恩，然后竖 数列 b 满足了 b 一等于啊一，然后 bn 加一，减去一个 bn， 他是等于了 an 的，要你求这两个数列的通向公式。 好，那么根据已知的第一个条件，我们可以先把啊 n 这个一个式字给写出来，就把他前任上和等于 n 给写出来，那么应该是这样直接带进去， a 一减一，加上，上面应该二， a 二减一，加上 点点点，再加上 n， 除上一个 a， n 减一，然后那么他应该等于 n 啊，因为他告诉你签 n 项的和尾 n， 然后这个的话是当呃等于 n 的时候，然后再再来一个，当 n 大于等于二十， 我们要求一个 n 减一项的一个啊前 n 相合，那么前面的还是一样 减去一个亿 点这个一，然后加上两倍的 a 二减一， 加啊，加加，加，到最后我们少加一项 n 减一，那么下面就是 a n 减一，再减个一，那么他的话他应该就等于 n 减一了，因为他这里告诉你，前一项和为 n， 那么少了一项，那就是相当于是 n 减一了，然后这个式子啊，称为第二个式子， 那么还是要把两个式子给进行相减就好了，一式减去二式，那么他前面的这几项他都会抵消掉。相减的话，那么第一项和第一项抵消，第二项和第二项抵消， 全部都底下掉，那么剩下来的应该就只有最后这一项了，就只有这一项了。所以啊，左边的话，他应该就等于 n 除上一个 an 减一， 然后右边的话 n 减去了， n 减一，那么应该就等于一啊，所以的话啊，然后把这个数字化减一下，那么 n 的话就等于 n 加一了啊，这个前提是 a 大于等于二的时候，然后我们那么我们还要算一个，当 n 等于一的时候啊，当 n 等于一是， 那么直接套公式，就他给你的这个式子，那么算出来 a 应该等于二啊， a 等于二， a 等于二的话啊，你把他带进去，你会发现他是就是满足上面这个式子的，这个式子他也是满足的，所以的话，我们可以把两个式子合起来， a n 的话，他就等于 n 加一。 下面我们看第二个球通向球 b 的那个通向，把它小一点 啊，球币的通向的话，呃，根据他给的这个数列的一个形式，我们就直接用雷加法就可以了。 好，当 n 等于一时，我们把这个四字写出来， b 二减去 b 一等于了 a 一， n 等于二的时候，那么 b 三减去一个 b 二等于了 a 二啊， n 等于三的时候， b 四减 b 三等于 a 三 啊，通常的话我们就写个前面写个两三个，然后后面也写个两三个就可以了，当你熟练之后啊，就可以少写一点 n 等于 n 减一，然后下面的话啊，也一样， b 的 n 次减去的， b 的 n 减一次啊，因为我们要少写一下，那么就等于了 a 的 n 减一次 好，然后的话啊，就进行一个累加就可以了，把它左边哎加起来，左边加起来的话，你会发现他剩下的只有 bn 减去一个 b 一右边加起来，那么他就直接想求和就可以了。 a 一 a 二 a 三讲加啊，加到最后应该是加到了 a 的 n 减一次 好，然后把这个 b 一把这边的这个 b 一给移过来，那么 bn 啊，就等于了 b 一加上 a 一加 a 二 加加加加，加到最后就是 a 的 n 减一次，那么他的话其实就是一加二加三加加加加，加到最后加一个 n 啊，那么这个球和的话就是一个高四球和 n 加一乘上一个 n 在储钢， 然后我们还是一样要检验一下，就当这个 n 等于一的时候啊， b 一是不是满足条件，那 b 一的话应该是满足的，因为他告诉我 b 一等于一， b 等于，那么直接带进去啊，他是成立的，所以合起来 bn 这个通向，那就是 刚刚求出来的 n 加一乘上 n 再出杆。 好，下面我们来看一下这个垒乘法 啊，如果地推公式啊，他是一个除法的形式的，然后那么就可以利用累乘法来进行一个求解，就两个是 a 灯加一除上一个 n 啊，他是一个除法的形式， 那这样的话通过累成他就会抵消掉，到最后就只剩下要求的了。那我们看个立体， 他说已知数列 a 啊，满足了这么一个形式，然后还告诉你 a 二是等于九的啊，求数列 a 的一个通向公式， 那这个时候你会发现他给的这个条件和前面这个公式的形式不太一样 啊，所以的话，我们这里啊需要进行一个变形，我们把这个直接变一下形啊，啊，首先的话就改成这样， an 加一减去个一， 然后除上 a， n 减一等于了两倍的 n 加一去除上一个 n 啊，就相当于把后面的这个式子给除了过来，然后把 n 也除了过来， 就两边同时除上这个啊，那么他就变成题目要求的这种形式，就我们这个结论啊，常见的一个形式。然后我们就需要算一下 a 啊，当 n 等于一 的时候，还是当用大于等于二的时候，当等于一的时候把它带进来，那么 a 二减去个一，除上一个 a 一减去个一，那他就等于四 啊，那么把这个狮子啊给花减一下， a 二减去四倍的 a 一加上一个三，等于了零啊，那么算出来 a 一的话，应该就等于三啊，因为 a 二已经告诉我们了，直接带进来就可以了。好，然后再算一个，当这个 n 大于等于二十。 好，大于等于二十啊，那我们需要写几个 n 等于一的话，那么它是 a 二减一去除上一个 a 一减一等于二乘二除以 啊，这个的话其实就是根据第一个式子来的啊，因为我们是用的上的，所以我就多写了一个 n 等于二，那么 a 三 减去个一， a 二减去个一，等于了二乘以三除个二，然后 n 等于三的时候，那就是 a 四减一，除上一个 a， 三减一，等于二乘以五，除上一个四， 然后我们可以再写这个 n 等于四的时候， 我这里啊，上面这一步写错了，我们重来一下， 呃， a 二的话应该是对的，然后 n 等于三的时候，他应该是 a 四， a 四减一，除上一个 a， 三减一等于二乘以四， 除上一个二，他除上一个三。 n 等于四的时候，那么他应该是 a 五减一，除上一个 a， 四减一，等于二， 二乘以五，除上一个四。好，然后相应的 n 等于 n 减一的时候，那么可以得到 a n 减去个一，除上一个 a 的 n 减一，再减去个一啊，他应该等于了二乘以 n， 再除上一个 n 减一。 好，把这几个写出来之后，然后我们就进行一个累成。就是方程的左边啊，这个应该算一个方程，这几个方程。把他的左边全部乘起来，然后把他右边啊也全部乘起来，这样就可以了 啊。左边乘起来的话，我们写一下，他应该是 a 二，我们把前面的放小一点， 把这门缩小点。 好，那这样的话，呃，昨天乘起来，他应该是 a 二减一， a 一减一，乘上一个 a， 三减一，除上 a 二减一，然后 a 四减一， a 三减一乘上，那就直接就省略好了零点啊，到最后乘上的应该是 a 的 n 减一，除上一个 a 的 n 减一，再减个一 啊，左边乘起来的话，他应该是这样一部分，那么你会发现他这些其实都是可以抵消的啊，这边都是可以抵消的，那么到最后应该是上面这个和下面这个给进行一个抵消，所以的话啊，到最后他乘起来的话，应该是 a 的 n 减一，除上一个 a 一去减去个 一好，然后同样的把右边也乘起来，那右边的话他是这样，二乘以二，乘上二乘以三，除以二，再乘上二乘以四， 除以三啊，乘上二乘以五，除以四，到最后把乘的应该是二 n 啊，去除上一个 n 减去一，好，那么这样的话，后面那个乘起来 他会，哎，看一下，这样是抵消掉啊，这边的二和这个二抵消，三和三抵消，四和四抵消，那么到最后这个 n 减一，应该会和上面这个 n 减一给抵消掉啊，也就是说还剩下的应该就是，呃，下面 应该就是全部抵消掉了，上面的话我这里会出现这些二都是留着的，这几个二都是留着，那二的话，他总共有 n 减一个二，所以的话就是二的 n 减一次，但是最后一个这个 n 他是抵消不了的，所以的话我再乘个 n 上去，那么化解出来他应该是这个样子的， 所以的话就是 a n 减一，去除上一个 a 一减一，应该是等于二的 n 次减一，再乘个 n， 好，这个好了之后，然后我们把这个 a 一给带进来，因为 a 一他告诉你是等于九的 啊，不是 a 二是等于九啊，那 a 一的话，我们前面应该算了，等于等于是三啊，等于三，所以的话呢， a 的 n 减 n 减一啊，他应该等于下面这个减一，减呢，就是二了，所以乘个上去的话，他就是二的 n 次，再乘个 n， 所以啊，把 这个一移过来，二的 n 次乘个 n 再加上个一啊，这个的话就是一个 an 的通向公式， 下面我们再看一下例期啊，这里的话啊，是个数列 an 啊，他的前恩相合 sn 他是满足了 a 一等于二，三倍的 sn， 他等于了 m 加 n， 然后再乘个 an， m 的话是属于时速的，让你求 m 的词和一个 an 的通向公式啊，那这里的话啊，我们可以怎么样进行求解啊？ 首先根据这个已知条件，把 m 的值给求出来，就根据他把 m 的值求出来，因为这个已知三倍的 sn 等于了， 那么我就可以得到三倍的 s 一，等于三倍的 a 一，那就等于了这个一加上 m a 好，然后的话，那么直接就可以算得出来啊， m 的话应该就等于二， 因为你根据这个和这个啊，那 m 他就只能等于二，而根据这个后面的这部分，那么 m 只能等于二啊，所以的话，这个三倍的 sn， 他就等于了 n 加二，去乘上一个 a 的 n 次 啊，我们把这个式子看成是一十，然后再写一个二十，二十的话，就是当 n 大于等于二的时候，那么三倍的 sn 减一，就等于 n 加一，去乘上一个 n 减一啊，点点点，这个把它看成是二十，然后一是减二，是 啊，一是减二是，那么就可以得到三倍的 sn 减去一个三倍的 sn 减一啊，他应该等于啊，后面两个也减一，减 n 加二，乘上一个 a 的 n 次减去一个 n 加一，乘上一个 a， n 减一 啊，然后前面的两个剪一剪啊，他实际上就是三倍的 an， 然后后面的这个啊，我们就可以把它给照抄下来 啊，都拆下来啊，这两个的话应该是相等的。好，然后这个的时候啊，我们再进行一个化解，就相当于解放之后把括号去掉化解一下， 那么他就可以得到 n 减一啊，他的 n 等于了 n 加一，乘上一个 n 减一啊，就是把这个括号去掉之后，然后含有 a n 的这个像啊，给移到左边来， n 减 a， n 减一，这个像啊，留在右边就好了。 好，所以的话这里 a n 去除上一个 a 的 n 减一，他等于了 n 加一，去除上一个 n 减一。 好的，到这里的话，你就会发现他是我们这种公式里面的这个形式啊， a n 去除上一个 a， a n 减一。 好，然后接下来的话就是 n 等于一， n 等于二，等于三，这样把这几个情况给写下来就可以了， 我们把它给缩小一点， 谢谢。这里的话， a 二除个上一个 a 一就等于啊一分之三，然后是 a 三去除上一个 a 二，他等于了二分之四， a 四除上 a 三，他就等于三分之五，然后点点点啊，写到 a n 减一，除个 a n 减二， 他应该等于 n 除上一个 n 减二，然后下面啊再写一个 a n 除上一个 a 的 n 减一，他应该等于 n 加一，去除上一个 n 减一。好，然后的话要进行一个雷辰 啊，进行一个内存就可以了，那么左边乘起来的话，他剩下的像应该是 an， 就其他就全部抵消掉了， 然后，呃，右边的话，他乘起来应该就是 n 去乘上一个 n 加一， 然后我们再检验一下，就是 a 一，他应该是等于了二啊，这里题目告诉我们了， a 一是等于二的，然后把这个二给带进去检验一下啊，你会发现他是成立的，他就一乘以一加一啊，所以他也是等于二啊，他是符合这个式子的， 他符合上市，所以的话 an 啊，就直接写一个就可以了， n 乘上一个 n 加一，然后，呃，这里的话应该是点调掉啊， n 的话应该是属于这个正整数的， 这个的话就是求他的一个通向公式。好，下面我们看一下第八题啊 啊，第八题他是一个取到数法来进行求解啊，就是已知的数字不太好求啊，已知的这个数列不太好求，然后的话我们会把它进行 进一个渠道数来进行求解，那这里他说这个数列 n 满足了 an 等于了后面这个数字，然后 a 一是等于二分之一的，要你求他的一个通向 啊。这里啊，我们首先把这个已知条件给取一个倒数，这 a n 分之一等于二的 a n 减一，再加个一啊，除上一个 a n 减一啊，然后可以把它进行一个拆下啊， 二加上一个一除伤，就把这个分数给拆开啊，拆开了之后，那你会发现这个设置的话，其实啊，就是手相是二 啊，手相为二，然后弓叉的话应该也是二，弓叉为二的一个等差数点啊，因为 a 分之一的话， a 一他是等于二分之一的，那么 a 一分之一他就等于二， 所以的话他就是手相是二的，然后工叉的话就是二，那看这个四字应该能够看得出来，所以的话啊，他实际上我可以把它换种形式啊， a 的 n 字等于二，加上 n 减一乘上二 啊，那么他就等于二 n， 然后 a n 分之一是等于二 n 的，所以的话这个 a n 他就等于二 n 分之一啊，那么答案的话就选择 a 了 啊，这个的话就是一个取倒数的方法啊，来进行求通向啊，今天我们主要讲的啊，就是数列里面求通向公式的几种常见的方法啊，如果能够听得懂的，请记得给我点个赞联。

接下来就比较重要了，接下来我们就要正式进入数列的一个公式的一些相关内容了。第一个公式就是大家熟知的数列的通向公式，那么究竟什么是通向公式呢？其实通过这四个字大家也能够知道通向， 我们说通向是不是就通用于每一项的这样一个公式呀？哎，通用于每一项的这个公式，所以说那这个通向公式 究竟是什么呢？就是说每一项我们都可以给他利用一个公式给算出来，所以我们来看他的定义。如果说数列 an 的 dn 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式。数列的 d 第 n 项就叫做数列的通项。好，这个定义有点长，但其实说的就是什么？就是数列的 任何一项，也就是说 d n 项，这个 n 是任意取的，与 d n 项 a， n 和它的序号 n 之间 一定是存在某一种关系，而这个关系你是能够用一个公式给他表达出来的，从而在这个数列当中，无论说你让你求哪一项，你都能够利用这个公式把这一项给求出来来。我们举个例子， 比如说就这个最简单的自然数列，一二三四五六七一直增大，那么这个数列呀，它的通向公式是什么样？我们按照这个定义来找一下 dn 项 an 和序号 n 之间有什么样的关系来。那么第一一是第一项，那么他的这个序号其实也就是他的位置，对吧？序号就是一， 第一项是一，那么第二项呢？是二，第三项是三，第四项是四，后面五， 第五项是五，第六项是六，第七项是七，按照这个规律一直走，走到第 n 项的时候，你能不能知道他的第 n 项是几呢？哎，找规律嘛，肯定是七了。呃，肯定是 n 了，对吧？你看我说的有点激动， d n 项是不是就是 n 呀？ d n 项就是 n 吧，所以你发现了没有， 这个序号 n 和 d n 项是不是有关系？什么样的一个关系呢？我们用一个是再来表述 d n 项，我们用 a n 来表示序号， n 是几， d n 项就是几吧，是不是这个意思？所以 a n 等于 n， 对不对？诶，那么这个式子表示的就是这个序号 n 和 d n 项 a n 之间的关系，而它就是一二三四五六七这个数列的一个通向公式， 听明白了吗？哎，这个是最简单的一个，所以其实我们主要就是去找规律啊。总结三个字，求通向公式，就是去找规律。好， 那么这块了解了吧？

这个视频我带你学习，通过观察数列规律来写通向公式。之前你已经知道，通向公式就是把数列的第 n 项 a n 写成一个关于 n 的函数 f n。 因此，写通向公式的关键就在于搞清楚 a、 n 和橡树 n 的关系。 比如最简单的正整数列一二三四五，第几项就是几。通向公式 an 就等于 n， 而偶数数列二四六八十，第一项是二乘一，第二项是二乘二，第几项就是二乘几。通向公式 an 就等于二 n 基数数列一三五七九，他的每一项都是上面偶数数列对应向减一，同项公式就是 an 等于二， n 减一了。再比如，数列一四九、十六、二十五，这是一的平方，这是二的平方，这是三的平方。第几项就恰好是几的平方，那第人项 an 自然就等于 n 的平方，同 办公室就是 an 等于 n 方。看来，你只要从简单的情况入手，把数列前几项与项数的关系都用统一的方式写出来，就能把 dn 像 an 的关系给写出来，也就写出通相公式了。 带着这个想法，我再教你两类竖列的通向公式。第一个竖列一二四八十六，这个简单，他们都是二的指数密，那因就等于二点四方。哎，等等，好像哪里不对？ 你看，第一项要是二的一次方，就应该是二，而不是一啊。其实一是二的零次方，而第二项二是二的一次方。第三项四是二的二次方。第几项其实是二的几减一次方，这个数列应该是 an 等于二的 n 减一次方才对。 所以看出规律，写完通向以后，要通过头几个数进行检验，要是发现不对，很可能需要针对橡树 n 进行一定的调整。第二个， 二五十、十七、二十六。这个数列乍一看好像没什么规律，但我把一四九十六、二十五给你写在下面，你再看看，发现了吧，这个数列就是平方数列，每一项加一，那第几项就是几的平方再加一，所以他的通向公式就是 an 等于 n 方加一了。 以上两个例子其实都是简单数列的变异，第一个是指数数列在橡树上做了错位，第二个是平方数列整体加了个一。这也是最常见的两种变异方式，即橡树错位或加减长数。你只要记得识别这两种变异，在通向故事上相应调整即可。 变异的看完了，最后再来学习一个分数数列，这个分数数列通向不能直接写出来，但你把分子分母拆开看，分子是二三四五六，那也就是 n 加一，而分母是一、四九十六、二十五，也就是 n 的平方， 把他们合到一起，通向公式就是 an 等于 n 方分成三加一了。可见遇到分数数列时，通常要把分子分母拆开分别写出来，再合到一起就行了。 好，进入总结时间。这个视频我主要介绍了如何找规律写通向公式。通常情况下，你只要把竖列前几项与项数的关系用统一的方式写出来，就可以得出第 n 项 a、 n 的关系，也就是通向公式了。 不过在具体写的时候，有两点需要提醒你注意。首先要留意两种常见的变异方式，想出错位和加减长数 这两种变异方式都需要你在通向公式上做相应的调整。其次是写分数数列的通向，你可以尝试把分子分部的通向都找到，然后合成完整的通向。怎么样？写通向的方法和注意点都已授予你了，赶紧用它去秒杀题目吧。

这个视频我们来复习一下由地推公式求通向的方法。首先第一个公式法，这个公式法指的是这个 an 通向和 sn 他们之间的公式，那 an 是等于 sn 减去个 sn 减一，也就前 a 相合，减去前 n 减一，相合，那就是第 n 相，那这里面的 n 当然是要大于等于二啊，大于等于二， 那如果题目中已知条件有 sn 让你求 an， 那我们就自然而然就会想到这个公式， an 是等于 sn 减去 sn 减一的，那比如说这个题他给的条件是 sn 是等于三分之一 a a n 减一，也就 sn 和 an 的关系关系是知道了，那我们要求 an， 那我们可以借助这个公式啊，这个公式那有已知条件，这个是 sn 有了 sn 等于三分之一， a n 减一，那我根据这个条件，那我把这个 n 变成 n 减一， sn 减一呢？就等于三分之一， an 减一减一，那这个式子我把它组成 方程组做叉啊，这是一式，二式，我们把它做叉，一式减去二式，哎，他俩一减就会得出来是 an 啊，把 anan 等于这个是三分之一，这里面相减的话，就是 an 减 减去 a n 减一，负一，减负一就是零，然后我们得到这，那这样我们就可以得出来 a n 和 a n 减一的地图公式。那我我们来化解一下，我把它移到这边来，那就是三分之二， a n 就等于负的三分之一， a n 减一，那 我们把它除过来啊，把两边同时除以三分之二，那么就等于 a n 就等于负的二分之一 an 减一。哎，这就是 an 和 an 减一的地图公式啊。这地图公式出来了，那么一看，后一项除以前一项呢，是 负二啊，负二，这里面呢，这里面是指的是 n 大于等于零的情况啊，当这是当 n 大于等于零时，当 n 大于等于二十啊，当 n 大于等于二十，那么当 n 等于一十呢？ n 等于一十，我们也再再拿来看， a 等于是一十，那么 a 一呢，就等于 s 一， s 一呢，就等于三分之一， a 一减一， 那这个式子我们就可以得到这关于这个关于 a 一的方程，我们把它求出来， a 一呢，是等于 减过来三分之啊，三分之二，这个是负三分之一，负三分之一，那一除也是负四， a 一也是等于负二分之一，哎，这个是后向比个前向也是负二分之一， 那这是一个等比数列，并且首相是二分负二分之一，呃，功比也是负二分之一，那么所以我们就可以得出来 啊， an 这个竖链为等比等比竖链，且他这个手相手相 为负二分之一，公比呢，为负二分之一，那这些首相公比都知道了，那他的头像也就知道了，所以说 an 呢，是等于负二分之一的 n 次方啊， n 次方，这就是他的通向导出来了啊，这是公示法啊，公示法 第二种方法呢，是累加法。累加法是解决什么？如果题目中有这种形如这样的，就是 an 和 an 减一的关系是 是差一个 n 的函数啊，差一个 n 的函数，哎，我们这个，并且这个 n 的函数能够求和这种的，我们通常是用类加法求通向 an 的啊，这样的一个通地推公式，如果条件停不中的条件里面出现他了， 那么我们就用累加法，那么这种，你比如说这个题，对于这个题来说，那 是，哎，这是后一项减去前一项等于 n 啊，后一项减去前一项等于 nn 就是关于这是 n 的一个 n 的一个函数啊，那我们要求通向的话，那我们可以写成 a n， 他可以等于用雷加法啊，他是可以等于 a n 减去 a， n 减一啊这种形式，然后再加上一个 a， n 减一，减去个 a， n 减二， 这样的话，他一加的话就中间像就消掉了，我再继续加加点点点，一直加到二五递减啊，一直加到 a 二减去 a 一， a 二减去 a 一，中间像都会消掉，留个 an 减去 a 一，那我最后还要加上 a 一才等于 an 啊。是这样，把这些像都垒加起来，加起来。对于这个项来说，我们有这样的一个 t 对公式，对，对公式。当 n 等于 n 减一的时候 啊， n 等 n 等于 n 减一的时候，那么就是 an， 这个左边的这个诗词呢，就是 an 减去 nan 减一后，右边呢是 n 减一，那就是 n 减一， 这个这个呢是 n 减二，加上点点点，一直加到这个是等于一，那么后面 a 一呢？也是一，我们再加上一啊，再加上一， 哎，这个是是一个等差数列，这前面这，这像是等差数列，等差数列求和。那我可以用手相加尾相乘以相数除以二， 首相是 n 减一，加上尾相一，再乘以像数是 n 减一，然后再除以二，再加上一，我们把它化减以后，哎，这个是 n， 那就等于 n 乘一个 n 减一，除以二加一，哎，这通向我们就 得出来的啊，这是雷家得来的啊，雷家得来的，把中间像全部消掉了，雷家，雷家得来，然后，哎，我们是 an 倒倒出来，是这样的一个式子啊， an， 这里面当然是我们是 当 n 大于等于二十啊，当 n 大于等于二十是这样，那么再看一下 n 等于 一的时候啊，也就是 n 等于一的时候，这个式子成立不成立呢？也就是你看 n 把 n 等于一带进去，一减一是零，哎，等于一，哎，跟已知条件 a 一是等于一，是也是满足的，也就是说，又因为嗯， a 一等于一，也满足上市， 也满足上市，那么所以我们这个 an 呢，通向公式就出来了，就是他是二分之 n 乘以 n 减一加一，这是累加累加法。我们如果一次条件是这个样子，长这个样子的话，我们就用累加的方法求出通向。 第三种方法呢，是累成的方法，累成的方法呢，是形如是这样，如果条件中 他的地推公式长这个样子， a n 等于 a， n 等于 fn 乘以 an 减一，当然呢，这个是 an 的，不可能等于，不能等于零啊， an 是不能等于零的， n 呢，是大于等于二，大于等于二， 那这个时候，那我们就用累成的方法，那也就是这个 an， 我们可以写成 an， 比个 an 减一，乘上一个 a， n 减一，比个 a， n 减二，乘上点点点，一直在乘到 a 二减乘以除以 a 二，除以 a 一，然后再乘以 a 一啊，这个中间像全部消掉了，包括最后 a 一和 a 一消掉，就等于 a 啊，那这个我们有这个关系啊，那这对于这个来说，那就是他就是 fn 呢，对于他来说呢，就是 fn 减一， 那到最后点点点乘上 a 二呢？对来说，那就是 f 二，那乘上 f 二，然后最后再乘上 a 一，就可以了啊，这样，这样我们并并且这个 fn 可以累成，累成有结果啊，可以计算出来， 那就可以用累成法啊，就可以累成法，那我们看这个这个例子。三，他给的条件是这样的，那给他条件，我要对他看，他，对他进行变形啊，合并同对象，把这个，这里有 anan， 我的一道 左边啊，由题之 an 一到左边以后呢，就是 一加上 n 啊，一加上 n 的 an 乘以 an， 然后这个是 nan 加一，那那我们现在就可以得出来 an 啊，所以说 an 加一就等于就等于把这个 n 除 过来，那就是 n 分之一加 n 乘以 a n， 哎，这样的一个，我们得出来是这样的一个地推公式啊，地推公式，像这种 n 加一， n， 这两个就是紧邻的啊，这是他们之间的关系，就是差了一个 fnb 啊， fnb， 这是关于 n 的一个函数，那我们就可以用累乘的方法，那么当 n 大于等于二十， n 大于等于二十，那么 a n 呢？是等于 a n 比个 a n 减一，然后乘上一个 a， n 减一，比个 a n 减二，然后乘乘上一个点点点，然后再乘上 a 二，一个 a 一，再乘一个 a 一，那 对于他来说，我们可以通过这个地推公式得到这个，当 n 等于 n 减一的时候，那么就可以得到出来是把 n 减一换成 n 减一， n 减一，那么上面是 n， 下面是 n 减一，这个呢就是 n 减二， n 减二，分至 n 减一，乘以点点点乘以点点点，一直乘到这个是一啊，上面是二，二比一，二比一， 当是 n 等于一的时候啊，那这个是 a 二比个 a 一，那么就是二比一，那么 a 一呢？我们知道一致条件是一，那这样一乘全都消掉了啊，后面全部消掉了，就等于 n 啊， an 是等于 n 的，那我们再带 a 一成立，不成立 a 一带进去， a 一就等于一和一致条件成立的。所以说右 a 一等于一，满足上市啊，也满足上市， 所以 a n 就等于 n 啊， an 等于 n， 我们就可以得出来，通向是 an 等于 n， 这是累成法啊。累成法，我们只要提示遇到了这种情况，我们就首先想到的是累成的方法。 第四种方法是构造等差数列的方法，那么这种的情景比较多一些，那他形形同于，就是两边同处法啊，或者叫两边同处法。我们直接找一个例子 啊，看一下啊。对于这种这个题，我把这个狮子变形一下啊，根据这个一条件，我把它变形，变形得到，也就是把分母乘过来，乘过来就得出来是二， an 加一乘上 an 加上一个 a n 加一，再等于 a n， 然后两边同除，我们同除异，同除异， a n 加一乘以 a n 啊，我们同除异，他 得到，哎，这个就变成二了，这个同除异，他呢就变成了 a n 分之一，这个同除异，这个是这个，他俩乘级的话，就等于 a n 加一分之一，哎，这样我们就可以得构造一个新的数列，并且是个等差数列，他俩 差值呢？这个数列的差值，这是后一项，后一项减去前一项是等于固定的二的。那也我我写的几把它写，写的更准确一些，就是 a n 加一分之一，减去个 an 分之一是等于二的，这后一项减去前一项是一个 等差啊，等于二等差。嗯，那我们来看一下，那所以说我们就可以得出来啊，这个新的数列吗？构造一个新的数列是 an 分之一是等差数列， 等差数列，那且这个手相是多少呢？我们可以看出来，手相，手相是 a 一百 分之一呗， a 一是一，那么首相是一呗，首相 a 一分之一是一，公差呢是二，公差为二，那么首相有公差，有那个通向，我们就可以写出来， a n 分之一呢，就等于首相是一，加上一个 n 减一，通向公式 乘以二，那么就是二 n 减一，二 n 减一，那么所以我们就可以得出来， a n 呢，就等于 我们取倒数，两边取倒数二， n 减一分之一，哎，就倒出来了啊，这个是 构造一个等差数列啊，两边同除法啊，如果遇到这种这种的比较复杂的式子，你看是不是可以构造一个等差数列啊，两边同处一个数，来构造一个等差数列，这是这种题型，我们再看还有一种 是构造等比数列的，那么也就是待定系数法啊，待定系数法，那么这种 这种呢？我们是行如如果一次条件有这样的， a n 加一等于 p， a n 加上一个 q 啊，这样的关系，他们这样的也有关系的啊， a n 加一，这个地推关系，这个地推关系的话，那我们就可以用 构造等比数雷叫待定系数法，我们引入引述一个待定系数啊，待定系数，比如说 lam 的啊，他的步骤呢？是这样的，我们引入一个 lam 的， an 加一，我加上一个 lam 的等于 p a n 加上一个拉姆的，哎，这样的话，是啊，这个，这个是新的数列， an 加拉姆的这个数列就是个等比数列，他的笔直呢是 p 啊， b 这是 p， 那到底拉面的等于多少呢？我们可以把这个进行化减，化减啊，那么等于 an 加一，等于把这个拉面的移过来，就是 pan 加上一个这里 p， 那么的再减去，那么的就是 p 减一，那么的，那用这个和这个 q 进行比较，他俩应该是相等的，因为已知条件是差吗？那么这两相等我们就烂么的就可以得出来了啊。经比较第二 比较比较的 lam 的呢，是等于 q 除以 p 减一的啊， q 除以 p 减一，那我们就得到一个数列了啊，我就得到一个数列，就是 a n 加一， 加上一个 q， p 减一，等于个 p 倍的 a， n 加上一个 q， p a 减一啊，这样的一个新的数列， 这样一个新的数列，它就是一个功比为 p 的一个等比数列，那么这个数列呢？就是 an， 我们构造了出来也这样的一个数列，这样的一个数列为等比等比啊，那么看具体的 这个例子啊，这个例子，哎，这个，这种形式就是我们形如的这种形式啊，这种形式，那我们想办法就是它构造怎样的一个等比数列呢？ 啊，那我们就引入一个栏目的呗， an， 我加上一个栏目的，等于二倍的 an 减一，加上一个栏目的，我把这个变形一下 就导出来是二， an 减一，二拉姆的再减去，把这个拉姆的移过来，加上拉姆的啊，拉姆的和他比较以后，拉姆的是等于一的，所以我们拉姆的是等于一的，那 a n 加一，就等于二倍的 a n 减一，加一加一，那他就是这个新的数列，这个新的数列，这是后一项，除以前项是等于公比二，公比二的， 那我们就可以导出来新的数列 sn 加一，他呢是 是一个等比数列啊，是一个等比数列，他的首相呢？我们来看把首相，首相是什么？他功比我们已经算出来，就这个形式，功比是二，首相是 a， 一加一就是首相， 一是一，那就是二。那么我们就得出来，他为为等比数列啊，他是等比数列，那且手相 和公差都为二，公比啊，公比都为二，那 我们就可以写出他的通向公式了。这个新的数列，他的通向公式呢，就是二的恩赐方，二的恩赐方，那我们要求的最后要求的是 an 呢？所谓 an 就等于二的 n 次方减一，我们就可以得出来二的 n 次方减一，这是构造等笔数列，也叫待定系数法。

宝宝们，我们再来看一下这一道题啊，这一道题啊很清楚，等差数列 同时让我们求求的是通向公式和我们的前嗯，向和。那我们首先就来回顾一下在我们的等差数列里面， 这一个通向公式 a n 等于什么呢？是等于 a 一加上 n 减一倍的 d 啊，关于公式的记忆啊，是最主要的 就是这一部分， n 减一 n 是我们左边的这个下标， 解一，一是我们首项 a 一的这个下标，这个是我们等差数列的通向公式，他还有一个推广公式，他也等于 am 加上 n 减 m 倍的 d。 那么接着我们再来看一下关于我们等差数列的前 n 项和公式 s n， 这一个 s n 等于多少呢？ 第一部分，我们利用导序相加法，我们可以得到我们所有的 a e 加 a n 都可以配对，总共可以配成。嗯，对，由于导序相加法里面我们加了两次，所以我们要除以一个二， 这样呢是我们根据导序相加法得出来的这一个前 n 项和公式。第二一个是我们把刚才的 a n， 也就是用我们前面的这一个通向公式 a n 带进去进行整理， 整理之后我们可以得到第二一个公式。第二一个公式就是 n 倍的 a e 加上二分之 n 乘以 n 减 一倍的 d。 啊，那这两个公式区别在哪里呢？就是对于我们的一号公式，我除了知道 n， 我除了知道 a 一，我已知的是 a n。 对于我们的二号公式，我除了知道 n， 我知道 a e， 我还已知的是这一个公叉 d。 所以我们也就可以根据我们的已知条件，我们去确定我到底是用一号的公式还是用二号的公式。那么我们再说一下关于我们的数列问题。我们有一个方法，通用法则 回归基本量法则， 通用法则回归基本量法则，也就是把我们所有的已知条件给它转化成 a 一和 d 的关系来，我们回到我们的已知条件里面， 已知条件里面我有一个已知条件 a 一，还有一个是 a 一加 a 三，那我们知道 a 三根据我们的通向公式，它是等于 a 一加上二倍的 d， 所以可以看到这个时候我把 a 三换成了 a 一与 d 的关系，也就是我们的基本量。那我们再来看一下第二一个已知条件， a 二加 a 五， a 二等于多少呢？ a 二等于 a 一加 d， 所以在这里我们是把 a 二也转换成了 a 一与 d 这两个基本量的关系。 a 五是等于 a 一加上四倍的 d， 所以一样的把 a 五也转换成了 a 一与 d 的关系。 这样呢，我们所有的式子都可以转化成 ae 与 d， 只有这两个未知数，而我有两个方程这样来求出结果。 好，这一个呢是我们大体给大家提到的一个思路。那么接下来我们来写一写解 一设等差数列的公差为 d， a 一加上。刚才我们已经知道 a 三是 a 一加二 d， 所以我用它进行整体替换，它呢是等于八。 第二一个 a 二 a 二，我们现在用 a 一加 d 来进行替换，同时 加上 a 五 a 五，我们用刚才的 a 一加四 d 来进行替换，它呢是等于十七。 好，到了这一步之后，所有解方程组的草稿本上去完成，我们可以直接写解得 解读， a 一 等于一， d 等于三，那么这一个方程组解的过程，我们就不在这一个地方去给它展开了，自己下来呢，自己去验证一下 a 一和 d， 解得之后，我们就带回我们的通向公式， 所以 an 等于 a， 一加 n 减一倍的 d， 把值带进去，哦， 把值带进去，一加上，嗯，减一乘以三。注意结果不是到这一步为止，一定要把我现在的这一个括号， 我们的这一个括号一定要把它展开，展开之后我们得到最后的结果，三，恩，减二。这 个呢就是我们第一个小题， a n 的通向公式，可以写一个结论，即 a n 的 通向公式为 a， n 等于三， n 减二。好，接着我们看一下第二一个小题哦， 第二一个小题直接让我们求前 n 项和由我，由于我们现在已经知道了 n， 已经知道了 a 一， d 已经知道了 d 和 a 一，所以我们可以直接带入二号公式哦。这个地方呢，是建议大家带入二号公式。就有同学就会说，我的第一一个题不是已经把 an 求出来了吗？对， 我可以带入一号，但是万一我第一个题算错了呢？那么就会导致我的第二一个题也没有分，所以这个时候我们是建议大家带入二号公式去对这一个前偶像盒进行求解。 所以第二一个，因为 a n 的 前 n 项和 s， n 等于 n 倍的 a e， 把我们的公式带上，加上二分之 n， 乘以 n 减一倍的 d， 所以代值， 嗯，乘以 a 一为一，加上二分之，嗯，乘以 n 减一乘以三。在这个地方也是一样的，需要把所有的整理，整理之后，在这一个地方我们得出最后的结果，二分之三 n 的平方减 n， 或者你把它写成二分之三， n 的平方减去二分之一 n 也是正确的。好，那么在这呢也写一个结数语啊，结 a， n 的填 n 项和 s， n 等于二分之三， n 的平方减去二分之一。 那么这个呢，就是关于我们的数列的问题啊，希望大家回归基本调法，一定要掌握，公式也一定是要记住的，不然你记不住公式。考试的时候你是什么都不知道的宝宝们，你们做对了吗？

单招数学提分一百题，带你提分，助你商案！今天带大家学习数列通向公司 an 的一个应用，我们来看这道题目，数列 n 满足 a 一等于负三， a n 加一等于 a n 加二，要我们求 a 二十五是等于多少？对于这个题目哈，很多同学看到了 a n 加一等于 a， n 加二，要我们求 a 二十五， 那 a 二十五的话等于 a 二十四加二， a 二十四不知道把 a 二十四求出来， a 二十四的话又等于 a 二十三加二。 好，那 a 二三又不知道，又把 a 二十三求出来，又等于 a 二十二加二，这种的话可以没问题，但是呢，步骤的话会比较多，比较繁琐。对于这个种题目哈，我们一定要正确理解 等差数列的一个定义，他的定义是什么呢？如果说我们一个数列哈，从第二项起，后一项跟前一项的一个差是等于一个长数， 那么这个数列的话就叫做什么等差数列。那我们看这个狮子， a n 加一等于 a n 加二，我们把 a n 的话挪到左边，也就是 a n 加一减 a n 等于二，符合我们等差数列的一个定义，其中这个长数的话就等于二 啊，所以我们这个公差 d 的话就等于二，而且题目的话， a 一已经告诉我们了，等于负三，所以我们根据等差数列的一个通向公司 an 等于 a 一加上分减一 一个 d 了，那我们把 a 一跟 d 带入进去， an 的话就等于负三加上 n 减一个 d 好化减一下等于 二， n 减五，那题目要我们求 a 二十五带入进去就可以，你这二乘以二十五减五等于四十五，也就是我们这个题目最终的答案。 a， 二十五的话等于四十五了，你听懂了吗？记得点赞关注哦！

大家好，今天呢，我们专门来讲一讲数列通向，求法通解。实际上啊，很多老师把它分成六种啊，八种啊，很多种，其实不需要的，四种通用的方法就可以了。今天呢，这节课的内容非常干货，建议大家收藏啊。我们先来看一下叠加法，第一种通用的方法， 叠加法的话，就是说后一项跟前一项中间是有个差值，并且这个差值呢，他是变化的，跟这个下标跟 n 是变化的， n 变了，他这个 fn 就这样一个结构呢，就会变化。这种时候我们用什么方法呢？就用这样一个累加的方法就行了。 那么累加的方法怎么理解？可能大家看不明白，那么看好了啊， f n 肯定代表跟 n 有关的一个式子，那我们写成这种形式吧，后一项减 去前一项，等于跟 n 有关的一个式子，这样看起来更直观啊，那我们就顺着这个意思去写， 那后一项减前一项轻微等于 f 几，显然根据这道题的意思，它是等于 f 二的，对吧？那么还有什么 a 三减 a 二，那不就是 f 三吗？你要不清楚的话，你就多写几行是不是？ 然后它就等于 f 四了，一直往下细，那最后一行肯定是 a n 减去倒数第二项，它等于 f n。 大家要清楚啊，我这个花框里头其实一共有几个狮子，有同学说 n 个错了，你自己数一数， n 减一个，这 n 减一个式子的话，左右两边都要相加的哈， 当我们所有的等号左边这个式子相加之后的话，你看正的 a 二，负的 a 二，正的 a 三，负的 a 三，同样的正的 a 四，负的 a 四， 这样一个方向都消掉了，最后只剩下最后一项的 an 和第一项的负 ae。 那右边呢？右边不就是从 f 二开始加到 f 三，一直加一直加到 fn 吗？你说跟这样一个标志一样不一样，这就是累加的符号而已嘛，对吧？大写一个嘛。行， 那清楚了，这样一个累加法之后啊，咱们索性就来练一道题，就是这个意思啊，只不过他呢，是倒着写，我是正着写，一样 来，在数列 an 中，你看后一项和前一项是不是有一个差值啊？这个差值呢？跟 n 有关，是跟 n 有关的一个式子。 那现在我们来做这道题，一看就是用累加法。累加法怎么去写？这样来写？看好了啊，那我们首先把最重要的这个已知条件 写成后一项，减去前一项，它等于什么？等于捞啊，一加上 n 分之一，一加上 n 分之一，咱们通分一下，写成 n 分之 n 加一，这样也行啊，那我就顺着这个意思往下写了。 那 a 二减去 a 一，应该等于 lon 几啊，你注意啊，哎，清楚了，那就是 lon 二比一吗？ n 加一这个下标比上后边这个下标，那就是二比一啊。 那么继续写， a 三比 a 二，那就是 low on 三比二，然后 a 四啊，减去 a 三，那不就是 low on 四比三吗，对吧？嗯，四比三， 那继续往下写，那最后的话，其实就是 a n， 因为咱们求得 a n 啊，咱不需要最后写到这个 a n 加一的，减去倒数第二项，等于 low n。 哦，原来是这个意思，他们怎么 怎样啊？这几个式子吧，就你告诉我画圈里头能减一个式子啊？左右两边相加，这就叫叠加法。那左边相加的话，正的 a 二，负的 a 二，正的 a 三，负的 a 三，以此类推。左边相加只剩下了 a n 减去第一项，等于捞啊，你看二比一来了吧， 然后，然后捞完多少？好？捞完二分之三来了吧，捞完三分之四来了吧，一直写到最后，最后一个是捞完 n 减一分。嗨， a n 减去这个 a 一是几？ a 一就是二嘛，咱们写去 a n 减去二等于什么？你注意啊，对数的加法相当于真数的乘法， 他这个一分之二，二分之三，三分之四是要一直乘下去的，一直乘到这个 n 减一分之 n， 显然呀，等于什么？右边就是劳恩 n， 你一削就是捞，很对吧。所以最终结果他的通向公式，把二移过去，等于二加上捞。嗯， n 清楚了吧。所以说这道题选什么？选 a 就行了，非常简单，就是一个累加法。 第二种通用的方法其实跟第一种一样，只不过由加法变成了乘法。累乘。什么叫累乘？来后一项跟前一项，它是通过乘一个关于恩的式子 来写出来的。这种形式呢，咱们就首先考虑累乘法。那么累乘法什么意思啊？很简单，我们多写几个。我们啊，把最重要的这样一个地推公式，这样一个式子呢， 写上后一项，比上前一项等于 f n， 那就写呗。那如果我写这个呢， a n 减一，比上 a n 减二，它会变成什？ 那肯定就是 f n 减一呗，以此类推啊。那再继续往下，你应该清楚我的意思了吧，所以你这个 an， 实际上它是通过 ae 以什么样的方式呈现的？ an 比上前一项，因为你得利用这样一个已知条件。利用这样一个地推公式吗？ 对吧？继续写， an 减二， an 减三，一直写，那倒数第二下，那肯定是 a 三比上 a 二，再嗯， a 二比上 a 一，但是最后还有个 a 一。请你看第一个括号是什么？是 fn 啊， 请你看第二括号是什么？那显然是 f n 减一啊，请你看第三括，清楚了吧，一直乘到 f n 减二，一直乘，哎，这是 f g 啊，请你告诉我。那这显然是 f 三 f 二乘 a 一，清楚了吧？已知条件他肯定会告诉你第一项的或 中间某一项的。那不就完了吗？就这个意思啊。哎，一个意思啊，这就是累乘法。刚才是等号左右两边的式子相加，现在啊，那就是乘法关系，等号左右两边的式子相乘呗。行， 当你了解了这个累乘法以后，我们看这道题一目了然。我看到第一个地推公式是我画横线的，这个式子我不建议你这样来看，我建议你写成 an 加一比上谁比上前一项等于二分之一。 什么？二分之一？ n 加一，再比上 n， 你看这个样子多可爱呢。左边是 a， n 加一这一项比上 a n 这一项， 右边咱如果不管这个二分之一的话，画圈里头是 n 加一比成 n， 哎，对应上了吧。所以接下来你再处理的话，就特别简单了。我多写几行啊，因为我们不 不是求的 an 加一是 an 啊，我就 an 好比上前一项等于二分之一，这个很简单吧，那就是 n 比上 n 减一。注意啊，每一项别忘了写这个二分之一啊。来，继续，那倒数第二项 再比上倒数第三项，那就是二分之一再乘，这个 n 减一， n 减二， 如果你不熟悉的话，你就多写几行呗，对吧？只有浪费不了多少笔墨，但是可以帮助你更加清楚的看清楚这道题的意思啊，计算上不要出错。最后一项肯定是 a 二比上 a 一，因为已知条件告诉你，手相是一了啊， 二分之一二比一吧，先不用着急化解。那我问你，画圈里头这个花框里头一共有几个式子？不要说 n 个了啊， n 减一个式子，这 n 减一个式子的话，等号左右两边是要相加， 那不对吧，是要相乘吧？累乘法吗？那相乘的话，左边相乘，哎，分子分母，分子分母消掉，那就变成了 an， 最后比上 ae， 等于等号右边是几个式子来着？ n 减一个式子，所以是二分之一的 n 减一次方，对吧？因为等号右边每一个式子都有二分之一，一共有 n 减一个，二分之一相乘。哎，那我画圈这一部分相乘呢？哎，分子分母异销，比如说 n 减一分子分母， n 减 n 减二分子分母，那最后就剩下个 n 比上一了， 其实我们最后呢就变成了 a， n 比上 a 就是一吧，然后等于二分之一的 n 减一次方，后边还有乘一个 n， 就这个结果了。那最后结果的话，我这个通向公式不就是二的 n 减一次方，分之 n 啊，多简单呢是不是？所以这道题 选什么？选二 b 啊，清楚了吧？一个累加一个累成，这是最基础的，但是有一类大家往往不会做，就是构造法。什么叫构造？构造？构造成相同的形式， 我想说的是等号左右两边构造成相同的形式，这个形式是千变万化的，一道题可能就有一道题专门的特殊的构造方法，你主要是观察他的形式是什么，那么他们都统一成为构造法，比如说我们看这个利益， 哎，你要让我看的话，我一看我就知道了，他应该构造成什么形式，左右两边加长数的形式。那你看第二个题，这是关于 n 的依次表达，是依次函数的形式， 那如果你看第三题，那肯定是要跨成这样一个三的多次方指数的形式，对吧？所以我们一道题一道题来说，他其实都是同一类 构造法。那第一题让我来做，非常简单啊，我们只需要把最具特色的这道题，最有代表性的这样一个呃，地推公式写成什么样子 来，左边你得有个什么？得有个 n 加一。别着急，不用问 n 加一啊，你直接加栏目的右边，把二提出来， an 加栏目的来，当我们划减之后，很轻松就变成了他等于二倍的 an， 在干嘛？再加栏目的，你跟已知条件对比一下吗？ 已知条件换横线，这个式子是二倍的 a， n 加二。哦哦，所以这个这样构造的话，栏目的原来是等于二的呀，对不对？那既然栏目的等于二的话，所以我第一行假设的这样一个形式构造法，你看左右两边是不是相同的形式， a 加一，加上二，等于二倍 a n 再加上，其实就是原来这个式子呀，已知条件这个式子左右两边分别加二嘛。哦，这一看就明白了呀，所以我能得出一个结论来，我们新构造的这样一个 an 加二这样一个数列新构造的数列啊，他的手相和工笔工笔 公比不又是前一项，乘个二就是后一项吗？公比就是二啊，那他这个手相呢？手相不是 a 一，是 a 一加二，对吧？ a 一加二，他的手相那不就是等于三吗？根据这条件，所以我这个 a n 加二， 如果一个等比数列手相知道了，公比知道了，那不就是三乘二的 n 减一次方了，进而就推出了 an 的通向公式了吧？那 an 的通向公式不就是三乘二的 n 减一次方，然后再把这个二移过来变成负二吗？这 圈部分就是我们这道题的结果了，你说难吗？不难，但是你得知道为什么要加棱呢？因为左两边就是一个长数吗？你多出来的这个二，他就是左两边多加了一个长数，这个棱的，我们用带定系数把它求出来，就可以构造法清楚了吧？ 有同学说，老师我学会了第一道题，但是很多时候遇到了还是不会做，那是因为他的变化实在太多了，你看这个是常数吗？不是，这个是关于 a 的依次函数的形式。 所以我们在构造这道题的形式的时候呢，应该怎么去构造呀？请告诉我。你也应该构造成关于 n 的依次式的形式吧？ 右边是关于 n， 那左边必然是关于 n 加一，或者反正你得错开位。那我要怎么画呢？很简单，你看我左边就这样了， 直接加上一个 ab 的 n， 再加上 b， 这就是依次的形式吧。哎，那右边呢？右边，当你把这个二提出来以后，你就不要再写这个 an 了啊，左边是 n， 你得降一个吧。那右边的话，其实就变成了什么？就变成了 ab 的 n 减一再加上 b 了， 清楚了吧？然后呢，你化解一下。所以啊，这个 an 加一，其实就变成了二倍的 an 加上多少？加上 aa 和 b 是两个数字啊，待定系数需要你求的啊。减二， a 加 b， 你对比一下呀，已知条件，他是什么等于二？ b 的 a， n 加上 n。 嗨，所以这一看，这个 a 就等于一啊，是不是啊？然后这个负二 a 加 b， 这是长数啊，那应该等于零才对点。后边 人家这个零是没有写的，对吧？他两个现在对应上我们算出来了，用待定系数法一算，原来 a 是等于一的， b 是等于二的。所以说，我们一开始假设就是构造的这种方式，我们就决定了， 这个 a n 加一，加上 n 再加上二，它是等于二倍的多少？ 二倍的 an 再加上这个是一倍的 n 减一再加上多少再加上二的，是这样一个形式吧？就是他啊，就是这样一个形式。 当你写成这个形式之后的话，那接下来是不是就很简单？有同学可能说，老师我这个位置写成 ab 的 n 加一，这个位置写成 ab 的 n， 可不可以？当然可以了啊，最后呢，最后结果肯定不会变的好，我们也可以这样来写啊，为了帮助你更好理解，那我们左边改造一下吧 啊，把这个 n 加二写成 n 加一，再加一，这样可能你更加顺眼一些啊，那右边这个括号里头的话，我们写成这个。嗯， an 加 n 再加一。哦，清楚了，所以我们现在得出来一个结果呀， 你看我圈一这个式子，告诉你什么？告诉你新构造，构造，构造就是构造成一个等差或者等比我们容易见的形式呗。 哦，清楚了，原来这个 a n 加 n 再加一，新构造的这个数列，他是一个等比数列，其中这个公比 q 等于几等于二，然后手相呢？手相应该是 a 一加一再加一吧，那应该是等于几 等于三的，所以我新构造的这个数列，他就变出来了，手相是三，公比是二啊，那所以说 a n 的通向公式， 你把这个恩和一移到右边去，变成负恩负义。哎，求出来了。这道题最终的结果就是，他，清楚了吗？原来真的不难呀，那有人说了，老师，我遇到了这种常数的形式，遇到这种依次的形式，那如果我遇到更难的，比如说指数或者对数的形式一样的， 这道题一看是以三为底的指数的形式吧，真的很难吗？不要觉得很难啊，这个题咱们用构造的方法是可以解的。怎么去解？来，我们一开始构造的时候， 你左边就给他构造成多少，你左边其实就应该给他构造成哦，栏目的乘一个三的 n 加一次方，至于栏目的多少，这就是我们需要带定的系数，需要你求的就是等待你去求嘛。带定系数，那右边的话还有 二倍，那肯定还是构造成哦，三的多少次方，那就右边，你得你这个指数得一样啊，右边都是 n， 对吧？左边都是 n 加一，这样才能构造对了，然后接下来，嗯，处理一下，行，是吧？咱们处理一下啊， 处理完之后看一下他变成了什么样子啊？那他的话，嗯，左边咱们写上这个三倍的棱的再乘三，这个可以的啊，然后右边的话就是二倍的音，再加二棱的乘三，这一看 很快很快啊，就变成了二 a n 再减去栏目的三人了。你说栏目的是几啊？你看一致条件，你自己看你就知道是几。咱们对比一下啊，已知条件是二倍的 n 再加上三倍的哦，三的 n 次方。所以这个栏目的一看就是负一吧，因为画圈部分它两个它是等价的嘛，对吧？ 哦， m 的等于负一，这也就意味着我们一开始假设的这样一个形式，它变成了什么样子，它就变成了 a n 加一，减去三的 n 加一次方，等于二倍的 an 再减三的 n。 哦，所以我们新构造的数列 an 再减去三的 n 次方，他是一个等比数列啊， 其中他的工笔，你看前一项后一项，他得乘个二吧，工笔就还是二，然后手相呢？哦，构成一个新的等笔收列啊。好， 首项多少？首项是 a 一减三的一次方啊，那其实这道题最后变出来其实就是负二哦，首项是负二，公比是二，那这道题多简单呢？所以 a n 减去三的 n 次 方，首相是负二，公比是二哦，所以最终结果 a n 就等于三的 n 次方，减二的 n 次方，你开心吗？所以现在你学会了这个构造法吗？构造法就是构造之后你右边 有个什么，有个指数以三为低的指数形式。那我左边给他来个啊，三的 n 加一次方，右边来个三的 n 次方，反正就是左右里面勾导成相等的形式啊，然后勾结果呢？新勾导的函数要么是一个非常简单的 等差数列，要么是非常简单等比数列，最后就很简单了。清楚了。那第四种通用的方法是什么？当你遇到这种分式的情况下，咱们只需要做一下倒数，倒数就是左右两边都去倒数， 然后再结合构造的方法就可以解。比如说咱们举一个例题啊，很经典一个例题经常见到的。这个题没法解门有法。 二姐，你看这个分母多复杂呢。哎呦，你看他这个分子反过来了，多么简洁呢，简洁明了，对吧？所以我反一下不就行了吗？也就是说，解这道题的时候，我们左边取到数， 是不是右边取到数就变成什么结果了？变成这样一个结果，那进而就变成了 an 加一分之一等于。本来是有个四除他的啊，我直接写成了盖中结果四倍的 an 分之一再加上三。当我改成这样一个结果之后的话，我直接令这个 b n 等于 a n 分之一，清楚了吗？那现在我们画圈部分 不就变成了 bn 等于四倍的，什么四倍的好清楚了，他是等于四倍的 b。 哦， bn 加一啊，这个应该是啊，左边是 bn 加一，右边是 bn 再加三，你说是不是非常简单的用一个构造法就可以了？咱们先求 bn 再求 an 嘛，来， 很简单吧。很简单啊，我们左右两边其实只需要加个一 b n 加一加一就是构造法啊，我本来是这个地方应该写兰木德的。哦，那我就写上兰木德吧。 四倍的 bn 再加棱的啊，然后呢？就变成了 bn 加棱的等于四倍的 bn 加四棱的，然后呢？ bn 加一加棱的，然后你把这个棱的移过去之后，就是变成了四， bn 加上三个棱的，哎，跟谁比较？那当然是跟这 这样一个谁比较呢？跟这样一个原来的这样的画圈部分比较了，这一比较就知道了，三了，么的等于三，那不就明白了吗？么的等于一啊，这是不是用构造法构造出来最简单的常数构造，对吧？所以 当我写到这种形式之后，那接下来其实就很简单了，那就变成了 b n 加一，再加一，等于四倍的 b n 加。哦，原来这是个等，谁是个等比数列，这个 b n 再加上一，这个数列，它是个等比数列，其中公比是四， 手相 b 一加一，那那不就是 a 一分之一再加上一吗？等于几？哦，手相是二，公比是四啊，那其实就很简单了，对不对？然后呢，咱们继续往下写啊， 那当我们写到这个地步以后的话，其实往后的事你自己就清楚了，我们求这个 bn 嘛，啊， bn 加一，首相是几来着？首相是等于二的啊， 公比是等于四的啊，然后呢，就变成了，咱们都变成二嘛，二乘二的二 n 减二次方，那就是二的，嗯，二 n 减一次方，所以这个 bn 等于什么？它是等于二的二 n 减一，再减一，因为我把这个一移过来了吗？但是咱们求的是 bn， 不是求的是 an。 嗨， an 和 bn 什么关系？就一个倒数关系，对吧？ 所以最终左右两边取到数还回来，就变成了二的 a r n 减一次方，再减一分之一了。横线上应该填的是谁啊？就填的画圈部分这个结 结果就行了。所以这道题应该明白了吧？这道题选明白了还不行？这节课我所讲的求数列通向的四种通用的方法，一定要掌握啊。分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见！

我嘞个逗，这谁还分得清我和数学侠呀？你直说，列 sn 求 n 一秒出答案，你受得了吗？来，二乘二为四，负三减二为负五，二乘五为十二减五为负三，二乘负二为负四，五减负二为七， 二乘八为十六，负三减八为负十一。所以我们通过以上可以总结出，如果 sn 等于 an 方加 bn， 那么通向公式 nn 就能一秒求出。

在等比数列当中， a 二等于六， a 五等于四十八。 an 的通向公式， an 等于 a 一乘以 q 的 n 减一次方，那么 an 还可以等于 a， 这个我们假装是一个 m 吧， q 的 n 减 m 次方，所以说 a 五就应该 等于 a 二乘以 q 的五减二次方，三次方，所以说 q 的三次方是不是等于 a 五比上 a 二等于四十八，比六等于八，那么 a 八是不是就等于 a 五乘以 q 的三次方呢？那就等于 四十八乘以八等于三百八十四。

大家好，今天给大家带来的是重庆市某外国语学校二零二二年小升初的一道真题。这道题主要考察的是找通向公式的知识点。 之前我也讲过一次找通向公司的题，大家可以回头再看一看。计算一加上 一加二分之一，加上一加二，加三分之一，加上一直加，加到一加二加三，一直加到一百分之一。我们首先来看这道题怎么找通向公式。一加二加三一直加，加到 n 分之一，等于 分子不变分母。我们用等差数列求和的公式把它算出来。 首相一加上末相， n 乘以项数， n 再除以二， 那么就等于 n 乘以 n 加一分之二， n 乘以 n 加一分之二。就是这道题的通向公式。我们来看这道题怎么做。等于一，我们可以不变一加上 一加二分之一。在这个通向公式当中来说， n 就用二来替换，那么就应该等于二乘以三分之二，二乘以三分之二， 一加二加三分之一。在这个通向公司当中， n 就用三来替换，就等于三乘以四分之二， 一直加，加到这个一加二加三，一直加到一百。这个 n 就用一百来替换， 就等于一百乘以一百零一分之二， 就等于一。加上看分子都有二，我们把二提供一次提出来，二乘以， 这个就剩下二乘以三分之一，二乘以三分之一， 加上三乘以四分之一，一直加，加到一百乘以一百零一分之一。 然后我们看这个分母， 二乘以三分之一，三乘以四分之一，一直加到一百乘以一百零一分之一。这个分母是两个连续自然数的乘机，那么我们就可以用列向的方法来计算这道题。 就等于一加上二乘以二，乘以三分之一，就可以写成二分之一，减 去三分之一。三乘以四分之一，就可以写成三分之一，减去四分之一，一直加加到 一百乘以一百零一分之一，我们就可以写成一百分之一，减去一百零一分之一， 一加上二乘以括号。你看 这个负三分之一和三分之一，正负抵消，负四分之一和后面的四分之一正负抵消，这个一百分之一和前面的负一百分之一相互抵消， 那么就剩下了二分之一，减去一百零一分之一， 那么就等于一加上。然后用乘法分配率 乘进去二乘以二分之一，减去二乘以一百零一分之一，就等于一加上一减去一百零一分之二。 最终就等于医药一百零一分之九十九。你学会了吗？点赞加关注，每天都进步！

求数列通向公式的十八种考法，你会多少？

我们来看一个非常有趣的求通向公式啊，难倒一大批的初高中学生，如果不会的点赞，会的扣一的话，这个点赞的数量绝对是一的数量的五倍啊，大家可以挑战一下，看看自己能不能把通向公式给求出来啊。 好，我们来看这个奇特的通讯公司啊，一个一，两个二，三个三，四个四，五个五，六个六，七个七啊，相信大家都能够明白他后面该写什么，但是他通讯公司该怎么写呢？我们看啊， 这个是 x 的话， x 是第一项等于一，第二项等于二，第三项，第四项、第五项，他对应的这个 y 啊，是这样的，我们看啊，这个 x 值都是连续的加一，但是这个 y 值啊，确实经常保持一样的，两个 二，三个三，四个四，五个五。我们暂时无法的把这个图像求出来，但是我们可以去找一下他的一个突变点，比如说从一 变到二的点，从二变到三的点，从三变到四的点，从四变到五的点，我们把这些点来拎出来看一下， 这一点中 y 的变化是一二三四五六七八九十， x 的变化是一二四七一十一啊。 这个通向公式我们是可以求出来的，我们可不可以建立这个 y 到 x 的音色，或者说这个 x 到 y 的一个音色呢？ 可以的，我们设这个 x 是等于 m 吧，这个 y 是等于 n， 现在我们如果知道 n 假设在这里吧，如何求这个 x 呢？或者说如何求这个 m 呢？ 我们仔细的看啊，他前面有 n 减一个 n 减一， n 减二个 n 减二，也就说前面多少个数字呢？前面有一，加上二，加上三，一直加到 n 减二， n 减一啊， 前面一共有 n 减一乘以 n 除以二，这么多个数字啊，也就是说有这么多数啊，对应的是这一项，到了这一项还要加个一啊， 所以是 n 减一乘以 n 除以二，加上一是等于 m， 我们要通过 m 求出 n 啊，为什么？因为 x 求出 y 啊，我们看他们是怎样的一个关系啊， n 的平方减去 n 加二减去二， m 等于零啊，那么这个 n 是个一元二次方程啊，我们可以解一下 n 的求根公式， 等于二分之，我们把父子舍去了，他是正值啊，一加上八 m 减七，也就是说啊，如果我们找到他的突变点的话，他们应该买成这样的函数啊， f x 等于一，加上八， x 减七，它的根号啊，再除以二。 ok， 现在我们求出了这个突变点的一个函数啊，我们看这个式子啊， 当这个 x 取得非常大的时候， x 加一几乎不改变它的大小，只改变它的小数点或者多少位，是吧？所以我们把它进取整就行了啊。一些同学可能不明白，这个取整是什么意思啊？ 取整符号有两个啊，一个是向上取整，一个是向下取整。即比如说向上取整啊，派的话它是四向 向下取整，拍的话他是三。向上取整三点九的话他是四，向下取整三点九的话他是三，这个跟四舍五入还不太一样。好，知道了这个向下取整呢，我们就能够知道了，他的通向公式应该是这个， 因为我们推导的过程不是非常的严谨，我们还需要带入到原数去计算一下，比如说我们把这个一十二带进去计算一下， f 一十二等于， 而这个就是等于五啊。经过这样的验证之后啊，大家会发现啊，每个式子都是满足的，所以说它的一个最终的通向公式是 f x 等于一，加上根号八 x 减七 除以二啊，向下取证，好同学可能会觉得这个是比较别扭啊，是比较别扭啊，实际上他可以画成更为简单的一种形式啊，他的更简单的形式就留给大家做一道思考题啊，之后会把答案公布在这个评论里面。 ok， 关注我，让学习变得更牛逼一点。

上个视频我给你讲过，只要看到一个式子里既有 sn 也有 a n， 你就可以灭掉 s n， 求出 a n。 这种方法可以解决大多数的题目。这个视频我就带你来看看那个无法解决的奇葩题。比如这道题竖列 a n 的强 a 项和为 s n， 并且满足 s n 加一乘 f n 等于 a n 加一， a 一等于二。让你求 a n 的通项公式。 这道题出现了 sn 加一重 sn。 显然灭掉 sn 实在太麻烦，那有没有别的办法呢？嘿嘿，当然有了， 既然灭掉 sn 很麻烦，那就灭掉 a n 试试看。还是用这个式子， a n 等于 s n 减， s n 减一，所以 a n 加一就等于 s n 加一减 s n。 把 a n 加 加一换成这个式子，你就得到了一个只和 sn 有关的式子。接下来咱就想尽办法求出 sn 来。发觉没两边同时除以 sn 加一乘 sn， 左边就是一，右边就是 sn。 分之一减 sn 加一分之一。 整理一下，得 s n 加一分之一减 s n 分之一等于负一。嘿嘿，这下是不是看到非常熟悉的式子了？如果把 s n 分之一弹作 b n， s n 加一分之一，就是 b n 加一。显然， b n 加一减 b n 就等于负一。 看来 bn 就是一个等差数列，并且公差就等于负一。咱理下思路，只要算出了 bn， 根据 bn 和 sn 的关系，就能算出 sn。 只要有了 sn， 根据 a n 等于 sn 减， sn 减一，就能算出 a n。 哦，既然这样，那咱就来算一下， b n 是等差，很好算。稍加计算， b n 就等于二分之三减二 n 搞定的 bn。 再看 sn， 因为 sn 分之一等于 bn， 所以 sn 就等于 bn 分之一。显然就是三减二， n 分之二。算出来 sn， 再算 a n， 就得小心谨慎了。还是用这个式子， a n 就等于 sn 减， sn 减一， 分别写出 s n 和 s n 减一，再把这俩带进去，就是 a n 了。化解一下， a n 就等于三减二， n 乘五减二， n 分之四， a n 貌似算出来了，不过别着急，还没完呢。这个式子必须在 n 大于等于二十才成立。 n 等于一时是啥情况？咱还得验一下。如果 n 等于一，用这个式子算出的 a 一等于三分之四， 和题目给的 a 一相矛盾。看来最后的结果还得分两部分来写。当 n 等于一十， a n 等于二。当 n 大于等于二十， a n 等于三减二， n 乘五减二， n 分之四，这个才是 a n 的通项公式。 好了，就这一道题总结一下，以后只要看到这种既有 sn 也有 an 的式子，让你求通向，如果你发现把 sn 灭掉非常麻烦，那就换个思路，把 a n 灭掉， 只要能求出 sn 的表达式，再利用这个式子，同样可以求出 a n。 好了，本姑娘就想这么多，赶紧刷题去吧。

我们来看一道高傲的数列题，这道数列题是非常典型的用了我们数列中的累加法，一起来读下题目。 a 等于一， an 加一，等于 an 加上 n 加上一，好，用，这个式子呢，我们立马可以根据地推公式做一个变形， 好，以此类推。 a， n 减去 a， n 减一呢，就等于 n， a n 减一呢，减去 a， n 减二呢，等于 n 减一， 继续画 a， 二减去 a 呢，就等于二。好，总共画成了这么多项式子，我们从第二项开始，一直加到最后一项，左边相加可以得到 an 减去 a， 右边先加可以得到二，加上三，加上四，一 值加到 n。 好，我们可以化解一下就好了。因为 a， e 呢等于 e， 所以 a， n 就等于二分之 n 乘以 n 加一。好，这题目呢，中主要用的是一个累加法，那累加法的基本模型我们一起来看一下。如果当设置中 碰到 b， n 等于 a 减一，加上 f， n 的形式，这个时候呢，我们常用呢 累加法啊，累加法， a， n 等于 a， n 减去 a， n 减一，加上 a， n 减一，减去 a， n 减二，一直加到 a， 二减 a， 一加 a 一。用这个方法来求通线公式，大家学会了吗？

在上个视频中，你已经知道，通向公式就是把 dn 向 an 表示成像素 n 的一个函数式。那这次我就来带你详细学习通向公式的具体应用。 如果给你个通向公式是 a 等于二的 n 四方，那 a 一就是二的一，四方得二。 a 二就是二的二，次方得四。 a 三就是二的三，四方得八，以此类推。要你算 a 十，就把十带入通向公式，就是二的十，四方得一零二四。其实把项数一、二、三等分别带入通向公式，就可以得到每一项了。 那现在给你个复杂点的，比如， a 等于二，人减一分之 n 方减一，那你能写出 a 五吗？嘿嘿，这个也简单，就是把五带进去计算，五的平方减一是二十四，二乘以五减一是九，因此 a 五就是九分之二。十四，约分后就是三分之八了，不要忘了约分啊，由通向写某一项你会了。那接下来咱 看看反着来的已知， a， n 等于 n 分之一加 n， 问零点八是他的第几项？那你就说第 n 项， a， n 是零点八，那就是 n 加一分之 n 等于零点八。 这其实就是几个方程嘛，算一下就是 n 等于零点八， n 加零点八一项得零点二， n 等于零点八， n 就等于四了，也就是说零点八是这个数列的第四项。 那现在我再加一问，零点七是否在此数列中？该怎么做呢？和刚才一样，只需要解方程， n 加一分之 n 等于零点七即可。解一下， n 等于零点七， n 加零点七一项得零点三， n 等于零点七。哎， n 等于三分之七，难道零点七是这个数列的第三分之七项？这咋回事啊？ 当然不可能了解出来的 n 不是整数，就说明零点七不在这个数列中。只有当你解除正整数时，这个数才是数列中的像。而要是解除分数、负 数数或零，就说明该数不在数列中，明白了吧？通过前面的例子我们可以发现，知道了通向公式，你就能把数列都写出来，也能反过来看具体某个数是不是在数列中是第几项，那就相当于通向公式代表了数列的全部信息。既然通向公式这么厉害，那任何数列问题不都解决了吗？ 嘿嘿，话虽这么说，但有两点需要注意。首先看这个例子，三一四一五九二六，这个数列是派的每一位，你能写出通向，告诉我第一千项是几吗？写不出来吧。所以说，通向公式是很厉害，但你不一定写的出来。 另外第二点，就算能写，有些数列的通向公式也不为一。比如数列负一一负一一，它的通向公式你可以写成，单位为基数时， a n 等于负一。单位为偶数时， a n 等于一。纳尼，还可以分 段写。当然了，函数不也有分段的吗？那如果非要写成一个解析式呢？其实这个数列也可以写成 an 等于负一的 n， 四方写法就和前面分段的不一样。 好，到这儿，通向公式的应用和注意点都讲完了，总结一下，数列的通向公式就代表了数列的全部信息。有了通向公式，我们就可以由项数求出具体某一项，也可以反过来判断某个数是否在数列中是第几项。 但有两点需要注意，通向公式未必写的出来，写的出来也未必唯一。好，明白了吗？如果明白了，就赶紧刷题去吧。