合比分比定理推导过程

今天我们来讲一道初中数学里面比较难的一种题目，它是合理英语的题目。若 a 除以 b 加 c 等于 b 除以 a 加 c 等于 c 除以 a 加 b 等于 k， 那么 k 的值是等于多少？ 我们来看这个和比定理是什么？和比定理是这个比例的连等式，等于分子之和，除以分母之和。也就是这里 k 等于这个分子全部加起来是 a 加 b 加 c， 这个分母全部加起来是等于两倍的。括号 a 加 b 加 c， 括号此时是等于二分之一。但是这有个前提条件，也就是分母不等于零， a 加 b 加 c 不等于零。 那么当 a 加 b 加 c 等于零时，那么 k 又等于多少呢？此时 a 等于负的括号， b 加 c， b 等于负的括号 a 加 c， c 等于 c 等于负，括号 a 加 b。 啊，这三个等式带入这个等式中，那么求得 k 是不是都等于负一呢？所以此时的 k 就等于负一。那么这样一道和平精灵的题目，您听明白了吗？和平精灵它最主要的就是分母不能等于零，因此就需要分类讨论，这是需要重点关注的一个内容。

如果说你还不知道用和分比定理来解决连比等式类的题的话，那么你在解题的过程中，过程就相对比较麻烦了。 因为我们核分比定理就是以浓度的原理来理解核分比定理的原理。如果说不知道的话，你可以看我置顶的视频。 这个题给了我们连比等式，让我们去求这个二 c 分之 a 加 b。 我们先令我们这个连比等式 c 分之 a 加 b 等于 a， 分之 b 加 c 等于 b， 分之 a 加 c， 它等于 k。 让我们去求得这个二 c 分之 a 加 b， 他就等于二分之一 k 了。现在题目转化成让我们去求出这个 k 的值，那求出 k 的值，我们用和分比定理呢，就可以得到了 a 加 b 加 c。 分 知 a 加 b 加上 b 加 c 加上 a 加 c， 他等于二倍的 a 加 b 加 c， 比上 a 加 b 加 c， 他等于 k。 那在这里 a 加 b 加 c 没相加之前， abc 分别是不为零的。但是你现在加起来，那就不一定了，我们要对他进行分类讨论。那第一种情况呢， a 加 b 加 c， 他等于零的情况，那也就是可以得到 a 加 b 等于负 c。 那这个时候所以说 k 就等于 c， 分之 a 加 b 等于负， c 比上 c 等于负一。那第二种情况呢，也就是 a 加 b 加上 c， 他不等于零，那我们直接可以把它分子分别进行约分，所以说 k 就等于二。 那这两种情况综合我们的一和二，我们就可以得到原式呢，就等于二分之一乘以负一等于 负的二分之一，或者是二分之一乘以二等于一。这两种情况是满足我们题目要求的。

打开小升初真题，刷这道数。我们来看一道小升初的真题。零点六二五等于几，除以十六等于几，比八等于百分之几等于八，加二十四分之五加几。 这道题看似简单，但是呢，很少有同学拿满分。我们来看看到底错在了哪啊。那我们要想确定这里的数，其实我们肯定是由一到难。我们来看这个零点六二五是三位小数，要确定他是百分之几， 只需要让他乘一百就可以了。所以这里立即是百分之六十二点五。这里比较简单。那关键是几除以十六，或者几比八等于零点六二五呢？其实我们可以将零点六二五转化为分数。再观察就比较简单， 零点六二五是一个三位小数，那么最简单的转化为分数就是一千分之六百二十五。然后我们再进行约分就可以了。你看分子分母都是二十五的倍数，约去二十五，上面除以二十五得二十五， 下面一千除以二十五得四十。分子分母又都是五的倍数。我们在约去五，上面除以五得五，下面除以五得八。 我们知道那么八分之五，其实他最终的值就是五比八。所以我们这里填五就等于零点六二五。八。好，我们知道呢，这个除号跟比号，其实他们的运算规则是一样的，五比八，其实他最终的比值就是 五除以八。那我们就可以将这个除号同样转化为比号。那比的后向八变成十六是乘二，那比的前向五要变过去，是不是也要乘二啊。比的基本性质。所以那这里一定是前十 最为关键，导致同学没有得满分的，就是最后一个空。那最后一个空用的是什么原理呢？比如说我们给大家举例子哎，三分之一是不是就等于六分之二啊？那我们让分子一和二相加， 分母三和六相加，那是不是就是九分之三是不是也等于三分之一，也等于六分之二啊？啊，同样，我们再举一个，二分之一等于 十分之五啊。分子相加是一加五，分母相加做分母是二加十，十二分之六仍然和二分之一相等。 那么由此我们就类比得出一个结论。什么呀？ a 比上 b， 如果等于 c 上 b， 那分子相加做分子， 分母相加做分母，他们仍然和原来的分数等值相等。如果你有很多项，他也是诚意的，你比如说 a 比上 b 等于 c 比上 d 还等于 e 比上 f， 你后边可以一直写，那他肯定都 等于 a 加 c 加 e 也比上 b 加 d 加函数，这都是相等的。 那么这个我们称它为什么呀？合笔定理。那你只要记住这个定理，我们而且还不需要去证明他，我们就可以直接得结论了。 分母是八加二十四，而分子呢？是五加几。很明显，这里的这个八分之五是谁呢？是不是就是这里的八分之五呀？和五比八是相等的。那我们就看八分之五等于二十四分之几就可以了。 他到他是乘三，所以分子五乘三是十五。那么我们利用合笔定义，那就是五加十五做分子， 八加二十四做分母，仍然和原来的八分之五相等。所以我们这里一定就填十五。你学会了吗？关注老师，学习更多数学知识！

同学你好，我们来推导三角形内心的一个性质。首先分享题目的条件，画出必要的实际图，明确解体目标，联想相关知识和解体方法。在这里给出的条件是， i 是这个三角形的内心角， abc 所对的边是 abc， 目标是证明这个等式成立。我们首先联想内心的相关知识，延长 ai 交 bc 与 d。 然后利用 内角平原线性质定理可以得到他们的笔直关系。 多次利用内角平平线性的定理和合比定理就可以得到想要的式子。首先延长 标 bce 点 d。 在三角形 abd 中，这两个角相等，可以得到 a， i 比上 i， d 就等于 b， c 比上 b， d。 同理，在三角形 a、 c、 d 中，这两个角相等，可以得到 a， i 比上 i， d 就等于 b 比上 c、 d。 有这两个式子可以得到 a， i 比上 id 等于 c 比上 bd 也等于 b， b 上 c、 d。 根据合并定理，让分子相加，同时分母相加，可以得到 c 加 b， b 上 b， d 加上 d， c。 而这两项 那盒就是编长 a。 接着用项链来表示他们的关系，可以得到项链 a， i 等于 c 加 b， b 上 a 乘以项链 id， 然后把这个分式写成整式，可以得到 a 乘以项链， b 加 c 乘以项链 id。 接下来把项链 id 用这里的项链来表示。 此时我们在三角形 abc 中，利用这个角和这个角相等，可以得到 b， d， b 上 d， c 等于 c， b 上 b。 同样用项链表示他们的关系，可以得到项链 bd 等于 c 比上 b 乘以相当 dc， 然后把它写成整式，也就是 b 乘以相当 bd 等于 c 乘以相当 dc。 因为这里面有字母 i， 所以我们用减法把相量 bd 写成相量 id， 减相量 ib。 同理，把相量 dc 写成相量 ic， 减相量 id， 然后把这个式子展开，合并同一项， 就可以得到 b 加信乘以项链， id 等于 b 乘以相当 ib， 再加上 c 乘以相当 ic。 现在我们可以把这个结果带入这个式子， 可以得到 a 倍的向量 i， a 加上 b 倍的向量 i b， 再加上 c 倍的向量 i， c 等于零项链，也就是这个等式横成立。在这里我们利用三角形中内角平分线性质定理、合比定理和酸两次的方法证明了内心的性质。同学，你明白了吗？

各位大家好，我是涛哥。那么看一下相似三角形呢？何比和等比姓氏。那么何比姓氏呢？是如果 b 分之 a 等于 d 分之 c 的话，那么 b 分之 a 加减 b 等于 d 分之 c 加减 d。 其实呢，合比形式就是相当于在等式的左两边同时加一或者同时减一啊。然后看等比形式，等比形式弱 b 分之一等于低分之 c 等于， 最后呢是 n 分之 m。 那这样的话我先保证这个所有的分母加在一起不得零，那么这样的话我把所有的分子加在一起，除以所有的分母加在一起是等于任意一个分式了啊。好，那么同学们，你记住了没有？

b 上什么？ b 加上 d。 哎，分子是不是可以提出一个 k 啊，里面是什么？ b 加 d。 所以它的结果就是什么？就是 k， 而 k 不就等于这两个东西吗？是吧？既可以等于 a b， b， 又可以等于 c b d 是不是？所以 a 加 c 等于 b， 比上 b 加 d 就等于什么？ a b b 也等于什么啊？ c b d 啊。所以就等比定理啊。好，那么这里面我们做一个简单的证明啊，他是成立的，但是有个要求啊，什么要求啊？ b 加 d 不能为零啊，你的分母为零就不成立了 啊。所以这是他的核心的一个概念啊。第二个，我们叫和比定理啊。和比是什么啊？就是如果 a 比 b 等于 c， b d 和比就是左右两边加一啊，左右两边加一就是 a 比 b 加 一是不是也等于什么啊？ c 比 d 加一啊，对不对？你左右两边加一对分数整个结果来说没有任何影响对不对？好。然后呢？我们可以通分，通分之后得到什么？ b 分之 a 加 b 等于什么啊？ b 分之 c 加 d。 所以我们把这个形式称之为叫什么叫和比 啊。那么有合比，那不就有什么分比吗？对不对？好。分比是什么？我们看一下。那么分比就是左右两边减一对吧。你合比是两边加一，那分比不就两边减一吗？对不对？好。那么同样道理我们可以得到什么？ 这个左左右两边减一，我们就得到 a 减 b 比上一个 b 等于什么啊？ c c 减 d 比上一个 d 是不是？哎，左右两边减一，再通分一下就可以得到这样一个式子 是不是？好，那么这来第四个叫合分笔。合分笔是什么？就是把合笔和分笔一除就好了， 懂了吧，一除就好了。来上除以下我们发现什么 a 加 b， bb 比上 a 减 b， bb 一比是多少？就是 a 加 b 比上一个 a 减 b 等于什么呢？ c 加 d 比上 c 减 d。 哎，相加 b 相减等于相加 b 相减 是不是？好，所以我们把这种叫和分比啊，和分比好。第五个跟比。跟比就是更换位置，那 a 比 b 等于 c 比 d 根笔就是什么？把他们俩互换位置，结果呢？是一样的是不是？好。那么因此他就可以推出什么 a b c 就等于 什么 bbt 啊。互换位置结果是什么？一样的，也是可以去等号啊，也是可以去等号。 好，所以这个叫根笔好。最后一个叫反笔，反笔的话就是把它倒过来是不是？哎，倒过来你这个 a 比 b 等于 c 比 d， 那你倒过来相不相等呢？也一定相等吗？那就是 bba 等于什么啊？ bbc 对不对？也是可以的啊，也是可以的。明白这意思吧。好。所以这是我们讲的六个基本的定理啊。六个基本的定理啊。那么其中最重要的就是等比定理啊。最重要就是等比定理啊。 因为他在考研出体中啊，是能够出陷阱的。就是关于这个分母相加是否为零的情况，他是可以出陷阱的啊。好，所以这 部分我们要着重记一下啊。 ok， 那么这是我们介绍的这六个基本定理，我们接着往下看。 好，那么我们看一下第十七啊，这地方就用到了什么等比定理的问题是不是？好，他告诉我们说 a 加 b 加 c 不等于零，分母相加不等于零，对吧？那我们就可以直接放心大胆的用什么等比定理了。那么他就等于什么？ 二 a 加上二， b 加上二， c 加 a 加 b 加 c， 比上一个什么 a 加 b 加 c。 所以他的分子是什么？ 三 a 加三， b 加三， c 比上 a 加 b 加 c， 他不就等于几啊，三吗？对不对？哎，不就等于三吗？好！那么因此他的结果就是几啊，就是 三啊。因为前提已经告诉我们分母相加不为零是不是？好？所以我们可以放心大胆用等比定理，分子全部相加，比上分母相加就好了。 ok？ 那么因此这个 k 就等于三是不是？好？我们接着往下看。 好，我们看第十八题啊。十八题这个地方用到了什么？我们等比和跟比的一个综合运用方法啊。我们来看一下条件一他说 a b b 等于 c b、 d。 其中 a、 b、 c、 d 啊，为正数 啊，为正数。好，那么既然我们想得到这个东西是吧？怎么去成立？怎么去证明他成立，对吧？好，我们看一下 a 比 b 等于 c 比 d， ok？ 好！那么因为它上面有 a 加 b， 上面有 a 加 b， 所以我们要把 ab 放在同一个位置上， a 在分子，所以我们把 b 放在分子上面。做一部跟比。我们可以得到什么？ a b、 c 等于 b b、 d。 把这个 abc 啊，互换位置是不是？好！那么接下来我们就因为大家都是什么都是正的啊，所以平方不平方无所谓是不是。好！那么我们左右两边同时平方一下，就可以得到什么？ a 方比上 c 方等于什么？ b 方比上 d 方没有问题 是不是啊？左边平方，右边平方啊，完全没有问题。好，那么这样一来，我们注意，接下来我们就可以用等比定理了，对不对？因为分母相加绝对不可能为零嘛，这两个正数对不对？所以他等于多少？ c 方加上 d 方分之什么 a 方加上 b 方。 好。那么这样一来，我们这个东西勾造出来了是不是啊？但是这个题你看到没有？他打了根号嘛，对不对？所以我们怎么办？在这个基础上打一个根号。哎，这不行了吗？好，那么接下来我们把它化解一下，就得到什么 a 比上 c 等于 b 比上 d 就等于什么？ a 加 b 方来开根号，比上一个根号， c 方加 d 方，那么 a、 b、 c 等于 b， b、 d 就等于什么？ a 加 b， b 上 c 加 d， 等比定理，对不对？哎，再用一步等比定理。那么因此我们想要的结果出来了， 对吧？好。所以他成不成立啊？成立的对不对？条件一充分啊，条件一充分好，条件二充不充分？条件二。我们观察 看一下，他说 a、 b、 c、 d 均为负数，你四个数都是负数，负数比负数等于负数比负数。你想一下，你四个数都是负数和四个数都是正数，是不是一样的啊，对吧？你这个负号不是抵消了吗？ 明白这意思吗？这个负号全部都抵消了。哎，所以他不，他就不存在什么负数不负数的问题了，对吧？哎。比如说负一比上负二等于什么？负二比上负四。