有同学问了老师，老师我一次函数没学好，二次函数怎么学啊？一起学呗，这有什么关系呢？这个视频咱们来疏通一下二次函数的知识点，先要复习函数的概念， 然后我会把一次函数和二次函数放在一起作对比，再把二次函数的顶点式、一般式和焦点式全部讲解一遍，然后我手写了一份练习题，在视频的最后我会放出来给大家截图保存，同时也有答案的。 什么是函数呢？简单来讲就是两个变量之间的变化规律。书上是这么说的，一般的在一个变化过程当中， 如果有两个变量， x 和 y， 并且对于 x 的 每一个确定的值， y 都有唯一确定的值，与其对应，我们就说 x 是 自变量， y 是 x 的 函数，可能这样不是很好理解， 我这里直接举个例子，就拿咱们的速度乘以时间等于路程这个式子来说啊，这个是我们小学就学过的对不对？由于它这里是形容两个变量，那我们就把速度哎给出一个固定的值，比如说 当这个速度是三十千米每小时的时候， ok， 我 们就把速度对应写下来，它是三十千米每小时，那么我们就把这个时间当做什么呢？ 时间当做自变量 x， 好， 把它当做 x， 那 这个路程就是 y， 好 吧，那么这个呢，就是一个函数，它形容的就是时间和路程之间的变化规律。比如说时间是两小时， 那你去乘上三十千米每小时，那么路程就是多远，路程就是六十千米，对吧？那如果来到五小时呢？ ok， 我 们就乘上五小时， 乘上三十千米每小时，那么它就会等于一百五十千米，你看一下时间在变，路程也在变，对不对？好，那么咱们就找到了 当这个速度为三十千米的时候，这个时间和路程之间的变化规律。 在判断函数的时候，一定要注意，这句话就是对于 x 的 每一个确定的值， y 都有唯一确定的值，与其对应啊，就是这句话，它这句话是什么意思呢？就是说如果 y 等于 x 的 平方，你看当这个 x 等于一的时候， y 一定等于一，有没有其他值？没有对不对？当这个 x 等于负五的时候， 那么这个 y 呢？就会等于负五的平方，算出来等于二十五，你看是不是唯一一个结果，是不是确定的，对不对？所以是唯一确定的。那像这种呢？它就是函数，哎，它就是函数，那什么不是函数呢？我这里反过来，比如说 y 的 平方等于 x， 你 看当这个 x 等于一的时候， y 的 平方等于一，那 y 等于几，对吧？ y 就 等于正负一，它可以等于一，也可以等于负一，那请问为一吗？它就不唯一，它就有两个结果，那这种情况就不唯一， 那这个就不是函数啊，它就不是函数，知道吧？所以是不是函数，你一定要看对于 x 的 每一确定的值， y 是 否都有唯一确定的值，与其对应 一次函数和二次函数有什么区别呢？在解析式上，一次函数是形容 y 等于 k， x 加 b， k 和 b 都是常数，并且 k 不 等于零的，这样的函数叫做一次函数，它为什么叫一次啊？因为这个 x 的 次数就是一啊，所以叫一次。 那为什么 k 不 能等于零呢？你想一下， k 如果等于零了，这个 x 的 一次方乘零，不就变成零了吗？不就没有 x 的 一次方了吗？对不对？所以这个 k 是 不能等于零的。那二次函数呢？ 二次函数是形容 y 等于 a， x 平方加上 b， x 加上 c， 其中 a、 b、 c 都是常数，并且 a 不 能等于零啊。那这样的函数就叫做二次函数。为什么叫二次啊？因为它这个 x 的 最高次数是二，看到没有？这里有一个 x 的 二次方，看到了吗？ 那为什么 a 不 能等于零呢？你想一下，如果 a 等于零的话，这个零乘 x 的 二次方，那 x 的 二次方没有了，你看二次函数没有二次，那能叫二次函数吗？对不对？所以一定要记住啊，一次函数当中是 k， 不 能等于零 啊，目的是为了让这个 x 的 一次方保留。那二次函数当中是 a 不 等于零，因为他要保证这个 x 的 二次项要保留，知道吗？你不能没有了。所以呢，这个就是一次函数和二次函数的什么一般形式？ 我写了五个解析式，咱们来判断一下，下面哪一个是一次函数，哪一个是二次函数？比如说，第一个 y 等于二， x 平方减五， x 再加一，它是一次函数还是二次函数啊？很明显，它的最高次项是二次，对不对？所以它是二次函数啊，它是二次函数， 并且呢，它这个 a 是 等于二的， b 对 应的是负五， c 对 应的是一，你看一下，它这个二，它不等于一，对不对？所以保留了 x 的 二次项，所以呢，它是一个二次函数。 那么第二个呢？ y 等于负七， x 加三，它是一次还是二次啊？它就是一次函数啊，它就是一次函数。 你看这里， y 等于 k， x， k 对 应的是负七，对吧？ k 等于负七，然后 b 呢，对应的是三，我们就写 b 是 等于三的。好，再看第三个，它的最高次项是二次，那它是不是二次函数啊？不是，你看这里， x 分 之三，它是一个分式， x 分 之三是分式。所以呢，这一个它不是整数函数啊，所以整体就不是 整数函数，所以它既不是一次函数，也不是二次函数，那么这两个函数它都不是， 都不是啊。再看第四个， y 等于五， x， 那 么这里它也是形容 y 等于 k， x 加 b 的 啊，它是一常数，你说，哎，它这里没有这个尾巴呀，你看它后面什么都没加，那就得加零嘛。所以这个 b 是 可以等于零的，因为它这里说了， k 和 b 是 常数， 只有 k 不 能等于零， b 是 可以等于零的。当这个 b 等于零的时候，它就是正比例函数，知道吗？它确实是一次函数，对应的这个 k 呢，是等于五的， b 是 等于零的，你也可以说它是正比例函数。正比例 函数啊，因为正比例函数呢，是特殊的一次函数， 它是特殊的一次函数。 再看最后一个， y 等于四，那它是什么函数呢？哎，它肯定既不是一次函数，也不是二次函数。你看它这里的 x， 一 次方没有， x， 二次方也没有，它只有一个常数四，对不对？所以它既不是一次函数，也不是二次函数，但是 它是常数函数，它是函数啊，它是函数啊，只不过它不是一次函数和二次函数，知道吗？啊？不是一次函数和二次函数 是什么？函数是常数，函数， 它是常数，函数，它也是函数。你看这里虽然没有 x， 但是当 x 等于任何一个数，比如说等于零，等于一，等于二，它无论 x 等于几，它这个 y 都等于四， y 都给了一个唯一确定的值与值对应它的函数图像长什么样呢？啊？比如说这个是 x， 这个是 y 轴，那它这个函数图像就长这样，那这个点是零四的话，它就是过零四，这个点会平行于什么？平行于 y 轴，这个 这个直线就是 y 等于四的图像。那你看 x， 无论我给了几，比如说负三，它也是四啊， 我给了五，他也是四，对吧？函数的定义是怎么定义的？对吧？函数说，就是 x 给的每一个确定值， y 都有唯一确定的值，与之对应，对不对？你看他满足啊？所以他是函数，只不过他是常数，函数不是一次函数，也不是二次函数。 咱们这里总结一下二次函数要满足这三个条件，第一个条件就是函数解析式必须是整式。比如说像这里带分式的， 他就不是二次函数啊。然后化解之后，自变量的最高次数是二，你看最后他这个有 x 的 二次方，并且是最高次项，然后二次项系数不为零，那像这种 等于二的是没有问题的。如果他这里有一个零，对吧？那肯定就不行，知道吧？所以呢，二次函数要满足这三个条件， 咱们要重点学习一下二次函数的图像，回忆一下一次函数是怎么画的呢？是不是用描点法，对不对？我们把点描出来连起来就可以了，是不是？好，那这里呢？我举一个一次函数的例子，比如说 y 等于 x 加二，对不对？好，那么这里当 x 等于负二，负一零一二的时候，我们都算一下，对不对？你拿负二加二会等于几啊？会等于零，然后负一加二会等于一，零加二会等于零啊？会等于二， 一加二会等于三，然后把二带进去，二加二会等于四，所以他就会过负二零这个点，负一一这个点，零二这个点， 一三这个点，以及二四这个点，对不对？好，因为我们以前学过一次函数，所以你知道它是一条直线，画两个点就够了，对不对？那我们这里是为了做对比，好吧？好，那么咱们 把这个图像换一下，你看负二零，假如说在这里，然后负一一，假如说在这里，这里是负一一，然后这里是零二一三。好，二四， 这里是负一，这里是零，这里是一，这里是二，这里是一，这里是二，这里是三，这里是四啊，这里我大概画一下，大概画一下，它就大概长这样啊，这个就是一次函数 y 等于 x 加二的图像啊，我这里画歪了一点， 挪上去， ok， 好， 那是不是用描点法去画的，对不对？那么二次函数呢？我这里写一个最简单的二次函数，比如说 y 等于 x 的 平方，对不对？也用这几个点，负二、负一零一二，你看一下，我把负二带进去， 负二的平方会等于几啊？会等于四，对不对？负二的平方等于四，我这里就不写这个计算过程了，我就直接写结果负二的平方是等于四的，你把负一带进去，负一的平方会等于一， 零的平方会等于零啊，一的平方会等于一，二的平方会等于四。 ok， 好， 那你看一下他给我拿几个点呢？ 负二四，对不对？负一，一零零一一和二四，对吧？好， 那咱们把这个坐标轴换一下，找到一，找到二零， 负一，负二。好，这里是一，这里是二，这里是三，这里是四。好，瞄点了，先从负二四开始，负二四大概在这个位置， 然后一负一，一在这里，零零在这里，一一在这个位置，然后二四在这个位置，我们把这几条线连这几个点连成线，哎，你会发现它连不成一条直线呢，如果连直线的话，它这五个点不会在一条直线上，对不对？那怎么办呢？那我们就只能画弧线了呀， 那就大概这样连喽。画弧线，哎，你会发现它长这样，看到没有？ 哎，它是长这样的，对吧？好，那这样的话，我们就把二次函数的图像给画出来了，这个是负二四，这个是负一一，这里是零零， 这里是一一，这里是二四。好了，那这是最基础的一个二次函数的图像，那么同时呢，我们也可以再画一个，比如说 y 等于负一啊， y 等于 负 x， 平方它长什么样呢？哎，它就在所有的函数值上面，前面全部加一个符号，对不对？你是平方完之后再加符号的，那就全部加一个符号，那么它的图像会怎么画呢？它的图像就是反过来画的，它就倒过来画的。那我这里延长一下， 这个是一，这个是负二，这个是负一，负二，负三，负四，那我这里就大概画一下，好吧，大概画一下，那这几个点它就在这里， a 长这样， 它就长这样，看到没有？你看它这个 x 平方的系数是影响它的开口方向的，看到没有？如果它这里是正数的话，它的开口是向上的，如果它这里是负数的话，它的开口是向下的，看到了没有啊？这个 a 大 于零的时候开口向上， a 小 于零的时候开口 向下啊。这里我是简单写一下啊，写一个最简单的二次函数，那么稍微复杂一点的，那么这个二次函数图像就会进行平移了啊。你看一下他这里开口向上和开口向下这个图像，他管他叫什么呢？ 管他叫抛物线，你看他这个线就相当于是什么？相当于是有一个人朝天空丢东西，哎，丢到了一定的高度之后，这个东西呢，又会往地面落下去，对不对？好，所以他管这个图像叫做抛物线啊，抛物线。 接下来我会对刚才的函数图像进行平移，先上下平移，再左右平移，就可以得到二次函数顶点式的完全形态。来记一下它的平移口诀， 上加下减，左加右减。好，咱们先上下平移，看一下这个怎么用？好吧，比如说， 原来这里是 y 等于 x 的 平方，刚才我们描点的时候，它的顶点是零零，对不对？好，我现在把这个函数图像向上平移两个单位，那么这个函数图像会变成什么呢？ 它这个函数图像啊，向上平移了两个单位， 向上平移了两个单位，那么它的顶点就变成零。二，这个函数解析式，它就会变成 y 等于 x 的 平方，加上二，看到没有？向上平移两个单位，你就在后面加上一个二啊，如果呢，它是向下平移，比如说它向下平移，向下平移了几个单位呢？ 比如说它向下平移了三个单位啊，向下平移了三个单位，它的顶点就会变成零负三，那这个时候它这个解析式就会变成 y 等于 x 的 平方 减三，看到了吗？啊，这就是上加下减啊，向上平移两个单位，就在后面加二，向下平移三个单位，就在后面减三，知道吧？所以呢，这个是在函数解析式的最后啊，进行加减的， 那么左加右减是怎么回事呢？好，还是这个图像？如果我把这个图像向左向右平移四个单位，比如说它长这样， 它向右平移四个单位，它的顶点就会变成四零，那这个解析式它就会变成什么呢？就会变成 y 等于 x 减四的平方。你看， 左加右减，它不是在后面加减，它是在 x 的 后面进行加减，向右平移了四个单位，所以向右，那么就是减，所以就是减四啊，就这个意思，那么这个函数解析式就变成 y 等于 x 减四的平方啊，这就是左加右减。 注意这里呢，是在 x 的 后面加减， 它不是在最后加减，比如说这个函数图像还是这个函数图像？它如果向左平移啊，颜色有点不太够用了啊，好，换个颜色，比如说这个， 我们把它换成紫色的，好吧，那它向左平移，比如说平移了两个单位， 变成了负二零。好，那这个紫色的函数解析式就是 y 等于 x 加二 整体的平方，这就是它的解析式，它是向左平移的两个单位，那么就在 x 的 后面加二，左加右减啊，上加下减，记牢来。那如果既上下平移也左右平移会怎么样？这里我重新画一个二次函数，比如说我这里画一个 y 等于二， x 平方， 假如说我这里换一个啊，开口小一点的，开口小一点的函数图像，它的 a 的 绝对值会大一点，后面我们会详细讲解。现在只是 先学习一下它的图像，比如说这个是 y 等于二， x 的 平方，好吧，好，那这里如果向左平移两个单位，然后又向上平移三个单位，它就会变成这样啊， 原来的顶点是哪里？原来的顶点是零零。好，现在我把这个函数图像向左平移两个单位，然后向上平移三个单位，大概在这个位置换个颜色。 那向左平移了两个单位，向上呢？平移了三个单位，那么它这个顶点 向左平移两个单位，这里就是负二。向上平移三个单位，它对到的就是三，它的顶点就会变成负二，三。好来，左加右减，向左平移两个单位，就在 x 的 后面加二， 那么它就会变成 y 等于二倍的 x 加二的平方，然后它向上平移了三个单位，在后面再加一个三， ok 了， 这个就是平移之后的函数解析式啊。函数解析式，这个就是它的，我们可以通过它这个式子看出它的顶点啊。你令 x 加二等于零，那么 x 就 等于负二，所以它的重坐标就会等于负二， 横坐标就会等于负二，然后当它等于零之后， y 等于三，那这个时候呢？它的重坐标就是三，你看它的顶点是不是求出来了，对不对？这就是为什么它叫顶点式的原因，因为我们可以直接通过这个式子把这个顶点给算出来，或者是你熟练一点，你可以直接看出来，知道吧？好， 那我们这里再平移一下，比如说它向右平移什么？三个单位，向下平移这个两个单位。好，我们这里平移一下， 再来一次手链，向右平移三个单位，向下平移两个单位，好，换个颜色。 比如说它这里向右平移了三个单位，这里是三，向下平移了两个单位，那么对到的就是负二，所以这个顶点就是三负二，对不对？那么它现在这个解析式是什么呢？ a， 你 就让 y 等于二，怎么样？它向右平移了三个单位，那就是 x 减三的平，放在 x 后面减三，这是左右平，对不对？好，向下平两个单位，在最后减二，好，最后减二，看到没有啊？这样的话，我们就把它的函数解析式给写出来了，这个是它的顶点式。然后二次函数顶点式呢？归完类之后，它是形如 y 等于 a 乘 x 减 h 的 平方，加上 k， 我 们可以通过 这个顶点式，我们可以通过这个顶点式直接看出这个函数的顶点是什么，是 h， k， 这里一定是减啊，一定是减。如果你怕你看不出来或者搞错了，那这个时候你不要去看它这里的加减，你直接让这个括号等于零，你直接让这个括号等于零，比如说我们这里把这个抄下来啊，它的顶点是怎么算呢？ 它顶点怎么算呢？我们当这个 x 加上二等于零的时候，这个 x 等于负二，对不对？好，它等于零，那么 y 会等于什么？ y 就 会等于二乘零，再加三， y 就 会等于三，你看，这个时候，它的顶点显而易见， 负二三就出来了，看到没有啊？我们就可以通过这种方式去求出这个顶点。 有很多同学在刚开始学的时候，因为这里搞不清楚到底是加还是减，所以他经常把这个顶点的正负号给标错，那如果你用我这种方法的话，一般就不会错，这里要注意，顶点式当中的这个 a 值，他也是不能等于零的啊，也是不能等于零的。 二次函数的顶点式可以看出函数图像的顶点坐标，那二次函数的一般式能看出什么呢？哎，它可以看出与 y 轴的交点，你想一下啊， y 轴上的点 横坐标怎么样？横坐标都为零，横坐标 为零，那么是 x 为零还是 y 为零呢？对吧？那肯定是 x 为零，对不对？好，所以我们就当 x 等于零的时候， 它的 y 会等于什么？ y 会等于 a 乘零的平方，加上 b 乘零，再加 c， 哎，零加零加 c 等于 c， 所以 它会过零 c 这个点， 它会过零 c 这个点，而零 c 就是 在 y 轴上的，所以我们可以看得出来，在 y 轴上的点就是零 c， 所以 我们只要看到二次函数的一般形式，你就可以直接确定它与 y 轴的交点就这个零 c， 假如说这里是五，它与 y 轴的交点就是零五， 假如说它这里是负三，那么它与 y 轴的交点就是零，负三就一定是这样的，知道吧。所以呢，顶点式可以看出顶点，一般式可以看出与 y 轴的交点，那么一般式和顶点式有什么关联呢？哎，有关联， 一般式可以直接推出顶点式，它可以把它变形成顶点式，只不过这里的 h 和 k 仍然用 abc 来表示，那么这里我算一下，好吧，我算一下来看。 把这个一般式写过来， y 等于 a， x 的 平方加上 b， x 加上 c， 它用的方法仍然是配方法啊，仍然是配方法，只不过有所不同的是，配方法 右边是零，而现在呢，是 y， 所以 我们不能左右两边同时加或同时减，所以我们这里要在里面配，比如说 y 等于啊，这里我们要配一个完全平方公式，对不对？你就把这个 a 提出来啊， a 提出来之后就变成了 a 乘上 x 平方，加上 b 除以 a， b 除以 a 再乘 x 好， 再加上 c， 这个 c， 我 们先不管它啊，先不管它，等会再一起处理好，那这个时候我们要给它配一个完全平方公式。完全平方公式，这里再这里再讲一下，是 a 的 平方加上二 a， b 再加 b 的 平方会等于什么？ 会等于 a 加 b 整体的平方，我们要凑成这个整体的平方，你就要给它配一个完全平方公式出来，对不对？那这里 a 的 平方对应 x 平方，它对应的是什么？ r 指向，然后这个呢？ r a、 b 对 应的是什么？这个 a、 b、 x 现在要给他配一个 b 方，那你看一下啊，我这里一一对应， 这个和这个一对应二 a、 b， 这两个 b 是 不一样的啊。二、 a b 等于 a b x。 好， 你看这里 x 平方对应 a 平方，所以这个 a 和 x 可以 约掉， a 和 x 可以 约掉， 然后二 b 就 会等于 a 分 之 b。 那 然后你再把二移过去，我把右边的 b 都写成红色的 b 吧，这样好区别一下啊，这个 b， 然后呢，这个一般式当中呢，这个 b 我 全部写成黑色的，那 好了，这样好区分了，对不对？好，那么这个红色的就会等于 a 分 之 b 除以二，那它就会等于二 a 分 之 b， 所以 我们要配一个 b 的 平方上去，要加上这个 r a b r a 分 之 b 的 平方，那其实就是它依次向系数一半的平方。那如果你前面学配方法学的比较扎实，那么这里你是可以一眼看出来的。好吧，好，那么 y 就 会等于 a 乘上 x 平方，加上 a b a 分 之 b x。 好， 那么现在我要在里面凑一个 b 平方，那你不能光加呀，你还要减呢，你加完之后就立马减掉它， 这样的话结果是不变的，对不对？加上二 a 分 之 b 的 平方，再减去二 a 分 之 b 的 平方。好，那么这三项就可以凑成完全平方公式，你就可以把它合并起来， 这个 y 就 会等于 a 乘 x 加上二 a 分 之 b， 整体的平方。好，那么现在咱们要把它提出去，你提出去一定要乘一下这个小括号前面的这个 a 值，要乘一下这个 a 值，我们提出去变成加上这个 a 乘上负的二 a 分 之 b 的 平方，再加 c， 好 吧，前面咱们就可以不动了，现在就是把后面通分，再把它加起来。好，你看 这个平方完之后，就变成了 a 乘上负的四 a 平方，分之 b 平方，再加 c， 你 看这个 a 是 可以约掉的，这个 a 去乘上 它，这个式子和可以可以和分母当中的一个 a 约掉啊。约掉之后，那么我们就直接用负号连接， 就减去什么，就会减去这个四 a 分 之 b 方，再加 c 好 了，那么你想要把这两个加起来要怎么样？你要把它通分啊，我们把它当做一分之 c， 把它当做一分之 c。 好，那么你看一下这个分母是不是四 a， 所以 我们后面上下同时乘上四 a， 那 么这个四子就会变成 y 等于 a 乘上 x 加上二 a 分 之 b 的 平方，然后加上这个四 a 分 之负 b 方，再加上四 a 分 之四 a c， 那 我把这个符号提到分子上去了，然后用加号连接， 这样的话呢，它们俩加起来就可以直接分子加分子就行了，对不对？分母是不变的。好，那么 y 就 会等于 a 乘上 x 加上二 a 分 之 b 的 平方，加上四 a 分 之四 a c 减 b 方。 ok 了，好，那你就可以通过这个式子看出这个负的二 a 分 之 b 啊，重坐标是这个呐来， 那么这个顶点我们是怎么求出来的呢？我们这个顶点呢，是令它等于零，当这个括号等于零的时候， y 就 会等于这个，对不对？好，我们这里也算一遍啊， 当 x 加上 r a 分 之 b 等于零的时候， x 就 会等于负的 r a 分 之 b， 这个时候呢， y 就 会等于 a 乘零，加上四 a 分 之四 a c 减 b 方。啊，它就会等于四 a 分 之四 a c 减 b 方。看到了吗？好，所以一般式当中的顶点 它就是负二 a 分 之 b。 逗号，四 a c， 四 a 分 之四 a c 减 b 平方。好，这个是一般式当中的顶点公式啊，可以和这个顶点式是一，是可以一对应的， 这里的这个负二 a 分 之 b 就 会等于这个 h， 这个 k 呢，就是这一个，它们是可以相互呼应的啊，就看你用哪一个式子，如果你用一般式，那么它的顶点式就用这个，如果你直接化成了顶点式，那么它的顶点就是 h k。 你有没有发现这个二次函数的图像是怎么样？二次函数的图像它都是左右对称的，所以它会有一个对称轴啊，它会有一个对称轴， 那我这里简单画一下一个二次函数图像， 然后长这样， 那这个对称轴呢？ 是跟顶点的横坐标是这个相同数值的，它这里是负二 a 分 之 b。 逗号四 a 分 之四 a c 减 b 方啊，所以呢，它这个对称轴是 x 等于负的二 a 分 之 b。 注意 一定要说直线，因为对称轴是一条直线，那这里我们直接写吧啊，对称轴 为直线， x 等于负的 r， a 分 之 b， 那 么它的最值呢？如果它开口向上的话，那么它的最小值就这个，如果它开口向下的话，它的最大值就是这个啊。 一般式当中，一般式当中，这个当 x 等于负的二 a 分 之 b 的 时候啊， y 有 最值 等于四 a 分 之四 a c 减 b 方啊，那么我们以后要学的是什么呢？以后要学的是一般式如何直接转换成顶点式？因为这个公式啊，还是稍微有点复杂的，所以我们要学会一般式和顶点式灵活转换。 一般式可以看出与 y 轴交点以及对称轴，顶点式可以看出函数图像顶点坐标，那焦点式呢？焦点式就可以看出与 x 轴的交点啊，它能看出与 x 轴 的交点，为什么呢？比如说我举个例子， y 等于 x 的 平方减五， x 加上六啊，那么你想一下与 x 轴交点，什么？坐标为零，是不是？重坐标为零，对不对？好，那么与 x 轴交点，对吧？什么坐标为零？重坐标为零，重 坐标为零，那我们就当 y 等于零的时候，对不对？英文表示一个点，是不是 x？ y 对 不对？重坐标为零就是 y 等于零， y 等于零，带回去好，那么就变成了零等于 x 平方减五， x 加上六，那不就是解这个方程吗？对不对？ x 平方减五， x 加上六等于零，咱们交换一下位置，这个可以直接用十字相乘法，对不对？因式分解， 把 x 平方拆成 x 乘 x， 这个六拆成负二乘负三，这样的话呢，交叉相乘会得到负三， x 和负二， x 加起来等于负五， x 正好，对不对？所以就变成了 x 减二 乘上 x 减三等于零。然后这个时候咱们再让因子分解之后的前后两个括号分别为零，因为两个数相乘等于零，就肯定有一个数字零，要么是前面这个 x 减二等于零， x 一 等于二，要么就是后面那个 x 减三等于零， x 二就等于三，对吧？好，前面这个等于二，后面这个等于三，就是它的横纵坐标，对吧？这个就是它的两个横坐标，纵坐标始终为零，所以它与 y 轴交，与 x 轴交点， 为什么为二零和三零啊？这里是我们算出来的结果，那我们把这个图像你可以大概画一下， 这里是二，这里是三，它开口向上， 开口向上啊，它就长这样，你看这个焦点，是呢，就可以直接看出与它的焦点，对吧？这里我们是直接算出来，还没有写成焦点。是，然后你再看它这个是不是一般？是，一般是尾巴，这里是六，说明它与 y 轴的交点 就是零六，对吧？好，那么我们怎么样把一般式写成焦点式呢？你看，跟刚才一样因式分解就可以了，就用十字乘法知道吧。所以它这个东西你可以直接把它写成什么呢？ y 等于 x 怎么样？ 减二乘上 x 减三的形式，你就可以直接通过这个形式看出它与 x 的 交点，一个是零二 一，一个是二零，一个是三零，对不对？好，那么既然它能够转换成这种形式，所以我们就知道，哎，这个焦点是，它是 y 等于 a 乘 x 减 x 一 和乘上 x 减 x 二的，这个时候你可以通过它看出它与 x 的 交点呢？是什么呢？是 x 一 零和 x 二零。 所以咱们这个焦点是可以直接看出与 x 轴的交点是哪两个，对不对？好，我这里再举个例子，比如说 我这里有一个 y 等于 x 的 平方，加上 r， x 减八，对吧？我们对它进行因式分解， x 平方拆成 x 乘 x， 这里负八拆成几乘几呢？拆成四乘负二啊，这个纯靠熟练度啊。这样一乘等于四 x 这样一乘等于负二， x 加起来就会等于中间的二 x， 所以 我们就可以把它写成 x 等于 x 加四， 乘上 x 减二，那么我们就可以直接通过它看出与 x 交点。 为什么为负四零和二零？那就是让这两个括号都等于零，你就可以算出它的横坐标，对不对？你看我们刚才是不是让这两个括号等于零，算出它的横坐标，一个是二，一个是三，所以你不要看到这里是四哦，是零，而不是 要把它改成 x 减负四啊，所以是负四零，或者是你直接让 x 加四等于零，那 x 就 等于负四，也是可以的，没有问题，知道吗？这个就是二次函数的焦点式，我们要学会的是什么呢？ 把一般式转换成零点式，把它转换成焦点式，然后把这个函数图像的特征能写出来的全部给他都写出来。 在二次函数当中，咱们一定要练熟的就是一般式转换成顶点式和转换成焦点式，并且把它们的图像画出来。然后呢，我这里出了几个题目，我这里先讲一个例题，好吧，这里的一般式呢，是 y 等于 a， x 平方加上 b， x 加上 c， a 不 等于零。 顶点式是 y 等于 a 乘 x 减去 x 的 减去 h 的 平方加上 k。 交点式是 y 等于 a 乘 x 减去 x 一， 再乘 x 减 x 二，这里的 a 都不能等于零啊， a 都不能等于零啊。同时 我们要知道它的特征，一般式能看出什么？一般式能够看出与 y 轴交点，与 y 轴交点是什么？是零 c 啊。然后呢，顶点式能看出顶点 是 h， k 以及对称轴，对称轴是直线， x 等于 h， 那 么焦点是能看出与 y 与 x 轴交点，与 x 轴交点 为 x 一 零和 x 二零。好了，那么这个就是它们几个是指的特征，对吧？好，我们拿这个来练一下手， 把这个转换成顶点式，应该怎么转换啊？把它转换成焦点式，应该怎么转换？我们先把它转换成焦点，焦点式十字相乘一下， ok， 好， 那么这里呢，我们打个十字， x 平方拆成 x 乘 x 负六呢？可以把它拆成负二和三，这样的话， 负二乘三等于负六， x 乘 x 得 x 平方，交叉相乘会得到三， x 和负二加起来等于 x 正好，所以 y 就 等于什么？ x 减二乘上 x 加三，所以它与 x 轴的交点 就为二零和负三零啊。然后我们再把它画成 这个顶点是 y 等于 x 平方，加上 x 再减六。好，那么这里呢，我们是可以直接配的啊，直接配，因为它的系数就是一嘛，对不对？好，不用提了，那么我们这里配什么呢？ 配一次项系数一半的平方加上一，这个 x 的 一次项系数是一，一的一半等于二分之一，加二分之一的平方， 再怎么样，再减二分之一的平方。 ok， 好， 那么 y 就 等于 x 加上二分之一的平方，减去四分之一，再减六， y 就 等于 x 加二分之一的平方，减去六又四分之一，所以它的顶点 我们就可以直接看出来等于负二分之一，负六又四分之一。然后呢，这个对称轴也可以看出来， 对称轴就是直线 x 等于负二分之一，对吧？好了，然后呢，这个一般式我们又能够看出来什么？这个一般式我们又能看出来与 y 轴交点 为什么为零负六？好了，那么接下来咱们就怎么样进行画图，那这里知道几个点，一个点，两个点，三个点，四个点，可以知道四个点对不对？好，我们再大致画一下， 因为我怕图画不准啊，我就先画图，再标点啊，先画图再标点，它大概是长这个样子的， 为什么长这个样子呢？首先你看一下，它这个 a 是 等于一的， a 等于一呢，是开口向上的，它是一个正数，所以 a 大， 因为 a 等于一，所以 a 大 于零，所以开口就向上， 开口向上，这个我们在最开始就说了，对不对？ a 大 于零，开口向上， a 小 于零，开口向下，对吧？好，那么它与这个 x 轴的交点，一个是负三零，一个是二零，这里我画的稍微有一点点偏了啊，往这边挪一点点， 就这样，好吧，就这样，这个就是二零，然后呢，它的对称轴 这条直线就是 x 等于负二分之一，然后它这里的顶点呢，就是负二分之一，负六又四分之一，然后与这个 y 轴的交点就是零负六，你看 确实和这个顶点只相差一点点，对不对？好，那么它的图像我们就画出来了，而且图像上 能标出来的特征，我们都标出来，都标出来了，对吧？好，所以我们要掌握这个一般式转换成零点式，转换成焦点式，以及画二次函数图像的能力，知道吧？好，下面有几个题目，大家可以去截图，好吧？ 好，这里呢是前两个啊，前两个按照上面的标准去做啊，把它画成焦点式，画成零点式，再画图， ok， 好， 这前两个， 然后这是第三个，第四个以及第五个，题目都很简单，那重要的呢是答案，那前两个的答案在这里，大家可以截图， 然后第三个，第四个的答案在这里，以及最后第五个的答案在这里。好吧，好，那么这样的话呢， 咱们就把这个二次函数里面关于图像的一些一些知识点啊，全部讲解了一下，后续呢还有其他的性质需要分析，我们在后面再慢慢讲。
粉丝18.1万获赞31.0万
相关视频
21:53查看AI文稿AI文稿大家好，我是 c c 老师，欢迎来到新初三暑期衔接的第八讲。今天我们要讲的是二次函数于一元二次方程的第二课时。 首先先来回顾一下第一课时的内容，下列二次函数于 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值又是多少？由此你能得出相应一元二次方程的根吗？嗯，那显然 我们都能够通过 delta 判定出抛物线与 x 轴的交点，以及观察抛物线与 x 轴交点的横坐标，就能得出已知对应的一元二次方程的根。先来看第一个， y 等于 x 平方加 x 减二， 它的 durham 算出来就等于九，是大于零的。所以由此我们知道该抛物线与 x 轴有两个交点，而且是当 y 等于零时，求出 x 的 值就是该抛物线与 x 轴的交点， 就是该抛物线与 x 轴的公共点的横坐标。这个一元二次方程的根通过十字相乘，把负二分解成正二和负一，得出来， x 加二乘， x 减一等于零， x 的 值一个等于负二，一个等于一， 所以对应的横坐标就是负二、零以及一零。第二个，同样由 delta 等于零判定出该抛物线与 x 轴只有一个交点 方程， x 平方减六， x 加九等于零，得出来的值就是三，坐标就是三零。那同理，最后一个依然如此算出来的，它是小于零的，所以该 post 线与 x 轴并没有公共点， 也能得出与之对应的一元二次方程并没有十根。所以我们可以得出二次函数的图像与 x 轴的位置关系有三种情况，第一种，当 derta 是 大于零时， 它与 x 轴有两个交点，对应的方程就有两个不相等的时根，那第二种情况，当 der 它是等于零时，该抛物线与 x 轴只有一个交点，与之对应的方程有两个相等的时根，那。第三种情况，当 der 它小于零时 后，线与 x 轴没有交点，那与之对应的方程它也没有十根。下面我们一起想一想，二次函数 y 等于 x 平方减二， x 减一，它的图像如图所示，你能看出方程与 x 平方 减二， x 减一等于零它的根了吗？那由图像可知，这个抛物线与 x 轴的交点不为整数了，方程的根要精确到零点一，我们由图像得的并不是很精准，所以就不能观察图像直接得到了。那我们又该如何做呢？ 第一种方法，很可惜，我们考试不允许用啊！利用计算机进行探索，我们简单的了解一下就行，也就是分别令 x 取以下列数，输入对应 x 的 值， 然后运算得到与之对应的 y 值，就会发现，当 x 等于负的零点四时， y 等于负的零点零四， x 等于负的零点五十， y 等于零点二五，那 我们知道 y 由负到正之间必会有一个零，所以 x 一定是在负的零点四和负的零点五之间，所以 x 约等于负的零点四呀。 然后我们再来看第二种方法，从左往右看右侧与 x 轴的交点，我们用另一种方法来尝试解一下。怎么求解呢？观察图像可以知道， x 的 值是在二和三之间的， 所以 x 的 取值范围就在二和三之间，那么我们可以通过取中间值逼近的方法求它的近四根是什么意思呢？ 我们就可以取二和三的中间值，也就是二和三的平均数。记二点五， 发现当 x 等于二点五时， y e 值是大于零的， x 等于二十， y e 的 对应值是小于零的，所以进一步缩小 x 的 取值范是二和二点五之间呀。 下面我们继续利用中间值的方法继续逼近，也就是取二和二点五的平均值，令 x 等于二点二五十，算出来与之对应的 y 值是小于零的。 那由刚刚计算出来 x 等于二点五十的 y 值是大于零的。所以现在 x 的 取值范围我们进一步缩小，就是在二点二五和二点五之间 取到二点二五和二点五之间是否就可以了呢？并不是，因为小数点精确到一位之中还有二点三、二点四呀，所以我们继续求二点二五和二点五的中间值继续逼近， 也就是当 x 等于二点三七五时，算出来它的 y 值是小于零的。 二点二五与二点二五对应的 y 值是大于零的。所以现在 x 的 范围缩小到二点三七五和二点五之间，现在是不是依然也不可以精确到一位小数点有二点三和二点四，所以我们继续取它们两个的平均数继续逼近， 也就是计算当 x 等于二点四、三七五时，它的 y 值算出来结果是大于零的，所以现在 x 的 范围缩小到它们两个之间。我们现在再来观察 x 的 取值范围，且精确到小数点一位，它只有一个二点四呀， 所以 x 的 进四值就等于二点四。我们用线段法演示一下逼近的过程。首先，抛物线与 x 轴的交点是在二和三之间的，所以我们要取二和三的平均数二点五， 计算出当 x 等于二点五时，它的 y 值是大于零的，因此一负一正之间必有一个 y 等于零的结果。所以现在 x 的 范围缩小至二到二点五之间， 但是并没有达到我们要求的结果，所以我们继续逼进，取二和二点五的平均数二点二五。然后计算出当 x 等于二点二五时，它的 y 值是为负的， 所以负一正之间有零存在，所以 x 的 范围继续缩小至二点二五和二点五之间。但但按题目要求，精确至一位小数点，这里面是不是有很多个数据，所以并没有达到要求？我们继续逼近， 取二点二五和二点五的平均数，也就是二点三七五。当 x 等于二点三七五时， y 值是且负的，所以在一负一正之间有零存在，那 x 的 范围就进一步缩小至二点三七五和二点五之间。 和上面一样，在这个范围之内有多个精确一位小数的数据，所以我们要继续逼近，也就是取二点三七五和二点五的平均数。 当 x 等于二点四、三七五时，它的 y 值是正的，所以负正之间一定会有零的存在，那 x 对 应的范围就进一步缩小至它们两个之间呀。 现在在这个范围之内精确一位小数点，是不是只有一个二点四啊？就只有一个二点四。因此，我们可以通过以上的过程归纳出两个步骤。第一点就是观察函数图像于 x 轴的一个公共点的横坐标是在哪两个连续的整数之间， 然后通过取平均数的方法，不断缩小根所在的范围。下面来看这个例题，利用函数图像求方程它的实根，并要求精确到零点一。那根据上面探求，我们知道，首先第一步要画出 函数图像 y 等于 x 平方减二， x 减二它的图像，然后写出 x 轴交点的横坐标在 哪两个连续的整数之间，左侧的这一个是在负一和零之间，那右侧的这个是在二和三之间。最后通过取平均数的方法，不断缩小根所在的范围， 直至到取出根满意指定题目的要求为止。最后会得到这个方程的两个根，一个是 x 约等于负的零点七，另一个是 x 约等于二点七。 我们接着看利用函数图像求方程 x 平方加二， x 减十等于三的近似根。第一种方法就把三移到左边来整合，这个方程就变成 x 方加二， x 减十三。 首先我们就画出 y 等于 x 平方加二， x 减十三它的图像，然后求这个抛物线 与 x 轴交点的横坐标就是它的近似根啊。求近似根的过程就是刚刚我们演示的逼近的方法，判定两个焦点所在的连续两个整数的范围，左侧的是在 负五和负四之间，右侧的是在二和三之间。然后我们通过取平均数的方法， 直到逼近出我们要求的值就可以。第二种方法，如果是让我们利用函数的图像方法去求 x 平方加二， x 减十等于零它的根我们知道，就是求这个抛物线 y 等于 x 平方加二， x 减十 与 x 轴交点的横坐标啊，那现在的不同点是，一个是零，一个是三。取零时就是求与 x 轴的交点，而取三时就是求后线于 y 等于三交点的横坐标喽。 下面取近似根的方法就和上面的内容是一样，确定两个根是在连续的两个数之间，然后通过取平均数的方法，不断地缩小根的范围，直到取得根满意题目的要求为止就可以了。 接着看问题。一，函数 y 的 a x 平方加 b， x 加 c 的 图像如图。第一个空让我们求方程的根，那我们知道直接就是看与 x 轴交点的横坐标， 所以分别为负一和三。那我们继续看不等式 a x 平方加 b， x 大 于零的解集，等于零的，我们就是取于 x 轴的交点的横坐标，大于零的，也就是要在 x 轴它的上方的位置啊。后弦在 x 轴上方，对应 x 的 取值范围，一个是在负一的，一个是在负一的左侧，另一个是在三的右侧，所以 解集是 x 小 于一或 x 大 于三。那再来看最后一个， a x 平方加 b， x 加 c 小 于零。类似上面一个问题，我们知道 求不等式是小于零时，也就是取 x 轴下方的位置，那对应的抛物线也就是在负一和三之间的位置呀，所以对应的解集就是 x 大 于负一小于三。我们接着看下面一个练习。我们接着看下面一个练习。当函数决定的函数图像如图，那么方程 ax 平方加 b， x 加 c 等于二的根，那依然类比。 当 a x 加 a， x 平方加 b， x 加 c 等于零，就是取于 x 轴交点的横坐标。当 a x 平方加 b， x 加 c 等于二时，那此时就变成了求抛物线于 y 等于二的这条直线的 横坐标呀。那由图像我们可知，一个焦点的横坐标为负二，另一个焦点的横坐标为四，所以根分别为负二和四。那第二问，求不等式 a x 平方加 b， x 加 c 大 于二的解集，取大于二时，也就是求 后线要在二的上方时，对应的 x 值的取值范围。那我们根据焦点得出来，一个是在负二的左侧， 另一个是在四的右侧，所以解为 x 小 于负二或 x 大 于四。最后一个求 a x 平方加 b， x 加 c 小 于二的解集，我们知道小于也就是抛物线要在二的下方的位置，那对应 x 的 取值范围就是在负二和四之间呀，所以它的解集就是 x 大 于负，二小于四。 下面一起来看问题二，如果不等式 a x 平方加 b， x 加 c 大 于零， a 不 等于零的解集是 x 不 等于二的一切实数，那么函数的图像与 x 轴的交点有多少？ 根据题义，我们画出图像，因为没有告诉我们 a 是 大于零还是小于零的，所以两种情况我们都要画出来。我们先画第一种情况， a 大 于零时，它与 x 轴的交点状况有三种情况。我们首先如果是没有交点时， 题目中的解集要是全体实数了，和已知的解集不等于二不同，所以第一种情况不符合。那第二种，当他有 一个焦点时，对应的解集是除了这个焦点的情况，其他都满足啊，这种情况是符合的。那再来看第三种情况，有两个焦点时， 大于零的是对应的是一个 x 的 曲值范围，小于某个数或大于某个数，和已知的解集不同，所以根据图像我们可以得知，只有一个焦点。第二种， 当 a 小 于零，开口朝下时，那么画出图像，当它没有焦点时，那都是小于零的， 那没有大于零的，所以这种情况和已知不符合，只有一个交点时呢，也不符合题不等式大于零，没有解集，那第三种情况，有两个交点时，大于零的要在某个数据之间，也是和已知的解集不同， 所以结合上述图像，它只有一种情况，也就是开口朝上只有一个焦点，所以焦点的坐标就是二。零方程的解就是 x， 一 等于 x， 二等于二。 问题三，如果方程 a x 平方加 b， x 加 c 等于零，没有实数根，那么函数 y 等于 a， x 平方加 b x 的 图像与 x 轴交点的数量。那同样，我们首先先画出图像，它依然没有告诉我们 a 是 正是负，所以有两种情况呀， 当 a 大 于零时，又因为没有实根，所以与 x 轴就没有交点，我们画出的图就像这种情况，所以与 x 轴没有交点。第二种情况，当 a 小 于零时，开口是朝下的 方程，没有十根，所以对应的抛物线与 x 轴它没有交点，因此不等于 a x 平方加 b， x 加 c 的 解集是多少。那我们根据这两个图得出，当 a 大 于零时，它总是大于零的，所以小于零的是无解，由图二可知， 所以它的解集就是一切实数。我们接着看下面的两个例题，各图像求出 x 平方减 c， x 大 于五它的解集。 首先我们可以把五给它移到不等式的左侧，也就是变成了 x 平方减四， x 减五大于零的，也就是让我们求 y 等于 x 平方减四， x 减五大于零的解集，那我们通过画出抛物线 y 等于 x 平方减四， x 减五的图像，找到后线与 x 轴的交点，一个是负一，一个是五，那要取大于零的，也就是取 x 轴上方的位置， 也就是红色部分，那对应 x 的 取值范围，一个是 x 要小于负一，另一个就是 x 要大于五啊。 那第二个结合图像说出 x 平方减四， x 小 于五的解集，有图可知，小于五时，也就是这个抛物线要在 x 轴下方的位置，也就是这个图蓝色的部分，所以对应 x 的 取值范围就是在负一和五之间。 第二种方法还记得吗？我们同样也可以画出 y 等于 x 平方减四， x 它的图像呀， 通过画简图得出，开口向上与 x 轴的焦点分别为圆点和四， 然后再取它大于五，也就是取五上方对应 x 的 值呀。我们可以画图找到这两个焦点，一个是比左侧的要小，左侧的就是负一，右侧的就是 五，所依然得出来的范围是 x 小 于负一， x 大 于五。那第二题是求这个 抛物线 y 等于 a， x 平方减四， x 在 五的下方的位置，对应的范围就是在负一和五之间。两种方法你用哪一种都可以。上面的练习我们可以，我们可以归纳总结不等式的解，就是函数自变量、 x 的 取值范围三种的情况， 结合具体的图像我们举例，在这里我们举的是 a 大 于零的情况，如果是 a 小 于零的，自己可以课后探究与 x 轴交点的情况，以及不等式的解集。第一种情况，由图像可知，光线与 x 轴有两个交点，不等式大于零的情况， 它的解集就是取抛物线在 x 轴上方对应自变量的曲值范围，也就是两边跑的形式，对应的解集是 x 小 于 x 一， 或者 x 大 于 x 二，那小于零的情况，抛物线在 x 轴下方的位置， 对应的解集就是中间夹 x 大 于 x 一， 小于 x 二。 第二种情况，当的儿它等于零时，凹陷于 x 轴有一个交点不等式大于零的情况是， 只要不等于交点处的 x 值，也就是 x 不 等于负的二， a 分 之 b 小 于零的情况，由图可知是不存在，也就是无解。那最后一种情况的，儿它小于零时，由图像可知是与 x 轴没有交点的， 那不等式大于零的情况是取全体实数小于零时是不存在的，也就是无解。下面我们一起来练一下利用图像法解一元二次方程的不等式。那首先第一点，我们要把这个抛物线给它画出来， 抛物线与 x 轴的交点为负一和三，我们要取的是大于零的，也就是取抛物线在 x 轴上方对应 x 值的范围，所以 x 是 大于三或 x 小 于负一， 对应 x 的 范围就是在负一和三之间，所以解集就是 x 大 于负一小于三。那第二题方程上利用图像法解一二次不等式， x 平方减一大于零， 我们简单的画一下 y 等于 x 平方减一抛物线的图像，知道它是由 y 等于 x 平方向下平移一个单位得到的， 那与 x 轴的焦点分别为负一和正一不等式。取大于零的，也就是取 x 轴上方部分图像对应自变量的取值范围。由图像可知， 不等式的解集为 x 小 于负一或 x 大 于一啊。接着我们看一次函数与二次函数相结合的不等式的题目，如图所示，二次函数的图像与正比例函数的图像交于点 a， 与 x 轴交于点 b。 若 y 二大于 y 一 大于零，求 x 的 取值范围。那我们来看 y 二大于 y 一 的部分，也就是一次函数要比二次函数要大，也就是对应的是 o a 这一部分。 那再来看 y 一 大于零，也就是抛物线要在 x 轴的上方，这两种情况都要满足，也就是取它们的公共部分二和三之间呀。所以对应的取值范围就是 x 大 于二， 小于三。还有一种方法就是把这个式子给它拆分成不等式组， y 二大于 y 一， 然后是 y 一 大于零。由第一个不等式我们知道，要使得一次函数大于二次函数，也就是直线要在抛物线的上方的位置，也就是这一部分呀， 所以它的范围是零和三之间。然后第二个不等式 y 一 大于零， 那对应的抛物线要在 x 轴的上方，它的取值范围就是 x 要小于零或 x 要大于二，取两个的公共部分，所以最终 x 的 取值范围就是大于二，小于三。 最后是本节课的课后练习，自己做一下相应的答案，我会打在对应的题目旁边。下节课我们继续讲解。下节课我们继续讲解二次函数的实际应用。下节课，下一节课，下一节课继续讲解二次，下一节课继续讲解二次函数的应用。
280Cc老师教数学
02:30查看AI文稿AI文稿我们互课版的九年级数学到底是个什么难度？昨天有家长问，我说他听同学家长说的，说九年级数学非常难，一定要报一个班学一学。那我来给你们说一下，初中三年 初三的数学相当于个什么档次？那七年级数学，那就是初一数学，相当于我们小学一年级，刚接触我们初一大量的计算，还有很多都可以吃小学的底子，你只要计算好，你基本上分都不会太低。初二的数学 相当于三年级接触英语了，那种第一次接触英语，那就是相当于八年级。我们的数学一到一次函数，到我们的全等有几何了，需要初步的数学思维在里面了。 好，九年级的数学相当于什么？相当于今年新改版的六年级的数学和英语。全新改版没有学过之前的 九年级的数学啊，很多人学不明白，这个全国学的都比较都比较困难。二次函数，反比例函数， 对吧？相似圆。这个都是中考里面的大题，就他要么出现，要么要么不出现，要出现都是大题，大题是必考的，必有一题是他，你说他难不难？重不重要？很重要，难不难？难，能不能学好？能， 如果说你现在上九年级数学，你还对吧？学不会，学不好说明你菜菜怎么办？菜要多练是不是？多做题，多消化，多总结就可以了。 智商不够，我们勤奋来凑。目前初中说实话，呃，用不多少智商，基本上你勤奋一点，你多练一点，不说一百五，你考个一百四吧，你最起码上一百二是没有问题的。那如果说你懒，你各种各样借口一说，你就说太难了，学不好，学不会。 我这边有个孩子，我说你这个数学你不是学的还好吗？他说以前我觉得我自己是个弱智，说觉得他自己智力有问题。我说你英语考的多，他说我一百二的考一百零五，我说你智力一点问题没有呀？他说我感觉我一直都不好，就感觉我自己学不好了。 这个还真不是数学，目前初中的数学如果说你不好，还真上升不到多多。智商可能会有，但是没有那么太大的挂钩。所以初三的数学很重要，而且 在中考占比分数非常高，而且还很难学。这个你一定要去多练，暑假衔接，一定要好好做衔接。好吧，大家一起加油。
110蚌埠数学物理马老师
05:39查看AI文稿AI文稿同学们，大家看温室大棚这个实际问题，周长固定的长方形，边长改变，面积随之变化。 我们以前学的一次函数只能描述直线式的变化，可生活中很多事物的变化是曲线变化，求最大面积、最大利润，物体运动轨迹都需要新的数学模型。这就是我们本章学习的二次函数， 它是初中数学重中之重，是刻画曲线变化规律的有力工具，连接初中与高中数学。现在我们就借助这个温氏面积问题，开启二次函数的学习， 用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量， y 与 x 之间的关系。一、圆的面积 y 平方厘米与圆的半径 x 厘米。二、王师傅存入银行两万元，先存一个一年定期， 一年后将本息转存为又一个一年定期，设年利率均为 x， 两年后王师傅共得本息 y 元。 三、一个温室连同外围通道的矩形平面图，如图一减一，这个矩形的周长为一百二十米，设一条边长为 x 米，种植用地面积为 y 平方米。 上述三个问题中，函数表达式具有哪些共同的特征？上述三个函数表达式均可化简为， y 等于 a 乘以 x 的 平方，加 b 乘以 x 加 c。 abc 是 常数， a 不 等于零的形式。 我们把形如 y 等于 a 乘以 x 的 平方，加 b 乘以 x 加 c。 其中 a、 b、 c 是 常数， a 不 等于零的函数，叫做二次函数，称 a 为二次项系数， b 为一次项系数， c 为常数项。 例如，二次函数 y 等于负 x 的 平方，加五十八 x 减一百一十二的二次项系数 a 等于负一 一次项系数， b 等于五十八，长数项 c 等于负一百一十二。二、次函数 y 等于 pi， 乘以 x 的 平方的二次项系数 a 等于 pi， 一 次项系数 b 等于零，长数项 c 等于零。 例如，图一减二，一张正方形纸板的边长为两厘米，将它减去四个全等的直角三角形。图中阴影部分 设 a， e 等于 b， f 等于 c， g 等于 d， h 等于 x 厘米。四边形 e、 f、 g、 h 的 面积为 y 平方厘米。 一、求 y 关于 x 的 函数表达式和自变量 x 的 取值范围。二、当 x 分 别为零点二五、零点五一、一点五、一点七五时，求对应的四边形 e、 f、 g、 h 的 面积并列表表示。解一、由提意， 零小于 x 小 于二， y 等于二的平方减去四乘以二分之一乘以 x 乘以 二，减 x 等于二， x 的 平方减四， x 加四。即所求函数表达式为， y 等于二， x 的 平方减四， x 加四， x 的 取值范围为零小于 x 小 于二，二、 当 x 等于零点二五厘米时， y 等于二，乘以零二十五的平方，减四乘以零点二五加四等于三点一二五平方厘米。依次计算可得，当 x 等于零点五厘米时， y 等于二点五平方厘米。 当 x 等于一厘米时， y 等于二平方厘米。当 x 等于一点五厘米时， y 等于二点五平方厘米。 当 x 等于一点七五厘米时， y 等于三点一二五平方厘米。列表如下。例二，已知二次函数 y 等于 x 的 平方，加 b 乘以 x 加 c。 当 x 等于一时，函数值是四。当 x 等于两时，函数值是负五，求这个二次函数的表达是减。 把 x 等于一， y 等于四， x 等于二， y 等于负五，分别代入函数式， y 等于 x 的 平方，加 b 乘以 x 加 c， 得方程组一加 b 加 c 等于四，四加二， b 加 c 等于负五。 解这个方程组得 b 等于负十二， c 等于十五。所以所求二次函数的表达式是， y 等于 x 的 平方，减十二， x 加十五。 课内练习说出二次函数 y 等于 a 乘以 x 的 平方，加 b 乘以 x 加 c， a、 b、 c 为常数， a 不 等于零的自变量。 x 的 取值范围。 选学二已知二次函数 y 等于 a 乘以 x 的 平方，加 b 乘以 x 加 c。 当 x 等于两时，函数值是三。当 x 等于负，两时，函数值是二。当 x 等于四时，函数值也是二。求这个二次函数的表达是 一核心定义。一般的形如 y 等于 a 乘以 x 的 平方，加 b 乘以 x 加 c， a、 b、 c 为常数， a 不 等于零的函数叫做二次函数。 关键要点， a 不 等于零是二次函数的必备条件， a 等于零时退化为一次函数 b、 c 可以 为零，不影响二次函数属性。
71数学刘老师
05:45查看AI文稿AI文稿初三二函数有三种必考的解一式、一般式、顶点式和焦点式。但是几乎有一半的同学都是只会一般式，不管什么题目都是硬套三元一次方程组，另外的两种完全不会。 今天梁老师通过这三道经典的例题来给大家讲一下二次函数的三种解一式。来，我们先看第一种啊， 一般式。什么是一般式？就是 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 其中 a、 b、 c 为常数，并且 a 不 等于零，这个就是一般式。 那么一般式怎么用呢？如果题目中给了三个点，你看这三个点也没有什么特殊性，它既不是焦点，也不是顶点，那么这种情况下我们就可以用一般式， 就是你把这个 a、 b、 c 给它带进去，求一下这的小 a 小 b 小 c 就 行。好了，那咱们现在来带一下啊！来，首先点 a 带进去， x 是 零， y 是 一，就是零，加零加 c 等于一。好，我们再把点 b 给它带进去， x 是 一， y 是 四，就是 a 加 b 加 c 等于四。好了，再把点 c 带进去就是四， a 加二， b 加 c 等于九。好，你看由这个我是不是得出来 c 等一，然后把 c 等一，给它带入到第二个和第三个里头去求一下 ab， 你看带入到二三的话，就是 a 加 b 加一等于四，带到这个里头就是四， a 加二， b 加一 等于九。哎，然后我就可以把 abc 都给它求出来， a 是 一， b 是 二， c 是 一。 所以这个二次函数的解析式就是 y 等于 x 的 平方加二， x 加一。好，这是一般式。那么接下来我们再来看一下顶点式。什么是顶点式？就是 y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方再加 k， 这个就是顶点式。那这里边的 h k 是 什么呢？ h k 是 它的顶点坐标，那么顶点是怎么用呢？咱们来看这道题，说二次函数 y 的 a x 平方加 b x c 的 图像，它的顶点坐标是负三四， 当题目中明确地出现了顶点，我们就可以用顶点式，所以这里边的 h 是 负三， k 是 四。好，那我现在可以设这个二次函数的减去式，是 y 等于 a 倍的 x 减负三，就是 x 加三的平方，然后 再加四。好，你看现在是不是只剩下了一个字母，需要我们去求怎么办呢？这不是还有一个点吗？你把这个点带进去，把 a 求出来就行。好，我们来带一下我们 x 是 负一， y 是 零，就是 a 倍的负一，加三的平方再加四 等于零，这个 a 求出来就是负一。所以这个二次函数的极式是 y 等于负的， x 加三的平方 再加四，然后你把它化成一般式，就是负的 x 的 平方减六， x 再减五。好，这是第二种顶点式。那么接下来我们来看第三种 焦点式。什么是焦点式？ y 等于 a 倍的 x 减 x 一， 乘以 x 减 x 二，那这个就是焦点式。其中 x 一 x 二是什么呢？ 它是这个二次函数与 x 轴两交点的横坐标。比如说，我给你举个例子啊，你看这个抛物线与 x 轴的两个交点，假如说这个点是负一， 这个点是二，那么这里边的 x 一 就是负一嘛， x 二就是二嘛。那这个二函数的解一式就是 y 等于 a 倍的 x 减负一，就是 x 加一，然后再乘以 x 减二。 就是当题目中明确的出现了焦点的时候，我们就可以用焦点式。好，那咱们来看这道题目， 你看这道题目说它与 x 轴交于 a、 b 两点，所以 x 一 是负二， x 二是三，我们是不是可以用交点式？我设它的解析式为， y 等于 a 倍的 x 减负，二就是 x 加二，再乘以 x 减三。这里边是不是只有一个 a 需要我们求出来，那么你把这个点 c 给它带进去求 a 就 行。来，我们带一下。 x 是 零， y 是 六，就是 a 倍的零加二乘以零减三等于六，那么 a 等于负一。 所以这个二次函数的解析式就是 y 等于负的 x 加二，乘以 x 减三，把它化成一般式，就是负的 x 平方加 x 再加六。那么二次函数的三种解析式大家听懂了吗？杨老师这里呢还整理了二次函数必考的十大题型，大家可以打印出来拿去练习，开学领跑新初三！
3382梁老师讲初中数学
13:25查看AI文稿AI文稿亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们学习的内容是新的一章，第二十六章二次函数。那首先我们先了解一下什么叫做二次函数，那在今天的课程中，我们主要掌握的是，第一个会列二次函数表示实际问题中两个变量之间的数量关系。 第二个能够判断所给的函数是否是二次函数，并且能够说出二次函数中项与各项的系数。那让我们一起进入到今天的课程。 首先问你是否注意过喷泉水流所经过的路线，那你是否注意过篮球入篮的路线，还有它们会与某些函数有联系吗？ 那这一节课我们将会了解到。首先回顾什么叫做函数，在八年级 还记得吧，八年级下册一次函数中，我们首先学习到的是函数，对吧？一般的在一个变化的过程中，如果有两个变量， x 和 y， 并且对于 x 每一个确定的值与之对应，那么我们就称之为 x 是 自变量， y 是 x 的 函数。 那我们在八年级下册的学习过程中，我们也提到了函数，它最主要的是一一对应的关系哈，这个一一对应指的是对于 x 为一确定哈， x 有 一有一个确定的指， y 有 唯一确定，明白不 好？那当然，在目前为止，我们已经学习过了哪些函数呢？我们只学习过谁一次函数，对吧？我们学习完了一次函数的概念，一次函数的图像与性质，借助一次函数的图像去研究它的性质。那再利用一次函数的应用， 在我们本章二次函数的学习过程中，仍然遵循着是函数一般研究的路径概念，利用图像去判断它的性质，再得到它的应用。那首先我们来看 在一次函数的过程中，我们将讲到当 b 为零的情况下，它又叫做正比例函数，对吧？好，那现在我们来看一下这道例题。 用长为四十米的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积为 y， 会随矩形一边长 x 的 变化而变化。问 x， y 与 x 之间有着怎么样的关系？大家知道 长为四十米，那就说明这个周长是四十，对吧？周长是四十，那矩形的一边长加上另外一边长和的二倍等于四十，是不是？所以我们就可以用含有 x 的 代数式去表示另外的一条边长，那我们可以得到 y 是 不就等于 x 乘上四十除以二减 x， 那 化简之后，我们可以得到 y 等于负 x 平方加上二十 x， 那 在这个函数表达过程中，我们发现这个函数它并不同于我我们的一次函数。一次函数指的是形容 y 等于 k， x 加 b， 且 k b 为常数，且 k 不 等于零，对吧？ 那既然它不同于一次函数的新函数，所以我们在这里面我们将会研究啊。研究问题一， n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，这是不是我们前面所学习到的一元二次方程中里面的单循环，对吧？比赛的场次 m 与球队说之间 n 之间有着怎么样的关系？那在单循环比赛过程中，我们知道 m 就 应该等于二分之一 n 乘 n 减一啊， 可以吧？好，每支球队与其他多少支球队比赛一场，是不是 n 减一支啊？那所以我们总共比赛的场次 m 就 等于二分之一， n 乘 n 减一， 那么对这个世界进行化解，我们可以得到 m 等于二分之一， n 的 平方减去二分之一。那再观察这个函数，它并不是我们所提到的一次函数，对吧？ 好。第二道立体每种产品现在的年产量是二十吨，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加 x 倍， 那么两年后这种产量的年产量 y 将由 x 值的确定。请告诉我 y 与 x 之间的关系，每一年都比上一年的产量增加 x 倍，所以我们就知道一年后的产量，那是不是就等于二十乘上一加 xt？ 那 两年后是不是在一年后的产量上又增加了 x 倍？所以我们是不是在一年后的基础上再乘上个一加 x， 因此我们得到的是 二十乘上一加 x 的 平方，所以两年后的这个年产量 y， 它是不是就可以表示为二十乘上一加 x 和的 平方？能理解吧？那同样，这个函数化简之后，我们得到的是 y 等于二十， x 的 平方加上四十， x 加二十。很明显，它也不同于我们所提到的一次函数。 那观察这三个函数有什么样的共同特征，我们不难发现，此时这三个函数，它们的解析式都是整式，对吧？其次，我们还能够知道 自变量的最高次数是不都是二，自变量的最高次数都是二，那观察我们就可以知道。所以类比于一次函数的概念，我们把形如 y 等于 a， b， c 为常数，且 a 不 等于零， a 不 等于零，就必须保证着我们的这里的二次函数，它必须含有二次项哈，必须含有二次项， 那像这样的函数，我们就叫做二次函数，其中 x 是 自变量 abc， 看清楚哈， abc 分 别是函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项。 那在这个函数中，我们还提到的有二次项，那二次项指的就是 a x 平方，一次项，那指的就是 b x 常数项就是 c， 能理解吧？好，那理清楚啊，理清楚， 理清楚我们二次函数的解析式的概念之后，我们必须要理解的就是所有的二次函数必须要满足的三个条件，第一个是解析式，必须都是整式。第二个自变量的最高次数是二。第三个二次项系数不能为零，明白了吧？那根据它的性质我们来看， 讲到二次函数的一般形式是 y 等于 x 平方加上 b， x 加 c， a， b c 为常数，且 c 不 等于零。抱歉啊，且 a 不 等于零。既然保证 a 不 等于零，那就意味着 b 可以 等于零， c 是 不是也可以等于零？所以二次函数还有其他的特殊形式， 当 b 等于零， c 也等于零的时候，二次函数是不是就是 y 等于 x 平方，对吧？那它只含有二次项，它不含有一次项和常数项，它的一次项和常数项都为零。 那还有，当 c 等于零的时候， y 是 不等于 a x 平方加 b x， 它不含有谁常说项啊？那当 b 等于零的时候，那我们就得到了 y 等于 a， x 平方加 c， 那 它不含有什么？不含有一次项， 所以根据二次函数的定义，我们就可以知道，一次项系数和常说项是可以为零的，但是二次项的系数 a 一定不能为零， 那根据我们所掌握的这个，那现在大家来看看以下几道例题，判断下列函数中哪些是二次函数。若是二次函数，请指出它的二次项系数。一次项系数和常数项 啊，我们要对函数进行一般，嗯，我们要对它进行转化成一般形式哈。所以这个我们是不是得到了三倍的 x 平方减去二， x 加一再加一， 三 x 平方减去六， x 加三加一是不加四，那观察是不是是，对吧？第一个是二次函数，其中二次项系数是三，一次项系数是负六，常数项是四，理解吧。 而第二个中，大家此时会发现它是不是整式？不是，它是分式，是吧？我们的二次函数啊，解析式哦，解析式部分必须是整式哈，所以第二个它就不是， 明白吧。而第三个观察， s 等于三减二 t 方，那其实稍微，那是不就是我们的负二 t 方加三，是不是？是，那我们的二次项系数是负二，一次项系数，一次项是不是没有一次项系数就是零？常数项是谁？三，还行吧。好， 那这基本上没什么太大的问题哈。 好，那剩下的这个我们讲到的哈，我们要对它先进行干嘛化解来， x 平方加上六， x 加九减去 x 平方等于六， x 加九，很明显不含有二次项，所以它不是二次函数。 后面这个实派尔方，那在这里面尔方尔是自变量，那我们发现它是不是二次函数是，其中二次项的系数是实派，常数项和一次项都没有，所以它的系数分别是零。 第三个哈啊，第第六个，在这里面，虽然形式上 a x 平方，但是它没有强调 a 干嘛不等于零，所以我们的这一个也不能称之为它是一个什么二次函数，明白吧？ 好，那我们就知道，从这以上六个例题中去判断一个函数是否是二次函数，我们只要看原函数与整理后之后啊，要把原函数 整理啊，整理化简后之后的形式再进行判断，也就是说，把它转换成一般形式之后，我们再看它是否满足 a x 平方加 b， x 加 c， 其中 a b c 为常数，且 a 不 等零就可以了。 好，那现在题目中告诉你，已知函数它是二次函数，大家就知道了，是二次函数，它一定得含有二次项，二次项前面的系数不能为零，所以看见二干啥不能等于零，因此看不等于二就可以了哈。 好，那现在函数告诉你，它是一个二次函数，让你去求 k 的 值，那观察此时有没有二次项，这是一次项，这是常数项，那是不是只能它是二次项？它是二次项的话，那 k 减三是不是等于二？所以 k 等于几五啊？ 好，那现在题目中又告诉你，它是一个二次函数，求 m 的 取值范围和函数的解析，那大家就知道，首先我们得保证 n m 方减二等于谁等二。其次， m 减二干啥不能等于零，对吧？要含有未知数啊，自变量啊，所含自变量的这一项，它的最高次数是二，且且啥？二次项前面的系数不能等于零，对吧？所以我们因此得到了 m 应该等于负二， 那 m 等于负二，那函数解析式 y 是 不就等于负四？ x 的 平方加四，总体还算比较简单，对吧？大家只要能够理清楚我们二次函数的概念就可以了啊。 好，第二个，那我们看看能否在实际问题中，根据题目中所存在的数量关系去列出函数解析式。现在一个圆柱的高等于底面半径高等于半径哈，写出它的表面积，表面积 s 是 不等于 底面圆？两个加上侧面积是不是底面圆？那是不是派耳的平方？上下几个两个再加上侧面积，侧面积是不是它的周长成高？周长，那是不是就是我们的 二派耳再成高，所以我们就得到的是四派耳方，还行吧。 好，第二个问题，一种产品某年的销售量是八万减，由于其他新产品的出现后两年的年收量有所下降。年平均下降率啊，看到年平均，那这个某年是八万，一年后那是不是八乘一减 x 能理解吧？那两年后，那是不是在一年后的基础上又下降？那是不是应该是八乘一减 x 的 啥平方？所以我们就可以得到 y 等于八乘一减 x 差的平方，那换点之后我们就可以得到 y 等于八 x 平方减去十六 x 加八。 好，那现在这个我们是根据刚刚的前面题目内容中讲到，写出下列函数中的二次项系数，一次项系数和长数项。现在只让你写系数哈，观察。第一个二次项的系数八，一次项的系数负十六，长数项八。第二个二次项的系数一，长数项和一次项都没有，所以是零零。 第三个二次项的系数二分之一，一次项的系数五，长数项没有零。最后一个要干啥？ 要化简，先把它转化成一般形式，所以得到的是二 x 平方减去四， x 加二，再减五，所以等于二 x 平方减去四， x 减三。因此二次相系数二，一次相系数负四，常数项负三。还行吧， 那这一道题的话就留给大家来做了哈。如图，矩形绿地的两边长各增加 x， 扩充后的绿地面积扩充之后，那这个非常简单了，是吧？扩充后矩形 y 等于长乘宽，那就是三十加 x， 再乘上我们的 二十加上 x， 所以 得到是 x 平方加上五十 x， 再加上六百，简单。 哈哈，这个问题你自己写吧。好吧，那我们今天这节课就上到这里了，拜拜。
563数学魔法屋
13:58查看AI文稿AI文稿同学们好，这节课我们学习初中数学九年级上册第一章的第二节。第二个知识点啊，和上节课是一样的，二次函数的图像。 上节课我们学的二次函数的哪几个图像？第一个是 y 等于 a x 平方，第二个 y 等于 a x 平方加 c， 第三个 y 等于 a 倍 x 减 m 的 平方，第四个 y 等于 a 倍 x 减 m 的 平方加 c， 这四个图像对不对？我们研究哪些东西啊？第一研究它的开口，第二研究它的对称轴，第三研究它的顶点对不对？ 那么这四个函数的图像啊，它都是可以通过上下左右平移而得到的，对不对？ 那么我们举个例子说第三个吧，第三个在第一个的基础上怎么移动呢啊？第三个是在第一个的基础上左加右减，对不对？那么减的话就相对向右平移 m 个单位，那么第四个呢，就相对先向右平移 m 个单位，再向上平移 c 个单位，对吧？ 关于这四个函数的啊，他的对称轴，零点开口这些我们这节课就不再重复讲了。这节课呢，我们选一个更重要的 啊，最普通的一个二次函数的表达式， y x 平方加 b， x 加 c， 大家还记得 啊？九上我们上的第一节课啊，其实就写了这个东西，对吧？二次函数的表达式，其实我们做题目大部分也是这样的形式，那么这种函数的图像怎么画？这第一个问题，第二个问题，它的对称轴开口啊，顶点坐标这些怎么来确定？ 我们一方面可以在函数图像，在这个平面直角坐标系把这个图像给画出来，另外一方面呢，我们能不能把它写成 啊？这种形式 y 等于 a 倍， x 减 m 的 平方加 k 啊？如果说能写成这样的形式，那么它的对称轴我知道，顶点坐标我也知道，对不对？像这个的话，它的对称轴是不是 x 等于 m 啊？这对称轴对吧？它的顶点坐标呢？就是 m k， 对 不对？ 如果说能写成这样的话，那么他的对称轴和零点坐标我都能搞定，对吧？如果再知道开口就是 a 的 大小，那么函数图像我是不是就可以画出来了，对不对？哎，这个其实肯定是可以的，对吧？那我既然都这样讲了，那肯定是可以的，我来大家带着大家啊，这个 推一遍啊，但是大家下去一定要自己动手，这样写一遍，加深印象。好，我们是要是不要对它进行配方啊， y 等于 a 倍，我把 a 倍提出来，对吧？里面就是 x 平方加上 a 分 之 b， x 再加 c， 这一步肯定是没有问题的，对不对？他继续等于 a 倍， x 平方加上 a 分 之 b x， 你 看啊，我怎么配平方，大家注意看，加上二 a 分 之 b 的 平方减去二 a 分 之 b 的 平方 加 c， 我 为什么要加上这个东西啊？加上这个东西的目的是让这三个成为一个整体，大家看这这三个是什么整体？它是不是这样的一种形式？ x 平方加上二 a， x 加上 a 平方， 是不是这样的模式啊？大家注意看啊，这个二 a 分 之 b 的 平方，二 a 分 之 b 乘以二，就是 a 分 之 b 嘛，对不对？刚好就是这样的，对不对？所以我是不是可以抽个完全平方啊？能不能写个完全平方就等于 a 倍， 里面就是 x 加上二 a 分 之 b 的 平方，然后再把这个把它继续写，对吧？那么是不是乘一个 a 呀？它本来等于四 a 平方，分之 b 平方，再乘以外面一个 a， 就是 减四 a 分 之 b 平方，再加 c， 这一步应该是没有问题的啊，那么就继续等于 a 倍 x 加上二 a 分 之 b 的 平方，减 c 平方， 是不是到这一步了？好，这一步我们就化简到这里结束，同学们下节自己一定要化啊！我再次强调，那么写成这种形式的话，是不是就 到了我们熟悉的领域了？那么他的对称轴是哪里啊？是不是就念这个东西等于零？ x 加二 a 分 之 b 等于零，那么 x 就 等于负的二 a 分 之 b， 这是什么对称轴对不对？ 顶点呢？我们一直在讲，顶点的横坐标就一定是对称轴，对不对？那么顶点的横坐标就是负了二 a 分 之 b 重坐标呢？把负的二 a 分 之 b 带进来嘛，带进来前面就等于零了，后面呢就是负的 哦，这里是加加加上四 a 分 之四 a c 减 b 平方，对不对？ 能够看得明白吗？所以说呢，这个一般式的啊，二次函数一般式，我们把它的对称轴就是负的二 a 分 之 b， 顶点呢，就是负的二 a 分 之 b， 四 a 分 之四 a c 减 b 平方，我们就把它给搞定了啊，搞定了，所以说呢，给我们任何一个 二次函数，只要我知道三个系数，那么我就可以很快的把它这个表达式给啊，这种化简成这样的形式，对吧？这种形式叫什么？叫顶点式啊？顶点式。什么叫顶点式啊？就是一眼能看出顶点坐标的，它就叫顶点式，对不对？好，我们就继续往下讲，好吧， 这个图像的画法我们就不画了啊，一方面呢，可以描点法，就是把这几个点描出五六个点出来，把这些点连成一条光滑的曲线，这是第一种方法。第二种方法呢，就是刚才老师讲的这种 配方法，对吧？把顶点找出来，比如说在平面直角坐标中顶点假设。在这里我知道了，开口向上，开口向上，那大字就是这个样子了，对不对？哎，不讲了， 这个也讲过了，我们看一下啊，这个关于 二次函数 y 的 a x 平方加 b， x 加 c， 这个函数向上向下向左向右平移，它的表达式变成什么样？向上向下非常简单，对不对？比如说向上平移 k 个单位，是不是在它的后面加个 k 啊？ 如果向下平移 k 个单位，就是在它的基础上减个 k 嘛，对不对？很简单，如果向左向右呢？ 如果在这个的计算向左平移 m 个单位，或者向右平移 m 个单位呢？我们先讲向右啊，向右的话左加右减，对不对？就是 y 等于 a 倍， 向右的话，是不是移动的是 x 啊？应该是 x 减 m 的 平方加上 b 倍 x， 有 x 的 都要减啊，都要减，这就是向右平移 m 个单位，向左呢，就是 y 倍 y 乘 a 倍 y 等于 a 倍 x 加 m 的 平方加上 b 倍 x 加上 m 加 c， 明白吧？只要是 x 的 地方都要加，都要减，对吧？向左就是加，向右就是减，左加右减。 嗯，好，我们来稍微拓展一点点知识啊，因为这一张实在太重要了。对于二次函数，它的图像上啊，假设有两个点， p 一 点和 p 二点，对吧？ 那个如果说这两个点关于这条直线对称，这条直线是什么？ x 等于负的二 a 分 之 b， 是 不是就对称轴啊？对不对？那我换个图像出来啊，对称头，这个这是什么？ x 等于负的二 a 分 之 b， 如果说有两个点，这里是 p 一 和 p 二，这个两个点关于对称轴对称的话，那么 y 是 不是相等呢？大家的 y 都是相等的，对不对？ y 相等，那 x 有 什么关系呢？我告诉大家， x 的 平均值 x 一 加 x 二再除以二，就等负的二， a 分 之 b 就是 两个两个点的横坐标的平均值，就等于对对称轴所对应的平均值。 我不知道大家能不能明白，这是可以证明的，可以证明的。令这段长度为 m 吧，对吧？令这段长度为 m， 那 么这个 x 一 加 m， x 一 加 m， 就 等于负的二 a 分 之 b， 没问题吧？啊？ x 二 二减 m， 同样等于负的二 a 分 之 b， 然后这个一四和二四相加，对吧？一四和二四相加，那么就等于二分之一被 x 一 加 x 二就等于负的二 a 分 之 b， 同样的道理啊，反之，同样的道理， 两个点如果满足两个点的纵坐标相等，那么横坐标之合再除以二，横坐标之合除以二，就等于负的二 a 分 之一，对吧？啊？证明的话自己去证明了。证明这个题我们不做了，我们继续看这个啊，继续看后面的知识点，这个就是配方法啊，配方法 我们看这个啊，二次函数 a x 平方加 b， x 加 c， a 决定什么？ a 决定开口方向对不对？但是 ab 决定这个对称轴大致位置，什么意思呢？就是 ab 的 符号决定对称轴在 y 轴的左边还是 y 轴的右边， 我们来证明一下，可以吧？假设 ab 大 于零，可以吧？我假设 ab 大 于零，那么 a 乘以 b 分 之一呢？肯定也大于零了，对吧？ 这个没问题吧？ b 和 b 分 之一肯定同号，那么 ab 和 a 乘以 b 分 之一也肯定同号，等于说就是 a 除以 b 大 于零，那么 a 除以二 b 呢？哦，不对啊，写错了，写反了，写反了， 写反了， b 乘以 a 分 之一就大于零二、 a 分 之 b 大 于零，这个也没问题，是吧？那么负的二 a 分 之 b 小 于零，这个也没问题，是吧？那么负的二 a 分 之 b 小 于零， 负的二根分之 b 是 什么呀？是不是对称轴啊？对称轴，就是说 ab 如果大于零，那么对称轴小于零，也就是说对称轴在 y 轴的左边，反过来说 ab 小 于零，那么对称轴就大于零，对称轴就在 y 轴的右边， 所以大家听明白了吧？我有没有讲明白啊？ c 的 符号决定 y 轴交点的位置，这个就太简单了，对吧？令 x 等于零， 令 x 等于零，那么 y 轴呢？ a x 平方加 b， x 加 c 的 话，就等于 c 嘛，对不对啊？这种情况对吧？比如说这个，这个地方就是 c 的 值与 y 轴的交点，这个值就是 c， 那么 b 平方减四 a， c 呢？ b 平方减四 a c， 这就涉及到一元二次方程了，对不对？一元二次方程，第二它等于什么？第二它就等于 b 平方减四 a c 嘛，第二它大于零，第二它大于零。无解，无解的话就是这个函数与 x 总有交点，第二，它等于零， 就只有一个减，对吧？一个减的话，就是函数与 x 轴有一个交点，第二，它大于零呢，对吧？就有两个交点，两个交点，两个减，两个交点，其实它们是相通的啊。 呃，第三个拓展呢？我们再来讲一些特殊指啊，我画个图像给大家做一下这个题目就明白了。画个图像，就 假如这里是零，这里是一，这里是二，这里是负一，这里是负一，大家来判断 a 是 不是大于零的 c 呢？小于零了，对不对？当 x 等于零的时候， y 等于 c 小 于零了，那么 a 加 b 加 c 呢？ a 加 b 加 c， a 加 b 加 c 的 话，实际上就是这个东西啊，这个东西在 x 等于一的之后的取值， 你看 x 等于一的时候， x 等于一的时候， y 等于什么？ x 等于 y 等于 a 加 b 加 c， 对 不对？那么一对应下来的 y 是 不是负数啊？这个点是负，所以说小于零呢，对不对？那么 a 减 b 加 c 呢？ a 减 b 加 c 呢？ 就是 x 等于负一嘛，对不对？ x 等于负一， y 等于什么？就是 a 减 b 加 c， 这个时候是什么？负？一对上去是不是大于零了？ 那么四 a 加上二， b 加上 c 呢？就是 x 等于二，对不对？ x 等于二，对上去 y 是 不是大于零了？大于零。讲解完毕，我们一画个图，这个知识点就搞定了，对吧？ 好，做个题目，二次函数是这样，图像如图所示，下面给出结论，他说 b 小 于零， b 小 于零的话，我没办法看到，我要借助对称轴，对不对？借助对称轴，对称轴的话，在 y 轴的右边，对吧？所以说负的二 a 分 成 b， 对 称轴在 y 的 右边，所以说是大于零呢，对不对？ 同时呢， a 是 什么样呢？ a 是 小于零的，那么负的二 a 分 成 b 呢？ 大于零，那么 b 只能是大于零了，对不对？ b 肯定大于零了，或者说你看这个对称轴在 v 轴的右边，那么 ab 小 于零， ab 小 于 a 是 小于零的，那么 b 只能大于零，这样也可以，对吧？第二个，它说 c 大 于零， c 的 话，就是 x 等于零的时候，这一端就是 c， 对 了，对吧？ 第三个， a 加 b 加 c， a 加 b 加 c 的 话，就是 x 等于一的时候， x 等于一的时候，对上去，这个时候是不是大于零了，对的，是吧？四、 a 加二， b 加 c 就是 x 等于二的时候， x 等于二，对下来是不是小于零了，也对的，对吧？嗯， 呃，这节课呢，我们就学到这里啊，整个二次函数的图像呢？啊，这个重要程度非常重要啊，同学们 在做题目的时候，很多地方要用它，呃，五个函数，它的图像怎么来的，怎么样？通过 y 等 a， x 平方经过平移后，得到这几个不同的函数， 对吧？我们而且要知道它的对称轴顶点开口方向。那么下节课呢，我们学习二次函数的性质，主要就是讲增长增减性啊啊，可能还会做一些题目，好吧，那么这节课呢，我们就上到这里啊，同学们，再见！
586数学彭老师
05:22查看AI文稿AI文稿合肥新初三的家长同学们一定要注意了啊，户口本九上第一章二次函数，嗯，这个已知自变量的取值范围，求外的取值范围的题型是我们期中期末的必考 的一个部分的，新初三的这个孩子一不留神直接去丢分了啊！咱们来看一道例题， 这个二次函数告诉我次变量的 x 取值范围去求 y 的 取值范围。那么很多学生他错在哪呢？他把它当成我们之前学的一次函数，直接带我们的两个端点， 然后把两个端点对应的外置，比如说我带一个 x 等于负二 十，那 y 等于多少呢？我们算一下负二，我们就写出来吧。二乘上负二加一的平方减三等于二乘上 一减三等于负一，那 x 等于三十呢？ y 等于二乘上三加一的平方减三等于二乘上十六减三 等于 二十九。好， 所以他们会直接去写 y 大 于等于负一，小于等于二十九，那么这个答案肯定是不对的，他错在哪里呢？他忽略了我们这个 这个顶点在区间内，他能取到最小值，所以直接会算错我们的范围。并且我们二次函数不是一个单纯的单调函数，它是由 两部分组成的，上升的图形和下降的部分啊组成的。那这道题的正确解析是什么样子的呢？这些答案是什么样子的呢？我们来看一下， 接下来一定要重点听那正确的方法。那首先我们观察这明显是二次函数的顶点时，我们确定顶点的坐标 是负一负三，然后开口方向是 开口向上，因为这个 a 的 值是正二。大概的去画一下我们的草图， 因为对称轴是负一，在这负三大概在这里开口向上，只需要画出草图就可以了。 好，大概是这样子的，阿斯顿的图像是一个抛物线吗？ 那 x 从负二开始，我们找到负二这个位置，所以这里面就是我们说的图形的起点，然后 x 等于三结束， 那这个点就叫做我们终点，那从起点开始到终点结束，这一部分才是我 需要的部分，那对应的 y 的 值才是我的取值范围，那最小值，从这里就能看出来，这个地方才是我 y 的 最小值，对不对？那最小值就是我们的顶点的纵坐标负三，所以正确答案应该是 y 大 于等于负三，那最大值呢？那很明显在 x 等于三这里去到把三带进去， 嗯，刚才已经算过了，是二十九，这才是我们的正确的答案。嗯，这里留了一道配套练习，跟这道题的区别啊， 这里少了一个从小鱼的鱼改成了小鱼，那么 在 x 等于四的时候，是取不到我们的右端点的，那在写最大值的时候就不能写等号了。 嗯，这类二次函数区间最值呢，是我们初三函数基础的一个重难点， 一步错，这个整道题就会丢分，那想把这个函数题型的思路系统的吃透， 想要避开这所有易错题的同学或者家长可以多关注我。那后期呢，我会持续去讲解我们新初三的高频的易错题，针对性的梳理我们的解题的方法。
04:09查看AI文稿AI文稿淮北九年级的同学请注意啊！呃，你看这一题啊，我发现很多同学还有点晕，知道吧？啊，你像这一题二三数对吧，他给你自变量的范围已经给你了，对吧，而且最小值给你了，让你求参数 a 的 去值啊，这是一个二三数含参问题，知道吧？啊，那这题的考点是什么知道吧？那这题考点呢是什么？是二三数的什么基本性质啊？就是递减，递增，还有对称轴这些基本性质啊，知道吧，那我们都知道一个问题哈， 你看这题 a 是 大于零，他开口向上对不对？那对称轴左边是什么？是递减的，右边呢？是什么？是递增的，对不对？好，那有一个，那对称轴和什么和抛物线的焦点是什么？是一个最小值最低点，对吧？ 好，那我教你个简单的方法啊，像这种题怎么去做好，我们可以先固定啊，比如说负一和四这个范围已经固定了啊，这是负一，这是四，对吧，那我们去分情况去讨论啊。 那你看对正轴，对吧，他在负一的左边和负一到四之间，还有四的右边是不一样的啊，他的递增递减的吧，这个区间是在变化的，知道吧？啊啊，那我们先分类讨论一下啊。 首先第一种情况，那对中轴呢？我们首先知道对中轴是谁啊？对中轴是 x 等于什么？负的 r 一 分之 b， 知道吧？啊啊？ x 等于什么？负的 r 一 分之 b。 好， 我们求出对中轴是什么？是 a。 好， 那第一种情况就是什么？就是 a 对 中轴在负一的左边啊，对中轴小于等于负一，是吧？ 那你看一下啊，那给定的区间负一到四，那负一到四这个区间是不是在定中轴的右边？是吧？定中右边是不是对？好，那这个时候负一到四是不是递增的，是不是的，对吧？那递增的时候，这个时候呢？负一定的是最小，那四定的是一个什么最大值，知道吧？啊， 好，我们在画函数图像，要注意一下啊，那这题有一个定点，什么是零到二？一个定点啊？要经过这个定点，这个零到二，知道吧？啊，好，要尽量画的标准一点啊。 好了，再看一下啊，那负一对应的最好值是负五，那我们把负一和负五代进这个什么啊？表达式里面啊，代进这个表达式里面，知道吧？啊，那得出一个什么？得出 a 等于二 啊，那 a 等于二正好，是不是也满足这个提议啊？就是我们第一种情况，就是 a 小 于等于负一这个范围内，对吧？好，这第一种情况啊，就对正轴在负一的左边，好，那把对，正轴向右边移动好，来看第二个图啊， 移动到负一和四之间啊，不一定是中间，知道吧？只要是之间就可以，知道吧。啊，那这个时候你看啊，那最小值是不是就在这个什么顶点了，对不对？对吧？因为什么？因为最小值咱讲过，对吧？是对正轴和抛物线的焦点是什么？是最小值 啊，知道吧，那这个时候呢，你看那最小值对应的什么？对应的自变量，那就是 a， 那 咱把 a 带进去，知道吧。啊，那 a 带进去之后得到一个什么？就是 a 的 方啊，减去二 a 的 平方，减二等于负五，那这个时候求出 a， 什么等于正负三？正负根三啊， 那复根三呢？是什么？是在这个范围之外的，所以说舍去补写，那我们最后取什么？取 a 等于什么？等于根三，知道吧？啊？那最后一种情况，那对动轴是不是又往右边移动，是不是啊？对动轴往右边移动啊？那整个图像是不是也往往右边移动，是不是？啊？ 啊？对中轴往右边移动之后，那你看负一跟四是不是在对中轴的左边，是不是？那是不是就递减了，是不是，对吧？啊？左边递减，右边递增，是不是，对吧？因为它开口向上嘛，对吧？啊，正好跟第一种情况相反，知道吧。啊， 那这个时候最大值是不是负？一定的最大值，四定的是最小值，是不是？那咱就把四和负五带进去啊，带进去之后我们解出来什么 a 等于八分之十九，舍去不写啊，因为 a 等于八分之九，是吗？不在这个范围之内啊，所以说这题答案我们有两种情况，一个是负二，一个是进三啊，所以说以后再遇到这种题型，对吧？ 你就按照我教你这个方法啊，咱去分类去讨论一下啊。就随着这个对称轴它的移动，知道吧，它的递增和递减的曲线是在变化的，知道吧？啊，要注意一下啊，好，加油啊。
59淮北数学武老师
02:29:34查看AI文稿AI文稿在这个二次函数基础这块，咱们主要会讲到六块的内容，下来正式开始啊， 我们要学习二次函数，先得知道什么是二次函数。那么咱们初中阶段学的函数呢，它的定义呢，基本都是用形如就长成这样的函数，就叫某种函数。比如说大家之前学过一次函数啊，我们课本里面就说的是，形如 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，这样的函数呢，就叫一次函数，对吧？这是咱们之前学过的。 那二次函数这块呢，也是类似的，他说形如 ax 方加 b， x 加 c 这样子的函数呢，就叫做二次函数。其实顾名思义，很好理解啊，一次函数呢，就是自变量是一次的， 二次函数呢，就是自变量的最高次是二次的啊，这个很好理解。那这里呢，我想问一下大家，这个函数是大家觉得需不需要满足一个什么条件？你可以类比一下一次函数，对，这里呢，我们需要去注意 a， 其实我们可以先从一次函数这回忆一下啊，在一次函数的表达式中，我们规定了 k 是 不能为零的，为什么呢？很好理解，当 k 等于零的时候，你的 y 等于 b， 你 甚至都没有 x 的 一次项了，弹合一次函数。 所以呢，你会发现，这个式子想要被叫做二次函数，那他就一定得有二次项，所以要满足什么呢？得满足这个二次项的系数 a 不 等于零。那么这时候我们看啊，只要一个这样的二次三项式，二次项系数不为零，那他就是二次函数了。 那下来呢，我们来做一些变息啊，就概念很简单，概念很简单，咱们来做一些变息，你说这个函数是不是二次函数，显然是，对不对啊？完美符合刚刚说的这个形式，二次三项式，最高四十二次，没毛病啊，这个肯定是，那接下来第二个是不是？ 那这里回答是的，肯定都是很熟的朋友啊啊，但是有的小伙伴可能会有一些疑虑啊，就说初学者呢，看到这的时候总会感觉有点不太对，就觉得你看你刚刚说这玩意是个三项式，你这写出来是个二项式，二项式感觉少了一项 是不是就不对了呢？就你会发现，这个货你可以理解成啥呢？可以理解成他的长数项为零， 理解成 c 为零，所以呢，他依然可以满足一个二次函数的形式啊，满足一个二次函数的形式，而且呢，你回头想一想，你发现这个式子里面人家也就只规定了你 a 不 能为零，那 b 和 c 没规定，那就是你想取几就取几，当然也就可以取零，所以呢， 这二个其实就相当于是一个 c 取零的二次函数而已，没毛病。而这些分数的形式并没有影响他俩是二次函数， 而这个他是分母上出现了未知数，出现了变量，分母上出现了变量，这种叫做分式啊，一定注意，是分式不行，但分数分数是 ok 的 啊，分数是 ok 的， 注意这两个区别， 分式不行，分母上有变量，有 x 不 行，但是分数分数分母上有数字是没问题的。这个理解了以后呢，接下来我们再来啊，那有时候呢，题目还会给你说，有这样的一个函数，让你判断是不是二次函数， 那这种怎么判断呢？这种怎么判断呢？有的小伙伴说，打眼往过一看，有二次，所以肯定是，但你注意啊，这种判断方式其实不精准，是会出问题的。面对这种形式的柿子，你最好怎么办呢？你最好是给他展开看一看， 展开以后， x 方减四， x 加四，再加二， x 减三，你把它整理成这种标准形式以后啊，这个标准形式叫做二次函数的一般式啊。整理成这个标准形式以后呢，你才能精确的知道它到底是不是二次函数，你画成这个样子，它肯定是， 但如果相对的啊，有时候你不化简的话，你草率的去做判断，你是会犯错的。比如说第七个，它是不是二次函数呢？ 其实就不是了，你乍一看好像有二次，但是如果展开看，四 x 方减四， x 加一，再减去四 x 方，你的 x 方就给约没了，变成负四 x 加一了，那这玩意成一次函数就不对。 所以啊，对于这种没有化到最简的这种形式啊，你不能草率的判断它是不是二次函数，一定要先化简。 那到这呢，关于二次函数定义的各种辨析，我们就说完了啊，总结一下，就是， 形如这样形式的函数呢，就叫做二次函数，它是一个二次三项的整式，而且呢，二次项系数 a 不 能为零，但注意只是 a 不 能为零，后面的 b 和 c 无所谓。 然后呢，再接下来呢，就是一定要注意这个整式的要求啊，那么所谓整式系数是分数，其实不影响他是整式的分数，不影响他是什么式， 但是如果分母上出现了 x， 那 这玩意就不对了，就有问题了啊，所以注意区分这个分数和分式的区别，而这些清楚了以后呢，最后一个要注意的小点就是判断是不是二次函数，一定要先化简再看。那接下来我们研究啥呢？ 我们其实学任何一个函数，学任何一个函数，你都得了解它的啥，都得了解它的图像的特点，所以呢，接下来咱们研究它的图像， 哎，各位，那你们知不知道二次函数的图像叫什么名字？多多少少之前应该都听说过，哪怕没学过也知道二次还有一个名字叫做抛物线啊，就他画出来以后呢，就是这样的一个弯曲的线啊，感觉就像你往上扔一个石头，哎，飞过的轨迹， 这玩意叫抛物线，这就是咱们二次函数图像大致的样子，但是呢，这个抛物线在实际的题目中哎，他的长相和位置呢，会有一些差别，比如说有的抛物线呢，他会很胖， 有的抛物线呢，它会很瘦，有的抛物线呢，它口朝下，有的抛物线呢，它会口朝上，各种各样的，甚至呢，你画到坐标系里面以后，有可能这个抛物线在这，也有可能抛物线在这，它所在的位置也会发生变化， 就所以接下来我们要研究二次函数的图像，你要搞明白其实研究的是什么，就是看这个图像的长相，它长啥样，以及这个图像它在哪里， 所以接下来我们讨论这两件事情，讨论这两件事情，但是讨论这两件事情的时候，你会发现，我如果面对的是一个这种标准的二次函数，那么 研究它图像直接搞起来呢，显得就有点复杂，所以这时候怎么办呢？我们遵循由易到难的这个规则，我们可以先研究一个最简单的二次函数 来，大家想一想，最简单的二次函数应该长啥样呢？那肯定是它里面像素越少越好， 那咱们刚刚说的 b 和 c 是 能去零的，所以接下来我们可以去研究一下 y 等于 ax 方，它的图像。先研究这个最简单的，那接下来咱们搞这个最简单的，看看它长啥样，它在哪里？ 好，那这里呢，我们给一个具体的 a 数值吧，比如说咱们就看这个 y 等于二分之一 x 方，那要研究它的图像，其实函数图像的研究方式咱们在依次函数里面就学过了，我们函数图像研究方法就是要 列表描点和连线吗？列表描点和连线，那这里也是一样的啊，我们先列个表， 我们取一系列 x 的 值，然后呢把 x 带到这个里面，对应的 y 值就解出来了，解出这一堆 y 值以后，哎，咱就可以在这个坐标值里把这些点画一画，当你把这些点在这上面画好以后呢，哎，接下来呢，我们就可以用一个 光滑的曲线把它们连接起来，哎，于是呢就画出了这个或的图像。 这个画图的过程，大家初学的时候自己一定要去操作一遍啊，自己一定要去操作一遍，就通过列表瞄点连线的方式操作一遍。 这个画的过程其实本身就在加深你对这个图像的理解啊，一定要自己去实操。画出来。长这样以后呢，这个图像是有的，但是你单看他一个，你会发现你也研究不出来啥特点，没有个对比是看不出来的。 所以接下来我们就类似的，再去画几个图，这是二分之一 x 方，列表描点连线能画出来，那再接下来， y 等于 x 方，你也可以列表描线去。呃，列表描点去画它的图啊，然后呢， y 等于四 x 方，也可以画出它的图。 哎，于是我们就画出了三个图像，我写一下啊，二分之一 x 方， y 等于四 x 方 x 方， 三幅图就画出来了。画出这几幅大致的视域图以后，你会发现我们在这个过程中改变了什么？ 只有一个 a 吗？对吧？我们其实改变了 a 的 曲值，那么在改变 a 曲值的过程中，你会发现你画出来的图，它的这个口大小发生了变化。哎，我们发现，好像这个 a 的 值越大， 你对应的口就会越小， a 的 值越小，相应的这个开口就会越大。哎，所以呢，可以总结出一个规律，就是这个 a 好 像决定了开口的大小， 当然，这里准确一点说是 a 的 绝对值啊， a 的 绝对值决定了开口的大小， 那这里呢，书上呢，就可以课本上就这么给大家总结出了一个规律啊。但是呢，我想给大家说的就是，当大家获取到这样的知识点以后啊， 然后呢，一种学习方式呢？就是啊，那行了，我以后记住了， a 的 绝对值越大，开口越小啊， a 的 绝对值越小，开口越大，我记住了，我会做题就行了，这是一种认识知识的方式。 那还有一种呢，就是我们去想一想，去品一品这个 a 的 绝对值为什么会影响开口大小，去想一想背后的原因， 你把背后的原因想明白了，你以后遇到其他类似的知识的时候，你就能够触类旁通了。其实这个 a 绝对值对开口的影响跟我们以前学过的一次函数是类似的，来我们来复习一下啊， 我们之前呢学过一次函数啊，或者简化一点就是正比例函数。那么对于正比例函数而言呢，你会发现，哎，它的 k 等于二分之一的时候呢，它长得比较平，而当 k 增大啊，比如说 k 的 绝对值增大，变成二 x 了，那你会让这个直线呢，就会变得比较陡， 哎，你会发现这个规律好像跟刚刚抛物线的规律有点像啊，都是改变系数的绝对值大小，导致了这个图它的陡峭程度变了样子。那背后的原因是啥呢？ 就你会发现，其实这个系数相当于 y 随 x 增大的时候那个倍率，你这个东西 x 增大一， y 只能增大二分之一，而这个成了二了， x 增大一， y 就 会增大二。 前面的系数决定了 y 随 x 增大的速率或者说倍率， 所以你会发现这个东西越大，它就会显得越陡，这个东西越小，它就会显得越平。而各位，咱们的二次函数其实是一样的道理哎，我先回到刚刚这一页，带大家看吧， 二次函数是一样的道理，这次呢，咱们先不要两头都看啊，两头都看会晕，我们就先看 y 轴的一侧， 只看 y 轴的右侧，只看 y 轴的右侧，你会发现，随着 x 的 增大， y 会增大，那如果他前面乘的是个二分之一，那当然他增大的速率就会比较慢，显得他的这个趋势比较平缓。当你的这个系数变成一啊，比二分之一大了， 比二分之一大了以后， y x 增大的速率是不是就会变快，显得这个曲线就会相对陡一些？那如果你取四，那你这个增大的速率更快了，那当然就越发的陡峭。 哎！所以我们通过这个就知道了，其实跟一次函数是一码事。前面乘着的这个系数其实就决定了 y x 增大的速率， 这个数值越大，那当然增大的速率就越快。你这样去理解这个知识，你会发现你就跟以前学过的联系起来了。甚至如果你之前就懂了一次函数的本质，那你在这也能很快理解为什么 a 的 绝对值决定开口的大小。 说白了就是前面的这个系数决定了外随 x 增大的速。这个理解了以后啊，那你以后就知道了。对于二次函数而言啊，对于二次函数而言，如果它的 a 绝对值比较小， 那么外随 x 增大的速率就比较平缓。如果它的系数比较大，比如说四 x 方， 四 x 方呢？ y 随 x 增大的速度就大啊，所以我们说是 a 的 绝对值增大，你的开口就会变小。而前面这个是类似的，是 k 的 绝对值越大，这个直线就越陡。 理解了这个本质以后呢，那接下来再来啊，那刚刚呢，咱们相当于是只是玩了这个 a 的 绝对值的大小啊，让他在正数范围内去变化了，那我是不是当然也可以取负的 a， 比如说我取一个 a 的 值等于负四，哎，其实你从表达式上就很容易看出来，这两个或很接近，对不对？这两个或很接近，一个是正的四 x 方，一个是负的四 x 方。那你想，同样是取 x 等于一， 上面这个算出来 y 是 四，下面这个算出来 y 就是 什么了，负四。哎，那大家想一想啊， 每一个相同的 x 上面都是正的，下面都是负的，他俩其实是关于谁对称的，想想他俩应该是关于谁对称的。上面 x 取一个值一定是正的，下面 x 取对应值一定是上面的相反数， 你后面其实就相当于是把 x 轴上方的给对称下来了吗？所以你会发现， a 取负数的时候，就是把这个蓝的直接对称下来了，那类似的负二分之一 x 方的是不就是把这个灰色的直接给对称下来了？ 相当于再说 a 的 符号决定了这个开口的朝向啊，决定了开口的长向。 如果 a 是 正的，这个口会向上，因为他对应的所有 y 值都是正的吗？肯定都在上面啊， a 是 正数的时候， y 值都对应是一个 完全平方式吗？都是非负数，正数都在上方，所以口朝上。然后如果 a 是 一个负数，那这个里面对应的所有 y 值都是负值，那他肯定得在 x 轴下方就变成口朝下了。所以我们直观的理解一下就知道了， a 正口朝上， f 是 口向下的，可以用平移去理解。两个解析是 a 一 样， b， c 不 一样，可以用平移理解。这个知道了以后我们来做一下总结啊。 那么对于 y 等于 a x 方啊，我们会发现，呃，如果 a 是 一个正数啊， a 是 一个正数， a 大 于零，那么它的口就会朝上，如果 a 小 于零，它的口就会朝下，也就是说， a 的 符号决定了开口的开口的方向 啊。那再来呢， a 的 绝对值，它决定了开口的大小， a 绝对值越大，口就越小， a 截对值越小，口就越大。而且你忽然只跟绝对值有关啊，因为这个四 x 方和负四 x 方，它图像直接是对称的， 那你会发现，这两个开口大小其实相同，只是方向不一样而已啊。所以呢，描述开口大小的准确因素应该是 a 的 绝对值，因为口朝上，口朝下，大小是一样的啊，大小是一样的。好了， 那也就是说， a 决定了开口朝哪， a 决定了开口的大小，而口朝哪和开口多大，其实合起来就是这个抛物线的。什么？ 不就是这个抛物线长啥样吗？他朝上还是朝下？然后呢，他有多胖啊？这些其实就是他的大致的一个样子啊，所以决定长啥样， a 决定长啥样，知道了 a 的 作用以后呢，与此同时呢，大家有没有发现啊，这些抛物线，他们上面的有一个很特别的点，你会发现这个抛物线呢，他是一个拐弯的线， 拐弯的线呢，他就会有一个临界点，从往下走拐到了往下走，往上走有一个临界点，从往上走拐成往下走有一个临界点。 哎，这个临界点呢，是二次函数非常重要的一个点啊，我们把它叫做顶点，很好理解这个弧形的顶端啊，弧形的顶端叫做顶点。 然后呢，在这个图里面，你会看，甭管是哪个 a 值，最后画出来，其实顶点都是一样的，都是零零啊，顶点都是一样的，都是零零。 但是呢，这个顶点在不同的二次函数上含义会有一些区别，含义会有一些区别来我们来看啊，比如说就拿一开始画的这个二次函数， 你会发现很明显它的顶点是图像上的最低点，哎，那我们知道 坐标系里面点的位置越靠上，他的 y 值肯定是越大的，点的位置越靠下，他的 y 值肯定是越小的， 哎，所以你会发现顶点处的 y 值是这个函数上所有 y 的 最。什么值？所有 y 的 最小值啊，所以我们可以发现一个规律，就是开口向上的时候， 这个二次函数有最小值，就对应顶点的动作表，这是从图像的特征上去感受出来的。 但是这个东西呢，你一定要从逻辑上能够解释啊，不然的话，这样的话就感觉是看着是就是，这不严谨，怎么用逻辑去解释呢？来，我们想一下啊，你现在其实就是一个 y 等于二分之一 x 平方嘛， 你要看他 y 的 最小值，哎，你会发现 y 对 应的是一个平方式，平方式意味着啥？平方式意味着他肯定大于等于零呀， y 大 于等于零，所以我知道了， y 的 最小值就是零，他永远大于等于零吗？最小就是零， 哎，所以发现这个 y 要对应最小值，然后呢，什么时候就取到这个最小值了呢？你要让平方等于零，其实就是里面的 x 也要等于零，你说 x 等于零的时候， y 等于零，合起来不就是一个点坐标吗？ 所以由此呢，我们就理解了，为什么顶点是最小值呢？因为它大于等于零啊，所以开口向上大于等于零，有了个最小值。这个理解了以后来，那各位再来，那如果是开口向下的， 开口向下，开口向下，顶点就变成了抛物线上最什么的点，最高的点，那它的 y 值肯定就是最什么的最大的。所以有开口向下的时候， y y 有 最大值啊，顶点动作不要对应最大值， 这个玩意又怎么理解呢？你用逻辑，用数理逻辑的角度，用代数式逻辑的角度去理解，这次你会发现你的 y 值是一个负的平方式，负的平方式，平方式大于等于零，那负的平方式自然就小于等于零， 对不对？那他小于等于零了，那可不就是再说 y 的 最大值就是零吗？那什么时候等于零呢？是不是就得是 x 等于零的时候， 那合起来就是 x 等于零， y 等于零，对应顶点坐标零，零吗？所以顶点是最高点。 这些东西呢，你一方面可以从图上去理解，而另一方面，你从他的表达式里面，其实是同样可以推出来的 函数，就是代数式和图形的一个结合，你学任何一个函数，一定两个方面都去理解一下这个问题，你把这些都理解通了，你才能真正把它玩懂，那这个最值就清楚了， 最值清楚了以后呢？来最后呢，我们再多说一句啊，就是你会发现，其实这些二次函数，它都有一个很明显的几何性质，它很显然是关于 y 轴怎么的？ 关于 y 轴对称的有没有？它很显然是一个轴对称图形，而它的对称轴呢？就是这个 y 轴直线 x 等于零， y 轴直线 x 等于零。而各位这个其实是这幅图的特点。 更准确的说，对于所有的二次函数而言，它都是轴对称的，而它的对称轴其实一定过哪个点呢？ 一定过他抛物线上的顶点。你想一想，对称轴肯定是过拐弯的那个点的啊，那肯定就过顶点呀，所以呢，相应的顶点的横坐标肯定对应这个对称轴的指，顶点横坐标肯定对应这个对称轴的指。 好了，那到这，我们就把抛物线上最特殊的一个点带大家去研究了一下，顶点这个点呢，它一定在对称轴上，所以顶点横坐标对应对称轴的值。 而与此同时呢，这个顶点的纵坐标，要么是抛物线上的最低点就是最小值，要么是最高点。黄抛物线开口向下，最高点最高点就对应最大值，怎么理解的呢？图上理解一种方式，用代数式 完全平方式，他的非复性啊，又是一种理解方式啊，最后我们就知道了，向上有最小，向下有最大。这里呢，我有一个建议啊，各位， 就是你如果作为一个初学者啊，作为任何一种函数的初学者，你在初学一种函数的时候，最好养成一个习惯啊，就是通过画他的图像来判断一些信息， 因为你对那些参数的所有的理解都是得基于图像的，而且呢，函数到后面一定会进行图像信息和表达式之间的一些对应和关联啊，肯定会有这样的题目啊，所以呢，你多去画一画图是有好处的，就比如说这道题啊， 我会怎么去做呢？这两个货呢，我们很熟了啊，我们知道他的这个顶点呢，肯定都在原点，然后一个呢，是 a 大 于零，那么他对应的就是开口向上， 然后还有一个呢？ a 小 于零，那对应的就是开口向下，你可以先把这个示意的图大致画一下， 而画出来以后你会发现，很明显这两个式子表达式就是互为相反数的，这就是咱们刚刚说过的什么关系啊，上下对称的关系啊。其实就印证的是咱们刚刚说的， a 的 绝对值决定开口大小， a 的 绝对值一样，肯定开口是一样大的，但是 a 的 正负决定开口方向， a 正向上， a 负向下。 你在画图的过程中对这些信息会有更直接的理解，比你直接在那背要好啊，所以注意初学者养成画图的习惯，而这些图只要你想的过程中画过了选项，其实都是顺带就结束了的。 开口方向相同，明显在扯淡，顶点坐标不同啊，那更是扯淡，对称轴相同哎，没毛病，对称轴顶点是相同的，对称轴肯定都是一样的，都是 y 轴，所以这个对都有最高点，只要有图了，你就知道最高点肯定是 有问题的。开口向上是对应最低点，下面这个才是最高点，所以我们就判断出来是 c 了。 但是我再叠个甲啊，我知道大家一定是能够直接瞪眼就瞪出答案的，大家理解我刚刚让你们画图的目的啊， 因为函数问题到最后一定会让图跟式子一块去考察，条件可能从图里出，也可能从式子里出，你一定得通过画图去加深你对表达式还有图像关系的理解。 这个前期学的时候画图的练习是非常有必要的啊，理解我的意思，然后接下来呢，继续下一题，他问开口大小，你就要想到开口大小是由 a 的 绝对值决定的， a 的 绝对值决定的。 a 的 绝对值越大，系数越大， 说明外随 x 的 变化越怎么样，越迅猛，越迅速啊。这个系数决定的是变化的速度， a 的 绝对值越大，变得越快，所以这个开口就一定越小， 相当于越陡峭嘛。你要通过图去感受啊， a 的 绝对值变大了，它一定是变化的更陡峭的。 然后呢， a 的 绝对值比较小，比如说 y 等于 x 方，那你 y 随 x 增大的速度就会比较平缓啊。你要通过这个图去感受这件事情， 感受明白这个事以后呢，选项其实就容易了，你分别看一下几个 a 的 绝对值就行了吗？第一个 a 的 绝对值是啥呀？三分之一，第三个 a 的 绝对值是一，第四个 a 的 绝对值等于四，他要开口从大到小排开口从大到小，那就是 a 的 绝对值从小到大吗？ a 的 绝对值从小到大，那肯定二是第一个，三是第二个，接下来一四二三，一四啊， 那到这呢，关于 a x 方的图像呢？我们就研究完了，研究了半天呢，其实就发现一个结论是， a 决定了这个抛物线长啥样， a 决定了抛物线长啥样。那其实猜想一下， 那对于任意的二次函数 a 还是那个 a， 所以呢，它俩的样子应该是一样的。从逻辑上说，这个说法不是特别严谨， 只是事实如此而已。我解释一下接下来我为什么选择后面这个讲法啊？给大家解释一下课本上的，接下来去解释这两个图像之间的关系的时候，但是如果用平移去研究，你需要去先理解那个平移的逻辑，就是左加右减， 上加下减，其实大家对于上加下减是没有什么理解负担的，但是左加右减其实解释起来是有些抽象的，我觉得这样去搞的话，其实有点不太容易搞明白，所以我这里接下来准备换一种思路，我们先假定下面的这个 a 跟上面的这个 a 其实是一码事啊，是一样的， a 就 决定了这个开口的大小，这个也是事实，都不是假定啊，我们先默认接受这件事实，接受这件事实以后呢，接下来咱们从另一个维度去切入，咱们先去研究一下抛物线的位置由什么决定， 换个方式去切入啊，先假装这个事实，我们知道了 a 决定了所有抛物线的样子， 接下来我们去先研究研究位置，那接下来我们怎么去研究呢？研究这个抛物线的位置，研究他在哪里呢？其实啊，你会发现，我想确定抛物线的位置，就得通过抛物线上的点嘛， 那这些点的话，我都选的话，那其他那些没特征的点，那没有太大的参考意义。所以接下来研究在哪里，我一定选那个最特殊的点。抛物线上最特殊的点是谁？最特殊的点就是顶点。来你想想，如果说 a 决定了开口的大小和方向， 那如果我告诉你顶点在这里，那你会发现我就可以由这个顶点得到对应的一个抛物线图像。 再比如说告诉你顶点在这里开口方向和大小是锁定的，那你会发现也可以得到一个对应的抛物线图像， 所以呢，我们会发现，顶点位置定了，这个抛物线的大致位置就锁死了，所以接下来的重点呢，就是研究顶点，而各位研究顶点呢，就需要通过一个特殊的 表达式，特殊的表达式就是这个货，这个货呢，熟悉的朋友知道他叫啥，但是我现在先不叫他的名字，我们可以通过这个货 来研究顶点。怎么研究呢？我们拿一个具体的例子来看，通过前面的讲解呢，我们其实已经知道了，对于抛物线而言，甭管开口向上还是向下，他肯定会有一个顶点， 而这个顶点总会对应抛物线的最什么值呢？要么是最大值，要么是最小值。那当然这幅图里面这个顶点肯定是最小值，而这个最小值是怎么得出来的来着？我们是不是利用了完全平方式的特性， 你会发现这个式子里面他也有完全平方，左边这一坨，他肯定是大于等于零的， 加了五以后，你就可以得到你的 y 呢，是大于等于五的。哎，我不写在这了，写在这看的人，晕，我就写在后面 这一坨呢，整个大于等于零，加了个五，就是大于等于五，也就是说，我会通过这个式子直接得到一个结论，通过这个式子呢，就可以直接推出 y 的 最小值就是五，为啥呢？因为 y 大 于等于五吗？大于等于五呢？可不说最小值是五，什么时候取到这个最小值呢？其实就是让前面这一坨平方式取零就行了， 完全平方取零的时候，后面这个零加五就是正好等于五了，所以你会发现最小值的时候 x 等于几呢？ 此时肯定是 x 减二，这一坨等于零， x 等于二。我发现这个函数上面 y 等于五的时候， x 对 应的是二，那说明啥呀？说明它上面有一个点，这个点就是二五 来，那你说这个二五是哪个点？二五肯定对应的是 y 的 最小值，对应的是 y 的 最低点，那可不就是顶点了？我发现这里我完全是用 我们完全平方式的性质去推的，是纯粹的用代数的逻辑得出来的。这个你但凡学过完全平方，你自己都会推平方大于等于零，加了个五大于等于五吗？那 y 的 最小值不就是五吗？ y 的 最小值是五，什么时候 y 等于五呢？ x 等于二，这一坨平方取零的时候， y 等于五，哎，于是 x 等于二，有了 x 和 y 一 对应，组合出来就是个点嘛，所以顶点作法就搞出来了， 也就是说我们看到这种形式的时候，我就能直接写出顶点。理解了以后呢，我们练习一个啊，我们再练习一个。 来，这次我给你一个 a 是 负数的二次函数啊，你这玩意展开了肯定是个二次函数，咱就不展开看了啊， 你告诉我这个玩意他有最什么值，然后对应的 x 等于几？这次啊，理解方式一模一样，咱们一起走一遍，他又是一个完全平方式，但是前面加了个符号啊，负的完全平方式就成小于等于零了。小于等于零的这一坨 加了个负六，加了个负六，那是不是就是小于等于负六？那你会发现，这时候我得到一个 y 小 于等于负六，也就是 y 有 它比负六小于，等于满到最大取到负六啊，所以 y 有 最大值，什么时候取最大值呢？这一坨等于零， 其实就得到 x 加三等于零，也就是 x 等于负三，哎， x 负三， y 负六，是不是组合出一个点，这个点就是负三，逗号负六，那他是不是就对应的是零点画出来呢？就是你看开口向下 有一个最高点坐标是负三负六，哎，我就把它的顶点搞出来了。把这个搞懂以后，我们来总结一下啊，家人们，你会发现咱们刚刚玩了半天，玩的都是类似这样的形式， 玩的都是类似这样的形式，只要是一个这样形式的二次函数，我们就可以利用完全平方式的特性得到它的 y 最值，进而得到顶点的坐标。 这样的式子呢，它有个什么特点呢？你会发现它的前面呢是一个带 x 的 完全平方式，而后面呢是一个常数， 我们用 a、 h、 k 来代表这里面的几个具体的数值，那么就可以得到这样的一个式子。得到这样的一个式子， 它是一个完全平方加长数的形式，利用这样的形式，我就可以直接得到顶点的坐标，所以它叫做顶点式，它叫做顶点式，能直接看出顶点坐标叫做顶点式， 原理呢就是完全平方。理解了这个以后呢啊，我们做一些练习先啊，先做一些练习，我们继续来，我们多练几个，比如说就刚刚这个例子，二分之一 x 减一的平方，再加二，来告诉我顶点坐标是什么，对一二 怎么来的呢？你就先打眼看 y 有 最什么值，你会发现平方加长数， y 有 最小值，什么时候取最小值？就是平方等于零的时候，平方等于零的时候，所以呢，我就直接得到了 x 等于一的时候， y 取最小值二，顶点是一二，那么类似的， y 等于负三分之一的 x 加二的平方再减三， 它的顶点是啥？顶点就是负二负三。怎么想啊？你就想这个 y 有 最什么值？前面是负的平方，所以有一个最大值是负三，什么时候取最大值呢？平方等于零，平方等于零，就是 x 等于负二，所以顶点坐标是负三啊，负二负三。哎，我们就用这个代数的逻辑轻松地理解了怎么去算顶点坐标，有朋友说顶点坐标是一二 x 减一啊，一二 x 减一。来，注意啊，注意注意注意。 刚刚咱们得这个顶点坐标的这套逻辑啊，是有前提的，就是你的式子必须是完全平方加长数的形式才行，因为完全平方 你可以确定它的取值范围，而后面是个长数，那么你就可以直接得到一个 y 大 于等于长数或者小于等于长数的形式啊，我给你们写出来啊， 你比如说这个，因为完全平方加长数，所以你可以直接写出来 y 大 于等于二，这个呢，可以直接写出来 y 小 于等于负三，直接跟长数有不等式关系，才能直接得到最值。 y 跟长数有不等式关系，你才能得到对应的最值。 类似的， y 小 于等于负三，你才能直接得到 y 的 最大值等于负三。但是下面这个是不行的啊，他是完全平方式，后面呢，也带变量，也带变量，这个就不行了， 这个你要硬写不等式的话，你只能写出来他是大于等于二 x 减一的，但是 x 是 会变的，亲人们，所以呢，你这个 y 的 最小值，那他可不一定等于二 x 减一，这个写法是错的啊。 所以这里首先注意，想要直接写顶点坐标，必须是完全平方加长数，这里是完全平方加了个非常数，肯定就求不了了啊，这种是不能直接得顶点的， 怎么得呢？这个咱们明天讲了一般式以后你就知道了，你展开给他配方就能得顶点了， 所以这里一定注意，想用顶点式直接写顶点，前提是满足这个形式，完全平方加长数，完全平方加长数，那么到这呢，我们理解了顶点式它的一个用法啊， 然后下来呢，我们来做一个总结啊，有了这个式子以后呢，我们就可以直接得到它顶点的坐标啊，比如说当 a 大 于零的时候呢，它开口向上来，那大家告诉我，开口向上，我写在这吧，开口向上 a 是 正数， 那么这时候这个货应该有最什么值？这个货应该有最小值吗？因为这一坨相当于是一个正的完全平方大于等于零，所以呢，整体就会大于等于 k， k 是 常数啊，注意， 那大于等于 k 的 话，你会发现它就会有最小值是 k， 而什么时候取得最小值呢？ 当这个前面这一坨取零的时候，也就是当 x 等于 h 的 时候，所以呢，我们可以推出它的顶点坐标，直接就是一个 h k， 然后呢，相应的对称轴也就出来了，就是这个 x 等于 h， 这是开口向上 a 大 于零的时候，这是个正的完全平方，就会大于等于常数，所以纵坐标出来了，对应的 x 值也出来了， 那相应的，如果是 a 小 于零呢？ a 小 于零，那么你会发现这个 a 倍的 x 减 h 的 平方，这就是一个负的平方式， 所以它小于等于零。加了 k 以后，整体 y 呢，是小于等于 k 的， 所以呢，我们可以得到啥呢？得到 y， 它是有一个最大值 k 的， 而此时 x 等于啥呀？ 此时 x 还是要满足这一坨为零， x 等于 h， 所以呢，我们可以得到开口向下的时候，也有一个顶点坐标，就对应这个 h， k 相应的对称轴也还是这个 h， 因为对称轴始终过顶点。 哎，所以呢，你会发现，以后啊，只要满足这种形式的式子，我们都可以很直接地得到它的 抛物线长啥样？你看， a 决定了开口方向，开口大小，长啥样，用这个式子能直接确定。 而同时呢，顶点坐标也能用这个式子直接写出来，所以这个抛物线的位置也能直接确定啊，长啥样能直接得，在哪里也能直接得， 所以这个式子非常的好用。把这些都理解了，接下来我们要干啥呢？哦，有一个小细节，就是咱们刚刚说的这个 玩意呢，说他是顶点式，我们说这个玩意是顶点式啊，其实在全国绝大多数的教材版本上都长这样， 但是我记得有一个版本啊，记不得是互科还是互教了，应该是互科互科版本呢，他给的顶点式呢，是长这样的。我想说的是，其实你理解了顶点式的本质就是完全平方加长数， 那么里面是 x 加 h 还是 x 减 h， 无所谓的 啊，你理解了本质，你是不会去硬背顶点坐标长啥样的，你只是想这一坨是正的平方还是负的平方，他是有最大值还是最小值，那顶点坐标就是平方等于零 对应 x， 最值对应 y， 你 会发现这个坐标是直接就搞出来的，是不需要死记硬背的。你像现在我也不会去记什么顶点坐标是 h k， 这个式子长啥样，我们都会去想，这个平方是取零的时候 得到 x 的 值是顶点横坐标。所以呢，这里想说，无论你是哪个版本，其实这个式子的形式并不重要， 重要的是要理解它背后的内核，你得知道顶点坐标是怎么得出来的，懂了这个，那么这些表象就不会影响到你的判断了。接下来呢，我们来讲一个非常重要的技能，我们总说函数之所以被发明出来，就是为了数形结合的， 就为什么要有函数家人们因为代数式太抽象了，研究起来不直观，所以呢，迪卡尔发明了坐标系，然后呢， 研究了函数，咱们学到任何一个函数的时候，你千万不要只停留在他的表达式上，你只停留在表达式上的话，枉费了数学家之前的心血啊，人家搞这么半天给你弄出来图，让你通过图简化研究呢，你说你不想弄？题外话说多了，总之就是 学任何一种函数，一定要多练画图，勤画图，画图是函数题的核心的解析思路。 那所以接下来咱们来讲一讲怎么去画示意图。那你如果每道题都瞄点画图，画个精准的，你考试时间不够用啊，对不对？最关键是很多时候根本就没必要， 所以呢，我们需要知道如何快速画出一个函数的图像。怎么快速画出呢？我们先来讲一种比较精准的画法，这种精准的画法呢，叫做三点画图。我现在想画这个函数的图像呢，那我肯定首先得知道他图的大致位置， 所以肯定有一个点必须研究，哪个点是不是它的顶点必须研究。通过刚刚的练习，我们就知道了，这个式子的顶点肯定是谁啊？肯定是二三，所以呢，我们可以先把二三这个点画出来， 二三画出来以后，你会发现，同时啊，顶点 b 在 对称轴上，所以呢，相当于是对称轴， x 等于二，也就得出来了啊，咱们把它画出来，因为轴 轴相当于是这个图像的股价，就是你有了这个轴以后，他作为一个轴对称图形，你两边去画这个图的时候，就会有一个精准啊，就会好画。所以呢，这个二次函数一定要顺手得轴。得到轴以后呢，接下来呢， 我就想着再搞一搞其他的点啊，否则他现在这个开口是多大，有点不好把握，所以我们想要去再求一些点， 那再求一些点呢？大家想一想，这个抛物线上哪个点最好求呢？哎， x 等于零，大家都很机智啊，其实最好求的点就是外周的交点，接下来我要去搞一搞抛物线上的点。那我肯定是希望越好求越好，因为我我要搞的是草图啊，我要搞的是示意图， 我非要去算一个很恶心的点，不是给自己找事吗？所以接下来咱们找个好球的点，就是 y 轴交点，为啥 y 轴交点好球呢？因为这个点的 x 等于零， 你直接令 x 等于零，令 x 等于零呢，你会发现 y 就 等于啥呀？ y 就 等于负二分之一，零减二的平方再加三这玩意，你一算呢，你会发现就是四乘负二分之一是负二， y 算出来就是个一， 也就是说我就知道了，他在 y 轴上的焦点是一个，这个点很容易就能算出来。而各位，这个点算出来以后呢，你注意啊，你的这个抛物线肯定是个轴对称图形，对不对？这个零一呢，关于对称轴肯定会有个对称点，这个对称点也很好画了， 对称轴到一是两个格子，那对过来，再隔两个格子对称点是不是就找到了， 你想想吧。零一，关于对称轴对称，两个格子对过来两个格子，哎，你会发现这边这个点就找着了。 而各位，当你找着这三个点以后，你会发现这个抛物线，它的大致图像你就能准确的，当然肯定不能说非常的准，你这个手画绝对不可能极度精准，但是已经相对很准的能得到这个抛物线的图像，这就是咱们所谓的三点画图啊，三点画图 总结一下啊，怎么画的呢？我们先画出最核心的那个顶点，顶点呢就会顺带的把轴搞出来，然后接下来呢，找一个抛物线上好求的点，比如说找个外轴交点，然后接下来呢，顺手求一下它的对称点， 当你搞出了顶点， y 轴，焦点和对称点三个点以后呢，你会发现这个抛物线的大致图像就能比较精确的画出来了，这叫三点画图，画顶点算 y 轴，焦点算对称点，出图来一起看一下啊，其实一模一样的想法 上来呢，我们肯定得先搞出来顶点，顶点呢，这时候已经很熟了，就是啥呀，就是二负二嘛，对不对？二负二，来标一下这个点， 二负二。然后呢，接下来呢，对称轴，对称轴，其实顺带就得出来了，就是这个 x 等于二的直线。然后接下来呢，我们要找一个好算的点呢，最简单就是外轴交点，外轴交点呢，我们就令这个 x 等于零， 那就算出来 y 等于啥呀？二倍的零，减二的平方减二，二四得八，八减二等于六，哎呀，挺极限的啊，等于六， 零六在这，然后这个点画出来以后呢，对称点怎么找呢？零六到对称轴两个格子，再往过对称两个好了，对称点就画出来了。对称点画出来以后，来这个二次函数的图像我们就可以大致画好了。哎呦， a 好 了，他的示意图就画出来了。好了，这个三点画图呢，就说到这里，这个画图方式啊，这边这个例子我就不去画了，一样的道理啊，一样的道理，或者我直接给大家演示一下啊，你熟了以后，这玩意可以很快啊，顶点一找， 对称轴一画，然后呢零带进去，零带进去呢，你会发现，直接就可以算出来外轴上的这个焦点， 然后接下来呢，整个二次函数的图，其实很快就能搞出来。这个三点画图的方式呢，足够咱们应对几乎所有抛物线精确画图的情况，就你有这个图，你做题的时候绝对够用，但是呢，你注意啊，这个做法呢，其实还是相对比较麻烦的， 通常呢，只有在我们需要得到抛物线和坐标轴的精确位置关系的时候呢，才会用它啊。就说白了，你这道题里面 坐标轴上的其他信息有用啊，比如说坐标轴里面，这里面给你个矩形，给你个正方形啥的，你要看抛物线和这个矩形正方形的关系，你用三点做图呢，才有价值啊，你需要看抛物线以外的信息，坐标轴里面的信息， 你才用这个方式去画，因为他毕竟还是有一些计算量，得算一算的。那有没有更简单的画图方式呢？其实在大多数题里面，你都不需要三点画图， 因为你根本都不用研究坐标系，你研究的都是抛物线本身的性质。研究抛物线本身的性质咋画图呢？家人们只研究抛物线本身的时候，其实可以极致的简单， 比如说我现在要研究这个抛物线，它的增减性，我怎么画图呢？我就直接把顶点一标， 根据开口向下直接以画图对称轴一画就够了，你会发现你只要有了这幅图，它头饰的增减性你就可以直接看了。因为我只研究跟抛物线本身有关的信息，所以我就只画这种最简单的 顶点和开口结合的图就行了。这种就是你不用管坐标写，我只看抛物线，你就画这个， 而且就这幅图特别的常用啊，特别的常用，就今年我讲函数中考压轴题的时候经常讲到，比如说一种题叫区间最值， 区间最值题就是典型的你别画坐标系，你直接就画个，这就够你研究了。那种题其实已经是中考的很多地方压轴题了，然后就画这种最简单的图就够用了。所以啊，两种画图方式，你要根据你的需要来决定用哪种。 如果要看坐标系和函数的关系，那么三点画图，如果只研究函数本身的性质，顶点画图。关于画图就讲到了这里啊，来，这个题答案选 b 啊。但是这个题要提醒大家注意啥呢？就是对于顶点，是你去看 a 的 时候呢，一定要注意它的形式， 我们刚刚说过，顶点式呢，一定是完全平方加长数，其实还不够精确，就是你注意它的这个完全平方是里面 x 的 系数啊， x 的 系数呢，其实必须是一， 就括号里面括号中 x 的 系数一定是一，这样的话，你写出来的这个 a 才是二次函数的那个 a， 括号中 x 系数为一， 如果给你写成这种形式，这个是不是顶点式呢？这个不是啊，这个不是。其实道理很好理解，你一展开就发现不对味了，你展开以后就发现 a， a 方 x 方啊，然后呢，减去二 a h 加上 h 方，再加 k， 你 展开以后，你发现这个 a 就 跟一般式里面就咱们定义里面那个 a 不 一样了啊，所以一定注意啊，这个顶点式的 a 是 在括号外面的，里面 x 的 系数要为一。 你理解了这个以后呢，你会发现 a 就 肯定不对，因为你把这个四如果拿到括号外面，四，拿到括号外面直接变成十六了，十六。而这个呢，整理一下，其实变成了啥呀？ 变成了四倍的 x 减二分之三的平方，提出来以后，他才是跟上面这个抛物线 a 相同的， 所以正确答案应该选 b。 接下来继续啊，再来做一道题啊，两道题一起做吧，一块看啊，上面这个题问最低点的坐标，最低点其实就是顶点， 那你直接看就行了，看的时候我们再复习一下那个逻辑啊，直接给答案练的意义就不大了。我们复习那个逻辑啊，完全平方是大于等于零的，所以得到 y 大 于等于一 于，是呢， y 的 最小值就得出来了，是一。什么时候取最小值呢？就是平方等于零的时候，平方等于零，我就得到了 x 等于负二，所以顶点坐标是负二。一， 要理解这个逻辑，这个逻辑熟了以后，甭管这个式子咋变，你都不会做错的。下面这个呢，问说，这个抛物线有最什么值？ 有最什么值，你理解了本质，你同样就根本不会错。本质是啥呀？完全平方式，负的负的完全平方式呢？它就小于等于零，所以 y 要小于等于三。 我们得到了 y 小 于等于三，所以 y 的 最大值等于三，最大值等于三。你这理解了本质就根本不会错，答案选 a 啊。好了，这两个搞完了以后，接下来这道题啊，各位，这种问你二次函数图像的描述啊，我建议大家养成一个习惯，就是把图画出来， 越是初学者，越是应当画图，因为老手不是没画图，老手是在心里面把图画出来了，就只要是处理图像的题，有图一定是最不容易错，最直观的。所以养成画图的习惯。 怎么画呢？你打眼一瞅，所有的信息都只跟抛物线本身有关，直接用哪种画图方法？直接用顶点画图就行了，顶点画图就行了。那这个顶点坐标呢？我们很容易得到顶点坐标就是一个负一四， 然后呢，这个对称轴呢，就是负一，然后呢，开口是向下的。哎，好，大致的图像就画出来了。有了图以后，这题的选项都是送的，开口向下对，对称轴是一，对称轴是一啊。错， x 大 于负一，使 y c x 增大而减小。大于负一大于负一，其实就是取的右边这一段， y 随 x 增大而减小， y 随 x 增大而减小，没毛病。对的，然后呢，顶点坐标是一四。哎呀，你这肯定错了，最大值为四，最大值为四，顶点是最高点，最大值为四，没毛病，所以错误的是二四。 这种题就是做的时候画一下图，既能提升你画图的能力，又不容易犯错啊，所以一定注意画图。前面呢，咱们一直在练习已知了顶点式，写出顶点坐标，那么其实反过来啊，反过来 在已知顶点的时候，我们也可以得到顶点式，就比如说，我现在告诉你顶点坐标，顶点坐标呢是二斗三， 已知了顶点坐标是二到三，顶点坐标是二到三，其实就相当于告诉你式子里面的啥了，是不是相当于知道了后面这个常数就是三， 知道了前面括号里面的这个 h 就是 二，相当于这个式子里面已经知道了两个参数的值了。所以你会发现，你这时候是可以直接得到它对应的顶点式的，就是 a 倍的 x 减二的平方 再加上一个三。哎，那各位，你说，接下来如果题目让你去求出完整的表达式，你只要再知道个什么就行了，直接一点呢，叫做知道 a 的 值，间接一点呢，就是随便给一个点坐标就行了，比如说题目还已知这个函数，比如说是过零一的， 那所以接下来呢，我们就再代入就可以了，代入了以后就得到一等于 a 倍的零减二的平方，再加三，那么 a 的 值等于负的二分之一就解出来了，那最终完整的表达式也就能搞定。 所以你看啊，这个东西你正着用，用熟了以后，其实反过来一样可以解决问题。 前面呢，都是知道了顶点式要直接写出顶点坐标，那现在反过来告诉了你顶点，我也可以利用顶点写出顶点式，其实就是把对应的值填到这个式子里面， 填完了以后，接下来带入一个已知点， a 值就能解出来，我们下来做一下练习，他告诉我们顶点是 负一一，告诉我们过一五， 求解析式啊，这块呢，思路跟刚刚是一模一样的啊，整体的想法呢，就是已知了顶点，所以呢，我们可以把顶点先带入到顶点式里面， 带进来以后呢，其实就得到一个 y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方，就 x 加一的平方，再加上一个 e， 其实就是顶点横坐标就是这个 x 减 h 的 平方等于零对应的 x 值， 这个平方等于零，得到的这个 x 值就是这个顶点横坐标。然后呢，你就可以把顶点是直接写出来了，顶点是直接写出来以后呢，接下来过一五，那么你就直接代入啊，代入以后就得到了五等于一加一的平方，再加一， 呃，五等于 a， b 的 一加一的平方再加一，那么 a 等于一，我就可以直接解出来了解的思路是这样的啊，但是这道题呢，主要是给大家要说一下过程怎么写，就是我们经常会在解答题中遇到这种问题啊，过程怎么写呢？第一步呢，你肯定要先去设这个解析式，怎么设呢？ 描述这么说啊，然后呢，我们可以写呢，抛物线顶点坐标，由抛物线顶点坐标是负一一，然后呢我们就可以设抛物线表达式为 y 等于 a 倍的 x 加一的平方再加一， 你就是说由顶点是这个可以设出抛物线表达式，是这样的就 ok 了。然后接下来呢，再由抛物线经过 一五，然后呢代入得，代入呢，就得到了一个方程，五等于 a 倍的一加一的平方，再加一，接下来直接写解得就完了， 解得 a 的 值就等于一，最后可以直接写出抛物线的表达式 x 加一的平方再加一，就是大致这样的一个过程啊，用顶点式去设表达式的时候，一定要先说明，因为顶点是啥，所以我们把表达式直接设成了这种形式， 接下来就是正常的代入得 a 的 值，最终写作答。然后下来我们再练一题啊，再练一题啊，这个题又换了一种说法，我给大家写一下啊，他告诉我们说二次函数的图像经过二负六， 然后呢说当 x 等于一的时候，这个 y 的 最大值 等于了负四，然后让你去求表达式，来吧，咱们一起来过一下啊，这次他就是把条件包装了一下，告诉你 x 等于一的时候， y 的 最大值是负四。啥意思？不就是在说顶点坐标吗？ 顶点坐标就是一负四，哎，所以呢，这时候呢，我们心里面去想一想顶点式，想一想顶点式，我就可以把它的式子设出来了啊，就是 y 等于 a 倍的 x 减一的平方再减四。有了这个式子以后，怎么求 a 的 值呢？已知一个点，所以代入， 代入以后呢，得到了负六等于 a 倍的二减一的平方再减四，算出来 a 等于啥呀？算出来啊，也还好啊， a 等于负二。最后记得作答表达式就是负二倍的 x 减一的平方再减四。 到这呢，咱们其实讲了零零碎碎一大堆关于二次函数的信息了，我们应该稍微总结一下子啊， 目前为止，我们讲了哪些知识点呢？首先，第一讲了二次函数的定义，他要长成 a x 平方加 b x 加 c 的 这个形式，注意 a 不 等于零。 那么这个式子呢，我们现在可以把它的名字说出来了啊，这个名，这个玩意呢，其实叫做二次函数的一般式，二次函数的一般式啊， 然后呢，这个基本的形式了解了以后，你会发现，实际去理解函数的时候，拿这个式子并不好用。所以呢，咱们先聊了啥呀？先聊了特殊的二次函数 y 等于 ax 方， 通过对它的研究，我们知道了什么，我们会发现， a 其实决定了抛物线的样子啊，长啥样？ 具体说， a 的 正负决定了开口的方向向上或者向下， 然后呢， a 的 绝对值越大，然后呢，这个开口就越小， 它决定了开口的大小。所以呢，由 ax 方，我们研究出了 a 决定抛物线的样子， 那接下来谁决定抛物线的位置呢？你图像研究的就是长啥样和在哪里嘛。所以呢，接下来呢，我们又去研究了另一个解析式啊，就是抛物线的顶点式。顶点式为什么叫做顶点式？ 因为这玩意可以直接看出顶点，可以直接看出顶点啊，注意怎么看的？其实就是让这个平方是取零啊，然后呢，剩下的 y 对 应的就是顶点的纵坐标，完全平方是取零得到的，就是顶点的横坐标， 这是顶点坐标的得法。然后呢，顶点坐标有了以后，其实你会发现，抛物线的对称轴 以及这个二次函数的最值，我们就都可以得到了啊，所以顶点其实是非常重要的一个点， 这是顶点式的基本操作。而各位这些知道了以后呢，接下来我们知道了， a 决定开口的大小方向，顶点决定抛物线的位置。哎，你会发现，有了形状，有了位置，我就可以画啥了，就可以画抛物线的示意图了。 那诸位，我们是怎么去画的矢图？用什么方式去画的矢图一种呢？是找三个点画图，哪三个点来着？是不是顶点加上外轴上的焦点，再加一个啥对称点， 这是三点画图。然后呢，还有一种画图呢，就是更简单一点的，直接用顶点画图， 如果你需要抛物线和坐标轴的位置关系，那么用三点画图，如果只需要抛物线本身的信息，顶点画图就 ok 了， 这是画图的方式。然后呢，最后最后我们还讲了一下如何在已知顶点的情况下去求抛物线的解析式，其实就是要去写出顶点式， 咱们今天呢，先把对称性聊一下，那么聊对称性以前呢，哎，需要大家先掌握一个公式的用法，这就是钟点坐标公式。如果说之前在一次函数的题目中，钟点坐标公式 还只是一个锦上添花的工具，那么到了二次函数里， 你不会终点坐标公式啊，你很多题就算起来太费劲了啊，所以这块开始，这个公式必须会，而且呢，这也是咱们解析几何就坐标系里面最核心的一个公式之一，最重要的一个公式之一，你一定得能用起来。终点坐标公式是啥呢？ 就是两端点的横坐标相加除二，纵坐标相加除二，相当于是端点坐标的平均数， 你看这个是不是感觉起来还挺好理解的？终点终点就可以理解成端点的平均数，终点是端点的平均数，所以呢，他写出来二分之 x， 一 加 x 二，二分之 y， 一 加 y 二， 这我就不正了，我主页里面有讲过这玩意怎么正啊，但我现在就不正了啊，这是终点坐标公式，这个东西其实用起来非常简单啊，我们来练习一下啊，比如说我现在已知了 a 点坐标是二三， b 点坐标呢，是负四，逗号五。来告诉我， ab 的 终点坐标， 这个其实就是带就完了啊， ab 的 终点坐标是啥呢？你就直接横坐标相加，除二，二分之二加负四，二分之三加五， 然后呢，算出来就是一个负一逗号四。好了，这个公式就很直白，你直接用就行了啊。然后接下来呢，我主要给大家讲一下这个公式的一个变形，就是有时候呢，我们会遇到这样一种情景， 我告诉你终点坐标是二三了，然后我告诉你一头的端点坐标，比如说是负二，逗号五，然后现在我让你去求另一头的端点坐标，已知终点和一端求另一端， 这时候咋求呢？你当然可以设未知数得方程啊，你比如说你设这个坐标是 a b， 然后用终点坐标公式去列个方程，当然是能求的， 肯定也不会错啊，但是呢，这么算的话就太麻烦了，因为这种计算呢，在一个函数题里面，通常只是其中的一个小环节，所以呢，你要能够快速的算出问号，怎么算问号呢啊？有句口诀叫做 两倍钟点减一端，二倍钟点减一端，好给大家说这个公式呢，是因为他实在是太常用了啊，这个口诀真的是太有用，太常用了。但是呢，数学 我跟你说，让你记住一个公式一个口诀的时候，其实不是让你去背的，那有的小伙伴说，那我记住，我把这句话背个二十遍，我记住了啊，不是这样去记的，你要去理解他怎么来会推了这个口诀，你自己就记住了，其实怎么推呢？ 所谓的这个二倍钟点减一端，它用于已知钟点和一个端点求另一个端点，相当于比如说我已知了 a 点坐标，已知了 m 的 坐标，我想要去求另一个端点的坐标，那这时候咋求呢？我们可以把公式写出来，钟点的坐标 其实就是二分之端点横坐标的和钟点纵坐标就是二分之端点纵坐标的和， 这是公式的本来的样子。现在我相当于知道了 x 中，知道了 x 一， 想求 x 二，那我就对这个公式进行一个变形， 变形完了以后呢，就可以得到一个两倍的 x 中，等于 x 一 加 x 二，再进一步的就得到了 x 二，等于两倍的 x 中减 x 一。 你看两倍的中点横坐标，减去一个端点的横坐标，就得到了另一个端点。 同样的纵坐标也是一样的道理，两倍的中点纵坐标等于 y 一 加 y 二，变形一下 y 二，就等于 两倍的 y 中减去 y 一。 你看两倍的中点纵坐标，减去一个中点坐标，得到另一个端点的纵坐标。 两倍钟点减一端。理解了这个口诀是为啥以后，你其实就记住了啊，然后这里就可以口算了，两倍钟点减一端，二乘二减负二 六，两倍钟点减一端二乘三减五，等于一直接口算六一，相当于讲了一个钟点坐标公式的变形。以后大家既要能正着用钟点坐标公式， 也要会这个逆用的用法，因为它太常见了。下来呢，咱们来正式讲对称啊，比如说，现在已知抛物线上有两个点 p q p q 呢，是关于对称轴对称的，其实它能得到的东西由对称的性质就可以全部推出来。 我们知道对称的性质有啥呢？对称的性质有图形的对应边，对应角相等，但是呢，现在你有的是两个点对称，所以谈不上图形了。点的对称可以干啥？点的对称，那你就可以想到连线嘛，对称点的连线一定会被对称轴垂直平分，这是轴对称的性质， 对称点连线会被对称轴垂直平分。各位呢，这时候你会发现你能得到啥？首先你会发现，哎，我可以得到 这个 p q 的 中点就在对称轴上，而同时呢，我会发现， p q 呢是垂直于对称轴的，对称轴也是垂直于 x 轴的，所以 p q 跟 x 轴啥关系？ p q 跟 x 轴是平行的。 好了，那再进一步的，它既然是平行于 x 轴的，那么请问 p q 两个点的坐标存在什么关系？你会发现这两个点的纵坐标一定是相等的。 哎，你会发现，咱们就只是利用对称的性质连了一下线，然后就得到了一系列 p q 坐标的有关信息，复盘一下，连完了以后， p q 肯定平行于 x 轴，所以 p q 纵坐标一定相等。 同时呢，因为这是终点，所以 p q 的 终点一定落在对称轴上，这就是由对称能直接得到的一些信息。那么理解了这一堆以后呢，我们光是知道了这个对称有什么特征，那拿到题目，具体可以怎么去用呢？来注意，我们把刚刚的信息可以拆解成两个方面， 就是，第一，你得知道怎么得对称， 题目不会这么好心，题目直接告诉你， p q 两个点是对称点。这题也出的太瓜了，出题老师一定会想办法把这个信息藏起来，所以可以怎么藏？ 哎，你会发现，咱们刚刚说的对称点连线是平行于 x 轴的，所以有一种得对称的方式是啥呢？告诉你， p q 平行 x 轴 直接已知 p q 平行于 x 轴，你就要想到抛物线上这两个点是关于对称轴对称的，这是一种给对称的方式。好，那再进一步的呢，平行的平行 x 轴的线上面点坐标什么关系来着，是不是纵坐标相等呀？ 所以呢，也有可能题目告诉你纵坐标相等，比如说抛物线上两个点纵坐标是一样的，那么你也可以利用它去得到对称 相当于给了后面这两种信息，你就能推出来两个点是对称点，这是得对称， 那得了对称以后呢，自然你还得会用对称，哎，那这个对称可以怎么用呢啊？比如说我把前面那些也练一下啊，我给大家一些完整的练习啊。比如说这个题目可以这么出啊，他可能会告诉你，抛物线上有两个点，一个点的坐标是负一 m， 然后呢，另外一个点的坐标是五 m。 别的都没说啊，就是已知 p q 两个点的坐标长这样，你一看到这两个点 纵坐标是一样的，你要有个啥想法？就这两个点铁定是对称点啊，所以由 y 相的得到它俩对称，而得到它俩对称以后来各位你就要有个反应了，它俩是对称的，那就说明它俩的终点 一定落在对称轴上，而我们刚刚说的，看到终点，要想到啥终点，就要想到公式，对不对？所以呢，我可以得到这个终点的坐标呢，就是二分之负一加五，横线上面纵坐标一样直接是 m， 哎，所以你会发现这个终点的坐标就出来了，它是个二分之四，也就是二度 m。 来，各位你告诉我，这个二相当于对称轴的值就出来了， 所以对称怎么用呢？哎，就是可以直接求对称轴啊，就二分之 两个点的横坐标相加，就等于对称轴，这叫用对称，已知对称点了，横坐标相加二就是对称轴。好，然后呢，再接下来呢？哎，你会发现，有了对称轴以后，我们还可以利用对称性去进行计算。比如说诸位， 如果我告诉你这个 a 点坐标是负二零，你能不能帮我求出 b 点坐标？一定可以的，怎么求呢？ 你会发现，你都知道轴是 x 等于二了，轴是 x 等于二，那你会发现 ab 一定也是对称点呀，它俩纵坐标都是零呀， 所以他俩肯定是对称点呀，他俩是对称点的话，哎，你会发现，我就可以用那个两倍中点减一个，直接算出 b 点坐标，两倍中点减一个，那这就算出来就是二乘二减负二，总坐标不变零， 所以可以利用对称线去求对称点坐标，这就是关于对称性的一个完整的用法。 首先呢，我们根据连线平行 x 轴或者纵坐标相等，可以得到点的对称关系。 有了对称关系以后怎么用呢？可以横坐标相加除二得轴，可以利用对称轴求对称点坐标。我带大家举个例子练一下，这是二次函数最核心的操作之一，我们把这块稍微练一下啊，比如说，现在呢，题目会怎么出呢？我们再给大家出一个题，有这么一个抛物线， 我告诉你有 m n 两个点，比如说已知了 m 点的坐标是二减 m， 逗号 n。 然后呢，已知了 n 点坐标是啥呢？已知了 n 点坐标是 m 加六逗号 n。 来，各位一看见这个条件想啥？你会发现 y m 等于 y n， 你 要先想到什么呢？ 想到 m n 是 对称点，没问题吧？第一步，看到纵坐标相等，想到了 m n 是 对称点，而只要看到对称点了，下一步就要想到能干啥，对称点能干啥，对称点 就可以帮我们去求轴，可以求出对称轴，怎么求呢？对称轴就是对称点的横坐标，相加除二就是二，减 m， 加上 m 减六， 加上 m 加六，哎，你会万一相加呢， m 负 m 就 给消没了，就算出来轴是四了，我就得到了这个函数的对称轴是四。 好，那得到对顺轴是四以后呢？一般题目也不会停在这，接下来题目会给你说啥呢？他会告诉你说，哎，现在呢，我告诉你，这个抛物线跟 x 轴有一个焦点，有一个焦点的坐标呢，比如说是五零 来，那这时候你可以算个啥，他就他就，有时候题目就别的都不提，他就只是悄咪咪的告诉你说这有个五零，那这时候你要有个啥意识，你要知道啥难求了， 你会发现五零和另外一个 x 轴交点一定是对称的，因为纵坐标都是零嘛，这两个点肯定也对称。那这时候你就要有意识的利用对称轴，主动的求对称点，主动的求对称点，怎么求呢？两倍中点减一个二，四得八，减五等于三， 这是二倍中点减一端。其实就是有了对称轴以后，有了对称轴，我们可以利用对称性求点， 这就是二次函数对称性的一个完整的考察方式。接下来我们练两道题，收工了啊， 先看个容易的，这个是告诉我们对称轴是 x 等于负二，已知了一个点是三五，然后呢，求它的对称点， 这玩意怎么算呢？我建议你作为初学者，还是不要直接口算，怎不怎的画个示意图啊，画个示意图， 首先对称轴是 x 等于负二，有一个点是三五，那肯定在对称轴的右边， 然后接下来我要求他的对称点，求大家对称点啊，你会发现有个图以后，你会发现这个对称点大致在哪里，你是有数的，你算出来那种比较不符合的数字的时候呢，你是会排除的， 但是直接口算就失去这个机会了啊，所以最好画个图，画完图以后呢，接下来怎么求对称点呢啊？我就利用对称性去求了， 首先这两个点对称 y 一定是一样的，所以纵坐标等于五，先写出来再接下来呢，横坐标怎么求呢？我们知道中点在对称轴上，所以呢，两倍中点减去三负四减三负七 就做出来了。好了，接下来最后一道题，这道题其实是二次函数这块经常会遇到的一类题目啊，就表格类问题，这种题呢，它的特点就是会给你几组不同的值，几组不同的 x y 值，然后接下来让你去判断它图像的一系列的特征啊。那么首先你要明白这种题啊， 有的小伙伴有一个不太合理的做法，就是他会把这里面的这些点带到表达式里，把表达式直接给印求出来。 首先这种做法呢，他确实可行，但是你这样去做这道题的话，那么考试的时候实在没办法了，可以接受，但是平时做题的话，其实你浪费了一次对对称性的练习的机会，这种题其实给出来就是考对称性的啊，你用对称性的思路去做它 完全可以解决，没有必要求画物线。那下来咱们来用对称线去解一下，首先你会发现他给了你一堆数值，这些数值里面呢，一定会存在有特征的， 比如说你会发现这里面负一负二和三负二，他的 y 值是相等的。哎，那你看到 y 值相等就想到啥呀？这两个点一定是对称点，而对称点就意味着可以求出啥， 对称点就意味着可以求出轴啊，所以呢，轴呢，我们算一下，就是 x 等于二分之负一加三等于一个一 轴就求出来了，轴求出来以后呢？哎，接下来呢，我们要去判断一系列跟图像有关的结论， 那么最好最直观的方式是拥有这个函数的图就可以了。所以接下来呢，做这种题有一个最无脑的方案，就是求出轴以后。求出轴以后，各位去画一下图， 而且这种题的图会特别好画。为啥呢？因为他给你提供了一堆的数值，给你提供了一堆的数值， 你把这一堆数值直接标出来就可以了，你就可以得到一个相对准确的图。你跟胖叔一块操作一下啊，比如说他首先告诉你一个点呢，是负三十，你给他标上， 然后接下来呢，知道一个点是负一负二啊，那我们大致标上来，注意，因为这种题的图呢，它只是一个示意图，其实你都不必要画的极其的准确，大概对就 ok 了。然后接下来呢，告诉一个点是零负五好了，然后接下来呢，我们知道对称轴是一，我们给他画出来 对称轴是 x 等于一，然后接下来呢，右边有一个点是三负二，这是一，这是零，这是三三负二的点。大概画好，我就把题目给的四个点画上了， 但是这种题的话，建议啊，除了题目直接给你的点以外，那么这些点有了，轴有了，其实它们的什么点也就有了， 他们的对称点也就有了，你最好把对称点画出来，题目的考察点就跟这些对称点多半是有关的，所以呢，去把对称点画一下，其实对称点特别好画， 你零负五，知道了他关于 x 等于一对称，那左边是个一，右边是个一嘛，所以二负五就画出来了。 然后呢，这个对称点本来就有，接下来呢，这个三十三负三十的对称点，负三十的对称点，对称轴是 x 等于一，所以你会发现两倍中点减一个，这边这个对称点它是个五，逗号十，你也就直接算出来了。 你这些点只要都标上了这个函数的大致图像，你就会画出来了啊， 大致图像就都画出来了。而有了这个图以后，你会发现所有的选项基本都是秒出的，开口向下，这直接不用判断，直接出与 x 轴无交点，明显是在扯淡，我都画出交点了。 x 大 于零的时候，外随 x 增大而增大。 x 大 于零的时候，零在哪啊？零在这儿嘛。 x 大 于零的时候呢，取的是红色的这一段， x 增大， y 增大，对吗？你会发现他得先减小再增大吗？所以这个玩意他就又错了。有图就是直接出对称轴是一，对称轴是一，倒是没毛病，最小值是负五来，你就看图，最小值是负五，他合理吗？ 负五是 y， 轴上这个点最小值明显另有其他的点，对吧？所以呢，这个选项就是错的。 然后他说当 x 等于五的时候， y 等于十，你看他这种题就必定会考你对称点，所以你画图的时候，顺便把对称点一求，这都不用你再算了啊，直接就搞定，所以这题有了图以后直接完事。四六 这种表格类问题，注意求轴，注意画图啊，尤其是注意画出对称点。你们说的对啊，神奇的是，题目居然没做错啊，来来来来来， 今天就讲到这啊，最后其实就是讲了一下对称性的用法啊，最后复盘一下啊，以后只要看到两个点的连线平行于 x 轴或者 y 相等，你就要想到这是对称点。 然后呢，再接下来呢，看到对称点，你就要有一个横坐标相加除二得对称轴的意识 会求对称轴。以后呢，有了对称轴，要注意利用对称性求点，有轴一侧的信息已知了，另一侧的点就出来了， 具体求的时候，注意这个口诀，两倍重点减一个。好了，对称性就聊到这啊，今天呢，咱们继续先讲一下函数的增减性啊，二次函数的增减性呢，是非常重要的一个板块，你看今年的中考题，我已经讲了很多跟增减性有关的题目了，当然了，今天咱们先说基本的啊，对 二次函数增减性而言，你会发现它跟你以前学过的一次函数不一样。二次函数呢，它会以对称轴为界，增和减的分成了两部分，比如说左侧呢，就是 外随 x 的 增大而增大。对称轴的右侧呢，就是外随 x 的 增大而减小，它是以对称轴为界的。你去写的时候呢，其实就可以用数学式子写成，当 x 小 于一的时候， 是 y 随 x 增大而增大啊，我就不去写那个文字描述了啊，左侧就是 x 小 于一的时候， y 随 x 增大而增大，而 点位于对称轴右侧的时候啊，那这时候就变成了 x 增大。 y 减小用咱们课本里的话，就是 外随 x 的 增大而减小，这是对它增减性的一个描述。那么这里呢，注意一个小细节，就你会发现呢，这个 x 小 于一， x 大 于一呢，其实是有一个点没有去考虑的，就是这个顶点，这个临界点。 那么关于临界点呢，增减性这块是这样的啊，就是你可以把这个临界点算上，也可以不算，因为单独一个点，其实不影响 整段函数的增减性，单独这一个点，你写或者不写，结论都是对的。也就是说，我说这个图形 x 小 于等于一时候 y x 增大而增大，这句话没错。然后呢，我不写这个等号，我说 x 小 于一的时候， y x 增大而增大，也对， 就这里等号带不带都对。注意这个小细节啊，给左边也行，给左边也行，都不给也行啊。描述增减性的时候， 这个范围的端点可写可不写。然后呢，这是开口向下，那相应的，如果是开口向上的话，你会发现它也有相应的一个增减性啊，比如说这个对称轴是负二，那我们可以同样可以得到，当 x 小 于负二的时候，就是对称轴左边， 那这个时候呢，是 y 随 x 的 增大而怎么样？ y 随 x 的 增大而减小，那如果是在对称轴右侧，就是 x 大 于负二的时候， x 增大，你看 y 也跟着往上增大。就如果是完整描述一个函数增减性的时候呢，不会两头都写上等号，因为两头都写上等号，总感觉算重了。但这种问题在初中阶段你都不用纠结啊，不会让你去在这个事情上燃的啊。 那么通过这两幅图的理解，你会发现，其实一个二次函数的增减性有两样东西决定，首先对称轴直观重要，其次， 开口向下的时候的增减线和开口向上时的增减线是完全相反的。所以我们研究一个抛物线，它的增减线就得看开口看轴，同时关注两样东西， 看开口和看轴。这个理解了以后呢，接下来呢，我给大家看一个考试中会遇到的描述啊。那么有的时候呢，我们会遇到题目这么说，他告诉我们说，就这幅图啊，当 x 大于等于零时， x 增大， y 减小，大家觉得他这句话说的对不对？这里呢，你首先得理解他给你范围的意思，在函数题里面，给你一个自变量的范围，其实就相当于在他的图像上截取了一段，我们相当于要从 x 等于零开始 往右截取，他说 x 大 于等于零，问的就是红色的截出来的这一段是否满足 x 增大， y 减小，你会发现是满足的啊，所以呢，这句话就正确，注意， 给你这个范围相当于截了一段，我，我抱歉啊，我写错了啊，抱歉抱歉，我错了啊，我错了，我想说的是， x 大 于等于二啊，这里呢， x 大 于等于二，大于等于二啊，截的是右边啊，人傻了，抱歉抱歉抱歉， x 大 于等于二的时候， y c x 增大而减小是对的啊。 那接下来我再换一个问法，那如果是给你当 x 小 于二分之一的时候， x 增大， y 增大，那这个说法对不对？那这时候你怎么去想呢？其实还是一样的思路，你要在抛物线上先把小于二分之一的图截出来，先把小于二分之一的图截出来。二分之一在哪呢？二分之一肯定在 对称轴一的左边，所以呢，你截小于二分之一，相当于截的是蓝色的这一段，那你只看蓝色的这一段， x 增大， y 增大，是不是没毛病？所以呢，第二个说法也是对的， 这里就是给大家说明白一个意思啊，就是你看到人家给你一个范围，问你他的增减性对不对？其实就是截出来一段，只看截的那一段， 跟他说的一样不一样，你管他往哪走呢？哎，亲人，你只要是 x 小 于二分之一的时候，那他是不是也可以让 x 增大呀？人家 x 从负五增大到负二行不行？ x 从负五增大到负二行不行？ 那从负五增大到负二的过程中， y 是 不是再增大？这个 x 小 于二分之一只是给了你一个范围，在这个范围里面， x 也是可以增大的。这个理解了以后呢，来，接下来呢，我们再来，我们来看一下考试会怎么出题啊？ 那么考试呢，他有时候就不会这么正着去考你了，他会怎么考呢？他会说，当 x 大 于 t 的 时候， 当 x 大 于 t 的 时候啊， x 增大， y 减小，让你去求 t 的 范围。各位，这种题怎么做？当 x 大 于 t 的 时候， x 增大， y 减小。 首先啊，我知道有小伙伴会说 t 等于一啊，但是你注意先不要着急啊，首先啊，我们还是要明白给你的这个 x 的 范围，就是要在图像上截取一段，截取一段。哎，那么这时候你就要去想，你截的这一段，他得满足题目给的条件， 截的这一段，它要满足题目给的条件。那我想问你，你说这个 t 它是应该放到对称轴的右边，截取以后能满足提议呢？还是放在对称轴的左边，截取以后满足提议？这个 x 等于 t 放到哪侧能满足它的要求？ 那很明显了吗？如果 t 放到对称轴的左侧，就成了先增大后减小，跟描述矛盾了，所以我是不是就只能把 t 放到对称轴右边，相当于他截的是右边这一段满足题目的描述。 而你的 t 只要放在对称轴的右边了，那你的 t 要满足一个什么范围？ t 要满足一个什么范围？你会发现你的这个 t 它可以无限的靠近对称轴，它可以往上靠，但是 x 等于 t， 它能不能跑到左边去，它跑不过去。所以我们可以由此得到一个 t 的 范围， 这个 t 的 范围就是 t 要大于一。理解这个思路，没给你一个代参数的范围，告诉你增减性，你就先把它划到 抛物线的图形上，把满足题的图画出来。满足题的图画出来以后，你自然就能写出对应 t 的 范围。但是这个答案对不对呢？思路是没啥大问题啊，但答案对不对呢？朋友们注意，答案有问题啊！ 接下来呢，要注意一个写不等式的常见坑点啊。写不等式的时候呢，一定要注意等号， 每一次你去自己写不等式的时候，一定要注意等号。我们刚刚呢，只是知道了，当这个 t 在 对称轴右边的时候，一定满足题，但是极限状态，临界状态呢？临界状态，是不是当这个 t 正好落在了对称轴上， 当它落在对称轴上， x 等于 t 等于一了？来，那我现在问你，大于 t 的 时候， x 增大， y 减小，是不是依然满足题目的描述呀？哪怕 t 等于一了，你的这个结出来的这段依然是满足提议的。这块其实是可以带等号的，这个是一个常见的坑，大家一定要注意啊， 每次自己写不等式的时候，一定要注意单独看等号啊，接下来让大家练一个啊，就这幅图啊，当 x 小于 t 加一时， x 增大， y 减小，然后呢，来帮我求一下 t 范围。好，其实一样的想法啊，各位， 看到一个范围，你就要想着在这个图像上去截，想着在图像上去截，然后呢，要满足的条件是， x 增大， y 减小。 x 增大 y 减小，那肯定要在对称轴的左边截，所以呢，你就把你的 t 加一划在了对称轴的左边啊，在左边截了一段 好，截完了以后呢，你就会发现，你的 t 加一和对称轴的大小关系就出来了，肯定是 t 加一要小于负二， 但是注意啥？注意验等号，注意验等号！你就想一想， t 加一正好落在对称轴上，满足题意不？其实也满足题意，相当于结了整个对称轴左侧嘛，也满足题意，所以能带等号。 这个验等号呢，你很多时候是需要单独考虑的啊，所以我经常把它叫做单验等号，写了不等式以后，单独考虑一下等号能不能取单验等号啊，那么最后正确答案是，小于等于负三。 接下来咱们继续啊，做几道题，来吧，各位，咱们一块看啊，就其实通过刚刚的练习啊，不知道大家有没有发现， 我们刚刚解决所有增减性问题的时候，都是在图里面直接去看的，所有增减性问题都是在图里面直接去看的，因为用图去研究增减性是非常直观的啊，相对不容易出错的方式。 所以接下来呢，所有但凡涉及到什么增大减小这种增减性的描述，你一定要注意是画图看，比如说这个二次函数，我们就可以画个示意图，首先呢，你会发现这玩意呢，是一个开口向下的二次函数。 然后呢，接下来呢，我研究增减性就要研究开口和对称轴嘛，开口保证了，那轴我就求一下 轴怎么求来着？轴，咱们前面才说过嘛，就是让这一坨，让这一坨平方等于零就行了啊，平方等于零，所以求出来轴其实是负 h。 这里其实很多朋友可能会弄错啊，一定注意啊，想平方等于零得轴，轴是负 h。 好， 当你知道了这个以后，你看，接下来就不会错了。 x 小 于负二的时候， y 随 x 增大而增大啊，说明负二呢，要在左侧。然后他又说大于负二的时候， y 随 x 增大而减小， 那就说明负二节的这个范围在右侧。那你说你这时候负二只能在哪里才能同时满足？两句话，负二只能在这个地方了，只能正好落在轴上。所以我是不是就得到了对称轴就是负二，你但凡放别的地方都满足不了他的要求。 好，那由此呢，我们就得到了 h 等于二。好了，那你说 h 等于二都有了，这个表达式都写出来了，负的 x 加二的平方，那你要求零处的函数值呢？就代入嘛，令 x 等于零就结束了。 来，继续啊。又是一道这种题，首先给了一个二次函数，告诉了它的增减性，所以这时候又想着要干啥呀，又想着要去画图看嘛。那这个函数呢？很明显啊，开口向上， 对称轴呢，是 x 等于三，然后现在呢，他说这个范围内，外随 x 增大而增大，给你范围就是要干啥呀？给你范围就是要在图上去截吗？请问啊，外随 x 增大而减小，外随 x 增大而减小，你得在哪头截？你是不是只能把这个 三分之一 m 放在对称轴的左侧呀？因为只有左侧才满足他的描述吗？外随 x 增大而减小，而当你把它放到左侧以后，你会发现，对应的不等式就有办法列了啊，那你的三分之一 m 肯定是要小于三的。 来，这里注意啊，只要 m 在 对称轴的左侧就行。你会发现，你无论让这个三分之 m 如何去靠近对称轴，它都始终是满足这个 x 增大 y 减小的。但是万万不能放到右边去， 放到右边以后，你会发现，就成了先减小再增大，跟题目的描述不符合了。所以啊，这里注意，我们只能把这个 三分之一 m 放到对称轴的左侧，得到这个不等式。当然了，得到这个初步的不等式以后，一定注意那个坑点是啥？坑点是啥，一定要注意去验等号， 注意，这个坑点要去验等号。好了，那你就想三分之 m 跟三重合的时候行不行？跟三重合的时候行不行？ 跟三重合的时候也是取得对称轴左侧嘛，也是 x 增大， y 减小嘛，所以 ok 的， 把等号带上。于是 m 小 于等于九就算出来了。 再来一道，来一块看啊。又看到是增减性的题，来画图，增减性的题，画图开口向下，对称轴是一， 然后范围给了，范围给了，那我就要去截嘛，只能在哪头截 y， x 增大，而减小只能在对称轴右侧截啊。所以截一下的话，这是 x 等于 t， 这是 x 等于五，截的是这一截。 那既然截的是这一截， t 和对称轴的大小关系就有了， t 肯定要大于一。 注意单验等号啊，你会发现， t 即使等于一了， t 即使等于一了，依然满足他的题目描述。所以呢， t 应该大于等于一， t 应该大于等于一，这块跟前面一模一样。但接下来我说这个初级老师很无聊啊，无聊在哪呢？无聊在他给你加了个 x 小 于五的条件啊。各位，这句话其实有一个隐含信息，有一个隐含信息是啥呢？隐含的信息就是 t 肯定得小于五， 这个好多小伙伴容易忽略啊。所以呢，最后合起来应该是大于等于一，小于五啊。 t 小 于 x 小 于五，那 t 肯定也得小于五，所以一定注意右边这个范围。那到这增减性就说到这里了，那我们刚刚说了，图像的关键就在于 a 和顶点对不对？那你会发现，一般式里面 a 呢， 倒是直接能看到的，但关键来了，顶点，现在我好像没法直接得好了，那这时候我们想一想，顶点没法直接得，那谁能帮我们带来顶点？我们前面研究了半天顶点式嘛，你发现顶点式是啥啥都有的，啥啥都有的。 哎，那我现在想要由一般式研究研究顶点的位置，那咋办？很简单，你就把一般式变成顶点式的样子就行了，很好理解吗？我学过这个知识，我学过顶点式的，我知道他啥都能解决，所有抛物线的图像问题都能搞定。 那我现在需要研究一般式对应的图像，那咋办呢？我把一般式变成顶点式就好了，而把它变成顶点式，其实就是把一个二次三项式变成一个平方加长数的形式。那这个过程呢，我们知道有个专门的名字呢，叫做配方 配成完全平方式。那这里呢，一方面是理解一般是为啥要配方啊？因为我会他的所有性质了，我需要借助他来研究一般事，但更重要的是大家要去体会一下数学学习里面的一个常见的套路， 我们往往是借助已学的知识来研究新内容的。所以呢，你每当你去学新知识的时候，一定要去关注关注 已学和未学之间的联系啊，要学会用已学指导新学。那说到这，我们的核心任务就明确了啊，接下来呢，就是要对这个一般式进行一个配方。 我不知道大家对配方知道多少，我们默认大家是学过一元二次方程的，我们知道一元二次方程里面的配方怎么配呢？ 一元二次方程里面的配方怎么配呢？这好像不能随便给数字，我给你们个减二啊。我们知道先得给他把二次项系数化成一嘛， 那方程化一其实特别简单，因为它是个等式，你左右两边同时除以二就行了。同时除完二以后呢？哎， 二次项系数化为一，你就可以直接开搞了，但是咱们的函数不行，函数是个啥呀？ 函数呢，它是一个代数式的形式，你要是给他除系数的话，除完了以后，你换这个 a 没了，式子的值都变了，所以这时候该怎么办呢？ 对于他的配方呢，我们的思路就是给他往出提取，你把 a 提出来，你会发现二次项系数就变成一了， 然后呢，接下来依次向提了个 a， 你 给他提个 a， 相当于要给这个式子怎么样？给他除个 a， 所以 就变成了 a 分 之 b。 而接下来各位，请问我提 a 的 时候，还需不需要给 c 去提？提 a 的 时候需不需要给 c 去提？ 需不需要呢？注意，不需要给 c 去提。为什么呢？因为常数其实不用参与配方这个过程，你想一想你方程里面配方的时候，常数是怎么处理的？方程里面配方的时候，你都把常数直接扔到另一头去了，所以注意常数项不用参与配方， 所以你提的时候你也不用提了，提它你增加计算量。然后接下来呢，我们继续去变形。配什么呢？我就要配依次向系数一半的平方，就 a 分 之 b 的 一半， a 分 之 b 的 一半呢，就是二 a 分 之 b， 它一半的平方呢，就是这个货了。那你加了这个一半的平方，你就得顺便给它怎么样减掉，保证式子的值不变。 剪掉以后，记得后面还跟着个 c 啊，记得后面还跟着个 c， 我 把这个方程擦掉了，啊，没用了。好了，配成这个形式以后， 我们会发现前三项就是一个完全平方式了，然后呢，我们把它单独留在括号里面， 而后面这一坨呢，你就可以把它拿到括号外面了，拿出去的时候就变成了四 a 方分之 b 方，哎，各位， 拿出去的时候四 a 方分之 b 方，我是顺手化简了一下，但是有个什么事情还得注意， 你从这个中括号里往出拿的时候你要注意啊，去括号的时候，你得记得跟前面的 a 去乘，所以这里面其实还有一个乘 a， 还有一个乘 a， 一定注意这个细节。那接下来我就可以去整理了， a 倍的 x 加上这个的平方， 加二 a 分 之 b 的 平方，加完了以后呢，后面就是一个四 a 分 之 b 方，再加上 c， 整理完就长这样。而后面这一坨，各位， 这两个货呢，我们给他通分一下，整理一下，整理完了以后，最后就得到了啥呢？ a 倍的 x 加二 a 分 之 b 的 平方， 然后呢，通完分以后呢，就是四 a 分 之四 a， c 减去一个地方，我就完成这个最标准的二次函数的配方操作 来。这个计算过程呢，其实就是提取二次项系数，配一次项系数一半的平方去括号，注意乘前面的 a 写作完全平方式，痛风，整个过程就结束了。这里呢，我要稍微多说一句的，就是 以我的教学经验啊，新学这块知识的小伙伴呢，几乎没有一个喜欢进行这个计算的人，这个很正常， 因为在这之前你恐怕都没有进行过这么复杂的参数计算，遇到二次函数以前，你可能从来没有进行过这么复杂的参数计算， 但是啊，我要说的是，千万不要因为他麻烦，所以就自己不算啊，看一下书，记住个结论就完了。 一定注意这个计算过程啊，如果你真的想把你的二次函数或者说方程搞好，然后让你后面做中考难题的时候能够更轻松一些， 你一定一定得珍惜这些含餐计算的练习机会。这个计算过程，我建议你自己最好能从头到尾推上个两三遍，推到无比熟练为止。 因为现在中考的函数压轴题含参计算的比例实在是太高了，咱们评论区应该有好多跟着我看了好多中考函数压轴题的，今年二六年的函数压轴题，你就想一想，有几个地区不带参数计算， 就没有几乎啊，很少很少有函数压轴题不带参数计算的。所以啊，这种基本功，一定要珍惜每一次练习的机会，你现在 还能算下去，然后呢，你嫌他还不想算，等到后面就是计算能力一直不提升，真正遇到你不算不行的时候，你真算不动了啊，那就有点晚了，虽然到时候赶也来得及，但是你现在就开始做，何乐而不为呢，对不对？所以参数计算这件事情一定要重视啊， 这玩意以前呢，我还只能说是高中很重要，初中用的少，今年的函数压轴讲下来，讲了十几个地方，我估计至少有八九个地方涉及到了参数计算，所以这个一定要练。这块我们就说完了， 通过这一系列计算呢，我们最终呢，其实就求出了顶点式的形式好了，各位，有了这个函数的各种图像特点，我是不是就都能研究了？ 来，首先，开口是不是可以直接得？开口本来就能直接得，对不对开口呢？我们就看 a 就 行了啊，看 a 正负决定方向，看 a 的 绝对值，判断大小。开口本来就能搞， 而当你配完方以后，你会发现，你的顶点是不是也能直接搞了？顶点也能直接搞了，顶点就是让这一坨平方取零得横坐标，平方取零得横坐标就是负的二 a 分 之 b， 然后呢，接下来后面那一坨他去零了，剩下的就是顶点纵坐标啊，所以四 a 分 之四 a， c 减平方，顶点坐标就有了。而各位，对称轴是啥？对称轴直接就是啊，写精准一点啊，写精确一点，对称轴直接就是直线 x 等于横坐标，直线 x 等于顶点横坐标，这是对称轴的形式，而最值呢，最值其实就是这个顶点纵坐标啊，就是四 a 分 之四 a， c 减 b 方。 所以我们通过配方，你会发现，之前顶点式能得到的所有图像的信息，现在一般是也能直接得到了， 你只要知道了这几个公式，这些信息都能直接推出来。好，这是配方给我们带来的好处。但是说了这么多好处，感觉好像都是零点式给的，那一般式就没点能直接得的东西吗？ 其实还真有啊，各位，利用一般式，我们可以得到抛物线上一个点的坐标，直接出的，你会发现， y 轴的焦点其实就是令 x 等于零得到的那个点，而 x 等于零的时候，你会得到 y 直接是 c， 所以呢， y 轴焦点是零 c， 这是一般式能直接看出来的东西。 y 轴焦点零 c 是 用一般式直接能看出来的啊，但其他的信息， 最重要的顶点对称轴最值都得借助顶点式。那这些知道了以后呢，那我们来举一个具体的例子，家人们，那比如说现在我就给你一个一般式，比如说二 x 平方减四， x 加三， 然后现在呢，我想让你去求它的顶点，我们可以怎么求？求它的顶点可以怎么求？ 其实得到这些公式以后啊，注意中间的这几个公式都是能直接用的。得到这几个公式以后呢，其实我们就可以直接代公式去求顶点的坐标，去求对称轴了。怎么求呢？我们首先把 abc 对 应的值写出来， 写出来以后呢，你会发现你的顶点坐标就可以直接代公式了，负的二 a 就是 二乘二，负的二 a 分 之 b 就是 负的二乘二分之负四。 然后接下来顶点纵坐标呢，顶点纵坐标就是四 a 分 之四 a c 四乘二乘三减 b 方减去一个负四的平方，我通过代公式就能直接算出顶点的坐标了，这是这个公式的作用。 但是呢，这里各位一定要注意啊，就是虽然有了公式了，我并不建议大家以后所有的顶点都直接套公式， 不建议大家都直接套公式，为啥呢？因为你会发现这个顶点的纵坐标形式还是有一点复杂的，然后呢，你去套这个公式的时候呢，其实 这个公式要算下来的话，用的时间一点都不比配方短。所以呢，我们其实是有了两种求顶点的方法，一种是代公式，但是 作为一个过来人告诉大家的事，我们更多时候还是会用配方去求的，配方熟练了以后其实比这个还要快，不然咱们一块来演示一下，你看这个玩意我要去配方怎么配呢？ 我就可以直接去提他的二次项系数，提完了以后就是 x 方减二， x 再加三，然后这个配方就极度轻松了啊，你给他是不是配个一，再减个一就可以了，然后配完一整理就秒了啊，二倍的 x 减一的平方再加上一。 所以其实你会发现很多时候给你的函数配方求顶点是更快的，但是公式你也得知道，因为确实有的时候会出现需要用到这个公式形式的题目。 咱们后面学到这些图像性质的题的时候啊，比如说有一种题叫参数判断，那么就需要你知道这个顶点坐标的形式，所以公式有它的用处，但是呢，你不能纯粹的依赖它，更多的时候求顶点还是配方更好用。 最后呢，我再多说一句啊，就虽然博士了半天这个公式啊，但是公式在求这个对称轴的时候呢，其实还是蛮有优势的，就你熟了以后呢，基本上对称轴是可以直接口算出来的啊，就所以啊，实际上就是如果只求对称轴，我通常会带公式， 但如果求的是最值，求的是顶点，我一般会倾向于配方啊这块清楚了以后，下来我们来做一点练习啊，我跟大家一块算啊， 其实我算到一半，我发现这个题 编的目的应该是为了让用一下公式啊，这个可能用公式能稍微有一点优势，但是感觉可能也不会有多大。总之最后就是 我以后但凡看到一个，一般是要求顶点，一般是要求顶点，你就心里想两条路，要么配方，要么代公式。我可以告诉大家的，就是百分之八九十的情况下，工这个配方都会更有优势。 配方基本上很多情况都是直接口算出的。然后公式呢，主要用于求对称轴啊，或者极偶尔的遇到这种非常抽象的数字的时候，用公式会好一些。还有一种方式呢，就是比较简单的，我可以用公式求轴啊，我多给大家说一句啊，这个忘了说了。 呃，还有一种求顶点的方式是可以用公式求轴，因为公式求轴比较简单嘛。然后用公式求出对称轴。以后呢，你可以把 x 等于对称轴代入表达式，也是一种办法啊， 把 x 等于轴带入表达式。你比如说这个题，用公式求出对称轴是二分之三倍根二，以后呢，你把二分之三倍根二带进去， 呃，求它的 y 值可能会更快，也是一个方法啊。来，各位这个题搞一下，他问你这个一般式的顶点在哪里？问顶点我肯定得先求顶点。那么对于这个二次函数而言，求顶点最好的办法是啥呢？ 这个形式明显就配方简单了，因为他实在太好配了，二四项系数直接就是一，你要给他配方的话，直接加四，再减四就完了。于是呢，你会发现他的顶点坐标呢，基本上可以说是口算的啊。 那这时候呢，顶点坐标算出来是负二 a 方加一来，那你就看这个点在几象限就完事了呗，这个点在几象限呀？横坐标是负数，纵坐标是正数，那肯定是二象限嘛，所以答案选的是二 b 这块其实就是你注意练一个配方就完事了。来，接下来继续啊，来，诸位一看啊，二次函数对称轴是 x 等于负四，那是不是就想到对称轴的公式？对称轴的公式非常简单，负的二 a 分 之 b， 那 负的二 a 分 之 b 在 这里面带一下是啥呢？负的二乘二分之 b， 他 说这玩意要等于负四，那你 b 的 值不是直接就出了吗？ 来，再来，还是给了个一般式，现在问这个增减性的相关问题。增减性的相关问题呢？那我们之前说的其实就是关注两个东西，一个是开口，还有一个是对称轴。 那么这个题呢，很明显，开口向上，而对称轴呢，也是口算的，对称轴直接口算出来就是负的二分之 b 等于个一。 那图长这样以后呢，人家说 y 随 x 增大而减小， y 随 x 增大而减小呢，显然就是对称轴左边的这一部分，那你会发现它对应的范围是啥呢？ 那其实就是当 x 小 于一的时候，那这里有的小伙伴说，哎，你这次咋不考虑等号呢？来，注意啊， 人家是问这个函数 y c， x 增大而减小时候 x 的 范围，这个咱们一开始就解释过，这种增减性的范围呢，你考虑某个单个点，或者不考虑对，结果都是不影响的，都是算作对的啊，都是算作对的。所以这里面 他给你小于等于一的选项了，你就选啊。然后呢，给你小于一的选项了，你也可以选，但他一定不会同时给你的，他不会在这种地方去恶心你。初中阶段甚至高中阶段都不用纠结某一个点处对增减性的影响啊。所以呢，你大胆的选 a 就 行了。再来 来一块看一下啊。错误的选项就是二四，给了你一个二四函数，问你它图像的有关信息，那这种题呢，你就顺手画个图就完了啊，画个图就完了。 然后呢，要画它的图的话，开口向下知道了，我需要知道它的顶点坐标啊。所以呢，咱们给他配个方， x 方减四， x 加十会完了以后就是 x 减二的平方再加上一个六。所以呢，我们相当于有一个开口向上对称轴是二，顶点是二六的二次函数。 然后呢，你有了这些，这选项就直接秒了啊。开口向上明显对对称轴是负二，明显扯犊子， x 小 于二时候外随 x 增大而减小，小于二截的是对称轴的左侧啊。所以呢，这个选项是没毛病的，那最后最小值是十四 啊，也跟咱们计算的结果不符合。所以呢，选二四。好，这种题就是 我再叠个讲啊，如果你已经很熟练了，那么你可能会发现你不画图这种选项也能够做对。 但是我再次提醒初学者，如果是初学者，一定注意，初学者在前期遇到的每一个函数的题，能画图都把图画一下，对你的长远的，对这些函数的理解是有好处的， 就通过画图的过程，你能够每画一次图，加深一点对函数的感觉和理解，所以一定要勤画图， 而且到后面真正做难题的时候，画图会是你分析问题非常有用的一个技能，所以你前期画的越熟练， 你后期做那些难题的时候就越容易找到方向。好了，到这呢，一般是我们就聊一聊二次函数和一元二次方程， 其实不用我说，大家也会发现这两个东西呢，长得实在是太像了，对于这个二次函数而言，我如何就能把它变成咱们熟悉的那个一元二次方程的形式？是不是太简单了？我只要令它的 y 等于零就行了，哎，我就得到 a x 平方加 b， x 再加 c， 那 这时候呢，你如果去解这个方程，那么你得到它对应的 x 解， 但是我现在呢，想让大家去想一想，你说令这个 y 等于零就得到了方程，方程就能得到解，那请问这个令 y 等于零得到的解，它到底有什么几何含义呢？你令 y 等于零其实是找到了抛物线上纵坐标为零的点吗？ 令 y 等于零代入不就是在找纵坐标为零的点吗？来，那你想你解出来的方程对应的结果应该是啥呢？是不是就是应该是这些点的 横坐标？如果这么去描述不好理解的话，我们来画个图感受一下。比方说有这么一个二次函数，然后呢，我令 y 等于零，什么地方的点 y 等于零呀？其实就是 x 轴上的点 y 等于零嘛？那我令 y 等于零实际上就在求啥呢？ 实际上就在求 x 轴交点的坐标。那你接下来得的这个方程解出来的 x 值是不是就对应交点横坐标？所以我们可以得到一个结论，就是二次函数它对应的这个一元二次方程方程的根就是函数与 x 轴交点的横坐标， 两根是互的关系啊，就是它的逻辑是这样的， x 等于 x 一 的时候，方程能够成立， x 等于 x 二的时候，方程也能成立，所以 x 的 值等于 x 一 或者 x 二，两根是互的关系。 当这个理解了以后呢？哎，那接下来我们来讨论一下方乘的事。大家在学方程的时候，应该是应该是见过有一些方程啊，它其实是不会有两根的啊，就它解不出来两根。就比如说呢，我们有时候会遇到方程呢， 有两个相同的实数根，有两个相同的实数根，甚至有的时候呢，会遇到方程的是没有实数根的。哎，那大家想一想，相同的实数根和没有实数根对应这个函数的图应该长啥样？如果你解方程解出来两个相等的解来，那我们想一想啊，我们说焦点的横坐标就是这个方程的根， 那如果你解出来两个根， x 一 和 x 二都相等，那意味着图应该长啥样？如果两根都相等了，那你会发现，那你的 x 一 和 x 二就重叠成一个点了吗？哎，那这时候相当于它对应的图 就应该是顶点落在 x 轴上，这是两根相等的时候对应的图形。那再来呢，那有的时候是没有实数根，我们已经知道了，根就是与 x 轴交点的横坐标，那没有实数根不就是没有交点吗？没有交点的图应该长啥样？没有交点哎，如果开口向上的话，是不是图就跑到上面了？ 那当然类似的，如果开口向下，就是图整个跑下面跟 x 轴没有交点，也就是你会发现方程根的情况，其实跟 x 轴交点的情况是可以对应上的，那这时候我们就有了一个快速判断焦点的办法。各位，咱们怎么快速判断方程根的个数来着？ 是不是有一个叫做判别式的东西？当这个德塔判别式大于零的时候，那么方程它是有两个不相等时根的。 有两个不相等时根对应了什么？对应了抛物线与 x 轴有两个。我写清楚一点啊，与 x 轴俩交点， 这时判别是大于零，两个根对应两个焦点横坐标，所以是俩不同焦点。那如果判别是等于零呢？判别是等于零的时候，方程是有两个相等的时根 两相等十根。对应图是啥呀？两相等十根，咱们刚说了吗？是不是就对应这个 x 一 和 x 二相等，它对应的是同一个点的横坐标，所以呢，这时候抛物线与 x 轴只有一个交点， 那如果是得它小于零呢？小于零没十根了。那你换完这个抛物线跟 x 轴就无交点了啊，无十根对应抛物线与 x 轴无交点。 所以各位，以后我们就可以用什么办法快速判断焦点个数呢？是不是就可以用这个判别式，得它大于零俩焦点，得它等于零一焦点，得它小于零没焦点。那当你把这个弄懂了以后呢，接下来我们来给大家出一点题啊，看看题目要怎么考你啊，就比如说 现在呢，他可能就会告诉你说，呃，给你一个二次函数，比如说 y 等于 x 平方减二， x 加 k， 有 这么一个二次函数啊，我告诉你呢，它与 x 轴有两个交点， 来求一下 k 的 范围，是不是直接看判别式就行了？因为我们刚刚已经讲明白了，与 x 轴的交点个数就对应一元二次方程根的个数，所以我就直接去看判别式就完了。但是他肯定要大于零嘛，那这里带一下的话，就是负二的平方 减去四 k 大 于零，所以呢，算出来 k 小 于一。所以你会发现，我相当于可以借助方程的工具去解决抛物线与 x 轴交点的问题，这是一种考法，那其实还可以反过来考，还可以反过来考，然后呢， 也有的题呢，它会这么说啊，比如说我告诉你，就这个二次函数，它与 x 轴有两个交点， a 点坐标呢？我告诉你，然后呢？ b 点坐标不知道啊，然后呢，我现在告诉你，对称轴是直线， x 等于一， 现在让你求啥呢？求这个 a， x 方加 b， x 加 c 等于零的两根。 这里其实你可以理解成是一种数形结合啊，因为本来方程跟函数的这个关联，它就是一种数形结合的逻辑。你看这里怎么想呢？ 我们看到这个二次函数跟这个方程啊，其实就是同一个形式嘛，所以我就想到了二含跟 x 轴的焦点横坐标，其实就是这个两根的值，所以我求两根 其实就是求两个焦点，那 a 点横坐标已经知道了，那我只要求出 b 点横坐标就行了。这块要理解的核心逻辑就是抛物线与 x 轴的两焦点横坐标就对应 一元二次方程的两根，两焦点横坐标就对应两根，我求两根，我就可以转化成求两焦点。那两焦点的话，那咱们这之前讲过吗？这不就是一个已知一个焦点 a 负一零要求另一个焦点的问题吗？ 而我知道啥呢？我知道对称轴，对称轴是一，那这时候你会发现它俩一定对称嘛，利用对称性求一下不就好了嘛。对称性咋求呢？对称轴一定过 a b 中点嘛，两倍中点减一头，两倍中点减一头，二倍的一减负一就是三，逗号零。 所以两根是啥呀？ x 一 等于负一， x 二等于三，这块呢，就相当于是表面上在求方程的根，但其实我可以转化成图像，与 x 轴的交点就相当于是用图解决了抽象的式子的问题， 这就一种数形结合的逻辑。那么理解了这些以后啊，接下来呢，我们来看几道题好了，思路跟刚刚是一模一样的啊，咱们再把这个思路走一遍，抛物线经过 x 轴上的负二零， 就到了与 x 轴的一个交点，告诉了对称轴是 x 等于三。现在呢，问，你，这个方程的两根，按咱们刚刚的思路，与 x 轴交点的横坐标就是方程的根，所以呢， 有一个根是负二已经有了。现在的问题是，另一个根是啥？那另一个根其实就是另一个焦点嘛，那我们就来画图去算嘛，一个焦点是负二，对称轴是 x 等于三， 另一个焦点肯定跟负二是对称的。怎么求这个对称点呢？利用那个中点的坐标公式嘛，两倍中点减一头二乘三减负二，那么你就算出来这个是八了，所以两根是负二或者八。再来啊， 来，怎么做啊？看到二次函数与 x 轴交点的问题，是不是想到了想方程根的问题？那两个交点就意味着是有两个不相等的实数根嘛，所以呢，就想到了去看单调，单调是啥呢？单调是 b 平方减去四 a c， 然后呢我们给它整理一下呢，就可以得到，这个是啥呀？十六减去四 k， 然后呢加上一个八， 然后要大于零，那这个玩意儿 k 小 于六是不是很容易就算出来了？那这是写出了 k 的 范围了，但是呢，你一定注意啊，如果你这样就直接往上写，那你就掉了一个很经典的坑。什么坑呢？就是大家以后不管是对二次函数还是对一元二次方程，你只要看到它的 x 平方的系数是代参的，二次项系数代参，那么一定要注意一个前提条件，二次函数的这个系数是一定不能等于零的，这个坑一定要特别注意，我们把这种呢叫做二次项系数含参，二次项系数含参， 只要看到二次项系数含餐，你一定要注意先写出这个前提条件，二次项系数含餐，一定要注意先写出这个前提条件，因为这个特别容易错啊，所以最后的准确范围应该是小于六，且不等于二。 老师也会缺少自信吗？是人就会有不自信的时候，就是在你的计算的过程中， 你要对自己容易犯错的地方呢，有意识，就是有时候呢，就比如说我啊，我经常会在某一些特定的地方容易犯错，就比如说忘了弄符号了，或者说是展开的时候忘了存前面的系数了，这种叫做我平时做题知道自己容易犯错的地方。 所以这时候如果你计算遇到类似的情景了，然后你算的时候又没有特别走心，那么你应该不自信一下，但不自信不是让你去内耗，这个不自信是要去及时检查。 我这么说吧，没有任何人，他的计算是一定能够一把搞对的，你越是复杂的计算，越容易出问题，你越是要注意及时检查， 越是要注意及时检查。接下来我们聊一聊二次函数的第三种表达式，叫做焦点式。这个焦点式其实就跟 方程与函数的关系非常的相关。我们先来看一个例子啊，比如说我现在给你一个二次函数，它写成这样的一个形式，首先这肯定是个二次函数，没问题啊，你展开以后看，它肯定是个二次函数。但是我这里想问大家的是，这个二次函数可以直接得到啥？对，你会发现它 可以直接得到两根，因为如果你令它的 y 等于零，那么你会得到一个 x 减一，乘以 x 减二等于零，这是那种最好解的一元二次方程。乘积等于零，意味着每一项都可以为零，所以呢，得到 x 一 等于一， x 二等于二， 你这个方程很容易解，那自然就得到了对应的与 x 轴的交点，直接有就是一零和二零。哎，你会发现，一零一就对应这个 x 减一，二零二就对应这个 x 减二，相当于我就能由这个式子 直接看出与 x 轴交点的坐标。所以呢，这个式子呢，被叫做焦点式，这个式子被叫做焦点式，如果你把它写成一个通用的形式，长啥样呢？就是这个 写成一个通用的形式呢，他就长这样。然后呢，利用这个形式呢，我们就可以直接得到他与 x 轴的焦点是啥？他与 x 轴的焦点是 x 一 逗号和 x 二逗号零。其实这个东西咋理解呢？跟顶点是有点类似啊，你不要去死记，不要去记什么 x 减 x 一， 焦点是 x 一， x 减 x 二，焦点是 x， 不要这么记，怎么记呢？其实就是这一坨取零，这一坨取零的时候 哎，得到 x 等于 x 一， 那么它就对应一个焦点。这一坨取零的时候，得到 x 等于 x 二，那么它也对应一个焦点。其实本质就是解方程的过程中，这两个因式都能取零，都能取零，那就算出一个对应的焦点的横坐标，所以这个呢，叫做焦点式， 用交点式能直接得交点，这少写东西了啊，它等于零。这个理解了。以后来接下来我们多练几个啊，多练几个交点式得交点，比如说 y 等于二分之一倍的 x 加一乘以 x 减三，来告诉我交点横坐标是啥？ 那你这时候会了，以后，其实就是这一坨等于零，或者这一坨等于零嘛？所以得到交点是负一零和三零，来，再来一个负三分之一倍的 x 减二乘以 x 加五，来，能一眼看出来，就打个六就行了，不用打数字了。来，我们过一下，就这一坨等于零，这一坨等于零， 就是 x 等于二，这一坨等于零，就是 x 等于负五，所以二零负五零两焦点就出来了。好了，这是已知焦点，是你要能直接看出焦点。好了，那接下来再来。 那有时候呢，我们还需要反过来啊，反过来就是，比如说我现在告诉你一个抛物线经过一零 和负三零，抛物线经过一零和负三零啊，然后呢告诉你， a 等于二，你来把它的解析式写一下， 这个怎么写呢？其实就是你心里面去想那个焦点式就行了， a 等于二，相当于这个 a 搞定了，然后呢，过一零相当于 x 一 等于一有了，然后呢，过负三零相当于 x， 二等于负三有了。你把这些值对号入座填进去，你会发现这个表达式就可以直接写 表达式，就可以直接写已知了焦点也可以直接写出焦点式。那接下来各位你们练一个啊，练一个，比如说现在呢，我告诉你有这么一个抛物线，他知道与 x 轴经过一零和 五零，然后呢，我告诉你，与 y 轴交于谁呢？与 y 轴交于零五。来帮我求一下它的解析式，这个怎么去处理呢？你一看到它给了你与 x 轴的两个焦点，给了你与 x 轴的两个焦点，所以呢，这时候我们就可以利用 焦点式来写它的表达式。那利用焦点式的话，就是你把这个式子就先写出来， x 减 x 一 乘以 x 减 x 二， 写成这个式子以后呢，你会发现， x 一 知道的是一， x 二知道的是五。哎，我就可以把焦点式先设出来了。 x 减一乘以 x 减五，这一步呢，相当于是设了一个焦点式，因为 a 的 值你还不知道， 那接下来我得想办法再把 a 的 值求出来，才叫得到表达式了。那 a 的 值咋算呢？那人家这是不是还给了你一个点是零五呀？那点在函数上能怎么用呢？如果它不是什么特殊的点的话，点在函数上还有一个用法呢，就是代入呗。好了，那代入了以后呢，你就直接得到一个五等于 a 倍的 零减一乘以零减五，哎，于是你的 a 等于一就能解出来，那么最后这个函数表达式完整的写出来，就是 x 减一乘以 x 减五 就搞定了。不用去考虑 a 是 多少吗？要考虑呀，相当于已知条件直接告诉你 a 等于二了。就我这块的意思就是已知条件直接告诉你 a 等于二了。如果是下面这种情况， a 不知道，那你就再带一个点把 a 解出来就行了 啊，是问这个呢，那到这呢，就是咱们相当于是正着反着把这个焦点是都用了一遍了啊，简单来复习一下啊。前面呢，是给了你焦点，是给了你焦点坐标，比如说这个焦点是有了焦点坐标直接出交 焦点是有了焦点坐标直接出，就是让相乘的每个音是取零， x 的 值就是焦点横坐标。那反过来呢？反过来以后，他是告诉你两焦点，你就要想到可以去写出它的焦点式，比较简单的 a 值直接告诉你，那焦点式直接完整的写出来了，就结束了。那稍微复杂一点，就是 写完焦点式以后，发现 a 的 值没有直接给，但是呢，他一定会给你别的条件，比如说已知点，那你就把已知点带进去， 焦点作弊就搞定好了，这是关于焦点式的一个基本的应用。那这些懂了以后呢？接下来啊，我们先不着急，往后走，我给大家稍微多延伸一点点，就关于这个焦点式的使用呢，其实还有一些比较经典的场景，比方说各位，我给你一个二次函数， y 等于 x 加一，乘以 x 减三，我就用这个最经典的了啊，这个有的小伙伴都记住答案了啊，来来来，我给你们换，比如说三分之一倍的 x 减三，乘以 x 加九，给你这样的一个二次函数来，朋友们，能不能给我迅速的秒算出顶点坐标？ 用焦点式求两根前面的系数 a， 不 考虑吗？要考虑的，你看刚刚我姐的第二个情况，第二个情况是不是通过带那个零五算了？ a 点作算了 a 的 值。各位，这块如果要求顶点应该怎么求？就有时候我说的，我展开展开配方肯定能求 你这块，如果真懂了焦点式是啥，你就会发现这个顶点坐标太好求了，我们通过图去想一想啊，你会发现焦点式有了两个焦点，一个是负九，一个是三。 开口向上是不是直接就出来了？开口向上出来以后，你要求这个顶点的坐标，你换顶点的什么坐标已经直接出了，你的负九和三是关于对称轴对称的嘛？所以呢，这个顶点的横坐标二分之，负九加三 等于负三，你就直接算出来了两个焦点坐标，有了对称轴就有了对称轴有了以后，顶点的横坐标就有了。有了横坐标要算纵坐标还用展开吗？不用了嘛，直接代入就好了嘛， 所以横坐标等于负三，有了负三带进去，那么你会发现你的 y 值就直接出了负三减三，然后呢，负三加九这玩意直接算出来是啥呀？负六负六乘六，负的三十六，三分之一乘以负的三十六是多少呀？ 负十二嘛。所以呢，顶点坐标直接出，如果你对这个焦点式的理解不够到位，那么你可能还会傻傻地想着去求顶点，我就配方。 但当你对他理解到位，对函数的这些基本操作非常熟悉以后，你会发现，有焦点是我就要想到有焦点，而焦点就是对称的，就有轴，有了轴，顶点就是轴为横坐标带入得纵坐标， 你这一切计算就直接搞完了。这个计算是咱们以后经常会遇到的一个情景啊，一定要去注意。所以这些很基础的函数知识，很多小伙伴单听的时候觉得很无聊，很简单啊，一定要去注意。所以这些很基础的函数知识，很多小伙伴单听的时候觉得很简单啊，一定要去注意。所以你会发现，你如果没有通过练习，不 加深对他的理解，你到了综合的题目中，你就老容易想不到。就是这些小细节堆叠起来的复杂的综合题，你就容易想不到。所以一定要多去重复，要去理解底层逻辑，要抓本质。如果你是说考试写过程，考试写过程，那你肯定得说一下你的焦点是咋来的啊， 因为焦点是现在在很多版本的课本里面没有直接出现，你就直接说一下，令他等于零把两焦点有了，你就可以直接写轴式 二分之横坐标的和是负三，然后接下来再写代入就行了。如果你真要去写一个就求这个东西的过程，他是这么写的， 但是这种过程在综合题目中其实都是可以省略的啊，很多这种过程都是可以省略，关键是这些东西，这些技巧，知道了最重要的是啥？你在分析思考一个题的时候，可以在这些无关紧要的地方做的更快更直接，你才能集中你的精力去想这个题真正需要思考的点 来，这个其实就刚刚咱们练过的啊，咱们快速过一下，你会不会给了你这个二次函数，那样我们一看呢，相当于 a 等于负一，已经有了， 然后接下来呢，告诉你，过 a 点和 b 点，如果是没有焦点式这个意识，那么大家可能会选择把这两个点坐标呢？往进带能算，但是呢，略微麻烦，但如果有了焦点式就完全不一样了，你一看到两个焦点坐标知道了，那我就想到了，可以用这个焦点式去解决问题。 而焦点式里面 a 的 值等于负一，我通过这个表达式已经知道了，那接下来 x 一 x 二的值呢？你会发现也能直接得， 于是这个表达式就直接出了负的 x 减一乘以 x 加三。那当你写成这个形式以后，最后注意啊，就是二次函数的表达式里面，焦点式不建议大家作为最终答案啊，不建议大家作为最终答案。如果你算出来是这个结果呢，你最好展开一下会比较稳妥啊， 否则存在扣分的风险。也不是一定扣啊，但是有可能，所以我建议大家最好是展开，展开以后呢，就是这样的一个形式，我没算错吧，我今天怎么这么不自信啊，三 x 减 x 是 个果然算错了。 再来啊，最后再练上两道题就收工了，来一块看一下啊。通过刚刚的练习呢，我们已经知道了，已知 x 轴两焦点，你就可以写出焦点式啊，已知两焦点就可以写出焦点式，然后呢，接下来呢，他让你去分解这个因式。 什么叫分解因式？分解因式不就是要把这个代数式多项式的形式写成因式乘积吗？ 那咱们的焦点式不就是因式分解吗？对吧？所以呢，我想着形式都一样，我把焦点式写出来不就直接提活了？所以接下来又是要写焦点式的问题。 写焦点式呢，你会发现 a 的 值依然是从这里直接看到的，等于二。然后呢，两焦点，一个是负的三分之七， 一个是五，一个是五，所以呢，我们写一下，就是 y 等于二倍的 x 加上三分之七乘以 x 减五，那写成这个形式以后，因式分解的结果你就可以直接得了二倍的 x 加三分之七乘以 x 减五。这块其实就是借助我们对焦点式的理解啊，然后呢，直接跳过求 m n 的 环节呢，去把最终的因式分解形式写出来， 考的是你对焦点式的理解。好了这道题之后，还有一道，来吧，一块看一下，又给了一个焦点式，看到焦点式，那你就要有意识，我们可以得到 两个焦点的坐标或者两根的值，那就是 m 和三。现在呢，他给了一个增减性的描述，增减性要想啥来着？我们说增减性，你就要关注抛物线的 a 和啥呀， a 和这个对称轴， 我们得通过图去处理这个增减性的问题。好了，那这就简单了，一个开口向上的二次函数，直接知道的，对吧？ 然后接下来，轴是啥呢？各位，轴是啥呀？你得有轴吧？轴是啥？轴不就是这两个 x 轴交点的中点吗？所以呢，我们可以求一下轴，轴就是二分之 m 加三，当然了，这个轴呢，你算不出具体的值，但是呢，我们也可以把它表示出来了。 好了，表示完了以后呢？现在呢，人家说啥呢？说大于等于负二， y、 c， x 增大而增大来，那你就还是一样的，大于等于负二就是一个范围嘛，你就要在图上面去截嘛，那你说这个范围截在左边还是右边？ 结在对称轴的哪一侧？你要外随 x 增大而增大，那你肯定是结在对称轴的右侧了嘛。哎，就是说 x 等于负二，一定落在对称轴右侧，那它落在对称轴右侧了，那 m 的 范围能求了没？对称轴肯定要小于负二嘛， 所以，不等是有了范围能求了，但是注意啥来着？注意，一定要考虑等号，你会发现，即使负二正好落在轴上了，即使负二正好落在轴上了，它也是满足提议的。这个大于负二依然在对称轴的右边嘛。所以呢，这边能够带等号，这是咱们一直强调的单验等号。 所以最后解一下的话，就是 m 小 于等于负七。这个题最后其实用了点啥呀？一方面， 你看到焦点是要想到可以得焦点坐标，而焦点坐标呢，你要想到可以去求轴，这是关于函数图像的一些基本功。 然后接下来呢，对于增减性而言，你要注意啥呢？增减性要去关注 a 和轴，通常我们需要通过画图来解决，所以呢，你画图把轴一画，范围 a 标就搞定了。来，最后一道题， 现在呢，给了你这个二次函数，问你接下来一堆跟图像有关的信息，那这种图像信息的题，最好的办法是怎么做？直接画图看？家人们直接画图看啊， 图像问题你就直接画图看，而这种焦点式的题怎么画图呢？焦点式的题，你会发现你的焦点坐标能直接标啊。所以呢，我们可以先把焦点画出来，焦点画出来以后呢，开口方向也是知道的， 所以你会发现这个示意图呢，是很容易就能画出来的。而这个图有了以后，其实其他那些关键的点你也就都能搞定了。 比如说两个交点二四有了，那么对称轴是不是直接得？对称轴就是二加四除二，所以对称轴等于三，而对称轴有了以后，那个关键的点也就顺手算出来了。怎么算那个关键的点？顶点嘛，我是不是直接令 x 等于三，顶点纵作 y 就 算出来了啊？所以这个点是三带进去， 三减二，三减四，直接算出来是个负一焦点是直接蹬出来的，然后往 x 轴上一标，然后焦点有了，开口有了视意图就怼出来了。视意图怼出来以后，轴一画轴能直接口算顶点，直接代入也就有了。 画出图以后呢，现在看这些选项， x 大 于三， x 大 于三，外随 x 增大而增大。大于三就是取了对称轴的右边嘛，所以这个选项没毛病。图像与 x 轴有交点啊，这个不知从何说起啊，肯定对交点是能没交点吗？然后呢，再来说， x 大 于二小于四的时候， y 大 于零，大于二小于四，你看到 x 的 范围，它又是截了一段嘛？来，那我问你，大于二小于四在哪？二在这，四在这，大于二小于四截的是下面这一截呀，怎么会大于零呢？ 所以它是错的。然后下来呢，说与 y 轴交于点零四啊，怎么验证？我图上看不出来，但是我可以咋办？我可以把零带进去嘛。所以呢，我们想到了令 x 等于零，那么 y 值就可以直接得嘛，零减二，零减四， 算出来是个啥呀？算出来是个八呀，家人们。所以呢，这个就错了。然后呢，再来呢，对称轴为 x 等于三，刚刚已经顺手算过了，对的，最小值是负一，最小值是负一，刚刚也算过了，是对的。所以呢，错误的选项就是三和四。来通过画图，这些图像的信息 我们都可以轻松搞定。今天呢，是建立在昨天顶点式的基础上的啊。首先呢，我们讲了二次函数的一种性质。讲了一种性质是啥呀？讲了它的增减性。二次函数的增减性处理思路就是看啥呀？就是直接看图嘛， 看图的时候其实你只需要关注什么就行了，看图的时候只需要关注开口方向和轴，就能判断增减性了啊。所以增减性这块其实就是画图，看，画个开口和轴对应的图像，问题就解决了。然后呢，接下来第二个 我们讲到了一般式的处理思路，我要去研究一般式的图像信息的时候，我们是如何去解决的？一般式的图像信息怎么解决？一般式的图像信息我们想到了我们熟悉的那个顶点式啊，我们把它化为 顶点式就 ok 了。有一般式的时候，他的图像信息没法直接得，所以可以先画成顶点式，再得相应的图像信息。 那么这个过程中呢，一般是划顶点式，我们的基本思路呢，就是配方，而通过对标准一般式配方，我们还得到了一个公式，长啥样来着？就是它的顶点坐标公式，负的二 a 分 之 b， 四 a 分 之四 a c 减 b 方。但还是那句话，这个公式不建议死记，千万不要去死记任何数学公式，你如果真觉得它不好记，你就把它推导上两三遍， 你就推导上两三遍。你推导的过程，既能练习你的计算能力，又能加深你对这个公式的理解，用的时候不容易用错是多方面的好处，但如果你在那去背什么四 a 分 之四 a c 减倍方，你把这句话念的再熟，你也只是记熟了一个死的东西， 对于你的能力没有任何提升，而且还容易错。所以各位一定要知道数学的公式要怎么记啊，自己推一般式的这些说完以后呢，接下来咱们讲到了啥呢？讲到了方程与函数的关系，方程与函数的关系。 一元二次方程和二次函数有一个很明显的关联是啥呀？比如说这个二次函数，这个一元二次方程，他俩的关系是啥？ 这个函数它与 x 轴的交点横坐标就等价于什么呢？就等价于这个方程的两根。所以一定要注意啊，方程跟函数紧密联系，这个二次函数与 x 轴交点的横坐标就对应这个方程它的两根。 所以你可以用处理焦点的思路去求根，也可以用处理根的方法去得焦点的信息啊。就比如说咱们很经典的那个利用 der 它来判断焦点个数。好了，最后我们讲到了一个什么式二次函数的焦点式长啥样呀？ y 等于 a 倍的 x 减 x， 一 乘以 x 减 x。 二，焦点式，顾名思义，焦点式 它可以直接得到与 x 轴交点的坐标，然后利用交点式呢？有了交点，你会发现轴也就能很快求出来了，顶点也就能很快求出来了啊。所以这个交点式一定要熟练运用啊。
2725胖叔初中数学
02:38查看AI文稿AI文稿粤西家长注意了，初中数学越学越差，根源是没摸清楚户口本三年的完整体系。今天一张思维导图讲清七到九年级每学期学什么，看完少走三年弯路。各位粤西的家长朋友们大家好，我是袁老师， 咱们安庆统一用的是户口本，初中数学教材，很多孩子学到初二直接掉队，就是知识断层了。大家看我这张完整的知识数。 整个初中数学分为三大板块，数与代数、图形与几何，统计与概率，环环相扣，一步跟不上，后面全吃力。先看占中考百分之六十分值的数与代数，也是初一的核心地基。 七年级上册打基础有理数、整式、一元一次方程。七年级下册进阶实数不等式因式分解。语文同学学到因式分解时候就已经完全掉队，期末考试 成绩直线下滑。八年级上册开始接触函数，八年级下册新增二次根式、一元二次方程。九年级攻坚另外两大函数、反比例函数、二次函数。中考压轴大题全出自这里。 再看几何图形，初二两级分化的重灾区。七年级上册入门线段角。 七年级下册学相交线、平行线。八年级重点攻克三角形全等轴对称开始剪，逻辑证明， 八年级下册平行四边形勾股定律。九年级加深难度相似，三角形、三角函数、圆几何综合大题拉开分叉。 最后是统计与概率，难度低，但必考。七年级上册学数据收集统计图。九年级下册系统学习概率计算， 选择填空，稳定拿分。很多初中的家长一直盲目带着孩子学习， 不清楚每学期的重难点，预习复习完全抓不重点。这张思维导图把沪科版三年所有章节对应学期全部标清楚， 孩子预习复习查缺补漏都能用！想要这份高清思维导图海报的家长评论区扣数学，我直接发给你！
05:25查看AI文稿AI文稿同学们，本节课呢，我们来认识二次函数。二次函数这一章呢，是整个初中数学里面非常重要的一个章节， 接下来老师呢，将会以大片幅的课程去详细的带领同学们学习二次函数的相关知识。 好，那么今天第一节课，我们先来认识一下二次函数。什么叫做二次函数呢？就是形容 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 等这样的一个形式，我们就把它称之为二次函数。 当然在这里面呢， abc 是 常数，而且 a 是 不等于零的，因为 x 平方是二次函数的一个标志， 一旦你的二次项系数 a 等于零，那么它就不能称之为二次函数了。大家看到这个表达式，是不是觉得有点眼熟？ 对了，因为之前我们在学习一元二次方程的时候，就是 a， x 方加 b， x 加 c 等于零，是吧，所以呢，同学们对于这种表达形式应该是非常熟悉的啊，那么关于这样的一个形式，我们就把它称之为二次函数， 二次函数，其中 x 呢是自变量， y 呢是因变量，所以我们把它称之为 y， 是 x 的 二次函数。 那么有了这个一般形式之后啊，我们就能得出二次函数的三个基本特征。第一个就是函数解析式呢，是整式。 什么叫函数解析式是整式呢？它的意思就是说，我这个二次函数，我的自变量 x 不 可以出现在分母上啊，不能出现在分母上，如果出现在分母上，它就是分式了。 第二，自变量的最高次数呢，是二啊。 x 自变量 x， 它的最高次数是二，也就是 x 的 平方，你不可以没有，但是也不可以出现 x 的 三次方 啊。第三，二次项系数不为不等于零，这个呢，是毋庸置疑的啊，因为二次项系数一旦等于零之后，他就不能叫做二次函数了好吧，所以 a 呢，是绝对不能等于零的，这是二次函数三个基本的结构特征，同学们一定要记住。 好，老师呢，在这里举个例子，比如说 y 等于负 x 方，加上三， x 减二，那么这个二次函数啊， 他的 a 就 等于负一， b 等于三， c 等于负二，我们就称这个二次函数的二次项系数为负一，一次项系数为三，常数项为负二。 当然我写上这个也是一个二次函数，比如说 y 等于二分之三， x 的 平方加一， 这也是一个标准的二次函数，它的二次项系数是二分之三， a 等于二分之三，一次项系数呢，是零啊， b 等于零， a 等于二分之三啊， c 等于一，常数项是一。 还有 b 和 c 都等于零的，也可以，比如说 y 等于负 x 的 平方，那么他的二次项系数等于负一，而一次项系数和常数项都等于零。当然，这三种情况都属于二次函数，只要满足这三种情况就可以了啊， 二次项系数不等于零，这是其中必备的一个条件。第二个就是他都是整数呢，是二啊，都可以。所以老师举的这三个例子都是一个标准的二次函数。 那么同学们呢，学完这节课之后，除了会判断二次函数之外呢，还要准确的去判断二次函数中二次项系数、一次项系数以及常数项的值。 好，我们来看例题，下列函数是 y， 关于 x 的 二次函数时，我们看第一个 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 这道题呢，这个 a 选项看上去好像是对的，其实他是错的，因为他没有说 a 不 等于零， 如果你不强调 a 不 等于零，你是不能够称之为它是二次函数的，好吧。第二个，它的分母中呢，是含有未知数的，也就是自变量 x 的， 这时候是绝对不行的啊，自变量 x 是 绝对不可以出现在分母中的。 第三，我们对它进行一个整理，会发现它等于 x 方，加上 x， 这是一个标准的二次函数，它的二次项系数和一次项系数都是一，而常数项呢，等于零，所以它是一个二次函数。 那么 d 选项我们要经过一个整理之后，我们会发现 y 是 等于 x 方加上四， x 加四，再减 x 方。 整理之后呢，我们会发现他等于四， x 加四，而此时他的二次项系数为零，所以他就成了一个一次函数，所以他就不能称之为二次函数了。那么这道题就选 c。 好， 那么本节课二次函数的认识啊，我就讲到这里了，主要注意他的三个注意方注意的结构事项啊。第一个呢，就是他的是一个整式， 呃，自变量 x 是 不可以出现在分母中的。第二个呢，就是自变量的最高次数是二，第三个就是二次项系数不能等于零。好，那么本节课我们就讲到这里，谢谢大家。
189汪栐数学讲堂
15:39查看AI文稿AI文稿我们速推一下这个二次函数的这个思维导图，跟用二次方程一样，它的第一块内容依旧是定义。所以我们先认识一下什么是二次函数。形如 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 它是二次函数，但我这么写还是错的，因为我没有写 a 不 为零，它的坑也是那几个。第一个这种分母带字母的不行， 第二个出现了，这个一次的不行，三次的也不行，反正不是二次都不行。第三个类型也是化简版，他会给你个 y 等于 x 平方减掉一个 x 加一，乘上 x 减一， 那你稍微往下再做一步，你就发现你这边东西你就抵掉了， x 方， x 方抵掉了，你连 x 都没有，他就不是函数了。 ok， 这是我们提到的第一个定义。所以我们的第一个考法考的是什么？考的是这种 y 等于 m 减一， x 的 m 平方加上二， m 减一加三，就是这样的一个例子， 说他是二次函数，那我要怎么写？你注意，你只需要写两个东西就行。对，我就是因为他是两个平方，被我抵掉了。 ok， 那 这个我们要写两个内容。第一个，我们要保证你的 m 平方加上二， m 减一，这个最高次等于二次，并且让你的二次项系数不为零， 同时满足。所以呢，不就可以？综上所述， m 等于负三，这是一道标准的选择填空的普通题。接下来我们就学习了二次函数的开长版，一点零版本的 y 等于 a x 平方的图像。 哇，当时我们是不是有画图，我们说这个这个图长什么样呢？他长这样，他过零斗零，他过零斗零长这样，那 a 决定了什么？ a 决定了我们的开口对称轴是 y 轴。这些东西其实你先可以都停一下， 我们讲了这几种，可以往下写， y 等于 a， x 方加 k 和 y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方。以及我只想讲最终版本 y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方加 k， 它叫什么呢？它叫做顶点式。那以上上面的这个情况，第一种情况就是 h 等于零吧，对吧？第一种情况就是 h 等于零， k 等于零。 第二种情况就是 h 等于零。第三种情况就是 k 等于零。然后我们要看的是 k、 h、 k 都不为零的情况下，我们会得到一个这样子非非在 x 轴和 y 轴上的顶点的一个顶点式。比如说， 那我们就直接拿这个最后这个题啊，它的一种考法就是 y 等于 a 倍的 x 减一的平方加四。问，你的第一个问题是，顶点坐标是什么？把 a 换成一个四， 第一个问题是顶点坐标是什么？对齐看 h 斗 k， 顶点坐标就是一斗四。接下来开口朝哪？开口朝上，因为你的 a 是 一个什么数？ 因为你 a 是 不是等于四大于零，所以开口向上，如果 a 是 一个负数，开口就向下，那在这个顶点的这个式子，顶点为什么叫顶点？我画个草图，你感受。抛物线开口向上，这是顶点，顶点一斗四，顶点坐标决定了对称轴，所以对称轴就是 x 一， 它有最什么值呢？它有最低点，也就是最小值，最小值那就是 y 等于纵坐标的四。第五个考什么？最后一个考增减性， 也就是说增减性怎么看？因为抛物线它是一个对称轴，对称图形一的左边对称轴的左边增大而减小，右边是不是增大而增大？描述的时候怎么描述？ x 小 于一的时候 x 增大， y 再减小， x 大 于一的时候 x 增大， y 再增大。那这种爱考啥？爱考比大小 就说在这个 y 等于我还这个题要改一下，我不给你 a， x 减二的就还是减一减一的，平方加了一个 k， a 和 k 都不给你，但是告诉你 a 大 于零，说 x 也就给了一个 三斗外一，五斗外二和一个负四斗外三，让你比较他们的大小情况，那这个情况我们就借助刚才这个图像，上面这个图像去画三在哪？我照进去看， a 开口向上，对称轴是一草图出来，连平面状坐标信都不用画。 草图画出来之后找到三斗外一，三在哪？三在这三斗外，一，三离一，两个单位五离一，五斗外五离一是四个单位，我找下负四负四离一，几个单位， 负四离一，是不是五个单位？负四斗外三，这时候再去看谁高谁大，外三大于外二大于外一，找到关系了，外三大于外二大于外一。这个题考的特别的多， 那我们的增减性由谁来决定呢？由开口和对称轴共同决定，我们的这个 a 和对称轴，就是 a 和对称轴决定了我们的对那个增减性问题。明白完这个之后，这是我们的焦点式，啊呸，这是我们的顶点式，那顶点式我们就说完了，那在顶点式的这个基础上，他还考什么？ 不可能考这么点，在这里面学习了平移平移规律，有一句话非常非常的经典，适用于所有的这个函数问题。左加右减自变量上加下减长数项，我揍你了。左加右减自变量上加下减长数项，决定 y 等于三 x 平方，现在我要右一，那于是自变量是 x， 那 三不动方不动 x 不 动右一，左加右减减一， ok， 你 的右一就呈现在这里面，就变成它了。好呢，在这个的基础上，我写了一句话，写了个下四上加下减长数项，那就是在最后头减个四， 那我就平移就结束了，我就形成了这个场景。此时我去描述一下它的顶点坐标，从它对准你等值处。 好，这个是我们的顶点式。那该说啥了？该说一般式了，一般式形容啥？ y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， a 不 对， 当时我们推过一次，把它化成了一个顶点式， a 倍的 x 加上二 a 分 之 b 的 平方加上四 a 分 之四， a， c 减 b 方。所以我可以通过这个一般式配方的动作，化成顶点式之后，我可以看到此时的顶点坐标，它是负的二 a 分 之四， a， c 减 b 方。 也就是说，我在不配方的情况下，我给你一个任意的函数，你把它化成一般式了之后，确定好 a、 b、 c 代入，直接无脑带到这个公式里面，你啥都有了。对称球就是它，最值就是它，顶点坐标就是它。举个例子，给一个 y 等于三 x 平方，加上二 x， 我 想求顶点坐标， 那我想求顶点坐标，怎么求？ x 等于负二， a 分 之 b， a 是 三，所以六分之二，负的三分之一。现在你求最值有两种方法。第一种方法是 y 等于掏空式，四， a 分 之四， a， c 减 b 方。因为这道题的 c 刚好是零，它就这就零了。 b 方呢就是负四， 下面呢是十二，所以他就是负的三分之一。第二种方法是什么？第二种方法是你可以将负三分之一直接带进去，那就 y 就 等于三乘上负的三分之一的平方，加上二乘上负的三分之一， 按算法负的三分之一， ok， 懂我的意思，你要么套公式，要么直接带，挑一个你喜欢的方式。基本上其实我还觉得带会比较简单，但是好算。 但这道题的公式确实也容易，因为你的 c 是 零，那一般是考这个，那一般式里面其实也考平移一般，但一般式的这个平移特别粗暴。粗暴到什么程度啊？给你们感受一下。一般式中的这个平移，在这里面拉过来说有一个这样的函数， y 还是平移，这种平移方式， y 等于三 x 平方，加上二 x 减四，他在这个的基基础上，我在不配方的动作下，我现在向右平移一个单位，向下平移两个单位，换个我向左平移两个单位，向上平移五个单位。 那这个函数会变成什么样呢？注意外，不动，三不动，方不动，二不动减四不动。开始看我怎么变，所有的 x 左加右减自变量，所有的 x 加二，所有的在最最后面上五加五，把它破开，就是你的一般式， 这是我平移之后的样子，这就是粗暴的方式。你始终记住，你所提到的这个自变量，指的就是你的 x， 你 所提到的长竖向 就是在最后面的部分。接着继续二次函数平移。完分完之后，我们学习了这个，会有一个待定系数法。 什么叫待定系数法？就像我们那时候去讲那个一次函数一样，我们一共是三种方法。第一种方法是一般式， y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 他 会给你三到五，一到二， 零斗四，让你带入进去啊，去求，因为这三个点没有任何的特殊性，在没有任何特殊性的情况下，我们就带到一般式里面，可以在这块上稍微标注一下，这个是正义三个，你看 那在带入的时候，前是 x， 后是 y， x y x y， 你 会得到三个方程，然后凑到一起就是一个三元一次方程组。但不要害怕， 你像第一个五就等于九， a 加上三， b 加 c， 第二个就是二等于 a 加 b 加 c， 第三个四等于零，乘任何数是零，零乘任何数是零加 c。 其实零逗四就代表着你的长数，像 c 就是 四， 那就算当你得到 c 是 四了之后，你就把 c 再回代到刚才的这两个式子里面，你是不是就变成一个二元一次方程了？二元一次方程组，于是可以写成九， a 加三， b， 然后加四，那我这边就等于一，这边呢就是 a 加 b 加四加四等于二，就等于负二， ok， 那 我们就方程组去解，求解一下三是吧？同时乘个三，这边负六，然后呢用一式减二式，这边的六， a 呢就等于七，那 a 就 等于六分之七， b 呢 这边就是六分之七加 b 等于负二， b 是 不是等于负二？减掉一个六分之七，那六分之十二，那所以就是负的六分之十九， ok， 那 他是负的六分之十九， c 等于四，写完之后带回到你刚才的一般式里，一般情况下，这个东西不需要，我只要你最后的这个求解以及最后的一步。所以 y 等于六分之七， x 平方减掉六分之十九， x 加四。这是一般式第二种式子， 顶点式。顶点式形如 y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方加 k。 所以呢，他会题目里面一定是有特殊点存在的，他会告诉你顶点坐标一斗五，然后过另外一个点，过一个三斗四，所以他会一个顶点，一个任意点。于是我在设的时候就可以设成 y 等于 a 倍的 x 减一的平方加五，你的 h k 就 对应的是一和五，再过了一个三斗四， 前 x 后， y 带进去四就等于 a 乘上三减一的平方加五四， a 等于一项负一， a 就 等于负的四分之一，所以这个解式就可以写成负的四分之一倍的 x 减一的平方加五， 这是顶点式第三。第三个类型是交点式。交点式形如 y 的 a 倍的 x 减 x 一， x 减 x 二，那交点式的前提它得是两个点是交点，比如说三斗一，三斗零，负二斗零和一个四斗一。 那这个时候会观察到，题目中的虽然也是三个点，但前两个点都是与 x 轴的交点，所以呢，我就可以 get 到，前头是 x 一， 后头是 x 二，他就可以设成 y 等于 a 倍的 x 减三，乘上 x 减负二加二， 再过四到一前 x 后， y 一 等于 a， 四减三一，然后四加二六。所以呢，他就可以写成六， a 等于一， a 等于六分之一。 当你写出 a 等于六分之一的一瞬间，把它给我划到这个式子里， x 减三乘 x 加二，他必须要化成一般式，他必须前前头两个无所谓，前头两个那个都可以作为标答出现。但是这个要化成一般式，一共三种形式。焦点这个地方也是特殊的，两个点是 x 轴的焦点，第三点是任意一点， 第三个内容最大值、最小值的问题。函数的最大和最小怎么看？我们在实际应用里面我们会遇到过， 比如说先说第一种类型 y， 那 就这样， h 等于负五 t 的 平方加上十二 t 加一。也就是说他现在这是一个喷水的管子朝天空喷水，这个 h 是 喷水在天空中的高度， t 是 在空中的时间，他的这个关系近似于这， 我可以这样，大概画个草图，有一个一米的喷水管，这样喷出来了一个这样的头像，所以函数解析是形如他这样， 他问你喷到空中最大高度是谁？那一般情况下我们做这个题就是负二分之一，先求对称轴，也就是一点二秒的时候，他能达到最高，那最高是多少？ 将你的一点二带进去， h 等于负的五乘上一点二的平方，加上十二乘上一点二，再加一，打个勾不算了，就这意思，我们求最大最小，第一步永远是求对称轴，第二步选择代入也可以用 c 分 之 c， c 减平方，用我刚说的方法也行。 那在这里面我们就会出现刚才讲的那个美美类型的题型和求面积类型的题型，比如说 还是那个美美，这个时候给你设售价是 x， 原分原售和现售，这是开场的售价，售价是 x， 原来的售价是六十，进价是四十。利润是不是？第一个是六十减四十，第二个就是 x 减四十，数量呢？怎么变？听好他说的，他现在在涨价， 涨了两元，少了二十件。在这里面有一个画一的动作，把涨两元画成降一元，他涨两涨一元就可以代表他少十件。所以原本的数量给你给到三百， 在三百的基础上减十多少个十呢？这个十后面传的是你涨或降的前数，那我到底涨了几块钱十 x 你 涨了几块钱？这个空填的是涨价的前数。根据这个表格看啊，三百加 x， 我 已经给你写了你的数，你的出纸数量是三百减，减多少个十，我到底涨了几块钱？是不是看你现在的售价和原来售价的差啊？ 于是我写成这样之后，你的利润是 y， 那 y 就 等于 x 减四十，乘上一个三百，减掉十倍的 x 减六十，得到这样一个式子之后，把它化成一个一般式， y 等于负十， x 平方加上一千三百， x 减三千六。这个时候就有些手欠的小朋友开始说，老师，我要画成这样， 说他呢？画成这样，那我要这样画就错了，你两边同时除以负十，你你外是不是也除以负十啊？函数不能化减，函数不是，函数的那个系数不能化成一，就你写到这，你就乖乖的写到这之后求最值，什么时候利润最大，那么 x 等于负的二， a 分 之 b 套进去就行了。二 a 分 之 b 六十五的时候最大。不对啊，这个题我咋觉得好像算你是当时做错了呢？你没改过来吗？你打开算是吗？我不想算，我教你们一个不想我有不想算的方法，听他要求最值，那这个时候我们一般情况下是不是要去求负二分之 b？ 打开一般式之后，负二分之 b， 然后再带回去，我就能求出外的最大值了，对吗？ 这个时候有个特别好用的方式，你们只看他长得像不像顶点式，他长得像，你们看他长得像不像焦点式。我是不是可以得到 x 一 和 x 二？那焦点是什么意思？ 开口如果朝上，你是不是会有个 x 一 x 二，那 x 一 加 x 二是不对称轴？或者是现在这道题我很简单，开口朝下，我只要能求出 x 一， 求出 x 二， x 一 加 x 二除以二之后，你的对称轴就出来了，我只要把这个对称轴带进去，它其实就是负二分之 b 一 样的东西。 所以我们偷个懒，我让他 x 一 等于四十，这坨三百减掉十， x 加上一个六百或者九百减掉一个十 x， 我 就可以写成这个 x 二是不等于九十，于是你的对称轴就可以写成四十加九十除以二等于一百三除以二六十五， 那我把六十五带到，把六十五带入到这个里面去，我是能做完了。这道题也可以用刚才说的那个形式，刚才这个先写上 y 等于负十， x 平方加上一千三百， x 减掉三万六，然后他就可以 x 等于负二一分之 b， 二十分之一千三也是六十五， 对吧？两个答案是一样的，所以一般式的对称轴可以这样写，那焦点式的对称轴， x 一 加 x 二也是六十五，这两个都可以，但你去算就行了， x 等于六十五的时候利润最大。这一章内容其实还有一个跟一元二次方程和函数的关系，我们后面再单说吧。
110橘子老师｜乌市中考数学
03:28查看AI文稿AI文稿因为如果 a 等于零平方向就消失了，函数会变成 y。 无限开口向上，函数存在对的点，当小 开口向下，函数存在最高点。
1874数学rap思维
