已知比值和后项求前项的公式

我们今天接着讲六年级期末考试必考题型。那么看第六题四比五中笔的前项增加十二，要使笔直不变，笔的后项增加多少啊？我们看一下。首先把它写出来四比五， 四比五。他说比的前向增加十二，那么他要是增加十二就变成了十六 啊。我们钥匙笔直不变，笔直不变的话，我们知道笔的前向扩大多少倍，笔的后向就要扩大多少倍。我们看看四变成十六以后，它是乘四，扩大了四倍。钥匙笔直不变，它的笔的 后向也要扩大四倍，乘四，那么也就是四乘五是二十，所以笔的后向要变成二十，这时候笔直就不变。我们看看他问的是什么，他问的是笔的后向应增加多少，也就是加上多少 五变成二十加十五。如果他说比的后向乘几，那就是乘四。如果是增加几，就是增加十五。他是根据比的基本性质去做的啊。比的前向和后向 同时扩大相同的倍数，零除外，这个时候笔直才不变。那么我们接着看第七个一项工作，原计划十天完成，实际用了八天，工作时间缩短了百分之几。我们先看看缩短 短了几天。我们前一段时间讲过，在做这种比啊，在做这种谁比谁增加了多少，缩短了多少的时候，我们是用叉除以单位一，也就是什么是叉，就指的是他们两个的时间叉。看看缩短了几天，缩短了两天。 十减八，用缩短的两天去除以单位一，就是缩短了百分之多少。那在这是谁是单位一？我们需要把这句话补充完整，工作时间缩短了，肯定是 八比十，缩短了几天，其实就是实际比计划缩短了几天。我们如果把这句话补充完整的话，就是实际 笔计划缩短了百分之多少。那么我们知道得前笔后是单位一，那计划就是单位一，计划是单位一，计划是十天，所以我们去除以十 啊，在这谁比谁增加了多，增加了百分之多少，减少了百分之多少。他有一个公式就是差去除以单位一，那除以单位一的话，有的时候他会给啊，谁比谁缩短，谁比谁增加，不给的时候，咱们把这句话补充完整。 他现在问工作效率提高了多少？我们知道工作效率，一个工作没有给工作总量，我们就把工作总量看作一，挂工作总量看作一的话，原计划十天完成，那原计划的工作效率 就是十分之一，也就是用工作总量处于工作时间，这是原计划的工作效率。那我们看看实际的工作效率就是八分之一。 他现在问工作效率提高了多少，那我们看一下，八分之一大于十分之一，所以我们用八分之一减去十分之一。 同样这句话没有给谁比谁提高了多少，那肯定是实际比计划提高，因为实际工作效率要高，他做的要快， 所以提高的话，肯定是实际比计划提高，那实际比计划提高，计划还是单位一， 所以这个时候我们除以计划的工作效率，也就是除以十分之一啊。这是这个题。

今天小美老师布置了一道思考题，并且说作对的同学都能得到一份神秘奖品。哇，竟然有神秘奖品！狗蛋摩拳擦掌，这就准备来挑战看看。 题目是这样的，给三比五的前项加上九，要使笔直不变，后项应该加上几呢？狗蛋看着题目，心想，这个简单呀， 前项加了九，要是笔直不变，那就在后项也加上九呗。你觉得狗蛋想的对吗？应该选 b， 算一算笔直就知道原来的笔是三比五，笔直等于前向三除以后向五得五分之三。如果前后向都加上九，笔就变 乘十二，比十四，比值是十二除以十四等于七分之六，通分一下，你看这前后比值可不一样吧。所以说，比的前后像同加同减同一个数，比值可是不一定一样的。 那要想笔直不变，笔的前项和后项可以怎样变化呢？回忆一下，我们不是学了笔的基本性质吗？笔的前项和后项同城或除以相同的数零除外，笔直不变。 那回到题目里，虽然条件是说前向三加上九变成了十二，但我们完全可以转化成前向三乘几变成了十二，很明显，三乘四得十二。下面 就请你来想一想，要想笔直不变，后项应该变成多少呢？选 c， 根据笔的基本性质，要想笔直不变，前项成了四，后项五也得成四才行。变成五乘四的鸡是二十， 那后向从五变到二十，可以看成是加了几呢？很容易吧，二十减五等于十五，所以说后向应该加上十五， 看见了吧。要想笔直不变，我们要根据笔的基本性质，把笔的前项和后项想成同城或除以相同的数零除外才行。那在做题的时候，我们首先可以算出前项变化后的 结果是三加九得十二，接着把这个变化看成是前向三乘四得到的十二，然后根据比的基本性质就能确定后向五也要同乘四变成二十。

哈喽，各位同学大家好，我是果冻老师，今天来看一下我们资料分析中关于笔直增量的知识点。 其实这个视频啊，其实是我们前两个视频的一个总结视频。我们在前两个视频中啊，学了比重的变化量，他的公式是部分比上整体，再乘以一加部分量的增长率，分之步率，减整率。 还学了平均量的变化量，他的公式，总量除以分数，再乘以一加总量的增长率，分之总率减去份率。 大家来看一下，这两公式是不是在形式上，在格式上是一模一样的呀，所以我们以后啊，就不要 再背这两个文字表达式了，我们给大家总结为一个字母表达式，叫笔直增量。怎么来的？这个名字怎么来的？解释一下比重平均量，我们 我们可以简称为笔直，因为都是 a bb 的形式嘛，可以简称为笔直变化量，其实就是增长量，简称为增量， 所以新名字就叫笔直增量。记这个公式就可以了， a b b 再乘以一加 q a 分值， q a 减 q b， q a 指的是 a 的增长率， q b 指的是 b 的增长率。这个公式很重要啊，每年必考，每年必考，各个省份都一样啊，重要程度达到了五颗星。 这个公式还有一个性质，我们来看一下啊，就是怎么来判断他是上升还是下降，直接看这一步就好了， 这一步如果是正的，那整个式子都是正的，那就是上升。这一步如果是负的，那整个式子的值就是负的，那就是下降。如果他俩相减等于零， 那就是不变。也就是说，当 q a 大于 q b 的时候，笔直是上升的，当 q a 小于 q b 的时候，笔直是下降的，当 q a 等于 q b 的时候，笔直不变。 好，接下来我们来看两道例题。看下例一问题问的是二零一七年，这一省海洋生产总值占全国的比重比上年是上升了还是下降了？多少个百分点？ 直接在公式 a b b 乘以一加 q a 分之 q a 减 q b， a 就是海洋生产总值 是七二一七，比 b 就是全国的七七六一一。再乘以一加 q a 是 a 的增长率百分之九点二，上面是 qa 减 qb 是百分之六点九啊。 计算这个式子，我们先判断上升还是下降啊，很简单，看这里就可以了。这一步是正的，所以是上升，排除 cd。 他俩一减是不是二点三啊？二点三个百分点 对吧？除以一个比一大的数，是不是比二点三要小了？前面还要乘一个比一小的多的分数， 是不是比二点三更小？所以只能选 a 选一下啊，这是第一。再来看一下第二问题，问的是与二零一八年相比，二零一九年全国商品房销售均价 月增长还是下降了多少钱？你看销售均价是不是也是个平均量，也是比值的一种啊？所以这道题考的还是比值增量啊。销售均价，那我得用销售额去除以 销售面加销售额是 a， 面积是 b 全国的，那就是用一五九七二五去除以啊， 一七一五八八五五五八啊。这乘以一加 q a 是加上百分之六点五，上面是 qa 减 q b， q a 是负的，减去负的相当于加上正的，对吧？ 首先判断上升还是下降，肯定是上升啊，他俩一家是正数，所以是上升，排除 c 和 d。 那计算的话也比较简单，因为选项差距还是比较大的，估算就可以了。 看一下右边这一部分啊。右边这一部分写写成，呃，不按。嗯，不带百分号的形式。是不是幺零六分之六六啊？不用管小数点啊，也不用管小数， 因为选项里边根本就没有小数点的区分，所以直接就是幺零六分之六六。前面再乘一个 幺七幺分至幺五九吗？看一下，六十六除以幺零六，是不是首位还是上六啊？他是一个六开头的数啊。六开头的数再乘以前面这个比一小的数，结果是不是我只能选 a 了， 所以这道题重要答案是 a 选项啊。好，以上就是本期关于笔直增量的总结视频，这个公式相当重要啊，必须要牢牢记住！必须要牢牢记住，很重要。好了，本期视频到此结束，再见！

写出比值是零点四的两个比，再把它们组成比例。这道题考察的是比例的意义，比例的基本性质的灵活应用。 比例的意义是什么呢？表示两个比相等的式子叫比例，比例的基本性质是在比例里，两个外向的鸡等于两个内向的鸡。 解决这道题，其实就是写出笔值为零点四的笔即可组成比例。组成比例的条件是什么呢？有两个 一，两个比的比值相等。二，两个外向的积等于两个内向的积。写出比值是零点四的两个比，他的简便算法。大家一定要记住，把零点四 化成分数五分之二，也就是一个比是二比五。然后我们根据比的基本性质，给二比五的前项和后项同时扩大相同的倍数，比如 二比五等于四比十，这两个比的比值相等，然后两个外向的鸡等于两个内向的鸡。您看这样是不是很简单呢？然后我们接着写，可以写好多好多的比例，比如八比二十 等于六比十五，还有十比二十五等于十，二比三十等等等等。我们只要抓住把比例的前项和后项同时扩大相同的倍数即可。像这样用笔直来写笔或比例 的题，最简单的方法就是把比值画成分数，然后把分数当做一个比，给这个比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数，可以迅速的找出很多的比例。 这个方法很实用，大家一定要告诉你的孩子，屏幕前的你如果觉得老师的视频对你有帮助，点个红心，点个关注，还可以在评论区留言讨论。

一个视频轻松搞定笔直的问题，先看定义笔直，笔的前向除以后向得到的伤叫做笔直。所以我们要思考，笔直有单位吗？分两种情况来看，第一种情况， 同类数量的比，比值是没有单位的。什么叫同类数量？来看题，一个长方形， 长一百米，宽五十米，长和宽都是长度，这就叫同类数量的比。那问我们长和宽的比是多少？我们直接写长一百比上 五十，让我们求他的比值，直接用前项除以后项，也就是一百除以五十等于多少等于二，所以 他表示的就是长和宽的倍数关系，笔直没有单位。这里边老师额外说一道题，考试的时候百分之九十九会考这道题。一场足球比赛中，甲队和乙队的比分为三比零， 这句话并不是我们所学的比，那么三比零表示的只是甲队和乙队的一种 记分的方式，也就是说他表示的是两队相差的分数，并不是相除的关系。接着我们看第二种情况，不同类数量的比，比值有单位， 一辆卡车两小时行驶一百千米，两小时是时间，一百千米是 路程，那路程和时间的比是一百比上两小时两个不同的量。路程除以时间等于什么？是不是速度啊？所以路程和时间的比产生了一个新的量，也就是速度。那我们 求他的比值，路程除以时间等于多少？一百除以二等于五十。 铅笔每小时，这个时候我们要写单位了，因为它是不同类的数量笔，笔完之后，笔直是一个 新的量，所以我们要加上一个复合单位，千米每小时，所以千米为什么在前面？因为前向是路程，一百千米，那 每小时时间在后面，时间是后项，所以千米每小时是这么来的。那接着往下看。关于比值的表现形式，一共有三种情况，整数、小数和分数都可以，也就是说我们的比值可以是分数， 比如说二分之一比上三分之一求比值，前向除以，后向直接用二分之一除以 三分之一，算出的答案等于二分之三，所以比值可以是分数的形式。第二题一点八比上九，前项除以，后项 一点八除以九，那算出他的双，我们可以直接写成零点二，所以笔直是小数的形式，也可以。整数，那 更可以了。一百二除以六十，算出的答案等于二，所以它的比值是二整数的形式。听懂的下课。

这个视频我们来分享一个数列中的小技巧。等差数列中和的笔直与相的笔直的关系就是这个公式。 数列顾名思义就是数字有顺序的排成一列。这里边有一种非常特殊并且很有规律的数列，就是相邻两相的差是一样的，我们叫做等差数列。下面先来复习一下等差数列的知识点。 等差数列的前 n 相合，大家最熟悉的公式就是这个，那这里我们也可以把 a 给它展开，展开了之后呢就得到后边这个公式。再把 n 按降密的方式来排列的话，那其实呢会得到 n 方。还有这个 n 我们给他写成通式，那就是 a n 方加 b n。 从这里边可以观察到我们这个 sn， 它的本质呢就是关于 n 的二次函数，并且这个二 二参数是没有常数项的。等差数列 an 的前一项和用 sn 来表示。等差数列 bn 的前一项和我们用 tntn 同理，也可以写成关于 n 的二次。 那 sn 除以 tn， 他们两个的笔直上下就可以同时约掉一个 n。 最终这个形式呢就是 n 的依次除以 n 的依次。这个我们在题目中看到的笔直也通通是这样的形式。我们可以来看一下 sn 除以 tn 依次除以依次 来。另一个题，他们这个呢也是依次除以依次的形式。那接下来呢就是已知两个合适的比值，如何去求相的比值。现在体盖上告诉你，一个 s 除以 t 等于他。我们根据刚刚的讲解，其实他们上下同时约掉了一个 n， 所以可以把这个 n 给他还原。那我就 近似的可以把这个 an 的前向和 sn 呢，给他看成 an 方加上 bn。 那我们就从这个前向和 sn 里边要把他的通向 an 给求出来。这里边又涉及到了另外一个公式，就是下面这个 sn 和 an 的关系。 an 呢是等于 sn 减 sn 减一的。为什么会是这样子的呢？我们把 sn 展开，把这个 sn 减一，展开两相做差，就可以得到 an。 那知道这个公式了之后呢，我们再回到上边那个问题，我现在已经知道了艾森了，我想求他的通向 an， 那我们就再构造一个 sn 减一，然后呢两项做叉， 做叉了之后，这个 a 呢就可以求出来，他呢再整理一下，就等于 a 乘上二人减一，再加 b， a， n 出来了之后，那头 同理也可以用相同的方法求出来这个 bn 他的通向。两个式子的通向都求出来了之后，那两个通向的笔直呢？那直接就是右边这一两块相除就可以了。 那我们现在得看一下两个相的比值跟他们和的比值的关系。题目上告诉你， sn 除以 tn 呢，是等于 an 加 b 除以 cn 加 d。 那这个公式我们来观察一下，不就是把这里边所有的 n 都换成了二人减一吗？ 所以他其实呢就可以得到这个 s 二人减一，除以这个 t 二人减一。跟我们上面这个 an 除以 bn 呢，他就是一模一样的。我们最终就会得到 在视频开头出现的那个公式， an 除以 bn 等于 s 二人减一，除以 t 二人减一。在这里边需要注意的就是我们这个 an 除以 bn， 他们这两个的下标可以一样，可以不一样。但是我们 s 二 n 减一的这个 n 一定是跟前边这个 an 的 n 一样的。 t 二 n 减一的 n 一定跟这个 bn 下边的 n 是一样的。接下来我们来试一试。 这里有这么一个题， s n 除以 t， n 等于他。然后呢，让算 a 六除以 b 三我们直接代工是 a n 除以 b， n 等于 s， 二人减一，除以 t 二人减一。带进去了之后呢，就可以得到 b 值等于一。所以最终答案就选择 a 选项。十秒就能秒杀今天讲的你学会了吗？

哈喽，孩子们，继续来学习我们笔的相关知识啊，那这个知识点视频呢？我们学习的是求笔直的方法，那我先考考大家，什么是笔直？还记得吗？什么是笔直？ 哎，笔的前项除以后项的商，就叫做这个笔的笔直，对吧？哎，所以啊，大家要把这个知识点学会，首先啊，关于笔直的概念一定要特别的清楚， 笔的前项出于后项所得的商就叫做笔直，那这句话不仅告诉我们笔直是什么，对吧？其实也告诉了我们怎么样去求笔直，怎么求，哎，就是用前项 除以后项就 ok 了，对吧？哎，这个商把这个商求出来，他就是这个笔的笔直，那对 笔直的形式呢？我们可以把它写成分数的形式，这是我们通常会写成分数的形式啊，但是你也可以用小数或者是整数来表示，都没问题啊，来试试 求下面个比的比值，比如第一个三十比十八，那他的比值怎么求啊？你想一想，我们刚刚说了，就是用这个比的啊，前项也就是三十，去除以他的后项也就是十八，对吧？好，那就等于 十八分之三十。注意了，最终的结果我们一定要写成最简分数的形式啊，那分子分母可以同时除以一个六，对吧？哎，这变成三，这是五， 所以最终的比值就是三分之五， ok， 下一个二十四除以啊，二十四比十二， 那他就等于什么呢？哎，他的比值就是二十四除以十二所得的伤，而四除以十二刚好等于二啊。哎，那么这个比的比值就是二 啊，你包括下一个出现了小数也没关系，只要我们确定，哎，他是前项没问题吧？他是后项没问题吧？ ok， 那我们就正常的用前项零点四去除以后项零点五就可以了。 哎，那这个是不是很好算，就等于五分之四啊？那个同学说，老师，我就想把它写成零点八的形式，行不行？行，哈哈，没有问题。好吧，那么下面 二分之三比四分之一没问题，你不管他写的什么形式，这是不是前向，这是不是后向？ ok， 那我们就用前向二分之三 除以后向四分之一就好了啊，那就等于二分之三乘四。 好，那这个二和这个四可以约掉，对吧？这是一，这是二，所以呢，结果就等于六就 ok 了，对吧？哎，那这就是我们求笔直的方法啊，就是用笔的前向去除以后向，那这个商就是笔直 好了。那么这是，嗯，单纯的让我们去求这个笔的笔直。那还有一类形式的题目啊，比如你看，哎，我们知道这个笔的后项，知道这个笔的笔直，让我们去求他的前项，那怎么办？ 那你就想啊，你这个笔直是怎么来的？你这笔直是怎么来的？是不是前向除以这个后向四得到的 这个二啊？哎，那他除以他等于二，那你想一想，你要求他应该怎么求？哎，结合我们这个除法，就相当于是被除数，除以除数等于商，你现在知道除数和商，让你求被除数，那你是不是得用这个商去乘除数啊？ 二等于八，所以呢，我们这个笔它的前项就是八，那当然你可以验证一下呀，前项除以后项是四等于二，那你看，笔直是二，和我们给的这个笔直是二，是不是相等的呀？ 哎，那就说明我们这个前项就要求对了啊，他就是八，知道方法了吧。哎，后面也是，你看，还是让我们去求前项，那这个前项 比上三等于六分之五，也就是前项除以三等于六分之五，这个比值就是这么来的，对吧？那么现在让你求前项，相当于让你求的是谁 被除数啊？因为他除以三等于他呀，对不对？那所以我们用这个商六分之五，但是在这里面就相当于是笔直，对吧？笔直乘 后想三，得到的就是前想啊，那就等于六分之五乘三，这个三和六可以进行约分，这是二，对吧？就等于二分之五。 好的，那这个比的前向就是二分之五，来验证一下啊。你看，你用他的前向二分之五去除以他的后向是三，那就等于二分之五乘三分之一，那你看你得到的比值 是不是六分之五，是不是六分之五和这样六分之五相等的吧。哎，所以呢，说明我们的答案是没有问题的啊。 好的，那这两个都是什么呢？都是相当于知道笔直和后向，让我们去求前向啊。那么看这个题，我们知道前向和笔直 让你去求后项，同样，你笔直怎么来的？你笔直是不是他除以他得到的呀？那就相当于结合我们的除法，你知道被除数，知道伤，让你去求这个除数，那我们是不是要用被除数去除以伤啊？ 所以除以五啊，那就等于三分之二乘五分之一等于十五分之二，就是我们的后项，对吧？哎，当然你也可以验证一下，前项三分之二除以 以后向十五分之二，好，那就等于三分之二乘二分之二十五，二和二就约掉了那三和十五约的一个三，这是五，等于五， 所以你看笔直是不是五和这个题目当中所给的这个笔直是一样的，对吧？哎，说明我们的答案是正确的。 ok， 那么下一个 七分之二比谁等于十四分之一？同样，你知道的是谁知道的是前项和笔直。那么笔直怎么来的？是不是七分之二除以后项得到的？那我要求后项就用七分之二除以笔直， 哎，那就等于七分之二乘十四啊，七和十四约掉，这是二，那就应该等于四，对吧？所以我们的后项这就是 四，当然了，确保胜利，你也可以验证一下，七分之二除以四，那就等于七分之二乘四分之一。好，二约掉这剩下一个二就等于十四分之一。 怎么样，你求出来这个笔值，验证出来的这个笔值和题目当中给的这个笔值是不一样的。哎，那说明我们这个笔的后项就是次是正确的啊。好了， 那所以呢，我们这个支点是一道两类题目啊，一个呢是单纯让你去求笔直，那一个呢，就是给了你笔直以及前项或者是后项，让你去求另外一项，那大家得灵活的来应用我们所学的这个知识啊。 好了，那总结一下，笔直笔的前项除以后项所得的伤，还是那句话，这个这句话 不仅告诉我们笔直是什么，而且告诉我们笔直的求法，前项除以后项所得的伤。好了，那他还有任何问题，欢迎在评论区给我留言。

六年级划减笔其实一点也不难，无非就是这四种题型，整数笔，含有小数的笔，含有分数的笔，带单位的笔。我们依次来看，在做这四道题之前，我们首先得明白什么是划减笔， 其实画简笔就是将一个笔化为最简整数笔，那什么又是最简整数笔呢？就是笔的前项和后项除了一之外，不能再有其他公因数。 那我们来看第一个二十五和七十五的最大公因数，那就是二十五，所以他的前项和后项我们都给他除以二十五就可以了。 好，前面除以二十五是一，那后边呢是三，而且不光要你画点笔，还让我们求笔直，笔直是一个数，所以 所以我们就可以得他是三分之一。那么第二个呢，是含有小数的比，我们知道原则就是先把小数化为整数，那么他们两个都乘上一百，就可以都转化为整数了，零点二五乘一百。 好，前面呢是五十，后边是二十五，五十和二十五的最大公因数也是二十五，所以前项和后项 怎么样啊？都除以二十五就可以了，那他就等于是二比一，比值九十二， 好看。第三个含有分数，那我们知道，对于一个比来说，他就等于比的前项除以比的后项，所以五比十二分之五就是五，除以 十二分之五除以一个分数，等于乘上这个分数的倒数，所以我们约分一下啊，这都变成一了，就等于十二，那这是一个比值，而不是比的形式，我们可以怎么样啊？十二比一，那还是十二，所以比和比值都有了。 看最后一个带有单位的笔，那么这个呢？老师推荐大家啊，你看这有千米和米，这个单位有大有小，老师推荐大家呢，是什么样啊？大画小，我们这些单位，那六千米，我们就等于 六千米，对吧？再比上三百米，给他单单位的时候给他写下来。那么六千和三百的最大公因数是三百，所以前面和后边啊， 前向后向都除以三百，比上三百除以三百啊，前面是二十，后边是一，最终的比值得二十。