法向距离是垂距吗
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33学霸物理
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的长度呢？二分之刚二倍的 a， b、 c 的长度呢？也是二分之刚好二倍的 a。 我们用勾股定理， a 的平方加上 b 的平方等于 c 的平方，两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么它是二分之刚好二倍的 a。 再来看一下点到平面的距离，过一点做垂直于已知平面的直线，那么该点与 垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段。这个点 q 和平面阿尔法它的距离呢？我们过 q 点做平面阿尔法的一个垂线， 与平面阿尔法呢？假设相交于一点 a， 那么 qa 呢？就叫做这个点到这个平面阿尔法的一个垂线段。垂线段的长度呢？叫做这个点到这个平面的一个距离。那么我们同样做一个练习题， 三角形 a、 b、 c 中， a、 b 呢等于九， a、 c 呢等于十五角， b、 a、 c 等于一百二十度。三角形 a、 b、 c 所在平面外呢，有一点 p 到三个停点， a、 b、 c 的距离都是十四。那么 p 到平面 a、 b、 c 的距离为多少？我们来看一下。有一个三角形 a、 b、 c 这个角呢，角 a 的一个度数呢，是一百二十度， a、 b 的长呢是等于九， a、 c 的长呢，是等于十五。那么三角形 a、 b、 c、 y 有一点 p， p 点呢？到这个三个顶点到 a 点到 b 点到 c 点， 它们的距离呢，都是相等的，说明这三条边是相等的。现在问 p 点到平面 a、 b、 c 的距离， p 点到平面 a、 b、 c 的距离，那么我们直接从 d 点做平面 a、 b、 c 的一个垂线，做它的垂线。以后呢？假设与平面 a、 b、 c 呢相交于一点 o 做它的垂线，相交于一点 o、 p、 o 呢，就是我们要求的距离。 p、 o 就是 p 点到平面 a、 b、 c 的距离， p、 o 的长度该怎么样来求我们来看 看一下。因为题目中说 p 到三个顶点， a、 b、 c 的距离呢，都是等于十四，那么 p、 o 呢，又垂直于这个平面，我们会发现 p、 o， 这是垂足，而 a、 b、 c 三点呢，是斜足，斜足的话， 这个呢就是摄影。这一条边 o、 c、 o、 a、 o， b 呢就是摄影， o、 c、 o、 b、 o、 a 是摄影，又因为 p、 a 啊， p、 c、 p、 b、 p、 a 呢，他们是相等的，他们三个相等，而且都等于十四。那么我们就可以得出， o、 c 等于 o， b 等于 o、 a， 他们这三条线的长度相等，那么他们的摄影的长度也是 是相等的，这样摄影的长度是相等的， o 点呢？ o 点就是这个三角形 a、 b、 c 三角形的一个外形。 好，根据我们分析的这些条件，一起来做一下。首先，我们已知了 a、 b 的长度，已知了 a、 c 的长度，又已知 c、 a、 b 这个角，那么 c、 b 这条边长我们就好求了。 c、 b 这条边长，我们用余弦定理 余弦底里来求一下， c、 b 的平方是等于 a、 b 的平方，加上 a、 c 的平方，减去两倍， a、 b 的长度乘上 a、 c 的一个长度，再乘以可相应角 b、 a、 c。 我们利用余弦定理，这个公式是，九的平方加上十五的平方，减去二 二乘九，乘上十五，再乘上科三。因一百二十度是等于负的二分之一，好来算一下，它是等于自己，可以去算一下哈。嗯，八十一加上二百二十五， 减去二和二，约去负负得正，那么是九乘以十五五九四十五，一九得九的话，二百 五九四十五，一九得九是一百三十五，一百三十五，他们加起来是四百四十一， 四百四十一是多少的平方？刚好是二十一的平方，所以 c、 b 这条边长呢？ c、 b 这条边长是等于二十一，我们利用余弦定理。另外呢，我们刚才有讲 o 点是三角形 a、 b、 c 的外形， 那么我们再利用一个正弦定理，正弦定理的话，又已知这个角 c、 b、 a 这个角的一个大小，那么我们会有 a 这条边，也就是 b、 c 的长度。 a 是 b， c 的长度比上相应 a 是等于两倍的二， r 呢是外接元， 外接元的一个半径长，那么它的长度呢，就是半径 o、 a、 o、 b、 o、 c 呢就是等于二。好，一起来算一下， a 的长度也是 b， c 的长度呢，我们刚才算了，是等于二十一， saying a 呢， saying 一百二十多，是等于二分之根号三，然后呢是等于两倍的二，我们得出了二，它的一个 长度是等于二和二约去，那么三的话三七二十一，那么是七倍根号三，二的长度呢，是等于七倍根号三。因为 p o 垂直于这个平面 a b c， 所以 p 这个是个直角三角形，这个是个直角三角形，这条边呢也是垂直于他的，我们任意看一个直角三角形 pco 任意看一个直角三角形 p c o， 这里它的长度呢是等于十四，这个呢，这个它的外接元的一个半径呢，它是等于七倍根号三， 那么这条边 p o 的长度就好求了 p o 的长度， p o 的长度，它是等于斜边的平方，十四的平方减去多少？减去直角 边的平方七倍 com 三的平方，那么最后呢？呃，十四的平方是一百九十六，一百九十六，这边呢是七七四十九乘上三三九二十七， 二十三九二十七，然后是等于一百四十七，最后呢是等于四十九，哦，这是平方，那么 p o 的一个长度呢？开放以后是等于七， p o 它的长度就是为七。那么这个题呢，相对比较复杂一点点。第一呢，我们要利用余弦定理， 已知这个角 a 的一个度数， a b 的长和 a c 的长，那么利用余弦定理得出 b c 的长呢，是等于二十一，然后呢，根据 p 点呢做 o p o 垂直这个平面，因为 p a， p b， p c 的长度相等，那么他们的摄影的长度呢，也是相等的， o， a， o， b， o， c 的长度也是相等，那么 o 点呢？就是这个三角形外接圆的圆形 o， a， o， b， o， c 呢？他们的长度呢，就是等于外接圆的半径。 好，我们再利用正弦定理， a 比上三，一， a 是等于两倍的外结缘的半径，那么二的一个长度就出来了，二的长度求出来了，那么任取一个直角三角形，利用勾股定理，我们求出 po 的一个长度，这是点到平面的距离。 再来看一下直线到平面的距离，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离呢？叫做这条直线到这个平面的距离。 a 和阿尔法是平行的，那么 我们在 a 上认取三点， a、 b、 c 分别作平面阿尔法的垂线， a 撇， b 撇， c 撇。 那么 a、 a 撇是垂直平面阿尔法， b、 b 撇垂直平面阿尔法， c、 c 撇垂直平行面阿尔法。那么现在我们连接 a 一撇 c 撇，会发现 b 撇也在这条线上， a 撇 c 撇是平行于直线 a 的。 好，接下来我们来做一下 ins 题，已知直角三角形 a、 b、 c 的直角顶点 c 呢在平面阿尔法内，斜边呢？我们把图画出来看一下 斜边 a、 b 平行阿尔法 a、 b 呢，是等于两倍。根号六， a、 c、 b、 c 分别和平面阿尔法乘四十五度角和三十度角。那么 a、 b 到平面阿尔法的距离。我们 来看一下直角三角形 abc 的直角点点，那么说明细点呢？是一个直角细，这个角是个直角，他这个点细点在平面阿尔法内。斜边 ab 平行与阿尔法 ab 呢，是与阿尔法是平行的， ab 的长度呢，是等于两倍的。根号六，我们把标出来， a、 c、 b、 c 分别和平面阿尔法成四十五度角和三十度角，我们把它画出来了。首先过 a 点和 b 点分别做平面阿尔法的垂线，那么垂足分别为 e 点和 d 点， 接下来我们连接 c 点和 e 点，以及 c 点和 d 点。斜足和垂足连接以后呢，这就是摄影， cd 是摄影。那么斜足 c 点和垂足 e 点连接以后 呢？ c、 e 呢，就是 a、 c 的一个摄影，那么这两这里呢，是垂直的。接下来问的是 a、 b 到平面 alpha 的距离，那么 a、 e 和 b、 d 呢，都是距离，长度肯定是相等的， 因为这里是摄影呢。 a、 c 与 c、 e 所存的角呢，就是 a、 c 这条斜线与平面尔法所存的角，那么 这个三十度呢，就是 b、 c 这条斜线与平面阿尔法所成的角。当然要注意这两个红色的线 a、 e 和 b、 d 的长度是相等的。 那么我们来看一下在直角三角形 a、 e、 c 中，这个啊，直角三角形 a、 e、 c 中，这里呢？ e、 c 是等啊。 e、 c 这条边和 a、 e 这条边肯定是相等， 因为这个角呢，是为四十五度。假设 a、 e 这条边为 a， 也就是说 a、 b 到阿尔法的距离为 a， 那么 b、 d 这条边长也是为 a。 好，因为这是一个等腰直角三角形，那么 a、 c 呢？根据勾股定理， a、 c 呢，是等于根号二倍的 a。 再来看右边这个直角三角形三角形 b、 c、 d 这个角是三十度三十度角所对，直角边等于斜边的一半，那么这边是两倍的 a， 那么我们得出 bc 呢，是等于两倍的 a 好，又因为题目给出了三角形， a， b， c 呢也是直角三角形，而且 c 这个角呢，是等于九十度。根据勾股定理，会有 a、 b 的平方是等于 a、 c 的平方，加上 b， c 的平方， a， b 的平方呢， 是等于二倍根号六括号的平方， a， c 的平方是等于二， a， b、 c 的平方呢，是等于四。 a 这里平方不要落下，那么这里的话是四、四六、二十四，二十四等于六倍的 a 的平方 约去，这是等于四，那么 a 呢，是等于二。我们得出 a， b 到平面 after 的距离呢，就是等于二，这是直线到平面的距离。注意 a、 c 与平面 alpha 所乘的角就是过 a 点做平面 alpha 的垂线，连接垂足和斜足，那么所乘的角呢，就是角 a， c， e， 那么 a， e 呢，就是这条平行于平面 alpha 的直线到这个平面的距离。 接下来我们再来看一下两个平行平面间的距离。如果两个平面是平行的，那么 其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离呢，都是相等的，我们把它叫做这两个平行平面的距离，任意一点做另一个平面的一个垂线，那么这就是这两个平行平面的距离， 而且呢距离都是相等的。我们来做 list 题， alpha 和 beta 是两个平行平面， alpha 和 beta 是两个平行平面， a 呢，这一条 直线呢？这里写错了， a 这条直线在平面阿尔法内。 b 这条直线呢？在平面贝塔内， a 和 b 之间的距离为第一，阿尔法与贝塔之间距离为第二。那么第一和第二的一个大小关系是什么样子？ 我们现在呢，要注意会有两种情况，第一种情况呢，如果 a、 b 这两条直线分别过他们的平面阿尔法和平面贝塔的一条垂线，比如说这是 a b 直线，这是 只要这个点在这个 a 直线上，只要过他们的一条垂线，假设这个也可能是 b 直线，也可能是 a 直线， 只要他们有一点这两条直线， a 和 b 有一点在他们的一条垂线上，那么第一呢，和第二的长度是相等的，这是第一种情况。第二种情况呢，没有一点假设，这是 b 直线，以 b 直线 上面任选一点做垂直于平面阿尔法的直线，那么与 a 直线呢，都不相交，任选一点与 a 直线， a 直线在这都不相交，那么 a、 b 之间的距离呢？肯定是 第一，肯定是要大于第二的，所以会有两种情况，第一呢，第一和第二相等，有一条垂线分别过 ab 两条直线中的一点，那么 第一和第二相等，但有一条垂线，没有任何一条垂线过两条直线中的一点呢？那么第一是大于第二的，所以第一呢会大于等于第二。最后我们来做下小节，这节课呢，我们学习了一面直线之间的距离，点到平面的距离，点到 啊，直线到平面的距离，两个平行平面间的距离。再来复习一下和两条一面直线都垂直相交的直线呢，我们叫做两条一面直线呢？公垂线，公垂线与两条一面直线 相交的点所形成的线段呢？我们叫做两条一面直线的弓垂线段，弓垂线的长长度呢，我们叫做一面直线的距离， 点到平面的距离呢？过一点做垂直于已知平面的直线，那么该点与垂足间的线段呢？叫做这个点到平面的垂线段，垂线段长度呢？叫做点到平面的距离。 直线到平面的距离。一条直线与一个平面平行的时候，我们只讨论一条直线与一个平面平行这种情况，这条直线上任意一点到这个平面的距离呢，叫做这条直线到这个平面的距离。另外呢， 我们还讨论两个平行平面间的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离呢？都是相等的，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。那么这节课呢，我们就讲到这。
320滴答课堂
17:32查看AI文稿AI文稿同学们好，这里是人教版同步初中数学金讲班七年级下册的课程内容，我是今天的主讲人强老师。今天我们来学习垂线。 首先来看课程目标，第一，理解垂线的概念、性质以及画法。第二，要知道垂线段和点到直线的距离这两个概念， 并能够利用他解决啊综合性的问题。首先来看这样一个问题， 大家看到这是一个两线四角的模型，那么假设其中的一个角 a、 o、 c 等于九十度的时候，这个时候其他的角，比如说角 b、 o、 c 等于多少度呢？答案，九十度，以此类推，其中的角 a、 o、 d 和角 b、 o、 d 也都是 九十度啊，利用上节课零补角互补或者对零角相等，就可以轻松得到。那么在这种状况下，我们称 a、 b 和 c、 d 互相垂直。 好，首先拿出垂线的概念，第一，当两条直线 ab 和 cd 相交所成的四个角中，有一个角是直角，有一个就够了， 然后呢，其他三个角也都是直角了，那么这时候称这两条直线互相垂直，而其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 好，那么这里有一个符号在图上，为了体现他是垂直的，请大家养成习惯，加上这个垂直符号，那么通常我们在书写的时候会用这样一个符号来表 是，这是垂直符号，那比如说 a、 b 和 c、 d 互相垂直，我们通常记为 a、 b 垂直于 c、 d， 这样念啊，垂直于 cd， 如果他给了垂足，我们会另外加 ab 垂直于 cd 于凹，垂足就是他们的焦点，这个时候名字叫垂足。 好，那么也可以说直线 a 和直线 b 互相垂直，垂足为 o， 那我们可以描述为 a 垂直于 b 于点 o。 好，这是关于垂直的一种符号表达。那么根据这个我们就发现垂直是相交的一种特殊情况。 好，那么关于垂线它的符号语言我看一下，当直线 a、 b 和 c、 d 互相垂直的时候，那么会带来什么信息呢？比如说我们可以得到这样的一个判定信息，因为角 a、 o、 d 等于九十度， 所以 a、 b 垂直于 c、 d 啊就是，那么在这个关系中，请大家要区分的是角 l、 d 等于九十度，这是给了一个数量。 然后呢，推出 a、 b 垂直于 c、 d， 这是给了一个位置关系。好，我们上节课讲的零补角和对顶角是位置关系，那么这个互相垂直也是一种位置关系， 那么这就由数量关系过渡到位置关系。当然，对于垂直这个位置关系来说，这是一种判定方式。反过来，如果一 已经给了 a、 b 垂直于 c、 d， 那我们就可以顺理成章得到角 a o、 d， 角 a o c， 角 b o c， 角 b o、 d 都是九十度，那么这又由位置关系过渡到了数量关系。好，这就是关于垂线的定义，或者说垂直定义的用法。 那我们来看具体的问题。例如图一，若直线 m 和直线 n 交于点 o， 而且角一等于九十度啊，那这又按照垂直的这个定义， 我们就可以判定得到 m 是垂直于 n 的。好，这个符号表达啊，垂直于第二个，若直线 abcd 相交于点 o， 而且啊，这里没有图，而且 ab 垂直于 cd， 那么这种状况下，大家可以自个画一个图，在旁边形成参考啊， 直线 a、 b 和直线 c、 d 相交于点 o， 而且呢， a、 b 垂直于 c、 d， 那就说明垂足这个地方是直角，所以角 b、 o、 d 这其中这两线四角任何一角都是九十度，那角 b、 o、 d 当然是九十度。 好，接着第三小题，如果 b、 o 垂直于 a、 o， 也就是角 b o、 a 等于九十度，那么问你角 b、 o、 c 和角 b o a， 角 b o、 a。 如果满足一比五的关系， 问你角 c、 o、 a 和角 b、 o、 c 的补角分别是多少？那第一个一比五，那就是说把角 b、 o、 a 分成五份儿，轻松求得每一份为十八度，所以那角 a、 o、 c 占其中的四份，从而它等于 七十二度啊。仔细一点，然后接下来问的不是角 b、 o、 c， 而是它的补角，审题观要过，所以先把角 b、 o、 c 求出来，也就是九十度的五分之一。好，那么就等于十八度，从而它的补角为一百六十二度。 在我们了解了垂线的定义之后呢，接下来我们就要学着画垂线，那么画垂线是首先要给一个前提，就是已经给你一条直线，你能否画出他垂线呢？所以我们有些基本画法，比如说给你一条直线之后，你怎么样利用手边的直尺和三角板解决问题？ 第一步，先要把你的直尺靠在直线上。第二步，将你的三角板移动，使得一条直角边靠在直尺上，也就是靠在直线上。第二步呢，沿着另 条直角边来画直线，那么这样画出来的就是他的垂线，所以基本步骤是一 落一放，二靠三画，这样三大步。那么这样的画法大家会发现没有任何限定，平面内，你过哪画都可以，所以可以画出无数条垂线，意思是任何一条直线，他有无数条垂线在同一平面内啊。 好，接着如果我加以限定，比如说我在直线上选了一个点点 a， 要求过点 a 来画 a 二的垂线，那我们再来重复这个步骤，第一啊，直尺落在 a 二上。 第二步呢，把这个三角板一边靠在直尺上。第三步，让他的另一边经过点 a 啊，我们在上侧学习过直线经过 a， 也就是点在直线上。好，然后再画出这条直线，然后大家发现你只能画出一条来。好，基本步骤，一放二靠，三移四画。倘若把这个点呢， 不是放在直线上，而是放在直线外呢？好，我们同样的操作，一直尺落在直线上，就是放在直线上，三角板的一边也放在与直尺啊靠拢，放在直线上。第二步， 好，使得他的另一条直角边经过点 a， 然后再画这条垂线。基本步骤一样的，那么这样大画垂，结果也只有 一条。那么通过这样画图的步骤说明什么呢？好，在统一平面内。好，这个呢，本章就要注意用语言的一个逻辑性和严谨性，在统一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 啊，这就是刚刚画那个图啊，这个语言表述跟大家生活语言嗯，不像，所以大家需要精准的去理解他在统一平面内过一点。根据我们刚刚画图，大家发现，如果没有那个点的话，你可以画出无数条垂线，就是由无数条直线与已知直线垂直。 但是如果给定一个点，不管这个点是在直线上还是在直线外，结果都只能画一条直线与已知直线垂直，所以才说有且仅有一条 直线与已知直线垂直。那么这个有表示存在，而只有呢？表示唯一存在且唯一。我们不是第一次遇到这个词了啊。好，这就是关于垂线的一个性质了。那么再接着我们来看一下， 在这种情况下，我们知道直线 a r 上有无数个点，我任意取点与点 a 连接起来，比如说 a b， 比如说 ac， 再比如说 ad， 以此类推，直线外一点和直线上的点如果连接形成线段，可以形成多少条？无数条，原因是直线上有无数个点。那么在这无数条形成了无数条线段中，有哪一条最短呢？ 大家看着我们画这条红色的 a d， 它是垂直于直线 a r 了， a d 是垂直于直线 a r 的。那么像 a d 这一条呢？它是一条垂线的一部分，它是过直线弯一点，一直到哪呢？到垂足地为止。像这样的一条线段，我们称为垂线段。 好，垂线段是垂线的一部分，是直线外一点到垂足之间的部分，他叫垂线段。 那么在所有这些线段中，我们发现，根据我们刚刚描述过，点 a， 尤其仅有一条直线与已知直线 l 垂直，也就是直线 a d， 从而垂线段也就是 a d 这一条。 所以那么根据这个图的对比， diet 可以直观地发现 a d 是最短的那一条。好。由此我们可以得到这样的一个结论，连接直 线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段几条，一条垂线段是最短的，我们就用五个字概括，垂线段最短， 所以大家今后在回想这样一个性质的时候，注意一下，垂线段就最短。五个字来源于这样一句啊，长长的语言表述，连接直线外一点与直线上所有点的线段中，垂线段最短。 好，这是经过一番比较得到的。而这条垂线段 ad 的长，我们也给他起个名字，叫做点 a 到直线 a 二的距离， 也就是点到直线的距离是垂线段的长，垂线段是条线段，垂线段的长 长是一个数量啊，垂线段的长是点到直线的距离。好，那么由此我们就可以解决实际问题，比如说我想把这条河中的水呢引到农田批处， 那么怎么样挖这个渠道会使得渠道最短呢？因为这条河水它是一条直线，所以那么相当于我要找点劈到这条直线的距离。点到直线的距离是垂线段的长度，所以过点劈向这条直线做垂线段 做法，我们刚刚讲了，一放二靠，三移四化。好理由，五个字，垂线段最短，这就是它的应用方式。好，那 么接下来我们看看大家这节课掌握情况。一、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中，能判定两条直线垂直的是两线四角，咱们可以画在旁边。 嗯，有两个角相等，我们知道两线四角中有对顶角，对顶角一定相等，所以第一个不能够带来 垂直，第二个有两对角相等，那么两线四角中有两对对顶角，所以它也不能带来垂直。任意的两线四角都满足啊，好，第三个呢，有三个角相等， 有三个角相等。来回发现啊，比如说我们举例子啊，任意举第一个角一，然后角二、角三，然后角一、角二、角三都相等，那么大家知道角一等于角三，这 这个是对零角相等，就不多说了。那角一如果等于角二呢？我们很清楚，角一和角二是零补角，然后他们俩又相等，说明什么？说明每一个都只能是九十度，那么只要有一个角为九十度，就说明这一定是垂直的，所以 c 是对的 好。那么 d 选项啊，本身两线四角模型中就有四对零补奖。注意回顾上节课内容， 好！第二小题，在如图所示的这个情况下，问你线段 a、 c、 线段 b、 c、 线段 c、 d 中最短的是哪一条？ 那么大家需要准确理解这三条线段的属性， c 相当于是直线 a、 b、 y 一点，那么 a、 d 和 b 是 c 与直线 a、 b 上三个点相连接， 那这连接中垂线段最短，所以非常明显， cd 才是那条垂线段，所以答案是 cd 好。那么同时我想问大家一个问题，在这个图上一共有多少条垂线段呢？ 哎，这个问题大家如果想清楚了，我相信垂线段的学习大家就已经完全拿下。那么在垂线段的理解中就要注意啊，随时转换你的思维方式。比如说像咱们刚刚说的， c 与直线 a、 b 的距离是 c、 d， 所以 c、 d 是垂线段。那我也可以这样理解， a 到直线 b、 c 的距离， a 到直线 b、 c 的距离是过点 a 向 b、 c 做垂线，是不是线段 a、 c 呀？所以 a、 c 也是垂线段，以此类推， b、 c 也是垂线段。那有同学就会说三条啊， 不对。还有比如说我也可以理解 a 到直线 c、 d， a 到直线 c、 d 的距离，是不是 a、 d 啊？所以 a、 d 也是那条垂线段， 同样的 b、 d 也是垂线段。所以事实上这个图上一共有五条垂线段，如果这个你能够想通了，那么垂线段的问题就解决了。 好，接着第三题，画垂线，过点劈向线段 a、 b 画引垂线。画垂线也叫引垂线，那么正确的是哪个？那么既然是引垂线，要经过它，我们说一落二靠三移四画，你移动的过程是要经过这个点啊。所以呢，答案选的是， 看一下，一个是向 a、 b 好，答案选的是 c 过点 p 向直线 a、 b 引垂线， 那么 d 为什么不选呢？大家注意啊， d 中这个 p、 o 他只画了垂线段这一部分，我们的垂线是直线，所以如果不严格区分，你经常我们画垂线段就够了。但是在要求是垂线的时候，你就要注意他是直线。 好，第四题，下列说法正确的。是啊，第一个线段 a、 b 线段 a、 b 叫做 b 到直线 a、 c 的距离吗？啊，很明显不是好。 b 线段 a、 b 的长叫做 a 到直线 a、 c 的距离吗？ a 在 a、 c 上， 更不用说 a 到直线 a、 c、 b 是错的。 c 线段 b、 d 的长叫做 d 到直线 b、 c 的距离吗？那我们看垂足落在 a、 c 上，那垂足在哪条直线上，是到哪条直线 距离？ c 错了 d 线段 b、 d 长叫做 b 到直线 a、 c 距离。好。根据刚刚这个描述，大家就明白了， d 是正确的。我们再来看第五题。好，如图，已知直线 a、 b 和 c、 d 交于点 o 还给了另外条射线 o、 e。 如果角一等于三十五度，角二等于五十五度，问我们 o e 和 a b 的位置关系， 那么两条线的位置关系到今天我们学习的主要是相交以及相交中的特殊情况，垂直，所以相信大家一眼可以判断出来应该是垂直，那么我们就要看这个角是不是直角了， 我们给了角一和角二，所以大家可以直接拿一百八十度减去角一，角二，轻松算得角三等于九十度，所以他们是垂 垂直的。好，今天呢，我们学习了概念有点多，比如说第一个垂线的定义， 同时要注意里边的表述方法，比如说多出了谁是谁的垂， a， b 是 c、 d 的垂线，比如说垂足好，另外还有符号表达垂直于 好。第二个呢，涉及到垂线的画法经过某个点画和不经过某个点画法的区别。好，第三个是垂线的性质有两条，第一条呢，是啊，过一点，在同一平面内啊，过一点，尤其仅有一条直线与已知直线垂直来表达存在性和唯一性。 第二个呢，是垂线段最短这五个字好，同时又给出一个点到直线的距离这样一个概念。好，今天内容到此为止，咱们下节课再见。
119快乐的园丁
07:45查看AI文稿AI文稿上个视频介绍了和原相关的基本概念，其中对圆的半径都相等，这以废话式的结论做了新的定位，任意两条半径可以引出等腰三角形。 怎样三角形有很多重要结论，这些结论在圆的世界里又能绽放出什么光芒呢？一起来学习一下吧！圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴，比如把圆这样对折，或者这样对折，相应的两部分都会重合。 在元欧上取两点 ab， 那三角形 oab 就是等幺三角形，也是轴对称图形，所以现在得到的整个图形就是轴对称图形。 对称轴是这样一条直线 l 把整个图也 l 对折一下，看，两边果然重合 锁了 l 被圆锁结的部分 d， e 是圆的尺寸， l 被三角形 oa b 所结的部分， oc 则是三角形 oa b 底边上的膏。 说到短腰三角形，底边上的高能明显到什么呢？答案是三线合一这个神奇的结论。根据三线合一， oc 平分 ab， 也就是 ac 等于 bc。 现在把眼光放到整个原理，刚才的结论就可以变成，若直径第一垂直于写 ab， 则直径第一就平分写 ab 其实有类生性，还可以知道，活 a， d 等于壶 bd， 活 ae 等于壶 be， 因此直径第一还平分两条壶活 ab 和壶 adb。 把这些结论总结一下，就 就是垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。所谓垂径，就是垂直于弦的直径。看相向合一这一无比熟悉的结论，就这样在圆的世界里重获新生了。 现在换个方向看，在原欧中，直线 ab 垂直弦 cd， 下面哪个结论是错的呢？ 答案，选 b， acd 就是垂进定理。注意， b 虽然从图上看着很像，但这个图稍微变一下就能看出问题了。 在实际做题时，垂禁令里还有另一种样子，在于 o 中 o c 垂直 ab， 根据垂禁令里有 ac 等于 bc。 说到这会有人疑惑了，这里 连个直径都没有，哪来的垂经定理啊？所以这里的 oc 经过圆心 o， 他就起到了和直径同样的作用。 事实上， oc 还有自己的名字，他代表圆心到弦 ab 的距离，因此被称为弦心句，只要有弦心句，一样可以使用垂径定理。 现在你应该已经对垂经丁里无比熟悉了，那垂经丁里反过来说行不行呢？平分弦的直径是否一定垂直弦？ 答案，选 b。 看下图，原欧的两条直径 ab， cd 互相评分。换个说法，直径 cd 平分写 ab， 但他并不垂直于写 ab， 因此评分写的直径不一定垂直。写怎么样？是不是 被这个图惊呆了？因此要把垂经定理反过来说，得加一点限制条件，平分险的直径垂直于斜，并且平分斜所对的两条弧。哎，注意括号里的三个字，非止境。这就是垂经定理的推论。 垂进定理本质上就是三线合一，因此垂进定理的某些用法和三线合一是完全一样的。比如下面这个题，如图，三角形 ocd 为等腰三角形底边 cd 交于欧于 ab 两点。求证， ac 等于 bd。 这个图看上去结构简单，条件也清晰明了，想来不会是什么难题。要证明 ac 等于 bd， 相信有不少小伙伴有这样一种冲动，连接 oa ob， 证明三角形 oac 选等于三角形 obd， 这种做法非常非常棒，但是还有更简单的做法，那是什么呢？ a 就是垂青定理，在这个处理， ab 是原物的斜。垂青定理呢，说的是垂直于弦的直径，平分治疗斜，所以要用垂青定理，就得先有垂直于弦的直径，对于这道题来说，就是垂直于斜 ab 的直径， 但是在实际做题时，并不用真的做直径。还记得写信句吗？他起到和直径同样的作用，因此做写信句就可以了， 也就是做 oe。 垂直 ab 于一。根据垂进定理， ae 等于 b， e。 除此之外，还有什么结论呢？最大三角形 ocd 是等腰三角形，所以 bc 和 ed 也相等。有了 a 等于 b， e， c， e 等于 d， e 两个式子一相减，就得到 a， c 等于 b d 了。 这种写法用到了垂经定理，为此做出了闲心趣 oe 这一关键线段，凡是和闲有关的问题，都可以考虑做闲心趣求解。 再告诉大家一个小秘密，这个题的原型就是下面这个题，大家对比一下是不是非常像。其实刚刚这个题只是用圆 o 代替了 oa 等于 ob 而已，所以两题的结法也是如出一辙。 如此说来，垂心定理岂不就是三线合一的翻版，毫无心意了？ no no no！ 垂心定理在使用时是有其独到之处的，其中的关切就是闲心去。看完这个例子你就 就明白了。如图， ab 是原物的直径， cd 是斜 ab 垂直 cd 与点 e。 若 ab 等于十， oe 等于三，求 cd 的长。 题目中出现了 ab 垂直 cd， 那根据垂进定理， ce 等于 d， e 等于二分之一 cd 要求 cd 的长，只要求出 ce 或 d e 就可以了。 c e 或定义又怎么求呢？题目给了 o e 等于三，这就是闲心剧吗？ o e、 c e 和 o c 恰好组成的一个直角三角形，如果知道 o c 的长度，就可以求出 c e 了。 o c 就是半径。题目上说， a b 等于十，也就是十，径等于十，因此半径就是五， 也就是 o c 等于五，那这样一来， c e 就等于四了，因此 c d 等于两倍， c e 等于八。一起来看一下解题过程。 在写这道题时，用到了直角三角形 o c e， 它的三条边都很独特， o c 是半径， o e 是弦心句， c e 是弦， c d 的一半，它被称为半弦长。 事实上，对于任一条非直径的，写半径，写新剧半弦长都可以组成直角三角形。这样的直角三角形就是解决与弦长有关的黄金三角形。 凡是设计到嫌长时，都可以考虑做出黄金三角形。利用勾股定理解决问题。说大事 经定理和他的基本应用方法已经介绍完了，大家可以看图再回顾一下，相信很多小伙伴肯定还不过瘾，没有关系，下个视频将继续介绍垂经定理的高级应用，快来学习吧！
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02:04查看AI文稿AI文稿立体几何当中啊，空间距离，最主要的还是这个点面具，也就是垂线段的长度，而垂线段通常考试题里面不太好做。那么这个视频呢，我们讲三个思路，一定要点赞收藏起来。思路一，直接法，也叫垂面法，我们过屁去做一个平面北毯 垂直啊法，若两面的交线是 l p 像 l 引垂线 po， 就是点面具了。那实际考试题呢，往往是底面上有一条线 ac 啊垂直，这个垂面就如上一个视频讲的一样。那么第二个思路呢，是间接法，也叫等体积法。那怎么等体积呢？第一， 轮换顶点，同一个三龙锥，可以把 p 当顶点，也可以把 c 当顶点。 pabc 的体积跟 cpab 的体积是相当的，选谁为顶点，主要是依据这个点到面的距离好算啊。那比如说 p ac 和 pab 是垂直的，第二个呢，是替换顶点，假如说有一条直线是平行于底面 abc 的，而且 p 在这条线上，那么我们把 p 点挪到 q 点位置，这个体积是一样的， 那么 q 到底面的距离也是 p 到底面的距离，所以 p abc 的体积跟 qabc 的体积相当。 第三是背缩，因为椎体的体积是三分之一倍的，底面就乘以高，所以所谓的背缩，也就是我们改变它的高，或者改变它的底面。比如说 ap 的重点是 m， 那么 pabc 的体积就是 mabc 体积的二倍。 再比如说，原来题目问的是一个四龙锥的膏，那么把四龙锥体积写成一个三龙锥体积的多少倍，这是改变了一个底面，只要你能算体积，接下来就可以用等体积法去算这个三龙锥的高，也就是点名。 第三个思路就是空间向量法，只要能间隙写坐标，那么我们套用这个公式就可以算点面具，这个公式呢实际上就是 ap 项量 在发现的方向上的一个投影的绝对值，这就是我们求点面具的三个思路。这些思路也可以用在线面距面面距一面之间的距离以及线面角，有不懂的地方我们评论区见。
1862河北石家庄高中数学刘老师
05:39查看AI文稿AI文稿吉吉乐乐，今天我们去爬山吧。爬山好呀，我最喜欢爬山了。我也喜欢爬山，山上可以看到好多漂亮的风景。 咦，老师，那是什么呀？好像很好玩的样子 啊。那个呀，那是缆车，乘坐缆车上山可以节约更多时间和力气，而且在缆车上视野开阔，可以看到更好看的风景哦。 既然说到缆车，那我考考你们，你们仔细观察一下，然后告诉我缆车的移动有些什么规律好不好啊？好啊，我先说 缆车移动的时候，形状大小都不变，只有位置变了，对吧？老师，不错，你说的很对，琪琪，你有发现了什么规律吗？ 这些缆车都是沿着一条直线运动。 嗯，没错，其实缆车的移动可以看成是平移，平移就是物体沿某个方向移动一定距离的过程，而且平移只改变物体位置，不改变物体的形状和大小。 通过刚才我们知道了，缆车的移动是一个平移的过程。其实我们生活中还有很多平移 的例子，比如电梯的移动，传送带上物体的移动等等。那么我们怎么在纸上画出物体平移后的位置呢？ 首先我们来看一下这个图，小船是怎么从位置 a 移动到位置 b 的呢？我们可以说小船从位置 a 向右平移五个单位到位置 b， 大家看是不是这样啊？ 是的，老师，那反过来是不是可以说小船从位置 b 向左平移五个单位到位置 a 呢？ 哇，琪琪真聪明，说的没错，那么你们来看看这个，这个小船又是怎么移动的呢？ 老师，这不是很简单吗？向右下平移，嗯，老师，这是平移了几个单位啊？ 哈哈，我们一般不直接说向右下平移了几个单位，而是说向右平移了五个单位，然后再向下平移了两个单位，对不对？琪琪， 对呀，我怎么没有想到，那琪琪以后可要想得到哦。 嗯，老师，我记住了，很好，那我们接着来看。这是之前那个题，如果我擦掉位置 b 上的小船，你们能根据小船 a 向右移动五格再把它画出来吗？ 老师，这怎么画呀？哈哈，其实很简单，你们看，首先我们可以在位置 a 的小船上找一个点，然后把这个点向右移动五个单位， 最后根据这个点对照着将小船补全就好了。 这个小船是不是和我们之前擦掉的那个一样，这么简单呀，老师，我也会了， 那你们来画一画这面小旗向左移动四格之后的图形吧。 咦，琪琪，乐乐，你们画的怎么不一样啊？他们谁画对了呢？琪琪画的小琪不是只移动了一格吗？琪琪肯定画错了， 我是按老师的方法画的呀，没有画错吧？琪琪，确实没有画错，乐乐，是你错了，我们一起来看，先找一个点，然后向右移动四格，最后补全小旗，你们看 和谁画的一样啊？和琪琪画的一样，老师，我画错了。乐乐画的其实也很好，但是有一点需要注意，画物体的平移一定不能只关注他们中间的间隔，以后只要再仔细一点就好了。 同学们，你们学会了怎么描述物体的平移和画物体平移后的图形了吗？今天我们就到这里了，下次再见吧，拜拜。
