傅里叶级数a0是什么
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02:24查看AI文稿AI文稿高中就学过两个垂直项链相乘结果为零，反过来也一样。项链相乘有一个更高级的叫法，内基。而数学里的垂直被称作正交，也就是两项的内基为零。就正交这三个项量两两内基为零 和自己内机却不为零。这样的项链，我们称他为这个空间的一组正交机。 数学上项链空间可以增加到很多，为对应这么多个鸡，两个五为项链，各项相乘再相加， 结果为零。我们就说他们正交两个无限为项链，内机也为零，所以他们也正交。 无限为项链是什么呢？其实就是连续函数。和项链一样，连续函数的内机仍是函数上的无数个点分别相乘后再相加的和 可以用积分符号简洁的描述两个函数的内机。这就有意思了。不是说正交是数学上的垂直吗？假如两个函数内机为零，他们就正交，也就是垂直了。 当然这是个玩笑，在数学上垂直并没有什么意义，重点是正交的性质。回到复列级数，看看这些赛科赛和常数项，很巧取任何一项，他们和除自己外的其余项内基都为零。比如 cosenomekt 和 cosen2omekt 带入内机公式结果为零， 寇森有 mct 和三十三有 mct 的，结果也为零，其他同理。但 cosa 有 migt 和他自己的内机，结果却不为零，这说明什么呢？ 说明三科三和一正是这个数学空间里的一组正交机，这个性质可以用来求正交机的系数。比如要求 a 一就让 ft 和 coceo 米卡 t 做内机，除了 coceomegt 项，其他项内机全为零，因此全部就被削掉了 co 三 l 米盖 t 和自己做内机，结果为 piomega。 这就是 a 一的公式来源。通常为了方便，会直接写成周期的形式。同理，算 a 二就用 fx 和接函数扣三二欧米格 t 内机，算 b 一就用 fx 与接函数三 lmixt。 内机要算长处，像 a 零就和一做内机 事变所有项就能分解出所有系数。用正交际的内机性质干掉其他项，留下自己人。这个逻辑正是复列变换的核心。在数学上，为了计算方便，复列极速公式通常会写成这种复指数形式。
1049橙子熊猫
14:07查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是考研数学冰冰老师，我们今天给大家讲解数学一专题当中的复列级数。首先复列级数呢，我们需要掌握它的展开表达式，系数公式以及它的性质，那么掌握这些之后呢，我们将相应的习题带大家把它训练一下。 那么首先第一大家需要先掌握副列展开的级数形式，这个数一的同学需要背过啊，为二分之 a 零，加上 a n 和 b n， 分别乘以扣三印和三印 a l 分之 n p x。 要注意一个细节，就是这里的 n 是从一开始，不是从零开始，把这个记住之后，那么这个背景实际上是在给我们讲解啊，函数在指定的对称区 间下可以展开成副列级数，那么这个对称区间呢？实际上他有一个要求，就是他是以二 l 为周期，所以这里面我们还需要掌握的细节就是第二点，周期一定是二倍的 l， 然后他的 x 的范围一定是对称区间的负 l 到正 l。 当然有些题目可能会在这个地方给我们一半的区间，比方说他只给我们这个零到 l 或者是负 l 到零啊，那么在给定一半的情况下，我们可以做相应的延拓。 好，这是第一点，就是我们需要掌握副列啊，函数它对应的展开以及内部周期和区间的要求。那么第二大块就是第三点，我们需要把副列当中展开的这个系数公式 a 零， a n 和 b n 要把它背过这个里面，首先呢，他们都是以 l 啊为对应的这个区间边界啊，那么此时公式为 l 分之一呃，区间的这个下线到上线都是一样的，都是负 l 到正 l， 然后只不过函数呢， a n 在这个量成的是 q， 三 l 分之 m x， 然后 b n 成的是三 l 分之 m x。 所以大家会发现啊，考察复列，其实还考察了一点，就是定计分的简化求解。 那么综上所述，我们在周期为二 l 的啊，对称区间，负 l 到正 l 上，函数展成负列级数，形入二分之 a 零，加上 an 和 bn， 分别乘以 q 三以和三 l 分之 n， p x， 这个 l 随便取。 我们在不同的题目当中，大家会发现，他有时候 al 曲定值一或二，有时候 al 曲派啊，这个其实都是有可能的，我们只需将展开多项式和他的 a 零， a n 和 b n 系数记住即可。好，这是他的第一块考点， 那么第二个考点就是对于副列，我们能够把这个系数记住之后，那么它内部里面这个函数 fx 其实也有基友性的要求。你比方说我们在这个地方，函数啊，如果对应的是一个基函数 或者函数为偶函数，那么此时在整个函数背景下啊，我们其实能够将 a 零， a n 和 b n 做进一步的化解啊。那么比方说，我们现在在这儿哈， f 就是一个积函数。以这个为例吧，大家会发现，第一 a 零，这 这个地方，利用藕被积零，它就直接等于零，然后 a n， o 利用藕被积零，积函数乘偶函数还是积函数，它也为零。所以此时 b n 呢，可以直接转化成 a o 分之二，零到 l 下的 f 乘以三 a o 分之 n， p x 的积分。 那么同样的，如果 f 为偶函数，那么此时在这相当于 bn 等于零，那么 an 和 a 零在这我们只需要转为二倍的零到 l 下的积分即可， 所以这个里面其实针对我们原本的系数，可以进一步的以 f 有机有性来进行系数的化解。 好，另外我们接下来在这个副列展开过程当中，他还有考点，就是对应的这个既有性和政弦于弦的背景，哎，又相当于我们屏幕前的这第二大， 那么这里面正弦和于谦级数是这样的啊。我们首先呢先回顾一下函数 fx 的副列展开，那么大家把它记一下，为二分之 a 零对不对？再加连加下的 n 从一到无穷里面是 an 乘以 q 三 l 分之 n pax， 然后再加上 b n 乘以三 l 分之 n p x。 好，这个地方刚才我们讲了啊，我们现在假设就以 f 为积函数，刚才边界已经说过了啊，积函数时， a 零和 an 系数均为零，所以此时我们只剩这个 b n 系数， 也就相当于这个情况下，我们的化解就只剩 bn 类的正弦级数，所以这个地方我们需要重点掌握啊，也就是说函数为积函数时，他一定可以展开为正弦 技术啊，展开为正线技术，那么这个里面的 a 零和 a n 均为零。 同理，如果 f 为偶函数，那么此时就相当于 b n 为零， b n 为零，我们待到后面的话，那么这个整个级数里面就只剩 cosine 了，那么 cosine 这个地方就叫余弦级数，大家一定要注意，这个是一一对应的，也就是说 g 函数对应正弦级数， 余函这个偶函数对应余弦即数，那么他们的系数里面也有简化，求解啊。积函数时 a 零 a n 均为零，偶函数时 b n 为零， 也就相当于在计算过程当中有具有性的情况下，我们可以避免一些系数的再次运算。好考点三就是迪丽克雷收敛定理，这个收敛定理啊，其实 本质上就是在考察点的运算，所以我们在这呢不需要把原本的级数他的前提性质去掌握。你像屏幕前这个连续啊，有有限个第一类间断啊，或者有有限个极值点，这些其实都不是考点， 考点在最后就是当我们函数内部为连续点时，这个副列的和跟原函数的值是一样的。 当我函数为第一类间断时，那么复利页的和函数跟函数之间的关系为，在该点处的右极线和左极线 啊，他们合的二分之一就该点啊。左右极限合到二分之一，当 x 值取在区间端点的时候，那么他为左端点的右极线和右端点的左极线合到二分之一。那么我 我们能掌握以下三大块就可以了啊。回顾一下，第一块就是副列展开啊，它的公式是什么样的？它的 a 零 a n b n 的求解是什么样的？那么里面周期为二 l， 那么区间为负 l 到正 l 即可。 第二大块，如果 f 为积函数，一定对应余弦即数。呃，说错了，正弦即数，那么在正弦即数的情况下，也就有了 a 零 an 在这得零。同理，如果 f 是偶函数，那么此时一定是余弦即数，那么 bn 系数为零。 最后，如果副列在某些特殊点处，我们需要求解他的这个函数和的值的时候，他如果是连续点，就跟函数值一样啊，如果是第一类间断，就是左右极限的二分之一啊。如果是区间端点，无论是 左端点还是右端点，就是左端点的右极线和右端点左极线合二分之一，掌握这三点，副列这块我们就全部掌握了。好，那么接下来呢，请大家看我们屏幕前的这个利益 啊，假设利益在这个地方呢，我们需要掌握的是它的系数，我们可以看到啊。呃，那么第一点，在这就是函数给定的区间是副派到派，那么这个里面我们马上可以反映出 l 就是派，对吧，那么周期在这是不就是二派 清楚了啊。好，现在呢，他告诉我们副列展开，这本来就是我们背的 a 零 a n 和 b n， 让我们求解系数 b 三，那么请大家先给我背诵系数 b n 的公式是谁来着？是 l 分之一，负 l 到正 l 对不对？然后里面是函数 f x 乘以三以下的 l 分之 n 派 x d x， 当然这个题目的 l 为派，所以此时在这个题目当中，根据定义也就为派分之一，然后是副派到派， 然后里面函数为 f x， 三以 l 为派，派和派消掉，里面就剩三以 n x， 然后整个 d x 为他。那么这个里面接下来呢，我们题目想求 b 三，也就相当于把这个 n 复制为谁啊？ 复制为三即可。所以最终这个题目当中啊，这个 b 三就为派分之一，副牌道派 f 乘以三三 x d x， 我们正常运算即可。所以这个实际上就是考察大家 a 零 anbn 的系数。求解，你像这个题，我们完全也可以考察 a 零或者 a 二或者 a 五等等， 这个都可以。好，我们接下来看例二。例二，它首先告诉我们，函数是以周期为二的，那么这个 t 就为二啊，周期函数，并且它在区间负 l 到正 l 呢， l 在这正好就为一。 那么定义函数呢，是一个分段函数，大家会发现啊，这个零点在这是一个间断点啊，而且是一个跳跃间断，对吧？它是则 f 的复利页，级数在 x 零一处收敛，为谁？ 哎，那这个题目当中，我们可以考察三点啊。第一，这个题研究的实际上就是 s 一，那么 s 一这个一点，大家回顾今天我们所学的，他其实是区间端点，区间端点按照公式不就是二分之一左端点的右极限加上 右端点的左极限吗？大家想对不对？所以在这事实上，他也就等于二分之，该题当中负一，这的呃，右极限为二一这边的极限啊，在这个点，我们直接把这个一给他带进去，是不是直接就是一的三次方，也就是一， 最终就为二分之三。那么其实这道题啊，大家想一想，我完全也可以考谁啊？ s 零 s 零是不是就间断点？我们今天也把它练一下，它可以写成谁？ 二分之一， f 在零点处的左极限加 f 在零点处的右极限，原因是因为零点是我的 嗯，间断点，那么这样我们将极限带进去，零点出的左极限为二，零点出的右极限为零，所以最终为一。当然这道题也可以 随意考察，比方说我让你求 s 二分之一，二分之一在整个区间内是一个连续点，连续点根据定义它就等于 f 二分之一，所以代入它就为零。 所以希望大家通过这一道题啊，把这个可能去考察的特殊点的值，我们能够掌握公式，那就够了，复列这个题目当中，我们掌握它即可。 好，接下来我们再看丽三，丽三，同样的大家会发现啊，你看这个里面，我们在函数背景下的这个 f 给的又是一个这个分段点为二分之一的这样一个分段函数， 那么其中呢？ sx 打卡， sx 的副列系数为 a 零 an， 但是没有 bn， 相当于这是一个什么级数啊？余弦级数，好，同志们，余弦级数马上推。 函数应该是什么函数？应该是偶函数，这是我今天讲过的哦，就相当于现在这个函数应该具偶函数性。但是现在啊，我们只给了零到一半个区间， 因为我说了，负 l 到正 l 嘛，他肯定是一个对称区间啊，现在这半个区间，那就相当于在整个区间下，我必须是一个偶函数。 好，其中 a n 来划重点，二倍的零到一来这个地方有一个区间叫做零到一。正常我们背的公式是谁？是负 l 倒乘 l， 现在零到 l 不就意味着 l 等于一吗？那也就是说周期字等于几啊？二啊， 现在让我们求 s 负二分之五。哎，那这我们就要想了啊，负二分之五在这个题目当中并不在这个零到一区间范围内，所以我们可以 首先根据周期为二来进行化减吧，这样相当于让负的二分之五在这直接加个二，对吧。好啦，此时在这也就是 s 负的二分之一。 s 负二分之一是不是在它的对称区间内，又因为函数是一个什么函数，又因为是一个偶函数啊，偶函数，所以它就等于 s 二分之一， 对吗？好了， s 二分之一，那么看原体，原体二分之一点是什么？是间断点啊？ 断点来背，我们上一个题就背过公式了，断点的背景为多少来着？二分之 f 在二分之一处的左极限和 f 在二分之一的右极限，是这样吗？好，那么该题我们就可以直接往里代入了，也就是二分之一 f 在二分之一对应的它的这个左极限位置，那将它带进去是不是就是二分之一？好，二分之一右侧极限往里带入，这个点是不是最终就为一 啊？这样我们最终也可以求出他相应的结果为，呃对应的四分之三。所以这个题目当中呢，我们要充分掌握周期性以及他的区间边界啊，还有函数基友的反向判定。希望大家能够把副列里面的公式 系数啊，尤其是系数公式以及副列点的求解，还有基偶性质与政，弦与弦级数之间的关系。那么我想大家把这块掌握住，那这个副列在这一块我们的考察就基本问题不大了，希望大家能够掌握清楚。
302考研数学冰冰老师
09:29查看AI文稿AI文稿书接上回啊，上回讲到了护理液变换的食欲到频率分析的作用和他超强的拆家本领。这期呢，我将从护理液级数的起源讲起，在一点一点的把其中的原理扒开，让曾经难倒很多人的内容稍微变得可爱一点。护理液在研究固体热传导的时候呢，提出了护理液级数的出行。 假如我有一根长为 l 的固体棒，以这个棒的一端呢作为原点建立坐标系啊，横轴是位置，重轴呢是温度。假如我在棒的中间的位置加热，加热后的棒呢，肯定是中间的温度高，两边的温度低， 随着时间的流逝呢，温度会向原来低温的地方扩散啊，那这个温度函数应该是一个关于位置和时间的二元函数 uxt， 如果你要求这个 uxt 出来啊，你就得把这个方程给截出来。这是一个偏微分方程， ut 呢是温度随时间的变化率， ss 是温度属于位置分布的二界偏倒，那他们呢，就构成了这样的等量关系啊。这里的意思呢是在半的两端的温度为零，也就是绝热的，这个是时间为零，也就是刚加热完瞬间温度的分布函数。 第一条呢是偏微分方程的本体，后面的这两条呢就是这个方程的边界条件。偏微分方程啊，其实和我们以前学方程的目的是一样的，一样都是利用等量关系，然后呢去求的我们想要的东西而已。 大名鼎鼎的薛定二方程就是一个二阶偏微分方程啊，求解之后呢，就可以得到波函数了。负离页采取了分离变量法，他把刚刚的 uxt 分成两部分相乘啊，关于 x 的函数，一个呢，是关于 t 的函数， 纠结之后呢，得到了初始的温度函数，是这样的， c c 二， c 三啊，这些呢，都是常数。其实啊，这就是一个负离页级数的特例，初始的温度函数呢，就相当于被 分解为无穷多个三角函数的相加了。其实，把一个函数分解成三角函数相加，这个想法并不是复礼页的首创啊，早在他之前呢，数学界已经有了对函数进行三角级数展开的讨论，但是一直没能够把这个理论系统化和一般化。 而妇女业呢，正是做了前任未能完成的事情，当然，这其中也有迪丽克雷的功劳。后面会讲，分解成三角函数有用吗？如果能够把函数分解成一堆三角函数相加，好处是非常明显的，这其实也是一种化繁为简的思想的体现啊。 如果一个复杂的函数分解成了三角激素，那就意味着一些复杂的运动或者过程都可以看成无数个。这种简洁震动的叠加啊，这不就可以从无序到有序了吗？为什么这样分解？这是负离页激素的三角激素形式啊，这里的 a 零， aeaib 一， b 二，这些啊，都是常数，一个数 乘以一个东西再加起来啊，这不就是线性叠加吗？对于分解和线性叠加，你们想到了什么呀？对了，项链，我之前的视频讲过，项链你可以把它按平行四边形法则啊，像这样把它分解了， a 项链呢，可以分解成 b 项链和 c 项量的相加。如果项链再长一点啊， 只需要在 b 项量和 c 项量前面成个数就行了，像这样这样分解虽然可以啊，但是分解完之后的量相互之间呢，还是存在着投影。 a 项量换个方向之后计算也不方便， 因为按平行四边形来分的话，对称性并不好，所以我们一般都会把它分解为相互垂直的两个项链，像这样分解之后的项链呢，就不会相互打扰了。 i 相量和追相量叫做正交基，就是相互正交的基底，这一对基底呢，就构成了一个相量空间，假如这个空间里有一个这样的项量，他在 i 方向的投影呢，是两个 i 在 j 方向的投影了，为三个 j， 那这个项链就可以表示为二哎，加三 j 了。回想我们以前学过的平炮运动啊，对速度的研究呢，其实就是正教分解的，分解为水平方向和垂直方向，水平方向可以看成是匀速直线，而竖直方向呢，就是自由落体运动， 这样复杂的运动分析啊，就大大的简化了。哎，如果函数也有这样的正教特性，不就完美了吗？如果有两个项链，我用坐标表示为 m 项量是三四， n 项量呢，是四负三，他们是相互垂直的，我们发现了他们的坐标三乘以四加上四乘以负三是等于零的，这个操作呢，我们就称之为内机， 内计为零，那他们就正交了。这样呢，我们就把垂直这个几何的事情啊，用代数形式表达了出来，到了高维空间，我们无法想象他正交的几何意义的时候啊，代数意义呢，其实也还是成， 例如有两个 n 为项链， f 项量和车项量，如果他们是正交的，那么就会有这样的结论， f 一乘以距一加上 f 二乘以距二，加上 f 三乘以距三，一直加加加加到 f n 乘以距 n 呢，它是等于零的，就相当于是在高位空间的垂直啊。好，那重点来了，现在这两个项链的坐标呢，都是分散的数，一个一个的点， 如果这些分散的数变成连续变化的数，那这些数连起来不就是一个函数了吗？据项量也是同理啊， 那刚刚的坐标相乘就可以直接写成了 fx 乘以 gx 了，而相加的动作不就是求定积分了，那刚刚的项链内积就变成了函数的内积了，就是这个积分的形式。如果这个积分等于零， 那就可以说 fx 和 gx 呢，在区间 ab 之间呢，是正交的，也可以这样表示。函数的正交有什么用呢啊，用处很大啊。如果我有一组两 两正交的函数，这些函数呢，作为基底，就可以构成一个抽象的函数空间了。在这个空间里的函数就可以看成是由各个基底上的投影构成的。例如函数 hx， 在 q 站二 x 基底上的投影为二， 在三五 x 的基底上的投影为三，在其他的基底投影呢，为零，就不写了，但这个投影改变的不是他的长度，而是正负。那这个 h s 呢，我们就可以写成二扣三二 x 加上三三五 x。 那负离页级数里的三角函数是正交的吗？我们不妨先在图像上看一下相互垂直的函数是怎样的， 例如绿色这个呢是扣三 x， 红色这个呢是三三 x， 他们是相互正交感，他们成起来之后呢，是这个样子，对他们的成绩求积分，实际上呢，就是求他和 x 轴为成的面积，上面为正，下面为负，那么这个积分可以很明显的看出来是零，所以呢，这两个函数啊， 就是正焦矮。我们看一下，这一堆都是负离页级数里面的三角函数啊，这里呢，都是 x 的整数倍，例如二 x， 三 x， 四 x 等等啊， 而这个一呢，其实是扣三的零 x， 三的零 x 呢，等于零，做不了基底就不写出来了。这三角函数的周期呢，是二拍，二分之二拍，三分之二拍等等等等，他们相加之后啊，总函数的周期呢，是这些周期的最小公倍数，也就是二拍负离页级数初步呢，是针对二拍周期的函数的啊， 过熟练之后呢，我们可以针对其他的周期以及非周期的，为了计算方便，这里取其中一个周期复派到派来计算他们是不是正交的，通过计算可以很容易得到，只有自己和自己内机才不为零。例如扣上三 s 和扣上三 s 内机呢，是派， 三眼八 s 和三眼八 s 的内机呢，也是派。而当然一和一内机呢，是二派其他的，如果他们不是自己和自己内机，例如扣上 rx 跟扣上三 x 啊，或者说扣上 x 跟上 x 这种积分呢，全都是零。所以负离页级数里面的三角函数啊，都是相互正交的，是可以作为函数空间的基底的。 呃，具体怎么分解？如何展开得到负离页急速？大家来看一下。负离页急速的三角急速行驶，我们要把一个已知函数分解成负离页急速，其实呢，就是把这些系数给求出来，这里我们用到了一个数学上的小技巧，刚不是说只有自己和自己内机才不为零吗？其他的内机都是零。 如果我想要求 an， 我只需要在负离页式子的左右两边同时乘以一个扣上 nx， 然后呢再同时两边求 积分。那么像这些积分呢，除了自己跟自己的内迹象，其他象呢，都变成了零，这个积分呢，就只剩下 an 象，把 an 提到前面来，再把刚刚的计算结果带进去，就是 an 乘以派 在一下下，我们就得到了 a n 的求解共识，同样的操作啊，也可以得到 b n 的求解共识。最后呢求 a 零相，由于 a 零相的记啊是一，所以根据上面的操作两边乘以一，然后呢再去积分， 这样呢，我们就可以把其他不是一的下来都相为零了，剩下的就只有这个式子。那么把二分之 a 零提到前面来啊，再把结果带进去，我们就得到了二分之 a 零乘以二排是等于左边这个积分的。再整理一下，就得到了 a 零的求解攻势。 说一下，前面这里为什么要写成二分之 a 零呢？就是为了后面的求解公式跟前面的 anbn 的公式的形式一致而已，没有别的意思啊。至此呢，我们就掌握了一个把周期为二派的函数展开成负离页极速的技能。掌握了这个技能，我们又是如何可以从食欲到频率的呢？举个简单 的例子啊，如果有一个食欲信号 ft 展开为护理液级数呢，是一加上 t 加扣上 t 再加扣上二 t 的。这里呢，既有正弦又有鱼弦，画频谱图不好画，所以说我们要把这个式子啊，画成正弦形式或者是鱼弦形式啊，用辅助角攻势就可以了。 这个呢就是我们画的的结果，其实正形跟于弦啊，波形都一样的，只是有香味差而已。我们来画一个坐标啊，横坐标呢是角平率，重坐标呢是正符角平率啊，主要是看 t 前面的系数啊。 这个长竖向的角平率呢是零，高度为一。这一项的角平率呢是一，高度为跟头二，而这项的角平率为二，高度为一。 这里有一个向位的信息啊，所以我们还得换一个向位图。我们从式子可以得到啊，角频率为一的时候，他的向位的信息呢，是负的四分之派。 至此呢，这个 ft 的函数的评估图就大功告成，我们就顺利的从食欲到频率了。负离页极速还有哪些限制？非二派周期或者非周期函数能展开吗？负离页极速的指数形式又是如何的？他和负离页变化，拉布拉斯变化有什么关系呢？我们下期分解。
6815有趣的理工男
06:13查看AI文稿AI文稿这个视频，我将快速从声音的压缩到图像的压缩，再进行视频的信号表示来展示二百多年前的复利业算法是如何深入我们生活的。 第一个问题，如何从原始录音生成 mp 三文件。早在一八二年，约瑟夫复利业就提出了相关的数学原理。而到了一九六五年，詹姆斯库里和约翰途径进一步开发出了一个高效的计算机算法。 该算法能够分析如声音这样的信号，并计算出复制该信号所需的正弦波的正符。此算法被称为离散复利变换。尽管很多学者为其做出贡献，但算法的命名主要源自主要发明者。 如果你真要将一个复杂信号完全分解为正弦波，理论上你需要巨量的信息和数据来存储。因为完整的复制一个信号需要众多的正弦波。 但实际操作中，我们只需用有限数量的正弦波进行近似。例如，当我轻声说话时，你听不到高频部分。从数学角度看，高频的正弦波正幅接近零。 因此，在录制低音声音时，只需记录低频部分。相对的，如果声音只包含高频，比如帕瓦罗蒂踢到脚趾发出的声音，那就完全相反了。制作 np 三时，通常先将长音频或讲话内容切分为短针，再对美针应用复利页变换。 mp 三的核心思想是仅保留每帧中正幅最大的部分正弦波。大多数情况下，这种处理是可行的。这也是为何 mp 三被称为有损压缩格式，会有部分必要的正弦波丢失，因此存储的音频与原始音频会有些许差异。若你追求高音， 这种差异会显著，但对于日常应用有损。压缩的效果已经足够。记住这些概念，接下来，我们换个角度看待声音。屏幕顶端将表示频率水平方向，则展示对应的正符。这是一个只有一个频率的纯正弦波。 要展示它，我们画一个曲线，在该频率处有峰值，其他位置都是零。若声音有两个正弦波组成，且一个正符是另一个的两倍，对应的频率处会有一个大风和一个小风。我还为你播放了一个含有一百个正弦波的声音。 事实上，组成这段声音的部分播频率非常接近，这意味着峰值略显宽松。其实这是我自己声音的录音。这是原始的声音，展示了完整的频率和形态及复利页变换的结果。结合两个不同 频率的正弦波，可以在两个维度上形成一个波形。再来看计算机图像由红、绿、蓝三种颜色像素构成。若只提取红色，他会被存储在二维网格上的数字中。 之前我们按时间不常划分声音，并为每部赋予数字。现在，我们按像素划分图像，并为每个像素分配一个代表亮度的数值。你或许已经知道我想表达什么了。 我们可以将亮度数据分解为不同政府的正弦波。此时，二维副立业变换将对应一对频率有损格式，如 jk， 通过舍弃政府较低的正弦波来实现数据压缩。这听上去可能让人有些迷惑。 对于声音，它本质上就呈现为波形。然而，一张图片除非是拍摄于海边，通常不会 展现出波形。首先， jpeg 会把大图像分解为小块，如同 m p。 三，将音乐分割为多针。在这些小块中，可以通过正弦波来描述颜色的变化。 相对于原图的尺寸，低质量且文件大小更小的 jpad 只存储了部分用于重建图像的波，这可能导致了图像的伪影。假设我们有两张公寓楼的 jpad 图，一张高质量，一张低质量。 当我们放大这栋楼的某个垂直边缘时，能看到其中的尾影效果。他旁边似乎出现了不正确颜色的线条。为了解释这种现象，我们可以从原始图片中截取一个水平片段，观察每个像素的亮度。 像素在右侧很亮，因此值较高。然后他突然降低，左侧的像素变得很暗。描述这一变化的数学函数被称为接 函数为。我们尝试将这条曲线分解为若干正弦波，并仅保留部分，其形状会出现震荡。如果我们保留了更多的正弦波，他们将集中于此曲线的文字图像区域。因为文字的亮度变化都是高对比度的。 然而，大部分图像并非由众多的高对比度边缘组成，因此 jpi 的压缩效果还是相当不错的。此外，还有无损压缩方法，它能够紧凑的存储图像，而不对数据进行任何修改。 例如，保存有蓝色矩形的图像为 png。 十、文件不是存储每个像素的值，而是存储绘制指令。先将所有像素设置为黑色，然后在特定的位置上设定蓝色像素。 这样虽然没有伪影，但通常 p n g。 文件的大小会超过 j pad。 最后，我所提及的所 所有压缩技术都可以应用于电影压缩声音可以通过类似 m p 三的方式来处理，而视觉部分由连续的针组成，部分针可以采用类似 jpad 的方式存储。通常两针之间的变化并不大，例如汽车可能只移动了一点，背景则保持不变， 因此仅存储从前一针到下一针的像素变动更为高效。利用复利液方法，我们可以有效的存储这些变化。在大多数情况下，会有一个完整的关键针，其后跟随着长达三十秒的微小变动。 当你观看到画面出现马赛克或失真时，通常是因为编码这些变动的数据受损，但到了下一个关键针，视频又会恢复正常。综上所述，我讨论了互联网数据传输的核心数学原理，这包括大部分的音频、 图像和视频数据。所有这些数据的存储和传输都是基于将信号分解为波的原理。在数学上，这些波是三角函数中的正弦函数，拥有特定的正符和频率。 复利页变换就是这种分解的关键工具，只需计算各正弦波的正符和匹配的频率，将他们相加，就能重现原始信号。
2340Eve的科学频道
06:11查看AI文稿AI文稿这条视频一定可以让你彻底看懂富力业级数和富力业变换的底层逻辑，并且一辈子也忘不掉。富力业级数是一个超级强大的数学工具，它可以将任意一个周期性的函数拆解为一系列基本的正弦和余弦函数。而对于非周期性函数，我们就需要富力业变换了。 这个公式看起来似乎很复杂，很恐怖，估计很多人上大学的时候根本就没弄明白这条公式的底层逻辑，就光记住一下应付考试了，因为我自己就是他是。其实呢，如果从几何角度来看，福利业级数其实非常容易理解，我讲完以后，你说不定这辈子都很难忘掉了。 我们第一步，先讲清楚副列级数，然后再推广到副列变换。我们看这张图片中黑色的斜线代表的就是一个周期为二派的函数，我们可以用几个正弦函数的和来不断逼近他。第一项 six 是周期为二派 的函数，第二项 si 二 x 是最小周期为派的函数，所以周期也满足二派。后面的 si 三 x、 四 x、 五 x 同样满足周期为二派。这样就保证了把他们加大减减以后，函数周期还是二派， 然后调整他们前面的系数，也就是调整正符，然后取越来越多的像，就可以慢慢逼近原函数了。这个就是富力业级数大体上的一个思路， 然后把周期二派推广到更一般的周期 t， 换成屏幕上的正线和于谦函数就可以了。这个中学的时候都学过，三角函数的最小周期就是二派，除以前面这个系数等于 t 除以 n， 所以复列级数就是这么表示的。 第一项是一个常数，后面就是把无穷多个周期满足 t 的正弦和余弦函数加起来，然后通过前面的富力叶系数来调整正符。别看这个富力叶系数看起来很复杂，其实完全不用死记硬背，我们通过几 合的角度很容易就可以理解。讲这个细数之前，我们先来回答一个很多人都疑惑的问题，忽略级数为什么非得是用正弦和余弦函数来表示，而不是其他的函数呢？ 是因为他们是正交的，所以选择他们作为积函数。就像我们熟悉的 x 轴和 y 轴是正交的，我们就可以用一个点在它上面的投影来表示这个点的坐标。中学时候我们都学过，如果两个向量的点击为零，他们之间的夹角为九十度，就说他们是正交的。 而正弦函数和余弦函数可以看成是无限为的。希尔伯特空间中的无限为向量，向量的各个圆就是连续区间内的函数值， 而两个函数之间的内基需要重新定义。有限为项量的内基是这样定义的，项量 u 是 x e y 一项链 v 是 x 二 y 二。项量 u 点成项量 v 就是 x c， x 二加 y 一 y 二。由于函数 的原是连续的，所以函数的内积就需要用到积分了。两个函数相乘，然后再积分算一下，得到正弦和余弦函数的内积为零，因此可以得到他们是正交的。于是富力业级数就可以从几何上来理解了。从几何角度看，富力业级数其实就是告诉我们 函数 fx 可以用这么一组由无限多个三角函数组成的正交机来表示，换句话说就是每一个三角函数都可以看成是一个独立的坐标轴。富力的级数展开就是把函数 fx 投影到这一系列由三角函数构成的坐标轴上面， 这里的系数就代表了函数 f x 在每条坐标轴上的坐标。比方说这个周期为二派的例子中，一 cos x， 三 x cos 二 x， c 二 x 等等就是函数 f x 的基底函数，把它们看成坐标轴前面的系数 a 零、 a 一， b 一、 a 二等等就是坐标， 这么看是不是就很清楚了？那下一个问题就是如何确定这些系数呢？要确定这些系数，其实就是求投影。我们找个简单的例子看一下，假设两个项链 v 一和 v 二是正交的，然后我们现在把另外一个项链 u 投影到这两个项链上， 于是 u 就可以表示为 c 一 v 一加 c 二 v 二，那么 c 一和 c 二就相当于 u 在这个新坐标系上的坐标了。那么怎么求坐标 c 一和 c 二呢？很简单，求 c 一就是 u 点成 v 一，再除以 v 一点成 v 一。这个很容易理解，你稍微算一下就明白了。 那么现在我们把这个公式再拓展到复列级数的情况，就可以求复列系数了。内积在有限为的向量空间中的形式就是点击，而无限为的函数空间中，内积的定义就是刚才说的这个式子了。我们要求 a n 这个系数，就是求函数 f x 在这个余弦 函数上的投影。参考之前向量的例子，分子就是函数 f x 和这个余弦函数的内积分母就是这个余弦函数和自己本身的内积， 于是就得到了 a n 算 b， n 也是一样的。这样你就彻底理解了复列级数了。总结一下就是复列级数可以把一个周期性函数 f x 展开成正弦函数和余弦函数，这些正弦和余弦函数构成了函数 f x 的基函数，复列系数就是基底的坐标。 理解了福利业级数，我们再讲一下如何从福利业级数拓展到福利业变换。福利业级数和福利业变换都可以把食欲转换成频率，不过福利业级数只能处理周期性函数，而福利业变换还可以处理非周期性函数。 所以时与就是函数值随着时间进行变化，而复列级数可以把函数展开成一些不同频率的三角函数之和。于是 把频率作为横坐标，就得到了频率图。比方说这张图前面这个黑色的方波函数可以由后面的三角函数叠加而成。坐标轴的这一面显示的是这个函数值随时间的变化，这个就是所谓的时欲。从另外一面看，则表示这个函数是由哪些频率叠加而成的，这个就叫做频率。 对于周期性函数来说，它的频语是一条条离散的竖线，而随着函数的周期越来越大，频语会变得越来越密。而所谓非周期性函数就可以看成是周期无穷大的函数，这时候频语就变成了连续的曲线。 而复利页变换的用处就是当周期为无穷大的时候，求出上面这根频域曲线。首先我们把复利页级数换一个形式，因为这里面又有重弦函数，又有余弦函数，不方便处理。我们用这个大名鼎鼎的欧拉公式给他表示成复数的形式， 同样可以把这一项看成是正交机，而 c n 则是对应机的坐标，然后令 t 区间于无穷。这么一算就得到了 f omega， 其中 omega 就代表频率，而这个就是所谓的副业变换， 站出来的就是频域曲线。好了，讲完了这条视频真的花了我不少时间和精力看完，帮忙点赞关注给朵小红花，感谢大家的支持！
6.4万神奇的质子
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07:22查看AI文稿AI文稿护理液级数大家肯定不会陌生，我们知道周期为二拍的函数 f 可以写成这样的级数，从直观上看就是一些频率越来越高的正弦波的组合，其中的系数可以通过这样的积分来计算。我们当然可以从线性代数的角度进行解释。 三角函数组成了一款正交机，可以去展开周期函数，因为正交，所以复利业级数在做某些积分或者微分方程的时候有很好的效果。但是在实际计算的时候， 我们往往会陷入一个个麻烦的积分里面去。如果每次计算级数都需要进行代 n 的积分，不仅容易出错，而且令人沮丧。然而相反的， 我们对泰勒级数的恐惧会更少。我们知道只需要一点小小的倒数就能展开那些狰狞的庞然大物，但是你是否想过这两种级数之间的联系呢？如果我告诉你，泰勒 级数和护理液级数其实是一种东西，更进一步的，我们可以通过泰勒展开来计算护理液展开，你会不会觉得诧异呢？今天我们将彻底破除这两者之间的隔阂，并且展示用泰勒展开求护理液级数的一些实力。在此之前，我们先从欧拉公式开始说起， 这个式子也许是世界上最著名的式子之一了，无数人拿它水了无数的视频，说其是世界上最美的公式。我们在高中的时候知道，至少我们可以用它来求 m b 角公式。比方说我们两边三次方很容易就得到这样一个式子， 左边是二项式，右边是两项，展开对比实步和虚步，我们就能得到三倍角公式。那么我们在高中其实还见过另一种问题，那就是如何计算 cousin 次方的 护理业基数。当然高中不会让你积分，这里其实是利用 m 被角公式来进行计算。按照原来的办法，我们需要对 cos 做很多积分，而这些积分也许是不好做的。我们知道可以用欧拉公式来算，第一步是将 cos 写成指数形式， 这里用 c 代替指数，然后我们再展开，这就是二项式定理。由于二项式系数的对称性，我们可以对前后对称项进行配对，比方说三次方，我们可以得到这样的式子，再用一次欧拉公式，我们就能得到线性组合。类似的 五次方，我们也有这样的配对方法。我们发现与其说极数，这个其实是复理液求和，不论如何我们都得到了想要的复理液展开。有人会问，这样展开究竟有什么用呢？我们可以前前举一个例子说明。现在假设我们要做这样一个求和，当然 方法有很多，我们可以用四次方的复利页展开得到这三项，很自然的原始求和就变成了三项求和。利用诱导公式可以得到这样的结果， cos 里面乘等差数列的计算也可以通过欧拉公式，比如说变成指数求十部得到结果位负一， 所以最后的结果也是显然的了。用二项式展开作为影子，是让我们意识到我们可以通过二项式定理得到某些复利页展开，而二项式定理实际上就是泰勒公式，只是项数是有限的而已。 欧拉公式的使用促使我们从另一个角度认识护理业级数，很明显，泰勒级数说到底就是密级数而已，我们用 r 的各种密来表示 f。 另一方面，谁说三角函数不能表示成密的形式？很明显，由前面的例子，我们大可以将其写成密级数。注意，这里儿和 state 都是实数。由于欧拉公式的参加，我们也许要研究负数作为变量的函数了。让我们冷静下来思考一下刚刚说的话的含义。为了将三角写成指数，我们用了欧拉公式，这不可避免的让我们将实变量进行组合，形成负变量，那么 我们的函数自然就需要从十变函数拓展到复变函数。我们知道，解析函数的泰勒公式与原来完全平行，意思是说，我们可以像展开 x 一样展开 z。 我们想想 z 里面 r 和 say 代表什么，而代表模长， say 代表浮角。如果 say 固定，那么 f 就是二的函数， 这个时候展开就是泰勒极数。如果二固定，那么 f 就是 say to 的函数，这个时候展开就是复理业极数。所以横看成岭侧成峰，泰乐极数和复理业极数只是看待复 函数的不同方式而已。换句话来说，沟通泰勒和复利业的最短道路。在负平面上，这种关系是和谐的，同时在应用上面是重要的。我们强调这种关系使得用泰勒级数求复利业成为可能。比方说，我们刚才的例子就是分析这个复函数， 当二等于一的时候，我们能够得到 f 就是三角函数的密。接下来，我们研究另一个重要的函数以及反比例函数，其复数形式很简单， 就是一减 c 分之一，然后我们将其进行分母实数化，分离实步与虚步。很明显这个复函数就是等比数列求和，所以我们瞬间就能得到齐。泰勒展开，再一次利用欧拉公式， 所有的一指数都会变成三角函数，我们对比十步就会得到这样一个式子，这个相当于泰勒和护理液通过某种方式纠缠 在一起。事实上等号左边正是大名鼎鼎的切比雪服多项式的母函数，我们可以随意选取。二、得到关于 cat 的复利业技术，当然我们也可以随意选择 cat。 当我们将左边的函数按照而展开，在对比系数就能通过另一种方式得到 n 倍角公式。另一方面， 我们通过护理业展开能得到一些离谱的积分，可以想见直接求解这些积分不是一件容易的事情，当然 一般也就是用留数算就是了。我们接着考察下一个函数，对数函数我们取而为一，可以得到虚实分离的函数。这个结果的得出是容易的。考虑一、和 z 的和 几端点在一个圆上，根据小学几何关系，我们就知道 e 加 z 的磨长和浮角了。当然你也可以 arctin 算，没有区别，当然 land 泰勒展开是中 众所周知的了。重复前面的步骤，我们能够得到虚步的复利液展开，我们仔细看，这个不就是 x 的复利液展开吗？多少题目让我们算，我们竟然用勒一步就出来了。我们注意这个时候选取的浮角范围是复拍到派，如果我们想知道 zet 平方的复利液展开 直接积分就行，顺带的我们得到了平方倒数货，利用泰勒做护理液，这是一件很轻易的事情。 现在我们检查一下食部，很明显食部与虚部的情况几乎类似。我们得到了类三角函数的复利业基数。这个式子看似简单， 实际上在很多积分中都很重要，比如最最简单的这个积分，大家已经用区间在线编施过很多次了，但是复利业是不是耳目一新呢？最后我们看看指数含 数的情况，很明显，我们还是运用欧拉公式，不出意料的得到了一个很恐怖的柿子，左边这些等于右边有点克苏鲁的味道了。当然我们可以写成积分，这个积分如果让你求，你会怎么解呢？ 当然，如果想单独求一指数的复利业技术依然是很容易的。这里我们需要用贝塞尔函数的母函数的泰勒展开，当然这个结果比你想的要重要的多， 或许他看起来是一大坨不可名状的东西。总之，很多常见和不常见的情况，我们都可以用泰勒展开去求复利液展开，因为他们实际上都是一回事，你觉得呢？
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