word中如何打大括号并写两排
word 大括号分行打字 首先我们先插入大括号，要通过插入形状这个方法， 然后按回车键，使输入光标位于大括号内，然后输入需要的文字内容即可 按回车键输入第二行文字内容。 可以根据需要调整大括号的位置，大小和比例等， 根据需要优化文本内容的样式。 如果学会了，记得点赞支持一下哦！关注我，学习更多 word 知识！
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商的意思，对不对？就比值数的意思，比如说三分之一是不是有理数，是吧？比如说一些无限循环小数，那么它就是有理数。听懂我的意思， 那什么是无理数呢？无理数自然就是那些带根号的一些派，无限不循环小数。大家听懂我的意思，好，下面还有一个叫做整数集，就是 z， 这个我就不做过多的赘数了，它里面全是整数。最后一个叫做全体实数，它呢就是 r 里面所有的数，就是你现在接触到的，当然我们后面会学复数，会学虚数，我们现在学过的所有的数其实都是 r。 以上就是沈老师对大家想表述的这么一个常见的集合和集合的列句法。 下面概念叫做描述法。我们有的时候在表达一些元素的时候，我们发现我在把这些元素表达成集合之后，它的这些 形式你如果挨个列出来的话，是列不动的，你列不完，那这个时候怎么办呢？我们有一种方法叫做描述法，我给大家举个例子，先一起看看课本这个概念。不等式 s 减七小于三的解集是 s 小 于十，因为满足 x 小 于十的实数有无数个， 所以 s 减七小于三的这个解集没办法用列句法表示，你表示不动，但是我们可以集中元素的共同特征，就是第一个 x 是 实数，而且这个 s 是 小于十的，我们就会写成这样子，这里面分两个地方，第一个地方 这个位置我们管叫做描述区域，这里面分两个地方，左边的这个位置我们管它叫做代表元素的特征，右侧管它叫做描述的区域。简单来说就是你先告诉我你要描述的是谁？第二件事，你描述的他有什么特点， 所以我们在写代表元素的时候，一般会给他写一个我们之前写过的，他的大体上属于哪一个集合的，你属于 r， 是 不是实数啊？这种情况下我们可以认为它就没有什么限制。 大家听懂意思，那比如说整数呢？奇就可以分为奇数奇和偶数奇对于每一个 x 属于 z， 它又能表示 x 等于二 k 加一的形式。 x k 属于 z， 那 么它是一个奇数。如果反之， x 是 一个奇数，那么它能表示 x 等于二 k 加一， k 属于 z 的 形式。也就是说其实 x 等于二 k 加一，它就是所有的基数的一个共同特征，那么基数级就可以写，那样 这就是基数级，那么大家可以写偶数级上。老师再给大家写一下这个描述区域呢？非常宽泛的，你想怎么描述？你想把它写成什么样？甚至这个描述区域可以用汉语描述，它可以描述的很宽泛。有时候大家不要纠结说，老师我先写这个还是先写这个，无所谓的，只要你前面的代表元素，你这个别搞错了就可以了。 接下来我们看集合之间的关系，那么对于集合之间，他有一些集合是有关系的。比如沈老师举个例子，那么我们很明显的发现这两个集合之间他就有一个什么关系，我们管这种关系叫做包含关系。 我们说一和二一二三，那么这些集合是不是明显这个集合好像从这里面拿出来的，那这个叫做集合的包含关系。或者说我们换一种说法，叫做 a 集合，是 b 集合的子集。站在另外一个层面，我们的包含关系主要分两种，第一种是子集，第二种是真子集。 比如说我们先把某一个集合，这里文肖老师就不用 b 了，用 c。 那 么大家把这个集合的所有子集都写出来，那肖老师写对了吗？ 其实是没有写对的，因为这里面有个默认定义叫做空集，是任何集合的子集，这里边这个符号的意思就代表这个集合里面啥也没有，他是任何集合。换句话说，你写他的子集的时候，你必须要把这个空集给我写进去。第二件事情，这里面有一个非常特殊的，就是他 我们把这样的和原来集合相等的叫做集合的相等关系，那么刨去这个，剩下的就是它的榛子集，比如说这个，这个就是它的集合的，叫榛子集，而包含这个的话就叫它的子集。换句话说，榛子集课本上的描述是 a 在 b 集合， a 含于 b 集合，或者是 b 包含 a， 但是存在元素 x 这个符号给老师提一下啊，这个叫做属于，属于一个小梳子， 那这个属于这个元素它在里面，这非常好理解。比如一就在这个集合里面，这个，二就在这里面，三也在这里面，你是一个描述元素和集合之间的关系，元素和集合这个关系，那不在，就这么写，打一叉， 那所以这里面描述的就是存在元素在里面，而且这个元素它不在 a 里面，它不在 a 里面，我们就称 a 集合是 b 集合的。甄子集就是沈老师刚才描述的这件事情， 你比如说你在写他的真子集的时候，你就不要写跟他相等那个就可以了，你写他的子集时候，你就所有的都写出来。但是无论是子集还是真子集都包含什么空集？换句话有句话是这么说的，叫做这个空集其实是任何集合的 子集。那么大家可以考虑下空集和任何集合的真子集关系什么样呢？告诉告诉大家，空集是任何非空集合的真子集， 听懂，如果他是空集，他俩就相等了，所以空集是任何非空集合的真子集，空集是任何集合的子集，抽象吗？不抽象吧。那么我们描述完这个集合之后，其实有很多题目呢，都是由这来的，就这块都是，比如韩餐分类讨论这些东西都是由这引出来的，大家要重点注意一下。就这个位置 下面的话，我们来谈这个集合之间的关系，集合之间的关系，我们用分音图就非常好表达，比如说我们在描述这个问题的时候，这块有个集合，这块有个集合， 左边是一个 a 集合，右边是个 b 集合。我们在表达他们的公共部分的时候，我们管这个叫做交集， 我们在表达他们两个所有的关系的时候，就比如说这些部分，我们叫做并集， 管它叫做并级，它们有各自的符号语言，我们先从并级开始并级整个所有的内容，我们要有一种非常便捷的表达方式，我们可以读作 a 并 b 也写，也可以写成 a 并，比并就向上划，所以他的意思是霍的逻辑。简单来说，谈到霍字的时候，我们就该这么书写下一个叫做他们的公共部分，叫做交集。什么叫交集呢？就是他们的公共部分， 我们读作 a 交 b， 写作 a 往下的一个符号 a 交 b。 好， 他的底层逻辑是且的逻辑， 也就是这个且的逻辑。大家从初中角度来看，就是那个连立符号 x， 如果等于二 x， 还等于正负二 x， 其实它就等于二，这是不是且的逻辑？ 那我们用这个用集合怎么描述？我这里面了一个列用了一个描述法，那么他们的且就是这样子， a 交 b， 它就等于二。这个集合这里体现出两个细节，第一个细节就是交代表着公共部分， 第二个细节代表着这里。沈老师写完交之后还是个什么？还是个集合，你花括号不能丢，大家听懂了吗？这个花括号他不能丢，丢了就错了。所以集合之间运算的结果还是什么？ 还是集合，这就相当想表达的意思。交并是非常重要的概念，既然都谈到了交和并的话，那么第三个概念叫做补集。这里面维恩图有个特点，它会拿整个的一个方框来代表全部的， 全部的全集就是全部的元素。明白我的意思，那补集那种做减法的感觉，但是它有一个限制， a 级一定是作为这个全级的一个子级。什么是全级？我再问你一个问题的时候，我说飞机， 你说老师飞机很多，那我们说这个全级就是世界上所有的飞机，你能想到全部给我列出来，这就是全级。那你谈到 g 二零的时候，是不一定是它的一个子级，对不对？它里面是它的元素啊？比如国产的飞机，那么是不是一定是它的一个子级？听懂我的意思， 那所以我们说这本来是一个减法的这么一个感觉，但是它有个限制，就 a 级一定是它的一个子级。我们来举个例子，比如说全级里面有二、三、四， a 级可以有二，那么 a 关于全级的补级是什么呢？去掉保留，这个就是补级减法的感觉，大家听懂我的意思吗？我想强调一下，就沈老师刚才讲的点，这个 a 级它一定 是全级的形式考出来，听懂我的意思， 下一个第二个板块是高中非常重要的板块，叫做充分必要条件。这个是什么东西？那沈老师其实在之前录视频的时候有一些内容，大家可以翻看沈老师过去的视频，也可以去看一看， 这里面有一些非常重要的概念，沈老师其实都用过，比如说充分必要条件，这些东西沈老师在过去都是用过的，那么大家也可以进主页粉丝群去领取一些物料。所谓的充分和必要条件，我们要干的第一件事情，先定位 谁是条件，谁是结论，所以他是一个语文题，找到条件之后，你要分析谁是结论， 读完这个东西之后你就非常清晰了，我敢考你题，我考你条件和结论，你下一步要干嘛？下一步要看条件和结论之间的关系， 你要看这个条件能推结论还是结论能推条件，如果这个条件他能把结论推出来，这个体现了这件事情的是必要性。 赵老师给大家首出一道例题，说 x 大 于三是 x 大 于二的什么条件？当然要换句话说，这个东西应该是你解出来的答案，大家听懂意思吗？他不会以这么基础的形式告诉你的，你把它解出来就完事了。 我们我先问大家，谁是条件？是不是前面这个是条件，是他的什么条件？语文学过主语是主语是 s 大 于三吗？他是不是就是条件？这个东西是什么？应该是结论吧。所以我们认为 x 大 于三和 x 大 于二，这个是条件，这个是结论。 你就盯着这个条件，他能不能推出来结论能不能推，怎么叫推小范围？能推大范围？因为 x 大 于三的数必须满足 s 大 于二，听懂我的意思吧？ 但是 s 大 于二的数，他不一定满足 s 大 于三，比如说二点五，所以咱们他明显是能推这个，这个你说老师我记不住，小推大，听懂意思，所以你会明显感觉到 我们这里面明显是条件可以推出来，结论充分而不必要听懂了。那反之，如果你发现结论能推出的条件就是必要 不充分，你发现两个集合长得一模一样，两个范围长得一模样，叫冲要充分，不必要，必要不充分，冲要既不充分，也不必要。能懂我意思，那我们说其实正常来说就是个解不等式的问题。所以记住一句话，小范围这句话很容易踩坑。听懂我的意思，下一步量词。 什么叫量词？这里面很简单，有一个符号叫做任意的，他的书写方式就是倒着的 a， 你 们知道 a 是 不是奥？虽然我们不追求英文的非常严谨，能这么背就好了。 他这个奥就是倒着 a 就 代表任意的意思。以后你再说任意的 x， 你 就可以说到 a， x， 这个就是我想表达的第一个含义，它叫做全称量词， 含有全称量子命题，叫全称量子命题。比如说命题对于任意的 n 属于 z， z 是 什么来着？ z 是 整数，二， n 加一是基数。 没毛病吧？所有的正方形都是矩形，这就是全称量子命题。它得说一个事，然后能够判断对错的事。好，什么叫存在？存在有就行呗。它的英文单词是 exist， 这个单词他开头 e， 我 们往左开口写个 e， 同样道理，我们存在 s 零，他的等价形式就是这个到 e， 这个左边开口的 e， 写个 s 零就可以了。你得看懂这符号，对不对？好了，没啥好说的，看懂符号就可以了。 下面那么我们谈一下不等式，这个不等式，这里面他有好多性质，陈老师逐一给大家分析理解一下。 第一件事情互逆性，就是 a 大 于 b 的 话， b 小 于 a， 这不是肯定的吗？对不对？不解释了。第二个事情叫做传递性，咱就是说你 a 大 于 b， b 大 于 c， 那 么 a 就 一定大于 c， 没毛病。这个证明我就不给大家看了，大家只需要知道这个 a 大 于 b， 那 么 b 大 于 c， 那 么 a 包大于 c， 就 这个意思。下面还有一个，我们两边在同时加上一个数的时候，他仍然满足 原来的方向，这个数理相等，对吧？可正可负负无所谓的，这叫做可加性。下面继续第四个，叫做可乘正数性，可乘正数性，换句话说，你这个 a 大 于 b， 给个正数，你原来负数，它肯定会变号的。乘上之后 c 大 于零，乘上之后我们就会有 a， c 大 于 b， c。 同样的，我们利用性质，其实我们用刚才那个可加性性质，再结合我们的性质二，它就可以推出这么一个式子。性质五， a 比 b 大， c 比倒大，那么我们两边加上一个数，这边加更大的数，这边加上更小的数，那么很显然 a 加 c 是 大于 b 加 c 的。 明白我的意思，星之六， a 大 于 b 大 于零， c 大 于倒大于零，是不是相当于刚才听着的拓展？你把 c 给它换了，一个换成 c， 一个换成倒， 都得大于零。那么你大于零的时候，你乘上之后，是不是 a 乘 c 就 大于 b 乘倒了？它这个东西是什么意思呢？说我们这个 n， 它大于等于二， n 大 于等于二， 比如说 a 的 二次方大于 b 的 二次方，就这个意思， a 和 b 必须得大于零，这不大于零肯定会出问题。你二次函数，它万一它的左边是越来越小的，你这个数取负数肯定是不行的，所以它必须要大于零。那三次方它也可以，四次方也可以， 那这个就是不等式的七性质。下面我们谈到基本公式里面包含好几种方法，比如说一的妙用，你是分解法呀，统一变量，包括一些直接使用整体法呀，求什么留什么也大类的方法。当然我们先讲基础， 首先我们基本公式由来是由这个式子而来的， a 减 a 减 b 括号的平方，它是大于等于零的，这个时候我们还推 a 方减二 ab 加 b 方，它就是大于等于零的，所以其实 a 方加 b 方，它就大于等于二 ab。 所以我们再往下，这个是不是叫基本不等式的形式？第一个图形出来了，但是课本上我们管它叫做重要不等式，看到吗？重要不等式，它不叫基本不等式，是不是我们管下面这个整理出来的叫做基本不等式。下面整理是怎么整理的？换了个圆， 他令这个根号 a 代替掉了。其实你可以换个字母，比如他等于 m， 那 m 必须得大于零了， m 是 等于零，但是我们假设他大于零 n， 我 们假设他也是大于零的， 那么这个时候这个式子变成 m 加 n， 那 右侧大于等于什么？是二 a b a 是 啥呀？根号 m b， 根号 n， 对 不对？二倍根号下 m n， 这个我们观察基本不等式，你说老师有什么区别吗？它的区别你以后用的时候要保证，第一个保证 m 大 于零， n 大 于零。其次 还有什么它好用，它为什么好用？它这里面是不是俩数直接压？你要用这个，你是不是还得换呢？它得换原它的优势，所以它为什么称之为基本不等式，叫它好用？好吧， 我们其实一般来说会把它写成这样子，就二分之 m 加 n， 它是大于等于根号 m n 的， 这个叫做算术均值，俩数除以二，这个叫做几何均值。我们平时也说算术均值永远大于等于几何均值，它是要验证取等的。你这个式子 你考虑下 m 和 n 有 没有什么限制，对不对？因为它这个方程它什么时候取等，大家可以验证一下，它肯定是 m 等于 n 的 时候取等就是 m 和 n， 如果没有关系的时候， m 和 n 都大于零就可以了。那这个设置是包成立的，但有的时候 m 有 些限制和 n 有 些限制，它限制就导致 m 和 n 取不到，那这个时候它就完蛋了，这个公式就不能用了，是不是？ 好？那么基本不懂事这一块，习老师还可以用几何法给大家稍微证明一下这个式子是正确的。这里面我们稍微用一个相似，在这个三角形和这个三角形，它俩明显是相似的，因为它是外接圆，所以这个角是九十度， 这个角和这个角就一定相等，这个角和这个角一定相等。相似列一列，这个 b 比 c 倒，咱就相似推就行了。它俩比例是不等于，这个 c 倒除以 ab 除以 c 倒， c 倒除以 a。 稍微整理一下就知道这个式子， 这个式子说明 c 倒是这个图形，其实对于我的这个导点，它是可以随便动的，你动起来之后，它这么水平动来动去的，你这个 c 导，它永远比半径短，大家能接受吗？有一刻是相等的，在最高处，我们发现这个时候我们表达半径就是二分之 a 加 b， 那 么你二分之 a 加 b， 它自然而然就大于等于 c 导。因为你 c 导最长，它也没有半径长，所以 a 加 b 呢，就大于等于二倍根号 ab， 这就是它的几何证明。这个几何证明呢，会以一个新定义的形式考考在这个试卷当中，这里面老师就说这么多。 最后我们说一下一二四不等式，一二四不等式其实很简单，你在解这类一二四方程的时候，要么大于，要么小于零，我怎么解？画图解，听懂我意思。举个例子，比如说咱们看到了这个图形，我想解他大于零的部分。第一个，我先把这个要求的东西给他写好， 我要解他小于零，你不会解，没关系，第一步先求根，求根之后，他这个 x 一 就等于二啊， x 二呢，就等于十求根。第二步，完图之后呢，你看他要求的是啥？ 它是不是要求的小零？小零啥意思？是不是这一段听懂意思，那你这个图都画出来了，是这么个图，这边是二，这边是十，那你解它什么呀？是不是 x 最终就是属于个集合表示？这个我直接用一个集合表示吧，大家能听懂意思。所以其实本质上就是什么图像，你比如说有的时候它前面带个符号，比如说负 x 方加十二， x 减二十小于零，你是不是这个时候还是划算？开口向下对不对？但一般来说呢，我们可以通过乘负号的形式，把这个不等式子变成 x 方减十二， x 加十二，零 加二十大于零。你解这个方程和这个方程其实是一样的，你画他的草图，解他大于零的部分，这样比较爽。总之一句话，一元二次不等式最简单，他的逻辑分好几种情况，但是你只需要记住两个字，画图好不好就完事了，这个就是一元二次不等式。这里老师有把课本上的非常重要的这幅图给大家画出来了，因为有的时候你解方程的时候，我给大家举个例子，比如有一天我想解这个， 你他画图的时候，他没解，你嘚，他算一下， b 方减 c 口算一下，一减二十四，负二十三，没有嘚，他小于零，他没有交点，那么这个时候你会发现，那我画还是画图呗，沈老师教我了对不对？那你大于零部分什么？是不是就是 横乘以最后什么 s 属于二？那如果这么问你， s 方减 x 加六小于零，那你是不是现在你发现他没有小于零的部分，那么就是空集了？就这么个简单的意思。 以上就是一元二次不等式。沈老师今天就给大家先说这么多，后续大家有任何问题继续跟我沟通，我会把 b 修一的课本内容全部讲完，我们把 x 开 n 次根啊，这个过程啊，我们叫做根式，它的运算结果 叫做 x 开 n 次方根，我们平时这么沟通对不对？好，那么理解这个最基本的概念之后呢？其实初中大家也是能接受的啊，这概念都能接受的，但是在高中当中会有分数指数，比如说大家带着这个问题去思考一下啊，比如说第一个 就是这个三的三分之一次方是啥意思啊？比如说八的三分之一次方是什么意思？再比如说八的负三分之一次方是什么意思？好吧，那我们今天主要是讲分数指数密它的含义。 好，这里呢，沈老师一句话给大家总结一下，第一句话叫做遇见，遇见分数开根号，遇见负数取倒数，什么意思？比如说刚才沈老师举的例子，八的三分之一次方，那它的结果呢？自然就等于二了，对不对？ 我们发现啊，在有些时候有些数根本就算不了，比如说这种书写呢，本身就是错的，如果你对一个复数开四次根的话，是不是就没有任何意义？所以呢，我们以后高中阶段，大家遇见所有的开根的问题里边都一定是个正数啊， 这样就能够避免大家去遇见复数的梗式啊，这是高中的一个考法，下面我们看看复数的 指数这个位置应该怎么处理好。这里面一会我给大家讲指数的乘法运算啊，指数密的这个指数位置有乘法的时候，其实我们可以这么理解啊，它呢是八的三分之一次方，外面嵌套一个负一， 哎，是不是乘法？那么这个怎么理解呢？我们是不是算呢？里边先算的话，它就是二，那我们现在理解二的负一次方就可以了，那二的负一次方呢？是什么呢？这里告诉大家，二的负一次方呢？其实是取倒数，听懂了吗？ 换句话说，以后只要记住两句口诀啊，没有任何问题，不用担心这个底数，这个位置，如果它是负的怎么办啊？不会的，因为这样没有意义。好，那接下来我们继续。那大家发现，如果像沈老师刚才那么丝滑的匀速，需要去接触到我们的这样的一些东西。一，这样的一些东西， 比如说第一个挨个给大家说一下， a 的 二次方乘上一个 a 的 s 方，等于 a 的 r 加 s。 具体的例子来，一个二的三次方乘上二的五次方等于多少？等于二的八次方，这个叫做加法匀算， 下面 a 的 r 四方外面嵌套一个 s 四方，它等于什么呢？它等于 a 的 r 乘 s， 也就是举个例子啊，比如说这个二的三次方外面嵌套一个五次方，它就等于二的十五次方。就像刚才石老师举那个例题一样，这个八分之一啊，它 来个负三分之一次方，我们可不可以先搞符号？可以的，那我们先搞符号，八分之一的负一次方，外面再嵌套一个三分之一次方，它就等于八的三分之一次方，就等于二，听懂了吗？ 好，下面再来一个。最后一个，就是同指的时候，这个指数一致的时候，就是 a 的 二次方，乘上一个 b 的 二次方，它其实可以化简成 ab 的 二次方，那么简单来说，比如说二的三次方乘上一个二的四次方，它底数。好，这里面重新讲一下，这里面例子举错了，我们再来一个，比如说 a 的 a 的 二次方， b 的 二次方，那么它可以写成二的三次方，乘上一个四三的三次方，那么它就等于二乘三括号整体的三次方，也就是等于六的三次方，大家听懂了吗？这就是它的三大运算，第一个， 第二个，还有我们的第三个。好，以上是沈老师想表述的这样的一个问题。好，指数运算学完之后呢，我们接下来看指数函数。什么是指数函数呢？简单来说就是我们学过的基本初等函数要扩充了，那比如说我们学过的反比例函数 y 等于 x， 分 之 k， 我 们学过的依次函数 y 等于 k， x 加 b。 那 现在呢，我们要再进行研究。一种函数 y 等于 a 的 x 方， 它的图像呢？可能说它会像这个反比例函数和一次函数一样，根据这个参数的特征，它有不同的展现形式，我们发现这个 a 呢，它无非就是一个参数的位置，对不对？所以我们要针对 a 的 变化来改变整个图像的走势。但是我们定义个事，定义什么呢？这个 a 啊，在高中阶段，我们只研究 a 是 大于一的， 或者是 a 是 介于零一之间的，就其他范围你不要研究了啊，不像这个 k， k， 当然 k 等于零，我们也不研究，对不对？那么 k 小 于研究吧，对不对？所以高中就研究这两个范围， 那么它就会分成两个图像，大家可以简单考虑一下，比如说 y 等于二的 x 应该怎么画？大家可以采用五点法作图，或者说多点法作图，你就描几个点，你会发现啊，比如说我这里取负三的时候，那么相当于 y 等于二的负三次方，这个数呢，大概是非常接近零的啊，它呢应该是八分之一。 哎，我们发现你再取，比如 y 取一个二的负五次方，那它是不是二的五次方分之一等于三十二分之一，这个数是不是非常的贴近轴？听懂我意思吧，那也就是说一左侧它是非常贴近轴的，右侧的话，爆炸。举个例子， y 等于二的 十六次方，这个数呢，它已经很大很大了啊，它就非常快啊，它后面增速非常快，这叫指数爆炸，指数增增长非常快。好，反过来我们再看一个，那就是 a 介于零一之间的时候， 好， a j 零一之间的时候，我们拿个例子， y 等于二分之一的 x 方，这里面大家发现它是可以怎么理解呢？其实大家可以学过函数的同学们，大家可以这么干啊，把它变成负的 x 幂，对吧？那你 x 添括号，整个图像是不是做一个翻折，它会从右边这幅图翻成左，换句话说，它俩其实是个轴对称的图像， 听懂了吗？这是沈老师想表达的意思，就这两幅图像都这么画就完事了，那大家可以尝试一下，比如画一下 y 等于三的 x 密。好，那这里呢？沈老师为了让大家深刻的理解大家，给大家画这幅图里面啊，那我们发现三的 x 密的话，这里面的做法呢，应该是一致的，哎，它应该呈现出这样的一个状态， 换句话说呢，有一句话叫做只叫做底大图高，在这个第一象限的时候，这个位置的时候啊，第一象限的时候，他一定是底大，他的图最高，他们都会穿过这个一的点，那其实不难发现，当我们跨三分之一的时候，他是不是就这个样子？ 好，这里细节提一下啊，他是穿过去的，就这里石老师画的非常仔细，在这个位置他是穿过去的。跷跷板啊，跷跷板见过吧，他这边高的时候，这个红线在这边就低。明白我的意思，所以再记一句话，叫做 在一处会穿过去。好，下面那我们总结的话，就可以用课本上的这个图像总结了。首先这类函数一定是过定点的啊，再给大家盘一盘，什么叫过定点？简单来说就是与参数无关，就是过定点。我们发现我们在画 y 等于 a 的 x 方的时候，这个 x 等于零啊，这个 x 等于零啊， 他这个 h 一 百，他是不是也是一啊？你一百的零次方是不是等于一？所以与参数无关的情况下， x 等于零的时候，他就永远等于一，所以这个点就是定点，大家听懂了吗？ 好的，那以上总结的话，所以大家盘一下， a 大 于一的时候，它是一个单调递增函数，越来越大啊，叫指数爆炸对不对？那么 a 小 于一到零之间的时候，它是个减数 a， 其他范围我们不考虑。 a 等于一不研究啊， a 小 于零不研究好不好？ 直域，直域的话就是 y 的 取范围从零开始啊，贴近但是碰不到啊，一直往上走，所以这块是开区间定域，自然随便取喽，那就是 r 了。好，其次，两幅图像其实是关于 y 轴对称的，在同底的情况下，在 a 是 一致的 a， a 是 一个，就是会倒数的情况下，好不好？ 以上的话呢，是沈老师想表述的这个问题，就是指数函数，那你说沈老师，那么我们学完指数函数能干点啥呢？很简单一个问题，我们非常了解它的性质之后，要利用它的单调性去求解一些函数的大小啊，一些数字的大小也更多常见。好，我们一起阅读下这道题。第一题秒了一点七，底数比一的单调递增三在二点五的后面，所以它大。第二个 零点八啊，零点八这个东西呢，是小于一的，这么画负根号二和负根号三，负根号三在这， 负根号二在这，所以左侧的这个要更小一点。继续一点七的零点三，零点九的三点一。画两幅图，第一幅呢是一点七，第二幅呢是零点九，不难发现，其实这个数他妥妥的是一个小于一的数，这个数大于一，所以大于号就完事了。 好，以上呢，是陈老师大家分析的逻辑啊。陈老师呢，给大家稍微做一个总结，这个总结呢叫做什么呢？非常经典，大家记好笔记。数字啊，那我们谈的是正数啊，这个正数的越乘方呢，他就越远离一啊，比如说我们来一个零点七的八次方啊，那么他就会非常接近零，就远离一这个位置，对不对？这是一。 呃，他越乘方，比如说七的八次方，他呢就会向这个一去靠拢啊，他就会向这个一去靠拢，但他不会跨过他明白我的意思吗？你这个数，你开一万次根， 他也不会跨过这个数啊，他永远比一小，这边也是一样的，对不对？所以呢，这边大家再句一句话啊，比如说你再来个一万啊，你给他开个一万次根，对不对？他这里面他也非常接近于一的，总之他不跨过， 听懂我意思，这就是指数函数的非常重要的一个应用啊。好，这里沈老师给大家总结这么多啊，这个概念我觉得是非常非常重要的啊，有的时候比的时候你没有必要画图，听懂意思吗？你就一定要这个逻辑，直接秒提的一个操作好不好？这里面沈老师打的重点啊，我觉得就是沈老师关键的总结好不好，听懂，看到看到本质啊。 然后大家有什么需要资料的，直接进群领取吧，大家可以进群之后呢，私聊我好不好？有什么问题尽管提出来。下面对数对数的概念是我们高中的一个非常抽象的概念啊，先从加法给大家理解一下啊。问一个比较简单的问题，三减二等于一，好， 先来加法吧，就是这个二加一啊，它等于三呐，那我现在问三减一等于几，你会很快的告诉我它等于二啊。那同样的道理，有一天我问你二的 啊，三次方等于八，现在我问你二的多少次方等于八，你会是不是回答我是三呢？这是那种互逆运算的感觉，它加减法是不是互逆运算？那对数和指数它就是互逆运算，只不过你这么写吧，是不是不合适啊？对不对？这个我们说数学来说，不这么写啊，我们怎么写？这么写就是你这个问题啊，我把这换成问号，就你这个问题问的就是这个问题 啊，你问我二的多少次幂等于八，就这么简单。那理解这个概念之后呢，我们回头啊， 先把这个形式呢，给大家按照这个课本的定义呢，给它理一下子好不好？那总之的话，大家可以算很多啊，再给大家来个例子啊，比如 log 以二为底，二分之一的对数，那么他怎么想？二的多少次密等于二分之一是负一次方啊，就这么简单，听懂了吧。 好，那我们先擦掉，回头来理一下。那第一个我们平时沟通的是 a 的 x 密等于 n 啊，按照课本的一个逻辑，它是什么这么写的对不对？后的逻辑是不一样呢，所以呢，那么以 a 为底， n 的 对数，它就等于 x， 是 吧？没毛病，我们管这个七个名啊，方便沟通啊，以后大家沟通啊，这玩意叫底数，这个位置叫真数，真假的真，真数，这个运算的结果 叫做对数。好，呃，我们他课本的例子其实跟沈老师举的例子差不多啊，我们就不看了啊，有两个比较常见的啊，这个底数的话，你会发现，刚才比如沈老师问的问题的时候，我们是什么？比如说二的多少倍，它等于三，其实这个呢，就以二为底，八的对数等于三啊， 然后你正常来说，我们有两类底数啊，就这个二啊，是吧？常不常见，二不常见啊，常见的是十，那它呢，可以简写成就是呢，相当于这个后面这个东西啊，这个底数呢，它就没了，你就直接前面拿 lg 来代替它就可以了，听懂我意思吗？好，好，简单好写，然后大家你要知道就可以了，作为学生来说，你知道就可以了，对不对？你不用纠结为什么这么写啊， 第二个就是这个，第二个就是 e 啊， e 就是 它啊，不是，那个是我们数学当中的一个非常有意思的数啊，叫自然长，自然长数啊， 这个 e 的 约等于二点七八，也就是说他大概呢的话，你要画这个函数图像呢，大概和二的那个对数差不多啊，在第一向下的话，在它的上面啊，就这么简单。好，以上呢，我们就学到了一个操作啊，这个操作呢，其实叫只对互化啊，我们先来讲两个事情吧，第一件事情，对于这个形式呢，我们要有一定的他自身的 定义，比如说这个底数，我们刚才谈到了，说本来你底数的时候呢，我们就研究这个大于零的数，对不对？好，所以在底数的时候我们要给出个定义啊， a 是 大于零的，且 a 不 等一。第二件事情啊，这个真数真数呢，其实他也必须要求 n 是 大于零的 好，为什么？这给大家解释为什么？很简单，因为有的这样的话，你这样的话，他就能算出结果来，懂我意思吗？你这样，有时候这个结果他没有啊，比如说你负一，对吧，你来个夸张一点的，负一八，你负一多少次面饼能达到八呀？这个， 这个算不了啊，对不对？那还那还有呢？比如说再来，哎，我们说以二为底，然后呢，这个负八，你二的多少方能看到负吧？没有。那所以我们就不这么做啊，就没有，对吧？我们不定义它，所以 a 大 于零不等于，这是定义啊，我们高中阶段就研究这种这类型了啊，就这样就可以了。 好，然后呢，我们要讲一个叫只对互化核心公式，其实只对互化公式的话，就是第一个只对互化都是这么画的，一这么写，等价于二这么写，他俩表述的含义呢？其实从底层逻辑来看，他俩应该是一样的。听懂我的意思， 我们来尝试一下只对互换啊，连一题，这个解析呢，秦老师给大家截，从课本上截出来了，那么我们只做这个四五六吧，这个一二三的解析给大家解出来了啊，我们做下四五六。这里意思就是你现在不是对数形式吗？应该换成指数啊，练练习一下好不好？那第一题秒一下啊， 那么它相当表达的就是十六呢，等于二分之一的负四次方啊，其实你看你验证，这是包对的二分之一的负四次方，什么意思？是不是二的四次方？十六吧，这个位置呢，是这个十的负二次方等于零点零一，这个位置呢，是一的 n 次方等于十啊，那相当于这个位置它就没有解出来，对不对？你验证不了好不好？好，以上的话呢，邵老师说这么多， 最后的话呢，我们再复习再讲一下纸对的公式啊，这里纸对公式其实是不够用的啊，就课本这些对数的公式是不够用的啊，你还要再加上一个纸对括号，邵老师直接先把公式讲完，然后给他补上啊。 第一个话呢，对数只是一个加法匀算啊，什么意思？比如说，呃，我们看一个这个问题啊，以二为底三，然后加上一个以二为底四，它就等于以二为底 三乘四十二，这就是公式啊，说这两个在对数，在同底数的情况下相加的过程中，它就会等于这个，就这么简单，这个呢，是大家要背的啊，相减的时候呢，加乘减除啊，相减的时候是这样的，也就是说对数，这个我们一般来说呢， 学校老师包括我们学数学的啊，都管它叫做加法，公式大家一定要清晰啊，它是指对数相加，就一整体相加，真数相乘。好， 那除法我就不解释了啊，这个 n 呢，它可以摔出来，你看是不是摔出来了？ 具体点例子啊，我们可以验证一下，对不对啊？比如说有一天我看到一个二八，那很很显然，大家知道这等于三了，对不对？但是我可以这么写啊，以二为底二的三次方，那你这也可以等于八呀，二的多少次米？等于二的三次方，那不二的三次方吗？对不对？那你也可以这么写啊，有三，然后明白对不对？那这个呢，是不是等于一啊，等于三呢？结果没有错呀，相当于在这的这个肩膀上，这个位置可以甩出来啊，那就比如说他 也就是这个意思，下面呢是换底公式啊，所谓的换底公式呢，是指我们遇见一个数的时候，你选择一个你喜欢的数啊，这个数呢，要求就是这个啊，你随便选啊，这很神奇吧，给大家举个例子啊，比如说有一天我遇见一个以三为底四的对数，我我很喜欢派这个数字啊，是吧，那我就可以换成以派为底四的对数，除以一个 以派为底三的对数，就它这个位置呢，是 c 这个位置， c 这个 a， 这个 a 是 不是底数？听懂意思 啊？当然呢，其实面对我们的这些问题的时候呢，我还可以告诉大家一件事情啊，这些是有拓展的，拓展一下啊，就这个性质告诉我们一件事情，如果有一天你把你的底数和真数互化了，那么它会取倒数的啊，比如说啊， log 以 a 为底， b 的 对数，它其实呢是等于 log 以 b 为底， a 的 对数分之一， 这个好不好理解？那还是非常好理解的，对不对？因为你可以随便选全底嘛，你选谁都无所谓啊，你爱选谁选谁，满足这个底数最基本的要求即可。好，这个就是沈老师想表达的下面的这个对数的 运算的问题。再补充一个啊，叫只对互化核心公式，所谓的只对互化就是 a 的 log 以 a 为底， x 对 数，它其实是等于 x， 下面一个 log 以 a 为底， a 的 x 之密，它也等于 x 啊，这两个公式我认为究极重要，非常非常重要，没有比它俩更重要的式子， 简单来说就是它是你，你理解加法，就是比如说三加一减一等于三，然后三减一加一等于三，就这个意思，不做过深的追究啊，我们来研究个问题吧，就比如说有一天我们遇见了一个三的这个负的 log 以三为底，这个四对数再减个一啊，大家想一想这个结果等于多少？好，我们可以分布的做操作啊，这个就是结合前面的问题一起来的，那他呢，就是为了目的啊，就用这个公式吗？你大概率是用这个公式，因为你希望这个三和这个三碰头，他碰头之前的话，有些东西我们可以把它处理一下，比如说我先提个负一，三的 负一外面再嵌套一个以三为底加一的对数，对不对？那这个三的负一是不是三分之一了？当然大家可以把它反过来，就先干这个这样简单啊的负一，然后呢我们再来，非得让他俩碰到一块的话，那我们就再来，然后这里面加法的话呢，其实是不是就是乘啊？ 那是不是这个意思？那我们接下来把这个算一下，这个四乘三括号的负一次方呢，是不等于十二分之一，就这个意思啊，你得让他俩见面啊，他俩一见面什么事都好说了，就这个意思，这块呢，最好上次刚才打个括号就可以了。好吧，以上陈老师讲的叫例题啊，叫只对括号和公式，以及对数加减法计算、和指数加减法计算的，指数的加减法计算、乘除法计算等合集。 好，那么以下的这个就是已知对数，我们画一些想表达的东西啊，这里面也是啊，跟尚老师说的差不多，就是你要把你用的这个东西，我们用画点公式给它画好了，综合一点啊，尚老师挨个给大家解一下，第一个简单了，那么这里面呢，就是 log 二，加上一个 log 三， 第二个简不简单？这里面的三四啊，大家把前面的这个东西可以先换个底，把你这个式子换个底啊，你把它换成以十为底的，那么除以个 log 三，那它是不等于二倍的 log 二，除以个 log 三，那是不是就可以写成二 b， 可以 写成 b 分 之二 a。 好， 下面这个同理，我就不做过多的赘述了啊，我认为呢，它们是差不多的， 这个也是同理，它不难。好吧，那，那我还是把这个说一下吧。这个位置大家可以写一下啊，先写成 log 十二，除一个 log 二。不是底数随便选吗？那你选谁呀？你选题干中出来这个对不对？那分子这个位置怎么拆呢？分子这个位置大家可以写成 log 三，加上一个 log 四。好，除一个 log 二，都有吧，是不都有啊，简单吧。那下面这个也是一样的， 我想说的是啥呢？这个题啊，有可能考这么一个问题啊，我给大家补一个啊，这个怎么做？那这个大家把它拆完之后就会拆成这个形式，你拆完之后，你这个数是不是有啊？这个，这个没毛病吧？二 a 啊，没毛病吧，这简单，这个五哪来啊？这里跟大家说，所有的考题会默认你知道 这个家伙等于一，你说我不知道，你不知道吧，十多少次密等于十十的一次方吗？对不对？然后，所以这个位置呢，他就可以写成啊，到个十，然后减去个到个二啊，是不是？那么就是二， a 除以个一，减好，完事，听懂就会表达意思。好，以上呢，我说这么多啊， 对数的，对数函数啊，我们得看对数函数了，预算呢，就这么多啊，你搞清楚就完事。就对数函数。对数函数这一块的话，我们还是得强行的先记一下啊，其实它和那个，它和指数我，我上来直接讲它和指数函数关系吧。啊，这个 y 等于 a 的 x 方，它和 这个 log 以 a 为底， s 对 数，它俩什么关系呢？它俩叫做反函数啊，所有的反函数都有个逻辑，它会关于 y 的 s 对 称啊，关于 y 的 s 对 称，而且呢，它们的这个说深一点的话，他们有要求它必须单调啊，但是没有必要啊， 你要知道它俩是反函数就可以了。那怎么来的呢？其实什么函数是反函数的？其实你可以这么的啊，你先把 x y 给它互换一下位置。什么叫互换啊？就是 y 变 s， s 变 y 啊，那么 x 呢，就等于这个 a 的 y 次米，然后我们两边取一个以 a 为底的对数啊，就变成这样子， 那么这里边入 y 了，它俩是不是长成一样的了，对不对？那这就说明它是反函数，就交换，然后化简能化到这个它俩就反函数。听懂， 好，那主要就是我想表述的是他俩是对称的啊，那我们可以依照这个逻辑去画一画，你还记得这个大于一的时候的指数怎么画？是不是这样画，他俩是不对称的，看到了吗？啊？关于 y 的 对称小于这个零到一之间的时候，他怎么画的？指数怎么画的，还记得吗？是不是这样子？呃，那我这个图还是画的好看一点，就这样子对不对？ 那这样的话是不关于 y 的 对称的，对不对？总之吧，一句话啊，就是他俩的这个图像啊，是关于 y 的 对称的，我不要求你这么记啊，但是呢，你要知道就可以了。那具体我们怎么去画这个图呢？很简单，他也分两种，这个 a 同样的范围跟指数是一致的啊，我们只研究这两个范围内，其他的不研究。所以 a 大 于一的时候，你画增对数，增对数怎么画？ 从这开始画怎么画？ a 小 于一大于零怎么画？从上面开始画怎么画？呃，这里发现啊，它 x 不是 真数位置吗？它不定域吗？对不对？它必须要大于零，没毛病吧？因为我们刚才讲对数运算，你们要理解，对数函数呢，是比对数运算要更特殊一点。那对数运算都带不进去你，对数函数，你，你怎么带呢？对不对？ 好，这是我想表达的意思啊。那么又回到了定点问题，什么叫定点呢？很简单，定点问题就是指与参数无关，与参数无关，与参数无关就是定点问题。我们看一下啊，这以 a 为底， x 对 数，我问一下大家，大家想象一下啊， x 等于的时候， y 等于几 好， x 等于一的时候， y 是 不包得零的呀，因为你这是一啊， a 的 多少次方等于等于一啊？ a 的 零次方等于一吧。 ok， 那 么就是说它和 a 就 没有关系了，你这个数是一百，它也没毛病啊，你这么写一百 x， 你 不说 x 等于一的时候， a 等于几，不是 x 等于一的时候，这个对数等于几，它是不还是等于零的呀？就是 一百的零四方等于一，明白吧？所以这是不是与参数过了，是不是定点啊？两个定点大家背下来喽。好了，减函数，增函数，这个不给大家解释了好不好，你们感受一下，其实 a 大 于它就是增的。这个反函数有个特点啊，反函数对称区间单调性相同啊，反函数它不仅是对称的，而且它的单调性还是相同的好不好，因为它是关于 y n s 这条线折过来的啊。这里呢，就不 不说的太深了啊，我觉得没有意义，你们只要把它背下来，我觉得是最好的手段好不好，好干一道这个课本的这个东西啊，这个玩意还跟化学有点关系，比如说为什么要学对数呢？其实这个世界上呢，是先发明的对数，后发明的指数啊，人们呢，一开始在量这个天体啊，就测量天体这些距离的时候，发现呢， 有些数字呢，根本就不影响我运算啊，比如更多影响的是十的十次方还是十的一百次方啊，这玩意呢，是影响我主要的运算，所以最开始出现的是这玩意 这个东西啊，以十为底的对数，就是你在比距离的时候，我已经不比它的这个大小了啊，我比的是它的量级啊，就这个意思。所以呢，我们用这个运算啊，后面才推导出来指数运算啊一些东西。那 ph 是 很典型的一个问题， 因为氢离子浓度更多的是以指数，你的氢离子的多少，它是以指数的这个量级来判定的啊，根本就还没到这个位数呢，比如你二成啊，还是三成，这无所谓的，差太多了，比这个数听懂我意思吧，所以呢，这就是 ph 的 由来啊，因为因为它这个量级还是比较大的。 呃，其实对数很有意思啊，我今天刷到个视频呢，他说这个世界的时间流逝是以对数形式存在的，就比如说我这个人呢，我小的时候觉得时间流逝的很慢啊，长大了之后就觉得时间流逝很快，我觉得非常有道理啊，但是这个是题外化，我们来开始看吧。好，第一个。嗯，我们要先理解浓度的啊，这个变化关系 好，其实呢，他想说的是啥呢？他想说是你把这个写成函数啊，把这个写成函数，比如这哥们就是 y 啊，这个氢离子浓度就是 x， 溶液酸碱度就是 y 啊，氢离子就是这个，那我们写一下呗，这个 y 是 不等于负的。 log x 什么情况？是不是单调递减的呀？也就是说呢，我们的实际上啊，这氢离子的浓度，它增大的时候，我们这个 ph 值呢，就是这个 y 啊， y 嘛，就是 x 了， x 增大， y 减小， y 减小，这个 ph 值就减小呗， 那这个酸碱性，大家确实要了解初中数学嘛，对不对？呃， ph 值小，它的酸性强，对不对？就这么个意思。好了，那让我们算这个东西了，让我们算下面这个，那我可太会了，对不对？那我们就直接呃理一下了，那所以我们要算的这个 ph 值呢，就是这个函数了，你把这个十的负一次往里带啊，它等于负的 这个十的负一次方，负七次方啊。 sorry， 看错了，负七次方，好，那它等于多少呢？我们过电扇公式把这个十啊的负七次方先甩出去，是不是等于七？这个等于减是不是等于七？好吧，那么它的 p a 值呢，就是七了，七的话就就中性呗。 好嘞，那这里面呢，就是对数函数的应用啊。好，那沈老师呢，今天的内容呢，就给大家讲这么多啊，这里面已经看到对数函数了，当然有一些套路的问题。沈老师还没给大家讲啊，有一些什么问题，比如说我们后面会有学一些呃 类对数函数啊，比如说这种图像怎么画呀？ log 以我们以十为底吧，好不好？这个 x 减一的绝对值，它怎么画呀？好，然后呢？比如说 m 等于这个 log， x 减一的绝对值，它产生两个点，产生两个焦点， x 一 与 x 二的关系是如何的呀？对不对？类似于这种函数的性质，它有好多好多，但是我还是那句话，为什么从课本出发，我希望大家呢？要从课本里面去读读取一些东西，把这东西变成自己的所有东西，其实都从底层逻辑慢慢搭起来的啊。不要着急， 今天沈老师先带大家看函数的零点存在定理，那么这是一个非常重要的，在未来大家求函数零点的时候，验证他有零点的时候，这是必须的一个手段。 首先，如果函数在区间上是条连续不断的曲线，始终有 f a 乘 f b 小 于零，那么函数 y 等于 f x 在 a 到 b 开区间内，至少存在一个零点，既存在 c 属于 a 到 b， 使 f c 等于零，这个 c 也是方程 f x 等于零的解。 首先我们先来理解一下它的原理，我们提几个细节，或者说我先把问题给大家提出来。第一个，什么叫做连续不断？这是在干嘛？它它目的是什么？第二个问题， f a 乘 f b 小 于零，可不可以换成小于等于零？第三个问题，存在这个 c， 他是一个零点，那么前面的这个前置条件在开区间内，可不可以改成 b 区间？这是陈老师大家三个问题。首先第一个，连续不断，大家不要太过于纠结所有的函数，就是我们认为我们高中接触的基本初等函数， 他在他的定域内都是连续的，所以我们在问问题的时候，他在定域内都是连续的，大家不要纠结说老师，万一他在定域内不连续怎么办？我给你段区间他肯定是连续的，这个大家不用纠结，高中不研究那种定域内，他是断的好不好。 第二件事情，这个小于等于零又是什么意思？这个是绝对不允许的。我们先来画个图来分析一下，是他想表达的意思是这样的，我们这块一个 a， 这块一个 b， 那 么 f a 乘 f b 小 于零什么状态？是不是这块是 f a， 这块是 f b， 大家发现一正一负的时候，那是不是这个曲线又是连续的，它就一定会穿过来， 那甚至它可能这么穿？所以这个定律叫什么？叫做存在定律，而且叫至少一个零点，我是不是可以画出好几个？但是它至少它是连续的，它这肯定至少有一个，对不对？ 这就是沈老师想表达的零点存在定理的含义。那么我们再讨论下一个，这块小于等于零可不可以？其实这是不可以的。举个例子，比如说你这个 f a 如果等于零了，那么你就会满足 f a 乘 f b， 它是等于零的。嗯，这个时候呢，你 f b 在 这，它过去之后，它在这个开区间内就不一定有零点了，所以它原描述是非常准确的，这个绝对不允许。而这个可不可以呢？其实我们在上面条件在非常精准的情况下，这个是可以的。我给大家稍微的条件，在非常精准的情况下，这个是可以的。我给大家稍微的条件在这，那么 f b 他 在这， 你想想你在这个开区间就不包含这个端点内部是不包有一个零点，肯定有一个零点，那么它在这个 b 区间是不是也有一个零点？ 但是我们平时做题的时候偷不到这些细节，我们只是说一定是在开区内有这个零点的，那我们一般来说描述的时候怎么描述？我们在做题的时候想证明它有零点的时候怎么说呢？一般来说就是 f a 乘 f b， 它是一个小于零的， 且 f x 是 连续的，就抓住这两个就可以了，就可以推出来这个 a 到 b 上存在零点。我还是那句话，连续这个事一般来说不用说，因为你的基本初等函数它都是连续的，哈哈，在定义内它都是连续的，给你的区间内它都是连续的。 好，以上就是沈老师想给大家说的第一个问题，就零点存在定力。好，下面我们再继续下一个问题，就是零点存在定力的一个拓展，我们学成这样够不够用呢？给大家举个例子，我们来个拓展，这个拓展我先给大家说一下，就是说零点零三厘米的拓展。连续这个事我就不说了， f a 乘 f b 小 于零且连续。 我还是那句话，这个连续大家不用太过于纠结，因为我们高中没有对连续做一个非常标准的定义，再加上一条我的这个函数是单调的，或者单点都可以， 这个时候我就可以判断这个区间内只有一个零点，大家懂我意思吗？这个是不是就好用很多？什么意思啊？你这里面刚才那个定义，就像沈老师刚才画的，他这大于零，这小于零，他可以这么多，对不对？可以无数个零点，但是按照这个描述，他是不是就只有一个零点？那有的题目让你证明他有唯一的零点，是不是就依据这个？ 那你说老师这什么意思啊？你 fa 大 于零， f b 小 于零，或者 f f b fa 小 于零，这都无所谓，他单调他是不是穿过去了， 那他穿过去之后是不就一定会只有一个零点？就这个意思？好了，那我们练习一下。那首先我们分析零 x 加上二 x 减六，这个是增函数，这个是增函数增加增还是增函数？那所以我们再随便取哪端点 f 零， 这个 f 零大家可以想象一下，这个叫做极限 f 零实际上不允许往里带的，但是我们可以通过这种极限的方法，他去零的时候，这个数是个负无穷，因为对数图像是这么画的， 然后它是零，它减六，那么它就趋近于负无穷。再看 f x 趋向于正无穷， 这个趋向于正无穷的时候，它这个数对数函数，它这边是正无穷，所以对数函数这家伙是正无穷，这二 s 包也是正无穷，那所以我们就可以得到它其实就是正无穷。 那这样可不可以用零点存在？零点当然可以，是不是一正一负？你不取端点，他是不是就一正一负了？就这个意思，你可以这么说，你说这个 f 一 小于零没问题，带个数试试。再来一个，我们再来一个 f 八大于零，是不是它就单调递增，在这区间内是不是只有一个零点？所以我们用这个就可以说明 f x 还是个单调递增呢？这个单调递增加上这一条是不是一号的，对不对？所以 f x 仅有一个零点，当然沈老师要说一下，说我刚才弹的是零点，但现在我弹的是方程的解， 这里面有一句话是这么说的，叫 f x 等于零，这个其实是个方程，它叫做方程的解，它实际的含义用几何划出来就是 f x 零点， 所以它们是一样的，所以这个零点定律完全可以用在方程的解上面，就是方程的解和 f x 的 零点，就是你让它等于零，那么它的含义是完全完全等价的，这个就是零点存在定律的一个拓展。那么下面的话给大家介绍两个非常重要的函数，就是 高中我们认为他课本里没有说明，但是你用基本不等式的时候，你做的时候他就会出问题。当然你说老师这不是课本说明，他说的没那么细啊，他只给俩啊，一个是这个，一个是一道例题，他就让你用， 其实我都想把它划归到基本出等函数了，因为他太常用了。那什么叫对勾函数？他叫打勾函数，他的图像大致是长成这样子，是不是像打勾一样？其实大家如果学完选择性必修 一解析几何里面，你会学到一种叫双曲线，他的图像其实非常好看的，他是这样的对称的，但是你没有必要，你在高一阶段你重点是什么？ 重点是单调加肌肉。至于说他这个图像到底有多么好看，多么对称这个事跟我的关系不大，所以我们主要抓住他的几个特点。第一个特点，他是一个什么函数？ 我刚才也给大家画出来，大家可以验证这个 f x， 它等于 x 加上 x 分 之一， f 负 x， 它就等于个负 x 减 x 分 之一，这妥妥的是一个接函数，因为它俩是一个相反数， 所以它的图像会关于原点中心对称，这是第一个，所以我们认为对勾函数第一个特征，接函数第二个特征，我们要分析它的单调性，那我们随便给一个大家一个例子，比如说 y 等于 x 加上 x 分 之一， 在我们明确它是一个基函数的情况下，其实我们看它一半的单调性就可以，大家能理解吗？因为它的对称区间的单调性应该一致的。或者你画图，你这边比如说已经画出来了，你这边画出来是不是压力不大？那我们接下来怎么分析？可以用两种方法，第一种方法叫定义法，我去 定义它是一个什么情况。第二种大家可以通过基本不等式来快速的画出它的第一象限的草图，我们发现对它直接使用基本不等式，因为当 x 大 于零的时候，我们发现其实它是可以使用基本不等式的，那么所以 x 加上 x 分 之一就大于等于二倍，根号下 x 乘上 x 分 之一，这个数呢？就等于二，我们发现这个函数是比二要大的，那么 我们在 x 趋向于零的时候，其实它应该是零，这边应该是一个正无穷。反面里还说多了，那 x 趋向于正无穷的时候， x 趋向于正无穷的时候，我们发现 x 变成正无穷了，这个数字一被分成无限小，它变成零， 所以最终它还是正无穷，所以这个函数是不是由正无穷下来取到这个最小值？这个最小值就是二，再偏向于正无穷就是这么个意思。当然这个不严谨，大家正常的严谨的画法，你严谨正它的单调性的时候，要用单调性的定义，任取作差定号下结论那一套逻辑。首先你要把这个图调节好，把它背下来就可以。 我发现这个最小值是二，那么什么时候在这这个横坐标是几？大家可以验证它基本不等，是取等 x 等于 x 分 之一的时候，能懂意思？ a 加 b 大 于等于二倍根号 ab， 基本不等式的写法。我把这个看成一个整体， a 加 b 大 于等于二倍根号 a b， 所以 当前仅当它俩相等的时候。那么这里面大家可以解一下， x 方等于一，所以 x 也等于正一的时候，或者负一，其实负一我们就取不到了，因为我定义 x 大 于零的，所以它就在这块是一。我这一招就是带你画所有的打勾函数，再根据奇偶性奇函数画出来，完事 就是你画成这样就可以了，没必要说像他这样，你看他这里搞了个渐近线是吧？这里面这个叫渐近线，我也可以教大家渐近线怎么画，有的题他可能难一点的题，他确实需要这个渐近线，我这么说，当 x 非常大的时候，这个项就忽略不计了，所以他的渐近线就是前面这个东西。 那我们再记一条渐近线，我再强调一遍，这个不必要，高难题的时候会考，所以它的渐近线是我们令 x 非常大的时候，它这个反比例函数就没了，就剩一次函数，它就是它的渐近线，那这里我觉得还是太过于普通了，我教大家三个点，第一个怎么画这个单调性和奇偶性，第二个是接函数， 第三个我教大家具体的怎么去描述，用基本不等式可以画出这个点的位就足够了。那我们还是来一道更一般的陈老师再给大家总结一下，我把它擦掉好不好？下面我们画一个函数，比如说 f x 等于个三 x 加上一个 x 分 之四， 简单一点，我想想来一个好算一点，这个这个就复杂一点。那首先第一步我们判定它是怎么样子的？我们先假设当 x 大 于零的时候，我们发现这个函数对应基本不等式，三 x 加上 x 分 之十二大于等于二倍根号下三乘十二等于二乘上一个 六等于十二，所以拐弯的地方，这个纵坐标是十二，横坐标验证取等三 x 等于 x 分 之十二时，所以三 x 方等于个十二，所以 x 等于正负二，我们取二在这个位置，这就 ok 了，咱们画出这个打勾函数，它就这样子的基数性、对称性完事， 但是不够。一般渐近线会画吗？渐近线再了解一下，渐近线就是 x 趋向于正无穷的时候，那么你这个位置趋向于零，这个位置是不是三 x， 这个有个虚线，这个虚线就是三 x， 就 这么简单，我给出大家更一般的总结形式，我把这个线擦掉，更一般的， 比如说我们见到 y 等于 a， x 加上一个 x 分 之 b， 这里面我们先研究这个事，就 a 大 于零，然后 b 大 于零的这个事，这种情况下画它的草图，我们只需要明白一件事情，就 a b 都大于零的时候，它的草图就是这个样子，我们把它背下来，拐弯的地方，你要搞清楚在哪拐的弯， 这个值是多少，这个值大家可以用，基本不能说 a x 加上 x 分 之 b 大 于等于二倍，根号下 ab 取等条件 a， x 等于 x 分 之 b， 所以 x 方等于个 a 分 之 b， 所以 x 等于个根号下 a 分 之 b 完事，所以这个位置是根号下 a 分 之 b， 这个位置是二倍，根号 a b。 ok， 这种想表达的意思更一般的。那么大家可以把这幅图背下来，我觉得没有必要背，自己每次用下基本不懂事就可以了，这是一型。第二种类型，当 a 小 于零，这样我搞一个负的吧，还是这个条件，所以 y 等于负 a， x 加上一个 x 分 之负 b， 我建议你们就没有必要再推一遍了，你直接把这幅图像，你相当于整个 y 填负号了。那么 y 填负号什么概念？就像你把右侧东西是不是填负号了，是不是叫负的 a， x 加上一个 x 分 之 b。 其实大家理解一下，我原来取的正数，现在要变成负数，原来取负数要变成正数，所以这幅图像关于 y 轴，它是对称的， 变成这样，我们管带负号的，这个前面都是负的，叫做二四象限的，它有点像反比例函数，就一个是一三象限，一个是二四象限，这个叫二四象限的打勾， 这个叫一三象限的打勾。听懂了吗？陈老师就给大家总结这么多，这就是打勾函数，我相信大家，你只要高一，你必须给我知道这个在哪，拐弯之后拐多少，这样你基本都是做不出来时候就可以用它了。下面的话我们看飘带函数， 飘带函数它比打勾函数的级别要更低一点，用的少一点，但是大家要会好。首先我们直接给出两种总结，第一种， y 等于 a， x 减 b 减 x 分 之 b， 这里面还是给出了 a 大 于零， b 大 于零，这个图像怎么画？什么叫飘带啊？它是一种扭一扭的感觉， 它首先这个函数我们来分析单调性和奇偶性，单调单调性它一定是单调递增的，因为你 a 大 于零，这是单调递增，这个反比例函数在 a 大 于零和单调递增，对不对？它在零到中性包单调递增的没问题吧？这么画为什么？因为这块要体现出它有个零点， 这个零点是谁？这个零点你可以拿这个去举例子，你想减它等于零，是不是 x 减 x 分 之一等于零，那是不是 x 等于一？那对于我这个来说，我们就可以复刻刚才的方法， a x 等于个 x 分 之 b， 所以 x 方等于个 a 分 之 b， 所以 x 等于个根号下 a 分 之 b， 所以 对于这个位置就是根号下 a 分 之 b 来根 它右侧，它是个奇函数，能看出来吧？来证明一下， f 负 x 等于个负的 a， x 加上一个 x 分 之 b， 这明显是不是相反数啊？所以 f x 是 一个奇函数，那么因此你在左侧的时候画图，这么画完事。那重点是啥？它这个东西在零到中求单调，负穷到零单调，所以它没有什么 考点，他如果考，你只是说你知道他是单调的就完事了。在领导中分别单调，这个严谨说叫分别单调。这个零点考的多不多？其实也不多，因为我想求函数零点，我自己列方程，我自己可以解了，这是飘带函数一，咱们一起看飘带函数二，那么飘带函数二是这个 y 等于 负 a， x 加上一个 x 分 之 b。 具体的例子就是，比如说飘带函数一的是 y 等于三 x 减 x 分 之六，你们可以自己画，那具体它的例子就是 y 等于负三， x 加上一个 x 分 之四。我稍微总结一下，这两个是同号的时候， 同正同负，它都是打勾 e 号的时候一正一负的时候，不管谁一正一负，它都是飘带。所以这幅函数图像应该是这样子的，它变成减的了，这个零点还是这么减，还是根号下， 其实也没毛病，你直接解就行了，就根号下 a 分 之 b， 对 不对？这块是负的，我这就不做过多的赘述了。总之，打勾函数需要你知道在哪拐弯，对，飘带函数需要你知道它单调性，然后知道它这个零点就足 以。以上就是沈老师给大家带来的打勾飘带函数，那么大家如果有任何需求想要练习题，因为这个视频讲基础概念，没有太多的时间去给大家讲这个练习题，大家有什么需要的可以进群，那么学完这个有什么用？这个东西沈老师想给大家讲一个 更有意思的事情，有参变分离。我一句话画一个图像给大家总结好。第一个问题，就 f x 等于零的解，举个具体的例子， e g， 比如说 m x 方加 a 加 x 减六等于零的解，它是完全等价于 f x 的 零点，这个方程的解和 f x 零点。就比如说第三个，它和把这个参数分离之后，比如说你 m x 方是不是等于个六减 x， 所以 m 就 等于个 x 方分之六减去一个 x 分 之一。 这三件事情在高中数学的讨论当中是非常常见，用于转型的。也就是说你研究这个函数，它的零点和这个方程的解和参变分离之后，它与图上的焦点，它们三个 东西是一样的，这个 x 值是一样的，这个怎么理解？我们就从代数的角度理解这个方程的解和这个方程和它等于零是不是一个概念？ 那么它等于零的解和你怎么挪动这个方程，它的解是不是也是一样的？能懂我意思吗？就你 x 是 不会变的，所以哪一个最简单？我跟大家说，很明显这个应该是最简单的。零点这个东西是画图来的，挺抽象的。 这个方程你要用什么？求根公式对不对？那最后一个怎么办？最后一个把 m 看成常数，叫做将 m 看为水平线，它也是个函数， 你把它看成一个长函数，会画，你看你右侧函数图像，你说老师我不会画这个，回头再教大家，我就给大家解释一下，比如右侧函数长这样子， 它其实应该是一个大概就是这样子， m 它穿过去对不对？那这两个焦点的含义，其实它和上面这个方程的解是一致的，所以我们经常管把参数放一侧叫做参面分离，你把它看成水平线， 这个思维特别的重要。那你说老师这个题我可能看不太明白，那我们来具体道练习题来，比如说三面分离应用，这是课本的原题，他说这个方程恰有一个零点，求 a 的 取值范围， 那当然他这里面练习题给了个错解，沈老师专门的给大家选这道题，来给大家讲一遍这个题。我们的做法就是把这个 a 给它先抽出来，当然你课本上给那个方法我觉得也 ok 的， 那我们先做一个三面分离，二十四 a x 方 加四， x 减一等于零。把课本的方法给大家优优化一下子，二十四 a x 方等于个一减四， x 好， 除以一个 x 方，所以这个 a 它就等于二十四 x 方分之一减四 x， 其实这个二四可以留过来，但是呢，我们认为反正分离分离干净一点也可以，大家新学可以这么搞，其实二十四可以留过来， 那所以我们研究的这个 a， 它右侧这个函数就是一个二十四分之一，减去一个 x 分 之四， 这里面你想画右侧图像，你说老师这个团数我没画过，但是你可以换圆。我这里给大家解释个道理，因为本质这个 a 与右侧图像交点个数问题，其实是一个值域问题，对于值域问题，其实我们可以随便换圆的，只要你定域没问题就可以，只要你换定域就可以。所以我们第一步令 x 分 之一等于个 t， 猜这是这个是 x 的 范围， x 是 属于个负一到一的，所以按道理来说，我 t 的 范围是不是应该是属于多少？ t 应该属于负无穷到负一，或者是这个一到无穷，我们去画，看原函数变成什么样子， a 等于二十四分之一，乘上一个 t 方减四 t 简不简单？那这个是不是大家很熟的二次函数啊？ 这个你就画反比零函数，你反比零函数，它是这样式的， x 在 这的时候，你 x 属于负一到一的时候，你说零不能往里带零，我们一会单独讨论一下，因为相当于你除过来，这个 x 就 消失了个点。一会你回头在原式的时候验证一下 x 等于零，在没参分的时候验证一下 x 等于零，那你实际的范围是不是就这一段和这一段，所以 x 范围，所以 t 的 范围就是这一段。到这一段我们画草图， 图像已经被我画好了，那么它主要是这样的，这个图像它本身有题的范围，这个二三数，它的轴是二，所以这一段是负一，这一段是一，所以它图像是这样的。你现在要求有一个零点，这个函数怎么能有一个零点？那我们还是说把 a 看成水平线，那是不是从这穿过去时候刚好，所以它能穿过去的，在这 从这穿过去就是这个位置到这个位置，这中间这些位置是不是就有一个零点？其他是不行，你在这是不是有俩？在底下这一段是不是也有俩？ 所以它只能有中间这一段，我们把这段算一下，所以这个 a 它能属于这个高度这个位置。把负一往里带，我们把负一往里带，负一往里带是一减三，那就二十负八分之一，再往这段往里带，这段往里带。这段应该是把一往里带，一往里带就带错了，因为现在负一对不对？ 负一带进去应该是一加五二十四分之五，再往这边里带，这边里带的话负三，所以是负八分之一， ok， 这里面再谈个细节，这个两个边缘可不可以取？往边缘取到之后它行不行？由于我这个函数一开始他给的这个区间是这样的，我换过来之后这块也没取到，所以这块是空心的， 那么这边如果空心 m 穿过去，你本身也不受影响的，所以导致我这边是可以取的。听懂了，这个细节很重要，那下一步呢？我再穿还能从哪穿呢？是不是在这穿过去是不是也一个零点？听懂我意思吗？所以这 a 最好是最好，你把那个 x 等于二往里带，答案里面负六分之一， 当然你换成 t 了之后就是 t 等于二，那 ok， 所以 答案最终是这两个范围，大家写成集合的形式就可以了。这是我参面分离。做这个题其实用零点存在定力也可以，但是我跟大家说，零点存在定力，有一些题目是好的，对于有些题目他是不好做的，这个题目参面分离这个方法他也是同样道理，他对有些题目好做，有些题目不好做， 什么时候优先参面分离？参面分离之后，你发现这个图像你不会画， ok， 你 就别用了，听懂我意思吗？这个图像我会画的，就画完之后是二三数，我太喜欢二三数了，对不对？当然大家可以参考课本的做法，我觉得也非常好，非常 nice， 一题多解。好吧，但是大家要相信我，餐面分离这四个字大家在未来高一可能听到是最多的。大家好，我是瑞沈老师，今天我们看任意角这个概念，在生活当中我们可以见到超过三百六十度角，比如说在初中的时候，大家肯定接触过什么 sin 三十度啊这些基本的概念，那今天要研究的是什么？比如说什么 sin 七百二十度，这到底等于几啊？ 在二百七十度等于几啊？ sine 四分之 pi 等于几啊？再类似的比如说 sine 负三十度等于几这类问题，这个东西是大家未来学习的一个基础，非常重要。未来你学到三角函数的恒等变换，包括诱导公式、二倍角公式和差角公式， 这些基本的概念必须要知道。那接下来我们来一起画图像，首先按照课本的定义啊，生活当中这些给大家引起一些关注啊，比如说体操当中后空翻转体七百二十度，它既有非常大的感觉，又有一个 前空翻，后空翻是不，方向还不一样。所以我们现在提出两个概念，一个是方向问题，第二个概念叫做大小的问题，非常大的我们怎么表示他？那我们现在规定叫做一条射线绕其端点，逆时针所成角叫做正角， 顺时针所成角叫做负角。来给大家举个例子，以后我这么说，大家默认这个 x 轴的正半轴为矢边，就是它起始的位置，那这个角度画在哪？我们管它叫做中边，这个时候夹的角就是我们要找的这个角，也就是从这开始，从这是终点。 那现在大家能不能理解一些比三百六十度还大的角了？那这里还要再强调一下，叫逆正顺负，比如说这个角是这么转过来的，那这个时候他是正的，这个角如果是这么转过来，比如转到这了，那他就是负的。 这个时候我们发现个问题，是不是转多一点我也能接受。比如说你转了个三百九十度，我发现三百六十度是一圈，再加个三十度，是不是他转了一圈又零三十度？那是不是大概就在这？那这个位置是不是就是三百九十度？三十度。但是我们可以理解，他其实是 还可以怎么表达，是不是他可以这么转了一圈又到这，这个是比如什么？你会发现啊？这种描述是 ok 的， 我知道尺边了，知道中边了，我是确实能够把这个角表示出来，但是这个角，这个中边画在这里，它能表示角好多好多呀。这就是我要提到的下一个概念，叫做中边相同的角。也就是说我们以后这种画法下， 他在一个图形里面，他可以表达无数个角，这叫中间相同角。我再给大家画一遍。比如说我从这里开始转到这个边可以表达什么？是不是可以表达三十度？他还可以表达什么？是不是可以表达三百九十度？ 你说这什么意思？我们刚才是不是谈到了顺正逆负？逆正顺负就是逆时针，是正的，顺时针负的，那他可不可以这个叫顺时针。那可不可以这么转？转到这一圈三百六。那可不可以这么转？转到这一圈三十就是三百三，那不是负三百三。 听懂我意思，这就是我想表达的意思啊，那也就是说这一条中边，它可以表达的角有这么多个，所以我们定义一种叫中边相同的角，这里面我们写成一个集合形式，比如说这个贝塔，它现在不是三十度吗？对不对？它就等于三十度， 加上一个转一圈是三百六十度，所以我们加上一个 k 乘三百六十度，你说老师，那，那我反向转怎么表达？我没说 k 是 一定是正数， k 不 一定是正整数，它可以负整数，甚至可以是零，对不对？ 所以我们再加一个 k 属于 z 整数。这样的一个描述方案，是不是就把中边相同角全部描述出来？这样也方便我们去表达一些比较大的、非常大的角度了，对不对？ 好，以上的话是我想表达的这个问题，叫做中边相同的角，下面一个概念叫区域角，这个概念是沈老师自己规划总结的，我发现很多题目都爱考这个东西，所以我想问大家，当然和这个表述是不一样的。比如说我想表达这个范围内的角，我就说这个角中边在这个范围内， 这个中边在某一个范围内就会形成一个区域角。那我们有什么好的手段，直接把这里所有的中边都表达好吗？有的。 首先大家要意识到一个事情叫逆时针先碰到的是左侧，后碰到的是右侧，什么意思？比如说我先逆时针转，我是不是先碰到他了？但是你这里面你描述的是这样的一个范围，对不对？所以你先碰到的是他，后碰到的是他。 有的人说，老师，那我逆时针先碰到他，你如果先碰到他，那么你表述的不就是左侧这个角吗？你现在表达是右侧这个区域，所以你应该先碰到的是他，再碰到的是他，那所以我们先把他写出来，这个角度碰到是多少，比如说你碰到这个位置是多少呢？我们把这个图擦一擦，我们看一看。 注意你这里面一定要保证这个位置他应该是三百六十度，减去一个一百二十度，他应该是二百四十度， 而后碰到的是不应该是在这个基础上加了一百五十度，那他是不是就二百四十度， 加上一百二十度，再加上一个三十度。能懂我意思？那他现在应该是三百九十度，所以我表述出来就是二百四十度，小于等于 r 法，小于等于三百九十度。 哎，这样表述不行，因为你表示中边相同的角，其实比如说我的这个中边，他有好多好多边，对不对？我们再加上一个 k， 乘上一个三百六十度， 再加上加上一个 k， 乘上一个三百六。其实我主要想表达什么事呢？你这里面这个肯定是要大于它的 k 属于 z， 你 的这个右侧他一定要是大，他一定要是小，这是规矩。所以先碰到的是左侧，后碰到右侧，但是你这个右侧他肯定要更大一些的，那这样我是不是就把这个区域的表达出来了？大家可以按照沈老师的逻辑来表达一下这个区域， 这个叫做区域角，就是中边相同的角怎么去表达一个区域？那么大家可以尝试一下表达这个范围，如果表达这个范围，逆时针先碰到的就是一个三十度角，就是三十度，比如说是 beta 所在的这个位置呢？小于等于 beta， 再后碰到的是这个，在这个基础上要比它大，这里面应该是二百四十度，同样我们给它加上一个 k 乘三百六十，你要保证这块大，这块小，再加上一个 k 乘三百六。好，这就是沈老师想表达的意思啊，叫区域角。下面一个问题，叫做弧度值。什么叫弧度值？我们过去研究的，比如说这个三十度，其实它有些不方便的地方，给大家解释一下什么不方便？ 你这个三十度它是一个度数，这个度数其实有单位的，换句话说它不是实数，它不是实数，那这个就有很多麻烦的事情，它不是实数就不能在我们现在所学的直角坐标系里表达出来。比如说你这样其实不合理的，比如说你这是 x 轴，我们叫实数轴，对不对？ 它这里面表述的一些东西，你还得带单位，比如你 x 里头表达的是一个度数，你还得这么写，它就不方便。而且和其他的运算的时候，它就不能统一变量，你不能拿度数和你。比如说三十度，它和三十谁大谁小，这谁也不知道，因为这个东西它不是实数，没法比。 这个时候我们这个数学家发力了，研究了种新的表达方案，我们这么定义，重新定义一下，怎么定义？他的定义是这样的，你拿这段的弧长比半径他的弧度值，这段的弧长除以半径，他就是这个弧度值。很明显他这个里面量高，比如说 l 是 弧长，他是个长度，这个 r 这个长度他一比完之后就变成实数了， 就可以了。那你说老师我每次算的时候，我要先求它的弧长，用角度乘半径，给它先算出弧长，再除以半径，这太麻烦了，对不对？它是一个单位，所以说我们很容易的就可以推出来一整个圆，它的圆形角，就比如你转一圈这个圆形角，它是二派，你可以验证一下你整个周长是不是二派，那你除以 r 了，是不是就二派？所以说它一整圈是二派，但大家知道 这一半是多少，一半是派，但大家知道就是三百六十度，它就完全等价于二派， 而这个一百八十度，它就完全等价于派。再往下分，是不是九十度，它就等价于二分之派。这样你是不是不用纠结了？它只是个单位的转换，所以你只需要清楚非常重要的一件事情，那你说老师，那后面产生预算，你产生预算之后，咱们站在弧度制的角度再去算，听懂我意思吗？就这节课，你只要知道它是一个一对应的转换关系就可以了。 再比如说这个六十度，那么他很显然这个二分之派乘上一个三分之二，三分之派三十度，六分之派能懂我意思，那这样就够了，你把这些全给我记清楚就够了，这就是他的定义。那我们比如说把这个表填一下，大家动手填一下，这个是零，这个是六分之派，这个多少四分之派，这个多少 六十度，剩下大家自己填吧，我就不填了。那这里面我想说啥？实际上大家把这两个记住是吧？零到这记住除就行了，画个饼除就行了。当然这些是必须要背下来的，就这个表里的所有东西必须背下来，这是基础。下一件事情，我想说明什么问题就是它有什么好处吗？我给大家举个例子，现在过去三十三十度是等于二分之一的， 这大家都懂，那现在在六分之派，他也等于二分之一，这是一致的了，你就会发现七十这个六分之派大概是多少？他是不是大概是三点一四除以个六啊？那我就可以有一件事情，这里面是可以接受实数的了，这个不就是个实数吗？对不对？那有的时候我会问你，我说在一大概是多少呢？或者这个一 对应的这个弧度值对应的角度是多少？你是不是心里有个数？我没让你具体算，确实不用具体算，但是你要大概知道，其实这个散一就非常接近于散三分之八，这个散一它其实就是 很接近于六十度的一个角，一的弧度之下，它就非常接近于六十度角，它大概一就约等于五十七点三度。老师，这怎么来的？ 是吧？其实我们刚才完成了一件事情，由度数到它的这种整比的转换。那现在这个怎么搞？很简单，你不是有比例了吗？三百六十度除以二派等于多少？你刚才这个等于什么？等于一除以你要求的这个度数算法看得懂吗？ 这个算法是不是度数啊？对不对？是不是度数啊？那你这个式子你解一下就行了。所以这个算法是不是等于三百六十度除以个二，乘以个六点二八，那么它约等于多少？ 这个约等于我就会给他算了，就是五十七点三二四八四度，但是没必要，你知道它五十七度就够了。听懂我意思吗？它是个转换关系，所以你以后在求什么东西的时候很怪异的东西，你把这个转换表给我想起来，这是常见弧度制沙的大小，下面一块，最后一块，我们要讲一下它的定义，你现在我们过去这个赛它只接受什么？ 比如你只接受三十度，三四十五度，当然呢，他现在呢，未来大家可以接受到的，比如三七百二十度，这个比钝角还大的角，是吧？非常非常大的一个角，这东西你可以算，那具体怎么算呢？我们先看一下他的 正常的他的定义，这个课本呢给的很直白，就是说他是定死的，你也不用纠结说咱们初中学的那个东西，你初中从来没问过三三十度为啥等于二分之一吧， 那因为它的对边比斜边嘛，是不是？那我们现在大家呢，也可以啊，类比一下，就比如说我先给大家画一个这个单位圆，那么我们想把这个类比起来的话，就这么想，当我们的这个圆它是一个单位圆的时候， 我们发现这一点坐标，比如 p 点坐标它是 x or y， 我 们发现锐角的情况是非常好理解的，就是你还是 r t， 是 不是这个对边比斜边单位圆是半径为一的圆，那是不是自然的话，这个 sine r 法它就等于 y 了， 那么 cosine alpha 呢？是不是这点坐标是 x， 那 么它是不是就等于 x？ 那 么贪婪它 alpha 的 话呢？是不等于 y b x 这件事情呢？就是你画完单位圆之后，它其实可以拓展到任意角度。任意角度？什么意思？ 为什么要讲中边相同的角？因为在中边相同的情况下，它这个正与弦的表达是一致的，听懂我意思吗？就比如说我现在到这， 那我想表达这个角，比如说我们假设这个角是一百二十度，好，它还可以多少？它是不是还可以是负的二百四十度？ 那你当我是负的二百四十度的时候，你会发现它这个中间的位置是一样的，听懂我意思吗？我为什么要讲中间相同角？就是在这，大家懂我意思，那你现在表述这个角，它这个角，它的正弦和余弦的时候，你还可以按照这个定义 就是这一点。当然这个圆是单位圆，就是这一点的 x 坐标和 y 坐标就是它的正弦值和余弦值。那具体一点，比如说我们可以发现 sine 一 百二十度， 它应该等于 sine 负二百四十度，为什么等于啊？因为它俩高度一样，它的纵坐标位置不就在这吗？纵坐标意味着高度是不是一样的呀？对不对？那么它就这点的 y 坐标， 这 y 都要等于什么呢？那么大家可以通过这个算一算，就是其实它在一个基础上就多了个正负嘛。你这是一百二十度，这是不是六十度？这是一，所以它的正弦值是不是二分之根三呢？那我们看 cosine 这个一百二十度和 cosine， 不是， 就是我们看一个 cosine 负二百二负二百四十度吧，它是不是也应该等于个 cosine 一 百二十度，能 看懂我的意思吗？为什么？因为它这个中边相同啊？我还是那句话，中边相同的角为什么会产生？就是就研究这玩意了。那它等于什么呢？它不等于 x 坐标，这个 x 坐标在这个图上能算？不是？不是，这是三十度，然后对边的话是不是二分之一，所以它应该就等于个 负的二分之几。什么神奇？你说为什么负你坐标，这不是第二项线吗？那横坐标肯定是负的了，也就说其实它本质上就在过去的基础上呢，多了一些正负，而且呢它可以算对角了， 他就是，这就是定义啊，其实你们初中学过，只是一个他的一个特殊情况，就是他为锐角的时候，结束那么一道例题吧，这个呢，例题呢？沈老师，大家稍微分析一下吧，我就不给大家从头做了。你想求这个，首先第一步，你给它画出来三分之五派，三分之五派的话呢，相当于 他一圈是二派吗？你可以拿二派减去个三分之五派，你看看是啥？他是不是等于三分之派，所以这个角呢，是三分之派。三分之派大家刚背过的话，他应该六十度， 六十度的话，你这个边是一的情况下，所以这块呢的长度应该是二分之三，这块的长度呢，应该是二分之一，是不是？我们不用管这些，你要求这点坐标，它的横坐标是多少？横坐标是不是二分之一啊？纵坐标多少？是不是负二分之二？三，那么算就行了。 然后它的正弦就有了吗？正弦是什么？正弦是 y， 坐标是负二分之三，余弦是什么？余弦是横，坐标是二分之一。其实很简单的道理，就在这幅图上，你同样的结果啊，就这个题，它同样的负三分之派和这个 cosine 负三分之派， 他的答案肯定和这个是一样的，就是肯定和这个结果，他这个题算的结果就是横坐标，就是他这个纵坐标就是他，为什么他中边相同，他这个点的坐标是一致的呀？ 就是我希望大家深刻的理解什么叫中边相同，就在这最后的话呢，给大家来讲一下这个全是天才，这是什么意思呢？我们来画一下，比如说你，你想求一个角的正弦值的时候，你会发现我在这个位置，他的纵坐标是不是一直是正的？ 那比如说在这里面它是不是一定是正的？在这的时候，它这一点的这个纵坐标是不是也是正的，所以它是正的。那么在这一点的时候，它的这个纵坐标是负的，所以它是负的，在这点是负的。 总之这个中间只要落在这个范围内，他就都是正的，这个范围内就正的，这个范围内就是负的，这个范围内就是负的，这是不是就是叫做正正负负。这边看鱼弦，鱼弦的话，我们取的是横坐标，所以这是正，这是正，这是负，这是负。正切正切，我们取的是这个横比纵，第一项线正的， 第二项线，他的 y 是 正的， x 是 负的，所以他是正的。这块呢横坐标是负的，纵坐标是负的，所以他是负的。 那这些东西要不要背呢？大家可以听我下节课，我明确的告诉大家，这些东西呢，暂时大家需要背的，后续就不需要背了，你学完在哪行，图像就不需要背了，但是你现在的话呢，你必须要背，而且它有点帮助。怎么背呢？就是说第一项线呢，我们叫全，第二项呢叫塞， 第三项叫 tangent， 第四项就比如说你背这三个叫全是天才，就一二三四项线， 那啥意思呢？第一项线正弦全是正的，第一项线就是所有东西全是正的，第二项线只有正弦是正的，第三项线只有正切是正的，第四项线只有余弦是正的，就这么简单，这就全是线段的意思。你核对一下这个表吧，你看第一项线大伙都是正的，第二项线是不是只有正弦是正的？ 第三项线是不是有攀筋塔是正的？第四项线是不是有局线是正的，而叫全是天才？听懂了吗？好， ok， 那 沈老师呢？今天就给大家讲这么多，关注数学，沈老师通过本质带你了解数学今天的课程我们就说到这里。
18.5万本质数学沈老师
01:01查看AI文稿AI文稿文档里数字太多，想统一改革式标颜色或者删掉，还在一个个手动加选？ 今天教你一招， word 通配符，批量选中所有数字，三秒钟搞定！第一步，直接按键盘上的 control 加 f， 打开查找和替换窗口。 第二步，点击左下角的高级搜索，然后勾选使用通配符。第三步，在查找内容，这里输入方括号，零到九大括号一逗号。 最后关键一步，点击指定范围查找，选择主文档。 看文档里所有的数字，瞬间全部被选中了，想改颜色、改字体，批量删除？随便你怎么操作，赶紧点赞收藏，别用的时候找不到了！关注我，更多办公小技巧，下期见！
32山一尘
01:11查看AI文稿AI文稿我发现现在招聘文件里面特别喜欢玩文字游戏，现在有一些关键字你稍微不注意就踩雷了，那今天来给大家分享一种方法，快速标记出招聘文件里面所有的废标项以及关键字。走，今天就以这份招聘文件为例，来给大家分享一下如何快速标记出招聘文件里面所有的废标项以及关键字。我们点击查找替换， 然后再查找这里查找内容，输入一个小括号，然后在小括号里面我们输入一些关键字，像承诺废标、否决、禁止、必须无效等一些关键字，然后在后面我们再输入一个大括号，在大括号里面我们输入一个数字。二， 然后高级搜索使用通配符，然后突出显示，全部突出显示。大家看到没？这边文件里面所有的关键字，我们全部就都用颜色给标记出来了，大家我们给看一下，看到没有，全部都用颜色给标记出来了，这样我们在做标书的时候， 哪怕是我们标书做完了，然后对着招聘文件检查标书的时候就不容易漏，看到没有，招聘文件里面所有的关键字以及废标项全部都用颜色给标记出来了，祝老板们的胜利中标完美！
2141嘉诚标书（标书代写）
00:35查看AI文稿AI文稿word 技巧，给文字加上括号在这个文档上，我们需要给这些有颜色的字体全部加上括号，要如何操作呢？按住 ctrl h， 打开查找替换窗口，在查找中，我们选择更多格式字体。 在弹出来的窗口中，我们将字体颜色修改为绿色，也就是文档中的颜色。在替换中，我们输入这一串字符， 括号内的制服就是子弹，所有查找的内容全部替换搞定啦！学会了吗？记得关注点赞哦！
350小Q办公
01:46查看AI文稿AI文稿三十七岁，行政失业，前夫在家挑战零基础，跟豆包学 linux 加 python 办公自动化转运。为坚持打卡，咱们就按 nano 实际行号行十八来改一定位问题。行，你现在 nano 实际行十八，也就是你标的井号十七的代码是这里多了一个，导致括号不匹配。二、 具体修改步骤，第一步，把光标移到这一行删掉，第二个改成第二步，在这一行的下面，也就是新的行十九，单独加一行，只写一个。三、改完后效果， 改完后再跑，保存文件， ctrl 加 o， 回车退出， ctrl 加 x， 然后直行，这次语法错误就会消失，脚本就能正常启动了。要不要我帮你确认改完后的括号结构，保证百分之一百匹配？那新加的这个括弧号大括号 是加在哪个？要空几格啊什么的，在首行缩进多少？嗯，新加的大括号要这样写，一，位置加在你当前井号十七那一行 nano 实际行十八的正下方，也就是新的一行。 二，缩进，不需要缩进，直接顶格写和 platform conflict 等于这一行对齐。三、写法，单独站一行，只写一个，后面不要加，任 你看 number 编辑器行十九的位置是这样吗？完全正确，你现在的位置完全对了，你现在底部显示行五十二分之十九，说明光标正好在你要改的小红书平台最后一行，你标的紧号十七行位置非常精准。 你现在要做的唯一修改就在这一行，把这一行的后面删掉一个，变成，注意这里只有一个，并且后面没有逗号。然后在这一行的下一行，也就是 nano 行二十，单独写一行，直接顶格写，不要空一格和第一行 platform config 等于对齐。改完后这两行的样子为什么这么改？一行十九 小红书平台内部闭合用二行二十最外面的大括号 platform config 等于闭合用三对齐。这个必须顶格才能够开头的对应，不然还是会报错。你现在按这个改完保存 ctrl 加 o。
01:08查看AI文稿AI文稿高考不是刚结束吗？我在看试卷的时候，发现一个很有意思的小细节。你看，虽然试卷分了，选择、填空这些部分，但是下面小题的序号一二三他都是一杆子顺排到底的。这种排法在一些论文和教辅资料里也很常用，但有些人用的时候发现自动编号不行， 到了新部分又从一开始。于是乎哐哐哐一顿手敲，敲完发现中间还要再加一条，直接爆炸。其实解决方式很简单， 打开 word 的 多级列表设置，点击更多，找到重新开始列表的间隔这一项取消勾选小题序号就彻底解绑了。你看这样是不是就正确了？登山照样自动修改。 不过 word 里的嵌套菜单找起来确实头疼，像你平时经常排试卷报告之类的，没必要点来点去耗时间。 这个 ai 写牌里的编号助手，所有功能集成起来，简单直观，一键就能搞定。现在智能工具这么方便，我们应该花更多的时间在要做什么上，而不是被繁琐操作耗光精力。
17国排设计Team
02:36查看AI文稿AI文稿好，同学们，今天我们来学习一下一些基本的排版的一些工具的用法，比如说这一个稿件，我们现在这里看到的有一个删除，然后这是着重号，这个是加拼音，这个是字加边框 段落，整体加边框，这个的话就是一个单独的字加了一个边框，这是一个字里面带了个圈圈的，叫带圈字数。今天我们就过这六个工具的怎么操作，在哪里找一下已经打好这些文字，这个前面的排版字，我们今天就暂时不排版文字，找一下这些工具在哪里。 第一个我们要过一下我们的删除线，在这下面的任务栏里面找到这个鼠标，放在这个地方，刚才不会两秒钟的出现删除线，我们把它点中，然后这个效果就出来了。第二个我们只把这个字进行着重号标点标记出来，你看到没？我们删除线是在一个下方的点一下，然后着重好就出来了。第三个就是我们要用到的那个拼音，比如说我要把这几个字加上拼音，先把我们要加拼音的字选中， 然后再找找我们的拼音，如果是我们做了别的效果处理的时候，他会这里不会出现一个这个，然后我们就点一下，大概在这个字号增大、加小、增大或缩小的旁边，然后这里四个点可以用的拼音，以及带全字母字母的边框，我们今天用到的是这三个。第二个方式更改大小，就是在我们的英文排版里面会用的比较多 拼音纸呢，然后就会出现这个对话框，这里一般的话我们都是选择默认的，然后熟悉这里的偏移，这个参数指的是我们的拼音和我们字体之间的偏移的距离，一般是默认的，不需要偏移。 然后这里的拼音的样式，大部分题目我们肯定想的都是在那个汉字的上方，但是也有排版，我们在汉字的这个右边，或者是汉字的单个汉字的右侧，也就是一个字一个拼，一个字一个拼，或者是只要你的拼音，不要你的汉字。像这些排版如果是老师的话，会用的比较多，特别是我们老师出试卷的时候用的比较多的。 好，这样我们的这个已经排上去了，刚才我们看没有设那个字号，我们再来看一下，假如我们设一个另外一个三点，再设一下太平的话，有什么区别？刚才我们是点默认的，然后这里我们假如说这个字号把它让它变大一点，因为太小了，让它大一点看一下，看到没，我们的拼音是不是就会看的更大一点？再来一个效果，你看一下这个拼音要偏一点，偏一点啊，看下一个， 这样的话我们的字和平之间的距离就会稍微变得多一点，这样是会看，然后感觉不会那么紧密，不会那么拘谨，整体看起来效果更美观一点。另外我们再来下面的一个就是我们的字，看我们把这些段落的字给他做一个边框的处理，加上边框强调，再找找我们的边框和底纹的电话框，然后加上一个方框，这个拍出来是这个样子的， 但是我们要的效果是把它一句一句的成为一个，那么我们调一下这个地方的是文字，看这样的效果，看第一次我们用的是断部的，是整个一段的一个大边框啊。第二次我们用的是只需要给文字的，它就是一行一行的加边框，这就是我们的边框和顶的两个应用的方式出来的效果。 结果我们再看一下单独的一个字，我们这里还有一个带圈字母出来，会出现这三个参数，默认的是没有的。如果你点的这个缩小文字的话，字会缩小，同时它的圈圈也会缩小，你会看不清楚， 选择圈圈增大圈号，那么你的字就不会变。下面的话这个就是我们字母的编号，就是指的单个字给他加一个编号。好，今天我们的这个工具的应用就先介绍到底，大家根据自己的时间安排去熟悉操练。
