狄里赫利和狄利克雷有什么区别

好了，这个视频呢，我们讲一个函数，他的名字呢叫迪丽克莱函数，这个函数呢，其实是在高中数学当中呢，是在各种考试当中经常出现的，经常呢是以多选题以及材料题的形式出现 考察的呢，主要是这个函数的性质，他会从直域、机油性、周期性和对视性这几个角度去问你啊，去给你出几个选项。好，他原本他的这个长得是这个样子的，其实呢形式是非常复杂，然后我们在必修一上面 啊，他已经把这个函数呢给他翻译成一个比较简单的了，那他呢时间就是当 x 为有理数的时候，他的含数值呢为正一，当 x 为无理数的时候呢，他的含数值呢是为零的。好，要解解决下面这几个问题呢，首先我们要知道的是，如果说是一个有理数和有理数之 之间的一个四则运算，也就是加减乘除四则运算吗？那么他得到的结果呢，肯定还是一个有理数，也就是说有理数对加减乘除四则运算是封闭的。 然后如果是五理数呢，他其实呢是没有这个性质的，你五理数加五理数，他有可能是五理数，也有可能是有理数，当然乘除和减，基本上呢，这都是一样的，他呢不具备封闭性。但是我们要知道五理数加上一个有理数啊，加减， 那这样的话呢，得到结果他一定是一个五里数，这点呢是非常非常重要的。好，接下来我们来看一下这个函数，这个叫迪丽克兰函数，他有什么性质啊？好，很明显他的纸域呢，只有零和一，因为在十数万分之内，他要么是有礼数，要么是五里数，那除了零和一之外 啊，都在他这个，这没有其他的一个函数值了，所以说他的职遇就是只有零和一，要注意，这边写的是花果好，只有零和一啊，不能是零到一，这是不对的。那么他是一个基函数还是偶函数的好，我们来检验一下，我们先求下 f 负 x 到底是等于几的 好，如果 x 是有理数，那么负 s 呢？他肯定也是有理数啊。好，那这样的话，他这个结果就刚好是等于几的呢？哎，他是有理数，那么他肯定是等于一，然后呢，他也就等于个 f x 了，你看， x 是有理数，负 x 也是有理数， 那这样的话，他俩都是有理数，含入值呢，都是等于一的，那如果 s 是五理数，那么负 x 呢，那肯定也是五理数好，那我们就可以得到他这个零和这个零呢，肯定也是一样的。于是啊，这个我们就可以得到。呃，这个迪丽克兰函数呢，他其实就是 一个偶函数，那么他既然是偶函数，那么他肯定是关于外轴是走对称的啊，这点这要知道的。那接下来我们看下他的周期性，周期性的话呢，他的定义是这样的，就是 fx 加上 a， 如果说他对任意的 x 啊， fx 加 a 等于一个 fx， 那么他的周期呢，就是为 a 的。 现在我们来看一下，那这个 a 到底是等于几呢？哦，如果 a 是一个有理数的话，那么你会发现，不管 x 是有理数还是无理数啊，那么他左右两边呢，都是一样的。 比如说，当 x 是有理数的时候，有理数加上有理数是有理数，那么左边等于一，右边呢刚好也是一。如果说 x 是五理数，那么五理数加上一个有理数，那么好了，我们就会发现呢，他这个值呢，就是一个五理数，那么他的零，他呢刚好也是零，所以说 fx 加 a 等于呢是 fs， 其中这个 a 呢，他就是有理数，也就是说这个迪丽克兰函数，他的这个周期呢，是任意的一个有理数都是他的周期，那么无理数行不行呢？好，我们来看一下， 如果我把这个纸给它去掉，它呢变成一个五里数了，假如说是等于根号二吧，那如果这个 x 是负根号二， 那这个 s 呢，这边就是负根号啊，那这两个支还是一样的吗？他左边是 f 零， f 零呢，刚好是等于一，因为零呢是有理数，那右边的话呢，他刚好是负根号二， f 负根号二，负根号二呢是五里数，所以说他的含用值呢，就是零一不等于零，所以说这边呢，他是不一样的， 那其实从这里面就可以看得出来，那这个 a 他是无理数是不行的，因为我们 x 可以取负为， 可以吗？是吧？好，这样的话，我们可以知道他的周期性是怎么结，结论是什么呢？就是以任意一个有理数为周期，五理数行不行呢？五理数不是他的周期啊，这是这样一个。 好，那这样的话，这边还有一个对称性啊，对称性的话呢，他不仅仅是这个关于外轴对称的，那他还有没有可能关于别的一些数值对称呢？好，我们可以简单的来讲一下， 就是对称性，他这个呢主要是轴对称啊，他不是中心的，他这边呢主要是研究轴对称，轴对称的话呢，这边是这样的，就是好，如果说 fa 加 x 啊，等于个 fa 减 x 好，那这样的话呢， 这个函数 f s， 它就是以 x 等于 a 为这个对准轴的，那现在我们来看一下， 如果啊，这个 a 是一个有理数的话，这个是有理数，这边呢，这个也是有理数好，一个有理数加上，如果 x 是一个有理数，那么好左右两边都是等于一，肯定是成绩的。如果 x 是五理数， 有理数加上五理数呢，肯定还是五理数，有理数减去五理数呢，他还是五理数，所以左右两边呢，都得零，于是呢，他肯定相等的，从而呢我们就得到了啊，这个迪丽科兰函数，他的对称性是什么呢？他是以啊 x 等 a， a 呢，是任意的 一个函数啊，任意的一个函数为啊这个这个对称轴的啊，这这样一个，那么他是不是中心对称的呢？中心对称他的定义是这样的，如果对于任意的 xfa 减 x， 先写个加，再加上一个 fa 减， 然后这边如果是等于两倍的 b b 的话，也就是说这个式子对于任意的 x 啊，他都是成立的，当然这个 a 和 b 呢，都是定制，那么他就是关于 ab 是中心对称的。那么好了，那你们来检验一下，那它是不是一个中心对称的呢？

你知道吗？割潮问题是组合数学中的一个重要原理，他是最早由十九世纪的德国数学家迪丽克雷提出来的，所以又称迪丽克雷原理。生活中的抽屉问题、现象问题都属于割潮问题。

人类天才数学家的故事二十三迪丽克雷迪丽克雷是德国数学家，一八零五年二月十三日生于涤纶，一八五九年五月五日足于戈亭根。迪丽克雷出生于一个具有法兰西血统的家庭，自幼喜欢数学，在年少时将零用钱积攒起来买数学书阅读。 中学毕业后，父母希望他学习法律，但迪丽克雷却决心攻读数学。他先在涤纶学习，后到戈亭根受业于高姿。一八二年到一八二七年间旅居巴黎当家庭教师。 在此期间，他参加了以傅里业为首的青年数学家小组的活动，深受傅里业学术思想的影响。一八二七年在波兰布雷斯拉大学任讲时， 一八二九年任柏林大学讲师，一八三九年升为教授，一八五五年被歌亭根大学聘任为教授，直至逝世。一八三一年，他被选为普鲁士科学院院士。一八五五年被选为英国皇家学会会员。一八二二年五月，迪丽克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和 巴黎理学院攻读，期间因患轻度天花，影响了听课，幸好时间不长。一八二三年下，他被选中担任法医将军的孩子们的家庭教师。法医是拿破仑时代的英雄，时任国民议会反对派的领袖。迪丽克雷担任此职，不仅收入颇丰，而且受到是儒家人的善待，还结识了许多法国知识界的名流。 其中他对数学家复利业尤为尊敬，受其在三角级数和数学物理方面研究的影响颇深。另一方面，迪丽克雷从未放弃对高斯一八零一年出版的数论名著算术研究的钻研。据传他即使在旅途中也总是随身携带测试， 形影不离。当时还没有其他数学家能完全理解高斯的这部书。迪丽克雷是第一位真正掌握其精髓的人。可以说，高斯和复利业是对迪丽克雷学术研究影响最大的两位数学前辈。一八二五年，迪丽克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文某些五字不定方程的不可解。他利用代数数论方法讨论形入 x 五加 y 五等于 x 五的 几周后，雷让德利用该文中的方法证明了当安等于五十无整数结。迪丽克雷本人不久也独立证明出同一结论。一八二五年十一月，法医将军去世。一八二六年，迪丽克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的亚历山大冯鸿宝的影响下 返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格。他在法国为攻读博士学位，而尤克隆大学授予他荣誉博士头衔，这是获得讲师资格的必要条件。后升任编外教授。一八二八年，迪丽克雷又经红宝的帮助来到学术空气较浓后的柏林， 任教于柏林军事学院。同年，他又被聘为柏林大学编麦教授，后升为正式教授，开始了他在柏林长达二十七年的教学与研究生涯。由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，谆谆善幼，培养了一批优秀数学， 对德国在十九世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响。一八三一年，迪丽克雷成为柏林科学院院士。同年，他和哲学家摩西门德尔松 外孙女力贝卡门德尔松巴托尔特结婚。一八五五年，高斯去世，迪丽克雷被选定作为高斯的继任，到歌亭根大学任教。与在柏林玩众的教学任务相比，他很欣赏在歌亭根有更多自由支配的时间从事研究，这一时期主要从事一班力学的研究。可惜好景不长， 一八五八年下，他去瑞士蒙特乐开会，做纪念高斯的演讲，在那里突发心脏病。迪丽克雷虽平安返回了戈亭根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于一八五九年春遇事长辞。 迪丽克雷在数学和力学两个领域都做出了名垂史册的重大贡献，有以分析数论、卫士论为罪。挪威著名数学家阿贝尔说，迪丽克雷是一位极有洞察力的数学家。

迪丽克的函数迪丽克的函数是 x 为有理数的时候，它为一， x 为无理数的时候为零。迪丽克的函数处处不连续，处处无极限。 但是如果说对低利科类函数进行处理的话，前面加一个 x 乘一个 d x， 那么 f x， 它就是。当 x 为有理时候，它为 x 为无理的时候为零，那么 f x 仅有一点连续，也就是在零点的时候，它是连续的。当 x 不等于零的时候，它是非连续， 那么 x 平方乘以迪丽克类函数就是仅有一点可倒。运用倒数的定义，也就是在零点他是可倒的。但是如果说 对迪丽对这个 f x 等于个 x 平方乘以个 d x 对它进行定义上求导的话，它因为 f x 等于个二， x 乘以个 d x 加 x 平方乘以 d p r x d p r x， 它是不可导的。 虽说 f x 的导函数不连续，但是它在 x 等于零的时候可导。 我们对比一下正当函数，正当函数是 x， f r 次方乘以个三页 x 的 beta 次方，或者是 x x 方乘一个 cosine x 的 beta 次方。其中 be beta 大于零， x 不等于零， x 等于零的时候， f x 等于零，那么 f x 在 x 等于零处连续的冲要条件是，而 大于零，也就是他有就是有意义是 alpha 大于零，这样的话，去印 lamta x 去零的时候， f x 就等于 f 零等于零， f x 零处可倒的创造条件是 i off 大于一， f x 在 x 等于零处导函数连续的重要条件是 f 二减贝塔大于一。我们看一下在 f x 在零处可导， 那么我们用定义来求得在零处的等数为 x， f 二减一乘以个三页 beta 分之一，那么只要 alpha 减一大于零就行了，这个就可以证明 x f x 在 x 等零处可倒， 那么 f x 在 s 等于零处。导函数连续，那么就要用定义法和公式法这两种方法求得的在零处的这个导数是连续的，也就是 f x， 当 x 去零的时候，极限等于个 f x 零， 也就是需要保证这个式子有意义，那么就要保证阿法减一大于零，阿法减贝塔减一大于零，阿法减一大于零， 这样去零的时候他们都为零，这个时候就是阿法减一大于零，阿法减贝塔减一大于零，就需要阿法大于贝塔加一，或者说阿法减贝塔大于一。

小生说数学常考题之抽屉员割巢问题李大爷家养了几只鸽子，有一天苦苦看到两只鸽子在一个鸽巢里挤来挤去， 为什么他俩要挤在一个朝里？因为李大爷家现在有四只鸽子，而鸽巢只有三个，所以总会有一个鸽巢驻今。至少两只鸽子， 一会等会，一会，至少听起来好绕啊，其实就是说，不管怎么安排，都会有一个割巢的鸽子数量大于等于二。咱们来试试看， 如果这样住，那这个割巢住了四只大于二，或者这样有一个割巢住了三只也大于二，这种情况呢？ 有两个割巢都是注了二只等于二，也算还可以，这样有一个割巢，正好两只也符合要求。 好像还真是，不管怎么安排，都会有一个割巢的鸽子数量大于等于二。没错，那你现在猜一猜，五只鸽子住进四个鸽巢，是不是总会有一个鸽巢住进至少两只鸽子呢？ 选 a 还是总会有一个割巢住进至少两只鸽子？ 没错，不过每次都列举出所有的情况进行验证也太麻烦了。这次咱们换一个方法，咱们安排鸽子的时候，应该尽量平均，避免拥挤，先给每个鸽巢分别安排一只鸽子， 那么一共住进去四只，而剩下那只鸽子就只能去和前面四只中的一只挤一挤了。 这就是数学上非常著名的歌潮原理，也叫抽屉原理。一名来自德国的数学家迪丽可雷 最先明确提出，并用来证明一些数论中的问题，所以个人原理也被称作迪丽克雷原理。迪丽克雷自幼喜欢数学， 在十二岁前就将零用钱攒起来买数学书阅读。十六岁中学毕业后，父母希望他学习法律，但迪丽克雷却觉醒攻读数学。他先在迪伦学习，后到戈廷根授业于高斯，一八二年到一八二七年间旅居巴黎当家庭教师。 在此期间，他参加了以复利业为首的青年数学家小组的活动，深受复利业学术思想的影响。一八五五年高斯逝世后， 他作为高速的继任者，被歌厅跟大学拼，认为教授知知识识。而关于歌笼，眼里还有一个有趣的小故事。根据生物学家统计，人的头发不会超过二十万根。 如果某城市人口约为一百一十万人，小朋友们算一算，这这个城市至少会有几人 头发数量相同。通过视频我们可以知道，割巢原理也叫做抽屉原理。那么抽屉原理指的是，如果把多余 n 件物品放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。 那么抽屉原理二指的是，把多于 m 乘 n 件的物品任意放到 n 个抽屉当中，则至少有一个抽屉里有不少于 m 加一的物品。 抽屉原理的关键在于什么呢？一定要先平均分配，拿苹果的数量去除以抽屉的数量，如果有余数也要平均分配， 那我们抽屉原理的一个应用，指的就是把实际问题转化为割草问题，弄清抽屉数和苹果数。当然，我们并不是所有的题目都是给你鸽子的数量 或者笼子的数量，苹果的数量或者是抽屉的数量，而是会有各种各样的问题，你要把它转化成抽屉和苹果的数量。我们先来看一下这样一道题，三十个苹果分给四个小朋友，分得最多的小朋友最少可以分几个苹果？ 那我们已知分的最多的小朋友一定是最少的，哎，他最少能有几个？要使其他小朋友分的苹果尽量的多，也就是先平均分，但是我们分的尽量的多，又不能超过苹果最多的那个小朋友， 所以分苹果的时候，三十除以四，每人先分七个，那么这个时候还余下两个苹果，那这两个苹果要随机分给什么呀？随机分给其每就是 这四个小朋友的其中两个，那么这样的话，最多的小朋友最少可以分七加一，也就是八个。 第二道题，把一百个苹果放进若干个抽屉里，现在不告诉你有多少个抽屉，但是我要保证苹果最多的抽屉里呢，至少要有四个苹果，则抽屉最多有多少个？ 那么如果我要想分最多的小朋友是最少，就要怎么分？一定是平均分，这一点毋庸置疑。抽屉原理的关键就在于先平均分， 平均分之后又有余数，那余数怎么办呢？还要继续平均分，所以分的最多的抽屉里当中有几个苹果是有余数，对不对？我们比如说拿一百 来，除以这个抽屉的数量，等于多少有余数，然后再拿商去加几加一，对不对？拿商加一，也就是说这个时候商加一是几个， 是不是有四个苹果？所以抽屉至少有四个苹果，那么其他的每一个抽屉是几个？是不是三个？也就是说平均分的时候，那个商等于三，所以我们就可以拿去反过来求抽屉数，就拿一百去除以三，这个时候我们就知道有三十三个抽屉， 那么例题三不再是苹果，也不再是抽屉。我们来看一下这道题怎么去解决。四十一名学生到老师家里面去借书，老师的书房当中有 abcd 四类书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少呢？可以借一本， 请问最少有多少名同学借到的书的数量和种类是完全一样的？ 哎，有些同学如果没有学过抽屉原理，拿到这一道题肯定会觉得很懵，但是我们可以把它进行一个转化。 首先老师的书房当中呢，有 abc。 第四类书，每个学生如果只借一本的话，是不是就会出现四个不同的类型，要么我借 a， 要么借 b， 要么借 c， 要么借 d， 对不对？ 好，那如果每个学生借两本不同的书，那我们这四类的分类就会有几种，是不是有 a、 b、 a、 c、 a、 d、 bcbd， 还有 cd？ 也就是说这个时候有几种有六种，加上我们刚刚的四种，一共就有十种不同的借书类型，对不对？十种不同的借书类型，我们就可以把这十 十种看作是十个抽屉，那四十一个学生就相当于是四十一个苹果。我们把这四十一个苹果放到这十个抽屉里面去，那就是根据抽屉原理，四十一除以十，平均 每个学生啊，每个抽屉里面是不是就分了四个学生，然后还虞姬，所以我们在四加一等于五，也就是说至少有五名同学，他们所借书的类型是怎么样是相同的？

抽屉原理是组合数学中的一个重要原理，他最早由德国数学家迪丽克雷提出，并运用于解决数论中的问题，所以该原理又称迪丽克雷原理。抽屉原理有两个经典案例， 一个是把十个苹果放进九个抽屉里，总有一个抽屉里至少放了两个苹果，所以这个原理又称为抽屉原理。另一个是六只鸽子飞进五个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进两只鸽子，所以也称为鸽巢原理。

为什么数学家们要去研究那些稀奇古怪的函数？上个视频呢，我们讲到了一个只在一点处可导的函数，那构造起来是相当的复杂。在数学里面啊，这种奇奇怪怪的函数其实还有很多，比如著名的像是迪雷克雷函数、黎曼函数、威尔斯特拉斯函数、迪拉克函数等等， 自然就有疑问了哈，那数学家们为什么要研究这么多稀奇古怪的函数呢？他到底有什么意义？今天就来稍微解释一下。 首先就是为了完善既有的数学理论。那很多数学理论或概念在刚开始产生的时候，并不是很完善， 有很多说不清道不明的地方，那人们之间呢，也充满了分歧与争论，就比如函数这个概念，那到底什么是函数呢？一个量随着另外一个量的变化而变化，那好像说清楚了，那就好像没说清楚。为此啊，数学 一家迪雷克雷就专门构造了一个前所未有的函数，就是著名的迪雷克雷函数。那以此来说明，函数的本质就是集合间元素的对应关系。那从这之后啊，函数才算是有了一个相对比较清晰的定义。 其次就是为了纠正一些错误的观念，比如在十九世纪以前，人们觉得连续函数的不可导点就是那种带尖的点嘛， 所以一条连续的曲线，除去那些孤立的间点之外，剩下的点都应该是可导的。甚至还有一些数学家曾经一度给出了这个结论的证明。 直到一八七二年，威尔斯特拉斯提出了著名的处处连续，无处可挡的函数，人们才意识到之前的观点是错误的，从此呢，就对函数的连续性与可导性有了更加深刻的认识。最后啊，这类函数其实在现实生活中也有着某些应用，比如 著名的迪拉克函数，经过数学家们的改造，成为所谓的广义函数，在电子通信领域有着重要的应用。再比如刚才提到过的威尔斯特拉斯函数，就是分型几何的先驱。那一提到分型几何，可聊的话题就太多了，那之前也聊过不少了，我这块再举一个例子哈， 科幻民们应该都知道由乔治卢卡斯指导的科幻电影星球大战，那上世纪七十年代拍摄了最初的三部曲，本世纪初呢，又拍摄了新的三部曲，那新老三部曲都看过的观众应该能够明显的感觉到二者在世校上的差异， 那老板呢，怎么看起来怎么讲？而新的三部曲呢，不管是飞船爆炸还是星球的山峦，看起来都非常的逼真，原因就是在新版三部曲中使用了分型数字汇景技术。那之前人们认为山峦的形状应该是光滑的， 但是啊，随着分型几何的概念的产生，人们才逐渐意识到山峦的边缘应当是类似于威尔斯特拉斯函数那种不光滑的破碎的形状，于是就将分型技术运用到了电影画面的制作当中，从此画面就变得非常的逼真啊。 而将这一技术运用到极致的电影则是漫威的奇异博士，那电影里面有很多令人称奇的画面，其实都是靠分型做出来的。

哈喽，大家好，我是数学救火队长，之前有小伙伴发私信说在数学分析里面碰到一些很奇怪的函数，比如迪雷克雷函数，黎曼函数等等啊，感觉无从下手，所以就想让我来讲一讲， 这些函数我们通称为叫病态函数，其实这个名字已经很能说明问题了，对吧？什么叫病态啊？就是生病了呗，就是一些不正常的，不健康的，他所具有一些我们在正常的函数里边无法想象甚至无法理解的性质啊， 那病态函数的老祖宗就是迪雷克雷。迪雷克雷是十九世纪上半夜哈，德国一个非常厉害的数学家，他是高斯的学生哈，在很多领域都具有一些开创性的贡献，比如说函数这个概念哈，在他之前呢，人们认为函数嘛，就是一个 表达，是呗，对吧？ y 等于 fxx 称为字变量， y 称为音变量， x 变化， y 就变化，所以函数描述描述的是一种呃变化过程。 但是啊，迪雷克雷呢，提出了一种全新的思想，他说了函数是什么呢？就是这有一堆东西，这也有一堆东西，然后呢，这堆东西里边 每一个东西我都可以唯一的对应到这个里边的一个东西，那这种对应关系我们称之为函数， 这个不就特别接近于我们现在高中课本上关于函数的定义吗？对吧？他这种思想提出来之后啊，就颠覆了之前以人们的传统的这种思想，认为一个函数就有一个表达是，那 迪雷克雷说了，韩束不一定有表达，是哈，为了说明他这种新的思想，于是迪雷克雷他自己构造了一个人们之前从来没 有见过的函数类型，就是所谓的迪雷克雷函数，就是他哈， 这个函数相信同学们都已经很熟悉了，他是这样定义的，当 x 是有理数的时候，他是一，当 x 是无理数的时候，他是零。这个函数的出现就说明了一个函数未必有表达，是，对吧？这个函数他就没有表达，是哈，他只能是通过这种文字叙述的方法来告诉他的取值， 那他就是第一个病态函数，那他具有一些什么样奇怪的性质呢？主要有三条哈，第一条，这个函数 他处处不连续，这个就是一个让人觉得很不可理解啊，就是很很有病的一个一个性质。为什么呢？因为之前人们怎么理解的 函数啊？就是一个表达，是他的图像，就是一条线，对吧？但是有可能有断开的情况，那断开就断开吧，没关系，那就断成两截，但还有可能断成好几段哈，对吧？很可能给你断成三段，或者说给你断成四段， 但不管怎么样哈，他这个断点哪怕再多，他也都是一些离散的一些孤立的这种断点啊。但是迪雷克雷函数他就告诉你了，他这个函数每一点都不连续，就说每一点都是间断点， 这样的函数我们之前是从来无法想象的啊，但是还偏偏就有这样一个函数，那我们来证明一下哈，就是为什么这个函数他处处不连续，处处不连续，就是说任意给你一个 a， 那他在 a 这一点都不连续，对吧？那我们想一想，在 a 这点连续是什么意思啊？就是 limit x 趋近于 a， fx 等于 fa， 对吧？就是利用这种极限来定义函数的连续性，那他处处不连续就意味着这个世界啊，处处这个都是不想等的，对吧？那我们怎么着来证明一下这件事情啊？ 我们先回想一下啊，这个极限他是怎么定义的？他是利用 epiceylonder 他来定义的，那如果一个函数极限不等于他是什么意思呢？那就是说我们可以找到一个 apc 龙零，对吧？使得你对任意小的嘚儿他啊，这是应该大于零啊， 就是任意小的一个正数啊，任意小的一个正数都是他，我们都可以找到一个 x 零属于这个小的邻居哈，并且呢，满足你这个 fx 零和这个这个正的这个值哈，他们之间 的差值大于等于这个 fc 六零，这不就是这个极限不等于 fa 的意思吗，对吧？那我们看一下，怎么着能说明这件事情。这块得分成两种情况，第一种情况，当 a 是有理数的时候啊， 当 a 是有理数的时候呢，那么 fa 就等于一吧，对吧？这个时候呢，我们取 excel 零等于二分之一吧。然后啊，就利用一个五里数的一个很好的性质啊，什么呢？就是你不管啊，这个区间多么的短， 对吧？比如说，这是 a， 这是 a 减得他，这是 a 加得他，你不管这个得他取的多小，就这个区间，不管取的多窄，都能在里面至少找到一个五里数吧，对吧？因为五里数是密密麻麻的嘛，有里数也是密密麻麻的这种性质， 我们管他叫稠密性。所以啊，我就这样来，你不管这个得他，他取多么多么的小，我们都可以找到一个 x 零属于这个小的区间， 并且呢， x 零还是一个五里数，对吧？那你五里数会怎么样呢？五里数的取值就是零啊，所以啊，这样来 使得 fx 零减掉 fa， 不要忘了啊， f 四零是五里数，所以它的取值是零， fa 的取值是一，那零减一，那等于一吧，那肯定大于这个二分之一嘛， 这样一来，不就说明这个极限不等于 fa 吗？所以就说明 a 这一点是断开的呀。第二， 这种情况，那就反过来嘛，当 a 是五里数的时候，做同样的操作哈，五里数的时候呢， fa 就等于零啊，我还是让这个 apc 零零等于二分之一啊。同样的道理，你不管这个得他多么多么的窄，多么多么的小，你这个小区间里边肯定能至少找到一个有理数吧， 对吧？就跟刚才反了一下哈，那这样一来， fx 零他就是一了，那 fa 就是零了，那一减零还是一啊，还是大于二分之一的， 所以你不管这个 a 是有理数还是物理数，他都是不连续的。这样就证明了第一个很奇怪的性质啊，就是我们存在一种函数处处不连续，或者叫处处间断。 好，接下来第二个性质啊，第二个性质很简单，这个还 数，处处不可导。这个我就不用多写什么了，因为我们高中就学过，连续不一定可导，可导必连续，不连续一定不可导，对吧？他既然处处不连续，所以处处不可导， 这也是一个很奇怪的性质啊，因为我们之前也是你无法想象一个处处不可导的函数啊，因为随便给你一个函数嘛， 什么样的不可挡呢？他有几种情况，比如说有带尖的，对吧？带尖的这种不可挡，那我就可以让他多带几个尖哈， 但是你不管多带几个，不管这个尖有多少，他是除去这些尖之外，剩下的这些都是没有尖的，所以说都是可导的，对吧？但是我们偏偏存在这样一个处处不可导的函数啊， 这就非常奇怪了，那迪雷克雷就是一个处处不可挡的函数。行了，这是第二个，就是很 很有病的性质啊。第三个就是他在任意 b 区间上不可击，比如说这个 b 区间上，我记为 ab 吧， ab 表示任意一个 b 区间哈，他上边不可击。 不可击的函数我们应该很少碰到哈，迪雷克雷函数应该是我们碰到的第一个不可击的函数， 我们来证明一下他为什么不可击。那回想一下可击是什么意思啊？一个函数在 a 到 b 上的定积分，他是怎么定义的呢？他就是这个函数给你分割成很多小段，对吧？这个叫黎曼合嘛，然后这个叫得他 x 一，这个叫得他 x 二，这个叫得他 x 三，所以啊， 我们就得他 xi 吧。然后呢，第一代上我随便挑一个点，比如说我就记为 x 一一星，第二个我叫 x 二一星， 所以就是 f x i 一星乘以得的 x i， 这个就是他们自己的面积哈，然后加在一起爱从一到 n， 然后啊，再让这个分割，让他无限的系，对吧？无限系是什么意思呢？就是 limit， 然后 t 这样一个符号啊，它趋近于零，这个符号表示的就是你这一个分割里边这些小区间的那个宽度的最大值， 然后当他的宽度最大值曲径零的时候，那不就意味着每个小区间他都都都曲径零，对吧？因为是最大值曲径零啊，你其他的都比这个最大值还小呢，所以都曲径零。这样一来，如果他有极限的话，那么我管这个函数叫可击的，如果这个极 极限不存在，那么管他叫不可击的。那迪雷克雷函数就是一个不可击的啊。那我们来证明一下他为什么不可击这个 极限，他有点奇怪啊，他其实不是数列极限，数列极限的话，你得有一个 n， 对吧？他也不是函数极限啊，函数极限的话，你得有一个 x， 他是一种很奇怪的极限啊。 这个至于他怎么来描述这种极限，我们其实是有概念的，利用呃，更高级的一些数学理论我们是有基础的，这块我们就这样讲理解啊，就是当 对于任意的 epc 龙吧，然后呢？啊，大于零，然后呢？存在一个小的得他大于零，使得当你这个分化的区 之间长度最大值小于嘚儿他的时候，这个啊，这个整个的值，他和一个 l 之间的差值小于一 pc 龙，就这样来理解就可以了哈，那同样道理，我们要证明他不可击的话，那我们看看啊，能不能给他反过来找一下， 我们可以这样来找哈，这个我就简单的说一下好了。还是啊，对于任意的得他大于零， 然后当这个小的分化期间长度最大这小一点他的时候，那么不要忘了啊，有理数和无理数是密密麻麻的，那 我们在每一个小区间上还是啊，虽然这个区间长度都小于得他，但是哪怕你这个得他再小，我们也可以在这个小区间上每一个上面找一个有理数吧，对吧？ 当如果你找的是有理数的时候，这个 fx i 他不就变成一了吗？也就相当于是一乘以后边这个东西，那他把他们加在一起，就相当意味着你这个所有的小区间长度加在一起吗？那小区间长度加在一起不就相当于是 b 减 a 吗？对吧？也就是说 我有一种办法让这个这个后球和柿子算出来等于 b 减 a。 同样道理，你不管这个得他多么小 区间长度多么细，我总能找到五里数吧，所以我就让所有的这些 f 赛都取之为五里数，那这样一来， fx 不就取之为零吗？所以说这些东西全都是零了，那你加在一起也是零啊。所以说啊，你对任意一个嘚儿他 那不管这个词的多么的的小，我都能找到一种方法使这个球和等于 b 减 a。 同样道理，我也都能找到一种方法使这个球和等于零。 b 减 a 是个非零的长数哈，那零是一个零，而且零肯定和 b 减 a， 他们两个不一样，这样一来就相当于我找到两个不同的值，那你不管得是多么小，我都能找到这样两个值，就相当于在这两个点之间，在这两个值之间不停的震荡嘛，对吧？ 所以这就相当于一个类似于无穷震荡的东西啊，所以他的极限是不存在的，极限不存在就说明这个函数不可及。好了，这就是迪雷克雷函数，三个啊，非常非常有病的性质，但是远远没有结束啊， 这个函数我们可不可以给他推广一下呢？当然可以了，我们观察一下，他之所以具有这么神奇的性质，就是因为他在无理点处的取值跟有理出点处的取值不一样，对吧？也就说他的图像啊，大概就是这个样子， 你在五里点处都是零哈，而且五里数是密密麻麻的，所以说啊，这一大堆一大堆点非常稠密的点，取之为零，同样五里有里数，取值 是一哈，而且有理数他也是密密麻麻的，所以在一这块也有一大堆密密麻麻的点，对吧？是这个样子， 那这个样子，他所画出来的函数就具有刚才那三个奇怪的性质，但是我们没必要非得让他取为一和零，只要是任意两个不同的数，那是不是都具有这个性质啊？所以啊，我把迪雷克雷函数推广一下，推广到这块， 就是有理数取之为 a， 无理数取之为 b， 然后这里边 a 和 b 是两个不同的数，那这样构造出来的函数肯定跟刚才的函数一样，也是满足那三个非常神奇的性质的，对吧？但是还没有完啊，我们可以进一步推广来看一个 更加神奇的函数，我们来把这个函数改成这个样子啊，就是在 里数时候还是是零哈，但是在有理数的时候，我让他取之为 x， 大家可以先想一下他的图像， 首先屋里受伤还是零，所以这也是啊，一大堆密密麻麻的点，然后啊， 游历数乘是 x， y 等于 x， 就是一条直线，斜着的直线，对吧？但是只是在游历数的时候，取值是他，所以啊，他应该就是这样一个斜着的这样一个密密麻麻的无数多个这这个点 排列出来的一个形状，大概就是这种形状，哈，那这个函数神奇在什么地方呢？首先啊，肯定根据 是我们刚才的证明，他在这些点处都是不连续的，但是呢，有一个点例外，哪个点呢？这就是这个函数所具有的神奇的性质啊，就是只在一点连续。哪一点呢？ x 等于零处连续， 这个就是第二个病态函数，只在一点连续的函数。这个函数也是啊，如果在迪雷克雷函数出现之前，我们是无法想象有这种函数存在的，但是偏偏我们可以利用 迪雷克雷的思想来构造出这样一个函数。那好，我们首先来看一下为什么只在零处连续， 那就意味着 limit x 趋近于零，我们来算一下 fx 啊，它到底等于多少？那这块呢，我们需要使用加 b 定理哈，怎么用呢？我们把它分成两个方向，我们先看正方向 fx， 它首先肯定是大于等于零的，对吧？因为 我们是，哎，零加啊，零加这个方向，他肯定不管是零也好还是 x 也好，用力数无力也好，都是正数啊，都是大于等于零的。同时呢， 他是小于等于 x 的，为什么呢？因为他无非就有理数，无理数两种情况吧，对吧？无理数的时候是零，零肯定小于 x 啊，因为这个 x 都是零加，都是正的哈，然后有理数的时候，正正好就等于 x， 所以这边这小于等于 x。 接下来啊，三名，呃，加 b 定理， x 取决于零，加的时候零， 他肯定是零，对吧？然后 limits x 区间零加的时候， x 他也是零，所以你加在中间这个 fx， 他的极限也是零啊， 这是这个右边啊，零加的时候，那我们再来看零减，零减的时候只需稍微换换就行了，就是把这个正负号改了，这边变成小于等于，这边变成大于等于 fx， 那大于等于 x， 那这样就可以了啊，然后同样道理嘛，你这动画都换成零加，呃，零 减，这是零减，这是零减，然后零，零还是零嘛？这还是零。所以啊，左边是零，右边是零，所以我们就得到结论， x 区别零的时候， fx 他就是零嘛，对吧？然后呢， f 零又等于零哈， f 零又是零，所以啊，在零这点是连续的， 在其他的点那就是断开的。所以这就是一个很奇怪的函数啊，是只在一点处连续，但这仍然不是最奇怪的，往下继续来哈， 那我们再把这个函数加强一下啊，这块给你变成 x 的平方。还是先来大致的想一下他的图像哈， 那他就是台上这块一大堆密密麻麻的零，然后现在变成 x 平方了，所以就是一大堆密密麻麻的点组成了一个抛物线，是这种形状哈，那这个函数他的病在哪 呢？就是只在一点处，可倒，在哪呢？在 x 零处可倒。 也就是说，这个函数是一个只在一点处可导的函数。这样的函数也是啊，你之前是非常难构造的，但是我们利用这种方法就构造出来一个，我来证明一下为什么在零处是可导的。 那么就利用我们的定义哈，就是 x 区均于零， fx 减掉 f 零比上 x 减零，对吧？ f 零就是零啊，然后 x 减零，那也是没了，所以就变成 fx 比上 x 了哈。 然后我们再来看一下哈，我们还是分成左右吧，先趋近于零加的时候，趋近于零加的时候呢？ fx bx， 首先啊，你 x 平方 零也好，那肯定都是大于等于零的吧，对吧？然后这边呢，你要么是 x 的平方，要么是零，然后 x 平方除掉 x， 注意啊，现在 x 是正数，因为你 x 是零加，对吧？所以说 他就等于 s 平方的时候，是正好相等哈，然后或者说你等于零，零乘 s 是零吧，所以说他肯定小于等于他， 这个也是没问题的哈。那这样一来，同样道理，你 limit x 七斤，零加的时候零，它是零，然后 limit x 七斤，零加的时候 x 平方 b x， 那它也是零吧，那它就是 x 本身哈，那它肯定也是零，所以零加的时候是零。同样道理啊，零减的时候也是啊，只需要改变一下这个 方向就可以了哈，因为你这样的话，你除的这个 x， 他这个复数哈，除以复数，你得变号。但是这个 关系哈，还是利用的这个加 b 定理，然后两边都是零，所以零减的时候他也是零哈，那同样的，所以啊，同样道理，那 s 七七零的时候就是零呗。那这样一来不就有极限吗？对吧？ 那这个极限就是他的倒数啊。所以说啊，在零点处可倒，而在其他的点呢，因为不连续，所以一定不可倒，所以这个就是一个只在一点处可倒的函数。 那再往下哈，我们刚才见识到了只在一点处可倒的函数，那能不能有只在两点可倒的函数呢？有，就是这个函数，这个函数也是大家可以大概的想一下， 他长什么样子呢？还是让一堆密密麻麻的零，然后有理数的时候，他这 s 减一乘以 s 减二啊，那就是这个抛物线呗，对吧？他的一这一点， 然后再二这一点，与这个函数相交。那这样一来啊，大家同样可以利用加 b 丁里证明出来，曲径一是他的极限就是零，曲径二的时候极限也是零，所以这个函数啊，他是只在一和二这两个点，就是说存在只在两点连续 这样的函数，那同样道理，我们是不是可以构造只在三个点，只在四个点，等等，对吧？这些都是可以构造出来的哈， 但是啊，我们仍然可以继续加强，把刚才的都给你平方一下，这个就会出现什么现象呢？他就是只在两点可导。注意啊，刚才没有平方的时候，我们说的是连续这块有平方之后就变成可导了。 其实这种构造思想也很容易啊，我们可以想一下，就是你给他平方完之后，为什么就变成可导了呢？因为我们那个导数的第一狮子里边，你是要除以一个 x 减， 哎呀，对吧，那如果他有一个 x 减一的平方之后，那你除掉一个 x 减 a 之后，那就还剩下一个 x 减 a 嘛，然后当 x 在取决于零的 a 的时候，那 x 减 a 就取决于零嘛。所以这样一来，我们就想把这个零音字给他平方一下就变成可挡了，于是就构造出这样一个函数， 我们来具体写一下吧，有些同学可能听不明白哈，就是这样一个函数，只在一和二两点，可导， 我们就来指证明一下，一吧，就是 limit x 趋近于一的时候， fx 减去 f 一比上 x 减一，对吧，那 f 一是零啊， 这个就没了。同样，我们接着就给他区分成一加和一减吧，当取进一加的 时候呢， fx 比上 x 减一，这个我们好好看一下，这个的话，我们给他画一个图，他这个 x 减一的图像应该是 这个样子，他是一个四次函数，就是他长这个样子啊，很奇怪的。那么来看一下，一加的时候，那 x 减一是个正的，对，上面也是正的，对，所以啊，这边还是大于等于零，然后这边小于等于 也是按零的时候是零，然后如果不是零的时候是这个式子， x 减一的平方乘以 x 减二的平方，那再除掉一个 x 减一， 对吧，就变成他了哈。然后呢，你这个 s 减一的平方，这不就相当于剩了一个 x 减一吗？那我就这样写了哈，就写 x 减一括起来乘以后边这个， 哎，这就这就没了。对对对，就剩他了，哎，重写一下吧， x 减一 乘以 x 减二的平方。行了，然后现在我们让 x 往一加来走，那这块永远是零，那这块呢？你 s 往一加来走的话，一减二的平方，那他是一对吧。然后前面啊， x 往一来走的时候，他是零，所以说这块也是零嘛，对吧？他往零来走，他也往零来走，所以加在中间也往零来走嘛。 同样道理，你把这个加号改成减号，那这个正负号颠倒一下，他还是两边都是零，所以他也是零。所以啊， s 七零一的时候，这个式的表达是就是零，零不就是他的倒数吗？对吧？ 对于二来讲，同样的操作啊，这个我们就不重复了，所以我就用过这种方法构造出来，只在两点可导，对吧？也就是说在有限多个点处可导的函数，我们 我们也是可以构造出来的，但是啊，故事仍然没有结束，那接下来还有什么呢？我们刚才说了，只在有限多个点处连续，那可不可以在无限多个点处连续啊？对吧？ 但其实我们刚才的迪雷克雷函数就是一个无限多点，因为他处处不连续嘛。但是啊，我要求你这无限多个点得是一些分散开的点啊，在这一些分散开的点处，比如说，我要求你只在一二三四这些自然数，这些点处是连续的函数，你能想象的到如何构造吗？ 大家想一下，我们有没有这种函数啊？只在这种有理，只在这种自然数哈，他这块有吗？无数多个东西，有啊，不就是三角函数吗？对吧？然后他要求你在一二三四这些点啊，那我就给他把他周期变成一二三四，也就是说我，我可以这样来 哈，就是构造这样一个函数，我取上瘾派 x， 因为上瘾派二派、三派、四派，这些都是零哈，那我就取上瘾派 x， 那这个函数还是啊， 五里数时候是零，有里数时候是上瘾怕 x， 那他的图像，大家可以想一下，这块密密麻麻的零，然后呢？你这个上瘾就这样来的吗？哎， 对吧？也是啊，无数多个点这样构成的，那这就是一呗，这就是二呗，这就是三呗，那这 下来不就相当于在所有的这些自然数点处，他的极限都是零，也就是说都是连续的，但除此之外都是断开的，对吧？就构成了这样一个函数。同样道理，如果给他平方一下呢？ 以来按照同样的操作，我给他加一个平方哈，这样一来，我是不是就得到了一一个只在一二三四这些点处可倒的函数啊，对吧？这不是又一个很神奇的事情吗？但是还有更神奇的， 我给你这样一个函数，你能想象一下他是什么样子吗？上眼派 x 啊，我们先不看这个，我们只看上眼派 x， 他是一个无穷震荡型的，对吧？大家应该对这个函数很有印象哈，那现在啊，也是把它拆了。 五里数的时候是零，有里数的时候是这个函数，那这样一来，他与 x 轴有无限多个焦点，他这些焦点都是几呢？就是二分之一、三分之一、四分之一、五分之一啊，对吧？也就是说这个函数呢，他只在二分之一、 一三分之一、四分之一、五分之一，但还有一哈，对，只在这些点处连续啊， 他也是无数多个点啊，但是这无数个点，他不是一二三四五往无穷大来走了，他是往零来走，这些点处只在这些点处连续，其他点都是断开的这样一个函数，那我们下一步也很显然了， 给他平方一下，就变成了只在一二分之一、三分之一，这些点处可倒，对吧？只在这些点处可倒啊。 行了，我们故事终于讲完了哈，但是这只是我们第一部分哈，但是第一部分已经包含很多东西了。我们以迪雷克雷函数为原型，构造出来一些非常神奇的，非常奇奇怪怪的，之前人们所无法想象的一些新的函数，大家可以好好体会一下。

我已经做了两期的视频来讲迪雷克雷函数了，也收到了不少评论。那我决定今天再聊一期。第一是因为这个函数在数学史上的确是意义非凡，第二是为了回复某些评论。有网友说了，这个函数在现实中很难找到应用，纯粹是数学家们的自嗨。这点我表示部分同意， 因为现实中我们接触到的都是具体的、有限的对象，像这种无限概念确实很难在现实生活中找到对应物。 但是说数学家们在自嗨，这个也有点欠妥啊，数学家们肯定不会自己给自己找麻烦，他们提出 delekle 函数是为了更好的澄清概念，完善数学理论。 数学中的很多事情，在你没有把概念弄清楚之前，仅凭感觉去判断是很难判断的。比如啊，是不是所有的平面图形都有面积，是不是所有的函数都可以做积分连续的函， 函数是不是只在某些个别的点处不可倒等等，这些问题得不到澄清的话，那数学就很难再往下发展了。 所以啊，数学上那些看似人工的，强行的稀奇古怪的构造，都是为了完善某个理论而提出来的，尤其是这个迪雷克雷函数，哈，数学专业的人应该都学过他。黎曼不可及，但是勒贝格可及， 也就由此啊，发展成了新一代的微积分理论，乐贝格积分，而乐贝格积分是对黎曼积分的完美化。我们在高等数学里面学的那个定积分啊，其实是有缺陷的，而乐贝格积分就正好把这个缺陷给补上了。所以不考虑现实应用的话，对数学理论本身而言，这类函数是非常重要的。 还有网友说构造这个函数是为了举返利，其实也不太准确啊。当初 delek 雷构造这样一个函数是为了说明函数的本质 其实是集合间元素的对应关系，不必非得有一个 x。 关于 y 的解析式，只要有一个法则能让给定的 x 对应到一个 y， 那么它就是函数。这种对于函数的定义影响是非常深刻的，一直到今天，我们的中学课本上仍然采用的是这个定义。 当然了，后来人们发现迪雷克雷函数也可以用一个极限表达式表示，就是这个样子啊。当然这个是后话了。最后哈，我想说，迪雷克雷函数其实只是冰山一角，数学家们曾经构造出比这诡异的多的函数，有兴趣的小伙伴可以在我的作品里边搜索数学怪物。

考试可不是现场发挥，像这种迪丽克雷函数的性质呢，你看一眼就应该把它记住了。你看这是四个，那么它的图像性质呢，叫做客观存在，但是无法画出结束了啊，定律应该是什么？而 直域呢？要说明一下啊，这里的直域是要么零，要么一，只有这两个数啊，不是这样的一个区间。好，那 c 选项也很简单啊，你看 fx 要么是一，要么是零嘛，那就 意味着里面的资本量要么是一，要么是零，你看这里是不是要么一，要么零啊？那 f 一应该等于几？ f 零等于几？那括号内的一跟零都是有理数，所以输出一定都是一嘛，所以这里改成一就对了，并且这里呢，可以改成任意啊。 好，下一个呢，你看括号内的资本量拿出来，你看，首先 f 括号的等式关系加对称减周期，一定是对称或者周期其中一种嘛，如何判断对称还是周期呢？括号内的资本量拿 出来发现怎么样能得到一个长数，是不是相减啊？加对称减周期相减得到一个长数，周期性问题。接下来 f 跟 f 相等，意味着周期，周期呢，就是这里的长数 t。 好，你看他说了他的呃，任意一个周期都是多少都是有理数 t， 并且非零啊，你看，满足结束啦，是不是很快就能把它记住啊？