超几何分布方差推导过程

大家好，在这节课当中我们来看一看在很多同学学习这一个统计概率当中，很容易混淆的两种分布，一个是二项分布，一个是超级和分布。 那我们首先来看一看这两个分布的基本内容。首先我们说到的是这一个超级和分布， 那么超级和分布的简单来说就是这个次品分布啊，它的背景是假定啊，有一笔产品共有 n 件，其中有 m 件次品， 那么我们随机的取出其中的 n 件产品，那么这当中次品的概率分布为啊，比如说如果没有次品啊，有次品数为零，那就是 cm 零乘以 cngm n 比上 cn 啊，一件次品，就是先从次品当中取一件，然后从剩下的正品当中取 n 减一件比上总可能 cn， 后面依次类推啊，像这种就称为超级和分布， 那么如果一个随机变量的分布列为这个 px 等于 k 的话，符合超级和分布这种形式的话啊，我们就把它称为超级和分布，即为 x 服从 hnmn， 那么超级和分布的模型是不放回抽样， 那么所以呢，他这个里面的 n g 五选大的时候 n 分之 m， 他的极限就是 p 啊，那么他的这个这一个式子的极限啊，就是 cnk 啊，就是 p 的 k 次方一减 p 的 n 减 k 次方，这个里面要注意一下，那么在这个里面呢，他的这个方叉啊，标准叉，那么超级和分布的这一个期望就是 n 乘以 n 分者 a 目啊，小 n 乘以 n 分者 m， 他的这一个方叉 比较复杂，就是 n 的平方乘以 n 减一分之小 n 乘以 m 乘以大 n 减小 n 乘以小 n 啊，大 n 减大 m， 那么这个里面呢，是它的这一个期望方差以及记记返。好了，我们来看一看这个里面， 呃，设有 n 件产品当中也 m 件四品无放回的这一个抽取啊，那么下面这个里面是他的这一个过程啊，这个里面我们就不 岁数，因为这不是我们要讨论的重点，方法一，方法二，方法三，这个里面都是他这个啊期望和方差的这个正面过程啊。 好，然后我们再来看一看这一个二项分部，二项分部说的是在这个恩赐独立重复事业当中，用 x 表示事件 a 发生的这个次数， 那么呢，每一次试验当中四 ga 发生的概率为 p 啊，那么试验多少次当中他恰好发生几次，这种就称为二项分布，那么 px 等于 k 的话就是 cnk， 这个里面的 cnk 就是在 n 次试验当中他恰好发生 k 次啊，那么所以 p 的 k 次帮，然后有其他的 n 减 k 的是没有发生的，所以要乘以一减 p 的 n 减 k 字帮，那么你这个时候就称为 x 服从二项分布，记住 x 服从于 bnp， 那么他的概率啊，就是这个样子，零次一次以及 n 次 二项分布的这一个期望啊，就是这一个 n p 方叉就是 n p 乘以减 p， 那么这个下面提供的呢，也是他的这一个证明过程。我在这里面呢就不多坠数啊，因为我们重点的歧视上就是对他的结论加以记忆和运用啊。 好，然后我们来看一看这一个两点分部与二项分布的关系，这是我们很多同学最容易搞混淆的地方，一个就是两点分部是最简单的离散型随机变量，他是二项分部的这一个基础，也是二项分布的一个特例啊。两点分部，比如说我们泡硬币 啊，即一面正面朝上计为一啊，反面朝上计为零的话，那么这个里面也把它称为零一分部啊。 那么 n 等于一的时候的二项分布啊。二项分布可以看作是两点分部的一般形式，那么所以恩赐独立重复试验，每一次的数学期望都是批， 所以从整体上面来看， n 个独立的两点分部即为二项分布，那么他的期望当然是 n 个期望的核，这就是从另外一个角度来解释，为什么二项分部的期望是 n p。 好，然后我们再来看一下这个超级和分布和二项分布的联系，超级和分布的极限就是二项分布，所以在这个里面需要注意一下啊。比如说我们来看这样一个题，某批 n 件产品的次品率为 百分之二，那么从中任意的抽取三件来进行检验。问， n 等于五百的时候，五千的时候，五万的时候，分别以放回和不放回的方式进行抽取，恰好抽到一次次品的概率各是多少？ 好，我们首先来看一看，当为有放回的抽取的时候，他这个次品数是服从这个二相分部的啊，那么这个里面的 n 等于三，那么 p 就等于零点零二， 那么属于 px 一就等于 c 三，一乘以零点零二乘以零点九八的平方啊，可以上的一个指，这个是有范围， 这时候抽取他就是一个二项分布啊，那么如果不放回的抽取的时候，那么这个这个次品数 x 就服从于 b 啊，这个三零点零 零二的二千分部， n 等于五百的时候，那么在这个里面注意， px 等于一，按照公式计算。 n 等于五千的时候， px 等于一，已按照公式进行计算。当 n 等于五万的时候， px 一还是按照我们的公式来进行计算，至于这个时候都是按照这个超级和分部的公式来进行计算的啊。 好，那么这个试验的结果表明什么东西呢？当产品的总数很大，而抽出的产品比较小的时候，每一次抽取产品之后，产次品率是近似不变的，你看零点零五七八，零点零五七六，零点零五七六六二六啊， 所以呢，这样就可以近视的看作每一次抽样的结果是相互独立的，且抽取样品中的次平数近似的服从于二项 分布，那么事实上样本的个数越大，那么超级和分布和二项分布对应的概率相差就是比较小的啊。当样本的个数无限大的时候，那么这个时候超级和分布就和二项分布的概率相等， 那么用另外一个话来说的话，就是超级和分布的极限就是二项分布，所以在这里面这一个观念大家一定要好好的把它听清楚。超级和分布的极限就是二项分布， 那么这个下面呢，我们提供了这一个证明的过程啊。证明的过程呢？这个是高等数学当中的内容，那我们在这里面只提供啊，不展开， 这是他的正面过程啊。好，然后我们大家看一看这个二项分布的这个极限，二项分布的极限是正态 分布啊，注意在这里面正态分布也是我们这个概率当中应用的非常多的啊，那么教材上面呢，是用这一个高尔顿板啊，高尔顿板倒出来这个正态分布，那么其实上呢，在这个实验当中，小球落落进各个槽的分布是一个 p 等于零点五的二项分布， 从一个二项分布的实验导出正态分布，恰好揭示二项分布和正态分布之间的关系。 那我们知道二项分布的这个随机变量是离散的，当 n 取不同的正整数的时候，他这个分布图啊，就可以看到下面这个样子，为了更具有一般性，我们在这个里面取 p 等于零点四， n 等于五啊， 那我们看一看，当 n 等于一百的时候啊，他这个图就是这个样子，那么从这个图像当中我们就可 可以很直观的看出啊，这个随着 n 的增加，二项分布越来越接近于正态分布的这一个状态，我们将来可以证明呢，这一个确实是正态分布，因为它的这个密度函数当中的参数六就等于 n p 这个性码的平方就等于 n p 乘以一减 p， 也就是当恩趋近于无穷的时候，二项分布逐渐趋于正态分布啊，密度函数范 x， 呃，这个正态分布的密度函数，那么所以这个里面啊，就是要注意的就是二项分布的极限就是正态分布 啊，让我们来看一看这个里面的一些经典的题目啊，所以呢，看看这个例一，他说设计比赛当中，每一位射手设计十次，每次一发，集中目标得三分，未集中 目标的两分，那么小李每一次涉及击中目标的概率约为零点八，嗯，那么是 x 为小李击中目标的次数，要求这一个 x 的概率分布。 我们首先来看这个第一问啊，因为每一次射击的这个互相独立，且击中与只有击中与没有击中两种结果，那么所以呢，他这一个次数就服从二项分布，这个 n 就等于十 p 就等于零点八， 那么所以呢，他这个里面啊， x 的概率分布就是这一个 c 十 k 零点八的 k 次方，零点二的时间 k 次方，这样一个二千分步， 那么七万和方叉就直接运用二项分布的七万和方叉公式， n p 和 n p 乘以一减 p 啊，然后这个里面就是直接套公式就完了，然后呢，他这个里面那么有 得分，那么得分的这一个呢，就是他的这一个射击次数的线性啊，所以这个里面他射中了就得两分，没有射中就 得零分啊，集中得三分，而未集中得两分，那么所以一 y 列就等于一的 x 加二十，就等于一 x 加二十，根据他这个现行关系啊，那么他的方差根据我们的方差公式来进行计算就行了，这是第一个啊 啊，第二个，我们看到这个一批灯泡啊，总共一百只，从中这个随机的取出两只来进行测试， 两次测试的结果是相互独立的，如果测出两支灯泡当中任何一支为次品，则这一批灯泡不合格。一支一支次品啊，一支次品经检测被查出来的概率为零点九， 而一只正品经测试被认为是次品的概率为零点零一，那么如果这一百只灯泡当中有三只次品，那么求这一批灯泡啊接验收合格的概率， 那么在这个里面我们就要注意这个里面呢，他有一个条件的概率啊，那么我们设这一批灯泡验收合格的事件为 b 啊，那么 a e i 就表示起初的两只灯泡当中有 ig 次品，那么很显然这个里面呢，总共 i 就等于零一二， 那么我们这个地方有超级和分布，可以知道这个 pa 零就等于 c 三零 c 九十七二，比上 c 一百二，同时 pa 一和 pa 二都可以运用超级和分布的公式来进行计算，那么这一个 pb ba 零就是表示什么东西的啊，在减出次品为零的条件下啊，这一个灯泡验收合格，那么它这个里面就等于一减去零点零一的平方，而 pba 一啊，这个里面就等于 pb 乘以 pa 一啊， 然后 pb 二幺二就等于 pb 乘以这个 pba 二啊，一减零点九五的平方，那么所以的 pb 就是把他们三个的结果相加，这是我们的这一个超级和分布，二项分布和正态分布之间的这一个关系。

大家好，今天要讲的内容是方叉、斜方叉和斜方叉矩阵。 方叉、斜方叉和斜方叉矩阵是重要的数学概念，很多机器学习算法，例如 pca 主成分分析、 lda 线性判别分析、多元高次分布等等都要依赖他们。 方叉描述了一组随机变量的离散程度， 它等于每个样本值和全部样本的平均值。差的平方和再求平均数记作 v a r。 如果有 m 个 样本，每个样本都有一个特征值 x， m 个样本的平均值是 mill， 那么 x 的方叉等于 m 分之 sigma x i 减 mill 的平方。 例如，计算数字一到五的方差，首先计算出平均值三，然后计算这些数字和平均值差的平方和再除以五，得到方差是二。 很多时候，为了后续计算的方便，会对样本进行去中心化的处理。 将全部样本按照平均值进行平移后，可以得到方叉 x 等于 m 分之 c 格满 x i 的平方，这样就可以 在不影响样本分布的情况下简化计算。 例如，一到五，每个数字都向负方向移动三个单位得到负二，负一零一二，计算他们的方差，结果仍然是二。 斜方差描述了不同特征之间的相关情况。通过计算斜方差，可以判断一组数据中的不同特征之间是否存在关联关系。 说样本有两个特征， a 和 b。 训练集中一共有 m 个样本， a 和 b 之 之间的斜方差记作 c o v a b， 它等于 m 个样本的特征 a 减均值谬 a 乘以特征 b 减均值缪 b 的乘积，然后累加到一起，再除以 m 减一。 例如，在平面上设置一一、二、二等等到五、五这五个样本，每个样本有 a 和 b 两个特征， a 的平均值是缪 a， e 的平均值是缪 b， 他们都等于三。 从整体上来说，当 a 大于平均值 mill a 时， b 也大于平均值 mill b， 或者 a 小于 mill a， b 也同时小于 mill b， 这时计算出 a 和 b 的斜方差就是正的，这说明 a 和 b 的变化趋势相同， a 和 b 是正相关的。换句话说，就是 a 变大的时候， b 也变大， a 变小时， b 也变小。 如果有一负一、二负二等等到五负五这五个样本，我们会发现 a 小于谬 a 时， b 大于谬 b， 而 a 大于谬 a 时， b 小于谬 b， 此时计算 a 和 b 的斜方差就是负的，这说明 a 和 b 的变化趋势不同， a 和 b 是负相关的。也就是说， a 变大的时候， b 变小， a、 b 变小时必变大。 如果样本整体的斜方差刚好等于零，那么就说明 a 和 b 不相关。例如有二、二、二、四、三、三等五个样本， 根据公式计算， a 和 b 的斜方叉刚好等于零。从图中也可以看出， a 和 b 的分布没有规律。 为了更方便的计算斜方差，我们同样可以将数据进行去中心化，得到的斜方差不会有变化。 总结来说，斜方叉表示了不同特征之间的相关情， 两个特征之间的斜方差大于零，则正相关小于零，负相关等于零不相关。 最后来看斜方叉矩阵。斜方叉矩阵计算了不同维度之间的斜方叉，它由方叉和斜方叉两部分组成， 其中对角线上的元素是各个随机变量的方叉，非对角线上的元素为两两随机变量之间的斜方叉。斜方叉矩阵是一个对称矩阵， 例如矩阵 c 一是 a 和 b 两个 特征的斜方叉矩阵。矩阵 c 二是 x、 y、 z 三个特征的斜方叉矩阵，而矩阵 c 三是 x、 e 到 x， n、 n 个特征的斜方叉矩阵。 在计算斜方叉矩阵时，需要将 m 个样本的特征按照列向量的方式保存到矩阵中，然后计算矩阵和矩阵转制的成绩，得到斜方叉矩阵。 例如 m 个样本，每个样本有 a 和 b 两个特征，将这些样本按照列项量的方式保存到矩阵 x 中。计算 m 个样本的斜方叉矩阵，它等于 x 乘以 x 的转制，再除以 m， 它是一个二乘二的矩阵。 那么到这里，方叉、斜方叉和斜方叉矩阵就讲完了，感谢大家的观看，我们下节课再会。

超级和分布来看他学什么内容呢，对吧？首先呢你要知道有个目标对不对？要有个知识啊，要有个能力。什么能力啊？解题的能力对不对？ 最后的话也能够课堂检测一下，对吧？最后呢有个作业对吧？这个都是一个套路的啊，都是一个讲解的，一个思路 啊，一个逻辑啊。我们先来看，对吧？什么叫做数字目标，定定方向啊，说白了就是你要看得到，对吧？他学什么对不对？嗯， 你看主要是了解超级和分布的一个概念。第二个呢要用到什么？他说求服从超级和分布的一个随机变量的概率，还有均值，对吧？ 这个镜子的话就是后面有内容啊，所以说太多了啊。啊，那第三个呢，就是你要知道这个二次分布和这个超级和分布有什么关系呢？对不对？要能够利用他的超级和分布的概念模型去解决实际问题，对吧？重，重点是用它去解决问题啊， 这才是我们的一个重中之重，对不对？嗯，好，再来看他的一个必备的知识，对吧？嗯，需要怎么样的知识呢？ 这里呢也有说，对不对？嗯，也是有说的啊。我们先来看一下这个超级分布他怎么去定义的，他说一般的假设一批产品共有 m 键，看得到吗？嗯 嗯，共有 n 键说明是什么呢？这个 n 的话表示的是他的总数，能懂吗？嗯，表示是总数，其中有 m 键。次品，这个呢是说在这个 n 键当中，对吧？ 他有的次品送，也就说 m 的话，他表示的是次品送， 对吧？然后呢从 n 中产品中随机抽取 n 件，这个呢是不放回的，对吧？就从这个总共的建设当中去抽取 n 件吗？懂吗？这个呢 n 呢表示的是他抽取的建设懂吗？ anna 表示的是他抽取的箭手 啊。然后呢用 s 来去表示它抽取的 n 件产品当中的 次品色对不对？嗯，就比如说是一件呢两件呢或者三件呢四件能懂吗？就这样子把它列出来对吧？抽取的 n 件产品的次品色这 s 分他说他的分布列就为 啊就为多少就是来开始等于 k 十 p 的概率你懂吗？啊就有这样的一个公式，那这个 k 呢等于多少呢？他说 k 等于 m 啊， m 加一 m 加一直一直这样下去了对不对？ 嗯好。他这个呢定义呢就感觉是有点绕啊。但是呢你后面你会发 线他呢当中是可以直接算的。我先给你理一下先你看他说其中 an 和 m 对吧？你要知道你这个 m 是不是指的是什么？ m 指的是次平数吧，对不对？ 嗯，你的次品数肯定是属于自然是属于证实数吧，正整数吧，对不对？嗯，你的次品数肯定会小于或等于他的总件数吧，对吧？能理解吗？嗯， 你抽取的这个建设对吧，那肯定也会比他的这个总共的建设要小于或等于啊，对不对？ 总共有这么多也可以说取这么多嘛，也可以抽这么多嘛，对吧？就类似于是那种全面抽样啊，对不对？嗯 啊，不过这个呢影响不大啊。那这个 m 的曲的话你要知道这个 m 的曲你要知道对吧？ 你看他是什么呀？你看 m n 减去 m 加 m 对不对？ n 减去 m 加上 m 这是大于零小于他，他这里是在他的零和他这个范围之内，对不对？但是这种的话你这个呢你就不用说去去管太多啊，但是呢我们后面是结了立体的去给你去推，你这样呢可能是这样子，就单看公司是看不出来的啊， 对不对？总之先记住的是什么这种形式的线啊，后面的话我给你用一下你就会理解的啊。嗯，好。如果随机变量 x 的分布列上具有这样的形式，你们发现具有这样的形式， 我们就称随机变量 x 服从超级和分布，懂吗？据说他的描述如果说是这样子描述说共有多少件对不对？其中有多少件这样的次品，对吧？再从这个总数当中抽取了 n 件对吧？ 啊？然后去求什么？听说抽取的大于或等于三件次品的概率或怎么样？这种描述的话就是多少，这种描述的话就是他的一个超级和分布的描述，懂吗？你知道这个呢就可以去呃把它给推出来啊，我给你举个例子，好吧，现在 就比如说举个例子有假假设一批产品有十件，对不对啊？其中有两啊，其中有三 是次品，对不对？他说从中的话抽取多少？从这个 n 件产品当中随机随机抽取四件假设啊，懂吗？啊？ 嗯，他说求抽取的那个次品数 多少？次品数大于或等于二，你懂吗？他的次品数大于或等于二的概率，懂吗？要这样的球你看怎么来呢？那如果这样描述那不就是他的超级分布的一个描述吗？对不对？ 那一样的，就比如说我们要求的是你要知道如果说是抽取多少件，如果抽取四件的话，他的他的次品数是不是可能是多少？ 抽取四件的话，可能一件饰品都没有，对不对？那有可能一件对不对？也可能有两件，也可能有三件呢，能懂吗？ 这个有没有问题？因为你总共有十件嘛，如果那四件的话，都是都不是次品，那不是零件了吗？对不对？如果四件当中有一件次品，那不就是 呀，是一吗？对不对？四件当中有两件次品，那就两件次品嘛，对不对？二嘛？四件当中有三件次品，那就是三嘛，对不对？ 明白吗？嗯，那如果说用这个公式怎么来呢？我给你理一下下啊，就比如说是我们求他是是多少是一键次品的时候，对不对？那是不是 p 的啊？是等于一啊，对不对？大家在公司 进去啊，你看，其实这个呢，我们把它理解下就可以这样子理解，你的概率肯定是部分出于总体的嘛，对不对？能懂吗？抽取到一件饰品的那个，那个多少？那个？ 呃，这个叫什么？说啊？他的基本事件数，对不对？在处于他的总件数，总件数，那不就是相当于是从这个十件次品当中不十件，十件多少？十件的总数当中，对不对？抽取的四件嘛，那就是 c c 十二呀，不， c 十四啊，对不对？这是基本的事件总数嘛。然后呢，我们再看，对吧？这个呢，要抽的时候也是一样的，其实就相当于是，就比如说你从事件当中， 对不对？你是从抽取的四件当中选了一件次品，对不对？选出一件次品，那不是四七四一吗？对不对？然后的话，对吧？那你这里是四件当中选选多少选一件，对吧？ 嗯，没问题吧？那你剩剩下的，那是不是应该是从剩下的六件当中选三件的？ 选三件就是不是次品了吗？能懂吗？这个有没有问题？ 对，那就这样子去练的吗？其实你可以，你可以发现是可以理解，根本就不用套在公式啊，你可以看为什么呢？我们带一下公式啊， 好吧，就比如说 c n c， 大写的 n， 小 n， 对不对？这不就是大写的 n， 表不是表示总数吗？对不对？小写的 n 呢？是看他抽取了多少件呢？抽取了件，是吧？对不对？ 能理解吧，所以也就说他这个分母，他这个表示这个分母说白了就是他的基本事件的一个总售，对不对？ 能懂吗？这个是我们之前学过怎么算的吗？我们可以用我们之前的公式啊，就是组合了，对不对？嗯，排列组合的一些公式啊，去把它直接直接求出来，就不用列表了，能懂吗？嗯， 而他的这个分子的话，你可以发现，你看 c k c 多少？ c m k， 你这个 m 不就是指的是他 m 的话，不 就是指的是他有多少件，什么 c m k， 对不对？ 能懂吗？哎，这里的话我刚才要错了，我刚才看错了。这个呢？是多少？我们是从三件当中选了一件吗？应该是 c 三一，能懂吗？我刚才看到下面去了，这个是多少？是不是从应该是从三件当中能懂吗？ 有没有问题？嗯，这里啊， 他应该是从三件当中选了一件次品啊，刚才看到这四去了，看看走眼了啊，没问题吧？嗯， 对，他就相当于是从哪里从这三件当中选了一件吗？从这个次品当中选了一件， 对不对啊？那剩下的多少呢？你会发现大家剩下七件呢，对不对？没问题吧？你看这里也是嘛， n 减 n， 对吧？ n 减去 m n， 那不就不就十吗？减去我们刚才抽取出来的，对不对？ 你懂吗？因为我们刚才已经已经从三件当中选了一件饰品了吗？那剩下的七件当中是选多少件呢？那肯定是你要选，你总归要选四件吗？对不对？那是不是要选三件没问题吧？嗯，那你看这个怎么来呢？这个 n 是不是抽取了四件呢？ 对吧？这个 k 的话，就是刚才你在次品当中，你在哪里？你在三件次品当中选出了一件，一件次品嘛，对不对？那是四减一十三呢，你们发现 能发现吗？他们是对应的啊， 有没有问题？对啊，所以他就可以通过这样来去把它给求出来，明白吗？啊？那一样的道理，对吧？一样的道理，就比如说我们， 我们是说去求 ps 等于二的概率，对不对？对吧？就说抽取的两件都是多少？抽取的两件都是什么？ 如果说我们假设他抽取的两件都是次品的概率，那是不是一样的，对吧？分母的话，肯定是球鞋的总售，对不对？从十件当中抽取的四件，对吧？那七十四对不对？ 而他的这个，这个多少？你这个分子的话，就是你先考虑他的次品的，能懂吗？对，从三件次品当中选了两件，对不对？再从他剩下的 多少，总共有十件嘛，对不对？总共有十件嘛？你这里的话都选了两件，你这里都选了三件了，对不对？从三件饰品当中选了两件嘛？那你这三件饰品是包括在总数里，对不对？那剩下还有多少件可以选呢？剩下的有， 有七件没有选呢，对不对？能懂吗？再从这个七件当中，你要选的是四件，对不对？你现在从视频中选出两件，你还有两件要选呢，能懂吗？ 对，所以就从剩下的七件当中再选两件，对吧？正品的啊，懂吗？你看，就这样子来，你看套公式是一样的道理啊， 对吧？啊？分母的话就还是一样，求他求求的是他基本事件的总数，分子的话，你看 c k， c 叫啥？ c m k， 你这个 m 指的就是他的次品数吗？对不对？从他的次品数当中，对吧？选出了多少件，对吧？ 啊？这边这个是 k， 然后呢？再从他的正品当正剩下的这个七件正品当中选两件，对吧？两件不就是他的四件当中减去他你前面抽选的两件次品吗？对不对？能懂吗？ 嗯，对，那就是二嘛，四减去二十二嘛，对吧？你看是可以直接来的，其实这个公式你背不背都没有，无所谓，你懂我意思不？嗯，对，你反而你进了这个公式之后，你反了更，你会感觉会更加 难，或者说更加的难去理解，或者感觉有点乱，你还不去理解的去记忆就更好，你懂吗？放到他具体的题型当中去记忆，那就更快了，懂吧？ 总之分为一定是基本的事件总数，对吧？这个不用说啊，总共主要是记得是分子，对不对？分子的话，你就这样子来，先求他抽取的次品的概念，能懂吗？ 啊？好，先求出他的求抽中的那个次品的基本事件售，对吧？然后再求他剩下的，能懂吗？ 对，剩下的那个数量当中他所包含的那个基本数，对吧？把他们两者一相乘就行了， 懂吗？次品中包含了基本数，能懂吗？然后剩下的对吧？ 书当中包含了基本书，这个呢？要知道这种的话是抽取的时候是不放回的，所以我才说，才说什么？所以才说是你说你从三件当中三件次品当中抽取了两件，那就说明那三件次品的话已经抽出去了，你懂吗？其中包括的两件次品懂不懂？ 对，那你既然不放回他，那不就意味着你还要再你你再抽的，因为你要抽四件，你还不够他抽两件，对不对？所以你还要再从这七件，对吧？剩下的七件正品当中再抽两件，所以是 c 七啊，对吧？你这样一来理解的话，其实你这个公式都不用套了，对吧？ 明白吗？他的思路就思路啊。再说一遍，那就是分某求基本事件总数，对不对？分子先求他从次品当中抽取 基本事件，说，对不对？能懂吗？再再怎么样，剩下的就是从求他从正品当中抽取的，能懂吗？所抽取的那个基本事件说，就这么简单，对吧？ 那肯定不会说什么题都是包括什么次品真品，他会换着来说，但是你要能够把它还原成这种模型，那你就可以用这个公式去求，懂吗？嗯嗯， 好，我们再来看一下啊，就是这样的一个分布了，然后对于后面这个呢是取什么呢？写我们后面会举的，会讲到，对不对？我们后面会给你讲的啊。 嗯，就比如说这个，这个 r 是吧？取，他说啥？他说取什么呢？这个 r 他说 m 和 n 当中他取较小的那个数啊，懂吗？ 较小的比如说有 n， 有 m， 对吧？你看比如说 n 的话是多少呢？ n 是四对不对？ 不？ m 的话是多少件？他是说抽取四件吗？对吧？ m 的话是他的一个次品数，对吧？啊？你取较小的，你就取他抽取了多少件，这也就这个呢，就是四件，对不对？嗯， 这个后面再给你讲啊，没关系啊，我们后面再给你结合这个立体来给你讲一下。你看君子的话怎么意思呢？就是一的 x， 对吧？ 等于 m， p， 他说其中 p 等于 p 等于 n 分之 m 是 n 键产品的次品率，其实这个呢，很简单对不对？你要求次品率，那肯定是将它的次品数除以总数啊， 能懂吗？所以你要记住的是他表示意义，这个 m 指的是次平瘦，这个 n 的话表示是总瘦，懂吗？这个 p 的话表示是概率。你这样子去记的话就简单了，如果说没有这样记的话，可能就不知道，不知道怎么做，对不对啊？但这个呢，要理理解啊， 没问题吧？对这个公式的话，你理解理解就记啊，不要说死记，死记硬背啊，对吧？嗯，所以对于这个超级分布，说白了他有两点是需要你掌握的啊。第一个要知道他的表受对不对 啊？他怎么去表述的？表述的话主要是为了定他的类型啊，对不对？嗯，第二个呢， 是不是要理解他的公式啊？嗯， 对不对？第三步呢，肯定是运用了啊。嗯，运用的话我们是看具体提醒，对吧？嗯啊，那行，我们来看一下啊。

我们继续来看一下二项分布里边方差的一个，呃，就是方差的一个推倒公式啊，首先我们要知道啊，我们再看一下啊， dx 呢，它首先是等于等于 ex 方，减去 ex 方啊，什么意思啊？ 他就等于这个这个变量的期望再减去啊， s 变量期望的平方，还是这个意思啊， 好，我们根据这个就得到 d x， 就等于这个 e x 这边两个期望啊，再减去 e s 方， e s 我们知道是 n p 嘛，所以就是人气的方啊，就是这个东西。 好，我们把它一写呢，这个东西变成了 e s 方，那就等于啊，我们膝盖嘛啊把哎啊开吧，啊开，从零开始，一直到嗯，然后 xk 的平方 pk 啊，就是变量变成了这个东西啊，好，我们再往下带，当然这个里边就是变量是不变成 x 了，是 x 方了啊，概率还没有变，还是下面这个东西。 换句话来就是用零的平方乘上他，加上一的平方乘上他，加上二的平方乘上他，以此类推，把这个手把这对手算出来。 好，好，我们通过计算，因为发现零乘他是零，所以我们凯等于零开始，就直接从一开始这两一乘是零吗？无所谓，从第一项开这一项开始加， 那么他就等于七个嘛，开等于一开始一直到 n， 然后 x k x k 的方，那 x k 就是 k 了，所以就变成了开方，然后 p k p k 就是这个啊， c n k p 的 c s q 的 n 减。 好，那我们继续在这边啊，我们在这里来写啊，嗯啊，刚才我们说到了啊， d x q 的 n 减开，好，把这些算出来，最后再减上一个 n p 的平方就行了啊，好，那么关键来看这个，这个怎么算啊？这个东西我们这样理解，我们之前讲的期放，呃，期望是开背的，塔有公式，那这是开方背的，我们可以提出一个开 之前讲的一个公式叫开背的 c n 开等于 m 背的 c n 减一，开减一。这个公式我们在讲方希望的时候已经讲过了，大家可以自己去看一下。来把这个我们就得到，这样变成 七个码开等于一分至 n 倍的来，这是两个开，我们提一个开，剩一个开出来，然后开背的大 cn 卡就变成了 mb 的 cn 减一， k 减一好，然后是 p 的 k 次方 q 的 n 减一好，我们从这个式子里面直接提上一个 n， 再从这里面提一个 p 出去啊，就变成了一个 np 背的 啊，我们把这个东西保留啊，最后剪上就行了啊，放心吧，当开灯一的时候，这是，哎，然后是开背的 cn 减一啊， k 减一， p 的 k 减一， q 的 n 减一，就变成这样了啊，好，那么注意注意，我们来看这堆柿子啊，这堆柿子不太好理解，我们可以把这个 k 写成 开减一，再加一，所以这个东西啊，就写成这样的，等于 n p 倍的七个码开等于一开始一直到按就是开减一，这些倍的 c n 减一，开减一， p 倍的开减一， q 的 n 减一， 是这样的啊，然后呢啊，注意这个改个中国号再加上一倍的啊，三减一，开减一， p 的开减一，四的开减一好，就变成这样啊，九个卧室这里边其实就是给这个东西前面是个开朗，变成太减一，再加一嘛， 那我们来看啊，把这一堆求和公式求在一起，这个东西刚好是谁呢？啊？来看这一堆啊，这一堆刚好是某一个变量，比如说我们 随便一个变量 y 吧，啊， y 符合这样的变量叫二项分布的 n 减一项的 p 啊，重复的 n 减一项的这样的二项分布，你可以算一下这个随机变量他的期望值，他的期望刚好就是他， 而我们知道这一堆的期望呢，应该是 n 减一倍的 p， 对吧？啊？ bnp 就是二下分布，就是用这个实物穿上它，就是它的期望啊。至于这一堆是不是它啊，你可以带进去试一下， 然后再看后面就行。后面这个东西啊，把这个求和这个求和公式寄给他带，你也给后面这个东西带吗？后面这个东西是啥呢？啊？后面这个东西刚好就是 p 加 q 的 n 减一次方案，这个东西就是一嘛，所以我们这一堆求和完了之后，就 就是 n 一背的 p 啊，或者是一嘛，所以把这个前面合在一起，最终啊，最终就等于啥？最终就等于我把这个公式写到，就写到这吧， 就变成了 n p 背的好，里边这两个算出来，一个是中框啊， n 减一背的 p， 然后再加上个一，好，应该是这样的，最后再减去个 n p 的平方， 好，最终就是这个狮子啊，我们把这个狮子稍作化解，就能知道他最终就等于凡人 pq。

之前咱学习了简单分布列的数学期望，比如随机变量 x 的分布列长成这样，那把这里 x 的每个曲折与相应的概率相乘，然后再加起来所得的和就是数学期望吧。这你肯定会了。 那稍微复杂点的超级和分布和二三分布，他俩的数学期望又该咋求呢？先来看看超级和分布吧。其实咱还是可以用刚才的方法，用零乘这坨加上一乘这坨，一直加到 k 乘这坨。不过这样算实在太麻烦了，有没有简单的方法呢？嘿嘿，当然有，如果这个 x 服从参数为大 n、 m 和小恩的超级和分布，那他的数学情况一 x 就等于小恩成 m 再处以大恩了，是不是看起来就简单多了？举个例子来说，如果要从四名男生和两名女生中任选三人参加比赛，是 x 表示所选三人中女生的人数，不难看出，这个 x 一定是服从超级和分布的，那在这里大恩就是总人数四加 得六人，而大 m 就是这里女生的人数两人，最后的小恩就是这里要选出的人数三人了。参数都搞定了，那利用这个公式相应的顺序切换，就等于三乘二，再除以六算一算就得一搞定， 这就是超级和分布的情况了。同样的，对于二项分布，咱也有简单的公式可以用，如果这个随即被两 x 服从，参数为 n 和 p 的二项分布，那他的数学情况一 x 就等于 n 乘 p 记这俩参数的成绩。 举个例子来说，大毛每次射击射中目标的概率是五分之四，且每次射击的结果互不影响。如果大毛连续射击五次射 x， 表示这五次中射中的次数，不难看出， 这个 x 一定是服从二次要分布的，那在这里，这个小恩就是这里重复试验的次数五次，而这个屁就是射中的概率五分之四了。因此，利用这个公式，数学期望就等于五乘五分之四，算一算就得四，这就 相应的结果。 ok， 总结一下，超级和分布的数学期望就等于小恩乘 m， 再处以大恩，而二项分布的数学期望就是 n 乘 p。 要想快速的就算这两种分布的数学期望，那你就必须把这两个式子牢牢记住才行。怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！

方叉的计算是高中必考的，你有没有觉得公式很长，不好算？那有没有简单的计算方法呢？当然有，叫做先里后外，记住这四个字就能记住方叉的计算公式。 我们都知道，在计算方差之前，要先计算期望，期望是随机变成 x 值，与他对应的概率的加权平均数反映了 x 的平均水平。 他的计算方法是 x 一乘上 p 一，加上 x 二乘上 p 二，一直加到 xn 乘上 pn。 方叉呢，反应的是随机变量 x 的曲值，围绕均值的波动情况 看，这些数值是稳定的还是跳跃非常大的。他的计算方法是对应的 x 一减去期望这个差的平方，再乘上 x 一，对应的概率 p 一。 x 二与期望的差的平方，再乘上 x 二的概率 p 二，一直加到 xn 与期望的差的平方，再乘上他对应的概率 pn。 可以看 看出来这个公式非常复杂，计算起来也很麻烦。今天要给大家讲另一个公式，就是 dx 等于 ex 方减去 ex 括号的平方。看到这个公式是不是有点头晕，听我给你解释一下。要计算 dx， 需要先算两个数，第一个呢就是 ex， 第二个呢是 ex 方， ex 呢就是 x 的期望，他的公式呢，就是上面这个 ex 方，如何去计算呢？给大家举个例子就知道了。我们来看这个例题，已知 x 的分布链， 根据这个分布列呢，可以先把 x 的期望给他算出来，也就是 ex。 他的计算方法呢，就是一乘上二分之一，加上二乘上三分之一，加三乘上六分之一，结果呢就得三分之五， x 的分布列有了，我们下一步呢，算 x 的平方的分布列， x 的平方呢，就是拿着 x 他能取的这几个指，分别给他们平方一下，一二三，平方完了之后呢，那就是一四九，他对应的 概率跟上面定的这个概率是一样的，因为 x 方是由 x 衍生过来的，所以他这个概率是不变的。根据下边这个 x 方的分布列，就可以把 e x 方给他算一下，还是办公室。 e x 方就等于他能取得值乘上概率，也就是一乘上二分之一，加上四乘上三分之一，加上九乘上六分之一，就等于三分之十。 x 和 x 方的期望计算出来了之后呢，我们的办公室首先他是 ex 方， ex 方就等于三分之十带进去，然后是 ex 括号的平方， 那就是三分之五宽的平方带进去化解一下，最后的结果呢，就等于九分之五。这里出现了两个平方， x 的平方还有 e 的平方， 只看平方的话，前面这个平方呢是在括号里边，后边这个平方呢是在括号外边。为了方便大家记忆，我总结了一句口诀，叫做先里后外，这里边的里外指的是平方出现的顺序，只要记住这四个字，这个公式就不难记住。想要学习更多的解题技巧，就关注我吧。

好，我是来自北京师范大学附属实验中学的李桂春老师。今天我们主要讲的内容是大象分布与超级和分布。前面我们学习的理想型随机变相分布列，下面我们一起来回顾一下。 一、离散型随机变量的分布列。一般的，当离散型随机变量 x 的曲子范围是 x 一， x 二一直到 x n。 如果对任意的 k 属于一，二一直到 n， 概率 px 等于 xk 等于 pk 都是一致的，则称 x 概率分布是一致的。 理闪型随机变量 x 的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为 x 的概率分布或分 不练这个表格，第一行是 x， 每一个曲子是 x 一， x 二一直到 x n。 第二行是 x， 每一个曲子对应的概率分别是 p 一， p 二一直到 p n。 第二，我们学习了理闪型随机变量分布列满足的性质，第一， pk 大于等于零， k 等于一，二一直到 n。 第二， 所有概率和也知道谁敢 pkk 等于一到 n 等于 p 一加 p 二，一字加大， pn 等于一。 那么第三个，我们总结出了求离散型随机变量的分布列的基本的步骤。第一，找出离散型随机变量 x 的所有可能值， x k， k 等于一，二一道 n。 第二，求出每一个值的概率 px 等于 sk 等于 pk。 第三，列出表格， 我们又学习了第四个，就两点分布。一般的，如果随机变量的分布列能写成如下表格的形式， 则称这个随机变量服从参数 p 的两点分布，或者我们称为零一分布。 x 取值为一和零取一的时候概率为 p， 取零的时候概率为一减 p。 在学习前面知识的基础之上，我们下面来看一个问题。为了增加系统的可靠性，人们经常使用备用勇于设备，那么这个叫 正在使用。设备出故障的时候才启用设备，那么已知某计算机网络的服务器采用的是一用两倍 及一台正常设备，两台备用设备这样的配置，那么在三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉。如果三台设备各自能正常工作的概率都为零点九， 他们之间相互不影响，那么问这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？ 那针对这个问题，我们学习了本节课的内容之后，就比较容易的来解答，所以下面我们来系统的学习本节课的内容。 我们已经知道一个不努力事业是适应的结果，可既为成功与不成功的事业， 在现实生活中，经常需要在相同的条件下，将一个薄努力试验重复多次。例如，为了了解观察抛硬币出现的统计规律性，可多次重复进行抛硬币这个薄努力试验。 再比如，为了了解支持改革的人的比例，可随机向多人进行访问，询问他们的态度是支持还是不支持。 那么这里就是得到一个重要的概念叫恩赐独立重复实验。那么在相同的条件下重复恩赐和努力事业的时候，人们总是约定这恩赐事业是相互独立的， 此时在恩赐博努力事业，也常称为恩赐独立重复实验。所以我们学习了一个重要概念，就叫恩赐独立重复实验。 那么在现实生活当中，比如我们对一批产品进行抽样检查，每次取一件来判断是否合格，有放回的抽取五次，那么这就是一个五次独立重复实验。 再比如篮球运动员一起投篮十次，可以认为每次投中的概率都相同，那么这也是一个十次 独立重复实验。在恩赐独立重复实验当中，我们经常关心的是成功出现的次数，那么我们下面来看这么一个问题， 已知某种药物对某种疾病的治愈率为四分之三，现有甲乙丙丁四个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈， 我们看几个问题啊。一，这能否看成独立重复实验？第二，球出甲乙丙都被治愈，而丁没被治愈的概率。 第三，求出恰有三个患者被治愈的概率。第四，设有 x 人被治愈，求 x 的分布，练同学们一次可以想一想。那么第一问，我们不难看出 四个患者是否会被治愈是相互独立的，因此我们这里尝试与发现中的情形，我们就可以看成四次独立重复实验。 那么第二文，我们如果用 a 一 a 二， a 三、 a 四分别表示假被自愈，已被自愈并被自愈并被自愈，我们比较容易得到。每一个被自愈的概率都等于四分之三， 没被制约概率是四分之一，那也就说 pai 等于四分之三， pai 的对立事件 等于一减 pa 等于四分之一，二等于一二三四，这样我们甲乙丙都被治愈，而丁没被治愈， 我们就可以表示成 a 一乘 a， 二乘 a， 三乘 a 四的对立事件，这样我们由事件的独立性我们可以得到 pa 一乘 a 二乘 a 三乘 a 四的对立事件，就等于 pa 一乘 pa 二乘 pa 三乘 pa 四的对立事件，带入就达到四分之三乘四分之三乘四分之三乘四分之一，等于二百五十六分之二十七， 这样我们就得到了加一并被治愈，而丁没被治愈的概率等于二百五十六分之二十七。有了第二问，我们就可以来看第三问， 注意到恰有三个患者被治愈的情况，那么四个人当中有三个被治愈， c 是三种情况，也从四个人当中选出三个是被治愈的，剩下那个是没被治愈的。那么如果用符号来表示，应该是 a 一的对立事件，乘 a 二乘 a 三乘 a 四，也是第一个人加没被治愈。 第二个是 a 一乘 a 二对立事件，乘 a 三乘 a 四，是一没被治愈。第三个是 a 一乘 a 二乘 a 三的对立事件，乘 a 四是并没被治愈。第四个 a 一乘 a 二乘 a 三乘 a 四的对立事件是丁没被治愈。 那这样我们可以看这四种情况两两都是互斥的，而且由第二我们可以达到每一种情况的概率都是四分之三的，三之方乘以四分之一， 他算出来应该等于二百五十六分之二十七，这样我们所求的概率应该是刚才的四种情况 的合的概率也装 pa 一的对立事件，乘 a 二乘 a 三乘 a 四加 a 一乘 a 二对立事件，乘 a 三乘 a 四加 a 一乘 a 二乘 a 三对立事件，乘 a 四 加 a 一乘 a 二乘 a 三乘 a 四的对立事件，那么根据互斥事件的概率应该等于这四种情况的概率的和，所以他应该等于 pa 一的对立事件乘 a 二乘 a 三乘 a 四， 加 pa 一乘 a 二。对立事件乘 a 三，乘 a 四，加 pa 一乘 a 二乘 a 三的对立事件乘 a 四。这个加 pa 一乘 a 二乘 a 三乘 a a 四的对比时间，那么就应该等于 c 四。三乘以四分之三的三之方，乘以四分之一，等于六至四分之二十七。这样我们就求出来了，恰有三个被治愈的概率等于六至四分之二十七。 下面我们接着来看第四题。因为共有四名患者服用的药物， 那么 x 表示被治愈的人数，那么可以得到 x 的曲子范围应该是零一、二、三、四， 那么分别求出他们的概率。刚才我们在第三问当中已经求出来了， x 等于三的概率是等于 c 十三乘四分三的三之方，乘四分之一，等于六十四分的 二十七。那也说从四个人当中取三个人是被治愈的，另外一个人没被治愈， 三个人被治愈应该是四分之三的三次方，一个人没被治愈是四分之一，所以是相乘，那么我们用类似的方法可以得到， px 等于零，说明四个人当中零个人被治愈，四个人没被治愈，所以他应该等于 c 四。零乘四分之三的零次方，乘以四分之一的四次方，算出来等于二百五十六分之一。 px 等于一，说明四个人当中有一个人治愈应该是 c 是一，一个人治愈乘以四分之三，还有三个人没被治愈，乘以四分之一的三次方，等于六十四分之三， px 等于二，四个人当中有两个人被治愈，两个人没被治愈，所以种情况应该是 c 是二乘以两个 治愈，被治愈，应该是四分之三的三只方，两个人没被治愈是四分之一的平方，一乘等于一百二十八分之二十七， px 等于四，说明四个人都被治愈，应该是四十四乘以都被治愈，应该是四分之三的四次方 零个人没被治愈，应该是乘以四分之一的零尺八，算起来等于二百五十六分之八十一。 好，算出来 x 对应的每一个字的概率，我们就可以得到 x 分不练，当 x 取零的时候，他等于二百五十六分之一，取一的时候等于六十四分之三，二的时候一百二十八分二十七， 取三的时候六十四分之二十七，取四的时候二百五十六分之八十一。然后列成这里的表格的形式 就是我们的 x 的分布列，那么这个分布是我们一个很重要的分布，我们把它称之为二项分布。那么什么叫二项分布呢？我们一起来看一下。就是一般的如果一次博努力试验中出现成功的概率为 p， gq 等于一紧 p， 且 n 次独立重复试验中出现成功的次数为 x， 则 x 的取之范围是零一二一直到 n。 而且 px 等于 k 等于 cnk 乘以 p 的 k 字方乘以 q 的 n 紧 k 次方 k 等于零一一字道 n， 那么这样我们得到 x 分布列。就是如这个表格所示，取零的时候， cn 零， p 的零字方乘 q 的 n 字方。取一的 时候， cn 一乘以 p 的一次方乘 q 的 n 减一次方一字道去 n 的时候， cnn 乘以 p 的 n 次方，乘以 q 的零次方。 让同学们观察一下这个分布列当中的第二行，也让 x 每一个值得对应的概率，这个试着跟我们所学的哪个内容 看起来相像，那我们可以注意到，上述 x 分布列第二行中的概率的值，都是 二项展开，是 p 加 q 的 n 次方，那么展开以后，他们可以展开一下，应该等于 cn 零乘以 p 的零次方， q 的 n 次方加 cn 一乘以 p 的一次方，乘以 q 的 n 紧一次方，一字加到 cnk 乘以 p 的 k 之方，乘以 q 的 n 紧 k 次方，一直加加到 cnn cp 的 n 次方， q 的零次方。刚才我们说了，那概率值是不是这个二项展开式当中对应向的值， 因此我们就称 x 服从参数 np 的二项分布。记住这个式子，那么这个式子要注意了，他的 n 是独立重复试验的次数， p 是一次不努力试验中成功的概率。 那么比如我们刚才上述尝试与发现当中的随机变量， x 就服从的是一个参数四四分之三的二项分布，那么你就可以把它记成 这个柿子啊，现在这个柿子。那么当然我们除了方向分布，用表格形式表 是我们服从二项分布的随机变量，我们他的概率分布也可以用一个图来直观的表示，比如像这里的图一样，这有类似我们的频率分布直方图。 好要啦，我们刚才所学的二项分布，我们回过头来解决一下我们本节一开始的情境与问题，我们把它叫做利益。我们来看，如果是本节一开始的情境与问题当中，能正常工作的设备数为 x， 第一写出 x 分布列，第二求出计算机网络不会断掉的概率，他们可以想一想， 那么第一个我们可以看出 x 服从参数为三 零点九的二项分布，因此我们就可以用二项分布计算概率的公式。 px 等于零等于 c 三，零乘以零点九的零次方乘以一减零点九的三次方等于零点零零一。 px 等于一，等于 c 三，一乘以零零九的一次方乘以一减零零九的二次方等于零点零二七。 px 等于二等于 c 三，二乘以零点九的二次方乘以一减零点九的一次方等于零点二十三。 px 等于三等于 c 三，三乘以零点九的三次方乘以一减零点九的零次方等于零点七二几。这样我们就得到 x 分布链， x 取零概率为零点零零一取一概率为零点零二七取二概率为零点二四。三取三的时候概率为零点七二九。又拉 x 的概率分布，我们就可以来做第二题了。 要是计算机网络不会断掉，那也就说要求能正常工作的设备至少有一台，也就说 x 大于等于一。求 x 大于等于一的时候的概率，那么同学们可以想有两种做法，一种大于等于一，那就是 x 等于一等于二等于三概率的和， 那么同学们还可以想， x 大于等于一，他的对立式建设 x 小于一， x 小于一，也就要 x 取零。同学们想，这两种方法你觉得哪一种方法简单？那当然同学们可以看，如果用他的对立式 事件的话，只用算一个 x 等于零的字，所以我们选择一种比较简单的方法来算，用对的时间来算这个我们所求的概率。 px 大于等于一就等于一减， px 小于一 等于一减， px 等于零，带入就等于一减零点零，零一等于零点九九九。 所以我们学习了这节课的知识以后，就很容易来解决我们本节开始提出的问题。好，下面我们接着来利用刚才所学的知识来看一下俩。假设某种人寿保险规定， 投保人没活过六十五岁时，保险公司要赔偿一百万元，活过六十五岁时，保险公司不赔偿。你知，购买此种人寿 保险的每个投保人能活过六十五岁的概率都为零点八。随机抽取三个投保人，设，其中活过六十五岁的人数为 x， 保险公司要赔偿给这三个人的总金额为外。外面， 那么看下面的问题，第一，指出 x 服从的分布，二、写出外与 x 的关系。第三，求 p y 等于三百，我们可以自己尝试一下。 好，我们来看第一个，我们不难看出 x 服从参数为三零点八的二项分布。第二，因为三个投保人中活过六十五 五岁的人数为 x， 那么则没活过六十五岁的人为三减 x， 因为没活过六十五岁的人每人要赔偿一百万，因此我们 y 就应该等于一百倍的三减 x。 好，接着来看第三问，因为我们要求外等于三百的时候概率，那么外等于三百，刚才外是等于一百倍的三级 x， 所以实际上等价于一百倍的三级 x 等于三百，减一下等于 x 等于零。 那么这样我们这道题要求的是 y 等于三百的时候呢概率，而我们题目给的是 x 的分布。练，这就想到我们前面在讲礼闪行随机变量的时候说了，当两个随机变量 x 和 y， y 等于 ax 加 b 的时候，这两个随机变量 x 和 y， 当 取相应值的就是取对应值的时候，他的概率是相同的，那也说 x 取零的概率和 y 取三百的概率是相同的。这样我们把 y 等于三百的概率转化为 x 等于零的时候概率，这样我们就可以用 py 等于三百，他只要等于 px 等于零，然后 x 等于零。首先就 x 是服从一个 二项分布，所以我们可以根据二项分布的求概率的方式来算，所以等于 c 三零乘零点八的零次方乘以一减零点八的三次方计算得到零点零零八。 那么通过上面的题我们可以看到，当 x 服从二项分布时，应弄清楚这个二项分布当中的实验次数 n 与我们成功的概率 p。 第二，解决二项分布问题的两个关注点，老铁们关注到，第一等于公式 pr 等于 k 等于 cnk 乘以 p 的 k， 四方乘以 q 的 n 紧 k 四方 k 等于零，一，一直到 n 必须在满足独立重复实验的时候才能运用，否则是不能运用这个公式的。 第二，我们要判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点，第一是对立性，即一次试验当中事件发生与否，两者必有其一。 第二是重复性，即实验是独立重复进行的。恩赐好，下面我们再来看一个问题，如果我们将一枚均匀的硬币抛一 一百次球正好出现五十次正面的概率是我们可以设正面出现的次数为 x， 那当然我们知道 x 服从参数为一百零点五的二项分布， 那么我们如果要求 x 等于五十的时候的概率，是不是可以用概率公式来算？所以 px 等于五十就等于 c 一百五十乘以零点五的五十次方，再乘一减零点五的五次方，一化减等于 c 一百五十乘以零点五的一百次方。 他们想这个事者如果我们手算的话容易吗？那当然不容易，但是人工去算不容易，但是我们有先进的计算机技术，所以我们如果用信息技术来计算，那么这概率值是比较容易的。所以我们 给同学们讲两种来计算这个概率的计算机软件。第一就是我们在一开始二当中，我们只要在任何一个单元格输入 等号，然后 binom 点 dist， 这使用是一个二项分布的英文的字母啊，括号，五十 逗号，一百逗号，零点五逗号，然后 false， 然后括号输入这个式子以后，我们就可以得到上述概率的小数的形式， 那么我们可以看一下，你看我们只要在任何一个单元格当中输入上面的这个式子之后，下面我们就能得到还等于五十的时候的概率，非常简单。 好，我们还可以用我们教材当中给的一个教学软件，那么如果打开这个教学软件的概率统计功能，然后我们选择二项分布， 然后一样我们可以得到有关的概率值，那同学们可以看看，比如我们在这个软件等概率统计功能当中选择内行二项分布，然后输入使用的次数是一百次， 那么成功的概率是零点五。这样我们求 px 等于五十，但这个软件当中没有 x 等于五十，所以只要输入一个不等式，大于等于五十，小于等于五十，那么它实用就是 x 等于五十，这样我们可以计算出他的概率。 所以通过这两个软件我们可以看出，用信息技术来计算二项分布的概率值 是非常容易的。好，下面我们对本节课所学的内容进行一个小节，我们第一个恩赐，独立重复实验。 在相同的条件下重复 n 次播努力试验的时候，人们总是约定这 n 次试验是相互独立的，此时这 n 次播努力试验，我们也常称为 n 次独立重复试验。 第二个，我们一个很重要的分布叫二项分布。一般的，如果一次博努力试验中出现成功的概率为 p， q 等于一减 p， 且 n 次独立重复实验中出现重控的次数为 x， 只要 x 取值范围是零一二一直到 n， 而且 px 等于 k 的时候，等于 cnk 乘以 p 的 k 次方，乘以 q 的 n 减 k 次方， k 等于零 一一直到 n， 那么它的概率分布如这个表格所写是，那我们就称 x 服从参数 nt 的二项分布。我们记住这个式子。 好，最后我们留一下本节的作业，我们教材七十九页练习 a 组的第二题，第四题，练习 b 组的第一题，这是 a 组的第二题， 这是 a 组的第四题，这是 b 组的第一题。好，今天我们就讲个这样，同志们，再见！

大家好，今天我们快速来讲一下离散型随机变量的两点分布，二项分布，还有超级和分布。那么下节课当然我们就会专门的来讲正态分布了。什么是两点分布呢？其实非常容易理解，比如说在你扔骰子的实验中只扔一次，对于一个扔骰子的实验， 我们这个 x 代表什么呢？如果一点朝上了，咱们就代表一，如果是其他点数朝上，咱们就代表零，当然他的概率一点朝上当然是六分之一，其他点数朝上就是六分之五，这个又是非常典型的一个两点分布。两点分布的特点是什么呢？就是你只进行了一次什么一次实验， 那么看好了，他的分布列写的非常清楚，那么此时随机变量就服从两点分布，两点分布又称为零一分布啊，很简单，一就代表成功了，零就代表没有成功嘛。那么一 由于只有两个可能结果的这一次随机实验，这种实验呢，也叫博努力实验，所以说两点分布也称为博努力分布。你以后就记住临沂分布，两点分布，还有博努力分布，他都指的是一个意思就够了。那么现在我们来算一下两点分布的期望和方差。 期望非常容易算，这个数学期望的话，只需要一乘 p， 对吧？他的值零乘一减 p， 那最后算出来就是 p 啊，好，他的期望呢？就是 p， 然后这个方差怎么算？方差也一样啊，用一减去均值的平方，再乘所对应的概率，用零减去均值的平方，再乘所对应的概率，最后算出来是 p 乘以减 p 的，挺有意思的这样一个结论， 嗯，做一道题目吧，这道题目说的是六支白球，四支红球的口袋中任 取一只球，只取一只球啊。进行一次实验，然后用 x 表示取到白球的个数，那 x 肯定要么是一，要么是零啊，对不对？要么取到白球，要么没有取到白球，然后算他的这个数学期望和方差也是很简单的，关键他属于大题，应该怎么写这个过程？先写个解字，这样来写。 首先 x 等于零，也就是说没有取到白球，他的概率，那就取到的是红球呗，十分之四五分之二就行了。那取到白球取的那一只球是白球，那就是十分之六五分之三这样一个概率。所以他的分布呢， 典型就属于什么分布，就属于连续分布了。那么算完这样一个分布之后的话，你看均值、方差都容易算吧，均值呢，就是 p， 方差就是 p， 乘以一减 p 嘛，就都好算了。行了，那么算完这个之后的话，咱们继续 来看这个二项分布。什么叫二项分布呢？其实二项分布和零一分布关系非常密切，零一分布我们进行几次来着？零一分布我们进行一次实验，但是二项分布它进行不止一次实验， 什么意思啊？先介绍一下什么叫独立重复实验，如果每次实验我们只考虑两个结果，要么是正面，要么是反面，要么是 a， 要么就是 ac。 只有两种可能， 并且事件 a 发生的概率 p 是相同的，就是每次时间都是独立的，它的概率不会影响下一次的概率，每次概率啊， a 发生的概率永远是一致的， 然后在相同的条件下重复做 n 次实验，各次实验结果相互独立，那么此时我们就成为什么称这个实验就叫做 n 次独立 力重复实验，独立就独立在他的概率互不影响，永远都等于 p， 对吧？重复呢？重复就是重复 n 字的意思，独立重复实验。那么有了这样一个独立重复实验之后的话，咱们要算一下概率，算一算， 比如说我们一共进行了几次实验？进行了 n 次实验，每次啊 a 发生的概率，它其实都是等于 p 的， 那么现在他问的什么呢？问的是在这 n 次中恰好发生了 case， 这 n 次中恰好发生了 case， 是哪 case 啊？对吧？我们 n 里边选其中其中的 case， 对吧？然后 a 发生了 a 发生，那就是 概率是 p 吧。然后你每次每次都是先进行第一次，再进行第二次，这肯定是分布乘法技术原理， p 的 k 字方，因为他这样一个事件 a 发生 k 次，所以有 p 的 k 次方，那剩下 a 没有发生，那不就是一减 pa 没有发生多少次啊？ n 减 k 次方就可以了。这个一减 p 代表谁的概率？代表 a c 的这样一个概率，那么 n 减 k 代表什么？代表 a 发生的次数呗。 你 a 发生了 k 词，那剩下的这个 a 非肯定发生了 n 减 k 词啊，这个是很好理解的，所以锁定的概率也就算出来了。那么有了这个独立重复实验之后，接下来我们就可以介绍二项分布了。二项分布非常简单， 我们首先在独立重复实验中 n 次独立重复实验中，将事件 a 发生的次数假设为 x， 因为你一共进行了多少次实验？一共进行了 n 次实验，这个 x 最大，最大就是 n， 最小就是零，为什么是零？那 a 一次都没发， 这种情况是有可能存在的，对吧？好，事件 a 不发生的概率我们记为一减 p， 那发生的概率就是 p， 那么在 n 次独立重复实验中，事件 a 恰好发生 kiss 的概率，我们刚才已经写过了，对吧？那么 k 的取率是从零到 n， 所有的整数都是有的， 那么我们比如说随机看，能选出来吧。你说这个四 n 一代表什么？代表 a 事件只发生了一次 c n 一哦 p 了一次方，再上 q， n 减一次方，那么这样的分布列就成为什么？就成为二项分布的分布列了。此时呀，满足这样一个条件之后呢？离散型随机变量 x 服从什么？服从 参数为 n p 的二项分布。其实二项分布有专门的字母大写的 b x 啊，这样一个波浪线 b， 然后 n p， n 代表什么？ n 次独立重复实验， p 代表什么？每次实验中 a 事件发生的概率都是 p， 对吧？好，那现在我们继续往后来看。至于二项分布，其实我不想说二项分布，咱们先复习一下刚刚学完的两点分布，还记得吧，在两点分布中，他的 数学期望或者说均值是多少来着？是 p， 那么他的这样一个方差是多少来着？他的方差呢？是 p 乘一减 p， 还记得不？两点分布吧？那么二项分布其实就是在两点分布的基础上，两点分布 只进行了一次实验，然后呢，二项分布是进行了 n 次独立重复实验。所以啊，现在二项分布的数学期望，你不用管怎么推倒的，不会考察你怎么推倒，你就记住一个结论就行了，他就是乘个 n 就行了。那方差已 也是啊，在原来两点分的基础上进行了 n 次实验吗？那就乘个 n 就行了， n p 再乘一减 p 就行了。记住这样一个结论就行，他的推导过程不用去管。那好，现在我们仍然是练习一道题目，一名同学骑自行车上学，假如说每次啊，他遇到这个红绿灯的概率都是一样的， 从他家到学校，图中有六个路口，嗯，然后每个路口他遇到红灯的概率是相互独立的，遇到红灯的概率都是三分之一啊。说到这个科三就是遇到红灯次数，红灯次数显然是从零次到六次七种可能，对吧？ 那么关键是怎么去算呢？首先你要写的就是先文字上写清楚了，这个应该写克赛啊，离散型随机变量克赛，满足什么分布列，二项分布的分布列啊，他的参数分别是六和三分之一，六代表 什么？代表了六次或者六个路口，然后每次发生红灯的概率都是三分之一，得写先写清楚这一条才可以好写专业了，写清楚了，那么所以它的分布列是不是又写出来了呀？六次遇到 k 次红灯，那就 c 六 k 三分之一， k 次方三分之二，三分之二就代表没有遇到红灯啊，然后六减 k， 那么接下来我们分别算出来这些数字就可以了。代入你，比如说科三等于三的时候，你把这样一个式子里头的 k 都带成三，最后算出来就是七百二十九分之幺六零就没问题了。 好了，现在我们来看最难理解的超级和分布，这个超级和分布的话说的是一般的假设总数是 n 键，这个 n 键总数的话，其实分成了两类，比如说我们说甲类一共含有 m 键，那乙类的话，请告诉我短 多少键，那肯定就是大 n 减去 m 键了，对吧？然后从这所有的 n 键的两类物品中，从所有的物品中任取 n 键，然后问的是什么呢？问的是这 n 键中， 然后假类物品取出来的假类物品中，这个它的个数为小 m 的概率是多少？这个我觉得是很好理解的，咱们来一起讨论一下啊！ 看一下分母，我觉得是最容易理解，为什么当没有任何要求的时候，我就大恩小恩，从所有的恩件里头取小恩件物品，因为没有任何要求，所以分母就是这么多种可能。分子呢？分子的话现在看清楚了啊，甲类里头取了 m 个，那就是大 m 小 m， 乙类里头呢，乙类的话那就是 n 减 m， 这是乙类的总数，那么你说乙类去了多少件，那就是小 n 减去小 m 键就是这样来算的。那么 m 他这样一个趋势是从零到 l， 当然是正整数，但是正整数的话，大家一定要注意 l 是什么？ l 一定是 n 和 m 中最小的数字，为什么呀？因为你 m 是上标吧，你 m 再大不能大过谁，你不能大过这个大 m 是不是在这样一个组合书里头， 其次的话 n 减 m， 你不能出现负数吧。所以说大家一定要注意最终 m 最大的取值呢？它永远是取 小 n 和大 m 中比较小的一个，这个注意就行了。这个呢，就是超级和分布，超级和分布的话，它难点就在于参数太多了，有大 n、 u、 m， 然后还有 n， 有这三个参数才能构成一个超级和分布，应该理解吧。那么此时啊，我们就称理想，要随机变量，这种形式为超级和分布， 也称 x 复充。参数有几个？大 n、 大 m、 小 n， 超级分布一共有三个参数吧，所以得写清楚啊，在超级和分布中，只需要知道这三个参数，剩下的概率就好。算了，超级和分布是不放于抽样，这个你知道就行啊， 好，看好了，那么接下来超级和分布，他的数学期望与方差 都是画星号。什么叫画星号？你能记住就记住，记不住真的无所谓，不会考察这一点的啊，那现在我们还是练一道题， 这道题目的话挺有趣的啊，他说的是一个袋子中装有大小相同的球，一共是几个？一共是五个，三个。那此时大恩其实等于八的呀，一共有八个球，这是总数，然后从中随机摸取出三个球来。球摸的红球，红球的话 不就是等于五吗？因为你最后要求的是红球个数，然后这个小 n 多少，小 n 就是一共摸出多少个球来，三个球，那么接下来这三个参数确定了之后，这样一个超级的分布不就确定了呀，所以往后边写吧。看好了啊， 那么接下来的话就变成了摸到红球的个数啊，咱假设这个科赛是第三随机变量，他肯定就服从。大 n 等于八，总数是八，然后红球是五个，然后 n 代表取出的三个球，这样一个超级和分布，既然是超级和分布，我们就可以把这样的一个概率计算的公式来算出来，是不是 你一定要记住，科赛他取值是在 m 和小额里头，最什么肯定取的是比较小的那一个，最大就只能够取到三，因为 n 是三呢。那继续往后算，算完了只需要代入就行啊，代入之后最后他的分布列就算出来了。分布列算出来，那数也取， 就要应算呗，零乘他加上什么？加上他，乘他加上他的。当然你要记得这个数学期望的公式的话，也可以用啊， n 乘 m 除上 n， 最后算出来也是八分之十五，可以了吧。那么这节课我们就讲到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见。

hi， 大家好，今天我们分享 g g b 教学概率统计系列教程，概率统计二十，自制超级格分布概率分布图，如图所示。那这个是我们自制的超级格分布概率分布图，主要是使用指令。 好，下面我们来看一下如何来进行制作，我们先将之前的制作全部删除掉。 首先我们创建一个滑动条整数，滑动条大 n， 它的范围是三到三十， 用来控制总的产品数，事实上就是这个定义当中的一个大 n， 之后创建整数 滑动条大 m， 它的范围是从三到大 a， 用来呃控制产品中的次品数，之后再创建一个整数滑动条小 n， 它的范围是三到大 n， 用它来控制。我们来看下是三到大 a， 我们用它来控制取出的产品数。 之后在指令框当中输入指令最大值，最大值是零 和这个数啊，也就是 n 减去大 n 加上大 m 当中它的最大，也就是对应了定义当中的这里， 那这个它是把它写成了小 m， 我们也可以改一下啊，重新命名，命名成小 m。 然后下面来看一下 r， 也就是输入这里，我们输入最小值，最小值是从小 n 和大 n 当中来取啊，大 m 当中来取。好，确定，我们也修改一下，它的名称叫小 r。 好，下面就是利用条形图指令来得到我们想 想要的图，跟上期视频教程类似的，那这个条形图指令我们是有三种做法，那在这里我们就直接使用条形图指令来进行条形图， 这个起始值是一中指值，看你个人的需要，你如果想要得到总的这个条形啊啊，它的值条， 它的宽度之和是恒定的话，那你中指值就设定一个恒定值，如果不是的话，那这个可以随着里面的参数的变化而变化。 比如在这里我们可以设定啊，它的每一个枝条，它的宽度在大按边 变化的时候啊，有时在里面参数变化的时候，他是不变的，那我们就可以输入啊减小 m 加二表达式啊，在这边是组合数啊，你只要把这个定义当中啊这个地方写进去就行了啊，这里面用到了一个组合数指令，组合数 是大 m k， 再乘以个组合数大 n 减去大 m， 这个是小 n 减 k， 再除以组合数大 a 小 a， 其中的变量是 k， k 是从零啊，是从 啊，不是从零，应该是从 m 到二。好，确定。那这样我们来看一下，我们就得到了我们想要的直方图， 我们可以通过调节这里面的大 in 啊大 m 小 in 来改变脂肪图的形状，也就改变相应的参数， 跟之前自制二项分布概率分布图一样。那对这里面的直条，我们也可以通过打开它的属性， 在颜色或者是在样式里面去选择相应的枝条来进行设定它的颜色以及它的填充的 图形类型。 好，那么这个自制超级和分布概率分布图实际上跟自制二项分布概率分布图是一样的。好了，关于这样的一个案例，我们就分享到这里，感谢聆听，再见！

七十六超级和分布，他也是离散型，嗯，离散型，随机变量，随机变量。 哎，他就是第二种超级和分布式的。什么呢？在含有 m 间次品的 an 间产品中， 你说总说有 a 键，对吧？ m 键是次品，那正品应该是多少呀？正品应该是大 a 减去大 m， 对不对？ 人群小 ang， 其中含有次品的个数，如果次品为 k， 对吧？啊？次品为 k， 这说明什么呢？说明他要从次品总数里面 m 去 k， 对吧？然后我们要从不是次品呢？也就正品里面取多少个呢？你总共是取 n 个，你有 k 个次品，那正品就是 n 减 k。 总硕是什么呢？总硕就是从整个总硕里面大硬取出小硬， 这个就是他对应的每一个的，这个叫什么概率？嗯，概率啊，他这个公式啊，原来同学讲的，理解不了，理解不了，不着急，你知道吗？你不要着急，假设这是 x， 好吧，我们 x 表示 表示次品个数可以吧？次品个数，这是概率。总说有矮硬的，哎。里面 里面是 m 键次，对不对？那大 n 减去大 m 键正品我们假设是零，零，就说明什么？一个次品也没有，一个次品也没有，所以总说是 n 里面挑出来 n 个，我们从里面是出 n 个的啊， 一件次品也没有，那次品就是 cm 零一件次品也没有吗？然后从正品里面大 n 减大 m 里面去 n 个， 如果他要是一个次品呢？那就从总数里面挑 n 个，从次品里面挑一个，然后从正品里面啊，从正品里面挑 n 减一个，那他要是有 k 个呢？ 那就是 cn 小 nc 大 mkncnjmnjk， 那要是他最后有多少个？他最后能不能一定是 n 个次品？不一定啊，他最多最多只能到谁 m 个嘛。假设他有 m 个次品，他不就是 c 大 n 小 n 吗？人家最多就 m 间次品吗？ c 大 m 大 m cn 减大 mn 减小 n 减大 m， 对吧？ 那么他的数学期望 ex 呢？数学期望就是零乘以他，嗯， cm 零 cn 减 mn 比上呢？ cn 小 n 加呢？一乘以他 c 大 m e c 大 n 减大 m n 减一，一直到 c 大 n e 一直到谁啊？一直到大 m 去乘以最后这一个。 哎，这就是这个叫什么他的定义啊。有些同学问问老师，这个怎么算呢？这个你不需要算啊，他就是 n 乘以 p， 哎， 其中那个屁，为什么呢？屁就为大 m 除以大硬，说白了， n 就是除以 n 乘以大 m 除以大硬。 这个已经有人帮我们证明了，在我们书上能理解吧。有些同学问问老师，他的方差呢？哎，他的方差呢？我们暂时不考虑，你知道吧？暂时不考虑，因为 他没有具体的公式。那我们只能是具体值啊，去算了，按方叉的公式去算，前面最基本的方叉公式。好，这就是超级和分布， 能理解吧。我们来看一下题目啊，道理很简单啊，几个里面出几个东西，对吧？有证有次， 哪里的？从一批含有十三件正品，两件次品。那说明总数有多少呀？十五件呗， 不放回抽取三件。哎，我们这个超级和分布是一种不放回的抽取取出次品为一的概率。那不是次 品是不等于一的呀。次品要是一，我们抽几件？抽三件，从十五件里面抽三件，对不对？次品是一件，那只能从两件次品里面抽一件，从十三件次品里面抽两件吗？ 这不是这个吗？他等于二乘以二乘一，十三乘十二，比上呢？十五乘十四乘十三比上的三乘二乘一约掉上面是十三乘以十二， 这个二和他约掉还剩几，还剩七三和十五约掉还剩五，五乘七乘四，三约掉五七，三十五 分之十二，是吧？三十五分之十二。所以这道题不就选 b 吗？我们现在只求他次品为一个，你把他的次品为零个，次品为两个，次品为一个，都求出来，就是他的分布力量。 你来看这某组共有五人，对吧？五个人里面两个女的，那不就是三个男的吗？随便抽几人呢？抽三人，求女生个数随机变量的分布列。 我们假设女生，对吧？ x 表示三人中有女生的人数，有女生的人数。如果 x 等于零了， 代表什么呀？代表总共从五个里面出三个。嗯，女孩子呢？娶零个，从三个男孩里面挑三个， 如果 ps 等于一，就代表总数 c 五三，从女孩子里面挑一个，男孩子三人里面抽两个。 ps 等于二，代表 c 五三，女孩子里面抽两个，男孩子抽一个。 那 x 有没有可能等于三啊？不可能啊，为什么呢？女生总人数就有啊，那女生不可能超过两个人啊。这样一算的话，就是五乘四乘三，比上的三乘二乘一，上面是一乘一， 他就是十分之一，他这个就是十分之六啊，他这个就是十分之三， 你加一下看看，等不等于一，如果等于一分不列，就一定是对的。十分之一，十分之六，十分之三明显等于一，但我们要化解一下，知道吧？这五分之二， 所以他的分布列就可以这样写， xpx 等于零的时候十分之一， x 等于一的时候五分之二， x 等于二的时候十分之三， 那他的数学期望 ex 零乘十分之一，加一乘五分之二加 二乘四分之三，我们在计算的时候把这五分之二当成十分之六去算，要简单一点啊，十分之六，十分之六，那就十分之十二，也就是说一点二十分之十二， 对吧？我们一般不写一点啊，同时除以二五分之六就是五分之六，那他的方叉 dx 呢？嗯， 方叉 dx， 对吧？那就是零减去五分之六的平方乘以十分之一， 加上一减去五分之六的平方乘以五分之二，加上呢二减去五分之六的平方乘以十分之三，这一 计算就是他的方差，就是他的方差，这个是五分之六。二十五分之三十六乘以十分之一， 加上的二十五分之一乘以十分之六，嗯，加上，这是五分之十啊。二十五分之十六乘以十分之三，也就是两百五十分之三十六加六 是四十二，四十二加四十八，九十，嗯，二十五分之九计为他的方差，哎，把概率算出来，剩下的数学期望 ex 还有 方叉直接套公式，他会相当的简单一点。其实这个超级和分布，哎，理解一下，他是一种无放回的，无放回的，而且超级和分布的极限啊， 超级和分布的极限就是我们接下来要讲的二项分布，二项分布，好吧，我们到处感受一下。

同学们好，我是小金老师，今天我们来讲一下超级和分布， 那什么是超超超级和分布呢？这个名字听起来呢，不太好理解，我们把它称之为一个抽抽次品模型来看，说有三十件产品，有五件次品，我们从里面取十件产品，其中有八件正品的概率 从三十里面件里面取十件啊，有八件正品，那么这三十件有多少个正品呢？有二十五个正品啊，我们来看， 我们底下呢，是从三十件里面取十件，所以是 c 三十十，然后有八件正品， 这八件证必须在那二十五个正品里面取，所以是 c 二十五的八，然后还有两件次品，在这五件次品里面取，取 c 五二。 大家去感受一下这个模型，这就叫超级和模型抽次品啊，这是一次性取了十件啊，注意是一次性取的， 不是一个一个取呢，而且他强调是一次性取，是不放回的啊，所以在做题的时候吧，人家提审清，看能不能套这个模型，不能见到题硬套，那就出事了啊。 一般超级和模型他是在具体的建数里面取，一般数量就比较小，这个也注意一下，同样的他也你取， 取了八件正品，有没有限制在第几次取的？没有顺序的限制，是一次性取的啊，这些该注意的点一定要注意到位啊。做题的时候把它题审清， 能不能套模型，想明白啊，要对自己负责任。好，我们继续往下看。看个例子 说呢，这有笼子里面有六个果蝇，然后混进了两个苍蝇，这个时候笼子有八个苍蝇，八个蝇子有六个果蝇，两个苍蝇， 然后把笼子打开一个小孔，让一个个往出飞呢啊？直到你看人家说直到两只苍蝇都飞出去了，再 再关闭小孔。去理解这句话，是两个苍蝇都飞出去了，然后把小孔就关闭了，那你球笼内恰好剩一个果蝇的概率 他胜了一个国营，那他最后一次飞出去的一定是苍蝇， 明白？那么前面六次里面他飞出去了一个苍蝇，五个果蝇，把这个逻辑先搞明白， 最后一次啊，一定是个苍蝇，因为他要飞出去两个苍蝇，所以前面六次里面一定有一个苍蝇，五个过蝇，这就是逻辑啊。那么注意啊，这个你看最后这个苍蝇是有顺， 是限制的，所以不能套模型啊。而前面这一个苍蝇和五个果蝇没有顺序的限制，我们就可以套模型了。 你看前面一共飞出了六个，从八个里面飞六个，所以是 c 八六，然后一个苍蝇 c 二一，五个果蝇 c 六五， 然后关键是，然后你看最后一次要飞出去苍蝇，你最后还剩两个，那你要飞出去苍蝇的概率是多少呢？是二分之一，所以单独去乘以二分之一啊。是两部分， 不敢直接整了，很多孩子比较天真可爱，直接啊，直接整了一个 c 八七，底下上面 整了一个 c 二二 c 六五，那就出错了啊，你一定要注意啊，最后一次因为他限制了必须是苍蝇，就不能套模型啊， 这个字一定要理解到位，这个狠狠很重要啊。好，那这节课就讲到这里，再见。