区间再现公式在专升本会用吗

哈喽，同学们大家好，今天我们来分享一道正名题，我们来一起看一下。假设 ytivx 在区间 ab 上是连续的，求这种 a 到 b 的定期分等于 a 到 b 的定期分。那这个这个正名题呢，它主要是说 左边和右边的零积分啊，这个区间呢，都是一样的啊，区间一样。背积函数呢，哎，发生了一定的改变，原来背积函数里面的变量是 x， 现在变成了 a 加 b 减 x。 这个东西呢，在我们数学里面啊，高速里面呢，还有一个名字叫做区间在线公式啊，还有一个名字叫区间在线公式。他能解决一些比较麻烦的定期分啊。一会举个例子给大家看一下。 这东西呢，可以呃，当做一个结论去使用啊，做一些证明。呃，一些定计问计算的时候，可以当做一个结论去使用。那么看一下如何去证明这个 这个积分啊。好。做正一点的话，通常情况下，我们习惯性从左往右正，或者从右往左，又或者两边同时画相等 啊，或者是右边移向过来相减，证明他等于零。也可以啊，大部分证明呢，咱们就像这个结构的话啊，最好使用是从左往右正啊，从左往右正。 那么看一下他从左边的狮子和右边的狮子对比起来，他变的地方呢？就是括号里面飞机，还是括号里面原来的 x 变成了现在的 a 加 b 减 x。 那根据这个特点，再根据我们的那个定期分一个特别的性质啊，改变积分变量，定期分的结果不变啊。 所以我就可以啊，可以把从左往右这种，另左边的 x 啊，另左边的 x 啊，证明往另左边的 x 直接就等于 a 加 b 减去 t， 这个 t 呢，后面可以直接把他给他，怎么样啊？后面直接可以把他替换成 x 啊，不影响积分结果。好， 那么还改变一下积分变量，在做换元。做积分的时候，不仅要换元，积分上下限也要跟着变啊。后面是 dx 也要跟着变啊。好，当这个 x 等于 a 的时候，看一下 t 等于多少， s 等于 a 的时候， t 就等于 b。 当 x 等于 b 的时候， t 等于多少 x 零 p 呢， t 就等于 a， 刚好啊。你看这个原来是 ab， 现在变成了什么 ba。 咱们再求一下 dxdx 呢，就是等于 ag 的 a 加 b 减去 t， 那就等于 a 加 b 减 t， 求导乘以 dt， 那就等于负的 dt 呗，负的 dt。 所以我们 a 级到 b。 fxdx 的定期分呢，就等于 b 到 afa 加 b 减 t， 再乘一个负的 dt 啊，负的 dt。 把符号写前面去付的 b 到 a f， a 加 b。 整体整体体好了。那么现在呢，我们可以怎么样交款积分上下线 定积分的性质里面有一个说是交换积分上下限，这个积分的符号呢，要改给他改变一下啊，现在多一个符号出来，多一个符号。 那么我们来看一下，交换之后呢，刚好就变成了正的 a 的，比顺心的，和原来的积分呢，基本上就一样了。这里采用 一个积分性质啊。下面呢，又要采用另外的一个积分性质了，就是改变积分变量。积分的结果呢，是不变的啊，所以自己把 t 呢给他换成 x 啊。这样一来的话，我们就进对他进行了一个证明啊，就对这个结果呢进行个证明。行，那这个呢，就是这个呃，这个题的一个证明的一个过程，主要是还原啊积分上下限，改变这样一个符号，还有就是这个 改变积分变量啊，这一定积分做最密集的时候。这这些公式呢，都是经常在使用啊，大家可以利用这个公式啊，利用这个公式来尝试解决一下这个计算题。敲定 积分 六分之派，三分之派 x 派，减去二 x 分至 三个平方 xdx 啊。就这个题，大家可以利用上面的公式来做这个题，但是你可以用你自己的方法来做这个题，你可以尝试一下。当然用这个。既然是讲的这个区间在线公式的话，那那么 用这个公式来做这个题呢，肯定是要简单的多啊，如果你有兴趣，你可以尝试其他的方法啊，可以尝试一下。好，那么这个视频的分享呢，就讲到这里，我下一个视频呢，再讲那个用这个公式如何去做这个题啊，那么同学们可以自己去尝试一下。 好，那这期视频呢，就讲到这里，感谢大家的收看，有什么疑问呢，可以私聊我或者是留言啊。

停，这是一道非常巧妙的顶级分， kfc 职业选手来斗，坚决不了， 来看我们今天这道题目，今天这道题目真的非常的巧妙啊，全体同学注意看我操作啊，目光都看向我， 好，看，我们今天这道题，今天这道题，我们先对他进行一个分析，看今天这道题，这个上下区间，非常的一个特殊领导派，然后， 哎，但是他这个背景函数里面是有三角函数啊，又有一个 x， 那 怎么办啊？所以今天这个题目我们要考察我们第一个。什么？第一个肯定是这个区间在线啊，我们同学们老师把这个区间在线记成奇迹在线，奇迹在线是什么？ 奇迹再现，是不是啊？咱们这个奥特曼的那个主题曲啊，说明我们很我们这个同学们啊，非常的相信光啊，非常这个，这个正能量，很好很好，但是这个名字不要记错，区间再现啊，区间再现。 第二点，我们这个应该是要考察什么，我看这个分母是一个一加什么东西平方的形式，大概 应该是要考察同学们这个反三角函数的这个换元吧，嗯，大概应该是个这样来，我们看题目，好，这个区间在线，我们同学们去，呃，这个公式还记不记得， 来大家一起回顾一下啊！默写一遍， a 到 b， f， x， d， x 等于什么？上下线不变， 然后相加减去 x， dx。 啊，那我们今天要推 什么呢？我们今天要说的这公式就是这个区间在线啊，原本是公式的一个推论啊，推论，来，我给大家们推导一遍啊，注意看我操作好， 就拿这道题例子举例吧，零到派，嗯， x 乘上一个关于三 x 的 函数对不对？怎么样利用区间在线上下线不变， x 写成零加派，等于派减 x 乘上啊，中括号三 x 写成零加派，就是派减 x， 这样子对不对？好， 这个是什么诱导公式对不对？鸡变偶不变符号，看相线，鸡还是偶啊，偶对不对？二分之一排乘了个二嘛，二是偶数，对不对？嗯，那等于什么？偶不变符号看相线。来， 这个三 x 的 第一二项链是不是正的？三四项链是负的，那派减 x， 所以 它是一个正的，这个就是三 x 啊，这里我讲清楚了吗？ 看一下能不能跟得上同学们这里。所以这个等于三 x 啊，三 x， 零到派， p g x 乘上了一个 f， 就是 三 x 不 变的啊， d x， 好， 那我们这里注意，所以 我们原本的这个式子，嗯，我们右边再把它括号拆掉，是不是派乘上零到派 f， 三 x 减去零到派 x 乘上 f， 三 x 对 x 啊？哎，注意注意，这项跟这项左边不是一样的吗？我们把它移到左边，是不是就是两倍了？那我们把这个二再除过来，嗯，除过来 是不是二分之派，哎，太巧妙了，刚好他把原式呃，左边这个 x 弄没了，这关于散 x， 哦哦，巧妙巧妙。来，我们把这个式子抄在这边， 零到派 x 乘上关于散 x 的 一个函数啊，我们只用前面乘上一个二分之派， 上下线不变，就可以把这个 x 去掉了啊，是不是非常的巧妙？来，让我们回归这个题目， 看这个题目，我们再把抄到这里，零到派一加上括号平方 x， 分 子式 x 乘上三 x d x， 哎，那我们利用这个公式是不是就可以把整个题目中这个 x 把它 啊，直接去掉，前面乘个二分之拍对不对？一加上扣三平方 x 三 x， 哎，写到这里，同学们怎么样， 是不是一目了然了啊？直接就是， 嗯，这个散 x 就是 cosine x 的 导数，乘上一个符号嘛，把它拉到后面去，等于二分之二，前面要乘个符号， 零到 pi 加上 cosine 平方 x， 上面是一，这个拉到后面去 cosine x。 好， 写到这里，大家 觉得怎么样啊？这边我慢一点讲，咱们一步步换元，可以吧？令 cosine x 啊，等于一个 t 来定积分怎么样？换元必换现啊。 负二分之 pi 前面不变， x 等于零的时候，那 cosine 就是 一，所以 t 等于一， cosine pi 是 多少啊？ cosine pi。 咱们回顾一下 cosine x 这个函数图像啊， 上面是不是一啊？到这里，到这里是多少？二分之 pi 这样子，这里是不是派啊？所以他派的时候是多少？负一对不对？负一啊，负一， 那啊，一加 t 方分之一抵 t 对 不对？好，这个上下线是前面刚好有个符号，我们是不是可以把符号传进去，把这个上下线交换啊？负一到一， 好，写到这里，后面这个是不是很明显的一个什么偶函数啊，然后区间对称嘛，啊，上下线，所以偶备机灵对不对？偶备机灵，那就提出一个二，二分之拍乘二，就是拍 零到一了，一加 t 方分之一抵 t， 这是一个什么形式？是不是一个 acten 的 形式？那就拍乘上 acten t 嘛，零到一对不对？ acten 一 是多少？四分之八， acten 零 就是零啊，最后等于什么？四分之派方啊，没问题，所以咱们这个式子等于什么？四分之派方啊？四分之派方。好，讲到这里我讲清楚了吗？ 嗯，这个公式在这里哈，公式在这里。这两个区间在线的公式啊，我用黄笔写的， 同学们可以记到自己的这个笔记本上。嗯，好，那这道题讲到这里就讲完了，感谢同学们的观看。

你现在应该是看到了一个定积分，你可以想一下这个定积分他需要用什么方法做，你可能会想到分布积分思路没问题，但是分布积分这个题你做不出来。当然了，我们拿到一个定积分，如果这个定积分他有根号的话，一定是首选三角带或者根带的，如果这个定积分呢？没有根号一定是要首选分布或者凑一分。如果分布积分做不出来怎么办？ 立刻去试一下区间在线换元，如果区间在线换元也做不了的话，想办法把这一个积分拆成两个积分，因为我们计算积分有一个原则，就是积分他只要能拆的话，积分越拆一定是越简单的，能懂意思吗？那这个题分不积分，你可以自己试一下，做不出来。所以呢，我们直接到第二步，用区间在线换元，就是直接 令一个新的变量，比如说 t 等于上限加下限，再减去 x。 那 你比如说这个题这个题呢？分布积分你发现做不了的话，立刻去想一下区间在线的换元，直接令 t 等于上限加下限是四分之派吧，再减去个 x， 那 么这个定积分就变成了零到四分之派， 然后 long 一 加上 tangent， 而 cos 是 不是变成了四分之派，减去 t， 然后 dt。 那 么接下来怎么办？这个积分再往下做怎么做？我们没有多少办法的，我们只能是用一下公式， tangent a 减 b， 它应该是等于贪婪的 a 减去贪婪的 b， 再比上一个一加上贪婪的 a， 乘以贪婪的 b 两角和差。公式，当然如果左边是加法的话，那么贪婪的 a 加 b 应该是等于右边这个公式，你把减号改成加号，把加号改成减号就可以了。 然后呢，你看着这个公式，我把这个 a 和 b 呢都改成 x， 就是 把这个 a 和 b 都改成 x 的 话，那么左边就变成了贪婪的二 x， 然后右边呢，就变成了贪正 x 加贪正 x， 应该是两倍的贪正 x， 然后分母就是一减去贪正 x 乘以贪正 x， 这应该是贪正 x 的 平方，这个就是二倍角公式啊。当然说把这个公式呢给大家稍微拓展一下，但是其实这个题呢，只需要用第一个公式，对吧？那这样的话，你要用第一个公式的话，相当于这个 a 是四分之派，然后这个 b 呢是 t， 那 这样的话，摊正它四分之派，减去 t， 应该就等于把这个 a 呢读作四分之派，把这个 b 呢读作 t， 那 带进去的话，摊正的四分之派应该是一的，就变成了一减去摊正的 b， 就 摊正的 t， 那 比上一个一加上摊正的四分之派是个一乘以摊正的 t， 它就是 摊正的 t， 所以 说你的原积分它应该就等于零到四分之派上，然后一加上这一堆的积分， 然后怎么办呢？你看到这个东西有没有什么想法吗？通分好，你把 loan 里面进行通分，就变成了零到四分之派，然后 loan 里面一通分的话，应该是一加上贪婪的 t 分 之二吧，好 d t， 然后呢，可以用一下对数的因式来拆开它，就可以拆成是 loan 二，再减去 loan 一 加贪婪的 t， 有没有发现他的定积分出现了，积分在线，而出现积分在线之后，你把他拿到左边去，这个结果就是两倍的原式的定积分。然后呢，零到四分之派上对零二的 积分，那常数的定积分就等于这个常数倍的上线减下线是四分之派，那把这个二除到左边去，原式的积分就等于八分之零二倍的派。自己呢把这个题呢用到了初高中的公式，所以这个题呢，它其实算是一个难题好吗？好。

这是一道非常巧妙的定积分， kf 职业选手来了都，这这不了，好，注意看我们今天这道题目啊，今天这道题目非常的这个综合啊，考察了两个什么考察第一个就是 同学们对这个三角货源的一个熟悉程度，掌握程度啊。考察第二点就是我们今天主要重点要讲的这个什么区间在线啊，区间在线，好， 来看这道题目，先进行一个分析啊，分析来看到这道题目就有很多的语言和一菲们要说了，看到分母这种形式，那就是 a 加 a 平方加 x 平方的形式，那就直接令 x 等于 a 添减 t， 对， 很好，呃，很好，就是这样的， 说明同学们对这个手气程度啊，是掌握的非常好。嗯，非常好。来，怎么霍元零点 x 等于一个天津 t 对 不对？因为分母啊，分母是一加 x 平方，对不对？好， 那此时 t 就 等于一个 x， 天津 x， 嗯，好， 这里注意咱们这个定积分啊，之前没有讲过定积分里面换元必换线啊，线就是这个上下线，对不对？好，咱们 举这个题目里的实际例子来看，换元必换线原本的上线和下线是不是什么零到一对不对？那我们现在换元以后呢？ x 等于 x 等于零，就是 这是零，对不对？那 x 等于一的时候， x 等于一就是四分之 pi 吗？然后分母是一加 ten 平方 t 等于 second 平方 t， 对 不对？分子，然后也把 x 换成天津 t 带进去， 还有 d x d x 是 不是对天津 t 的 一个导数？天津 t 导数就是 second 平方 t， 哎， 这不刚好跟分母约掉了吗？非常的这个巧妙啊，好舒服。嗯，四分之半 就是楞一加 ten 点 d。 好， 写到这，我们今天要讲的这个区间的线。嗯，区间的线。是吗？怎么写 区间在线啊？这样写，咱们区间在线就是围绕一个核心的公式。嗯，我把写到这里，同学们直接把写到自己的这个抄本上。嗯，写到笔记本上吧，你抄个纸，回头不知道扔哪去了。嗯，好， 两边上下线都是不变的啊，这里注意把两个上下线相加，减去一个咱们这个变量。嗯，好，怎么样？咱们把原本的式子带起来看一下， 原本的式子上下线不变，零到四分之二，然后等一加上怎么样？点进 d， 这里注意， 零加四分之派，四分之派减去变量 t 啊，这里写成中括号 d t 这个怎么样？这个，嗯，是不是咱们可以用正切的这个， 呃，和差角公式啊。啊，这个等于什么？是不是 tan 四分之派减去 tan 四分之派乘上负 tan 四分之派乘上负 tan 负负得正啊。 tan 四分之派就等于一嘛， 老师就变成什么了？是不是扔一加上一加 碳晶 t， 分 之一减碳晶 t 啊，然后再把这个里面再那个化简吗？等于什么？是不是零到四分之派啊？扔 一加 ten and t， 然后一加 ten and t 加一减 ten and t 怎么样？分子是不是就变成了二嘛？ 嗯，没错，没问题。嗯，好， 这里怎么怎么套家，咱们是不是想可以想这个楞 a， 呃， b 分 之 a 就 等于楞 a 减楞 b 啊，所以咱们对这个式子进行一个化简啊，就是楞二抵 t 嘛，减去零到四分之二， 一加特林题啊。写到这，咱们注意到什么？咱们回头一看啊，很多这个 雨夜和一菲就发现了，哎，这个东西不就是一开始那个柿子吗？啊，他怎么又一次出现了呀，很好，呃，很好，观察的非常仔细啊。同学们，咱们把原本那个柿子写到旁边， 原本的柿子是什么？注意看混合红笔啊，原本的柿子在那里啊，原本我们是不是画到这一步啊？这个跟这个是不是一样的？哎，一样啊，零到四分之拍， 嗯，他又一次出现了嘛，天津 t d t 啊，有点挤，写到这里， 注意，这里是等号。那我把这副移过去，就是两倍的这个东西等于这个吗？那我除个二分之一不就啊，不是除二分之一就除个二 不就出来了吗？来看我操作啊，别眨眼，一加，同学们注意啊，两倍的这个等于 零到四分之八，零二抵 t 来，这个是不是可以把它解出来了？这个解出来什么解出来，不就是四分之八乘零二吗？ 四分之 pi 二，所以零到四分之 pi 一 加 t d t 这个东西啊，就是八分之 pi 二嘛，有没有问题啊？所以 原式啊，原式，这里，哎，原式啊，原式就等于八分之 pi 对 不对？ 大分子排等二啊，好，讲到这里，我讲清楚了吗？同学们，这道题，这个就是考察咱们什么区间再现啊，区间再现，好， 那讲到这里这道题就讲完了，因为它是一个定积分，所以咱们没有这个检验的环节啊，如果你非常就是非常不放心， 唯一的检验方环节就是什么，嗯，就是自己拿出一个操作纸上再做一次，嗯，对不对？好，那这道题就讲到这里，感谢同学们的观看。

今天咱们直接从这个第五题来看啊，让我们求一个凹区间，那么借此我们来简单的讲一下，关于这个凹区间它是怎么样去求的？我们整个升本阶段会有两种导数， 一个是一阶导数，一个是二阶导数。一阶导和二阶导怎么区分呢？ f 一个撇 x， 这是一阶导，二阶导，是不是 f 两个撇 x， 这个是二阶导，那我们去求，不管是 递减的区间也好，还是凹凸性也好，这两个都会求的啊，一个是增区间减区间，还有一个是凹 凸性凹凸性用我们的一个二阶导来求增减性，我们的一阶导来求，那首先就来从一阶导开始求 f 一 阶导，或者是写成 y 一 撇啊，它是一个两个函数相乘，是两个函数相乘的话，得用到我们的一个前导后导 或者前不岛后岛，前岛是一个 x 加一， x 加一去求岛话 x 求岛是一个一常数，一求岛是一个零，所以前半部分求岛是一个一后不岛，我就给他原封不动的写上去。 接下来加上前不岛后岛，前不岛是一个 x 加一，后岛是一个 e 的 x 求岛，对不对？ e 的 x 求岛是它本身， 所以是一个 e 的 x 次方。那我去简单给它化简一下，是不是一个 x 加二倍的 e 的 x 次方是我的一阶导数，那我的一阶导数想要去找它的递减区间是第一步要干什么？ e 阶导式子小于零非常好， 一阶导式子小于零的时候，是我们的单调减少区间。 ok， 那 我就让他去小于零，这个不等式怎么解？首先一 x 次方是不是一个恒大于零的一个函数，它是单调递增的， 而且它永远在我 x 轴的上半部分，那我现在有一个式子和另一个式子相乘，我要让它小于零，那一个式子要和一个恒大于零的式子相乘。想要小于零是不是只能是一正一负正的？我已经知道的是 e 的 x 次方，所以如果我想去解这个不等式，我就得让 x 加二去小于零， x 加二小于零， x 小 于 负二，这个 x 小 于负二是我的单调递减区间，我要在单调递减区间内 找到凹区间，也就是说我只能在负无穷到负二之间找到这个凹区间，是不是？那我还是先去求一个二阶导，是不是前导后不导？前导依旧是一个一乘上 e 的 x 加上前不倒后倒， x 加二乘上一个后倒还是 e 的 x 次方，去给它简单的进行一下整理， x 加三倍的 e 的 x 次方，这是不是我的一个二阶导？如果我想去找一个凹区间，二阶导是大于零的。在这里我们上课的时候，我会给大家提供一个小小的思路啊，怎么去记这个二阶导？凹区间还是凸区间？ 如果是大于号的话，对应的就是一个凹区间，如果是小于号的话，对应的就是一个凸区间，大凹小凸。有同学这么记得，你要是有同学实在记不住的话，你把这两个字给他横过来， 他大于的时候他会把这个字给他顶进去，所以大于的时候尖对着这个凹，正好他俩匹配，那 小于的时候换到我这个字顶它了。非常这个奇怪的一幕，我这个字，这个凸起的这个部分对着我小于号的这个开口啊，它们是这样配对的啊，一个顶一个，一个顶一个， 所以大于的时候是凹区间，小于的时候是凸区间。我给大家提供了这样一个思，那像我这个数字大于零的话，首先我的 e x 是 大于零的， 两个数相乘，要想大于零的话，它俩要么是同正，要么是同负，那既然我的 e x 已经是正的了，我就需要我的 x 加三也是大于零的。 ok， 那 x 要大于负三，我的这个递减区间是什么？负无穷到负二， 我要在这个区间里面去找到凹区间，凹区间是谁？负三到正无穷，那我是不是要找它俩的交集才是又递减又凹，那这个选择一个 c。

挑战，用二十分钟带你学会终极定力。好，那我们今天要讲的是终极定力啊，在终极定力这一块，专升本考试里面是不是比较常考？是证明题啊？证明题是不是像江苏这边？ 江苏这边证明题一共是十分啊，近两年特别爱考，像二四年、二五年都考到了，什么都考了。鲁尔定力是不是还有零点定力啊？但拉尔定力好像并没有设计，所以我们必须重视一下。 好，今天给大家讲一下零点定义吧。零点定义其实什么？它是一个函数，函数中的定义，它是不涉及导数的，像罗尔定义以及拉格朗日，它是都涉及导数，然后罗尔和拉格朗日它唯一的区别是什么？然后罗尔是证明等式， 拉格朗日一般是证明不等式，这是它俩的一个本质的一个区别。好吧，大家记住一下。好，那我们先看零点定义吧。 零点定义它怎么说的？是不是至少存在一点？可 say 属于 a 到 b 使得 f c 等于零。这句话什么意思呢？我们以图像语言给它呈现一下，它说 f a 乘 f b 是 不是小于零的，我们只要发画出一个 f x 是 连续的，你看我这边画出一个 f x 长这样，对不对？你看 a 点，比如说在这儿， b 点在这儿，是不是满足我们这个 f a， 它这边是负的，然后 f b 它这边是正的，对不对？然后 f a 乘 f b 是 不是小于零的？满足题目要求，你看是不是至少存在一点？可 c 属于这个 a 到 b 这个区间， 这点 cos 是 不是使得这点 cos 这个值， f cos 是 不是等于零啊？那是不是满足我们题目要求啊？这个就是零点定义，在考试中啊，一般会涉及第一问的考察。好，那第二问考察的是鲁尔定律，这个来说是相当重要的。 在江苏这边他特别爱考鲁尔定律啊，主要是会考你怎么构造函数，一般来说你只要构造出函数，这道题基本上也就解决了。好，那我们看下这个鲁尔定律的一个这个 这个定义啊，就说 f x 在 b 句线上连续对不对？开锯间隔到，然后满足什么？ f a 等于 f b， 然后至少存在一点可 c 使得什么？使得 f 一 撇，可 c 等于零是什么意思啊？我们知道导数是什么？ 导数是不是相当于一个速度变化率，或说一个？呃，可以理解成一个斜率吧？它这个斜率是零是什么意思啊？是不是相当于这个斜率？它是平行于 y 轴， 平行于 y 轴，对不对？你看一下他说了 f a 等于 f b， 你 看一下 f a 等于 f b， 画条直线啊， 长这样对不对？你看这个斜率是不是平行于这个啊？平行于 x 轴。说错了，这不是平行于 x 轴，对不对？好，那我们是不是以在这个 f x 就 这条图像里，这个曲线里面是不是能找出一个点，使得什么？是不是使得这个这点的一个切线，这斜率是不是这个点？ 我们只要与这个上面这个平行的就可以，对不对？那我给你找个点，是不是这个点，比如说我们找这个点，这点就为可 c 是 不是？你看这一点，它这个，你画一条这个切线，它是不是平行于 x 轴啊？也平行于这条直线，这就是罗尔定律，罗尔定律呢，常见的话就是构造函数，而且这比较重要，大家可以记一下， 大家可以稍微记一下，这个非常重要啊，这个比说第一个 f 一 撇 x， f 撇 s， 加上这个三角形 f x 等于零，怎么构造？是直接令 g x 等于 e 的 积分三角 x 点 x 乘以 f x。 可能我这么说可能会比较陌生，那我们就举个题目，比如说它要正什么？它要正 证明，比如说拿第一个证明，比如他要正一点可 c， 是 不是？然后使得什么可 c？ 比如说属于 a 到 b 吧，我们就不写了，就是 f 一 撇可 c 加上 x， f x 等于零啊，不是 x 啊，是可 c， 可 c， f 等于零，那这个怎么构造啊？是不就是构造 啊？当然这个题目啊，这个构造这个方法不用写，我们直接写构造之后的结果。构造就是 g x， 比如说 g x 等于什么？ e 的 积分 三角形是不是对应的这边的可 c 啊？然后我们构造时一般是以 x 为积分构造的，是不就是 x d x 乘以后面不变 f x， 对 不对？好，那我们算出来的积分是不是等于 e 的 二分之一？ x 平方乘以 f x， 这个就是我们要构造的一个向量的一个函数啊，这个函数非常重要，大家一定要学会用这个微分方程构造。第二位稍微变形一下，比如说它右边它有个常数，它不是等于零的，它右边有常数，比如说就是什么？呃，比如说这边是 x， 右边是不是负 x？ 你 把负 x 移过来，提到前面，是变成了加一啊，对不对？然后我们通过怎么怎么构造，其实本质上也是一样的，把这个 f x 加一看成一整体构造， e 的 方框前面不动，然后后面这个整体啊，再乘以后面的整体，其和上面那个对比其实是 一样的。这边我们就不多不多这个对数了，好吧？然后第三个，第三个一般是通过什么观察法？观察法怎么观察？你看一下这个 f x 是 不是 f x， 是 不是 f x 导数， 然后 g x 它没动，对不对？加什么 g x 是 不是 g x？ g x 导数， f x 像什么？是不是像我们一个乘法求导的法则啊？比如说，比如说，呃， g x 等于 x f x， 我 们求导是怎么求的？是不是前导后导加上前导后导是不是 f x 前导后导加上前导后导，我们是不是这么构造的？我们构造是不是这么这么写的？对，这个求导对不对？好，那这个其实是不是也是一样的呀？这个相当于是前导，是不是相当于 f x， 然后后导对不对？那我们构造的函数是不是 g x 等于 f x 乘以 g x 啊？你对它求导的函数是不是等于 f 一 撇， 乘以 g 加上什么 f 乘以 g 一 撇，是不是说我们这边题目的这个设置啊？这个函数其实可以通过观察法来进行一个构造啊？然后如果这边改成减法呢？其实也是一样啊，减法。大家想一下，我们这边可以用乘，那是不可以用除法的求导法则 是不是？你看一下，比如说我们构造这个函数啊？想一下这是像什么？这是不是像 g x 平方？这不用管，分母不用管，因为它分母是横正的，我们看分子是不是像，就是上到 f 求到，是不是 f 一 撇下不到？减，减去什么？减去？因为是除法求到法则嘛。这边减去上不到， 是不是下到这，是不是？像，你看我们这边呢？除法求道法则，对不对？所以我们这边可以构造 g x 等于 f x， 比上 g x， 这是四个比较常用的一个构造函数的若干若干定义构造函数的一个方法。好，第五个就比较有难度了 啊，第五个它这边是怎么构造的呢？是，它这边是把负三倍的 f 一 撇拆开来。拆成什么？拆成，拆成负 f 一 撇 x 减两倍的 f 一 撇 x， 那 为什么这么拆？你看，如果我这么拆啊， f 两撇， 把这个负三拆开来，负三 f 一 撇拆开来是负的 f 一 ps， 是 吧？然后提个负二出去，这边是不就是 f 一 撇 x 减 f x 啊？你看一下，如果把这看成个整体呢？这个东西求导，它是不就是前面的 f 两撇减 f 一 撇啊？ 你想一下，这是不是很像，我们这个 f 一 撇 x 加上三角形 f x 等于零，你看 f x 求导就前面的 f 一 撇，是不是？那我们是不是可以用前面的第一个，第一个用微分方程构造这个那个我们要的一个函数啊？ 对不对？好，那是不是就是把这个这个东西看成什么？看成三角，对不对？把这东西看成一个大 f， 这看成什么？ f 一 撇，对不对？等于零，对不对？怎么构造？是不是构造 e 的 三角形 d x 乘以什么 f 吧？ g 的 f 是 吗？就是 f 一 撇结 f， 小 f 一 撇结小 f， 对 不对？好，那我们于是构造 e 的 负二 d x 乘以这边 f 一 撇结 f， 对 不对？ 然后算出来是不是一的负二 x 乘以 f 一 撇减 f， 是 不是我们题目构造的函数啊？ 对不对？没问题吧？就这一步需要大家一个观察法，就把这个东西拆成负的 f 一 撇 s 减两倍的 f 一 撇 s， 好 吧？ ok， 这个是比较难的。呃，这个我大家想不到也没关系，所以这边我比较难的，这个地方是说明大家需要这个稍微掌握一下的啊，如果实在不会，那也没关系啊。 然后第三个就是拉格朗众数的定义，拉格朗众数的定义我说了它也是涉及导数中的定义的嘛，对不对？然后导数中的定义，我们这边它是主要是以不等数居多啊。 拉格朗众数的定义，它主要是证明不等式居多好吗？好，我们看下它的这个定义， f x 在 b 区间上连续开区间是不是可导？那是至少存在 a 点，可 c 属于 a 到 b， 使得 f 一 撇等于 f b 减 fa 除以 b， 再看这东西像什么？ 这东西有没有像我们的一个导数的一个斜切线的斜率啊？这东西切线的斜率大家有印象吗？切线的斜率是不是就是 f b 减 fa 除以 b 减 a 啊？它是不是也相当于是一个斜率啊？那我们刚刚第一问就是第二个讲是不是卢尔定律，它是不是也是 f 一 撇等于 k 是 不是等于零？但这边的 k， 这边的 k 是 不是等于这东西啊？这是这个斜率对不对？大家不等于零对不对？好，我们看一下，你看 f a 等于 f b 啊， f a 和 f b 我 们连一条直线数长这样，是不是？他说这个，这个是 f x， 这条曲线是 f x， 这条曲线是 f x， 好 吧？然后他说，呃，至少存在一点什么？存在一个 c， 使得这个 f 一 撇，等于这条就是 和这个斜率是相等的，我们是能找出这一点肯定可以。为什么？这是这个这个曲线，它是在 f x 连续，没问题，也是可导，对不对？那我们一定能找到这一点。怎么找？只需要找到与这条这条切线平行就可以了。 我们平行画下来，这边是不是有个点？那这点是我们找到一个可 c 点，这个点是不是我们要找到可 c 点啊？你看我们画一条这个切线， 对不对？你看这条切线是不与这条线平行的，我们就找出来这个点了。所以这个就是拉尔定律，它其实就是什么？它其实就是鲁尔定律的变种，鲁尔定律这边它是切线为零，对不对？我们这边切线它是不为零，它是斜着的， 那我们也能找出这一点，对不对？这就是拉尔和鲁尔这个图像上的一个本质区别。好，那我们接下来通过两道例题给大家讲解一下。 好，那我们看下这道题，那这道题的话是江苏啊，江苏二零二四年卷原本的一道真题啊，这一道真题啊，大家要重视啊，这是一道真题，他说 f x 在 b 间上连续开区间零到一上可导， 且 f 零等于 f 一 等于零，证明什么？证明在 k 间零到一内至少存在一点 n， 使得这个 f n 是 不等于 n 呀？那你看这个，它不涉及导数，那我们三大题里面不涉及导数的是不是只有零点啊？ 那第一问相当于是什么算分题了吧？第一问，我们是只需要一项构造函数啊，只需要把这边 f n t 要正，我们要写完这一点，如果像考试啊，我们平时啊，平时我们知道我们可以直接构造函数，对不对？但是如果像考试这种正规考试，我们稍微写完整一点， 要正 f n t 是 不是等于 n t， 那 极正把这个 n t 移过来，是不是极正？ f n t 减 n t 等于零，那我们构造什么函数啊？构造 g x， 比如说 g x 等于什么？就等于 f x 减 x 啊，我们把这边的 n 它看成 x， 是 不是？那是不是 g x 等于这边的 f x 减 x 啊？对不对？好，没问题，好，我们看题目给什么题目输入说了 f 零是等于一， f 一 是不是等于零啊？那我们只好用题干给它条件，比如说把 x 的 零代入 g， 零是不等于 f 零减零是不等于一啊？那一是干嘛呢？一是不是大于零啊？ 那 g 一 呢？是不等于 f 一 减一啊？ f 一 说了，题目说是零，对不对？题目说是零，那零减一是不是负一啊？那负一是干嘛？是不是小于零啊？你看 f 就是 g a 乘 g， b 就是 g， 零乘 g 一， 它是什么？它是不是等于负一？它是小于零的？ 那我们是不是可以用什么？可以用零点定力啊？有零点定力值，这什么至少存在一个， 知道存在一点，什么存在一点，它是不是就把小数点到一样？使得什么？使得？这边我们构造的函数 g n 它是不等于零？那我们说了 g n 它是什么？ g x 是 不等于 g x 是 不等于 f x 减 x， 那 g n 它是不等于 g n？ 它 f n 减它是不等于零啊？等于零对不对？那是不是就是极正？极 f n， 它减 n， 它等于零，过 f n 它等于 n 它，那我们第一问是不是证明完毕了？那主要通透性是不是第二问，那第二问怎么整理啊？你看第二问怎么证明啊？第二问它是涉及导数啊， 导数我给他说过，导数像鲁尔定律，是不是主要是证明等式啊？然后拉格老师主要证明不等式啊？你看这题他是不是证明等式？那我们这题有没有想到什么？有没有想到鲁尔写下，鲁尔知道这一点？对，这么写着 对不对？好，那鲁尔定律，我是不是教大家解构造函数的方法呀？比如说你先把这个，呃，把右边这个移过来，先把右边变成零，对不对？好，你先把这个负二倍 cos 移过来，要证 写完这一点要整可 c f 一 撇，可 c 加 f c 等于两倍，可 c 是 不是极正？什么极正？我把这个复习一下， 是不是极正 f 就 这个东西减去两倍，可 c 等于右边的零啊？好，那我们现在是不是要构造函数的呀？大家观察一下。这个其实可以通过观察法来进行一个解决，大家看这道题观察法怎么解决？看一下这东西像什么？ 是不是像我前面说的第二点？来看第二点，第二点啊，第三点是不是像这个乘法求导法则啊？你观察一下， 你观察一下是不是像什么？是不是像这东西是不是像 x 乘以 f x 的 导数啊？就我们这个方框这里导数你看一下是不是等于 f x 加上 x， f 一 撇 x 是 不是与我们这边的这个题目要求的设置很接近啊，只不过把这边的 x 都换成了 c， 对 不对？那我们通过这个观察法是不是？你看这一步是不是我们构造出一种构造 构造比如说负 x 吧，是不是等于 x 乘以 f x 啊？这里 x 乘以 f x， 我 们是通过这个方框观察得出来的。那你想一下，其实我们构造函数相当于是不是构造原函数啊？那你想一下，谁求到是负二倍的哎，看谁看 s 负二倍的 x 啊， 谁求到是负二倍的 x， 那 是不是负的 x 方求到对不对？好，那这边是不是构造出一个负 x 的 平方？那我们函数通过观察法，因为这题不难，这题是不是可以通过观察法直接构造出来了呀？好，我写左边。 那你看题目说了什么题目？题目说了，呃， f 零等于零，那我们把零点带入，看看 f 零 是不等于，呃，零乘以 f 零减零是不是等于零啊？那还有 f 一 点，那 f 一 是不是 f 一 减去零， f 一 减一， f 一 是零，那就就是负一，对不对？就是零减一 是不是等于负一啊？那你看鲁尔定是什么？鲁尔定是不是要这两个点相等啊？但很明显，这两个点一个零，一个负一是不等的吧。那怎么办呢？ 那我们就要回想一下，我们这边是第二问啊，那我们第一问是不是证明了我们为什么要证明第一问？我们证明第一问是不是为了第二问， 对不对？为了第二问，要用到你才证明的第一问吧。所以像正规考试，不管是考研还是专升本考试，他第一问那肯定是有用的，你说不定第二问就能用到，用上第一问结论对不对？你看第一问说什么 f n t 是 不是等于 n t 的？ 好，那我们有第一问的结论可以得什么？有，我把这擦掉了，因为它不是很等嘛。有一只有 第一问式， f n t 是 不是等于 n t？ 行，那 g n t 等于什么？ g n t 把 n t 带入我们括号的这边，是不是 n t 乘以 f n t 减去它的平方，对不对？然后又说了 f n t 是 不是等于 n t？ 你 看 f n t 等于 n t， 那 是不是等于零啊？你看这时候 f n t， 它等于零 啊，这边是 five 啊，这边是 g 啊，这边是 five， 对 不对？那 five n 是 不是也等于零？那我们是不是可以通过罗尔定律啊？通过罗尔，罗尔定律值什么？至少存在一点是吧？存在一个 c， 记住了， c 属于什么？零到 n， 但零到零，它是不是包含于 包含于零到一的，没问题吧？然后使得什么？是不是使得包含于零到一的，没问题吧？然后使得什么？是不是等于这东西啊？那 f 一 撇呢？ 反一撇 s 是 不等于 f x 加上 x， f 一 撇 s 减去二 x 吧。然后我们证明了什么？反一撇它啊，这边应该是可 c 啊，反一撇，可 c 等于零，对不对？ 反一撇，可 c 等于零，那我们把这边的 x 全部提换成可 c， 对 不对？全部提换成可 c 是 不等于零？好，你把这个负二倍的可 c 移到后边，是不是两倍的可 c， 然后这个 f 加可 c， f 一 撇，是不是我们题目要正的这个式子啊？那这个式子是不是要得正了？故题目可 c， f 一 撇，可 c 加上 f， 可 c 是 不是等于两倍的可 c 啊？所以就得正了？ 好，没问题的话，我们看一下第二题。第二题，这题的话，呃，方法很多啊。这题我来讲一下用拉格朗是怎么做 拉式这些简写了。拉老师，好啊，我们说了拉老师，它涉及什么？导数吧，对不对？导数还是什么？还是不等式，对不对？那这题是不是不等式啊？大于吗？不等式。好，那我们这题怎么做啊？你想一下，你看一下这个 loon 一 加 x 分 之一，是不是很陌生？ 那我们把这个 loon 一 加 x 分 分之一拆写一下 loon 一 加 x 分 拆写成 x 分 之 x 加一，这不有问题，把这个 loon 一 加 x 分 之一拆写成 loon x， 我 写过来点，但你看不到。写过来点是不等于这个？ 是不是用用对数的这个预算是不是写成 loi 一 加 x 减去 loi x 等于右边的什么啊？大于右边什么？是不是要乘这个啊？是不是乘大于 x 加一分之一啊，对不对？题目要乘的是这个，但我们可以转换成乘以这个 有没有问题？没有问题吧？好，你看一下这个像什么？我们知道拉格朗日他最后是什么？他最后这个设的是不是 f e x c 是 不是 f x c 等于 f b 减 f a 比上什么？是比上 b 减 a？ 好， 那我们把这个 b 减 a 乘到左边去，是不是进一步得到 f e x c 乘以什么？ b 减 a 等于 f b 减 f a 啊，对不对？你看这里是不是很像我们这边的 f b 减 f a 啊？ g 的 f 是 不是就 lo in， 然后 b 的 话就是 e 加 x， 这边 a 是 不是 x 啊？ lo in x， 这边是 a 是 x， 这是 a， 对 不对？就是很像 f b 减 f a 啊，那我们函数是不是很明确了？构造什么？比如说我们构造 f t 是 不等于 lo in t 啊？由拉格朗日由拉式之是不存在一点可得 啊这是啊，这应该是不用写范围，不写范围，只存在一点可 c， 可 c 的 范围是什么？是属于这个 x 就 a 到 b 吧， x 加一啊，对不对？好，那使得什么？使得这个使得啊，我们不写上面这个，我们写下面这个，写下面这个，是不是 f 一 撇可 c， 然后 b 减 a， 这的 b 是 不是 x 加一，然后 a 呢？是不是 x 啊？这是 b 啊，这是相当于 b 就 相当于 a， 是不等于什么？等于右边的 f b f b 叫 loon， 这是 loon 啊，我们这边是设的是 loon 一 加 x 减去什么 loon a， loon a 就是 loon x， 对 不对？那你看下这什么东西啊？这边是不是一啊，对不对？那我们给它擦掉了，这边是不就是一 啊？不擦，这边是留着那 f 一 撇呢？ f 一 撇相当于是对 loon 求道，对不对？ loon 求道是 t 分 之一带 cos 是 cos 一 分之一啊。好，那其实左边就可以进一步转换成什么 cosine 分 之一是不等于右边的这个 loin？ 我 这边有黑笔写，后面变成了黑笔写 loin 一 加 x 比上 loin x 是 不是等于 loin 一 加 x 分 之一？对，就是我们前面题目转换的这一步，对不对？等于这个 loin 一 加 x 分 之一，对不对？好，没问题。那我们想一下 cosine 是 介于什么？介于 x 到 x 加一这边对不对？我们写一下 cosine 是不是介于 x 到 x 加一，那 cos 分 之一呢？取倒数是不是不等号方向改变？或说你把这两个方向提问一下，是不是 x 加一分之一小于 cos 分 之一小于 x 分 之一啊？ 好，你看 cos 分 之一是不是大于 x 加一分之一啊？你看我们这边是不是 cos 分 之一，那左边是不是大于 x 加一分之一啊？那是不是得证了？你看我们题目要证的是不是小于一加 x 分 之一，大于 x 加一分之一啊？那我们是不是可以通过用拉格朗日来证明啊？那这道题就讲解完毕了。