梵塔游戏的玩法移动两个

汉诺塔游戏教学三好，今天我们来继续探索汉诺塔，之前我们学的是三个圆盘，今天我们来探索五个，那小朋友想一想，五个圆盘和三个圆盘会有什么不同呢？ 那我们来试一试。首先我们三个圆盘的已经学会了，那老师先把他当做一个整体，那这回以下我们又变回来几个圆盘呀？三个为一个四，这是第二个，这是第三个，相当于怎么样？对，又回到了我们三个的 还原方法，那我们先来移动一下，把他们三个当做一个整体，我先给他合在一起，然后呢，我先让他来到左边，然后紫色的来到中间，他们来到上边，然后红色的来到左边，然后他们三个来到右边， 左边，然后上去。哎，是不是很轻松，一下就探索了五个。这里老师要特殊强调一下，在这个过程当中，老师做的方法是错误的，因为这三个圆盘是不可以一起挪动的，是需要一个一个的， 所以我们在这个过程当中要熟练掌握三个圆环，加上最后的这两个圆环，我们从头到尾做一点，我们来试一试。 这回我们就从左边的这个立柱移到右边的这个立柱，好不好？我们来试一下。首先要想移动到右边的立柱，那要确保这一个整体要先来到这边，那他们三个怎么能来到这边呢？ 哎，就是我们之前学过的三个例数，首先这个颜色的，绿色的先来到这边，中间，中间，右边，然后左边右， 然后在上边，那这样就实现了三个圆盘的移动，对吧？我们移动到了这里，那接下来就相当于又变回了三个圆盘，这是一个，这是一个，这是一个，对不对？接下来我们要移动了，中间的这个 挪到中间，那接下来是不是要把他们三个移到这上面呀？那他的目标就是去到中间上，所以我们第一个要去中间，然后其他的移动 中间，再来这边，中间，右边，中间， 上面这三个我们的目标已经实现了，来到了中间，这个时候的大圆盘我们就可以移动了。好，移动到这里之后，你会发现这个时候他们一排都要来这里，那我们的 步骤是什么呢？他们三个是不是得先来到左边呀？然后紫色的才能过来，对不对？所以这三个的目标我们又要移动了，他想要来这第一个就要移动到左边的立柱上，对不对？好，接下来一 二三四五 六。哎，完成了，他到了这边之后，紫色的就可以轻松的来到了右边，然后这三个再挪到他的上边，他既然想来这边的话，第一个他的目标就是右边的立住，然后中间，对吧？方法都是一样的，都是上节课我们学过的这个内容。好，然后左边， 右边，然后上边，那这样我们就完成了五个例数的挑战，你学会了吗？快动手试一试吧。

把绿色的放到中间，能把黄色的能放到这吗？不可以，只能把它放到这里。 绿色的可以磨弄吗？他放到这里就不好，他放到这里也不好，只能把这个绿色的放到黄色的上边，之后把绿色的可以放到空的地方。 那可以把它放到这里吗？它这样两个都很小，之后把它可以放到这里吗？不可以。这个黄色的不可以放到这里，只能 把这个小的可以放到这里。把它呢？可以放到这里，能把小的可以放到。 嗯，哎，不行了，没事了，继续。那把小的可以放到这里吗？你看这样是不是空了？不能这样，只能把它放到这里。那大的放到哪呀？ 的挪动。挪动。挪到哪里？能挪到这里吗？太大了，只能挪动这边。把绿色的能挪到这边呢？能，然后继续。最后把这个黄色的放到 左边，之后把这个之后把这个小的放到这边。大的放到哪呀？大的能放到绿色的小的这上上 面吗？太大了，只能放到大的上边。那把小的可以放到这里吗？太小了，只能把它放到最中间。你看这一个可以放到这里吗？ 那可以放到这里吗？这可以放到这里，把它小的就可以放到这里。这不都对了吗？ 第一步，第二步，第三步， 第四步，第五步， 第六步，第七步，第八步， 第九步， 第十步， 十一步，十二步， 十三步，十四步，十五步。

这可不是套圈的玩具，他是一款非常考验耐心，锻炼推理能力的一只玩具。汉诺塔因其形如塔状而得名，来源于印度神话。至于为什么叫汉诺，我也想知道。玩法规则就是把左侧柱子上的这座塔挪到右侧柱子上， 要求一次挪一个，挪的过程中只能小牙大，不能大牙小，所以就要在中间这个柱子上过渡一下。这三根柱子分别叫七十柱、过渡柱和目标注。一个很简单，就是只要从七十柱拿到目标注就可以， 两个的就要先让上面这个，让一让下面这个才能到目标柱上。三个的一二都得让，一让一到目标注，二到过度注一再回来，三到目标注 一再让到气势足，二过去，一再过去。那我们通过前三个就可以看到，一，一个最少需要一步，一，两个最少需要三步， 三个最少需要七步，移四个最少需要十五步，移五个最少需要三十一步。根据规律可推导出数学公式，二的 n 次方减一，也就是如果要移 n 个，那最少需要的步数就是二的 n 次方减一。 还有一个关键点就是如果起死柱要移的是基数格，第一个就直接移到目标注。如果起死柱要移的是偶数格，第一个就要先到过渡组。

各位好，今天咱们来解锁一只玩具汉诺塔，汉诺塔非常锻炼小朋友的耐心，那为了让低年龄段小朋友一个有剪刀男的过程，咱们准备的是八层汉诺塔，现在呢，我们只完成前五层的一个，呃，移动。嗯，接下来 我们按三步走。第一，我们先来认识汉诺塔，汉诺塔分为两部分，一，二三，从前往后三注。啊，那这一个是还，一共是五层，我们要还原。嗯，第二步，他的规则是什么？ 就是把所有的环从最左侧平移到最右侧。嗯，那第二步，在平移的过程中，我们每一次只能走一步规则。第三点，嗯，我们在平移的过程中，每一环都必须小环在上啊，比方说现在这个红色环我们随便走了一下，那接下来 你想走下一环，那这个橙色环就不能放在红色环上面，必须小在上，所以他只能走在这里。那接下来在下一步，你要想继续啊，去走，我们发现，你会发现啊，我们不能放到小环上面，所以我们接下来就不能选择这个黄色环啊， 只能选红色环或者橙色环。好，那接下来第三步，我们看上去比较复杂，所以一定要讲究技巧。那我们的技巧呢？主要是两步，第一，讲故事，开门放大象，关门走。 第三步啊，第二点，单双数。好，我们先来说单双数啊，嗯，我们先来说讲故事吧，开门放大象，关门走，就靠这一句口诀，我们就能够完成它。那门现在指的是红色，所有人记住啊，红色是门，开门关门指的都是要动红色。 放老虎啊，咱们说老虎吧，老虎更形象一点，因为老虎是橙色，开门放老虎，所以说开门门指的是红色，老虎指的是橙色片，但我们说的要放老虎就是要动橙色啊，关门也指的是红色片走，也就是说是其他片了。 好，第二呢，我们现在开始进行，现在一共是五层，五是单数。那我发现第一片我们该怎么去选择呢？该选二注还是三注三注呢？五是单数，单数找单数注，所以第一步五要走到三上面。第一步非常关键啊， 开门放老虎，关门还是门对吧？老虎放出来了，赶紧要把老虎关上关门 走。你发现了，这个走的时候他只有一选项，走向三组开门。那在这里你就发现有有，我们这个门到底是该开三还是该开一呢？这个时候就注意，因为咱们还记得刚刚是进行的单数五去走的，单数的时候，门要倒着走。 走什么走啊？三二一，三二一，三二一，这么去走，明白了吧？倒着走，从三二一去走。所以那既然现在到二了，三二一，那我们接下来要走到一了， 开门了，放老虎，对吧？老虎，现在你只能放到三柱关门走，走片位于想象。那继续开门，三二一， 水要到了，二住，开门放老虎，关门走为形象，对吧？那接下来我们继续又是倒着走，三二一，开门 放老虎，如意选项关门走。哎，你看这几天已经移到三柱上了。那继续开门，放老虎， 关门走。三二一。那继续开门放老虎， 关门走，对吧？接下来底片小走大走。那继续三二一，开门开到三门上，放老虎， 关门走，开门放老虎，关门。 ok， 我们已经平移到第三柱上了啊， 这是我们前五环的一个分解，大家只要把前面我讲到的三个重点，第一认识，第二规则，第三技巧搞清楚之后就非常快速。

今天来给大家介绍一款非常经典的智力游戏汉洛塔，很多人觉得他很难，其实只是你们没有掌握他的规律而已，现在我就来跟大家讲一下他的窍门，先说一下他的规则， 这个游戏的玩法就是要把所有的圆盘从一根柱子移到另外一根柱子上，要求一次只能移动一个圆盘，而且只能是小的叠在大的上面。比如说开始这里我们把这个小的移过来，那第二个圆盘就不能放在这里了，因为他比他大，只能放在这里。 然后第三个圆盘想要出来的话，那这个最小的就要先挪开，把位置让出来，让第三个出来。同样的第四个圆盘要出来的话，就要先把所有的小的圆盘集中在一个柱子上，那应该怎么放呢？ 是这样子放吗？如果这样子放的话，你会发现第四个圆盘他是出不来的，所以刚刚这一步的话，应该是要把这先把这个小的放在这里，然后这一个再放过来，然后这里再放回来， 然后第四个就可以出来了，就放在这里了。如果你是用刚刚这种试错的思路去玩，那你就会发现越到后面你的脑子就会越乱，因为如果走了几十步以后才发现是错的，你还得按照原来的路线推回去， 所以很多人觉得很难，难就是难在这里，那应该怎么走呢？其实这里是有窍门的，为了方便大家理解，我这里先给大家三个概念，那就是圆柱、目标柱和借力柱。 这三个概念大家听名字应该能理解他的意思，比如说开头所有的圆盘在这里，这时候这个就叫圆柱，然后如果要全部圆盘移到这， 这个就是目标柱，剩下的那一个就是借力柱。不过这里我要说明的是什么呢？就是这三个概念，他是动态的，他不是固定的，那怎么个动态法？一会我讲就知道了， 接下来这里大家听好了啊。这个游戏的窍门是，如果你要移动的圆盘数量是幺三五七张单数的，那你第一步最小的那个圆盘必须要放在目标柱上面。 反之如果你要移动的圆盘数量是双数的，那你移动第一个最小的圆盘就必须要放在借力柱上面， 怎么理解呢？现在我给大家示范一下，比如说这种情况，我们现在是要把这三个圆盘全部移到这里来，是不是？那这时候我们要移动的圆盘数量就是单数，单数 的话，第一个最小的这个圆盘必须要放在目标柱上面，因为这时候他要移到这里来，这就是目标柱，这个就是借力柱，我们就是应该要这样子移过来， 好，这时候这里就空出来了，第五个圆盘就可以出来了，同样的这一步我们是要把这四个全部移到这里来，那这时候这个就是这四个圆盘的圆柱，这一个就是他的目标柱，这个就是接力柱。刚刚我说的双数的话， 第一步这个小圆盘就应该要先放在哪里？放在借力柱上面，所以我们现在要第一步是应该把这个小圆盘移到这个借力柱上面来， 这时候这三个就应该放到这里来，因为他是单数，单数的话这里第一个小圆盘就应该放在目标柱上面。 好，这个第六个圆盘就已经出来了，后面的步骤是一样的，都是重复的，一样的道理。 这里我还想说的是什么呢？那就是即使方法给到你了，但到了真正你要去玩的时候，还真不一定每次都能成功，特别是层数比较多的时候，因为这个过程是比较繁琐的， 他会要求你的注意力得很集中才行，要够细心，稍不留神的话你就会搞错搞乱的了。所以这个游戏除了锻炼人的逻辑思维能力以外，还能锻炼人的专注力和耐心，越是细心的人就会玩的越好。

今天给大家讲解数学思维玩具汉洛塔的游戏规则。在我们的面前现在是一个比较普通的十层汉洛塔， 他是由三根立柱还有十个大小不同的圆环组成的。我们的游戏目的是将左侧的十层汉洛塔原封不动的移动到右侧来，当然我们不能直接将他端起来放到右侧，我们要遵守两个游戏规则， 第一个规则就是每次只能够拿起一个圆环，第二个规则是拿起稍大的圆环时是不能放在脚小的圆环身上的。 那么我们来看一下，如果想让大家还原一个最简单的三层汉洛塔，那么他一共需要多少个步骤， ok， 我们先在这里呢制作一个三层的汉洛塔， 放在最左边，我们的目的是按照游戏规则将它还原到右边去。第一步，先将一环放到我们的目标注。第二步，将二环挪过来。 第三步，将一环放到中间过渡一下。第四步，将三环放到目标柱上。第五步， 将一环放到最左边。第六步，将二环盖上去。第七步，将一环盖上去。那么七个步骤就能够完成我们最简单的汉洛塔操作。但是如果我们想将十层彻底还原的话，一共需要一千零二十三步， 非常考验孩子的专注力还有逻辑推理能力。想了解更多关于汉乐塔还原的小知识，关注老师，点赞越多更新越快哦！

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潘多塔问题源于印度一个古老传说，在印度教圣地瓦拉纳西的一个圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的创造之神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上穿好了由大到小的六十四片金片。 这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有僧侣在按照下面的法则移动。这些金片一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。 当所有的晶片都从泛天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一生霹雳中消灭，而范塔妙语和众生也都将同归于尽。按照规则移动完毕。六十四片金片，这需要多少次移动呢？这里需要用地规的方法，先把注意的按芯片移动到注二， 然后把注意剩余的一片移动到主三，最后把注二上的安一片移动到主三。同理，移动按一片的话点先移动按二，移动按二的话点先移动按三。以此地归类推，假设有按片移动次数是 f， a 等于一， f 等于三， f 等于七，且 f 等于二 x 加一死后不难证明 f 等于二人一， n 等于六十四十。 假如每秒移动一次共需多长时间呢？计算需要幺八四四六七四四零七三七零九五幺幺六幺五秒。一年三百六十五天，按三幺五五七六零零算， 泽伊湾这些镜片需要五千八百四十五亿年，而地球存在至今不过四十五亿年，太阳系的预期寿命据说也就数百亿年，真的过了五 一千八百四十五亿年，不用说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命联通泛滥妙语等都早已经灰飞烟灭。 假如现在有计算机移动的话，一台笔记本电脑处理速度为每秒移动一千万次的话，也得五八四五零年才能移动完成六十四片金片， 二 n 就是指数级增长，由此可见指数级增长的力量。 mn 仅仅为六十四就能产生如此大的数字，如果按是一千以外，二 n 更是大的不可想象。那么当初创造志神饭厅是否玩过这个游戏？ 要是玩过的话，他又移动了多少片晶片后才得出一栋？六十四片后就是世界末日的来临。印度教形成于二世纪左右，假如从印度教创立之初至今，一千八百年，战天 就一刻不停不吃不喝不睡的移动晶片，他最多又能移动多少片晶片呢？计算得知，到今天他已完成三十五片晶片的移动， 想必正在焦头烂额的移动第三十六片金片，这还是在他一次都没有移动出错的前提下。范天是亲自移动过多少片金片后，才得出宇宙寿命为五千八百四十五亿年的结论呢？还是他已设定宇宙寿命为五千八百四十五亿年，然后才穿好的六十四片金片？ 按照目前公认的宇宙大爆炸理论，宇宙大约于一百三十八亿年前形成，宇宙寿命为五千八百四十五亿年的话，现在的宇宙还处于出生婴儿阶段。 顺便延展一下印度教的神，印度教三大主神为创造神范天、破坏神师婆，保护神皮师奴。范天创造了宇宙天地 形象，是四个头，四只手，仪态端庄睿智，一身华美金服，坐骑是孔雀，是印度教里的创造神， 由于他已完成了创世的任务，其价值对印度教徒已不大，所以印度教徒对犯天的尊敬程度相对不高。全印度四千多座印度教寺庙，只有两座是专门供奉饭天的， 可见印度教徒也是看人下菜碟，看哪个神对自己最有用。皮施奴是印度神话中的守护神，要在创造和毁灭之间维持一个平衡，保护和维持着宇宙秩序。 皮世怒的坐骑是大鹏金翅鸟伽罗罗，伽罗罗是一种专门吃龙的金翅鸟，是龙族克星，这是收保护费的神，维持宇宙的秩序。什么是秩序，他说了算。吃活是毁灭之神， 额头上长有第三只眼，又称智慧眼，平时这只眼睛闭合，一旦这只眼睁开时，这个世界就将归于洪荒状态， 也可以说是毁灭之眼。他的坐骑是白公牛，难敌师婆，主宰毁灭，故在教徒心中深受爱戴，因为他一瞪眼就毁灭一片 掌握生死大权的神。就在大部分国家的新官疫情都被控制住之后，印度的疫情却再一次爆发，并且每日的新增感染和死亡记录都在不断的刷新。此时是因为毁灭之神师婆的第三只眼睁开了吗？

大家好，欢迎大家回到老宋一起学拍摄。 呃，今天我们来看一看，什么问题呢？今天看一看一个哈诺塔问题啊，这是在呃信息技术教材当中编程部分，呃，非数学问题，非数学问题解答当中比较难的一个问题啊。 首先我们了解一下汉洛塔问题的由来是什么啊？这是一个印度的古老传说，传说呢有一个神庙啊，里面有三个，一个黄铜版，上面有三个保湿针啊，上面穿了六十四个芯片， 那么要你从一根针上移到另外一根针上，如果全移过去 的话，那么这个妙语众生将同归于尽。我们看看他的规则啊，这座有三个相邻的柱子，标号为 abc 啊，上面放着 ang 大小不同的圆盘，一大一小，一大一小啊， 每次只能移动一个，但是同一个柱子上啊，不能出现大盘子在小盘子上，而小盘子可以在大盘子上， 这就是他的游戏规则啊。我们首先来看一看这个到底是什么啊？这个游戏到底是什么？比如说现在我有三个盘，圆盘在里面，现在我要把这三个盘移到这个目标上来，怎么办 么？你想想看，首先我把上面两个月是不是要把它移走啊？哎，我们来做一做啊，先把上面那个移走，最上面的移走， 然后这边移过来，哎，大家发现到这一步的时候，我们发现明白一点规律了，怎么办？这时候就简单的把大盘子移过来，然后这个移过去，这个再移过来，然后移过来，好结束，对吧？结束， 这是三个盘子的情况，如果是四个盘子呢？大家想想方法是不是一样， 也是需要把什么我们来做一下啊？需要干什么呢？需要把上面三个盘子把它移到中间来， 只有把上面三个盘子移过来，那么最下面的这个才可以移到目标这边来，对不对？ 才会一到五遍来，然后我们下面干点什么事情，就把这三个盘子移过来， 发现一个规律啊，我所有的盘子都是把上面的移动之后，把这个移过来，再把它移过去，对不对？ 哎，通过这种方法，我们就来看一看，到底怎么解决这个问题啊？到底怎么解决问题？我们看一看这个哈罗塔啊，比如说我们把这个还放在这边， 下面我们就来看看啊。呃，我们这边定一个函数，这种呢叫做用地规的方法啊，地规的方法来做啊，有 运城塔，对吧？那么有三个杆子，一个是 s 表示开始是大铁啊，命令表示中间， t 表示态度，表示目标。如果只有一个盘子的情况下，你发现怎么做？ 是不是很简单？直接从这个趋势改到这个目标改，哎，所以我们这边写什么呢？ 写这边 s 啊，关掉 s， 然后逗号，然后我们这边用一个箭头来表示，然后直接到 g 这边有个减号吧，减号就是说，呃，我这边只有一个盘子的情况下，直接从这个呃趋势感到这个目标感就结束，如果不是一个 盘子呢？让我们看是不是把这个盘子上面所有的盘子要解决掉，哎，所以这边就有什么情况呢？ 哎，所以我们这边就存在一个情况，什么情况呢？哦？ in 剪一个盘子， in 剪一个盘子，从 s 杆到哪里呢？到 m 上，为什么 就把上面硬剪一个，把它移过来，就像这样移过来，然后给最下面的腾个位置啊， 所以这边叫什么呢？ m 啊？看清楚了，其实把上面 n 减一个移到中间来，那么最后一个可以移过来，这时候发现就是最后一个把它移过去，对吧？我们看这边是和这个一样的，对吧？ 最后一个移过去啊，最后一个移过来，那么下面怎么办呢？就像现在这种情况了，最后一个盘子已经过来了，那么中间这个盘子是不是要移过来？ 能不能直接就过来？肯定不行，怎么办呢？我们要借助，是哪一个杆子呢？借助 s， 刚才是， 哎，我们这边就应该写什么呢？哎，把这边硬捡一个盆子，哎，怎么移呢？硬捡一个盆子，对吧？ 然后移动到 t 盘上啊，你看看，刚才是从 s 移到 m 上，我们这边从 m 要移到 t 上面， m 要移到 t 上面， 有人说了，哎，减二个怎么办呢？哎，大家发现他是不是重复的吊用自身啊？他又把它归结为三个盘子的问题了，对不对？然后一个个的绿化啊，然后我们看看这个盘子的问题怎么解决？我们假设有三层打灰车， 哎，这边程序有点出错吗？哎，然后我们看这个程序啊，你发现有没有问题啊？这个是哈喽塔，我们定义的一个函数，他有几个参数啊？一二三四。 然后你再看这边，我们第一的函数，他有几个参数啊？一个、两个，三个，是不是少了一个？那请问我们从这个 s 能不能直接移到 m 上呢？ 肯定不行啊，要借助于什么呢？哎，我们要借助于什么？借助于 t 目标，然后到 m 上，然后这个 m 要到 t 这边来，我们是不是直接一个人呢？不是的，我们也是，怎么样啊？ 借助于 s 移过来的，你发现我这个自定义函数里面一二三四有四个参数，这边一样有四个参数，这边一样怎么办啊？也有四个参数啊，然后我们运行一下，看一看，假设有三层， 我们看，哎，这个三层就可以了，对吧？假设有更多层呢？我们来看一看啊。哎，我们把它停下来，假设有更多层，比如说我写一个十层，哎，大家发现 这个移动盘子的这次数啊，就比较多了，所以可以想象，如果是六十四层的话，发现怎么样啊？这程序就会更长啊，程序就会更长。 然后这个我们这边再看看，哎，刚才是移动从哪一个移到哪个杆子上来？ abc 三个杆子啊，然后我们这边又有一个问题了，什么问题呢？哎，到底移动了多少次呢？ 哎，这个怎么数？跟你讲了，我在这个程序里面一个个的算，哎，我们发现这个也是有什么啊？有规律的哈。这个如何计算汉洛查移动的次数？我们这个是有答案的，哎， 这个也用了一个地柜，大家发现这个也很神奇啊，怎么神奇呢？我们看看。定一个函数 f m， 假设一个盘子都没有，请问需要移动多少次？当然是零四啊，一次都没有对不对？ 那么如果不等于零的话，请问要移动多少次啊？哎呀，我怎么知道呢？你发现比如说我们这个是 an 个盘子，这是 an 减一个盘子， 那我是不是把 an 捡一个盘子先移到这边来，然后 an 捡一个盘子还需要到这边去，请问 不管他多少个，那么硬，捡一个盘子移到一个杆子，移到一个杆子，请问移了几次啊？两次，第一次移到中间，这个盘子最后个移到这边来，那么你 最底下的最底下面的一个是不是还有一次啊？所以还要一次。那我这边比如说有四个盘子移动的次数是不是决定于这个三个盘子 移两次，三个盘子的位置再加一对不对？那么再把它地规一层一层套进去，哎，我们来看一看这个移动需要多少次，我们来运行一下，比如说只有三层的话， 只有三层，我们看看移动多少次呢？移动七次啊，刚才我们这个，呃，十次移动了若干次，我们看看如果是十次 他会移动多少次？哦，原来需要一零二三次才可以，所以刚才程序跑了好长时间 啊，那么这个地龟，呃，就是一个很巧妙的方法。怎么呢？刚才我们看这个移动盘子的时候，我们这边就用到了一个地龟，你发现， 哎，程序调用自身，程序调用自身，对吧？把 a 个盘子的问题归咎于最终归结于两个盘子的问题，把它 a 减一个看成一个整体啊， 这就是汉乐塔问题的解决啊，在拍摄当中，汉乐塔问题的解决是一个比较复杂的程序啊， 那么虽然我这边讲了不少，但是呢，呃，大家还是有可能不大懂，你呢，再仔细看一遍，再观察观察，然后再仔细想一想啊，然后呢？ 呃，最重要是把最基础的拍摄程序把它搞搞好。哎，这个呢，能掌握你就掌握这个，对你做一个了解啊？好，今天课题上的讲。