拉马努金 π 如何證明

爱的无穷技术有这样一个神奇的公式，派分之一等于后面这一大串，这大串是个什么东西呢？是九千八百零一分，这二倍根号二，这个大家能够理解，对吧？这是个什么东西？这个叫 c 个码仇和符号 什么意思呢？他就代表把后面的这个分式，把 k 从零变到正无穷。 请注意， k 等于零的时候，这个数字可以算一个字， k 等一的时候，这个数字还可以算一个字，一直这样下去，直到 k 等于真无穷，一直这么算下去，然后把所有的算出来，这些数字全部加起来，这个叫做 c 个码求和。 那么这个公式呢，是由印度的数学家拉玛努金在一九一四年提出的，比较神奇的是什么呢？这个公式提出了 以后，直到七十多年之后才得到证明，也是说他提出的时候，他并没有证明的。这个事情就很神奇了，就是这么复杂的公式，他提出来了，却没有给出证明，他怎么知道是对的？ 这个问题呢？有人问过，那么母亲，那么母亲给错答复是这样的，这些神奇的公式，他不止贴到这一个公司，还贴了很多其他公司，这些公式呢，都是他的女神在梦里告诉他的哈，所以这个事情就变得有点 奇幻。那么这个公式非常的强大，强大体验在哪里呢？他每计算一项，就可以得到派的六位数值的准确表达，什么意思呢？就是说我取 k 等于零，我一二三四五六后面都不要，我就只算一个 k 等于零。 各位同学可以看用计算器算一下，可以等零的时候，这里叫四 k 就零的感叹号，感叹号代表接触， 但零的最简单，零的阶层等于一，所以你把这一坨就看成一啊，这就是一 k 的阶层啊，这零也是一，然后三减六的四 k 次方。因为 k 等零吗？所以这个零次方他也是一，所以这三项都是一，然后这一项呢，是零， 所以实际上右边只有幺幺零三啊，只有这一个数，所以当 k 等于零的时候，这个是很好算的，右边就是幺幺零三，你再用计算器去按一按啊，九千八百零一分之二百分二，然后最后呢，因为是百分之一，所以你算出来结果要取个倒数，那这样的话，你可以发现他一下子就出来了 派的小数点后的六位有效数字。如果说你有精力去算一个 k 等于一的话，再把它和前面的数字再加起来，你就会发现一下子又多了六位有效数字，这个公式非常神奇。

一九一一年，印度著名数学家拉玛鲁金提出了这个无限欠套更事的问题，因此该等式又被称为拉玛鲁金横等式。 拉玛鲁金不同于传统意义上的数学家，他的成果往往是凭直觉得到，只有结论，没有证明过程。这个横等式是拉玛鲁金流传最广的成果之一， 那么鲁金说这个等式的结果是三，你能证明这个结果吗？如果你想思考一下，请暂停视频，三秒后我会继续我的解答。 下面我们来看具体的证明过程。三是九的算数平方根等于根号下一加八，并可以扩展等于根号下一加二乘以四。四是十六的算数平方根继续下一步等于 根号下一加二倍。根号十六等于根号下一加二倍。根号下一加十五等于根号下一加二倍，根号下一加三乘以五。这时可以很明显看出这个地规计算的规律。下一步等于根号下一加二倍，根号下一加三倍。根号二十五 等于根号下一加二倍，根号下一加三倍，根号下一加四乘以六。一直地规下去就是题目中的无限嵌套根式。 如何证明这个地规是正确的？我们从第二行开始观察进行开方计算的这几个数字， 他们的算数平方跟一、四、四、四、五、六是公差为一的等差数列。 可以得出紫色标记这部分的通向公式是 n 大于等于二十， a n 等于 n 加二的平方。我们再来 看这时紫色标记的部分，可以得到通向公式， a， n 等于一加 n 乘以根号下 n 加二的平方。 我们现在看第三行黄色标记的这部分可以看作是 n 等于二十一加 n 乘以根号下一加 n 加一乘以根号下 n 加三的平方。 第四行黄色标记的部分，其通向公式也可以和上一行相同，这时 n 等于三。所以我们可以大胆预测， a、 n 的通向公式也等于一加 n 乘以根号下一加 n 加一乘以根号下 n 加三的平方。如果 a、 n 的通向公式能用这两种形式来表示， 则说明题目等式就可以无限嵌套循环下去。也就是说，我们现在只需要证明 a、 n 的两种表达式是相等的即可证明拉玛鲁金横等式的结果等于三。证明过程很 简单，把一加 n 乘以根号下 n 加二的平方用完全平方公式展开，再重新因式分解， 我们就可以很容易证明 a、 n 的两种表达式是相等的，也就证明了拉玛鲁金横等式的正确性。 同时，拉玛鲁金在他的笔记中也写下了无限欠套，更是等于四的表达式。具体的证明过程就留给大家自己完成吧。这里是浅草水，想分享有趣的数学知识，感谢你的观看，我们下期再见！

今天我们来看一下拉马路军是如何靠灵感来解放增大。有一个方程， x 加更换 y 等于七，更换 x 加 y 等于 c， 要求出 xy 啊，大家可以挑战一下。 首先你所当然的拉毛乳精是用瞪眼法猜出了答案，但是他如何写过程呢？他这样写的， 用这个一四二四二四减一四，得到根号 x 加 y 减 x 加上根号 y 等于四，然后把根号放到一起啊， 把 y 写成根号 y 的平方， x 写成根号 x 平方，那么它就是根号 y 减根号 x 乘以根号 y 加根号 x。 把这个 提出来，他就会写成根号 x 减根号 y 乘以一，减去根号 y 加根号 x， 然后看到这个 yx 都大一点啊，所以他把它变相 写到这一步。要想继续算下去啊，不管是老师也好，还是同学也好，肯定算不下去了，这个结不出来。但是拉门如今却经常从另类的角度思考问题啊，他说假设他解决出来，而且是整数结， 他应该可以写成一乘以四，然后让根号 y 减根号 x 等于根号 x 加根号 y 减去一等于四啊， 两个相加，求出二倍的根号 y 等于六， y 等于九， x 等于，然后把 xy 求出来。 那这个实际上从最开始他就用瞪眼法瞪出来， x 等于四万等于九啊，不然不会这么解。而且他在解题过程中是有问题的啊， 他没有排除其他的答案，他是否有其他的减呢？我们看一下严谨的调节过程啊，我们不喜欢带根号的，索性就把它去掉，让 x 等于 a 方， 让 y 等于 b 方，而且 a b 都是大于零的啊，大于等于零呢？为了方便这种计算吗？掉落原式就是 a 方加 b 等于七， a 加 b 方等于 c， 由这个得到 b 等于七，减 a 方带入这里啊，就是 a 加上七减 a 方的平方等于 c， 把这个化解啊。 a 的四字方 加上四十九，减去一十四倍的 a 方加上 a 减一， c 等于零，也就是 a 的四十方减一十四， a 的平方加上 a 加上三十八等于零。我们求这个一元四方程，好像不太好求啊，用四根法看他有没有根， 正负一不行，正负二。试了一下，二可以啊， a 等于二可以，或者最开始的时候，我们就应该用瞪眼法看一看找完的秘方。数一是词里面的 有一四、九，就这三个啊，刚好带入进去啊。外等于九的时候， x 是完全平方数四啊，四加三等于七，这个是二加九等于十一，没有错啊。如果从最开始就想到用完全平方数去 四的话，用瞪眼法得到答案，那么求解这个方程还是有可能的啊，或者耐心一点，用四根法也能够求出他的根啊。那其他方式有没有可能呢？没有可能啊，所以这个题目考察的就是数感，猜出 a 等于二是他的一个解了，那么 a 的四方 减去四， a 方可以配出二，减十， a 方加上二十， a 可以配出二啊。减十九， a 加三十八，可以配出二，他可以配成 a 方乘以 a 加二，乘以 a 减二，减十 a， a 减二， 减去是九， a 减二，提个 a 减二出来，那这个该怎么求呢？有没有什么技巧呢？这个无法再因此分解了，我们只能用求婚公司把它求出来， 这个一元三次方程的求婚公司可以翻看这段视频啊，我们用计算器把它按出来啊，求解。这个方程的话，解出他的根是三个，两个负值，一个正值三零一三，负值舍去啊， 那么这个正值 a 等于三点一三，后面好多个，那么 a 方肯定大于九了， a 方是 x， 那么这个时候更换个小，你呢？不可能啊， 所以说这个值也不成立，他只有唯一的减， a 等于二，这个时候 x 等于四， y 等于九啊，这是唯一的一组解啊。 ok， 更多的有趣的社会问题，可以翻看我的合集和订阅我的身单，关注我，让学习变得更有趣一点。