三角形内角和几何动画演示
hello， 小 朋友们好，今天我们一起来学习一下北师大版五年级上学期第二单元第一课时探索三角形内角盒。同样在正式讲新课之前， 来几道小练习题，复习一下之前所学习过的内容。第一题，判断这三个三角形分别是什么？三角形？ 好，直角三角形、锐角三角形，对角三角形，没什么问题是不是？那好，我们接着往下来啊， 好，用量角器量出下面角的度数。那再用量角器量角的时候，是不是量角器的中心点与角的顶点进行重合，角的一边与 两角器的零刻度线重合，然后再分内圈与外圈。刻度的时候，我们怎么样去分？ 有三种方法，第一种方法，开口向右读内圈的度数。第二种方法，与内圈的零刻度线重合，所以读内圈的度数。第三种方法，因为它是锐角，所以读 小的度数啊，所以这两个我们都可以读出来，第一个六十，第二个 一百二十。那好啊，我们来看一下用晾脚器晾脚的方法，我们复习一下之前所学习过的内容，点，重合线重合，看零线分内外读度数。那好啊， 那我们在之前也学习过什么是平角，平角有多少度？那大家看啊，出现在老师屏幕上边的是一个平角。 好，那我们说平角有一百八十度，对吧？那好，出现在老师屏幕上边的有两个三角形，大家会发现哈，这两个三角形的大小不一样，然后他们之间发生了争执， 这个大的三角形说，我的三个内角盒一定比你的大，这个小三角形说是这样吗？那好，今天我们就要通过我们所学习过的内容帮他们两个解决这个小矛盾，那好，我们一起来看一下啊。 好，所以今天我们就要来学习一下三角形的内角盒，那大家看一下啊，现在想一下，既然说到三角形的内角盒，老师想问一下，你想用什么方法得出三角形的内角盒呢？ 有想法的同学可以和自己的身旁的爸爸妈妈尝试一下啊。 好，相信小朋友们都有自己的想法啊，来看一下老师有这样的几种方法，想要和大家一起分享一下。好，第一种方法，量出三角形三个角的度数，比如说， 看啊，第一个三角形，我可以拿出量角器，分别量出这三个角的度数， 四十八，七十二，五十九，哎，我所得的结果是一百七十九度。然后呢，我也可以同样量出这个钝角三角形三个角的度数，哎，二十六，一百一十七，三十八， 结果一百八十一度，直角三角形九十 二十五，六十五，加起来一百八十度，大家可以自己进行一下探索。怎么探索呢？你拿出一个锐角三角形，拿出一个直角三角形，拿出一个钝角三角形，你分别量一下每个三角形三个角的度数，然后把它们加到一起。 那好，我们接着往下看啊，大家有没有发现，无论是锐角三角形，钝角三角形，还是直角三角形，你有没有发现它们的度数，哎，有没有什么规律 好？有同学说，老师啊，我发现每个三角形的三角三个内角盒都在一百八十度左右。 好，那我们现在来总结一下啊，由于我们在晾脚气，晾的时候我们人为操作会有误差啊，会有误差说分测量工具不够标准，或测量时不够细致，造成小的误差，叫做误差。 由于受客观条件的限制，误差是不可避免的，所以科学实验不是一次或几次就能成功的，测量时要认真细致，尽量减少误差。 所以当我们测量的时候，如果没有误差的时候，三角形的三个内角盒就是一百 八十度。所以今天的第一个知识点，三角形的内角盒是一百八十度，所以无论这个三角形是大的三角形，还是小的三角形，它的内角盒都是一百八十度啊。刚才的三个结果， 有的比一百八十大，有的比一百八十小，是因为我们测量有误差。那想一想，还有没有什么办法能证明咱们的猜想呢？好，那还有一种办法，什么办法呢？老师啊，把这三角形的三个角分别把它给撕下来，然后拼到一起，大家看啊， 哎，把它撕下来好，大家会发现哈，当老师把它撕下来的时候，这三个角拼到一起和我们的什么角？ 哎，平角是一样的，是不是？所以我们把它撕下来，拼接成一个新的角，我们也可以发现它和我们的平角是一样的，也能证明三角形的那角和就是一百八十度好。 还有啊，四拼法啊，拼成平角一百八十度，也就说无论锐角也好，钝角三角形也好，钝角三角形也好，直角三角形也好，用我们的四拼法都可以拼成一个新的平角，也就是一百八十度的角啊。 由此可以证明三角形的内角和一百八十度好。还有什么办法可以证明我们的猜想呢？看，哎，把这个三角形进行折叠 好，大家会发现，无论是钝角三角形，锐角三角形，还是直角三角形，最后都可以拼接成一个，无论是我们的四拼法也好， 折叠法也好，三角形的内角盒都是一百八十度啊，所以今天我们要学习的比较重点的知识点就是三角形的内角盒一百八十度， 好。早在三百多年前就有一个科学家，他在十二岁时就验证了任何三角形的内角盒都是一百八十度，他就是法国的数学家，物理学家帕斯卡。 在今后的学习知识中，也有很多事都是帕斯卡发现和验证的，那好出现在老师屏幕上边的啊。有一个三角形，大家猜一猜，它可能是个什么三角形，那当我们在判断它是一个什么三角形的时候，我们是不是要判断它最大的角是多少度， 对吧？那我们以这个三角形为例，六十四十，我们怎么样能求出那个角是多少度？因为三角形的那角和是 一百八十度，所以遮住的角一百八十减六十减四十是八十，所以这个角如果是八十度的话，那么最大的角是锐角，所以这个三角形就是一个锐角三角形， 哎，所以当如果遮上一个角，让你判断这个三角形是个什么三角形的时候，你可以怎么办？哎，把遮住的那个角的度数求出来，那大家看一下，现在如果老师遮住了两个角，你还能猜测出它是什么三角形吗？ 好，那我们现在一起来看一下啊。当老师如果折上两个角的时候，大家就会知道那两个角的度数和是一百二十，那大家现在想一下，如果两个角的度数是一百二十度的话，有没有可能 它是一个直角呢？有没有可能是个锐角三角形呢？有没有可能是个钝角三角形呢？所以请同学们自己尝试一下啊。如果这两个角 它的核是一百二十，它有可能是个什么角的度数？既然老师这样说了，就有可能它的想法，它的呃情况不止可能是一个，对不对？ 好，相信同学们都有自己的想法了是不是？那我们一起来对一下答案，看一下啊！说，我知道等边三角形的三个角都是六十度，遮住的角是等边遮住的三角形，是等边三角形吗？ 然后又有小朋友说，剩下两个角的度数应该是一百二十，如果一个是一百，一个是二十，那就是一个钝角三角形。所以第一种方式我们知道啊，它可以是一个钝角， 那如果刚才的情况说是等边的话，那我们说等边三角形三个角都是六十，是不是它也可以说明它是一个锐角三角形， 对吧？那好接着往下来，那如果一个角是九十，另一个角是三十，这是一个直角三角形，所以第三种方法也可以是一个直角三角形。所以由此其实我们就可以总结出来，如果知道三角形的两个锐角，我们就可以准确判断出这个三角形的类型。 如果你只知道这个三角形任意一个锐角的话，就很难猜测出这个三角形的类型，他会给我们留出各种猜测。所以也就是说，当你这种情况，你知道两个 角的度数和是一百二十的时候，你要找到他有没有锐角的情况，有没有钝角的情况，有没有直角的情况。但是如果漏出来的角是两个的话，我们说只有一种情况，对不对？那好，我们接着往下来啊， 算一算三角尺的那角和是多少？那这个三角尺的那角和，这是三十，这个六十，这个九十是不是一百八十， 这个是九十、四十五，四十五是不是也是一百八十，对吧？好，每组卡片中哪三个角可以组成三角形？那你想一下孩子们如何判断这个角？这，这三个角可以组成一个三角形，是不是他们三个相加得等于多少度？哎，一百八十度，所以请同学们自己尝试一下啊。 好，没什么问题，是不是我们接着往下来了啊？变一变三角形的大，三角形的那角和比小。三角形的那角和大，不是吧？三角形的那角和都是一百八十度，对吧？被遮住的角是多少度？ 同样是不根据三角形的那角和是一百八十度，我们可以求出这个角的度数，对吧？ 好，两种方法都可以连续减去两个数，等于减去这两个数的和好。一个等腰三角形的风筝，它的一个底角是六十五，它的顶角是多少？那底角是六十五的话，就证明这个角是六十五，这个角也是。哎，那这个角是多少？请同学们自己尝试一下。 好，我们一起来看一下。哎，五十对吧？好，我们来总结一下啊。这一节课我们知道利用测量四拼和折叠法可以得出三角形的内角和是一百八十度， 知道两个角的度数，可以准确的猜到三角形的类型，如果只知道任意一个角的度数，会有各种猜测。那好，我们今天的课程就做到这里了啊，拜拜。
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03:54查看AI文稿AI文稿三角形的内角盒今天要给大家表演一个魔术猜角的度数，大家可以随意画一个三角形遮住它的一个角，我都可以说出被遮住的这个角的度数。 这视频开始前，还得请粉丝们帮忙给我点个小心心，视频推流机制，谢谢理解，特别感谢那些看完视频点开我头像在主页橱窗默默下单支持的朋友，谢谢你的支持。这个是三十度，这个是六十度，这个是一百度。 哇，好厉害，开始有点崇拜你了，你是怎么做到的呢？ 这个嘛，当然是有秘密武器啦！这要从三角形的内角和说起，三角形的内角和就是三个内角的和，它是多少呢？ 我们任选三个三角形，用两角器来测量一下就知道了。先看第一个三角形，这个角是八十五度，这个是五十度。 那他的三个内角的和就是八十五度，加四十五度，加五十度等于一百八十度。再看第二个三角形，这个角是九十度， 这个是三十度，这个是六十度。他的三个内角的和就是九十度，加三十度加六十度也等于一百八十度。最后看第三个三角形，他的三个内角分别是一百一十度、 二十度、五十度加起来也等于一百八十度。 他们的内角和都是一百八十度。那其他的三角形呢？也是一百八十度吗？嗯，这个问题问的好，我们动手验证一下就知道了。 这是一个三角形，把他的三个角撕下来， 然后拼在一起，角一角二和角三正好拼成一个平角，平角等于一百八十度， 所以三角形的内角和就是一百八十度。除了把角撕下来，还可以通过折叠把三个角拼在一起。这是一个三角形，把角一往下折， 让折痕与底边平行，角一的顶点刚好落在底边上， 然后再折角二，使角二的顶点和角一的顶点重合，最后折角三，同样使角三的顶点和角一、角二的重合，这样角一、角二和角三就拼在一起了，他们正好组成一个平角， 所以三角形的内角和是一百八十度。总而言之，所有三角形的内角和都是一百八十度。 知道了三角形的内角和为一百八十度这个秘密武器后，你是否会变魔术了呢？拿这个试试手吧！ 根据三角形的内角和等于一百八十度，可以求出被盖住的角，一百八十度减七十度，减三十度等于八十度。
17🌈🌈小霸王
17:36查看AI文稿AI文稿三角形的内角和等于一百八十度，这可能是你最熟悉的几何定律。小学撕过直角，初中学过正名，很少有人在多问一句，但这条定律的背后牵着几何学历史上最著名的一桩悬案， 数学家为他争论了两千年，最后发现，内角和是不是一百八十度，取决于你生活在哪一种空间里。今天我们把这个故事完整讲清楚， 先做一个特别提醒。本期视频的后半部分会讲到公立体系和非欧几何，这些内容超出了高中数学的范围，高考不作要求，请把它当做课外拓展来看。 而前半部分对内角和正名的分析，是初中和高中都应该真正搞懂的内容。 先回到小学的那个实验，把指三角形的三个角撕下来，拼在一起，恰好排成一条直线，也就是一个平角。这个实验很直观，但它不是正名。 第一，他只检验了手里这一个三角形，而三角形有无穷多个。第二，撕纸和拼接都有误差，就算真实的和差上半度，眼睛也看不出来。 数学需要的是一条对所有三角形同时成立、不依赖测量的推理链，这才叫证明， 这是教科书里的经典证明。设三角形的三个内角是阿尔法、贝塔、伽玛 过顶点 a 做一条直线 m n， 让它平行于底边 b、 c。 因为 m n 与 b c 平行，角 m a、 b 和角 b 是 内错角，所以相等，都记作贝塔角 n， a， c 和角 c 也是内错角，同样相等，记作伽玛。 而 m n 是 一条直线， a 处的三个角拼成一个平角，贝塔加阿尔法加伽玛等于一百八十度，这正是三角形的三个内角之合，证明完成，干净利落。 但请先记住，这个证明用了两件事，平行线可以做出来，以及两直线平行时内错角相等。这两件事从哪里来？稍后就要追问。 还有一条不那么出名，但同样漂亮的路，它把一般三角形归结为直角三角形。先看直角三角形 a、 b、 c。 直角在 b 取斜边 a、 c 的 中点 m， 把整个三角形绕 m 旋转一百八十度。旋转后的象与圆三角形正好拼成一个矩形。矩形四个角都是九十度，加起来三百六十度。 对角线把矩形分成两个全等的三角形，一人一半，所以直角三角形的内角和是一百八十度。 再看任意三角形，从顶点 a 向对边作高垂足是 d。 三角形被切成两个直角三角形， 左边那个告诉我们，角 b 加角 n 等于九十度，右边那个告诉我们，角 c 加角 m 等于九十度。两式相加，而角 n 与角 m 合起来恰好是角 a， 于是内角合等于一百八十度。 如果三角形有钝角垂足，会落到边的延长线上，这时把两个式子相减，同样能得到结论。 现在追问一层，证明里用的内错角相等，自己又是怎么来的？初中教材里，平行线有两组定律， 判定定理说内错角相等，两条直线就平行。性制定理说两条直线平行，内错角就相等。 方向相反的两句话，逻辑地位却完全不同。判定定理可以老老实实证出来，不需要任何额外假设。而性制定理的证明必须用到一件事， 过直线外一点，与已知直线平行的直线只有一条，这条唯一性在整套几何里没有证明它是被直接承认下来的，它就是大名鼎鼎的平行公社。 第二条证明也逃不掉，它用到了矩形，而存在四个角都是直角的四边形这件事，同样只有平行公社才能保证。也就是说，无论走哪条路，内角和等于一百八十度，最终都挂在平行公社上。 平行公社到底说了什么？欧吉里德在原本里一共列了五条公社，前四条都很短，两点确定一条直线， 线段可以任意延长，给定圆心和半径可以画圆，所有直角都相等。 第五条却是长长的。一句话，一条直线与另外两条直线相交，如果同一侧的两个内角加起来小于两个直角，那么这两条直线在那一侧延长后必定相交。念完都要喘口气。 后人证明了他与一个顺口的多的说法，等价过直线外一点，至多只有一条直线与已知直线平行。 细心的同学会发现，人教版教材写的是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 比这里多了一个有字，这不是随意的差别。存在一条平行线这件事，不用第五公社，只靠其余公理就能证明。真正扛起第五公社全部分量的，是只有一条这半句。 所以在讨论公理地位的时候，数学家用治多一条这个更精准的说法。对比之下，问题来了，前四条一眼就信，第五条却又长又绕，更像一条应该被证明的定理。 古希腊人自己也这么觉得。于是，一场持续两千年的努力开始了。用前四条公社把第五条挣出来。 在讲这场努力之前，先把公理这件事本身说清楚，为什么数学需要公理？ 假设你要解释命题 a 为什么成立，你会引用命题 b， 那 b 为什么成立，又要引用 c， 再引用 d， 这样追下去没有尽头。 唯一的办法是在某个地方停下来，宣布这几条不再解释，直接承认作为一切推理的起点，这些起点就是公理。 欧吉里德是第一个把几何整理成公理体系的人，这是了不起的成就。但用今天的眼光看，他的体系有两个漏洞。 第一，他试图给所有名词下定义，比如点是没有部分的东西，这句话比点本身还难懂，等于没有定义。 第二，他在证明里常常不自觉地借用图上的直觉，比如刚才内角和的经典证明里，三个角恰好拼在 a 的 同一侧。这类事实。欧吉里德和两千年来的教科书一样，都是看图默认的， 并没有从公社推出来。一八九九年，希尔伯特出版几何基础，把这两个漏洞一起补上。 他说，点、直线、再之间合同这些基本词干脆不定义，它们的全部含义，就是公理赋予它们的性质，一个字不多，一个字不少。公理也不必是字明的真理，它只是推理的起点。 这个观点彻底改变了此后整个数学的面貌。两千年里，无数数学家尝试证明第五公社留下许多错误的证明，大多在中途偷偷用了一条与第五公社等价的假设，等于绕圈子。 一七三三年，意大利数学家萨凯里发起了最认真的一次冲锋，他的策略是反正法假设第五公社不成立，然后一路推理，盼望撞出一个矛盾。 他推出了一连串在当时看来很怪异的结论，却始终没有推出真正的逻辑矛盾。他到死都以为自己接近成功，实际上，他已经在不知不觉中把一片心几何的定律证明了一大半。 后来的研究把这些结果整理成两条深刻的定例，先约定一个说法，不用平行公社，只靠其余公里展开的几何叫做绝对几何。 这个名字来自鲍耶，意思是不管第五公社真假，都绝对成立的那部分几何。今天的英文教材也常叫它中立几何取的是在欧式与双曲之间保持中立的意思。 第一条，萨凯里勒让德定律，在绝对几何里，任何三角形的内角和都不超过一百八十度，想多出一度都不可能，而这不需要平行公社就能证明。 第二条更惊人，萨凯里定律，在绝对几何里，只要存在一个三角形，内角和恰好等于一百八十度，那么所有三角形的内角和都等于一百八十度，并且平行公社自动成立。请体会这句话的分量， 哪怕只找到一个内角和是一百八十度的三角形，整个平面就必须是欧几里德式的内角和等于一百八十度，与平行公社是同一件事的两种说法。 既然假设第五公社不成立，推不出矛盾，就有人干脆迈出最后一步，把它换掉。一八二九年前后，俄国的罗巴切夫斯基、匈牙利的鲍耶各自独立发表了心集合。 高斯在书信里说自己更早就有了同样的想法，只是没敢发表。新几何把平行公社换成双曲公里，过直线外一点，至少有两条直线与已知直线不相交。 这样的几何真的存在吗？后人给出了一个漂亮的模型，叫庞家来圆盘。 游戏规则是一个圆的内部就是整个平面。所谓直线，有两类，圆盘的直径以及与边界圆垂直相交的圆弧。 直径和边界也是垂直相交的，所以两类可以统一成一句话，与边界垂直的就是这里的直线。 而长度的量法很特别，越靠近边界，尺子缩的越厉害，所以从内部往边界走，永远走不到头。这个圆盘对住在里面的人来说是无限大的。 看这条直线， l 和外面一点 p 过 p， 这条弧和这条弧都与 l 不 相交。过一点，至少有两条平行线，双曲公里成立， 而其余的宫里逐条检验，全部成立。再看这里的三角形，三条边都是这种圆弧，每个角都比欧式情形瘪一些，内角核严格小于一百八十度。 这个模型的意义在于，双曲线的一切都翻译成了欧式几何里的圆和弧。如果双曲线有矛盾，翻译回去欧式几何也有矛盾。 所以只要我们相信欧式几何没有矛盾，双曲几何就同样没有矛盾。两千年的问题就此了结。第五，公社不可能由其余公理证明出来，因为存在一个世界，其余公理全对，而它偏偏不对。 换了公理之后，这个新世界里的定律一条比一条出人意料。 先看第一条怪率。在双曲几何里可以证明，三角形的面积等于一个固定常数 k 乘以一百八十度，减去内角和的差，也就是说，面积完全由内角和的亏损决定。 内角和离一百八十度差的越多，面积越大，但内角和再小也小不过零度，所以面积再大也超不过 k 乘一百八十。 结论，双曲世界里，三角形的面积有一个绝对的上限，无论你把三个顶点拉的多开，都突破不了。 对比一下，欧式平面上，三角形想画多大就画多大，一条公里之差，世界的性格完全不同。 第二条怪率更颠覆。欧式几何里，三组对应角相等的两个三角形叫相似三角形，它们可以一大一小，就像照片，可以放大缩小。 但在双曲几何里，可以证明，三组对应角相等的两个三角形必定全等。 道理其实就藏在刚才的面积公式里。面积由角度完全决定，角度一样，面积就一样，尺寸被锁死了，根本不可能一个大一个小。 这意味着双曲世界里没有放大缩小这回事。不存在缩小的地图。你想画一张双曲王国的地图，它必须和王国本身一样大，否则形状就是错的， 不存在形状相同、大小不同的两只手。照片一放大，形状必然走样。 反过来想，我们每天习以为常的相似图形、比例尺、地图等比例放大，这些看起来天经地义的东西，其实全都是欧式平行公社送给我们的礼物。 生活在哪种几何里，决定了你能拥有怎样的常识。 最后回望全程，我们从一张撕开的纸片出发，实验只能验证，不能代替证明。接着看了两种证明，一种过顶点做平行线，一种把三角形拼成矩形，殊途同归，都在关键一步动用了平行公社。 然后我们追问不用平行公社行不行，绝对几何回答只能正到内角和不超过一百八十度，而等号是否成立，恰好等价于平行公社本身。 最后我们看到把这条宫里换掉得到的双曲几何同样没有矛盾，那里每个三角形的内角和都小于一百八十度，面积有上限，相似必全等。 所以三角形内角和等于一百八十度，不是宇宙的必然真理，而是欧几里德宫里体系为我们选定的世界。 那真实的物理空间究竟是哪一种几何呢？这已经不是逻辑能回答的问题，而要交给测量和实验。爱因斯坦的广义相对论告诉我们，在大质量天体附近，空间确实是弯曲的。 课本上那句朴素的内角河等于一百八十度，背后是两千年的追问，一次宫里观念的革命和一扇通往现代几何学与物理学的大门。 希望下次你在卷子上写下一百八十度的时候，能想起这段故事。感谢观看，我们下期再见！
31数里有道
08:24查看AI文稿AI文稿八年级我们开始学习三角形了，经常会做到角度计算或者是几何证明等题型，那么倒角模型就必须要会，今天要讲的呢，就是三个最经典的倒角模型， a 字模型、八字模型、飞镖模型。 首先来看 a 字模型啊，就是像字母 a， 这里的角一、角二和角 a 之间是什么关系呢？ 因为角一和角二呢，它是这个三角形 a、 b、 c 的 外角，所以我们可以用外角定例，这里的角一，它等于和它不相邻的两个内角的和，也就是角 a 加上这里的角三， 而角三呢，它和角二是互补的，所以角三可以换成一百八十度减角二，那么就是角一等于角 a 加一百八十度减角二。好，然后整理一下，就是角一加角二等于角 a 加一百八十度， 好。再来看八字模型啊，就是像数字八，那这里的角 a、 角 b、 角 c 和角 d 之间是什么关系呢 啊？我们可以用内角和定力来推导好，我们设这里的角 a、 o、 b 是 角一，角 c、 o、 d 是 角二。那么在三角形 a、 o、 b 中，角 a 加角 b 加角一是一百八十度好。同理，在下面这个三角形 c、 o、 d 中是角 c 加角 d 加角二等于一百八十度。 角一和角二是对顶角相等的，那么所以角 a 加角 b， 它是等于角 c 加角 d 的 好。最后一个是飞镖模型，形状有点像飞镖。那么这里的四个角，角 a、 角 b、 角 c 和角 d 是 什么关系呢？ 因为图中没有三角形，所以首先我们要去构造三角形啊，那么辅助线啊，可以连 b、 c 有 这个三角形，或者是延长 b、 d， 是 不是也可以得到三角形啊？或者是连接这个 ad 啊，也可以得到三角形， 那我们就以这条辅助线来看啊，我把这里的这个角 b、 a、 d 令为角一，角 c， a、 d 令为角二，然后这里是角三，这边是角四， 那么角三呢，它可以看成是三角形 a、 b、 d 的 外角，所以角三它是等于角一加角 b 的 好。同理，角四呢，是三角形 a、 d、 c 的 外角，所以它等于角二加角 c 好， 然后角三加角四，是不就是这个角 b、 d、 c 啊？所以我们把这个一式和二式相加，那么就是角 b、 d、 c， 它等于 角三加角四啊，也就是角一加角二加角 b、 加角 c， 而角一加角二呢，就是角 bac， 所以 就是等于角 bac， 加上角 b， 加上角 c， 所以 在原来的这个图上啊，那么这四个角的关系就是角 d， 它等于角 a、 加角 b、 加角 c。 好，学习了三个模型，接下来我们来看几道经典的例题。第一，在五角星中求角 a、 加角 b、 加角 c、 加角 d、 加角 e。 那 同学们观察一下，在这个五角星中有刚才学的哪一个模型，那我们发现这里有一个飞镖模型， 那么根据飞镖模型我们就可以知道，角 a、 加角 c， 加角 d 的是等于这个角一的，而角一呢，它又等于这个对顶角角二， 那角二呢，它跟角 b、 角 e 是 在这样一个三角形中的啊，所以我们又可以知道角二加角 b、 加角 e 是 等于一百八十度的 好，那么根据这个角二是等于这个角 a、 加角 c、 加角 d 的， 所以给它啊，换一下，就是角 a、 加角 c、 加角 d， 再加角 b， 再加角 e 是 一百八十度啊，所以答案就是一百八十度。 好！下面看例二，已知线段 a、 b 和 c、 d 相交于点 o 连接 a、 d、 bc。 然后第一小题，若角 a 加角 d 是 八十五度， 然后求角 b、 o、 c 的 度数，以及角 b 加角 c 的 度数。因为角 a 加角 d 是 八十五度啊，那么根据内角和这个角 a、 o、 d 应该是一百八十度，减八十五度就是九十五度，所以这个角 b、 o、 c， 它就等于对顶角 a、 o、 d 啊，也就是九十五度。 然后角 b 加角 c 呢，是等于角 a 加角 d 的， 所以就是八十五度。 好！第二小题，如图二，角 e、 a、 o 等于角 c， 然后角 e、 a、 d， 它是等于角 d 的。 求证角 b 等于两倍的角 d， 那么这里显然也是一个八字模型啊，这个 a、 b 和 c、 e 这样相交，形成了一个八字模型，那么这样我们就可以知道啊，角 e、 a、 o， 然后加上角 a、 e、 o， 它是等于角 c 加角 b 的， 这个是根据八字模型得到的。然后这里的角 e、 a、 o 呢，它和角 c 啊，这两个角题目说了是相等的，那么所以是不是就可以得到角 a、 e、 o， 它就等于角 b 啊？ 那我们再看图中角 a、 e、 o 这个角啊，它可以看成是三角形 a、 e、 d 的 外角啊，所以这个角 a、 e、 o， 它是等于 啊，和它不相邻的两个内角的和，也就是等于角 d a、 e 加上角 d， 而角 d、 a、 e 呢，它又等于角 d， 对 吧？这也是题目条件，那这样的话，我们就相当于等于两倍的角 d 啊，所以这个角 b， 它就等于两倍的角 d。 好， 最后一题啊，如图三，若角 d a p 等于角 b a p， 然后角 d c p 等于角 b c p， 然后角 b 加角 d 呢，是九十度啊，求角 p 的 度数是多少？ 好，这里我把相等的这两个角，角 d a p 和角 b a p 标做 alpha， 然后角 d c p 呢和角 b c p 啊，我记作贝塔， 然后它还给了角 b 和角 d 相加是九十度。那这个图中呢，它也有八字模型啊，但是它有两个，一个是呃，像这里的 dc 和 ap 相交。 好，这个红笔描出来的是一个八字模型，那么由这个八字模型我们可以知道，就是阿尔法啊，加上角 d， 它是等于贝塔加角 p 的。 然后这下面呢，还有一个八字模型啊，就是这个 c p 和 ab 相交啊，这个蓝线描出来的也是一个八字模型。那根据这个八字模型，我们又知道 alpha 加角 p， 它是等于 beta 啊，加角 b 的， 然后因为这里我们知道啊，角 d 和角 b 的 关系，它们俩相加是九十度。 好，那么要求的呢，是角屁，所以这两个式子呢，我们就可想办法把 alpha 和 beta 消掉，然后最后只剩角 b， 角 d 和这个角屁，然后再去看他们三是什么关系。好，那这样两个式子我们直接相减就可以了啊，一是减，二是， 那么就得到角 d 减角屁，它等于角屁。减角 b。 好， 然后一项就得到角 d 加角 b 等于两倍的角屁，然后角 d 加角 b 是 九十度，所以角屁就是四十五度。 好，所以如果同学们熟悉这三个模型的话，那么呃，做题还是非常快的好，那么这三个模型呢？希望同学们课后可以熟记，并且能够应用。
262小吴老师讲数学
03:15查看AI文稿AI文稿假如我告诉你，一个三角形的内角和不是一百八十度，而是两百七十度，甚至是五百四十度，你敢信吗？别急着说我胡说八道，今天咱们就来见识一个彻底颠覆你初中几何知识的神奇玩意，它就是球面三角形。 首先，咱们得把战场从平坦的纸面搬到一个光滑的球体上。在这个球面上，两点之间最短的距离可不是直线，而是一段弧线。这些弧线都属于一个叫大圆的东西。 说白了，大圆就是任何一个能把球衣刀切成两个完全相等半球的那个切面圆，就像地球的赤道一样。好，有了大圆这个基本工具，我们就能开始玩点花了。你看，用两个半边的大圆在球面上能围出个什么？没错，一个像剥开的橘子瓣一样的区域。 这玩意在几何学里有个专属名字，叫球面月形。这个月形的面积怎么算呢？其实逻辑很简单，它的面积就跟它在两极顶上的那个夹角成正比，夹角越大，这个橘子瓣就越肥。经过一番简单的比例换算，咱们就能得到它的面积公式，月形面积 l 等于两倍的夹角 alpha， 再乘以半径的平方。 有了橘子瓣，咱们的主角终于要登场了。用三段不同的大圆弧线在球面上围起来的封闭区域就是球面三角形。这玩意天生就有一个神奇的特性，那就是它在球的另一面， 永远有一个跟他面积完全相等的对峙。双胞胎兄弟，记住这点，这可是咱们后面解谜的关键线索。现在，好戏正式开场，仔细看我们这个小小的球面三角形，它的三个内角分别是 alpha、 beta、 gamma， 它看起来孤零零的，但它其实是三个不同球面月形的公共交集。 你可以想象，我们分别以 alpha、 beta、 gamma 这三个角为顶角，画了三个不同颜色的矩形橘子瓣。这三个橘子瓣叠在一起，中间被重复覆盖，最后的地方恰好就是我们想要计算面积的那个小三角形。 那么问题来了，怎么求这个三角形的面积呢？直接算肯定没戏，但我们可以来个曲线救国的骚操作。我们把这三个橘子瓣连同他们在地球另一面的那三个双胞胎兄弟，一共六个橘子瓣的面积全都加起来， 会发生什么？好家伙，这一加不要紧，我们发现了一个惊人的事实，这六个橘子瓣的总面积刚好把整个球的表面都给覆盖了一遍。 这里有个猫腻，就是我们心心念念的那个小三角形区域，因为它被三个月形同时覆盖，所以它的面积被重复计算了三次，同样，它对面的那个双胞胎兄弟也被重复计算了三次。也就是说，这六个橘子瓣的总面积实际上等于整个球的表面积， 额外再加上了四个我们要求的三角形面积。这下事情就好办了，咱们把刚才的发现写成一个等式，两倍的 l f i 加 l， beta 加 l gamma， 等于球表面积四倍的三角形面积。接着就是见证奇迹的时刻， 我们把之前推导出的月行面积公式 l 等于二 alpha 平方带入这个等式里，左边就变成了两倍的括号，二 alpha 平方加二 beta 平方加二 gamma 平方扩回。 经过一番简单的提取，公因式和约分两边同时消掉共同的相，最后我们得到了一个无比优雅堪称艺术品的公式，三角形的面积 t 等于二平方，乘以括号，阿尔法加 beta 加 gamma 减派扩回你看懂了吗？这个公式就是大名鼎鼎的吉拉德定律， 告诉我们一个惊人的结论，球面三角形的面积竟然只取决于它的半径以及它的三个内角加起来比一百八十度，也就是派多出来的那一部分， 这个多出来的角度就叫球角超。所以球面三角形的内角和大于一百八十度不仅是可能的，而且是必然的，它的面积就藏在这超出的角度里。几何的世界远比我们想象的要奇妙的多。
289高纬思维
02:02查看AI文稿AI文稿三角形内角和定里，要证明三角形的内角和等于一百八十度，该从哪下手呢？ 咱们先把这个抽象的问题具体化，任取一个三角形 abc。 现在的任务就是要证明角 a 加角 b 加角 c 等于一百八十度。 嗯，和三个角都有关。那咱们就把这三个角往一块凑。比如把角 b 和角 c 撕下来，分别拼在角 a 左右两边。 哎呦呦，这两条边看上去在一条直线上呀，那角 a、 角 b、 角 c 拼成一个平角，即一百八十度了。嗯，不过数学是严谨的，咱还是用毕生所学证明一次吧。嗯，到底该怎么证明呢？咱们可以从刚才的简拼图上找找灵感， 仔细观察。角 b 和角 c 剪拼到这看上去，图上出现了一条新的直线，就把它记作 l 吧。在直线 l 和 bc 之间，有红蓝两组相等的角， 任取一组。比如看这红色的两个角吧，他们又是内错角。根据内错角相等，两直线平行，那直线 l 和 bc 平行啊。 既然直线 l 如此特别，那咱就添这么一条辅助线，即过点 a 做直线 l， 使 l 平行于 bc， 这时角二和角四是内错角，角三和角五也是内错角。因为 l 平行于 bc， 就 知道内错角相等，即角二等于角四，角三等于角五，又因为角。
43嘟嘟老师
00:44查看AI文稿AI文稿三角形内角和一定是一百八十度吗？不一定。这个三角形有三个直角，九十加九十加九十，内角和是两百七十度。没有画错，他画在球面上。 我从北极出发，沿京线走到赤道，再沿赤道走四分之一圈，最后沿另一条京线回到北极。 经线和赤道垂直，两条经线在北极也正好相差九十度，所以这个三角形的三个角全是直角。他的三条边都是大圆弧，也就是球面几何里的直线。 一百八十度没有被推翻，他只是平面里的答案。这个球面三角形的内角和就是两百七十度。
68看不见的几何
01:51:11查看AI文稿AI文稿注意，本视频耗时半年，制作共计一百一十分钟，带你一口气学完初中数学所有几何模型。本视频会讲到四六个几何模型，从几何折叠、旋转变换到几何最值，由于时长太长，建议收藏起来慢慢学。 来看模型一，线段双中点说已知 c 在 线段 a、 b 上 m、 n 分 别是 a、 c 和 b c 中点，则结论就是 m n 等于二分之一的 a c， n 是 bc 终点，所以 n c 等于二分之一的 bc， 所以 说 mc 加上 n c 这两个合起来就等于二分之一的 ab 了。好，这是详细的一个证明的过程。好，咱们来看模型二，双角平分线模型好，若 o p 呢，是角 aob 的 一条射线，然后 o m 平分角， 那个 b o p， o n 呢？平分角 a o p 好， 所以结论就是角 m o n 等于二分之一的角 a o b 啊，这个呢，咱们可以看一下，因为两个红角相等，然后呢，两个直角相等，所以你会发现一个红角加一个子角，是不是刚好就等于二分之一的角 a、 o b 了 啊，这是详细的证明过程。好，咱们来看模型三，主体模型说已知 a、 b 平行于 c， d， 则角 b o c 就 等于角 b 加上角 c， 这怎么回事呢？咱们说遇拐点做平行线好，咱们只要过 o 点做一个平行线，你会发现， 好这个角 b 是 不就等于这个角一，因为内侧角相等好这个角二，是不又等于这个角 c 好， 所以你又发现两个紫角了？和，是不刚好就等于两个红角了？和啊，这是详细的证明过程啊！进来咱们看 模型四，铅笔头模型说已知 a、 b 平行于 c， d， 则角 b 加上角 b o、 c 加上角 c 等于三百六十度。这里也是咱们预拐点 o 直接做一个平行线啊，你会发现，那则这个角 b 加上角一是不一百八， 角 c 加上角二是不是一百八？因为两只线平行同帮，内角互补，所以这三个角相加，刚好等于两个一百八，就是三百六了啊，这是详细的证明过程。 好，咱们看模型五，锯齿模型说已知 a、 b 平行于 e、 f， 则角 b 加上角 d 等于角 c 加角 e， 你 会发现角 b 加角 d 是 不刚好是向左的角，角 c 加角 e 刚好是消晕的，向右的角，所以说朝向左边来角的和就等于朝向右边角的和，这怎么做到呢？咱们还是 遇拐点 c 和 d 做平行线，做完之后，哎，你会发现内错角相等，这个角 b、 c、 n， 哎，是不是就等于这个角 b？ 同案的哎，这个角 n、 c、 d， 那 是不是就等于哎，这个角可以发现。然后呢，这个角 p、 d、 e 是 不就等于这个红角？ 好，所以你会发现两个红角，这个角和，这个角的和是不是刚好就等于咱们这个直角的和，而这是详细的证明过程。好，接下来咱们看模型六，八字模型说 a、 c 和 b、 d 相交于点 o， 那 则角 a 加角 b 等于角 c 加角 d， 这个怎么回事呢？咱们看一下。 因为角 a 加角 b 加上角一等于一百八，好，角 c 加上角 d 加上角二是一百八， 这个角二和角一刚好对定角相等。那所以说两个红角角 a 和角 b 的 和，就等于两个直角角 c 和角 d 的 和，然后我就整完了，对吧？然后再看说它的变形类型是拓展的模型说 b、 p、 d、 p 分 别是角 a、 p、 c 和角 a、 d、 c 的 角平行线，也就是说这两个角相等， 还有就是这两个角像的，那么这个角屁啊，就等于二分之一的角 a 加角 c， 这个怎么推出来的呢？好，咱们看一下，这是用到了两个八字模型，第一个八字模型是这朵八字模型， 这个八字模型你会，你能看出来？哎，我这个角 a 加上这个角是不就等于角屁加上这个角和。第二个八字模型呢？你是用到了啊，这个八字模型 好，你会发现这个角 c 和这个角是不就等于这个角屁加上这个角两个八字模型，然后呢，把你无关的角全部消掉啊，最后就推出来了角屁等于二分之一的角 a 加角 c。 啊，这个自己推一下， 好，进来看。模型七，废标模型说已知四边形 a、 b、 c、 d， 然后呢，则角 b、 d、 c 等于角 a 加角 b 加角 c。 啊，这个怎么推出来呢？咱们这个一共有四个模型，咱们用这个模型讲一讲，您发现一个三角形了，这个三角形的外角是被等于两个不相邻的两个内角和 好，一个扇形的这个外角是等于这两个不相邻的哪个两个内角和，所以我这两个直角的和是不刚好等于四个红角的和，四个红角和刚好就是角 b 加上这个角 b、 a、 c 再加上角 c， 所以 我就正完了。 好，接下来咱们再看模型八 a 字模型说如图，则角儿 dbc 加上角 e、 c、 b 就 等于一百八加角 a， 这个怎么得到呢？咱们说好，一个扇形的外角等于不相邻两个内角和 好，这个角 d、 b、 c 是 不等于角 a 加上角 b、 c a 好， 这个角 b、 c、 e 是 不等于角 a 加上角 a、 b、 c 好， 你会发现角，这个角 a、 b、 c、 d 加一个角 a 除以一百八，这儿是两个角 a， 就 多出个角 a， 所以 说刚好就是一百八加上个角 a 了。 好，那如果说我把 d、 e 封上，就形成了这个图形，这个图形所读到结论是一样的，也是这两个角的和就等于一百八十度，加上这个角 a。 好， 咱们看一下， 比如，哎，这个图形好，咱们看一下，那这个角 a 加上角 b f、 c 好， 就等于角 d b、 f 加上角 f、 c、 e， 这个怎么正呢？好，咱们来看下边这个图形， 你会发现还是不相邻的一个扇形，一个外角是不等于不相邻的两个内角的和 一个散心的，这个外角是不等于两个不相邻的内角和，所以我就证完了两个子角是不刚好就等于这个角加上这个角。好，这是详细的证明过程。 来，咱们来看模型时，双角平行线模型好，第一个叫内内模型，也就是当两个角平面都是内角平行线的时候，它相交于点 d， 那 么点 d， 这个角 d 就 等于九十度加二分之一角 a， 怎么推呢？其实我发现这个角 d 啊，加角二，加角四，是不是一百八十度？ 好，接下来这个角 a 加上角一，角二，再加角三，角四，是不是也是一百八十度，是吧？然后呢，角一等于角二，可以写成角 a， 加上二倍角二， 角三等于角四，可以写成二倍角四等于一百八，再加上刚刚推的角地加角二加角四等于一百八，这两个式子把角二角四消掉，怎么消呢？让二式乘以二和一式作差，然后整理完之后就把角二角四消掉了，也就是能得到角一角地的关系，我就整完了。 好，再来看第二个内外模型，也就一个角是内角平行，一个角是外角平行，所它所相交点 d， 那 么这个角 d 就 等于角 a 的 一半，哎，就是这个结论，咱们看这个怎么正呢？这个用的是一个四方形的外角，等于不相邻的两个内角合，你会发现这个角四是不等于角 d 加角二 a， 哎，第二个，你会发现这个角三加角四是不等于角 a 加上角一角二， 对吧？然后呢，角一是不等于角二，可以写成 a 二倍的角二，角三是不等于角四，可以写成二倍的角四，所以就形成了这个式子。那接下来角地加角二等于角四，把角二角四交掉，怎么消呢？让二式乘以个二，然后跟一式作差，然后整理完之后，就只剩下角 a 和角 d 了，我就正完了。好，接下来看下一个 y y 模型 a， y y 模型就是两个外角平行线相交于减 d， 那 么这个角 d 就 等于九十度，减二分之一，角 a 跟刚刚那个恰角相反，而这个怎么正呢？好，看一下，这个也是，你又翻角二加角三加角 d， 是 不是一百八十度？ 好，接下来还有就是有一个，你会发现我这个角加上这个角是不等于角 a 加上一百八。好，也就是这个式的了， 您翻页。然后角一是不等于角二，角三是不等于角四，所以可以写成二倍的角二加角三，也就是这个三式好，再加上刚刚咱们说的角二加角三较角 d 等于百八，把这两个式子得当度的角二角三消掉。怎么教呢？你只需要让四式乘以二乘以二之后，然后呢跟三式作差，整理一下我就出来结果了。 好，接下来继续看十一个模型 case 模型 case 模型讲究一线三垂直，就一根线上有一个垂直，两个垂直，三个垂直，并且它告诉你了 a b 等于 a d， a b 等于 a d， 然后你又发现这个角一加上这个角三是不九十度，角一加角二又又是九十度，所以发现角二是不顶就等于角三好，角二等于角三的话，那你这两个三角形是不就全等了？ 全等完之后。好，接下来全等完之后，你就会发现这个 a e 是 不就等于 bc 好， 这个 a c 是 就等于 d e， 所以 我的 c e 是 不就等于 d e 加 bc 了，也就一个红的加一个紫的好。还有，如果说是这种一线三垂直的话 a， 那 么它结果什么呢？还是你主要的就是正这两个三角形它是全等的 好，全等完之后，所以就会发现 a e 是 不就等于 bc， 然后呢， d e 是 就等于 a c， 所以 c e 等于 a c 减 a e， 那 a c 等于 d e， a e 等于 bc， 然后就挣完了。好，接下来看。 哎，第十二个手拉手模型手拉手模型的结论非常多，咱们一一讲解。什么叫手拉手模型呢？第一个，它的条件是 c a 等于 c b c d 等于 c e， 并且两个的顶角相等，那么这种模型都叫手拉手模型。好看一下，那它怎么去证明呢？ 好看，首先第一个它全等，你会发现这个 bc 是 不是跟 a c 相等？ 哎，还有呢，这个 c d， a 是 不是和 c e 相等？再加上这两个大角它是不是相等？所以你会发现我把这个 b、 d 一 封，然后我把 a、 e 一 封，这个红的扇形跟这个紫的扇形是不就全等？好，全等完之后，我第一个正完拉第二个， 好，他说这两个这角 o， 哎，这个角 o 肯定等于它那个顶角度数，又等于这个角 b c a， 为什么呢？哎，这，又发现你这个角四是不等于角五，因为刚中全等了呢？ 然后呢，这个对角出来相等，所以你会发现这个八字模型 a， 这个八字模型当中的这个角 o 是 不是跟这个角 bca 就 绝对相等了呀？是吧？这个非常的简单呢。然后接下来咱们继续这个就正完了。 o c 是 不是平分角 b o e？ 好， 还记得吗？刚刚咱们说的这个三角形 a、 c e 和这个三角形 b、 c d， 它是全等的呀？好，全等完之后你会发现，我做对应边的高，就这个 c m 和这个 c n， 这叫对应边的高就相等了，对应边高性能的它绝对在角平行线上了。为什么呀？因为一个点到两边的距离相等你那，所以这个点 b 在 角平行线上，所以我就正完第三个了哈，接着居气，然后第四个，第四个说，这个 c g 呀和 c f 相等，这个怎么正啊？ c g 和 c f 相等，您发现 这个 c b 呀，是不是等于 c a 呀？ a， 然后呢，这个角四啊，是不等于角五啊？ 还有什么，就这两个角是不是都等于六十度啊？那所以我所形成这个紫的三角形跟这个红的三角形是不是就全等了？全等完之后，这个 c j 是 不是跟 c f 就 相等了？我就完事了？好，所以我第四位整完了，然后再看第五个，第五个说的呀， 哎，第五个，他说这个角是等边散型的，肯定了，因为 c g 等于 c f 嘛，这个角六十度啊，所以这它是等边嘛？好，第六个等边之后，它就是六十啊，那所以它是六十，那所以它和它就是内错角 a， 所以 说 g f 就 和 b 就 平行了嘛，所以就正完了。 好，接下来咱们继续讲模型。十三倍长中线，模型也倍长，中线呢，就是我把一个三角形当一个中线进行倍长，有中点可倍长，然后倍长之后出八字嘛， 因为我把这个 a d 来背长到了 d e， 然后 d e， b e 呢？又等于 d c， 所以 说你会发现我这两个三角形，它是不是就全等了？因为还有个对顶讲的，对吧？全等完之后，哎，我第三步就正完了， 然后呢，你就会发现，全等完之后，这个 a c 跟 b e， 它是不是就相等啊？哎，跟这个 b a c 跟 b e 相等之后，而然后呢，它这个 a， 这个这个角是不是角 d a c 相等，所以说 b e 和 a c 是 不是就平行了？ 当中一组对边平行且相等四边形，那就是平行四边形，所以我这第二个月转化了，对吧？哎，然后咱们再继续看，哎，因为这个 a c 呀，这个等于 b e， 哎，所以你会发现 a b 加上 a c， 其实就是 a b 加上 b e， a b 加上 b e 是 不是大于二倍的 a d 啊？三角形的三边关系，然后再把二除过去，我是不是第一个就挣完了？好，接下来再站在更高的层面看这个倍长中线，其实就是倍长中线就是倍长，所有共中点的线段，所有过中点的线段，我都可以倍长。比如说 a， 我 把 e、 d 也倍长，我是不形成这么一个八字结构， 然后呢？我把 e、 d 再倍长，是不形成这么一个八字结构，然后我把 e、 m 再倍长，是不形成这么一个八字结构。哎，然后我就可以看到这个倍长中线的作用了。好，进来继续。咱们看第十次平行线中点模型， 也就是如果有一条平行线，然后呢，中间出现了一个中点，就 e、 f 是 中点 o， 然后有中点有平行，那么清晰延长就能行。好，你只要延长，你又发现这个 o、 p 不 就跟 n、 q、 o q 相等吗？所以我是不又形成这么一个八字结构。 好，八的结构它就是全等的了。好，这些详细的证明过程。好，接，咱们继续看雨伞模型。雨伞模型就是如如果 a、 p 是 这个角 b、 a、 c 的 角平线，然后又告诉你个垂直， 哎，既垂直又是角平线，那么它肯定就是中线了。也就这个 a、 o 是 不是三线合一当中一个非常重要的一条线，那么把它放到哪个三线，哪个三线就等幺，然后我只需要把 b、 o 延长到这儿，你又发现这个 a、 b、 o 和 a、 d、 o 全等，为什么呀？哎，因为你可以正这个 a、 b、 o 和 a d、 o 全等嘛。 哎，签到完之后，让 a、 b 就 等于 a、 d 了，同时 o、 b 都内，就等于 o、 d 了，因为它是个中线嘛。哎，这是详细的证明过程。好，接下来咱们继续好看模型十六，这个非常非常重要，叫半角模型。 半角模型就正方形当中本来九十度，它非得出得四十五，哎，那疼，那么它就是半角了。好，第一个结论，这个 b e 加 df 等于 f， 怎么去证呢？哎，咱说，你把这个 a、 d f 呀，把它旋转，哎，旋转到 ab g， 好，你又发现 a b 和 a d 相等，所以肯定能转了，是吧？转完之后，然后你又发现，哎，这个红角，哎，我这个角你是不是就转这来了？ 哎，然后呢，这个红角加这个直角是不是 e？ 是 不是九四十五度？所以这个红角加这个直角是不是也是四十五度？这个是不就四十五，哎，这个是不四十五？ 然后 a e 又等于 a e， 你 这个 af 又等于 ag， 那 所以所形成的这个三角形 a e、 f 和这个 a g e 是 不是就全等了？去吧？啊，全等完之后，也就是说我现在费了很大力气证明了这个 黄的和这个粒都是全等的。全等完之后，你这个 b e 加 d f， 你 这个 b e a b e 加 d f 是 不是就变成了 b e 加这个 g b 了？那它和 e f 呢？绝对相等啊，因为刚我不正勾了吗？是吧？第二个， 他说 a b e， 这个 a b e， 这个三角形的面积和这个 a、 d、 f 的 面积，它这个相加是不是就等于这个黄的，这个黄的面积和这个绿的面积，它就绝对相等了，对吧？好看，第三个， 好，第三个说这个周长，这个周长很有意思啊。这个，呃， c c f 的 周长，您翻这个 e f 这个边呢？是不是摊成了 e f 和这个 f d， 把它分成这两个线段了， a 再加上本身就有个 c e 和 c f， 那 所以 a 这个 c、 e、 f 的 周长是不是就等于二倍的边长啊？好，我就挣完了。 好，咱们继续再看 a， 说第二个结论，说这个第二个，然后 a、 e 平分角 b、 f， 这个很简单，因为咱们刚刚正过了嘛，这个，这个，这个红的和这个绿的是不是全等？全等完之后，这个角一是不是等于角二？那所以角一等于角一，等于角二等完，那我这个 e、 a 不 就是角平行线吗？ 同理，我这个角三跟角四是不也能证明相等？相等完之后，这个 fa 是 不是也是角平行 a， 所以 我就把它记住就行了呀。还继续，继续第四个， 第四个来，这个 a、 h， 哎，这个如果出现半角模型，哎，我往这个 e、 f 做个高，这个 a、 b 相等了呀。啊，这儿咱们当上上一个模型啊。 咱们说刚刚我已经说了呀，这个绿的和这个黄的是不是相等？相等全等完之后，它对应边是不是 也相等啊？对应边就是，比如 e、 f 对 应边上的高，那跟这个 a、 b 对 应边上的高，对，这个这个 a、 b 这个高是不是相等？所以 a b 和这个 a、 h 是 不是就相等了？ 那所以这个 a、 b 和 a h 是 不是就相等啊？那我就证完了呀？是吧？看第五个，而第五个呢？他说的是，如果说我把这个 a、 b、 d、 a 连起来，连起来之后我会发现这个 b m 的 平方和这个 d、 n 的 平方 a 就 等于这个 m n 的 平方，也就这个结论，这该怎么证啊？ 来，我还是我把这个这个三角形 a、 d、 n 转过来，转到 a b g， 因为 a b 和 a d 相等，嘴肯定能转过来，转过来之后你会发现还是那个问题，哎，刚刚这个红的，哎，加上这个紫的是不是四十五度，而这红的被转哪去了？红的被转这来了，所以这儿是个四十五度，这儿也是个四十五度。 四十五的话，用 a m 等于 a m， 然后 a n 的 等于 a g， 所以 所形成的这个 a m 等于 a m， 它是不是转到 g m 了呀？ m n 转 g m 去了，然后这个 d n 转哪去了？哎， d n d n 是 不是转这来了啊？转这来了，所以再加上这个是四十五，这个四十五，这个是不是也角 g b m， 这个是不是九十度啊？这个九十度的话，那所以这个 b m 方也加上 b j 方就肯定等于 g m 方嘛？ 哎，然后呢？哎，我，所以我就正完了嘛说，哎，这就想起了一个证明过程，好，家人们看第十七个模型叫斜式引定律。什么叫斜式引定律呢？这个咱们在初中经常遇到，也就是说， 哎，他告诉你角 b a p 等于角 b c， 哎，角 b a p， 哎，等于角 b c a 等于这个角。你有发现，因为角 b 等于角 b， 所以 说 a 可以 轻易的得到这个 b a g a 是 不是和这个大的 b c a， 它就相似？相似完之后你会发现这个 b a， 哎，对应的谁啊？对应的是不是 b c， 然后呢？这个 b p 定的谁？ b p 定的是不是 b a？ 哎，然后对面乘比例，然后我再交叉相乘吗？ 交叉相乘是不？ b a 方就等于 b p 乘以 b c 了，所以我可以这个齐面。这个斜式影定律就是如果说两个三角形相似，并且共边共谁啊？共 b a 共 b a 共谁？ c 平方，那共 b a 的 话就是 b a 方等于 b p 乘 b c， 这跟式影定律是不很像，所以起了个名字叫斜式影定律吗？ 好，接下来咱们一口气讲完将军引马的十种考法。好，第一种啊，什么？什么叫将军引马呢？说有两个定点，也分布在河的两侧，其中这个河上呢？ l 上有一个动点。屁，那让你去求 p a 加上 p b 的 最小值，这种叫将军引马问题好，咱们看一下， 那什么时候最小呢？你又发现这种比较好做，直接把 a b 相连， a b 相连之后，哎，与若合相交于点 p 点，那这若 p a 加上 p b 绝对最小，对吧？好，看。模型二，那如果说两个 a 和 b 两个定点在和的同侧，这个 p 点还在合上，这个手仍然让你去求 p a 加上 p b 最小值，这该怎么办？哎，你又发现 p a 加上 p b， 你 可以代替你把 b 点关于和对上它 b 撇，这时候 p b 是 不就永远等于 p b 撇了？那所以 p a 加 p b 就 变成了 p a 加上 p b 撇的问题。 p a 加上 p b 撇什么最小啊？哎，咱们说刚刚你讲过了，直接相连呢？直接相连就是最小值。好，那这个 p 点就在这里，最小值呢？就是 a b 撇。好，所以我就求完了。大家来看 模型三，模型三的形容有个角 a o b， p 点为角 a o b 内的一个定动点，一个定点，那 o a 和 o b 上有两个动点 m n， 但求 p m n 的 周长最小值。哎，你发现 p m 的 周长是不就 p m 加上 p n 再加上 m n 呢？其中 p m 可以 替代我只要把 p 关于 o a 对 称到 p 一， p m 是 不就等于 p e m。 好， 我 p 关于 o b 对 称到 p 二，那你 p n 是 不就等于 p 二 n， 那 所以这个就换成了这个了？好，再加上 m n， 你 会发现 p e m 加 m n 再加 n， p 二什么最小啊？是不把 p 一 和 p 二直接相连最小啊？好，所以这个时候你就知道了，最小值就是 p e a p 一 p 二。 好，那再来看模型四，模型四呢，是心如有，还是一个角，其用 m n 两个定点，其用 o a 和 o b 上有两个动点 p q， 让你去求这个周长四边形的 周长最小值。你看这个四边形是不是还是跟咱们刚刚讲那个同理的，它是不是 m n a 加上一个 p m 再加上一个 q n 再加上一个 p q 的 问题？ 你又发现我这个 m n 绝对是没有办法动的。 pm 是 不是可以有？把 m 关于 o n 对 称到 m 撇儿，那是不就是 pm 撇儿了？ 好，再加上你 q n q n， 你 是不是可以把 n 关于 o b 对 称到 n 撇儿，那 q n 是 不是就是 q n 撇儿， 再加上 a p q 被，这个时候你突然发现了，跟我刚刚处理那个一模一样了，是吧？也就是说这三个相加 a p 撇， m a 加 p q 再加 q n 撇是不最小？是不直接相连？最小 直接相连，这个时候 p 点在这儿， a q 点在这儿，所以它的最小值就是它肯定大于等于 m n a 再加上一个 m 撇 n 撇，这就它最小值。好，接下来咱们来看 m n， 看一下模型五。模型五呢，是形容 a p 点还是角内的一个定点？ o a 和 o b 上两个动点 m 和 n， 但是按去求的不一样了，求的是 pm 加上 m n 的 最小值好，还是你发现我只要把 p 关于 o n 对 成到 p 撇儿，你这个 pm 是 不永远等于 p 撇 m 了？类似于 pm 加 m n 是 不等于 p 撇 m 加 m n 了？ 那 p p m 加上 m n 是 不就直接相连呢？ p p n 呢？哎，就是 p p n 最小， p p n， 你 犯 p p n 的 线段很多碳去求最小值，最小值是不就让 p p r n 垂直于 o b 啊？所以最小值就是 p p n 垂直的时候它最小。好看模型六，模型六它就变了，变了一个花样了， 是有两条河， a l 一 和 l 二，其中它平行河的宽呢？是 p q， 它是不动的，这个时候让你去求 a p a， 让你去求 a p 加上 p q 再加 q b， 什么是最小的问题？这个时候比较固定啊，咱这个做法还是 你就想，我就把这个定点 a 向前推进。河宽。什么叫河宽呢？就是 a a 撇儿等于 p q， 为什么呢？因为这个时候你发现它们相等且平行的，这个是不就都平次边形了？哈？平次边形的话，那你想想，我 ap 是 不就等于 a 撇 q？ ap 是 不等于 a 撇 q 好，那我 a p 加上 p q 是 不就是 a 撇 q 加上 p q 再加上 q b 了，对吧？我 a 撇 q p q 可以 念，这个是不能编的，这个是个和宽，对吧？能变的是谁啊？ a 撇 q， a 撇 q a 加上 q b 什么最小啊？是不直接相连，最小直接相连 a q 点就在这儿 好，所以它就大于等于 a 撇 b 直接相连 a 撇 b 再加上 p q 好， 这个是详细的证明过程，它就是这么做的。好，记下再看。那如果我辨认这种程度， a a 和 b 在 和的同侧，刚刚是异侧在和同侧了，那这个时候还是按去求 a p 加上 p， q 加上 q b 的 问题。 这什么时候最小？这个时候是一样的了，你只需要把 a p， 我 a p 怎么办呢？你把 a p 对 称到 a p 啊， 那你 a p 加上 p q 加上 q b 的 问题，是不又变成了 a 撇 p 加上一个？哎，这这这呢？ a 撇 p 加上 p q 这样 q b 问题了，这跟咱们刚刚讲的没啥区别。那怎么做呢？还只需要把 a 撇推进 a 撇撇推进什么？推进 p q 的 长度，这个是不又个平次边写 平行四边形 a 内，你发现 a 撇儿 p， a 撇儿 p， 是 不是就变成了 a 撇 q， a 撇撇 q， a 撇撇 q 加上 q b 再加上 p q， 有 没有问题？这俩什么时候最最小啊？那就是把这个 a 撇撇二跟 b 相连啊， q 就 在这儿，是吧？最小值是不是就 a 撇撇 b a 加上一个 p q 啊？ 哎，咱们要学会类比。接着再看将军仪码，还有一种不止和的最小值问题，它就说让你去求差的最小值问题啊。这个更简单， 比如说 a 和 b a 是 两个定点，在和的同侧， p 呢，是在 l 上一个动点，第一个让你去求 p a 减 p b 什么最小？嗯，最小？那就是零呗，零的时候就让我让 p a 等于 p b 啊，这种情况怎么就能实现了呢？做 a b 的 垂直平分线呢？ 垂直平分线相交于 l 一 点 p， 哎，我就搞定了嘛。是啊，看模型二，模型九， a， 模型九是同样 a， b 是 在和的同侧两个定点， p 呢？是合上一个动点， p a 减 p b 的 最大值。最大值是什么？最大呢？你发现这是不是一个三角形？ p a 减 p b 是 不是属于是两边之差？两边之差是不小于 a b？ 我 又没有说它可以形成三角形，不形成的时候是不共线的时候刚好等于 a b 啊。 所以当 a b 直接延长 a 交于这个点， p 就是 咱们求的那个 p 点，这时候你发现 p a a 减 p b 不 就是 a b 吗？所以最大值就是 a b 了， a 过就搞定了。 好，再来看，哎，这个时候它如果 a b 叉的时候， a b 分 布在核的两侧都是定点 a p 点是合上一个动点还是 p a 减 p b 什么最大？哎，我怎么搞？我搞不定啊，这时候怎么办？你只需要把 b 把这个 b a 关于这核对正过几对，它要 b 平啊。 你发现这个 p a 减 p b 的 问题，哎， p b 撇是不永远等于 p b 啊？哎，那是不就 p a 减 p b 撇 p b 撇的问题了？这个是不跟咱们刚刚讲的模型九又一样了，小 e 等于什么呀？小 e 等于 ab 撇， 哎，那有 p 在 哪儿？把这个 ab 撇相连吗？让这个 p a b 撇三点共线的时候最大呀？是啊，哎，那我就把所有的将军码模型讲完了，你学会了没有？ 接下来咱们来看模型十九海盗埋榜模型，也叫逆旋转相似啊，看下这种模型特点，第一个，它形容的是两个等腰直角三角形再进行旋转啊，比如说三角形 a d c， 这个是个等腰直角三角。再来看三角 c b e， 这个也是等腰直角三角形。 第二个特点就是它共顶点，比如共 c 啊，进行旋转啊。第三个，若它另外两个底角也就这个 d， 是 不另外两个底角和 e， 把这另外两个底角相连下来之后，取它终点 f， 一 旦取点 f， 终点 f 的 话，那么跟它这个顶点相连，也就是 f b 和 f a 这两个相挨之后呢？ f a 和 f b 相等，并且它的夹角是直角，也就是说它所形成三角形 f a、 b， 它绝对就是个等腰直角三角形。好，接下来咱们就开始证明这个事情。好，首先咱们来看，我就需要把 d a 关于 a 对 称对称到 p， 也就是 d a 是 不是等于 ap 啊？另外我这个 e 点关于 b 对 称到 q， 也就说 e b 是 不等于 b q 啊？ 所以你会发现对称完之后呢，这两个角四十五，它也值四十五，那所以它是不就垂直？好？那所形成的这个 c e q 它是不就是个等腰直角三型？另外 这个角是不四十五，对称完之后，这个角是不也是四十五？所以说所形成的这个 a 三角形是不也是等腰直角三型？比如它垂直的好，你看一下这个红的和这个紫的，是不就叫手拉手模型的全等旋转了？如果不知道手拉手全等旋转，可以看我上一期更新的十八个模型，其中有一个手拉手 好，那你看一下手拉手模型旋转，那我们，那我们看一下锁形的这个 p 是 不是叫左手啊？ e 数也是左手， p 和 e 相连是不是叫左手拉左手好，另外再看，那你这个 d 是 不是右手？ q 是 不是右手？那你 d q 相连是不是叫右手线？ 好，那你 d q 和 p e 绝对相等，绝对相等。好，相等完之后，那你再看一下，那我最后，哎，最后再证明一个事情，那你看一下这个 pe， 因为我已经知道了， pe 等于 d q 也有两个拉数线相等 pe af 是 不等于 pe 的 一半，因为 af 是 pe 的 中微线，对吧？然后呢， f b 是 不等于， 然后 d q 的 一半，因为 f b 也是中微线，所以 fa 和 f b 是 不应该相等。另外咱们还知道拉手线加角等于顶角度数，顶角是直角，直角，所以拉手线 d q 和 pe 是 不就垂直啊？那你想一下， f o 和 f b 呢？也垂直啊， 所以我就证完了， f a b 就是 个等腰直腰散型了啊，这个就是一个详细的证明过程。好，接下来咱们继续看模型。十二坡罗墨迹的模型，也叫坡式模型，哎，这它是由三个模型 衍生的。咱们来看第一个模型，垂直垫中点什么意思呢？就是 a b c， 哎，这个 a b c 和这个 d b e， 它叫共顶点旋转啊，等腰直角暂行，共点旋转，因为它们是直角。好，另外呢， a、 b， c 和 d b、 e 都是等腰直角暂行哎，它共 b 对 应就有旋转。旋转的话，它有个特点， 若 m n 垂直于 c e， 也就是若这个要是直角，那么把 m b 进延长，延长了之后所教育 a d 有 点 n， 这个 n 肯定是终点，肯定终点。好，第二个结论就是 c b e 和 a b a b d 边相等。第三个就是 c e 等于二 b 的 b n。 好， 记下，咱们去证明一下。哎，它这几个结论为什么就成立呢？好，记下，咱们看，我只需要把啊 b n 它进行延长，延长了之后，我做两个垂直， 我让 b、 q 垂直于这个线，然后让 a、 p 也垂直于 m、 n 这个线。好，那接下来去看一下，因为我这儿垂直，所以我所形成的这个， 这是不也垂直，这是不也垂直？那这个是不叫一线三垂直啊？对吧？一线三垂直所形成这个三角形和这个三角形是不就全等啊？好，同样道理，那我所形成的，因为这是垂直的，这是垂直的，这也是垂直的，那我这个是不就也叫一线三垂直啊？ 一线三垂直所行的这个三角形和这个三是不也全等啊？好，全等之后我就好说了。全等之后，大家看一下我这个 bm 跑哪去了？ bm 是 不是等于 ap 啊？这个三弦 bm 跑哪去了？因为这两个蓝的全等 bm 是 不是到了 dq 啊？ 好， ap 等于 dq， 再这样它都垂直，那所以所形成的这两个三角形，小的三角形 d、 q、 n 和 a p、 n 是 不全等，全等完之后，那你 n、 a 肯定等于 n、 d 啊，那所以我就证完了， n 肯定是终点呢，所以这个是详细的证明过程。好，大家来看。第二个结论就更简单了，它说 c、 b、 e 的 面积和 a、 b、 d 的 面积相等， 大家看一下这个 c、 b、 e 的 面积是不是分成了一个红的，一个红的和一个蓝的呀？这个红的是不是咱说全等，这个红的是不是在这儿呢？它就等于 a、 b、 p 啊？ 好，那你看一下，那这两个相加就是不等于这个加上这个呀？这两个相加是不不就是 a、 b、 d 的 面积吧，所以第二个我也就证完了。好，这个是详细的证明过程。好看，第三个， c e 等于二位的 b n c e， 你 看一下，给我把这个擦掉。 好，那重新看一下， c e 是 不等于 c m 加上 me 啊？ c m 等于谁刚刚输了，一线三垂直， c m 是 不等于 b p 啊，对吧？ me 呢？ me 一 线三垂直， me 是 不等于 b n 呢？是啊，所以说 c m 加上 e m 就 等于 b p 加上 b two 嘛。 啊， b p 就 等于 b n 减去 np， b two 等于呢？ b n 加上 q n， 这两个相加一定等于二倍 b n 呢？我就挣完了。 好，接下来看终点变垂直还是 a b c 和 d b 进行共顶点旋转，旋转了之后，他说若 p 是 终点，咱们刚是这儿是垂直，对吧？若 p 是 终点，把 p b 径延长到这儿，肯定垂直。 好，那看一下这个为什么成立呢？好，咱们接下来换一种征法，咱把 b p 进行延长， b p 延长到 pm， 也就是倍长中线。 好，咱们说背长中线，他所构造的是不叫全等模型啊？这个我在上一讲也讲过，也就这两个是不叫全等，全等完之后看一下。那你这咱们目的正这垂直，对吧？这怎么就垂直了呢？好，咱们看， 如果说全等这两个全等完之后给你看一下，那我所形成的，咱说这个四边形是不叫平行四边形啊？咱说被长中线，除了是构造全等，就是构造平行四边形。平行四边形的话，这个角 b e m 加上这个角 c b e 是 不一百八， 你会发现，因为这儿垂直，这儿垂直，这个 a b d a b d 加上 a b d 加上这个 c b 是 不是也是一百八？它这个角加上也是一百八，所以我这两个角是不应该相等？ a 这两个直角应该相等。好，这样再看这两个直角相等，那我给我换一个颜色， 那我看一下我这个 b、 e 是 不是和 b、 d 相等？那进来看这个 m、 e、 m、 e 是 不和 bc 相等？刚刚全等，是吧？那 bc 呢？又和 b、 a 相等？那所以这个 b、 a 是 不是和 m、 e 相等？那我在这儿一封，这儿一封。 哎，所以这个 a、 b、 d， 这个 a、 b、 d 是 不是和这个扇形就全等了呀？好，我就种完了。全等完之后。好，全等完之后，接下来看，非常关键的全等完之后，我这个角在哪呢？我这个角是不就是它？ 好，我这个角一， a， 这角二吧，用钢边角二，这是角一，对吧？这个角一加上角三是也是九十度，所以它就垂直了，所以我就种完了， 对吧？而这第一个结论就是垂直好看。第二个，哎，那 c、 b、 e 和 a、 b、 d 面积相等，哎，这个也很好正吧？刚刚我说了，我这个三角形钢刀不是正了，跟它全等吗？全等完之后再看一下，那我这个三角形不是在这儿呢吗？ 所以我这两个三角形的面积不就相等了吗？是啊，我就证完了。好，这个是详细的证明过程，这里是详细证明过程。好，接下来咱们再看。哎，第三个，哎，就是说我这个 ap 等于二，二， a、 d 等于二倍的 bp， a、 d， 咱们刚输了，全等 a、 d 这个三角形和这个三角形刚，不是正全等了吗？正完全等之后， a、 d 在 哪嘞？ a、 d 数对应的是 b m， 我 b m 是 不是就是 b p 的 二倍，所以说我就证完了，哎，就是二倍啊。好，那接下来再看 最终的破罗模型的模型，演下定例，它在讲什么呢？咱又共你俩旋转，你又发现如果加个圆，它就变得很有意思了，也就说 a、 b、 c、 d 是 一个圆，内接四边形，我这个对角线是互相垂直的，这 b、 d 和 a、 c 互相垂直，互相垂直。那么如果说我其中这儿是垂直的， 这垂直的，那我把 e、 m 径延长到这，我对 f 绝对是终点。这个就是著名的颇治定力。好，咱们来正一下。为什么呢？好，这个，这很简单的，咱们看一下这个角，我们以为角一吧，角一在哪呢？ 角一是不是等于这个角？对啊，这是角 e 在 这呢，角 e 是 不在这呢？哎，再来看，很有意思，立个点，这个角 e， 这个角 e 是 不是在这呢？为什么呀？因为同弧 c、 d 所对的这个角 e 和同弧 c、 d 所对这个角 e 是 不相等啊。 所以其实我就想证明一个事情，我这个角是不和这个角相等。相等完之后， fm 是 不等于 fa， f m 等于 fa。 好， 接下来看，我再操作一遍，我再操作另外一个点，好，看一下，我这个角在哪呢？我这个角，哎，是不在这呢？ 为什么呀？因为 ab 所对的弧所对的角，这两个圆周角是不是相等？再来看我这个红角是不是在这呢？因为他们同时加上这个角都是九十度，所以这个红角在这呢？这个红角对顶角是不在这呢？ 好，那这两个红角是不是相等？相等完之后， f m 是 不等于 f d， f m 等于 f d， f m 又等于 fa， 所以 fa 是 不等于 f d， 那 c f 是 终点，所以我就正完了。好，大家学会了没有？趴下再看第三个 模型，二十一，哎，叫制药三角形锐角平分线模型，什么意思呢？就是如果说告诉你个三角形 a， 制药伞形 abc， 角 c 九十度， a c 是 六， b c 是 八，那么咱勾股定知道 ab 是 十，对吧？如果 ap 平分角 c ab， 那 么求 pc 的 场一般怎么求啊？ 这种咱们一般就是因为角平分线吗？所以我就过 p 点做这边一个垂直，哎，因为角平分定里 f d 是 不是等于 i， 这个 p d 是 不是等于 p c 啊？这两个是相等的，对吧？相等完之后，接下来我就开始了，因为它是六，它是八。好，这个六 a c 是 不等于 a d 啊？所以 a d 也是六，那这个呢？这个九十四啊，用一共是十吗？是吧？一共是十啊？好，那见了带锯看， 那它是六，它是四，那我只需要，哎，看这边啊，那我只需要设它为 x， 那 所以它是不是也是 x， 那 它是不是就是八减 x 啊？所以你所形成的这个算式是不是叫勾股定律啊？ 勾股定律以后解出 x 是 不？解出 x 之后我 p c 是 不就知道了呀？好，至于正常那个思路，再来看一下非正常思路，那如何快速的解呢？好，它们就这么解， 你会发现这个叫角平分线，对吧？咱们学过一个叫角平分线定律，就如果它是角平分线的话，那么我 a c 比上 ab 就 等于 pc 比上 pb， 这个是一定要记住的。 好，进来看，它不是六，它不是十吗？它是六，它是十，那所以 a c 比上 ab 是 不就六比上十啊？也就多少啊，也就是三比上五， pc 比上 pb 是 三比五，那就是它就是三，它就是五啊，哎，刚好 pc 加上 pb， 刚好就是八呀，所以我直接求出来三，对啊，直接求出来就是三，好，那所以我就整完了，哎，这是三对吧。来，咱们继续看模型。二十二， 矩形翻折模型。好，第一种就折在外，什么意思呢？就是当你折叠的时候，把一部分会折在外部啊。结论一，如果是在外部的话，得角一等于角二、角三，然后第二个结论和第三个卷咱们看。 当你折叠时候，咱们记住折叠的对应角和对应边相等，这是永远不变的理论。比如折叠完之后，角二和角一是不对应的呀，再加上因为 ab 平行于 cd， 所以 角二和角三是不是内错角，所以角二、角三、角一全部相等，但这个时候就会出现个等腰，因为角一等于角三，所以 d、 e 等于 df。 再加，因为折叠的关系， a、 e、 d 是 不由 e、 b 折过来的呀，所以记住 e、 b 等于 df 等于 d， 也就是第二个结论也就成立了。第三个， f、 c 等于， 然后 f h， 这也是折叠之后对应变相等， f、 c 和 f h 相等，所以说就成立了。看第二个结论，有的时候它折叠的时候会折到外部，是折成下边这一桶， 哎，会折到下边这种图形的形式，这种，这个数，你要记住，三角形 a、 f、 e 和三角形 c、 b 是 全等的。那怎么回事呢？咱们看一下，因为你折的时候还是对应角相等，那这个角一是不和角二相等啊，应发现角一和角三也相等，又是内侧角，所以角二和角三相等。所以说 e、 a 是 不等于 e、 c 啊， e， a 等于 c， 所以 第二个结论就成立了啊。第三个， e， a， c 等于角 e c 也就成立的只有角二等于角三。看第一个结论，第一个结论，你会发现 a， e， a 等于 e， c 对 顶角相等，这儿有个直角，所以说这个三角形 f， b， c 和 a f、 e 是 不是又全等了呀？所以我第一个也就正完了。 好，咱们来再看。说折在里，折在里的时候，第一种折叠就是类似于这种图形，就是当你折的时候，把这个 e 点 d 点是对应着 e 的， 然后折到了 a、 c 上，然后就以结语把 a、 d， f 折到了 a， e， f， 这如你发现有几个结论呢？哎，首先就是 c， e 等于 a c 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之后， a d 数跑到 a e 了呀， a d 等于 a e 的， 所以 你这个 c， e， c， e 是 不都等于 a c 减去个 a， e 也等于 a， c 减去 a d 啊？所以这个决定成立了，是吧？另外， c f， 你 发现 c f 的是不等于 c d 减去 e f 呀？因为 c f 本来等于 c， d 减去 d f， 你 d f 是 不就等于 e f 呀？所以就等于 c d 减 e f， 所以 这个也就成立了，这个比较简单，对吧？ 可咱们再看，如果你在折叠中像结论四类似于它制成这种形式，你折完之后，你这个地点对应点折掉了 g， 这个 g 刚好是 e， f 是 它中间那个折痕。这个时候你要看一下 a j 等于二倍的 a， e， 这个怎么回事呢？你看一下，咱们还是折叠对应角相等对应边相等对应边，是不就是 a d 和 a g 是 对应边了？ 哎，你 a j， 你 这个时候你发现 a j 是 不就等于 a d， 然后就等于二倍的 a， e 啊， 二倍的 ae 了，那所以说 a 第一个结论成立了。再来看被这个三角形 a， e， g， 这个三是直角三角形，如果 a， g 等于二倍 a， e 的 话，那你角三是不是等于三十度啊？因为三十度所在的角边等于斜边一半，所以说角三等于三十度。 好，再来看，那你角一是不是等于角二？因为折的对应角相等，所以角一等于角二都等于三十度，所以说我这个第二个结论也就成立了。 好，再来看模型二十三，赵爽衔图模型赵爽衔图模型，也就是说在咱们在科内学的那个啊，这个折的那个模型。好，进来看一下，说在正方形 a， b， c， d， 哎，内部，然后在 a， b， b， c， d， d， a 上分别取 e， f， g， h， 然后如果说 be 等于 c， f 等于 g， d 等于 a， h， 那 么 e， h， g， f 就是 个正方形，这个比较简单，是吧？你比如说咱们举举一个例子， be 等于 c f， be 等于 c， f， 然后再来看，那你发现这个是直角，这个是直角。好，那再来发现这两个直角呢？那你看一下我这个三角形， 这个三角形是不是和这个三角形它就怎么样，它是不是又全等了呀？哎，全等完之后，那所以 e， f 是 不是就等于 g， f 啊？同理也等于 f， e 也等于 h g， 所以 这个就成了正方形了，所以我就正完了，是吧？这是详细的一个证明过程。我再来看二四 风吹竖折模型，这个都属于是勾股定律的一种应用啊，这个属于勾股定律的一种应用，咱们在勾股定律那经常遇到这种，哎，应用题， 好，咱们看一下说什么意思呢？就是 a， 它形容一个竖给好好的被风一刮给折了，折完之后它这个底部距距离这个，呃，这个折的那个地点是三尺，也就这个地方是三尺， 那你一看发现，哎，这种咱们用勾股定力结建方程，比如说咱们说折断后的那个高度是 a x， 也就这一段是 x， 哎，总的高度呢？总个高度也就是十，哎，又竖的高度是十，那么这一段是不就十减 x， 那 所以这个是不会形成的勾股定力，用它有个直角，对吧？你这 x 方加三方， a 就 等于十减 x 方，然后追截的 x 就 等于四点五啊，所以风吹竖轴形是勾股定力的一个应用。再看， 出水芙蓉也是购物定，你经常会用到这种模型，什么意思呢？也就是有这么一块芙蓉，然后呢，它出水三尺，什么意思？你就这一段 a b 出水三尺，用它漏在水面上三尺嘛？ 然后接下来一风一吹把它吹倒了，吹倒之后呢，它，哎，这个风吹花朵起水面就刚好，你这个 b 点就到了 c 了，这个 c 杠跟水面是相齐的， 晚上后水面移动六尺，也就是移动一共移动六尺啊，求水深。诶，这个计算好，这个时候你看一下，那我我可以直接设 a a p 为 x， a p 为 x 值， 那发现 p b 是 不等于 pc， 因为它倒了嘛，都等于 x 加加三，所以这段是不是 x 加三？好，那你看一下，因为 a， 它是不是加上 a c 方就等于 pc 方，是吧？ pa 就是 x 呀， 然后 a c 呢？ a c 就是 个四啊，啊，然后呢，这个 p c 呢，就是 x 加三呢？所以直接解得 x 就是 四点五，所以我就解完了，对吧？ 好，再来看，我想二十六、三七八和五七八模型，这个非常非常重要。有时候咱们在做一些平面几何题的时候，你一定要足够的敏感，比如说你看到三七八就三个边长嘛？一个赛线三个边长是三七八，还有五七八的时候， 你看这两个，你要瞬间想到其实这两个三角形一拼，刚好就能拼成一个等边，那刚好就能拼成一个八的等边三角形，为什么呢？咱们可以尝试一下， 哎，比如说有这么一个三角形，等边是八八、八，然后呢，你会发现我这边做个勾，这儿做勾，然后因为它是八，它是四，所以直接可以求出 a、 d， 对 吧？ a、 d 勾股定律， a、 d 就是 四根，四倍根，三四 b 跟三。好，你再看 e、 d， 这个 b、 d 是 不是四？ b、 d 是 四的话，这是三，那这是不就是个一，这就是个一。所以说你在用勾股定律求的时候，你会发现这个三角形，这是四 b 跟三，这是一。所以勾股定律是不是直接可以求出 a、 e 啊？ a、 e， 你 求完之后发现 a、 e 竟然就是那个七， 所以说看到三七八和五七八模型一定要足够明满炭足够的敏感，它们一旦一拼就是一个等变三角形。 好备好，咱们继续进来看蚂蚁爬行模型，哎，这也是勾股定律，那块经常会导出蚂蚁呢，比如说从这个，哎，一个这个长晶体从这开始爬， 我怎么爬爬爬，爬到 n 距离对短呢？这个时候你要去折开，去把它给折成个平面图形，比如说第一种折法，这么折， 那折到这种图形，折到这种图形折完之后呢？你会发现，也就相当于是把哪个盖，把那个上盖掀开，是吧？把这个上盖掀开之后，你去求 m n， m n 是 不就是 c 的 方加上 a 加 b 的 平方，也就是这个， 哎，就是 m n 方啊。当然如果说从 m 到 n 不 止这种折法呢？还要怎么折啊？你看 a 和 c， a 和 c 在 一块，也就是说把这个图形向这边翻， 把它翻成平面儿，翻成平面儿之后，诶，这边儿就是个 b， 这边儿就是 a， c 好 a c， 那 所以说在 a 的 方加上 b 的 方，加上 a 加 c 的 方，就等于 m n 的 方，就是这样的，那还能怎么折呢？还能就是我把这个盖儿这么着显开，这么着显开，让 a 和 c 重合， 也让 b 和 s， 让 b 和 c 也延长一个线，也就是说 ab 和 c 啊，这儿是 a， 所以 说 b 加 c 的 扩扩入平方，再加 a 的 方，就是 m n 方，就这样的。所以咱们真正你说从 m 到 n 怎么最短呢？你说要比较这三个呀，比较这三个好，哪个最短 啊？但是你要记住有一个技巧，就是说他一般给你三个边，就 a 一个长方体， abc 是 不？他的三个棱长，三的棱长你，你要记住， 你就让最长那个边单独，然后让另外两个边相加，那这个平方就最小了。比如说给了你一个二三四， 他问你那个 a b 的 最小值是吧？或者是 m n， 他 那个最小值怎么办呢？你就记住一个开根，你让最大，那那个单独，然后让另外两个边合在一起，哎，这个就没有最小值，就非常的简单，好，大家看有的之后呢？他在想，哎，这个圆筒， 这个圆筒蚂蚁怎么从 a 爬到这个 b 呢？你需要绕一圈爬，怎么爬呢？还是把它展开展成这么一个矩形，展成矩形之后从这儿就直接爬过去了呀，是吧？直接爬过去了， 然后这边 a 一 a 二，是不就是那个圆的周长，这个是不就是那个圆筒的高？所以说圆的周长，圆筒的高，然后组成一个勾股定，你直接求 a 一 b 就 可以了。好，还有一种就是面 a 怎么到 c 最短？即到 c 最短的话，你就想 c 刚好是在对面，是吧？对面的话，也就是说你把它展开展开之后怎么办呀？你走一半啊，这个就是那个圆周长的一半，这个还认得筒的高。勾股定律，组完之后直接求它来一个这个边长就可以了。好，再来看。还有一种， 他说还是蚂蚁吃蜂蜜，咱说蚂蚁吃蜂蜜是不直接过去？行了？他这个不是，他说蚂蚁从 a 沿着外壁爬行，在他那个蜂蜜呢，是在那个桶的里边呢， 在桶的里边，也就说你必须从 a 翻过去这个桶，然后再过去里边去吃到这个蜂蜜，这个时候他说 a 从 a 走到这个桶的边缘，然后再翻过去，这条路程最短，哎，这个怎么办呢？哎，这个时候咱们就记住，首先第一个还是把这个桶展开， 把这桶展开之后，它还是这么一个长方形，对不对？长方形就你要知道这个 a 怎么走，这个 a 怎么走？ a 是 不是必须得先到这个桶的边缘呢？因为要不它翻不进去嘛？到桶的边缘之后，然后再在桶里边再走到 b， 是 吧？也就是说求的是这一段这两个绿线的场，比如这儿是 m 吧，求的是 am a 加上一个 mb， 这两个线段长的最小值，该怎么求呢？这就是咱们非常熟悉的叫什么将军仪码模型，我在上一讲已经讲过了，将军仪码的模型 好，怎么办呢？这两个绿线，我就是把这个 a 沿着这个线给它对称到 a 撇，然后呢，我 a 撇 m 加上 mb 就是 最短，什么最短呢？这样 a 撇 mb， 这三个点共线，我就是 a 撇 b， 好， 我就求完了，对吧？ 咱们继续讲 a、 d 二十八个模型叫垂美四边形。什么叫垂美四边形呢？只有个四边形了，它对角线互相垂直，正叫垂美四边形。好，它结论是什么呢？ 结论就是对边的平方和相等，比如 ab 方加上 c 地方， ab 方和 c 地方是不是刚好对着一组对边呢？就等于 ab 方加上 bc 方，就等于 a、 d、 c、 d 面积就就等于二分之一的 a、 c 乘以 b、 d。 好，怎么去求呢？怎么去求呢？好，咱们看一下。首先咱们看你这个 ab 方，这个 ab 方是不是 a 方加 b 方？是啊， c 地方是不是 c 方加地方 a， 你 会发现，如果说我要是求 bc 方，你 bc 方是不是 a 方加 c 方， a 地方是不是 a 方加地方，你会发现刚好完全相等，所以说这两个的和是不就等于这两个的和我就挣完了，是吧？这是第一个结论，第二个结论，它的面积， 面积的话你要看一下，哎，我这个三角，这个四边形的面积是不是被我分成了三角形了，是吧？也就是说，哎，上边一个三角形，哎，下边一个三角形， 上面这个扇形是不是二分之一的 b d 乘以 a 啊？下边这个是不二分之一 b d 乘以 c 啊？我把二分之一 b e 提出出来， a 加 c， 那 是不就二分之一的 a c 乘 b d 啊？所以我就求完了。 好，咱们继续看模型。二十九叫终点四边形的模型。什么叫终点四边形呢？就是如果说给你任意一个四边形，然后让你在这个点 m n， p q 是 这个任意四边形的一个中点， 它四个边的中点，那这个四边形是平四边形。哎，这个咱们的科内也学过，是吧？为什么呢？因为 m n 是 不中微线，它是 b d 的 一半，然后 p q 也是 b 的 一半， b 它妈平行，所以 m n 和 p q 是 不就平行且相等？ m n 和 p q 如果说平行且相等的话，那么这个是不就是平四边形啊，对吧？好，第二个，像这种的，这种还是一样，你这个 m q 是 不是平行并且相等于 b d 的 一半？ n p 是 不是又有重围线？ n p 是 不是也是平行界等于 abd 的 一半？那所以说你这个 m q 是 科，这个 n p 是 不是就平行且且相等？那所以它是不是还是个平次边形，对吧？你像这个也一样， 你这个 m n， m n 是 不是平行等于 ac 的 一半？你发现 p q 是 不是也是平行等于 ac 的 一半？那所以你发现这个 m n， 这个 m n 是 不是就跟 p q 平行且相等了？所以这是个什么呀？这是个平次边形啊， 对吧？好，咱们再来看。如果说，哎，结论二，如果说对角线垂直的四边形，什么叫以要垂直的？也就说 a c 和 b d 垂直，那这个时候你会发现它这个不仅是个平行四边形了，它还是个什么呀？它还是个矩形，为什么呀？因为这儿就垂直了。 一个平行四边形，它有个直角，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形就是个菱形 耶，什么意思呢？也就是 a c 和 b d 相等， a c 和 b d 相等，是不意味着它和它相等啊？本来一个平四边形，邻边相等，邻边相等，平四边形，它不就是菱形了吗？对吧？ 好，咱们来看。如果对角线垂直且相等四边形，那它重点四边形就是个正方形了，是吧？那这个时候你发现它本来是一个拼四边形，对吧？因为对角线垂直，对二垂直的话，它就垂直了。用对角线相等相等的话，那么这个 m q 是 不等于 m n 了，所以说它既施矩形又是菱形，那么它就是个正方形了。 大家看，反是十字架模型，这在正方形那儿会正常出现，说在正方形内部，哎，有这么一个点， a e 连接之后， a e 和 b f 它是垂直的，就这样是垂直的， 这是 f b f 垂直之后，那么我也结论就是 a e 等于 b f。 对， 一旦垂直，也就是 a e 和 b f 只要垂直，文中 b e 和 b f 它相等，为什么呢？这个就是因为这个三角形 b f、 c 和这个三角形 a、 b e， 它是全等的，哎，这个也比较好正。首先呢，你是直角，我是直角，是吧？俩直角。另外呢，另外你会发现我这个角是不是和这个角相等啊？ 是，再加上 a b 是 不等于 bc 啊？所以跳全等了，是吧？加角 b 全等，全等了之后，我就相等了吗？另外的，如果说我动一动我这个 a e， 我 动成这种，动成这样的一条线 a， 然后呢？我这个然，然后 b， 然后 b f 动成这样的一条线，那它也是一样的，因为它也是能够证明这个三角形和这边的三角形它是全等的吗？全等之后是不仍然是 a e 等于 b f 呀？ 好，他说这种，哎，比如这种图，这种图也是一样的呀，我只需要正这个三角形和这边这个三角形全等就行，对吧？还是全等？全等就仍然相等嘛？那还有一种是吗？非常极端的就是我这个 a e 和 b f 全部动成这种形式，那这种形式也是你只需要正它 和他这两个三角形全等，全等完之后，哎，他就又成立了。所以记住，正是正方仪内部如果说有垂直，那叫必相等，俩如果相等也必垂直，所以这两个是互逆的。好，朋友们，好，咱们看一下模型三十一梯子模型。什么叫梯子模型呢？就形容在这么一个墙上，他跟地面是垂直的那么一个墙。 哎，然后呢， a 和 b 在 墙上滑动，也就是 a 和 b 是 动点，那么啊，让你求，首先 o q a a b 有 个中点 q， 然后让你去求 o c 什么时候最大， o c 什么最大？好，咱们结论就是当 o q c 它共线的时候， o c 最大。好，咱们求一下为什么这样吧。首先看一下，在三角形 a o b 当中，因为 a o b 是 直角，那所以说咱们由斜边中线理论， a q 是 中点，所以 o q 是 中线，由斜边中线理论可以得到 o q 直接是二分之一 a b 好 几下再看，那你在三角形 b q c 这个 之中，然后由勾股定律可以得到 c q 是 不等于 q， b 方加上 c， b 方开根。好，那么 q b 是 不就等于二分之一的 ab 啊？所以就二分之一的 ab 扣入平方，加上 c， b 方开根。也就说，哎，你把谁呢？哎，你把 q c 也求出来了。好，接下来看一下最关键的一步，最关键的一步， 咱们在三角形 o q c 当中是不有个三边关系啊？什么三边关系呢？ o q 加上 q c 是 不是大于 o c 啊？两边之和大于第三边，它没有说 o q c 必须三角形，所以说 k 是 等于圆，怎么就知道了？那地的 o q 是 不就是二分之一的 a b？ 那你 q c 呢？ q c 是 不就刚我求的这个根号 a， 你 加上这个，那 c 是 不是大于等于 o c？ 所以 o c 是 不是小于等于它啊？也就是说那 o c 最大值小于等于它， o c 最大值是不是就 o c 等于它啊？那所以就是 o c 等于二分之一 ab， 再加上后边这串， 哎，也就是说 o q c 贡献的时候， o c 最大值就是这个后边这串。好，那么咱们接下来继续 看模型。三十二，对角互补模型。什么叫对角互补模型呢？首先他形容的是对角是互补的，比如说，哎，九十度，九十度，这两个九十度，那么对角是不互补啊？相应的，我这两个角是不是也互补啊？这两个角是不也互补啊？好，互补之后和进来的，咱们看一下。 那么 a d 等于 a c 啊，它结论就是第一、第二、第三。好，咱们证明一下。哎，为什么这三个结论成立？首先咱们要进行旋转，怎么旋转呢？你把这个 a、 b、 d， 把 a、 b、 d 旋转到 d、 c、 e， 它为什么能够完全旋转过来呢？首先第一个就是因为 d、 a 等于 d c， a、 d、 a 等于 d、 c。 第二个，因为咱们杠出的这个角 a 和这边这个角 c 又互补的，所以你这个角 a 转到这完全是个平角，所以转过来之后没有任何的问题。好，那我们看一下，转完之后，那咱们就好多了。那第一个，他说 结论， bc 加上 ab， 你 这个 bc 加上 ab， 此时 ab 是 不就是 ce 啊？所以 bc 加上 ab 是 不就是 be 啊？是吧？就是 be， 你 这个 be 看一下，因为它是一个直角，那 be 是 不就等于根号二倍的 bd 啊？ 所以第一个结论我就证完了，好，看一下。哎，这是详细了一个证明过程。好，咱们看第二个结论，说 a、 b、 c、 d 的 面积被求下 a、 b、 c、 d 的 面积，它为什么就等于二分之一的 b、 d 方呢？好，那当然，接下来咱们继续， 你会发现所谓的他说的这 a、 b、 c、 d 面积，因为我已经把 a、 b、 d 转到了 d、 c、 e 了，所以 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就是三角形 a、 b、 d、 e 的 面积？我 b、 d、 e 的 面积我这儿是九十度。好，我代求的时候，你想一下，因为 d、 b 是 不等于 d、 e 啊？因为 d、 b 转到了 d、 e， 是 吧？这两个边是相等的，所以说这个象形的面积就是二分之一的 a、 d、 b 是 不乘以 d、 e 啊。 然后呢，你这个 d、 e 又等于 d、 b， 那 是不就二分之一的 b 地方啊？好，我就挣完了呀，对吧？那接下来咱们继续，咱们继续看第三个结论， 也就说 b、 d 是 角平分线，这更简单了， b、 d 为什么角平分线呢？我说了，你把 a、 b、 d 已经转到了谁呢？转到了 d、 c、 e 啊，这两个角平行相等啊， 这两角相等，因为什么呢？因为 a 这个是个直角， d、 b 等于 d、 e， 所以 是等腰直角。这个红的是不等于这个紫的呀？那所以这个红的是不跟这个紫的也相等，所以说它就是角平行线了， b、 d 就是 角平行线了，所以第三个这轮位就正完了啊，这就是详细的证明过程。好，继续 对角互补。还有一种就是六十度和一百二十度，也就是他是六十度，他是一百二十度，他们是互补的。那所以你别忘了这个角互补是不？这两个角也互补啊，好，互补之后再来看他。还有个就是 a、 d， a、 d 等于 d、 c， 跟刚了填一样，那所以说 a 第一个结论，第二个结论，第三个结论，咱们接着开始整，它的道理都是差不多的。好，首先咱们还是咱们把 abd 进行旋转，你用反欧把 a、 b、 d 旋转，是不是完全能够转到 d、 c、 e 啊？是吧？为什么能够转到呢？第一个，你的 d、 a 是 不等于 d、 c？ 第二个，你它和它是不互补， 他和他互补的话，那你想一下，那我这个这个角不就转到这了吗？这两个不也是互补吗？所以说他就是大平角，所以转过来完全没有任何问题。好，是不？跟刚刚那个没有什么区别，对吧？转过来之后，接着咱们开去正，那第一个结论， bc 加上 ab， bc 加上 ab， 是 不就 bc 加上 ce 啊？ 那么 b c 加上 a b 是 不就是 b e 啊？ b e、 b e， 你 会发现咱说它是六十度，它这个转完之后，给这个角加上这个角是不是一百二？那所以这个角加这角是不是也是一百二？那咱们就输了，那也就是说我现在， 哎，现在也就是说我这个三角形，是不是这儿是一百二十度的一个等腰三角形？等腰三角形，咱们说一百二十度等腰三角形，那我这个 b、 e 这个边就等于多少三倍的 b、 d， 那 所以正完了第一个结论，对吧？第二个结论， a、 b、 c、 d 的 面积，咱们说 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就是三角形 b、 d、 e 的 面积啊？对吧？因为转过来了嘛， b、 d、 e 的 面积等于什么呢？等于二分之一的 b、 e 是 不是乘以个高？那高谁呢？你可以做一下做这个这个高嘛，因为它等二直角上面是一百二，这是不是就是三十三十度三九，这是 dm 吧？那三十度化，所以 dm 是 不等于二分之一的 b、 d， 所以， 哎，二分之一的 b e 乘以 dm 就 等于二分之一的 b e， 你 算 dm 是 不等于二分之一的 b d 啊？ b d 是 吧？那所以你看一下接下来二分之一，这个 b、 e 是 不是等于咱说等于根号三倍的 b、 d， 对 吧？等于根号三倍的 b、 d， 再乘以二分之一的 b、 d， 你 就发现了，这俩相乘不就是四分之根三吗？这个 b、 d 乘 b、 d 不 就 b、 d 平方吗？所以我就挣完了。好，这就是第二个结论， 这都是详细的一些证明过程啊，大家一会可以看，接下来咱们看，我把这擦掉，咱们继续，咱们继续来证第三个结论。第三个结论就是说明，哎，为什么这个 b、 d 就 又是角平分线了呢？那这个肯定难了，单说因为只有两个角相等，对吧？ 然后呢，这个角是由谁转来的？这个角是不由他转过来的呀，所以说，哎，这三个小赤背都相等了，所以第三位就正完了，对吧？好，咱们接下来继续 一百八十度转对角互补的模型，还有一个也就是这样，一百二在这儿，六十在这儿，是不是也互补啊？这样的话，它也是，你道理是一样的啊，它是把这个三角形，然后呢转到这个三角形， 嘿，转完之后咱们解要去说明一下啊，首先第一个 o、 d 加上 o e 是 不是在这儿呢？所以 o d 加 o e 是 不是就是 o b 啊？这儿是不是就是 o b？ 为什么 o b 等于 o c 呢？很简单呀，因为你这个上面是六十度啊，上面六十度的话，你就意味着我这儿是不是六十度，这儿六度的话，你撞了之后， a， 我 这个 c、 o 和这个 c 比是不就全部相等六十度，所以它是个等边呢？那等边的话，那我 o b 就 等于 o c 了，我第一给撞完了，哎。第二个， a、 b、 c、 d 的 面积， a、 b、 c、 d 的 面积，是不是就是三角形 c、 o、 f 的 面积，对吧？哎，就是三角形 c、 o、 f 的 面积，也就是，哎，咱们刚刚说的这个 c、 o、 f， 哎，这个三角形的一个面积，而等边塞形的面积公式是四分之根三倍的， 什么边长平方，哎，就是四分之根三倍的边长，边长不就是什么呀？ b、 d 边长不就是 b o， b o 边长不就是 b o 吗？所以就是 a、 b、 o 的 平方。 好，那所以绕角点已经也就正满了。第三个角点， c、 d 等于 c e， c d 等于 c e， 而 c d 为什么等于 c e 呢？这个咱们看一下，也很简单，被 c、 d， 咱们刚输了， 我这个三角形，哎，是不是撞到了这个三角形，那你会发现 c、 d 跟谁相等啊？ c、 d 是 不是就在 c、 e 呢？ 耶， cd 撞到了 ce 再我就结束了，对吧？好，接下来，好，咱们来看第四个，哎，咱们杠住，对角互补，哎，都是九十加九十，六，十加一百二，这儿来一个更普通的阿尔法，加上一百八减阿尔法 是它操作是一样的，也是把这个 a、 b、 d， 然后进行旋转。旋转到什么呀？旋转到 d， c、 e， 咱们刚刚都这么操作的，对吧？旋转完之后，所以第一个结论，第三个结论全部成立啊，这儿就不再讲了，因为下边有详细的一个结论，大家可以看一看。 好，接下来咱们看一下模型。三十三，奔驰模型。为什么要奔驰模型啊？你看这个图形像不像个奔驰？它对不起啊？对啊，所以跟姓名叫奔驰模型好，奔驰模型，它有些什么定律呢？它就其实形容在三角形 a、 b、 c 还是个等边三角形 a、 b、 c 当中，如果告诉你 p、 h 是 三， 而 p b 呢，是四啊， p c 呢是五，然后呢？ a、 p、 b 就 这个角，它等于一百五十度，一百五十度，好，但去正啊，它是结论，结论是它一百五十度。第二个结论就什么呀？就 a、 b、 c 的 面积等于四分之根，三倍的 ab 平方等于这个 等于它。哎，为什么呢？好，记着，咱们挨个去正，旋转。第一个就是正，这个 a、 p、 b 是 一百五十度的问题，这个怎么正呢？哎，记住，旋转，旋转，怎么旋转呢？我们可以这么着旋转，你把 a、 p、 c， 把 a、 p、 c 来进行转， a、 p、 c 转到哪呢？逆时针转，没转到这个地方，装这个地方。为什么这儿能完全转过来呢？因为 a、 c 等于 ab 嘛，等边在行，完全贴合嘛，对吧？所以在转的过程当中来转到 a、 p 是 不是就等于 a d 啊？ a p 等于 a d。 好， 接下来看啊，见证奇迹的时刻，你在转的过程当中，这个红角是不是转这来啊？ 好，接下来再看。我这有个直角，这个红角加这个直角是不是六十？那所以这个红角加这个角是不是也是六十度？所以这个角是不是六十度啊？ d 角六度，所以你会发现，本来 a、 d 是 等于 a p 的， 这个是六十度，那所以这个呢？这个是不是什么三角形啊？这是个等边三角形，非常的漂亮。对，它就是个等边，等边的话，三三，那这儿是不也是个三呢？这儿是三，咱们刚说了，这是个四，对吧？ p、 c 是 个五，这五转哪去了？五转这儿来了，所以三四、五，太棒了，这就是九十度，这儿是九十度。六十度加九十度，多少啊？一百五十度啊， 对吧？所以我就正完了，哎，又正完了，好，咱们在这再清晰的表示一下，哎，就说这个角，咱们刚正出来是六十度，这个角是九十度，所以是一百五十度。那第一个教练就结束了。 好，第二个结论， a、 b、 c 的 面积， a、 b、 c 面积，它是个等边扇形，然后等边扇形面积公式等于四分之根三倍的 a、 b 平方，也就是现在你要求出什么呀？求出 a、 b 的 平方，给我表示出来就行了。好，咱们刚说了，这是一百五十度，这是一百五十度，这是多少？这是不是三十度？三十度，这是不是四？这是四的话，这是几？ 这是几？哎，一半啊，三十度，这不就是二吗？这呢二倍根三呢？二倍根三，所以这是三，那所以整个这一条是不是三？加上一个二倍根三，这是二，然后这是做的垂直勾股定律，直接求入 ab 是 吧？好，直接求取 ab， 然后这是具体的证明过程， ab 的 平方最终就求出来了，它是这个东西。那所以算术 abc 面积等于四分之根三 ab 平方，然后把它一带入，就是它啊，这是一个详细证明过程，大家可以再详细的看一看。 好，接下来咱们发现刚刚旋转的时候，咱们旋转是不是 a、 p、 c 转到 a、 d、 b 啊？那其实这种奔驰模型有好多种转法，有好多种转法。哎，比如说，你说我就想把它转，我就想转它，行不行？ 行啊？它怎么转啊？你把它转的时候转到你把 b、 d 是 不是转这来了呀？那是就转成这个样子了吧， 它直接转，是转这儿，这也能解决问题啊，咱这儿用了一个非常好的技巧，就是等边向量的面积公式，等于四分之根三倍的边角平方，那这个怎么正呢？很简单，等边向量 a， 如果边上是 a 的 话，这儿是不值个三十度， 这儿三十度，这个呢？啊，这个是六十度，所以这儿是 a 的 话，这儿是不是就二分之根三 a， 那 面积等于二分之根三二分之一欸，底儿乘以高二分之根三 a， 所以 一乘是不是四分之根三 a 方，这个是需要记住的啊，四等边赛一面进攻是等于四分之根三倍的欸，边上平方。咱们来看费麻点模型 说，欸，到一个三角形三个顶点距离之和最小的这个点称为费麻点，比如费麻 c 内部有个点， p pa 加 pb 加 pc， 什么取最小值呢也， p 点在哪里呢？呀？好，那么要记住，算线 abc 三个内角它均不大于一百二十度。好，在这种情况下，你会发现我 pa 加 pb 加 pc 什么最小呢？我要通过位置变换，也就通过旋转的方式改变这个线段的位置，然后再做哎，它这个呃，斜的一个比较啊，怎么去做呢？咱们看下这个图，我只要把 bpa 逆时针转转到 b p 撇 a 撇。好，你这之后你会发现，那我这个 p a 是 转哪去了？我这个 p a 是 不就转到了 p p 撇 a 撇了？ 当然我这个 p c 呢？还是 p c 好， 那这时候 p b 在 哪里？ p b， 你 发现咱通过旋转旋转出等腰 b p 是 不等于 b p 撇， 我只要让它转六十度，哎，我这 b p 是 不就等于 pp 撇了？因为这就是一个等边了是吧？好，所以现在的问题就水落石出了，我 pa 加 pb 加 pc， 其实就是 p 撇 a 撇加 a， p 撇 p 再加 pc， 这三个线段的和什么时候最小呢？共线的时候最小。好，这就是费马点的由来。好，接下来我教给大家一个最快的方式，如何来求这种问题，如果说他问 三角形 a、 p、 c， 哎，什么最小值？ p 点在哪里？你只需要通过 a、 b 往外做一个等边， 然后呢，通过 a、 c， 我 们来做一个等边。好，然后你连接 b、 d， 再连接 c、 f， 它们的焦点 p 就是 那个费麻点，就是那个费麻点，然后最小的距离就是 b、 d 或者是 c、 f 都可以。因为 b、 d 此时等于 c、 f， 所以， 哎，这就是那个费马的距离，也是最小的那个值。好，这边是具体的一个证明的过程。好，接下来咱们继续看圆密定律。圆密定律呢？其实在初中，哎，它叫相交弦定律， 意思就是，哎，三角形一个圆中， a、 b 和 c、 d 相交一点， p 半径是 r。 那 么第一个结论， a p 乘以 b， p 就 等于 c， p 乘以 d p， 这是咋回事？就 p a 乘 p b 等于 p c 乘 p d。 好， 这个时候把 a、 d 和 b、 c 一 连，你又发现这两个角是不是相等角， b 是 不等于角 d？ 所以 说你这个 p b、 c 是 不等于 p a、 d， 这两三是不相似啊。 相似完之后，你发现我这个 p a 是 比上 p c 它们这对应边 a 等于什么呢？等于 p d 是 比上 p b 这个对应边，我只要交叉相乘 a， p a 乘 p b 就 等于 p c 乘 p d 了，我就种完了。好，再继续。还有， 圆幂定里数的什么呀？就是 pa 乘 pb 等于 pc 乘 pd， 还等于 r 方减 o， p 方，也就是它把这个余相减一定里给量化了，它能求出来具体的值。为什么等于 r 方乘 o， p 方呢？好，你又发现 a， 我 既然 pa 乘以 p b 等于 pc 乘以 p d， 那 还等于什么呢？这个 p 点是那个 a 是 那个密点，那还等于是不是 pm 乘以 p n 呢？ 是啊，哎， p m 乘以拼音，我可以弄操作了。哎，大家看这里吧， p m 乘以 p n， p m 乘以 b， p n， 这个 p m 是 不是 r 加上 o p， 让 p m 是 不是 r 减 o p， 它俩一一乘平方差公式不就是 r 方减 o p 方吗？所以记住，哎，这个相交线定你最后是等于 r 方减 o p 方的。好，接下来我们继续看。还有道切割线定理。切割线定理熊的什么呢？就是 有一个切线 p a 和一个割线 p b c 好， 它们所形成一个线段之间的关系，那么 p a 方 p a 方，就这个切线的平方就等于 p b 乘以 p c 啊，这个怎么去正呢？怎么去正呢？你会发现，我只要把 a c 一 连就可以了，然后把 ab 一 连， 我这个角屁等于角屁，由弦切角定理可以得，弦切角就是这个弦和切线所组成的，加角就等于这个弧所定了，所有的角就等于这个角，那所以你就发现了。那，那你就要这么说的话，那我这个 p a b 不 就和你这个 p a 方不就等于 p b 乘 p c 吗？ 哎，我就知道了，所以这个是具体的一个证明的一个过程。好的，我们看一下。哎，我 pa 方等于 pb 乘 pc， 还有呢，我 pa 方等于 pb 乘 pc， 最后它还能量化等于 po 方减二方，这个是怎么回事？哎，你会发现我 pa 方 我只要因为它是切线嘛，这是个 o， 我 连接 o a， 这是不垂直的呀。我 p a 方是不刚好等于 o p 方减去个 o a 方， o p 方减去 o a 方不是 r 方吗？那所以也就等于 o p 方减 r 法我就挣完了是吧？这叫圆密定理， 接下来还有叫割线定理，这有割线定理就更好挣一点了，就更好挣一点。你会发现什么呀？就是 pa 乘以 pb 等于 pc 乘以 pd 啊，而且它们都等于 o p 方减二方，你只需要再做一个，哎，比如说，你再做这么一个切线，哎，比如说 pm 吧，你会发现我这个 pm 方是不等于 pa 乘以皮 b 切割线定律吗？ pm 方是不还等于 pc 乘以 p d， 那 c 我 这个就证完了，还等于什么呀？还等于 o p 方减 r 方，是吧？我由切割线定律可以直接推出割线定律。好，当然这二十个具体证明过程，它是通过相似来证的。好，咱们来看 第三十六个，叫四点共圆模型。四点共圆也是初中经常去讲的一个模型，就是形容如果同一个平面内有四个点在同一个圆上，这种叫做四个点共圆。 那什么情况下有四点共圆呢？咱们第一种，若四个点到一个点距离相等，则这四个点到在这个同一个圆上至定义法共圆，是吧？比如说，耶，这种， 你发现 o 是 b、 d 的 中点， o a 是 不等于 b d 的 一半，你就 o a 等于 o b 等于 o d 还等于 o c。 那 所以这就是典型的定点定长嘛。那它就共圆呢？ a、 b、 d、 d 共圆了，是吧？还有这一种， 这种也是， o、 c 是 不等于 b、 d 的 一半等于 o b 等于 o d， o a 是 不也等于 b、 d 的 一半等于 o b 等于 o d？ 类似于说以 o 为定点，这这个定长 a 我 就共圆了啊。这是第一种共圆的一个方式，咱们看第二种， 若四边形，一个四边形有一组对角互补，那这个四边形 a 就 四点共圆。哎，比如说，若咱们看一下，角 a 加角 c 是 一百八，角 a 加角 c 是 一百八。好得， a、 b、 c 四点共圆。编的很简单，因为角 a 加角 c 是 一百八，那所以就组成整个圆周了嘛。 好，同样的，若一个四边形跟外角等于它的根外内，这个内对角，也就是角 b、 c、 d 等于角 a。 咱们看一下，你看 b、 c、 d， b、 c、 d 等于角 a、 b、 c、 e。 啊，这儿，这儿应该选 b、 c、 e 啊，啊，就是这个角，这个 b、 c、 e 等于这个角 a， 因为 bce 加上这个子角是一百八，所以这个红角加这子角也是一百八。哎，那所以也对角互补了，我就公圆了。好，那么继续看。说等弦对等角，这个是最多的啊，这都用的最多的一个公圆等相对等角，就是若 bac 等于 bdc， 也就角 a 等于角 d， 若这两个角相等，叫等弦。什么叫等弦呢？ a、 b、 c 是 不是一个等弦对等角？这样是不是等角了？鱼呢？那么 a、 b、 c、 d 就 共圆。哎，因为什么？因为这两个 a、 d 刚好圆周角呢？圆周角所对的这个弦 a， 这个不就相等吗？同弧左对圆周角相等，所以 a、 b、 c、 d 共圆。好，咱们来继续 再看。说定弦定角模型啊，这个是经常求最值的一个模型了。什么叫定弦定角？就是线段定，角度大小也定，这个时候 a 它有个轨迹，有个圆。咱们来看一下，比如说 a、 b 是 定场， p 是 个动点，我这个 a、 p、 b 是 r 法，那么我这个 p 点到底在什么原上动呢？这很简单，就是你只需要把 a、 b 往这边做这么一个 等腰，让 o a 等于 o b， 并且让 a o b 等于二 r 法， 这个并不难吧？那所以你就发现了，那这个是 r 法，这个是二 r 法，并且 o a 等于 o b， 那 所以这个就共着个圆呢，以 o 为圆心， o a 长， o b 成为半径，划一个圆呢， 所以刚好这个圆珠角，这个圆心角，对吧？那 p 就 在这个圆上动。好，依次咱们解底的例子，比如九十度 说，哎，九十度的这个它共圆，这也比较简单，九十度直接就是以 a b 为直径，哎，这就九十度嘛，那 p a b 就 共圆了，是吧？就在 p， 就 在这个半圆上动嘛，是吧？下半圆和上半圆动。 好，再看三十度，一百五十度，这个有有讲的一个必要啊，三路一百五度就是形容，哎，我这定角是三十度， 然后这个定弦是 a b， 我 只需要把这个三十度是不是扩倍，扩倍到六十度，也就是过这个 o 点了。 a， 过这个 o 点，我这个过 a b， 我 只需要做一个 a o b 式等边， a o b 式等边就可以了。而此时 o a 刚好等于 o b a， 那 我这个 o 就是 圆心了， a 这个定长就半念就是 o v 了，那所以我这屁就在这个上面动啊，对吧？ a， 我 屁在这个上面动啊。嗯，好，那一百一百五一样的，一百五的话，我就在下边这个 a 一 百五就在下边这个弧长洞，给它画一画，就在下边这个弧长洞。 为什么一百五在这么动呢？因为，诶，你在这找个点，这个 p a b， 这是一百五十度啊，是吧？啊，来，咱们继续看，四十五度，一百三十五度，如果这个角是四十五度，我只要把四十五度扩备至坡九十度，也就是过 a b， 我 只要做一个等腰直角即可。 等腰直角，诶，这等二直角占线，那么 o a 还是等于 o b， 那 p 点是不就是在以 o 为圆心， o a 场为半径这么一个圆上这么着动呢？对啊， 好，这就四十五度，如果他是一百三十五呢？他说一百三十五的话，那屁就在这个上面动呗，因为他是一百三十五啊，所以屁就在这个弧列弧 ab 上动呗。 好，那咱们继续。那如果是六十度一百二呢？差表示个六十度，六十度都要扩到一百二呗，而这六十度我只需要过 ab， 还是做一个， 做一个一百二的一个等号暂行啊。 o a 等于 o b， 那 就以 o 为圆心，然后呢， a o a 长为半径，画一个弧， p 就 在这上面动，对吧？就要这上面动。好， 接下来用垂径定义模型。垂径定义，咱们都知道是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所立的弧，是吧？三个要素，垂直于直径平分弦，平分弧，只要满足一个，另外都满足，是吧？ a m a 等于 m b a a c 弧等于 b c 弧， a a d 弧等于 b d 弧。 好，我只要知二推三，哎，知道其中任何的两个第三个，我就成立了，哎，这就是这个，你，呃，这个垂进定律，哎，这个三个要素知道一个求两个啊，这个五味药的元素说什么？说过元星垂之前，平分弦，平分幽弧，平分裂弧，哎，知道任意的两个求三个就可以了。 好，比如说这群定力告诉咱们一道理，就是在源内吧，如果有任意的光积来这么一个弦，你就辅助线推怎么做的问题，他跟提供了一个思路，你就过这 o 点做个垂直，就这么做， 他光积定来这么一个弦，这个辅点怎么做的给你提供了思路。哎，这么做个垂直，这么做就垂进定力，能够化解线段的之间联系了一个问题， 接下来咱们来看折弦定力。什么叫折断的弦？你看 ab 和 bc 下面在 b 点折断呢？ 好，也就 a、 b， b， c 是 圆 o 的 两条弦， m 刚好是这个 u 弧 a a、 c 的 一个中点，然后 m d 垂直于 b c， m d 垂直于 b c， 这个 d 是 个垂足。接下来就由一个结论，就是 a b 加上 b， d 就等于 a， c， d 就是 a b 也加上 b， d 刚好它就等于这段 c、 d。 啊，这是怎么证的呢？咱们看一下，这是典型的一个什么问题，叫截长补短问题，是吧？线段的和差问题大部分都用截长补短来处理的，咱们截长 c、 d 肯定长 c d 长，那么得截掉，取这么一点 e 满足，让 d e 刚好等于 b d， 那 接下来咱们只需要全力地去证 e， c 刚好等于 b、 d， 那 接下来咱们只需要全力地去证 e、 c 是 不是等于 ab， 这个就证完了，对吧？好，咱们看一下 a， 如果说 d b 等于 d， e， m d 还垂直于 b e， 所以 m、 d 这条线是不是一条三线合一的一条线， 那么 m b 是 不跟 m e 它就相等了呀？也就是说这个 m b、 d 和 m e、 d 它就全等的好。哎，咱们接下来咱们证了一第一个问题来，也就是说 在这个图形当中，你会发现这个 m b 和 m e 相等，那 m a 是 不和 m c 相等啊？ m a 和 m c 相等，所以说 m b 还和 m e 相等，那我只需要证这两个全等就可以了，是吧？这两个全等，这两个全等情况下， a， 你 发现 m 这个这个角角 b m a 和角 c m e 它俩这个角相等的话，它们就全等了。好，咱们进来去证，全，力争它这个俩角相等，俩角相等，很好证的， 你会发现这个三角形，这个大的三角形，它这个等腰三角形，对不对？ m a 等于 m c。 好， 再来看，很神奇，这个三角形，这也是个等腰三角形， 也是个等腰三角形。也有 m b 等于 m e， 是 吧？好，你会发现，你会发现它这个红角是不是和这个角它是相等的呀？ 也就是说，因为它们都对应的 m c 这个弧，这两个点二、三角形的底角相等，那意味着我是不是这两个大的角上面这个大的角和下和这个大角是不相等啊？ 点要散心。顶角相等，好，那我就正完了。相当于，是吧，也就说这个顶角和这个顶角既然相等，那我所知道的同时这两个角减去中间这个角 a m e 的 话，那我所读到两个直角就相等了。两个直角相等的话，我这也就正完了，它要全等，全等完之后，是不是我这也就正完了？好，接下来我们继续 看一下角 a 字形和八字形这两个模型，这样模型咱们看一下啊。第一个角一等于角二，则三角形 a b e 和 a b c 相似，那则出现了三个比例。哦，这个很有意思，这个第一个 a 字形就是这种正 a 的，是吧？它能角一和角二只在这两个位置的话，它就是， 呃， a、 d， e 和 a、 b、 c 相似。还有一种情况是角一和角二这种分在这两个位置，这叫什么？叫反 a 型，那这个所得到的 a、 d、 e 是 不是？哎？这个三角形 a、 d、 e 和三角形 a、 c、 b 相似， a、 c、 b 觉得这么滑是吧？你要知道这个角 d、 e 和这个角 b， 是 吧？也就 d 点和 b 点它是对应的。 好，那接下来咱们看一下，那你在这个八字模型当中也一样啊，这个角一等于角二，很明显这是个八字模型，上下相似，但是呢，如果角一角二出来这个位置，这种叫反八字反八字模型，是吧？你这个 a、 d 和 a、 b、 c 照样相似，只不过你这个这个 e 点和这个 c 点要对应。好，咱们看一下。 接下来拓展这个结论，就是三组 a 和三组八在一起，这个时候该出现一些什么结论呢？三组 a 什么意思？就是咱们看下这个图啊，咱们看这个图， 三组 a 就是 a、 d， e， b， c， 这是一个 a， 就是 a i， d， e 和 b， c， 这是不一个 a， 对 吧？这是个 a。 好， 咱们看这是个 a 呢？你看，然后 a， d， n， a， d， n， 然后还有 dm， 这是不是六个 a， 是 吧？来带来这个 a， n， e， m， c， a， n， e， 然后 m、 c 这数又一个 a， 一个红的 a， 哎，一个紫的 a， 一个绿的 a， 数角三 a， 是 吧？然后三八三个八字模型，这个也是一样的，三个八字名在里面完全能够找三个八字模型。好，咱们看第一个， 第一个八字就什么呀？就是这个八字是吧？打红色的八字好，第二个八字是不就是这个八字是吧？这个八字 a， 还有最后一个小八字是这个八字 是吧？三八三 a， 三八三 a。 模型里边有一个结论叫鸡在河上飞，鸡在河上飞什么意思？就是 他会问你，在这种三角形里边，呃，会出现一个最大的正方形是吧？这正方形的边长是多少？那正方形的边长叫基带和上飞，也就是这个三角形内对一个正方形的边长就等于高乘以底。哎，比上高加底什么意思？比如咱们看下这个图形， 高乘以底，也就说 e h e h 这个是不是用那个正方形是吧？正方极边长是不是就 e a 之方， e a 之方等于什么呢？ e a 之方就等于 a d 高乘以底嘛？ ab 乘以 bc， 然后呢，再比上 a d 加 b c a， 这就挺好， a g 在 河上飞， a 两个高合底的 g a， 然后 再除以高和底的和 a 就 正完了。然后呢，对着结论咱们正一下，我们正下，这个怎么回事呢？这个比较简单，我们看一下啊，你会发现一个问题，就是你这个 a n a 比上这个 a d 等于什么呢？ a n 比上 a d 是 不是等于 e f a 比上 bc 啊？那接下来不要眨眼，继续，这个 a n 等于什么呀？ a n 是 不等于 a d 减去一个 d， n 比上 ad， 然后等于什么呢？等于 ef 也比上 bc。 你 这个 ef a 和这个 d n 它是不是是一样的长度，是吧？它就可以看成这个 e h 吧，就是正方形的边段平方。好，咱们看一下，那这个 e 减去一个，是不是刚好咱把这个就写成 e f 得了？比上 ad 好 就等于什么呢？等于 ef a 比上 bc 好。哎，那就可有意思了，我马上也推出来了啊，进来 e 一 是不就等于 e、 f 提出来括号里边，然后 a、 d 分 之一加上一个 bc 分 之一，好，意思就是，哎，我这个 e、 f 分 之一，是不就等于 a、 d 乘以 bc， 然后分之 a， d 加上 b， c， 然后再反了个，再反了个，就是 e、 f 等于什么呢？哎， e、 f 或者写成 e、 h 是 吧？都可以。然后就等于 a 反过来 a， d 乘以 b， c 比上 a， d 加 b， c 加上 b， c， 好， 这个是个 c， 这个是个 c， 好， 我就整完了。所以鸡蛋和尚飞这个结论一定要记住，非常非常的重要。好，这样咱们看 适应定力，设按适应定力，就是形容一个直角三角形， a， c， b， 这是个直角三角形，是吧？哎，然后呢？ c， d， 哎，垂直以 ab， 你 假设三个结论，三个结论，第一个就是 c， d 方，哎， c， d 方， c， d 方等于 d， a 乘 d， b， 好，是第一个结论，然后呢？第二个结论是什么呢？就是咱们看一下这个 a， c 方就等于 a， d 乘 ab， 然后 bc 方，哎，等于 b， d 乘 b， a， 哎，这三度平方藏起来怎么去正的呢？好，咱们再来简单说一下，这个正，简单那个正法， 咱们可以看出来，说，这个 a， 这儿给你标了的这个角，我就给你标红角，这个红角是不是等于这个角等于这个角，是吧？好，接下来看，那这个角是不等于这个角？ 哎，所以你发现，那这个三角形和这个小三角是不相似啊？同样的，这个 a、 d， c 是 不是这个三角形？ a， d， c 是 不是相似于 c 二型？ a， d， c 就是 c， 然后呢？呃， c， d， b 是 吧？然后还相似 c 二型，哪边？ a， b， c 这三组相似，三组相似之后，会引起三图比例，三图比例，哎，比如说，哎，这个比例，然后就可以得到 a 交叉相成就 c， d 方等于 a， d 乘 b， d， 那 同理呢，也可以得到另外两组 列艾两组，这就叫肾顶里。哈见来，一线三等角，一线三等角在讲什么呢？就是民法也一个线上与三个等角，比如说 a 角，而法和这个角和这样这三个角相等的，这三也相等呢，它就 a。 得到一个结论，第一个 a、 d， b 和三角形 c， b， e 相似，也就这两个三也相似。第二个， a， d 乘以 e， c， a 就是 竖着的， a 等于 a， b 乘以 b， c， a 等于躺着的，这乘积好，这个呢，哎，也比较简单，咱们去正一下 a， 第一个，你发现这个阿尔法呢，和这个阿尔法相等，这还有个阿尔法，所以你会发现 这个直角，这个直角，这个绿角加这个直角是不等于这个绿角这类子角，所以这两个绿角相等，这两个绿角相等，也再加上这两个红眼还相等，所以这样算出相似啊。相似完之后，那所以你就知道了，这个 a， d， a， d 比上是 a， d 比上 bc， 哎，是不就等于 a， b 比上 c， e， 然后再交叉相乘，哎，我是不是就成立了，这又正完了，对吧？好，所以一线三角的经典切记，就是左乘右等于左乘右，也就是竖着的乘积，等于躺着的乘积。 好，咱们继续看一下，这个就是当一线三等角里边这个 b 特殊这个点，这个 b， 但是中点的话，它就有另外一个 a。 结论， b 就是 a 三个角相等，而 b 是 a、 c 中点。第一个结论肯定是这个相似，相似的，或者说加的加了一个三角形，就这三个三角形的相似，是吧？那为什么这底下三个三角相似呢？你会发现，好，第一个，咱们在上面已经证完了第一个三角相似， 第一个算相似，你会发现 a、 b 定的是 c、 e 啊， a、 b、 a 比上 c、 e， 是 不是等于这个 a、 d 比上 a、 d 比上 b、 c 啊？是吧？ a、 d 比上 b、 c， 然后呢，还等于什么呢？还等于 abd 比上 e、 b， b、 d 比上 e、 b， 这是三组角对应成比例，然后呢，我 a、 d 比上 c、 b 就 等于 b、 d 比上 e、 b 就是 主要要的。这个咱们来看模型四十三，旋转相似模型好看一下，如图说， b、 a、 c 和 b、 d、 e 都为等腰直角三角形好，而并且呢， c、 e 和 a、 d 相交于点 p， 则第一个结论， a、 b、 d 和 c、 b 就 相似，并且相似比是一比根二。咱们看一下，这怎么得到的呢？ a、 b、 d， 咱们说因为是等腰直角三角形，所以这两个角应该都是四十五度，对吧？这 两个角四十五度，你同时减去中间这个立角，你所得到的这两个，这两个紫色角处应该相等。所以第一个问题我就搞定了这两个直角了。相等，也就是说， 哎，这两个角它是相等的。哎，咱们看呀，拿到这个三角形，就是这两个角差相等的。第二个，你会发现，我这个 a、 b 啊，我这个 a、 b、 a 和 bc 之比，是不是一比根二啊？还有呢，我这个 b、 d 和 b、 e 之比，是不也是一比根二啊？所以说两个两个角相等，这个两个边乘比例对应角相等，那所以我封上之后，那这个三角形 和别这个三角形就相似了。所以我第一个结论你证完了。好，这是一个详细的一个证明过程。好，接下来看第二个它啊，还且相似比是一比根二，但这个比较简单，因为因为这个 b a 呀，这个 b a， 这又比乘 bc， 是 不就是一比根二，所以这两个色眼相似，并且相似比只能是一比根二了， 好看。第二个结论就是 a、 d 和 c e 的 夹角是四十五度，这个怎么整？其实这个就是一个手拉手，只不过是相似的一个手拉手旋转而已。咱们刚输啊，第一个证明了 a b d 和 c b e 相似，相似完之后，这两个角是不相等， 对应角相等，是吧？咱们说这个，呃，这个拉手键呢？拉手键加角四十五度，你只需要把这两个边的角分别延长就可以了。延长到什么这为止呢？延长到它们形成一个八字模型，哎，你会发现，好，马上就成了， 好，可以停。好，这就是八字模型嘛。你又发现这两个红红的角像呢？这两个，这个角是不也相的，那所以你又发现，无论怎么旋转，你所得到的这个角也就是这个。呃， a d 和 c e 的 加角是不就这个角啊？ 这个角是不永远等于这个角，这角多少度啊？这角不是四十五吗？所以这角也得是四十五啊，所以我就正完了，所以这就是那相似旋转。 好，这个呢，咱们是说是特殊的，叫等腰直绕散形旋转。接下来咱们看一下结论二，这个就是不特殊了，是吧？咱们看一下 aob 和 aod 啊，都是直绕散形，但是呢，你会发现这个 a o a o 和这个 b o a 它的比例就不是一比二了，也就它不是一个等二制氧散型了，对吧？好，进来咱们看一下。第一个结论， aoc 和 bod 相似， aoc， 咱们看一下啊， aoc 还是刚刚那个结论，就是 aoc， 我 这个散型 a 和这个 bod， 我 bod 在 哪里呢？ bod 在 这个地方呢？它俩为什么相似？它的正法是完全一样的啊，正法是完全一样的。好，进来咱们去看一下 它，因为是直角三角形嘛，所以这个是直角，这个也是直角，对吧？好，你看一下，它这个角是个公共角了，这个角公共角了，这个绿角加上这个这个这个紫色角是个这个大角，那肯定等于这个绿角加上这个直角等于这个大角啊，这俩大角肯定是一样的，对吧？所以说咱就搞定第一个问题了，就是这两个三角形，给这两个三角形它的什么呀？它的这个 a 顶角是一样的，就这个角和这个角它是一样的。好，搞定第二个问题，第二问题就什么呀？就是 a， 他 说一开始说 aob 和 codd 相似，对吧？ aob 和 codd 相似，说明什么呀？说明 a o 比上这个 a b o a， 它是不就是这个 c o 比上这个 d o， 对 吧？要不怎么相似的呢？好，所以咱们这样就能应用了嘛。 给东把这脚钉擦掉进来，你应用一下你就知道了。哈。东，看一下，那，所以你在想我这个 a o a 比上 b o， 是 不是 a， 我 换个颜色比上 b o， 是 不？这两个之比，对吧？然后呢？我这个，我这 a o 比上 b o 是 这两个之比，然后 oc、 o、 c 比上比上这个 d， o 比 d， o 是 不？这个好， b 刚好乘 b， e 乘 b， 并且咱们说了这个这两个大角上相等，对吧？俩大角相等，所以说我所封的，我把这个 a、 c 封起来，然后我再把 b、 d、 e 封起来， 你发现这个红的色线跟紫线有什么关系啊？相似。好，我就正完了。第一个结论，哎，这详细的证明过程。正完第一个结论之后，第二个拉手线是垂直的，为什么？因为顶角垂直的吗？顶角垂的，所以拉手线是垂直。 好，顶角是垂直的，咱们看一下啊，个结论就是 a、 c 和 b d 垂直，哎，它怎么垂直呢？你又发现刚我撞一个红的跟那个紫的是全等的，是吧？全等的啊，是相似的，相似完之后，这个角是不定的，这个角啊，小角，对吧？ 然后呢，咱说把这两个边分别延长、延长，哎，这两个边延长、延长，哎，他是不是姓什么个八字模型？这两个对顶角还相等，这两个角还相等，所以所形成的，你会发现这儿是垂直的，那这个角是永远是垂直的，这个角那所以跳垂直了，所以第二个结论位就正弯了，对吧？好看。第三个 啊，第三个其实它属于是个垂面四边形的一个结论啊，垂面四边形的结论，咱们来看一下，说 a、 d 方加 b， c 方等于 c， d 方加 ab 方，哎，这个为什么呢？因为咱们刚刚第二问正过了，这个是不是垂直的？ 这俩人互相垂直的，所以说互相垂直的。这个四，这个对角线，哎，这么一个，在这么一个四边形，它叫垂眉四边形，哎， 好，就是 a、 b、 c、 d 这个四边形是垂面四边形。怎么去证呢？怎么会发现？你怎么去证明这个事情呢？这很简单，因为什么？也因为 a 地方加上 b、 c 方，你会发现 a 地方谁是 a 地方啊？ a 地方是不就是 a p 方 被加上个 b 加上个 d p 方好， bc 方呢？好， bc 方是不等于 c p 方加上个 b p 方？好，那接下来再看第二度，你这个 c、 d 方， c、 d 方是谁啊？ c、 d 方，咱们去看啊， c、 d 方是不是 c p 方加上个 d p 方，然后 ab 方呢？ a， b 方等于 b p 方，你加上个，呃，这个 a p 方好，接下来开始了。你犯这两个相加，是不就等于这两个相加？为什么呀？ c p 方 c p 方 b p 方 b p 方 d p 方 d p 方 a p 方 a p 方全部消掉了，是吧？所以这个最后个结论，其实捻捻四边形那个结论啊， 好，咱们继续。哎，看模型，十字叫胡不归，胡不归阿，十圆和瓜的原理都属于是初中经常考的一个几何最值问题。好，接下来咱们答，把这三个都讲一讲。好，咱们看一下，咱们直接上题， 说什么叫胡不归呢？就形容一个 c， d 一个这个，呃，其实就是 pa 加上一个 k 倍的 pb 的 问题 啊，这 k 是 个系数， k 又系数。说，如果说这个 p 点在弦线上动，叫虎不归在圆上动，就 r 十圆。好。比如说，咱们看一下 c、 d 加上 r 五分之根五倍的 b， d， 这不是典型的这个 b、 d 有 系数吗？它怎么处理呢？咱们看题， ab 是 十， ac 是 十。好，这个探引 a 是 二，这个非常关键啊，探引 a 是 二， 接下来 a， 他 说这儿有个垂直，然后呢 d 又是个动点，接下来他说这儿一个五分之根五倍的 b、 d， 你最主要他解决这个问题啊，五分之根五的 b、 d 到底是谁？这个是最关键的，咱们来找到一个一个角，它三角函数值是五分之根五，怎么找呢？这是现成的，已经给了你了。比如说咱们看一下啊，它 a 是 一比二，哎，不是，是二， 但也就说如果这是二 x 的 话，这是不是只能是 x， 这个呢？二 x x a 勾股令，它是不是只能是根五 x 根五 x， 你 又发现了，那这个角，这个角，这个角就三角 a， b、 e 是 不就是 x 比上根五 x 是 不就是一比根五，也就是五分之根五了？好，我就找到了，这个是非常非常关键的啊，进来我把它擦掉，把它全部擦掉，也就是说现在已经知道了这个角，哼， 这个点，三隐值是不是五分之根五？所以说其实这个圆式啊，这个圆式就是 c、 d 加上一个五分之根五倍的 b、 d， 其实可以写成什么呀？ c、 d 加上一个 b、 e， 把这五分根五乘以一个什么呀？变成三一角 a， b、 e。 好， b、 d 乘以三一角 a， b e， b、 d 乘以三一角 a， b、 e， 那 不就是我直接做过来一个垂直吗？ 对吧？比如 dm， 那 你这个 b、 d 乘以三，它是不就是 dm， 所以 其实就是 c、 d 加上个 dm 啊， 而且您还求它最小值 c、 d 加上 dm， 什么时候最小啊？什么最小啊？你就至这么最小就直接垂过来吧，直接垂过来，最小直接过来，是吧？好，我把这个值需要解释清楚了，所以说咱们看一下，那最小值就是什么呀？其实就是，哎，我这个划得像一点，就是直接过来垂直 a c m 就是 这个 c m 好， 接下来，哎，就等于 c m， 咱们就求 c m 就 行了。 c m 怎么求呢？哎，这个就比较简单了，因为他已经告诉你了，这个是十嘛， 所以说咱们刚刚说了，我可以设，哎，这一段是 x， 这一段就是二 x， 是 吧？好，也就算我就要算了，二 x 吧，你 x 方加上二 x 括入的平方是不等于十的。平方以一百， 这是五， x 方等于一百，那 x 方不就等于二十吗？那 x 等于多少？二倍根五啊，对吧？二倍根五，所以说 x 二倍根五，它不就是二 x 就 四倍根五啊，所以这个答案就是四倍根五。而这就是胡不规的问题啊，胡不规的问题就是关键解决这个问题，把它用一个线段来代替。 好，接下来看，哎，第二个问题，叫阿是圆，怎么说？这个动点在圆上动，叫阿是圆。比如咱们直接上题啊，看一下 说半径，哎，这个圆是半径，是根二，然后 p o 告诉你是根十 m o 是 二。好，接下来，哎，这儿个垂直好， q 是 动点，它 q 在 圆上动，对吧？但求 p q 加上一个二分之根二的 q m 好， 还是问题，怎么解决这个问题啊？而这个我告酵素教给你一个非常非常快，一个一个，一个一个问题啊，找那个什么呀？找翻译点， 找翻译点是最快的，也就说你要用一个线段代替二分之根二比 q m 怎么去找呢？你就直接先把圆心和这 q 或者动点连起来，连完之后因为它要变换 q m， 所以 说你就让在 o m 上找这么一个点 n， 找这么一个点 n， 满足什么呀？就满足 o q 方 等于 o n 乘以 o m， 这也称为叫斜式引定律。好，那就 n 就 追找到了。为什么呀？因为 o q 告诉你了呗， o q 告诉你啊，半径是根二，所以它就二。 o n 呢？我不知道啊， o m， 我 可以知道 o m 是 二，所以说 o n 是 几？ o n 是 一，所以 n 就 为 o m 的 终点。我就求完了， 我就找到这个 n 了。好，此时你会发现咱们说，哎，前面讲过一个斜视影定律，那此时你又发现这个三角形 o n q 是 不是就相似？暗形 o q m 它也相似了，毕竟相似比于几啊？相似比是不就是，哎，这个， 哎，且，咱们听刚说这个 o n 比上 o q 啊，是不就是得根二比二啊？呃，这个，为什么呀？因为你看相似比，相似比，就是你会发现我这 q n， 因为它相似了嘛。相似完之后， q n 比上 q m， 是 不就等于 o n 比上谁呢？比上 o q 啊，定编码， o n 是 几？ o n 是 一， o q 呢？根二，所以就是二分之根二了。 那所以你又发现你这个 q n 其实就是二分之根二倍的 q m。 哎，你这个原式我就可以画见了啊，原式看一下啊，原式其实就是 p q 加上一个二分之根二倍的 q m 是 不是 q n， 所以 其实最小值，这个最小值 a， 你 发现 p q 加 q n 加 q n， 什么最小啊？是吧？所以最小值什么呀？最小值就是 q n 呐， 就 q n q n。 我 求一下就得了嘛，进来求一下。怎么求呢？他是一， o n 是 一，他呢？是根十一。一求，我知道了，根十一呗，多快？所以说答案是多少啊？根十一啊， 所以啊，这个作哈士圆，最主要是找了个点，翻译念怎么去找？就利用斜式引定力去找，直接描杀到 a 这个 n 的 点的值， n 的 点在哪里我就可以了。那接着讲瓜豆啊，瓜豆 瓜豆初中所涉及到的一些轨迹啊，就是线和圆的问题。种线得线，种圆得圆吗？是吧？好，接下来咱们先讲圆的问题。圆的问题他有两个条件啊，只有你看瓜豆必须有两个固定条件，而第一个条件就是他得有定角。定点，定角嘛，就说 a 得是一个定点， 定点 r 加二给定角，那定角就是角，这个 p a q 吧，一个是定角，一个定比例，只要这两个出现，那绝对是瓜的原理。定比例是什么呀？就是 a p， 这个 a p 等于比上 a q， 那 等于 k， 哎，就它的比例是固定的，那所以也随是个圆，那 p 是 一个圆，比较主动点，它主要动嘛？ q 呢？ q 跟着动， 你发现 p 是 一个圆，对吧？哎， p 是 一个圆， q 呢？ q 也是个圆，现在这个圆，咱说圆要确定圆心和半径，圆心决定那个圆的位置，半径决定圆的大小，所以这两个 y f 主要确定了，就知道轨迹了。好，怎么确定 q 所动能圆圆心呢？你就 给看这个图，你就把 a o 连起来，就是把这个定点和主动点的圆心连起来，然后呢，你做一个角 r 法，你做这个角是 r 法，而且还要满足什么呢？满足你这个 a m， 哎，比上，哎，其实不都不是 am， 咱这个统一一下，咱那个统一一下。哎，同意一下说，哎，我不要 am 了，就是因为这 a p 比 a q 嘛，要满足 a o 比上 a m 一定要等于 k， 为什么啊？因为 a p 一定要接着等，因为 a p 比上 a q 不 就是 k 吗？ 对啊， a c 一定要找到这个角，做一个角 r 法，而且比例呢？要是 k， 那 我这圆心是不是找到了呀？圆心找到之后，你又发现我这两个三角形是不就相似了呀？ 因为都是 r 方嘛，然后对应成比例，你这个 a p 比上 a q 也是 k 啊，所以这样算相似。相似之后，非常关键的元素来了，就是你对 p o p o 是 不是主动点的圆的半径啊？ q m 呢？是阻动点元的半径了，他是不是也是 k， 也是 k？ 也就是说 a， 你 只需要满足 a， 他 a 跟他比是 k， 那 所以我这个半径知道，我这个半径也得，知道 就明白了。还接着咱们上一个题，好，比如说看这个题， p 呢，三斗四，当 p 的 半径是二， a 是 二点八斗零。好，那 b 呢？五点六斗零， 好点， m 卡点， m 在 q 上动，在这个 p 圆 p 上动， c 是 东点， c 是 中点，然后接下来去求 a c 里的最小值。好，接下来看 咱这最值。问题就是轨迹问题， a 的 这个 c， a 是 个定点，对不对？ a 是 个定点，然后呢，那 c 绝对是一个动点啊，要找轨迹。好，咱们说卦的原理，满足什么呢？第一个定点，这都没有定角，定角是零，对吧？好，看一下，这个叫主动点， 主动点 a m 归结是个圆，那这个叫什么呀？这叫从动点。好，但说主动点是个圆，从点绝对是个圆种，圆得圆嘛，对吧？好，它是个什么圆呢？接下来，哎，开始了，它是个，咱们说了，那这个定点呢？ 跟这个主动点圆心相连，因为 c 是 终点，所以说圆心也得是终点，就在这， 哎，那个圆心哎， o 撇儿从的圆心就在这里。然后呢，因为 c c e 是 不是终点呢？所以说咱们是相似比是一样的呀，也就是 b m 比上 bc 是 二，那所以半径也得是一半，那我就直接找到了， 也就是 q 这个 p 的 半径。咱们刚耍 pi， 半径极二，那所以我 c 所动的这个半径 我大概得画出来是什么呀？是一， a 刚好是他的一半嘛，是吧，也非常好确定，所以说圆心和半径都确定了。那介丘他说 a c 最小值，最小值太考球了，最小值，当然所有最终的 d 都是穿圆心嘛，穿圆心最小值什么呀？ c 就 在这。 所以说，哎，我就看 o 撇 o 撇，因为 p 呢是三斗四， b 呢是五点六斗零，然后呢， o 撇是不是 p m 的 p b 的 中点是吧？ p a b 的 中点，所以 o 撇就知道了。三加五点六是不是八点六，八点六， a 四点三嘛， 四加零， a 除以二，也就二嘛，所以重点则包公式好， o 撇就知道了呢， a 撇为 e 也知道是吧？ a 是 二点八， 二点八逗零，所以 a o 撇我就能算出来了。 a o 撇点和点的距离公式对吧？点和点距离共值根号积啊，横坐标差，平方就四点三减二点八，那是几啊？一点五对吧？是一点五吧，一点五对， 一点五，也就一点五，什么呀？一点五？咱们换算一下，一点五是不就是二分之三？咱们说啊，用分数也二分之三括号加上一个什么呀，二减零的平方是不就是四，所以 a j 就 根号下 这个四分之九四人九加四分之六，四分之二十五，所以就是二分之五。 a a o 撇就二分之五，那看， 那你这个 a c 啊， a c 是 不等于 a o 撇减去那个半径啊？减去半径二分之五，当然半径，你上面那个主动点圆的半径是二，那你这个从动点与圆半径就是一，所以就二分之三，所以答案就是二分之三， 对吧？延伸的很清楚吧？还看最后一个叫中线得线，对吧？刮豆原理，他说主动别人的轨迹是个线，从那点绝对是线。好，咱们看一下。这个还是先看条件，就你如何确定绝对是刮豆原理？第一个定角，也就是这个 a e 啊， a 是 个定点，而法是个定角，对吧？第一个条件，第二个定比例定比，就这个 a p 比 a q 必须是定值，比如说就就等于 k a p i 比上 a q 绝对是 k 值，你绝对定值等于 k， 那 结论是什么呀？结论就是我这个 p 是 主动点，主动点 p 在 b d 这根线上动，从动点 q 边也在一个线上动， 那箭来开，确定在什么线上动，对吧？在什么线上动？在主动点，在 b d 上动。 no q 从动点就带线，这个线呢？这个线跟主动点那个线加角， b 是 顶角度数，也就而法，你是而法，我也是而法。好，我就找到这根线了，对吧？你们确定一下，为什么会是这个样子啊？这里给大家讲一讲。 好，咱们看一看，咱们说咱们刚刚讲了一个，叫什么呀？叫这个相似旋转，对吧？哎，首先看一下我这个 a b m 和 a n c 像不像 相似旋转，对吧？哎，这只是转过来的吗？横向那非常的像。好，那接下来咱们看一下啊，他，哎，我怎么擦掉呢？哎， 依靠塌掉好转中。你又发现咱们说有个什么，就是拉手线的加角等于顶角度数，对吧？拉手线加角，你会发现，哎，我驾驭乐教大家左右手啊，你发现 a n c a n c， 你 把你眼放到 a， 这个 n 呢？ n 是 不就他的左呀？就是左手，对吧？ 然后呢， c 呢？就是他的右手，你把你的眼放到 a， 往这个 b m 方向看， m 就 他左手， b 就是 他的右手。好，那你这个 m n 是 什么手？是不是就左手线，左手拉左手吗？ bc 呢？是右手线，右手拉右手吗？拉手向加着等于顶角度数，顶角多少？顶角不是尔法吗？ 顶角顶角是这个这个这个这个他这个是尔法，尔法 a， 尔法之后，那我这个加角这儿呢，尔法我就搞定了，是吧？所以告诉你，他这个加角这儿呢，尔法我就搞定了，是吧？所以告诉你，他这个加角这儿呢，尔法我就搞定了，是吧？所以告诉你，他这个加角这儿呢，尔法我就搞定了，是吧？所以告诉你，他这个加角这呢？尔法啊？给大家看一个题啊， 嘿，在一个平面直角作 b 当中，然后 a 呢是负三斗零， a b 在 这个正半轴上动， y 的 外轴，正半轴是动点，是个线，是吧？轨迹是个线， c d 好 点， c d 呢？呃，都在 s 正半轴见了 a b 为边，以 a b 有 边往下方做个等边差线 a b p， 那 b 呢？也在外轴上动，那么求 o p 的 一个最小值好看一下啊，咱们看如何既定，就就是刮的原理，第一个定点 a 是 不定点呢？定角圆是六十度吧，因为它做了个等边，对吧？好，定点，定角出来了，定比例呢？ 我都定比例，你又发现 a、 b b 上 a p 是 不等于一，这不就定比例吗？所以说，主动点 b 是 一根线，从动点 p 呢， 也得是一根线，也得是一个线，是个什么线？当然跟主动点那个线的夹角得十六度，那根线是吧？六度。好，记下，咱们要看什么？要看一个，我要找个特殊点，也就是说，哎，我要看 当当这个 b 点， b 点在这个位置，哎，也就是说满足 a b， 这个是六十度啊，这个六十度，然后呢？此时 p 在 哪啊？应要做个等边吗？ p 在 这儿， p 在 这儿，是吧？也要满足这只等边三角形嘛。所以说 a a 是 负三斗零， p 呢？三斗零。 好，接下来继续再做一根线，这个呢，是这么过，咦，哎，这个多少度？六十度，主动点是在外轴上，那那个从动点呢？就跟外轴相交，是加角，是六十度，为什么呀？因为你这个定定角是六十度嘛，所以我去弯了嘛，这个六十度。好，接下来，哎，开看， 你说，求一下 o p 的 最小值，最小值太简单了，给它垂过来嘛，这就最小值嘛。 p 点在这儿，它是六十，它是几，它不由三十度嘛。 o p 是 多少？ o p 是 三呢？ o p 等于三， 那你这个，这个是 o o p 撇吧， o p 不 等于三，对吧？ o p 不 等于三，那 o p 呢？ 就是这一段 o p 是 不等于二分之一的 o p 撇，因为它三十度吗？等于什么？二分之三，哎，所以说你就知道了，这个边是多少啊？二分之三， 所以说最小值多少啊？二分之三，所以我就讲完了。你学会了没有？整个九年级的几何模型，我到这里就全部讲减数完毕。啊。好，大家可以收藏起来慢慢学习。
3.1万数学思维阳老师
05:18查看AI文稿AI文稿三角形的三大角分线倒角模型堪称是初二几何的易错重灾区，懂数学的都知道初二的几何到底有多重要，像这三大模型，孩子们就一定要学懂学透，这样才能在初二初三大大小小的考试中稳定的拿下几何题的分数，跟着老师一起来学习一下。我们来看模型啊， 咱们今天看的是三角形的三大倒角模型，先来看啊，第一个是双内角分线，那顾名思义， b、 d 和 dc 都是这个三角形， a、 b、 c 的 内角角分线形成了一个假角啊，我们要讨论的是这个假角和角 a 的 关系。再来看第二种双外角分线模型，顾名思义，这个 b、 d 和 c、 d 都是这个三角形 a、 b、 c 的 外角角分线形成一个夹角啊，我们也去讨论这个夹角和顶角的一个关系。最后再来看一内一外的时候啊， b、 d、 c 的 内角分线， c、 d 是 三角形 abc 的 外角角平分线，那我们一个一个去看啊，一个一个去看，先来看双内角的时候，那我们要养成好习惯呀，看到角平分线，要想到设参数， 这边一个 x， 这也是个 x， 这里是 y， 这里也是 y， 那 么来观察这个图形是不是有两个三角形，一个是 abc， 一个是 dbc， 我 们要讨论的是这个角和这个角的关系， 来我们写一下啊，有了三角形，我就知道三角形内角和一定是一百八十度，所以第一个等是 x 加上 y 加上角 d， 它一定等于一百八，这是在这个小三角形当中，那在这个大三角形当中，是不是二 x 加二 y 加上角 a 一定也是一个一百八，所以是二倍的 x 加上 y， 再加上角 a， 它等于一百八十度。那我刚才再去分析的时候就告诉大家了，咱们要讨论的是角 a 和角 d 的 关系，所以我要想办法把 x 和 y 消掉呀。那我第二个式子，我两边同时除以二，就得到了这样一个式子， x 加 y， 加上二分之角 a 等于九十度。我两式相减，就得到了什么 x， y 是 不是消掉了，最后就得到了角 d 减去咱们二分之角 a， 它是等于九十度的。 整理一下，我就得到了角 d， 它是等于九十度，加上咱们二分之角 a 的。 好，这是第一个结论，记好了，再来看第二种情况，双外角的时候，哎，我们还是先把 x、 y 给它标好，设参数一定养成习惯啊。 这里再标一个角一角二，那我还是去利用到三角形的内角和一百八十度去看。在这个 a、 b、 c 三角形当中， 我这个角 a 是 不是加上角一，加上角二，它就等于一百八十度。那在这个 b、 c、 d 当中，我这个角 d 加上 x， 加上 y， 也等于一百八十度。那我们来看，在这个 x 所在这条直线上，是不是写的满满当当的， 我能知道二倍的 x 加上一个角一，一定等于一百八。那咱推过来，一个 x 等于什么呢？一个 x 是 不是等于一百八十度，减去角一再除以二啊？这是我们 x 的 值，那 y 呢？同样的原理，我这一个 y， 一个 y， 它就等于一百八十度，减去角二，再除以二啊。 这两个数，我再加上角 d， 也能够得到一个一百八。我们把它写一下，你看这个式子好复杂呀，对吧？我们把它简化一下，就变成了二倍的角 d， 加上三百六十度减角一，再减角二， 等于三百六十度。那我这三百六我是不是可以消掉啊？我把它消掉，所以就得到了二倍的角 d， 哎，减去角一，再减去角二，就等于零了， 好，我得到这个式子，哎，减号不太好看，哎，我把两个减号挪到另一边，变成加号的话，是不是就得到了二倍的角等于角一加角二啊？那么这两个式子摆到这里，我要去讨论角 a 和角 d 的 关系，我们怎么讨论？ 你看一下角一和角二，我是不是可以从这里边，从第一个式子里边得到是等于一百八十度减角 a 的， 对吧？所以我这里我就可以给他变成一百八十度减角 a， 啊， 那我整理一下，两边同时除以二，我的角 d， 它就等于九十度减去二分之角 a， 这是双外角的情况，你看差了一个什么符号，一个是九十度加一个是九十度减。好，我们再来看第三个以内以外的时候，能得到什么结论呢？依然我们要讨论的是角 a 和角 d 的 关系。那么看到角分线，我们还是要养成好习惯，把 x 和 y 都给他设上。 那我们再来看这个图形，在这个图形里边，哎，我发现如果用三角形内角和的话，哎，这里是少一个度数的，用不了。那我们用什么用外角来看啊？三角形 a、 b、 c， 我 把 b、 c 延长到点 e 之后，哎，这个 a、 c、 e 是 不是就是它的外角了？所以我二倍的 y 应该是等于二倍的 x 加上角 a 的。 那同样呢，在 b、 c、 d 这个三角形里边，一个 y 是 不是也同样可以是它的外角啊？所以一个 y 就 等于 x 加上角 d。 那 我依然讨论的是 a 和 d 的 关系啊，所以我要想办法把 y 和 x 消掉。那我在第二个式子里边，两边同时乘二， 是就得到了二 y 等于二 x 加二 d 啊，所以两式相减就得到了什么呢？角 a 减去二倍的角 d， 它就等于零， 所以角 a 其实就等于二倍的角 d， 对 吧？那我们三个格式整理的差不多的话，我就得到了角 d， 它就等于二分之角 a。 这个就没有九十度了啊。来，仔细记好了，双内角的时候是九十度，加双外角的时候是九十度，减一内一外的时候没有九十度，你记住我学会了吗？
831郭嘉老师团队(木木老师)![八上（新）青岛版动画视频—三角形内角和定理 #趣味数学[话题]# #数学思维[话题]# #青岛版数学[话题]# #八上数学[话题]#](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/tos-cn-p-0015c000-ce/o4e2AgQLONKxnBcfDeezdqAIM8AIWTBOoGvpuQ~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2102367600&x-signature=noBmd2JoM1PKGLv87RbxbuHiFDA%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20260818075048E026C62BC8FF27F2CA8C)
03:07查看AI文稿AI文稿小学时我们学过三角形的内角和等于一百八十度，这个定律看上去很简单，但在几何学刚起步时可是一个很难的问题，直到公元前六世纪才由毕达格拉斯学派的学者证明了它。 今天咱们就再来讲讲三角形的内角和定力。要想证明三角形的内角和是一百八十度，最简单的方法肯定是直接剪下三个角拼起来，可以发现刚好是个平角。 不过都初中了，肯定要换个高大上的方法吧。那怎么证明呢？提示一下，可以用平行线来证明呦！ 如图，过三角形 a、 o、 b 的 顶点 b 做直线， m 平行于 o， a， 已知 m 平行于 o， a 又角 o 和角二互为内错角。根据两直线平行内错角相等的定律，可得角 o 等于角二。 还有角一和角 a 也互为内错角，同理可得角 a 等于角一。观察发现角一、角二和角 b 构成了一个平角，所以角一加角二加角 b 等于角 a、 加角 o 加角 b 等于一百八十度，即三角形 aob 的 内角和为一百八十度。 当然，几何证明可以说是条条大路通罗马。如图，角 a 和角 b、 加角二是同旁内角。根据两直线平行，同旁内角互补的定律，可得角 a 加角 b、 加角二的和等于一百八十度。 又因为角 o 等于角二，所以由角 a 加角 b、 加角 o 的 和等于一百八十度一样，可以证明三角形的内角和为一百八十度。 那如果角 a 等于七十度，角 o 等于四十三度，角 b 的 度数是多少呢？这个简单，已知三角形内角和为一百八十度。求角 b 的 度数直接用一百八十度减去另外两个角就可以了， 即角 b 等于一百八十度，减角 a 减角 o 等于一百八十度，减七十度，减四十三度等于六十七度。 如果条件变一下，角 a 等于三十度，角 b 是 角 a 的 一点五倍。角 o 的 度数怎么求？先把角 b 求出来， 角 b 等于一点五倍的，角 a 等于一点五乘三十度，等于四十五度。根据三角形内角和定律可得，角 o 等于一百八十度，减角 a 减角 b 等于一百八十度，减三十度，减四十五度等于一百零五度。 只要三角形内角和定理掌握好了，这种题目就是小 case 啦！最后总结一下，过三角形顶点坐齐对边的平行线，可通过平行线定理将三角形的三个内角转化为一个平角，从而证明三角形内角和为一百八十度。 计算三角形某个内角的度数时，直接拿一百八十度减去另外两个内角的度数即可。怎么样你都？
05:27查看AI文稿AI文稿你敢相信吗？你学了十几年的三角形内角和等于一百八十度，竟然从来没被证明过？他只是个假设！数学界为这事死磕整整两千年，一堆最顶尖的天才全栽了。 不是因为太难，是这句话放到真实宇宙里，压根就不对！你以为平行线永远不相交？大错特错！一个二十三岁的年轻人，直接推翻了这个千年假设，三角形角度不再固定， 平行线开始相交，空间彻底弯折。大名鼎鼎的爱因斯坦，就是靠着这套被改掉的几何，把宇宙引力的底层逻辑全捋明白了。而你所在的宇宙到底是什么形状，到今天还没有最终答案。这套颠覆认知的几何悖论，到底藏着什么秘密？ 今天带你拆开揉碎，彻底看明白这一切的根源，是人类历史上最古老的数学教材之一。公元前三百年左右，希腊数学家欧吉里德写下几何。原本两千多年来，他都是全球通用课本印刷版本，仅次于圣经。 在他之前，数学家证明任何一句话都会掉进死循环。三角形内角和为什么是一百八十度？因为有平行线， 平行线又从哪来？问题永远问不到头，就像查字典，一个词全靠别的词解释，永远摸不到真正的答案。 欧吉里德先划出五条没法反驳的基本规则，叫做公社，其余定律全靠他们往下推。前四条又短又直白，第五条却写的又长又绕。两千年来，数学家一看到他就浑身不对劲。托勒密普、洛克洛斯等人接连尝试证明，结果全部失败。因为他们绕来绕去只是换种说法，重讲同一句话。 后来数学家反其道而行，假设第五条是错的，倒推有没有矛盾？这条路很快分成两支，一支撞上前面的公社，当场被否决，另一支怎么推都推不出破绽，反而越推越诡异。一八二零年前后，十七岁的亚诺什鲍耶一头扎进这条诡异的路。 他的父亲当年也钻研过同一个问题，被折磨的痛不欲生，写信苦苦哀求儿子，我曾走过这条没有尽头的黑夜，耗尽了自己一生的快乐，求你千万别去碰这个东西。可是年轻的暴耶根本停不下来。几年后，他终于想通 第五条，公社根本没法靠另外四条证明出来。他大胆构想出一种全新的曲面空间，在这里面，一条直线外能画出不止一条平行线，如 逻辑上完全没有破绽。一八二三年，二十岁的他写信告诉父亲，我从虚无中创造出一整个全新的宇宙。这个年轻人不只是数学天才，他从军后精通剑术和小提琴，曾一口气接下十三名奇兵军官的连环决斗，每打完一场就拉断小提琴放松，在 接着上场十三场，全部获胜。一八三二年，他把研究成果写成二十四页目录。父亲兴奋的把稿子寄给当时公认的数学第一人卡尔弗里德里希高斯，满心期待能得到认可， 几个月后回信即到，高斯却说，这些内容几乎和我过去三十五年独自推演的东西完全重合，夸你就等于夸我自己。鲍耶一度以为成果被窃取，从此心灰意冷，再没发表过数学作品。没过多久，他又得知俄国数学家罗巴切夫斯基比他还早独立完成了同 一套推导。一八六零年，鲍耶郁郁而终，留下两万页从未整理的手稿。直到多年后，人们才发现，高斯私下曾对朋友说，鲍耶是当时最顶尖的几何学家。高斯当年不敢发表，就是怕这套颠覆常识的理论招来嘲笑。后来，数学家黎曼把思路又推进一步， 如果爆耶的世界里平行线多到数不清，那黎曼构想的世界里干脆一条平行线都不存在。你现在脚下的地球表面，就是活生生的例子。任何两条经线看似平行，最终却一定会在极点相交。这套被数学家反复折腾出来的几何，八十年后被爱因斯坦直接搬进了物理 学。他意识到，一个自由下落的人和在太空中匀速漂浮的人，根本没法分辨自己是不是正受到引力。 由此他提出，引力压根不是一种力，而是大质量天体把周围的时空压弯了，飞船和行星只是沿着弯曲时空里最短的路径在运动。这套理论被验证的方式相当震撼。 二零一四年，天文学家发现一颗超新星的光被星系引力弯曲成四个影像。科学家用弯曲时空模型算出，第五个影像会在一年后出现在预测的地方。如今，科学家监测遥远脉冲星， 还找到了宇宙尺度时空正被大质量天体持续搅动的证据。于是问题来了，我们所在的宇宙整体到底是什么形状？平坦几何里、三角形、内角和刚好一百八十度 球面几何会比它大？双曲几何会比它小？只要测出一个足够大的宇宙级三角形，就能倒推出答案。科学家用宇宙大爆炸后三十八万年留下的微波背景辐射，当尺子测出的曲率数值只有千分之一左右， 误差范围甚至包含零，几乎可以说是彻底平坦。可宇宙的物质密度只要稍微差一点点，形状就会立刻变成球面或者双曲面。为什么他刚好卡在这条临界线上？至今没人能给出答案。 回头再看，这一切的起点，只是两千三百年前内部几何教材里一条让人浑身不对劲的公式。如果欧吉里德当年真的把它删掉，人类恐怕到今天都摸不透引力到底是什么。 一个十七岁少年不肯咽下的疑惑。一条被血藏三十五年的手稿。两千年过去，答案没有让任何人失望。真正的突破，往往就藏在那句所有人都绕着走，却没人敢去质疑的理所当然里。
798晴观万象
00:50查看AI文稿AI文稿随便画一个三角形，三个角为什么总能凑成一百八十度？关键不是两角器，而是一条平行线。先过顶点 a， 画一条和底边 b、 c 平行的直线， 看左边。因为两条线平行角 b 和顶点左侧这个角是内错角，所以它们相等，右边也一样。角 c 等于顶点右侧这个角。 现在把三个角放在一起，左边是 b， 中间是 a， 右边是 c， 他 们正好沿着一条直线排开，组成一个平角， 平角就是一百八十度，所以 a 加 b 加 c 等于一百八十度。三角形无论变瘦、变宽还是倾斜，这条平行线关系都不变，结论也就一直成立。
31小学数学加油站
02:07查看AI文稿AI文稿奥数启蒙动画三角形内角和第一集，这是一个三角形，它有三个角， 这些角都在它的内部，所以就叫做三角形的内角。所有内角加起来的和就叫内角和。那三角形的内角和是多少度呢？我们可以把这三个内角像这样折在一起， 就会发现他们刚好可以拼成一个平角，等于一百八十度。也就是说，三角形的内角和就是一百八十度，它是由法国的大数学家帕斯卡在十二岁时发现的，是不是很厉害？ 知道了三角形的内角和是一百八十度，咱们就能解决很多求角度的问题。比如在三角形中告诉你角一是七十度，角二是六十度， 要你求剩下的这个角三。这就很简单，它们三个加起来是一百八十度，那角三就等于一百八十度，减去其他两个角，也就是五十度。 这种知道两个角要求剩下一个的问题，可以说是 so easy 了。但有时候条件里面可能只告诉了你一个角，另一个角没有直接告诉你， 而是告诉你这个角四是六十度，那你还能求角三吗？你看，要求角三就要用内角和一百八十度减去角一和角二， 但是角二的度数不知道啊，这可咋办？别着急，咱们知道角四啊，它和角二是什么关系？没错，是对顶角啊，所以角二就等于角四，也是六十度， 这下角一和角二就都知道了。要求角三，这不就和刚才一样了吗？我就不啰嗦了， 像这样，角二的度数虽然没有直接给你，但你可以通过其他条件把它求出来。像这里我们就是利用对角相等求出了角二。好了，总结一下，关键就是要记住一点，三角形的内角和是一百八十度。
