初中几何天花板缩放旋转 探照灯模型
好，我们用前面讲的探照灯模型来解决这道题啊，题目就不再读了啊，要求这个三角形 a 一 f 面积的最小时，那么三角形的面积，我们最先想到的就是面积公式了，二分之一乘以底乘以高，那么这个地方呢，以谁作为底，谁作为高呢？因为有四十五度的角啊，所以呢，我们选择以 a f 作为底，那么他的高就是做一个 e s 跟他垂直， 那么这个高瓦一 h， 就等于这个 ae 乘以三四十五度啊，就是二分之钢化二个 ah， 那么这个面积 s 三角形的面积啊， 那就等于二分之一乘以 a f， 再乘以这个高，就是乘以 这个 ae 乘以三百四十五度，其中这个 ae 乘以三百四十五度啊，就是高 e h， 所以呢，钥匙的面积最小，那就是使得这两个乘积最小， a f 乘以 ae 最小啊，这两个乘积最小，怎么解决呢啊， 我们想到这个，看到四十五度的角啊，想到这个绊脚模型，但是呢，绊脚模型我们之前做的是在正方形里面啊，直接旋转构造权等，这个地方矩形怎么办呢啊，你旋转了以后， ab 和 ab 不能重合啊，没关系，我们旋转不啊， 不仅仅有这个旋转拳的啊，还可以旋转放松，哎，就勾到相似，那么这个辅助线啊，我们可以怎么描述呢？我们不旋转了啊，不大好描述，我们就 直接过 a 点做一个 ag 垂直于 a f 与 ce 的延长线， cb 的延长线交一点 g 啊，我做的是垂直啊，橡胶， 那么我们很容易得到啊，同角的，与角相等，所以这两个小角叫 g， a b 等于角 d f， 这样的目的是构造出这个三角形 agb 和这个三角形 a f d 相似，这样的话相似比也就出来了，对应边 ab 比上 ad 就是二比三啊， 一点五倍的关系。所以呢，我们就把这个 a f 啊，可以转化成 ag 啊，这个 a f 就是一点五倍的 ag 啊，根据相似比， 所以钥匙的这个 a f 乘以，我们把它换成一点五倍的 ag 的话，那不就是钥匙的 ag 乘以 ae 最小吗？其他都是定值哎， ag 乘以 ae 最小的话，不就是三角形 aj 一的面积最小吗？因为这个角也是四十五度，角积 a 也是四十五度，所以呢，这个三角形的面积啊，就等于二分之一乘以，跟上面的一样的啊，乘以 ae 再乘以 ag， 再乘以个三四十五度 来做一个高，这个高也是 ag 乘以三四十五度，所以只要使得 ae 乘以 ag 最小啊， 哎哎哎，只要是个三角形的面积最小，哎，然后面积最小，这不就是探照灯模型吗？前面讲的定角定高啊，这个角是一个定角，这个高 ab 是一个定值啊，就是要使得底边最小，面积最小的时候就是要使得机翼最小啊，所以我们把这个过程来写一下啊 啊，首先我们把这个三角形 a f 一要求的这个面积啊 s 给他表示出来，二分 一乘以啊，这个就是前面的啊，三十四十五度二分之根号二啊，直接带进去就是四分之根号，二个 a f 乘以 a。 好，然后呢，把这个辅助线我就不再说了啊，把这个 a f 啊，我们根据相似比把它转化成二分之三倍的 ag， 所以啊，带进去就化解一下，就得到这个三角形的面积 s 等于八分之三倍，根号二， ag 乘以 a， 下面要使得 ag 乘以 ae 最小，然后呢，我们借助这个三角形 age 啊，他的面积来，因为他的面积是等于二分之一个 ag 乘以 ae， 再乘以三，四十五度 啊，三十四十五度，二分之根号二，算一下啊，就等于四分之根号二倍的 ag 乘以 ae， 这样我们就发现了这两个面积的等量关系了。我们 要求的这个 s 啊，和这个三角形 aj 一的面积的关系啊，啊，就是他的二分之三倍啊，很容易发现。那么要使得 s 最小，那就是，呃，使得这个三角形 aj 一的面积最小，也就是记忆最小，就是前面我们讲的探道探照灯模型啊，记忆要最小，那就是 啊，外接圆的半径要最小，我们做三角形 ag e 的啊，外接圆远欧还是根据 o a 加上 os 大于等于 ab， 这个不等关系啊，当前仅当三点贡献的时候， aos 贡献的时候取得这个等号啊， o a 呢，就是啊， oh 呢啊，我们放到三直角三角形 og h 当中， 我们把它连起来以后啊，因为叫 g a e 是四十五度吗？我们根据圆周角定理，那么这个圆心角就是九十度，所以呢啊，这个四十五度啊， g o h 就四十五度， 所以他就等于二分之跟后二个二啊，这两个加起来要大于等于四，从而我们求出这个二的范围啊，是大于等于八减四倍跟号二，那么记忆呢，就是我们把放到直角等于直角正角形欧记忆当中跟号二个二， 那么他就大于等于八倍更换二减八，也就是他的最小值是八倍更换二减八，那么啊，可以得出这个三小时的 aj 一的面积最小时带进去算一下就是十六倍更换二减十六啊，从而这个 s 刚刚我们推出 s 是等于二分之三倍的，这个 三角形 aj 一的面积大乘一个二分之三啊，大于等于二十四倍更换二减二十四，所以他的最小时就是二十四倍更换，减去二十四啊， 这就是最终答案。那么下个视频呢，我们用正方形的绊脚模型啊，旋转圈等来解决这道题。呃，那么第二种方法啊，我们下面要讲的方法跟这个方法稀释啊， 实质上是差不多，但是呢，由正方形的绊脚模型，我们可以推出一个很重要的结论啊，所以还是有必要再讲一下下一个视频，我们讲第二种方法。
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的角度是个定制就可以。有以下两个结论需要你记住。首先第一个结论啊， 第一个结论的话，其实主要就是第一个结论，第一个结论出来了，第二个结论其实也很简单了啊，那第一个结论的话是 ab 等于 as 的时候， bc 是最短的，那此时三角形的面积肯定也最小，为什么呢？原因很简单嘛，他他他俩其实是一回事，因为 a b c 它等于什么？它是等于二分之一 b c 乘高的，你这个高别忘了啊，这个 h 是个定值啊， 对吧？既然这个定制的话，定制比上 b c， 所以 b c 最大的时候，面积自然就最大了，所以说面积最大和 b c 边长最大这个是同一个问题。其实，那好，我们先来证明第一个啊，第一个的话怎么去证明呢？需要把它的 外界源做出来，因为他此时有这样一个角度吗？阿尔法这个角度，所以我们需要把这个外界源做出来，这个圆是变化的啊，那么当你把这个外界源做出来之后的话，圆心就是点 o ouboc， 这个不用多说了吧，连接完了之后的话，这三条线肯定都指的是半径， 然后现在我们因为要研究的是 bc 的什么值啊， bc 的最小值，所以 bc 你需要用半径做出来啊，肯定当 bc 左右移动的时候，这个半径的大小也会变化。我们一会别着急， 来，根据圆珠角定理，这个角度是 r off 吧，没问题。那根据圆珠角定理的话，铜弧所对的圆心角和圆珠角有个两倍的关系，这是 off 吧。 你别忘了，我们辅助线里头的话，这个 o o e 其实是垂直的，根据垂径定理，它实际上是平分这个二 f， 左边一个 f， 右边一个 f， 也就是说把 原来 b o c 这样一个圆心角分成了相等的两个儿子。那清楚了，所以 b c 的话，我们完全可以写成等于二倍的 b e 吧。这个 b e 啊，其实它就等于这个半径，在直角三角形 b o e 中，它其实就等于半径，乘什么乘三啊？ off 呀，所以你要注意的是这个 off 是什么？ 哎呀，这是一个定值啊， l 是一个定值，三 l 也是一个定值啊。清楚了，当半径最小的时候，我们乘一个定值，那 bc 不就最小吗？现在清楚了吧，半径最小的时候 bc 最小，那我们接下来把这个式子呢给大家演示出来啊，你看一下， 出来了，现在也能讨论清除，因为二跟三二分都是定值，半径最小必须就就最小，那接下来就是要求这个半径什么时候最小了，对吧？来，大家看一个不等式啊， 显然你这个点到直线 b c 什么最短，肯定是这个高，肯定是它，这个 a 也是最短啊，它是一个定值，是个 h， 对吧？那你看 这条折线， a o o e 不用多说什么，肯定是大于 a h 的啊，因为点到这线垂线段， a h 才是最短的，所以肯定会有这样一个不等式，也就是图中 o a 的长度，再加上这个 o e 垂线段的长度呢？加起来是大于等于 a h 的。 那么大于等于 a h 的话，我们始终要跟半径扯上关系，因为我们刚才已经研究清楚，当半径最小的时候，它才是 b， c 才是最小的，对吧？那好，半径好说吗？ o a 不就是半径吗？ 哎，请大家告诉我，这个 o e 跟半径或者说跟这个定角有什么关系？知道了，其实呀，我这个 o e 就是等于 r， 再乘口算 r 法。那现 现在我清楚了，我们只需要将这个不等式里头 ov 转换成半径吧，然后 r 呢，这个 oe 呢？转换成 r， 成口三吧，大家注意啊， 很轻松的，我们就能转换成这样一个 h 比上一加上口三， r 稍微转换一下就出来了，大家要注意这是个什么值？这是一个定值啊，它是定值， rf 也是个定制，所以这个分式呢，整体上它是一个定制， r 大于等于某个定制。我们现在研究的就是什么时候取等于号，这个等于号本质上一样的，你说这个位置什么时候取等于号， 肯定是当 a、 o、 e 贡献，并且正好过 h 的。哦，懂了，其实就是 a o、 e 贡献就可以了，对吧？此时如果 a o、 e 贡献的话，那点 a a b a、 c， 它不就变成。你看这个时候 a、 o、 e 点 e 和点 也是就重合了，那此时 a、 b 是不是等于 a、 c 是不是个等腰三角形？是啊，此时圆就是最小的，半径也是最小的，能清楚了吧？所以接下来我们写一下这个分析过程就行了。什么时候取这个地方的等于号啊？ 只有当 a、 b 等于 a、 c， 实际上也就是说 a、 o、 e 三点共线，点 e 和点 h 重合的时候，半径最小，半径都最小了，你说 b、 c 是不是最小？是呀，此时 b、 c 和面积都是最小的， 清楚了吧？现在我们讨论清楚了，就是当 a、 b 等于 a、 c 等腰三角形的时候，他这个 b、 c 在定角定高里头才能是最短的。那行了，了解完这一点之后的话，我们要正第二点周长。 为什么还有同样的结论？当 a、 b 等于 a、 c 的时候，它的周长也是最短的，它的周长的话，你直接研究，我觉得不太好研究。我们把周长折成一条线，也就是说 把 b、 a 呢翻到这个位置来，翻到 b、 e 的位置，清楚吧？啊？然后把这个，嗯 c a 呢也是，嗯，转过来，转到同一条线上，转到这个 c、 f 的位置，大家能清楚吧？所以做辅助线的时候，咱们怎么去做辅助线呢？已经给你演示出来了，延长 c b 到什么到这个点 e 吧，这两条线是一样长的，然后呢，延长 b c 到 f 点， c f 和 c 也是一样长的，所以说它周长的话，其实就转换成了什么，就转换成了 e f 的长度，这个 e f 的长度就是整个三角形，原来三角形 a b c 的周长，所以现在我们只需要研究 e f 什么时候最小就行了。这个时候有一点特别巧妙啊，大家注意一下， 来定脚定高一开始的结论，这是 r 吧，这个 a h 是个固定的长度 a h 吧，大家别着急啊，来比， 比如说啊，咱们把这个角叉，这两个角叉肯定相等，因为他本来就是等腰三角形吧，他就变成两个角叉了，没问题吧？继续啊，这两个角圈的话，也是 c a 等于 c f 角圈相等吧，那根据外角关系的话，角 c 就是啊，二倍的圈，所以说二倍的圈 加上二倍的叉，再加上这个角 b a c， 其实我就加上这个 f 啊，你看这就是 f， 它呢是等于多少？等于一百八十度的，这个很好解，那就是三角形的角和所以圈圈叉的话，它是等于九十度， 再减去二分之一 f 的。那写这个东西究竟有什么作用呢？有作用，看了啊，所以现在我要求一个角，哪个角呢？大家看清楚啊，我在哪个位置写的是叉，这个位置是叉，这个位置是圈，中间是个 f。 我现在求 e f， 这个 张角是不是一个定制？他是的啊，他是等于左边的叉，右边的圈圈加叉，再加上中间的 f， 你说这个东西再加上 f 是什么？是九十度 加上二分之 r f， 咱把它写成 bate， bat 是个什么值？是个定值啊，你 rf 是个定值，那 bat 不不就是个定值吗？所以现在我们讨论哪个三角形？哎呦，在 b， 在 e、 af 这样一个三角形中，这个张角是确定的吗？定角了吧？ 这个 a、 h 到底边 e、 f 的长度它也是定制吧？它也是个定角定高啊。你看，只不过此时的定角变成了 eif， 这个长角定角定高，什么时候 它这个 e、 f 最短来着？肯定是当 a e 等于 a f 的时候，这种情况下 e、 f 才是最短， e、 f 最短，其实就相当于原来三角形 a、 b、 c 他的周长最短，他俩其实是一回事。那么现在我们要得的结论是，当什么时候呢？当这个 a， 哎，清楚吗？你说 ae 现在都等于 a、 f， 你说 ab 等不等于 ac 等于啊？原因非常简单，首先你这两个等腰三角形吧，他怎么样？他底边一样长了吧？底边一样长的话，其实很容易推出来，这个 ab 和 ac 他是一样的。咱们倒一下，现在其实角圈和角圈一样了， a、 a、 f 是个等腰三角形，这就角叉，这也是角叉，都一样啊，等腰三角形，然后两边的角叉，两边的角叉，这还用我说吗？既然说 a、 b、 c 和 a、 c、 b 都是相等的，所以 当这个 a、 e 等于 a、 f 的时候，它直接就会得出来 a b 是等于 a、 c， 你看是不是？当三角形 a、 b、 c 定 角定高满足这个前提的时候，当 a、 b 等于 a、 c 是个等腰三角形的时候，就能够保证它的周长也是最小的了。所以说这个模型是不是很有意思啊？探找到模型，定角定高模型，那接下来我们是要做题来巩固一下的啊，来看一下。 嗯，如果是这样第一道填空题的话，咱们就以小题的方法来做啊，这个直接很容易就得出来了，因为他这个角， 这个角是个定角，是个九十度啊，然后 a、 d 呢？定高是个十，那行啊，他说这个 b、 c 的最小值什么时候最小？肯定是当 a、 b、 c 是个等腰直角三角形的时候，对吧？你不妨把这个 a、 b、 c 直接等腰三角形，等腰直角三角形咱们给画出来。看 看我画的这个图啊，这就是 a、 b， 这就是 a、 c， 现在它就是个等腰直角三角形， a、 b 是等于 a、 c 的。既然是等腰直角三角形的话，你这个 a、 d 都等于十， 那 b、 d 也是十， c、 d 也是十，那 b、 c 此时就是最小的，十加十二十不就完了？你看很简单吧，但是你必须得知道这样一个结论啊。那么第二点的话，大家可能在担心会遇到大题，其实基本上都是小题的啊，如果遇到大题的话，我也说一说应该怎么去写一下过程啊。咱就以第二题为例， 他的话一看就是边长为四的正方形，里头有个四十五度，是绊脚模型吧。绊脚模型的话，咱们肯定是希望圈加叉 是四十五度，圈加叉他是等于九十度，减去四十五度，他这个四十五度是这么来的，所以绊脚模型呢，根本上是想把这个圈和叉挪到一块去。这个也好说啊，我们只需要延长 cd， 比如说到达点 g， 令这个 dj 的长度等于 b 的长度，并且 连接 ag 就可以了。连接完之后的话，首先圈一和圈二全等了吧。然后的话，也就是说刚才这个圈加叉，这个叉挪到这个位置了，然后成功就出现四十五度了，能清楚吧？他是这样一个问题啊，所以说我先把这个辅助线呢给大家画出来， 画完这个之后的话，大家放心啊，延长之后的话，我写上最关键的 d g， 它是等于 b、 e 的，这个时候的话很轻松啊，会得出来这样一个结论，边角边会出现全等，谁跟谁全等？我写上三角形 a、 b、 e 是全等于三角形 a、 d、 g 的。既然这两个三角形全等的话，我们还要得一些东西啊，就是很容易倒角。刚才我说了，一开始这个圈加叉，他俩是四十五度八，现在呢，根据全等，你把叉挪到了这个位置，是不是四十五度 就有了？也就是说图中这个角 g a、 f， 它明显是等于圈圈差等于四十五度，这个倒角上很容易倒出来的。倒完这个之后的话，哎，不用我多说什么了吧，还是有边角边第二组的啊，第二组的谁跟谁全等呢？这个三角形 a、 e、 f 和三角形 a、 g、 f 其实是全等的，为什么全等还是变角变为什么？ 首先 a、 f 是个公母边，这不用多说什么啊。其次呢，你这个 ae， 你说 ae 为什么等于 aj 呢？因为 ae 和 aj 它是第一组全等的对应边啊。第一组全等三角形对应边长肯定相等吧。 其次的话，原来有个四十五度，你倒角也倒出来一个四十五度，所以是不是边角边上下这两个三角形就对称的全等了， 他这道题本来啊，让你求的是 aef 的面积的最小值，现在咱们换了，换成了什么？换成了求三角形啊，懂了，现在啊，我们求的就是哪个三角形？三角形 a f g 或者 a g f， 它这个面积最小值了，什么时候最小？嗨，如果你要只是说为了把这道题做出来的话，咱直接 a g 等于 a f， 然后进而根据三线合一得出来 这一题等于 ddf 就可以了，完全可以这样来做啊。但是作为这个大题的话，我也说一说，如果这道题假如是个大题啊，咱也说一说他是怎么来做的，是这样来做的啊。来 图中 a m 加上 m n m n 做的是垂向啊，它肯定大于等于 a d 吧，其实就是大于等于四啊。我们这个 a m 的话不用多说什么，就是外结缘的这样一个圆心，这个外结缘我们做的是三角形 a j f 的外结缘啊，因为你现在研究的就是三角形 a j f 面积的最小值，而再加上 r 乘这个位置是四十五度， 那么根据原表定理，这就是九十度，我们平均分配一下，上下都是四十五度吧，所以说他还是很容易得出来，这个 m n 他就等于半径乘口三四十五度，但是这个口三四十五度的话，我想写上二分之根号二啊，大于等于四，所以你看 这个半径最小的，他其实是可以求出来的啊，这个半径我写上吧，大于等于多少呢？四除一加二分之跟二。先不用着急，我们先放这啊，那么现在我们要看了，根据刚才我们讨论的这样一个过程，你说 g f 最小 应该清楚了吧？ g f 它的最小值是什么？ g f 实际上它是等于，嗯，半径来个三四十五度。我们一开始就讨论过，它实际上就是根号 二倍的多少。根号二倍的二。那现在就很容易了啊，我们只需要解这样一个式子，把 r 带入把的全是这样一个式子，四倍根号二，然后再来个一加二分之根号二计算一下啊，看一下 gf 它的最小值是多少。这种情况下最小值啊，现在我们算的就是最小值，把这个二带进去就行了。 呃，分子分母同乘二，二加根号二，这就变成了八了，然后分母有理化，来一个，来一个二减根号二啊，然后二减根号二行。那现在分母的话，平方差公式肯定是等于二吧，所以最终结 我就变成了四倍根号二。反正你自己算一下就行了啊，是不是？所以最后结果就是八倍根号二减八，八倍根号二减八呀，所以面积的最小值不就是等于此时 g f 求出来的这样一个最小值，就是这个八倍根号二减八，再乘这个 高度吧，固定的高度 a d 吧，它就是一个定角定高模型，那最终的结果的话，就是十六倍的根号二减八了，应该清楚吧？十六倍的根号二减八。 那么刚才的话，咱们介绍的是大体的这样一种结法，万一你在考试时候遇到定巧定高大题的话，你还知道怎么去写这个过程呢？做出外接元来就可以了。 那如果是小题的话，这道题就特别简单了。小题啊，现在是小题，小题的话我们直接利用结论就行吧，只要 ag 等于 af， a j 等于 a f 的时候，我们这个三角形 a j f， 它这个能够得到最小值，对吧？ a j f 的面积就是 a e f 的面积， 那这种情况下的话，根据三线合一，等腰三角形底边上的高，你看底边上的高，所以根据三角合一，其实 ad 也是中线，也就是说 gd 是等于 df 的，咱们假设它啊，就等于 x， 那很简单了， j d 是 x 吧，那旋转之前，其实这个 b 也是 x， d f 是 x 吧，所以根据总长度是四啊，边长是四啊，所以 这个 c e 是多少？ c e 四减 x， 这也是四减 x， 哎呀，既然有四减 x 了，看好了啊，你刚才不是得出来这个东西都是 x 吗？那这个二 x， 根据全等的话，这个 e f 实际上也是二 x， 因为三角形 aef 和谁呀？三角形 aef 还有 a gf 是全等的，那所以啊，根据等腰直角三角形，你看这是不是一个等腰直角三角形，谁呀？ e f c 啊，因为它的腰是一样长的，既然是等腰直角三角形的话，它的三边有比值，一比一，比根号二吧， 也就是说四减 x， 我们其实只需要乘一个根号二倍，它就是等于二 x 的。这样的话，其实也可以得出来， x 是等于四倍，根号二减四的，那二 x 也就是 g f 的长度不就是二 x 吗？ 他的话算出来之后的话等于多少，那就是八倍，根号二减四，那最终的话，还是可以算出来面积是等于十六倍的，根号二减十六的。那么这道题也就算完了，应该学会了定角定高探照灯模型了吧，分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下期课再见！
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18:51查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来讲一下中考数学的碳中的模型，当然也叫定角定格模型了，以成都中考的一道亚洲题为例吧， 我们来看一下为什么叫定角定高模型呢？其实他这个名字已经告诉你了，定角就是角度确定呗，就图中呢，虽然说三角形一比四的这个大小可能是不确定的，但是说他这个角度比确定，而且这个高 就是点 a 到 h 到这个 l 的距离，他必须是确定的，这个 h 不会变，然后这个 r 也不会变，但是 b 字的位置可以变，这个呢，就叫探招灯模型，或者叫定角定高模型。 然后他一般问什么？一般问的是两个，其实两个是一样的吗？你只要求出来这个 bc 了， bc 是底呀，然后高是确定的，对吧？当这个 bc 最小的时候，面积肯定也是最小的，咱们求一个另外一个，另外这个面积的话，你乘一个二分之一乘高就行了啊，那我们就来看一下第一个 啊，怎么求最小值呢？其实套路是确定的，像这种问题，三角形问题，很多时候他都是做这个外结缘的，是不是做外结缘， 那么做完这个三角形 abc 的外界员以后啊，我们这个圆心的话，先看一下圆心就是点欧。那左边这个图是怎么回事？你仔细观察他左边这个 bc 呢？我是标阴影了，左边是个视频啊，是一个小动画。那么还是看一下啊，看一下这个动态的过程，大家看一下， 直观上来感觉一下。什么时候这个 bc 呢？他是最短的，肯定是当这个 aoe 重合的时候是最短的，对吧？是这样的， 然后为什么呢？现在我们就要说了，先呢，先把这个 abc 外界员给做出来，做完这个外界员的时候，那这个外界员的圆心已经是点欧了，他这个半径咱就继承这个小 r 呗。现在图中的话，我们根据什么？根据原这条定理， 请大家告诉我，这个角 b o c 和这个 f 什么关系啊？ b o c 是圆心角，这个 l 是圆这个所以说是两倍的 f， 咱们先标上两倍的 f， 那么还有啊，左右两边，哎，你说左右两边这个角一和角二是不是相等啊？把 f 分成两份啊，所以说是两个 f， 嗯，把二 f 分成两份了， 那么得出来这样一个三角形。以后别忘了，我们是要过点 o 做这个 oe 垂直于直线， l 交于点 e 的， 那也就是说左右两边这个三角形 b o e 还有这个 c o e 呢？其实都是直角三角形，我们研究一个就行了，或者说你根据垂肩定理也可以垂肩定理吗？对不对？那么接下来的话，他不是求这个 b c 的最小值啊，我们根据垂肩定理的话，这个点 e 肯定是终点了， b c 是等于两倍的 b e 的，我们 观察哪个三角形呢？我把这个三角形写出来，三角形 b o e 在这样一个三角形里头观察好了，半径在哪啊？半径不就是个 b o 吗？标出来了，那这个 b e 的话等于什么？ b 不就等于二倍的半径，也就是斜边乘什么呀？乘三 f 的值好了。但是这个半径的话，显然刚才我们看这个小动画的时候呢，已经发现了，半径在运动过程中是变化的值，他不是一个确定的值，我们现在实际上求的是什么？求的就是这个半径的最小值。为什么呢？ 你想啊，因为 rf 是确定的值，所以三 f 也是一个确定的值吗？所以我们现在求的就是什么？求的就是 r 的最小值。什么时候能够取到最小值呢？ 显然是哎呦已重合的时候。为什么是哎呦已重合的时候？那现在我再画一个图形，其实你就知道了，看这个图形里头啊， 这是 h， 显然图中这两条粉色的线， a o 加上欧 e， 他是大约 h 的，因为直角梯形嘛，那看了啊，看好了，同学们，因为这个 a o 加上 o e， 他是大于 h 的，什么时候等于呢？就重合的时候 a o e 啊，这三个点，就是说在从同一条线上，或者说 a o e 就是点 e 和点 h 重合的时候也可以啊，是大于 h 的，或者说大于这个 a h， 那么我们转换一下，这个 a o 显然就是半径了。那这个 oe 的话，其实刚才说过，你看在下面这样一个直角三角形 b o e 中，那这个 r 半径半径也就是斜边吧，乘这个扣三啊，我懂了， r 再加上 r 乘 口算啊，二法，那就是 oe， 然后大于等于谁啊？ aa， 这不就是我们这个定值 ah 吗？好，也就写出这样一条编来了。 那么写完之后的话，我们写什么？写这个 r 大于等于改变一种写法吗？ h 除一加扣三 r 法。哦，原来是这么回事啊， 那现在这个圈一和圈是不是可以连立一下啊？那连立之后的话，所以这个 b 四的长度他就变成了什么？我们把这个二呢，还有 h， 因为这两个是定制，我们就挪一块了，然后再乘什么呢？再乘注意这个位置啊，他应该是大于等于号 三 f 再除一加口算 f 就可以了啊。就是，原来就是这么回事啊，你看右边 h 是个定值吧， f 也是个定值吧。所以呢， bc 原来是大于等于这样一个去年的值。但是在考试时候需要写出这个公式来，一般都是不需要的。为什么不需要？一会做题你就知道了啊。那么其实到这个高中，你要喜欢三角形能变换的话，这是一个什么 公式啊？这是一个三角横能变换里头的万能公式，他还可以继续往后画线，他的话就是二 a 之城，原来这画圈这个整体，他是可以画成这个摊的二分之二。哎呀，这个就不多说了，因为初中同学很多都没有学过三角能变换吗？你就掌握到这就足够了。 我们接下来看这道题，有人可能要问了，老师你只讲第一问，你怎么不讲第二问？第二问还需要讲吗？你这个底边最小值已经出来了，你来一个二分之一 bc 乘，这个确定的也是不就是面积吗？所以第二问，其实第一问出来，第二问就出来了，咱们看乘途中啊，这个题是这么说的，在直角三角形 abc 中 角 acb 呢？你看虚线啊，他是一个确定的直角三角形边长的话分别是这是根号七，然后 ac 是二，那你根据勾股定理吗？那这个 bc 的话，肯定等于根号下 七减去二的平啊，原来等于根号三啊，也就是说三角形 abc 原来是一个嗯，确定的三角形指标三角形，然后继续往后读啊，他说过点 b 做 ac 的平行线啊，做完了你就说这条直线 m 呢和 ac 原来是平行的， 然后他将这个原来三角形 abc 绕点 c 顺时针旋转到 a 片 b 片的位置啊，旋转到这样一个位置了，当然原来这个阴影部分就这样一个虚线，人家是不动的啊。 那么在旋转过程中，他说了这个射线 c a， 这条射线和 cb 片这条射线交直线 m 分别是多少？分别交于点 p 和点 q。 图中画的非常详细，一共有三问啊，后两问是值得研究的。第一问题就是送你分 当这个点 p 和点 a 正好，也就是说这个 a 片怎么样，这个 a 片这个点正好落到了射线上，问你旋转了多少度，那肯定是射 遇到这个具体数值了，咱们算一下这个数值其实就可以啊。看好了，同学们，在图中我们求的是哪个角，求的是这样一个 f 这个角吧， 那根据平行的话，我们不就是相当于求这个 b a？ 哦，原来是这么回事，因为平行你下边是个直角，我上面是不是红色的部分也是一个直角？原来这个三角形 a 片 bc 是一个直角三角形。那再继续来看啊，我们标一下这三条边的长度吧，在直角三角形 a 撇 bc 中，他这三条边的长度。刚才我们用这个勾股定力已经算出来， bc 是个等于根号三的啊，然后这个 aps 也就是斜边呢，他是等，还有特殊笔直一比二比根号三，这不就是六十度吗？ 所以呢，我们看啊，三角四 a 片 b， 他等于多 多少啊？等于这个根号三比上二，所以这个角 c a 片 b 就等于六十度呗。那六十度的话，所以说根据平行 u 平行是可以推出来的吗？内搓角，所以呢，这个角 ac a 撇是等于 c a 撇 b， 他也是等于六十多，所以第一问就做完了。第一问其实就是送你分呢，咱们主要是看这个后面这两问啊，看第二问， 第二轮怎么说呢？第二轮他说了，在运动过程中，设这个 a 片 b 片和 bc 的焦点为 m 啊，也就是中点 m， 当这个 m 点正好是中点，就是图中这样一个位置啊， m 点此时是 a 片 b 片中点了，就说这两条线相等， 然后呢，让你求这个线段 pq 长。哎呦，这个第二好像有点难了，这个终点就能得出什么信息来。别忘了同学们，终点其实是非常重要的呀，终点我们可 可以相处什么？可以想到平面几何里头中一线定理吧，相似什么都可以写出来对不对？然后还可以想到什么？哎呦，这道题是直角三角形斜边中线等于斜边一半。哎呦，那就用啊，看这第二个这样来写啊，因为什么呢？因为 m 点为斜边， 斜边谁啊？斜边 a 撇 b 撇的中点，所以在直角三角形 a 撇 b 撇四中，他此时这个 m a 撇肯定是等于 mb 撇，然后又等于 m c 的，这就是斜边中线等于斜边一半，直接用就行了这个定理。 那么接下来我们看一下这个 m a 等于 mc 吧， m a 片等于 mc 的话，所以图中我就标了啊，你看这样的角一是不是等于角二啊？角一等于角二，那 接下来我们倒角其实就可以了吗？接下来这个倒角的过程我就直接用符号表示了，那角一角我就都写上叉呗，这两个角是相等的哎，叉啊，这个也是叉，那旋转之前这个角一步也是叉。 哎呦，有意思啊，那这个脚要是叉的话，再继续去倒脚，我想现在让同学们倒一下哪个脚呢？你现在帮我倒一下哎， 图中的这个，我标的这样一个角三，他能不能标叉或者圈？注意，你倒角的时候，咱们是根据这个圈叉互余，因为图中九十度太多了，所以我们用互余的关系来倒角。这个角三应该标什么呀？角三好标，你别忘了同学们，这个是圈吧， 这个不就是直角吗？刚才平行得出来的。所以说叉啊，原来这些位置都是叉啊，我们用一下哪个叉呢？好说，同学们看了啊，还是这样一个红色的三角形， cpb 中他这个瘫痪的脚叉，我们一开始其实是求出来的，这个瘫痪的脚叉其实相当于瘫痪的脚。谁啊？脚 b a c， 也就是这个摊着的脚叉，我就写脚叉了啊，你考试时候不要这样写，你老老师写这个脚的名字，他等于多少？等于对边 bc 比上这个零边 ac 呗。那么就是二分之根号三啊，原来摊着呢是等于二分之根号三，可不是三啊，所以他不是一个特殊的角。 那继续，我们研究哪个三角形？先研究红色的三角形 pbc， 就我画的这样一个三角形，在这个三角形中的话，显然你看好了啊， 摊着呢脚叉，这个叉不就是在哪呢？我把没有用的其他叉都不要，都擦掉了啊，都擦掉好摊着的脚叉，他是等于 pb， 比上 bc 的 bc 是多少呀？同学们， bc 他不就是根号三分之 pb？ 哎呀，那就太简单了。所以说 pb 呢，我们很快就求出来了，他等于多少？等于二分之三啊，原来是这么回事， 继续 pb 求出来了，你还得求这个 q 币吧。那 q 币怎么求？那根据右边这样一个脚叉，其实就可以了，继续啊，在另外一个直角三角形。哪个直角三角形啊？ cbq 中啊， 他这个弹针的交叉的话是等于对边 bc， bc 现在做的是分子，刚才做的是分母，不太一样的啊，出什么？出？这个 bq， 他是等于二分之，刚好三 bc 也是知道的。所以我说我们就能够算出来这个 bq 了， bc 等多少？最后你一算，算出来是等于二，所以由一和二可以得到。所以说嘛，此时这个 bq， 这个 pq 啊，他是等于这个二分之，也就是说这个 bq 再加上 bp， 最终加起来不就等于二分之七吗？原来最终答案是二分之七啊。第二位也并不是太难，主要是倒角。我们重点来看一下第三问，第三问就涉及到这样一个定角定高探照灯模型了。第三问来看啊，第三问是这么说的，他说 旋转过程中，这个点 p， 点 q， 分别是在射线延长线这个题杆上。我已经收到了啊，在射线的延长线上，也就是说此时 a 片和 b 片呢，是在线段 cp 和线段 cq 中间的。他这么回事，直接读， 然后探究四边形，哪个四边形，我把画出来，四边形 pq， b 片 a 片这个面积的最小值。我想跟同学们说一下，你说旋转过程中我画一下啊，你说旋转过程中这个三角形 a 片 b 片 c 的面积变化不变化，旋转过程是不改变。这个三角形的大， 他是一个定制，对吧？他这定制很好算，二分之一二升高，其实他的面积就是根号三，这个很好算，因为三遍我们刚才都求出来了。我们关键你想，你看我们现在研究的是谁的最小值啊？研究的是四边形 p， a 片 b 片 q 的最小值，那他其实不就等于谁？ 他其实不就等于大的三角形 cpq 减去小的三角形 c， a 片 b 片吗？ 因为 c a 片 b 片他是一个固定的值，所以他相当于大的三角形 cpq 减去多少？减去固定的值，根号三。 所以你求的是谁的最小值？求的是四边形的最小值。这道题你可以转换成求这个三角形 cpq 的最小值。好，那么就是定角定高问题。哎呦，我也， 什么是定角定高？现在我也有问题了，定角？哪个是定角？哎呦，这个角 pcq 他等于九十度啊，是个特殊的角度，那这是定角哎，那定高在哪？哎呦， 定高，你别忘了，定高不就是说点 c 到直线 m 的距离，也就是说图中这个 cb 这条高，他是确定俩，他是等于根号三的。我们一开始都求定角定高，果然如此， 定角定高求谁啊？求面积的最小值，实际上求的就是 pk 的最小值。这道题的话，定角定高一般套路是什么？刚才我说过了，讲这个模型的时候，定角定格的套路是做三角形 cpc 外界员，但是这个外界员有点特殊，为什么特殊呢？ 因为你想啊，这个外接元的话，你想这个角是等圆轴角九十度，那意思不就是说 pk 是直径， pk 是直径，这个圆心正好是 pk 中点圆心正好是在直线 m 上，他是特殊一点了啊，一旦变成六十度啊，或者说其他一些特殊的角度不是九十度的话，他这个题就没这么简单，他正好九十度，简单了许多了。 那所以怎么办啊？好说，我们这道题呢，只需要假设出其实外圈相当于做出来了，只不过外圈的圆形正好在 pq 中点上的啊。设点缀为什么为 pq 的 终点？我们的目的实际上非常简单，你想求这个面积 cpq 最小值，因为高是确定，我们只需要求这个 pq 这个底的最小值就行了。 那好说呀，那 pq 不就变成了多少？变成了两倍的 pg， 哎， pg 不就斜边上东西，斜边一半， pg 不就是 cg， 我们其实就是求这 cg 的最小值，你说 c 这什么时候最小，我们观察吗？显然第一种方法用几合法啊？方法一，几何的方法，那显然在直角三角形 bc 这种，他这个 cg 肯定是大于这样的 bc 什么时候等于呢？那重合的时候，把点缀和点 b 重合的时候，那这个 bg 等于多少啊？ bg 是等于啊，原来他是等于根号三，咱一开始就算完了，这个 bc 等于刚好三，那所以说这个 pk 的最小值 等于他的二倍，二倍更好，三倍，这是他的最小值啊。那求完这个最小值以后，所以说三角形 cpq， 他面积的最小值等于多少呢？ 最小值等于二分之一乘底，这就是 p q 啊，最小值再乘高，高是个确定的值，高就是乘的这个 pc 了啊， b q。 好，然后记住了这个二倍括号三呢 是谁？这个二倍刚好三是 pk 的最小值，这个呢是高高，也就是说图中这个 b c 的长度。好了，那最终球率是多少？原来等于三啊， 所以说我们看去二一吗？去二一的话，所以说这个四边形它面积的最小值是多少？所以说四边形面积的最小值等于三，减去根号三，然后这道题就解决完了。 刚才我说的是什么呢？这是几合法？有没有别的方法呢？另外一个是军志，不懂事的方法也有很多的初班同学知道，也有很多不知道啊，反正到了高中肯定是要学的。我说一下第二种方法，摄影定理加上军志不等式。什么是摄影定理呢？摄影定理好说呀， 你看是不是直角角形，还出现了斜边上的高？直角角形斜边上的高的话，那就是多少，那就是 bc 方等于 bp 长多少长 bq 了，这就是摄影定理的其中一个结论。摄影定理一共三个， 我之前详细讲过的。那我们完全可以假设什么呢？完全可以一开始的时候假设这样的啊， pb 等于 x， 然后 bq 呢？ 等于外呗，反正我们求的是 x 加 y， 这个整体的最值 x y。 嗯，你标出来就行了，这个是 x， 这个是 y， 那对完这个之后的话，我们我们发现这个谁啊？ x 乘外 b 四的平方，不就根号三的平方，原来等于三啊。 x y 是一个确定的值，那我们接下来求的是什么？我们求的是面积，别忘了啊，求三角形 c p q 面积的什么值？面积的最小值他是等于二分之一， p q 乘 bc 的，其实也就是二分之根号三乘 x 加外。我们现在研究的其实就是 x 加外这个整体的最小。 这个整体最小值不太容易求，我们平方来求不就行了吗？啊，看好了啊，因为 x 加外的平方 等于 x 方加 y 方加上二倍的 x y， 别忘了摄影电流 x x 乘 y 是什么？ x 乘 y 是等于三的，所以说原来他是 x 方加 y 方加上六。 那均值不等式的话，不就是 x 方加 y 方大于等于二倍的 x y 吗？两个都是正数，当然可以这样处理了。然后再加上六 a， 我 x y 等于三啊，等于十二，所以说我 x 加 y 左两边平方大于等于这个十二，不就是 x 加 y 大于等于二倍根号三的意思吗？所以带入圈一。 嗯，带有圈一，带有圈一不就是三角形 pqc， 它的面积是大于等于多少？大于等于三，也就是最小是等于三。 那最终的话还可以得出来，四边形的面积等于这个三，减去刚好三啊，最小值是这样的。哦，原来是这么回事啊，原来两种方法都可以。第一种方法的话，就用碳状的模型做一个外卷，这个外卷特殊了，圆形点缀，正好是在斜边，也就是说直线 m 上的比较简单。 然后第二种方法，用代数的方法摄影定理，先求出 x 乘外的尺来，再加上军事不能试。如果说你作为初中生，不了解军事不能试，你掌握第一种方法就足够了啊。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下节课再见！
2188会放羊的教书匠
05:46查看AI文稿AI文稿我们先来看一下这道题目，那么这道题目呢，我们还是讲两种方法，一种呢是初二的方法，一种呢是初三的方法。 题目中告诉我这个地点坐标是二 a， 在这个直线上，那么你就可以求出这个地点坐标，他应该是二二吧，还有这个 c 点坐标是零负一，零负一， 然后呢这个三角形呢，是一个啊，这个三角板，直角三角板，所以这个角呢，他应该是一个直角，让我们求这个四边形 acbd 面积的最小值， acbd 在这， 那么求这个面积的最小值啊，他往往要转化成这个线段的最值，在这里面我们可以给他转换一下这个四边形呢，我们把它分割成两个三角形，这个 ab 呢，已经把这个四边形 分个成两个三角形了，那为什么要看这个 ab 呢？主要就是说这个 ab 上的高，哎，一个是 oc， 还有个就是地点到这个 ab 的距离他都已经知道了，这个 oc 的话他就是一，这个高是知道的，那么这个地点到 ab 的高呢？这个高也是已知的，我们给他做出来， 把这个垂足，我们把它记住是点 e， 这个垂直的这个是点 e， 那么这个 d， e 的话他就等于二，那么这个四边形的面积，他就等于 s 三角形 a， b， c 加上 s 三角形 a、 b， d， 那么就等于二分之一，乘以一个 ab， 再乘以一个 oc， 加上一个二分之一 ab， 再乘以一个 de， 哎，那你这个可以单， 那前面这个 oc 的话就是一，那就是二分之一 ab， 再加上那这边呢应该是二，那就是一个二分之二，二分之二 ab， 那就等于二分之三 ab， 所以你只要求这个 ab 的一个最小值就可以了。那么现在的问题就是这个 ab 他什么时候最小呢？初二的话，我们可以这样来做啊，我们要抓住这个角 adb， 他是一个直角，也就三角形， abd 呢，是一个直角三角形，我们要抓住这个来解决他， 然后我们把这个斜边上的中线给他做出来。哎，我们记这个 ab 的终点为点 f 啊，这个点 f 是 ab 的终点，那么这个 df 和 afbf 这三个线段相等， d f 等于 a f 等于 b f 啊，也就是这个 f 点是线段 ab 的终点，那么这样的话，这个 ab 他就等于两倍的 df， 所以现在呢，我只要求这个 df 的最小值就可以了。 本来是求 ab 的最小值吗？ ab 是等于两倍的 df 的，所以你只要求 df 的最小值就可以了。那么 df 的最小值是多少呢？这个 df 他肯定是大于等于这个 de 的 d f 是大于等于 d e 的腿线段最短嘛，当这个 f 点和一点重合的时候，那么他们俩是相等的，而这个 d e 呢，是二，也就是这个 d f 是大于等于二的，那么 d f 大于等于二的话，那么 d f 的最小值不就是二吗？所以 这个 ab 的最小值呢，就是四了，所以就等于一个六，所以我们答案呢就是六。 那这里面就是啊，利用这个直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半啊，本来是要求这个斜边的最小值，然后呢转化成这个斜中线的这个最小值， 而这个斜中线呢，和这个高线他们之间又有一个哎关系，就求出了这个斜中线的这个最小者啊，这样的一个处理技巧呢，在初二的话还是比较常见的啊， 但是有的同学可能就想不到了，那么这个东西到了初三之后呢，他有一个模型，就是探照灯模型，也叫做定角对定高隐形圆模型，什么意思呢？你看这个角 adb， 他是一个直角，他是固定的， 你这个 ab， 他不管怎么动啊，也就这个三角板，你不管他怎么动，这个始终是个直角，并且这个 d e 啊，这个高呢，他是二，他也是不变的。那么这就是嘛，定角对定高隐形圆，这个 abd 三个点呢，他会构成的一个圆， 那么这就是一个定角对定高隐形面模型啊，也叫做探照灯模型，那这个模型的话，也是一个常考的，让你求这个 ab 的这个最小值，什么时候他有最小值呢？那就是当这个三角形 abd， 他是一个等幺三角形的时候，这个 ab 就最小。 那么他如果是个等腰三角形，也就是这个 d a 和 db 相等啊，那么 da 和 db 相等的话，再加上这个直角，那这个三角形 abd， 他不就是个等腰直角三角形吗？ 哎，那他是个顶绕直角，弹射性的时候，这个 ab 就最小。其实你可以证明一下，我们刚才这个啊， 这个 d e 等于二的时候，他确实是一个等于二这样三角形啊，这个是到了初三之后，哎，你如果遇到这样的一个填空选择题，直接利用这个啊太阳的模型，也就是定角对定高隐形元模型去解决，那么你的思路可能更容易出来一些。 当然这个东西怎么证明的话，呃，这个设计的内容就比较多了啊，这个探头的模型的话，他也有两种类型， 那这个东西呢？我们到了初三再讲，那么在初二的时候呢，我们只要了解一下这个模型就可以了，那么最主要的还是用刚才的这个方法来解决更多系统课程。点我头像专栏里有惊喜。
128老鹿说数学![[中考数学]压轴：隐圆问题-定角定高（探照灯模型）-第3讲 #中考数学 #初中数学](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/b3a5efed6afc349355094e461b288809~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2102882400&x-signature=%2FyD3OnGc5WzcZ7iAOwAWDZSeu1g%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=2026082406360056FF518EBDB436E07310)
22:18查看AI文稿AI文稿tom， 下面呢，我们继续来讲这个垫脚垫高模型。呃，昨天呢课堂呢就讲的比较快， 那我们主要呢就是讲一个什么内容呢？就是定脚定杆模型，主要讲的是这样的一个情况，就这个角度啊， b a c 他是固定啊，我现在让他等于七十度，那现在呢点 c 在动来动去的过程中啊，这个角度没有改变啊，这个高度也没有改变。他这种模型的一个 呃，一个特点呢，就说这个点 a 他是一个确定的点，也就是说这个定角的这个顶点呢，他是没有发生改变的，他没有发生改变。然后呢这个角度呢？也没有发生改变。这个 这个下面呢就是就像，就像一个地面啊，这个地面就像一盏灯探照下来就照下来呢，这个角度啊发没有发生改变，高度也没有发生改变，然后呢？但是呢影子在发生了改变。什么？ 什么时候 bc 的长度变得最短啊？我们希望的就是这条线呢，就是变得最短，希望这就是 bc 变得最短。嗯，我们呢讲这个模型，呃，比较简单的是这个直角的情况，那直角的情况呢？就是这个呃叫根据直角三角形，斜边中中间斜边一般半呢，所以 o a 等于 o b 等于 o c， 在这种情况下呢，我们研究的这个由于这个角度九十度不变，这个高不变。那我们现在研究的是这个 b c 的最小值的问题， 这个 b c 的最小值呢？实际上 b c 等于这个 o b 也等于 o c 嘛，实际上非常简单了，这个就无非就是内结缘的半径嘛，就是一个，呃，叫外结缘的半径，不是内结缘啊，这个是一个半径 l 嘛， 所以我使到这 l 最小就行了。假设我的高度固定为三的，那么由于这个 l 啊，它是这个大于三的，一般情况下，那什么时候叫特殊呢？特殊 呢，就是当这个点的和点欧重合的时候，这个时候呢，他就存在等的情况，所以呢，我们讲这个半径阿罗呢，肯定比这个山要大，或者是等什么时候等，我们现在呢去演示一下什么时候等，呃，我们呢就像这个点心呢，就动动，动到一个什么的情况呢？动到这样的一种情况， 这个 l 呢，就这个呢是 l， 就大家都是 l 的，这个也是 l， 这也是 l， 这个也是 l， 因为什么这个 l 等于三的，是不是啊？所以这个时候呢， l 就等于三，那既然大于或者等于三嘛，那大于三肯定不是最小了，只有等于的时候啊，等于三的时候才是最小的嘛， 所以等于三的时候是最小的，这种叫定角，定刀模型中的直角三角形的情况，那锐角三角形的情况呢？我们讲它的套路啊，就是角 b a c 小于六，小于九度的时候想 九度，那我们比方说的让这是为为六十度，那我们呢都有个固定的模型，或者说固定有个套路都在这里。这个套路呢，就是说让这个角啊，我假设这个角是六十度，那这角六十度呢？这个就是我先做出的第一步就做出来的外接源， 第一步就是做出外界员，你先甭管他怎么样，人家就想到这个办法，就做出了外界员，做 做的外结缘的时候呢，这个是我们利用这个到三点距离相等啊，这个就是阿罗，这个也是阿罗，是吧？这也是阿罗， 那么加上这个是六十度，那么这个是不是也是六十度？所以这个就有多少段三度，那么这个是二分之一 l 嘛，这个就变成二分之根号三 r 嘛，这也是变成二分之根号三 r 嘛。所以这个变成什么了？根号三的 r 嘛？那我们现在要使到 b、 c， 它等于根号三 r， 它使到最小值，我要找它的最 小值，其实就找 l 的最小值啊，所以把问题转化为 l 的最小值，那 l 最小值，我们看看这个 l 假设还是三，这个 l， 这是二分之一 l， 所以我们知道 l 加上二分之一 l， 它是大于或者等于正三。为什么大于或等于呢？就说这个加这个肯定比这个要长。 有没有一种情况，就是说这个加这个刚好等这个呢？可以就让这个点滴和点一重合就行了，也就说 a、 o、 e 这三点会贡献了， 那 a、 o、 e 三点共线呢？这个都在化折为值嘛，是不是？所以呢？我们讲二分之三 r 啊，二分之三 l 吧，这 l 大于等于三，所以二分之一 l 大于等于一，也就是 l 大于等于二，它的意思，那我呢样子三点呢，就是贡献，样子三点贡献的时候就变成这一种模型啊，就这种模型啊，你看这个时候呢，是 b、 c 是最小的，你看 b、 c， 观察这 b c， b、 c 是最小的， b、 c 最小，那半径阿罗也是最小的，你看越来越小，一起变小，小到这个五点零一，是不是？哎？小到这个五点零一是最小的，然后再过去就变大了，是不是这个意思？所以呢，我们得理解这个什么叫做他加他大于等于他， 当他他这张 a o e 三点攻线的时候，他就最短。哈，那我们就做了一个复习，那有些同学问到，如果是钝角三角形，他会怎么样呢？如果是钝角三角形，那图形是这个图形，我们一样是做出了钝角三角形的外界元， 这个钝角三角形的外接元我们做出来以后，我们再去思考，我们能不能像刚才那样子去得到一些东西呢？或者得到一些这个常用的一些结论呢？实际上呢也是可以的啊，那么我们现在呢，就是一样的，这个 我们时尚一开始是没有这个的图，没有这样的，一开始时尚是没有这些东西的啊，我们讲这个叫一个鬓钝角，这是一个钝角 bac， 它是一个鬓角，那定钢的 ad 假设还是三还是三，这高度我们现在的点息在发生改变了，很显然这个长度啊， 这个下面的 b c 在发生改变，那么角度呢？ b c 是不变，这高度也不变，那这种情况呢，我仍然是做出他的外接源，做出外接源的时候呢，还是做出这个外接源呢？我直接做了 身上呢经过的过程呢，就做中垂线，做这个 a 线，中垂线啊，这个主要于这个 o 点，这个时候呢，我们把这个呢半径给连出来啊，你应该刚才第二步不是把半径连出来吗？第一步做外接源，然后连接 oaoboc， 现在呢过这点 o 做这个 o e 垂直 b c 啊，那我们也做一个 o e 垂直这个 b c。 那么现在呢，是研究这几条线 段了，一个是 ao， 你看 ao 啊，一个 oe， 是不是还有 ad？ 那这三条线段的话呢？我们在这三条线段怎么样才能连在一起呢？我们就讲呢这个地方呢就有一个小技巧呢，就是我们往这里呢，就是继续的去延长啊，去延长，延长做什么事情呢？你看 延长过这个点哦，往这里做一个延长，做这个延长，然后呢往这里做一个什么呢东西啊？垂直，注意啊，这个垂直不一定在原上啊，应该说不是不一定，是不在原上，一般不在原上，什么时候在原上呢？就说这个，哎，几点贡献？等会我们再讲这个假设呢，就来到一个 h 点啊，是不是啊？我们看看这个呢， 刚才说了他是三，他是三，这是半径 l， 这也是半径 l， 这也是半径 l。 我们刚才不是说在这是一百二十度吗？这是一百二十度的话呢，这个一百二十度，那么这个角呢？一定是六十度 啊，一定是六十度，这六十度呢，这也是一，这个就是一百二，这个就是多少度呢？就是作为一个六十度角，是吧？那这个是多少？三十度角？三度所对边的斜边一半，所以这个是二分之一 l， 嗯，这个也是三，所以呢我们就会发现了，这个 l 在哪个三角形中呢啊？在这个三角形中， 在这个三角形中，这个呢？这个二分之一 l 啊，来看看二分之一 l， 二分之一 l 加上这个三，呃，这个这个边呢会比这个边要大，这个是作为一个斜边，这个比这个直角边要大，所以 l 应该大于等于他这个 半斤 l 大于等于二分之一 l 加三，那什么时候会等呢？什么时候等呢？等的时候肯定是最小的嘛，是不是等的时候这是最小的？你看移过来嘛，移过来变成二分之一 l 啊，大于等于三， l 就大于等于六，什么时候这个东西会成立呢？他成立就是他成立，他成立 就是他成立，那什么时候他会等于他呢？他会等于他呢？就说这个斜边和直角边重合嘛，所以我们来演示一下重合的时候什么时候呢？就是让这个叫，呃，叫点滴啊，和点一重合， 或者说点 a 呢？移过来了，反正呢点 a 呢？移到中间来啊，这意思呢？就点 d 和点一重合啊，点 d 和点一重合，我们看看，让这个点 d 和点一重合，重合的时候呢，就是刚好啊， 刚好这个三，这个也是三，整个就为六，这半径就为六了啊，这半径为六，其他的时候都比这个六要长，因为这个三，这个三嘛，菱形嘛，是不是？所以呢，你看其他的情况都比这个三要长， 欧元三要长，所以呢，这个就是我们的钝角的情况。呃，整个套路呢，就是多多了一个这样的一个步骤，就延长做一个垂直啊，我们来把它弄到这里来啊，延长做一个垂直，就延长做一个垂直，这是一个钝角三角形的情况。 但是呢，我们说钝讲的话呢，直接应用的例子其实不多啊，我们呢，现在讲这个题目，讲这个题目，这个是一个钝讲啊，他第叫什么呢？第这个叫嗯， d， 呃， e d f e d f， 这个叫 e d f， 它是等一百二十度固定不变， 这一百二十度固定固定不变，但是问题呢就是我们要注意的一个问题呢，就是这个啊，定角他不是定高，为什么不是定高呢？我们要去做，那我们去猜想也行，你去呃，你去做呢？其实是不好做，很多同学可能就误认为他就是一个叫呃， 叫垫脚垫高，意思呢？就说往这个做一个垂直，这个高度是固定的，他认为他是高度是固定的，但实际上高度不是固定的。我们如果通过九号板是很容易 di 啊，现在是二点九八，我们现在改变一下是不是三点几？那我们讲读一个 对一个好生而言怎么办呢？我觉得啊，就介绍一个，比如说特殊化，我把它特殊化这个一的话呢，如果来到这里，一来到这里的话呢，这个是一百二十度， 这个一百二十度可以吧？这一百二十度，我可不可以去求这个东西啊？我可不可以去求这个？我可以求这个高度可以吗？ 是啊，我想办法去求就行了吗？就是第一个 di 你求出来，比如说我这里求出来三点啊，当然你求出来不是一个准，你这个是一个呃，近视数，你应该是可以求到这个准确数，这是 di 是一种。第二个呢，我让这个什么东西？我让这个一呢，跟这个 b 重合 怎么样？这个一跟这个 b 重合是有什么情况呢？这里应该是又有一个多少呢？又有一个特殊的情况，这是一百二十度，这个就变成六十度，就变成三度，是不是？那我们呢也是可以得到这个 di， 总之呢就是想办法去求出这个 di 是可以做到的， 是可以做到的，比方说呢，你就是以这个题目为例，我们往，呃，我们比如说往这里做，不是我，我这里不讲了，反正我不拓展，要不然我就不够时间了，或者说拖很长时间了。 所以我想讲什么呢？就说这个是 d i， 是一种，你可以求出来。然后呢跟这个 d i 呢？它是不一样的。跟哪个 d i 它是不一样呢？跟这个 d i 是不一样的。 那所以你又知道他不是，他是定脚，但他不是定高。所以在这道题怎么去做呢？在这道题怎么去做呢？我们讲就回到这道题本身，那这道本身呢，有个什么东西呢？他就说做了这个过了这个点低，做了个低居垂直，这个一低就说往这里做了一个垂直，往这里做了一个垂直，这个讲的是一个九度。 那么一般的情况下呢，第一问对第二问都是有帮助。你看这个问题呢，是证明的 e g 跟这个叫什么呢？呃， d f 相等，要证明 e g 跟 d f 相等，哎，不是平行，是平行，不是相等，你要证明这个跟这个平行，是吧？那我们讲这个题目呢，我先假设我真的是，呃，会也好，不会也好，我假设我已经证明出来了啊，这个 e c 平行 d f， 那 e g 平行 d f。 刚才说了 e g 平行 d f。 既然是平行嘛，那平行呢？它就是有内错角相等、同位角相等啊，特别是这里很多交叉，就应该是有内错角相等啊，是不是啊？所以呢，这道题呢，他怎么去做的呢？他要研究哪个三角形的这个面积的最小值呢？他是要研究这个 e d f， 这个三角形的面积也最小值。实际上呢，我们讲这个题目呢，有，我会把它转化，转化为什么地方呢？转化为这个三角形，你，你不要问我为什么是转到这个三角形，呃，很多时候经验或者说我利润，我想有什么帮助？利润我想他是一个平行的，那平 平行的，我们讲的这个三角形跟这个三角形有什么特殊呢？就是说等底等高，你看它的高度呢？是这样子，延长它的高度，是往这里做一个延长，这个高度是指这个高度，那这个高度呢？其实呢就是平行线之间的距离啊，是初数相等的， 你只不过你自己想不到而已。那你让人家已经让你去做平行线吗？那平行线之间距离处处是处处相等，确实处处相等。由于 df 是一个公共底，那么这个呢，作为一个高，所以这个 edf 的面积它是等于 gdf 的面积，那我们研究 gdf 它就特殊了。 gdf 它有什么特殊呢？ 那么我们这里呢，又有一个问题呢，就是说我们的上面的评级也有这个作用呢，就是说我能过去证明这个角十三度，从而得到这个角也十三度，他就是个定角了。然后呢接下来又 就是有个定高，定高是什么东西啊？这个做一个垂直高度肯定是相等嘛，因为这个小等价一个三四五，那么就是五分之三嘛，假设他是六八十，这五分之二十四嘛？是不是我们是已经讲过了这个一个内容，就说定角定高，这个一个高度相等，这个角度相等。 只不过呢你确实有他困难的地方，就是发现这个角也是三度，而且你要证明这个角三度呢，不好正，不好正啊，不好正，我们等会再去说为什么他是，那我首先我要理解，我要理解什么东西呢？ 我真的是要理解一个事情呢，就是说啊，我现在也把这个也先隐藏吧，你真的是要理解东西，这就是一个定脚定钢模型。你，你别说我这个改变啊，我在改变，那么这个什么也叫 gdf？ 这个角度没有发生改变，我可以度量这个角度我可以度量这个 角度，度量这个角度，这个角度呢？没有发生改变啊，叫 gdf， 他没有发生改变啊，那么定高就不用说定高很容易，是不是定高呢？我们只不过呢就是往这里做一个垂直就行了啊，这是一个定脚定高模型嘛？这个定脚 是吧？定角，看吧，定角定高啊，那这是没问题的，那么然后我们只需要找出什么东西呢？呃，你要研究这个的面积最小值，由于靠固定吗？他对呢底就是这个 gf， 所以呢我们要确定这个 gf 的最小值就行了。 所以我们发现有个套路啊，就鬓角啊，在鬓角这个所对的边，他就在同一条线上动，在同一条线上动，就像一个地面，这个像一个探照灯啊，就探照灯啊，在摆来摆去，你看照这里有没有人照，这里有没有人一路扫扫扫过去，就像那个抗抗日战争片里面呢，或者 战争片里面的一个探照灯这样子一个模型，这个叫探照灯。所以呢，我们只要保证这个底是最小的形，按照我们做题的经验，其实就是形成了一个什么三角形呢啊？这里是形成了一个等腰三角形啊，就说这个形成一个等腰三角形，你有意思吗？ 形成一个等压三角形，那么我们呢就是要做出他的什么东西啊，就做出他的这个叫，哎，外界圆，你要做外界圆的话呢，这个圆心呢？大概啊在这个地方吧。 呃，外接源，不是外接源，大概圆形在这里吧，圆形在这里。我等会呢，把这个图形放大啊，先放大这个图形。好，我现在放大了啊，放大了，然后呢我们看， 呃，得到三个顶点的距离相等，那大概呢就来到这里吧，就大概来到这里，这就是我们的圆心 o 啊，然后呢我只是一个大概啊，你真正的话呢，你真的要做图的话呢，你就是要用这个中垂线 去做出来啊，这是到三点的距离相等，然后呢我往这里做一个什么呢？垂直，往这里做一个垂直啊，这个假设 h。 那我们呢就形成了一个什么东西呢？形成了这三个图啊，主要的图形是什么图呢？呃，我现在可能 要给他一个什么颜色呢？这个颜色吧啊哎，主要是一个什么图呢？就说这是一个高，这是一个，哎，不就就用绿色吧，就绿色吧， 我们先这个就是一个高，这是一个高，然后呢这是一个折线来的啊，这是折线，你看起来不是一个折线，但时尚就是一个折线啊，那么因为这个是圆形 o 嘛，所以呢我们看 od 啊，我们就有一个固定的套路啊，因为这个做出一个外接源，然后呢连接 ogo， 哎 od 还有 of， 然后呢过这个 o 做一个 o h 垂直 g f 啊，是不是？所以呢，我们发现这个折线 d o 加上 o h 应该是大于 或者等于，这个叫什么呢？ d m 是不是？所以呢？我们讲这个呢，就是我们要研究这个，呃，这个由于大于等于，大于等于的话呢，我们就讲这个由他的大于等于，最关键的就是这个叫哎， g f， g f 呢？它是等于两倍的，这个 g f 啊，它是等于两倍的，这个叫。呃， h f 吧？ h f， h f 呢？是 h f 是怎么来的呢？ h f 呢？它是由这个什么东西呢？它是由这个。呃，角度啊，这个角度不是固定吗？这个角度不是三度吗？所以这个角度是多少度啊？这个角度是三度啊， 那个角度，呃，不是三十，是不是六十啊？是，那这个是角度是三十，所以整个大的角就圆心角吧，是六十六十角，这个就三十，是不是三十所对边的随便一半，这个就是 l， 这个就是二分之一 l 吧，是不是 这三只？这二分之一阿罗，所以呢，我们要讲讲什么东西，东西呢？就是说这个 h f 呢，就是两倍的二分之一阿罗，所以呢就是阿罗，所以你要研究 g f 的最小值，就是研究阿罗的最小值， 那我们 l 的最小怎么呢？这个是二分之根号三 l， 所以这个又是 l， 所以呢，这个高度，这高度我们是可以知道的。为什么？ a c 是多少？是八倍根号三， 是不是啊？一级八倍高三，一比二比根号三，所以这个是八，这个是多少？十六，这十六的话呢，就是这个四了吧？三度所对，变成线变半，那么这四倍根号三是不是很简单？ 那然后四倍杠三，八倍杠三，这个是应该是一比二比杠三就十二，或者是十六减四等于十二，很容易。然后呢，这个时候呢，我们就是可以利用个等级法，就求出 d m 嘛，就求出 d m 嘛，或者说不用等级法也行啊，为什么呢？这个是三度所对的边等于斜边一半，所以 d m 就等于六，看到吗？ d m 就等于六，所以呢，我们发现了这个 l 加上二分之一，你看，由这个东西就推出了 d o 是多少 l 加上 o h 是多少？二分之根号三的 l， 呃，然后这个加这个大于等于，这个是多少？是六， 呃，大于等于六，所以 l 的曲子范围是出来了吧。所以两分钟是乘以二得到二 l 加上这个根号三， l 大于等于十二，所以 l 就大于等于十二，去除以二加根号三呀。二加根号三，分母分，分子就分母有理化分同时乘以。呃，二加根啊，不是二减根号三吧？ 同时乘以二减根号三分之二减根号三，所以这个时候呢，就变成二的平方减根号三，平方就四减三等于一，所以呢，变成十二就是二十四减去十二倍根号三啊。所以呢， l 它是大于等于二十四减去 十二倍根号三的，所以呢，这个 g f 的最小值啊。 g f 的最小值应该是等于二十四减去十二倍根号三，然后拿这个底去乘以这个高，就是我们的这个黄色三角形的面积了，这个面积又等价于刚才那个面积，理解吧，就等等价于什么东西呢？ 就等价于刚才的这个 e d f 吧，就 e d f， 是不是？所以呢，我们讲这个最小值出来了啊， 那整个解题的套路你始终都要研究这个东西，就是他加他大于等于他，从而求出半径 rl 的最小值， l 最小值呢，从而吹出这个叫呃， g f 的最小值， g f 的最小值，从而推出面积的最小值。 但是问题就在于为什么这个角是三度啊？我们还没去证明是不是。所以呢，我们讲为什么这个角是三度啊？这个角三度呢？我们就回归刚才这个线。 回归哪些线呢？我们看看线啊，这个线要有啊，啊，对，回归这个线，因为我们说这个三角形，你刚才不是跟这个要去跟这个三角形面积吗？所以关键就是我不是平行吗？所以的目标，目标还是证明这个角是三度，我们看看哪里还有三度？我们还还有三度呢， 这里还有三十度，这里也有三十度，你看这两个角都三度，那这个角要跟这个角联系起来不好看，那么但是这个角跟这个角是联系起来好看的，因为他对的这个弦都是一样的，那就让我想起了个定角，定叫定角， 呃，对于这个叫定弦定脚的问题，你看这个，呃，当然这个弦不定，这个弦不定，但这角度没有变，这个角度没有变，这个角度没有变啊，那个角度没有变的话呢，就想到同所对圆周角，所以我们想到圆，想到共圆，想到共圆的时候呢，我们就往那个方向去想啊？什么方向呢？比如说这个是一个 非常非常，呃，这个隐藏的有点点深，但又又非常又，这个如果懂的同学又非常懂，什么题目呢？就是我们讲啊，我们看到这个四边形，看到这个四边形的时候，我们发现了他这四边形是共圆的， 为什么公园呢？对角互补，这两个双直角，双垂直啊，双双直角是吧？然后公共边啊，公共斜边是这个，所以呢，它的圆心就在这个斜边的终点，所以这个是圆心， 这个就是圆心。所以我们现在做个什么事情呢？我们先把这个擦掉，所以呢，现在找出他的终点，找出终点，找出终点以后呢，我只需要以这个点为圆心， oa 啊，或者什么东西为半径做个圆啊，这个就是我们的第一个圆， 这是我们的原。所以这个引源问题啊，这是确实也第二个引源问题啊，这个假设是 o 一撇吧， o 一撇是吧？ o 一撇吧，啊？这 o 一撇，刚才那个是欧，这里不是有个欧吗？是不是？那你看这个欧一撇，你看这个是有个什么东西呢？就是说这个是个圆形，这是个圆形啊，那么这是圆形，然后呢，既然这个是圆形呢？这个叫，呃，这个叫圆周角吧， 这个叫圆周角，这个 e、 g、 d 是个圆周角，还有 e、 a、 d 也是个圆周角，由于这个角三度，这个也是三度，然后平行这个角就是也是三度，所以呢，我们就出推出来了啊， 那么这个就是我们隐藏的比较深的隐缘问题啊，隐缘问题我们讲呢，呃，如果作为一个解答题怎么办呢？你可以直接向答案来讲说啊，这个对角互搏，所以他这是个圆形， 我个人觉得呢，还是要连接这个 e g 取这个终点，然后呢？呃，所以这个 o e 撇 a 等于 o e 等于 o d 等于 o c， 呃， o g， 所以 o e 撇为圆心呐，做一个圆，这个时候呢就四点共圆，从而这个是原则 角，这个圆字角，两个角都是三度，可以我写详细一点也行啊。那么因为平行，所以呢，这个角跟这个角是三度，所以这个是定角，由于做一个垂直，所以他是定高定角，定高定角模型就出来了啊，定高定角模型后面怎么做？我就不重复了，所以整个题目呢，不好做吧，相当的不好做， 那么所以我们的同学没有问，那也是我说明我们的同学也是存在问题啊，因为你没有问，就说明你没有真正的去研究啊，没有真正的去理解这个题目是怎么来的啊？那如果没有理解，后面还是不会啊。那今天呢，我就先给大家呢点评到这里，谢谢。
112初中数学教头
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04:04查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是鸟叔啊，昨天呢，我这边发了一道题目啊，就是关于攀登的模型的一道题目，那么 关于探讨探讨的模型呢，讲的比较简单啊，然后有很多粉丝跟我说，呃，讲的不是很理解，那好，那今天呢，我们就详细的把这个探照灯模型来去讲一下啊，也就是我们之前说的一个定角加定高的一个一个模型啊，那什么叫探照灯模型呢？我们来看一下。首先看这个， 看这边啊，这个红点这块这点哎，这边我们就可以看到，看成是是一个探照灯，那么我们这探照灯啊，他这个是可以转动这个角度的，对吧？那么 地面啊，这下面这个白线呢，就是个地面，那么他的灯他竟然是呃，这个形，这个什么是型号不变，那所以这个角度虽然 他的转动，对吧，但是呢这个转动呢，就是他的张开的角度，肯定是不变的，所以角 b ac 这个角度呢，肯定是不变加稍，我们就称之为 c 大 啊，就称之为 c 大脚，对吧？好，然后呢，他在转动过程中，那这个探头灯他是位置不会发生变化的，所以这个探头灯到地面距离也就是不变的，也就说这个边的一个高也是定定高，对不对？ 那这就是一个定角加定高的这样一个模型，那么其实他的变化的唯一变化的什么呢？就是这边的 bc 的长度，在随着他这个太阳能转动的过程中， bc 是大小是发生变化的，那我们要求出他这个 bc 的最小值大就什么时候最小，对吧？好的啊，那么这个时候这题目怎么做呢？其实我们 还是要通过这个三角形 abc 的一个外接源来去做，好吧，那好，我们先来把这个外接源，我们先来画一下，然后呢，外接源画出来了 啊，不光画入 ay 卷，我们还把它圆心啊，把这个 o a o b o c 连起来了，然后呢，还做了一个谐音句啊， o d 垂直就是 b c， 对吧？那么假设这边半径就是饵了啊，那么这时候呢，我们知道由原的性质呢，我们知道角 b o d 肯定就等于这边的 c 大了，对吧？好，所以呢，这时候我们就可以来写一写了啊，我们先写一下，这个 o d 等于什么呢？ od 应该是等于这边的，其实就是等于半径乘以什么，因为这个欧 d 比上一个 ob 应该是普萨 acctt， 对吧？所以呢，就是 od 应等于 r 乘以一个普萨 acd， 好，那这时候我们来看一下， o a 加上 od 其实应该来说就是大于等于 ad 的啊， ae 的，这个应该大家知道啊，曲线肯定比这个 ae 最大一点，对吧？好，那么带进去啊，就是二加上二乘以 cos ex 大于等于这个 a e， 那么除过去就是 r 应该是大于等于 a e 除以这个 e 加上一个 q， 三个 c 的，对吧？好，那么这时候呢，我们来想一下，呃，什么时候他是取到一个最大值，对吧？取到等号啊， 其实应该是当啊，这个，这个好像颜色不是很好啊，我们来换一个颜色啊，那这个来当这个 a o d 三点贡献时，对不对？取等号 好，取到等号之后，你我们就发现什么呢？此时，那这个半径肯定就是最小了，只要最小时，然后呢，我们最后求的是 bc 的最小值，我们看一下 bc 怎么来啊， bc 呢，是等于两倍的比例， 而我们的 bd 呢，其实我们知道 bd 比上 ob 呢，又等于三 a c 大，所以呢， bd 就等于二乘以一个三 d c 大， 所以 bc， 呃，取最小时其实就是半径，就是看这个半径，半径取最小时的时候呢， bc 就选最小时了，所以半径什么时候取最小值啊？就是 aod 三点勾线的时候，而当 aod 三点勾线的时候，你会发现，那这个三角形 abc 就是一个等腰三样形，对不对啊，这样子所有的问题就能够去把它解决了啊， 那这个各位同学不要以为听懂啊。好吧，那么嗯，这个探道的模型呢，我们就讲到这边啊，那其实呢，还是比较有用的，在中国中是一个常考的一个热门考点。好吧啊，感兴趣的同学呢，可以给鸟叔点个关注，我们下期再见。
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