长方体沿横截面切是怎么切

必考题，一根长方体木料长四米，把它沿横截面锯成三段后，表面积增加了二十四平方米，求原来这根木料的体积，长方体的体积等于长乘宽乘高。 那么这道题呢，如果利用这个公式求解不是很方便，所以我们需要用到体积的通用公式。在长方体、正方体以及后期要学到的圆柱体里面，他们的体积都等于底面积乘以高。 那这道题说长方体目标的长是四米，所以长方体的高就是四米，那也就是这一段的长就是四米。 那我们知道了，高需要求底面积，那长方体的底面积就是这个面的面积 啊，那就是我求出这个面的面积呢，就可以求这个木料的体积了。根据提倡给的条件呢，我们需要知道另外一个知识点，那就是一刀两面的问题。就像我们平时切西瓜， 切苹果，那我切一刀是不是就多了两个面出来呀？那同样的，我的长方体切一刀也是多两个面的， 哎，我这样切一刀的话，他多出来的面就是这样一个面，还有这里这个面，所以那就是切一刀多两个面。 这个题上他说锯成三段，锯成三段，那是相当于切了几刀呢？就是切了两刀，那切一刀多出两个面，切两刀多了几个面呢？那就是两刀。 四个面聚成三段，表面积增加了二十四平方米，所以四个面的面积和呢，就是二十四平方米，四个面就是四个这样的面。 还有就是他的横截面，也就是体积公司里面说到的底面积，所以我就可以求出底面积是多少，那也就是二十四除以四等于六平方， 那底面积求出来了。我用底面积乘以高就可以求出长方体木料的体积，那就是六乘以四等于二十四立方米。好，谢谢大家。

同学们，今天我们来学习黑板上的这一道题，长右边的长方体平衡洁面平均锯成三段，表面肌就增加了 二十四 dn 的平方，他的体积是多少 dn 的立方？思考一个问题，横截面平均聚成三段， 三段我切了几次？没错，两次怎么变二？那就是三减一等于两次。你们发现一个问题， 一刀切会产生两个面，两刀就产生了四个面，意味着二乘二等 等于四等于四，代表着表面积增加了四个面。题目说表面积增加二十四， 这二十三中包含了四个面，要求每个面用除法二十四除以四等于六 dn 的平方。 最后我们带入公式来求体积。体积的求法有两种，一种是长乘宽乘高，就我们发现题目没有直接告诉我们长宽高分别是多少，所以我们需要带入第二条公式， 体积等于底，面积乘以高面积。我们已经求出来了一个面 是六 dn 的平方，而长度是六 dn， 意味着高度就是六顶概念，体积等于顶，面积乘高 乘六等于三十六 dn 的立方。同学们，你听明白了吗？

我是你们的老朋友英兰老师，今天继续来和大家分享关于长方体和正方体当中的第四类题目，切面问题。切面问题当中我们只要记住四个字，一刀两面。什么理解呢？大家可以想象一下， 一个西瓜摆在你面前，你拿刀切下去，当我们切开以后，会发现他是不是多了两个面，对不对？长方体和正方体当中的切面问题也是一样的好，唯一不同的是我们来看一下长方体当中的切面问题，他的叫法是不一样的， 他的切法有三种切法，第一种，沿着平行于长乘以宽的这个面切，老师用红笔现在标出来的这个在切的时候我们叫 叫做什么呢？叫做水平切，叫做水平切。大家可以看到，当我沿着红色的线切开以后，我们多的是哪两个面对了，多的是长乘以宽的面， 多的是长乘以宽的面，这个叫做水平切。第二类，如果我沿着平行于长乘以高的面切，也就是老师用绿色的笔画起来的，这个叫做横切。 横切多的是长乘以高的面，因为它是沿着平行于长乘以高切的。好，我们来看一下， 如果我是沿着平行于宽乘以高的这个面切，也就是老师用蓝色的笔标出来的，这个时候我们叫做竖切。 竖切，因为它是平行于宽乘以高的，所以它多的是宽乘以高的两个面， 这是在长方体当中大家需要去注意的，因为有时候题目当中他不会告诉你他多的是 哪样的几个面，他只会告诉你水平切，横切、竖切，这个时候是需要你去判断的，所以你就需要了解什么叫做水平切、横切、竖切。好，我们来看一下第二个，在正方体当 中，因为正方体不管朝哪个方向切，横切，竖切、水平切，它多的都是正方形的面，所以多出来的都是两个正方形， 这一个大家注意一下就可以了，不管是长方体，正方体切一刀多，两个面切 n 刀的话多的是二乘以 n 个面。好，关于长方体和正方体其他的知识，想要了解的话，欢迎大家关注我。

同学们晚上好，今天我们来讲五年级下册正方体和长方体。我们来看到这道常见的应用题。 一根长方体木料长五米，把它沿横截面切成四段后，表面积比原来增加了十二点三六平方分米。这根木料的体积是多少立方分米，要求木料的体积，我们必须知道横截面的面积和他的高， 而现在我们只知道表面积比原来增加了十二点三六分，那我们就要想办法求出一个横截面的面积， 题目里告诉我们把它截成了四段。那我们来看一下，截成四段需要切几刀？通过画线段图我们可以知道，四段需要切三 三刀，切一刀可以增加两个面，那切三刀呢？三刀就多了六个面，也就是说结成四段后，表面积增加了六个面，增加了十二点三六平方分米， 六个面是十二点三六平方分米，那一个面呢？那我们现在就可以求出一个面的面积，用十二点三六除以六等于 二点零六平方分米，折到了横截面的面积，再来求他的体积就很简单了，直接用横截面乘他的长木料长五米。他们的单位不相同，我们要先换单位，把五米换成分米 做单位，五米等于五十分米。接着我们再用二点零六平方分米乘五十等于一百零三立方分米。这道题就算出来了，小朋友们你学会了吗？明天见。

好，呃，我们暑假长方体也的内容里面的例四是我认为这一讲最重要的一个例题啊，包括我们杰克森市委也是考了这道题目，他考了一个什么知识点呢？就是切割问题里面这个切刀多面问题。 那切刀选第一个问题，我希望大家注意的就是我切一刀会增加几个面，那我由通过我历次当上课让大家画这个图，你看一下，很明显 如果我从中间哎一刀下去，我这一个场景是不是就被分成两块了？一刀能把一个东西给分成两块，那么这两块注意我这个蓝色的蓝色是不是我切下去之后增加的面，这个蓝色的是我的切面，蓝色阴影是我的切面。那我注意一下图里面 一个蓝色前面两个蓝色前面我切一刀把它给拉开之后是不是一刀增加两个面？好，那到这个位置需要大家应在脑子里面是切一刀会多两个面，切一刀会多两个面，那下面再来会 多几条棱呢？会多几条棱呢？好，轮长，我们再注意一下黑色的部分是我原来这个长方体的轮长，我一刀下去把它切成两块时候，切成两个立方体之后，我再注意一下这里蓝色的阴影面是不是我多出来的面呀？ 其中蓝色的阴影上面我用红色画出来的线条，这是不是以前我的长方体里面没有的？以前长方体里面，这，这是在面上面他没有这个人，以前长方体的人都是黑色的线，现在我这个 出来的立体图形里面这条红色的线原来是没有这个冷场的，而现在被我切过之后，是不是多出来作为冷场了？所以我的冷场也变多了，那我多了几条，你可以可以从面的角度去考虑，我多一个面，这一个面，哎，四条冷 多了两个面，那两个面是不是就是两个四条了？阿斯德巴两个面就多了八条了，就多了八条了。那如果我还可以再举个例子，这是我后来在笔记上面给大家让大家画的图 啊，给一个长方体，这么一个长方体我切两刀，哎，我打上箭头，从这两个地方我画虚线，从虚线的地方切两刀下去，每切一刀是不是多了一块？切两刀一共是不是分成了三块？ 好，我每一刀下去的地方，你看一下，每一刀切下去之后，把它往两面一拽，他是不是就多出来了两个面？切一刀的地方会多出来两个面， 那我切了两刀，就多了几个面，四个面。所以我们就说切的刀数，切几刀跟多起面，他们之间的关系是乘二。我在比这上面给大家大画了乘二就是这个关系，你切一刀多两个面，切两刀多四个面，那你切三刀呢？每一刀是两个面，切三刀。就是啊，三得六，得六个面， 多出来六个面，那再来多几条棱，你再看一下每多一个面，这里我是用蓝色的线去表示这个，这个棱上了每多出来的面，这个面围绕这个面，这是不是四条棱围绕 一个面，你不管切出来是长方形还是正方形，你剁出来的面是不是四条轮，一个面，四条轮，你一刀下去多两个面，二乘四，是不是多出来八条轮？我这两刀下去多出来四个面，每一个面都是四条轮， 四乘四是不是做错了？十六条的？注意我的棱跟面之间的关系，棱跟面之间一个面，四条棱，所以棱跟面之间的关系是乘四。所以整个总结一下我们切割问题里面切了几刀，你会多几个面呢？乘二 切了几刀，你会多几个人呢？你要先从面的角度，你先乘二，得到多几个面，再从多几个面，你去乘四，就能得到多几个人，然后具体问题具体去分析。然后啊，回到我们今天结合考试的最后一题，也是我们上次练习四，说让练习四这道题，他都把刀都给你切好了，他怎么切的？ 我红笔画，这是不是一刀，这又一刀，这又一刀，三刀吧？三刀多了几个面？二三得六。乘二，六个面， 再继续多了几条轮呢？每一个面是四条轮，四六二十四，多出来二十四条轮，二十四条轮。你再注意一下 题目里跟你说的人长之和增加了，人长之和走哪里增加？原来这些黑色的线是不是不增加的？是我原来就有的人长是不增加的。我人长从哪增加的？是不是从我红色这多出来的人身上增加的？所以多了二十四条人，对应者多出来了二百四十厘米。好。

形象剖析切割问题，我们来看这样一道题，将一个长方体切割成四个棱长为五厘米的正方体，求表面你如何变化？那如果是切成四个小正方体的话，那我们应该是切了一二三三次，那每切一次，我们往下看， 他实际上会增加两个正方形的界面，他在这里他一共切了三次，那他一共增加了六个正方形的界面，每个正方形界面的面积应该是 二十五吧，五五二十五吧，所以说一二三四五六，这一共是增加了六个正方形的界面，它的表面积实际上是增加了一百五十平方厘米，这个题能理解吗？

题目有一长方体，长是十二厘米，在长的这一段平均把它分成四个小长方体后，表面积增加二十四平方厘米。原来长方体的体积是多少？解答这个问题的时候，我们先搞清楚为什么表面积会增加。 你先看如果我把这个长方体分成两个的时候，就是中间切一刀，多了两个面，记住是切一刀就分成两个，多了两个面。 我们再看，如果分成三个的时候，是中间切了两刀，多了多少个面呢？一二三四四个面。 我们在看分筹四个的时候，中间只要切三刀，多了一二三四五六六个面。 通过这个演示就可以知道，分两个切一刀，多两个面，分三个切两刀，多了四个面，增加的面数就是刀数的两倍，而刀数总比分成的个数少一，我们不用总结的这么复杂，遇到这个题目的时候，我们大脑想一下就可以了。 回到这个题目，表面积增加了二十四，我们就知道是因为分成四个，切了三刀，多了六个面。这六个面的面积是二十四平方厘米，所以每个面的面积是二十四，除以六等于四平方厘米， 而这个面的面积也等于侧边的这个面，所以这个体积就是这个侧面积乘以十二，也就是四乘以十二，等于四十八立方厘米。 我是化州市第八小学五年级的文文，我学会了，你学会了吗？明天我再给大家带来更有趣的数学题。

一、刀切两半，模型如图，一个长方形，长为六，宽为三，高为四，如果沿着虚线一刀切开，将得到两个相同的小长方体。与原大长方体相比， 这两个小长方体的表面积增加了多少？思路一，比较长方体的表面积，大长方体的表面积为六乘三加六乘四加三乘四乘二等于一百零八。两个小长方体表面积为三乘三加三乘四加三乘四 乘二乘二等于一百三十二，所以表面积增加了一百三十二减一百零八等于二十四。思路二，一刀切两半，增加两个面。对比分析可以发现，长方体表面积增加了两个黄色切面，所以表面积增加了三乘四乘 二等于二十四。模型应用，一块豆腐是长八厘米、宽三厘米、高五厘米的长方体，将这块豆腐一刀切成了两个小长方体。与原大长方体相比，这两个小长方体的表面积最多增加了多少平方厘米？ 思路一，左右分割表面积增加了两个切面尾五乘三乘二等于三十平方厘米。 思路二，上下分割表面积增加了两个，切面，为八乘三乘二等于四十八平方厘米。思路三，前后分割表面积增加了两个，切面，为八乘五乘二等于八十平方厘米，因此表面积最多增加八十平方厘米。

这一讲我们共同来学习典型题，切增加面。二 一，一个长方体，高三十六厘米，沿着水平方向横切成两个小长方体，表面积增加了八十平方厘米。求原来长方体的体积。 像这样的类型题，我们在解答的时候比较理想的方法就是画图分析。好，下面我们开始画图分析，我们出示一个长方体，然后我们把它的高三十六厘米，把它标记出来。 同学们在解答图形题的时候，如果原题当中给你图形了，或者他没给你画这个图形的时候，把相应的 条件在这个图形上把它表示出来，这样你看到这个图形所有的条件就呈现在你的面前了， 这样呢，我们分析起来更简单一些。好，下面咱们根据原题当中所说的一个缺的方向，我们把它横切成两个小长方体，你看，我把这个长方体横切成两个小长方体。 下面我们观察一下，看一看，你看这两个小长方体，也可以说切成了两段，两段切一次没有问题。增加两个面， 增加的这两个面是两个底面的面积，咱们观察一下，看一看，你看增加的这两个面正好是原来 这个长方体的什么底面积，你看一看，真是这样的，那么我们可以把这个底面积求出来，然后一层他的高，就可以把他的体积计算清楚。 你看，我们通过画图分析这道题的整体的解题思路和方法就变得非常简单了。这样呢，我们也可以确定这道题的解题关键，解题关键，沿着水平方向切表面积，增加两个底面面积， 原题当中说表面积增加了八十平方厘米，这个八十平方厘米正好是两个底面积，所以我用八十除以二等于四十平方厘米求出底面积。之后，我们再用底面积层高计算出他的体积，四十 乘三十六等于一千四百四十立方厘米，把它答出即可。这道题你看，我们通过画图来分析他的整体的解题方法和收入，变得非常简单了， 这也是老师一直在强调的，勤动脑，多动手啊。好，第一题老师讲解结束，下面我们再来做一道题。二，一个长方体正好可以切成三个同样大小的正方体， 切成的三个正方体的表面积比原来长方体的表面积多了六十四平方厘米， 求原来长方体的体积是多少立方厘米。同样，我们可以通过画图来分析，我们在画图的时候一定要抓住 这个长方体的特征，他要切成三个同样大小的正方体，所以说这个长方体的长，你画的时候要画成他的高的几倍啊，三倍，而且呢，他的左右面这个横截面要是什么型的正方形的， 这一点同学们一定要把它理解清楚，图画的标准了，我们分析的过程才是清晰的，正确的。好，下面咱们开始把它切成三个同样大小的正方体，你看这样切了两段，切了几次啊？一次， 再切一次，你看把这个长方体切成了三个同样大小的正方体，三段切了两次，那么我们下面来观察一下他增加的面在哪，你看切 一次增加两个面，哎呦，正好接了两次，增加了四个面，这四个面大小是完全相同的，而且是什么型啊？正方形，这也是这道题整体的一个解题关键所在， 解题关键一切的次数比正方体的个数少，一切一次增加两个面，二增加的每个面都是正方形， 没有问题的。那么我们把解题关键确定之后，下面我们开始解答这道题了，他一共增加了四个面，这四个面我们可以要括号，三减一，扩回乘二等于四个面 表面积增加了六十四平方厘米，六四除以四，每个面的面积是十六平方厘米，哎，切成 那是正方体哈。正方体的六个面面积相等没有问题，我们以他的前面为例来分析，这个面的面积是十六平方厘米， 哎，这个前面是什么型啊？正方形，他的面积是十六平方厘米，那么我们能否计算出他的边长呢？他的边长也是这个正方体的什么棱长？ 正方形的面积是十六平方厘米，谁的平方是十六呢？四的平方，四乘四等于十六，我们可以利用乘法口诀就能把它分析清楚了。 如果这个面积他比较大一些，你可以用分解自因素的方法，把这个面积，这个数值，分解自因素，然后再把所有的自因素 平均分成两部分，就可以把它编长取出来了。好，下面咱们开始十六等于四乘四，这个四厘米就是这个正方体的冷场，也是原来这个长方体的宽和高， 那么他的长是多少啊？十二厘米啊，因为他的长正好包含了三个正方体，也可以说这个长是他的宽和高的三倍，这样我们就可以把这个长方体的体积计算清楚了， 我们可以要四乘三，求出这个长方体的长，再乘四乘四等于一百九十二立方厘米，长乘宽乘考没问题，或者要四乘四乘四乘三等于一百九十二立方厘米也是没问题的。我们可以计算 切完之后这三个同样大小的正方体，其中一个正方体的体积，再乘三，也可以计算出原来长方体的体积，我们把它搭出即可。 你看这样我们通过画图来分析，把这道题整体的解题思路，解题关键就确定了。分析的一个过程变得非常简单。 好，同学们一定要注意自己的动手能力啊！好，典型题，切增加面二这个类型题老师讲解结束，下面我们总结一下方法。 温馨提示，一切的次数比段数少，一切一次增加两个面。二、分析判断增加的面是原长方体的哪个面，在确定解题思路，计算处想 的结果。好典型题，切增加面二这个类型题老师讲解结束，同学们再见！

这个视频我来讲讲球与多面体的接切问题。首先是相接问题。比如长方体的顶点都在一个球面上，并且他的长为 a， 宽为 a， 高为二 a， 那这个球的半径是多少呢？ 看看条件。顶点在一个球面上，那球星欧到各个顶点的距离就都等于半斤二。其中这一段和这一段加起来，显然就是长方体的对角线。先算这条对角线的长度， 长是 a， 宽是 a， 那这段就是根号二 a。 又因为高是二 a， 显然这段就等于根号六 a， 所以两个半径就等于根号六 a， 那半径就是二分之根号六 a。 搞定。 像这样，球内接一个多面体时，关键记住球星到各个顶点的距离都等于半径。根据这一点，就能发现直径就等于长方体的对角线问题，也就轻松搞定相接问题 会了。接着来看相切问题。一个球与轮长唯一的正方体各个面相切，那球的半径是几呢？这回是相切，那球星到上面切点的距离是 r， 到下面切点的距离也是 r， 所以二 r 就等于正方体人长也就是一，那 r 就等于二分之一。搞定。 像这样，球和多面体相切时，关键就是记住球星到各个切点的距离都等于半径。知道了这一点，咱来看个复杂点的。一个球与正三人柱的各个面相切，以之球的半径为二，那正三人柱的体积是多少呢？ 要求体积，咱得求出底面积和高。先看高。你看球星到上面切点的距离是半径二，到下面缺点的距离也是半径二，加起来就是高，所以高就等于四。接下来底面积就麻烦点了，就得利用球和三个侧面下 切这一点。为了看清楚，咱可以在球星处横批一刀，把横截面单独画出来。显然就是等边三角形里有个内切圆，圆心到这三条边的距离都等于半径二。你看这个三角形的面积显然和底面界是一样的。那赶紧来求一求。 连接这一段，这是三十度，这是二，那这一段就是四，这一段就是二根号三。所以等边三角形边长是两倍的二根号三，也就是四根号三， 他的高就是四加二得六。那三角形面积就等于二分之一乘四根号三，乘六得十二根号三。所以顶面积就是十二根号三。 那体积就等于底面积极成高得四十八根号三。搞定这道题的关键就是把球和三个面相切转化成圆和三角形相切来看，是不是清楚很多。好了，以上就是这个视频 全部内容，关键掌握两点。球内接一个多面体时，球星到各个顶点的距离都等于半径。球和多面体相切时，球星到各个切点的距离都等于半径。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！