wps台体体积计算公式

台体的体积，圆台的体积和棱台体积共用一个公式，我们统称台体。台体的体积公式等于三分之一，乘以 s， 上加 s， 下 加根号 s， 上乘 s， 下，再乘以整个台体的高。那么对于圆台来讲呢，它的上底面面积和下底面面积就是两个圆的面积，高是上下两个底面圆两平面之间的距离。 我们看一道题目，圆台的上下底面面积分别是派和四派侧面积是六派。圆台的侧面积公式应该等于派 r 一乘 l， 再加上派 r 二乘 l， 这个 r 一和 r 二分别是上下底面圆的半径。 l 呢是圆台的母线，我们根据上下底面圆的面积可以分别算出，派，而一方等于派， 派儿二方等于四派，于是呢，儿一方等于一，儿一也就等于一，儿二他的平方等于四，那么第二个半径儿二就应该等于二。 把他们分别带入到这里，就等于派 l 加上二，派 l 等于三，派 l 等于六派， 所以母线长， l 呢就等于二。而我们现在知道了，上下两个底面圆的面积还缺少圆台的高，知道母线 线长怎么求高呢？假设这就是题目当中所给的圆台，那么高就是上下两个底面圆圆心之间的连线，这样的话，高母线以及上下两个底面圆的半径可以围成一个直角梯形。 由于母线长，我们已经求出来了，等于二，下底面圆的半径也是二，上底面圆半径为一，我们过这个点向下底面做垂线，这样这条垂线就等于圆台的高， 于是他和母线这里围成一个直角三角形。由于底下半径是二，上面是一，所以这一小段就是一，那么剩下的这边也是一，于是在这个直角三角形当中可以算出 他的这个高应该就等于根号三。我们把它带入体积公式，这个台体的体积就等于三分之一，乘以 s， 上是派， 加上 s， 下四派加根号，下派乘四派，括号再乘以高是根号三。这里呢，根号四派方就是二派，和前面合并应该是七派， 所以最终就应该等于三分之七倍。跟三派应该选择 d 项，每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。

台体的体积台体的体积公式 v 等于三分之一 s 上加 s， 下再加根号 s 上乘 s， 下再乘以高， 其中这个 s 上就是他上底面的面积 s 下是下底面面积，高是经过他的一个底面的顶点，向另一个底面做垂线。这个距离来看一道题目， 三棱台中 a b 比 a 一 b 一等于一比二，就是上底面的棱长 比下底面的冷长等于一比二。两个三角形边长的比是一比二，那么他们俩面积的比就是一比四。所以如果设他的上底面面积为 s， 那么 下底面面积就是四 s， 我们再设棱台的高为 h， 那么根据这个棱台的体积公式，就可以把他们带入进去，表示出棱台的体积。现在要求的是这三个三棱锥的体积之比。 第一个三棱锥以 ae 为顶点，底面是 abc， 那么它的高应该和棱台的高是一样的，它相当于说过点 ae 找到底面 abc 的垂线。 所以 v a、 e 杠 a、 b、 c 等于三分之一，乘以底面积 s， 再乘以高 h。 第二个三轮锥以 b 为顶点， a、 e、 b、 e、 c 为底面，会发现这个三 三棱锥呢？我们假设选择 a、 e、 b、 e、 c 为底面的话，这个高不太好求。因为过点 b 找到 a、 e、 b、 e、 c 这个面的垂线，我们不确定它的垂足落在哪里， 如果换顶点，以其他的点为顶点，也不太好找高。比如说，如果以 c 为顶点，那么过点 c 垂直于平面， a、 e、 b、 e、 b 的那条线也不好找。 所以这个三棱锥呢？直接求，不太好求。我们先看第三个三棱锥 v、 c 杠 a、 e、 b、 e、 c、 e， 它是以 c 为顶点，底面是三轮台的下底面，也就是说底面积应该是四 s， 它的高当然也 等于三棱台的高，于是他的体积是三分之一，乘以底面积四 s， 再乘以高 h， 那就是三分之四倍的 sh。 这两个三棱锥的体积都表示出来以后，我们会发现呢， 这个中间的这个 b 杠 abec， 它的体积就相当于用整个三棱台的体积减掉刚才的那两个三棱锥的体积。 因为这三个三棱锥拼起来恰好就是这个三棱台，所以我们可以用台体的体积公式先把整个的体积算出来，那就是三分之一乘以 s 加四 s， 加根号下 s 乘以四 s， 再乘 h， 这个根号开出来是二 s 和前面的合并是七 s， 所以他等于三分之七 s h。 于是中间的这个 v b 杠 a e b e c 等于 v 抬，减去 v a e， 杠 a b c， 再减 v c 杠 a 一 b 一 c 一，等于三分之七 s h， 减去三分之一 s h， 再减三分之四 s h。 合并一下就是三分之二 s h。 于是所要求的这三个三棱锥的体积之比。 v a e 杠 a b c b v b。 杠 a e b e c b v c。 杠 a e b e c e， 等于三分之一倍的 s h， 比三分之二倍的 s h， 再比三分之四倍的 s h。 三分之一和 sh 都是他们的公共的部分，于是约掉以后，等于一比二比四。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。

这是个小正方体，他的棱长是一厘米，所以这个小正方体的体积就是一厘半厘米。 这是个长方体，长是一厘米，宽是三厘米，高是一厘米。这个小长方体中有三个小正方体，所以这个长方体的体积就是三立方厘米。 这个长方体的体积又是多少呢？这个长方体中含有九个小正方体，所以这个长方体的体积是九立方厘米。 他的长是三厘米，宽是三厘米，高是一厘米，三乘三、再乘一就等于九。这个长 长方体的体积是多少呢？这个长方体中含有十二个小正方体，所以这个长方体的体积是十二立方厘米。 这个长方体的长是四厘米，宽是三厘米，高是一厘米。我们发现四乘三，再乘一等于十二。 这个长方体的体积又是多少呢？我们知道最下面一层是十二立方厘米，现在是两层，所以就是十二乘二等于二十四立方厘米。 这个长方体的长是四厘米，宽是三厘米，高是二厘米。我们发现四乘三、再乘二等于 二十四立方厘米。这个长方体的体积是多少呢？每一层都有十二立方厘米，现在一共是三层，所以就是三乘十二等于三十六立方厘米。 这个长方体的长是四厘米，宽是三厘米，高是三厘米。我们发现四乘三、再乘三等于三十六。 这个长方体的体积又是多少呢？我们知道每一层是十二个小正方体，现在一共是四层，也就是四十八立方厘米。 这个长方体的长至四厘米，宽至三厘米，高至四厘米。我们发 发现四乘三、再乘四等于四十八立方厘米， 这个长方体的体积又是多少呢？现在一共是五层，每一层都是十二个小正方体，所以说，这个长方体的体积是十二乘五等于六十立方厘米， 这个长方体的长是四厘米，宽是三厘米，高是五厘米，四乘三，再乘五等于六十， 所以呢，长方体的体积就等于长乘宽再乘高。如果用非表 长方体的体积，用 a 表示长方体的长，用 d 表示长方体的宽，用 h 表示长方体的高，那么这个长方体的体积就可以写成 v 等于 a、 b、 h， 也就是 a 乘 b 乘 h。 正方体的体积怎么算呢？ 因为正方体的长宽高都是一样的，所以正方体的体积就等于棱长，呈棱长，再呈棱长，也就是棱长的立方。 如果用 v 表示正方体的体积，用 a 表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式就可以写成 等于 a 乘 a 乘 a， a 乘 a 乘 a， 也可以写成 a 的立方。所以呢，正方体的体积可以写成 a 等于 a 的立方。

啊，台体体积注意，这个台体体积公式呢？我们输上 并不要求我们这个证明啊，实际上我们只要把这个公式记住就行了啊，并不要求你的证明过程，他并不要求啊，我们只要把它记住就行。台体体积公式注意， 书上有链接啊，大家可以看一下，那么整个台体，我们比如画一个台体，它可以是有一个上底面， 一个下底面，还有一个就是他的高，这台体体积上底面下底面还有他的高。好，那么整个台体体积公式是这样的，三分之一的高乘以括号，上底面 加下底面，加上根号，下上底面成下下底啊，不管是圆台还是轮台，台体体积公式就是这个表示， 注意，前面还是有三分之一三分之一的高，这个高再次强调是抬体的上下 底面间距离啊，这是，这是这个高啊，是台体的上下底面间距，然后然后再乘以括号，里边有三个式子，一个是上底面加下底面，还要不要忘记加上根号，下上底面乘下底面 啊。那么注意这个公式的推导呢，实际上是用两个人锥，大的人锥的体积减去 去小人锥的体积，最后就剩下的是什么胎体体积，用这个这个方案去推导这个推导，其实书上也并不要求，并不要求你一定要掌握，但是他有那个有一个链接，对吧？他有一个阅读材料，后面有个阅读材料，大家可以去看一看。这个推导过程 还是比较复杂的，所以我们这里面就不推导了，那么而且我们考试的时候，这个公式你只要会用，他不可能让你去推导一遍这个公式，你只要会用， 所以我们这里面就记住，台体体积就三分之一的。台体的高高就是上下底面间距离乘以上底面加下底面加上根号，下上底面加下底面啊，这是台体体积公式啊，那么台体体积公式有了我们再看， 我们再来回顾一下这个台体体积公式啊，如果台体体积的上底面等于下底面，那么大家发现这个 s 上加 s， 下加根号下 s 上乘以十下就是三个底面面积，那么这时候我们就台体体积就变成了柱体体积， 就是三分，呃，就是 s， h 就是 s 乘以 h， 对不对？如果上底面和下底面都一样都是 s 的话，不就台体体积就变成柱体体积了吗？好，那么还有一种情况， 如果他的上底面等于零啊，就上底面缩成一个点了，对吧？上底面缩成一个点了，那么他的这个台体体积 其实就是三分之一的，什么 s 乘以 h， 而这个 s 就是下底面，就是底面，对吧？所以它就变成了一个什么一个锥体体积， 他就变成了一个锥体的体积公式。所以请大家注意，台体体积实际上是两种极端状况下，一个就是柱体体积，一个就是接下来我们来看球的体积公，球的唯一参数就他的半顶，所以球的体积公式呢，是 三分之四 par 的三次方啊，三分，我们用大写的啊，就是他把你三分之四 par 的三次方，这是球的体积公式三分 十四拍二的三层。注意，这个证明呢，我们书上呃是要求的啊，我们实际上是用一个锥体体积在结合主根定理去证明啊，然后这个里边呢，证明的过程当中还结合一些几何的技巧 啊，那么希望大家回去看一看，那么呃，同样这里边我们由于时间关系，我们也是先把这个体积公式给大家，实际上我们只要会用就行了，对吧？球的体积公式就是三分之四派二的三体。 好，那么注意，这里边我们就讲了这些体积公式，大家看一个是柱体的体积就是底层高，对吧？不管是轮柱还是圆柱，对吧？底层高。而还有一个锥体体积公式是三分之一的底层高啊， 三分之一的底层高。台体的体积公式呢，是三分之一的高，乘以上底面加下底面，加上根号，下上底面乘下底面。对于圆柱，呃和，呃，圆台和轮台都一样， 对吧？只要是台体都满足这个条件，而且我们知道当台体体积当中，如果上底面和下底面相等的话，他就变成了一个柱体体积公式，如果上底面就为零的话，他就变成了一个锥体体积。 好，接下来球的体积公式就是三分之四 par 的三次方啊，所以这是 台体的这个助追台球这四种啊，这四，这四种最基本的几何体的体检啊，希望大家首先明确啊，好。

大家好，我是江南老师，今天我们要讲的是柱体、椎体抬体的表面积还有体积，那么看今天学习目标啊，是通过对柱体、椎体抬体的研究，掌握柱体椎体抬体的表面积还有体积的球法。第二会求组合体的表面积和体积。那么首先我们来看看今天的新知讲授。 第一个我们先看到多面体啊，多面的表面积呢，就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积。 那么对于旋转题来说，比如说圆柱，那么底面积呢，我们是包含了派二的平方，侧面积包含了二派二 l， 这是怎么算的呢？我们展开之后，这是底面的周长 对吧？这是高母线的长度，所以是二拍 l， 那么表面积自然而然就是上底加下底，再加上侧面积。那么再看圆锥呢，它的 底面积派二八，侧面积呢？派二 l， 这里要注意把它看成一个三角形啊，把它看成一个三角形， l 是它的一个高，所以是二百二乘以 l， 再乘以二分之一，就是派二 l。 那么再看看表面积啊，表面积的话呢，就是什么侧面加底面，非常简单了啊，那么看看圆台，圆台上底 下底不同的半径侧面积呢，我们把它近视成看成一个梯形就可以解决了。然后表面积公式啊，其实这些都是需要大家去记忆的啊，你不可能每次考试都是去推倒对吧？虽然推倒可以让你更好的理解公式，但是有些公式是没办法的，你必须要记住 啊，因为这样你才能非常的熟练。那我们看这里面包括体积公式也是非常重要的，柱体呢，底面积乘以高对吧？锥体呢，一定要乘以一个三 分之一对吧？台体呢？我这里说个实话，这个台体的体积公式你是真的不需要去推对吧？但我可以大概告诉你，可以把它变成一个锥体再去减，对不对？减去上面有那个部分啊，这个地方呢？呃，真的你不可能考试一定不会去推的，所以你一定要去记 啊，请你一定要记住啊，这个是上底面面积和下底面面积好，然后他有他的高好吗？ 大家看看圆柱圆锥圆台的侧面这公式之间有什么一些什么样的关系啊？这个关系其实我个人觉得不太重要啊，你可以自己稍微简单的看一看啊，作为圆柱的侧面来说和圆台的侧面我们可以看看啊撇和啊 是什么关系啊，相当于什么 pi r l 加上 pi r 撇 l。 由于这个 圆台的啊上下两个半径是不一样的，所以出现这种情况，而圆柱的上下半径是一样的，所以就用二拍啊呀，直接这个二撇就是拍啊呀了吗？明白了没？ 对啊，圆锥呢，他没有上底面，所以他就是派矮啊，看到没有对吧？他没有上底面，其中一个是零啊，对不对啊？这个联系可以简单的看一看，对吧？最终还是得背那体积公式呢？哎，也是一个道理。对啊，圆柱 我们发现什么？上里和下里哎，是一样的对不对？那圆锥呢， 他没有上顶，对，他没有上顶，他只有一个底面三分之一，对吧？那这个圆台呢？哎，他又出现了上顶和这个下底的问题对吧？啊，那与作为圆柱来说呢，上顶和下 下底是一样的，都是 s， 你把这个 s 全部变成 s 来算，是不是就三个 s 乘以三，是不是就 sh 了， 明白没？所以通过他这个式子往两边去推倒，对吧？啊？通过中间这个式子往两边推倒，如果上下一样了，哎，全部都是 s 了，那就变成他了，如果上面一个变成零， 那另外一个就是 s， 三分之 s h， 对不对啊？这么去理解也可以方便记忆，对吧？ 好久我们看到基础检测啊。第一题，多面体的表面积等于个表面积之和，这没错啊。第二， 轮胎的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的啊，那不一定是等腰梯形对不对？是吧？侧面展开图，除非是那种非常规规整整的那种轮胎，对吧？ 啊，所以这里面要注意了啊，他不一定是等下提醒。然后呢，第三，圆台的高就是相应母线的长，这肯定也是不对的啊，母线是斜着的，不是竖直的，然后最后沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图表面积是相等的，这是当然的了呀。 好，我们来看到第二题啊，正方体的表面积是九十六，那么它总共有六个面啊，除以六就等于十六，然后呢，每个面的边长就是四，所以它的体积是四的三次方也就是六十四啊。选 b， 那么侧面都是等腰直角三角形的一个正三能锥，那么底边长为 a 十，该三能锥的表面积应该是多少呢？来，我们把这个边长先标出来啊，然后呢，这 上面都是等腰直角的，都是等腰直角的啊，那这个时候我们可以知道，这个面积就很容易算了，我们先把侧面积算出来啊，侧面积呢，是 xx 对吧？那么就是 x 平方加 x 平方等于 a 方，对吧？那每个都是二分之根号 二 a， 对不对？那这里是直角三角形，就二分之根号二 a 乘以二分之根号 a， 这侧面的一个面再乘以二分之一啊，也就是四分之 a 方，那有三个，那就是四分之三 a 方。 好，这侧面底面呢？我们单独拿出来看啊， aa， 那这个就是二分之根号三 a， 好，然后底面乘以高，再除以二，四分之根号三 a 方，所以把这两个加起来，哎，就可以了啊， 所以当然选 a 来。我们看到第四个啊，圆锥的母线长为五，底面半径为三，那这个时候我们来看它的 t g 为多少啊？圆锥 母线为五，半径为三，高就为四， ok， 结束了，拍 r 方，再乘以四乘以三分之一十二拍，选 c。 好，我们现在看到热点题型啊，类型，一，棱柱柱体抬体的一个表面积和侧面积。首先我们看到第一题， 以这圆柱的上下底面分别 o e、 o r 啊，那过直线 o e o r 的一个平面去截这个圆柱也是轴截面啊，这叫轴截面，那所得的截面的面积是一个八的正方形，那么该圆柱的表面积是什么？那么一定要 知道他的母线以他的半径对不对？那面积是八的话呢？二倍根号二倍根号二，对吧？那底面半径就是为根号二，所以底面半径小儿等于根号二， 母线 l 等于二倍根号二，对不对？根据原著表面积公式，我们就可以马上把这个答案得出来了，那二派而方 对不对？再加上 pi r l pi r l， ok， 结束十二拍啊，所以公式一定要非常熟悉啊，不然我们就弹不了这个 题目怎么做的问题了。那我们来看到第二题啊，一只某圆锥的底面半截为八，高为六 啊，听明白，就 a 八，那这个时候它的表 小面积是什么呢？我们先看到圆锥的表面积的公式是什么呢？是派儿方加上派儿 l， 对不对？ 是吧？那这个时候 r 是八，那就是拍乘以八的平方，再加上拍乘以八， l 是几呢？这里根据直角三角形，我们可以知道是十，所以是十，于是六十四加八十， 一百四十四拍结束，对吧？公式熟悉，一切搞定。 来，我们看第三，已知四楼台的上顶面和下顶面分别是边长为四的正方形，那这里上面是十六，下面的这个面积就是六十四。好，我们看看啊，侧面是腰长为八的 等腰梯形，那这个时候求这个轮胎的表面积。我们说上底面和下底面，其实还蛮简单的啊，主要是这个轮台的一个 的表面积，对不对？我们看侧面长的腰是八啊，我们就看一个侧面，因为四个侧面是一样的， 那上面是四，下面是八，这个侧面是八啊，我们来看看他的高到底是多少？求完这个侧面之后再乘以四，那不就出来了吗？对不对？好，我们看做一个垂线，这里是四，那这里就是二和二，对不对？哎，于是我们知道六十四 减四六十，所以这里是根号六十，所以我们梯形的面积也就求出来了，对不对？上底四，下底八乘以高除以二， ok， 那就是六倍的根号六十有四个，那就是二十四倍的根号六十，好，二十四倍的根号六十，我们再把它化减一下，那么就是十五，二四十八倍的 根号十五，再加上什么呢？这是侧面再加上底加下底八十，于是我们是八十加上四十八倍的根号十五，就解决了这个问题，好吧啊，所以轮胎我们还得一个一个的去思考一下啊。 来，我们看到圆锥侧边卡片图是圆心角为一百八十度啊，我们看看啊，收回一个什么样的东西， 半径为四的扇形，哎，其实他母线就是四了啊，这个时候圆锥的表面积应该是多少？对于这道题，我们可以先假设底面半径为啊，然后这时候我们介绍这条线 啊，这个半圆的弧长应该是二派啊，相当于底面的周长对不对？ 那么这个二派二又等于什么呢？等于这个四半径为四的半圆的一半呢，对不对？那半径为四的半圆周长是多少呢？是，呃，二派二，再乘以二分之一， 不就等于二拍 r 了吗？就是这个半圆的周长吗？是不是？所以这里看，我们以约 a r 是等于二的，于是圆锥的表面积，它这个公式是什么？ pi r 方加上 pi r l 对不对？ 那这里就是什么四拍 l 是四，对吧？八拍等于十二拍结束啊，十二拍。 来，我们再看到圆台啊，上和下底面半径高为还要高的比啊， 一比四比四，若母线长为十，我们看圆台的表面积是多少啊？这个时候我们可以先假设 x 嘛，对不对？上底面 x， 下底面四 x 高也是四 x， 哎，这个时候我们把它的一个洁面拿出来 啊，所以我们要解决这个 x 才能解决表面积，对不对？好，洁面拿出来，上面是二 x 啊，下面的半径为四 s， 总共是八 x， 八 x， 我在一平分的话应该是四 x， 呃，这里是二 x 的话，那么这里应该是三 x 和三 x， 对不对？高是四 x 啊，所以我们把这个轴接面拿出来就很好研究了。好，然后母线长是十，于是我们发现一百在这个三角形里面啊，一百等于 十六 s 方加九 s 方，于是呢， s 方等于四 x 就肯定等于二。哎，于是这个长度不就都出来了吗？ s 等于二，那就意味着上面这个半径是二，下面这个半径是八，对不对？ 那么看圆台的表面其实等于什么呢？上底加下底对吧？上底是派二方，下底是派八方，对吧？然后再加上一个侧面的面积，那侧面的面积呢？是加上派尔 加 r 再乘以 l， 对不对？那这里一个是二，一个是八，也就是十，而母线呢，也是十，所以这里就是四派加六十，四派就六十八派，再加上一百派就是一百 六十八派，所以答案选 c。 好，自己再对照答案看一看， 然后看它类型，二柱体，椎体抬体的一个体积。好，下面我们来看到例二啊，圆锥的折叠面是一个等腰直角三角形，侧面积是十六倍的根号二拍。那么这个时候呢，圆锥的体积到底是什么呢？ 好，我们先把圆锥的这个轴接面画出来啊，他是个直角三角形，我们把他的母线和半径都假设出来。好，这个时候呢，我们根据他的母线还有半径，找到他们的一个呃，之间的关系啊， l 是等于根号二二的啊，这个还是比较容易得到的。根据等于二，直角三角形的一个性质吗？对不对？ l 方加 l 方等于二二方，好，那么这个时候呢，我们再看侧面积等于什么呢？侧面积我们知道 s 测是等于 pi r， l 的，对不对？然后这个时候呢，它又 l 呢，又等于根号二 r， 于是我们知道根号二 pi r 方等于十六倍根号二拍，于是我们解除 r 是等于四的好， r 是等于四的，那 l 不就出来了吗？ l 就等于四倍的 根号二，对不对？于是我们就可以知道高了，对吧？因为我们要求体积，肯定要求高嘛，对不对？底面积已经知道了好，那高的话呢，四倍根号二的平方减去这个四的平方 就非常简单了，对不对？那这高就是四， ok， 于是体积是什么？派，而方乘以高，再乘以三分之 一，就可以得到体积了。好，于是答案就选 a 来，我们来看到第二题啊，轮台上下底面积分别是 二和四，高为三啊，面积啊，那这个时候问该轮胎的体积是多少？ 那这个题就太简单了啊，我们只需要带到这个轮胎的公式啊，还记得吗？这个是最难记的对不对？三分之一 s 加上根号 s 乘以 s 撇，再加上 s 撇，然后再乘以 h， 对不对？二二四三就往里面带 不就行了吗？啊，所以这个题答案选 b 带公式就可以了，不算难。来，我们来看看第三题啊。第三题，这里面正方体的能长为 a， 过 b， d， a， e 去结下一个三人锥剩余部分的体积，那这个时候我们可以用总体的减去这个割不割掉的部分的体积，对不对？有割补法对吧？那么总体积是 a 的三次方，那减去这个割掉的部分呢？我们可以说是 a 乘以 a， 再乘以二分之一。好，底面积知道了，再乘以高，再乘以三分之一，于是我们知道啊，六分之五， a 的三次方剩余部分，非常简单啊，好，自己再对照答案看一看， 来我们看到跟踪训练啊，用一个圆锥的轴接面啊，你看圆锥经常研究轴接面，所以这个也是你特别要注意的，以后遇到立体几何的时候也要想到轴接面这个问题啊。过圆锥顶 点和底面直径的截面，那面积为根号三的一个等边三角形。好，那这个时候我们问圆锥的体积到底是多少啊？那我们这里就不用 a 了吧，我们底下用二二吧，对不对？这样的半径就直接出来了， 是吧？好，那这个时候没有 r r 的话呢，高就是根号三 r， 然后呢？那么体积，呃，面积就是 r 乘以根号三 r 再乘以二分之一，等于根号三。一约 一约， ok， are 等于一，好， are 等于一的话，那这个事情不就变得非常简单了吗？ 号三底边是二，所以我们是 pi， 而方乘以高，再乘以三分之一，所以答案是选 b。 来，我们来看到第 第四题啊，又是上底面和下底面都出现了派和四派啊，侧面积是六派圆台的，这个要注意了啊，那么圆台的体积到底是多少呢？我们首先可以设上面的小半径为二，下面的半径为大二，对不对？然后再设母线为 l， 高度为 h， 这时我们看上底面派儿方等于派，所以我们得出小儿是等于 一的。同理，我们可以求出大 r 是等于二的啊，这个是非常容易的，我就不多说，好吧，好，然后我们再看侧面积呢，这里要注意了啊， 侧面积是 pi r 加 r 乘以 l， 这是圆台的侧面积，于是我们把这两个半径带进去，也就是 乘以三，那再乘以 l 等于六派 a， 于是我们发现 l 是等于二的。好， l 是等于二的话，我们来看看啊。这里我们拿出它的轴结面是一个等腰梯形， 然后呢，上面半径是一，下面半径是二，我们做一个垂线下来，于是我们知道这里被分成一和一，二高就出来了，是根号三， 所以圆台的体积我们就非常清楚了，对吧？圆台体积我们再把公式复习一遍啊，这也是他最难的。一个是，呃， s， 我们把这个派去掉 s 加上根号 ss 撇，再加 s 再乘以 h， 对不对？那 h 是根号三， s 呢？是拍，那这个是四拍 sp 啊，随便了， 上底下底下放在一起的话，这就是二派，于是呢，我们就得出是七派，三分之七派再乘一个根号三。好，这就是最终的答案啊。好，所以就是把这些需要的信息一个一个求出来就行了啊，然后周界面一定要利用好，这些题目就不是特别难了啊。 然后公式千万不要背不下来啊，什么侧面原台的侧面积公式啊，原台的这个体积公式啊，对吧？如果你背不下来的话，这些题肯定是没办法处理的。公式熟悉是解决这些问题的一个根本 来，我们看到类型三与三视图有关的表面积和体积。好，首先我们来看到第三，如图所示的一个几何体啊，上面是一个圆柱，底面积为啊，底面直径为六厘米，高为三厘米啊，下面是一个正六棱柱，底边长为四厘米，高为 二厘米，从中间挖出一个直径为二厘米的圆柱，求几何题的体积，对吧？那实际上就是一个什么，先把总共的体积求出来，然后再减去中间这个空心就可以了，对不对？好，我们做自上而下来算，先算圆柱的体积 啊，我标一个上，那么他很简单，派二方乘以高二十七，派啊，单位我就没带了啊。然后呢，我们再求这个六龙珠的体积， 六棱珠的体积应该是什么样子呢？应该是底面积乘以高，对不对？那么他的底面积怎么算呢？我们来看看啊，把底面拿出来，我们知道底面边长为四啊，所以我们看四四四，于是他会分成六个一样的小三角形，对吧？这也是等边三角形，所以这个高也很容易 求二，等于二，拿出来就二倍，根号三，对不对？勾股定理，于是得到第一个三角形，就是四乘以二倍根号三，再乘以二分之一有六个，然后呢，再乘以高，于是得到这个体积，对不对？那么这个六六轮柱的体积就是四十八倍的 根号三立方厘米。好，最后要减去什么东西呢？减去中间这个空心圆，这个高到底有多少呢？啊？我们看看它直径为二，那它的底面积，因为是派二方，也就是派乘以一的平方。 好，这乘以它的高应该是多少呢？它的高应该是这上面的三厘米，再加上下面的两厘米，也就是五厘米，也就是五派，对不对？所以最后用上下两个上上面一加，减去下面这个，于是的二十二派加上四十八倍根号三， 地方灵敏。 ok， 结束啊，这些题还真的算是比较简单的啊。 啊，那么做这些题的时候一定要弄清楚它是一个什么样的一个构造，对不对？好，我们来看看啊，这个三角形 a b c 中 a c 是三， b c 是四， a b 是五啊，这个是个直角三角形对不对？好，但是他用了他一个斜斜边作为一个旋转轴啊，旋转一周所得旋转体的表面积，那他明显就是两个什么 圆锥吗？对不对？两个圆锥是吧？好，那这个时候两个圆锥的话，我们来看看怎么做？那圆锥表面积的话，也就是两个圆锥的侧面积吧，因为中间被挡住了这个底面，对不对？所以我们要找到这个圆锥的 母线和圆锥的半径啊，圆锥的半径很容易求啊，我们利用等面积法，这是五，对不对？假设这个半径为二，那五乘以二乘以二分之一，应该等于三乘以四乘以二分之一，对不对？他们都是 abc 三角形的 面积。 ok， 那这个时候我们把 r 算出来是五分之十二， 好，那么这个时候我们来看新三角形的这个侧面积啊，三角形的侧面积公式是什么呢？是 pi r l 啊，锥形啊，锥体的侧面积是 pi r l， 所以呢，第一个上面的这个呢，我们就是 pi， 下面这个是派 r l， 对不对？所以这个时候我们就得出五分之十二派乘以七，五分之八十四派结束啊，只要会公式永远都是这么简单啊，但是千万别把底面积也算上去了。 好，我们来看到课堂小册啊，长方体的长宽高那么三四五，那他这太太简单了啊，这个过好吧，过自己算。 那么像这个台体的体积为起拍上下底面为一二啊，不是不是面积啊，是半径为一二，这个时候求高，嗯，把体积公式写出来吗？对不对？三分之一高， s 撇 s 加上根号 s s 撇，对不对？然后这里我 往里面一带不就行了吗？七派三分之一 h s 撇拍二方，就派乘以一的平方，再加上派乘以二的平方，再加上 派乘一的平方，乘以派乘以二的平方开根号，这不是结出来 a 去了吗？是不是多简单啊？于是我们知道答案是选 a 啊，自己去算了啊，这个是事情，剩下计算的问题就自己搞定了，这个计算还是蛮简单的。 来，我们看到第三题啊，已知正四能追，正四能追啊，底边长为六，侧能长为五，求此能追的一个侧面积为多少 啊？底正式能追，是底面一定是一个正方形，请你注意啊，那他的边长为六，侧能为五，我们来看看他求侧面积，那就是把这几个三角形拿出来吗？ 对不对？那么侧面的三角形拿出来，我们看看五五六，那我们把这里一分三三四是不是很容易出来了？于是我们知道每一个侧面都是六乘以四，乘以二分之一，那侧面积有四个。答案出来了，对吧？ 二四得八六八四十八选 d。 来，我们再看到第四题，三能锥，每个能长均为四， 好，均为四的话，求这个三人锥的一个体积。哎，这个题其实你要注意的啊，其实还算是蛮是一道有意义的题，好吧，呃，我们来看看这个题怎么去处 啊，这里我要删掉，我们直接看着答案的这个图来做好吗？来，这里我们看四四四二二，看到没有？ s o 是做垂线，它垂的地方是什么呢？一定是这个 a、 b、 c 三角形的正中心，正中心是什么呢？因为它这个等边三角形就是什么三条垂线，三条中线以及三条角平分线的交点，那中线的交点意味着把它分成了二比一的这个长度啊，所以这个时候我们就知道 a d 长， 通过 a d 长可以知道 a o 或者 o d 的长，对不对？好，那么看，这里是四，这里是二，所以 a d 等于什么？十六减四，开根号二倍根号三，然后又被分成三份啊，那我们说 od 吧，那就乘以 a o 吧，用 a o 好一点， a o 了，乘以三分之二， a o 物突然变成 a o 了，那就三分 四倍根号三。好， ao 是三分之四倍根号三，那这个时候 so 不就出来了吗？对不对？ so 等于 sa 的平方，减去 ao 的平方，那就十六，减去他的平方的话，我们算出来应该是三分之十六再开根号。 好，这里面我们来计算一下啊，三分之四十八减十六，就是三分之三十二，上下同时乘以三， ok， 就变成三分之根号三十二乘以三，那这里面我们拿出一个四吧， 也是十六，于是三分之四倍根号六， ok， 高就出来了，三分之四倍的根号六啊，底面积我们来怎么算，你看看啊，因为这个高， a a o 不是 算了吗？ ao 是它，但是 ad 是二倍根号三，所以呢，底边是四，四乘以二倍根号三，再乘以二分之一是底面积好，再乘以高， 别忘了再乘以一个什么三分之一，所以我们要算的东西太多啊，根号三乘以零，根号十六就变成什么根号十八，根号十八的话就三倍根号二，然后我们再看看啊，二和二越掉， 三和三约掉， ok， 这个时候就变成三分之四乘四，十六，四乘四，然后呢，再乘一个根号二， ok， 三分之十六变根号二，结束啊，所以这里面这个题一定要自己做一遍好吗？这个第四题非常非常的重要， 他是一个正的四面体，也是正三轮锥啊，是个非常好的一个正四面体，所以他每一个面都是一个正三角形啊，这个题目的三角，这个锥体经常用的到，用的着，所以你们要研究一下这个三轮锥。 来，我们来看看第五题啊，正方体的能长均为 e、 e、 f 分别为上面的点啊，我们求 d e 杠 e、 d f 的一个面积，这个地方我们叫什么？ 横看成岭侧成峰，远近高低各不同，对吧？你在看一个这个体积的时候，一定要从不同的角度去看， 如果你只是给他，他给你这个顶点，你去看，你是做不出来的，所以我们要换，换成这个地面 看到没有，这个为高就不一样了，为什么一点虽然在动，但是这个三角形面积永远都固定不变，发现没有？所以我们要看到这个情况啊，以他为底哦，所以我们知道 e、 d、 e、 d 是不是永远都是这个侧面的一半的面积？因为底嘛，乘以高除以二，是不是这个侧面的一半面积？好，所以它的面积应该是二分之一， 因为底面积是一，对不对？整整个方形是一，所以它是二分之一。好，那 f 动来动去， 他的高永远都是一看到没有，他做这个面的高，这就是这个体积的高吗？对不对？所以你把这个呃，转个九十度再去看，对不对啊？你这样把把把把，把你的 这个电脑屏幕转过来，对吧？ f 往这里面做一个高，这个高是永远都是一，对不对？所以 f 无论怎么动高都是一的话，所以它就是底面积乘以高，又是一个锥体，再乘以三分之一，这就是六分之一。 ok， 答案就是六分之一。这道题为以后你用等体积法埋下了一个非常好的伏笔，所以请你也要注意一下，这个题， 你要能看出来。好吧，一旦你看出来以后以后做这些题就变会变得非常的容易了。好，那么今天我们的课就讲到这里，谢谢大家。

健体如面，每日锤炼。今天我要给你分享的题型是圆台的相关计算，首先给你补充一些相关的知识点， 这就是咱们的圆台以及他的侧面展开图，右边呢是一些公式，这些公式比较多，咱们只需要其中一个就行了，是哪一个呢？就是咱们这个侧面积， 其他的表面积还有体积，这些东西谁不知道啊？谁不知道圆锥的体积是等于三分之一比面积乘以高对不对？而圆的面积在这里，呃， s 等于拍二平方，谁都知道对不对？所以说这个侧面积 咱们是要推导的，这个推导过程还比较复杂，没有必要去推导，好吧，记住就行了。然后我先接下来我要跟你说做圆台的相关题型，最最重要的一个细节就是你一定要画出圆台的周册图，这就是咱们圆台的 相关套路，轴测图，这个轴测图怎么画呢？我简单画一个给你看看，这是上底面， ok， 这就是一个轴测图，但是为了让我们做题的时候有更多的条件可用，我们最好是能把它什么东西啊，把它补全，补全之后就相当于得到了一个圆锥的轴测图了。 这个就是咱们的儿撇，这个就是咱们的儿，就是上下里面的圆的半径嘛，如果连起来的话，就是这个圆台的高，然后这个叫做他的母线，这个名词咱们还是要记得哈，母线，圆锥也有母线哈，圆台这母就是他，就这段。 所以说你看咱们这个侧面的面积公式，不就是这里一个母线的长度吗？以及上下底面的半径相加 成拍就可以了，这就是咱们的要记得相关的公式，接下来咱们看看题目是怎么做的， 这道题上下底面的面积是三十六拍和四十九拍，然后五线长是根号时期的圆台，问你两个底面之间的距离，那么这个时候我第一时间先把他的轴测图画出来，咱们画轴测图了哈。 ok， 压好上下的终点，这不就是要求的那个高吗？好，然后看看题目的条件，给的是上下底面的面积，面积马上带面积公式嘛，赔二十平方，立刻就可以算出他的相关的半径。那 咱们现在学习过程吧，你看，因为拍 r 一的平方等于三十六拍，那是不是两边 约个拍，那二十一平方就等于三十六，二十一等于六，这个很简单是吧？好，然后又因为 拍 r 二的平方等于四十九拍，那 r 二是不是也算出来等七啊？这个时候咱们赶紧把它给写到旁边来，这是六，这是七，对吧？然后看看还给啥条件呢？母线，母线是多少呢？给的是根号十七， 所以我们刚才在知识点哪都强调过做圆盘一定要画出轴测图，我现在画出来了，但是你说我还是不会做呀，为啥呢？因为你少画了。辅助线在哪呢？这里， 这就是咱们常用的辅助线，就是你看这总共是七，这里是六，这是几了，这就是一了，很容易得出咱们这个具体的长度吧，所以说那得出一之后，咱们来比如说标个三角形吧， abc， 在这个三角形里面，你看很容易用勾固定理吧，对不对？ 所以说那些过程这边就非常简单了，在 r t 三角形什么呢？ a b c， a， b c 中明显的看到购物定理吧。那就可以得有。有啥呀？有 a、 c 的平方等于 a、 b 的平方，加上 e、 c 的平方带进来就可以了， 你看看等多少了。所以就是咱们的 ab 的平方等于 ac， 就是靠十七嘛，十七的平方减去多少？减去咱们七减六的平方，对吧？就等于十六， ab 就算出来了， 很简单吗？这就是咱们特别特别常见的题型，就是相对于圆台的题型来说最简单的一种。 咱们看下一道题，这道题是已知某个圆台的底面周长是另 一个底面周长的三倍，然后母线长，你看这个母线是谁了？这个母线是不是还是圆台的母线，然后圆台的侧面积八十三，你看现在来了，刚才你如果没有记住侧面积的公式，现在这道题非常麻烦。如果你记住侧面积的公式，那咱们这道题比较简单了，我先把侧面积补充到旁边， 你看侧面计，咱们记得公式什么吗？是不是等于拍 l， 还有上底半径加上下底的半径啊，这就是咱们的侧面计公式吗？ 没问题。好，然后，哎，这个前这个有个条件，这个是什么？下底是上底的周长的三倍，他没说，但是我们应该也知道下面大，下的上面小，但是你倒过来放也无所谓，这个不用去纠结哈。 好，然后咱们看看从哪里入手，这个地方要不要，需不需要我画出这个轴测图？这道题意义不大了。为啥呢？套公式就行了，你看我第一个套谁公式？我第一个套这个呀， 套他呀，怎么套？你看来写过程了吗？因为二拍二二他周长是原来的，下面是上面三倍吗？等于三倍 来，是不是三倍的关系？然后该约的约一约完之后得到啥了？得到二二二配二也约了哈。二二等于三倍，二一好就摆在那，摆在那不用动了哦，这个条件已经用完了，咱们看还有什么条件可用。不就是还有一个侧面机吗？又因为侧面机，注意下，这是侧面机哈，我写个侧字， 侧面起。这个侧面起的是多少呢？是等于八十四拍，所以套咱们背公式， l 乘以 r 一加上 r 二等于八十四拍，然后再把已知条件往里面带拍 l 是等于七对不对？ r 一 二二等于八十四拍，该约的约，你看看约完之后是不是得了二一加二等于十几啊？是等于十二了， 你看这是第二个式子，这是第一个式子，两个式子都是关于 r e r r 是不是可以连立了？ ok？ r e r 谁带谁都无所谓。比如说把一十带入二十对不对？由一带入二 得到啥了？那不就是 r 一加上三倍 r 一等于十二，然后四倍 r 一等于十二， r 一等于三。半斤算出来了，半斤算出来之后，咱们 r 二也得出来了。 二二等级不等于九喽，你说我得出来干啥？全面积，你看看题目上求啥？题目上我求的是全面积。全面积是什么东西？不就是上底的小圆和下底的大圆再加一个侧面积吗？那咱们直接算就可以。 所以这个所谓的全面积就等于 s 一加 s 二，再加 s 测就可以了。往下算， s 一是谁拍 r 一的平方 拍 r 二平方 s 册 s 特刚告诉了八十四拍再减就行了。来拍乘以 r 一是三就是九了呗。这是 九九八十一，再来个八十四拍等于几？等于幺七四拍。你看咱们全面积的公式几乎不需要你去背，因为你正常同学都能想得到，所以不用去背那些不太重要的公式，考试是可以正常写的出来的。 ok， 见见就面，下次再见。

方法一，输入字母 m 号搜狗拼音中文状态下直接编写平方及立方，第五个选项即为我们所需要的平方与立方符号。 方法二，直接输入字母 m 二、 m 三，在单独选中数字及鼠标，右键打开，设置单元格格式，选择上标即可。方法三，输入字母 m 后，分别按住 out 键不动输数字幺七八与幺七九，即可输入平方和立方。

圆柱、圆锥球属于旋转体，他们的面积公式分别是，圆柱的体积等于底，面积乘以高，圆 追的体积等于底面积乘以高，除以三穷的体积公式等于三分之四倍的派二的三次方。