知道内角和怎么求边数

这个视频我给你讲讲怎么算多边形的内角合。这有个七边形，他的内角合怎么求？ 量一下，然后估算一个， no， no， no， 咱把它切成三角形来求。每个三角形的内角合都是一百八十度数数，这有一二三四五五个三角形，它的内角合就是五个一百八，得九百度。那如果是 n 边形呢？不知道 n 是几，它的内角合咋求？ 对了，还是切成三角形来求？但问题是， n 边形能切成几个三角形呢？你看，除了边上的这两条， 其余每条边都刚好对应一个三角形，那就是 n 减二的三角形，每个三角形内角和都是一百八。那 n 边形内角和不就是 n 减二再乘一百八吗？这就是内角和公式了。其实这个公式还 可以从另一个角度推倒，在 n 边形中，任意戳个点，把这个点跟 n 个顶点都连上，每条边都对应一个三角形，显然就有 n 个三角形，内角和就是 n 乘一百八。等等，这一圈可不是多边形内角和，所以你得再减个三百六。 多边形内角合就是一百八十， n 再减三百六，跟这个是一样一样的。公式有了。拿刚才的七边形来验证下，内角合是七减二乘一百八，还是五乘一百八得九百，妥妥的 正着用。你会了，那反过来呢？告诉你，多边形内角合是一千零八十度。问你这是个几边形，还是用公式就相当于立矮个方程求解嘛？ n 减二乘一百八等于一零八零， n 减二九得六，那 n 就是八呗。这是个八边形。除了解决 边数和内角合的计算问题，内角合公式还可以用来求正多边形的角度，比如正六边形的内角，你会求不？先甭管正不正的，反正他是个六边形，内角合就是六减二乘一百八，得七百二十度。 再看看他是正的，也就是说，六个内角相等，每一个就是七百二，除以六得一百二十度。先算内角和，再除个 n， 就是正 n 边形每个内角的度数啦。 ok， 又到总结时间，你把多边形切成三角形，就可以计算多边形内角和了，是 n 减二，再乘一百八。用这个公式，你可以计算 n 边形内角和，也可以由内角和反推边数。 如果是正多边形，内角和，注意， n 就是每个内角的度数。好了，就这样吧，快去做题。来来来，多边形的内角和你已经会了， 是 n 减二乘一百八。那外角核呢？咱先来明确一下啥是外角核？每个顶点都取一个外角，这些外角的加核就是多边形的外角核了，说白了，就是每个内角的零补角相加， 那就可以用 n 个一百八，再减去所有内角来计算，也就是一百八十。 n 减去内角合就是 n 减二乘一百八呗，整理一下，哎， n 就没了，结果是三百六十度。也就是说，不管 n 是多少，多边形的外角和是个定制，都是三百六十度。 所以，比起随着 n 的改变而改变的内角和外角和三百六，这件事会让计算更简单。比如这个题，一个正多边形的外角是三十六度，那这是个正几边形呢？根据外角和是三百六十度，又因为正多边形各个外角都相等，你只要用三百 六除以三十六，就能求出边数，这是个十边形，类似的，正 n 边形的外角度数就是三百六除以 n。 用这个求正 n 边形的内角度数也很方便。比如让你求正二十边形的一个内角是多少度，你就可以先求出来，外角是三百六除以二十，得十八度， 再用一百八减去十八，内角就是一百六十二度了。怎么样，是不是很好用？牢记多边形内角合公式以及外角合三百六。再跟为师来看一道题，若某个多边形的内角合是外角合的四倍，则这个多边形的边数是多少？ 这一看就需要列方程的吧。内角合是 n 减二乘一百八，外角合是三百六，他是他的四倍，那就是 n 减二乘一百八等于三百六乘四。解这种方程一定要先在等式两边 约去一百八，这就成了 n 减二等于八，那 n 就是十呗。这个视频我就给你讲了一件事，多边形外角合是三百六十度，你看见外角和默默替换成三百六就行。好了，就这样吧，快去做题，拜了个拜。

好多边形的内角和，三角形的内角和是一百八十度，那么四边形呢，可以分为两个三角形，所以它的内角和呢等于一百八十度乘以二，等于三百六十度。 五边形呢，我们可以分为三个三角形，那么它的度数就是五百四十度。六边形呢，我们可以分为四个三角形，那么它的内角和呢是七百二十度。 那么同学们观察一下，四边形的内角和是一百八十度乘以二。五边形的内角和是一百八十度乘以三。六边形的内角和是一百八十度乘以四，那么七边形的内角和就应该是一百八十度乘以五，那么 n 变形的呢，也就是一百八十度乘以括号里面的 n 减二。 那么我们看个题，求八边形的内角和，我们只要带入公式即可，一百八十度乘以括号里面的八减二，能算出结果等于一千零八十度。

这个视频我们来看一个期末必考的啊，多边形的内角核的问题，那么这个题呢，还是比较少见的啊，同学们可以尝试着来做一下。 这里说一个多边形如果少算一个内角，其余的内角之和是一千五百度。 然后现在问的是这个多边形的边数是多少啊？我们一般情况下遇到的都是说啊，这个多边形他的内角是多少，然后去求他的边数，对不对啊？此时我要用到多边形的内角和公式，那么这道题呢，依然要用多边形内角和公式啊，只不过比我们一般的题呢，他还要再多管一个弯。 好了，那么这里我们说了，对于一个 n 边形来说啊，它的内角合是多少，是不是用 n 减二再乘以一个一百八十度啊，这就是多边形内角合公式。那么此时你会发现啊，对于任意一个多边形， 他的那脚和永远是一百八十度的整数背啊，这应该没有问题，对吧？所以此时你想一想，我这个多变形减去一个角之后，剩下了一个一千五百度， 那么我剪的那个脚，他肯定是大于零小一百八十度的，对吧？所以此时我就可以尝试着，哎，我用我的一千五百度除以一个一百八十度，然后我看一下，你是一个整数起在于了一个什么？那我们这里求出来呢，是一个八，哎，后面于了一个六十度， 来看一下这个结果是啥意思啊？哎，就是说我的现在啊，剩下的这些内角和呢，哎，他有八个一百八，对不对？但是他还余了一个六十度，那么这个六十度是怎么来的呢？哎，是因为我找了一个内 内角得来的，对吧？所以此时呢，你完全可以想到我少的内个内角应该是一个多少度， 我们说了，他的最后这个内角和应该是一百八十度的整数倍，对不对？所以我少的那个内角应该是一个一百二十度，这样他和六十度加起来呢，才可以构成一个整个的一百八啊，一整个的一百八，然后加到前面去， 对吧？好了，好，那你现在来看一下啊，那么我把这个一百八哎，给他加到前面去的话呢，前面就应该是一个九，对不对？也就是说我这个多边形呢，他的内角和啊，是应该用九个一百八，那么这个九对应的就是前面的，嗯， 减二了，可以吧，所以此时我们就可以求出来这个 n， 他的值呢就是一个十一啊， 注意，最后呢，我们要求的是这个 n 啊，多边形的边数可千万啊，不要把九算出来，直接给人家说九了，注意这个九指的是什么？是这个多边形的内角合是九个一百八啊，但是你要求他的边数还应该给他再加一个二，那么 这道题呢，我们选的是这个道的选项。 ok， 那最后呢，给同学们留一个比较常规的啊，求这个多边形边数的问题，自己去算一下吧。

大家好，今天我给大家带来是咱们初中数学啊啊的同步知识点的多边形的内角和这一道求边数的题目。我们看一下题目落一个正多边形的，每个内角的啊，每个内角为一百五十度，对不对？ 那是个正多边形，既然是什么是正多边形呢？正多边形的话，他就是每个内角啊，相等啊，每个内角相等啊，每条边也相等， 每条边也是相等的，这个叫正多边形，则这个正多边形的边数是多少，那我们直接带到公式里面去算一下就可以了。 多边形他的啊，内角和公式是一百八十乘，一个 n 减二，那他的每一个内角是一百五十度，每一个内角一百五十度，那就等于一 百五十乘以。有多少个内角啊？三角形是不有三个内角，四边形有四个内角，那 n 边形呢？是不是 n 个内角，这个就是他的内角和，那这个是不是也是他的内角和两个相等建立等式，他的边数怎么求呢？直接就可以求出来。 一百八十乘以 n 等于一百八十 n， 减去三百六十会等于一百五十 n 啊，约掉一个一百五十 n， 还剩个三十 n 减去三百六十会等于零， 那三十 n 呢，就会等于三百六十 n 就等于十二，所以它是 a 十二边形。体会一下。

离离原上草，一岁一枯荣。同学们，大家好，我是三路学院的张张老师。今天我们来看一下这样一道题目， 已知一个多边形的内角和是五百四十度，那么这个多边形为什么 行呢？那我们一起来看一下，对于一个多边形，我们来求他的内角和的时候，到底有什么规律呢？比如说我们常见的三角形，三角形的内角和，我们其实知道他是一百八十度，对吗？ 那我们说四边形的内角和呢，我们说他应该是一百八十度乘二，那五边形的内角和其实就是一百八十度乘三。六边形的内角和呢，就是一百八十度乘四。那么 这个式子是怎么来的呢？那我们注意三角形，我们知道我们可以往后去推，那三角形其实是一百八十度乘一，那我们知道三角形有三条边，他如果是一的话，那他应该是三，怎么呢？怎么得到一？是不是减二， 对吧？那四边形呢，它是二四边形，有四条边，所以应该是四减二。五边形五条边，这里是三，应该就是五减二，那么呢我们一个 n 边形呢，它的 内角和应该怎么办呢？那我们说应该是一百八十度， n 边行吗？ n 条边减二，那这个时候这个多边形的内角和是五百四十度，我们是不是先要 要给他除以一百八，先算出 n 减二是多少？五百四十除以一百八等于三，那也就说 n 减二十三，那我们的 n 呢？实际上应该等于五，所以我们要选择 c， 这个多边形是一个五边形，那么同学们，你们听明白了吗？有什么问题可以在评论区问老师。

好，朋友们来看到假如说一个正多边形的一个内角为一百三十五度啊，求这个多边形是来 a， 六边形，七边形、八边形，九边形，那我们这道题是多边形的一道题，那我们知道多边形的每个来，尤其是我们正多边形啊，来 正多边形的每一个内角和外角，它们的度数都是多少来内角 加上每一个外角都等于一百八十度吧，对不对？好，那等于一百八十度，所以来内角都已经为一百三十五呢，所以外角 是不是就等于一百八十度？减去一百三十五是不是等于四十五度？好，等于四十五度。 那四十五度过后，那现在问我们它是几边形呢？那我们根据边的正多边形边的一个公式，那我们知道正多边形它的外角和为三百六十度，来外角和 外角和总的为三百六十度。好，那我们求边数，怎么求边数？我们设为 n 啊，边数的话就等于多少，是不是等于三百六十度除以它的什么来外角度数？ 那我们看一下这道题，他让我们去求几边形，对不对？也就是求 n， 那 用三百六来写在这吧， 三百六十度除以来外角的度数，而一个内角都为一百三十五呢，外角我们刚刚算出来是多少度，是不是四十五度？那所以就用三百六十度除以 四十五度，是不是等于来正八边形，对不对？是不是等于八，所以来这个正多边形为正八边形，所以答案选择 c 选项。好，同学们，那根据这道题呢，我们来复习一下正多边形的概念。我们知道正多边形啊，内角和外角，每一个内角和每一个外角，它们的和是一百八，但是正多边形它的内角和是多少？ 三百六十度，那就根据这两个公式，还有一个我们边的公式来求啊，正多边形有多少条边，那边就等于用三百六十度除以他的一个外角 度数得出来的这个数呢，就是我们正多边形的一个边数啊，所以这题应该选择 c 选项。好，同学们你们学会了吗？

哈喽，接下来了期末图形题，不用怕，今天用切蛋糕法轻松搞定多边形内角和一个公式全解决！一句话秘密，所有多边形都能切成三角形来算！第一步，牢记基础，三角形的内角和就像一块标准的蛋糕，永远是一百八十度。 第二步，看我怎么切四边形，从一个顶点出发，可以花一条对角线，把它切成两个三角形，所以内角和就是二乘一百八十，等于三百六十 五。边形可以画两条对角线，切成三个三角形，一角和就是三乘一百八十，等于五百四十。第三步，发现规律万能公式发现了吗？记出的三角形个数总是比边少二， 所以万能公式诞生，对边形的内角和等于边数减二乘一百八十度。举个例子，一个六边形，六条边，内角和等于六，减二乘一百八，等于七百二十。用切分的思维看图形，所有的规律都一目了然，我的几何秘籍又增添了一张，拜拜，明天见！

多边形内角合画成三角要分割， 这节课我们来学习已知多边形内角求边数。我们在探究多边形的内角合的时候，其实学过了一种求内角合的方法， 比如这个地方有一个六边形，我可以在六边形的任一个顶点处，比如说我选择这个位置点屁，然后从这个点屁呢？哎，我连接对角线， 连完这三条线，会把整个六边形分成这么四个三角形，所以说整个六边形的内角和，就是四个三角形的内角和加一块，也就是四个一百八十度， 一百八十度乘四只是六边形，那我们也可以推广到 n 边形，也就可以把 n 边形分成 n 减二个三角形，所以说 n 边形那角和 啊，对应的应该是 n 减二个三角形的内角总和，也就是 n 减二乘一百八十度，对吧？这是第一种方法。 当然如果我们进行往下探究，其实啊，方法很多，我们可以把这个点劈的位置呢进行挪动， 刚才呢是在这个六边形的顶点处，其实我可以把它挪在一条边上，比如在这个位置还是我连接屁点和其他顶点，此时你发现，咦，这 四条线会把整个六边形现在分成了几个三角形，哎，五个三角形，但是你发现这五个三角形里面的这些角度，其实是不包含在六边形的内角合里面的， 对吧？那这五个角加一块，正好就是个平角一百八十度，所以说他就是用五个三角形的总和，然后再减去多的这个一百八十度，其实也是四个一百八十度。 六边形一样的，我们也可以推广到 n 边形，最后答案还是这个， 或者我们继续可以挪动 pd， 把它挪动在这个六边形内部连线， 此时应该分成了这么六个三角形，但是这六个三角形里面，这六个角我们是不能计算在整个 六边形的内角和内部的，所以说我们要用一百八十度乘六，再减去这一圈，你发现其实是个周角吗？所以应该是减去两个一百八十度，减三百六十度，还是四个一百八十度。推广到 n 边形也是一样的， 所以我们可以用这么多种方法把这个多边形的内角进行分割，但是他的原理都是放在三角形中 啊，随着这个点屁的位置不同，我们得到的三角形个数是不一样的，但是最后的结果啊，都是 n 减二乘以 八十度。好了，知道这点之后，那下面这道题应该 so ez 了，直接相当于已知内角和求边数，那么可以假设是 n 边形， 对吧？直接利用公式就可以了啊，如果公式没记住，自己现场去推倒啊。也就是 n 减二倍的一百八十度应该等于一千四百四十度， 然后 n 减二应该就等于一千四百四，除以一百八等于八，所以说 n 等于十， 对呢，这应该是个十边形啊，边数为十， 这就是啊，一直内叫 和求边数的题目，直接利用公式就可以了。最后我们简单总结一下， 刚才我们讲了其实多种求内角合的方法，他们的原理都是要把这个多边形怎么样呢？哎，分割成若干个小的三角形， 因为小三角形的内角和我们知道是一百八十度，所以直接插一百八十度个数就可以了啊，插完之后最后的结论就是 nba 型内角和应该是 n 减二倍的一百八十度， 希望大家能够把这个结论记住啊，然后到考试的时候，做题的时候呢，直接拿过来，非常的好用。好，我们这一刻整理到这里。

大家好，从这节课开始啊，我们来学习八年级下学期，呃，新版教材的北十大数学第一章三角形的证明及其应用。这节课呢，咱们先来学习三角形内角和定义的。第一课时， 我们先来看一下这节课我们学习的目标有哪些哈，首先我们要掌握三角形内角和一百八十度它的探索及证明过程。 第二呢，要求掌握三角形内角和等于一百八，并会用这个定力来解决一些问题。最后呢，就是要理解掌握两个三角形全等的判别方法。 我们来思考这样的一个问题，我们已经知道任意的一个三角形，它的内角和都等于一百八十度，这个小学的时候就有涉及过，初中的也接触，现在我们就要正式学习它， 那么和三角形的形状大小都是没有任何关系的。哎，任何的三角形，他的三个角加起来都是一百八， 除了度量之外，就是用量角器测量，你还有什么办法可以来验证我们这个三角形的内角格等于一百八十度。我们这里边有一个图形， 通过折叠可以将看上边的这个三角形给他折下来， 那么折下来之后呢，再把左边的这一块给他往中间折，右侧的这个灰色的也往中间折，我们就能够发现一个现象，三角形的三个角现在折完之后组成了一个什么角？ 平角，而我们知道平角肯定是等于一百八十度的，所以呢，通过这个小的折纸实验，我们就能够感知到哦，三角形三个角加起来应该等于一百八十度。 呃，还可以用拼接的方法，你知道怎么操作吗？就是刚才我们这个操作过程啊， 说你能根据已有的基本事实和定力来证明三角形内角核吗？刚才我们这个情境的实验呢，是让我们感知探究一下三角形三个内角核，从直观上 感受一下它们三个的核等于一百八，那么具体涉及到探真正的证明，我们接下来进行一下具体的操作，好进入我们今天的一个学习， 研究三角形内角和定义的证明，也就是为什么等于一百八。来，咱们看一下，我们知道三角形内角和一百八，那么你记得这个结论的一个探索过程吗？我们一起来探索一下啊。 如图，如果只把角 a 移动到角一的位置，哎，角一跟角 a 是 相等的，那么你能说明这个结论的正确性吗？ 将角 a 移动到角 a 的 位置，那就说明这两个角是相等的。根据咱们所学过的一个知识，如果这两个角相等，咱们就能够得到 这两条直线是平行的，因为他们两个角的关系是什么角啊？内错角， 内错角相等的时候，两直线平行，根据两直线平行，咱们是不是又能得到角 b 和角二也是相等的呀？因为他俩是同一角， 这样的话，我就将三角形三个内角给他移到了同一个平角上边来，咱们是不是就能很好的理解好这三个角的和是一百八十度了？好，我们具体看一下， 哎，由这个角 a 跟角一内错角的关系相等，咱知道这两条直线平行， 如图，由操作可知，角 a 得角一，可以利用内错角相等两直线平行证明平行线， 然后呢，再利用平行线的性质，还有平角的定义，咱们是不是就能得到一个很好的说明了？哎，好，我们再来看第二个，如果不移动角 a， 那 么你还有什么方法可以达到这样的效果呢？我们再来一起看一下。我们这个正 三角形内角和的方法是非常多的，我们刚才只是取其中的一种，将角 a 移到了角一的位置， 同时我们也可以这样做，将 b c 延长，延长之后呢， 我可以在这里边取一个角，让它等于这个角 b， 是 不是也可以啊？哎，它这两个取角其实大同小异，或者说是我构造平行线延长之后，我过点 c 做一个 c e 跟 a b 平行， 同样也可以将角 b 移到角二，角 a 移到角一，都可以来看这种方法。呃，考虑构造平行线进行平行转移啊，进行角度的一个转移， 如图，可以构造 c e 平行 a b， 然后是不就也都将三个角移到了一个平角的位置上边来了。哎，这种效果呢，也可以达到同样的一个作用啊。 三，你能不能说明这个结论的证明思路吗？试着写出证明过程，同伴进行交流， 咱们来看一下啊，我们要想把这个证明过程写下来，大家注意，这个时候我们需要增添已知条件，还有你要求证的结论，这个是需要我们自己把它添注上去的。 哎，但是今后不会了，现在因为我们是要证明这个定理，那么我们唯一的已知条件就是这个三角形，所以我们可以直写已知，如图，三角形 abc， 需要求证的就是这三个角相加等于一百八，哎，这个就是已知和求证，而今后呢，我们做的都会给出已知条件，给出求证结论，直接让我们书写证明过程就可以了。 分析一下说你学过哪些跟一百八十度有关的一个结论，哎，曾经的撕角拼图活动对你有什么启发？就像上边那两个实验，就属于这个撕角，把角度撕下来，然后拼成新的图形这种题型了。 那么我们就用这个呃，第二种方法来证明一下吧。延长做平行线的方法啊，来，我们一起看一下， 先写证明两个字，打冒号。如果在一道证明题当中存在辅助线，那么你必须得先描述辅助线。描述辅助线一定要将语言准确简洁啊。我们看这如图，延长 b c 至 d， 过点 c 做射线 c e， 使 c e 平行 b a。 哎，这样我们就描述出来了。那么我们做完这个辅助线之后，咱们是不是就能得到内错角、同位角相等了？ 所以角一得角 a， 角二得角 b。 在 这里边咱们就不需要备注括号，因为是上学期刚学的话，需要备注啊， 现在直接写就行了，哎，它的原因是什么？两直线平行，同位角相等和内错角相等，因为它们是在同一条直线上的，所以根据平角的定义，角一加角二加角 a c b 的 一百八。 所以呢，在等量代换，角 a， 加角 b， 加角 a c b 就 等于一百八了。这会大家注意一下，我们求证，虽然说是加角 c， 但是你这个位置延长出去了，角 c 的 名称发生了变化，如果这个位置你再写角 c， 那 就要被扣分了， 这里的 c、 d、 c、 e 称为辅助线，辅助线呢，通常我们要画成虚线，这个是我们要注意的一个地方啊，你辅助画出来的这种线叫辅助线，需要做虚线处理。 那么我们下面总结一下三角形内角和的定例，三角形三个内角的和等于一百八，哎，这个就是定例，那么这个定例呢？我们是文字描述出来的，在几何使用当中，我们如何用几何语言来描述？可以这样来表达， 在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 角 b， 角 c 为三角形 a、 b、 c 的 三个内角，则角 a 加角 b 加角 c 得一百八，哎，只要是三个内角，你就可以立刻得到结论， 他们仨相加等于一百八。这样的话呢，咱们就用几何语言可以直接用到证明过程当中去了啊。好，下面我们再来思考一个问题，如图，在证明三角形内角和定力的时候啊，小明的想法是，把三个内角凑到 a 一 的位置， 过点 a， 做一个平行线和 b、 c 平行，问它的方法能不能行，那么我们不妨简单讨论一下哈。如果我们过一个平行，做一个平行线，平行于 b、 c， 这样的话，角 b 是不是根据内错角可以上去？角 c 根据内错角是不是也可以上去？再加上原先的角 a 在 这里边叫角 b a、 c 是 不是也组成个平角啊？所以这种方法肯定也是可以的，你看方法非常多，来，我们一起来看一下这个过程啊。可行， 因为平行，那咱们就有内错角相等了。来看一下，有一个角 b 等于角 p a、 b 这个位置叫角 b 就 行，不用叫角 abc 啊，单独的角吧。第二个角 c 等于角 c a、 q， 原因是两直线平行内错角相等， 原来这个平角等于一百八，所以呢，等量代换一下，新的这仨角相加就一百八了，这样的话，我们也能够证明出来三角形的内角和等于一百八十度。 第二个问题，对于三角形内角和定里，你还有其他的证明方法吗？方法蛮多的，这里面再给大家展示一种啊。来看 我在三角形的内部，在 b、 c 边上取一个点 d， 哎，这个点 d 看着有点像中点呐，其实在哪里都行，哎，你 b、 c 上边随便取一个点就行，别跟 b、 c 重合就可以了啊， 然后过这个点，大家能不能看出这个辅助线的做法了，分别做两条边的平行线，这样的话，我们是不是也能把角度转移了？哎，来我们看一下啊， 在 bc 上取一点 d 过点 d， 分 别做 md， 平行 a、 c、 m、 n， 哎，这个 md 平行 ab， 这样的话就有内错角相等了，因为平行，所以这个因为平行不斜也可以啊，因为咱们前面已经交代了，角一等于角 c 同一角，角三等于角 b 同一角，而角二呢，等于角 b、 m、 d， 内错角也等于角 a 同位角， 这样的话，我们又能因为角一、角二，角三是平角，然后用一个等量代换，是不是就能得到内角和等于一百八十度了？哎，很多啊，我们这个三角形内角和的证明方法非常多， 上述多种方法证明三角形内角和定里的核心是什么，大家有没有发现呢？我们都是借助了什么呀？借助了两个东西，有没有看到一个是平行线，一个是平角一百八，是不是？哎， 那么我们这个核心呢，借助平行线的以角功能，将三个角转化成一个平角，这个就是我们的一个核心思想。 呃，再总结一下我们做辅助线的一个方法啊，在这里为了证明的需要啊，在原来图形的基础上添加的线就叫辅助线。平面几何里边呢？辅助线通常是要画成虚线的。有个思路总结，我们看一下， 为了证明三个角的和是一百八，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中经常要用到的啊，叫转化思想，我们这里主要是把它转化成了一个平角啊，主要转化了一个平角。 下面呢，我们对应着来看两道练习题，在三角形 a、 b、 c 中，角 a 减角 b 等于三十五度，角 c 等于五十五度，问角 b 等于多少度？ 遇到这种题呢，是我们在内角和应用中最常见的一种类型，就是利用内角和来求角度。 那么在这里边我们会发现告诉角 c 了五十五，那咱们显而易见就能知道角 a 和角 b 的 和，一百八减五十五，一百二十五。 这里边又告诉了一个，角 a 跟角 b 的 差就相当于两个未知数，那我有一个和有一个关系了，差，又来一个关系，你可以利用什么二元一次方程组啊？嗯，主要就是二元一次方程组啊， 就能够把角 a 跟角 b 都解出来了啊。哎，来我们看一下，由三角形内角和定理可知，角 a 加角 b 等于一百二十五，又因为它俩的差等于三十五，所以就能得角 b 等于四十五了啊，这个 可以连立成方程组啊，按照二维一次方程组的解法，很容易把它算出来。下面我们再来探究第二个问题，叫全等三角形的判定定律和性质。有些同学说，老师，我们之前不是已经学过他的判定定律了吗？这个不假，确实是学过了，但是呢，还是 有所区别的啊， 我们一起来思考一下这个问题啊。我们学过了两角分别相等，而其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。这个结论， 你能用有关的基本事实和已经学过的定力证明它吗？哎，有些学生说，老师，我还正它干嘛，我都学过了，那在这里为什么要正一下呢？我们上学期在学的时候啊，学习过公里， 而我们所学的四个全等三角形的判定条件中，有三个判定条件都属于宫里，宫里就不需要你正了呗，有哪些了？边角边是宫里，角边角是宫里边边边是宫里，而只有这个 脚脚边不是公理，那不是公理的话呢，他是一个判定定理，判定定理是由公理证明出来的， 所以呢，在这里是希望我们能够，呃，为了更好的理解他，让我们能亲自对这个定理进行一个证明，当然之后不需要了，以后就直接拿过来用就可以了嘛。哎，来我们看一下啊， 将这个转化成几何语言就是，呃，两个两组对应角相等，其中一组对角的对边也相等。当知道这三个条件的时候，让咱们来证明这两个三角形是全等的。 那么要想证明他俩全等呢？大家注意，这里边我们是要正这个定例，就要用公理来证明，所以呢，我就需要把它转化成另外三个判定条件。 这里边给了我们两组对应角相等，那么咱们能不能知道第三组对应角也相等了，哎，第三个角也相等了，那条边是不？我就可以看成是 角边角了，因为角边角的证明它属于公里，所以呢，我们就用角边角来进行证明。来，我们具体看一下过程， 因为角 a 加角 b 加角 c 得一百八，这个内角角就可以直接拿出来使用了啊， 角 d 加角 e 加角 f 也等于一百八，然后另外两组对应角是相等的，所以呢， 角 c 和角 f 就是 相等的了。然后呢，我们再结合着 那组对应边是相等的，咱们就能知道这两个三角形全等了，根据的是角边角。大家记住啊，咱们证明这个的目的是为了正这个定力。哎，不是说老师，为什么你还要正一下呢？ 另外三个全等三角形的判定，它属于公理，不用证。咱们在这里呢，就是为了准确地知道角边角为什么是成立的啊，主要是这个原因。 呃，然后我们就可以总结出来全等三角形的第四个判定定律， 两角分别相等，而其中一组等角的对边相等的两个三角形是全等的。根据全等三角形的定义，我们就可以得到全等三角形的对应边相等，对应角相等。这个呢，是属于全等三角形的一个性质， 下面我们对应来看一个。第二个，平行，第一， a b 等于 d e， 那 么添加哪个条件之后，仍然没办法判断它俩是全等的，哎，仍然是我们用之前的四个判定条件啊，第一个， 大家注意一点啊，给了两直线平行，那它的目的只有一个，就是为了告诉你角相等。 通过 ab 平行 d、 e， 我 们能够发现它被 b、 e 所截，只被 b、 e 所截产生的内错角，角 b 和角 e 是 相等的，那这里面具有了一角相等了， 又告诉 ab 等于 d、 e， 又有一边相等的啊，一角一边相等，我们怎么挣全等？他说不能的是咱们意思看一下 a 角 a 得角 d 可不可以？很明显这个是可以的，那么我们就相当于是利用了 角边角证明全等的 b， a、 c 等于 d， f， 哎， a、 c 等于 d、 f 这两条边相等的， 那么我们就要看它给我们的角是不是假角，很显然不是假角，这个属于边边角，那它不能证明两个三角形全等，所以得选 b 选项。选 b 选项 这块是不是有点蹿了啊？这个位置有点蹿了，我们再来看一下 c 选项， b、 f 等于 e c， b、 f 等于 e、 c， 它最直接的想法就是想通过添加中间 c、 f 作为公共边，让我们得到 b， c 等于 e、 f， 这样的话，我们就可以利用边角边证明两个三角形是全等的了。 第四个， a、 c 平行于 f， d 平行必有角相等，那么根据内错角 a、 c、 b 等于角 d、 f、 e， 所以 我们也能够利用角角边证明这俩三角形全等，所以只有 b 选项不可以啊，只有 b 选项可以。 好，下面我们再来对应的看几道例题。例如图所示，在三角形 a、 b、 c 中，角 b 等于三十八度， 角 c 等于六十二度。大家一定要养成一个边读题边标注的习惯啊， a、 d 呢，是三角形 a、 b、 c 的 角平分线， 告诉角 b， 告诉角 c， 马上反应出来角 b、 a、 c 的 度数一百八，把它俩减掉，它俩的核凑整啊，刚好一百。 所以说角 b、 a、 c 的 八十，又出个角分线，各自四十呗。让咱们求的是角 a、 d、 b 的 度数， 求贼的度数在哪个三角形中，看那是不是在内角角就行了，一百八十度，减去角 b， 再减去上边一个四十是不是就完事了？主要是过程怎么写，我们一起来看一下。 大家做几何题都一样啊，你先有思路，再有过程，认真分析题中每一个条件，能给我们提供带来哪些重要的依据。解， 在三角形 a、 b、 c 中，它们三相加一百八，那这个目的咱们是不是为了求角 b、 a、 c 呀？哎，这两个度数，所以角 b、 a、 c 等于八十度。 然后呢，再根据角分线，咱们是不是要把角 b、 a、 d 求出来呀？因为 a、 d 是 角平分线，所以咱们为了求角 b、 a、 d， 它就等于二分之一的角 b、 a、 c 等于四十度。 这回我是不是就可以在三角形 a、 b、 d 中再去使用一次三角形内角和了？哎，在三角形 a、 b、 d 中，它们三个的和得一百八，所以角 a、 d、 b 就 等于一百零二度，这个就是我们的一个证明过程。 好，我们再来看一道。第二，在三角形 a、 b、 c 中，点 d 呢？在 b、 c 的 延长线上 过点 d 做 d， e 垂直 a、 b 延长线的这个东西没有给我们提供实质性的一个有用的条件，但是垂直就有用了，垂直就有九十度产生，这里边有很多个直角三角形 告诉了角 a 的 度数是三十度，那么我们把角 a 这块标注上三十，先别着急往下分析，当你发现角 a 是 三十的时候，你就能立刻求出来，角 a、 f、 e 应该等于六十度。因为在直角三角形 a、 e、 f 中看嘛， 然后它有一个对顶角，所以角 c、 f、 d 也应该等于六十度。哎，能分析到这，先放在这， 又告诉了一个，角 f、 c、 d 等于八十，哎，那在 f、 c、 d 当中，有六十，有八十一百四了，那角 d 是 不是四十就能求了？来看看最后，哎，求的就是角 d， 要是求角 b 呢？那咱们再用九十度一减不就完事了是不是？哎，四十度口算都算出来了。那接下来呢，就是把你刚才分析的这个思路给它落笔成文写下来，变成了步骤就 ok 了。好，我们再来看一下， 因为垂直，咱们肯定是从垂直开始入手的，所以先得到的是角 f、 e、 a 的 九十度。 那这回呢，我们得在哪个三角形中？在三角形 a、 f 中，一个九十，一个三十，咱们是不是就能得到角 a、 f、 e 等于六十度了？再由对顶角，咱们能得到角 c、 f、 d 也等于六十度。 然后这回我是不是得在三角形 cdf 中去观察了，哎，两个角度数都知道了，那我要想求最后一个角，是不是一减就行了？所以是四十度？好，我们再来看最后一道例题，如图，已知点 c 呢？是在 a、 e 上，没什么实质作用， ab 等于 e、 a。 哦，给了一条对应边相等， ab 平行， d、 e 平行，必有角相等。 我们看到啊，这里边有被 a、 d 所结，但是被 a、 d 结是同旁内角，一般咱们用的少，还被 a、 e 所结，产生内错角，很明显，这个是有用的。角 e 等于角 a c 好 一边角了， 又告诉角 e、 c、 b 等于七十，告诉 e、 c、 b 的 七十，你看它在三角的外部，它是不是希望你得到角 a、 c、 b 啊？同这个邻补角一百一， 又告诉个角 d 的 一百一。哎，那这不又出现个角相等了吗？对不对？然后观察一下他们几个的关系，满足了一个角角边，能说明这俩三角形是全等的就完事了。好，我们依次来看一下这些条件怎么用？ 呵，证明，先从七十度入手的哈，因为他是七十度，他是一百一。 然后呢，因为角 d， 呃，也是一百一，所以这两个角就相等了，也就是最大的这两个角相等了。我们还需要用平行把另外两个角也说明出来。相等，平行内错角相等 仨条件，这回是不是就都够了呀？哎，那我们把仨条件摆出来，正常加大括号，其实不加大括号也不扣分，所以呢，这俩三角形就全等了。 好了，这就是我们这节课呢，所接触到的三角形内角和定力的第一节内容。在这节内容当中呢，我们讲了两个概念，第一个是三角形内角和定力一百八，以及它是如何被证明出来的，几种方法了解就可以啊。借助平行线构造平角， 还介绍了全等三角形的判定条件。定里的一个判定条件是吧？哎，角角边。同时呢，也再次认识了一下它的性质，只要全等，边角都相等。后边呢，有些对应的题，有兴趣的同学可以看一下 啊，这块有点重叠了， c d 选项啊。 好了，那么我们这节课啊，就上到这里。