初二数学最短路径问题有几种类型

同学们大家好，欢迎大家来到小孙数学。本节课我们继续学习最短路径问题。 上节课我们学习了著名的将军印码问题，利用轴对称，依据两点之间线段最短来解决最短路径的选取问题。 如果把一条直线 l 变成两条直线，会变成生活中的什么问题呢？本节课我们一起来学习。 这是一个造桥选址问题，我读一下， ab 两地在一条河的两岸，现在呢，要在河上造一座桥， mn 桥造在何处？可使从 a 到 b 的路径 a， m、 n， b 最短呢？ 我们把图画一下，合的两岸呢，可以看成是两条平行线， a 与 b， n 为直线 b 上的一个动点 mn 是垂直于直线 b 的交，直线 a 与 m， mn 就是我们要造的桥。那现在呢？问题可以转化为下面的问题了，当点 n 在直线 b 什么位置时， am 加 mn 在加 nb 是最小的。 我们看这三条线段， am 和 bn， 他们的长度是变的，但是呢， mn 的长度是固定的，所以呢，我要想求 am 加 mn 加 nb 最小，也就是求 am 加 nb 最小对不对？因为 mn 是固定不变的。好了，那问题呢，就转化为 am 加 nb 最小，那点 n 在什么位置时，他们的合是最小的呢？ 大家可以对比一下上节课我们讲的这个图，点 a 和点 b 在直线 l 的预测连接线段 ab 与直线 l 交于点 p， 此时 pa 加 pb 是最小的。那现在我们看 am 加 bn 的核最小，我们能否也可以把它转化为这种情况呢？点 m 和点 n 分别在两条直线上， 我们可以利用平移，大家看，将 am 沿着河岸垂直的方向平移，把点 m 移到点 n 这里，点 a 呢？移动到 a 撇这里， 那根据平移的性质，我们看 a m 和 a 撇 n 是相等的， 求 am 加 bn 的核最小，也就是求 apiern 加 bn 的最小值。大家看此时是不是和右面这个图一样了， 点 n 在什么位置时， na 撇加 nb 最小呢？连接 a 撇 b 对不对？ a 撇 b 与直线 b 相交于点 n， 此时 n a 撇加 n b 的合适最小的依据的就是两点之间线段最短，这个点 n 呢，就是我们所求的那个点。那下面呢，我们证明一下，为什么 n a 撇加 n b 合适最小的呢？ 在旁边直线 b 上可以认取一个点 n 撇 n 撇 a 撇加上 n 撇 b， 一定是大于 a 撇 b 的对不对？两边之和大于第三边，所以 n a 撇加 n b 是最小的。 大家可以根据这个思路啊，写一下证明过程。好，下面我们总结一下造桥选址问题的作图步骤。第一步，沿河岸垂直方向平移十 点 m 移动到点 n， 点 a 移动到点 a 撇。第二步，连接 a 撇 b 与直线 b 交于点 n。 好，点 n 即为所求。下面呢，大家可以看一下动态图，进一步来体会一下。 我们看将 am 平移到 a 撇 n 这里，如何求 a 撇 n 加 nb 的最小值呢？ 当点 n 是 a 撇 b 与直线 b 的焦点时，此时 a 撇 n 加上 nb 和是最短的。 好了，那到目前为止呢，关于最短路径问题呢，我们学习了将军印码问题以及本节课的造桥选址问题。在解决这类问题时，我们通常是利用轴对称、 平移等变化，把已知问题转化为容易解决的问题，依据两点之间线段最短，做出最短路径的选择。 上节课呢，我们讲的将军一码问题，利用的是轴对称，本节课呢选的本节课讲的造桥选址问题，利用的是平移。好了，那以上呢就是本节课的全部内容，下面我们回顾一下本节课都学习了什么。 我们主要学习了如何利用平移解决造桥选址中的最短路径问题。基本思路呢就是 平移与两点之间线段最短。大家在课下呢，可以将这个问题的证明过程呢写一写。好了，那以上呢就是本节课全部内容，同学们，我们下节课见。

同学们好，欢迎来到今天的数学微课堂，今天我们要讲的内容是最短镀金问题。 相传一位将军有一匹马，本来在 a、 d 吃草，但他现在渴了，想去笔直的河边喝水， 然后再回到马救逼处。请问他到河边什么地点喝水？可是所走路线全程最短呢？ 其实这就是我们今天要探讨的最短路径问题。两点的所有连线中线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短。 这些问题我们称之为最短路径问题。现实生活中经常涉及到选择最短路径问题。本节课我们将利用数学知识探究数学史上著名的将军营马问题。 那么对于将军引马问题，我们应该如何解决呢？可以将 a、 b 两地抽象为两个点 a， b， 将河流抽象为一条直线 a。 这个解题思路是正确的，我们可以将 ad 抽象成一点 a， 马就 b 抽象成一点 b， 河流抽象成一条直线 a。 其实就是将实际问题转化为了数学问题， 从而运用数学知识解决最短路径问题。那么我们如何在指尖 a 上找到一点 c， 使得 a 到 c 到 b 的距离之和最短呢？ 接下来我们来探讨几个问题。问题一，现在假设点 a、 b 分别是直线 a 一次的两个点，如何在 a 上找到一个点，使得这个点到点 a 点 b 的距离之和最短。 连接 ab 与直线 a 相交于一点 c。 是的，我们可以连接 ab， 此时 ab 与直线 a 相交于一点 cab， 即为我们要找的最短入境。 这是应用了什么公理呢？其实这是根据两点之间线段最短及线段的公理，所以交点 c 即为所求。 问题二，如果点 a、 b 分别是直线 a 同侧的两个点，又该如何解决呢？ 来猜想一下，是否可以沿用问题一的方法，试着将 b 移到 a 的另一侧 b 撇处，使得点 a 与点 b e 侧，然后连接 a、 b 撇，以此在直线 a 上找到满足条件的点 c。 那么我们又该如何将臂移到臂撇处呢？利用轴对称 做出点 b。 关于直线 a 的对称，点 b 撇对，我们可以利用轴对称做出 b 关于直线 a 的对称点 b 撇，然后连接 ab 撇，此时 ab 撇与直线 a 交于点 c、 c 点即为所求。再来探讨问题三，我们能否运用所学的知识证明 a、 c 加 b、 c 最短呢？在直线 a 上任取一点 c 撇，注意这里 c 撇与点 c 不重合， 然后连接 a、 c 撇、 b 撇 c 撇 b 撇 c。 由轴对称的性质值， b、 c 等于 b 撇 c、 b、 c 撇等于 b 撇、 c 撇，所以 a、 c 加 b， c 等于 a、 c 加 b c 撇 等于 a b 撇。 a、 c 撇加 b c 撇等于 a、 c 撇加 b 撇 c 撇。在三角形 a、 b 撇、 c 撇中， a、 b 撇小于 a c 撇加 b 撇、 c 撇，所以 a、 c 加 b， c 小于 a、 c 撇加 b、 c 撇， 即 a、 c 加 b、 c 最短。我们找到了满足条件的点 c， 使得 a 到 c 到 b 的距离之和最短， 从而解决了将军饮马问题，即点心就是马喝水的最佳地点。 通过以上最短路径问题的思考，我们应该怎么样找到他们的最短路径呢？ 首先我们要确定对称轴，找出定点的对称点，然后连接对称点与另一点，确定所求位置点，或者连接各对称点，确定所求位置。 通过以上的学习，我们来练习一道题，巩固所学的知识。现在将军的马在 md， 他想先去欧文这边吃草，再去 op 这边喝水，最后回到 md， 请问怎么给他选择路径，使得所经过的总路程最短呢？根据前面学习的找最短 路径的方法，我们首先要确定对称轴，找出定点的对称点，这里对称轴为 o， n， o， p， 定点为 m， 也就是做出 m。 关于 o， n， o， p 的对称点 m 一 m 二。 然后第二步我们要连接各对称点，这里我们连接 m， e， m 二，分别于 o， n， o， p， 交于 e， f。 然后我们就得到了三角形 m， e， f， 它的边即为我们要找的最短路径。这道题运用到了两个知识点，一是轴对称，二是线段公里。是不是很简单呢？我相信同学们 都理解了，接下来让我们来小结一下吧。 本节课我们将实际问题转化为了数学问题，通过猜想和证明得出了相关结论，最后解决了将军迷茫问题。 同时我们还学习了找最短路径的方法。首先我们要确定对称轴，找出定点的对称点。其次我们要连接对称点和另一点，确定所求的位置点。 好了，今天的课堂到这里就要结束了，同学们在课后也要多加练习，巩固知识点。

我们再看第二个类型呢，是两线加一点模型，两线加一点模型呢，就是两条直线中间呢加了一个点，然后我们在这条两条直线上呢分别取一个点，然后使组成的 这三条线，比如说 pm， mn 和 np， 这三条线之和呢最短， 那么我们该怎么求呢？首先呢我们做 p， 关于 l e 这条直线呢，对称点 p 片，那么我们看这里面的这个 m p 是不是等于 m p 片呀？ 然后同样的我们做 p， 关于直线 l 二的一个对称点 p 撇撇，那么 np 是 就等于一个 n p 撇撇呀，那么那么 mp 加上一个 np 加上一个 mn 呢？就转化为了 mpp 加 mn， 加上一个 n， 屁撇撇，这三条线段相加呢最短，那么我们就是连接屁撇屁撇撇，然后与两条直线的交点就是我们所要求的，因为什么两点之间线段最短？ 我们看到例题，如图， b a 和 bc 呢，是两条公路，在两条公路呢夹角内部的点细处有一个油库，如果说在两条公路上呢，分别建一个加油站，并使运 油的油罐车呢？从油库出发，先到一个加油站，你们看，比如说这是一个加油站，然后呢这是一个加油站， 从 p 点出发呢，我们先到一个加油站，然后呢再到另一个加油站，然后呢再回到这个油库，然后使其总共的路程呢最短。那么加油站呢，应该如何选址？ 这个是不是刚才我们所说的两点啊，两线加一点模型的最短路径问题啊？ 我们呢分别过 p 点呢？做 b， a 的对称点 p 撇，然后呢做 bc 的对称点 p 撇，然后连接 pp， 然后与直线的两直线的焦点呢？即为我们所求的两个加油站的选址。 我们再看一道比较有难度的进阶题型，如图，点 p 呢，是角 aob 内的任意一点，并且角 o 的度数呢，等于四十度，已经给我们了。然后 mn 呢，分别是射线 ov 和 ob 上的重点，然后当 pmn 的周长取最小值， 也就是我们今天所学的两线加一点这个模型。也就是说当我们做两条直接的对称点，然后连接这两个对称点的时候呢， 与两直线这个交点，此时存在的这两个点呢，满足三角形 pmn， 他这个周长呢 取最小值，我们看在这个时候呢，根据对称的性质，我们看 换个颜色，这条边是不是跟这条边，就是说 o p 一是不是等于一个 o p 呀？ 然后 oa 是不是 pap 的垂直平分线呀？也就是说这个 oppe 呢，他呢是一个 等幺三角形，而且呢 oa 呢是他的一个中轴线，然后这样的话，我们可以得出来， 这个角是不是等于这个角，然后呢这个角是不是等于这个角呀？ 然后我们再换个颜色，同样的我们 我们可以得出来，这个红色的这个角等于这个角，然后这个角呢是不等于这个角？ 我们命名这个角为角一，这个角呢为角二，我们看因为这两个角相当，绿色的这两个角相当，然后红色的这两个角相当， 然后一个绿色和一个红色，他们两个相加呢，是不是等于角 o 就是题中的这个角 aob 等于四十度吧，所以说这个大角，哎，就是角 p 一， op 二是不是等于二倍的角 aob 是不是等于八十度？ 他等于八十度了，那么这里面的角一加角二，因为在这个三角形中嘛，知道一个角了，那么这里面的角一加角二，是不是知道的 是多少度？小一加九二是不是一百度呀？一百度。然后这个角二呢？是不是等于这个角？然后这个角一呢？是不是等于这个红色的这个角？所以说我们命名这个角为角三， 这个角呢为角四，也就是说角二等于角三，角一等于角四，那么角三加角四呢？就等于角一加角二等于一百度，然后角三加角四呢？就是我们所要求的角 m p n 他这个度数，所以说答案呢，我一百度写，陛下。

将军印码问题有多重要，相信很多家长和同学都知道，但解决将军印码以及拓展问题的唯一方法却有很少人知道。 大家都非常喜欢听方法，听技巧，听秋姐的教学经验。那么今天呢，我就通过这道题给大家讲解一个方法啊，口头上说叫做定对联，实际上具体说来呢，就叫三个字，定对联。来，我给你们解释一下，哪个定是这样的？ 对，是这样的，对称连是连结。 我一个一个给你们说，这个定分为什么呢？分为定点和定线， 必定它是一个动点问题，所以你要以静制动。什么叫以静制动呢？你看啊，定点和定线都如何去找？首先看 b， m 加上 m、 n， 这里面一个字母， 两个字母，三个字母，不要大范围，要缩小范围，缩小嫌疑对象，他一共是三个字母对不对？那一个是 b 点，一个是 m 点，一个是 n 点，那么显然定点就是点 b， 那么定线是谁呢？注意啊，我的方法都是具有指令性的，是动点所在的线作为定线，比如说这个是动点，这个是动点，那么他俩都可以作为定线。那么一会呢，我们要干嘛呢？我要做这个定点，关于定线 线的对称点，那刚才定线选择出两条了，两条了，可是你这个 b 点在这上面呢，所以你不可能做关于 ab 的对称点呢，对吧？所以我们的定线就选择了 ac， 就是动点所在的线选择为定线。 那刚才呢，有两条，我们排除了它是因为 b 点在这条线上呢，那我们找到了，我们确定了是 a， c 是那个定线，然后我们要干什么呢？下一步 对做对称。怎么做对称？做这个定点，关于这个定线的对称点，所以啊，我都用实线了啊，我就过这个 b 点向这边做个垂线，然后并且背长这个地方垂直这一段等于这一段，这样呢， 你就会发现，我再把这个 a 和这个对称点连上这个地方，标一个点， b 一撇吧，底下这一块是六， 那上面是不是就六了，对吧？我标记成六，然后同时我再连定对联啊，连开始了，做完对称就要连接，连接 mb 撇，请看题，你求的是 bm 加上 mn， 是不是把 b m 对称到上面去了，然后同时就会变成 b 撇， m 加上 m n。 注意啊，我解释一下，我们做定点，关于定线的对称点之后，得到的对称点仍然是定点，也是非常呃可依靠的。所以呢，你再看，当我们在 求这个 bpm 加上 mn 的时候，这块是定点呀，这是动点呀，何时最短啊？来了，叫做点到线的垂线段最短，所以这个 h 就是这个他俩和的最小值， 那这款是六，这是十五度，这是十五度，十五加十五是三十，在这个直角三角形中，三十度角所对的直角边对斜边一半啊，这款是三十度，所以这个长度是不就是三，所以这样也能够求出他的最小值是三，所以大家可以 注意这三个字的技巧，定对联啊，注意，这个定字会很关键，找定点和定线， 到底谁是定点，谁是定线，然后做对称的时候说做这个定点，关于定线的对称点，然后再利用知识，是点到线的垂线段最短还是两点之间线段最短，你听会了吗？

八年级上册最短路径问题，上一两点之间线段最短，求 p a 加 p b 最小值时点 p 的位置 如图，连接 a b 交直线 l 于点 p， 点 p 未所求。二、将军印码问题，求 p a 加 p b 最小值时点 p 的位置 如图，做点 a。 关于直线 l 的对称点 a 一撇 连接对称点和另一定点 b 交直线 l 于点 p， 连接 a p 连接 p b。 三、线段差的最大值一、求 p b 减 b a 的绝对值最大时点 p 的位置 如图，连接 b a 交直线 l 于点 p， 点 p 未所求。四、线段差的最大值二、求 p b 减 b a 的绝对值最大，是点 p 的位置 如图，做点 a 关于直线 l 的对称点 a 一撇 连接 b a 一撇交直线 l 于点 p， 点 p 为所求。

这个视频我要讲讲如何利用勾股定理求解最短路径的问题。这有个正方体，棱长是一，你在 a 点，要沿着正方体的表面去 b 点，最短路程是多少呢？前面讲过，遇到这种最短路程的问题，就要化折为值，怎么化折为值呢？把这个面展开，连接 ab 撇就行，这就是最短路程，他是多少呢？ 设它为 c 吧，棱长是一，它就是二。根据勾股定理， c 方等于一方加二方，也就是五， c 就是根号五搞定。 再来看个题，已知平面直角坐标系内， a 的坐标是零二， b 的坐标是四一点 c 在 x 轴上，问 ac 加 bc 的最小值是多少？ 木有图，那就自己画。先画个坐标系， a 是零二，那 a 就在这， b 是四一，那 b 就在这， c 是 x 轴上一点，问 ac 加 bc 的最小值等等。这不就是咱学过的将军一马 问题吗？要想路程最短，先画折为直，做 a 的对称点， a 撇连接 a 撇 b， 这就是要找的最短路程。那他怎么求呢？我教你个方法，过 b 点向下做垂线，过 a 撇点向右做垂线，这就出现了个直角三角形，这条边是一，这条边等于这条边，他是二，那这条边也是二， 所以这条边就是一加二得三，而这条边等于这条边，这条边是四，所以这条边也是四。利用勾股定理马上可以求出这条边是五搞定。 以上就是如何利用勾股定理来解决最短路径的问题，只需两步走，第一步，画折为止，找出最短路径。第二步，构造出直角三角形，利用勾股定理求解。好了，没事，这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！

好，原理，搞明白之后，咱们来一起看一下具体应用。如图， d 和 e 分别是 ab 边上和 bc 边上的一个中点， d 是等于五， f 是 ad 上的一个动点， 让我们求 b f 加上 ef 的最小值，那我们看到这种线段和最段，而且他们这线段和是不是还有一个公共顶点？ f 是不是想到了一个将军赢马，但是在几何问题中难就难在他并没有把 哎几个点明确给你标注一下，需要在几何问题中先把哪三个点找到，以及我们对应的那条线，所以第一步我们确定三点一线，就是是哪三个点和哪一条线在这里，是不是就是 b 合一是定点 f 呢？为我们的动点， f 在哪个线上运动呢？ f 在 a、 d 上运动， 所以我们把它分离出这个模型， a、 d 这是一个 l 那条线， e， b 是那两个定点， f 是那个动点，所以是不是就让我们求这个模型中他的最小指？咱们说是不就将军一马？好，接下来我们是不是要干嘛呀？ 两部曲第一步可以看到闭合翼是不是在直线的同侧，所以同侧先把它转化成易侧，怎么样去转化呢？答，对称可以转化在等 边三角形，我们的对称不需要做，直接直找就行了。因为 a、 d 是一个垂线，又是一个中线，三线合一嘛，所以就是一条垂直平分线，所以 b 关于 a、 d 的对称是不是就是 c 点， 所以我们的 b 点关于 a、 d 的对称点找到了 c， 所以将我们的 b、 f 加上 ef 转化成了 cf 加上 ef， 这是完成了我们的对称问题。好，对称问题之后，他是不是就转化成了易测？接下来咱们就三点贡献，哪三点贡献呢？及我们的 c、 f、 e 贡献。咱们只要连接两个定点 ce， 这个 f， 这个动点是不是就被动确定了在这个位置？ 好，所以他们的最短路径 c、 f 加上 e、 f 的最小值是不是就等于 c、 e 啊？那 c、 e 他等于什么呢？好，那我们来思考这个问题。 因为对于我们的 c 来说， e 是中点，等腰三角形三线合一，所以他就是一条垂线，所以咱们的 c、 e 乘以 a， b 除以二，这是三角形的面积， a、 d、 d 也是中点，所以这也是一条垂线，所以我们的 a、 d 也是一条高， a， d 乘以 bc 除以二，那这也是面积。 这两个公式表示的都是 abc 的面积，所以咱们叫什么方法？等面积法，两种不同的方式表示同一个图形的面积， 然后呢？面积相同，我们的 a、 b 和 b， c 是不是又都是 d， 所以他对应的高是不是也是相同的？所以咱们的 c、 e 是不是直接等于 a d， a、 d 就等于五，所以这道题最小值是不是有五？ 所以这道题咱们主要两个步骤，一个就是我们说了构造将军一马求解线段的长， 第二个，这个线段的长用等面积进行转化求解即可。好，那就是我们这道题的一个解题步骤，这道题你学会了吗？

大家好，我是李老师，今天呢，我们来看一下一个最短线路问题，其实呢，最短线路问题，大家有没有发现，我们在八年级上学期的时候呢，做的挺多的，然后现在到八下了依然在做你，但是你们还会发现一个更加悲伤的事情，就是 这个最短线路问题呢，我们一直是会做到中考之前都会考到最短线路问题， 所以说呢，大家一定要把它搞清楚啊，并且我们最难修的问题呢，难度还会越来越大，那比如说今天的这道题呢，就会比我们上学期的时候难度要大很多， ac 的长度呢是二十，然后 bc 的长度呢是十，地点和一点分别是 ab 和 ac 上的动点，要么求 cd 加第一的最小值。好，看到了最短线路问题， 大家这个时候呢，一定要想到对称，一定要想到走对称，就算闹了八下，我们还是想到走对称，为什么呢？为什么只想到走对称啊？因为真正的说旋转是我们九年级上学期的内容， 所以说现在的题目呢，基本上还是会以轴对称为主啊，旋转用的，说实话没有轴对称的考了那么多， 除非在二十三题的一种综合答题当中啊。好，那么既然要想到走对称呢，我们在这里就有两种选择了，你要么做 c 关于 ab 的对称点， 假设是 cp， 你要么做一关于 ab 的对称点，当然本质上是差不多的啊，在这里呢，我选择做 c 关于 ab 的对称点， cp 好，把这个对称点呢，我把它画出来， 简单的写一下，做 c 关于 ab 的对称点， c 撇好，把这个做出来了。之后呢，那么我们想一下啊，这个时候 c d 是不是就变成了 c 撇 d， c d 就变成了 c 撇 d， 那么 c d 加第一，现在呢就变成了 c 撇 d 加上第一， 你要求 c 撇一加上第一，你是不是首先得保证这三个点？怎么样？贡献，不光要贡献，还要保证什么呢？一点，这个时候呢？ c 撇一，他得是怎么样？垂线段的时候，他这个时候呢才是最短， 所以对应的地点应该是在我现在的这个位置上啊，也就说 c 撇 d 加上第一，那他一定是大于等于 c 撇 d 撇加上 d 撇一撇，那么其实也就是大于等于 c 撇一撇。 好，那么现在问题就变成了，怎么样去求出这个 cpa 一撇呢？说实话，这道题第一个坑就是你要把它画出来，第二个坑就是你得会算，你如果不会算，这道题你依然是做不出来的。而这个时候要算 cpa 一撇，我们采取的面积，采取的方法呢？是面积法， 我们用面积法来算啊，其实用面积法的这道题相对来说还比较容易，刚才我不是做了对称点吗？垂左标个字母 h， 那怎么样来求这个 cpa 呢？所有的面积法就是 利用在三角形 acc 撇当中的一个面积的不同表示方式来求。这个 我们来看一下三角形 a c c 撇，我们可以以 c c 撇为底，那么 a h 就是高，或者以 a c 为底，那么 c c 撇 c 撇一撇，那么就是高。好，接下来我们来算一下，最后要求的是这个 c 撇的长度好不好求呢？你要求他，我们可以先算出谁呢？我们是不可以先算出 c h， 而你算 c h 的时候，依然是可以用 面积法，也就是用 bc 乘以 ac， 再除以 ab， 而 ab 是多少，我们在最开始的时候呢，其实就已经可以把它算出来， ab 是十倍的根号好，那么所以说呢，我们可以首先把 c h， c h 算出来，就应该是四倍的根号 好，这里呢，是四倍的根号五，然后再乘以 ah， 你 ch 算出来之后， ah 是不是就顺其自然的你就可以把它算出来了？ ah 的长度在这里算的就应该是八倍的根号五，依然是可以用勾股定理啊。 h 八倍的根号，好，然后呢，就等于 a c， a， c 是二十，再乘以 c 撇一撇，所以说最后 c 撇一撇的长度呢，就可以算出来是十六， 就是十六，因此最小值呢就是十六。好，那么这道题答案呢，我们就说出来了，在这里跟 大家也说一点啊，其实这一道题呢，有的人说我用相似也可以算这个 cpaepa， 我或者用其他的方法都可以算，是的，没有问题，但是呢，大家要记得，我们现在还是在八年级的， 下次啊，我们现在呢，还没有学习到相似，所以说面积法才是这道题呢，最好的一个方法。好，那么今天呢，我们就说到这里，我们下次再见。

同学们大家好，今天我们来学习最短滤镜问题，我是主讲老师高磊，快来看一下今天的学习目标。首先能利用轴对称解决简单的最短滤镜问题。二、 体会途径的变化，在解决最直问题中的作用感没转化死效。看一下，重点利用找对称将最短路线问题转换两点之间线段最短的问题。 看，这是金象，是最短月经问题。什么是最短月经问题？那我们来看一下，今天我们研究过一些关于两点，所有这个连线中线段最短的这个问题，那么已经连接直线往一点，直线上各点， 左右线段中垂线段最短等等，也许这样最短的问题，那么我们称他们来最短路线问题。 那么同学们，我们通过考虑下面的两个问题，可以体会如何运用所选的知识选择最短路线问题。我们来看一下这道题。 额托，牧马人从 ad 出发啊，在这里牧马人从 ad 出发到一条饮食的河边 l 引马，然后到 bd， 嗯，这是一条河边， 那首先要到这一边，然后呢再到 b 地，那么牧马人从河边的什么地方引马，可以是所走的 路径最短？我们来看一下，这是一条，我们可以把它看作是一条直线，那么他在哪一个位置引码可以使他从这到这到这的距离是最短的呢？来想一下，也就是说 连接，假如说我们说在这取一点，那么他是最短的距离，假如是这样的话，那也就是说拍到这个距离，这条线段加上这条线段的和是最小的。那怎么样解决这个问题呢？ 看一下，那如果把河边 l 金色的看成一条直线 c， 直线 l 上的一个洞点，也就是说他一捺这个 位置是一个动变，那么上面的问题可以转化为当点 c 在 l 的什么位置的时候， ac 与 cb 的和最小。那么由这个问题我们可以联想到 下面的这个问题来看，如图，点 a b 分别是直线 l e， 测到两个点，如何在 l 上找到一个点，使这个点到 a 点 b 的距离 最短，那么利用我们已经学过的知识，可以很容易的解决上面的问题以及连接 ab 啊， 他与直线 l 较为一点，根据两点之间线段最短，就可以知道这个焦点即是我们所求的那个点。那么现在我们要解决的问题是点 ab 分别是 l 同侧的两个点，我们说如果这个 ab 在易侧的话，那么当然是连接这两个点， 然后他也这个焦点，这一点是最短的，因为两点之间线段最短，但是他在同侧，这两个点在直线的同侧，怎么样去解决这个问题呢？ 嗯，想一下如何在 l 上找到一个点是这个点要点 ab 的距离的和最短 来看。那如果我们能把点 b 移到 l 的另一侧啊，一撇处，同时对直线 l 上的任意点 c 都保持 cb 等于 cp， 等于 被撇，长度相等。什么意思？现在这两个点在直线 l 的同侧，我们不知道怎么样去想办法把这个问题解决，但是我们知道什么呢？如果这两个点在 直线 l 的右侧的话，他们连接他们两个与这条直线的交点，这一点即为足球， 就是这条线的 ac 加 b 撇 c 的线段是最短的，那么我们现在能不能说把这点 b 移到直线 l 的下面，使他与点 a 分布在 l 的一侧， 那么我们这里面一的前提是什么？保证这一条线段等于 这条线段，那怎么样才能保证这条线段，这条线段呢？我们来看，那如果连接 bb 瓶，那 bb 瓶 就是这个线段 bb 撇的两个端点，那么点 c 如果是在这条线段垂直平分线上，就保证了 b 撇 c 等于 bc。 好，我们来看，那么做点 b 关于 l 的对称，点 b 撇，因为点 b 与点 b 撇关于 l 对称，所以 l 垂直平分原 b b 撇，那么 l 上的一点三 到 b 撇的距离就等于到 b 的距离，这样我们这把点 b 一到下面，而又保证了这两条线段相等，那么这样我们就可以使 cb 撇等于 cb， 这样问题就转化了，当点 c 在 l 的什么位置是 ac 与 cb 撇的和最小， 那么 ac 与 cbp 当然直接连接 abp， 那他与直线 l 的焦点 c 为所求， 遇到求直线 l 同侧两个点，遇到类似于这样的问题，我们可以把它转化到通过轴对称转化成 一侧两个点之间的距离和最短的问题啊。那么如图连接 ab 屏 两点的线段中，线段 ab 撇最短，因此线段 ab 撇与直线 l 的交点 c 的位置即为损球，那么为了证明 c 的位置即为损球，我们购房在直线上啊。另取一点 c 撇连接 ac p 啊， bc p b p cp 证明来看， ac 加 cb， a c 加 c， b 小于 a 撇小于 a， c 撇加 c 撇 b， 我们说说证明这两条线段之和小于这两条线段之和，那怎么证明？ 我们来看，我们说 cb 要等于 cb 撇，那也就是让我们证明 ac 加 cb 撇小于 ac 撇加 cpb 撇， 那么他们是一个三角形，三角形两边之和大于第三边，这样我们就得到了所求的问题。好，再看下面这一个问题。造桥问题，如图， a 和 b 两地在一条河岸的量，在 一条河的两岸下，要在河上建一座桥， m n， 这是一座桥，桥到在何处？可使得从 a 到 b 的路径， a m n b a m b 这一条路径最短。那么这里面告诉大家，假设河的两岸是平行的，直线，桥要与河垂直， 那我们来画一下图，简单分析一下。我们可以把河的两岸看成是两条平行的直线， a 和 b， 那么 n 为 地上的一个动点，选址呢？我们肯定要把它看作是一个动点，那么这样上面的问题就可以转化成 下面的问题。什么问题？当点 n 在直线 b 的什么位置的时候，你就说这个 n 选在什么样的位置时， a m 加 m 加 n， b 最短。这里面有一个条件是 m n 是垂直于这个河岸的啊，那我们来看一下这个问题怎么样去解决。 那么由于河岸的宽度是固定的，河岸的宽度是什么呀？ mn m 是固定的，因此我们就当 am 加 nb 最短的时候，那么 am 加 m， n 加 nb 就最小。这样问题就进一步 转化为，当点 n 在直线 b 什么位置的时候， am 加 n d 最小。那么通过图形的变化，呃，对称呀，填一等，我们来解决这个问题。 如图，将 am 言语和按垂直的方向平移，嗯，言语和按垂直的方向平移， 那么点 m 移动到点 n， 点 a 移动到点 a p 把这条直线平移到这，那么 m 移动到 n 的位置， a 移动到 a 撇的位置，这时候有什么呀？ a a 撇等于 m n a a 撇 啊，嗯，那么 a m 加 n b 就等于 a p n 加 n b， 因为他是这样平移过来的，而且他是沿着与河岸垂直的方向平移过来的，其实他是一个平行四边形，那么这两条边与这两条边都是相等的，那么 a m 加 n， b 就转化成了 a 撇 n 加 n b， 那么这样问题就转化成刚点 n 在 直线 b 什么位置的时候， a p n 加 n， b 最小，那我们来看如图，我们连接 a p b 连接 a 撇 b， 那么线段 a 撇 b 最短。我们说了两点之间线段最短，因此线段 a 撇 b 与直线 b 的交点 n 的位置就为我们所求的这一点连接他与直线 b 的交点 n 就是我们所求的这一点 g 点 n 处造桥 m n 所得的路径， a m n b 是最短的。那我们来看一道立体 已知，点 b 与点 b 撇关于直线 l 对称，点 d 与点 b 撇，关于它对称。连接 a b 撇叫直线 l 与点 c 连接他脚趾线，然后遇点 c。 你能用所学的知识证明 a c 加 b， c 最短吗？他让我们证明 a c 加 d， c 最短。 那么这道问题就刚刚类似于我们的那个呃，引码的问题啊，只不过这是图更具体的一些难看，因为点 d， 因为点 d 品关于 l 对称，所以 l 所在的 这条直线是 bb 撇的垂直平分线，那么垂直平分线上一点到线段端点的距离是相等的，也就是说 cb 撇等于 cb， 那么他让我们证明 ac 加 bc 小，是啊，最短的，我们来看怎么证明， 那么我们在直线 l 上任取一点 c 撇，与 c 不重合，那么我们连接 ac 撇 b c 撇和 b 撇 c 撇， 这样我们就构造了一个这样的三角形， a c 撇 b 撇，有一个这样的三角形，他让我们证明这两条线短，最短，我们来看有找对称的性质。我们可以知道 b c 等于 b 撇 c， 那么 b 撇 c 等于 b 撇 c 撇 bc 等于一撇 c bc 撇 等于 b 撇 c 撇。线段垂直平行，线上点到现在两端的距离相等，那么所以 a c 加 b c 就等于 a c 加 b 撇 c 这条线段加上这一条线段，那么他就等于 a b 撇 a cpr 加 mini cpr， 那么这两条线段 相加就等于什么呢？ a c 撇加 b 撇 c 撇，那么在这个三角形中，两边之和大于第三边， 所以啊，我们就得到了 a 是咱必须是最短的呀。 如图，在三角形纸片 abc 中找， a 等于六十五度，角 b 等于七十五度。将纸片的一角折叠折痕为定义， 他给出了我们角 a 的度数是六十五度，角 b 的度数七十五度，说这个将它折叠上来，那么使 c 落在 c 撇处，那么若角 a e c 撇， 他说 a e c 撇。如果这个角等于二十度的话，让我们求角 b d、 c 撇的度数，让我们求这个角的度数，想一想， 那我们来看，我们先根据已知条件，结合三角形内角和的定力，那我们可以求出角 c 的度数， 他给出了角 a， 也给出了角 b， 那么角 c 的度数就可以求出了，因为二十度减六十五度，减七十五度等于四十度，那么因为他是沿着这条直线折叠的，那么所以什么呀？三角形 c 撇 e、 d 啊，就等全等于三角形 c、 e、 d 得到什么角 c 撇 e， d 等于角 c， e， d， c 撇 e， d， 这个角等于这个角对应角相等啊，然后 角 c 撇 d， e 等于角 c， d， e 对应角相等，那么而角 a， e， c 撇 看 a， b， c 撇等于二十度，那么利用这个平角的定义，我们可以求出角 c 撇 e、 d。 在三角形 c 撇 d 一中，利用三角形的要合成一百八十度，就可以求出角 c 撇 d， e， 进而求出叫 cpidc， 再结合评教定义，可求 bdct。 那么这个 答案就是 d 选项。看下面料题，如图，一个牧童在小河的南四千米的 a 处 啊，而他正位于他的小屋壁的西八千米，北七千米处啊，我们来看一下他想把马木头在这里啊，然后呢？所以说在小屋壁 给出了西八千米，北七千米处，那么他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。牵到这来饮水，然后回家，这是一个类似我们刚刚讲的那个饮马问题， 来看他要完成这件事情所走最短的路程是多少。那么我们根据这个来画一个图，分析一下他在这里，然后他要去 河边引码，然后返回家中。那么这个问题就是我们刚刚讲过了，就是那个引码问题，我们过这个点 a 做直线 过点 a 做关于直线 m， n 的对称点 n 撇，如图做出 a 点关于 m n 的对称点 a p l， 那么连接 a 撇 b 交 m n 点 p， 那么线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等，也就说 p a p 等于 p a， 那么则 a p d 就是最短的路线。在 rt 三角形 a 撇 b b 中有勾股定理，可以求得 a 撇 b 等于十七千米，嗯， a 撇 b， 我们知道这一段路程，是啊，多少又给出了这一段路程的距离， 我们就可以求出，根据二 k 三角形，我们就可以求出他的这个，我们就可以求出这条斜边的一个长， a 方加 d 方等于 c 方 c 方 c 等于根号加 a 方 加地方，所以我们就说出他的距离是十七减。好，我们来看一道中考题，如图，点批再叫 aob 那一点，点批为叫 aob 那一点，那么在这里做点批 关于 o a o b 的对称点 p p 二 p 一 p 二，那么交 o a 与 m， 交 o b 与 n， 若 p p 二等于六，这三角形 t m n 的多长有多少？那么 p p 二这条线段等于六，让我们求这个三角形的周长，求这个三角形的周长。首先我们要知道这三边的长度，那么题目中并没有给出我们相应的条件，怎么来求呢？我们来转换一下等等关系。那我们来看他说 点 p 为这个角那一点做点 p 关于 ovob 的对称点 p 一 p 二，也就是说 p p 一是关于 o a 对称的，而 p p 二是关于 o b 对称的，那么说明 o a o b 所在之线垂直平分于 p p 一和 p p 二，那么垂直现根据线段垂直平分线 这个上点到现在两端点距离相等的这条性质，我们可以知道什么 p m 等于 p 一 m， p n 等于 p 二 n， 那么由此这个三角形的周长就转化成了 p 一 m 加 p 二， n 加 nm， 那么就是 p 一 p 二的长度，那么 p 一 p 二的长度题目中已经给出了十六， 所以那么这里面答案就是 c 选项。好依赖一下今天学习的内容，我们今天主要学习了利用 轴对称的性质解决最短路径的问题，那么把他们转化，逐步转化成两点之间线段最短的距离来解决。好了，我们今天就学习到这里，谢谢大家，再见。

今天我们来看这样一个题，如图，在正方形网格中有一个三角形 a、 b、 c， 每个小正方形的边长均为一 d。 小问，做三角形 a、 b、 c。 关于直线 m、 n 的对称图形，不写做法， 我们要想画对称图形，就要先去找关键点的对称点。我们来看这个三角形 a、 b、 c， 它的关键点就是 a 点、 b 点、 c 点，那么我们就先找出 a 点、 b 点、 c 点。关于 m、 n 的对称点怎么来找呢？ 因为这个题他是在方格纸上做图，所以我们不需要去画垂线，只需要去数格子，就可以找出他的对称点。比如说 a 点，他距离 m n 有两格，那么他的对称点应该在 m n 的右侧，距离 m n 同样是 两格一、二，所以这个就是 a 点的对称点，我们把它叫做 a 一，同样可以找 b 点的对称点。 b 点距离 mn 这条线，它是一、二、三、三格，那么它的对称点距离 mn， 同样是三格一、二、三，所以这个就是 b 点的对称点。 同理可以找出 c 点的对称点，在这这里是 c、 e， 那此时我们就用尺子将 a、 e、 b、 e、 c、 e 三个点依次连接起来，就构成了三角形 a、 e、 b、 e、 c， e 就是三角形 a、 b、 c 的对称图形。 作图要用铅笔做，并且一定要用尺规作图，这个是作图要注意的地方。那么第一问就结 中的那格式怎么写呢？解，第一小问，三角形 a、 e， b， e、 c， e 即为所求， 现在我们来看一下。第二小问，在直线 m n 上找到一个点 p 时的 p a 加 p， c 最小。这个是我们以前学过的最短路径问题当中的将军引马问题。像这种问题，我们的做题方法是， 第一步，先找出 a 点或者 c 点关于 m、 n 的对称点，那么你随便选一个就行了。假设我们找 a 点关于 m、 n 的对称点，那就是 a、 e 这个点。第二步，将 a， e 这个点和 c 点连接起来， 连接起来之后， a、 e、 c 这条线就和 m、 n 这条线有一个交点，这个交点就是我们所要求的 p 点， 那么因为它要 p a 加 p c， 所以我们用 p a， p c 这两段用实线连接起来， a、 e， p， 这里用虚线连接起来。好，下面写一下解体步骤， 如图，批点即为所求，做法如下， 下面我们来看一下第三文。求三角形 a、 b、 c 的面积要求三角形的面积，我们想到的第一个方法就是用三角形的面积公式，但是很显然在这个题当中行不通，那么怎么办呢？ 我们用另外一种方法叫做拼凑法。我们将三角形 a、 b、 c 放到红色的这个四边形当中，那么此时同学们看一下，我们可以把红色的这个四边形面积求出来，然后再把最小个三角形面积求出来， 再求出这一小个三角形面积，求出这一个三角形面积。用这个红色四边形面积减去这三个小三角形的面积，就可以得到中间这个三角形 a、 b、 c 的面积。这个方法就是我们常用的拼凑法。 首先先求出四边形的面积，这边长为二，这边长为三，二乘以三等于六，然后再求出这个 三角形的面积。这一小个三角形的面积可以看出它的底，如果这边为底的话，底就是二，高就是一，用三角形的面积公式来求，同理求出这个三角形的面积和这个三角形的面积， 求出之后用这个四边形的面积减去三角形的面积，所以 s 三角形 a、 b、 c 就等于六，减一，减二分之三，再减一， 这样的话这个题就完成了，同学们看一下。

同学们大家好，我是来自北京师范大学附属实验中学的数学老师张以彻。本节课我们要研究的主要问题是最短路径问题。 今天我们来继续第二课时的讲解。首先，我们先来回顾一下上节课研究的最短路径问题，是在直线 l 上求做一点 c， 使得 c a 加 c b 最短。 在这里面啊，同学们先明确其中的点 a 和点 b 都是定点，点 c 是直线 l 上的一个动点，左边是当 a、 b 两点在 在直线 l e 侧，也就是两侧的问题。解决它的方法呢，就是连接 a、 b 与直线 l 的焦点，即为点 c， 运用到的依据就是两点之间线段最短。 那右边呢，是 a b 两点在直线 l 同侧的问题。解决这道问题，我们是用轴对称进行线段的转移，将它转化为左边的两侧的问题。具体的做法啊，同学们回忆一下，看能不能立马想出来。 就是过点 b 做直线 l 的对称，点 b 撇儿连接 a b 撇儿与直线 l 的交点，这个点即为我们要求的点 c。 此时线段 c a 和 c b 的和同学们看一下，就是我们要的最短的那个路径。 这是上节课研究的问题。那同时我们还借助了牧马人印码问题。 面对实际问题，我们通常是将其翻译成这样的数学语言，包括文字、符号和图形语言。这样呢，我们的直观会更清晰一些，也更方便我们的研究。 那本节课我们先来研究这样一个数学史上另外一个经典的问题，叫做造桥选址问题。 造桥选址是否显得很高级？我们来看这道题啊，请同学们先读题，之后思考， 这样一道实际问题，能不能也翻译成我们刚刚那样的数学语言呢？ 我们来看啊，嗯，其中的这条河是平行的直线，在这，我们近似为平行的直线，那也就是近似成两条平行的直线 a 和直线 b， a， b 两地是在河的两岸，在这，那我们将其近似为两个定点， a 和 b。 其中河上有一座桥，桥是垂直于河岸 m n 的，但是位置却不确定。 我们要做什么呢？我们要建一座桥 m n， 使得这条路径 a， m， m， n 和 n b 的和是最短的。 通过这样的问题，我们就用这样的图形语言来直观清晰地展示了这道题。 那这道题的问题是，桥建在何处？那这座桥 m n 是两个洞点？问题好像不是很明确啊！ 同学们思考，如果点 n 的位置确定了，那由于 n m 是垂直于直线 a 的，那点 m 的位置是不也就随机确定了？ 所以这道题我们可以将问题转化为，当点 n 在直线 b 的什么位置的时候，这条路径 a， m， m， n 和 n b 的和是最小的。 那看到这个问题，我们再考虑，这是三条线段的和。上节课我们研究的都是两条线段， 那这道题能不能进行再次的转化呢？我们来看这三条线段啊，其中 m n 这条线段， 它是垂直于河岸的，并且 a b 两条直线是互相平行的。那我们知道平行线间的距离是相等的，所以 m n 的长度，不管它的位置在哪儿，它的长度应该是永远不变的。 所以这三条线段里， m n 长度不变， a， m 和 n b 的长度再改变。 所以实际上三条线段我们只要研究其中的 a m 加 n b 什么时候最小，是不是就可以啦？那么这道题进行了第一步的转化，我们只需要研究当点 n 在直线 b 的什么位置的时候， a m 和 n b 这两条线段的和是最小的。 这道题同学们有没有觉得像我们之前研究过的这样一道题，就是当 a b 两点在直线 l 两侧， 同学们还记得怎么做吗？我们只需要连接 a b， 焦点就是我们要求的点。但是我们发现一个问题啊，左边这个图形里边， a m 和 n b 它交于两条直线的两个点， 那这条这个图形里面呢？它交于直线 l 的一个点，同学们想想能不能哎用图形的变化将其转化为 右边。这样我们已经研究过的问题呢？图形的变化包括什么呢？比如说我们上节课一直用的轴对称，还有平移，同学们思考一下， 我们是不是可以将线段 a m 向下平移， 平移到线段 a 撇 n， 此时点 a 移动到了 a 撇，点 m 移动到了点 n。 根据平移的性质， a m 和 a 撇 n 的长度应该是相等的， 同时点 a 向下移动的距离 a a 撇就刚好是桥的长度，就是 m n 的长度。所以这 这道题我们要研究什么？我们要研究 a m 加 n b 的最小值，那经过平移的转化是不就变成了 a 撇 n 加 n b 的最小值？研究这个问题就可以了。 这个问题同学们觉得是不是很熟悉？根据两点之间，也就是 a 撇儿和 b 两个定点之间线段最短，所以这条最短路径就刚好是线段 a 撇 b 的长度， 此时它与直线 b 的交点就是我们要求的那个点 几倍所求。那这里面还出现了另外一个点 n 和点 m， 这两个点是刚刚我们为了研究图形的特点找到的 一般的点，那我们就暂且记它为 n p 儿和 m p 儿吧。为了更好地区分一下这两个点， 那么同学们想想，有了点 n 的位置，怎么去找那个桥的另外一个点呀？ 还记得吗？桥是与河岸互相垂直的，所以我们只需要过 n 做 n m 垂直于直线 a， 此时 n m 就是我们要的那座桥， 那么最短路径就刚好是 a m 从这上桥，然后走过桥 m n 从这下桥，最后再走 n b 的长度，这样就可以了。 咱们再来重新的规范一下这道题的做法。首先第一步，将 a 沿着与河岸垂直的方向向下平移到 a 撇，使得 a a 撇的长度等于桥 m n 的长度。 下一步，连接 a b 撇儿与直线 b 的交点，在这儿就是我们要的点 n， 那么点 n 就是下桥的那个点。 下一步，将点 n 向上平移，沿着与河岸垂直的方向向上平移，也就是过点 n 做 n m 垂直于直线臂焦点点 m 即为我们要求的点。那此时这座桥是不就在这儿了，就是 n m 这条线段。 经过这样的过程，咱们的最短路径就是 a m m n 和 n b 三条线段的长。 我们对这道题进行一下简单的小结。 这道造桥选址问题也是一道实际问题。我们首先呢先将其翻译成数学语言，用这样的文字符号和图形语言来表达。 接下来我们经过这样一系列的转化，一起回忆一下。首先是三条线段的长的最小值问题， 在这个过程中，我们发现啊，这个线段 m n 的长是不变的，所以这三条线段的和。我们其实只需要研究这两条在运动的就是长度再变化的线段， a m 加上 n b 什么时候最小就可以 了，这是我们的第一次转化。那下一步呢？我们通过平移平移线段 a m 将其平移到了 a 撇 n， 这样的目的是用平移的性质将 a m 移动到了 a 撇 n。 那刚刚研究的 a m 加 n b 的最小值是不就变成了 a 撇 n 加 n b 的最小值问题？ 如果已经做到这了，大部分同学应该很开心啊，这就是 a 撇和 b 两点之间的最小值问题吗？ 所以我们只需要连接 a 撇 b， 焦点就是点。那这道题我们最终的想法就是将这道位置的问题通过一系列的转化，最 中转化成了 a 撇到 b 两点之间最小值问题。这道题研究过，所以未知转化成已知是我们数学里一个非常非常重要的方法，所以这三个问题大家一定要牢牢的掌握。 这是我们研究了做法，研究了方法，那同学们再次想想怎么来证明这条路径是最短的呀？ 也就是我们要证明 a m， m n 和 n b 这三条绿色的线段和是最小的， 我们不妨在另外认取两个点， m p 和 n p 另外的一座桥，我们只需要证明的就是这三条绿色的线段和要小于 右边这三条红色线段和。在这里呢，我发现 m n 和 m p n p 都是两座河河的两岸垂直的桥， 那么桥的长度是永远不变的，原因就是两条平行线间的距离相等， 所以我们要研究这三条和右边三条核的最小值，那中间固定的是不就可以先不看了，所以只需要研究的就是 a m 加 n b 和 a m 撇加 n 撇 b， 其中绿色的线段和这两条要小于这两条红色的线段和。我们把它涂成实心的圈。接下来这道题的想法是通过平移 进行线段的转移，我们将 a m 平移到了 a 撇 n 的位置，这儿向下平移， 同时呢，我们将 a m 撇这条线段，这条实心的点向下平移，平移到了 a 撇 n 撇。 那经过这样的转移，我们发现啊，我们只需要证明的就是 a 撇 n 加 n b 要比 a 撇 n 撇加 n b 要小就可以了。 这个问题是不是很容易就可以解决？原因呢，就是 a 撇 n b 这三个点是贡献的， 所以呢，这两条线段的长刚好就是线段 a 撇 b 这一条线段的长。根据两点 时间线段最短就证明了我们要的结论，依据两点之间线段最短，这是我们的一个分析的过程啊。那接下来我们就用符号语言来说明一下这个过程，它的书写过程该怎么写呢？我们来看， 首先问题是证明这条路径是最短的，那么我们第一步在直线 b 上认取一点 n p， 做出这这座桥。接下来连接这几条线段， 我们需要证明这三条绿色线段和要比这三条红色线段和要更小。 我们借助平移来解决这件事。首先由于平移的性质 a m， 大家仔细看 图啊， a m 等于 a 撇 n， 又因为平移， a m 撇应该等于 a 撇 n 撇，在这 接下来由于平移能满足线段相等，那么我们就知道啊，这两条绿色线段和 a m 加上 n b 最终转移到了哪呢？最终转移到了 a 撇 n 加 n b， 因为 n 是 a 撇 b 和直线 b 的焦点，那么也就变成了线段 a 撇 b 的长。 在这里，这是绿色的线段和。那我们再来看红色的线段和其中 a m 撇加上 n 撇 b 这两条线段的和。转移到了哪呢？转移到 到了 a 撇 n 撇和 n 撇 b 的线段和。这里我们发现啊， a 撇 b 这一条线段的长度要比 a 撇 n 撇加上 n 撇 b 的长度要更小。原因就是我们刚刚研究过的叫两点之间线段最短。 那通过这样的一系列过程，就证明出了我们要的结论，大家看看啊，这个过程感觉有一点长。最终呢，我们又把 m n 和 m 撇 n 撇加上了， 也就是这三条绿色线段的和，要小于三条红色线段的和。这个过程希望大家课下能够自己写一写。这里面解释一下啊，老师刚刚在读的时候， a 平 a n 撇 n， 我们加了一个撇，代表这两个点之间是有关系的，他们是由图形的变化得到的。所以虽然读起来有一些拗口啊，同学们写起来可能也觉得，哎，怎么这么多带撇的点，但实际上这是为了我们研究的方便， 同学们自己也可以尝试一下，当你遇到这样图形变化问题的时候，能不能也试着用这样的符号语言去表达呢？ 那这个过程就是我们总结的第四小条，也就是大家要学会用这样的符号语言来进行推理和表达，这也是我们数学中一个非常重要的基本的能力。 那接下来咱们来研究另外的一个小练习，请同学们先读题，边读题 边思考，在这道题里面，哪些点是定点，哪些点是动点呢？ 同学们可以观察到啊，这里面呢， a b 两点在直线 l 的同侧， a b 两点是定点，直线 l。 在这其中呢，有两个点，一个是点 p， 一个是点 q， 那它们就是直线 l 上的动点， 但是 p q 的位置虽然是在直线 l 上，但是它的位置是不确定的，它只能保证 p q 的长度永远等于 a。 题目中问 p q 在什么地方的时候能保证这个四边形 a p q b 的周长，也就是这四条线段和是最 小的呢？但是这里面同学们想想，我们现在有 p q 两个洞点，好像问题不是很明确啊。那我们想想，如果点 q 的位置确定了，因为点 p 在 q 的左边，并且它的长度永远是 a， 并且 p q 的长度永远是 a， 那么点 p 的位置是不是也就固定了？所以这道题呢，我们实际上只需要研究当点 q 在直线 l 什么位置的时候，能保证这个四边形的周长是最小的，这样就可以了。 所以这道题我们实现了第一步的转化。那看一下这个问题啊，这里面出现了一二三四，一共有四条线段了，我们之前最多的就是两条、三条， 这四条，我们倒要看看这四条线段有什么特点啊。其中我们看 p q 这条线段长度是不变的，继续 q b 和 a b。 我们刚刚说了 a b 两点是定点， 那么 a b 这条线段的长度应该也是永远不变的，所以这四条线段和的最小值。实际上啊，我们只需要研究 a p 和 q b 两条线段的最小值就可以了。 那是不是简化了我们的问题？同学们看看，这就是我们简化过的问题，它有一点像之前研究过的哪类题啊？是不是有点像我们之前研究过的这个 a b 两点在直线 l 同侧的最小值问题呢？回忆一下这道题怎么做来着？ 我们是利用轴对称，我们可以做点 b， 关于直线 l 的对称点 be pear， 然后呢，连接 a b pear 与直线 l 的交点就是我们要的那个点，此时线段 a q 加 q b 的长度就是最小的。 但是这两个题还是有一点区别的哈，这两条直线是交于直线 l 的上的两个点，那这道题呢，是交于直线 l 上的一个点， 大家思考能不能通过图形的变化，将左边位置的问题转化为右边这样已知的问题呢？ 大家回忆一下之前研究过的那道造桥选址问题，我们也是进行这样的平移就可以了， 所以我们考虑啊，将线段 a p 沿着直线 l 的方向平移，平移到 a 撇 q， 使得点 a 移动到 a 撇，点 p 移动到了点 q， 有平移的性质。我们可以知道啊， a p 的长度应该和 a 撇 q 的长度是相等的， 所以要研究的是 a p 加 p q 的最小值。那实际上是不只需要研究 a p r q 和 q b 的最小值问题，就可以转化为研究 a p r q 加 q b， 也就是图里面这两条红色线段和的最小值问题就可以了。这个问题是不是又很熟悉啊？这不就是 a 撇 b 两点在直线 l 同侧的最小值问题吗？ 我们来回顾一下这道题的过程啊，只需要做 a 撇关于直线 l 的对称点，我们继承 a 两撇，因为已经有过了 a a 撇和 a 两撇这样记录。之前说过啊，是为了研究方便，因为这几个点是有图形之间关系的。 那做完对晒点之后呢？我们要连接 a 两撇儿和点 b 与直线 l 的交点，就是我们要求的那个点 q， 此是 a 撇 q 加 q b 的 长度就是最短的。那刚刚左边的这个 p 跟 q 实际上是为了我们研究方便找到的一般点，我们暂且记它为 p p 和 q p。 我们再回到这个问题啊，题目中问我们 p q 两点在什么位置的时候周长最小，那有了点 q， 点 p 在哪儿呢？ 大家还记得吗？点 p 是直线，是点 q 左边的一个点，并且要满足 p q 的长度不变等于 a， 那么我们自然就找到了点 p 的位置， 此时 a p q b 这四边形的周长就是最小的。那接下来我们再来梳理一下做法。首先将点 a 沿着 l 的方向 平移到 a 撇，使得这个长度 a a 撇等于 a。 接下来做 a 撇关于直线 l 的对称点 a 两撇连接 a 两撇和 b 与直线 l 的交点，即为点 q， 那将点 q 向左平移 a 个单位，就得到点 p， 此时 p q 两点即为所求，这个四边形的周长就是最小的。有了这样的过程啊，同学们想想怎么证明呢？ 大家刻下仿照刚刚造桥选址问题的证明方法，自己证明一下这件事情。 接下来我们来对本节课进行一下小结。本节课研究的是最短路径问题，我们研究了两 两个内容，分别是造桥选址问题以及我们的一个小练习。这两道问题都是通过平移进行线段的转移。造桥选址问题呢，是通过向下平移转化为 a、 b 两点在直线 l 两侧的最小值问题。 那这道练习呢，是通过向右平移平移到了 a、 b 两点在直线要同侧的最小值问题。这样的一个过程我们是通过不断地转化来实现的， 所以最短路径问题他的依据就是两点之间线段最短。我们使用的方法是利用轴对称是我们第一课时研究的重点内容，以及平移是本节课研究的重点内容，将位置的问题转化 为已知已经研究过的容易解决的问题。那最短路径问题的思想就是我们非常重要的化规思想。 这道题就是老师为大家留的课后作业，请同学们课下认真完成。好了，本节课就上到这，同学们再见！

这节课我们来学习轴对称的一个实际应用，最短路径中的将军印码问题。 我们今天的主角是一个累的要死的将军和一匹渴得要死的马。话说这位将军的生活环境非常独特，如图，他工作的军营在 a 点，家住在 b 点， a、 b 之间有条笔直的小河。 将军每天上下班路上都要经过这条河。他的马非常任性，每天死活要在上下班的时候去河里喝水。那这匹马该到河道的哪个位置喝水，可以让下班的路程最短呢？很明显，走绿色路线到 c 处喝水。 既然过河是回家的必经之路，那问题就变成了从 a 到 b 的最短距离，所以连接 ab 不就好了？ 这类情况我们是先找路线，再找点。现在将军把家搬到了对岸，马依然要每天先去河里喝水再回家。这次又该怎么走才最近呢？ 我们的策略还是先找路线，再找点。用轴对称的知识，以 mn 为对称轴做 a 点在和对岸的对称点 a 撇 a， 撇到 m 上任意一点，都等于点 a 到同一点的距离，这样也就变成了军营和加在和的两侧。这个老问题，只要连接 a 撇 b， 再连接 a p、 p 点就是印码位置，此时路径最短。 当然你也可以做 b 点的对称点，然后连接 ab 撇，得到最短路径。解决问题的重点在于转化画区为止。 将军嫌刚才那匹马太桀骜不驯了，所以换了一匹。谁料这匹更任性，非要去这片草地吃草，再到这条河边喝水，然后才回军营。这下将军愁坏了，怎么走最短呢？求最短，可以用化折为直的方法， 那这种握起来的折线段怎么变成直的？咱还得找对称帮帮忙。将军和马再点 a， 找他关于这条直线的对称，点 a 撇，这样这条线就对称过来了。再看军营，再点 b， 找他关于这条线的对称，点 b 撇，这样 这条线也对称出去了。那原来窝起来的折线就变成这样的折线了。你说这两点之间最短距离是啥？对了，直接连线呗。两点之间线段最短， 这个焦点是马吃草的位置，这个焦点是马喝水的位置，马的奔跑路径应该是这样的，这才最短。 我们把这个故事抽象成数学问题，就是在这个角内部有两个点 ab， 需要在角的两边找两个点 m 和 n， 使得 am 加 m 加 n， b 这几条线段的和最短。 这和刚才任性的马要吃草又要喝水一个道理。你必须要把这条窝着的折线展开，做点 a 的对称，点 a p， 点 b 的对称，点 b 撇，这样折线就展开了，然后画折为直，连接 a 撇 b 撇，这时的两个焦点才是要求的 m 和 n， 此时 am 加 m 加 n， b 刚好等于 a 撇 b 撇，长度是最短的， 换两个其他的点长度都比他长。总结一下，再看到这种窝起来的几何线段，找最短状态时，要通过对称将线段转移出去，然后画折为止，就能确定要求的点了。对称点连线刚好就是折线的最小值。 刚刚我们讲述了三种最短路径问题，他们的原理都是相同的，都是利用了两点之间线段最短。 此类问题的通用法则就是找对称点。连接与对称轴的焦点往往就是我们要找的动点了。

今天我们来讲长方体正方体当中的最短距离问题，来我们上节课讲了解决最短路径问题的步骤。首先第一步把立体图形展开成为一个平面图形，然后第二步呢，去找起点和终点两点之间线段最短来处理问题。第三步就是计算， 有时候要算不同路径的长度，然后第四步呢，比较长，比较长度，然后就能够得到谁最小，然后看正方体当中的最值问题，如果把圆柱体换成了人长唯一的一个正方体盒子蚂蚁园的表面从 a 点爬到 b 点区域最短距离是多少呢？ 来这求的是最短距离的平方啊，从 a 点到 b 点，他爬的路径可以有非常多种，比如说第一种，他可以把这个正面与侧面 打开，那么 a、 b、 e 这个位置两点之间线段最短，我们可以计算出来的。那同样的道理，除了这么走之外，还可以一个正面和上面 a 到 b 二的位置一样的可以计算出来。第三个呢，还是一样的一个侧面与上面， 那我们看三种情况算出来的答案，对于这个正方体而言，它都是一样的结果， 一样的结果，所以呢，对于正方体而言，三种结果算出来是一样的，所以这个最短路径的平方算出来就等于五，这个正方体的就非常的简单， 这种问题我把它称之为是一个对顶点的问题，什么叫最对顶点呢？就是从 a 点到 b 点 这个位置叫对顶点的位置，这种对顶点的位置直接是直接是一边的平方，再加上另外两边额的平方，就能够得到最短路径的平方了， 这是正方体的锥子问题，我们来看一下长方体的锥子问题，又是不是这个样子的。如图，长方体的长宽高分别为四二还有八。 一只蚂蚁从 a 点要爬到 b 点去，然后问最短路径是多少？我们这儿是沿着表面爬行的， 那同样的道理，从 a 点爬到 b 点去，仍然有三种路径可以走。第一种路径，那我们看一下，是正面和侧面的展开，从 a 到 b， 从 a 到 b， 把数据标上，我们这个时候是可以求出这个 a b 一的平方的来，它就等于六的平方加上八的平方，所以都等于一百，这是第一种情况来。第二种情况一样的道理， 是上面与侧面的展开，上面侧面展开，看到数据，我们仍然是不可以算得出来，这个时候的 a b 二， a b 二，他的平方就应该等于十二的平方加上二的平方，那同样的道理，第三种情况还是一样的， 来一个正面与底面来计算他的平方，算出来这个三个平方，然后我们来进行一个比较，找到最短的那一段路径是多少，就可以得出我们这种这种题型的答案了。这种题型的答 啊，是来第一个， a b 一等于一百 a b 一的平方。第二种， a b 二的平方等于一百四十八。第三种， a b 三的平方等于一百一十六。所以我们可以知道啊，一百是小于一百一十六，小于一百四十八的。 对于这种题型，我们能不能做一个总结呢？遇到像这种有长宽高的对顶点问题，记住，这只能是一个对顶点问题哈，遇到这样一个对顶点问题，我们可不可以口算出我们的答案呢？这肯定是可以的，如何来口算？我们来看着最短的这一段距离 是吧？他是四加二的平方，然后再加上八的平方。我们来观察一下，四与二都是长宽高当中相对短的两条边的和，所以说是两边短边和的平方，再加上长边的 平方，因此我把它总结出来这样的一个公式，就是最短距离啊，最短距离啊，就是等于长边独立短边和，简称长边独立短边和，这是什么意思啊？我们简单解释一下，就是长边独立的平方，再加上短边 和的平方，最后他们的所得到的平方和就是最短路径的平方。如果要求最短路径也很简单，这个最短路径就等于根号下 短边和的平方，短边和的平方加上长边的平方。所以如果这是求平方是这么算，求具体长度也是这么算的，这就是长方体当中的最值问题。然后具体的做两个简单的练习，我们来口算一下，第一个 长宽都是二，高是三，求最短路线的平方，那根据我们刚刚所讲的，这儿 a 和 b 是一个对顶点的问题，所以最短路径的平方，它就应该等于长边独立的平方， 三是最长的，所以长边独立平方加上短边和的平方，二加二和的平方，所以啊，我们就可以得到它是等于三的平方，加四的平方也就等于二十五，所以我们这里是可以口算出来的。 同样的道理，第二个题也是一样的道理，三条边的长度告诉我们了三五六要从 a 点到 f 点侧连翻，它不是一个对定点了，对不对？不是一个对定点，那我们可不可以通过图，通过切割这个图形把它变成一个对定点呢？答案是可以的哈。答案是可以的。 你看我们这把它切割开来过后， a 点到 f 点，这是不是就变成一个对顶点的问题了？所以这个最最短距离的平方哈，最短距离的平方他就应该等于 长边独立的平方，六的平方加上短边和的平方，三加五和的平方，所以这就等于六的平方加八的平方也就等于一百 一百。所以这就是我们这种题型的简单应用，长边独立，短边和。