瓦楞纸凯利卡特公式

今天想和大家聊一下凯丽公式在量化交易当中的应用，我发现蛮多人对凯丽公式的本质并不是十分的了解，甚至有许多人呢，连公式里面每一项代表是什么意思都搞得不是十分清楚，所以有时应用场景稍微有所变化，就不知道怎么计算了。 大家好，我是唐僧，今天带着大家从根本上来理解一下凯利公式的原理，即使有些观众可能不太理解后面的一些数学推导，但是呢，也能让你大致明白凯利公式真正的原理以及如何应用。这个公式包括在股票市场和量化交易当中是怎么使用的。我们先来看一下凯利公式是干什么的，以及这个公式是怎么得来的。 财力公式是一种根据赌博输或赢的概率以及赔率来计算出每次最佳的下注比例的一个公式，他求解的呢，是在一系列的连续赌博过程当中，资金增长最快的一种下注方式。说起他的来源呢，那就是一个比较长也比较有趣的故事了。简单的来说呢，就是在一九五五年的 时候，因为当时有一档热门的电视竞拍节目，导致了大量的场外观众参与赌博，就是类似于今天的世界杯赌球一样。但是呢，因为节目是在美国东海岸进行直播，在西海岸进行转播，而且能够转播时是要滞后三个小时了，所以呢，西海岸的赌徒们就可以提前利用电话来知道获胜者的信息。在西海岸转播之前呢，他就可以提前下注， 但是呢，因为当时电话质量可能有问题，所以能传递的信息会有所错误，不一定准确。这个问题呢，就被当时的 atmt， 也就是美国电话电报公司的一个研究员凯丽注意到了， 把这类问题呢描述成了一个有内幕的赌徒，他可以提前知道，比如球赛呀，或者赛马呀，或者是其他的一些类似于这样的赌博的结果。 但是呢，这些内幕的消息他并不见得是完全百分之百的准确。凯丽提出的问题是，下注者应该如何应用这些内幕消息，由此呢，他就推出了著名的凯丽公式。有一本书呢叫赌神数学家，这本书对这段历史有一些详细的描述， 我相信看过这本书的人应该都知道这本书里描述的是一些什么人物，这些科学天才呢，他们搞什么其实都是一流的，搞赌博也不例外。如果大家对这段历史比较感兴趣的话，回头我可以来专门讲一起，想看的人可以在评论区给我留言。接着咱们还是言归正传吧，来看一下凯莉公式的一般形式， 这个就是凯丽公式的一般形式，好像和大家经常在网上看到的另外一个形式，这个是有所不同的。后面我会说一下为什么， 以及这两个公式的关系。先来看一下这个一般形式的公式，在这个公式当中呢， f 代表的是下注的比率，这个就很简单的，不用做过多的描述了， p 呢代表赌赢的概率，那么一减去 p 就是赌输的概率。 r w 呢为赢时的赔率， r l 呢为输时的赔率。比如说有这样一个赌局，我下注了一块钱，如果赢了呢，就赚三毛，如果赔了呢，就输五毛，那么 r w 就是零点三，也就是百分之三十，而 r l 呢就是零点五， 也就是百分之五十。这么说呢，这个公式可能还是比较抽象一点，下面呢，我还是通过一个具体的例子来和大家展示一下凯丽公式是怎么算的吧。有这样一个赌局，赢的概率能为零点六，如果赢，每赌一块钱就可以赢一块钱，如果输，每赌一块钱，则输掉一块钱。求下赌局如果连续进行，每次最优的下注比例应该是多少？ 这个例子呢，其实非常简单，就可以直接套用咱们上面那个一般形式的凯丽公式，只要找到对应的项代入公式就可以了。我们来看一下这个里面的赢的概率， p 呢为零点六，那么输的概率 一减去 p， 也就是零点四，赢的赔率 rw。 因为我每赌一块钱，如果赢的话就赚一块钱，那么 rw 其实就是百分之百，也就是一。如果我赌输的话呢，一块钱再输掉一块钱，那么输的赔率呢，也是百分百， 也就是一把。这些值呢，往公式里一带，很容易就得出来，我们最优的下注比例， f 呢，应该就等于零点六，减去零点四等于零点二，也就是百分之二十。这 说在这样的一个赌局，如果我们连续不断的下注，每次我们应该下注是总资金的百分之二十，那么从长期来说呢，我们的资金增长率是最快的。相信通过这个例子，大家应该都学会了怎么套用这个凯丽公式了。然后呢，咱们来说一下另外一个形式的凯丽公式，这个公式呢叫做赌博版的凯丽公式， 其实就是前面那个一般形式凯丽公式的一个特例，为什么说他是赌博版呢？因为在这个公式里，其实你仔细看一下，他是没有输的赔率的， 因为默认赔率就是百分之百，就是如果我输的话呢，那本金就全赔了。大家可以把这个公式里面的 r w 换成 b， r l 换成一， 稍微化解一下，就能得到这个赌博版的凯丽公式了。知道了凯丽公式的用法，接下来让我们看一下凯丽公式是怎么推导出来的，让大家明白这个原理，这样呢，就可以在任何情况下都知道怎么去使用他。推导的过程当中可能会涉及一点点的数学知识，如果有不明白的地方也没有关系，我会举一个比较简单的例子来让大家 理解推倒的过程是在做什么。先来看一个一般性的问题，如何让自己的资金在一个连续的赌博过程当中以最快的速度成长。好，先记一些变量啊， a 零是赌博本金， ak 是在赌过 dk 次以后的金额， rk 是 dk 次赌博的毛收益率有 ak 等于 rk 乘以 ak 减一。这个横等式的成立。 数学的推导过程呢，我只简单来说一下，主要就是看一下这个推导的思路和得到的结论。这个呢就是具体的推导过程，大家可以仔细看一下，我就不逐行的解释了， 来说几个关键的点。首先呢，先写出 dk 次赌博后的资金的表达式，然后呢，两边取对数，把乘法运算变成加法运算，比较关键的点是毛受益率的独立同分布性，然后应用大数定律，再结合简单的数字推导，就可以得出资金最快增长率的问题， 等价于求毛收益率对数期望的最大值问题。举个简单的例子来说一下这个推倒的思路啊，假设有这么一个游戏制，一个六面的骰子制， 知道几点数就给你几块钱，如果这个游戏玩的次数比较少，那这个钱数呢，是很难被算出来的，这种情况下你就可以理解成上面那个公式当中赌博的次数 k 比较少的情况下。但如果这个游戏能玩的次数非常的多，比如说六万次， 那你就能大概估计出你赚到的钱是二十一万左右，偏差不会太大，原因很简单，因为制的次数多了，根据常识呢，你就能知道，每一个点数出现的可能性大概都是一万次左右，偏理的误差呢也比较的小，这其实呢就是大数定理，而用二十一万除以六万，得到的就是单次游戏赚钱的期望等于三块五。 我们上面求资金增长最快的问题是类似的情况，当赌博的次数 k 很小的时候，就有很大的随机性，但是随着赌博次数 k 的增大，就会显现出规律性，最终能通过数学推导就能得到结论。 资金增长最快的问题，其实就等价于毛收益率对数的期望最大值问题，利用这个结论呢，我们只要算出毛收益率的对数期望，然后求极值，就能很 容易的推导出凯丽公式了，这个就是一般形式的凯丽公式的推导过程，大家需要的话呢，可以暂停一下，仔细看看，我这里就不再做过多的解释了。最后来说一下凯丽公式在股票投资当中的具体形式，以及在量化交易当中怎么使用凯丽公式计算仓位和控制风险。 对于股价市场，通常是没有一个明确的赔率，一般假设收益率满足某种分布，通常是按正态分布处理。所以股票市场的凯丽公式还要从咱们推倒的那个结论出发， 人就是求毛收益率对数期望的最大值，只不过这个里面是把求和改成了对概率密度的函数做积分。对股票市场的凯利公式呢，我就直接给出结论了，形式呢，非常的简单，也可以来看一下。 通过一个例子来讲一下如何应用这个公式啊。这个图呢是标准普洱五百指数从一九九二年到二零零二年的走势，通过自己下载数据计算或者是查询公开的一些数据，都可以得到标普年收益率和标准差。假设呢，无风险 收益率是百分之四。把相应的数据带入到股票版的凯利公式当中，长期收益最大化的最佳杠杆比率是二点八五。但是呢，在实际应用中，大家千万不要直接套用这个公式，我来解释一下原因。我们知道，把股票的收益率假设成为一个正态分布其实是不合理的， 因为股票收益率出现极端值的情况呢，要远远高于正态分布的情况，它具有一定的肥萎性。为了应对这个问题呢，量化投资里面一般是采用半凯利公式，也就是把前面计算出来的结果呢，除以二，这样子 这么做呢，能够大大的降低风险的场口，我们通常可以把办凯利公式计算出的结果当做杠杆或者是仓位的一个上限。凯利公式呢，在量化投资里面一般有两种用法， 一个呢就是像前面一样来计算自己的仓位和杠杆，以便能长期获得最快的资本增长速度。第二个用途呢，就是用来做风险管理。举个例子来说，通过凯利公司计算投资策略，采用了一倍的杠杆，总投资共十万， 如果呢，这个时候亏损了两万，那么初始的本金就是五万，亏损了两万，那么现在的本金呢，就变成了三万。根据凯利公式的一倍杠杆，这个时候应该把仓位减少到六万。其实通过凯利公式来管理风险的特点呢是亏损的越多，那么持仓就要越少，而盈利的越多，那么持仓就要越多。 对于逆势交易者来说呢，这种操作可以通常让人觉得是比较反直觉的，如果市场上很多的策略都是采用类似的方法来控制风险的话呢，当股票下跌的时候，策略都是要求自己降低风险的， 然后从而减仓，就会出现血崩式的下跌。由于量化交易导致了这种美股市场的闪崩啊，他已经不止一次出现了，通常就是因为大家采用了类似的风险管理策略。关于凯丽公式呢，咱们今天就先聊这么多，希望能给大家带来一点点帮助，有任何的问题都可以给我留言，我是唐僧，再见！

凯丽公式还有另外一个版本投资公式，大家了解的或许都是其博彩公式，可投资不是抛硬币游戏，需要考虑的因素更多，比如止损，这就需要用到公式的升级版本凯丽投资公式。为了便于理解，我们来做一掌握你的投资。假设你有本金一万元， 根据策略推算出某股票增值的概率是百分之六十八，你设置了百分之三的指营，即股票价值增加百分之三就卖出。为了防范风险，所设置的止损为百分之六，股票跌了百分之六即抛出。那么单笔该投入多少资金呢？根据投资公式，单次投入资金的比率等于增值的概率除以止损，减去亏损的概率除以指营套路数据即可得出，单笔投入资金的比率为百分之六十六。 所以第一笔投资额为一万乘以百分之六十六，即六千六百元。如果股票顺利增值百分之三，其总资金并为一万，加上增值的部分六千六百乘以百分之三，总计一万零一百九十八元，则第二笔投入一万零一百九十八乘以百分之六十六买入下一支股票。这样持续投资下去，资金最终会如何变化呢？ 为此，我写了脚本去模拟一百万个人用相同方式的投资，基于投资机会有限，故设置每人持续投资两百次，如果期间总资金低于一百，则中断投资，视为亏光，本金离场。脚本运行结果显示，这一百万人中有百分之五点三的人最终本金增加到了两倍以上，但同时有百分之四十点七的人出现了亏损。 看过上集的朋友应该还记得，凯利博彩公示力适当降低投资比率可降低风险，同时扩大收益。那投资公式会否也如此呢？我们试下用二分之一的投资比率， 即百分之六十六除以二等于百分之三十三，结果显示本金翻倍的人没有了，看来收益并没有如期增加。降低到四分之一的比率，这时候仅有百分之三十五的人产生了亏损， 那是不是投入资金比率越低，风险越小呢？继续降低到八分之一，这时候发现相比四分之一比率，亏损的人并没有显著减少。看来想在风险最低的情况下还能保持较好的收益，四分之一比率是个比较合适的选择。可上面的例子没有考虑实际交易成本，假设其他条件不变， 额外设置单比买入卖出的交易成本为千分之三，这是结果如何呢？发现利用百分之六十六的投资比率，亏损人数增加到百分之七十九点七，再尝试用二分之一的比率，发现亏损的人降到了百分之七十五点一，继续降低到四分之一，亏损的人数没有变化，而整体收益却减少了。既然降低比例行不通，试试用两倍的比率， 百分之六十六乘以二，即一点三二等一下，这样投资金额岂不是超过了本金？投资公式介绍到，该公式可能导致凯利比率高于一，这种情况下，理论上使用杠杆以保证金购买是有利的。那我们就来模拟使用下杠杆，比如第一次投入资金为一万乘以一点三二及一万三千两百元，这时测试结果显示，亏损的人增加到了百分之八十三点八， 但同时也有百分之二点六的人本金可以翻倍，那是不是杠杆越大越好？结果显示，在四倍投资比例的情况下，尽管有千分之二的人本金可以翻十倍，但总亏损的人数也增加了，甚至出现了百分之十一点四。亏光的人看来杠杆变大，导致了收益和风险 同时增加。这轮测试在增加了成本因素后，亏损的人群占到了百分之七十五以上，看来不能作为投资参考。那是不是凯丽投资公式在考虑交易成本后就没有价值了呢？刚才只是验证了一种投资策略，那我们换种交易策略，把指营和止损颠倒，然后增值概率设置为保守的百分之五十一， 这样根据公式计算出投资比率为八点八三。在扣除交易成本的前提下，发现依然有百分之八十四的人本金可以翻十倍以上，但同时也有百分之五点九的人亏光了。本金为了降低风险，尝试把比率降低为二分之一，这时亏光的人没有了，仅有千分之三的人产生了亏损，投资比率继续降低到六分之一。这是发现，尽管翻十倍的比率有所下降， 但亏损的人仅有万分之二了。那是否比率越低，风险也越低呢？看看投资比率降低到十六分之一时，这是亏损的人数不到万分之一。可收益出现大幅下降，本金翻两倍的人占到了百分之七十五点三。这样不断调整投资比率，最终可以发现，在在策略下，七分之一的投资比率可以获得较小的投资风险 和较高的收益率。或许有人会选择二分之一的比率此刻收益最佳，但百万人中亏光的也出现了四十三人。值得一提的是，如果投资比率继续放大到四倍，会发现百分之一百的人会亏光离场。而投资比率缩小到七十分之一时，尽管亏损人数仅二十七人，但没有可以本金翻倍的人了。 总结一下，凯利公式只是辅助参考，实际交易会有投资次数的限制，不是完全的大数定律，不能做到无限次投资，需要考虑更多实际因素，比如实际交易的各种成本，交易用金的起步价对成本的影响、杠杆成本等等。 不一定，投资比率越小风险越低，单比交易成本可能会超过其产生的收益，竟然让亏损的风险增加。通过程序模拟测试，可以帮助找到合适的投资比率。如果套入凯利公式，投资比率结果是负值，建议先修改策略，让比率为正，这是投资的前提。 选择是和自己的风险和收益比，控制住风险才能让收益飞奔。不同的投资策略产生了不同的风险和收益，并没有固定的比率可以参考。

那下面呢，我们介绍一下凯丽公式，那凯丽公式是什么呢？它是一个著名的超位决策方法，是凯丽在一九五六年发表的，然后被广泛利用于博彩和交易领域。它其实本质上是一个优化算法， 他的优化目标是让我们的资金最大化。前提条件是假设我们可以以固定的胜率赔率进行重复的交易，重复的下注，因为交易和赌博他有非常大的相似性。那所以可是呢，你被应用到了交易的称谓管理当中。 在开头呢，我们提到过很多人错误的使用凯列公式，而错误使用凯列公式的原因是因为不理解他，那如何能够理解凯列公式呢？所以推导是不可或缺的一个环节。那下面我们将 用两种方式来进行推导，第一种是归纳法，第二种是演绎法。那所谓归纳法就是从一个一个的案例当中总结出他的一般规律，那演绎法就是从一个前提条件，按照逻辑推理的步骤，一步一步的把它推理下去。 我们先通过做实验的归纳法来推导一下，那场景是上涨和下跌的概率都相同，假设上涨的话我们赚百分之百，下跌的话我们赔百分之五十。那在这样的场景下， 什么样的仓位能够让我们最后的净值最大化？我们先来做一个净值走势图的绘制，这个函数呢是绘制我们的净值走势图，这三个参数分别是代表我们的仓位， w 呢是 win， 也就是每次我们赚钱的时候能够赚多少百分比， the l 呢，是 loss 赔钱的百分比。那在这个案例当中呢，是我们固定了每次赚钱我们赚百分之一百，赔钱的话我们会赔百分之五十。我们假设本金是一块钱， 我们定义了一个净值的列表，假设我们净值是大于零，我们就可以继续交易，这就是我们这次交易之后的净值。我们添加到这个 list 里面， 最后返回我们的 list， 我们做一个便利，那每次便利的话就是 f f 的话，就是我们这次做实验，他用多少仓位去进行一个，我们可以 print， 可以看到我们的便利条件是 从空长一直到满仓，然后零点一的话就代表百分之十的长，是那么绘制一下，那在这个实验呢，零点七最后我们是赚最多的， 其次是百分之四十的超，那其实一次的实验有很大的实际性啊，我们多做几次，那这样一次一次的运行，我们似乎发现了在零点五负，也就是百分之五十超位附近，他能够让他的净值最大化， 我们就做一千次的实验，看看最后它到底是多少。这个 final value 呢，就不是计算出我们的一个净值走势了，它是在固定的仓位条件下， 然后最后本金会变为多少钱，取一千个最后的净值，这样的话就能够保证他的一个稳定。我们做一个实验，运行一下，做大概一千次的实验，最后他的净值 或本金会变为多少钱？数值太大我们不太好观察，所以我们将这个 data frame 呢，变成他的一个 rank rank 的话，就是在每一行里面，就每一次实验里面， 如果它的排名越大，说明它最后的金额是越高的，我们将这个 rank d f， 我们绘这个图形看看这个概率密度分布图里面 那横轴呢？是最后他的一个净值的金额，因为我们刚才提到过，我们的金额是用零到十去进行一个排名的，排名越高，说明他的金额水平越高。我们可以发现，当 仓位是零点五，也就是百分之五十仓位的时候，我们金额的均值似乎是最大的，我们来做一个均值排名看看。果不其然， 也就是说百分之五十的仓位的时候，它是一个最优的仓位。在这个上涨和下跌概率相同的场景当中呢，我们得到了最优的仓位是百分之五十。那假设我们有很多个不同的上涨下跌的概率， 以及上涨赚多少钱和下跌赔多少钱的百分比也不相同。那么我们如何确定他的最优仓位呢？我们可以通过网格搜索的方式，将每一种组合计算出他的一个最优仓位。但是网格搜索的缺点就是 计算量实在太大，那有没有其他的一些简单方法呢？那这个地方我们介绍一个工程实验当中比较常用的正交式 春宵实验法，是英国的数学家 fisher 发明的，然后是日本的统计学家 领口协议推广的，它的作用就是能够通过少量的实验达到大量实验的一个效果。举个例子啊，假设我们有 a、 b、 c 三个条件，每个条件有三个水平，也就是有 a 一， a 二， a 三， b 一， b 二， b 三， c 一， c 二、 c 三，那这些不同的水平。如果我们要进行网格搜索的话，那么我们要进行三乘以三，乘以三，也就是二十七种组合的实验， 但是如果我们用正焦实验法，我们只需要九次实验，那正焦实验的原理是什么呢？简单的说来呀，正焦实验关键字在正焦， 正交代表两个限量的余弦距离，假设余弦距离越小的，那么他们这两个限量就越相似，正交的就是两个限量，他们相互 垂直，那这个时候那他们的与弦距离呢？就是零。那所谓震焦实验，就是在他们的一个 不同组合的下量空间当中，选取两两正交的这些组合，那这些组合每个组合之间他们的区别也就是差异度，区分度是最大的，所以通过这些区分和差异度最大的这些 煮的实验，就能够达到尽可能少的实验次数，而达到最多的次数的效果。 那震胶实验做起来也非常简单，这个地方我放了个 u s p s s 来做震胶实验的方式，也可以通过 mini type 这个软件，那其实 python 也都可以非常简单的完成我们的震胶实验。 接下来呢，我们看一下凯莉公式的数学推导，那数学推导前提是假设没有这样的一种游戏，胜率固定为 p， 然后盈利率为 w， 亏损率固定为 l。 这个地方要注意这三个胜率，盈利率和亏损率他们都是固定的， 胜率为 p， 比如说我们胜率可以为百分之六十，盈利率 w， 比如说我们盈利率可以设置为百分之二十，亏损率的话，我们可以设置为百分之十。进行 n 次游戏的话，那么就会有 n 乘以 p 次获胜， n 乘以一减， p 次失败。 比如 n 是一百次的话，那么乘以一个百分之六十的胜率六，那么最后会有六十次获胜。我们再来看一下第 n 次游戏的我们的本金会变为多少， 我们用 a n 来表示，我们用 a n 来表示第 n 次游戏的本金。第 n 次的游戏的本金呢，就是相当于前一次乘以它 获胜，或者前一次乘以它亏损它一个本金变动，假设 a n 减一，我们有一百块钱，然后假设获胜的话，那么最后我们会乘以一个获胜概率是假设我们会有百分之十，然后我们用五十的仓位 去相乘，那这个就是我们的 a n 制的一个本金，那假设我们的出示本金为 a 零元， 如果我们进行 n 次游戏，我们的本金会如何变化呢？第一次，假设我们获胜，那么第一次的本金就会变为 a 零乘以一加 x w。 第二次，假设我们输了，那么第二次的本金就会变为 a 一乘以一减 x l， 同样的方式，那最后第 n 局，假设我们最后获胜了，就会 a n 减一，乘以一加 x w， 那我们下面将这一长串的数字变为 一个整式，也就是不停的带路进去。比如 a 二的话，以 a 一乘以一减 x w， 那 a 一等于 a 零，乘以一加 x w， 再把这个移过来，一减 x l， 这就是 a 二。同样的方式，我们一直往下带，带完之后就会变成这样的一个食指，因为我们前面提到过有 n p 次胜利， n 乘以一减 p 次失败，那么我们就可以将胜利的次数和失败的次数放到他们的一个指数项上面，那最后我们的 a n 就会变为 这样的一个表达式。这里我们拆一句题外话，之前我们提到过，持续盈利的前提是两个数值相乘，他们要大于等于一。 呃，所以同理，这个地方也就是这两个式子相乘，他们最后的结果要大于等于一，那他才能够持续盈利。这也是凯利公式的一个最核心的原理。下面的我们再将这个式子进行一个小小的变形，我们将 a 零除以过去，那式子就变为这个样子。 我们要求 a n 的最大值，其实和我们求 a n 除以 a 零的最大值是一样的，因为 a 零是个长竖向，那下面我们的视就变为求 a 一撇的最大值， 也就是这个表达式的最大值。 因为这个地方有个 n 次项，我们两边开个 n 次方还是等价的。接下来呢，我们的目标就是求这个市值的最大值。 我们可以观察这个式子，他其实是一个连乘的形式。在金融里面，通过取对数的方式，将一个连乘的表达式变为一个加法的表达式，是一个常用的做法。那么我们两边取对数的最后就变为一个等加的，这个式子 如何求他的最大值呢？我们其实取倒数就可以，只要取倒数为零的点，那么就是他的一个最大值的点。 那当然为了严谨一点，导数为零的点也有可能是极小值点。所以我们需要对二阶岛进行一个判断，只有当二阶岛小于零的时候，那么它的求 倒为零才是一个极大指点。呃，那我们为什么是二阶倒有小于零的时候才是一个极大指点呢？我们稍微复习一下高中的知识，假设是这样的一个表达式，它的导数变化形式是 一直是先小于零、小于零，小于零，小于零这个地方等于零，然后再慢慢的大于零。那我们绘制一下它的导数，就是一开始先小于零，然后到这个点的时候，再慢慢的大于零，它二级导就一直是大于零的。那所以 当二阶倒大于零的时候，他是个极小之点。同样，如果是一个极大之点，他的倒数一开始都是先大于零，大于零，大于零，到这个点的时候等于零，然后再小于零，他是一个先大再变小的这样一个变化形态。比如说他是先 大于零，然后到这个点慢慢在等于零，最后再小于零，那对他求个二阶岛，可以看到他二阶岛的形式，他一直是小于零的，所以当二阶岛小于零的时候，他是一个极大值点。求导也非常简单， p 放回来不变，只有一加 x， w 分之一， 然后再把 x 前面的系数 w 再乘过来，那最后就变为这样的一个形式。呃，后面也是同样的方式，如果小伙伴忘记了求到怎么办呢？也可以问问。 呃， g p t， 比如你就直接把它的表达史写过来了，让 g p t 给你求导，它会把每一步的步骤全部给你写的明明白白， 那最后其他支点就是要让它导数为零，我们对它进行一些数据变换，数据变换把 x 放到左 左边来，那么就变成这样的一个表达式， x 最后就等于这个的时候，我们的最后的本金就会最大化。 x 其实就是我们的一个 昌位。所以我们回顾一下凯丽公式的推导，其实也非常简单，他就是在一个固定胜率、盈利率和赔率的一个游戏规则下面重复大量重复一次游戏，最后我们会求得一个能让我们本金 最大化的的一个仓位。那我们再来总结一下，看看凯莉公式的公式代码。之前我们推导出来的凯莉公式是这个公式，它其实是一个通用版的公式， 它可以是用在任何的场景下面，无论是交易还是赌博，那么它的含义分别是， p 是胜率， w 是盈利率， l 是亏损率。 除了这个通用版，就是凯丽公式还有个简单版的版本，那简单版的版本一般是用在赌场里面的，是因为在赌场里面假设你一旦赔钱了的本金就没有了， 所以这个时候 l 等于一，也就是百分之百的赔率。呃，我们将 l 等于一带到这个通用满公式来进行一下改动， 就变为 p 乘以 w 减去一减 p 就是 q， 然后乘以一，再除以个 w 乘以一，也就是 p 乘以 w 减去 q， 然后除以 w， 那么也就是下面的这个公式。一般管 b 叫做赔率，那 这个地方也就是网上特别多应用错误的地方，因为他是在赌场的一个特殊环境下的一个使用方式，那但是在做交易的时候，很少会出现某一次的交易，会让你的本金全部完全的赔进去的，所以这个公式是一般不能够直接拿来去做交易的。 那既然这种特殊版本的凯迪公司不能够直接来做交易，那么我们直接用它的通用版本， 那是不是可以呢？其实也是不太可以的，因为凯利公司的有个重要前提是因为他是在大数的条件下，那进行一个重复的投资， 其实其实我们除了在高频交易的场景，很难有交易策略满足大数的这样的情况，哪怕你的交易是能够满足大数 情况，但是也许你的考核周期不允许你进行一个大数的交易，大数的除了大数的这个前提。假设凯利公式他每一次的胜率、赔率他都是不变的，他是一个固定的常量， 但是我们的实际交易当中，他其实每一次的交易他都是有区别的，也就是每一次交易我们的胜率、 好赔率，它其实都是不一定的，并且胜率和赔率是很难做出一个准确客观的一个估计的，所以这些因素就导致了凯丽公式在实际的教育中不能够直接的拿过来去使用。

喂，我不是搞了没啦，搞松化叫你跟我烧香啊！被菩萨被骂的 快搞快搞个四十万衣服我就说不定的难搞啊，要我回来不走啦，这个时候要我就到处不搞啦。你们这不是为我好啊，你们是害我 快点快点快点搞，快就这样。哎呀，这样都不行了，还是虚的皮干脑子筋的，还真不烦呀。奉劝所有的神仙集团的毒药， 任何菩萨神力都改变不了你久赌必输的结果，无赌未赢。

凯利公式是一个重要的数学公式，它用于计算最优投注额。他的公式是，投注额等于赔率 x 利润，赔率 x 利润一、赔率表示你赢的机会，利润表示你的潜在回报。 通过使用凯利公式，你可以计算出在给定的赔率和利润条件下，你应该下多少注。这可以帮助你实现最大的盈利， 同时将风险降至最低。凯利公式不仅适用于赌博，还可以应用于股票、基金等投资领域。通过掌握这个简单的公式，你可以做出更加明智的投资决策，从而实现财富增长。

为什么去赌场你注定会输？凯利公是赌场上的最大赢家，数学决定一切，咱们先来小赌一把，抛硬币。硬币如果是正面，你进赢两块，如果是反面，你才输掉一块，你的总资产是一百块，你赌不赌？当然赌，因为如果抛硬币的次数越多，你的概率就是百分之五十压一赔二。从数学上来说，这是稳赚不赔的赌局。 但真的是这样吗？当然不是，赌场怎么可能这么容易就让你赢呢？假如你是个冒险主义者，要玩就玩大的，一次性把一百块全压上百分之五十的概率，一旦输了，你将血本无归， 这肯定不是赌硬币的最佳策略。那么假如你是个保守主义者，一次只下注一块，你会郁闷的发现，你也赢不了几个钱。那么到底该以多少比例下注才能获得最大收益呢？这是千万不要瞎猜，我们要靠数学。在 赌桌上有一个万能的公式，名为凯利公式， f 等于 b p 减 q 除以 b， b 位赔率即二 p 位失败的概率即百分之五十， k 位获胜的概率也是百分之五十。那么在 抛硬币的赌局上， f 等于 b p 减 q 除以 b 等于二乘以百分之五十，减去百分之五十除以二等于百分之二十五，也就说，你每次下注比例为当时总资金的百分之二十五，就能保持获得最大收益。可惜的是，有几个人懂凯利公式呢？又有几个人在瞬息外面的赌局中立马算明白凯利公式呢？然而，赌场的背后可不只是凯利公式， 还有大书店里的数学理论在支撑。从某种意义上来说，赌场其实是最透明公开的场所，人家压根不用作弊或者出老千，其实数学就碾压一切赌徒，这就是为什么久赌必输的原因。永远不要想着去赌场赌运气，你玩的是玄学，人家玩的是数学，你怎么可能赢呢？

凯利公式仓位配比神器！这个公式曾经让无数赌场老板气得咬牙切齿，更是惊艳了整个华尔街市场。这个公式很简单，可以代表每次交易的仓位 w 代表本次交易的取胜概率，二代表赢亏币。我们举个最简单例子， 假设一个抛硬币猜正反的简单游戏，每局本金是一，获胜可以得二，猜索输掉一，也就是说赢亏比二等于二，胜率 w 等于零点五。代入公式后算的最佳的位费是四分之一，也就是说，只要我们在每次博弈中投入总仓位的四分之一，永远遵守这个几率的玩下去，那么就将以最快速度成为亿万富翁。 说到底，盈亏的前提在于胜率跟盈亏比的相乘，结果必须大于一，否则不可能持续盈利。我想大家应该明白了，为什么无数交易市场的老家伙们都告诉你，每次投入本金的十分之一，只因和止损的比例设置成三比 一，这样即使你十次里面只做对了三次，你都可以稳定盈利。其实这背后就是最简单的仓位管理技巧。

这是一个神奇的公式，索普利用他横扫全球赌场，最终呢是被赌场赌神的巴菲特也用他来管理自己的投资组合， 他就是凯利公式。一经卫视呢，就引起巨大轰动的公式， f 等于 bp 减 ko 出一个 b， 那 f 呢，是表示你每次该用总资产的多少比例呢进行下注。 b 呢是盈亏笔，那也叫赔率， p 呢是胜率，费用呢是亏损的概率。 那么在交易中，我们该如何使用凯利公式呢？举个简单的例子，假如你做短线的交易， 那统计啊，过去一段时间你的交易发现呢，你的胜率是零点五，零亏比呢是二，亏损率呢是零点五。我们把这些数据啊带入到凯利公式，那 f 呢，就等于二乘零点五，减去零点五，再除以二等于零点二五， 什么意思呢？如果你保持现在的胜率和盈亏比，并每次交易投入总资金的百分之二十五，那么你的资金曲线将会是这样子的哦，非常的丝滑，是不是很心动？