高一数学立体几何球的内切与外接问题
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12:36查看AI文稿AI文稿大家好啊，今天咱们来讲一下立体几何中的外接球和内切球的问题，实际上这节课除了外接球和内切球之外，还有一个什么球呢？还有一个棱切球，什么叫棱切球？你听下去就知道了啊。咱们先来看一下第一个问题吧，外接球问题， 外界球问题的话，主要是长方体或者正方体这样一个外界球问题，也会有一些这个四面体的外界球问题，咱们来看一下。首先这个长方体外界球问题的话，他有很多变形 这种外接球，咱们先来看第一个图， a、 b、 c、 d 是一个四面底，或者说是一个三轮锥吧，这个三轮锥的话，他也画出来了，在这样一个三轮锥中，他很特殊。特殊在哪呢？就跟你们家里的墙角一样，墙角的地方，这个 cd 这条缝，还有 cb 这条缝，还有 ca 这条缝啊， cd、 c、 ab 和 ca 两两之间是互相垂直的，所以我们也经常把这样一个丧命追叫做什么呢？叫做墙角模型的这样一个丧命追墙角模型能理解吧？这是第一个图， 那第一个图的话，它特点咱已经说清楚了，那关键是第一个图，它这个外接球的直径，如果是长方体的直径的话，它是非常好求的。这个二 r 或者说二 r 的平方，它等于什么呀？它的话上帝和咱已经说过了，它是等于 a 方加 b 方加 c 方的，这个 abc 分别指的是长、宽、高，对吧？ 那么外接球的直径那怎么求呢？外接球的直径实际上你求的还是。咱们现在必须先下一个结论了，在平面结合里头，大家知道三个不贡献的点，确定一个圆，这个是没有任何问题的啊。在平面结合里头，三个不贡献的点 确定一个圆，但是现在到哪了呢？现在是立体几何，现在咱们可以类比一下，写另外一个定力了啊，在立体几何中哦，四个，四个。什么四个不共面的点？四个啊，最少得四个。四个不共面的点。 确定一个什么？确定唯一的这样一个球体，比如说 abcd， 这是四个顶点吧，这四个顶点就是可以确定唯一的一个球的，这个就是四个不公平的点。确定一个球体，这个就是立体几号里头这样一个定理了，这一定要知道， 那现在咱们看了啊，对于第一个图来说啊，如果你想求他外界球的直径，还是很好求的，只需要把原来的四面体或者说这样一个墙角模型补全成为一个长方体就可以。这个长方体的长方高分别就是小 a、 小 b 和小 c， 你也能看出来吧。所以说，对于第一个图来说， 他这个外接球的直径还是等于什么？外接球的直径还是等于 a 方加 b 方加 c 方的。继续来看第二个啊，第二个图的话也特殊，嗯，然后特殊在哪呢？特殊在他这样一个四面题。哪个四面题啊？ a、 b、 c、 d 这样一个四面题，或者说三分之一以后这样一个四面题的话，他四个面都是直角三角形，比如说，嗯，看哪四个面呢？首先第一个三角形啊， abd 是不是直角三角形？是啊，因为 ab 垂直于整个底面啊，那么还有那三角形 abc， 看第二个图啊，这个图，哎，是不是直角三角形？也是啊，因为 a、 b 垂直于 b、 c 啊，还有别的啊，还有别的面，还有哪个面呢？比如说三角形 c、 d、 b 这个三角形是不是直角三角形？是啊， 因为 cd 垂直于整个侧面， abd 这样一个侧面还有什么？还有三角形哦，还有一个 cda 啊，他是不是直角三角形是因为 cd 这条棱，他是垂直于 ad 这样一个面对角线的，他俩肯定是垂直的， 所以说他四个面就这样一个四面体，他特殊的地方就在于他四个面都是直角三角形，所以有些面系体里头，他问你 是否存在这样的四面题，他的四个面都是直角平角性，你不要下意识的去说没有，其实是有的啊，要记住了， 前头这两个模型是最重要的，最后一个反而不是那么重要啊。对于中间这样一个模型来说，这个 abcd 他的外接球直径怎么球啊？也是啊，我把这样一个四面体拼成一个完整的长方形不就可以了吗？当你补完这样一个长方形 后，你发现他的长宽高分别就是小 a、 小 b、 小 c， 其中小 c 也是 ab 的长度啊，小 b 也是 bd 的长度长宽高吗？ 所以他的结果仍然是直径等于 a 方加 b 方加 c 方。其实你现在也知道了，直径，他实际上就是补全以后的长方体的。什么长方体的体育点儿线嘛， 那最后一个图形咱就不说了啊，最后一个图形反而就更简单了。现在我们来练三道题，第一道题的话，其实人家都没有图，都得你自己去画。已知一个正方体，正方体就是长方体啊，特殊的长方体，他的所有顶点 都在同一个球面上，那不就是球这样一个外接球吗？球外接球的体积，他告诉你，这个正方体他的表面积呢，是十八，表面积是十八的话，那咱写啊，表面积等于六 a 方嘛，如果每条龙长是 a 的话， 等于十八，所以说小 a 算出来是根号三，那么这个小 a 有啥用呢？咱们看了啊，你应该把右边这样一个长方体看成是什么，看成是正方体了啊，正方体他这个小 a， 小 b， 小 c， 他实际上都应该写成小 a 都等于根号三。所以首先咱们求 这样一个外接球的直径，直径的话，那好说呀，其实就是正方体的体对角线 a 方 a 方 a 方取完以后的话，这个 r 是等于二分之三的。好，既然说外接球这样一个球体的半径知道了，所以说体积，咱们套一下公式，三分之四派 r 的立方，对吧？ 最终算完以后就是二分之九拍了，答案呢，就是二分之九拍就可以了，理解我的意思吧，图的话，其实需要你自己来画啊，咱们来看第二个，第二个题，这个题 的话，你看 p a， p b， p c， 两两之间互相都是垂直的，这就是墙角模型吧，那墙角模型的话，你需要先把图画出来啊，而且这个墙角的话，分别它的长度是什么？ p a 等于二， pb 和 pc 呢？都等于一，没问题吧？那现在咱们看一下这个图啊，这个图我稍微改一下顶点就行了，这是 papb， 这个就是 pc 吧。 哦， p a， p b， p c 的长度咱们都知道啊，其中 p a 等于二，然后 p c 呢？还有这个 p b 都等于一，注意啊，这个点是点 p， 我再标一下吧。 好，这不就是墙角模型吗？墙角模型补全成为一个完整的长方体之后的话，它的长方高分别就是刚才的二、一一啊，所以说它外接球的直径其实就是补全的长方体的 对角线的长度，那不就是二的平方加一的平方，再加一的平方，所以说他这个半径呢，其实是等于二分之刚好六的，你半径都求出来了，那体积的话，我们还是掏空值三分之四派 r 的立方， 那最终求案是多少？那，那就是根号六派就可以了，没问题了吧。那我们继续来看第三个啊。这个第三题的话是这么说的啊，已知四面题 abcd， 他四个面都是直角三角形， 你看对应的是我们刚刚介绍的中间那样一个四个面都是直角形条形的四面提拔很重要的啊， 并且告诉你 ab 是垂直于 bcd 的，然后 abbcd， 如果你刚刚学这个立体集合的话，不画图的情况下确实很难做出来啊。我的话，先把这个图画出来吧，稍微改一下这个顶点就行了啊。大家现在看一下这个蓝笔， 然后其中这个的话就是点 c 了啊，这个点是点 c， 然后改一下位置就行了，这个点是点 d。 哦，他是这么说的，四个面都是直角平角型吧，他的长度分别是，哦，这个 ab 等于二， b、 c 等于二， c、 d 呢，也等于二。那你既然四个面都是直角三角形，我们把这样一个四面题 a、 b、 c、 d 补全成为一个什么补全成为一个图中的长方体， 长方体的长宽高显然都是二，其实也就是一个正方体啊，所以说他这样一个外接球，直径是多少？直径就是二方，二方就是三个二的平方加起来，那不就是二倍根号三啊。 我们把这个球体的半径等于根号三，其实是已经算出来了，那算完这个之后的话，表面几乎就是四派 r 的平方，最后等于多少？ 等于十二派就结束了吗？讲完了这个外接球之后的话，接下来就得看一下这个内切球和棱接球了。什么叫内切球呢？你看第一个图啊，第一个图的话肯定大家都熟悉啊，对于这样一个正方体来说，因为他的啊，八个顶点吧，八个顶点的话，他都是在哪， 都是在某一个球体上，所以这个球体的话叫什么名字啊？叫做正方体的外接球，主要看后两个啊， 第二个图，第二个图的话，谁跟这个球体相切啊？你一定要注意的是每条棱他一共有十二条棱啊，每条棱他都是跟这个球体相切的，此时他不叫内切球，人家叫什么？ 哎呀，人家叫棱切球，这个东西叫棱切球的哈，一定要区分清楚。然后呢，最后一个题，那最后一个图，他当然就是内切球，什么叫内切球啊？内切球就 指的是一个球体，他跟正方体每一个面都是相切的，这个就叫内切球了，一定注意这个名字，那我们分别来球一下吧。 第一个图啊，他这个外接球半径这一号球吧，首先你这个直径的话，是等于根号下 a 方， a 方再加上 a 方的这个没有任何问题， 那么整理之后的话，这个 r e 不就是二分之根号三 a 的意思吗？这个没问题的啊，咱们主要来看第二个和第三个，第二个图的话是什么呢？第二个图注意了， 这个叫什么名字？这个叫棱切球，棱切球的话，其实我们应该看的是他这样一个立体图形，他的主视图当你把这个主视图也就是这个平面图画出来之后的话，就很简单了，主视图的话我就直接画了啊，先画一个正方形肯定是有的。另外你画完这个主视图，画完正方形之后的话，还得画圆， 圆的话，你注意看啊，他这个主视图主视图的话，实际上就是垂直于 abcd 这个面去垂直的看他们，然后他这个圆在哪啊？这个圆实际上是这个正方形在主视图里头啊，这个圆是正方形的。什么呀？这个圆是正方形的这样一个外接圆， 你注意他这个长度等于多少？每条冷长都等于 a 吧，那你说这条长度等于多少呢？也就是说这样一个半径，半径的话好说呀， 你看图中这样一个 oab 形成了一个什么？形成了一个等要直角形角形，所以我们直接写二分之根号二就行了。这个呢是第二个图也没什么问题，来看第三个图啊，第三个图那就更简单了，第三个图我们只需要改造一下这个主视图的样子就可以了。第三个图，首先你告诉我啊，他叫什么名字 啊？他叫内切球啊，对于内切球来说的话，我们现在还是先把这个正方形主视图里头啊这个正方形给画出来，画完之后的话，主视图里头你肯定也能想象到这个圆呢， 实际上是跟每条边都是相切的。既然你这个边长都是等于 a， 所以我这个半径肯定等于二分之 a 吧，所以最后一个写二分之一就行了。当你了解了这个内切球和棱切球之后，接下来这个问题肯定难不住你了。我们来看啊 啊，二十四，他这个表面节二十四的话就意味着二十四等于六 a 方嘛，也就是说这个正方体每条棱他都是等于二的。 二算完之后的话，你看先算什么？先算？那就先算外接球吧。这个外接球的话刚刚刚说完，他这个半径是二分之根号三，然 然后这个是 a， 对吧？然后这个 r r 的话是内切球，那内切球的话应该是等于多少的内切球？内切球正好是等于二分之一的啊，二分之一 a 算完之后的话就是等于多少，就是等于一的。二十三的话，实际上就是棱贴球啊，这个球体呢，跟每条棱都是相切的。那既然相切的话，还记得刚才那样一个比制吧？刚讲完啊，二分之根号二 a， 那么算完之后的话，其实就是根号二了。我们最终整理一下，既然你球体的半径咱们都分别算出来了，那表面积很简单吧，表面积的话分别是四派二方。第一个是十二派吧，那第二个攻守就不写了啊，第二个的话算完以后是四派， 第三个呢？第三个算完以后是八派呗。所以说横线上的答案就是十二派，四派还有八派就结束了，应该理解了吧。分享康康知识，感受数学之美。我上班老师下集和再见。
1.2万会放羊的教书匠
03:43查看AI文稿AI文稿找体对角线，我们假设现在有一个长方体，如果把长方体放入一个球，使得长方体的八个顶点全都落在球面上， 那这个时候的球叫长方体的外接球，而长方体叫做球的内接长方体。 假设这个长方体的长宽高分别为 a、 b、 c， 那我们来看一下这个长方体的长宽高与他外接球的半径之间有什么样的关系。 由于球体和长方体都是对称的几何体，所以球心和长方体的中心应该是重合的。而如果连接长方体的体对角线 ace， 他肯定会经过长方体的中心 心，于是这个 a、 c、 e 就应该是球的直径。我们只需要把这个体对角线 a、 c、 e 用 a、 b、 c 表示出来，就可以找到他们之间的关系， 可以连接 a、 c， 这样的话， a、 c、 c、 e 就是一个直角三角形，于是根据勾股定理， a、 c、 e 就等于根号下 a、 c 的平方，再加上 c、 c、 e 的平方， 这个 a、 c 呢，又是底面 a、 b、 c、 d 这个矩形的面对角线，它应该等于根号下 a 方加 b 方， 所以这里 ac 方等于 a 方加 b 方，而 cc 一方就是 c 的平方。所以长方体的题对角线等于根号下 a 方加 b 方加 c 方，那么 他等于球的直径也就是二 r， 这样我们就找到了长方体的长宽高与长方体外接球直径之间的关系，那么给他除以二，就可以得到球的半径。特别的，如果这个长方体他是一个正方体， 也就是说所有的棱长都为 a， 那么把他们所有都换成 a， 这里就会等于根三 a， 于是正方体的外接球的直径二 r 等于根三 a， 这个 a 呢，就是正方体的冷场。我们来看一道题目，已知正方体的全面积是 a 方，全面积就是表面积。假设正方体的冷场为 x， 那么它的表面积 x 应该等于六倍的 x 方，相当于 六个正方形的面积。现在六 x 方呢，就等于 a 方，于是我们可以计算出来， x 等于根号下六分之 a 方，这是正方体的棱长。现在呢，他的顶点都在一个球面上， 要求这个球的表面积，那就是正方体的外接球。根据正方体的外接球直径二 r 等于根三倍的正方体能长，也就是根三 x， 我们可以得到 r 等于二分之根三乘以 x， 这就是他外接球的半径。 而球的表面积是四派乘以儿方，就等于四派乘以二分之根三 x， 括号的平方展开化减等于三 派 x 方， x 等于根号六分之 a 方代入，那就等于三派。再乘以六分之 a 方， 等于二分之派 a 方，那么这个就是他外接球的表面积。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。
388袁来有数(高中数学)
26:23查看AI文稿AI文稿各位同学，大家好，我是高考数学张斌老师，我从二零零五年开始执教高三，那高考数学二十年的教学经验，今天咱们分享的是内切球的计算方法。总结一， 体积分割法，我们叫等体积法，第二利用相似三角形法，第三我们叫球的洁面法，非常的重要。那今天我们一共从了追住台的内切球当中精选了五道非常好的母题，让你一节课就掌握他。 那么同学们，我们给大家总结了外接球和内接球的方法技巧大全，如果需要的话，评论区可以回复我爱数学，免费的去领取。那开启本堂课程的正式学习开始啊！第一个方法，体积分割法，适用于所有 能追的内切球来，比如看这道题啊，那讲这道题之前，首先老师讲一道公式，说追体的体积啊，能追那三分之一他的表面积，也叫他的全面积，再乘以内切球的半径。好，这个公式怎么来的？很简单啊，你看这个题啊， p a 垂直于底面 a b c g， 底面 a b c g， 题目说了是一个正方形啊，题目这样说的， a b 等于 b， c 等于四 是吧，而且底面是一个矩形，那不就正方形呗。好了，这样东西叫什么？洋马是吧？好了，问你洋马的外接球与内切球的表面积之比，那实际咱们只要算出外接球与内切球的半径之比，表面积之比，将来是半径之比的 平方。好，没有错，这个公式怎么理解？来，大家想啊，大家想，我先讲内切球啊，内切球，内切球。同学们，你看啊，内切球是跟五个面同时相切的球，那大家想一个道理呗，你从 你从什么呀？你从 ov 顶点，那些球的球心 ov 顶点，然后沿着五个面去引出五个小棱锥啊，其中四个侧面是四个三棱锥，呃，分别是 p、 a、 b 这个体积，然后 c、 a、 d 这个体积，然后继续啊， c、 c、 d 这个体积，然后还有啊，还有啊，一个哪个 还少一个哪个 p、 b、 c 这个体积，是吧？这是四个侧面啊，四个什么呀？四个小的三棱锥还有底面啊，底面是一个 a、 b、 c、 d 是个四棱锥。大家想一个道理啊，这五个体积一加， 注意，这个 o 是内切球的球心啊，注意，这五个体积一加，是不是增益整个大的四棱锥的体积？没有错，然后咱们去两边做横等变形啊，这个左边就咱们写的锥体的体积啊，棱锥的体积，而右边的右边，你想个道理啊，右边应该是 四个小棱锥加上一个四棱锥啊，四个三棱锥加一个四棱锥的体积，那体积咋表示吗？三分之一底面积乘高，而四个底面积来看一下啊，四个底面积分别是三角形 p、 a、 b， 三角形 p a、 g， 三角形 p c， g， 三角形 p、 b、 c。 哎，那这四个面积一加，不就等于整个龙锥的全面积吗？也叫表面积是吧？然后他们的高什么呢？他们的高？ 对，还要加底面 a、 b、 c、 d 啊，五个面加是全面积表面积，他们的高不就是内切球半径呗，因为内切球啥意思呀？球心到五个面的距离都相等嘛，听懂了吗？这样就解释了这样一个公式啊，把一个大棱锥分成若干个小棱锥，那 这个题是分成了五个奥义，他是一个四棱锥，如果是个三棱锥，咱们就分成四个，对吧？因为四棱锥五个面嘛，三棱锥四个面，没有错，回到本题非常的轻松，用 这个公式直接秒杀啊。呃，锥体的体积三分之一， s， h 体面积是一个正方形，四乘四，然后高的话，题目给了啊，应该是三，对吧？ p a 垂直于里面， a， b， c， d， p a 等于三，是高。好，这边是三分之一，全面积， 全面积，大家把四个面去算一下，给他一加啊，我这边就不算了，算出来是四十八，会算吧。刚才这四个面的面积啊， p a， b， p a， g， p c， g， p b， c 以及给面 a， b， c， d， 啊，应该是五个面啊，五个面， 然后再乘内切球半径，这样咱们就顺利的求出内切球半径，算出来是一啊，好，这是内切球半径。外接球半径怎么解决呢？同学们，同学们，显然这个题要用我之前的 课程啊，外接球之前的课程讲的非常清楚，非常详细，我相信大家已经学会了啊。本堂课咱们讲的是内切球问题啊，同学们，外接球啊，这显然是长方体的外接球模型，是吧？长方体一共几个顶点？大家说 一共八个顶点啊，那 p a， b， c， d 是在长方体的八个顶点当中选出了五个顶点，所以该四棱锥的外接球和长方体的外接球是同一个球，听懂了吗？我补了个长方体啊，自己看，自己看 没有错，所以这个就简单了啊。那外接球半径应该是 t 对角线的一半，对吧？好，应该是四的平方加 四的平方，加三的平方，算出来是二分之根号四十一， ok， 最后两者之比，最后两者之比啊，那就是二分之根二，四十一是外接球半径，再比上一个内接球半径一，所以最后答案选 a。 恭喜你，都错了，为什么要细心？同学们，表面积啊，不要考试一激动，很多同学，是吧，非常的憨厚啊，就是个憨憨，是吧，就是个憨憨啊，非常激动，一激动啊，非常漂亮，我会选 a， 你白做了，五分没了啊。 注意本题表面之比等于半径之比的平方，所以最后答案选二， b 啊，把这个答案平方就行了， ok， 这是第一道啊，棱锥的那一切 球。来，咱们再看第二道题，圆锥的内切球，看一下，一个圆锥一个球的外切圆锥反过来是圆锥的内切球是吧？呃，这个球的半径是三， 不是半径三啊，是圆锥的高是这个球半径的三倍，那咱们算一下啊，这个球的半径咱们设为小 r 内啊，加个小字母，然后根据提议啊，圆锥的高咱们设为 h， 如图是 pc 这一段，咱们找到这个圆锥的轴截面 好吗？然后根据题啊，是三倍的小 r 内是吧，然后圆锥的底面半径咱们设为小 r， 然后母线咱们设为 l， 然后这个侧面几公式，记住了吗？圆锥派 r， l， r 是圆锥的底面圆的半径啊， x 指的是母线长度， ok， 然后怎么做嘞啊？这种题啊，一般都要用相似嘞，咱们看一下啊，看一下。首先有这个条件啊，这个高是三倍的 内切球半径是吧，那 po 就是二倍的内切球半径，然后 oc 是一倍的内切球半径，那这个 po 比 oc 是一个二比一的关系，没有错吧？ 然后咱们利用一下相似啊，小的三角形 p g o 和大的三角形 p c b 这两个直角三角形相似，对应编程比例啊， o g 比上 b， c 等于 c， o 比上 p b 啊，咱们去代入 o， g 是小而内 b， c 是我 的小 r， p o 是 r 倍的小 r 内， p b 是母线 l， 由这把小 r 内约掉，咱们得到 l 是二倍的 r。 哦，这是一般方法。那这个题比较特殊啊，为什么嘞？ 于这个题，你看啊，你看，这个是阿尔内，这个是二倍的阿尔内。这是个直角三角形，为啥？内切球相切呗，说明这个角一定是三十度，是不是三十度对着直角边斜边一半啊？ 那说明这个角是三十度的话，那在大的直角上行 p c b 中，说明小 r 是斜边，对吧？ 得二分之一啊，三度，对的直角边是斜边的一半，那比较特殊啊。我的意思是这题比较特殊，如果你换成一般的题啊，如果这个三倍你给改成四倍五倍，是吧，你就得用相似去处理了 啊，所以我今天讲的是一般的方法。好了，那这就成功了啊。然后咱们带入侧面积公式，得到害 乘 r 乘 l， l 换成二倍的 r 是吧，侧面几次六啊，由这咱们解除小二方。呃，不用解除小二，解除平方就够了啊，得到一个这， 对吧，派分之三，然后咱们根据勾股定理解除 h 的平方啊，应该是 l 方减去小二方， l 方平方以后是四倍的小二方，减小二方是三倍的小二方，然后把你刚做好的小二方代入啊，就等于派分之九，对吧。 好了，然后根据题中原始条件啊， h 是三倍的小 r 内是吧？那平方一下， h 平方就是九倍的小 r 内的平方， 对吧？而 h 平方您刚底下不是算出来了吗？代入以后是派分之九就求出来了，一个 小而内的平方等于派分之一，注意，不用算小而内，只要算他的平方也。最终你要求的是求的表面积啊，他公式四派小而内的平方。好了，那就是什么呢？ 给派分之一乘以四派，答案是四啊。这个题大家感觉比较奇怪是吧？求到表面，你算出来竟然没有派是吧？正常的题，求到表面积和体积，答案都有派，为什么？ 因为他给的条件侧面这里边没有派吗？好不好？所以导致了一个结果啊。好了，圆锥的那些球，继续棱锥的那些球。来，咱们看第三个方法啊，叫斜面法，非常的重要。一只正四棱锥啊，里面是个正方 行且顶点在底面的摄影和底面中心的连线和底面是垂直的啊，这样的叫正四棱锥，那他的底面边长是六，侧棱长 s、 a 是三倍的跟五。他的内切球与四个面分别相切于 e、 f、 j、 h 四个点，则 求一下四个相切的切点所连成的四边形的外接源的半径。同学们呀， 首先你要明白，这个四边形一定是一个正方形好不好， 为什么？你想这个道理吗？正四棱锥底面是一正方形，它的四个侧面是四个全等的等腰三角形啊，非常的对称，非常的对称的一个图形。那它切到四个侧面上的切点， 把它连起来啊，根据正四棱锥的对称性，他一定是一个正方形。先把这个事情搞清楚好，其实正不正方形的你不用关心啊，你只要关心到什么呢啊，这个一定要注意的， 大家还是要注意的，这个信息真的非常关键啊。好了，咱们来做啊。怎么做？来球的洁面法，咱们找到啥呀？来看，找到过四棱锥顶点 s 底面终点在这啊，在这，左边这个终点咱们不妨叫 e， 右边这个终点咱不妨叫 h 好吗？做出它的洁面啊， s， m， n， 对不应该叫 d h 啊，应该叫 m 和 n 字母，不要搞错了啊，因为这个 e h 将来是你要求的。这个啊，你要求的，刚才说了，这是个正方形的对角线是 e h。 好了，咱们重来一遍啊， a 的终点设为 m， b， c 的终点咱们设为 n 急序， 然后咱们连接 s m， n， s， m， n 是一个三角形好吗？然后跟底下这个球相切，咱们叫 q， 如图，我这画了一个洁面啊， ok， 然后 s m 内的 n 的内切圆为球的大圆，因为它过球心，咱们叫大圆，且切点为在这儿啊，一个 e， 一个 j， 那既然是切点 话呢， o g 显然和 s m 是和 s n 啊，是垂直的关系好吗？同学们，好，那怎么做嘞？ 很简单很简单哦，这个题我先求一下 s m 或者求一下 s， n， 这个应该叫正思棱，追的什么呀？同学们，斜高是吧？ 好，怎么求？勾股定理啊？勾股定理，咱们用根号下 sb， 侧棱长的平方减去底面边长一半平方啊，侧棱长的平方是三倍，跟五的平方减去底面边长是六，一半的平方是三的平方，这个算出来刚好算了个六。哎， 那发现啥呀？发现侧面是一个等边三角形啊，一般的正四棱锥的侧面是等腰三角形。你这个题算出来。 算出来啥呀？算出来这个啊， s m n 是个等边三角形啊。 s m 算了个六， s n 算了个六， m n 是命题人给的吗？ m n 应该是和底面正方形的边长相等，也是六，对吧？ 是这个面是等边三角形啊。呃，侧面是等腰啊，因为侧棱长是啥呀？侧棱长三倍跟五是吧。好了，继续来做啊。那怎么做嘞？怎么做？那这是个等边三角形的话，可以知道啥呀？ 可以知道这个 e 和 g 分别是 s m 以及 s n 的终点。 好好腿，问我为什么，你说为什么？哈哈，这是出租问题啊， 非常轻松吗？对吧？一个等边三角形的内切圆，内切圆和个边的切点难道不是终点吗？你想想，正三角形啊，当然内切圆和外切圆是球心啊，圆心是重合的是吧？好了， 那既然是终点，咱们根据中位线，咱们所求的 e j 应该是二分之一个 m n， 对吧？应该等于三。好，最终咱们求的这样一个正方形的外接源的半径，你想啊，正方形的外接源的半径应该是这个正方形的对角线的一半，而不好意思，我求的这样一个 e j， e j 就是正方形的对角线，看清楚， e f g h e j 难道不 是对角线吗？所以最终他的半径啊，咱不妨叫小儿，应该是二分之一个 e j， 也就是你刚求的三的一半二分之三。本题选 c 听懂了吗？求的洁面法非常重要啊，本题快速解决的依据就是做出了洁面 s m n 好再来棱住的那些球。好看，这个题啊，这个题出的非常的漂亮， 注意，本题并不是棱柱的那些球，讲完再说，不要着急。好在一个封闭的直三棱柱中有一个体积为 v 的球，其中 ab 和 bc 是垂直的，说明这个棱柱的底面底面是一个直角三角形，且两条直角边 ab 是六， bc 是八，那斜边长应该是十。呃，棱柱的高 aae 是三，求这个球的体积的最大值。好，大家想啊， 大家想，那体积要最大的话，如果这个球是棱柱的内切球，当然体积是最大的，对吧？好，我们做出棱柱的中斜面。好吧， 终结面啊，咱们刚做题，碰到了轴结面，这道题是终结面，终结面是沿着侧棱啊，沿着棱柱侧棱，三条侧棱的终点把它一切。换句话说，终结面和棱柱的上下两个底面， a b c 和 a e， b c e 是全等的，没有错，那我把终结面画出来啊，终 斜面是个直角三角形对吧？两条直角边分别是六和八，斜边长字十。那它的内切圆想一想啊， 中截面的内切圆半径根据等面积法算出来是二，怎么算？你可以去举一反三啊，今天老师讲过啥呀？讲过一个棱锥啊，锥体的内切球半径的计算方法 对不对？还记得吗？锥体的体积是三分之一，锥体的全面积乘以内切球半径。那你模仿的公式啊， 把这个空间类比到平面，咱们就可以得到什么呢？那千元半径同理啊，这里边老师就不再计算了。 好，继续。那啥意思嘞？你想这个道理啊，这个内切圆是咱们中洁面的内切圆，那这个圆啥东西吗？这个圆对应的球应该是和棱柱的三个侧面相切的好不好？ 和三个侧面相切的？那又因为咱们看一下，这个内切圆的直径是四，他大于题目给的球的一个啥呀？呃，是棱柱的高， 所以说明啥？所以说明这个内切球啊，如果放进去的话，是把棱柱的上下两个底面给他戳破了，对不对？放不进去啊，所以本题并不是一个内切球。好了，既然放不进去，体积要最大的话，体积只能选这个高的一半是吧？最终 他的球的半径应该是二分之三啊，体积公式大家会啊，三分之四派尔立方。最后答案算出来选的是四 d 啊， r 取的是二分之三，能想通吗？ 好，如果你想通了，我把条件改一下啊。条件改成 a， a 一改成四呢？同学们， 那这个时候恰好是内切球，是不是恰好是内切球啊？刚才咱们算那个二 r 是吧？刚好等于啥？刚好等于四啊，恰好是内切球， 这个时候，这个时候答案算出来应该就是 a 了啊，这道题不要选错了。当然本题不是内切球，选的正确答案是 d 啊，如果拿半径是二去算的话，对吧？三分之四派二立方，答案是 a 啊，所以本题容易误选成 a， 好，再改 下。如果这个条件不是四，如果是四，恰好是内切球啊，如果是五嘞，或者是六是七，换句话说，只要大于四，只要大于四，不管是几，只要大于四，啥意思？ 那这个时候说明棱柱的高很高，那这时候这个球是跟三个侧面相切，跟两个底面上下，两个底面是不是切不上？如果大于四是吧，能想通吗？啊？ 如果等于四，是跟龙柱的三个侧面，上下两个底面，五个面都相切，恰好是另一切球。如果小于四，像这个题啊，小于四那啥呀， 那只能是把这个球放进去之后啊，使得这个球是高的一半，那这个球放进去应该是跟上下两个底面相切的，跟三个侧面都切不上了。总而言之，体积是最大的啊。 好了，本题只有等于高等于四的时候是内切球啊，其他如果高小于四或者大于四，都不是内切球。好，咱们求的是题最大啊。明白这个道理， ok， 再来 圆台的那些球，所以咱们今天选的题非常的棒，你看啊，有抬起的那些球有什么呀？有猪体的那些球有什么呀？有锥体的那些球，锥体锥体，龙锥，圆锥好吗？ 还有柱，还有台，所以这些方法你都掌握之后，那么内切球问题我相信就没有啥问题了。好，已知圆台的上底面半径是一，下底面半径是三。呃，球与圆台的两个底面和侧面都相切，那不好意思， 此球一定是圆台的内切球。好，首先咱们做出圆台的轴截面好吗？同学们， 做出来之后，咱们取上下两个底面的终点啊，咱们分别叫两个底面的球心 o 一和 o 二。那上表面的啊，上下那个，上面那个圆的半径，咱们设为 r 二一，底下咱们设为 r 二二。 好，看一下啊，咱们标注一下，显然有初中学的内学员的性质可以知道。看一下啊， a o 二等于 a e 没错吧， 而且 a o 是这个角， e a o e 呃， e a o 二的角平分线啊，咱标注一下这个标格角一，这个也是角一。 同理， e o e 等于 d e， 而 e o 是咱们这个角 e b o e 的角平分线上面咱们标注角二，这个也是角二，很好，那你看啊，根据同旁内角互补，咱们可以知道，底下这个大的二倍的角二， 加上底下这个二倍的角一等于一百八十度，说明角一加角二等于九十度，是吧？二倍的角一加二倍的角二等于个派， 说明角一加角二等于九十度。二分之派。好了，那说明这个角是垂直的。 哎，非常的棒。因为角一加角二是九十度吗？那这角也是九十度，是吧？那这个角是九十度的话，这个角是 g o a 是九十度。再看内切圆，内切圆和 和圆台的侧面相切于点 e 啊，咱们画是轴截面，那说明 o e 和这个母线长，这个母线啊， a d 是母线，是相切的，这也垂直，所以怎么算呢？这个题的核心和本质啊，咱们用到一个初中学的摄影定理，咱们看啊，因为 o e 的平方 等于 d， 再乘以 a e。 好，咱们去设咱们所要求的这个球啊，这个球的半径咱们设为大二， 这个球是内切球，那大二平方带入啊，等于二，一乘二三二一二二三二二，一乘二二啊。呃，上底半半径是一，下底半半径是三，最后答案是三， 那咱们解得大二是根，号是三。好，再套表面积公式，四派 大二平方。那第四个答案应该是对的啊，第四是对的。继续，咱们再看母线长怎么解决嘞？你看，我刚说了啊，看 d e 等于 d o e， 那 d e 是 r 一，对吧？同理， a e 等于 a o 二，那 a e 是 r 二，所以母线长应该是 r 一加 r 二，一加三是四，所以答案 a 也是正确的哦。圆台的高高怎么办呢？ 看一看同学们，哈哈，高还不简单吗？你刚把大二都算出来了，是不是？高是 o 一， o 二上面是大二 球的半径，底下是内切球的半径。呃，高应该是二倍的大二，所以答案是二倍跟三。答案 b 是错 a。 这个题是多选题啊，大家注意圆台的表面积来，表面积 是圆台的侧面积，加上上下两个底面。圆台的侧面积公式记住了吗？派 r 一加 r 二，再乘母线好了，代入派 r 一加二。咱们刚第一问算过是四，对吧？再乘母线，母线你刚算过了啊，母线是几？ 母线就是四嘛，所以这个就是，哎，四，四十六啊，十六派，这是侧面积，不要激动啊，还要加 上下两个底面，上底面是派 r 方是吧？下底面是派乘以三的平方。九好，最后是十六派，再加上底面一个派，再加九派，加起来多少呢？ 一共啊，十六加一加九，是不是二十六派，他写的是二十六派，所以 see it 啊！答案是 ace， 你学会了吗？非常的重要，高中数学复习，学习提分最关键的是什么？大家可以在评论区回复我爱数学，领取非常非常好的 外接球和内接球的方法技巧大全。好了，免费的送给大家，只要回复我爱数学就可以了。那么感谢同学们本节课的陪伴和收看，那么咱们下节课再见！拜拜！
149高考数学张琳
04:39查看AI文稿AI文稿已知 a、 b、 c 是半径为三的，求 o 的桥面上的三个点，且角 a、 c、 b 等于一百二十度， a、 b 等于高三， a、 c 加 b c 等于二。那我问三人锥 o、 a、 b、 c 的体积是怎样的？ 那么我们在做这种题的时候，其实是没有必要画这个球的啊，你只要把这个三角形画出来， a、 c、 b 等于一百二十度， 画偏一点点，不要画太直了，这是 c， 这是 a， 这是 b， 我们清楚我们的球 o o 点，这个球心啊，应该在哪个地方？通常情况下，我们都是选择找 a、 b、 c 的外界圆心， 这个圆心应该是钝角啊，应该是在这外面的，其实画外面里面都无所谓啊，我随便画吧。这是 o、 e， 那么 o 点一定是在这个上方啊，或者在下方，因为为了好看，我肯定画上方会好一点。为什么这个 o、 e 点一定是万元圆形呢？ o e 为三角形， a、 b、 c 外接元圆心。我们来看一看，你连接 o、 b、 o e b 啊，包括这个 o、 c、 o e、 c 还有 o e a 之后， 那么我们这很明显是个直角，对不对？直角的话，那么 o、 o e 是公共的， o、 b、 o c、 o a 都相等，那是不是说明 o e b、 o e a， o e c 也相等， 所以这样就知道为什么是化解圆形了啊，大家以后可以用这种方式来判断好。懂了这个之后，我们再来看题目，他要求这个体积，首先求体积的话，底面的这样一个，呃，我们的 s 面积的知道吧？在那些 a、 b、 c 的面积你就清楚。 然后还有高 h、 o、 o e 你也知道吧，那怎么去求呢？我们的 o e b， o e 点是它的外圆形 o e b， 那就是外卷的一个半径， o， b 是大啊，对不对？就是我们的外界小半径， 所以现在女人求这个小儿吧。小儿怎么求呢？我们是不是知道角 c， a， b 等于高三为清楚吧？那这个儿不就可以求了吗？正确定理啊，二二等于高三，比上三， 单引一百二十度也是 up。 高三，那对应的就是二，所以我们的小儿应该等于一，而我们的大是等于三。题目告诉我们的，我们这个 h 就等于根号，下九减一两边根号，这是第一个点。再来求我们的一个，呃，我们的面积，面积的话， a， c 加 b， c， 我们来变成我们的字母啊。 b 加上我们的 a， 所以有小 a 加小 b 应该等于二。这第一个条件，第二条件就是我们的 c 其实等于高三第二条件，所以此时就可以列我们的一个公式了，我们 c 方等于 a 方加上 b 方减去二， ab 乘以 cosine， c 是负的， m， d 对应的是 a 方加 b 方加上 ab， 我们其实是想求 a 乘以 b 的啊，那么上面这肯定要平方一下吧。所以 a 方加上 b 方加上 r， a， b， 它就等于四，两个一做差，所以 a 乘以 b， 它就等于一，所以 s 就等于二分之一乘以 a， b 等于三，一百二十度。哎，二分之高三，这结果应该是四分之高三。 然后现在再来算体积就简单了， v 等于三分之一 s h s 四分之高三， h 二倍的根号，所以结果应该是十二分之二倍的根号。 好，六化点一下，六分之高六，答案应该选择 b 选项，所以这种题不要觉得难啊，你耐心去算下去，但是也也得知道我们的球星到底怎么去确定，没有必要画球啊？球星怎么确定他其实是在我们的这个企鹅图形的 哪里呢？几号厅的外接源圆心啊正上方，那么把这个标出来，然后再来连接其中一个顶点，那这种题就迎刃而解了。
117武汉数学吴老师
03:35查看AI文稿AI文稿现在呢，我给大家分享一下啊，高阶一的学生现在不各地吗？大概率都在学习立体几何。立体几何，怎么样才能学好？立体几何这个板块跟其他的高阶一上学期东西没有什么联系，明白了吗？前边没学好， 需要的是你的决心和你的毅力，如果你真的想学那好立体几何，我们从头学。首先学好立体几何，我们并不是需要有多强的什么空间想象能力，很多同学和家长以为自己空间想象能力不行，我学不好立体几何，家长也以为，哎呀，我曾经上学的时候，我立体几何就不好，我没有空间想象能力， 我画画也不行，我立体几何学不好，这些暗示给你起到的作用都是负能量。要知道什么叫空间想象能力，我不用给你解释术语，我就跟你说，通俗的理解，空间想象能力就是两点，第一点绘画图，第一画的 要快，像写字那样，第二画的要像各个线段的长度，角度的把握就出来，就是一个像写字一样，看着就顺眼的东西。所以空间想象能力包括两部分，一个是画图，一个是连辅助线，就这么简单。画图可以说半个小时我就让你会，都画什么呀？柱体，三棱柱、四棱柱，四棱柱呢？以正方体、长方体 为代表，然后正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、正三棱抬，正四棱抬、正六棱抬球的，不需要画。然后说一条侧棱垂直底面的三棱锥，一条侧棱垂直底面的四棱锥，底面是平行四边形啊，是梯形啊， 不就这点事吗？所以说最多半个小时，我们徒手画图，像写字一样，基本上就练出来了，然后我再教你连辅助线。连辅助线第一天很关键，就在这个简单的几何题里边，比如说正三棱锥，正四棱锥里边去连线正三棱锥，正四棱锥，它特别简单，它不是你想的，你不要你去想， 你没有经验你怎么想？老师会教给你两个 rt 三角形，这两个三角形是固定的，一个含有高，一个含有斜高，你一画就知道了，就这么容易。三棱台跟他一样，四棱台和四棱锥一样，六棱锥就画出六分之一。解题工具也是两个 rt 三角形都是相同的，全都是相同的，就是椎体连辅助线，然后 连完线之后做三十道小题，基本上是不是就巩固住了？接下来学旋转题，圆锥和圆台，圆柱很简单，没有什么辅助线，可连圆锥和圆台也是，圆锥就一个二 t 三角形加上一个侧展图，圆台是两个二 t 三角形加上一个侧展图， 别的没有了，再做三十道小题完事。然后在学球的时候，球是不需要画的，我会教给你画球心。球有六个类型，都分着去学，分着正多面题，如何定球心，非正如何定球心，洁面问题，体积最大的问题，多球外切的问题，还有旋转体内切外切的问题，这些东西一个 球都不画就画球心，学的时候画球心就是要点图，画出来成功百分之九十，剩下不就是构造二题，三角形勾股定理，求出那个半径吗？球的问题，关键是学习定球心的要领，球的问题，学完的时候整个空间想象能力就建立起来了啊，会画图，会连辅助线，你会做题，做的挺快， 你还要什么空间想象能力啊？你已经有了后边的证明，平行和垂直他是不需要，你有什么想象，他有公里有定理，有根据的，平行垂直连线他都是有根据的，我会教你四加三联想，正垂直五个联想，这样的话呢，这些东西你没看吗？画图跟着老师练的 辅助线，老师教的这两样，做好了，空间想象能力就起来了，你做题就快了，所以立体几何就这些，至于到了空间项量，空间项量他是把一个空间几何体啊变成一个代数公式了，所以空间项量引入立体几何，是立体几何的一次彻底的革命，他把一个立体几何问题变成了一个代数的公式，我们只需 需要学习要领就可以了。所以立体几何是整个高阶数学有大题的板块当中，我认为是最好学的一个板块，跟其他东西还几乎是没啥联系。低分的学生，这个板块学好的时候五六十分，让你过百，没啥难题没啥难的，你只需要拿出毅力，坚持学完就完事。
510爱琴的数学小屋
08:39查看AI文稿AI文稿我们接下来来讲一个重要考点，就是立体结合外接球的问题啊，也是很多同学比较害怕的题型。看这个题目啊，我们一会可以用两种方法来讲，就是一个是构造法，一个就是万能找球系的方法 来。先看题目，在三龙锥 pabc 中面 pab 垂直以面 abc， 当出现面面垂直以及线面垂直的时候啊，我们通常都要想到用构造法来解题的，因为这样比较简单， pa 等于 pb 等于 ab， 你看这说明是一个等变色型， 等于 a， c 等于二，那么 a b 等于 a， c 等于二角 b， a c 等于二分之拍，说明又是出现了一个等腰直角三角形，对吧？现在让我们求这个三龙锥外接球的表面积。我们刚才说了有两种方法，那么讲这道题之前，我们先复习一下球立体几和外接球为题最常用的几种方法啊，那么 第一个我们就可以用构造法，构造法啊，通常可以构造正方体或长方体，这是最简单的啊，也是我们最希望碰到的，那么他的外接球的球区在哪啊？就是体对角线的终点，体对角线的终点啊，所以如果这个图我们画啊四啊，二方就等于 a 方加上 b 方 加上 c 方 abc， 就是这个冷场啊，这长方体的冷场，那么如果是正方体的话，那你就是在 a 方啊， 对吧？你这是正方体啊，然后第一个是长方体，这是我们对场接到的啊，还有这个就是正龙柱或者是直塞龙柱啊，那么如果是正龙柱的话，他的球系就是上下底面中心的连线的终点， 中心的连线的终点啊，然后直塞龙柱的话，因为你上下都是三角形了啊，都是三角形，所以就是上下 底面三角形外星连线的终点啊。再看结论四，这也是我们经常碰到的啊，就是郑龙追你的外接球的球星，在是在高上面，然后具体位置通过计算来找啊 啊。结论五就是若龙锥的顶点可构成共斜边的直角三形，则公共斜边的终点就是其外界球的球星，这也是我们经常碰到的，对吧？所以一会我们做题就利用结论二或者结论三，因为都可以组成直三龙柱啊，他也是一个正龙柱， ok， 那么我们用的就是第二和第三，那么先把这个图给拿出来啊，你看这是一个你正龙柱，对吧？那你要知道什么是正龙柱，那么正龙柱你首先满足两个条件啊，第一上下底面得是正多边形，然后第二你得是直龙柱，对吧？直龙柱，所以就是 操龙垂直底面啊，那么你看他需要满足的条件啊，你看他的为什么可以用构造法，因为很简单，你这个就是外接球的球星，我们刚才说了啊，你这球星就是上下底面中心连线的终点， 这个就是啊，一般我们把整个标为 h 啊，把整个标为 h， 所以这一部分就是二分这一区， 注意这部分就是二分之 h， 然后下面的话就是小 r， 这个小 r 就是上下底面外接元败径，外接元败径啊，所以你 r 的平方就等于二分之 h， 括号的平方再加上小 r 的平方，这就是我们的解题原理， 明白吧，一会我们直接用就可以了。先把这个狮子理解到位啊，这个就是外接球的败径啊，这是外接球败径，然后这个是底面外接圆败径， h 是整个， 也就是整个柱体的高啊，那么看一下这个题，我们就可以把它标一下啊，把它标一下，你看怎么标？这个是 p ab， 因为 ab 是两个面的公共边，对吧？然后这个 c 你看符不合体一些。 pab 垂直于平面 abc， 对吧？ pa 等于 pb 等于 ab 等于二，说明这是一个等边造型正色形啊，然后 ab 等于 ac 等于二 角 bac 看角 bac 等于二分之拍，对吧？你其实这边就利用到面面垂直的性质定理了啊，利用到面面垂直的性质定理， 就两个平面垂直，如果一个平面内的一条直线垂直与交线，那么这条直线和另一个平面就是垂直的，所以这要注意，也都是综合考察的啊，所以图形 就变成这个样子了，你看我们就可以构造成一个直塞龙柱了，对吧？直塞龙柱啊，那么他的现在让我们求外接球的表面积，我们就知道，根据刚才的公式，你可以画图也可以不画啊， 你想画一下也是可以的，是不是？你想画也是可以的啊，那么你的外接球的球些在哪？就在这上下底面中西的连线可以稍微连一下啊， 就在这，对吧，熟练的画面，直接套公式就行了啊。那么你 r 方就等于二分之 h 的平方，再加上小 r 方， 对吧？那么你看你的高 h 等于二就是二分之二，这边就是一一的平方，再加上小 r 平方，所以注意要求这个小 r， 这个是小 r 啊，那么小 r 怎么求呢？求小儿的方法还是比较多的啊，小儿就等于根号三分之 a， a 就是边长， a 就是边长啊，那么这个怎么来的呢？我们可以用正弦定理，我们知道 a b 上 c， a 是不是等于二啊？我们用小二来表示了啊，所以你看你的小二就等于二倍的 ca 非之 a， 对吧？那所以这 a 是二分之二三吗？就是根号三分之 a， 你也可以求高啊，可以先求高，然后再乘以他的三分之二，也是可以的，所以这边算一下，你平方一下就是三分之四，一加三分之四，你这边就是三分之七， 对吧？三分之七，那么球的表面积他等于四拍二方，四拍二方，所以再乘以四拍就是三分之二 二十八拍，最重要的题答案就是三分之二十八拍，这是我们利用第一种方法构造法来做的啊。 ok， 我们再看第二种方法，就是找球系的通法，我们之前讲过啊， 这个找球区的通法是先找两个面的外形，像找两个面的外形啊，因为我们的目标是要找到各个顶点距离相等的点，对吧？所以先找外形，那么分别再过这两个外形做这两个面的垂线， 这两条垂线的交点就是我们要找的外接球的球星，你想想为什么你下面 abc， 注意看这个图， abc 是一个等腰直角赛形，对吧？说明 bc， bc 这边的终点， bc 的终点就是你 abc 三个型 abc 的外吸，对吧？那么外吸到三个点距离相等，那么 如果过外芯在做这个面的垂线的话，这条直线上的点到这三个点的距离都是相等的，是不是？那么同理这边也是一样的，这边是一个正色形啊，那么过这个点，过他的外形，做这个平面 的垂线也是一样的，到这三个点的距离都是相等的，那么他们的交线到各个顶点的距离不就是相等的吗？对吧？先把这个原理搞清楚啊。先把原理搞清楚，搞清楚之后，那你接下来做题就简单了，就利用他的数量关系， ok， 那么看一下啊，我们就结合这个图，那么鸡就是 bc 的终点，鸡就是 bc 的终点啊，然后你这是二，这是二，所以这边就是北 cbc 是二百多二，那你这边就是根号二，对吧？然后标一下，这都是二，这都是二啊，然后这整个高是根号三，整个高是念一 一二，根号三吗？然后 ef 这部分就是三分之二三，是不是这部分就是三分之二三啊？ ef 是三分之二三，那么看你连接一下 o， 这个时候我们就确定了，你看 o 就是我们要找的外星，这个外接球的球星啊， 球系，那么你连接一下这个就是 r， 所以 r 的平方，你看他就等于这一部分的平方加上这一部分的平方，对吧？那么这一部分就和 ef 是相等的，因为你这边都是垂直这个面的吗？所以他就是三分之根号三的平方， 然后再加上根号二的平方，对吧？你方式不一样，但是你最后答案是一样的啊，那这边就是三分之一加上二也是三分之七二的平方的三分之七，所以这个球的表面 还是等于四拍啊，二的平方就等于三分之二十八拍，对吧？那么通过这道题，希望大家掌握这两种方法啊，一个就是构造，一个就是找这个球星的通法，这个要掌握住的啊，要能构造我们就尽量构造啊。
128数学王子特训营
03:14查看AI文稿AI文稿各位朋友大家好，今天我们进行的好资料分享，是这个立体结合当中的这个外接球和内接球的专题资料啊， 那我们在这个资料的这个他是一个 pdf 版的，那我们来看看这个一份资料当中主要有哪一样一些内容。首先我们来给他，给他这样一个模型啊，这是一个球的累积上的追，那么在这个里面呢，首先 就讲清楚了概念，什么是外接球，什么是内切球啊，以及我们这个里面外接球的七大模型啊， 汉堡模型，斗笠模型、墙角模型、麻花模型、怀表模型， ar 型啊，以及鳄鱼模型，这个里面给出了 名称结构特征，然后给出了相应公式，然后这里面讲到了内切球的万能公式啊， 人追的这个万能公式 r 等于三 v 比上 s 啊， v 表示人追的体积， s 表示人追的表面积， 然后秒杀公式啊，汉堡模型，汉堡模型给出了汉堡模型的几个基本的几个特征啊啊，圆柱，圆柱以及侧轮垂直底面啊， 这个后面对于公式的证明。然后接下来就是这个典型立体的应用啊，有秒杀公式可以得到什么？然后有这个典型立体的应用二啊，有秒杀公式可以得到典型立体三啊，就是后面立体的讲解，然后在后面我们讲到了其他模型啊，其他模型， 每一个模型对应的都会有一个相应的图形形象，直观的告诉我们这个结构来，比如说秒杀公式二，这个斗笠模型，斗笠模型仍然分为这个圆锥形啊，这个正能锥形， 那么他的方法通过补行可以化为一，所以只需要可以证明一，然后这一个公式的这一个证明啊，公式的证明，然后接下来仍然是这个典型例题的应用，我们一般来说选写的都是这一个高考的真题的典型例题，或者重大的这个重要的模例题， 然后对于每一个题目我们都画出了这个三维立体图像来帮助我们进行这一个理解啊，这是后面的立体的应用，以及运用常规方法和我们的秒杀法来进行对比来典型立体， 那他的这个立体的图形啊，然后这个运用三十图还原啊，还原这个后面的立体应用啊， 基本上就是这么个结构。所以我们通过这一篇内容，基本上能够搞定我们的高中数学当中所能够见得到的所有的立体结合的这一个外接球和内接球的这一个问题结构方法啊，大家 如果把这一篇资料全部弄清楚的话，那么高中数学的这个立体结合当中的球的切阶问题，应该是啊可以高枕无忧了。那么如果对这个资料感兴趣的朋友，可以在后台私信我留言来进行资料的分享，谢谢大家。
449樱初泠茜
13:18查看AI文稿AI文稿大家好，这节课呢，老师为大家讲解的是立体几何中的外接球部分，那么这节课的外接球部分重点解决的是我们外接球当中啊，球外接球半径的，用固定模型当中的固定公式来处理的啊， 那么这节课老师主要讲解这几个固定模型，那么接下来呢，老师要对这几个模型啊进行展开啊，我们把每一个模型都说一下，我们先说第一个模型啊，那么我们说这几个模型，首先啊，这几个固定的几合体，他肯定是有外接球的，是吧，哎，那我们先看第一个是长方体， 那我们知道长方体是啊，把它放在这个外接球当啊，把它放在一个球里啊，那他是不是一定有外接球的呀，那么最长的对角线是不是就是我的外接球的直径啊？ 哎，所以我们现在看，首先呢，哎，我们要知道公式， 那外接球的公式啊，老师画一个长方体啊，那画一个长方体，长方体外接球的公式 我们知道，我连接啊两个点， abcd a 一，这是 a 一，这是 b 一 c 一第一，那么最长的对角线是不是就是 a c 一？好，那么他这个一半啊，他的一半是不是我外界球的半径啊，就是 r， 所以这个 r 丘德应该是由长宽高共同决定，所以他的公式 r 等于的是二分之根号下北方加 b 方 加西方，这个公式同学们比较熟练的啊，啊，这个是，呃，相对来说，我们做题的时候出现率，出现率还是挺高的， 那么我们再看说，首先呢，老师我会用这个公式啊，如果是长方体的外界球，我是会球的，但关键就是这道题，我怎么知道他就是能还原长方体呢？还真是我们问题的关键点，所以我们要先识别梯形，那么时间梯形我们首先要注意的就是得抓住他能还原长方体，他具有的特征是什么？ 在这里老师说两个特征啊，同学们先记啊，之后老师再具体讲解。那么首先第一个特征就是他有一个特征是线垂直于面，面内有直角啊，注意这个第一个特征是线和面垂直， 面内有直角。 拿我们这个题来举例子啊，哪些啊？几何题是可以的呢？是满足我们说上述的条件，现最这面面内有直角呢？比如说墙角形是以 d 为顶点，以 a、 d、 c 为底面，这个我们都清楚，对吧？三、 三条线联法垂直，那么这三条线就是老师说公式中的 abc 啊，还要还要会对公式中的字母对号入座，这样我们再看，除了他，我们还可以以第一为顶点，以谁为底面呢？以 dab 为底面， 就说我们可以这三条线不交一点啊，那么还可以这三条线是 d、 e、 d， 还可以是 d、 a 和 a、 b， 这三条线是不是俩俩垂直哎，或者说 d、 e、 d 垂直于底面，底面中有直角，是不是可以的？哎， 他都是可以还原产往体的，所以要抓住这个特征，那么除了这个特征，我们还有什么呢？这一次我们还可以有四面体啊，还有具有什么样 四面体，他可以还原长方体呢？就是对棱相等的四面体， 满足对人相等的市面体。 我们还是拿这个长方形举例子啊，那这个四面体就可以是谁呢？哎，老师找四个点 这个四面题，首先他满足对零相等，应该是我这六个面的对角线，对吧？哎，分别取这六六个面对角线，那我可以连接上面这个线是 a、 e、 c 一，我还可以连接下面的线是 d、 b， 所以同意看我一连接，哎，这是不就满足对零相等， 还有这个线是不还有这个线，对吧？哎，所以就是四面体， a， e， b， d， c， 哎，都是可以的。这是我们说 两个特征啊，记不记得两个特征的，看出两个特征就可以用公式来处理了啊，这是我们说的查网体，那老师在接着往下说啊，说第二个，是啊，注起啊，注起 柱体。这老师，老师，这里包括直棱柱和圆柱啊，这个柱体里要包括直棱柱和圆柱啊，那他的公式。老师还先说一下公式，公式啊，这里我们要清楚啊，圆柱，圆柱和棱柱啊，老师，举个例子，假如说老师画一个棱柱， 但前提是直冷柱， 因为直棱柱他满足一个特征是侧棱垂直于底面， 所以在棱柱当中啊，我要把这个棱柱放在一个球体当中。那同学想 想想， a， b， e， c 是不是有个截面？ a， b， c 是有个截面，那么他用这个平面去截这个球，那是不是会得到一个截面是圆啊，所以我先找到上下两个面的外接圆的圆心啊，这个是 o 一，假如说他是 o 二， 连接这两个圆心之后，那么我再把 ou2 连上，之后呢，我再取他们的终点， 这个中点 o 是不是我们外界球的球星呐？同学，想象一下是吧？哎，所以老师说这节课讲的是固定模型找球星，对吧？ 那这样，当我找到 o 点之后，我就连接一个直角三角形，锁定 o c o 二这个三角形，直角三角形，那我要的 r 是不是就是 o c， 我要的 r 是不是 o c？ 所以 r 方，我们看 r 方就等于谁呢？ o 二的平方， o 二是不是二分之 h 的平方，对不对？再加 加上 o 二 c 是不是底面中外接圆的半径的平方，对不对？哎，所以我们说就得到公式了，那公式中我的二方啊，应该等于的是二分之 h 的平方，哎，加上小二方是这样的， 所以在这里你需要知道的是这个棱柱的高，以及棱柱上下底面的外接圆的半径，哎，这我们要清楚，那我们现在看啊，还是首先公式，直到了之后，我要抓着特征， 这个特征老师分着说啊，他有两个，一个是圆柱，一个是棱柱啊，那我们先说直棱柱， 直棱柱，直棱柱，他的特征啊，那我们看直棱柱是不是侧轮垂直底面的棱柱啊，所以他只要求哎有线垂直于面就行。 那么其中老师再强调一下，这个线垂直面，线就指的是我们的高，就是哪一条线垂直面，那么这个线中的棱长就是我的高。那么面呢？其实实际上我要求这个面的外接圆的半径啊， 线面垂直的一面，就找那个面的外结缘半径，就是我们这里的啊，所以同学们看是不是这样的，那这样的话，我们看这是直棱柱，那老师再说一下圆柱， 同学看这圆柱在这里啊，因为你看老师画一个圆柱， 圆柱里我可不可以放一个直棱柱，对吧？直三，这个三棱柱是不是可以的？所以棱柱和圆柱的外接球都是相同的，对不对？哎，所以那么他的公式是不是一样的？哎，公 公式是可以的，那公式如果可以的话，那么只是特征，就他说的是可能是不一样，只需要抓住特征就行了。那么圆柱当中他习惯怎么说呢？你看老师在这个圆柱当中画，在圆柱的里侧画一个锥体啊，我们看一下，假如说我圆柱这个点中心点是不是就是为球心？欧 o， 这样我在这个上面取一点 p， 哎，我在连接 p o， 那么延长 p o 是不是一定交交这个底面上有一点啊？假如这个是 p， 这个是 a， 因为我做的就是延长 po， 是不是一定会对称的？那么这一点会教在底面这个外接圆上啊，是有点 a， 接下来我在底面上找两点 bc， 这样我抵一秒钟就形成一个三角形。之后我把这些点在连上 都是虚线啊，他在里面是看不到的，都是虚线， 所以同意看这个以 p 为顶点，以 abc 为底面的追，哎，他是不是就可以还原到原著当中，对不对？哎，那我们现在画这个图的时候，老师是不是有一个突破点，就是说我 pa 是不是经过外接球的球心啦？ 哎，所以他要满足什么条件？如果说有椎体有一个侧棱经过外接球的球心，哎，他是不是就可以还到原著当中啊？哎，所以这个特征老师写一下啊，就是说那侧棱经过球心， 经过外接球的球芯， 哎，所以这是我们说的直棱柱和圆柱的两个特征，好，那我们再接着看啊，再说椎体也就剩下椎体了。 追题老师说一下，我们知道正能追啊，是不是正能追这个几何题，他是有外接球的对不对？哎，那么我们先研究他的公式，还是老师画一个啊？ 同学们，这个公式说，老师我会，咱们在在这里说啊，做这种小题，目的就是不仅说你会，而且要快准，要在有限的时间内把这个题快速的做出来， 所以要求你的熟练度，思路一定要特别清晰啊，在这里我们说重点强调才是，这个思路一定要清晰熟练度啊。好，那我们现在看 abc， 这个正 啊，这个 abc， 这个三棱锥是正三棱锥啊，那么我要想找这个外接球的球星，假如说我们把这个椎体当成是高瘦的这种椎体啊，那么就说我把 a 往底面做投影的时候，他是不是投到底面外接圆的圆心上， 那么如果他是很高的啊，他是很高的一个椎体的话，那就说明我的外界球球芯是不是可能在 aoe 之间，对不对？是不是之间呢？ 因为顶点往底面投，投到底面的中心上，是不是？哎，底面是一个等于三角形，这样的话，老师还是寻找一个直角三角形，是不还是 o o e d， 那么你要求我的 r 是不是 o d？ 哎，这是 r， 那么你的 o e d 是不是小 r 底面外接员的半径，还有 o 一，是不是我的膏再减掉外接员的半径，哎，这是为 r， 对吧？所以根据这个直角三角形 勾股定理的话，我就会得到一个关系，是啊，大 r 方是不是等于的是 h 减小 r 的平方是不加上小 r 方，是不是这样的？哎，这个公式，所以我们脑子里一定要有个图像，这个图像当中顺带出来，哎，有个公式是 r 方等于 h 减二的平方加小 r 方，但你要知道你求的是 r， 如果说我要求的是 r， 我就可以把这公式展开，展开之后我就会算的这个 r 等于谁呢？等于高的平方加上 y 级，而半径的平方再处于谁呢？哎，再处理的是二 h， 同学可以自己整理一下，看是不是这样的。所以在这个公式当中，我们需要什么呢？ 我们需要这个锥体的膏，还需要底面的外接软半径啊。好，那接，老师说了，那我们要看特征了， 特征，我们注意 特征，那我们说锥体的特征，刚才老师说，这个顶点往底面投，只要投在底面的中心上就行，那么底面的中心是指的是等边三角形，这样有局限性啊，那么具体来说就是你的这个顶点往底面投，只要投到底面的外居园的圆心上就行。同学想啊，是顶点啊，其实他的特征是这样的， 就是你的顶点 在底面的投影， 顶点在底面的投影点应该为底面底面这个底面的外接圆。 圆心说，老师呢，我也知道要抓住这个特征，我也知道他是还原这个， 呃，正是还原到这个外能刻，用外界球这个公式来处理的，但是关键是这句话我怎么识别呀，我怎么能判断出这个顶点啊？往底面做投影就投到的是底面外圈的圆心呢？注意看啊。这个老师说一下，他只要具备一个什么特征就行了呢？侧能相等， 只要具备侧能相等这个特征啊，只要侧能相等，我们就一定会什么呢？哎，会让 让这个顶点在底面投影为底面外圈圆心啊，这个等等到后面吸底的时候老师再具体说明啊。这里老师在讲吸底之后会再具体说明的。那咱们需要做的就是你要确定这个特征确实是理解的，满足这个特征就可以还原这个结合体，而且公式需要自己快速的推出来。 好同学把这个支点呢整理一下，那接下来呢？我会通过习题来巩固。
00:53查看AI文稿AI文稿在学立体解读的时候会遇到一个难题，外接球问题经常出现在我们选择填空的最后一个。只要你把大招书里面的六个大招技巧弄懂了，所有的外接球题型都会变得非常简单。第一个侧能量量垂直的 abc 就是侧能长 对能相等的 abc 对能长线面垂直的 r 底面的外结缘的半径 h 是高正能锥的问题 b 侧能长 h 是高双半径单交线公式，只要两个面垂直的，求出他们两个面的外结缘的半径交线，用这个公式 轻松搞定。双距离单挑线公式，两个面成一定的夹角，只要求出他们的外界的圆心到胶线的距离，知道夹角，知道胶线，六个模型轻松搞定。从此以后外界球没有难题需要领取高中数学大招资料和试听课，点击左下角私信六六六。
876DZT-勇哥数学
01:26查看AI文稿AI文稿我们如果用通法来解决外界球的问题，那就需要四步。前面我们已经给大家讲了，第一步就是先找底面的外星，接下来我们说第二步。第二步呢就是说我们找到这个欧一，一定要去判断这个欧一是不是球星。 大部分情况下这个 o 一都不是球心，但是有极个别的情况是球心。举个例子啊，比如说给你一个巨型 abcd， 我沿着对角线 ac 把 acd 这面给他折起来，这样就得到了一个三棱锥。 那么这种情况下我们怎么找这个外星 o 一呢？哎，很简单，因为底面 abc 是一个直角三角形，所以说 a 个 oe 就在斜边，终点就是 oea 的终点。然后接下来我们就需要判断，那 oe 是不是球星呢？ 发现 o e a， o e b， o e c 这三段是相等的，那他跟 o e d 相等不相等，如果想等，那他就是球星，他如果不等，那就不是， 那是不是呢？哎，我们知道这个角是九十度，那也就意味着 adc 是九十度，直角三角形，斜边中线等于斜边一半，你发现没有？ oea 和 oed 相等，还等于 oeb， 还等于 oecoe 到四个顶点距离都相等， 那么欧一本身就是球星。行了，这题咱就解决了，但是大部分情况下，这个欧一根本就不是球星，所以说我们还需要进入第三步。
134laohuoshuxue
01:09查看AI文稿AI文稿这题解释中如何求外接球的半径呢？大家看题已知 a d 等于 b， d 啊，等于二， cd 等于一，这儿呢是个三垂直，那如何求他外击球的半径呢？我们空间想象一下， 这个球星呐，一定是悬空的，在这个体的外面，那不好球啊，这个线都不好连呢，那该怎么办呢？我们考虑这样一个知识点，对于一个长方体来说， 他的体对眼线就是外接球的直径，因为两个体对眼线的焦点到八个顶点的距离都是相等的呀，那这有三垂直， 我就给他想成长方体的一个角啊，那我就把它补成一个长方体。我们知道，如果补成一个长方体的话，他的体质点下 l 等于根号下 a 方， 加上 b 方，再加上 c 方，那这道题的话，就是二的平方加二的圈加上一的平方，应该是根号九，也就是三，而他就是直径啊，那我们的半径 r 一定是等于二分之三的。同学们，求外接球半径的方法你们掌握了吧？
807海淀数学高老师
14:14查看AI文稿AI文稿好，这个立体几何中内切球问题，我们一般学的都是比较简单的，比如说啊，像这个圆锥，然后要我们求这个圆锥的内切圆的半径的话，其实我们有两种做法啊，然后第一个方法呢是万能公式， 这个万能公式实际上我们是啊由这个正棱锥推出来的，然后用的是等体积法，所以推出来呢，它是 l 等于三 v 比上 s 表，所以 v 的话指的是这个椎体的一个体积，然后 s 表就是它的表面积，那表面积就等于侧面积加上底面积，对不对？这是反一，然后反二啊，这个圆锥， 这个圆锥他的内切圆的半径，我们可以先截取一个三角形面，然后这个三角形他的内切圆的半径，实际上就是这 这个圆锥的啊，内切球的半径啊，所以那这个三角形内切圆的半径，这个小 r 就等于二 s 比上 l， 这个 s 的话指的是这个三角形的面积， l 的话呢，指的是啊，这个三角形的一个周长，我们用的是 等面积法推出来的，对不对？这个是圆锥，然后第二个的话就是三棱锥啊啊，所以这个三棱锥它一定是具有内切球的，如何来球？这个内切球半径我们只需要用什么呀？万能公式这样就可以了，所以你们套的是 r 等于三 v， 然后除以这个 s 表，对不对？然后有的同学可能会疑惑啊，那我们怎么去确定他的一个啊？内心对不对？所以确定内心的方法呢？就是我们先画出一个三棱锥， 然后啊啊，然后我们怎么样拿一个平面啊？这个平面呢和水平面是平行的来，然后去截取 啊，这个椎体得出一个小的平面，对不对？然后这个小的三角形，他是不是肯定是有一个内心的吧？所以，嗯，我们再接一个，然后再找出他的一个内心两点，确定一条直线，那这个时候我们得出这个内心 所组成的一条直线，对不对啊？这个直线一定是垂直于底面的，然后我们把这个三郎锥呢进行旋转，但是这个旋转的话是什么呀？是啊， 让这个底面和本来的这个底面呢？啊，不是一个平行的关系，稍微给他倾斜一下，然后同样的方法，我们是不是也可以做出一条新的这个垂 线，垂直于底面的这个垂线对不对？然后这两个垂线的焦点实际上就是他的内心，但是我们平时没有必要这么研究，我们只需要套公式就可以了。然后有的同学可能可能会疑问啊，那如果是四棱锥呢？ 这个四棱锥是不是也一定具有内切球呢？这个是不一定的，但是我们能确定的是，正四棱锥肯定具有内切球，对不对啊？所以我们看一下这个第七小题啊？啊，这个题呢，是目前 内切求问题里面算是一个比较难的题目啊，现在是有一个四棱锥，然后满足什么呀？满足 apb， 然后等于 bpc， 等于 cpd， 等于 apd， 也就上面这四个顶角它是相等的，并且都是六 十，对不对？然后呢？还满足什么 apc？ 所以我们才会连接这个 ac 和这个 bd 这两条线吧？啊？人家说这两个角度也是相等的，然后它具体怎么用，目前我们根本就无法连接起来，对不对？并且呢还满足 pb 等于 pd 啊，这两个线相等， ca 呢，等于根号六，所以那这个四方锥它并不是一个特殊的四方锥，对不对？所以这个时候我们需要做辅助线了啊，然后我们怎么做辅助线呢？就是这个 pbtc 和 pd 上，我们都截取一段，让它的长度都等于根号六，然后连接啊，连接 ab 片， cpd 片，所以我们会得出一个新 四棱锥吧，所以大家思考一下啊，这个 ab 片， c 片地片，这个四棱锥，他应该是一个什么样的四棱锥呢？首先是满足什么呀？满足这个，嗯，他目前这个 个个侧面都是一个全等的，所以我们推出它底面肯定是一个啊，四个边都相等的菱形啊，就现在这个底面它是一个菱形，然后啊，根据这两个角度相等，所以我们其实可以推出啊， apc 片，也就三号形， 这个 pac 片和这个三角形 pb 片地片，这两个三角形应该是全等的，对不对啊？因为角度也相等，它的边长呢也相等，所以 你就推出这个 ac 片等于 b 片地片，那么它就是一个正四棱锥 啊，不仅他的侧棱相等，然后也满足他底面是一个正方形吧，啊，推出他是一个正四棱锥，然后推出这个是正四棱锥。之后呢？其实我们啊下一步需要算的是什么呀？可以把这个 ac 片是不连接起来，嗯，然后这个 ab 片， c 片地片，这个正方形，它的各个边长，大家思考一下，我们能求出来不能？然后现在呢？满足什么？满足 pa， 然后等于 pb 片， 等于 pc 片，等于 pd 片，都等于根号六，对不对？然后他们的顶角都是六十，那就说明啊，这个政策 追他的每一个侧面其实都是等变造型，所以我们就推出这个 ab 片，就等于 b 片 c 片， 然后等于 c 片地片，然后还等于地片 a 都等于根号六，所以我们就可以推出这个 ac 片的长度，对不对？就等于根号下六加六，也就根号十二 啊，所以他是二倍的根号三吧，嗯，然后那这个 pc 片他也是根号六，所以根号六，根号六啊，然后是二倍根号三，也就是在这个三角形 pac 片中，那么这个角 apc 或者说 apc 片应该是九十，他又等于这个角 bpd 啊，所以这两个角度相等， 并且啊，他们都是一个九十度，对不对啊？这个条件其实是特别关键的啊，然后我们求出这个九十度之后，下一步大家思考一下，我们需要啊，怎么办呢？啊？这个题目是，嗯， 告诉我们他的这个内切球的半径是一，那我们前面知道啊啊，根据这个万能公式，这个 r 等于三 v 比上 s 表，所以 r 是一， 我们就推出什么，推出这个三 v 是等于 s 表的，那根据这个等式，其实我们就可以把 pc 是不是求出来，在这个时候我们该设未知数，是一定要设未知数的啊， 啊，所以我们设这个 pc， 我们要我们要求的这个是等于 x， 对不对？然后啊，还存在这个位置数， pb 和 pd 他俩也相等， 嗯，然后我们就设这个 pbpd 等于 t， 所以下一步我们开始是不是构造等式了。后面的话，其实我们是想求出这个四棱锥的体积，然后并且表示出他的表面积，那如果我们要做到这个的话，那其实我们需要把 啊每一个边长尽量是不都用 t 和 x 给他表示出来呀，所以目前的话呢，我们其实可以推出这个 pab 全等于三角形啊， pad 版，并且三角形 pcb 他也是全等于这个三角形 pcd 的啊，所以啊，我们就可以推出 ab 是等于 ad， 然后 cb 也等 等于这个 cd， 对不对？我们推出这个底面中其实是有有两个等幺三二型的啊，那么连接之后，所以这个 o 其实应该是为 bd 的一个终点单 啊，并且满足什么呀？满足这个 b d 垂直欲 ac 啊，这个如果大家想不通的话，我们可以单独把它提出来，然后画一画啊，啊，肯定欧式 b d 终点，然后 b d 呢？ 垂直于 ac， 然后现在是啊 pb 等于 pd， 这个时候见到两边相等，那么我们会想到什么呀？三线合一对不对？所以 o 现在既然是 b d 终点，那么我们就推出啊，这个 b d 也是垂直欲 p o 的，所以我们就推出 b d 应该是 垂直于这个面 pac 的吧啊， bd 垂直于这这个面 pac， 那这样的话，这个体积我们是不是就迎刃而解了？我们可以轻松的表示出这个 p 杠 abcd 它的一个体积吧， 然后就等于三分之一底面积的话，我们就啊写成这个三角形 pac， 高的话呢，就是 bd， 对不对 啊？所以这个 pac 的面积我们是不可以轻松的求出来，因为前面我们推出啊这个 apc 这个角度它是一个九十度，对不对？所以啊，也就等于三分之一面积的话，就二分之一 乘以根号六，然后乘以 x， 然后 bd 的长度应该是啊，这个根号二 t， 对不对 啊？因为 pb 和 pd 我们设为 t 吗？所以啊，它是等于根号二 t 啊，所以这个合并之后呢，也就是，嗯，我们可以约掉一个二吧，也就是三分之根号三 tx， 这个是他的一个体积，然后后面的话，我们需要表示出他的表面积，所以啊，看一下这个 s 表应该等于什么啊？这个表面积的话，侧面积有四个，但是四个的话是两两相等的，所以我们先表示 pad 和这个 pad 他俩相等，对不对？也就是二乘以 啊，就是二分之一乘以根号六，然后再乘以 t， 乘以 c 六十，也就乘以四。二分之根号三加上一个，那后两个就是 pcb 和 pcd， 这两个面积呢，也相等，也就是二乘以， 嗯，二分之一乘以多少呀？啊，这个 pc 的长度我们设为 x， 对不对？ x， 然后乘以 t， 再乘以二分之等号三，那这个表面积的话，他等于侧面积加上底面积，所以底面积也就是 abcd 这个四边形的面积，前面我没有推出他的对角线是垂直，那么他的面积也就是对角线乘积的一半，对不对？ 九、二分之一乘以 ac， 然后再乘以 bd， 所以这个 acbd 我们其实是需要表示出来的吧？啊，我们先看一下这个 bd， bd 的话，长度应该是根号二 t， 然后这个 ac 我们看的是三角形 apc， 它同样也是一个直角三角形，对不对？所以就是等于根号下六加上 x 方，那么也就是，嗯， 二分之一乘以根号二 t， 再乘以根号下六加 x 平方，所以由这个前面啊，三 v 等于 s 表，我们就可以构造一个等式了，对不对？所以就根号三 tx， 然后就等于啊，这个 表面积，我们其实是需要进行画剪的吧，所以我们来看一下啊，这个画剪之后啊，这个约个二，所以啊，第一项的话，也就是二分之三倍跟号二 t， 第二项约个二，也就是二分之根号三 tx， 然后最后一个也就是什么呀，就二分之根号二 t 乘以根号下六加 x 平方，所以我们就得出了根号三 tx， 然后就等于这个 s 表，也就是我们把这个 抄一下就行啊，那抄完之后呢，我们发现每一项都有一个 t， 所以我们就可以把这个 t 是不是同时给它约掉呀？所以约掉之后啊，我们最终得出了一个只有 x 的一个等式，那么我们就可以把这个 x 是不求出来啊，所以画完之后呢，这个是二分之根号三 x 减去二分之三倍根号二，就等于二分之根号二乘以根号下 六加 x 平方，那我们两边同成一个二，然后呢，两边同十平方，所以平方之后会得出 x 方减六倍根号六 x， 然后加上一个六等于零，所以这个时候我们可以用求公共式，也可以用配方法，对不对啊？最终我们得出啊，这个 x 的值啊， 两个吧，也就是三倍根号六加减四倍根号三，然后啊，我们知道这个 x 他肯定是大于 pc 片的，这个 pc 片呢，长度是根号六，所以我们看一下这个减的啊，有三倍根号六， 减去四倍根号三，然后呢我们通过做叉来判断一下，随大随小也就减个根号六，那么也就变成了二倍根号六，这个放进去是根号二十四，这个放进去是根号下十六乘三 啊，所以就靠四十八，那么他就小于零，这样的话你就推出这个 pc， 其实是小于更好六的，所以我们需要把这个负的是不是给他舍掉。最终答案啊，也就是三倍更好六， 加上一个四倍跟号三啊，这个是这个题目啊，难度还是比较大的。好，今天内容我们就分享这里，我们下个视频再见。
58欢姐带你学数学
