中考数学尺规作图解题技巧
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02:10查看AI文稿AI文稿中考不想失去指挥作图的三到五分，一分钟帮你搞定全部指挥作图！我们第一类是做一条线段等于已知线段。第一步，我们是做一条直线，在上面取一个点 a， 以点 a 为圆心， a 为半径，画圆交于一个点 b， 那 么 ab 就是 我们的所做的等线段。 第二类，做已知角的角平分线。我们第一步是以顶点 a 为圆心，任意长为半径，画圆交角的两边与 p、 q 两点。第二步，我们分别以 p、 q 为圆心，大于二分之一， p、 q 长为半径，做圆交于点 m。 那 么第三步，我们连起来， an 就是 射线， an 就是 我们的角 b、 a、 c 的 角平分线。第三类，我们是做已知线段的垂直平分线。 第一步，分别以 a、 b 为圆心，大于二分之一的 a、 b 长为半径，作圆交于 p、 q 两点。第二步，我们连接 p q， 那 么 p q 就是 线段 a、 b 的 垂直平分线。第四类，我们是做一个角等于已知角。 第一步，我们是做一条直线，在线上取一个点 o 撇。第二步，分别以已知角的顶点和 o 撇为圆心相同的半径，画一个圆，以已知角交于 n、 n 两点，以直线交于 n 撇点。 第三步，我们就以 n 撇点为圆心， n、 n 的 长为半径，画圆交于 n 撇，连接 o 撇， n 撇构成的角就是我们的已知角相等的角。 第五类，过直线外一点，做已知直线的垂线。我们第一步以点 c 为圆心做弧交， a、 b 于点 e、 f。 第二步，分别以 e、 f 为圆心，以 e、 f 的 长为半径，做弧交于点 g。 第三步，连接 c、 g， 那 么就是 ab 的 垂线。 第六类，已知三边做三角形。我们第一步做一条直线，在上面取一个点 a 撇，以它为圆心， a 的 长度为半径，做弧交直线于点 c 撇。 第二步分别以点 a 撇和 c 撇为圆心，剩下的 b 和 c 的 长为半径，做弧交于点 b 撇。第三步连接这三个点，那么就是我们所要求做的三角形。
1.2万腾飞说数学
31:57查看AI文稿AI文稿哈喽各位，前几天呢，我们更新了河南中考数学二一年到二五年关于尺规做图的题目的考察的一个讲解啊。这个视频更新完之后呢，就有很多家长跟学生来问我，我们在做尺规做图的时候呢，经常是通过死记硬背，然后进行一个做图，但是呢，这里头关于什么角平分线，垂直平分线以及垂线，这些尺规做图经常容易做乱 记混，不太能够理解，他为什么要这样去做尺规做图，他为什么这样做出来的图，他就是符合他垂直平分线的要求呢？ 所以呢，我们数学是不太推崇大家去死记硬背的。那么既然大家有这样的问题，我们就专门出一期尺规做图的一个视频，来讲一讲关于尺规做图的一些做图的步骤，它的原理是什么？对它进行一个详细的拆解啊。我们先来看一下初中的五种尺规做图啊，那既然说尺规做图了， 所以我们先把它的工具，你用什么工具在做图呢？先把它的工具了解一下，取规做图用什么呢？顾名思义，直尺和圆规，但是这个直尺呢，跟我们平时用的尺子不一样，有啥不一样点呢？它是一个无刻度的直尺， 那你想这个直尺啊，它没有刻度，所以它不能干嘛？不能测量长度，它只能干啥呢？只能画线，所以这个无刻度的直尺，它就是用来画直线，或者说画射线。 那圆规呢，既然尺尺不能来测量了，所以呢，给他搭配了一个好搭档，圆规，圆规呢，他的任务就是来测量长度，或者说取相等，取长度啊，取个相等的长度，所以他们两个进行一个搭配，一个是画线，一个是取长度， 就可以把我们五种基本指标做图全部给做出来了。那这五种基本指标做图是啥呢？分别都在我们七年级和八年级进行一个学习啊，八年级上册基本上就已经学完了。首先第一个就是做一条线段等于已知线段，这是在七年级学的，对吧？ 第二个呢，是做一个角等于已知角，这是在八年级全等的时候学的，我说我说的年级的版本是人教的版本啊，以人教为主。然后下面呢，这几个其实都是在八年级学的， 他是在全等学的。角平分线呢，也是在全等的时候学的。垂直平分线和垂线呢，他俩是一块学的，都是在我们的轴对称这一张学习的也是八年级上册， 所以我们八年级上册都已经把五种基本指标做图做完了，学完了。然后呢，我们中考的时候，这个是一个必考点，所有的省市的中考卷都在考啊， 所以他一定是一个我们百分百要去学会学透的一个点。那么我们来看一下啊，做一条线段等于一只线段是最简单的一个了，做一个角等于一只角，就是做一个等角，上面是等线段，下面是等角，这两个呢是指归做图的基础， 然后下面是角平分线，那这俩呢，是在全等的时候进行学习的，为什么放在全等呢？一会讲到它的原理的时候你就明白了啊。然后下面两个是垂直平分线和垂线是在我们轴对称的时候学的，因为垂直平分线画的是线段，那么线段它的对称轴就是它的垂直平分线，所以是在这个位置学的。那为什么同时学到了垂线呢？ 你想垂直平分，垂直平分，你画出来垂直平分线，是不是也就意味着你画出来了垂线？是的，所以呢，学完垂直平分线之后，你就知道了垂线怎么画了啊？但是呢，垂线不太一样的是，它是过直线画的垂线段， 过一点做直线的垂线。那这一点在什么位置呢？也就有我们的两种情况了，这个点呢，可以是在线上，也可以是在线外，你可以过直线外一点做这条直线的一个垂线，对吧？ 不管是上一点还是外一点，它的尺规作图的过程完全一模一样啊，我们一会来看一下就知道了。 我们先来看第一种，做一条线段等于已知线段。我们做一条线段 a 撇 b 撇等于已知线段 a b， 所以 先给了我们一个线段 a b。 那 怎么做呢？它的工具就两个，一个直尺，一个圆规。 指尺没有刻度，只能画线。圆规是测量长度的，所以既既然要做线段相等，所以我们需要取相等的长度。取相等这个任务就交给了圆规了。那你取相等的前提，你是不是得先画出来一条线呢？ 那画线这个任务交给谁了呢？交给无刻度的指尺了。所以呢，我们第一步应该是先有了这条线，然后再去这条线上取一个相等的线段，对吧？所以第一步就出来了啊，先做一条射线， 我们先用我们的直尺，虽然它有刻度，但是这个刻度我们也不能用，先用直尺画出来一条射线， 这个射线呢称之为 a 撇 c， 画出来之后呢，就是取长度了啊，我们把圆规取长度用的是圆规，对吧？我们把圆规的两个角呢放到了点 a 和点 b 这里，那么这两个角之间的距离就是 a b 这条线段的长度了，然后把它不动移过来，两个角之间的距离不动啊，移过来，移过来之后， 它一个端一个端点，再点 a， 着另外一个端点呢，进行一个画圆弧。 画圆弧，那它的圆弧的半径是谁啊？是不是就是我们 ab 的 长度？所以呢，第二步是啥？以 a 撇为圆心，谁的长度为半径？ ab 的 长度为半径画圆弧，那么跟我们所画的射线的交点就是我们的点 b 撇，那么此时的 a 撇 b 撇就是等于 ab 的 长度了。 所以我们的第二步就是在射线 a 撇 b 撇上截取 a 撇 b 撇等于 a b， 怎么截呢？用圆规截取就可以了，这就是我们的第一个指规，做图做一条线等于已知线段，用直尺画射线，用圆规取长度， 非常简单啊，只有这两步。然后是第二个就是画相等的角了，等角和等线段是最基础的啊，但是等角呢会稍微麻烦一些，你看他左边的步骤，他虽然麻烦，但是其实过程理解上来说也是很简单的，而且他的原理一会跟你说了之后，你就知道为什么他要这样去做了啊。 我们先来看一下，还是同样的，你既然要做一个角， a 撇 o 撇 b 撇，这是一个 b 撇， a 撇 b 撇等于 aob， 那这个角由谁构成呢？由两条边构成，对吧？两条边张开一定的角度就构成了一个角， 那这两条边的话，我们要去画一个角，首先我们是不是得先确定它一条边的一个位置，然后根据它的一个角度去看它另外一条边在哪里，对吧？所以呢，我们还是第一步先去干啥？画线，先把它其中一条边给它画出来，然后再去确定另外一条边的位置，那么我们第一步也是做一条射线， o 撇 a 撇， 我们来做一条射线 o 撇 a 撇，然后呢就是确定另外一条边的长度了，那另外一条边人家这个假角这么大，那我们是这样画呢？还是这样画呢？还是这样画呢？怎么画呢？我们来一步一步看啊。 第二步呢，是以点 o 为圆心，以它原来的角为顶点为圆心，然后呢任意长或者说适当长为半径做一个弧，那么我们还是用我们的圆规 适当长为半径啊，适当长为半径画一个弧，那么这个弧呢，跟我们的这个角它就会有两个焦点，那这两个焦点分别命名为点 c 和点 d， 然后呢同样的再以我们画的这条射线的 o 撇，这个端点为圆心，相等的长度为半径，其实就是全部就是模仿嘛，相等的长度为半径， 那我们得看一下人家刚刚的长度是多长，对吧？所以还是把圆规放到这，先取一个 o d 的 长度，然后呢把它移过来一个端点，再 o 撇另外一个端点呢，画一个圆弧， 那么这个圆弧呢，就跟我们的 o 撇 a 有 了一个交点，这个交点呢，我们称之为点 c 撇，称之为点 c 撇。 然后呢我们继续，因为你画了这个之后呢，你的另外一条边是这样的还是这样的？还是确定不下来，那怎么办呢？怎么确定是这样还是这样呀？是不是就是 c、 d 这个长度你就可以确定下来了？其实就是这条弦的长度嘛，你这个角相当于是一个圆心角了，你这个圆心角所定的这条弦，它有多长？是不是固定的？ 所以呢，我们下一步是干嘛呢？以 c 撇为圆心，谁的长度为半径？ cd cd 啊， cd cd 的 长度为半径，然后做弧，与我们刚刚的这条弧会有一个交点，所以呢，我们还是用圆规来啊， 用我们的圆规放到了 c 撇儿，放到了 c d 上，放到 c d 上之后呢，再把它移过来，移到 c 撇儿这里，然后进行一个画圆弧， 那么这个圆弧跟我们上一个圆弧呢，就会有一个焦点，这个焦点呢，我们命名为 d 撇儿，然后连接一下 o 撇、 d 撇。 连接完了之后呢，我们的角 连接完了之后呢，这条射线我们命名为 o 撇、 b 撇，然后我们的 a 撇、 o 撇、 b 撇就出现了，对吧？那这里头字母的顺序你都可以自己随意的改变啊， a、 b 颠倒也可以， c、 d 颠倒也可以，只要你的弧画对了就行， 所以它其实就是画了三个圆弧。第一步，先画一条线，打基础射线， o 撇、 a 撇，画完了之后呢，在原来的角上再画一个弧，画一个弧 c、 d， 把这个弧呢移到 你所画的射线上面，就形成了 c 撇、 d 撇。那你这个 c 撇、 d 撇知道了之后，这是第二个弧了，那这个角的张开的角度怎么去确定呢？ 其实就是我们 c、 d 之间的一个距离了，所以呢，我们再以点儿 c 撇为圆心， c、 d 的 长为半径，再做一个弧，那这个弧与我们上一个弧呢，有一个交点，这个交点连接我们的 这个角的顶点就形成了另外一条射线，这另外一条射线就是我们这个角的另外一边了，所以它是这样一个做图的过程啊。那这里头为什么画出来的这个角， a 撇， o 撇 b 撇，就等于这个角了呢？这个字母给你反一下吧，看着怪别扭的， 那它为啥就等于它了呢？这里头呢，需要连接一下 c、 d 和 c 撇 d 撇啊，因为毕竟是以人家的长度为半径做的弧嘛，所以根据我们三次做弧，你看一下左边这个角和右边这个角，这里头两个三角形的关系。 通过我们的第一个做弧，是弧，以 o 为圆心，任意长为半径，换了 c、 d 这个弧，然后呢，同样的以 o 撇为圆心，相等的长度为半径，所以这个长度和这个长度是不是一样的？ o、 c 等于 o、 d， 因为都是半径， o d 撇也是半径， o d 和 o d 撇呢，是相等的，因为这两个弧的半径是相等的，所以根据前两个弧，我们可以得到 o c 等于 o c 撇， o d 撇，其实这四条线段都相等，对吧？ 然后呢，最后一个弧，第三个弧是以谁为半径的？ c、 d 为半径，所以你看一下，那么 c、 d 和 c、 d 撇什么关系啊？也是相等的呀，以 c、 d 为半径，产生了 c、 d 撇， 所以它也是相等的。那既然这三条边都相等，也就可以得出来啥了，哪两个三角形什么关系？全等，对吧？三角形 c、 o d 全等于三角形 c 撇 o d， 它的全等的判定方法就是 s s， 所以它为什么画这么多弧呀？因为画弧就会产生半径，半径什么关系呢？半径是相等的，半径相等呢，也就意味着边相等， 所以边相等呢，就可以得到等边，从而证明了全等。所以它的原理就是通过你做图的过程，我得到了线段相等，从而证明出来了全等，所以这两个角相等，这就是它的原理。 然后因为我们只归作图，通常括号里头都会给你写一个什么保留作图痕迹，不写做法，对吧？所以这里头保留作图痕迹的话，保留的是哪一部分呢？给大家看一下啊。这是彩色的线的部分，这个粉色和这个绿色，这个绿色你可以不画，粉色是一定要画的粉色，也就是我们刚刚画的三个弧， 这就是保留这一部分就可以了，因为你画的是弧，不需要画整个圆，其实保留的部分就是你所需要用到的这些弧所形成的焦点， 因为你需要靠焦点去连线啊。这是我们第二个做一个角等于已知角，就是画了三个弧，通过全等证明出来了角相等，这是它的一个原理。然后下面一个呢，是做一个角的平分线，也就是说把这个角呀一分为二，在这个角的内部呢，再画一条射线，让这俩角相等，对吧？那我们来看一下它的步骤是什么呢？ 首先第一步是以点 o 为圆心，因为它做角平分线的话，就是在它本身的图上面去做，不需要另外做图了，所以我们的第一步就不去，不需要再去另外的画线了，对吧？那我们先以点 o 为圆心， 那我们先以点 o 为圆心，然后呢，以适当长为半径进行一个画弧， 那么这个弧呢，就跟我们的这个角的两条边会有一个交点，这个交点呢， o a 的 交点命名为点 m， o b 的 交点命名为点 n， 然后再分别以 m n 为圆心，大于 m 二分之一 m n 的 长为半径做弧。这里头有一个特殊的大于二分之一 m n， 那 你想为什么呢？为什么要这样做弧呀？它上一步做弧的时候，以适当长为半径做弧，然后我们 我们刚刚做一个角等于已知角的时候，是以 c d 的 长为半径做弧。人家的， 那到这呢，出了一个要求，就是以大于二分之一 m n， 你 想想为什么？因为啥它这两个弧啊，要在角的内部交于点 c， 如果说你这一个点，两个点，以这两个点为圆心，它的圆半径非常小，那这两个弧有交点吗？没有， 如果它的半径等于它俩之间的一半呢？相切了大于一半呢，就有相交了两个点了，对吧？所以这就是为什么是以大于二分之一 m n 的 长为半径，就是因为呢，它要有交点，是让这两个弧相交啊，所以我们再来画一下， 我们可以先以 m 为圆心，然后呢，以大于二分之一，大于的话大概在这吧，大于二分之一 m 的 长呢，为半径画一个弧。 然后同样的，我们再来以点 n 为圆心，相等的长度为半径进行一个画弧。 那么画完之后，这个弧呢，它通常会有两个焦点，对吧？其实这两个焦点我们取一个就可以了，因为它还要跟我们的顶点相连接，因为一条线嘛，两点确定一条线，三点当然也没有问题，所以我们把它进行一个连接，它的第三步就是作射线 oc， 它的焦点这个点和这个点你取一个就行。比如说我们取的是这个点，是点 c， 然后我们连接一下 oc， 它是在一条线上的，连接这个点也行，连接这个点也行，都是在一条线上的。那连接完 oc 之后，那这个射线 oc 就是 我们角 a b a o b 的 一个平分线了。那这里头的作图原理又是啥呢？同样的，它也画了三个弧，所以呢，它跟上一个异曲同工之妙， 有弧就有什么半径，就有什么半径相等。所以我们来看一下啊，根据第一个弧 m n 这个弧， 我们可以得到什么 o m 等于 o n， 再根据第二个弧和第三个弧，它要有一个焦点，第二个弧和第三个弧呢？分别以 m n 啊，这里头应该加个逗号，分别以点 m、 点 n 为圆心了，它们的半径呢，是相等的。所以呢，我们可以连接一下 c m 和 c n， 也就是说 c m 和 c n 是 什么关系啊？相等的，因为 c m 和 c n 都是它的半径，以大于二分之一 m n 的 长为半径画弧， c m 和 c n 是 这两个弧的半径，所以它俩也是相等的。那同样的再加上一个啥 o m m c， 还有一个什么 o c 是 个啥？公共边，所以呢，这里头还是用什么来判定的？全等，对吧？所以根据 o m 等于 o n， c m 等于 c n， 这是根据我们作图过程当中的半径相等得到的，然后再根据 o c 等于 o c 这个公共边可以判定谁和谁全等呢？ 三角形 c o、 m 全等于三角形 c o、 n， 所以呢，根据全等的性质对应角相等，所以角 c o m 等于角 c o n 这俩角相等，那不就是平角平分线吗？对吧？ 所以他也是通过我们全等去证明的。所以也就是为什么这两个作图他是放到了我们八年级人教八年级上册的全等这一张去学习，因为他的作图原理是全等，这是我们的作角。那同样的作角呢？你在考试的过程当中也是保留作图痕迹的话，他应该是这个样子的啊，往上移一下，他应该是这样一个样子的， 就是这些彩色的线是我们画出来的线，其实你的这两个弧是可以连在一起的，连不连都可以，中间可以断开，也可以连着啊， 你看一下它所保留的这些弧，其实都是我们过程当中所必要的一些交点点 m 点 n 是 不是留下了，以及最后的交点 c， 这都是一些交点，交点处的弧都会留下来。那后面呢，我们还剩下一个中垂线和垂线，对吧？这俩就简单了，超级简单。 来看一下垂直平分线，也叫做中垂线做线段 a、 b 的 垂直平分线 c、 d 怎么做呢？ 首先呢，第一步是分别以 a、 b 为圆心大于二分之一， a、 b 的 长为半径，这里头这次大于，为什么跟上一个是一样的，为啥大于呢？因为两弧啊，要相交，所以呢要大于二分之一。那我们来画一下， 首先以点 a 为圆心，大于二分之一 a、 b 的 话，在这吧 好画了一个弧，然后呢，我们再把它放到点 b 这里，以相同的半径进行一个做弧，哎呀，那个弧刚刚画的有点小了，把那个弧给它补一下吧。 好，补完之后呢，看一下这两个弧呢，会有两个焦点，两个焦点分别是 c 和 d， 那 么两点确定一条直线，所以做直线 ab 啊，做直线 cd 就 会得到我们的垂直平分线了， 连接 cd， 那 么 cd 这条直线就是我们线段 a、 b 的 垂直平分线了。这种作图方法，它的原理是什么呢？为什么这样做了两个弧之后，有两个焦点，一连线就垂直平分 a、 b 了呢？ 它的原理呢，有很多种解释啊，我们先来一个最正规的，就是教材上是怎么解释的呢？教材上说的是根据我们线段的垂直平分线的一个判定， 也就是与线段两个端点的距离相等的点到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。所以呢，我找到这样的两个点，因为两点确定一条直线， 我找到了点 c 到 a 和 b 的 距离相等，点 d 呢，到 a 和 b 的 距离呢也相等，所以点 c 和点 d 都在 ab 的 垂直平分线上，那么 cd 这条直线就是 ab 的 垂直平分线了，对吧？这就是它的一个原理啊。 那比较斜修的一个方法呢？斜修的原理是啥呢？我们刚刚说角平分线以及做等角的时候，我们连接了半径，根据半径得到的，对吧？那我们这里头也连接一下 a、 c、 b、 c 以及 a、 d、 b、 d， 根据我们的作图过程，半径相等，也就是 a c 等于 a d， b c 等于 b、 d， 同时呢， a、 c 和 b、 d 相等，因为它的这两个弧，它的半径都是以大于二分之一 a、 b 为长度，它是以相等的长度为半径做的两个弧进行了两个交点， 所以呢，根据它的作图过程，我们就得到了 a、 c 等于 b、 c 等于 ad， 等于 b、 d 四条边相等，所以 ad、 bc 是 一个什么四边形？菱形。 所以呢，我们画出来的这个四边形 ad、 bc， 它就是一个菱形了，那菱形的话， ab 是 它的什么对角线？ cd 呢？也是对角线，菱形的对角线什么性质呢？不就是互相垂直且互相平分吗？ 平分垂直，这就是它对角线的性质呀。所以呢，我们也可以用这种斜修的方法来进行一个解释，来进行一个理解啊。当然，最正统的方法还是从人家垂直平分线的一个判定来的，就是与 到线段两个段点距离相等的点在垂直平分线上，所以这两个点到它的距离都相等，那么这两个点都在这条线上，两点确定，一条直线一连接，就是它的垂直平分线了。那你画出来这一条线啊，能顶好几条线，非常厉害。这条线 很多功能，首先它是垂直，你做出来这条线，它是一个高，对吧？是一个垂线，对吧？而且呢，它还平分，也就是说你这个焦点是啥呀？是终点呀， 是终点。所以呢，如果考试的时候让你去画线段 a、 b 的 中点，让你去找到 a、 b 的 中点，你画什么？画垂直平分线？然后呢，让你去做 ab 的 一个垂线，你做什么？做垂直平分线，或者说给了你一个三角形 abc， 让你去做 bc 边上的中线，中线是啥呀？中线不就是确定一个中点吗？ 确定了，中点一连接就是中线了，所以它的关键点还是在中点这里，所以让你画中线，你做的也是垂直平分线，垂直平分线之后，这个焦点就是中点一连接就得到了中线了，所以垂直平分线呀，它真的功能相当多， 让你做中线也是做它，找终点也是做它，做垂线还是做它非常忙碌的一个线，对吧？那我们来看一下，既然做垂线也是做它了，那看一下，那做垂线它是做了一个直线的垂线，并不是做一个线断的垂线，对吧？ 所以呢，这里头跟做垂直平分线有一点点的区别，多了一步就多了一个第一步，下面的两步都是一模一样的啊。我们来看一下做已知直线的垂线，我们刚刚说了，它分成两种，过线外一点还是过线上一点，所以呢，这两种我们也都给大家去画一下。 首先呢，是过线外一点，我们先来看线外一点这种情况啊，过线外一点 c 做直线 ab 的 垂线，因为它现在这个直线 ab 它不是一个线段了，所以你没有办法去确定它的两个端点，然后以这两个端点为圆心做两个弧，对吧？它没有给我们这俩端点，那我们就没有了吗？我们也可以自己画呀， 所以呢，他的第一步来确定这两个端点，以点 c 为圆心，适当长为半径做弧，这个弧呢，跟 a、 b 这条直线交于了点 d 和点 e， 点 d 和点 e 就是 我们刚刚做垂直平分线的点 a 和点 b， 你 就可以把它想象成我做 d、 e 的 一个垂直平分线，来，我们先来做一下啊， 以 c 为圆心，适当长，那这个适当长，因为它要跟 a、 b 有 交点，所以呢，适当长也是有一点点要求的，它起码得大于它到 a、 b 这条线的距离吧，那就在这吧。 好，画完了之后呢，它跟这个圆啊，不，它跟 a、 b 这条线交于了点 d 和点 e， 那 有了这两个焦点之后，你看一下，其实就是做 d、 e 的 一个中垂线吧，是吧？做 d、 e 的 一个中垂线， 然后呢，下面步骤就是做中垂线呀，怎么做呀？以 d 和 e 分 别以点 d 和点 e 为圆心大于二分之一的长度为半径，画两个弧，这两个弧呢，有两个交点，那么我们先把这两个弧画出来，先以点 d 为圆心大于二分之一的 e， 那 就在这吧， 好，这是他的一个画长一点吧，防止刚刚的那种情况再出现。两个弧还没交点呢，画完了之后呢，我们再以点 e 为圆心，以相等的长度为半径画一个弧， 那么这两个弧呢，就会有这两个交点，我们换个颜色啊，有这两个交点，那这两个交点呢？我们使用其中一个就可以了，因为我们还有一个点 c 呢，毕竟人家是要过点 c 做一个垂线，两点确定一条线，所以我们点 c 和另外其中一个交点就可以， 比如说我们点 c 跟这个交点吧，这个点是 f， 然后我们去连接一下 c、 f， 它就是我们所要做的一个垂线了， f 在 这， c 在 这，那么此时的 c、 f 就 垂直于我们的直线 ab， 这是一个直角，那其实也就是我们的 c、 f， 那 其实也就是我们的直线 c、 f 怎么样？是我们 d、 e 的 垂直平分线，对吧？ 所以它跟我们垂直平分线的区别在哪里呢？就是第一步不一样，我们垂直平分线是它是线段的垂直平分线，它是有线段的两个端点的，然后做它的垂直平分线，但是它呢，它是一条直线，所以我们得先去确定两个端点 d 和 e， 所以 是以 c 为圆心，适当长为半径，跟这条直线有两个交点，那么我们做这两个交点所形成的这条线段的垂直平分线，就可以得到这个垂线了，然后这里头呢，需要说的一条线段的垂直平分线就可以得到这个垂线了。然后这里头呢需要说的一下 c、 d 啊， c d 和 c、 e， 为什么他做了 d、 e 的 垂直平分线，他就一定经过点 c 呢？我们知道他做了垂直平分线一定是垂直的，但是为啥他一定经过点 c 呢？因为啊，我们最开始第一步做的这个圆弧导致 c、 d 和 c、 e 是 什么关系呢？相等的，也就是说我们的三角形 c、 d、 e 是 什么三角形呢？ 等腰，对吧？它是一个等腰三角形，有啥性质呀？三线合一呀， 三线合一啊，那你既然做了这个等腰三角形底边上的垂线了，那根据三线合一，他肯定经过他的顶点呀，他是一个中垂线呀，肯定经过他的顶点，对吧？所以这就是他的一个原理啊， 根据一个等腰三角形的三线合一以及垂直平分线的一个作图，这就是做垂线，那同样的，这是过线外一点，做垂线线上一点呢？一样的道理啊，过线上一点，我们还是需要去确定这条直线上的两个端点，过这两个端点呢，做他的一个垂直平分线，对吧？所以步骤一模一样啊， 一模一样，第一步还是以点 c 为圆心，适当长为半径做了一个弧。 点 c 为圆心，适当长为半径做了一个弧。那么这个弧呢，就跟我们的直线 a、 b 会有两个交点， 那这个交点呢？还是一个点 d， 一个是点 e， 点 d 和点 e， 之后呢，再去画 d e 的 一个垂直平分线就可以了，那就是分别以 d e 为圆心，换一个颜色， 分别以 d e 为圆心，大于二分之一， d e 的 长为半径画弧。 然后我们 那么这两个弧呢，它就会有两个焦点，那这两个焦点同样呢，我们也是取其中的一个焦点就可以，比如我们用上面这个焦点把它命名为点 f， 然后连接一下 c f， 连接完了之后呢，这个 c f 这条直线就是我们所做的一个垂线了， 所以此时的 c f 还是我们的 d e 的 啥垂直平分线？ 那刚刚说了，刚刚为什么能够确定它所做的垂直平分线一定经过点 d 呢？我们说了它用了一个等腰三角形三线合一的性质，那在这里呢，是不是也是同样的 在这里呢，我们可以去连接一下 a f 和 e f， 那 f 呢？是这两个蓝色的圆弧的交点，那这两个蓝色的圆弧它是以相等的长度为半径画的，所以 a f 和 e f 还是相等的，那同样的还是三线合一，对吧？既然做了中垂线了， 垂直还是中点，所以他就满足他经过了点 c， 他 经过了点 c 啊，那么这是我们五种尺规作图以及他的作图原理，作图步骤。除此之外呢，在我们的数学的初中课标当中，还有另外的一些尺规作图，就是我们所谓的做三角形，做平行线，做等腰，做直角， 那这些尺规作图，它的本质都是我们五种基本尺规作图，那我们来对号入座一下啊。第一个呢是已知三边，两边及其夹角，两角及其夹边做一个三角形， 这是在学全等的时候，尺规作图做三角形，因为我们全等三边不就是全等的 s s s 吗？然后是 s a s s， 然后是 a s a， 那 这里头无论是边还是角，是不是都是做的相等，做等边，做等角，对吧？所以它的原理是啥呢？ 就是这俩圈，第一种和第二种持规作图，做等线段和做等角是我们做三角形的本质原理。 然后第二个呢是做平行线，你想你做出来的这条线怎么得到它是平行线呢？怎么判定它是平行线呢？也就是说我们平行线的判定是啥呀？有啥 同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同班内角互补，两直线平行，对吧？所以就是说我们如果做出来相等的同位角，或者是相等的内错角，那么我们是不是就可以做出来平行线了？所以平行线呢，它的一个本质是我们的作角相等， 做角相等，做等角、做相等的同位角，做相等的内错角，都可以做出来我们的平行线。然后下面呢是做等腰三角形和直角三角形。等腰三角形的条件是什么呢？知道了底边以及底边上的高，那你想你要做等腰三角形，底边上的高有啥性质呀？ 等腰三角形有啥性质？三线合一，这个性质非常重要啊，一定要记得。所以呢，你既然是做高，他还是啥？还是我们底边的中点，那既然有高，也就是有垂直，又有中点，所以呢他需要做什么？线？有垂直，有终点，也就是我们的，哎，垂直平分线也叫做中垂线， 所以呢，我们做等腰三角形，它的本质是啥？做我们底边的什么垂直平分线？ 你先用做一条线段，等于已知线段，这个把底边做出来，做完底边之后呢，再做底边的垂直平分线，然后在这个垂直平分线上去取跟高线相等的部分，然后连接另外两条边，就会得到我们的等腰三角形了，对吧？ 这是我们等腰三角形啊，然后下面呢还有一个直角三角形，它的所给的条件是一个直角边和一条斜边，让你去做直角三角形。直角三角形最大的特征是什么呢？它有啥直角？ 它有直角，所以直角是什么？垂直，那它的本质呢，就是做垂线，给了你一个直角边和斜边，我们先呢画出来这条直角边。直角边画出来之后呢，以直角边的一个顶点 过直角边的一个顶点，做这个直角边的一个垂线，这是不是就是我们过线上一点做这条线的一个垂线了？ 做完之后呢，我们就得到了它这个垂直，然后呢再去做斜边。斜边怎么做呢？以直角边的另外一个顶点为圆心，斜边的长为半径，画一个圆弧，那么这个圆弧呢，跟我们这条直角边的交点 就是我们另外一个顶点了，然后连接一下，它就是我们的直角三角形，所以它的本质是做垂线， 这是我们通过五种基本指标作图，进行了一些延伸的指标作图的一些内容。啊，做三角形的平行线，那么我们还是以这五种为主，他就是我们的地基，把地基打牢了之后，你往上面盖房子，你盖三角形的房子还是盖平行线的房子，都可以，都没有问题了，就啊。
301橙子老师-初中数学
19:49查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们就来讲中考数学最后十讲这样一个系列课程的收官之作。最后一讲尺规作图精讲尺规作图可以说是中考数学必考的内容了，还是老规矩，我呢已经把全套的资料给大家备齐了， 大家只需要先获得资料以后再来学习，这样的话学习效率才是最高的。本讲内容啊，分成两部分，第一部分就是尺规作图的基本方法，这个我说一下，一共是讲多少种呢？讲七种基本的方法， 那么中考考到的都是这七种的排列组合。那么第二部分就是尺规作图在中考中的考察了，就是去年的中考原题。 好了，我们先来看第一部分，那么接下来我们看这个基础篇啊，基础篇的话，第一个就是做一条线段，等于已知的线段 a b， 那 么怎么做呢？你要注意的是尺规作图里边这把尺子呢，你要当成没有刻度的尺子，它只能用来连线。 那么画完之后的话，咱们可以点一个点，比如说左边这个点叫点 c， 当然你做的时候一定要用铅笔啊，我找不到铅笔了，那么我们只需要怎么办呢？你截取长度的话，用的是谁？用的是圆规啊？看好了， 圆规是吧，那么就这么长。然后呢到 c 点这保留作图痕迹。好了，这个点 d 啊，就是刚刚画的这条直线上的交点，这样的话不就保证了 c d 等于 ab 吗？好了，做完了， 那么来看另外一个，另外一个的话就是做一个角，等于已知的这个角我先告诉你原理，原理是什么呢？原理事实上就是边边边的三角形全等怎么画？我画到右边吧，右边呢，先画一条边， 没问题。那么画完这条边以后的话，咱们还是比如说这是 abc， 这就写成 c 吧，然后继续哈，现在注意了，我用圆规它这个半径，它是不变的哈，我没有动过它， 这来一下，这来一下，然后焦点分别是多少呢？那左边的焦点你就写成 a m、 a n 呗。那么显然你可以截取这个 a n 的 长度，是不是 a n 的 长度等于接下来的 谁的长度？等于接下来的 cd 的 长度？好，此时 c d 和谁一样长？和我们的 a n 是 一样长的。然后接下来干嘛呀？然后你首先你把这个弧给做出来不就可以了吗？你可以把完整的弧给做出来的，你画长一些没关系的。 那做完这一条之后，咱们再比比长度 m n 吧，左边这个长度看好了啊，这个是 m， 这个是 n， 咱们比一下。哎，长度正好是这么长，哎，稍微有点手抖了，那行吧，点到这不要动，然后呢，它呀， 稍微长一点点， ok 了。那么接下来咱们以点 d 为圆心，以刚才 m n 的 长度为半径，做一条弧，跟原来的弧 是交于哪的？是交于点点 e 的。 那么现在我们就只需要做什么了，只需要 延长 c e 就 可以了。那么在刚才做图的过程中，其实咱们都是保证了什么呢？当然了，这个给他显眼一点，刚才在做图的过程中，我们已经保证了 a n 等于 cd。 然后呢，你再顺便连接一下 d e， d e 的 长度和左边这个图里头 他这个 m n 的 长度其实是怎么样的？是一样长的，然后他也一样长， 是不是？然后根据边边边的三角形全懂，你说此时的角 a 是 否等于角 c？ 当然等于了，好了，做完了，那么再来看，一定要把基础的先学好。那么接下来就是第三个， 你能不能做出来 ab 的 中垂线啊？能呀，其实你找中点和做中垂线，它的方法是完完全全一模一样的，你只需要以点 a 为圆心，以点 b 为圆心，然后以大于二分之一的 ab 的 长度为半径 做弧，或者说你把完整的圆做出来也行，咱们就做弧就行了，然后你看半径是没有变的。 好，上面这个焦点，咱们比如说就写成 m 点，然后下边这个焦点呢，就写成 n 点，因为刚才半径没有变，所以 m a 等于 mb， 然后 na 等于 nb， 所以 点 m 点 n 都在 ab 的 重垂线上，两个不同点，当然就把这个唯一的重垂线给做出来了，你看这不就结束了吗？这就是保留做错痕迹。那么我们继续来看哪一个呢？ 第四个，第四个的话是谁是做出已知角的角平分线？他的道理我也告诉你，是边边边的全等，来吧，做出已知角的角平分线需要怎么处理啊？看好了，看好了，我们只需要这样 来，半径始终都是没有变的啊，继续好，半径也是始终没有变，从始至终都是一个半径， 长度是没有改变过的，当然了，这一边咱们再画的长一些。好，那么刚才的过程中啊，咱们标一下点，比如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 然后呢，这个焦点咱们写成点 p 吧。那么连接 ap 之后，其实你要想拿满分，你这个时候只用做出 ap 这条射线来，你告诉他，如图， ap 就是 角平分线了，但原因的话，咱们也大概说一下，为什么呀？ 原因很简单呀，因为刚才你半径都没有变的，半径没有变不就代表 a c 还有 a， b 还有 b， p 还有 c， p 的 长度都一样，中间还是个公边，你说边边边上下 a， c， p 和 ab p 是 不是全等？所以角一都就等于角二了，清楚了吧。好，这就没什么问题了。那么继续再来看接下来的哪个图呢？ 好，看到了吧，这个图他说的是过已知直线上的一个点，做出垂线。来吧，来吧，看好了，咱们以点 a 为圆心做一个圆， 其实你只用做圆的一部分，左边有个交点，右边根直线也有一个交点，然后左边这个交点，比如说咱们既为点 b， 右边这个交点既为点 c， 那 接下来做中垂线不就够了吗？是吧？你做出 bc 的 中垂线，那剩下应该就不用多说什么了吧？我直接把这个作图痕迹给大家 表示出来看好了。这这然后呢？以点 b 为圆心，半径不变的啊。 那么此时，比如说上边这个焦点是 m 点，然后下面这个焦点是点 n， 那 么你的直尺没有刻度的直尺就有用了。那只需要干嘛了？只需要连接 m n。 好 了，这不就是过点 a 把这条垂线做出来了吗？那么还有，如果点 a 在 哪？ 如果点 a 在 外部呢？看第六个，如果点 a 在 外部的话，就会形成这样一个情况。呃，哦，现在是点屁啊，过直线 l y 的 点屁做他的垂线怎么做？来吧，我就先不提示了，我直接告诉你，这样， 你以点 p 为圆心做弧，左边跟直线 l 交于一点，右边跟直线 l 呢？也交于一点，是不是？那继续保持不变啊？左边这个焦点继续了，搬进我从始至终其实都没有变过的， 然后左边这个焦点以它为圆来，刚才一不小心啊，我把这个做出来有点好，对，现在可以了。 好，然后呢，半径千万不要变，手不要抖，那不就做完了吗？因为刚才在做的过程中，你半径始终不变，你可以保证 p a 是 等于 p b 的， 然后并且都等于 a q 和 b q， 那 么此时 p q 是 不是就是 ab 的 中垂线？实际上 p q 就是 垂直于直线 l 的？ 那最后一步的话，你只需要保留做错痕迹，连接 p q 这条直线，告诉他 p q 这条垂线就做出来了。那当然了，还是跟垂直有关的，还是用了一下小小的中垂线的这样一个性质。那么最后一个的话，就跟平行有关了，咱们不要光会做这样一个垂线，还得会做平行线。 那么平行线怎么去做呢？考虑一下最后一个，我们可以这么来处理，方法很多啊，因为什么呢？平行线它可以内错角相等，所以平行互补不好做啊。那就用相等也可以同位角是吧？要么同位角，要么内错角。 来吧，咱们随便寻找一个点 n 在 原来的直线 l 上，比如说寻找完这个点 n 之后的话，此时我们这个角一， 它是不是一个固定的呀？那肯定是一个固定的，值嘛？那于是呢，我们只需要过点屁哎，把它另外一个方向上的内错角给画出来就行了，这个套路是固定的，所以我就给大家说了，好，这是有的，没问题吧？ 好，这也是有的，那我们过点屁，半径不变做出来， 那么做完之后还有一条，你还是利用边边边吧。其实刚才我写到这的话，大家应该都清楚了，比如说这是 a， 这是 b， 然后你还得怎么样，你还得让，哎，我知道了，所以我接下来我量一下这个 a b 的 长度，这不就是圆规的作用了吗？ 对，就是这么长了，那么接下来我就做好了。刚才在画的过程中啊， 我们已经能够保证什么 ab 是 等于 qm 了。对啊，你连接一下 qm， 其实连不连 qm 都行，你要是想得满分的话，这个时候你直接保留作图痕迹，然后 做出直线 pm 来就行。因为刚才的话，你根据边边边已经能够保证谁了，已经能够保证角一等于角二了，角一等等于角二啊，你说图中的 pm 是 不是平行于 l 的？ 好了，这不就把平行线做出来了吗？ 那么接下来咱们做一个中考原题吧，是关于作图的啊，这个尺规作图真的很重要，做一下哪道题呢？看一下这道题，这是去年的哪的青岛的原题，他怎么说的？他说如图， 点 d 他 是在哪的？看清楚了，点 d 是 在角 a o b 的 内部，他挺有意思，他是做一个等腰三角形， o c 等于 o e， 但是啊，你还得怎么样？点 c 是 在射线 o e 上， 然后点 e 呢？是在射线 o b 上，你还必须保证谁点 d 在 什么上面，点 d 必须正好在这个 c e 上面，这就有难度了，你要只做等腰三角形，特别简单，但是怎样能够保证这个点 d 在 c e 上面呢？ 这个时候它的综合性就很强了。这道题我相信去年应该有不少同学丢了分，我告诉你怎么做，我们这么来处理，首先，反正是个等腰三角形， o c 等于 o e 嘛，我做不出来。等腰三角形，我做不出来这个 o c 等于 o e。 但是呢，我可以做一个 o m 等于 o n 啊， 这个还是相当轻松的，对吧？那么这种情况下，我就直接连接了，看好了，连接这个 m n， 好， 这个是 m， 这个是 n， 反正这个 o m 是 等于 o n 的， o m 等于 o n， o c 等于 o e。 嗨，你应该知道我的意思了吧？事实上，我想说的是，这个 c e 你 做完之后是平行于 m n 的， 因为都是等腰三角形嘛， 所以它俩是平行的啊，它的底角相等，对不对？你比如说这个地方，你把 c e 做出来，是吧？那平行怎么做？平行的话我跟你说呀，来吧，我们只需要连接一下 m d， 当然你要非要连接这个 n d 也行，没问题。 那么接下来我们只需要构造这个角一等于另外一个内错角，角二就行了。过点地向上做一个角二，跟角一相等，那样的话，平行线不就做出来了吗？所以，于是呢，怎么做？来吧，就是做相等的角这样一个固定的套路了， 这个就不多说了，直接来，咱们是以 m 点为圆心， 做了这一段弧，是吧？然后我以点 d 为圆心呢，我也把这段弧给做出来。那么做完之后的话，行了，那么接下来的话，咱们就需要让这个 p q 的 长度正好等于图中的这个 h i 的 长度了，是吧？你看啊，这个 i 点怎么确定下来？就是这样确定下来的呀， 来，继续做弧，做完了，这就是我们要的这样一个点 i， 是 不是那么点 i 有 了？哎，那么我们只需要连接做出这个直线 d i 来就可以了吧？ 好了，上边就是点 e， 下边呢就是点 f。 刚才你看咱们第一步是什么？先做出等腰三角形 o m 等于 o n 来， 然后再做出 m n 平行于 e f 来。哎，连接 m d， 通过角一角二内错角相等，做完平行就够了。所以你看，你不仅要会做垂直，还得会做平行才可以啊， 这是利益行。刚刚讲的题呢，都是告诉你怎么去保留作图痕迹，用尺规作图的方法把这个具体的图形给画出来。 那么现在变了，就是先告诉你尺规作图的过程，然后问一些问题，比如说这道题它是怎么回事的呢？首先告诉你图中这个 b a c 这样一个角度是三十度， b a c 这三个点都在同一个圆圆 o 上， o 点是圆心。 然后又怎么说？他说分别以点 a 点 b 为圆心，以大于二分之一的 a b。 呃，它的长度为半径作弧，两弧交于 m n， 那 么此时直线 m n 是 谁呀？ 直线 m n 实际上它就是 ab 的 垂直平分线，或者叫中垂线，这是一个意思。那既然做完这个的话，接下来他问什么？他说的是让你求一下图中谁的角度啊？让你求一下图中 a o e 的 角度， 那 a o e 的 话，也许不太好求，但是 a b e 很好求，为什么？因为 a o e 他是圆心角啊，同弧所对的圆周角，那你说是不是存在这样一个二倍的关系？所以我们只需要求出来 a、 b、 e 就 行了。 a、 b、 e 请你告诉我是等于多长的？这个太好算了啊，我们只需要怎么算？你看，因为 d、 a 是 等于什么的？是等于 谁的等于 d、 b 的 吗？为什么 d、 a 等于 d、 b 啊？因为你点 d 是 在中垂线上的，所以中垂线上的点到两个端点距离相等，它俩相等的话，所以就可以得出来角 b、 a、 d 是 等于角 d、 b、 a 的， 它都是等于多少度啊？ 它都是等于三十度的。哎，原来最终答案等于二乘三十度啊，是不是 a、 b、 e 和谁呢？ a、 b， e 和 d b a 这不同一个角吗？所以最终答案是六十度，选 c 就 可以了。 那么再来看一道题，济南去年的中考卷题也是吃亏作图，你先看第一部分是干嘛呢？第一部分是在 c、 a、 c、 b 上分别截取 c、 m， 它，然后 c m 等于 c n 啊，好，然后呢，以 m 和 n 为圆心，大于二分之一的 m， n 为半径作弧，这不就是做角盆盆线吗？然后延长 co 之后啊，跟 ab 交于点 d， 所以 图中我们的角一和角二是相等的，所以它是告诉你什么圈一，这个步骤就是告诉你 cd 平分角 a、 c、 b。 行了，我们看圈二，圈二的话，它是分别以点 c 和点 d 为圆心，以大于二分之一的 c、 d 为半径。这不就是哦，交于 p、 q 两点，那此时 p、 q 不 就是中垂线吗？咱们说清楚谁是中垂线啊？ p、 q 它就是 c、 d 这条线段的中垂线。然后呢，这个中垂线分别交于什么点啊？这个中垂线跟 c、 b 交于 f， 然后呢？跟 c a 交于点 e， 那 么现在好了，既然有中垂线，你说中垂线最重要的是什么？中垂线最重要的特点就是中垂线上的点到 线段，两段点距离相等啊，所以当我连接这个 d e 之后的话，它只需要连接 d e 啊。对于这道题，那么此时根据中垂线的点到线段，两段点距离相等， 那么做完这些之后够了吗？还不够，角一等于角二吧？对啊，然后那继续了，角一等于角三吧。所以为什么角一等于角三啊？因为等边对等角啊，然后继续， 又因为角一等于角二，这是圈一做图的过程得出来的，所以传递一下我们图中角谁，这个角二是等于角三的？角二等于角三，角二，角三是什么角？它是内错角相等吧，内错角相等， 两直线平行吧，所以图中就得出来了， d e 是 平行于 bc 的， 平行不就是得相似吗？三角形 a d e， 它是相似于三角形 abc 的， 那么接下来就肯定可以出答案了。那行吧，我们先来看什么？ 先来看一下此时咱们的 a d 比上 ab， 一个是四，一个是六啊， 因为这个题目中是告诉你的嘛，这个长度，那么继续了，它还等，这其实就是相似比啊，四比六，它还等于 d e 再比上 bc 吧。那 bc 的 长度知道吗？知道的啊，实际上就是四比六等于 bc。 bc 是 谁？ bc 是 三倍根号二。那太好了，所以我们可以很快算出来 d e 的 长度，它是等于多少的？它是等于二倍根号二的。行，把 d e 算出来了。 那么算完 d e 之后的话，我想告诉你的是，你这个 c e 和 d e 不是 相等啊，他就都等于二倍根号二倍。那于是最终结果已经出来了，谁还是等于四比六啊？其实还有什么？还有 a e 比上 a c， 它也是等于四比六的。二比三嘛，其实也就相当于 a e。 再来一个 a e 加上 c e 吧。但是 c e 长度咱们已经知道了，咱们直接把这个 c e 写成二倍根号二，它等于 四比六，所以最终咱们 a e 可以 算出来 a e 等于多少，它是等于四倍根号二的。所以这道题的答案就是四倍根号二。那么应该学会了啊，一定要记得领取资料之后，然后再来学习，这样效率最高。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！
1039会放羊的教书匠
01:04查看AI文稿AI文稿很多同学居然无从下手，痛失十分。首先呢，我们要学会逆推分析，大致先画出 p 的 位置，然后连接 p a， p e 给的这两个角相等，我们可以推出角 p a d 加角 p e， d 是 等于一百八的，所以啊，角 a p e 加角 d 也是等于一百八的。这个四边形 a p d， e 是 对角互补的， 因为你角 d 是 九十度嘛，所以说我们能推出角 a p e 也是九十度的。那关键的问题来了，我们初中阶段要做一个角等于九十度，我们不能够只做垂直，对不对？通过此规做垂直，这是不够的。还有一种非常重要的做法，就是做辅助圆，我们这时候呢，去连接 a e， 取 a e 的 中点， 然后呢，以 a e 为直径啊，画一个圆跟 p e 交于两个点，就是我们要求的 p 了。那运用的知识点啊，就是直径所对应的圆周角等于 于九十度，所以说通过画辅助圆来画九十度角呢，大家一定要掌握。那这是我们此规则当中经常会用到的做法呀，那更多更系统的做法呢？这周末线上直播课也会详细讲解，有兴趣的同学啊，可以搜一下作图，或者和我这边沟通交流。
74福州数学蒋
11:34查看AI文稿AI文稿刻度尺尺作图是这两年中考考察的新题型，也是各位同学丢分的一个重灾区，如果难度出的稍微再高一点，那得分率会相当的低。 今天的这两道题正好是我们宁夏某个市中考模拟考的原题， 难度呢比平常做的呢是要稍微高一点。这里呢，拿过来给大家做一个讲练。先看第一个，让你画 a、 c 边上的高 b、 d， 那 你画高线无非就是怎么样做一个垂线就可以了，但是你的直尺怎么样没有刻度，直接画不了。 直接画不了的时候，我们常规的也是有方法的，你要通过某个点往某条边上面去画垂线，我们首先呢，需要把这条边放到一个横平竖直的直角三角形里面去， 把它的两条直角边数出来，这是第一步。第二步，你通过哪个点要向它上面去画垂线， 就通过这个点把这两条直角边重新的数一遍就可以了。但这个地方我们数的时候一定要反着来，怎么反着来呢？水平的四个要变成竖直的四个 竖直的你通过点 b 想去数四个向上是不可能了，只有一个你再数呢，就到外面去了。 向下的话也是不可能的，你只能数三个，再数呢也到外面来了。所以我们常规的画法呢，已经不行了。至于我们为什么要这样去数着去画， 如果还有不太明白的，就是在班里上课还是听的有点问题的，你可以好好的看一下前面的作品。 好，那这道题呢，我们常规的方法不行了，那我们怎么样去画它呢？我还是想得分，对吧？这个时候你就去琢磨你无刻度尺画考的其实就是什么， 我觉着他就两个东西吧，第一个就是网格的特性，第二个你的无刻度的直尺只能连谁和谁，那这个谁你怎么找到的？根据什么找到的呢？不就是几何的原理去找到的吗？ 所以他考的呢，就是你把这两个能不能结合起来吧。那现在呢，我们做 a、 c 上面的高，常规的方法已经不行了，我们看看有没有什么几何原理能辅助一下。 我们观察观察这个三角形 ab 这条边，我们可以数出来他的边长是多少， 这不就五个吗？ a、 c 这条边我们刚刚呢放到了一个直角三角形，它的两条直角边，一条是三，另外一条直角边呢是正好，是啊四，所以我勾股定律能算出它的长度呢，也是个五， 那正好是一个特殊的等腰三角形，这是第一个我们要去做高， 对吧？那这个时候呢，我们就可以稍微的想到一个知识点，什么知识点呢？三角形的三条高，它其实是交到一个点的， 如果我能找到这个点，那我把点 b 和这个点连延长，这不就是垂直的吗？ 所以我现在想办法去找这个点吗？你三条高交于一个点，那你这条边上的高不好画，我画另外两条边上的高不就行了吗？ 先来看 ab 这条边上，它的高线呢，特别简单，网格的特性稍微用一下就可以了，这个地方它不就是 ab 上面的高吗？ 所以剩下的就剩个 b、 c 上面的高了，而 b、 c 上面的高，我们发现呢，它又是一个以 b、 c 为底的等腰三角形， 等腰三角形底边上有三线合一，画高线等于在画中线，画中线我只要找 b、 c 的 中点就可以了。中点呢，我们是会找的 矩形对角线的特性吗？所以我只要把这个矩形的另外一条对角线连出来就可以了。和我们 bc 的 交点一定是它的中点， 这个时候你用你的直尺把点 a 和这个点做一个连接， 连接完以后，三线合一，得到这个地方一定也是垂直的，所以我们画出来了这个三角形另外两条边上的高，这两条高呢，有一个焦点在这个地方， 三条高都是交于一个点的，所以 a、 c 上面的高一定也经过这个点，它又经过点 b， 那 根据两点确定一条直线，我把点 b 和这条线怎么样连起来， 跟 a、 c 有 一个相交的地方，这个呢，它不就是垂直的了吗？ 好，他让我画的这条线呢，我改成实线，剩下辅助的线全部都是虚线，标上垂直的符号，垂足呢，他说用点 d 表示，那我表示上就可以了。 这是第一问，我们再来看一下第二问，让你画一个线段，既要跟 a、 c 平行，又要保证线段的长度呢，等于三。 那你看画平行这个东西，我们是会的，对吧？平行呢，我们有两种画法，第一种呢，平移就可以了，你看他是某个矩形的对角线，把这个矩形整体移过去就可以了， 这是第一种。第二种呢，我移这个三角形也可以吗？那平移前后的线不就是平行的吗？三角形的对应边平移前后也是平行的吗？ 这是我们画平行线的方法，这个地方他让你去画平行，你就得想清楚，随便画条线，如果平行，那这个地方一定会出现学过的什么知识啊？ 相似的三角形，或者说平行线分线段成比例，一定会出现这个知识， 对吧？这个地方呢，它又要让这条线段的长度等于三，那长度等于三的话，长度有关系的。我们第一问已经算出来这个长度不等于五吗？你不是要相似吗？ 那相似它不就有一个相似比吗？如果有条线段和 a c 的 比值， 它们的比值呢？等于三比五。那现在呢？我已经知道 a c 的 长度就是多少五，所以你画的另外一条线段的长度自动就变成了几啊三吗？ 所以有了平行，对吧？有了 a c 的 长度，它其实就是想让你构造一个相似，让相似比变成三比五，那剩下的线段自动长。就是啊三。怎么构造这个三比五的相似呢？ 来这条边的长度，第一问我也数出来是几啊？是五呀？三比五。那我从点 b 这个地方数三个不就可以了吗？ 不就轻松地数到了这个点吗？接下来我只要过这个点做 a c 的 平行线不就可以了吗？ 过他做 a c 的 平行线。我们刚刚讲我可以平移直角三角形吗？那这个三角形 我要去平移的话，你去盯这两条直角边就可以了，这条直角边肯定竖直的，怎么样？平移到了这个地方，他呢？向右是不是移了几个 两个吗？ 或者说从这个地方平移，不改变线段的长度，它现在的长度是四，你往前数四个不就可以了？我不就数到了这个点吗？ 只要把它哥两个一连得到的这个三角形一定就是前面这个直角三角形平移得到的两条斜边，它跟 a、 c 一定平行， 那这样的话平行线也有了三比五，我在这个地方就得到了三比五，它是三，整个 a、 b 是 五，所以有平行，有三比五的相似三角形了。 我们画的时候保留一个比较干净整洁的卷面，这些复杂的东西怎么样？或者说辅助我理解的东西都怎么样？擦掉，找到了这个点，剩下的找到这个点，两个做一个连接就可以了。 好，把这两个连接完以后和这条边呢有一个交点， 这两个点一个是我们的一一，一个呢就是 f， 因为这个时候形成的这个小三角形和整个大三角形 abc 相似，相似比，在这个地方我已经数掉了三比五， 那你是五，他跟 a、 c 是 三比五，他的长度一定是三。搞定，这就搞定了，画的这一段记着最后的给他干什么，改成实线就可以了，你把它重新的描一遍就行。 当然这个地方呢，我用手直接画掉了，大家用你的直尺连的直直的就可以了。 好，这是今天给大家带来的两道无刻度支持作图，大家一定要认认真真的去听去记， 希望能帮助大家中考的时候多拿六分。如果你还有哪道题有问题需要讲一下，你可以联系我。
799伍斌的数学思维
04:15查看AI文稿AI文稿每天练一题，中考肯定没问题，这几天都在做试卷，今天我们来看一下厦门双十跟其他几个学校联考的这一份卷子里面的二十二题，它是一道尺规作图，那么正常的话，这一道题是能把这个及格线 区分开哦，比如说你这一道题不会做的话，你可能就在及格线以下，如果这一道题会做，那你可能就是在及格线以上了哦。所以我们来看一下 这道题的已知条件，他告诉我们说这个角 c 是 九十度， ab 等于 ac 等于 bc， 然后现在要在 ab 线上 做一个角 a、 d、 b、 a、 d、 b 使得角 a、 d、 b 是 等于四十五度，这个是第一个条件，第二个条件是 a、 d 等于 a、 c。 好， 我们先来看一下哪个条件比较简单，我们就先画哪个，所以你不要直接放空，因为如果放空的话一分都没有，那 a、 d 等于 a、 c 做线段相等，这个我们比较 会哈，所以以 a 为圆心， a、 c 为半径画一条弧，那么这个地点实际上就是在这一条弧上，对不对？在这一条弧上，然后接下来再做角 a、 d、 b 等于四十五度。 那么看到这个四十五度，我们同学第一反应是做什么？哎？做等角，因为 a、 c、 b 这个直角三角形，它是一个等腰直角三角形，所以你会想这个角是四十五度，对不对啊？那我们做等角的前提是要有一条边可以靠，但是很明显 a、 d 跟 b、 d 都不知道，所以这个方法走不通。那么现在我们就转换一下思路， 你看一下要使得这个角 a、 d、 b 是 四十五度，那我们把这个尺子可以放在这里，比如说是这样子的，因为我这个角是四十五度嘛，然后要画到这里，对吧？那点 d 到差不多位置，就是在这个地方，那这个角是四十五度， 他又告诉我们这个是九十度，那我们想到四十五是九十的一半，那你想到什么？哎，圆心角是圆周角的一半，所以我们可以想到去构造一个什么辅助圆啊，以 c 点为圆心，以 c、 a 或者是 c、 b 为半径去画一个圆，好，画一个圆，这时候画出来的 点 d 就 出来了啊，把这个圆画出来，点 d 就 出来了，那么点 d 就 在这里，因为这时候你再把 a、 d 跟 b、 d 连接起来，这个角 它就是一个什么圆周角，那么圆周角会等于圆心角的一半，所以它等于四十五度啊，所以此规作图里面，它不只是做等角，等边还有角平分线、垂直平分线以及我们现在借助的辅助圆。好好，那么这一道题跟 往年的三明式质检卷，二三年啊，二三年，这三明质检卷它也出过类似的题目。在一个等边三角形里面找到一个点 e， 使得这个 a、 d、 e 是 以 a、 b 为底边的等腰直角三角形，你看， 那么以 a、 d 为底边的直角三角形，我们第一步先可以去做什么？哎，垂直平分线对不对？做 a、 d 的 垂直平分线，因为你会发现这个 等腰直角三角形，它的这个另外一个顶点，它肯定是在垂直平分线上哦，在这一条垂直平分线上， 所以我们先画出来同样地点是在这条线上，那接下来的话还有一个条件，就是等腰直角三角形，他必须是这个角 a、 e、 d 必须是一个 a 直角直角，那么你现在怎么去找这个直角？那你就要想 同样的，如果这个点 o 为圆心，然后 o a 为半径，那这时候你是不是又可以画一个圆？因为这个角是多少度？哎，一百八十度，那它的一半就是九十度了。好，所以这时候你可以以 o 为圆心， o a 为半径， o a 为半径，然后画一个圆啊，画一个圆，这时候就会跟他的垂直平分线交于一点，那么这个点 跟这个 a 点跟 b 点连接起来，它就会变成一个什么三角形，直角三角形，因为直径所对的圆周角是直角，对不对？所以这时候就已经可以画出来了， 这个点就点 e， 那 么其实还有另外一个方法，就是斜中线，因为我们知道这是一个直角三角形，那这一条 a、 d 边是斜边，那斜边上的中线等于斜边的一半。好，所以我们也是一样的，以 o a 为圆心去画弧，那么跟垂直平分线的交点就是我们想要的这个 顶点，对吧？好，那今天就讲到这边，所以我们总结一下，如果说碰到此规做图画、等角画、等边画垂直平分线，角平分线都还做不出来，那你这时候要考虑什么？哎，考虑辅助圆了哦。
00:49查看AI文稿AI文稿无刻度尺规做图的绝招来了，垂直平分线，他的做法原来这么简单！孩子们是不是还在为无刻度尺做图的垂直平分线的做法蒙圈呢？今天呢， cc 老师就带你秒杀这个点。咱们可以先看一下下面这个图， 咱们可以直接根据垂直平分线的判定找到 c 和 d 这两点，一连垂直平分线就出来了。然后我们再看一下下面这个图，我们会发现我们找不到到线段两端点距离相等的点了， 那怎么办？我们可以直接套定义，我们先找到这条线段的终点，然后再过这个终点去加垂直就可以了。咱们可以看一下下面的做法，咱们各位家长啊，可以为孩子们点赞收藏起来，大家还想听哪些点，可以在评论区打出来。
03:43查看AI文稿AI文稿来，可能全网的数学老师呢，都不太想讲无刻度咫尺画图的问题，但是我最近的学生问的很多，所以咱们会用几次短视频，咱把这事啊尽量说明白。 今天呢，咱们从最简单的一种来看，就是要找 a、 b 这段线段的中点。我们首先观察，你发现 a 和 b 没有在这个正方形网格的格点上，那这个时候我们该怎么找？对于这种问题，大家翻过头来， 回到数学的本质上想一想，我们这个题目呢，给了你堆网格，给了一堆网格就意味着给了什么？给了平行，那么有了平行，我们的工具就多了一个相似，所以这个问题大家来看，我们就利用相似来解决问题。 我现在不知道 ab 的 中点在哪，但是我可以在 ab 上先找两个点，比如说这个点叫做点 d， 那么有了 c 点和 d 点，你发现 c、 d 都在纵向的隔线上，而且中间隔了几个格呀，一二三四，所以在这条线上找到了这么一个点。这个点我们可以通过全等证明出一定是 c、 d 的 中点， 或者说利用相似也能证明是中点。那这个点呢，咱们叫做点 e， 有 了这几个点之后，大家再看，那么 e 所在的这根纵向的线，实际上就是 c、 d， 再找一个点构成的三角形的中线，那这个点找谁呢？这个无所谓了，你随便找一个点都好，比如说这个点 f， 我们呢再去连接一下 c f， 同时呢再连接一下 d f， 当我们连接之后，你会发现 f e 这根线就是 f、 c、 d 这个三角形的。 那有了中线之后，大家再想这个问题啊，我就可以再找一下 f、 c 的 中点，因为 f 和 c 都在格点上，或者说这两个点都在网格上，那它的中点非常好找，直接找到中间这个网格，找到它的焦点即可。 这个点呢，叫做点 m， f， d 的 中点，这就应该是一个点 n， 我 们再把 m n 一 连，那么此时大家注意 m n 这一段线段，它就应该是 f， c， d 这个三角形的中位线，那么 m n 一定平行于 c d， 并且等于 c d 的 一半。同时注意 m 和 n 又在网格上，那么 m n 的 中点一定在这个点上， 这个点咱们叫做点 h， 这个点也找到了，那么再接下来这道题目就要搞定了，我们连接 a 点和 m 点，并且延长。我们连接 b 点和 n 点，并且延长。这个新产生的焦点呢，我们叫做点 q， 我 们此时再连接一下 q 点和 h， 把 q 和 h 连接，并且延长与 c、 d 的 交点，叫做点 o。 那 么大家注意来看， q h， m 和 q o a 一定相似， 那么 q h n 和 q o b 也一定相似。那么同时我又知道了这两段必定是相等的，那么 m h 比上 a o 就 一定等于 q， h 比上 q o 也等于 h， n 比上 o b。 而又知道了 m h 和 h n 相等，那么 o 点就自然是 ab 的 重点了。 那么这个就是咱们说在画无刻度尺尺问题中最核心也是最基础的一种问题。这道题目大家让孩子动笔自己再画一遍，下课。
4010数学赵观察
02:11查看AI文稿AI文稿中考数学尺规做图日常按照这四个步骤做，中考一定能拿满分， 之前已经讲过了，中考数学尺规做图它只考五个事，一、做一条线段等于已知线段。二、做一个角等于已知角。三、做一个角的角平分线四、做一条线段的垂直平分线。五、或直线上，或直线外一点，做一个直线的垂线 就好。这五个事放屏幕上了，接下来我要讲这四个万能解题步骤。咱以陕西二零二四年的尺规作图的真题为例，他是要求 一至一个 a 点，然后在这个直线 l 上做出一个等腰直角三角形，这个是做题要求。然后我们看第一个分析题目，要求做一个等腰直角三角形，对吧？需要做出直角和两个相等的腰，这个是我们要做的。那接下来 我们先大概的画下草图，哦，有这几种可能性，这两种是一模一样的啊。然后第三个我们要分析作图原理，第一个 和第二个两腰相等的直角三角形为等腰直角三角形。那么我们是不是要过直线外一点做他的垂线？ 做完垂线之后当然是用尺规作图的方式啊，要这样做，做完之后做他的垂直平分线， 做完这个直角，做出这个直角，然后做一个直角三角形出来了，然后这边的话，同样的我们先做出来一个右侧，做完之后 这个边和这个边做两，做已知这个线段等于这个线段， 这个等腰直角三角形做出来了。那我们具体做法是，是不是就是要过直线外一点做已知直线的垂线？刚才说过了， 然后第二个过做一条线段等于已知线段，是不是在这个题里面就是用到了这两种基本尺规作图？所以所有的题最后都会落脚到五种基本作图上。
47陕西中考李老师
03:55查看AI文稿AI文稿昨天作业这道题全班没有一个人做出来，没有看到一个令我满意的答案啊，就这么难吗？给到你尺规作图，让你圆弧找圆心， 我看到好多人这么画啊，哎呀，在这大体呢，找，找一个感觉，然后给我描出来，那能行吗？是不是不标准呀，对吧，所以我们一定要严格的来画，你就按照一波老师的方法，给定你任意一段圆弧，不用管它有多长，你就在圆弧上找三个点，比如说呢，我们这里来一个， 这来一个，这来一个，能找到吗？随便找啊，任意位置，那么找到三个点以后，我们是不是能够两两相连，变成一条折线，感受一下。嗯， 那么这条折线怎么去处理呢？记住了，我们只需要分别画这两条线段的中垂线， 看他们的焦点就是圆心了。我们先来画一画，找找感觉啊，首先看到啊，画他的中垂线，记得怎么画了，线段的中垂线，注意啊，要以两端点为圆心，比如说你看为圆心， 然后呢，大于二分之一，线段长为半径，我们呢，等长的长度看，这么长，来这边画一个圆弧，这边呢画一个圆弧，你要注意了啊，这个长度能变吗？不能变，注意，不能变，然后呢，一样的，以这里为圆心， 然后呢，也是在这画一段圆弧，在这里画一段圆弧， ok， 那 么两段圆弧是不是就会有焦点了？这个地方就在这啊，少画了一点，那么有了焦点以后，你现在能知道中垂线在哪了吗？能，是不是把两个焦点一连线就是了吧。 ok， 那 么中垂线完了啊，为什么是中垂线？是不是这个点到两斑点距离相等，因为半径咱们用的是一样的。嗯， 这个点是不是到两段距离也相等？那是不是到线段两段点距离相等的点一定在线段的中垂线上？那同理呢，我们再来画第二个线段的中垂线啊，还是一样的，是不是咱们要以这两个端点分别为圆心 二分之一场？注意啊，大于二分之一场为半径，来画圆弧来一段。 这里呢？是不是来一段？注意啊，咱们这个长度能变吗？不能变，不能变啊，这个长度不能变。好，我们继续。这里是不是还是以它为圆心来画圆弧？ 这里是不是有焦点？这里呢也能来一个焦点？好，第二条重叠线有了吗？有了，是不是连接这两个点？ 看到啊，那么两条中垂线有没有交点？有，明显有交点吧，那么这个交点就是我们想要的圆心了，知道为啥吗？ 不知道，分析一下啊，是不是你看到这个点，它是在两条线段中垂线上的，所以是不是这个点它到线段两端点距离一定相等？是的，是不是这个距离等于这个距离， 也等于这个距离？那是不是满足圆心到圆弧上任意点的距离都要相等？这个长度是什么？ 半径不就是半径吗？你我们这三个点任意找的呀，所以说是不是圆心也就找到了。记住啊，以后给定任意圆弧找圆心， 随便的找到三个点，两条线段中垂线给他一相交也就完事了。那这个方法大家学会了吗？学会了， ok， 学会了，抓紧时间记笔记，记完笔记咱接着上课啊。
2699清华一波极简数学
01:26查看AI文稿AI文稿今天呢，我们来看一下如何用尺规作图来画直线 a、 b 的 垂直平分线。首先呢，我们看到有两点， a 和 b， 那 么我们以 a 点为圆心，大于二分之一 a、 b 的 长度为半径，我们先找大于二分之一 a、 b 的 长度。 我们画弧结束之后，我们以圆规同样的角度不变，再以 b 点为圆心，我们继续画弧，它两弧会有一个交点，那么我们取上面的交点为 c， 取下面的交点为 d 的 话，我们就得到了 cd 两点， c 点和 d 点。那么现在呢，我们连接 cd 两点， 连接 cd 两点之后，我们看到 cd 就是 ab 的 垂直平分线，那如果这一条直线是斜的呢？我们也是同样的办法。重复上述的步骤，就是先以 a 点为圆心，大于二分之 a 一 ab 为半径，那么现在这个是大于二分之 ab 的， 我们给它画弧， 然后以 b 点为圆心，依旧画弧，我们看到这两个弧也有两个交点，那么这两个交点呢？我们依旧给它标为 c 点和 d 点。那么现在我们连接 cd 两点， 得到的 cd 这一这一条直线呢，就是直线 ab 的 垂直平分线了。
17初中数学董老师
01:55查看AI文稿AI文稿习老师，嗯，初中数学耻归做图，很多家长平台留言说不止考这五种呀，有时候让做内接圆或者外切圆啊，你给解释一下呗。 这个问题我们在前几个视频中已经都说过了啊，我们的耻归做图，他不可能到了中考了给你说，来吧，做一个这，来吧，做一个那。 哪有那么简单的，直接告诉你那几种最基本的吃亏做错让你去做呢？我们一定是要对题目进行分析，要做一个简单的几何题之后，然后再去知道做什么，你再去做什么， 你又没有个简单的分析，你肯定不知道那个题让我们做什么，对不对？比如说要做一个三角形的内切圆，那我们就要先分析那三角形的内切圆，圆心是在哪里，然后呢？为什么是内切的？ 通过简单的分析之后，哦，我们知道，原来他是让我们做的是三角形的三个角的角平分线， 然后他们有一个焦点，那个焦点就是内切圆的圆心，进而我们再去以那个焦点为圆心，再画他的内切圆呗， 行不行嘛？对着吧啊，所以我们要清楚这个点，如果要我们做一个三角形的外接圆，你要先分析啊，这个外接圆的圆心在哪里？ 那外接圆的圆形，我们通过简单的分析之后，哦，他应该是在这个三角形的每一个边的垂直平分线的焦点就是我们这个外接圆的圆线 啊，这样我们紧接着再去以它为圆心去画这个外接圆，那就是我们所求的吗？你得简单的分析，分析了之后人家让做啥，你再去做就可以了，不要被出题人的表面迷惑，对。
