数学隐零点问题解题技巧
二五年考了倒数压轴，二四年考了倒数的奇数问题，二三年又是倒数压轴，掐指一算，倒数一年难一年。简单，这期视频我就来讲讲必考的韩餐单六型讨论和可能会考的零点问题，帮你高考拿到这十几分。今年高考如果倒数大题放在十七十八的位置，你还可以等 我们来看看近三年高考大题它的分布情况哈。在二五年的时候嘞，咱们的倒数放在压轴题的位置和三角函数放在一块来考， 二四年来是导数、求餐导数极值这样的普通例行，二三年又再次跟三角函数放在了压轴的地方，所以说你会发现一年来一年不难的。那么今年如果说他真的放在了十七十八的位置，那么他一共有两个预测的方向。第一个呢，是比较常规的含餐函数讨论单调性问题。 第二个来是比较高难度一点的零点问题，但它也是固定题型来的。所以说我们直接来看到第一个题型，函数函数如何去讨论单调型，我们直接不用看第一问哈，就是求切线，求切线来是一定会考的，无论是选题还是大题，第一问他是一定会考一个问的。我们来看第二题， 当 a 大 于零时，如果说 f x， 它在这个区间上的最小值是为一分之一的，要去求 a 的 一个值，那么这时候我们要去求最值和极致型问题，都是要去看到它的单调性，画出图像来做题的。 那么这时候来我们直接求导哈。在求导之前，先要去写定义域，咱们的定义域来是为多少？是不是为呃零到 a 的 哈， 这是题目已经给出来的，在这呢，然后呢，其次我们才可以去进行一个求导，求导之后来就会得到 e 的 二 x 分 之二 x 再减 a， 再乘上分母保持不动，再减去一个 x 方减 a， x 加 a， 再乘上分母，求导就是为 e 的 x 方的， 我们上下同除一个，先同除一个 e 的 x 方，然后呢再化解一下分子哈，就会得到负 x 方，然后呢，再加上一个 a， 加二倍的 x， 再减去一个二 a 的， 而咱们的分子来分母来是一个 e 的 x 方的。然后我们来看一下分子分母哈，咱 们的分母来是大于零的，所以就说明了咱们的正负号只跟分子有关，咱们 f、 p x 的 正负号只跟分子有关，我们就只需要去研究这一个二次函数就行了，那么针对于二次函数来就有两个东西，这 第一个你要看它能不能因式分解，如果说可以因式分解，它就分离出来两个根，就会变得非常的简单。如果说不能因式分解，才按照咱们的解析程序一二三步走的哈， 我们先来看一下，它是明显可以因式分解的，可以写成是负的 x 减二，再乘上一个 x 减 a， 然后下面呢是一个 e 的 x 次方的。那么这时候我再来告诉大家咱们比较通用的这个式子，它有无根 啊？你看，我们能够因式分解出来，它就已经有了两个根了，一个 x 一 等于二，一个 x 一 等于 x 二等于 a 的。 那么如果是不能因式分解的，你就去看 derta， derta 如果说大于零呢，它就是有两个相异根，如果说 derta 小 于等于零呢，它就是没有相异根的哈， 那么我们再去走一下第二步。第二步呢，就是去看你求出来的这两根它是否是在定义域内的，那你看一下喽，我们这里是不是有 x， 一 是等于二的 x， 二呢是等于 a 的， 咱们的定域是零到 a， 那 么这个 a 呢，他是肯定在定域上的，所以我们只需要讨论咱们的二是不是在定域上就可以了，对不对？所以说我们就直接展开讨论了。 如果说二了，他是小于咱们的 a 的， 他是被夹在零到 a 之间的，这是一种情况，如果说二他是等于 a 的， 那么这时候他就是两个相同的根了，对不对？然后第三种情况就是说我们的二是大于 a 的， 他就跑到定域的外边去了，所以说一共有这三种情况，我们再来看一下。第三步就是去看咱们根的左右分布， 如果说这两个根呐，他都是在定于上的，那么我们就要去看谁在左谁在右，你就会发现我们在第二步的时候已经去讨论过谁在左谁在右的，我们就不用去看第三步了。所以说我们继续来看到这三种情况哈， 我们先来看到第一种情况，如果说二是小于 a 的， 我们就去把分子的图给它画出来哈，它是开口向下的，然后呢，二是在左边， a 是 在右边，那么我们在零到 a 上，你会发现有负有正。所以说你可以说当咱们的 x 是 属于零到二时，此时 f q x 它是小于零的， x 属于二到 a 时， 此时呢咱们的 f x 它是大零的，那返回上一层，咱们的 f x 呢，它应该是在零到二上单调递减，二到 a 上单调递增的，那 那么我们的 f x， 它的最小值是为谁呢？是不是一定是为这个极值点 f 二了，对吧？所以说我们把 f 二给它带进去哈，就等于 e 的 平方分之四减 a 的， 那么这时候如果说它等于这个最小值一分之一，你就会解的，咱们的 a 呢，它是等于四减 e 的， 那么这时候你就会发现四减 e， 它明显是小于二的，而我们得到的是 a 是 大于二的，那么这时候它就矛盾了呀， 矛盾了之后嘞，我们就不用取它对不对？我们就舍掉它了。我们再来看一下，第二种情况下，如果说 a 是 等于二的，那么此时嘞，咱们再去换一下分子的图像，分子来是一样开口向下的，它整体上 f 撇 x 都是小于等于零的。 返回上一层，咱们 f x 嘞，它应该是在整个定域上都是单调递减的，那么此时 f x 它的最小值嘞，就是等于咱们的 fa 的， 对不对？因为它单调递减就在右端点处取得最小值，那么我们继续带进去哈，这是 e 的 a 层分之 a 的， 它要等于咱们的 e 分 之一嘞，那么一定是咱们的 a 是 等于一的，那 a 是 等于二的，又跟他矛盾了，所以说第二种情况也是要大胆舍掉的。我们再来看最后一种情况下，如果二是大于 a 的， 那么此时我们的二是在右边， a 是 在左边，你就会发现哈，我们零到 a 上都是负的，其实跟这种情况很像哈， 是负的情况下来，咱们 f 撇 x， 它都是小于等于零的，那么我们返回上一层，咱们 f x， 它在零到 a 上都是单调递减的，所以说 f x 它的最小值仍然是在右端点处取得，也就是 e 的 a 次方分之 a， 它是等于一分之一的解得，咱们的 a 呢，是等于一的， 那你看我满不满足 a 小 于二来满足的，所以只有这一种情况是成立的。那你最后就说综上，咱们的 a 来是等于一的。 ok 了，那你看第一 一题就结束了，那么我们再来说为更通用的。如果是普通型的含三函数，讨论单调性一定是三步走的。第一步去看它有无根哈，有无根呢，是通过咱们的 delta 大 于零是有两个相异根， delta 小 于等于零是没有根来实现的。而第二步来是去看我们求出来的两根，它是不是在题目给出的定义上的。有， 有些手是拧到 a， 有 些手呢是拧到咱们的正无穷上的。然后第三步呢，是你求出来这两个根，他在左和右的一个关系哈。这几个的讲义和扣题我全都整理好了，点击我的主页这里群聊。 我们再来看到第二个题型，这是咱们引名点，它是比较常考的一个高频的题型，也是固定题型的，我们不用去看第一问了哈，它是由一个单调区间，我们只用去看一下。第二问，就是当 a 大 于零时， f x 大 于等于二减 a， 这时候嘞，咱们的 a 是 一个参数，是一个数字来的，那 那么我要想使得 f x 的 所有值都大于等于二减 a， 只要使得 f x， 它的最小值大于等于零加，那我所有值就大于等于零加，对不对？所以说第二问转化成了去求 f x 本人在定义域上的最小值问题，那么它的定义域是什么嘞？ 出现了洛 x， 那 它的定义域就是零到正无穷上的最小值问题。那么我们对 f x 进行一个求导，求导之后呢，就会得到 a 方被的 x 加一，被的 e x 再减一，再减去一个 x 分 之一的，然后呢，你就会发现这两个可以合并哈， 合并成 x 分 之 x 加一的。哎，不得了，你就会发现我们是有相同的因式 x 加一的，所以说我们是可以把这个 x 加一给它提出来的哈。 在咱们导数做题过程中，一定要及时化简，求导一次就要化简一次，提取出来那些有效的成分，你后续做题才会更简单。那么就等于 a 方 e x 再减去一个 x 分 之一的，那我们来看一下这个式子哈， x 是 大于零的，那么 x 加一肯定是大于零的，所以 说 f 撇 x， 它的正负号只跟后面这坨式子有关。我们来看一下后面这坨式子哈，咱们 a 方 e x a 是 大于零的， a 方大于零，那么 a 方 e x 也大于零，而且它是单调递增的，而咱们 x 分 之一哈，它是单调递减的，所以说增减减，它是一个单调递增的，这是一个定律来的。那么 那我们继续来看一下，如果说 x 趋近于零时，那么此时 f 撇 x 趋近于多少嘞？这时候哈，这一 坨式子呢，是 a 方乘上一的零次方，也是趋近于 a 方的哈，那么这一坨式子呢，它是趋近于负无穷的，所以说减去一个正无穷，我们 f 撇 x 就 趋近于负无穷的哈， 而如果说 x， 它趋近于正无穷时嘞，此时 f 撇 x 趋近于多少嘞？这坨是趋近于正无穷，这坨趋近于正无穷，这坨趋近于零，我正无穷减去一个零，那么趋近于正无穷，整体上趋近于正无穷的，所以就会发现哈，我们的零点隐藏起来了，隐藏在了咱们零到正无穷之间哈， 所以你就可以说存在 x 零属于零到正无穷，使得咱们的 f 撇 x 零，它是等于零的。那 此时呢，我们可以把它关系式给它写出来，也就是满足这一坨式子等于零嘛，对吧？也就是 a 方 e 的 x 零，再减 x 零分之一，它是等于零的，也就是这一坨等于 x 零分之一的。然后呢，如果说你做过很多次以零点的题目，你还知道两边同时去取一个乱的对数， 你就会得到洛 a 方，再加上洛 e 的 x 零次方，也就是 x 零的，再等于一个洛 x 零分之一的。然后这时候呢，你可以写成是 x 零的负一次方哈，然后呢，这个负一拿出来，就是负的，洛 x 零的，就这个样子， 那么此时这个洛 a 方嘞，你可以把这个平方拿出来哈，就是二倍的洛 a 的 a， 咱们是代零的哈，那么我们就得到了这样两条关系式。 然后呢，我们再来回顾一下咱们 f 撇 x 它的图像哈，这个是 x 零，这里是负，这里是正的。然后呢，当咱们的 x 如果是属于零到 x 零时，此时 f 撇 x， 它就是小于零的， x 呢？属于 x 零到正无穷时，此时 f 撇 x， 它就应该是大于零的。那 那么我们返回上一层 f x 来，它就应该是在零到 x 零上单调递减， x 零到正无穷上单调递增的，对不对？那你看它的最小值出来没有，是不是就是咱们的 f x 零啊，对不对？所以说 f x 的 最小值就是 f x 零的，带进去看一下 a 方 x 零，然后呢， e x 零再减 x 零，再减一个洛 x 零的，那么这时候我们就要去用一下关系式了，你会发现这一坨柿子哈，你其实还可以写成是什么，你把 x 零给它乘过去，就是 a 方 x 零， e x 零等于一的， 所以说这一坨柿子水灵灵的，就直接变成一了哈，再减去一个 x 零，然后呢，这里的负洛 x 零，它是等于多少的？它是不是直接等于左边这一坨东西？这加上一个二倍的洛 a， 再减 加上一个 x 零的，所以加减它就直接消掉了 x 零哈，它就等于二倍的洛 a， 再加一个一等。所以你会发现感情好，我们最后算出来的这个最小值啊，它是指跟 a 有 关的一个参数式子哈， 它就会变得非常非常的简单。我们这时候呢，只需要说明，二倍洛 a 加一，它是大于等于二，减 a， 把咱们 a 的 取值范围给它解出来就可以了，也就是咱们的二倍洛 a， 再加一个 a， 再减一大于等于零，把它的取值范围给它解出来就 ok 了。我们不妨去另一个新函数，比方说 h a 含它是等于二倍的洛 a， 再加 a， 再减一个 e 的， 我们来求导看一下单调性来求导，就会等于 a 分 之二，再加一个 e 的， 那么此时我们的 a 是 大于零的，所以说 a 分 之二大于零，加一大于零，所以说它整体大于零，那么我们返回上一层，咱们 h a 呢，它就应该是在零到重无穷上都是单调递增的。 你再来看我肯定可以轻松的找到一个零点哈。假设说你把一带进去，二带进去，三带进去，基本上都可以出来答案了， h 一 带进去呢，这是二倍洛，一就是零的，再加上一减一就是零的，哎，他刚好就等于零，所以说零点找到了，咱们在左边是负，在右边是正的，那么你就会发现咱们的 a 呀，他就一定是大于等于一的，此时就满足了咱们的 h a， 他 是大于等于零的，对不对？所以说你就最后说综上，咱们的 a 是 大于等于一的。所以 说咱们引零点的问题就是，你在求导的过程中，你会发现哈，我们是穿过 x 轴的，但是具体的这个零点的值呢，你写不出来，你不知道他是一二三的， 你只能得到他的关系式，那么我们就带着这样的关系式来做题，得到最后的一个取值范围。那么如果说你听完了我这节课讲的十七十八级的导数大题，你就会在这些高考模拟题的导数题中如鱼得水。前十满分。 视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭北大解题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这边炫耀。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见。
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05:43查看AI文稿AI文稿一口气学完引零点问题，只需要默写三步结题程序就可以三十秒快速拿下导数答题十七分。 很多人问我引零点应该怎么做题哈，我就来三步走，带你做一下。第一步，首先你要去求导，判断这个导函数的单调性。 其次第二步，你要去判断这个导函数的零点到底在哪个区间里边，还有他对应的待换条件是怎么样的。 最后第三步来，你把这个代换条件呢？给他带回到原函数里面去，然后形成一个可以求值域的新函数，并且根据你在第二步里边求到哪个区间，然后最后呢，求出这个新函数的值域型问题哈，这就是三步走。 那么我们再来说一下隐名点指的是什么？指的是，哎，咱们隐藏起来喽，我是你大舅， 但是呢，你问我身份证号码，你问我名字，我不知道，所以说我只有我是你大舅这一个信息。这个待换条件来做题，那么我们直接来看到题目哈，首先第一个已知 f x 为这么多。第二问说当 a 等于一时，请你去证明这样一个东西， 首先哈，我们把 a 带进去， f x 就 为这么多。其次呢，我们去把这一个式子给它带进去整理一下，就会得到，我们真正要证明的是这样一个式子， 所以说我们再去另一个新函数哈，另一个 g x 为这么大一坨东西。好，现在我们摩拳擦掌的来试一下新程序哈。首先 step one 就是 我们要去求导，看一下导函数的单调性哈， 那么此时求导为这么多，你来观察一下，我这一个函数为单调增，这个函数为单调减，那么此时增减减，那么它整体上就是单调递增的。 你再来想一想哈，我有没有零点嘞？你看，当 x 趋近于零正时，此时 g、 p、 u x 趋近于多少，它就是趋近于一嘛，对吧？它呢，趋近于咱们的正无穷，减去一个正无穷，那就是负无穷呗，所以它是趋近于负无穷的。 而如果说 x， 它是呃，等于一时，直接算一下哈， g 撇一嘞，它是等于多少？呃， e 减一，它是大于零的， ok， 那 你就知道我往后面走，它是大于零的，对不对？所以我们就知道了哈，此时一定存在 x s 零哈，它是属于零到一之间的。 然后呢，它可以使得咱们的 g 撇 x 啊，它是等于零的。而且你还知道，如果说当 x 它是属于零到 x 零的情况下， 此时呢，咱们的导函数是不是小于零啊？而 x 属于 x 零到正无穷的情况下， g 撇 x 是 不是大于零啊？所以说，你返回上一层，咱们的 g x 呢，它应该是在零到 x 零上单调递减， x 零到正无穷上单调递增的。那么你想一下哈，我们要去证明 g x 大 于零，其实就是在证明什么？ 极正，咱们的 g x 的 最小值要大于零啊，对吧？而 g x 的 最小值我们已经知道了，极正，咱们的 g x 零是大于零的，因为它的函数图像是先减后增，所以最小值在 x 零处取得。 那么接下来我们就是要去看 g x 零，它到底为什么东西了，对不对？也就进入咱们的第二步。 第二步，刚才我们是不是得到了一个代换式，对不对？也就是咱们的 g x 零，它是等于零的，也就是说咱们 e x 零减 x 零分之一，它是等于零的。哎，别慌哈， 我们把这一坨写到右边，所以说我们得到了第一个待换式。那么其次第二步，你一定要想哈，我左边边如果同时取对数的话， 那么我会得到什么东西嘞？左边其实就会得到一个 x 零嘛，而右边也同时取一个对数哈， l n x 零分之一，这里取过来就是负 l n x 零的，所以呢，我们又会得到第二个待换的式子哈，也就是这么多的。 那么接下来嘞，我们还有它的什么？我们还有它的一个取值范围， x 零，它是属于零到一之间的。我们先粗略的放在这，我们看第三，问它需不需要我们再去细划哈？好，第三步的时候嘞，我们再去代入一下 g x 零， 此时呢，就等于 e 的 x 零减洛 x 零减二。好，现在开始摩拳擦掌的去代换了。咱们 e 的 x 零呢，它是等于 x 零分之一的，而负洛 x 零呢，它刚好一整体就等于左边的 x 零了。 所以你看这两个式子，我是不是可以直接用基本不等式啊，对吧？它是大于等于二倍，根号下 x 零乘上 x 零分之一减二的，也就是大于等于二减二，这里就是一哈二减二等于零的。 但是它的取等条件是什么？是不是当 x 零等于 x 零分之一时取等，也就是当 x 零等于一，所以说只能取 x 零等于一。 但是呢，我们刚才已经说明了， x 零它是属于零到一之间的，那么此时我们就是不可以取等的，所以在这呢，直接就是大于这一坨，而这一坨是等于零的，所以我们就得到了 g x 零，它就直接是大于零的。那你看这道题是不是已经得证了呀？ 那么我也整理好了我从第一期到第 n 期所有的导数讲义，非常的精华，包括了说端点效应，端点效应失效、即时演偏移、浪博同构引零点路彼达法则、泰勒展开式切割线放缩哈，非常的精华，大家一定要及时下载打印，点击我的主页，这里群聊就可以免费领取。 我还给前三十名每天添加到我的同学赠送一个一 v 一 的深度提问分析，看看你的数学到底是哪一个环节出了问题。我认为数学从来都不是天赋，而是执行程序。我是北亚桃，我们下期再见！
567北大糖的数学课
10:40查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！这是一道非常经典的高考导数压轴大题，想冲一百四十分，这道题的第一问必须三分钟内拿下。 这题真正考的不是你能不能硬算到底，而是你能不能一眼看出端点效应。已知函数 f x 等于 a 乘以 x 的 平方减去 a， x 减去 x 乘以以 e 为底 x 的 对数，并且 f x 大 于等于零横乘以第一问求 a 的 值， 第二问证明 f x 存在唯一的极大指点， x 零，并且 f x 零大于 e 的 负二次方，小于二的负二次方。咱们先用端点效应秒杀第一问，再通过引零点代换构造新函数，来突破第二问的极致范围。 先来看第一问，题目要求 f x 大 于等于零横成例。大家注意观察 f x 的 表达式，每一项都含有 x， 而且因为有对数函数定义域， x 肯定是严格大于零的， 所以我们毫不犹豫把 x 提出来， f x 就 变成了 x 乘以括号 a， x 减 a 减去以 e 为底 x 的 对数括号。既然 x 大 于零，那的部分必须大于等于零。 接下来，我们构造一个新函数，记作 g x 等于 a， x 减 a 减去以 e 为底 x 的 对数。现在的任务变成了，要让 g x 在 x 大 于零时永远大于等于零。 这里有个非常重要的技巧，大家看这个 g x 如果把 x 等于一带进去，会发生什么？ a 乘以一减 a， 刚好抵消了以 e 为底，一的对数是零，所以 g 一 刚好等于零。 这就意味着 g x 的 最小值最多只能是零，而且在 x 等于一的时候取到了这个最小值。既然 x 等于一是最小值点，那在这一点，它的导数必须等于零，这就是我们要找的突破口。我们对 g x 求导， ax 的 导数是 a， 常数 a 的 导数是零，以 e 为底， x 的 对数的导数是 x 分 之一，所以 g x 的 导数等于 a， 减去 x 分 之一，把 x 等于一带入导函数，得到 a 减一，因为它是最小值点，导数必须为零，所以 a 减一等于零，解得 a 等于一。 很多同学在这里会犯错，算出 a 等于一就直接写答案了。不行，端点效应算出来的只是必要条件，我们必须检验它是不是充分的。 把 a 等于一带回 g， x 的 导数，导函数就变成了一减去 x 分 之一。通分一下，分子是 x 减一，分母是 x。 你 看，当 x 在 零到一之间时，分子小于零，导数小于零，函数单调递减。当 x 大 于一时，分子大于零，导数大于零，函数单调递增。 所以 g x 确实在 x 等于一处取得最小值，最小值就是 g 一 等于零，完全符合题意，所以第一问的答案 a 就 等于一。 接下来看第二问，这步很关键，把 a 等于一，代入圆函数 f， x 就 等于 x 的 平方减， x 减去 x 乘以 x 以一为底， x 的 对数。题目问的是极大知识点，那肯定要先求到 我们来仔细算一下 f x 的 导数， x 的 平方导数是二， x 负， x 的 导数是负一，后面那一项是乘积。求导减去括号里 x 的 导数一乘以以一为底， x 的 对数，再加上 x 乘以以一为底， x 的 对数的导数 x 分 之一，也就是一。 把括号拆开，合并同类项，负一减去一，变成负二。所以 f x 的 导数整理后等于二， x 减二，减去以一为底 x 的 对数。 这个导函数看着还是有点复杂，咱们把它记作 h x， 要找极致点，就要看 h x 什么时候等于零，什么时候变号。我们对 h x 再求一次导 二， x 导数是二，负二导数是零。对数，导数是 x 分 之一，所以 h x 的 导数等于二，减去 x 分 之一通分得到分子是二， x 减一，分母是 x。 这个式子的正负太明显了，令它等于零， x 刚好等于二分之一。当 x 在 零到二分之一时，导数小于零， h x 单调递减。当 x 大 于二分之一时，导数大于零， h x 单调递增， 所以 h x 在 x 等于二分之一时取得最小值。我们算一下这个最小值。把二分之一带进去，等于二，乘以二分之一减二，再减去以一为底。二分之一的对数算出来是负一，加上以一为底二的对数，因为以一为底，二的对数不到一，所以这个最小值肯定是小于零的。 既然最小值小于零，而且函数先减后增，那它最多有两个零点，我来找找看。先看右边，大家对数字要敏感，把 x 等于一带入 h x， 二减二减零，刚好等于零，所以 x 等于一是它的一个零点。 再看左边，在零到二分之一这个区间，我们要找一个能让 h x 大 于零的点。题目要证明的范围里有个 e 的 负二次方，咱们不妨把它带进去试试。 把 x 等于 e 的 负二次方带入 h x， 第一项是二乘以 e 的 负二次方减二，减去以 e 为底 e 的 负二次方的倍数，最后这个倍数算出来就是负二。前面有个减号变成加二，所以负二和加二抵消了，结果就等于二乘以 e 的 负二次方， 指数函数的值永远大于零，所以这个结果大于零。这就说明，在 e 的 负二次方到二分之一之间，必定存在唯一的一个点，我们叫它 x 零，使得 h x 零等于零。这就是我们要找的极值点。为什么它是唯一的极大值点呢？大家理一下符号 在零到 x 零之间， h x， 也就是 f x 的 导数是大于零的，原函数递减。 在一到正无穷，导数又大于零，原函数递增。你看，先增再减后增，所以 x 零是唯一的极大值点，而 x 等于一是极小值点。前半部分证明完毕，接下来是最值钱的一步，证明极值的范围。 我们先把 x 零代入原函数 f x 零等于 x 零的平方，减 x 零，减去 x 零，乘以以一为底 x 零的对数。这里千万别硬算，利用引零点代换， 因为 x 零是倒数的根，所以二倍的 x 零减二，减去以一为底， x 零的对数等于零。一项得到以一为底 x 零的对数，就等于二倍的 x 零减二。 把这个对数整体替换掉，带回 f x 零式子就变成了 x 零的平方，减 x 零减去 x 零，乘以括号二倍的 x 零减二。 我们把括号展开，变成 x 零的平方，减 x 零，减去二倍的 x 零的平方，加上二倍的 x 零。合并同类项，最后竟然化简成了负的 x 零的平方，加上 x 零，提取个 x 零，就是 x 零，乘以括号一减去 x 零。 这个二次函数太漂亮了，开口向下，对称轴是 x 等于二分之一，我们前面正过 x 零是在 e 的 负二次方到二分之一之间的。 既然 x 零小于二分之一，那它一定在对称轴的左边。在这个区间里，函数是单调递增的，所以它一定小于把对称轴二分之一带进去的值。带入二分之一。负的四分之一，加上二分之一等于四分之一，也就是二的负二次方， 右边的小于号轻松拿下。那左边怎么处理呢？怎么证明它大于 e 的 负二次方呢？如果直接把下界 e 的 负二次方带入这个二次函数，你会发现算出来的结果比 e 的 负二次方要小。这条路走不通， 这里有个绝妙的技巧。我们再看刚才的替换条件，以 e 为底， x 零的对数等于二倍的 x 零减二。 根据对数的定义， x 零就等于 e 的 二倍的 x 零减二次方。我们把 f x 零表达式里的第一个 x 零换成这个指数形式， 那么 f x 零就等于 e 的 二倍的 x 零减二次方。再乘以括号一减去 x 零，把指数拆开，变成 e 的 负二次方，乘以 e 的 二倍的 x 形次方，再乘以括号一减去 x 零。 你看，目标 e 的 负二次方已经被我们剥离出来了。接下来，咱们只要证明剩下的那部分大于一，这道题就彻底做出来了。剩下的部分是什么呢？咱们构造一个新函数，记作大写的 m x 等于 e 的 二 x 次方，乘以括号一减 x。 我们要看它在 x 大 于零且小于二分之一十的单调性。对大写的 m x 求导，这里要用乘积求导法则，前导后不导等于二乘，以 e 的 二 x 次方乘以括号一减 x， 加上前不导后导，也就是 e 的 二 x 次方乘以负一。 咱们把共音式 e 的 二 x 次方提出来，括号里面就变成了二减去二 x， 再减去一，合并同类项，括号里刚好剩下一减去二 x。 大家注意看这里，因为我们的极值点 x 零是小于二分之一的，所以一减去二 x， 零肯定是大于零的。前面的指数部分 e 的 二 x 乘次方也永远大于零。 正数乘正数倒数大于零，这就说明大写的 mx 在 零到二分之一这个区间上是单调递增的。既然单调递增，那把 x 零带进去的值肯定严格大于把零带进去的值。 咱们算一下，把零带进去是多少？ e 的 零次方是一，一减零也是一，一乘一刚好等于一。也就是说，大写的 mx 零是严格大于一的。 现在咱们回到刚才那一步， f x 零等于 e 的 负二次方乘以大写的 mx 零。既然大写的 mx 零大于一，那整个结果就必定严格大于 e 的 负二次方乘以一，也就是 e 的 负二次方。到这里，左边的大于号也被我们完美拿下。第二问全部证明完毕， 第一问的答案 a 等于一，第二问的极致范围也顺利正完。这道题真正考验大家的就是面对复杂式子时的变形能力。 看到横乘力，先想端点效应，用必要条件去锁定参数，遇到极致点算不出来，千万别硬解，引零点代换是你的救命稻草。特别是最后这一步，通过对数定义，把 x 零变成指数形式，强行剥离出目标常数，这个技巧极其巧妙， 大家记住这个判断标准，即值范围正不出引零点后看互化。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f x 等于 x， 减一减去 a 乘以以 e 为底 x 的 对数，并且 f x 大 于等于零，横乘立求 a 的 值。这道题同样可以用端点效应来寻找突破口。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
49杨老师数学冲刺
04:46查看AI文稿AI文稿导数板块中有非常多的问题值得我们去研究，其中一类就是引点问题，那么今天主播为大家带来了两道引点问题的详细解读，以及其中的方法总结。我是农学数学小课堂，我们直接开始。 首先来看第一题，已知函数 f x 等于 x 加 a 的 x 次方减二 x， g x 等于 long x 加 a 减 x 加一。第一小问，若 f x 在 零到正无穷上递增， g x 小 于等于一，让我们求实数 a 的 值，那这就是常规操作处理。我们快速过一遍， 我们首先对 g x 求导，得到它的导函数，然后令它的导函数为零，求出它的极大值点，同时也是最大值点。然后我们代入它的最大值，要小于等于一，就可以推导出 a 是 小于等于一的。接着对于 f x， 我 们可以对它进行一个求导，然后令 x 趋近于零， 就会推导出 a 是 要大于等于一的。最后 a 既大于等于一，又要小于等于一，所以 a 只能等于一。那这里如果要更严谨的话，可以再把 a 等于一带回 f x 和 g x， 看它是否满足其中两个条件，那第一题就过完了。接着我们来看核心的第二问，让我们证明 f x 恒大于等于 g x 啊，这里的 a 是 属于任意的实数。那首先第一步呢，我们就要尝试去构造函数了，我们构造 f x 与 g x 的 差值函数，令为大 f x。 然后我们直接对 f x 进行一个求导处理， 接着我们发现它给已经是分解，分解成 x 加 a 加一，乘上 e 的 x 次方减 x 加 a 分 之一。那又由于呢 g x 有 loin， loin 里面的值要大于零， 所以 x 加一要大于零， x 大 于负 a， 那 么左式这个 x 加一加一就是大于一大于零的，所以我们要判断大 f x 的 单调性，我们只用去看右边这个式子就行了。 由于 e 的 x 次方减 x 加 a 分 之一，它是在负 a 到正无穷上是单增的，因为左边这个 e 的 x 次方是单增的，右边这个负的 x 加 a 分 之一也是单调递增的。并且呢， x 趋向于负 a 的 时候，它是负无穷， x 趋向于正无穷的时候，它又是正无穷，所以它只存在唯一的这个零点 x 零， 那这就是这个导函数的引点。我们把 x 零带进去，就得到 e 的 x 零次方等于 x 零加 a 分 之一。然后我们两边取个对数，就可以得到 x 零是等于负的 long x 零加 e 的。 那最后我们将引力点坐标带回原式进行消元化简处理。 我们由上面两个式子就可以把 e 的 x 零次方给化简成 x 零加 a 分 之一。然后再把负的绕引 x 零加 a 化简成 x 零。最后就可以得出 f x 零恰好是等于零的，那它最小值是等于零，那么就说明对任意的时数 a 恒有 f x 大 于等于 g x， 与此正比。 接着来看第二题，已知函数 f x 等于二分之一， x 方减 a 加二， b 的 x 加二， a b 绕 x， 其中 a 是 属于 r 的。 以小问让我们求 f x 在 区间一到二上的最大值， 那由于这里有个待定的参数 a， 所以 这里肯定要去分类讨论。那我们首先对 f x 进行求导处理，发现分子可以同时分解，分解成 x 减 a 乘上 x 减二，那么接下来就对 a 一 和二这三个数进行区间分类讨论。 由于后面的分类讨论是常规操作，这里我也给大家省去了步骤，直接给大家呈现最后的结果，那么第一小问就过完了。接着我们来看核心的第二小问 求证，当 a 等于二分之一的时候， f x 减二分之一， x 方加二分之七， x 小 于等于 x 乘上一的 x 加一次方减二，那这里很显然还是要去构造函数。我们构造 h x 等于右式减左式，又等于 x 乘上一的 x 加一次方减 x 减 long x 减二， 它要横大于等于零，那就说明它的最小值要大于等于零。接着我们对它进行求导，然后发现是可以因式分解的。那由于题中呢有 long x， 那 显然 x 是 要大于零的，所以左边这个 x 加一要大于零。 对 h x 的 单调性，我们只用去看右边这个式子就行了，那右边这个式子又显然是单调递增的。接着我们和第一题的第二问同理，也可以知道，它存在唯一的引力点 x 零，使得 e 的 x 零加一次方等于 x 零分之一。接着我们还是两边同时取对数，得了 x 零加一等于负的 l x 零， 最后我们再把它带回原式的 h x 零就可以得到，它是等于零的，那么所以 h x 就 大于等于零横成立，那与此正比。最后我们再来总结一下隐零点的核心步骤。第一步呢，就是我们直接去构造函数去求导，然后接着呢，看出隐零点，或者说通过因子分解的方式求出隐零点 对引零点得到的式子，我们两边取对数，当然有些情况也是引零点两边式子同时 e 的 x 次方，最后我们再将得到的两个式子或者多回的式子带回原式，整体代换消元，就可以求出 引零点对应的函数值的大小或者范围了。那么这就是本期视频的全部内容了，引零点问题你学会了吗？
509陈同学数学小课堂
01:27查看AI文稿AI文稿引零点代换中的降次代换就是把指数式降为一次式，一次式降为对数式。今天给同学们分享引零点的降次代换，我们来看这个题目。首先根据零点的定义，我们带入元函数解析式，就会得出 这样一个关于 x 零的等式。这个时候我们观察 x 零的二次项和它的指数项是呈在一起的， 所以我们等式两边同时除以 x 零。这里的关键就是要出现 x 零的一次和指数次，让它俩同时出现。下一步我们一向变形就可以得到等号， 左边是 x 零和它的指数的乘法结构，等号右侧是 x 零分之一和它的对数结构。我们进一步观察发现 对等式两边同时乘以一的平方之后，就会得到一个同构式。这个同构是我们简称，只对同构有的老师也称为朗博同构。对同构有不熟悉的同学请关注我们后面的学习内容。最后的关键一步，根据同构的知识，我们容易得到 要么是等式，左边的指数相对应，右边的对数项都可以。 最后我们可以也同时把得到的这两个等式化简，代入我们的所求代数式即可以得到。答案为二。
75孟老师讲数学课
05:01查看AI文稿AI文稿此处除以 x 等于 f p x 呢？对于 f p 进行求导， r r 沿 x 减去 x 加一，对后面求导 x 保持不变， r 除以 x 减一，整理一下，就是 r r x 减二， x 加三，这是 g x， 它对 g p x 在 r 除以 x 间 r， 因为要求 g x 它的区间，我们这根 r 提取出来， x e 减 x， 那 说明 g x 这个 g x 在 零到一，零到一是真，一到真无穷都是减的， 所以他的单调低贱奇珍就是领导政务，领导移政，移到政务穷。减 i x 零是他的极小事。 你要证明这个，那这个极小值就是满足这个它的导数。 f p 的 导数等于嘛？所以说这个极小值就是满足二 roe x 零减去二， x 零加三，这个满足等于它的极小值， 那我们再看一下， 那我们把它带入，因为我们要求的是 f x 零和 f x 零就等于 x 零乘以里面这一堆，里面这一堆我们二，然后 x 零用这个二 x 零减三来替换二 x 零减三，那就是二 x 零再减， x 零， x 零减二， g f x 零等于这个， 那这个函数明显是在 x 零减一的平方再减，也就说在零一 a d 减，那我们现在在讨论 x 零的范围在哪里？ 那我们刚才说 g x 在 零到一是正，那我们把 一的负一，一的负一带路，试一下，一的负一带路到 g x， 那 就是二乘以零一的负 n 一 减去二一的负一加三，它就等于 这个是变整负二或加三，一减去二一的负一，它这个明显是大于零的。那把一的负二再带入 r 绕，以一的负二减去二一的负二加三，那这个变成负四，变成负一减去二一的负二，那这个是小于零，那我们刚才 g x 零等于零，说明 x 零刚才一直说的在零到一是递增的，递增的，那它在 说明移的负二的时候是负的， 移的负二时候时，这个 g 的 这个是负的，然后移的负一的时候是正的，然后移 x 零是零，说明 x 零是介于移的负一 大于一的负二，错 in 的 负二交于一的负一，这个单号满足 g g 的 零，这个是满足 g 大 于零，这个满足 g 小 于零。而且 g x 在 零到一时，单调递增，这个还没超过一，一的负也还没超过一。单调递增这一周 x 零是介于这个区间， s 零在区间，脑门子到 f x 零在零到一是单调递减的，也就是说这个是一的负二，这个是 x 零，这个是一的负一， 那它又 f x， 你 又大于它，它当然就是我们把一的负一带入一的负一带入 f x 零这个里面，就变成一的负一乘以一的负一减二， 那就是一的负二减去二，一的负一就等于一的平方分之一减二一。所以说 f x 零 肯定是大于它的，因为这时候 f x 零 f x 是 单调递减在零到一底间的，它好在这个区间一的负一是它的最底点，是它，它。
23陪娃学高数
06:17查看AI文稿AI文稿我们今天主要讲解引零点问题，什么意思呢？就是一个函数的极致点啊， f p x 零等于零的话，这个 x 零我们是无法求解的，具体的数值不知道啊，我们带着这个所谓的未知数或者引零点进去解题。好，我们看这里的第一小问， 求切线方程，已知切点求切线方程啊，和过点求切线方程两种题型，大家用自己数一下，如果不知道的话可以私信我们。我们看这里的已知切点求切方程，那就简单多了，求导 把 f 撇一带进去，这里就是所谓的斜率，这个一七就是所谓的切点坐标，然后用点斜式方程，也就 y 减去七等于六倍的括号 x 减幺推出来的这个方程 点斜式求切减方程。完事我们在第二问，第二问，除了引点问题啊，还有其他的一个知识点是什么？我们来逐一讲解分析。 好，第一个就是关于这个 fpx 图像，因为我们要找零点嘛，我们是不是得求出 fpx 的 正负性， 也就对应的是 fx 的 单调性或者是单减？可以吧，但是这里如果你求导的话不太好求，这是其一。其二，我们要养成一眼瞪出函数的正负性。何为一眼瞪？ 这里一个非常明显的一个特征是什么？就是这个函数可以写成两个我们所熟悉的函数组合， 分别是什么函数来，我看出来，第一个是倍数函数小于 x， 还有一个是反比例函数，这里的反比例函数经过一个上下平移。什么意思？好，我们这样写，我把它移过来，是不是就变成了小于 x 等于 x 分 之八，减去 a 分 之一。 好，我现在画出 y 等于 lo in x 图像和 y 等于 x 分 之八。减 a 减一的图像，我把图像画出来之后，然后我再判断它们的函数值，谁大谁小就 ok 了。 好，那么接下来画出对数函数的图像。 lo x 的 图像还记得怎么画的呢？反面函数图像，也也就是它的系数是正数，然后往上平移了，大概是这样画的，为了区分，我用曲线画， 往上平移或者往下平移也无所谓啊，这里不影响往上平移一点点吧。不管怎么样，我们是不是提得出一个什么结论？它这里必有交点 x 零吧，而且 x 零必大于零，也就是在 x 轴正半轴的方向，它必有交点。因为反面函数图像它只是上下平移， 所以它还是被 y 轴明显的分割为左部分和右部分。那对数函数图像它是不是也在 y 轴的右半部分？所以它们的交点根据图像变化的趋势，一个是减，一个是增，它们的交点 b 在 x 轴的正半轴方向就在这，也就是 x 零。好，那么现在来看一下，第一个，我们是不是能得出来 x 零 是大于零的？这是第一。第二，这里的 f 撇 x 零是不是就等于零？还有个是什么，在 x 零的左侧，也就 x 小 于 x 零，我们想一下这个式子它是正数还是负的， 它肯定是真的呀，因为你这个指数函数是不是在 low x 的 上方，所以减 low x 必然是正数。 好， x 大 于 x 零，我们再看图像，也就是右半部分，右半部分。反比例函数图像是不是比这个对数要小呀？那你一个小的数减去一个大的数，你肯定是变成负数了，所以 f x 就是 负数， 那顺手啊，单调性也写上， f x 在 这边就是单调性， f x 在 这边就是单调。极好，我尝试再把 f x 的 图像换一下， 在 x 零的部分，左侧是单增，右侧是单减，那所以 f x 零必定是最大值 等于四，我们写上去啊，也就四等于八减 x 零乘以 loine x 加 a 喽。好，那我们再继续再看，另外一个密码也写上，这就是引零点问题的常见的处理方式，建立方程组解就行了。我们甚至还知道，这个 f 撇 x 也等于零啊，也就是负的 loine x 零加上 x 零分之八减去 a 减一等于零啊。 好，咱们现在再看一下，零 x 零加 a 是 不是就等于 x 零分之八减幺呀？对吧？不是求方程组的问题吗？零点问题必然有这个环节来代替其中的某个部分，从而求解，也就是我们会出现这个式子，四等于八减 x 零 乘以 x 零分之八减幺，求出来了啊，等于四， x 零等于十六， 求解就 ok 了啊。然后你想想，我们已经求出了 x 零了，那么求 a 的 值是不是就很好求了呀？说白了就是我们已经知道这个零点问题了，所以就很好求 好。 x 零等于四，那 a 不 就等于 e 减去老赢四了，直接带进去算就行了啊，你化不化解无所谓了啊。 ok， 我 们再来复习下这题。第一个题型就是零点问题，零点我们求出来的数值，但是我们可以知道它的大概范围，比方说这个范围是什么？偶在正数， 对吧？这是第一点的题型。第二个，我们所要掌握的技能是什么？第一个一眼瞪出它的单动性。何为一眼瞪？就是我们的明确看出来这个函数吗？ 他是有多个我们可以随手就能发出来的函数的焦点问题，这个焦点呢？我们就能辨别出他们谁减谁是正的，谁减谁是负的。这第一个技能，第二个技能我们会求方阵就完事了， ok， 剩下这个事情就水到渠成的事情了。
53数学与诗
01:04查看AI文稿AI文稿遇到这种题，别硬算，掏出引零点法轻松搞定它。 f x 大 于等于零横成立，说明它的最小值也大于等于零，要先想办法求出这个最小值。 不难看出，当 x 从右侧趋近于零或者趋近于正无穷大时，函数 f x 均趋近于正无穷大，因此，最小值在导出为零的点取得。对 f x 求导并令它等于零直接硬算是不可能的。设 x 零是唯一的极小支点。带入上面的式子， a 就 等于右边这一坨了。把 f x 零写出来，把上面的 a 带进去化简一下。根据视频开头的推导，这一坨也大于等于零。表达式略显复杂。我们不妨令 t 等于洛 n x 零 上面的不等式变成了下面这一串。 e 的 t 次方横大于零不等式就等价于右边这一串了。快速求出 t 的 取值范围。把 e 的 表达式也用 t 表示出来， 很容易看出这是一个增函数。根据上面 t 的 范围快速求出 a 的 范围。建议收藏，考试之前反复观看。
745乘数xM
04:09查看AI文稿AI文稿多少人在这道填空题上死磕方程？五分钟一个 x 也没解出来，时间全耗光，翻车就翻在没认出它是引零点的题，关注我避坑从这一道开始。 这是一道引零点整体代换的填空压轴题，咱先说说很多同学的真实经历，一拿到这种题就老老实实求导，导数等于零，往那一摆，开始死磕方程，算了五分钟一个 x 也没解出来，时间全耗光了，问题就出在没认出这是引零点的题。 记住特征， e 的 x 次方和 l n x 同时出现，求最值，零点解不出，这是命题人故意设计的，要的就是整体代换。 这边由欧文好像是让我在试的。对日罗账不是人，他们可是和宣读盖上台幕函数 f x 等于 x 乘 e 的 x 次方，减 x， 再减 l n x， 求最小值。 咱们这次专门带着不犯错的目标走一遍。每求导先来 x 乘 e 的 x 次方。乘积乘法求导 第一块 x 的 导数，一乘 e 的 x 次方是 e 的 x 次方。第二块 x 乘 e 的 x 次方的导数还是 e 的 x 次方加起来题共因式， e 的 x 次方乘 x 加一乘 e 的 x 次方。 第二项，负 x， 导数负一，第三项，负 l n x。 这里第一个易错点，有同学把 l n x 的 导数记成别的，记牢，就是 x 分 之一，带上符号是负 x 分 之一，于是 f p x 等于 x 加一乘 e 的 x 次方，减一减 x 分 之一。 提共音式，这步是关键，也是第二个易错点，要把后两项减一减 x 分 之一，通分成 x 分 之， x 加一，别只通一半，一写成 x 分 之， x 加上 x 分 之一，才是 x 分 之， x 加一，整体带负号， 这样导数是 x 加一乘一的 x 次方减 x 分 之。 x 加一前后共有 x 加一提出来得 x 加一乘括号 e 的 x 次方减 x 分 之一。 接着分析， x 大 于零， x 加一横正不为零，所以零点只能让括号为零，令 e 的 x 次方等于 x 分 之一。记根 x 零两边乘 x 零，得 x 零乘 e 的 x 零次方等于一。 第三个易错点来了，就是有人非要解 x 零等于多少，记住，这是超越方程，解不出，咱们只留这个等式，再取对数，拿第二关系， x 零乘 e 的 x 零次方等于一，两边取自然对数得 l n x 零加 x 零等于零。移项 l n x 零等于负 x 零。 第四个易错点，不少同学压根忘了取对数这一步，结果手里只有一个关系 fn 消不掉，做不下去，所以这步一定别落，最后整体代换第五个也是最坑的易错点在符号 f 在 x 零等于 x 零乘 e 的 x 零次方减 x 零减 l n x 零。第一项换成一。第三项减 l n x 零。注意， l n x 零等于负， x 零带进去是减负 x 零负负得正等于加 x 零，不是减 x 零。 很多人这里少算一个符号，把结果做成一减 x 零，减 x 零就错了，正确是一减 x 零加 x 零，后两项抵消等于一。 最终答案一，把判断标准和避坑要点一起收尾，判断 e 的 x 四方和 l n x 同时出现，求最值零点解不出就是引零点。整体代换 要点导数提供因式找引零点，别忘对引零点等式取对数，拿第二关系整体带回时盯紧符号，负负得正。核心是不解零点，用关系整体消元这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 给大家一道思考题。函数 s x 等于 x 乘 e 的 x 次方，加上 l， n， x， 再减去 x， 求它的最小值。 同样的方法，求导找引零点对等式取对数变形，整体代换，消掉超越项。记得盯住符号。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！
10:35查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！这是一道高考导数压轴大题里的关键问，想冲一百三十分以上，第一问必须两分钟内拿下，第二问才是拉开差距的重头戏。 这题第二问看着吓人，其实真正考的不是应求导，而是分离参数和引零点的巧妙结合，千万别一上来就死算。咱们先来看看题目，已知函数 f x 等于 e 的 x 次方减去 x 分 之以 e 为底 x 的 对数，再加上 x 分 之 a， 最后减去一。 第一问，如果在点一逗号 f 一 处的切线斜率为负一，求参数 a 的 值。第二问，如果 f x 大 于等于零，横成力求参数 a 的 取值范围。咱们的大方向很明确，第一问，直接用导数的几何意义。第二问，咱们先分离参数，再构造新函数，找最大值。 咱们先来解决第一问，这问是白给分，但很多同学在这里会犯错，容易把求导公式记混。题目说在横坐标为一处的切线斜率是负一，这说明什么？这就说明函数在 x 等于一这一点的导数值等于负一。 所以咱们现在的任务就是先把导函数求出来。接下来我们对 f x 求导，得到 f 撇 x 求导之后还是 e 的 x 次方。 第二项，减去 x 分 之以 e 为底 x 的 对数。这里有个非常重要的技巧，分式求导法则，也就是分子导乘分母，减去分子乘分母导，最后除以分母的平方。 具体怎么做呢？分子以 e 为底 x 的 对数求导是 x 分 之一乘以分母 x 的 导数一，就是减去以 e 为底 x 的 对数， 所以这一项求导后变成了 x 的 平方分之一，减去以 e 为底， x 的 对数前面有个减号，咱们先放着第三项，加上 x 分 之 a。 常数 a 提出来， x 分 之一求导是负的， x 的 平方分之一，所以这一项求导得到减去 x 的 平方分之 a。 最后一项常数负一求导就是零了。接下来我们把这几项拼起来整理一下，把后面两项合并。同类项分母都是 x 的 平方， 我们把负号放进分子里，原来的减去 x 的 平方分之一，减去以 e 为底， x 的 对数就变成了加上 x 的 平方分之以 e 为底， x 的 对数减去一， 然后再减去 x 的 平方分之 a。 合并之后， f 撇 x 就 等于 e 的 x 次方加上 x 的 平方分之以 e 为底， x 的 对数减去一，减去 a。 这部推导大家一定要自己算一遍，千万别算错符号 导函数求出来了，接下来我们要干什么？当然是把 x 等于一带入进去，建立方程，带入 x 等于一。第二项的分母一的平方是一 分子部分，以 e 为底一的对数等于零，所以分子剩下零减去一，减去 a， 也就是负一减去 a， 所以 f 撇一就等于一减去一，减去 a。 题目告诉我们这个切线斜率等于负一，所以我们让 e 减去一，减去 a 等于负一。 接下来我们解这个方程等式，左边有负一，右边也有负一，两边同时加上一负一就抵消了，左边就剩下 e， 减去 a 等于零。把负 a 移向到等式右边，就得到 a 等于 e。 你 看第一问是不是很轻松就拿下了，只要导数算对，这就是送分题。 接下来咱们看第二问，这是真正的拉分题。接下来咱们看第二问，这是真正的拉分题。接下来咱们看第二问，这是真正的拉分值范围。 面对横乘力问题，咱们脑子里立刻要跳出两个方向，要么直接求导找最值，要么分离参数。 你看这个式子 f x 里面只有一个单独的参数 a， 而且在分子的位置。这题真正值钱的地方不是硬导，而是果断选择分离参数，这样能把未知的 a 和已知的 x 彻底分开。 咱们先把不等式写出来， e 的 x 次方减去 x 分 之以 e 为底， x 的 对数加上 x 分 之， a 减去一大于等于零。 因为函数的定义域是 x 大 于零，所以我们可以把不等式两边同时乘以 x， 不 等号方向不变乘以 x 之后，不等式就变成了 x。 乘以 e 的 x 次方减去以 e 为底， x 的 对数加上 a 减去 x 大 于等于零。 接下来我们要做什么？为什么我们要把 a 孤立在等式的一边？这样就可以把问题转化为求另一边函数的最大值。具体怎么做呢？我们把除了 a 以外的所有项全部移向到不等式的右边， 左边留下 a 大 于等于右边变成了以 e 为底 x 的 对数加上 x 减去 x 乘以 e 的 x 次方。 咱们把不等式右边这个长长的新式子记作函数 g x。 那 么原问题就完美转化为了 要求 a 大 于等于 g x 的 横乘力。这里到底是在找上界还是找下界？既然 a 要大于等于 g x 里的每一个值，那 a 就 必须大于等于 g x 的 最大值，所以咱们现在的核心任务就是求出 g x 的 最大值。 怎么求 g x 的 最大值？老规矩求导，我们对 g x 求导，得到 g 撇 x。 第一项以 e 为底， x 的 对数求导是 x 分 之一。第二项 x 求导是一。第三项是减去 x 乘以 e 的 x 次方。这里要用乘积求导法则，前导乘后，加上前乘后导， x 求导是一乘以 e 的 x 次方，加上 x 乘以 e 的 x 次方的导数，也就是加上 x 乘以 e 的 x 次方。所以第三项求导的结果是减去括号 e 的 x 次方，加上 x 乘以 e 的 x 次方。 提取一个 e 的 x 次方出来，就是减去 e 的 x 次方，乘以括号 x 加一。我们把 g p x 的 前两项 x 分 之一加上一通分一下变成 x 分 之，括号 x 加一。 这时候你发现没有，前面有 x 加一，后面也有 x 加一。我们把共音式 x 加一，提取出来， g p x 就 等于 x 加一，乘以括号 x 分 之一，减去 e 的 x 次方。 为了看得更清楚，我们把括号里的 x 分 之一减去 e 的 x 次方。通分一下，把 x 分 之一写成 x 分 之一，减去 x 乘以 e 的 x 次方。所以 g p x 最终化简为 x 分 之 x 加一，乘以括号一减去 x 乘以 e 的 x 次方。 推导到这里，咱们停一下，看这个导数式子，我们要判断它的正负。因为定义域 x 是 大于零的，所以前面的部分 x 分 之 x 加一绝对是大于零的。那么 g p x 的 正负就完全取决于后面那个括号，也就是一减去 x 乘以 e 的 x 次方。 我们把这个关键的部分记作函数 h x 等于一，减去 x 乘以 e 的 x 次方。这个函数 h x 是 单调递减的，为什么？因为 x 大 于零， e 的 x 次方大于零，它们乘起来随着 x 增大越来越大， e 减去它肯定越来越小。 很多同学在这里会犯错，找不到零点就卡住了。这里有个非常重要的技巧，引零点代换。你看，当 x 等于一的时候， h 一 等于一，减去 e 是 小于零的，当 x 靠近零的时候， h x 是 大于零的。 那有没有哪个点能让 h x 等于零呢？我们让一减去 x 乘以 e 的 x 次方等于零，也就是 x 乘以 e 的 x 次方等于一。这时候咱们不要去硬解 x 到底是多少解不出来的。我们假设这个零点是 x 零， 只要知道存在这么一个 x 零，满足 x 零乘以 e 的 x 零次方等于一就足够了。而且我们还可以对这个等式，两边同时取以 e 为底的对数，左边取对数，变成以 e 为底 x 零的对数，加上 x 零，右边以 e 为底 x 零的对数等于负的 x 零。有了这个零点， x 零， g 撇 x 的 符号就明确了。 当 x 在 零到 x 零之间的时候， h x 大 于零，说明 g p x 大 于零。函数 g x 单调递增。 当 x 大 于 x 零的时候， h x 小 于零，说明 g p x 小 于零。函数 g x 单调递减。所以函数 g x 在 x 等于 x 零处取得最大值。接下来我们要做什么？我们要把 x 零代入圆函数 g x 中，算出这个最大值到底是多少。 我们把 x 零代入 g x 的 最大值，就等于以 e 为底 x 零的对数加上 x 零减去 x 零乘以 e 的 x 零次方。这个式子看着复杂，但咱们刚才手里握着两个隐藏条件啊。 第一个条件，以 e 为底 x 零的对数加上 x 零。刚才咱们算过，它等于零，所以前两项加起来直接消失了。 第二个条件， x 零乘以 e 的 x 零次方等于一。所以第三项就是减去一零，减去一等于负一。你看神奇不神奇？所有复杂的字母全抵消了 g x 的 最大值，就是一个干干净净的负一。 因为咱们前面说过， a 必须大于等于 g x 的 最大值，所以得到最终结论， a 大 于等于负一。 好，咱们来汇总一下这道题的答案。第一问求出 a 等于 e， 第二问求出 a 的 取值范围是大于等于负一，也就是负一到正无穷。这道题真正要防的是第二问的死算。遇到复杂的横乘利问题，分离参数是第一选择。 当你发现导数等于零的方程解不出来时，千万别慌，直接射出引零点，利用零点所在方程的两个变形条件，整体代入求最值。这也就是咱们常说的口诀，分离参数，找最值，引去零点，巧代换。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f x 等于 x 乘以 e 的 x 次方，减去 a 乘以以 e 为底 x 的 对数， 如果 f x 大 于等于零，横乘力求参数 a 的 最大值。这道题同样需要分离参数和引零点的技巧，你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
71杨老师秒解数学
10:39查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是一道非常经典的导数压轴大题，想冲一百三十分以上，这道题的第一问必须三分钟内拿下，第二问也要能看透它的伪装。 这题最容易踩坑的地方就是第二问。算极值的时候，很多同学会去硬解方程，结果死活解不出那个极值点，直接卡死。 咱们先来看题目，已知函数 f x 等于 a 乘以 x 的 平方减去 a x， 再减去 x 乘以 l n x。 并且题目给了一个横成立的条件， f x 永远大于等于零。第一问，求参数 a 的 值。第二问，证明 f x 存在唯一的极大值点，咱们叫它 x 零，并且要证明这个极大值 f x 零大于 e 的 负二次方，小于二的负二次方。 咱们的大方向很明确，第一问用端点效应来搞定。第二问，咱们得学会引零点代换，巧妙放松。 接下来咱们直接进入第一问，求参数 a。 你 看这个 f x 的 表达式，每一项都有一个 x， 而且对数函数的定义域要求 x 是 大于零的。 那我们第一步要做什么呢？肯定是把 x 提出来对不对？提取 x 之后， f x 就 变成了 x 乘以大括号，括号里面是 a x 减 a 减去 l n x。 题目说 f x 大 于等于零，横乘以，因为 x 已经大于等于零了，所以括号里面的部分必须永远大于等于零。 我们把括号里的部分设为一个新函数，叫它 g x， 也就是 g x 等于 a x 减 a 减去 leo n x。 现在的问题转化成了 g x 的 最小值必须大于等于零。 这里有个非常重要的技巧，大家注意观察 g x 的 长相。当你把 x 等于一带进去的时候，你会发现什么？ a 乘以一减去 a 正好抵消了，再减去 leo n 一 也是零，结果正好等于零， 这意味着什么？这意味着 g 一 等于零。既然 g x 永远大于等于零，而它在 x 等于一的时候恰好等于零，那 x 等于一必须是这个函数的最低点，也就是极小之点。 既然是极小之点，那在 x 等于一的数的导数必须等于零。很多同学在这里会犯错，算出导数等于零就直接写答案了。咱们得严谨，咱们来对 g x 求导， g x 的 导数等于 a， 减去 x 分 之一，把 x 等于一带入导函数，得到 a 减一等于零。所以算出来 a 等于一，算到这里结束了吗？千万别急，这个 a 等于一只是个必要条件，咱们必须把它带回去检验，看看它到底能不能保证 g x 永远大于等于零。 把 a 等于一带回导函数，导数变成了一减去 x 分 之一，通分一下，就是 x 分 之， x 减一。你看，当 x 在 零到一之间的时候，分子 x 减一是负的，导数小于零，函数单调递减。 当 x 大 于一的时候，分子是正的，导数大于零，函数单调递增。所以 g x 确实在 x 等于一的时候取得最小值，最小值就是 g 一 等于零。完美符合题，所以第一问的答案 a 就 等于一。 好，接下来咱们啃这道题最核心的第二问。既然第一问算出了 a 等于一，咱们先把 f x 重新写一遍， f x 等于 x 的 平方减去 x， 再减去 x， 乘以来往 x。 题目要找极大指点。那二话不说，咱们先对 f x 求导。这里求导一定要仔细，特别是后面那一项， x 乘以来往 x， 要用乘法求导法则。 f x 的 导数等于二， x 减一，再减去括号里一乘以零 x， 加上 x 乘以 x 分 之一，把括号拆开，合并同类项，最后导数化简出来，等于二， x 减二，减去零 x。 咱们把这个导函数设为 h x。 要找极大指点，就是要找 h x 等于零的根，并且还得是左边正右边负的根。这个 h x 等于零能直接解吗？显然解不出来，这叫超越方程。遇到超越方程怎么办？找单调性找零点。咱们对 h x 再求一次导， h x 的 导数等于二，减去 x 分 之一，通分一下，就是 x 分 之二， x 减一。很明显，当 x 等于二分之一的时候，导数等于零。 在零到二分之一这个区间，导数小于零， h x 是 单调递减的，在二分之一到正无穷这个区间，导数大于零， h x 是 单调递增的， 那 h x 的 最小值就是把 x 等于二分之一带进去，算出来等于负一，减去来文二分之一，也就是负一加上来文二。因为来文二是小于一的，所以这个最小值是个负数， 最小值是负的，两端会往上走，说明 h x 肯定有零点。注意，这里咱们随便带个数字试试，你会发现，把 x 等于一带进去， h 一 刚好等于二，减二减去蓝 v， 一 等于零。 既然 x 大 于二分之一的时候，函数递增，且 h 一 等于零，说明在二分之一的右边只有 x 等于一这一个零点，而在零到二分之一这个递减区间里，因为当 x 无限趋近于零的时候，蓝 y x 是 趋近于负无穷的，前面有个减号，所以 h x 趋近于正无穷， 从正无穷递减到负数，必然穿过一次 x 轴。所以在零到二分之一之间存在唯一的一个零点，咱们叫它 x 零。这就是题目说的那个极大指点。 为什么是极大指点？因为在 x 零的左边， h x 是 正的原函数， f x 递增。在 x 零的右边， h x 是 负的原函数， f x 递减。先增后减。当然是极大指点， 并且咱们锁定了 x 零的范围是在零到二分之一之间，这就证明了存在唯一的极大值点 x 零。接下来，咱们要把极大值 f x 零的范围给挣出来。 很多同学走到这里就蒙了， x 零都不知道是多少，怎么算 f x 零呢？这里有个非常重要的技巧，叫做引零点代换。 既然 x 零是 h x 的 零点，那就说明两倍的 x 零减二。减去小于 x 零等于零一个项，咱们就得到了一个关键等式，小于 x 零等于两倍的 x 零减二。咱们把这个等式直接代入到原函数 f x 零里面去，把讨厌的对数给消掉。 f x 零本来等于 x 零的平方，减去 x 零，再减去 x 零，乘以小于 x 零。把小于 x 零换成两倍的 x 零减二，原式就变成了 x 零的平方，减去 x 零，减去 x 零，乘以括号两倍的 x 零减二。 咱们把括号展开，合并同类项，最后神奇地化简成了一个二次函数等于负的 x 零的平方。加上 x 零， 为了看清楚它的范围，咱们配个方，它等于负的括号， x 零减二分之一的平方，再加上四分之一， 你看这不就豁然开朗了吗？因为咱们前面已经证明了， x 零是在零到二分之一之间的，在这个区间里，这个二次函数是单调递增的。所以当 x 零小于二分之一的时候， f x 零肯定严格小于把二分之一带进去的值，也就是小于四分之一。 四分之一不就是二的负二次方吗？右边这个上界二的负二次方咱们就轻轻松松挣完了。那左边这个下界 e 的 负二次方怎么挣呢？ 这步很关键，很多同学会去硬套二次函数的下界，发现根本套不出 e 的 负二次方。为什么？因为 x 零大于零这个条件太宽了，咱们得把 x 零的下界卡的更紧一点。 咱们回到刚才消掉对数的那个等式 sine， x 零等于两倍的 x 零减二。根据对数的定义，我们可以把它写成指数形式，也就是 x 零等于 e 的 两倍 x 零减两次方。把它拆开，就是 e 的 负二次方，乘以 e 的 两倍 x 零次方。 咱们要求的是 f x 零大于 e 的 负二次方。刚才化简过 f x 零等于负的 x 零，提取个共音式就是 x 零乘以括号一减去 x 零。 咱们把刚才得到的 x 零的指数表达带进去， f x 零就等于 e 的 负二次方，乘以 e 的 两倍 x 零次方，再乘以括号一减去 x 零。 你看这个式子前面已经有 e 的 负二次方了。那我们要证明整体大于 e 的 负二次方，是不是只需要证明后面那一坨，也就是 e 的 两倍 x 零次方，乘以括号一减去 x 零大于一就可以了。 把括号一减去 x 零除到右边去，我们要证的就是 e 的 两倍 x 零次方大于一减去 x 零分之一。这里咱们用一个大家非常熟悉的经典放缩，当 t 大 于零的时候， e 的 t 次方总是大于一加 t， 咱们把 t 换成两倍的 x 零。因为 x 零大于零，所以 e 的 两倍 x 零次方必然大于一加上两倍的 x 零。那一加上两倍的 x 零和我们要的一减去 x 零分之一，谁大谁小呢？咱们来做个差， 用一加上两倍的 x 零乘以一减去 x 零，展开得到一加上 x 零减去两倍的 x 零的平方， 提取个 x 零，就是一加上 x 零乘以括号一减去两倍的 x 零。因为 x 零是小于二分之一的，所以一减去两倍的 x 零必然大于一零，这就说明做差的结果大于一。也就是说，一加上两倍的 x 零是严格大于一减去 x 零分之一的。 连起来看， e 的 两倍 x 零次方大于一，加上两倍的 x 零又大于一减去 x 零分之一，所以 e 的 两倍 x 零次方乘以括号一减去 x 零绝对是大于一的。 把这个大于一的结论带回 f x 零的表达式，直接就得出了 f x 零严格大于一的负二次方。到这里，左右两边的边界咱们就全部拿下了。这道题完美解决， 咱们来总结一下第一问的答案， a 等于一，第二问也顺利证明完毕。这道题真正值钱的地方就是第二问。处理极致的时候，大家记住一个口诀，遇到超越方程找不出根，先定区间再代换。把对数换成多项式，再用经典放缩来卡边界， 不管多复杂的式子都能迎刃而解。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下，最后留一道同类思考题给大家。 已知函数 f x 等于 x， 减去 a 乘以 e 的 x 次方，再减去 x 的 平方，如果 f x 存在唯一的极大值点 x 零，并且 f x 零大于零，求参数 a 的 取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
44杨老师数学
04:31查看AI文稿AI文稿别被这个函数吓住，命题人根本没打算让你解除零点，他考的就是你认不认得引零点整体代换这条路，认得就是送分，认不得就是压轴。关注我这类陷阱以后你一眼识破 来，这是一道引零点整体代换的填空压轴题，我先讲个判断的小窍门，帮大家秒识题型。 你看，函数里如果同时占着 e 的 x 次方和 l n x 这两位，又让你求最值，那这道题的零点基本就是个解不出来的超越方程。命题人压根没打算让你解出 x， 他 要考的就是整体代换的功夫。所以别硬刚，咱要智取 导轨 a t 读题函数 f x 等于 x 乘 e 的 x 次方，减 x， 再减 l n x， 求它的最小值。整体路线，先求导题音式，找到引零点的两个关系，再整体带回，把超越项削干净，开干， 先求导，逐项处理。第一项， x 乘 e 的 x 次方是乘积形式，用乘法求导 x 的 导数， e 乘 e 的 x 次方等于 e 的 x 次方，加上 x 乘 e 的 x 次方的导数也是 e 的 x 次方。 两项合并，提出 e 的 x 次方写成 x 加一乘 e 的 x 次方。第二项，负 x 导数是负一。第三项，负 l n x。 由于 l n x 导数是 x 分 之一，这项就是负 x 分 之一， 所以 f 撇 x 等于 x 加一乘 e 的 x 次方减一，减 x 分 之一。 下面这一招是核心，把后两项减一和减 x 分 之一通分一，等于 x 分 之 x 加上 x 分 之一是 x 分 之， x 加一。整体前面是负号，导数，就成了 x 加一。乘 e 的 x 次方，减去 x 分 之 x 加一。 看出来没？前面那项有 x 加一，后面分子也有 x 加一，咱们把 x 加一提到外面， f 撇 x 等于 x 加一，乘以括号 e 的 x 次方减 x 分 之一。 为什么要费劲提这个音式？因为定义域 x 大 于零， x 加一这个因子始终为正，它不会让导数变零。这样一来，导数的正负完全由括号决定，找零点，只需让括号为零， 令 e 的 x 次方等于 x 分 之一。设这个根是 x 零。两边乘 x 零，得 x 零乘 e 的 x 零次方等于一。这是第一个条件，请大家务必管住手，别试图解出 x 零，这是个超越方程，解不出来，咱要的就是这个等式关系。 第二个条件，靠取对数获得对 x 零乘积的对数等于对数的和， 得 l n x 零加 l n e 的 x 零次方，后者就是 x 零。右边 l n e 是 零，于是 l n x 零加 x 零等于零。一项得 l n x 零等于负 x 零。取对数这一步是把 l n 请下台的唯一办法，谁忘了谁吃亏。 最后整体代换收网。 f 在 x 零等于 x 零乘 e 的 x 零次方减 x 零，减 l n x 零。第一项，一整块等于一换上去。第三项，减 l n x 零，因为 l n x 零等于负 x 零带进去就是减负 x 零，也就是加 x 零， 于是变成一减 x 零加 x 零，那个减 x 零加 x 零，彼此干掉，最后稳稳落在一。这里再敲一遍黑板符号是高发错误区。 l n x 零等于负 x 零。前面那个减号一作用，负负得正是加 x 零，不是减 x 零。别看错最小值。一、 给大家总结识别和处理两件事，识别求最值且 e 的 x 次方与 l n x 同框，求导零点解不出，这就是引零点整体代换 处理导数题，共因式定位引零点，把引零点等式两边取对数，得到第二个关系式，再整体带回原式，让超越象成对消失。一句口诀，零点不必算关系来代换。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后给一道思考题，函数 q x 等于 x 乘 e 的 x 次方减去二 x， 再加上 l n x， 求它的最小值。 方法，一脉相承，求导找引零点对等式，取对数变形，整体代换，把超越项消掉。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！
26杨老师秒解数学
10:34查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是一道非常经典的导数压轴大题，想冲一百四十分，这道题咱们必须彻底拿下。这题最容易掉进硬算极值的坑，其实真正考的是函数同构和引零点。来，咱们先看题目， 已知函数 f x 等于 e 的 x 次方减去 a 乘以 x 和函数 g x 等于 a 乘以 x 减去以 e 为底 x 的 对数。 这两个函数有相同的最小值，第一问求 a 的 值，第二问证明存在直线 y 等于 b， 它跟两条曲线 y 等于 f x 和 y 等于 g x 共有三个不同焦点，并且从左到右这三个焦点的横坐标乘等差竖列。 这道题看着条件不多，其实第一问考求导算极值，第二问考同构。找根的关系咱们一步步来拆解。 先来解决第一问，求 a 的 值。接下来我们要做什么？题目说两个函数有相同的最小值，那咱们肯定得先把这两个函数的最小值分别用 a 表示出来，然后再让它们相等。先看 f x， f x 等于 e 的 x 次方减去 a 乘以 x， 它的定义域是全体实数，咱们对它求到 f 撇 x 就 等于 e 的 x 次方减去 a。 这里有个非常重要的技巧，遇到参数 a， 第一反应必须是分类讨论。那么看这个导数 e 的 x 次方减去 a， 如果 a 小 于等于零，那 e 的 x 次方永远是正的数，导数 f 撇 x 就 永远大于零。 这意味着什么？意味着 f x 是 个单调递增函数，它根本就没有极小值，更别提最小值了，这显然不符合提议，所以咱们可以直接断定 a 必须严格大于零。很多同学在这里会犯错，忘了讨论 a 的 符号，直接往下算，这就丢分了。 好，既然 a 大 于零，咱们令导数 f x 等于零，也就是 e 的 x 次方减去 a 等于零。大家看，把 a 移到右边两边取对数，咱们就解出来 x 等于以 e 为底 a 的 对数。 接下来我们要判断单调性，当 x 小 于以 e 为底 a 的 对数时， e 的 x 次方就会小于 a， 导数 f 撇 x 就是 负的，说明函数在往下走，单调递减。当 x 大 于以 e 为底 a 的 对数时，导数就是正的，函数往上走单调递增， 所以 f x 在 x 等于以 e 为底 a 的 对数这里取到了最小值。我们把这个 x 也就是以 e 为底 a 的 对数带回到原函数里。 e 的 以 e 为底 a 的 对数次方就是 a， 再减去 a 乘以以 e 为底 a 的 对数，所以 f x 的 最小值就是 a， 减去 a 乘以以 e 为底 a 的 对数。好， f x 搞定了。接下来咱们同样的方法处理， g x g x 等于 a 乘以 x， 减去以 e 为底 x 的 对数。注意，这里因为有对数，所以定义域是 x 大 于零，对它求导 g 撇 x 等于 a， 减去 x 分 之一，同样令导数等于零，得到 a 等于 x 分 之一，解出来 x 等于 a 分 之一。 因为 a 大 于零，所以 a 分 之一肯定也在定义域里。咱们再看单调性，当 x 在 零到 a 分 之一之间的时候， x 分 之一就会大于 a， 导数 g 撇 x 是 负的，函数单调递减。当 x 大 于 a 分 之一的时候， x 分 之一小于 a， 导数是正的，函数，单调递增， 所以 g x 在 x 等于 a 分 之一的时候取得最小值。咱们把 a 分 之一代入圆函数， a 乘以 a 分 之一等于一，减去以 e 为底 a 分 之一的对数。 以一为底 a 分 之一的对数其实就是负的，以一为底 a 的 对数负负得正，所以 g x 的 最小值算出来就是一加上以一为底 a 的 对数。这步很关键。题目说两个函数的最小值相同，那我们就让这两个式子相等，也就是 a 减去 a 乘以以一为底， a 的 对数等于一，加上以一为底 a 的 对数。 我们把含有对数的项都移到右边，数字移到左边，左边就是 a 减一，右边提取公因式就变成了 a 加一这个整体乘以以 e 为底 a 的 对数。 大家观察一下这个方程， a 减一等于 a 加一，乘以以 e 为底 a 的 对数一眼就能看出来。如果 a 等于一，左边是一，减一是零，右边对数也是零，等式成立。 但很多同学算到这里就直接写答案了，这绝对不行，你得证明这是唯一解，怎么证？我们把 a 加一，除到左边，得到以 e 为底 a 的 对数等于 a 加一，分之 a 减一。 我们可以构造一个新函数，比如叫大 h， a 等于以 e 为底 a 的 对数减去 a 加一，分之 a 减一，对它求导，第一项导数是 a 分 之一，第二项用商的求导法则算出来，是 a 加一的平方分之二， 把它们通分，分母是 a 乘以 a 加一的平方。分子展开合并同类项之后，正好是 a 的 平方加一。因为 a 大 于零，所以这个导数永远大于零，这就意味着大 h。 a 是 个单调递增的函数，一个单调递增的函数最多只能穿过 x 轴一次，所以 a 等于一就是它唯一的零点。 第一问到这里才算完美拿满分， a 的 值就是一。接下来我们来看第二问，证明存在直线 y 等于 b 和两条曲线共有三个不同焦点，并且横坐标乘等差竖列。 既然第一问算出了 a 等于一，咱们先把它带入回去。现在 f x 等于 e 的 x 次方减去 x。 g x 等于 x， 减去以 e 为底 x 的 对数。 题目说，直线 y 等于 b 和这两条曲线共有三个焦点，你看一条水平直线去切两个函数，正常来说，每个函数可能有两个焦点，加起来应该有四个，现在只有三个，这说明什么？说明肯定有一个焦点是重合的， 也就是这两个函数在某个地方相交了，而且直线 y 等于 b， 刚好穿过它们的交点。这里有个非常重要的技巧，遇到同勾或者指数对数放一起，先找交点。我们令 f x 等于 g x， 也就是 e 的 x 次方减去 x 等于 x， 减去以 e 为底 x 的 对数。 一项整理一下，得到 e 的 x 次方，加上以 e 为底 x 的 对数等于二倍的 x。 这个方程有没有解呢？我们来找找。零界值。 把 x 等于二分之一带进去，左边是根号 e 减去以 e 为底二的对数，算出来大概是一点六，减去零点七，差不多是零点九，而右边是二，乘以二分之一等于一，左边小于右边， 再把 x 等于一带进去，左边是 e， 加上零，大概是二点七，右边是二，左边大于右边。所以根据零点定律，在二分之一到一之间肯定存在一个数，我们叫它 x 零，使得这个等式成立。这个 x 零就是两条曲线的交点横坐标， 那我们就可以让这条直线的高度 b 就 等于 f x 零。这样一来，直线 y 等于 b， 就 一定会经过这个公共焦点。接下来我们来找另外两个焦点， 直线 y 等于 b 和 f x 交于两点，一个是 x 零，因为 x 零大于零，所以它在 y 轴右边，那另一个焦点肯定在 y 轴左边，我们叫它 x 一。 x 一 是个负数，满足什么条件呢？满足 e 的 x 一 次方，减去 x 一 等于 b。 再看直线和 g x 的 焦点，同样有一个是 x 零，另一个焦点在 x 零右边，我们叫它 x 二。 x 二是大于一的， 满足什么条件呢？满足 x 二，减去以一为底， x 二的对数等于 b。 现在三个焦点的横坐标找到了，从小到大分别是 x 一、 x 零、 x 二， 怎么证明它们成等差竖列，其实就是要证明 x 一 加上 x 二等于二倍的 x 零。这步是全体最精彩的地方。咱们观察一下刚才得到的两个式子， 一个是 x 二，减去以 e 为底， x 二的对数等于 b。 我 们换个写法，令 x 二等于 e 的 梯次方，那么以 e 为底， x 二的倍数就是 t 带进去，式子就变成了 e 的 梯次方，减去 t 等于 b。 大家看出来没有，这个结构跟 f x 等于 b 一 模一样，也就是说 t 其实就是方程， e 的 x 次方减去 x 等于 b 的 解。 这个方程有哪几个解？前面说了只有两个解，一个是负数 x 一， 一个是正数 x 零。因为 x 二大于一，所以 t， 也就是以 e 为底 x 二的对数肯定是个正数。 既然是正数，那 t 就 只能等于 x 零，所以以 e 为底 x 二的对数等于 x 零。反过来写就是 x 二等于 e 的 x 零次方。 我们把 x 二用 x 零表示出来了，那乘一呢？刚才我们知道，交点 x 零满足那个公共方程， e 的 x 零次方，加上以 e 为底 x 零的对数，等于二倍的 x 零。我们把 e 的 x 零次方移到右边，就得到以 e 为底 x 零的对数等于二倍的 x 零，减去 e 的 x 零次方。 我们来验证一下，如果把 x 一 猜成是以 e 为底 x 零的对数，它满不满足 f x 等于 b 呢？把以 e 为底 x 零的对数代入 f x， 变成 e 的 以 e 为底 x 零的对数次方，也就是 x 零，再减去以 e 为底 x 零的对数，这不正好就是 g x 零，也就是 b 吗？ 而且因为 x 零小于一，所以以 e 为底 x 零的对数是个负数，刚好符合 x 一 是负根的条件，所以 x 一 就等于以 e 为底 x 零的对数。 现在真相大白了，我们要证的 x 一 加上 x 二，就等于以 e 为底 x 零的对数，加上 e 的 x 零次方。 根据我们找焦点时列出的那个公共方程， e 的 x 零次方加上以 e 为底 x 零的对数，完美等于二倍的 x 零。所以 x 一 加上 x 二等于二倍的 x 零。这三个横坐标确确实实构成了等差竖列。第二问证明完毕。 这道题就讲到这里，第一问的答案是 a 等于一。第二问，我们通过寻找公共焦点，完美证明了等差关系。 最后给大家总结一个判断标准，遇到这种指数对数混合，又问多个焦点关系的题目，不要去硬算焦点到底是多少。先找同构特征，把一个方程的根转化成另一个方程的根，利用引零点的公共方程去替换，选项自然就出来了，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f x 等于 x 乘以 e 的 x 次方和 g， x 等于 a 乘以 x， 加上以 e 为底 x 的 对数， 如果他们有两条公共切线，求实数 a 的 取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
90杨老师数学提分
12:38查看AI文稿AI文稿同学们大家好啊，今天讲一下引零点的问题，然后引零点是什么？我先说一下，他既有引零点，那就有对应的是显零点，对吧？什么叫显零点 对不对？他有一个引零点，就一定会有显零点，那你老师显零点是什么？比如说 f x 等于 x 减一对不对？他的零点是不是你当然一眼就可以看出来 x 减一对不对？他的零点是不是你当然一眼就可以看出来 x 是 一不 对吧？这就是显零点。那你老师什么叫引零点呢？你比如说我给你举个例子，也就是说， 哎，我先写上啊，这个地方 f x 如果等于，你先看一下啊， e 的 x 次方减去 x 再减去二， 明白了吧？那所以说你知道它的零点是几？ f 零是不是一减二 等于负一坏了，他不是零点，你带零不是零点，你带其他的数，基本上你都带不出来了。 为什么？因为他有 e 啊，你带一二三四，他这里边是不是都带着 e 呢？ e 和谁都抵消不掉，所以说这就是引零点。那你老师我怎么判断他的引零点的思路呢？就是你先干嘛单调性？ 先判断它的单调性，那你这个地方它的单调性是这样往上增的，你在这边找出来一个负数，在这边找出来一个正数，那它中间一定会存在一个引点，只不过这个零点你是解不出来的。 明白我的意思了吧？你解不出来，所以说这个零点你是虚设的。所以说第一步我们虚设零点，你就设而不求， 理解我的思路了吧，视而不求，然后我视而不求之后，这个 x 零是不是还是这个函数的零点？ 所以说 x 零是不是满足 f x 零等于零吧，对不对？也就是它满足 f x 零等于零，它满足这个式子，最终你要整体代换， 就是这么两步操作。所以说我们在做题的时候，如果你遇到了零点，你第一步就是虚设零点，适而不求，然后第二步整体代换。今年二零二六年的高考题就是这么考的，尤其是这一问， 对吧？第二、第二问说错了。第三问里边的这个题就是考察的引零点的思路，所以说我把把引零点的思路好好讲一讲，好好听一听。来，我们先看啊，从第一问就开始做一做吧。第一问，我们也做一做。好吧，我们先看一下啊。第一问， 你看啊， f x 单调区间 f x 等于 e 的 x 四方减去 a 吧，然后定义域 x 是 不是属于 r 的， 明白吧？那牛老师，我求完导之后，我是不是先去看导函数的正负？我先去观察，先去观察。你先去观察什么？先观察它是不是恒成立的时候，或者恒正，或者恒负， 因为 e 的 x 次次方是不是恒大于零了？那牛老师，如果 a 是 负数，那么负 a 肯定是个正数了吧， 对不对？那所以说第一种情况就是当 a 小 于等于零的时候，这个时候 f x 倒永远大于等于零，则这个 f x 在 x 属于 r 上永远是恒增的。然后再看第二步， 就是当 a 大 于零时，当 a 大 零的时候，他是不是恒增的，对不对？那他是不是正数？这个数是不是减去一个数，那当然有正有负了。所以说你此时令 f x 倒等于零得， 这是不是个显零点啊？你可以解出来 e 的 x 四方减 a 等于零， e 的 x 四方是不是 a 喽？所以说 x 是 不是小于 a 啊？因此这个地方 x 等于小于 a， 但是你老师导函数的草图你是不是也能画出来？因为它是恒增的， 对不对？这就是 f x 导的草图，这个位置是几啊？这个地方是不是 x 等于 a 喽，对吧？所以说 f x 在 负无穷到 l a a 上是减的，以及 l a a 到正无穷上单调递增，对吧？你在解这个题的过程当中，你让它等于零吧，这不就是你解的显零点吗？ 然后第二问就立刻变成了隐零点了，来看一下啊，来， ok， 来，我们看一下第二问的处理思路。第二问， 他说什么呢？他说当 a 等于一的时候，当 a 等于一的时候， f x 倒是几了，是不？ e 的 x 次方减去一啊，对吧？他说当 x 大 于零的时候，都有它成立，这是不是横成立问题， 对不对？ k 是 整数，且当 x 大 零的时候都有这个式子，大于零，横成立。那我们看到横成立，是不是手想参面分离？你应该把参面分离分开，也就是说 x 减去个 k， 括起来，去乘以 e 的 x 次方减去一，不大于负的括起来， x 加一。也就是说我需要把它除过去了，除过去的时候 不等号方向变不变啊，对不对？它变不变，因为 x 是 大于零的，它这个数是不是大于一的？减一大于零，这是个正数，除过去的时候不等号的方向是不变的，明白了吧？它是 x 大 于零，你写上啊，这个位置是 x 大 于零， 所以说你的 x 减去个 k， 它是大于负的 x 加一，比上 e 的 x 次方减一的，所以说这个 k 是 不是就要怎么着了？小于吧， x 加上， 这是 e 的 x 次方减去一分之 x 加一，那么我是不是要求它的最什么值？是不是最小值 大于 k？ 不， 所以说我另一个新的函数令 g x 等于。看一下啊， x 加上，这是不是 e 的 x 次方减一分之 x 加一，不， 所以说我要求他的最小值。求导，求最小值。 g x 导。我求完导化简完之后是什么呢？我直接写了啊，求完导之后，化简完之后是 e 的 x 减 e 的 平方分之，这个位置应该是 e 的 x 次方去乘以什么？ e 的 x 减去 x， 再减去二。明白了，再减去二啊。所以说我把它写完了。你说老师，写完了之后，导函数的正负是不是完全由它来决定，对吧？ 导函数正负是不是完全由它来决定？完全由它来决定。你看一下啊，这个位置 他是不是以零点，你会画他的图像吗？ no， 你 不会，你能解出来吗？你让 x 等于零的时候，是不是一减零再减二？他可不等于零啊。坏了。所以说你要重新构造一个新的函数， 明白我意思了吧？说，再令 h x 等于 e 的 x 次方减 x 再减二。听懂了，当然了， x 是 大于零的哦， x 大 零。所以说在这个时候 我再来一个 h x 倒等于几啊？是不是 e 的 x 次方减一，因为 x 大 零，所以它是正的，对不对？所以说 h x 在 哪里？在零到正无穷上 单调递增，单调递增了。那女老师， h x 图像是不是这么画对不对？这就是 h x 的 图像，那 h x 是 谁啊？ 对不对？ h x 是 不是 g x 导的分子图？不对？不对，它就等于 g x 导的 分子， g x 的 分子是不是决定 g x 导的正负，明白了吧？它是这样子的，那所以说这个位置我先带一下 g h 零吧， 对不对？ h 零是几？带进去？ h 零的话，是不是一的零？次方减零减二等于一减二，负一不等于负一，所以说零在这个位置，然后呢？又因为 h 一， 你先把 h 一 带进去， h 一 的话在这呢， 是不是？一减一减二，一减三吧，对不对？一减三是复数，然后再加一下 h 二呢？ h 二你看一下啊，一方减四，一方减四，大于零了吧，对不对？他是一方减去四是大于零的， 对不对？那所以说这个地方是个一，这个位置是个二，不，因此他这个地方会有一个零点， 对吧？他是单增的，在这里有一个负数，在这里有一个正数，中间一定会存在一个零点六。所以说你写上非常重要的一句话，这句话人家月角老头在那盯着呢，你必须要写上啊，有 零点存在性定力，对不对？可得这个地方 h x 在 x 属于零到正无穷上 存在一个零点。 x 零，这一步叫什么？这一步叫虚设零点， 听懂我意思了吧？这一步是你虚设的零点，就说白了就是事而不求那一部分，事而不求，然后你在干嘛呢？ 整体代换，对不对？再来一步，整体代换，你怎么去操作啊？看着啊，也就是说在这个地方 x 零还满足什么呢？你先看啊， x 零满足是不是 h x 零的根吧， 对不对？也就是说满足 h x 零等于零， h x 零你给带进去，你看着啊， h x 零就在这呢，先看啊，等于 e 的 x 零次方 减去 x 零，再减去二，等于零，所以说这个地方是不是一的 x 零次方等于 x 零再加二吧， 没错吧？ x 零加二，所以说在这过程当中，你的 g x 的 单调性是不是就出来了，对不对？所以说 g x 在 零到 x 零上是减的，以及 x 零到正无穷上是增的，所以说 g x 的 最小值是不是出来了？你是不是要求它的最小值？你是不是要求它的最小值？最小值出来了，最小值的话，应该是等于 x 零再加上 x 零加一，比上 e 的 x 零减一，整体代换的时候到了， 明白吧？慢下来，你把一 x 零给他换掉，他是不是等于 x 零加二，再减一下边是不是 x 零加一，对不对？他等于 x 零加上 x 零加一，比上个 x 零加一，他是不是就等于 x 零加一？不， 又因为 x 零是不是在一到二之间？你要把这个零点的范围卡的稍微精确一些，所以说先看啊，所以这个 g x 的 迷你最小值是不是属于 x 零加一，二到三之间吧，二到三吧，对不对？所以说它是不是属于二到三之间。那么 k 是 整数，你说 k 的 最大值是几？假如说这个数取二点五， k 是 整数， k 的 最大值是不是二， 没错吧，所以说 k 的 最大值就是二了，这就是零点，明白了吧？这就是零点，这就是虚设零点整体代换的思路啊，比较简单。所以说呢，他也比较的。怎么说呢？比较繁琐 啊，就是你把这些题从头到尾的顺一遍就可以了啊。 ok， 我 们今天讲这些，拜拜。
149北京高中数学
01:13查看AI文稿AI文稿问问他老师啊，什么叫引零点编辑效应？每个周日的晚间呢，我都留一道大题， 我上周日留的那道和笔公式的大题，居然没有一个人能做出来，哎，我就不明白了啊，我粉丝里边有一千多个老师，你们都是来蹭知识点的吗？ 评论区啊，都是要解析的，就没有一个人赛题的，你说何必，这么好的方法，怎么就不能试吧试吧吗？ 我今天啊，再留一道大题啊，这道题的核心解决方案是引零点编辑效应， 你们老师都教引零点了吧，也教引零点代化了吧。你们把这道题给他，问问他老师啊，什么叫引零点编辑效应？就这个知识点啊，你全网随便搜，看看有没有哪个老师能教明白 这道题啊，能做出来的请晒到评论区大家交流。想看我解析的同学啊，请评论区留言。编辑加省份名还是那个原则啊，只要评论不要钱。
17:27查看AI文稿AI文稿好，今天我们通过一道不算很麻烦的题目，来讲解一下导数中经常用到的两个证明不等式的方法， 一个是放缩法，另一个呢是引零点问题。当然引零点呢，不只是处理这个不等式的证明啊，其他题型里面也有。下面我们具体看这个题目。 首先第一问，我们要讨论单调性本身，第一问呢，不是很简单，我们一起来分析一下，那么讨论单调性直接求懂， 那它是 x 分 之一减去 x， 方分之 a 减去二，然后一。一般遇到这种分式呢，我们都是把它通分， 通分以后，我们发现这个二次项系数是负的，所以我们可以考虑提前把负号提出来，那这样的话，上面就是二 x 方 啊，然后那这个地方本来是加 x 变成减 x， 然后呢，这里本来是减 a 就 变成了啊加 a。 好， 提出来以后，那我们直接看， 对于它这个导数的正负来说，下面负 x 方已经确定是负的，那么所以主要看上面这个函数，那我们令 g x 等于二， x 方减 x 减一加一， 那么这个地方呢，因为前面没法看出它这个地方可以横省横负，所以呢，对这个题来说，我们一般从它有没有跟这个角度来考虑， 那所以第一种情况，先考虑当第二特啊，小于零或等于零时进 啊， b 方减 c， c 求得哪里？然后这时候我们可以求得 啊， a 是 大于等于八分之一的， 所以在这时候呢，它是小于等于零，那也就是说这个二次函数是恒大于等于零的啊， g x 啊，所以这时候 g x 是 恒大于等于零，那也就是 f x 呢，是小于等于零横乘以的， 那这时候呢，所以这个 f x 在 这个定域内啊，在零到中无穷上， 它就是单调递减了。好，这种情况还是比较简单，那然后呢，我们再考虑 delta 大 于零大于零呢，其实不用减了， 那就是当刚才它的补集小于八分之一，小于八分之一，因为 a 大 于零，所以直接讨论，当 a 大 于零，小于八分之一时 啊，这时候我们知道这个 s 函数大于零，有两个根，那么这两个根呢，我们可以求出来 啊， g x 两个零点函数来说，就零点， 那是谁呢？一个是 x 一 等于，那因为就是四， a 分 之， 那就是八分之负 b 啊，负 b， 因为 b 是 二， a 分 之啊，这地方写错了，所以是四分之啊。四分之负 b 就是 一加减根号下减根号下一减八 a， 那另一个呢，就是四分之一减加根号下一减八啊。对了，那然后我们利用图示来分析一下的话啊，这个地方注意一下， 如果不不确定你写的单调性单调曲线，那我们可以考虑一下啊，那你像这个抛物线，因为它开口向上有这两个焦点， x 一 x 二，所以呢，那它的单调性就可以从 x 一 x 二作为分解点，当然前提是这两个分解点啊，都是大于零的。那当然我们看到这里， 因为 a 大 于等于八分之一八， a 呢，就是大于等于一的，那它大于等于一，这是负的。那在这种情况下呢，如果 a 大 于零，小于八分之一，那我们知道 这个一减八， a 肯定是个大于零的数啊，但是呢，我们看它肯定大于零小于一，所以一减，它是个 不光是大于零，是还是小于一，所以可以知道开方以后肯定小于一，所以判断这两个根都是大于零啊，那因此呢，对它来说就是这种情况， 那当然，我们不要忘了，原来还有负 x 方有符号，所以呢，我们就可以确定 它是单调虚线啊。我们看在 x 一 到 x 二之间，所以在 x 一 到 x 二上， 那么这个 g x 是 小于零，那么 f 导呢，就是大于零啊，所以呢，这时候 f x 就是 单调递增的， 那么在另外两个区间上，呃，零到 x 一 和 x 二到正无穷上，那么它们都是单调递减的啊，这样第一问就解决了。 好，我们再看第二问。第二问呢，首先要证明的这个式子，我们先把它化简一下，记正啊， 化简一下呢， f x 里边有 x 分 之 a 也有啊，这个地方除以以后分离以后也有减 x， 所以呢，这个地方就成了 e x 啊，加上 x， a 分 之 a 的 效， x 分 之负二， x 成了负的二， x 也抵消，然后就是减二，那这个地方直接写减二啊，大于零 x 就是 证明这个是，那这个形式还是比较简洁， 那首先它一个比较简单的乘法，就前面我们也讲过，如果既出现了指数函数，又出现了对数函数，我们可以考虑用放缩啊，那放缩一般用的是它呢， 那当然就是考虑 e x 啊，大于等于 x 加一，同时劳力 x 也可以放，是小于等于 x 减一，那当然这两个式子呢，需证明， 那当然证明呢，很简单，前面我们都写过啊，那所以呢，对于这个题来说，我们来看，把它放一下，那左边 根据 e x 大 于等于 x 就 大于等于 x 减一，那所以正好 比右边啊，大于右边直接就正数，那当然 x 减一呢，也是大于等于，但是呢，这两个等号，我们发现这个取等号的条件是 x 等于零，它取等号的条件呢， 是 x 等于一，所以两个等号不能同时乘啊，所以那这个地方就是左边大于右边啊。 所以那这个题如果用放缩的话，是非常好的一个方法啊，那这就是我们今天要说的第一个方法，放缩法， 也是在这个地方，大家遇到这种题的时候，是手手首选的方法，看看你用快速的验证还行不行？ 我们再看第二个方法，第二个方法干什么呢？就用普通的方法啊，我们用普通方法的话，那就是构造函数，是吧？我们直接令 h x 等于 ex 减 l， x 减二， 那只要证明它大于零就行，那证明它大于零，那就是求导，所以 h 到 x 等于 e x 减 x 分 之一。 好，那对于这个函数来说，我们也没法判断它大于零还是小于零，或者说我们也想解啊，它什么时候大于零，这个车也不能试，是没法解，那所以在这个地方呢，我们一般通常采用再求导， 再求导以后呢， e x 加上 x 方分之一，那这个我们就发现它是恒大于零的， 那也就是说这个 h 到 x 是 单调递增的，那我们借助一个图来啊，参考一下 啊，以前讲题我们说过，如果它是一个横位递增的，那我们就要考察它是恒大啊，恒恒大 x 轴上方是吧？还是穿过 x 轴。 那么像这种问题呢，我们就可以通过分析啊，那根据它的定义域是 x 大 于零，所以我们首先试一下 h 一， 因为 h 一 是带进去是多少呢？ 好，当然我看这导函数 h 导一带到这里是 e 减一是大于零 啊，那所以也就说一就在这边，所以呢，它有没有可能有个负的呢？那我们就考察这边，那当然我们没法取零了，取零的话你得通过趋势分析， 那所以呢，我们比如说可以取个二分之一，那它就等于根 e 减啊， line 二分之一 啊，不是减零二分之一，在这个啊，写错减去二，同学们知道根一肯定要比二小，所以这个是小于零，那也就是说二分之一应该在这个小于零，那所以呢，它就是这个图形， 那但是这时候呢，这个导函数等于零的点，我们不知道是谁，那所以我们可以设它为 x 零， 那这就是我们为了下一步进一步的研究啊，这个 h x 在 哪一段范围内递增递减，方便求对值而设上的一个零点，那我们把这个东西呢，就称为引零点 啊，所以呢，这个引零点问题就是解决什么呢？解决啊，我们没法判断的啊，特殊的零点， 我们只能判断它在某个区间内，但是为了后续解题的方便呢，我们要把它设出来，那所以一般这种情况下，我们把它减零一点啊， 好，那我们设，所以知道啊，存在一个 x 零属于二分之一到一啊，写的 f 到 x 零是等于零的， 那这时候根据上面的这个单调性，我们知道，所以在零到 x 零上，这个 h x 是 单调递减的，因为零到 x 零上是负的， 那 x 零到正无穷上呢？它是单调递增的，那因此我们就很容易判断 h x 有 最小值，它就大于等于 h x 零。那下面呢，我们只要证明这个 h x 大 于零就可以了。 那一次 x 零，我们直接把它带入原来的式子，就是 e x 零减去 l x 零减二。那大家可以看出来，我们这个式子判断大于零，和原来这个式子判断大于零几乎是无异的啊，几乎是一样的，那有什么意义呢？ 哎，它的意义就在这个地方体现出来啊，我们用蓝笔把它写下，那根据这个引点，除了引点可以啊，使我们分析出每段上的单调性之外，它还有一个关键的信息，就是 它本身还隐含了一个等量关系，就是导函数，在这里的导数等于零，也就是 e 的 x 零等于 x 零分之一啊，因为导数等于零嘛，带进去，那这个就很关键了， 那这个可以干什么呢？我们在解决这个值的最小值问题的时候，就可以把这个指数函数进行化简了啊，那所以这个地方它就等于它化成了 x 零分之一。 那这样还有 x 零和老 x 零，那怎么办呢？我们可以通过它继续化减记 x 零等于老 x 零分之一，也就是负的老 x 零。 那所以你就知道这个老负的零 x 零，它就等于 x 零，所以它这里等于 x 零减二。 那又因为 x 零啊，它是属于二分之一到一的，所以这里我们可以用基本公式， h x 零就是大于等于二 b 的 根号下， x 零分之一乘 x 零减二，也就是 啊。好了，那我们看这个地方，我们就证明了这个最小值是大于等于零，那什么时候取等号呢？当前引导 x 零等于一十等号乘以，那又因为这个地方 x 零不等于几啊，所以 x 零不等于啊，所以那这个等号求到啊，我们写在这里，所以呢，可以得到 h x 是 大于零，所以啊，不等式证明乘以正比。 所以呢，你看这个，通过这个题我们就很好地体会了这引零点的作用啊，它有两个作用，一个是我们能把它 若为啊区间的单调，区间的分解点。第二呢，我们可以得到 f 轴 x 零等于零一个这样的等量关系，方便利用在后边啊，这个证面过程中 啊，这就是这个题里边常用的第二个方法啊，我们一般把它呢，哎，其实方法来说的话，就是构造函数 啊，然后求函数的单调性，然后里边呢，用到了引零点啊， 引零点问题。 好，这里我们就讲这些。
62飞天鱼数学
01:52查看AI文稿AI文稿引零点这个东西到底是个什么呢？引零点只是一个处理手段，它对应的就是小学的那个叫什么呢？设而不求，听过吗？就比如说我记得小学有个什么，不是初中有个什么样题？ a x 方加 b， x 加加二， 我说这个东西它除以 x 减一，它余的是三，它除以这个 x 加三，它余二， 让你求这个 ab， 你 咋做？这个东西可以这么写，它要是除以 x 减一，它得等于一个商，这商我设成 s 于三，是不是？ a， x 方加 b， x 加二，再减，减个三是不是？减一？这玩意除以它是不等于它，那它是不等于谁？ x 减一，再乘个谁 s 来。同样道理，你再给我列个式子，我设的是 s 一 s 二，我根本不用求，因为第一个式子我只需要把谁带领。第一个式子可不可以令 x 等于一，两边都取谁好，那左边是不是 a 加 b 减一，得等于零， 会了吗？第二个呢？令 i 等于谁？负散带什么九？ a 减三， b 等于零，两个式子能不能出来？ a 和 b， 你 的商用上了吗？ 这叫设而不求。引零点其实就是高级的，它比它难很多。但一个道理，引零点根本就不是一个题型，它是一个什么处理手段？ 你做题的处理手段，也就是你知道这个导出图像，你说老师我用你的方法判断了导出图像肯定是单调增。我还知道了， x 取零点几的时候，它是负的， x 取个正数，它是正的，说明它肯定有一个零点，这零点是谁不知道？设的是 x 零，这叫引零点。
580小健教研室
03:20查看AI文稿AI文稿引零点杀手，专治这种又有指数又有对数的怪式子，今天我教你一刀劈开他！我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路。 题目给的约束又是指数又是对数，还有 a 的 立方分之一，看着就劝退，再加个参数 c。 求根号 a 减 c 的 平方加 b 加 c 的 平方的最小值。别怕，这是典型的两段式约束式，负责把点屁锁在曲线上，根式负责把问题变成点到直线距离。我们的答案是根号二，跟我一步步拆。 先说降维，因为它最快见效。根式根号里， a 减 c 的 平方加 b 加 c 的 平方就是点 p 坐标 a 逗号 b 到点 q 坐标 c 逗号负 c 的 距离 c 能取任意实数 q 的 横纵坐标互为相反数，横加纵横为零，所以 q 在 直线 x 加 y 等于零上自由移动点到这条直线上动点的最短距离就是点到直线的垂直距离。公式给出绝对值， a 加 b 最小， 现在动引零点这把刀。约束是左边 a 的 立方分之一乘 e 的 a 平方减 b， 次方有 l n a， 所以 a 大 于零写 a 的 立方等于 e 的 三乘 l， n a 次方。左边第一项合成 e 的 a 平方减 b 减三乘 l， n a 次方。设 t 等于括号里这个整体， a 平方减 b 减三乘 l， n a 怎么消二乘 a 平方？这是同学最爱跳的步，我讲透，由 t 的 定义，直接得六乘 l， n a 等于二乘 a 平方减二 b 减二 t。 原式右边六乘 l n a 加二 b 加一。把六乘 l， n a 整块替换变成二乘 a 平方减二 b 减两 t， 再加二 b 加一减二 b 和加二 b 正好对消，右边干净成二乘 a 平方减两 t 加一，左边 e 的 次方加二乘 a 平方， 两边的二乘 a 平方一减，得到 e 的 次方等于一减二 t， 这就是引零点的标准点。指数等于一次式 把它写成 e 的 t 次方加二， t 减一等于零。对 t 求导是 e 的 t 次方加二，恒大于零，函数严格递增，最多一个根代 t 等于零，一加零减一等于零。命中。所以唯一解 t 等于零，回代得 b 等于 a 平方减三乘 l n a 最后求最值 a 加 b 等于 a 加 a 平方减三乘 l n a 记 far 括号 a， a 大 于零， far 撇等于二， a 加一减三除以 a 至零乘以 a 得二， a 平方加 a 减三等于零。因式分解二， a 加三乘 a 减一等于零。舍去负根取 a 等于一，左侧递减，右侧递增 a 等于一。最小 far 括号一等于二，且永远不小于二。横正 绝对值 a 加 b 最小是二，最小距离二除以根号二化减根号二。总结两大通法，第一，距离降维凡是根式里出现 a 减 c 与 b 加 c 这种参数，一加一减背后一定是动点在直线， y 等于负 x 上最小距离及点到直线距离绝对值 a 加 b 除以根号二。 第二同共引零点。约束式里 a 的 立方分之一与对数搭配，用 a 的 立方等于 e 的 三乘 lna 次方，把对数吃进指数，整体换元化成 e 的 t 次方等于一减两吨。单调性卡出 t 等于零。两招组合难度直接腰斩验证， a 等于一， b 等于一距离根号二。原式左右都是三， 有一道同类思考题给你练手，实数 a 和 b 满足 a 的 平方分之一乘以 e 的 a 减 b， 次方加 a 平方等于二乘， lna 加二， b 加一， c 属于实数。求根号里 a 减 c 的 平方加上 b 加 c 的 平方的最小值。把你的答案留成评论区吧。
