韦神高中数学技巧

我们一起来看一下这样一道解一元五次方程的题，那么这道题是非常好的一道题，网上也有人把这个方程叫做尾动翼方程，是不是有这种叫法在另外一说，那么这个题是在北大数学训练营里头的一道题，那一节训练营里头只有尾动翼做出来了。 那些年韦东毅之所以引起了我们的数学界的院士啊，包括那些教授的这个关注，是因为他创作了国家数学集训队连续七次对内选拔满分的前无古人的记录，包括说两届的这个 mo 的满分，那么至于是不是后有来者，咱到时候可以拭目以待。 那么我们看这道题，这是一道解一元五次方程的题，那么按照我们常规的思路，像解方程的这类题，我们经常用的是因式分解，显然在这个题当中，如果说用因式分解的话 是做不到的，那我们看看常规的解法，也就是我们说常见的学霸的解法。那我们经常把方程的问题和函数的问题， 就是二次方程，二次函数之间经常来转换，那我们就看这个函数的什么性质。我们令 fx 等于 x 的五次方加上十的 x， 三次方加上二十 x 减四， 我们将方程的左边给他设成这样一个五次函数，那么要讨论函数的性质的话，我们通常会对他进行求导，那么函数的导函数他是五倍的 x 的四次方，将设三十倍的 xp 加上二十，那么在实数范围内，它这个导函数是横大于零的。所以我们说圆函数 f x， 它是一个单调递增函数，那既然它是一个单调递增函数，那么这个 f x 它与 x 轴它只可能有一个焦点，也就是说上面这个方程只有一个十根，那么既然只有一个实数根的话，那么常见的我们肯定是给它音式分解完了之后的音式，我给它设出来就 x 减 a， 再乘以 x 方加上 b， x 加上 c， 再乘以 x 方，加上 dx 加上 e， 等于零。作为一个五四函数，我们知道它里有一个实数根，我们令它的实数根 x 零，我们设它为 a 的话，我们可以将那个方程写成这样一个因式分解的形式， 显然后面两个是没有实数根的，但是他们可能有同样的根，就是同样的虚数根。正常的解法做到这里，我们可能就将这个式子完全展开，再来结合圆方程同类项之间的系数去比较减一个 a、 b、 c、 d、 e 的五次方程， 最后再来求这个方程的根。好的那种结法应该说是非常复杂，是不是能解出来，同学们可以试一下， 这是我们说的常规解法，那么第二个解法，也就是说他作为一道数学的竞赛题，那么在北大的数学训练营当中，我相信那些去参加这种训练营的那种数学高手，他们其实都学过我们说的卡单公式。 所以像那一类高手，就是竞赛的那帮学生，他们常见的上来就是直接令 x 等于 a 减 a 分之一，这是他们常用的套路。解方程的过程中经常设成这样的形式，方程里的 x 全部用 a 减 a 分之一带进去之后用二项式展开。定理， 二项式全部展开之后再来看，但如果是将 x 等于 a 减 a 分之一带入这个方程全部展开之后，会发现其中有很多项 是消不掉的，那么当年韦神做这个题的时候，人家是怎么设的？就是我说韦神用瞪眼法解这个题，他就凭着他强大的数感，人家直接令 x 等于 a 减 a 分之二， 对他为什么要掉色，真的是匪夷所思。我觉得天外飞仙的招数，做这样一个换元带进去之后，这个方程的所有二项式全部展开之后，得到的是 a 的五次方，减去 a 的五次方比上三十二，再减四等于零， 就得到了这样一个有关于 a 的五次方的一个方程。那么如果将 a 的五次方看作一个整体的话，那么这个方程就是一个简单的一元二次方程了。这个方程就应该大家都会写， a 的五次方的平方再减去四倍的 a 的五次方减去三十啊， 那么解得 a 的五次方等于八，或者 a 的五次方等于负四，那么再解就是 a 等于五次根号下八，或者 a 等于五次根号下负四， 那么再将那个 a 带回原来这个带换的这个式子，那么就得到 x， 即等于五次根号八减去二比上五次根号吧，或者 x 等于五次根号再负四，再加上 就得到这样的两个结。那么在那届数学训练营当中，这道题只有韦神一个人做出来， 就是很多同学最后就会问他怎么想到了做这样的一个换元，因为常规的肯定是 a 减 a 分之一，所以说如果经过长期的训练且数感足够强的人，他最后可能就会想到这里，好这样一道题给大家分享出来，让大家一起来感受一下数学的美和数学的灵感。

那么这是第五十届 imo 竞赛的试题，也是韦神高二那一年参加的在德国举行的那个数学竞赛，在那一届韦神也是拿了满分，连续两届满分。 那么我们一起来看一下其中的一道几何题。设三角形 a、 b、 c 是等腰三角形，那么 a、 b 等于 a、 c 角 c a、 b 和 a、 b、 c 的角的平分线分别交 b、 c 和 a c 与点 d 和 e。 设 k 是三角形 adc 的内切圆的圆心，若这个角 b ek， 也就是这个角等于四十五度，求所有的角 bac 的可能的角度值。 那么这个题读完之后信息非常多，那么像这样一道题，如果放在高考里头，他应该是说超过我们这 几年的那个高考压轴题的难度，那我们一起来看一下这个题到底应该如何解。首先这个题我们还是要从目标出发，那么这个题的目标是要求角 b、 a、 c， 也就是我们说的目标求角 b、 a、 c 的所有的可能的角度值。 那么再看这个 b、 a、 c 是在三角形里面的一个角，我们可以链接一下我们自己学过的知识。通过什么样的情况下可以确定一个角的值， 那我们可以联想到就是要求出这个角的三角函数，通过三角函数值来确定这个角的值，这个角是三角形的内角，结合三角形特殊角的三角函数值的话，是可以求出这个角的值的， 这是我们现在能够想到的这个题的解题的思路。那么既然要求出这个角的三角函数值，我们就将 这个角的度数表示出来，那么在这里我们就根据题目的意思，我们画了这么一个简图，那么这里头有多余的一些信息，我们看看这是如何出来的。等腰三角形 a、 b、 c， 那么也就是 a、 b 和 a、 c 相等， a、 d 是角 b、 a、 c 的平分线， 这个 b、 e 是角 a、 b、 c 的平分线， a、 d 和 b、 e 相交于一个点，我们把它标上作为 f 点， 那么这个 k 点是三角形 a、 d、 c 的内切圆的圆心。我们说根据题目给定的信息，也就是说我们说的条件通过。条件一，我们看这个三角形 a、 b、 c 是等腰三角形， 那么它的角的平分线，这个 a、 d 肯定是底边的垂直平分线。等腰三角形，它既是这个角的平分线，又是底边的垂 垂直平分线，所以不难得出，这个角是九十度，那么角 a、 d、 c 是等于九十度这个角，这是通过题目给您的信息得到的。既然 b、 e 和 a、 d 都是这个三角形里面的两个角的 平分线，那么它们的焦点应该是什么？条件二，我们能够得到的是点 f， 它应该是三角形 a、 b、 c 的内心， 那么既然是三角形 a、 b、 c 的内芯的话，我们连接 c、 f， 那么 c、 f 这条线显然是角 a、 c、 d 的平分线。三角形的 三条角的平分线相交于一点，所以这个 c、 f 是角 a、 c、 b 的平分线，同学们稍微跟上哈，因为 信息特别多，那么既然 c、 f 是角 a、 c、 b 的平分线的话，那么这个 c、 f 显然过 k 点， 因为 k 点是三角形 a、 d、 c 的内切圆的圆心，所以它也是一定会过角 a、 c、 d 的平分线的， 所以这个 cf 这条线 b 过点 k， 这就是我们通过这个题目的信息拆解得到的这些基本的信息。那么第三条信息我们再看，现在我们是要想求目标角的角度值的话，我们首先将它设出来， 是吧？那么在这里我们说设角 b、 a、 c 的度数为四 x 度，那么在这里给大家留一个伏笔，为什么要设四 x？ 很多同学都知道，像这样一个等腰三角形，我们显然不可能说 设为 x， 常见的是设成二 x， 用这个平分一下，那么这个角就是 x 了。那么我们这里为什么设成四 x？ 是为了表示另外的这些角，你像 e、 c、 f 和 e、 b、 c 这些角的方便我们设成四 x， 这就往下看的时候就明白为什么要设成四 x 了。 那么角 b、 a、 c 是四 x 的话，那么我们看这个角 d、 a、 c 是多少度，那么这个角就是二 x 度， 这个角是二 x 度。我们再看角 a、 c、 d 是多少度， a、 c、 d 就是九十度减去二 x， 那么射出这个角 b、 a、 c 的话，我们就可以将其中很多角的度数我们给它表示出来，我们就可以得出角这个 e、 c、 f 等于角 d、 c、 f 那么等于多少？九十度减二 x 的一半，是吧？它的平分线，那么也就是四十五度角减去 x。 角 e、 c、 f、 e、 c、 f 是四十五度减 x， 那么我们看角 e、 b、 c 是不是也是四十五度减 x， 那么这个角是不是也是四十五度减 x？ 因为角 a、 b、 c 和角 a、 c、 b 是相等的，这就是这个角的平分线，所以我们看这个角是四十五度减 x， 这也是四十五度减 x， 我们同时也得出角 e、 b、 c 是等于四十五度减 x， 再看看通过这些条件还能将哪些角的度数表示出来。我们再看这个角， 角 b、 e、 c 应该等于多少速度。在三角形 a、 b、 e 来看的话，角 b、 e、 c 是这个三角形的外角，也就是说这个角是三角形的外角，那么外角是等于它不相邻的两个内角，和这里是四 x 加上四十五度减 xbec 是等于四十五度加上三 x， 那么将 b、 e、 c 表示出来了，那么题目条件就说了， b、 e、 k 是四十五度角，那么这个角多少度？这个角 k、 e、 c， 那么角 k、 e、 c 是不是就可以表示出来？就是这个角减去四十五度，那么它就是等于三 x， 这是题目条件二得出来的，我们再看，再通过这个条件我们再看还能得出哪些角？条件三，这个角是四十五度减 x 十度角，那么这个角是九十度，在直角三角形 b、 f、 d 当中，那么这个角 b、 f、 d， 我们是不是可以求出来， b、 f、 f、 d 就是四十五度加上 x， b、 f、 d 和角 c、 f、 d 是相等的，那么我们同时又可以得到角 c、 f、 d 等于角 b、 f、 d 等于四十五度加上 x， 将这两个角表示出来之后，另外一个角 e、 f、 c 这个角是不是就可以表示出来了？那么角 e、 f、 c 是不是就是一百八十度角减去这两个角， 这两个角是九十度加二 x， 那么一百八十度减去它就是九十度减去二 x， 所以我们将这些基本的角我们都表示出来，你像这个角写在这里，四十五度，这个是三 x， 那么这个角我写的这边呢？更容易看一些，那么是九十度减去二 x， 那么再看看我们要想求出这个目标值，我们其实只需要求出 x 是多少就好了，因为我们设的是四 x， 求出 x 就好了。 那么再看看我们以往学过的知识当中，有哪些可以将角的度数和这个边表示出来，在三角形当中，是不是我们有学过政权定律，那么我们再看在这个三角形 f e k 在三角形 f e k 和三角形 e k c 当中， 在这两个三角形当中，我们同时利用正弦定理，我们说正弦定理其实就是将边角联系起来，那么看 f k 在三角形 e f k 中， f k 对应的角是四十五度，那么他比上三引四十五度是不是等于一 e k 比上角 e f k 角 e f k 那么和角 e f c 是一样的，那么角 e f c 我们是求出来的，那么就等 e k 比上三引九十度减去 x， 那么这里我们就可以将 f k 表示出来， f k 即等于一 k 乘以三引四十五度，再比上三引九十度减去 r x， 我们就得到了这个 f k 的表达。再看看在三角形 e k c 当中，那么 k c 对应的角是这个三 x， 它就等于 seine 三 x 度，那么这两个三角形有一条公共边叫 e k， 它就等于 e k 比上角 e c k， 也就是 seine 四十五度 减 x。 通过这样的一个比较，我们就得到了 k c 是等于 e k 乘以三 e 三 x 比上三 e 四十五度减去 x。 那么结合这两个式子，我们是不是就可以推出 f k 比上 k c， 那么 e k 是不公共边就直接消掉了，那么它就等于三引 四十五度，再乘以一个三引四十五减 x， 比上三引三 x， 乘上那个三引九十度减去二 x， 我们就得到了 f、 k 和 k、 c 的这个比值， 得到了它一个等式，那我们再看看还有哪个条件没有用上，那么就是这个 k 是这个三角形 a、 d、 c、 c 的内切圆的圆心，那么既然他是内切圆的圆心，那么我们连接的这个 dk 是不是角 adc 的平分线，那么我们再根据角的平分线的定理，这是初中的内容啊， 是不是就又可以得到 f、 k 和 k、 c 的比值？ f k 比上 k c 等于 f d 比上 d、 c 的，那么 f、 d 和 d c 的比值又可以在三角形 f、 d、 c 当中利用正弦 d 比，用角的正弦值表述出来， 那么它就是等于散引四十五度减 x 比上散引四十五度加上 x， 那么我们再将这两个式子，把这个作为一式，把这个作为二式，其实 f k 比 k c， f k 比 k c， 那么就是这两个等式相等。这两个等式呢？相等， 我们再看里面有个三引四十五度减 x， 我们在这里设的角 b、 a、 c 是等于四 x， 显然这个 x 要什么小于四十五度大于零，因为它是三角形的一个内角，它显然要小于一百八十度，那么也就是说三引四十五度减 x 显然不等于零， 那么我们由这个一式和二式，其实就可以消掉三引四十五度减 x 这一个因式，那么这两个式子相等，我们就得到了这么一个等式，也就是三引四十五度乘以三引 四十五度加 x， 是等于三引三 x 乘以三引九十度减去二 x 啊，就得到这么一个等式，那么在这个等式两边，我们在如何来求这个 x 的值？就在这个等式两边，同时利用这个三角 型的激化和差公式，那么也就得到口三引 x 减去，口三引九十度减去 x， 它是等于这里面的口三引五， x 减去九十度，再减去一个口三引九十度减 x。 在这样一个等式两边，口三印九十度减 x 和口三印九十度减 x 直接消掉了，我们就得到了口三印 x 等于口三印五， x 减九十度。 那么我们在结合前面说的，由于 x 大于零，小于四十五度，那么这两个余弦值相等只可能有两种情况， 第一种情况，这两个角相等， x 等于五， x 减去九十度。第二种情况是 x 等于负的五十度减九十度，那么也就是九十度 减五 x， 就是这个等式就推出的。这个角之间的这种关系很容易解出来。 x 等于二十二点五度，或者 x 等于十五度， 求出了 x 的度数，那么角 b a、 c 的可能值是多少？那么角 b a、 c 我们是设为四 x 的，所以它的直角有可能有两个，一个是六十度或者是九十度， 这就是最后所有的角 bac 的可能的角度值。那么这个题到这就解完了，回头我们看一下，因为题目给您的信息非常多，而且在这里考察的知识点也非常多， 你像三角形的外角，三角形的角的平分线，三角形的内心，包括正弦定理，完了合插画积或者积化合插，就到这一步，还可以用积化合 他来算。如果不分析角的度数，我们可以直接用激化和差化成两个政权值的乘积等于零，他们分别等于零。最后求助他的度数就是这样一道题的信息非常多，那么这在当年的竞赛题当中是属于非常简单的一道题。第五十届这个数学竞赛也是韦神封神的那一年， 因为那一年出了非常著名的一道题，就是考察蚂蚱的那道题，也是那一年竞赛题的最后的压轴题，那么中国的这个竞赛力其实只有韦神一个人做成那道题，那韦神也因为那一道题封神。 好，这个题给大家分享到这里，如果同学们有更好的解法，希望打到评论区，我们一起交流，让我们一起做更少的题，提更多的分。

卫神又放大招了，这次啊，卫神登上热搜，不再是因为自己了，主角变成了孤儿学生，因为他给出了这个题目的标准答案。我们 起来先看一下题目吧，就是 a 一 a 二一直到 a n n 个时数都落在了四一到正一的这个开区间当中。这个题目啊，接下来让你来进行两问的证明。很多朋友如果已经参加工作了，会回过头来发现，哪是 到底是个数学题还是个英语题啊？我的天呐，勾圈凯尖的，完全不知道他是什么。这其实就是当前的很多中学生真正面对的问题，题目感觉看起来就不像数学题， 复杂度啊，相当高。时间关系，我们呢就在这只是分享一下第一问的这个答案是什么，同时说一下他所对应的原理到底应用到了哪些内容。这第一问呢，给到信息让我们来证明派是什么东西呢？他是一个累乘符号啊，一加上一个 a i a 接比上一个一，减去一个 ai 一节是大于等于一的，哎，是这样一个东西，一呢是小于等于 i， 小于等于接。这样一个状况，当你出现一个复杂的形式的时候，我可以进行两边同时取对数，取的是谁呢？一为底的这样的一个对数，取完对数之后，脑海当中马上就是一个高中生都知道的内容， 叫做 low n m 比 n 他等于的是什么？ low n m 减去一个 low n， 接下来 low 一，所以这边改换成大于等于零，这就是我们说的他两边取个对数，而后面又做了一个操作，就是什么呢？他把这个东西进行了艾乐极速的一个展开，展开之后 对其进行了化简整理，化简整理之后发现了他实际上出现的东西是一个全都是平方向的一个类价格，对于一个数的平方而言，他一定是什么 大于等于零的，那你进行累加，一定还是什么大于等于零，这个结法非常精妙，这就是我们说的哎，初中生给出的第一问的标准，过程惊喜不惊喜？意外不意外？

这是当年韦神高一参加的那一届竞赛，那一年韦神是拿了一个满分，设时数 x、 y、 z 都不等于一，且满足 x、 y、 z 相乘等于一。让求这样一个式子大于等于一。 首先还是用拆题法的思路来做，我们先拆目标，给出的这个式子看着很麻烦，而且是有三个变量，三变量就三换元。拆目标不妨令 x 比上 x 减一等于 a， y 比上 y 减一等于 b， c 比上 c 减一等于 c。 那么换圆之后，目标设计转化为 a 方加上 b 方加上 c 方大于等于一，那么这样一换圆之后，就看着舒服多了。那么换圆之后，我们再将 x、 y、 z 分别用 a、 e、 c 表示出来，那么 x 是等于 a 减一分之 a， y 是等于 b 减一分之 b， z 是等于 c 减一分之 c。 将目标是我们处理到这里，就基本上已经没有办法再往下操作了。再来拆条件，条件是给出的是 x、 y、 z 等于一，就给出三个变量之间的一个等量关系。那我们就直接将换圆后的这三个式子带入，看看能得到什么样的式子。也就是 a 比上 a 减一，乘以 b 比上 b 减一，再乘以 c 比上 c 减一等于一。整理这个式子，分子分母相乘 abc， 他就是等于 a 减一，乘以 b 减一，再乘以 c 减一。我们将这个式子展开之后，得到的就是 a， b， c 减去 a， b 加上 b， c 加上 a， c， 再加上 a 加 b 加 c 减去一，就整理之后得到这样一个式子， a、 b、 c 这个消掉，那么得到了 a， b 加上 b， c 加上 a、 c， 它是等于 a 加 b 加 c 减去一的，就得到了三个变量之间的另外一个关系，那么我们把它设为一式，现在回到我们要证明的目标是 a 方 加 b 方加 c 方三个变量的平方和让我们联想到一个三元完全平方式， a 加 b 加 c 的平 方，减去两倍的 ab 加上 bc 加上 ac， 我们可以将一式代入，那么这个式子继续就得到 a 加 b 加 c 的平方， 减去两倍的 a 加 b 加 c， 这是减一，那么这里就应该是加二，那么到了这一步很多同学就能看出来了， 如果我们将 a 加 b 加 c 当做一个整体来看待的话，我们可以将前面这两个式子给它配成一个完全平方式，也就是 a 加 b 加 c， 把它当做一个整体 减去一的平方，那么这里是加了一个一，后面还剩下一，再加上一，就将要正的目标式的左边转换成这样一个式子，那么我们知道一个式 式子的平方他是应该大于等于零的，所以这个式子最后他就应该大于等于一，从而目标式即得正，也就是原式得正。 这个题道理就解完了，回头我们看一下，就像这一类的题，他作为那一届竞赛题里头应该算是最简单的一道题，那我们拿出来给大家分享这道题。首先看目标式，目标式是一个多元的式子，看的很难受，那我们给他进行三换元，换元之后要证的式子看的舒服的多了， 那么换圆之后就是需要将这个原来的这个变量用换圆后的变量表示出来，再通过条件来找到我们换圆后 这个变量之间的一个基本关系，得到这样一个基本关系之后，再来正换元后的不等式，我们就很容易联想到三元完全平方式，把 a 加 b 加 c 当做一个整体，凑成一个完全平方式来处理。这个题就给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。

好，我们看一三四题，这是第五十届 i m o。 竞赛时题中的一道几何题。韦正义是传奇人物， 在零八零九年连续两届都已满分拿下 imo 金牌，之后被保送到北京大学，是全能型数学学霸，江湖人称伪教主或者韦神。 说是三角形， a b、 c 是等腰三角形，且 a b 等于 a c 角 b i c 和 i c a b c 的交平引线 相较于 f 点，且越对变角，有么是 d 点和 e 点这两点啊。设 k 是三角形， i d、 c 的内切圆的圆心，而内心若角 b e k 这小角等于往四十五度求所有角 b i、 c 的可能的角度数。 就这题，这题信息给的比较多，我们来一点点分析啊。接，从目标出发，求角 bic 的角度数。好，我们可以利用嘛？三角函数求值，也可以利用嘛，中弦定理求 好条件一，他给的是嘛？是多样三角形，说明我们这个是角平线，说明这垂直的三合一角 a、 d、 c 这直角条件二，说点 f 是三型的，呃，三线 a b c 内芯，所以说 c、 f 也是交平线对吧？也是交平线，这 k 呢？又是这 a、 d、 c 的内线，说明什么？这 c、 f、 b 过点 k 有三三点贡献。好， 有，这我们可以设设角吗？ b i、 c 等于吗？四 x 为么设等于四 x？ 一般情况下，角平线一般设二 x， 为了方便计算好往外坐坐就知道了。 因为这这个角啊，还有这个角啊，哈，这个角啊，做做，知道了。好，是四 x， 那么这角一般的什么？就是二 x， 我们从这从这个能得到哪一些角的度数呢？ 知道什么角？ e c f e c f 是等于什么？是是九十度减去这 x 的，然后再再除以二，是吧？ 也就是四十五度减减 x， 这角还等于什么？还等于 dcf， 还等于什么？角？ ebc 这角，这三个角都是都是等于四十五度减去 x， 我们我们把它表为相同的角，只表为角角一角一角一，这时候四十五度，这就是四十五度了。减，减去 x， 哈角 b e c 角 b e、 c， 这个外角等于什么？等于这，这角也是四五六减 x， 再加上四 x 呢？等于什么？等于是， 是等，等于 b、 b、 e、 c 等于吗？是四五度加三 x， 对吧？小于一 x， 这角是四五度加三 x， 这是四十五度，这说明这儿吗？这是三 x， 这是三 x 这角。 然后条件这次我们知道什么叫角 c f d c f d 这角等于什么？等于这角等于九十度减去这角啊。好，九十度减去四十五减一次，这角四五度减一次，等于么？等于四 五度加 s， 这两顶角两顶角相同，这两是四五加 s， 这是四五度，四五加 s， 这是四十五减 s， 这是三 x 啊。 还有一个嘛叫 efc， 叫 efc 啊，这等于什么？这两个四五减一个四，等于九十减去二个四， 对吧？得九十减二。这这角这角为圆圈，是九十减二十。 我们知道这些信息啊，只要求出 x， 都能求出来。交交 b、 i、 c 的度的的度数，我们利用什么？通过这这这个三形里边所交，我们利用重弦定理， 中弦径定理，也就什么外界，外界圆直径向东，是吧？中弦定理。要知道什么叫做 f k， f k 比上三一 g 角，三一 g 四五路等于什么？等于 e k 比上三一 g 角，这角是九十减去 irx 啊，从而的推，推到 f k 是等于什么？这种 g 式子要把式子再再三角形 e k c 中，我们要知道吗？ k c 比上三一三十三三 x 这边这角边边上对角三音的，然后等于么？ e k 比上三音，这个四五减 x， 这两相同，然后这样能对到吗？ k c 等于这个项中，比如这个我们知道吗？ k k c 比这个我们知道。知道什么？知道 等于等于等于这个，这个发减 b 叉发减得了这些式子好，这些式子，哦，然后从从这些式子 k c k c 比比上 k c 比上三三三 a 三 x 等于 e k 比上三一四五 x 四十五减去 x 好，这 k c 也能表示出来，好，这这种这能表示出来，然后这 f k 比上呃 k c 同时约去 e k 得到这个式子，然后再根据什么给角平线定理？角平线定理，就这不角，这也是角平线，因为这是三角 a d c 的内心，这个 d k 也是角平线，是这角的平线。 所以什么 f k 比上 k c 等于 d f 比上 d c 这角片定理，哦，也知道 f k 比上 k c 等于 f d 比上 d c， f d 比上 d c， 这又等于什么？ 又用又用一部正确定理等于三音 f f d 吗？ f d 定呢？是三音四五六减一四好， d c 定呢？这个是 三音四十五度加 x 比上这个，然后两两两者结合，有一一个这一式跟第二式的两两相同吗？好，然后因为什么三音四五度减一次 s 是吗？是在零到四五之间的，因为四 x 他在零和一百八度之间，所以要是 s 嗯，小于四十五度，这是不等于零的，两边同时可以约去约去怎么也就是三十五度乘以三，这个等于下边这个分母， 然后利用利用计划合差式子得到这个， 从而两边是都有考察。 a 九十减减 x 约去，然后都要 这个式子，这个式子用这个式子得到什么？能得到 x， 要不然等于五减 九十度或者 x 等于什么？等于负的五 x 加上九十度。对这个，这求的 x 等于吗？二点五度或者 x 等于十五度，也是求 b 角 b， a， c 等于四， x 等于六十度或者九十度。 品品细品。如果出现在高考题目，很有可能出现在高考题目，因为 十十年前的题目的精彩题目对于现在来说是个简单的题目，对吧？但在高考呢，属于亚洲题， 属于比较呃，有分量的题目啊，也可以出现品品细品，这就是当年韦神做的题目。

坐到前面多选的时候，我不把这多选题搞出来，我都不想往后坐，但实际上这对考试来说并不是什么很好的策略， 有的时候你水平是有一定水平，你为什么考试考不到？你想要那一份，是因为你应对的考试的方式是不对的。你现在去做考试题，第一目标是先要合理规划时间，让我有时间去把每道题我能拿的分都拿到， 然后回来再去拿这些不好拿的分，不好拿的分在哪？就是，呃，多选数学现在多选是最不好拿那一道题，四个选项你要都判断，那做一道题是不是相当于做四道题， 对吧？所以有的时候你在考试里面想考好其实很重要一点，你要跟自己和解和妥协，对吧？做到多选 九题，十题可能简单点，或者考概念判断，我好好做一做，争取全做出来。十一十二，我选出来一个正确选项，先往后做， 有时间回来再做前面的，对吧？包括给大家讲模型也是就是你。第一，首先我们因为用这套模型去做，减少了很多画图的 过程，我跟你讲的时候，画图是为了让你理解，而你需要掌握的是这个模型对着什么公式，考试的时候见到题直接套公式就完了，你可别考试的时候跟我一样画图啊，你考试的时候不需要多理解， 记住怎么算，算对就可以了。接下来我们给大家讲外接球第二个常见的一些一个嗯，典型的文型叫三相等模型。 什么叫三相等模型呢？ 三相的模型就是说在四面体 a、 b、 c、 d 中， 它的对棱长相等， a、 b 等于 c， d 等于 m， a、 c 等于 b， d 等于 n， a、 d 等于 b， c 等于 l， m、 n、 l 对棱长相等。那么求四面体的外界求关径，求四面体 a、 b、 c、 d 的外界求关径。 我们来看一下，这 怎么求啊？做法还是一样叫补行，我们把它补成一个规整的图形。啥图形规整？对于球来说，那当然是长方体比较规整， 长方体比较规整， 那么我们把这个四面体怎么塞进去呢？你会发现它是对棱长相等，所以它是不是相当于是我们把长方体的几条面对角线给它连起来，然后让它对着的棱相等， 对吧？这样的话，这对应的是 m、 n、 l 是对边的这两，那么我们假设它的长 宽高是 a、 b、 c 的话，我们会知道这个外接球半径等于二分之根号下 a 方加 b 方加 c 方，那么这 m、 n、 l 是啥？是它的对角线，跟 a、 b、 c 啥关系呢？根据勾股定理，我们可以看到 m 方等于 a 方加 b 方， n 方等于 b 方加 c 方， l 方是等于 a 方加 c 方， 所以我们就有 m 方加 n 方加 l 方，就等于二倍的 a 方加 b 方加 c 方。 所以这个题你会发现我们转化一下这外接求干净 r 就等于啥？就等于二分之二分之根号下 m 方加 n 方加 l 方，也就等于根号下八分之 m 方加 n 方加 l。 来说说你是不是讲的快，有点跟不上，不用啊，对吧？嗯，如果你说咱们讲的东西都必须你慢慢一步步听懂你才能会， 你就想想你学校里面你哪一步没听懂？最后你考试里面你是否把题做上，你要记重点，重点啥呢？告诉你 三垂直模型的三相等模型的外接球半径是啥？是这个东西。所以题里面第一步是找啥？找三相等， 找哪三组对棱箱的长度分别是 m、 n、 l。 第二步带入公式，公式在哪？你带这俩哪个都行，所以你看啊，你考试的时， 你可别老师我画图补个。行吧，没必要补行，只是为了让你理解一下原理，你要掌握的是模型的计算方法， 对吧？所以就是，嗯，很多同学在学习这方面问题在哪呢？就是老师你看我上课听的那么细，我笔记做的那么好，我全都记下来，为啥我考试还是不会？你是全都记下来，但你主次没分清楚。 今天我们讲的外地球模型给大家强调很多遍，我们的思路是从立体到平面再到平面到计算的转换。 外接球最难的是从立体到平面这步转换，那我们怎么让他变得简单？我们直接告诉你立体的计算模型是啥，你把对应模型 行的计算公式记住了，见到题直接往里带数，你不就省的转化了，对吧？所以这就是第一个三相等模型长什么样？四面体，三组对棱，两两相等。 第二个是在长方，他可以补在长方体里，所以我们最后就有了他外接球半径的计算公式。你看我们今天讲球，我们就说了一个球都不带画。 好，接下来我们给大家取第。

给今年的考生说一句加油打气的话吧。加油，欢迎来到北京大学。我也不会说别的，我是北京大学数学级一零级本科生，一四级研究生，反正现在是老师，现在是北大老师。关于高考数学方面你有什么学习上的建议？可能主要是做题，可能是把以前的题都做一遍，可能就。

讲球，我们就说了，一个球都不带画好，接下来我们给大家举第一个例子，正四面体，正四面体外接球半径是根号六，问正四面体能长是多少？好，再倒过来， 有人说，老师，这正字面题基本图形，你想想是不是常见的基本特殊图形， 你肯定在学校见过很多遍，对吧？我们老师翻来覆去的讲，昨天说，老师我就是记不住，今天我换个角度，你看正四面体是不是三相等模型， 他是不是对棱相等，他对棱全都是一个数，他当然相等，因为他六条棱都相等。那三相等模 型，它的外接求关径等于啥？ r 等于八分之根号下 a 方加 a 方加 a 方， 所以等于根号下八分之三 a， 那也就是上下同时乘以二四分之根号六 a， 对吧？这就是它外接球半径跟边长的关系，你看快不快， 等于几？等于根号六，所以他的棱长 a 等于四，答案就出来了，对吧？那很多同学一做这题，哎，老师，我们老师讲了，这要做个垂线，画个洁面，没错，但是这方法很麻烦， 你理解方法可以，你考试用这方法去做题，你就会发现，嗯，虽然题好像做出来， 但我好像感觉哪不对哪不对呢？你花的时间太多了，这道题做出来了，下道题可能就没时间做了，就包括我。出那么多书，为什么还要给大家讲这种东西呢？大家记住一点，就是写在书上的东西，追求第一的是严谨性， 就是他一定要一点分毫不差。而我们在考试和讲课的时候，要稍微灵活一点，尤其对于现在的考试啊，我们，尤其对于很多题来说，我们并不需要说我要确保他百分之百就是这样， 而更多的是我大概知道他是什么样的模型，我能迅速的算出来，我能留时间往后先做，做完了有时间回来再检查。所以大家说的不光是你认清楚这样的模型是这么做，有的时候你感觉 像的模型，你也照这个方向去做，对吧？可能有时候就能有很好的效果。当然我们因为直播课的时间有限，给大家举的例子也有限，模型也有限， 这模型正常完整的一个体系可能有五六个，在我们课程里面到时候都会有，对吧？大家不用担心，包括讲完了之后也会有对应的配套的习题， 你对应的根据习题去熟悉这个模型，你要熟悉的啥是计算公式啊？当然我们也有讲解的过程，让你理解他的来龙去脉是什么样的，但最重要的是见到模型，想到公式，带入计算。 来我们再给大家写一个举个例子。