中考数学25题二次函数解题技巧
杭州中考数学二次函数解答题想要拿满分，需要做到下面几件事情，第一，算出解析式之后，立刻把已知点坐标带到解析式里面进行验算，防止第一步算错导致后面全盘结束。 第二，遇到平移问题，要看清楚是点平移还是图像平移，点平移是左减右加，图像平移是左加右减，不要记反了。第三，如果题目让你化简或证明，注意观察式子结构，利用配方或者整体代入进行变形， 最值问题通常转化成二次函数，求顶点。第四，杭州卷非常喜欢考对函数结构的理解，而不是死算。题目常常给出函数的不同形式，一般是顶点式、焦点式 要想在三种形式里无缝切换，首先要熟练掌握配方法。看到系数 abc， 脑子里马上反映出对称轴和顶点坐标。如果题目提到与 x 轴交于 a、 b 两点，并且涉及这两点横坐标的关系，优先用焦点式或韦达定律，能大幅减少计算。第五，竖形结合。这是解决压轴题的灵魂， 很多代数计算极其复杂的问题，转化成图形之后，看它的几何关系会变得非常简单直观。做函数题一定要养成画图的习惯，利用图像的对称性、增减性来辅助分析，特别是涉及取值范围的问题。第六，动静结合。当题目出现动点或者参数这些变量时， 第一，去抓那个不变量，比如图像是否过某一个定点，或者去找临界状态。比如题目要求有两个焦点，那么临界状态就是只有一个焦点， 也就是相切或者过端点。第二，画动态草图画出动点在起点、中点、顶点等特殊位置时的图形。观察图像是如何扫过特定区域的。总结一下，一、稳住计算。二、函数性质结构熟练。三、画图。
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43:58查看AI文稿AI文稿今天咱们看二次函数的第一个专题，区间最值，为什么把区间最值放在第一个？区间最值是近两年就是中考还有期中期末， 你包括后面的一模、二模都是的，就都是二次函数里的这压轴题的重点题型，而且他的出题方式很多，同时他也是比较好理解的，所以咱们给他放第一个，这个是必须必须要会的，二次函数有那么四五个是必须会的，其他的你是尽量学。 然后咱们先看这个区间最值问题，区间最值问题的话，他的如果从大体上分类，一共其实就是分这三种，具体考的考法他有变形，但是基本的分析逻辑就是这三种。其中前两种咱们是属于同一个的，只不过是两种分析方式。前两种他是属于单函数的， 单函数指的是他给体的，只给一个函数的，比如像像我下面这个利益，他只给这一个二次函数，让你求这个区间距离的问题，那这个是属于单函数的，那第二个是这种分段函数，分段函数你可以看成双抛，或者说或者说更难一点，三抛都可以 双抛，三抛指是双两个抛物线，三个抛物线，那这个第二第二种就是分段函数，就是属于多个图像的，这种多个图像的分段函数，区间对折，咱们就一定是画图像分析了，你不要再单纯的根据上面这个分析方式去分析。 然后咱们先首先你学区间最值问题。第一步你要先知道什么样的是属于区间最值问题，区间最值问题，区间指的就是取值范围，指的就是 x 取值范围的意思，其实这个最开始他是在高中的，就高中的话，咱们会学这个区间最值问题，而且是很重要的一个。 然后区间是高中叫法，其实就是 x 取值范围，所以它这个区间最值指的是有 x 取值范围，有最值，这就是属于区间最值问题。那拿到区间最值问题了，你就先判断到底是属于这个一个函数的，还是分段函数。 如果是单函数的，咱们就按单函数的分析方式。单函数的分析方式的话，是分这里两种，一种是与顶点无关。咱们先说最后的总结结论啊。第一种是与顶点无关，所求最值与顶点无关。 那这时候什么意思？指的是比如说一个二次函数，开口向上，开口向上他本身顶点是不是最小值？但是如果这题里是要求的是最大值， 说这个最大值怎么怎么样，那咱们想最大值跟他的顶点是不是无关的，那这时候是与顶点无关的，或者是开口向下，那他顶点是不是最大值？但是这题要求的是最小值，那要求的这最小值跟这顶点的最大值是肯定是没有关系的， 所以这两种都是属于与顶点无关的，那与顶点无关的，咱们都是分两种情况讨论。那第二种与顶点有关的，比如说开口向上求最小值的问题，是不是也跟它顶点最小值是有关系的，那就与顶点有关。与顶点有关的，咱们都是分三种情况讨论。然后如果你要是分不清到底是 与顶点有关还是无关，真的就是记不清，总记错，你就所有的驱逐者问题全都分四种情况讨论是一样的，他的最基础的分析方式就是全分四种讨论。分完四种讨论之后，只不过是第一种，这分两种是把这四种两 两两个合并了，合并成两种。第二种分三种情况讨论是把这四种就是有两个合并了，分成了三，合并成三种情况了。所以咱们先看一下这分析方式啊，你看咱们是怎么合并的？咱们先从最基本的分四种情况讨论这个开始， 比如说第一个，咱们先看利益，利益现在说在这个范围内，这个二次函数的最大值是三十一，那区间最值问题咱们都可以画数轴啊。这里先说一下啊，就说有好多学校，包括学生，他们学的是按二次函数的方式，比如说像这题利益，那画一开口生成二次函数。第一种情况两个范围在左边， 第二种稍微偏右一点，第三种然后偏左，第四种全在右面，就按这种方式。这种方式分析也可以啊， 但是按这种方式有一个弊端，就是你的取值范围容易写错，就这里最值很容易看，取值范围容易写错，你可以把接下来我要说这方法跟他俩一起结合。我接下来要说的这个方法就是取值范围很容易看，但是最值有的时候容易看错。比如说第一种啊， 那首先咱们先画竖轴，竖轴画的是这个 x 取值范围，你把这个 x 范围画出来， x 是 几，取值范围是几，你就把这范围画出来， 固不固定没有事，比如说有具体的数或没有具体数都没事。然后取这个取值范围中点，中点的话就用中点的标公式算就行，就是二分之 t 加 t 加二就是 t 加一。取完终点之后，那咱们看啊，在竖轴上这三个数 范围的两个端点， t 和 t 加二，以及这个中点，是不是把整个竖轴分成了四部分区域，就是一 二三四分成了这四个区域，那咱们对称轴就分别在这四个区域讨论就行。所有区间单函数的区间最值，你都可以按这四种情况去讨论，你要不怕麻烦，你全按这四种写，肯定是没有错，只要计算不错，答案肯定是一样的。那咱们先看第一种情况， 咱们比较的时候，就是要让对称轴分别落在这四个区域就行。那第一种情况是不是对称轴在最左面那开口向上的二次函数，这个草图你随便画啊，你可以对二次函数往上画，往下画，都是一样的，你画哪都行，只要对称轴位置对就行。 那首先咱们先把这取值范围写下，这时候这个二次函数的对称轴是 x 等于负一，那这时候是不就是负一小于 t， 然后有同学就说那这块等于号为什么放这的，而不是放下一个，我先把这四个范围写一下啊， 那第二种情况，对称轴在第二个里面，那这时候是不就是负一，是大于 t 小 于等于 t 加一， 你看我这个 t 这块，我等于号放前面了，没放后面等于号放哪块都是可以的，你放前放后都行。但是有一个原则，就是同一个数字只能放一个等于号，什么意思？比如说这个 t 同一个 t， 我 要么把等于号放在前面这块，要么把等于号放在后面这块，但我不能两个同时放等于号， 我这块说的清楚吗？你等于号只能放在同一边啊，你看我这题里面，我把等于号放前面可以，或者是我把这个等于号放在后面也可以，我放在后面也行，你放到哪都行，只要不是不是两个同时放就行，所以这里面我就给他放前面， 你就按你自己的习惯来就行。那第三种情况，这个对称轴是不就是 t 是 在 对称轴，在第三种情况里，这时候就是负一落在了 t 加一和 t 加二之间，那我前面这个 t 加一有等于号，那我后面这个 t 加一，我就不放等于号了，我就在 t 加二这放等于号。第四种对称轴落在最右面，这时候是负一大于 t 加二， 然后咱们每一种情况就分没讨论就行。第一种情况在这个范围内，你看你要求的是这里有个荣誉误区，就是你虽然均数在左边，但是你要始终看的是 t 到 t 加二，就始终看的是 t 到 t 加二这段范围， 它所对应的二次函数，那这时候你看，如果用学校讲的方式就二次函数在这这时候两个范围 t 和 t 加二 是不是在右面的，那这一部分里最大值取的是不是 t 加二这块，你也可以通过竖轴来看，你看竖轴 t 和 t 加二所对应的二次函数， 它所对应的是不是这一段的二次函数这一部分的，那这一部分的最大值是不是取 t 加二这块？你要看好啊，不管哪种情况，始终是在 t 和 t 加二这个区域内取的最大值，你要看的是这段范围所对应的二次函数。那第一种情况就是 x 等于 t 加二的时候，最大值 y 等于三十一， 直接把他们俩往二三号里带去完的 t， 只要符合前面的取值范围就行，如果不符合就是给他舍去。那这里咱们带一下啊，那把 t 加二往里带，是二倍的 t 加二的平方加四倍的 t 加二， 然后加一是等于三十一，咱们算一下，就变成 t 方加上二， t 方加四， t 我 直接两边同。 嗯，直接括号号变成二， t 方加上八， t 加八加四， t 加八加一等于三十一，然后变成二， t 方加上，这都算完，就划掉十二 t， 然后十七减十四等于零，所以 t 方加六， t 减七等于零，那 t 就 等于负一，或 t 等于 负七，或者是 t 等于一，那因为这种情况咱是 t 是 大于等于负一的， t 大 于等于负一，所以是不是有点 t 等于一，那这种情况求完的就是 t 等于一，不可提一，那个舍去就行，如果俩都不符合前面的趋势上，那就没有这种情况，就全舍去。 然后第二种情况后面我就不算数了啊，只说思路了。第二种情况，咱们先把这个取值范围算一下，这时候取值范围是不是 t 小 于负一，再算右面，右面就是 t 大 于等于负二。然后咱们看在这段区域，这个二次函数所对应的范围， t 和 t 加二所对应的是不是一个这样的二次函数？是这样的，那最大值是不是取 t 加二这块你可以借助画图像的方式，这时候 t 是 离这头更近一点， t 在 这，然后 t 加二是离得更远，所以这段范围里是不是 t 加二取的是最大值， 所以就是 x 等于 t 加二， y 还是等于三十一？然后第三种情况继续算范围， t 是 小于负二，大于等于负三在这个范围里，那我们看这时候这个二次函数对称轴在这， t 是 不是离对称轴更远了？ t 加二是不是离对称轴更近了？那在这部分范围内，最大值是不是就取的是 x 等于 t 的 时候，所以 x 等于 t， 它有最大值， y 等于三十一。 第三、第四种情况， t 小 于负三，那这时候第四种情况，在 t 和 t 加二这段范围内，所对的二次函数最大值是不是 x 等于 t 的 时候， y 等于最大值是三十一？这四个情况算完之后，你就看哪个符合题意就行。然后你看啊，咱们看一下， 我们看第一种和第二种，还有第三种和第四种，一二是不全是 x 等于 t 加二的时候取的最大值，三四是不全是 x 等于 t 的 时候取的最大值。所以是不可以把一二合并成一种，三四合并成一种，也就是最后你可以合并成两种去写， 那你合并成两种，你看一二取值范围是不全是对伸轴在这个终点左面的时候，三四是不全是对伸轴在这个终点右面的时候。所以咱们实际写的时候，你在实际卷纸上写，你就可以只分两种，首先把这个 t 和 t 加二画出来，然后对伸轴， 你取这个范围的终点 t 加一，那第一种情况就是对伸轴在这个范围的终点 t 加一，那第二种就是在这个终点右面，就分这两种情况就行。第一种情况， 这个是你实际写的时候，那就是对数轴负一小于等于 t 加一，那这时候你就随便画，那是不是都是 t 加二，离对头更远？全是 x 等于 t 加二的时候，取最大值 y 等于三十一。那第二种情况，全是对数轴在右面的时候，就是 对称轴负一大于 t 加一，这时候是 x 等于 t 的 时候，取最大值 y 等于三十一，所以区间最值。问题，第一种情况，第一类分两种情况呢？这个指的就是我前面说的这个， 如果你所求的最值与顶点无关呢？你看这题第一问利益啊，这里面对二次函数开口向上，它的顶点是不是最小值，但是要求的是最大值，你所求的最大值跟顶点是不是肯定无关呢？你包括后面咱这四种情况， 这四种情况里是不都没取顶点？哪个情况都没取顶点，它跟顶点是无关的，那与顶点无关呢？咱们就是分两种情况讨论。你分两种情况的时候，你要比较的是这个对称轴与这个范围的终点它俩位置关系。 就是你把这个范围，比如说这是 a， 这是 b， 那 范围中点是不是就是二分之 a 加 b 分 类的时候就分两种，一种是对称轴在这范围左边，第二种是对称轴在这范围右边，就分这两种就可以了。然后咱们再来看第二种， 第二种就是与对与顶点有关的，那与顶点有关的，咱们看这例二，例二里面说还是在这个取值范围里，哎，我把它擦掉， 等我把它擦一下啊。 例二，你们你看这里是不是 t 还是在这个范围里，然后这个二次函数，它这回求的是最小值，是零，那最小值你看啊，这个二次函数开口向上 他取最小值，他顶点是不就就最小值，那他还要求的是最小值，所以这个顶点是不就与所求的最值是有关的？与所求最值有关的话，那咱们就是分三种情况，只是合并成三种啊。你最基础的那个讨论的话，你全是可以按四种分，那咱看他是怎么给他合并的。 我先画一下，还是先把这个竖轴画出来？竖轴是，这是 t， t 加二，那这个竖轴的终点跟刚才一样啊。取终点那还是分四种情况，在第一段区域、 第二段区域，然后第三段区域、第四段区域，就分这四种情况。那先看第一种，对称轴在左边，那第一种情况，对称轴在左边，那指的是不是就是对称轴，这里还是对称轴负一，那就是负一小于等于 t， 那 这时候咱的取值范围 取最小值，是不是就 x 等于 t 的 时候取最小值， y 等于零了？那第二种情况，对称轴在里面，第三种情况，对称轴也是在里面，那我们看第二种啊， 第二种的话是不是就对称轴负一，你看这时候负一是不是在 t 和 t 加一之间了，所以是不是大于 t 小 于等于 t 加一，然后把这个 t 减出来就行。 t 是 小于负一，大于等于负二， 那这时候是不是你看取最小值是不是就取顶点了？因为在这个范围里，我给你画图啊，这个二三是这样的， t 是 在左边， t 加二啊， t 加二是在右面，在 t 到 t 加二这个范围里，它的最小值是不是还是顶点？ 你还是那句话，你不管是哪种情况，始终要看的是 x 大 于等于 t 小 于等于 t 二就在这段范围里所对应的二次函数，你找到它所对应的二次函数，然后你看一下它的最大值，最小值是谁？ 那我们再来看，那此时是不就是 x 取顶点的时候，它有最小值，那顶点就是 x 等于负一的时候， y 等于零，那第三种情况 继续化取值范围。第三种情况的话，就是负一大于 t 加一小于等于 t 加二，那这时候范围是 t 小 于负二，先把一定先把范围解出来，大于等于负三，那这时候我们看啊， 在 t 和 t 加二之间，它图像草图，是不是大概这样呢？ t 是 离对称轴更远一点， t 加二是离对称轴更近一点，在这段范围里，它的最小值是不是都是 x 等于负一的时候取 零，那是不还是取顶点？你这两个情况算出来的话，每个情况你都是算完之后，你看他成不成立，不成立你就舍去就行啊。 第四种情况，当顶点落在对伸轴的右面，这样的，那这时候是不就是 t 大 于那个对伸轴，负一是负一大于 t 加二 范围就是 t 小 于负三，然后这时候是不是 x 等于，那在这段范围内，整个范围是不是都在对称轴的左面了？就这是 t 和 t 加二，这时候是不是 x 等于 t 加二的时候，取得最小值 y 等于零？ 那我们看啊，在这个情况里面，这四种情况里，第二种和第三种，你发现它是不全是取顶点的时候，它有最小值，全是取对称轴顶点的时候，所以咱们实际写的时候，你就把它合并成三种，三种就是我上面图里画的这个列二了， 你直接对称轴只要在这个范围里面，不管是在范围偏左还是偏右，是不都取顶点，所以那第一种情况， 第一种情况就是对称轴负一小于 t， 这时候 x 是 等于 t 的 时候，有最小值， y 等于零。你看 t 和 t 加二所对的二次函数，此时是不是对应的是这一段，那最小值是不是取 t 的 时候？那我们再看第二种。 第二种就是只要对称轴落在这个 t 和 t 加二之间，是不是都是取顶点？所以这时候对称轴负一是大于 t 大 于等于 t 小 于 t 小 于 t 加二，这时候都是取顶点， x 等于负一的时候， y 等于零。第三种，只要对称轴落在这个范围的右面就是 t 一， t 加二小于负一，所以 t 就是 小于等于负三的，这时候是不是都是 x 等于 t 加二的时候，有最小值， y 等于零？ 所以咱们看啊，如果是分三种情况，讨论的就是与顶点有关的这个问题。如果所求的最值是与顶点有关的， 与顶点有关的话，咱们就必须是分三种情况讨论了。你如果记不清到底分就一二，你到底分不清就到底是分两种，还分三种，你就全按刚才分的那四种情况，也可以，都可以，就稍微计算。麻烦一点，你要能记清，最好就是分开啊。 那与顶点有关的话，比如说开口向上，它顶点是最小值，你要求的还是最小值，这时候是不是就是与顶点有关的？ 与顶点有关，咱们就分三种情况讨论。这三种情况指的就是对称轴与这个 x 范围的关系。第一种是对称轴在这个范围左面，比如说这个是范围 a 和 b， 第一种情况对称轴就在左边，第二种对称轴就在里面，第三种就是对称轴在这个范围右面，就分这三种情况就可以。 然后分析完这两个之后，咱们看一下例题啊，比如说看一下利益，这个常见的几种考法，一会咱们一会再说， 那先看利益，就是一个基本的区间最值问题，那我们看这里面它说了什么？首先这个二次函数它是咱们先读下题啊， 这个二次函数当 x 在 这个范围内的时候，它的最小值这里是不是？那我们先分析与今天有关还是无关？ 二次函数开口向上，开口向上他是不是最顶点是最小值，但这里求的就是最小值，说明是与顶点有关的，与顶点有关，那是不是就分三种情况讨论？那咱们先把这个竖轴画出来， 竖轴这是负二和这是四，那三种情况第一种情况是不就不？三种情况里面是不没有这个范围终点的事，你就不用管这个取值范围，这个终点一了，不用管了。 第一种情况，对称轴落在右面的时候，你写的时候一定把这草图画出来，好多同学你会分析之后就不爱画草图，你不画草图你就容易错，咱一定是每种情况，这草图你能画出来，就画这竖轴和二次函数，你画它也不麻烦，对不对？那第一种情况，先求这个二，咱们最开始先求这个二次函数的对称轴， 它的对称轴就是 x 等于负的二分之 b 就是 二 m。 所以 第一种情况，对称轴在这个范围左面，那就是二 m 小 于等于负二，此时在负二和四这个范围内，它所对应的二次函数是不是这种的？ 你如果要是这样不太分得清，你就再画一个图像这种，这是负二和四是不是对应的？现在这种情况，那此时是不是就是 i 取最小值，就是 x 等于负二的时候，取最小值 y 等于负二就完事了？把这俩往二次函数里带，是不是就能求出它的值？ 那第二种情况，对称轴落在负二和四之间，那就是二 m 大 于负二小于等于四，那这时候是不都是取顶点 x 等于它顶点二 m 的 时候， y 有 最小值，它是负二了，因为最小值一直给的是负二嘛。 第三种情况，对称轴落在这个范围右面，这时候是不就是二 m 大 于大于四，大于四的时候，它有最小值 y 等于负二， 对吧？你要始终看的是负二和四这段范围内所对应的二次函数啊。那这时候，那这三种情况分析完，那就完事了，你求完之后 求出来的值就是咱最后答案，这里应该是 m 啊，不是 n， 是 要求 m 的 值，求完之后这个就完事了。 那我们接下来再看下一个，下一个第二题，我们再看啊，第二题里面给的这个二次函数，然后 x 范围有了要求，此时这个二次函数的最大值是 m， 要求这个 m 的 值。那我们看一下，这个二次函数开口是向上的，顶点是它的最小值，它这里要求的是最大值， 那求最大值，你说跟那顶点最小值有关系吗？是不没有关系的，所以与顶点无关。咱们就是分两种情况讨论，那先把还是一样的，先把这个 x 取值范围写下来，三 m 勾 m 加一， 范围写下之后取它的这个中点，中点是不是就是用中点作图？公式就行，三 m 加上 m 加一，再除以二，就是二 m 加上二分之一。 然后两种情况是不是分别是在这个中点的左面一种和右面一种？那咱先看第一种对伸轴，落在这个中点左面的时候，那咱们先求这个二次函数的对伸轴，对伸轴是不就 x 等于 m， 那 第一种情况，对伸轴 m 小 于等于二 m 加上二分之一，那这时候我们看，因为它要求的是最大值， 你看此时是不是都是 m 加一？你要看的是在三 m 到三 m 加到 m 加一这一段范围所对应的二次函数图像，那它所对应的是不？ m 加一是取最大值，或者你怎么想最大值？二次函数的话，这个二次函数开口向下，它有最小值， 那因为二次函数是是一个轴对称图形，所以图像上离对称轴越远的地方，它是不是 y 的 值就越大？因为这个二次函数顶点是最小值，离对称轴越近，它的 y 是 不是越小的，所以离对称轴越远，是不是 y 就 越大的？所以咱第一种情况，你看对称轴在这个范围终点的左侧的话， 那是不是就是右这个范围的右端点？ m 加一，它是离对称轴更远的，所以它是不是最大的， 这时候就是 x 等于 m 加一的时候，取最大值 y 等于 m， 把它往里带，是不就能求 m 的 值？ 那第二种情况，当这个对称轴在这个中点的右侧的时候，我们再看，此时是不都是先写范围啊？先写 m 大 于二， m 加上二分之一，此时是不都是 x 等于 m 加 x 等于三 m 的 时候，三 m 是 离对称轴更远的， x 等于三 m， 它是不是有最大值 y 等于 m， 对 吧？你也可以画图像看啊。你第一种情况，对线轴，这是对线轴，然后它是在这个终点的， 我，我这样画这个二次函数，这个是那个中点，然后这是三 m， 这是右端点 m 加一，你看这个情况，是不都是 m 加一取大于值？或者是如果这是对称轴，这是三 m， 这是 m 加一，是不还是这段方言里还是 m 加一取大于值，所以它俩都是一样的？ 然后完事这个之后，咱们再看下一类，下一类指的是如果这个是分段函数的区间最值，问题咱们就一定是画图像去分析了，那什么意思？咱们借助实际题来看一下，你看怎么去分析？ 咱们看这个第三题，它就是一个分段函数，首先这里给了 y 一 和 y 二等于 y 一 的 x 小 于等于零， y 二是等于负的 y 一， 所以他这时候 y 二就叫 y 一 的一个关联函数，那这里就类似于一个新定义的，那所以给一个函数，你是不是要先求出它的关联函数？这个关联函数指的就是对于任意的一个函数大于零的时候，是不是就取的是它本身，小于等于零的时候，是不是就取的它的相反数？ 那所以这里面他给了这个 y 一， 那咱们先把这个 y 一 的二次函数求出来，你把负一逗零和三逗零带去，咱们求下函数零等于一，减 b 加 c， 还有零等于九加三， b 加 c， 咱求下八加上四， b 等于零，所以 b 等于负二， 那 b 等于负二的话，往第一个里带， b 等于负二，那 c 是 不是就等于负三？所以这个二次函数咱就求出来了。二次函数 y 一 y 一 是等于 x 方减二， x 减三，求完这个之后咱们再看， 那接下来咱们是不是要把这个整个的函数 y 二这个它的关联函数求出来？ y 二先写一下， 大于等于零的时候，是不是取的是 y 一 本身，所以 x 方减二， x 减三，这个是 x 大 于零的时候， x 小 于等于零， y 二是不等于 y 的 相反数，那就是负 x 方加上二， x 加三。求完函数之后，咱们把这个函数的草图图像画一下。函数图像我画在这边吧， 画在这，你看这个函数啊，原来这个二次函数，你先画上面这个，上面这个，你先把它草图，你大概想一下它是不是应该是这种的大致的草图， 那取的是大于零的部分，所以它是不是从负三这块开始取？那因为大于零这块是没有等于号的，所以这块是空心的负三，零到负三这个点是空心的图像就是这样的。 然后咱们再画底下这个，底下这个开口上下的对称轴也在右面，他底下这个他的草图是不大至应该是这种的一个这种的，那现在他取的是小于零的部分，是不就取的是这样？到这， 然后咱们再看啊，此时你看他说在 x 大 于等于负一，小于 n， 在 这，然后咱们再看啊，此时你看他说在 x 大 于等于负一，减一 到三，就是 y 的 取值范围是这个，那咱们先找一下这段范围是哪？因为这个二次函数与 你已知它的这个分段函数了，所以你就知道它与 x 轴交点，与 y 轴交点分别是三和负三，那现在 y 的 最大值能取到三，所以这个函数最高点，这是不就只能在我用蓝色笔画最高点是不就只能取到三？这块最高点就是三，这 这 y 等于三，它就只能是在这个下面，比如说这个点取到这了，是不是就不行了？那最大值就不是三了，那再看，那就说明在这段范围内，在 x 大 于等于负一，小于等于零，在这段范围里，它的最高点是不只能是介于这个蓝色线下面的部分， 那我们接下来看啊，那想符合提议的话，那我们就去找呗。因为它这个 y 等于负一，它是固定的，咱们通过求这二参数是能求出它与 y 轴交点这块 x 轴交点，这就是负一的，所以它现在取的是不是这个负一的右侧部分，那咱把用不着的这块擦掉就行。取的是这样的， 所以它现在是从负一开始取，那你看从负一开始取的话， x 是 负一到 n 之间的距离，那首先是不，第一个要满足的最高点是在这个负三，是在这个三的下面呢？那咱们你分析的时候，凡是分析参数动的时候，你都会从小到大，或者从大到小去挨个分析去，那比如说最开始这里我就把 n 从小到大去分析，那 n 最小是不是就负一？那 n 特别特别小的时候是不是跟负一特别近？比如说 n 在 这，那这时候取的函数是不是就这一段里， 我用红色笔把这函数画一下，蓝色笔画有点乱。那最开始的时候， n 特别小的时候，比如说 n 在 这，那取的函数是不是这一段就蓝色笔标的这一段？那这时候你看它符不符合？最高点是在三以下， 最高点确实在三以下了，但是它最最大值，因为 y 的 最大值是不是你需要取到三？最大值是三，但是此时你现在取的这里是不是最大值不是三？ 也就是说你想让它最大值能取到三，你是不是就得让 x 所在的这段范围里是包括这个顶点零到三呢？所以这个 n 我 在 y 轴左侧的部分，比如说 n 在 这你取不到三，是不是就不行？那 n 是 不就一定是大于零的？ 那 n 大 于零是不是就从下面这块开始取了？比如说 n 在 这这时候取的二次函数，取的是不是就这一段这种的？那这时候它的最大值是不是就是三是符合的？所以第一种情况是不是就 n 大 于零？ 那 n 大 于零的时候，它可不可以等于零？如果 n 等于零，你看 n 等于零，是不是正好是取到三这块是可以的？ 那如果，那咱们就让他 n 等于零啊？那就 n 大 于等于零的时候， n 大 于等于零，你看此时最大值是三，那最小值是不是就这个负四 n 减一， y 的 最小值负四 n 减一，那此时是不是在 x 等于 n 的 这块是取到最小值的， 对吧？那我们看，如果是等于零，它 n 在 上面，那是 x 等于 n， 你 是不是需要往左侧的这个往这个函数里带？ 所以这里面你就先判断 n 等于零的时候，符不符合题。因为这个界点这块，你 n 等于零和不等于零，它一个上码数，一个下码数，那不一样的。所以你就先看 n 等于零的时候，那 n 等于零的时候， x 是 不是大于等于负一小于等于零，这里 y 二，它的范围 y 是 不是就变成了 y 是 大于等于负一，小于等于三，那这时候你看符不符合题？那 x 在 负一到零之间，是不就是蓝色笔标的这个二函数 y 的 范围它是负一到三， 这时候是不是不符合题的？因为此时咱从图里能看出来， y 的 范围是大于等于零，小于等于三，不是这个负一到三，所以等于零的时候就不符合题，那咱接下来范围就不能写零了， 你就要写的是 n 是 大于零，那第一种情况，咱 n 大 于零，那大于零的时候，你看此时他的最小值，最大值是等于三，这是成立的，那最小值是不就是 x 等于 n 的 时候，取到最小值 y 等于负四、 n 减一， 这时候是不就可以了？但是你看，如果 n 大 于零，那在这在这，在这行不行？因为咱这里里面你什么情况发生变化，就是最大值最小值，情况变化的时候，那就是下一种情况了。那 n 刚大于零的时候，最小值是不是取 n 这块？如果再大一点，在这 n 最小值是不还是取 n？ 这， 那如果 n 过了这个二次函数的顶点，比如说 n 跑到这来，跑到右面来，那这时候你看所对应的函数是不是这一段了，那这一段函数和这一段就蓝色笔标的这一段里，最大值是 n， 最小值是不是这个二次函数的顶点？这个 y 一 的顶点是不是不符合体， 是不符最小值的情况就发生变化，就不再是这个 x n 这块了。所以呢，是不是就下一种情况了？所以这里面那第一种情况的分类，我把这图像擦了，重新画一下。 第一种图情况的分类是不就是取值范围就是 x 大 于零，小于等于对称轴，这里这个二次函数对称轴是不是 x 等于一的？所以第一种情况是零到一之间，然后 x 等于 n 的 时候，它有最小值，你求完的值只要在这范围里头就是符合的数，我就不求了啊。 第二种情况，当这个 n 跑到对称轴右侧的时候，刚跑到对称轴右侧，我们看此时他是不是这种的？ 所取的这个二次函数是不是整个画蓝色笔的这块这部分图像，那这部分图像里最大值 是不是就是那个？咱先把范围写上去啊，范围就是 n 大 于一，那这时候最大值是不是还是三？是符合的最小值，最小值是不是取顶点？这，所以这时候是不就是 x 等于一的时候？取顶点的时候，它的最小值 y 是 等于 负四， n 减一的，那你把这个 x 等于一，是要往 y 一 里面带，往 y 一 这个 x 方减二， x 减三里往这里面带。那此时咱求一下啊，你把 x 等于一带进去，它是一减二减三，最小值是负四， n 减一，那咱们求下 n 的 值，左面剩负四， 右面剩负四， n 减一，所以四， n 等于三， n 等于四分之三，这时候 n 等于四分之三，你看符不符合？ n 大 于一，他是不符合的，所以这种情况他就不成立的，你就需要舍去了。那我们再看 n 继续增大的话， n 继续增大，他可不可以一直大下去？比如说 n 再往上来，嗯，我把这图像重新画一下， 比如说 n 跑到这了， n 跑到这，你看图像是不是还是取的是这一段最大值还是三？这不变最小值还是这个 y 一 的顶点是不一样的，那如果 n 继续往上，你看情况是不是就一直是一样的？都是最小值？取这顶点， 一直到 n 跑到最上面的，再往上来，那这时候最大值是不是就不是三了？就不符合提议了。所以 n 最大是不是只能到这块， 只能到这个点？这，那就把 y 等于三往这个二次函数里带，就可以往这个 y 一 里面带去，求下这个值，那把 y 等于三往 y 一 里面带，是三等于 x 方减二， x 减三，所以 x 方减二， x 减六，等于零， x 方 减一的平方等于七，我就直接算了。 x 是 等于一加根号七，所以 n 最大值是不是就只能取到一加根号七？这块不能再大了？ 这就是小于等于一加根号七。那因为第二种情况，咱求完这个 n 是 不成立的，所以直接舍去了。 那第一种情况，你求完之后，在式子里，在这个取式范围里，它就成立的，不在范围里它就不成立的。这个就是分段函数的分析方式，你是要把 n 从小到大分析，你看在哪段范围内是可以的，然后往里带界点的值求值就行。 咱们再来看看例题啊，再看例四，看这分段函数了。分段函数区间对值还是很重要的，他比那种单的函数区间对值是要更重要一点。咱们看在这个平面直角坐标系里面， 他说 y 是 关于自变量 x 的 函数，然后给定一个 m， 勾到一个新函数 y 撇，哎呀，他这更复杂了，勾到新函数了， 咱们捋一下啊。他说这个 y 是 关于 x 函数，对于任意的给定的一个实数 m， 如果 x 小 于 m， 则 y 是 等于 y， x 大 于等于 m， 则 y 是 等于负 y， 那 指的是什么？就是你有任意的一个函数，我就举个例子，比如 y 等于 k， x 加 b， 然后现在他给了一个实数 m， 那 如果是 x 大 于 x 小 于 m 的 时候，那这个 y 撇是不就等于圆函数 y 撇是等于 y， y 撇是等于这个圆函数 y 的， 那 y 就是 k， x 加 b。 如果是 x 大 于等于 m， 这个 y 撇是不是就变成相反数，就变成负 y， 负 y 了，就变成负 k， x 加 b， 就 这种的。然后现在 他说变换后的这个 y 撇就叫做原函数 y 的 m 界购变函数，如果是一界购变函数，那 m 就是 一，二界购变函数，那 m 就是 二。 然后那现在这题里他说的是 a 界购变函数，那指着 m 是 不等于 a。 然后咱们再来看这里的题，他说现在已知这个关于 x 的 二次函数的 a 界购变函数上，那这个点在这个二次函数 a 界购变函数上，咱是不需要先把这个二次函数的 a 界会被函数求出来，那 y 撇就等于。如果 x 是 大于 x 是 小于 a 的 时候，取的是原函数，取的是跟原来一样， x 方减 ax 减 a 减一。如果是 x 是 大于等于 a 的， 取的是不是它的相反数 啊？取的就是 x 的 相反，取的就是这个原函数，相反数就是 y 的 相反数。负 x 方加上 ax 加 a 加一， 那这时候他说一逗负四是。在这函数上，咱是不得分两种情况分别讨论了。先把第一种情况，那一逗负四往第一个函数里带，往上面这里带，那这时候是不就是负四是等于一减 a 减 a 减一，这时候 二 a 等于四， a 是 等于二的，那把一逗负四往第二个函数里带，往第二个函数里带，就往这个里， 那就是负一加 a 加 a 加一，等于负四，这时候是二 a 等于负四， a 等于负二。因为题里给了 a 是 大于零的，所以这里 a 是 不就只能等于二，那只能等于二。这个函数 a 结合变函数，咱是不就知道了？所以咱把这 a 结合变函数，写下 y 撇是等于 x 方，因为 a 现在等于二，那直接往里代就行。减二， x 减三，这时候 x 是 小于二的，如果 x 大 于二，就变成负 x 方加上二， x 加三，这时候 x 大 于等于二。 知道这个之后，我们再来看下面的问题，我往上挪一下啊，现在他说在第二位说在零到 k， x 大 于等于零小于等于 k 的 时候，这个 y 撇的取值范围是这个，那咱们是不是得一定先画这个二次函数图像？先把这图像画出来， 我先画一个图像啊， x o y 那 小于等于二的时候，那它是以二为分界线，我把这个二这条线也画一下， 比如说这是 x 等于二，那原函数的话，对称轴，先看这个 x， 先把它的草图画一下，它草图大致应该是这种， 这样画一下，这儿这个就是 x 方减二， x 减三， 我标个 y 一 和 y 二吧，我把这个看成 y 一 啊，这个就是 y 一 等于 x 方减二， x 减三，我把它看成 y 一， 要不然一会带的时候容易乱。然后下面这个函数负 x 方，这个它对称轴也是一，所以上下这俩对称轴其实是一样的，然后 图像大致是这种的，其实这俩二次函数，你想啊， y 直接取相反数，横坐标一样的时候， y 取相反数，它俩其实是不就是关于 x 轴对称的？那与 y 轴交点就是三和负三与 x 轴的这个交点，咱都是可以求的，这是负一，这是三。 现在，哎，这个图像画的不太像，擦掉重新画一下，这样，这样可以， 这是三。然后咱们再来看，你看下面这个函数，它取的是不是大于等于二的部分，所以它左侧部分小于二的部分是不是不能要？所以把它给擦掉，是取的这部分，它这是实心的， 是一个这样的函数，然后上面这个它是空心的，这个二这块一定是空心的， 那这个点二，这是不是也能求出是二到三了？把这些点都求完之后，咱们接着看题，他说 x 大 于等于零，小于等于 k 大 于等于零，是不是从零开始取零，左面呢？咱就不要了，所以把 y 左面的部分擦掉，就变成最后取的图像就是一个这种的， 这个我也看成是 y 一 啊，这个我写去吧。 y 一 是 x 方减二， x 减三，这个函数看成是 y 二， y 二是等于负 x 方加二， x 加三。接下来我分析的时候用红色笔画，那这时候我们再看题， 现在他说 x 在 零到 k 这个范围里， y 的 范围是负四到负三，那我们是不是需要找一个负四到负三是哪个范围？ 那原来这个二次函数有了，有二次函数咱是不肯定需要求它的顶点，那上面这个二次函数顶点是不就一逗？你把一往里带，一逗负四下面这顶点往里带，是不是一逗四？那一逗负四是不是正好是最底下这个顶点这块？所以那它 y 取的是负四到三这段范围里，那咱把负四到三这段二次函数你找去啊。 负四指的是不是正好过顶点，这是这样的一个二次函数， 这个就是 y 等于负四，然后 y 等于三的话，最高点是不就上面这个三这块，那取的是不就这 y 等于三？所以现在指的就是零到 k 这段范围里，是不就只能在这部分里取，是不能超过这部分的， 那不能超过这部分呢？咱们先把这个 k 的 在这个位置的 k 这块求一下啊。这块就是 y 等于负四的时候，是不需要往这个 y 二里带，那是负 x 方加上二， x 加三等于负四， x 方减二， x 等于七，所以 x 方减二， x 加一，给它配方变成八， x 就 等于一加减二倍根号，那在右面这是不是就是一加二倍根号？ 我画一下，在这块就是一加上二倍根二，然后分析完事之后，咱们接下来看这个图。 接下来咱们分析 k， 就是 先从最小开始，如果 k 特别接近零的时候，可不可以比如 k 在 这， k 在 这，那此时取得二次函数，就拿红色笔画的这一段，那范围是不是负四到三？ 是不是不是负四到三呢？因为咱现在取的这个范围里，他是不是必须零到 k 这个范围里是不必须包括这个二次函数这个顶点负四就必须包括 y 一 的这个负四，所以这个 k 是 不就一定大于这个 y 一 的对称轴一的？ 所以现在 k 是 不一定是大于等于一。其次你想它还点包括它的最大值三， 想包括最大值三，那在这段里包括三，那 k 是 不是还得大于在这个三的右面才这个二度三的右面才行？比如 k 是 在这的，这时候是不可以的，所以那 k 是 不是最小的也是大于二的？ 也就是说 k 是 大于等于二，那 k 大 于等于二时候咱再看如果 k 在 这的话，你看它此时取的这段函数，是不是红色笔的这一段一直就零到 k 这一部分啊？红色笔这一段一直以及这个 y 二里是不是还多出了一段这一部分的话，它的范围是不是负四到三？ 好多同学的答案就直接写成大于等于二，小于等于就这个一加二倍根二， 你看是不是这个？那就比如说我 k 现在刚比这个二大一点的时候行不行？就比如现在我画图这块，那现在取的这个里，他范围是不是负四到三？ 他只是说这个范围里包括了最大值三和最小值负四，但中间这块范围，中间这段，中间这块的 y 是 不是都是取不着的？他不是能取到负四到三里的所有的数吧？但提提给的这个 y 撇是不是要能取到负四到三里的所有的数呢？ 所以现在这个范围是不是就不行？那你 k 是 不是得继续往下，你得把负四到三里所有数都能取上，那如果 k 在 这，你看行不行？ 这时候取的是不是这一段和红色笔画的这部分二次函数，取的是不是还是有这部分区域，这个 y 值是取不到的， 所以呢，是不是还是不可以的？也就是说你什么时候 k 才可以？ k 是 不是最少他一点？是比 这个端，就是比这个负三，在这个负三下面这块才行。比如说 k 是 在这从这块开始，那此时取到二次函数，这样的这时候他是不是才能取到负四到三之间所有的数呢？所以 k 是 不得从这个位置开始取，那这个位置的 x 值是多少？那是不是此时这个 x 是 等于负三的？那啊？这个 y 值是等于负三的，那咱是不要把这个负三往这个 y 二里面带带一下。负 x 方加二， x 加三等于负三， 所以 x 方减二， x 等于六，然后 x 方减二， x 加一是等于七， x 就 等于一加刚起， 所以这里的 k 是 不是大于等于一加根号七才行？比一加比一加根号七，再小的话，是不是取不到负四到三的所有的数？那比它大的话，是不是还得小于等于这个一加 二，一加根号二，一加二倍根二？因为如果比这个一加二倍根二再大的话，我写一下啊，比一加二倍根二再大，他是不是就得取到下面这块了？比如说 k 在 这，那这时候最小值，最小值是不是就不是负四了？所以最大他只能取到这个一加二倍根二的，这个就是最后的取值范围。 那通过这两个题，咱们就说一下你二次函数的区间最值问题，如果是分段函数这种的，一定要借助图像去分析。
206喜欢数学的张张张张
08:15查看AI文稿AI文稿下面是二零二五年宁夏中考数学真题解答题的第二十五题二次函数大题。如图，抛物线 y 等于 ax 的 平方减二， x 加三，与 x 轴的负半轴交于点 a 与 y 轴交于点 b， 顶点 c 的 横坐标为负一。第一问，求抛物线的表达式中呢，只有一个未知数 a， 而且他给出了顶点 c 的 横坐标为负一，而抛物线的顶点呢，他是位于抛物线的对称轴上面的。所以呢，第一问，我们可以直接用对称轴把它解出来，直接代入对称轴的公式， 负的二， a 分 之 b， 也就是负的二， a 分 之负二，它应该等于负一，解出来呢， a 就 等于负一。所以呢，抛线的表达式就是 y 等于负 x 的 平方减二， x 加三。 第二问，如图，一，将直线 ab 沿外轴向上平移 m 个单位长度 m 大 于零，当它与抛物线有交点的时候，求 m 的 取值范围。这一问考察的是二次函数与一次函数的关系，或者是抛物线与直线的关系。 当一条直线与抛物线有交点的时候，把两个方程连立起来，它的德尔塔应该是大于等于零的。 首先来看直线 ab， 我 们要先把 ab 的 表达式解出来。点 b 呢，很简单，它是抛物线与外轴的交点，所以令第一问的 x 等于零就可以了。所以点 b 的 横坐标是零，纵坐标是三。 点 a 呢，是抛物线与 x 的 交点，也就是令负 x 平方减二， x 加三等于零，解这个方程就可以了。 x 一 等于负三， x 二等于一， 点 a 的 横坐标就是负三，纵坐标就是零。我们把点 a 和点 b 的 坐标先标在图上， 这样的话，三角形 aob 就是 一个直角，边长为三的等腰直角三角形，这个角是四十五度， ab 的 表达式就是 y 等于 x 加三，将 ab 沿着外轴向上平移了 m 个单位长度，假设是在这里， 那么这一段的长度呢，就是 m 把平以后得到的这条直线呢，记为 l， 在平移前后呢， k 的 值是不变的，所以 l 这条直线它的 k 还是一，所以我们可以设 l 的 方程，设成 y 等于 x 加上三，再加上 m， 和第一问给出的抛线表达式进行连立。 那这个方程组呢，是不用解的，我们只需要算他的德塔就可以了。左边等于左边，右边等于右边。负 x 平方减二， x 加上三就等于 x 加上三，再加上 m， 整理一下就得到了 x 平方加上三， x 加 m 等于零，他的德塔 等于 b 平方，就是三的平方，减去四乘以一乘以 m 就 等于九减四。 m 直线与抛物线有交点，那么德尔塔是大于等于零的，所以 m 小 于等于四分之九。 来看第三问，如图二抛物线的对称轴交直线 ab 于点， e 连接 a、 c。 问，抛物线上是否存在点 p， p 点不与 c 点重合，使得三角形 p、 a、 d 的 面积等于三角形 c、 a、 d 的 面积。若存在，直接写出 p 点的横坐标，若不存在，说明理由。 我们来看图三角形 c、 a、 d 这个三角形是一个确定的三角形，它的面积我们应该是可以算出来的。 而 p 点呢，它是抛物线上的一个动点，有可能出现在上面这一部分，也可以出现在左边，也可以出现在右边。 三角形的面积等于底乘以高，再除以二。而对于 p、 a、 d 这个三角形呢，只有 a、 d 这条边是确定的，所以我们考虑将 a、 d 作为三角形 p a、 d 的 底边。然后呢，我们只要算出它的高，就能确定点 p 的 位置， 而高又怎么算呢？我们观察到三角形 p、 a、 d 和三角形 c、 a、 d 有 相同的边，都是 a、 d。 先把三角形 c、 a、 d 的 高做出来，可以从 c 点向 ab 做垂线，那么这条红色的线段呢，就是它的高，我们用小 h 来表示一下。 首先把点 c 的 坐标求出来，点 c 是 抛物线的顶点，它的纵坐标应该是四， 而点 b 的 坐标呢，是零度三 ab 这条直线呢，它与 x 轴的夹角又是四十五度，所以呢， c、 b 这条线段就是三角形 a、 d、 c 的 高， b 点是垂足， c、 b 的 长度呢，也很好算。从点 c 向外轴做一条垂线段，那么这个三角形，它应该是一个等腰直角三角形， 它的直角边长就是一。所以呢， c、 b 这条线段，它的长度就是根号二。那 c、 b 的 长度求出来以后呢，三角形 p、 a、 d 的 高也就算出来了，它也是根号二。 这个时候呢，如果点 p 在 ab 的 上方，我们就可以过点 c 做 ab 的 平行线，这条平行线与抛物线又有一个交点，它就是点 p。 因为平行线之间的距离是初数相等的，所以呢，从这个点向 ab 做垂线段，它的长度也是根号二。如果点 p 是 在 ab 的 下方呢，也很简单，我们只要将直线 ab 向下平移就可以了。 假设平移在这个位置，那么这两个交点呢，就是 p 点的分别过。这两个点向 ab 做垂线，它的距离都是根号二。 好了，现在我们已经知道 p 点有三个位置了，下面就可以开始计算了。首先来看上面的这个点，他是由直线 ab 向上平移得到的，他向上平移的应该是这段长度。我们把上面这条直线标为 l 一， 他与外轴的交点呢，即为 f 点三角形 c b f， 他 也是一个等腰直角三角形 b， f 呢，就是它的斜边，而直角边 bc 的 长度我们刚才算出来了，它是根号二，所以斜边 b f， 它应该等于二，所以我们可以直接写出 l 一 的表达式， 它就是 y 等于 x 加上五。将 l 一 与抛物线进行连立， 然后把 x 解出来就可以了， x 加五就等于负 x 平方减二， x 加上三。整理一下，我们得到了这个关于 x 的 一元二次方程。 x 一 等于负一， x 二等于负二，因为负一呢，就是 c 点的横坐标，它是不能取的，所以呢，点 p 的 横坐标就是负二。好了，第一个 p 点的横坐标我们已经算出来了，下面的这两点呢，也是如法炮制。我们把下面的这条线记为 l 二， l 一 是把 ab 向上平移了两个单位，那么很显然， l 二就是把 ab 向下平移两个单位。 所以呢，我们可以直接写出 l 二的表达式， l 二它的表达式就是 y 等于 x 加一 还是一样的，将它与二次函数连立整理，得到了关于 x 的 一元二次方程。这个方程呢，是没有办法十字相乘分解的，所以我们直接用求根公式把它两个解算出来。现在呢，下面这两个 p 点的横坐标就解出来了，就是这两个解，所以呢， p 点的横坐标 有三个，分别是负二、二分之负三，加上根号十七、二分之负三，减去根号十七这三个。
61Y老师不刷题
02:12查看AI文稿AI文稿二次函数三角形面积锥锥问题，很多孩子们还是不会做，可偏偏这个题目在中考中还属于必考题型，那么通过一个视频教大家如何去掌握这个题型 来看这个题目。这个题目第一题很简单，我们通过代入法把 a 能代进去，那么可以快速求出这个解析式，对吧？这个没问题，那么看第二题，让我们求 p 补 a c 面积最大时候，那么应该怎么求？很多孩子们对吧？呃，遇到一个问题，就是说你要求这个面积大值，那么我想这个 b c 长度是一个定值对不对？那么把这个 b c 啊作为底边对吧？那么我找出这个 p 点距离 b c 距离最长，哎， 那我这个二分之一底边再乘以高的话，面积不是最大值的吗？对不对？如果这样做的话就大错特错，这样做的话毕竟不仅是比较麻烦对不对？而且计算比较复杂，我们压根求不出 p 点到 b c 距离，就是这个 p g 应该怎么求，对吧？没办法求，那么怎么办呢？我们通过勾股法， 我们这样子啊，过 p 点向 a c 做垂线段对吧？那么交于这个 b c 是 m 点，那么通过这个 pm 把三角形 p 为 c 面积一分为二，对不对？左边面积加右边面积，这样子呢，我们就可以求出，哎，我的 p b c 面积对吧？它等于负的 m 减二平方加四，对不对？然后呢，这个式子代入式对不对？它是一个二次函数形式，它是开口朝下的，那么所以说当我这个 m 等于二的时候，对吧？ 它面积应该最大值就是等于四，对吧？好的啊，那本题切入点什么呢？我们同学们一定要注意要把这个 p 补 a c 面积啊，用这个代数式去表达对不对？这样子的话我们可以就求出它最大值是是什么时候，对不对？第二个呢？关键点， 面积法对不对？面积法，我们本题应该选用这个割补法，对吧？就是把这个 p m， 把这个三角形 p 补为 c， 一 分为二，左边右边相加，可以求出最大值对不对？而非用这个二分之一 乘以 bc， 再乘以 p g， 这样比较麻烦对不对？好，本题一说点啊，是我们同学们对吧？关于这个化简跟计算，还有我们这个题目不应该选择二分之一底边乘以高，这样去做对吧？好，大家会了没有啊，想了解更多数学解决方法关注我。
41曹轩荣数学
08:42查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天给大家讲一个二次函数的定角问题。我们的定角问题分两类，一类是定点定角，一类是动点定角。我们来看这道题， 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 等于二分之一 x 平方加 b， x 加 c， 与 y 轴交于点， a、 b 两点与 y 轴交于点 c 连接 a、 c b c， 且 b 点是负二六零，所以说这个点是 负二的零， a、 b 等于六，所以说可以得到 a 点是四的零。得到 a、 b 两点之后，我们把 a、 b 两个点代入我们的解析式里面，就可以求出 b 与 c。 这里我们的解析式求出来是 y 等于二分之一， x 的 平方减 x 减四，所以可以得到 c 点的坐标就是零度。 复式图图二将抛物线 y 等于二分之一， x 平方加 b， x 加 c， 沿射线 b c 方向平移二倍，根号五个单位。这里我们知道，实际上就是把它往右平移两个，再往下平移四个，得到抛物线 y 一 撇， 所以说 y 一 撇的解析式就是二分之一倍的 x 减二。括号的平方减 x、 减二、 减四、减四，化简之后得到是二分之一 x 的 平方减三， x 减四点， f 是 新抛物线上 y 一 撇上一点。我们假设 f 在 这里 q 为点 b。 关于 y 轴的对称点，因为我们 b 点的坐标是负二斗零，所以说 q 点的坐标就是 二斗零。单角 f q、 c 等于四十五度的时候，直接写出所有符合条件的 f 等坐标，我们连接 c q q f， 因为角 f q c 等于四十五度，所以说这个角是四十五度。我们发现 q 点也是一个固定不动的点，二六零，所以我们称这种题叫做定点定角。一般解决这种题，我们的思路是，第一 做 r t 三角形，也叫做构造一个直角三角形，第二个是 go 三垂直。 比如说这里我们可以过 c 点做 q c 的 一个垂线，交，我们 q f 于点 m， 因为角 c q m 等于四十五度， q， c m 是 一个直角，所以说我们可以得到三角形 q c m 是 一个等腰直角三角形， 也就可以得到 c q 是 等于 c m 的。 第二步，我们要构造一个三垂直出来，因为这里 角 q o， c 是 九十度角， q c m 是 九十度，已经有两个垂直了，所以说我们只需要再找一个直角。这里我们可以过 m 点做 x 轴的一个平行线，交 y 轴于点 n， 因为 c q 等于 c m， 所以 说我们可以得到三角形 q o， c 是 全等于三角形 c n m 的， 那么 c n 就 等于我们的 o， q 等于二 n， m 就 等于我们的 c o 等于四，所以说可以得到我们 m 的 横坐标就是四，纵坐标是 n o， 因为 o， c 等于四，所以说纵坐标是 负六。得到 m 点的坐标之后，因为 q 点的坐标是二度零，所以说 q m 的 直线解去式，我们就可以直接求出来 l q m， 它是等于 y 等于负三， x 加六的。接下来我们就需要求 f 这个点，那么我们知道 f 点在我们的二次函数的图像上，同样也在我们 q m 的 图像上，所以说我们只需要零逆这两个函数就可以了。 y 等于负三， x 加六， y 一 撇等于 二分之一， x 的 平方减三， x 减四，这里解出来 x 等于二倍根号五，它还有一个是负二倍根号五，我们在这里舍掉了。因为从图像上看， f 在 第四项线，我们的横坐标是正的， 所以就可以得到 f 点的横坐标是二倍根号五，那它的纵坐标我们任意带到一个解析式里面就可以得出来了， 纵坐标是负六，倍根号五加六。当然这里我们做图是过 c 点向下做的一个垂直，同样的，我们是不是还可以往上面再做一个？好，我们接下来看第二种情况。 同样我们连接 c o， 假设 f 点在上方连接 q f， 我 们稍稍延长一点点，那么 f q c 等于四十五度，所以这里是四十五度。然后我们要 构造一个直角三角形，就是做 h c 垂直， c q h 是 在那个 q f 上。 第二步我们要勾三垂直，那这里只有 h c q 一个直角，所以说我们需要构造两个出来，比如说这里我们可以过 c 点做 x 轴的 一个平行线，然后过 q 点做 y 轴的一个平行线，过 h 点做 y 轴的一个平行线，它们交于 p k 两点，因为 c h 等于 c q， 我 们就可以得到三角形 c， p h 是 全等 三角形， q k c 的 同时就可以得到 h， p 是 等于 c， k 等于二的， p c 等于 q， k 是 等于 四的，所以 h 点的坐标，因为在第三项线它就是负四的负二。同理，因为 q 点是二的零，我们就可以通过这两点把我们 q h 的 解析式求出来。 l q h 等于三分之一， x 减三分之二的一样的，这个时候我们要求 f 点只需要零逆这个函数的解析式就好。 林立德，一个是 y 等于三分之一， x 减三分之二。一个是 y 一 撇等于二分之一 x 的 平方减三， x 减四。这里解得 x 是 等于三分之十减四倍根号十的。当然另外一个结果它不符合题，我们已经舍去了。同样的，我们再把它带到我们的解去式里面，就可以得出来 f 的 动作表，这里是九分之六减四倍根号十，所以我们 f 点在这里就有两个，一个是三分之十减四倍根号十，一个是 九分之六减四倍根号时，一个是二倍根号五的负六倍根号五加六。同学们，你们学会了吗？
33小名全科通
01:21查看AI文稿AI文稿中考高频考点二残数中背角问题。如题， p 为抛物线上动点，求当角二等于二倍角一时， p 点坐标暂停思考。 思考方向，一，做大角的角平分线，得到角一的等角二，构建等腰角 a 与角一相等，针对小角同样可做等腰三角形。角 c m o 与角二相等，小角对称翻折，这里与角二相等， 详解做 e c 的 垂直平分线连接既得到等腰三角形。由外角关系的角三等于二倍角一，即与角二相等。由坐标可知， o c 为二是 o， m 为 x， 则 c m 于 e m 为四减 x。 紫色三角形勾股定律解得 x 二分之三， o c 比上 o m 得到角三的正切， 即角二的正切。角二的正切 h f 比 p h。 设 p 的 横坐标为 t， 则 h f 长度一减 t p h 长度及 p 的 纵坐标由角二的正切得到 t 等于负二分之五，代入二次函数得到 p 的 坐标。下课。
931尚学有道
00:31查看AI文稿AI文稿这个系数关系该怎么判断呢？由开口向上，左同右异，与外轴交点在二的上方可知第一项错误， 抛物线与 x 轴只有一个交点，判别是等于零，所以第二项错误，当 x 等于负一及 a 与 b 的 关系，可得 a 与 c 的 关系，所以第三项正确，当 x 等于负二时，可判断第四项正确。 想了解更多解析技巧吗？关注我，带你中考提分！
81兰亭序数学之美
01:25查看AI文稿AI文稿各位中午好啊，我们来看一道二次函数的题目。在平面直角坐标系上，不同的两个点， m， 它的坐标是 m， 二零二六， a， 它的坐标是 a， 二零二六 都在二次函数 y， e 等于 x 平方加上 b， x 加一的图像上。然后点 p 呢，它的坐标是 m 加 a 和 p 也在该二次函数的图像上。让我们求 p 的 值。 我们知道 r 次函数是轴对称图形，它一边的点的对称点，它们的纵坐标是相等的，所以我们就可以看到 m， i， n， 它肯定是关于对称轴对称的， 我们就可以求得对称轴是等于 x 等于二分之 m 加 i。 另外呢，它这个函数的表达是 y 等于 a， x 平方加上 b， x 加一。经过配方以后呢，我们可以得到 它的对准轴是 x 等于负的 r 分 之 b， 所以 正面的二分之 m 加 in 就 等于负的 r 分 之 b， 就 可以推出来 m 加 in 等于负的 f 分 之 b。 我 们再看这个 p 点，它的横坐标是 m 加 in， 它也在图像上，所以小 p 呢，就等于 a 乘以 m 加 in， 平方再加上 b 乘以 m 加 in 加一 m， i 加 e 呢，我们就可以求得等于负的 i 分 之 b， 我 们把它替换以后呢，就可以得到小 p 等于一了。
30葉星河
06:16查看AI文稿AI文稿hello， 各位初三的同学们大家好，今天我们继续来学习二次函数小题技巧，里面的最后一个图像与系数的关系， 在最后一道选择或者最后一道填空里面非常常见，接下来我们一起来看一下。老师给大家总结了八个小点，每中间会穿插一些小例子，方便大家理解。 接下来我们一起来看一下图像与系数的关系。首先我们的二次函数 y 等于 a， x 方加上 b， x 加上 c， 我们的 a、 b、 c 分 别决定图像的什么呢？我们都知道 a 是 决定它的开口的对不对？ a 和 b 共同决定了它的对称轴，所如果对称轴在外角的左侧，那意味着什么呢？那是不是说负二 a 分 之 b 是 小于零的对不对？那我们就可以得出来， a 和 b 的 符号是相同的， 这就是我们这里的四字口诀，左同右异。对称轴在外轴的右侧的话， a、 b 是 一号的。接下来我们来看第三个 c， 它取决于什么呢？系数 c， 它是与抛物，它是抛物线与外轴交点的正坐标，对不对？所以当 x 等于零时， y 等于 c， 那 我们抛物线与外轴的交点的坐标就是零度。 c 大于零时，交点就在外轴的正半轴， c 等于零时，抛物线刚好过圆点，对不对？然后 c 小 于零的时候，交点在外轴的负半轴。前三个我们主要说一下 abc， 然后下面老师给大家总结一下我们常见的 几个形式。首先二 a 加 b 和二 a 减 b， 那 么二 a 加 b 的 话，我们主要看什么？我们主要看对称轴和一的关系，因为负二 a 分 之 b， 如果它等于一的话，那是不是 b 就 等于负二 a， 那 么 b 加上二 a， 它是不是就等于零，对不对？那么同样的二 a 减 b， 它看什么呢？它看负二 a 分 之 b、 对 称轴和负一的关系。 接下来第五个看下这个 a 加 b 加 c， 它看的是当 x 等于一的时候， y 的 取值。 因为我们把 x 等于一带进去，它的 y 是 不是就等于 a 加 b 加 c， 对 不对？同样的 a 减 b 加 c， 我 们给 x 负的是负一， x 等于负一的时候，看 y 是 怎么样的。 然后接下来如果遇到类似的四 a 减二， b 加 c， 我 们都要知道它是给 x 负一个值，那么比如这个式子，它就是让 x 等于负二，然后看 y 的 取值。 那么还有一种情况，如果这个式子里面只有 a 和 c， 或者是只有 b 和 c 的 时候，我们怎么处理呢？比如式子里面只有 a 和 c 的 时候，我们是不需要把 b 消掉，那我们用什么给它消掉呢？我们用 s 等于负二， a 分 之 b， 或者是我们让 x 等于正负一或者正负二进行变换。现在老师给大家举一个例子，比如题目里如果出现三 a 加 c 和零的大小，应该是有 abc， 三个字母都要有，对不对？那我们会发现这个里面只有 a 和 c， 所以 我们就需要把 b 给消掉， b 用什么消呢？我们知道这个对称轴负二 a 分 之 b， 这个题目里面通常会告诉我们，比如负二 a 分 之 b 等于一的话，我们就可以得出来 a 和 b 的 关系， b 就 等于负二 a 对 不对？然后我们再带一个值，比如，嗯，对称的时候是一，还告诉我们 s 等于负一的时候，这个式子 过第一个式子我们就可以得出来 b 和 a 的 关系，对不对？ b 是 等于负二 a 的， 然后通过这个式子我们把负一带进去，我们就可以得出来 a 加上二， a 再加上 c 是 小于零的，所以通过这个我们就得出来三 a 加上 c 是 小于零的。 然后接下来我们看下最后两个。首先第七个让我们比较 a 加减 b 还有 am 方加上 bm。 首先我们看一下 a 加 b 还有 a， m 方加上 b m， 这两个大小怎么取呢？我都知道当 x 等于一的时候， y 就 等于 a 加 b 加 c， 对 吧？它比我们现在这个式子多了一个 c。 然后我们 这个时候不要着急，后面这个我们可以看到它是 x 等于 m 的 时候， y 等于 a， m 的 平方加上 b， m 加上 c， 对 吧？本来两个后面都有一个加 c， 所以 我们根据不等式的性质，我们我们可以给他都减去 c， 不 等式的符号是不变的，对不对？ 所以我们想要比较 a 加 b 和 a， m 方加 b m 的 关系，我们我们只需要比较 x 等于一和 x 等于 m， 比较他俩外值的大小就可以了，对不对？那么这种题他一般会告诉我们 x 函数的对称轴，比如这个题他告诉我们 x 等于一时是开口向上， x 等于一的时候是二次函数的对称轴，我们就可以得到。如果他开口向上的话，我们是不就知道 y 的 最小值就是 x 等于一的时候 值。把 e 带进去就等于 a 加 b 加 c， 那 么 a 加 b 加 c 既然是最小值，它肯定是始终小于等于 am 方加 b， m 加 c 的， 然后两边同时约去 c， 就 得到了这个式子。 接下来我们来看最后一个，可以通过这个式子得出它的对称轴。现在老师给大家推一下。首先我们可以通过一项得到 a 括号 x 一 的平方减去 x 二括号的平方，然后再加上 b 倍的括号 x 一， 减去 x 二，是不等于零呀，对不对？然后我们可以因式分解，因式分解提出一个 x 一 减去 x 二， 然后再乘以 a 倍的括号 x 一 加上 x 二，然后再加上 b， 它是等于零的。然后 它告诉我们 x 一 不等于 x 二，那么这个式子是不能为零的，对不对？那么只能这个式子为零的，这个式子为零了以后，我们就可以得到 a 倍的 x 一 加上 x 二加上 b， 它是等于零的。所以我们就进一步就可以得到 a 倍的 x 一 加上 x 二等于负 b， 然后 x 一 加上 x 二，就等于负 a 分 之 b， 那么我们都知道对称轴是负二， a 分 之 b， 对 不对？那么我们就可以给两边同时乘以二分之一，就得出来对称轴，它就是二分之 x 一 加上 x 二。 那么以上八种情况就是我们二次函数，如果小题里面考图像与系数之间的关系的话，经常出现的八种情况。 今天的知识你们学会了吗？听完课的同学们可以尝试做一下后面的辨识训练，做完的同学可以在评论区核对答案哦！
39学习规划王老师
02:02查看AI文稿AI文稿今天我们一起来学习在中考数学中比较喜欢考察的二次函数图像判断类问题，来一起来看下题目。如图，二次函数 y 等于 a， s 方加 b， a 加 c 的 图像与 x 轴的一个焦点为一斗零，则下列结论中正确的是。 先看 a、 b、 c、 d 四个选项。第一个，四 a 减二， b 加 c。 其实这类型的题型的话，一般都是对 x 进行负值得到对应的式子，当 x 等于负二时， y 刚好就是四， a 减二， b 加 c。 所以 说 a 选项其实就是问当 x 等于负二时， y 是 否大于零。那我们观察图像， x 等于负二，对应的函数值是不是在 x 轴下方，所以说第一个不对，应该小于零。第二个， b 方减四， a、 c， 那 是用来判断这个二次函数于 x 轴的交点个数， 因为咱们令 y 等于零，就能得到一个 e x 方程，这个方程有两个不同的实根，那就是与 x 轴有两个交点，你有两个相等的实根，就是与 x 轴的唯一交点，如果它没有实数根，那就说明与 x 轴没有交点，那对应的就是这个方程的的平方减 c， c， b 方减 c， c 小 于零，就说明它与 x 轴没有交点，那很明显它是有两个交点，所以说 b 也不对。 c 的 话，首先你看开口向下， a 小 于零，然后交于 y 轴正半轴，说明 c 大 于对称轴，是在外轴的左边的，那左同右异，说明 b 也小于零，一正两负，那乘积是应该大于零，所以 c 也不对， 那肯定是选 d 了。但 d 的 话，咱们也得知道它是如何判断出来。想判断 a 和 b 之间的关系的话，还是依靠对称轴才行。那这时候我发现有一个焦点是一， 另外一个焦点介于负二和负一之间。那我们可以先算一下，负二和一的这个中间值是应该等于负的二分之一，它这个中间值肯定是在对称轴的左边的，所以对称轴负的二 a 分 之， b 一定是大于负二分之一的。那这时候话我们把负号二分之， 然后又因为 a 是 小于零的嘛，两边同时乘以二， a 是 不又需要变号？就 b 大 于 a， b 大 于 a 呢？就是 a 小 于 b， 所以 说这个应该选。这是咱们中考中比较喜欢考察的一个类型。有什么问题呢？在评论区给我留言。
16数学思维杨老师
32:08查看AI文稿AI文稿中考数学的最后总复习来啦，本期的视频我们会带大家一次搞定中考数学里的高频必考题型，认真跟着学完，保证能让你最少再提高个三四十分。在评论区打出我必看完，我们直接开始第一期视 频，二次函数。先来看我们图上第一个题型，关于根据增减性比大小，这个是我们二次函数里面很常考的一个题型，对不对？比如说下面这道二五年的中考真题， 他说已知点 a 是 负二 y 一 点 b 呢，是一逗号 y 二，它们都在这个抛物线上，他说如果这个 b 的 范围是三到四，那么下列判断正确的是哪个，那我们这个时候来看一下。 提到增减性的话，我们一般对呢解析思路都是我们去找它的对称轴对不对？假如说它开口向上的话， 那么它离对称轴越近，它的函数值就越小，对不对？然后它离这个对称轴越远，它的函数值就越大。所以说咱们先来找一下它的对称轴，它的对称轴呢？负二 a 分 之 b 就是 负六分之 b 了吗？这是它的对称轴， 但这个时候 b 的 值我们是不知道的，所以说我们需要去求解一下。那这个时候因为 b 的 值我们是不知道的，所以说我们需要去求解一下。那它对应的曲值范围是多少呢？ 一定要注意哈，现在这个东西，它是一个负数，对不对？对于负数来讲，绝对值大的反而小，所以说它的范围呢，应该是负六分之四，给大家来写一下哈， 负六分之四小于这个对称轴，然后再小于什么呢？负六分之三，这个就是他对称轴所对应的他的一个横坐标，化简一下呢，就是负三分之二小于 x 轴，再小于个负二分之一，这是他大概的一个范围吗？对不对？ 然后这道题跟之前的题不一样的是之前我们都可以直接求出对称轴，然后直接求出点到对称轴的一个距离吗？对不对？但是这道题它变成了一个范围，那这个时候怎么办呢？ 其实也很简单，它范围的话，那你就求范围呗，对吧？比如说我们求一下这个 a 点到这个对称轴它对应的一个范围不就行了吗？对吧？当这个对称轴它是负三分之二的时候，对应的那这个 a 点到这个轴的距离是多少呢？咱们依次来求解一下不就行了吗？ 我们来给大家画一下哈。你看对称轴的话大概是在这里，然后负二的话它很明显小于负三分之二嘛，所以说这个负二它肯定是在这边嘛，然后一的话肯定是在这边。现在我们就是看一下负二和一谁到对称轴的距离要 更远一点，或者说更近一点嘛，对不对？我们来判断一下它们的大小。那我们先来看负二到对称轴的距离，咱们要求两点之间的距离的话，都是用那个右边的数减去左边的数，现在很明显这个，你看 这个负三分之二到这个负二分之一，它是在右边一点的吗？对吧？所以说我们求负二到这个轴的距离的话，就是用负三分之二减二，或者说用负二分之一减二，大家能理解吗？我们分别来计算一下，负三分之二减去负二的话，就是加二了吗？ 那就是负三分之二，再加上个三分之六就等于三分之四。那还有一个呢，就是用负二分之一减去个负二吗？对吧？就是负二分之一加二， 那这个算出来呢，就是负二分之一加上二分之四就等于二分之三。我们现在大概求出了负二到这个轴的距离，我们来给大家写一下哈，他对应的呢，我们把这个距离设成第一吧，你看我们把这个设成距离，设成第一的话，就是 一个是三分之四，一个是二分之三，那这个三分之四的话，很明显是要小一点的哈，所以就是三分之四小于第一，然后小于个二分之三， 这个对应的是我们负二到这个对称轴的距离，对不对？然后我们再来求一下，一到这个对称轴的距离，一在右边，所以说对应的要么是一减个负三分之二，要么呢就是一减个负二分之一。我们一起来计算一下，这个呢，就是一加三分之二，对不对？一加三分之二呢，就等于三分之五， 然后这个呢是一加二分之一就等于二分之三，一个三分之五，一个二分之三，那这俩的值分别是多少呢？我们可以来算一下哈，二分之三的话，他就是一点五， 然后五除个三的话，你看看一三得三，这里余个二二十，然后三六，呃，三六十八嘛，对不对？ 那对应的很明显，这个要大一点嘛，所以说就是二分之三小于第二，小于个三分之五，我们把一到对称轴的距离我们记成第二，那这个时候你来看一下第一和第二的范围，你就能看出他们之间的一个问题了， 这个时候我们发现第一它的最大值是二分之三，而第二的最小值是二分之三，那么很明显这个第一和第二咱们要取值的话，谁要更大一点呢？很明显是我们第二要更大一点吗？对吧？因为它的最小值就是这个第一的最大值了，所以说我们就知道了， 其实是这个 b 点，你看 b 点要离对称轴更远一点，所以就说明 y 二是要比 y 一 大的，对不对？所以说我们推到现在，我们起码可以判断出来， y 一 应该是小于 y 二的，因为这个 b 点它到对称轴的距离要更远一点， 所以说这个时候我们就可以把这个选项 c 还有这个选项 d 进行排除了，那剩下的就是 a 和 b 了呗。 a 和 b 的 话，说白了就是要比较一下一和外一的一个大小，那这个时候怎么比较呢？你看一的话，大家要去思考一下，那我如何去判断 呃，一它对应的是什么呢？这个时候我们还是同样的思路，我们要把一看成一个函数值，那大家来想，当 x 等于几的时候，函数值是一呢？在这个抛物线里面， 你可以直接来看呀，直接让 x 等于零， y 不 就等于一了吗？对吧？大家要学会带这些特殊点，一般 x 等于零是一个比较特殊的点嘛。所以说我们把 x 等于零带进去以后，你看 y 是 等于一的，所以说我们需要再比较一下 x 等于零到对称轴的距离，还有，嗯， x 等于负二的时候到这个对称轴的距离吗？对吧？那我们依次来计算一下哈，现在负二到对称轴的距离有了，那我们再来看一下零到对称轴的距离， 那对应的你看哈零到什么呢？零到负三分之二和零到负二分之一，那他对应的距离很明显就是用右边减左边嘛，对吧？就是用零减负三分之二，或者说零减负二分之一，那最终我们求出来的范围呢？这个应该是二分之一到三分之二 到三分之二，这个是我们的第三吧，咱们把零到对称轴的距离记成第三，然后他的范围呢是二分之一到三分之二，那这个时候你再来比较一下第三和这个第一，你看 这个时候第三的最大值是三分之二，然后第一的最小值是三分之四，那你看你这个的最大值都比人家的最小值还要小，那么我们就可以得到第三，一定小于第一，那 那就说明说明这个 x 等于零，他离对称轴，你看他对应的这个点到对称轴的距离是更近的，大家能理解吗？他距离更近，那么他是不是函数值就更小了呢？所以说一他应该是小于外一的，所以答案是我们的 a 选项。大家看一下这道题能不能跟上 这道题，说白了他就是比我们一般的根据增减性比大小稍微复杂一点，因为他研究的是范围吗？对吧？但是核心的解析思路都是一样的，就是利用我们的对称轴，利用倒对称轴之间的距离来进行解析哈。 我们来给大家总结一下，大家可以来看一下哈，对于比较函数值大小的方法呢？首先第一个我们可以代数求值比较大小，对不对？这个是最简单的直接代数求值不就行了吗？然后第二个比较常考的呢，就是我们借助图像 也可以比较大小，对不对？比如说你在图像，图像画出来，然后判断一下那两个点，然后利用图像比大小也是可以的。然后第三种呢，就是根据它到对称轴的距离比较大小， a 大 于零的时候，离对称轴越远，函数值越大， a 小 于零的时候，离对称轴越远，函数值越小。这些基础的一些解析方法，大家一定要记住哈，我们学数学核心就是学的这些解析方法，因为这样的话你才能碰到不同的题目，然后都能做出来，这是我们的第一个题型。 ok， 然后我们继续往下看，再来看我们第二个题型。第二个题型呢，我们研究一下焦点问题，这是一道二五年的中考真题哈，他说已知二次函数 y 等于这个东西， 然后 a 是 常数第一小问，他说如果该二次函数的图像和直线 y 等于二， a 方有两个焦点，求 a 的 取值范围是多少？ 第一小问，怎么去做呢？其实这里呢，它涉及到两个思路，你都可以做出来，比如说我们从相交这里入手哈，你看它跟直线有两个交点，那我是不是可以连力呢？对不对？你看我连力这个二次函数和这个一次函数，你看我是不是可以把它进行连力，对不对？ 他说有两个焦点说明我连立以后有两个解，我把它连立以后，然后我让得到的那个新方程得它大于零，可不可以？很明显是没有问题的呀，我们来给大家列一下哈，那对应的，你看这两个方程一连立的话，那对应的他们左边都是 y， 那 右边肯定相等了呗，也就是这坨东西等于二 a 方吗？大家来看一下， 这一坨东西等于二 a 方，对不对？这是我们得到的新的方程，那我们给它化简一下，左边有三 a 方，右边有二 a 方。化简一下呢，就是 x 方加上二倍的 a 加一 x， 再加上 a 方减二， a 加三等于零，这是我们得到的新的方程， 我们这个方程应该有两个减，因为它说有两个交点嘛，对吧？所以说我们要让得它大于零，得它呢，就等于 b 方，这个的平方呢，就是四倍的括号里面 a 加一括起来的平方。我们直接化简出来呢，就是 a 方加二 a 再加一，对不对？ b 方减四 a， c 四乘一，再乘个括号里面 a 方减二， a 加三，它应该是大于零的。化简一下，四 a 方加八， a 加三，它应该是大于零的。化简一下，四 a 方加八， a 加三，它应该是大于零的。化简一下，四 a 方加八， a 加四，再加八 a 再减十二大于零， 四 a 方和四 a 方消掉了，对不对？然后八 a 加八 a 等于十六 a， 然后加四减十二，就是减八大于零嘛，那就是十六 a 大 于八， 所以 a 应该大于二分之一啊，我们是不是就快速把第一小问求解出来了呢？对吧？对于这种焦点问题，咱们的解题思路一般就是连力，然后你看，根据题目里给的条件，你来限制就可以了哈，这是我们第一小问。 当然了，第一小问其实还有另外一种解题思路，就是我不从连利的角度出发的话，我也可以做出来，我们来给大家讲一下哈，大家可以暂停视频，你自己下去去算一下。第二种方法呢，我们利用的是这样子的， 他说这个二次函数图像，你看他跟直线 y 等于二 a 方是有两个交点的，那说明什么呢？说明 y 等于二 a 方，他应该在这个 最低点的上方呀，对不对？你想想，如果 y 等于二 a 方，在这个图像的下方的话，它是没有交点的，如果正好在最小值这里的话，它有一个交点，然后它现在有两个交点，说明它一定是大于这个最小值的，对不对？ 那对应的我们就可以得到它的最小值，应该是，你看应该是小于二 a 方的呀。所以说最小值的话，你可以直接套公式，我们的顶点坐标不就是负二 a 分 之 b 逗号，四 a 分 之四 a c 减 b 方吗？对吧？所以你就让四 a 分 之四 a c 减 b 方小于二 a 方就可以了，你可以列一个这样的方程，同样可以求解出来哈。 这里的四 a 分 之四 a c 减 b 方的话，你要对应到这个题目里面哈，去写这个二次函数，它对应的 abc 分 别是多少，然后代入到里面，然后让它小于二 a 方就可以了，同样可以求解出来，这是另外一种思路，大家可以暂停视频，你自己去试一下哈。 ok， 然后我们继续往下看，再来看我们第二小问。第二小问呢？他要求解的是啥？他，他说如果该二次函数的图像和 x 轴有交点，求 a 的 值是多少？ 那这个交点问题怎么进行转换呢？咱们要学会转换，跟 x 轴有交点对应的就是你看他画一个图像的话，那说明他让他等于零的话，你看让这个 y 等于零的话，就是这个新的方程，他的的应该大于零呀，对不对？ 那这个得它应该大于等于零呀，对不对？因为它也可能是有一个焦点哈，因为它只说了有焦点，又没有说有几个焦点，所以得它应该大于等于零，对吧？那我们基于新得到的这个方程，我们来写一下， 那这个得它呢？就等于 b 方，也就是四乘个括号里面 a 加一括起来的平方，也就是 a 方加二， a 加一，我们这里直接给大家写出来了哈， 然后对应的 b 方减四 a c， 对 不对？那就是减去四倍的四乘一，然后再乘个三， a 方减二， a 加三，它应该是大于等于零的，我们来化解一下，那就是四 a 方加八， a 加四，减十二 a 方 再加八 a 再减十二大于等于零，四 a 方减十二 a 方呢，就是负八 a 方，然后再加十六 a 再减八大于等于零。这个时候呢，我们来同时除一下负八吧，那得到的呢，就是 a 方减二， a 加一小于等于零，一定要注意哈， 你左右两边同乘除一个负数的话，是也不等式，是要变号的哈。所以说我们现在得到 a 方减二， a 加一，小于等于零，对不对？那我们来想哈，我们要让这个东西小于等于零的话，咱们要怎么限制呢？那你想它是一个开口向上的呀，它怎么可能小于等于零吗？ 对不对？我们要找的是小于等于零的部分的话，那这个时候我们先来看一下这个图像，它跟 x 轴有没有交点哈，我们先来看一下，对于这个函数的话，我们先来求一下它的得它呗，它的得它呢？就等于 b 方减四 a c， 也就是四再减去四乘一，再乘一得它等于零， 但是它等于零，说明它跟 x 轴只有一个交点，大家能理解吗？它跟 x 轴只有一个交点，然后我们现在要求的是它小于等于零的部分，那小于零的部分很明显是没有了，只有等于零的部分，那什么时候等于零呢？很明显那对应的就是它这个 最小值，这个顶点处呀，也就是它对称轴这里取到呀。那这个时候 a 等于几呢？我们来看一下，这个时候负二 a 分 之 b， 那 就是负的二，分之负二就等于一了呗， 所以说我们就得到了，当他这个 a 的 值取的是一的时候，我们可以让他跟 x 轴有交点，大家能理解吗？这是我们第二题的一个 答案哈，最终结果 a 等于一，大家看一下自己能不能跟上，说白了就是不断把这些文字转换成咱们可以理理解的数学语言，然后来列方程进行求解就可以了哈。 ok， 然后我们继续往下看，再来看我们第三题，求证该二次函数的图像不经过原点， 那像这个的话，我们怎么进行转换呢？大家来看一下。像这种题目都是不断的把文字转换成我们可以理解的数学式子，可以求解的数学式子，他说现在不经过远点，那我就来验证一下呗，我就是验证一下，当 x 等于零的时候， y 不 等于零不就行了吗？对吧？ 大家看一下自己能不能想到这一步转换呢？所以说这个时候我们可以令 x 等于零，我们来计算一下 y， 这个时候 y 呢？你看零的话，这一项没了，这一项也没了，所以它 y 就 等于三， a 方减二， a 加三，那这个东西它到底等不等于零呢？ 那这个时候我们来算一下呗，其实你可以把它看成一个新的二次函数嘛，你算一下得它呗，得它等于 b 方减四， a c， 也就是四再减去四乘三，再乘三，很明显得它是小于零的，所以你就可以写呀，我把这个东西看成一个新的函数，它的得它得它是小于零的，它开口是向上的， 所以说它跟 x 轴是没有交点的，它的函数值 y 是 恒大于零的呀，对不对？所以说它一定不经过原点，因为这个时候 y 的 值一定是大于零的，大家能理解吗？ 这是我们对应的这道题，第二道题对应的一个解析思路哈，然后我们给大家总结一下呢，就是焦点坐标的确定，一般我们就是通过连立直线和抛物线来构造一个方程组， 对不对？就如果说你要去求焦点坐标的话，你就连立就可以了。然后呢，如果要根据焦点情况，让我们来求解一下参数范围呀，或者说求参数的值呀，那你就可以去考虑根的判别式，你看算一下等于它呗，或者说转化为解不等式，或者说解方程就是根据提意嘛，对吧？ 有两个焦点有焦点对不对？根据题我们去列方程，然后我们来计算那个不等式对应的结果是多少就可以了，对不对？这就是我们这道题对哪一个解析思路。那我们现在其实讲完这两道题了，就大家可以发现哈，就如果你数学讲题分，那么你学习的时候，你必须要去学 同题目它背后对应的一个答题通法。为什么咱们很多同学上课你你上课一听就懂，一到考场呢，拿笔就蒙呢？为什么你错过的题反反复复错，你稍微换个包装就不会做了呢？咱们被说中的同学，你可以在弹幕里扣个一， 其实根本原因不在于你刷题刷的太少了，更不在于你脑子笨，而是因为你永远停留在就题答题的一个浅层， 你没有建立起一套举一反三的模型库。所以如果你现在的数学成绩老是卡在瓶颈期，你靠自己怎么都突破不了的话，那么你不要在低效死科了哈， 你可以直接通过这里把你最近刚考完的一张卷子以及成绩发过来，我直接帮你做一次最深度的试卷分析，揪出你思维上的一个漏洞哈，大家可以直接带着你的问题来找我哈。 好，那我们继续来看下一个非常容易出错的一个题型，非常常考的一个题型哈。第三道题，第三个题型讲的是动点轨迹与图像问题，他也是二五年的一道中考真题，我们来看一下这道题呢，咱们研究的是动点轨迹的一个问题，他 说如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中角， a 是 等于三十度的， ab 是 等于六的，给大家来画一下哈， a、 b 等于六，然后 a、 d 等于三点，屁，从点 a 出发，以每秒三个单位长度的速度沿折线 a、 d 到 d、 c 运动， 我们读到这里以后，我们就发现了它是一个动点运动问题，对不对？那对于这种动点问题，我们常见的解析思路非常简单，就是你直接设未知量，直接设时间为 t 或者说为 x， 比如说在这道题目里面，我们往后看，你就发现了，很明显他直接把这个时间给你设出来了，对不对？那他如果没有给你设的话，你也要自己会去设未知量，我们一般都是设时间哈，注意一般都是设时间，然后把时间设出来以后，然后通过这个 t， 或者说通过这个 x， 我们来表示线段长度就行了，表示线段长度，因为速度一般会直接告诉你吗？那速度有了，时间也设出来了，那不就能表示线段长度了吗？对不对？知道线段长度，我不就能放到几何题目里面来进行解析了吗？不就转换成几何问题了吗？对吧？那我们来看一下这道题哈， 它现在告诉我们速度是每秒三个单位长度，然后沿折线 a、 d 到 d、 c 运动。这里又有一个易错点，就是如果说它是在两段上面，两个线段两段线段上面运动的话，那么一般要分分类讨论哈，这里也是大家一边读题一边要考虑出来的， 我们要进行分类讨论，对吧？然后再往下看，他说同时点 q， 从点 a 出发，以每秒两个单位长度的速度沿 a、 b 向点 b 运动，那这个的话，它其实就只有在一段线段上面运动啊，所以说对于点 q 来讲，其实我们就不用分类讨论了，因为它就在一段上面动，对不对？ 那这个时候我们直接来设未知量呗，知道时间，知道速度了，所以说 a q 的 长， a q 的 长度是多少呢？大家来看哈， a q 这一段线段长度，速度乘时间，它的速度是二，时间是 x， 已经设出来了嘛，所以 a q 是 二 x， 那 么这个 b q 呢？就是六减二 x 了呗，大家来看，我们是不是可以快速表示出来各个线段的长度呢？对吧？所以数学题很简单，就是按照我们讲的这些解析思路，你不断地去，你看多一道题目里面去做题就行了呀。然后再往下看， 他说设其中一个动点到达终点的时候，另一个动点也随之停止运动，设 b p q 的 面积为 y， b p q 在 这里 这个面积是 y， 运动时间为 x， 让我们去求 y 和 x 之间的函数关系。那对于 p 点的话，因为它有两段嘛，所以说我们依次来研究哈，那我先来研究 p 点在 a、 d 段上呗，对不对？ p 点如果在 a、 d 段上的话，对应的解析思路是什么呢？大家来看一下， 这道题对应的 a、 b、 c、 d 四个选项大概长这样子，大家来看一下，我们其实就是在这个图里面来进行选择嘛，那我们先来算一下呗，我们自己来算哈。当 p 在 a、 d 段上的时候，如果说我，我想求这个三角形 b p、 q 的 一个面积的话， 那么对应的我要求的是什么？我要求的是底，我要求的是高呀，对不对？这个时候它的底是啥？它的底是 b q 呀？我们是不是现在已经表示出来了，它就是六减二 x， 那 它的高是多少呢？ 那我是不是得过顶点向下做垂线呢？对不对？所以说我过 p 点往下做一个垂线，比如说交于一个 m 点的话，那么这个高 pm 的 距离能不能表示出来呢？ 很明显是可以的呀，因为你可以把 p 点在 a、 d 段上对应的 ap 的 距离表示出来，因为它的速度是三，时间是 x， 所以 ap 就是 三 x， 对 不对？然后你又知道 a 点呢？它是三十度 后， pm 又是垂直的，所以说在直角三角形 apm 里面，三十度所在的直角边等于斜边的一半，所以 pm 是 等于二分之三 x 的， 大家能理解吗？二分之三 x， 哈， 二分之三 x， 所以 说这个面积 y 呢，就等于二分之一乘底边，六减二 x 再乘高，高呢是二分之三 x， 我 们化简一下，那就是三减 x， 再乘个二分之三 x 嘛，那就是 负二分之三 x 方，再加上二分之九 x， 那 这个东西是啥呢？很明显是个二次函数呀，对不对？所以说这个时候我们就可以来排除一下了。在第一段里面上来就是直线的，肯定可以直接排除，那就是把我们的 b 选项进行排除了呗，对不对？给大家来看一下，然后再来看 a、 c、 d， 呃，这个时候你看他们有的是这样走的，有的是这样走的，那这个时候我们再来看一下它的开口嘛，因为它是负二分之三 x 方，它是一个开口向下的，对不对？它是开口向下的，所以说我们对应的把这个 c 选项也排除了，因为这个 c 选项很明显看起来就是一个开口向上的嘛，对吧？所以这个 c 是 不对的哈。 然后对于 a 和 d 的 话，先在第一段你看，很明显长得是一模一样的，那我们就来看一下第二段呗，对吧？第二段的话，就是我们让这个 p 点走到另外一段， 给大家来化解一下哈，当 p 走到第二段，第二段是 d c， 对 不对？我们直接来写，当 p 走到 d c 段的时候，我们再来表示一下， 你看这个时候呢， p 点在这里，我们假设 q 点在这里吧，我们随便画的哈。这个时候对应的三角形 b p， q 是 长这样子的，它的底边呢？还是 b q 的 长度，对不对？ a q 是 二 x， 所以 b q 就是 六减二 x， 然后它的高的话，你会发现它的高变成不变了， 因为 p 点在在 dc 上面动， dc 和 ab 是 平行的，因为 abcd 是 一个平行四边形，对吧？所以说我们就知道了，它的高是不变的，那它的高是多少呢？我们来计算一下哈， 那你看你，你就平移到 d 点这里做个垂直呗，然后这个是三十度 a， d 是 三，那这个对呢？不就是二分之三了吗？所以它的高就是二分之三，固定不变了，所以 y 就 等于二分之一乘底边六减二 x 再乘高，高是二分之三， 那就等于三减 x 再乘个二分之三嘛，对吧？那这个时候你会发现它很明显是一个一次函数呀，对不对？它应该是一条直线，所以说答案选什么？ 很明显那对应的第二段是直线的话，那这个 d 选项也排除了，那答案不就是我们的 a 选项了吗？我们是不是就快速求解出来了呢，对吧？这是我们第三道题哈，这是一道动点问题，和图像进行结合的，在考试里面也是非常常考的，我们最终给大家总结一下它的解析思路哈，非常固定。 首先第一点就是你可以根据动点轨迹和所给的变量表示出所需要的限断长。所给的变量是啥呢？一般就是告诉你速度嘛，然后时间是不知道的，时间我们设成 x 嘛，对吧？ x 是 那个 就是那个时间 t 嘛，它是在变化的，然后速度一般是不变的哈，然后你就用我们的 x 乘微，或者说用 t 乘微就可以表示出线段长度了，对吧？ 第二步呢，我们就是可以来表示一下面积，因为这道题他要求的是面积，所以你要表示面积，还有自变量的这个式子表示因变量吗？对吧？假如说你要求周长，那你就用这个 x， 或者说用这个 t 来表示周长不就行了吗？对吧？就是用自变量表示因变量。 第三步呢，你就确定出这个函数关系式，然后来进行研究就可以了，这就是整体的一个解析思路，说白了就是时间一般是你需要去设的哈，然后设出时间以后，用它来表示线段长度，这是对应的第三个题型，它的一些解析思路。 ok， 那 我们继续往下看，再来看我们第四个题型，关于二次函数图像和性质的一个综合。这个在考试里面，选择题是非常常考的，比如说这道题呢，是二五年的一道中考真题，你看它是一道选择题对不对？ 这种题呢，在选择题目里面经常会让你去研究二次函数的性质呀，哪个对，哪个不对？对不对？比如说我们来看这道题，他说在平面直角坐标系中，二次函数的图像和 x 轴有两个交点， 一定要注意哈，咱们做数学题就是一边读题一边翻译条件，数学题的话，只要你把条件翻译出来了，那么对应的这道题你就能快速做出来。比如说他说跟 x 轴有两个交点，怎么去进行翻译呢？大家来想， 跟 x 轴有两个交点，那不就说明他的的它应该大于零吗？对吧？的它大于零。让这个东西等于零的话，这个方程的的它应该是大于零的，那就是的它等于 b 方，也就是四 a 方，再减去四 a c， 对 吧？他应该大于零。化解一下四 a 方，再减四 a 方，再加十二 a 大 于零，那就是十二 a 大 于零，也就是 a 大 于零了呗。所以说通过第一句话，我们推出一个条件，就是他是开口向上的，因为 a 大 于零，对吧？我们把这些先记下来哈， 与 x 轴有两个交点，推出了 a 大 于零，然后再往下看，他说这两个交点分别位于外轴的两侧。那第二句话我们可以推出什么条件呢？大家来思考一下。这两个交点分别位于啊，分别位于外轴的两侧， 那说明他俩的乘积应该是一个负数呀，对不对？我们应该这个时候去考虑咱们的韦达定律哈，一定要注意他涉及到两个焦点的乘积呀，或者说加法。那你就可以去考虑韦达定律，比如说这个时候他说位于外轴的两侧 啊，这个不就是在说一正一负吗？那一正一负的话，一般去考虑啥呢？就是考虑乘积呀，对不对？所以说现在我们得到 x 一 乘 x 二等于 a 分 之 c， 也就是 a 分 之 a 减三，它应该是小于零的，对吧？然后我们现在知道 a 是 大于零的，那对应的不就是 a 减三小于零吗？那不就是 a 小 于三吗？ 再说通过第二个条件，我们就可以推出 a 的 取值范围呢，应该是零小于 a 小 于三，这是我们读完题以后，咱们推出来的一个图像的性质，对吧？然后我们再往下看 a 选项，他说图像的开口向下，那么很明显这个直接排除了呀，肯定不对呀。再看 b 选项， 他说当 x 大 于零的时候， y 的 值随 x 的 增大而增大，那大家来看哈，我们现在知道他图像大概长这样子，他说 x 大 于零的时候， y 随 x 的 增大而增大，这个是一定的吗？其实是不一定的呀，对不对？因为你这个时候可以去判断一下它的对称轴，它的对称轴负二， a 分 之 b 就是 负的二， a 分 之负二 a， 那 很明显它的对称轴是等于一呀。 当你发现它的对称轴是一的时候，这个图像我们就可以写得更细节一点了哈。它大概的话应该是这样子呀，你看这个是 x 等于一，所以说它当 x 大 于零的时候，它是先减小再增大，对应的 b 选项也不对，再看 c， 它说函数的最小值小于负三。 那我们这个时候我们代值来求解一下嘛。咱们已经知道对称轴这里是 x 等于一了，所以说我们把 x 等于一带进去呢，它对应的 y 就 等于 a 减二， a 加 a 再减三， 那就是，哎，那这个直接化简出来了吗？那它直接等于负三呀，所以说它的最小值就是等于负三，不是小于负三， c 也不对，那么不用想了，答案肯定就是我们的 d 选项了呗。他说当 x 等于二的时候， y 小 于零， 我们来研究一下哈，当 x 等于二的时候，验证一下，为什么它是正确的呢？这个时候 y 是 不是就等于四 a 减去四 a， 因为你看哈，二 a 再乘个二，不就是四 a 了吗？然后再加个 a， 再减个三，就等于 a 减三了吗？ 那为什么它是 y 小 于零呢？因为我们知道 a 的 取值范围，我们在读题的时候，我们就求出来了， a 的 取值范围是零到三，所以说它要去减三的话，那肯定是小于零的呀， 对，四 d 选项是正确的对不对？这就是我们第四个题型，关于二次函数图像和性质的一个综合，我们最终给大家总结一下它常考的一些知识点哈。首先第一个我们常用的方法就是竖形结合，就是你要学会从解析式，然后呢画出图像，然后从图像上再来看一下它的性质特点。 图像看性质的话，比如说看一下它的增减性呀，对不对？或说看一下它的对称轴呀，这些都是我们常看的一些性质，它的一些特点哈。 然后第二点就是它的图像和系数之间的关系的话，首先 a 决定什么呢？决定开口，然后 b 和 a 共同决定对称轴的位置。 然后呢，我们可以记一个小结论，就是左同右异，也就是如果 a 和 b 的 符号，它们的 符号是相同的，比如说它们都是正数的话，那么对称轴呢？就是在外轴的左边，如果说 a 和 b 是 异号的话，那么这个对称轴就是在外轴的一个右边哈，这个结论大家可以去简单的去记一下， 然后第三点呢， c 决定的是什么？决定的是抛物线和 y 轴的一个焦点嘛，对吧？然后第四个的话，这个作为一个小结论，大家也可以了解一下，你想想，当 x 等于一的时候，它判断的是 a 加 b 加 c 的 符号， x 等于负一的时候，判断的是 a 减 b 加 c 的 符号， 这个大家能理解吗？因为二次函数它不就是 y 等于 ax 方加 b， x 加 c 嘛，对吧？然后同样的道理， x 等于二的时候，你可以判断的是四 a 加二 b 加 c 的 一个符号， 这个在二次函数结论问题那里经常让你去判断，给你一个含 abc 的 式子，让你判断它是大于零还是小于零，对不对？这个时候我们都是可以通过代值进行求解的，所以说第四点大家可以作为了解，考试的时候 要学会往这个函数里面进行代值，得到一个含有 abc 的 一个式子，然后来判断这个式子是大于零还是小于零哈， ok， 这个是我们第二点。然后最后呢，第三大点的话，就是关于对称性的一个应用，就是对称轴呢，它是等于二分之 x 一 加 x 二的，这里的 x 一 和 x 二呢，它必须到对称轴的距离相等哈，就是你看 就是关于对称轴对称的两个点吗？也就是他们的函数值相等的时候，那么基于这两个点， x 一 和 x 二，我们是可以去求对称轴的，他们之间有一个这样的关系，大家也可以去记一下这个小结论，也就是到对称轴距离相等的点，他的外值是相等的吗？对吧？这个是大家需要去记住的哈。 他们的外值相等，然后对应的到对称轴距离相等的这两个点呢？他们有一个结论就是 x 轴就等于二分之 x 一 加 x 二，这就是我们对应的第四个体型，需要给大家补充复习的一些知识点，大家可以去记一下哈！ ok， 那 以上就是咱们关于二次函数图像性质这块的一些必考题型了，但是老师说实话哈，你光会做这几道题，顶多只能让你多拿几分。 初中数学真正的分水岭，拼的根本不是你刷了多少道题，而是咱们底层的一个学习逻辑。那很多人可能不知道，老师我以前也是数学不及格的一个底子，我之所以能一路逆袭到多次满分，其实靠的呢，就是一套极度理性的数学抢分系统，题海战术救不了低分，但是对的方法可以， 我把我的不及格到满分的所有底层学习方法以及避坑指南全部整理成了一节内部逆袭方法课。想彻底打通数学思维的你可以直接通过这里来加我，这节课我免费发给你，花半个小时看完就能立刻停止你的低效无效努力。 最后千万别忘了三连加关注，小猫老师接下来会继续更新中考数学总复习的其他板块，我们下期视频再见，大家拜拜！
1236小曼老师的数学课
19:56查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们讲的是二次函数核心性质。 我们已经初步认识了二次函数，它不仅仅是一个抽象的数学公式，更是描述现实世界中许多现象的有力工具。今天我们将深入探索二次函数图像 抛物线的三个核心秘密，开口方向、对称轴和顶点。掌握了这三个要素，你就掌握了二次函数的灵魂，能够精确地描出它的图像，并解决各种相关的问题。 本次课程我们将分为六个部分，首先我们会回顾二次函数的一个定义图像特征，接着我们将详细的拆解它的开口方向、对称轴以及顶点这三大核心性质的判断与计算。 然后我们会学习到一套标准的解析流程，提升我们做题效率。 然后之后就是相应的立体演练，巩固所学技巧。最后我会常梳理常见的易错点，并进行全面的总结和回顾。 首先我们来回顾一下二次函数的基本概念，它的标准形式为 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 关键在于它的二次项系数 a 不 能为零。我们学习二次函数的核心思想就是一个树形结合，我们要把它的式子做出来之后，再将它的几何图像一并画出来。 嗯，连接一般式和顶点式的桥梁就是重要的配方法，通过配方法，我们可以将一般式转化为顶点式， 这样就方便我们去找出它的对称轴，顶点的核心性质。嗯，顶点式和一般式它们都有各自的优势，我们在后续的时候，在用到一些题的时候，会根据实际情况来进行讲解。 二次函数的第一个核心性质就是开口方向，这个非常简单，我们只需要看二次项系数 a， 它是正还是负，如果说 a 大 于零的，那么它开口是向上的。 如果说 a 小 于零，那么这个二次函数它的开口就是向下的。 比如我们看这个例子， y 等于二， x 的 四方加三， x 减一， a 等于二，它是大于零的，那么它开口向上。 如果说 y 等于负零点五， x 平方加四， a 是 负零点五，它小于零，那么它开口向下。这里涉及到一个最大最小值的定义。我们来看，如果是 a 大 于零的时候，它的这个图像它是一直往上延伸的， 它不可能有最大值，它有它是无限大的，但是它有一个最低点， 那么在它这个最低点的时候，就是它的最小值。那么反之，开口向下的时候，它有一个最高点，它会无穷的小，那么就找它的这个最高点，就是它的最大值。 接下来是对称轴，对称轴是一条垂直于 x 轴的直线，它会让抛物线的左右两部分对折后能完全的重合。 如果我们的一般式是 y 等于 a， x 次方加 b， x 加 c 的 话，我们就有一种正常求法，就是 x 等于负，二， a 分 之 b。 如果我们是顶点式的话，那么我们直接可以看出来，我们顶点式式子是 y 等于二，括号 x 减四方块，平方加四加七，那它的对称轴就是这个顶点式里面 x 后面减去的这个数，这个就是它的对称轴， 我们来看大致就是这个样子。如果说这是一个二次函数，那么它的对称轴就是这样子，它的左右两部分是完全可以重合的，我们需要记住这个式子和顶点式的看法。 第三个核心性质就是顶点了，顶点这个是非常重要的，它在二次函数的大题里面会经常的用到， 它就是一个抛物线的最高点或最低点。求顶点坐标一般分为两个步骤，我们先求它的横坐标，负二， a 分 之 b， 这个负二， a 分 之 b 很 熟悉，没错，就是它的对称轴，我们画一个图像， 呃，可能画的有点马虎吧，就这个位置， 对于这个二次函数来讲，那么这个点就是它的顶点，那它的横坐标就正好就坐落在它的这个对称轴上，那么它的横坐标我们就用对称轴的求法就可以求出来它的横坐标，那它的纵坐标 就需要我们将它的这个横坐标带回它的那个圆式子，就可以求出它的纵坐标，它的顶点坐标就为这个形式。 这里 f 负呃，二， a 分 之 b， 其实意思就是当 x 等于负二， a 分 之 b 的 时候， y 的 值， 这里顶点式的求法，如果我们是顶点式的话，那么我们根本就不需要计算，我们看这个式子， y 等于 a， 符号 x 减 h， 反号平方加 k， 那 么这里面 它的顶点坐标就是 h 和 k， k 为它的纵坐标， h 就 为它的横坐标。我们来看一下这个 一般是 y 等于 x， 方减六， x 加五，那么我们先求它的横坐标，就是负二， a 分 之 b 就 等于一个负六，负的二乘一 就等于一个三，顶点坐标是三，然后我们再反反带回去这个一般式，求出来它的纵轴标为负四，这就是它顶点坐标。我们再看这个顶点式是 y 等于二，括号 x 减四，反二，平方加七，那么它的顶点坐标就是四七。 我们学习了单个性质之后，我们来总结一套标准的一个解题流程。 无论面对什么样的一个二次函数，我们都可以遵循一个固定的步骤来分析它的性质。首先我们就需要去识别一个函数的形式，例如这个函数 y 等于负二， x 平方加八， x 减五， 我们先根据 a 来判断出它的开口方向，这里的 a 是 负二，那我们这个函数大致图，图像就大致是这个样， 是开口向下的。我们再根据它的 b 和 a 进行它的对称轴求解，就是负二， a 分 之 b 求出来，它对称轴是 负的，二乘负二就等于一个二， 这这个函数的对称轴就是二，那么它的顶点坐标，我们再把这个二带回到这个圆式子中。 负二乘以四，加上八乘以二减五 就等于三，那么它顶点坐标就是二三， 这就是它定点坐标。我们拿到任何一个二次函数的时候，我们首先分析它的开口方向，通过 a 分 析它的开口方向之后开始进行第二步， 以负二 a 分 之 b 来求出来它的对称轴。再到第三步，将对称轴的点带入圆式子中，求出来它的纵作纵坐标，就可以求出来它的最大值或者最小值，也就是它的一个顶点。 接下来是进阶例题，例四是一个一般式，例五是一个顶点式，我们来综合分析它们的性质，那么我们先分析例四，先看 a， a 是 负二， a 等于负二， b 等于八， c 等于负五， 我们由 a 来先判断它的开口方向是向下，它的对称轴 为负二， a 分 之 b 就 等于一个 八，比上一个负二，负乘二等于二，这根轴为二，我们再把二带到这个二次函数里面， 我就不写出来了，口算也行，前面是负八，这里是，这里是十六负五。 那么这一题就是 x 等于二， y 等于三，它的顶点坐标就是二三， 我们来看顶点坐标为二三，对称轴为二，开口线开口，抛物线开口向下，我们再看逆五，用顶点式来分析。首先我们来看 它的顶点，我们拿到顶点式，就可以直接写出它的顶点，让里面的式子等于零，那 x 就 等于负三，它的纵坐标呢？就是负四， 这个就是它的顶点式，那它的对称轴显而易见，对称轴 x 就 等于负三， a 是 零点，五是正的，那它开口方向肯定向上， 开口方向向上，对称轴为负三，顶点坐标为负三负四。所以说我们可以发现，如果我们拿到了顶点式的话，那么这个顶点式的顶点坐标和对称轴是非常好得出来的。 配方法的一个应用化，一般式为顶点式，这题一般式为 y 等于 x， 平方减六， x 加八，让我们化为顶点式，并分析它的一个基本性质。但我们 拿到这个式子， y 等于负二， y 等于 x， 平方减六， x 加八。我们想把它化为顶点式的话，我们就需要用到配方法，就是我们前几节课学到的那个配方法，就是把带有 s 平方和 x 这一部分的式子，把它转化为一个单独的平方，并留下来一个长竖向。 那我们很简单，我们想要配方的话，就看二次项系数和一次项系数，二次项系数前面是一，一次项系数前面是负六，那么后面的数需要配一个负三的一个平方， 就是这部分负六除以二，再开它的平方， 这一步 x 平方减六， s 加九，我们在加了这个九之后，同时我们还要减去这个九，然后八是照抄的，那么配方法我们配出来前面这一部分式子，就是 x 减三的平方，再减一，那么这就是顶点式了。顶点式我们再去分析它的基本性质， 这一部分顶点是它的 a 为一，一大于零，它的开口方向向上。对称轴呢？就是令 x 减三等于零， x 等于三，对称轴是 x 等于三，顶点坐标就是三负一。 我们来看一个实际应用问题，它让求物体高度， 这个是式子， y 等于负五， x 平方加二十 x， 这个就像我们扔一个铁球的时候，这就是它的一个抛物线，让我们求这个物体所达到的最大高度以及对应的时间，那么我们可以画一个图来分析一下。对于这样这种情况，我们可以这样看， 这像是我们从这扔了一颗球到达了这个地方，那么这个球它有一个最高点，也就是它的最大高度，在我们二次函数里面来看，就是它的顶点， 它让我们找它的最大高度以及对应的时间，那我们的纵轴就是时间，哎，不，横轴是时间，纵轴为它的高度，我们 求它的，它的横坐标就是顶点，横坐标我们需要用到一个对称轴，对称轴的式子就是负二 a 分 之 b 过来， b 是 二十， a 是 负五，那负二 a 那 就是负二，乘以负五那就是十，二十比十就是二， 顶点横坐标就是二。我们再将二带回到 y 这个式子里面，可以得出来 y 等于二十，那么我们就可以得出来一个结论，也可以得出来它顶点的坐标就是一个二二十，那么它的最大高度就是二十米，是在第二秒达到。 在学习的过程中，我们会犯一些很多常见的错误，第一个陷阱就是顶点式里面的符号问题，我们有的时候会搞错这个 h 的 符号， 记住我们的对称轴是 x 等于 h， 如果说我们觉我们害怕它出错的话，那么我们就令它里面这个式子为零就可以了。令它里面这个式子为零的话，我们就知道这个 x 的 曲值是什么。 我们有的时候还会混淆对称轴和顶点坐标， 就是在我们用负二 a 分 之 b 求出它的对称轴的时候，我们会把这个对称轴 当成它的纵坐标，这个是肯定不可以的，我们是以负二 a 分 之 b 求出来了它的一个横坐标，再把这个横坐标带入 y 的 解析式里面，求出来它的纵坐标，它的纵坐标是需要代入计算的。 另外两个常见错误是配方法的计算错误和公式的记忆错误。像我们配方法的时候，配方时在括号内加只加上了依次向系数一半的平方， 但是我们忘记减去了外面那个数。就像是如果我们后面加了一个九，就像这个 x 平方减六 x， 我们加了个九，但是我们后面忘了减去这个九了，那如果说我们忘记减去这个九的话，那么这个式子肯定是错误的，所以我们要注意，在我们加上一个什么数的时候，后面一定要减去它。 有的时候我们还会犯一个很严重的一个公式记忆错误，我们会把这个负二 a 分 之 b 它的符号忘掉， 直接写成了二 a 分 之 b， 那 么它的对称轴我们就求的好，是它相反的一个位置是如果它的对称轴在这样，我们忘记了它的负号，那么我们求出来对称轴就在这，所以说我们要把这个公式牢牢的记住，就是负二 a 分 之 b。 最后我们来对比一下二次函数的两种形式，一般式和顶点式， 一般式的话，它的优点就是技术非常明确，我们可以看出来它的 a、 b、 c 分 别是什么，而且我们在用公式去求它的对称轴和它的顶点坐标的时候，都非常的清晰明了， 而顶点式它有什么优点呢？它的优点就更明显，你可以一眼就看出来它的所有信息， 不过考试的时候直接给你顶点式的这种情况很少很少。所以说我们想得到顶点式的话，我们就需要拿一般式去换，那么在换的过程中就容易出错， 但是如果我们换的非常正确的话，那么顶点式是非常便捷的，所以我们需要注意在中间他的一个配方法的一个互换， 当我们非常熟练掌握的时候，那么这两种形式对我们来讲快慢速度其实是一样的，所以我们没有必要去强求自己一定要去用哪种形式，喜欢哪种形式就用哪种形式就可以。 课程的最后我们来总结一下，学习二次函数的一个核心就是竖形结合，解析步骤我们可以概括为一看二算三顶点。竖形结合是关键， 先看他的开口方向，再看他的对称轴，最后再看他的顶点， 在我们进行他的这些计算的时候，我们要配合着他的一个图形来进行求解，其中 熟练掌握这个配方法可以让我们在一般式和顶点式之内灵活的转换，可以对我们顶点对称轴和开口方向判断的时候有一个非常快捷的过程。 所以说我们课后还是要多做辨识练习，熟能生巧，相信我们大家在经过 很多的练习之后，能真正的掌握这些知识，能让他成为我们考试的时候一个非常好用的工具。这节课我们就讲到这里，谢谢大家。
03:11查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们分享一个中考必考题，二次函数面积的倍数问题。我们在中考过程中非常喜欢考察能否在二次函数上找到一个动点，动点所组成的三角形是另外一个固定三角形面积的 k 倍。当然，这里的 k 可以 是一个分数， 也可以是一个整数。比如说常见的问题有一个三角形的面积是另外一个三角形的两倍，或一个三角形是另外一个三角形面积的二分之一倍。我们通常有两种办法，一种是牵捶法，一种是平行线段。这个视频我们只介绍平行线段。 首先我们来看一下平行线法的底层逻辑，如果有两条平行的直线 l 一 和 l 二， l 二上有两个固定的点 a、 b， 那 么我们在平行直线 l 一 上任意找一点 p， 所形成的三角形 p、 a、 b 的 面积都是固定的。如果现在的问题是求三角形 a、 b、 c 的 面积是三角形 ab、 p 面积的两倍， 应该如何来处理呢？我们只需要在 l 一 上面再画一条 l 三的平行线，或者在 l 二的下方画一条 l 四的平行线，保证 l 一 和 l 三之间的距离刚好等于 l 一 和 l 二的距离，以及让 l 四跟 l 二之间的距离刚好是 l 二到 l 一 之间的两倍。 那我们在 l 三和 l 四上选择一点 c 所组成的 a、 b、 c， 这个面积就一定会是 a、 b、 c 面积的两倍。为什么呢？我们会发现这两个三角形它们是同底的， 只要保证高之间满足符合要求的倍数关系即可。同理，我们把这个问题改一下，如果改成三角形 a、 b、 c 的 面积是三角形 a、 b、 c 的 二分之一，那么这个时候的平行线 就应该是我画的红色的这两条线。明白这个道理之后，我们就可以把这个知识点放到二次函数当中进行运用。我来看一下之前四川的这道中考压轴题， 第一、二两个问我们就不做研究了，要看一下第三问，他问的是三角形 a、 o、 c 的 面积什么时候满足是三角形 a、 o、 q 面积的三分之一，其中 q 是 二次函数上的动点，这个条件我们可以转化为三角形 a、 o， q 的 面积是 a、 o、 c 面积的三倍，也就是说 我要构造的平行线之间的距离是它原始平行线直线距离的三倍。我们先来看这里面的定点是 a 和 o， 所以 所在的直线就是第一条平行线 l， 一 点 c 做 a、 o 的 平行线 l 二。接下来我只需需要去构造一条平行线 l 三，使得 l 一 与 l 三之间的距离刚好是 l 一 与 l 二之间的距离的三倍就可以。 这个三倍的关系也可以通过相似转化成长的数值的。紫色的线是那条短的数值直线的三倍，那我就可以退出 l 三。这条直线与外轴的交点应该是零 九，其中这三条直线平行，那它们斜率相等，我可以通过 a、 o 求出 l 二的斜率，这个斜率应该是负的根号三这个地方计算有误，然后写出这 l 三直线所在的方程根。二次函数连立求焦点， 所求的焦点就是我要的点，但是要注意，需要去考虑题目是否有限制条件，排除一些不符合要求的点。
13小殷老师讲数学
04:11查看AI文稿AI文稿好，今天我们来讲解一下角度问题当中的考察方向。二来看第一题，已知抛物线 y 的 x 方加 b， x 加四，经过点 a， 负一度零点 b 四度零两点与 y 的 交汇点 c， 顶点是 d。 那 么第一问求抛物线极式，那么这道题最快的方法就是利用焦点式啊，设 y 等于 a 倍的 x 加一，乘 x 减四，通过题目当中给的抛物线，我们知道这个抛物线是经过零度四这个点的，我把零度四带入到焦点式当中，我们就可以求出来 a 啊，最终这些式是 y 等于负 x 方加三， x 加四。 好，第一个很简单，第二本求四边形 a、 c、 d、 b 的 面积。好，那么右边这个图我们看一下啊，那么既然它给了我们顶点，顶点是 d， 那 我们就可以先把点 d 坐标求出来，点 d 坐标求出来是二分之三到四分之二十五。 好，那么四边形 a、 c、 d、 b 它不是一个规则的一个图形，所以说我要用割补的方法把它变成一个规则图形，从而求它的面积。那么既然这个 d 是 顶点坐标，那我就可以先过点 d 做它对准轴，那做完对准轴之后，你会发现这个四边形 a、 c、 d、 b 转化成了三角形 a、 o、 c 的 面积，加直角梯形 c、 o、 h、 d 的 面积，再加三角形 d、 h、 b 的 面积 啊，全部都是规则图形，我们就可以直接求它的面积了。那么三角形 a、 o、 c 的 面积是二分之一乘以四乘以一，加上直角梯形 c、 o、 h、 d 的 面积也是上底加下加底乘高除以二，上底是四，下底也是四分之二十五 乘以高，高就是 o、 h 的 长度二分之三，然后再乘以二分之一，然后再加上三角形 d， b、 h 的 面积是二分之一，乘以四分之二十五，乘以 b h 的 长度就四减二分之三， 把它求出来，面积是二分之三十五。好，第三问，如果点 p 是 直线 b、 c 上方，该抛物线上一点，且角 a o c 等于角 p b c， 求点 p 的 坐标，而角 a、 o c 呢，是一个固定的一个角，而且你点 p 在 直线 b、 c 的 上方，在抛物线上。那这样的话，我先把图做出来啊，找到一个点 p， 满足这两个角相等好，点 p 大 致就在这个位置。 好，那么它让我们求点 p 的 坐标。那么如何求点 p 坐标呢？首先我们知道这两个角相等，那既然这两个角相等的话，那这两个角的三角函数值也是相等的，那么根据 o a 的 长度是一， o c 的 长度是四，可以得到 tangent， 角 a c o 等于四分之一，角 p b c 的 正切值也是四分之一，但是角 p b c， 它不在直角三角形当中，对不对？所以说我要去构造构造一个直角三角形。嗯，那么怎么构造呢？是以谁为直角顶点构造呢？你看，我们知道解析式了，点 b 的 坐标有了，点 c 的 坐标也有了，那所以说 b、 c 的 长度就有了啊， b c 的 长度是四倍，根号二 啊，这有一个线段的长度。那所以说接下来我为了好求某个点的坐标，或者说好求某条线段的长度，那我就应该过点 c 去做 b c 的 垂线， 做 b c 的 垂线啊，那么这条线交 p b b m， 那 么也就是这时候你 c m 比上 b c 是 等于一比四的，那么根据 b c 的 长度是四倍根二 c m 的 长度，我就可以求出来是根二 线段长度有了，那么我们还是要回归本质。怎么求点 p 的 坐标？在 b p 这条线上有一点 m， 那 么点 p 是 直线 b p 和抛物线的交点，所以说我们想求点 p 的 坐标，我必须要知道 b p 点 p， 点 p 有 了，所以说你要把点 m 的 坐标求出来， 嗯，怎么求点 m 坐标呢？因为这时候呃角 m c b 是 一个直角，那这样的话，我就可以构造一线三垂直模型，除相似，看看可不可以把点 m 的 坐标求出来。我过点 m 向外周做垂线， 垂足是 n， 那 么此时三角形 c、 m、 n 是 相似于三角形 b、 c、 o 的， 因为三角形 b、 c、 o 是 一个等腰直角三角形，那所以说三角形 c、 m、 n 它也是个等腰直角三角形。根据 c m 的 长度是根号二 c m 是 这个等腰直角三角形的斜边，那此时你 m n 就 等于 c n 等于一点五点 m 坐标一到五点， b 坐标一到五点， b 坐标四到零，我就可以求 b m。 解析式 代对 p 数法， y 等于负三分之五， x 加三分之二十，然后利用直线 b m 奇式和抛物线奇式以连立列个等式出来，负三分之五， x 加三分之二十等于负 x， 方加三， x 加四，求出来 x 的 值。 x 一 是等于四 x 二等于三分之二，那么这个四肯定要舍掉啊，因为你 p 不 能和 b 重合嘛，是不是？所以说只能取三分之二，那么此时点 p 的 横坐标就有了。点 p 的 横坐标是三分之二，带入到抛物线奇式当中，纵坐标就是九分之五十。 嗯，那么这道题不好想的点在哪呢？不好想的点就在于我要去构造直角三角形 b c m 啊，通过 c m 的 长把点 m 的 坐标求出来啊，这块是不太好想的。
14赵迷数学
01:12查看AI文稿AI文稿大家好，我是金哥，这里是金哥！中考数学冲刺只讲中考必考题， 答题真方法！中考数学想稳分二次函数一定要拿牢，很多同学丢分不是不会做，是步骤乱踩，分点不全。 今天给你一套考场，直接套你的四步标准解法。第一步，看开口，看 a 的 正负， a 正向上， a 负向下，先确定函数的大致的一个走势。 第二步，找对称轴和顶点，对称轴公式 x 等于负 b， 除以二 a 带路求出外，就是顶点，也就是最值点。 第三步，求焦点令 x 等于零，令 y 轴焦点令 y 等于零，解方程得出 x 的 焦点。第四步，看增减与去值，对称轴左边增，右边减，还是反光板， 直接用来比大小，求范围。按照四步写，思路清晰，步骤完整，中档题基本满分，最后两个月抓准考点，规范步骤，中考数学稳稳提分！
5京哥说
