探究asa为什么能证明全等

同学们好，今天我们来开始学习全等三角形判定的第三个，第四个方法，比如我们第三小节的一个内容， 咱们还是先回顾前两节课呢，老师带大家主要学习了我们判定哪两个判定三个元素的有咱们的边边边对不对？哎？然后呢，还有我们的边角边 对不对？哎，我们说两边一角的时候，这个角呀，必须是假角啊。那么今天呢，我们继续来看一下，如果说三个元素当中，上一节课我们说给了两条边一个角， 那么这一节课我们来看一下，给上两个角一条边能否来确定它是全能的，也就是说，哎，我们的角角边，或者说角边角能否去 用来判定一个三角形他是全等的啊。所以我们本节课的重点呢，就是要掌握咱们的这个什么呀，边角边，还有这个这个这个什么角边角，以及我们的角角边啊，角角边这两个内容。 那么首先我们先来看一下这个问题啊，小明呢不慎将一块三角形的玻璃呢打碎了，打碎成三块了，那么他现在呢要带一块呢，去这个玻璃店呢，要给他还原，那么大家看一下我们带哪一块去就能给他还原回来呢？ 思考一下，带一去还是带二去还是带三去呢？哎，我们说应该带哪一个带第一块去是不是为什么带第一块去呀？因为我们第一块是咱们这个 橘色这一部分，他剩下这两个角是在的，然后这一个边是不是也是在的呀？我只需要哎把他的两边延长了以后，那是不是交代一点，那我这个三角形的形状就还原了， 而对于二和三，我们去向两边无限的延伸，那我们是怎么样呢？回不到他原来模样的对不对？哎，所以这呢也其实说明了我们今天的一个 啊道理啊，咱们先呢，老师带大家看一个视频，视频当中呢会给我们去说明这个角边角，他为什么可以确定两个三角形是全能的啊？大家先来看一下啊， 这个视频 我再来给你讲一个全等三角形的判定，角边角。你知道能够唯一确定一个三角形的三个条件就是全等三角形的判定，比如边边边或者边角边。那如果我给你一条边和他旁边的这俩角，可以确定三角形不？ 显然这三条件都确定了，你除了延长这两边补全三角形之外，啥也干不了，这个三角形就是确定的， 如果有两个三角形，角边角刚好对应相等，那这两个三角形就全等，所以角边角也是全等三角形的判定，他可以简称为 asa， 证明过程就是全等五行得这么写。 在三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 e、 f 中，因为打括号，这里面写上角边角的三个条件，第一条，这两个角相等 角 b 等于角 e。 第二条，这两条边相等 b、 c 等于 e、 f。 第三条，这两个角相等角 c 等于角 f。 同样的，这三个条件得按照角边角的顺序来写条件，欧了，所以三角形 a、 b、 c 全等于三角形 d、 e、 f。 别忘了括号里要写上 a、 s、 a， 否则要扣分的，大多数题目可不会给你这么显然的条件，比如， 好了，来，大家就看到这里啊，然后呢，我们回过头来来看一下他刚刚讲的， 其实刚刚的视频当中呢，就给我们去讲解了这个什么角边角，是不是哎，也就是说什么呀？两个三角形当中，如果说，哎，咱们这个 什么诶，给了一个三角形，它的这个什么呀？ 哎，这个角是确定的，这个角也是确定的，那么还有这个边也是确定的，那么我们说只要把这两个三角形的另外两条边咱们给它延长，那这个三角形是不是唯一确定的呀？ 是不是那么同样有两个这样的三角形，咱们说如果说有两个这样的三角形，是不是一样子的道理啊？ 啊？也说如果有两个三角形，他的这一条边确定，然后对应的角是相等的，那么这个三角形的形状呢？他延长以后也是确定的， 是不是？那么也就能够说明这俩三角形是全能的哈，所以这就是我们为什么拿第一块去第一块，大家看一下角边 讲这个三角形的大小和形状就确定了啊，确定了，那么这样也是这两个三角形的形状和大小就确定了，他就是这个什么唯一的啊，唯一的，所以这就是我们今天讲的第一个判定，叫做这个什么呀， 角边角啊，角边角。所以在这里老师再强调一下，咱们几何语言去去写的时候就是，哎，这个什么五行政权等五行缺一不可。那么第一个我们必须写上在三角形 a、 b、 c 和三角形 a 撇， b 撇、 c 撇当中， 然后里边多硬的你要用角边角，所以第一个要写角啊，写角 a 等于角 a 撇，然后是边，所以下一个我们紧接着要写 ab 边等于 aa 撇， b 撇啊，最后呢，角 b 等于角 b 撇，所以 全等，全等了以后，括号里面我们现在学了三个判定啦，是不是一定要写上我用的判定是角边角啊，角边角。 好了，那接下来我们来看一个例题啊，例题如图，点 d 在 a、 b 上，点 c 在这个什么点 e 在 a、 c 上，那么他告了我们 a、 b 这一条边， 这一条边是相等，然后呢，有角 b 和角 c 是相等的，让我们证明 a、 d 和 a、 e 相等。那么大家看一下，那么这道题我们应该正哪两个三角形它是全等的呢？ 我们看这里是不是有一个共有的，这个叫 a 呀？ 是不是啊？就有一个共有的角 a， 那么这样我们来看，我们可以正 a、 a、 e 在哪个三角形当中？ a、 e 在 a、 b、 e 当中，是不是 a、 d 在哪个三角形当中？ a、 d 在 a、 d、 c 当中， 是不是啊？所以我们就可以写在三角形 a、 b、 e 与三角形什么 a、 c、 d 当中，咱们有什么呀？角 a 和角 a 是不是相等？哦？公共角，我们要用角、边、角，然后接下来要写边是哪一条边， a、 b 边和 a、 c 边相等，还有就是角 b 和角 c 是不是相等的， 所以这样我们说三角形 a、 b、 e 全等于三角形 a、 c、 d 角边角， 对不对？哎，那全等，哎，注意，我忘了写证明了，大家回过头来把这个证明一定要写上啊，所以我们说全等以后，那我有全等三角形的性质，那我的这个 a 一边是不是在我的这个三角形里边？ ad 边是在我的这个三角形里边，那是不是就正出来了？ 我们就正出来 a、 e 和 a、 d 它是相等的啦。啊， 好了，老师，接着咱们往后啊，这个证明不看他的了，就看我写的啊。好了，我们来看，继续 来看一个题啊，同样呢，我们刚刚是一个公共角，是不是啊？哎，大家再看这道题，这道题说角 a、 b、 c 等于角 d、 c、 b， 然后还告了 a、 c、 b 等于角 d、 b、 c， 那让我们证明这两个三角形是全等的， 你看，已知两个角，两个角，我们是不是要想挣全等，看一看他中间这个夹边相等不相等呀？那么我们看到这个 bc 和 cb 是什么？是不是他们的公共边呀？对不对？哎，所以我们说证明 在三角形 a、 b、 c 与三角形 d、 d、 c、 b 啊中，我们有 有什么？那首先写角，角 a、 b、 c 等于角 d、 c、 b， 然后接下来就是我们的边，是不是 a、 b、 c 边和 c、 b 是相等的啊？还有角 a、 c、 b 和角 d、 b、 c 是不是相等的？那所以这样我们说三角形 a、 b、 c， 它就全等于三角形 d、 c、 b， 我们依据的是不是就是角边角呀？五行缺一不可 啊，五行政权的缺一不可。这样的话，又一个上一个题，咱们用的是公共角，这一道题，我们又建了一个公共边啊，这些模型呢，都要记清楚啊，都要记清楚。好，咱们接着再看一个，角一等于角二， 角三等于角四，让我们证明 a、 c 等于 a、 d， 角一等于角二，角三等于角四，大家看看怎么去正呀，我们说角三和角四呢，它还不是我们三角形的内角， 是不是啊？那么我们可以看到，在这道题当中是不是有个 a、 b 是公共边呀，角边角对不对？那么根据这个什么互补啊？咱们可以写，哎，因为那就写证明， 因为角三等于角四，所以一百八十度减去角三，是不是就等于一百八十度减去角四呀？那么一百八十度减了角三，那是不是就是我的角 a、 b、 d 一百 八十度减了角四，是不是我们的 a、 b、 c？ 那么接下来，所以说在三角形 a、 b、 d 于三角形 a、 b、 c 中，咱们有什么 角边角？这样我们是不是就间接证明了这两组角是相等的？角一等于角二， ab 和 ab 是公共边角， a、 b、 d 等于角 a、 b、 c， 对不对？所以咱们说三角形 a、 b、 d 就全等于三角形 a、 b、 c， 我们依据的是什么角边角 啊？那么全等了以后，那大家看那 a、 d 和 a、 c 是不是对应边呀？所以全等三角 造型的性质啊，全能以后我就会有对应边，他是相等的，这样咱们把这个也就做完啦 啊，所以我们做了三个有关角边角的练习题，大家下去之后呢，可以做这一个继续来研究一下啊。 紧接着我们来看下一个，下一个呢是我们角角边的判定方法，那么也就是说，我们已知两个角一个边，这个边可以是刚刚的，我们的角边角 可以是他的一个夹边，那么能不能是其中的一个零边呢？也就是说已知红色的角和这个红色的角 a， 他们是对应相等，蓝色的对应相等。然后现在呢，如果告了 a、 c 和 a、 p、 r、 c、 p 相等，那么这两个三角形它的形状大小 是否是确定的呢？那么大家看一下，如果已知，哎，这两个角相等了，是不是，哎，确定了啊，已知这两个角确定了。然后现在呢，这一条边的长度也已知的，比如就是这么长， 那我在这里我是不是也要呃呃，这一条边的长度也已知啦，那比如说是这么长，是不是？哎，比如说，哎，我也确定他的边肯定就一样长了，那么我的第三边是不是只能沿着这一条线延延长相交呀？ 延长相交是不是他别无选择啊？所以最后我们会发现这两个三角形他剪下来以后呢，也是能够完全重合的，所以我们今天啊，角已知两个角和其中一条边的时候，注意，这个边可以是两个角的夹边，也可以是他们的 领边啊，也可以是某个角的这个什么对边吧，啊，对边，所以啊，我们来看一下角角边的判定方法。我们用几何语言来写的话，就是在三角形 a、 b、 c 和三角形 a 撇 b 撇、 c 撇当中，角 a 等于角 a 撇， 然后角 b 等于角 b 撇，接着角角边，是不是，哎，然后接下来是我们的 ac 等于 a p、 c、 p， 所以最后我们说，哎，三角形 a、 b、 c 全等于三角形 a p， b p、 c p。 注意，咱们依据的是角角边这个顺序，其实我们应该换一下， 好，我们应该先说角壁和角壁皮相等，呃，因为我们是角角边，角角边啊，大家注意啊，把这个顺序换一下， 先写角 b 等于角 b 撇儿，角 a 等于角 a 撇儿，然后过来是 a， c 等于 a 撇， c 撇，角角边，按照顺序来写啊， 好，我们来看一个题，如图， a、 b 和 b， c 垂直， a、 d 和 c， d 垂直垂直，我们说有九十度， 角 b 和角 d 就相等，是不是？然后角一和角二相等，大家看一下，怎么样去证明 a、 b 和 a、 d 相等呢？我们可以看到 a、 c 和 a、 c 是一个公共边，对不对？所以啊，因为垂直，是不是啊？哎，所以我们有角 b 等于角 d 等于九十度， 所以呀，在三角形 a、 b、 c 与三角形 a、 d、 c 当中有这个什么角 b 等于角 d， 角一等于角二 啊，然后写 a、 c 和 a、 c 相的这个顺序，我们还是换一下啊，换一下，然后最后我们就得到三角形 a、 b、 c 全等于三角形 a、 d、 c， 依据的就是咱们的 角角边，那么全弄了以后，我们说全等三角形对应边是相弄的，是不是？哎，所以有 ab 和 ad 相等啊。继续我们来看这一个， 这个里面是不是也是类似的角一等于角二，角 b 等于角 d， 大家看一下，那么这样是不是还是要正？ a、 d、 c 三角形和 c、 b、 a 三角形全等，这个 a、 c 和 a、 c 是不是一个公共边呀？啊，所以我们证明来 写一下过程啊，就是五步在五行三角形 a、 b、 c 与三角形 c、 d、 a 当中写的时候对应起来 啊，角角边，那就是角 b 等于角 d， 是不是啊？角一等于角二， a、 c 边和谁呀？ c、 a 边是相等公共边，所以我们说三角形 a、 b、 c 全等于三角形 c、 d、 a 角角边，那全等了以后，我们就会有 a、 b 和 c、 d， 它是相等的 啊。好了，我们来看这个，如图， a、 c、 b 和 b、 f、 e 相等， b、 c 和 e、 f 相等，那么应补充一个条件，使得他俩全等。在这里大家注意，已知一条边一个角，我们有哪些选择？ 可以是边角边，可以是角边角，还可以是什么角角边，是不是啊？所以如果是边角边，那咱们可以让谁呀？是不是让 af 等于 ef 呀？ 啊？如果是哎角边角，那就在前面加角，是不是哎角边角，那是不是就应该让角 b 等于角 e 呀？如果是角角边呢？那我们说是不是这个角就让角 a， a 等于角 d， 是不是这样子的？所以写出一个这三个啊，这三个当中我们说一只边角，我们有三种，边角边角边角角角边，我们随便填一个即可啊， 好了，呃，然后最后的话，我们简单的来小结今天的内容啊，今天的话，老师就带大家把这个全等 d 三个第四个判定我们就讲完了啊，那么我们的判定呢，一个是我们的角边角，一个是我们的角角边，也就是说已知两个角相等的时候， 那么我们可以在中间找边，也可以在他们的这个角的对边去找边，是不是？哎，我们说角角边角边角都可 可以去证明全的，现在我们就学了四个啦，第一个是我们的边边边，对不对？哎？第二个，两边一角角必须是假角，第三个两角一边边，可以是夹边，也可以是咱们的这个什么呀？ 零边，或者说角的对边，对不对？哎，角角边，或者说角边角四个判定任何一个三角形都是用，那么大家下去以后呢，把这四个判定的一些相关练习题再去巩固一下吧。

a s a s a 这两种判定啊，很多初二的同学傻傻分不清。看上面两个三角形，首先都有两组点角相等，红等于红角，绿角等于绿角， 再来一组边等，如果这组边恰好是连接红角和绿角的，这组边像不像两个角把这个边夹住了，像我们吃的肉夹馍一样，那这个呢？就是 asa 把边 s 夹在中间，那如果说是任意的一组其他的边相等，这种情况呢？就是 aas， 你区分清楚了吗？

我们的做法是，第一步仍然用此微作图做一条射线， beat deat， 再以 b 为一个七， 分别与 b、 c、 a、 b 的交点系为 e 和 f， 再以 b 撇为边形，以 b、 e。 你刚刚那个 b 点 为半径，以 beat 为圆心，以 b、 e 为半径画弧，这个弧以 b 撇 d 撇的交点即为 e 撇，再以 e 撇为圆心，以 e、 f 长为半径画弧。 好，那么两图的交点即为 f e， 然后做射线 b、 e、 f。 这是第一次，第二次要做一条线段，等于一直线段 b、 c。 以 b 撇为圆心，以 b、 c 的长度为半径括号，那么这个焦点是 c， 然后再以 c 一撇为顶点，再做一个角，等于一只脚角啊。以 c 为圆形，任意长度的半径画弧，然后再以 c 一撇为圆形，以刚刚那个长度的半径画弧， 再以这两个弧之间的距离为半径，以这个弧为圆心画这个弧，两弧的交点，然后做成一条射线， 那么这条射线和刚开始的角 b 选择 一条边，交卷记名 a 撇，于是就把这个题做好了。那么我们将三角形 a 撇 b 撇， c 撇。平移啊，经过平移以后，发现 他与三角形 a、 b、 c 能够完全组合一次，两个三角形全等，于是我们得到两角和他们的注意是夹边， 分别相等的 两个三角形 全等，简称角边角。 重点是两脚和他们的夹边啊，符号有连。 因为角 b 等于角 b 一片，所以边角这个角边角角写在第一个，第二个中间要写边，也就是 bc 等于 b 片 c 片，然后是角 c 等于角 c 片角边角。 可以说来，所以三角形 a、 b、 c 全等于三角形 a 撇， b 撇 c 撇它的比如是 a、 s、 n， 也就是角变角， 你听懂了吗？数学其实并不难，跟着彪哥好好干，必定商量。如果你听懂了，记得收藏、点赞关注，再见！

同学们好，我是来自北京市第十三中学分校的徐老师。今天我们继续探究三角形全等的判定方法。 首先请同学们回顾一下，在上一节课我们都学习了哪些判定三角形全等的方法呢？ 他们分别都需要什么条件？我们来看一下。首先，我们学习了边边边的判定方法，他说的是两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等 这个判定方法可以简计为 s s s。 其次，我们还学习了 边角边的判定方法，它指的是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。这个判定方法我们可以简计为 sas。 那么如果有两个角和一条边分别相等，这两个三角形是全等的吗？ 对于三角形 a、 b、 c 和三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇，我们先让其中的两个角相等，也就是角 a 等于角 a 撇和角 b 等于角 b 撇， 接下来我们再让他们的一条边相等，这里我们要进行分类讨论。这条相等的边可能是相等两个角的加边，也就是 a、 b 等于 a、 b 撇，也可能是其中一组相等角的对变，例如 b、 c 等于 b 撇、 c 撇，这两条边分别为角 a 和角 a 撇的对变。 那么我们首先来看第一种情况，也就是有两角及其加边分别相等的两个三角形全等吗？ 延续之前的探究方法，我们同样通过画图加以说明。我们来看， 首先任意画一个三角形 abc， 再画一个三角形 a 片、 b 片、 c 片，使他满足 a 片 b 片等于 ab 角， a 片等于角 a 角、 b 片等于角 b。 将画好的三角形剪下来， 放到三角形 a、 b、 c 上，观察他们是否全等。接下来我们一起来看操作的过程。 首先，第一步，用刻度尺量取线段 a、 b 的长度，画线段 a 撇、 b 撇，使它等于 a、 b。 第二步，用量角器量取角 a 的度数，画角 d、 a 撇儿， b 撇儿，使它等于角 a。 量取角 b 的度数，画角 e、 b 撇儿， a 撇儿，使它等于角 b。 两条射线交于点 c 撇儿。 那么三角形 a 片、 b 片、 c 片即为所求。我们将它移动后，发现它与三角形 a、 b、 c 完全重合，因此 两个三角形是全等的。回顾刚才的作图过程，我们发现两个三角形放在一起之后能够完全重合，说明这两个三角形全等，而他们所满足的条件为两个角和他们的加边分别相等。 由此，我们得到了判定三角形全等的一个新的方法，也就是角边角的判定方法。 他指的是两角和他们的加边分别相等的两个三角形全等。这个判定方法我们可以简写为角边角，或用大写字母 sasa 表示。 在这里提醒同学们注意，由于相等的这条边为相等两角的加边， 因此表示边的字母 s， 我们要写在两个表示角的字母 a 的中间。接下来我们来看这个判定的符号语言表达。 首先，我们指明要判定的两个三角形，在三角形 a、 b、 c 和 a 撇、 b 撇、 c 撇中 列出他们所满足的条件。同样，我们将第一个三角形的角和边放在等式的左边，将第二个三角形的角和边放在等式的右边，用大括号连接起来。 最后，我们得到两个三角形全等，并指明判定方法为 a、 s、 a。 这里提醒同学们注意，在罗列三个条件时，我们的书写顺序与 asa 保持一致，也就是将相等的这条边写在中间，将相等的两组角写在上下两边。 有了 asa 的判定方法之后，我们再一起来看。如果两个三角形满足的是 b 撇、 c 撇等于 bc 和角 a 撇等于角 a 以及角 b 撇等于角 b， 那么这两个三角形还是全等的吗？ 同学们，你能利用刚才所学的 a、 s、 a 的判定方法来回答这个问题吗？ 要用 a、 s、 a 的判定方法，我们相等的这条边应该是两个相等角的加边。观察图形，我们发现 b、 c 应该是角 b 和角 c 的加边，而 b 片 c 片呢，应该是角 b 片和角 c 片的加边，角 b 等于角 b 片是题目已知，那么角 c 是否等于角 c 片呢？题目并没有告诉我们，而我们的条件是角 a 等于角 a 片， 我们能否通过已知条件得到角 c 等于角 c 片呢？三角形的三个内角之间有什么关系呢？ 根据内角和等于一百八十度，我们能列出这样两个等式， 同样由角 a 等于角 a 片和角 b 等于角 b 片，我们就不难推出角 c 等于角 c 片了。由此，我们就可以利用刚才所学的 a、 s、 a 的判定方法得到 两个三角形全等了。接下来我们看完整的书写过程，首先回答问题，这两个三角形的确是全等的， 利用内角和为一百八十度以及题目条件已知角 a 等于角 a 票，角 b 等于角 b 票， 我们就可以得到角 c 等于角 c 片了，那么此时这两个三角形就满足两个角及其加边分别相等，所以两个三角形全等，其判定依据为 a s a。 好了，那么这道题我们的原始条件是， b c 等于 b 撇， c 撇以及角 a 等于角 a 撇和角 b 等于角 b 撇。最终，我们证明了这两个三角形全等。由此， 我们又得到了判定两个三角形全等的一个新的方法，也就是角角边的判定方法。他指的是由两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 这个判定方法我们可以简写为角角边，或用英文字母 a a s 来表示。接下来我们看它的符号语言表达。首先指明判定的两个三角形。在两个三角形中 罗列满足的条件，同样，我们用大括号将它连接起来，得出两个三角形全等的结论，指明判定方法为 a s。 同样，我们在罗列条件之时，按照 a a s 的顺序将相等的这组边放在最后，先书写两组相等的角。 学习了今天两个新的判定方法以后，请同学们来一起解决下面的问题。 首先，我们看第一道题，如图，点 d 在 a b 上，点 e 在 a c 上， b a 等于 a c。 角 b 等于角 c。 求证 ae 等于 ad。 观察图形，我们发现要求证的这两条线段分别为三角形 abe 和三角形 acd 的边。 如果我们能证明这两个三角形全等，那么他们的对应边就是相等的。 关于这两个三角形，我们现在有什么条件呢？通过图上的标记，我们不难发现，两个三角形有一组相等的边，还有一组相等的角。 然而这两个条件不足以判定两个三角形权等，那么我们所需的第三个条件在哪里呢？ 观察图形，我们不难看出，角 a 是这两个三角形的公共角，因此也是相等的， 并且相等的两条边还是相等两角的加边。所以利用 a s a 的判定方法，我们就可以得到两个三角形全等了。接下来我们看完整的书写过程。首先， 在两个三角形中，由于满足两角及其加边分别相等，所以两个三角形全等指明判定方法为 a s a， 所以全等三角形的对应边相等，也就是 a e 等于 a d。 好，有了这道题，我们发现在证明全等的过程中，我们需要从图形里挖掘出隐藏的条件。那么这道题我们发现两个三角形具有一个公共的内角 a， 这为我们证明全等提供了一个很重要的条件。 接下来请同学们利用这道题的解题经验完成下边的练习。已知 a b 垂直 b c a d 垂直 d c 垂足分别为 b 和 d， 角一等于角二，求证 ab 等于 ad。 观察图形，我们同样发现要证明的这两条线段分别为三角形 abc 和三角形 adc 的边。如果我们能证明这两个三角形全等，那么他们的对应边就是相等的。关于这两个三角形，我们现在已有什么条件呢？ 有两个垂直，我们发现他们有一组相等的内角，为九十度。其次，我们还有角一等于角二。那么证明全等所需的第三个条件在哪里呢？ 观察图形，我们发现两个三角形有一条公共的边是 a c， 并且 a c 这条边还是这两个直角所对的边？那么我们应该用哪个判定方法来证明全等呢？应该是 a、 a、 s。 接下来我们看完整的解答过程。 首先有两个垂直得到三角形，有两个内角等于九十度。 接下来在两个三角形中，由于两角及其一角的对变分别相等，所以两个三角形全等判定依据为 a、 s， 所以全等三角形的对应边等也就是 a、 b 等于 a、 d 了。 好，有了以上两题的解题经验后，我们来看下面这道实际应用问题。 如图，要测量池塘两岸相对的两点 a、 b 的距离，可以在 a、 b 的垂线 b、 f 上取两点 c 和 d， 使得 b、 c 等于 c、 d。 我们标记在图上，再画出 b、 f 的垂线 d、 e， 使得 e、 a、 c 三点在一条直线上，这时测得的 d、 e 的长度就是 a、 b 的长度。为什么呢？ 好题目，让我们说明 d、 e 的长度就是 a、 b 的长度，也就是让我们证明 a、 b 等于 d、 e。 观察图形，我们发现要证明的这两条线段分别为三角形 a、 b、 c 和三角形 e、 d、 c 的边。如果 两个三角形全等，那么它们的对应边就是相等的。那么关于这两个三角形，我们又有什么条件呢？ 从图上的标记，我们发现两个三角形有一条边是相等的，并且有两个垂直，我们发现这两个三角形还有一组相等的内角是九十度。那么证明全等所需的第三个条件在哪里呢？ 我们再回到图形上，可以看到两个三角形有一组内角是互为对顶角的关系，因此也是相等的。 那么利用 a、 s、 a 的判定方法就可以得到两个三角形全等了，接下来我们来看完整的解答过程。首先由两个垂直得出两个 内角等于九十度。好，接下来在两个三角形中，由于两组角及其加边分别相等，所以两个三角形全等判定依据为 a、 s、 a。 所以全等三角形的对应边相等。 通过以上三道题目，相信同学们对于如何挖掘图形中的隐藏条件，帮助我们证明全等有了一定的经验。接下来我们看下面这道例题。 如图， a、 e。 垂直 b e、 a、 d。 垂直 b、 c。 标记在图上， c、 d 等于 b e。 角 d a、 b 等于角 e、 a、 c。 最后让证明 a、 c 等于 a、 b。 好。观察图形，我们又能发现要证明的这 两条线段分别为三角形 a、 c、 d 和三角形 a、 b 的边。如果我们能正得这两个三角形是全等的， 那么根据全等三角形的对应边等，我们就可以得出结论了。那么关于这两个三角形，我们又有什么条件呢？我们发现他们有一条边是相等的，还有一组相等的内角为九十度。 然而题目中另外一组相等的角并不是这两个大的直角三角形的内角， 此时需要同学们对条件进行转化。那么这个带正三角形的哪一组内角和已知条件中的这两个角有关系呢？观察图形，我们发现 角 d、 a、 c。 我们可以拆分为角 d、 a、 b。 加上中间这个 b a、 c。 同样的角 e、 a、 b。 也可以拆分为角 e、 a、 c。 加上角 b a、 c。 利用条件中的两个相等角，我们就不难推出角 d、 a、 c。 等于角 a、 b 了， 从而再利用 as 判定方法就可以证明全等了。好，接下来我们看完整的书写过程。首先由角一等于角二等式两边同时加上角三，之后等号人成立，也就是角 d、 a、 c 等于角 a、 b。 接下来又因为两个垂直，所以角地和角翼都是九十度。 那么在这两个三角形中，由于两角及其一角的对边分别相等，所以两个三角形全等判定依据为 a、 s， 所以全等三角形的对应边也是相等的。 通过这道题，我们发现，在证明全等的过程中，题目中的有些条件我们不能直接使用，需要同学们将题目中的条件转化为与代正三角形相关的条件。 接下来我们来看这个练习，如图，角一等于角二，角 b 等于角 d。 求证三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 c 全等。那么关于这两个三角形，我们现有什么条件呢？我们发现它的 一组内角是相等的，也就是角 b 等于角 d。 然而条件中另外一组相等的角角一和角二并不是这个三角形的内角，需要我们对条件进行转化。我们看一下角一和角二和三角形的哪个内角是有关系的呢？ 我们不难发现，角三和角四是角一和角二的零补角，有角一等于角二，我们就能得到角三等于角四，从而发现两个三角形有两组内角分别相等。那么证明全等所需的第三个条件在哪里呢？ 观察图形，我们看到这两个三角形有一条公共的边 a、 c， 由此我们可以根据 a、 a、 s 的 判定方法得到两个三角形全等。接下来我们看完整的解答过程。 首先，由角三加角一等于百八和角四加角二等于一百八，以及题目中的角一等于角二这个条件，我们就能得到角三等于角四，此处依据的是等角的补角相等。 接下来，在两个三角形中，由于两组内角及一角的对边分别相等，所以两个三角形全等判定依据为 a s。 所以啊，我们就完成了证明。那么我们再来看一下这道题，除了我们刚才将角一等于角二的条件转化为角三等于角四以外，我们还有没有别的方法 对这个条件进行转化。我们发现角一和角二是带正两个三角形的外角，那么利用外角的性质，我们就不难得到 角一应该是角五加角 b， 而角二呢，应该是角六加角 d。 由角 b 等于角 d 和角一等于角二，我们就能够推得角五等于角六，从而找到了两个三角形另外一组相等的内角。 接下来我们就可以证明两个三角形全等了。在两个三角形中，同样啊，因为两两个角和其中一角的对边分别相等，所以两个三角形全等判定依据为 a a s。 好，这道题 在解题的过程中，不仅需要同学们对题目中的条件进行转化，同时我们还要发现图形中隐藏的条件，也就是两个三角形具有这条公共的边，这都是我们在证明全等过程中需要的一般技巧。 接下来我们来小结本节课我们都学习了几种判定三角形全等的方法，他们分别是什么呢？他们之间有什么相同点和区别呢？ 首先，我们学习了 asa 的判定方法，也就是两角和他们的加边，分别相等的两个三角形是全等的。其次，我们还学习了 as 判定方法，也就是两角和其中一角的对边分别 相等的两个三角形全等。那么这两个判定方法他们都要求两个三角形里有两个角和一条边要分别相等。 所不同的是， a s a 的判定方法要求这条相等的边是相等两角的加边，而 a s 判定方法这条相等的边为其中一角的对边。 那么根据以上两个判定方法，我们发现，当两个三角形有两个角分别相等之后，相等的那条边可以是三角形三边中的任意边。 因此，我们可以将今天所学的两种判定归纳为，若两角一边分别相等，那么两个三角形 就是全等的。同时，在证明三角形全等的过程中，往往需要我们构造所需的条件。 第一，我们要注意图形中隐藏的条件，两个三角形可能是具有公共的角，具有公共的边，或者是具有互为对顶角的内角，这都为我们证明全等提供等量关系。 其次，当题目中的一些条件无法直接使用时，需要同学们利用等式的性质或者是相关的几何知识对条件进行转化。好，以下为本节课的课后作业， 这节课我们就上到这里，同学们再见！

好，接下来看一下练一练的吊小题。如图， ad 平分角 bac。 图形很熟悉啊，和上一题好像是同一个图， ad 平分角 bac， 也就是说两个角相等， ad 垂直于 bc， 就是两个直角都是九十度，三角形 abd 也全等于三角形 acd 也一样，左边的和右边的全等，看起来也是全等的。那同样，我们理一下思路， 他全等有哪些条件呢？首先一个角相等吧，叫 bad， 等于叫 cad， 然后还都有一个直角，叫 adb， 等于角 adc。 好，两个角都找完了，还要找第三个条件。题目中往往两个条件都是直接给， 需要我们找第三个条件。第三个条件我们找角还是找边呢？我们先看一下角吧，角 b 和角 c 相不相等，用一百八十度减去其他两个角，很明显第三个角也是相等的。也就是说啊，在三角形中，如果两个角相等， 那么第三个角怎么样？角一定相等。 好，那三个条件有了，哎哎哎哎哎哎，那我们看一下判定定理里面有没有这个定理呢？ 来找一下，第一个不是，第二个不是，第三个不是，第四个不是，第五个也不是。所以 aa 是不能证明全等的，我们找完两个角之后，不 不能再找角了，因为找第三个角没有意义，我们必须要找边。听明白，没有找完两个角，那接下来就不要看角了，我们必须去看边，哪条边相等，看一下图，哎，有一条公共边， 公共边是谁？ adad 等于 ad 好，找完两个角一个边，那可以是 aas， 也可以是 asa， 对吧？两个定理都可以证明圈的，那究竟是哪一个？我们看这个边是夹着的还是不是夹着的？ 这里一个角，中间一条边，这里再一个角，那这个边很明显是夹着的，夹着的情况选哪一个？选 a s， a， 把 s 放中间。也就是说啊，我们写思路这样写没关系，但是我们写过程的时候要把这个边箱等写在我们过程的中间。那接下来老师写一下规范的解答过程证明， 首先，因为 ad 评分，角 bac， 所以角 bad 等于角 cad。 然后因为 ad 垂直于 bc， 所以角 adb 等于角 adc。 然后在三角形 abd 和三角形 acd 中打一个大括号，三个条件，先写角，再写边，再写角，角 bad， d 等于角 cadad 等于 ad， 角 adb 等于角 adc。 好，这里写一个等于多少度？等于九十度。但是在我们最后的大括号条件里面就不要写多少度了，只写相等。 最后，所以三角形 abd 全等于三角形 acd， 原因是哪一条？原因是 asa， 打一个括号 asa。 那练一练的第二小题我们就证明结束了。

同学们好，我是来自北京市第十三中学分校的徐老师。今天我们继续探究三角形全等的判定方法。 首先请同学们回顾一下，在上一节课我们都学习了哪些判定三角形全等的方法呢？ 他们分别都需要什么条件？我们来看一下。首先，我们学习了边边边的判定方法，他说的是两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等 这个判定方法可以简计为 s、 s、 s。 其次，我们还学习了 边角边的判定方法，它指的是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。这个判定方法我们可以简计为 s、 a、 s。 那么如果有两个角和一条边分别相等，这两个三角形是全等的吗？ 对于三角形 a、 b、 c 和三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇，我们先让其中的两个角相等，也就是角 a 等于角 a 撇和角 b 等于角 b 撇。 接下来我们再让他们的一条边相等，这里我们要进行分类讨论。这条相等的边可能是相等两个角的加边，也就是 a、 b 等于 a 撇， b 撇，也可能是其中一组相等角的对变，例如， b、 c 等于 b 撇、 c 撇，这两条边分别为角 a 和角 a 撇的对变。 那么我们首先来看第一种情况，也就是有两角及其夹边分别相等的两个三角形全等吗？ 延续之前的探究方法，我们同样通过画图加以说明。我们来看， 首先任意画一个三角形 abc， 再画一个三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇，使它满足， a 撇、 b 撇等于 ab 角 a 撇等于角 a 角 b 撇等于角 b。 将画好的三角形剪下来， 放到三角形 a、 b、 c 上，观察它们是否全等。接下来我们一起来看操作的过程。 首先，第一步，用刻度尺量取线段 a、 b 的长度，画线段 a 撇、 b 撇，使它等于 a、 b。 第二步，用量角器量取角 a 的度数，画角 d、 a 撇儿， b 撇儿，使它等于角 a。 量取角 b 的度数，画角 e、 b 撇儿， a 撇儿，使它等于角 b。 两条射线交于点 c 撇儿。 那么三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇即为所求。我们将它移动后，发现它与三角形 a、 b、 c 完全重合，因此 两个三角形是全等的。回顾刚才的做图过程，我们发现两个三角形放在一起之后能够完全重合，说明这两个三角形全等，而他们所满足的条件为两个角和他们的加边分别相等。 由此，我们得到了判定三角形全等的一个新的方法，也就是角边角的判定方法。 他指的是两角和他们的加边分别相等的两个三角形全等。这个判定方法我们可以简写为角边角，或用大写字母 fasa 表示。 在这里提醒同学们注意，由于相等的这条边为相等两角的加边， 因此表示边的字母 s， 我们要写在两个表示角的字母 a 的中间。接下来我们来看这个判定的符号语言表达。 首先，我们指明要判定的两个三角形，在三角形 a、 b、 c 和 a 撇、 b 撇、 c 撇中 列出他们所满足的条件。同样，我们将第一个三角形的角和边放在等式的左边，将第二个三角形的角和边放在等式的右边，用大括号连接起来。 最后，我们得到两个三角形全等，并指明判定方法为 a、 s、 a。 这里提醒同学们注意，在罗列三个条件时，我们的书写顺序与 a、 s、 a 保持一致，也就是将相等的这条边写在中间，将相等的两组角写在上下两边。 有了 asa 的判定方法之后，我们再一起来看。如果两个三角形满足的是 b 撇、 c 撇等于 bc 和角 a 撇等于角 a 以及角 b 撇等于角 b， 那么这两个三角形还是全等的吗？ 同学们，你能利用刚才所学的 a、 s、 a 的判定方法来回答这个问题吗？ 要用 a、 s、 a 的判定方法，我们相等的这条边应该是两个相等角的加边。观察图形，我们发现 b、 c 应该是角 b 和角 c 的加边，而 b 片 c 片呢，应该是角 b 片和角 c 片的加边。角 b 等于角 b 片是题目已知，那么角 c 是否等于角 c 片呢？题目并没有告诉我们，而我们的条件是角 a 等于角 a 片。 我们能否通过已知条件得到角 c 等于角 c 片呢？三角形的三个内角之间有什么关系呢？ 根据内角和等于一百八十度，我们能列出这样两个等式， 同样由角 a 等于角 a 撇和角 b 等于角 b 撇，我们就不难推出角 c 等于角 c 撇了。由此，我们就可以利用刚才所学的 a、 s、 a 的判定方法得到 两个三角形全等了。接下来我们看完整的书写过程。首先回答问题，这两个三角形的确是全等的， 利用内角和为一百八十度以及题目条件，已知角 a 等于角 a、 角、角 b 等于角 b 角， 我们就可以得到角 c 等于角 c 片了，那么此时这两个三角形就满足两个角及其夹边分别相等，所以两个三角形全等，其判定依据为 asa。 好了，那么这道题我们的原始条件是， b、 c 等于 b 撇， c 撇以及角 a 等于角 a 撇和角 b 等于角 b 撇。最终，我们证明了这两个三角形全等。由此 此，我们又得到了判定两个三角形全等的一个新的方法，也就是角角边的判定方法。他指的是由两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 这个判定方法我们可以简写为角角边，或用英文字母 a、 a、 s 来表示。接下来我们看它的符号语言表达。首先指明判定的两个三角形。在两个三角形中 罗列满足的条件，同样，我们用大括号将它连接起来，得出两个三角形全等的结论。指明判定方法为 a、 a、 s。 同样，我们在罗列条件之时，按 照 a、 a、 s 的顺序将相等的这组边放在最后，先书写两组相等的角。 学习了今天两个新的判定方法以后，请同学们来一起解决下面的问题。 首先，我们看第一道题，如图，点 d 在 a b 上，点 e 在 a c 上， b a 等于 a c。 角 b 等于角 c 求正， a e 等于 a d。 观察图形，我们发现要求证的这两条线段分别为三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 c、 d 的边。 如果我们能证明这两个三角形全等，那么他们的对应边就是相等的。 关于这两个三角形，我们现在有什么条件呢？通过图上的标记，我们不难发现，两个三角形有一组相等的边，还有一组相等的角， 然而这两个条件不足以判定两个三角形权等，那么我们所需的第三个条件在哪里呢？ 观察图形，我们不难看出，角 a 是这两个三角形的公共角，因此也是相等的， 并且相等的两条边还是相等两角的加边。所以利用 a s a 的判定方法，我们就可以得到两个三角形全等了。接下来我们看完整的书写过程。首先， 在两个三角形中，由于满足两角及其加边分别相等，所以两个三角形全等指明判定方法为 a s a， 所以全等三角形的对应边相等，也就是 a e 等于 a d。 好，有了这道题，我们发现在证明全等的过程中，我们需要从图形里挖掘出隐藏的条件。那么这道题我们发现两个三角形具有一个公共的内角 a， 这为我们证明全等提供了一个很重要的条件。 接下来请同学们利用这道题的解题经验完成下边的练习。已知 a b 垂直 b c a d 垂直 d 垂足分别为 b 和 d， 角一等于角二，求证 ab 等于 ad。 观察图形，我们同样发现要证明的这两条线段分别为三角形 abc 和三角形 adc 的边。如果我们能证明这两个三角形全等，那么他们的对应边就是相等的。关于这两个三角形，我们现在已有什么条件呢？ 有两个垂直，我们发现他们有一组相等的内角，为九十度。其次，我们还有角一等于角二。那么证明全等所需的第三个条件在哪里呢？ 观察图形，我们发现两个三角形有一条公共的边是 a c， 并且 a、 c 这条边还是这两个直角所对的边，那么我们应该用哪个判定方法来证明全等呢？应该是 a、 a、 s。 接下来我们看完整的解答过程。 首先由两个垂直得到三角形，由两个内角等于九十度。 接下来在两个三角形中，由于两角及其一角的对变分别相等，所以两个三角形全等判定依据为 a、 s， 所以全等三角形的对应边等也就是 a、 b 等于 a d 了。 好，有了以上两题的解题经验后，我们来看下面这道实际应用问题。 如图，要测量池塘两岸相对的两点 ab 的距离，可以在 ab 的垂线 bf 上取两点 c 和 d， 使得 bc 等于 cd。 我们标记在图上，再画出 bf 的垂线 d、 e， 使得 e、 a、 c 三点在一条直线上，这时测得的 d、 e 的长度就是 a、 b 的长度。为什么呢？ 好题目，让我们说明 d、 e 的长度就是 a、 b 的长度，也就是让我们证明 a、 b 等于 d、 e。 观察图形，我们发现要证明的这两条线段分别为三角形 a、 b、 c 和三角形 e、 d、 c 的边。如果 两个三角形全等，那么他们的对应边就是相等的。那么关于这两个三角形，我们又有什么条件呢？ 从图上的标记，我们发现两个三角形有一条边是相等的，并且有两个垂直，我们发现这两个三角形还有一组相等的内角是九十度。那么证明全等所需的第三个条件在哪里呢？ 我们再回到图形上，可以看到两个三角形有一组内角是互为对顶角的关系，因此也是相等的。 那么利用 a、 s、 a 的判定方法就可以得到两个三角形全等了。接下来我们来看完整的解答过程。首先由两个垂直得出两 内角等于九十度。好。接下来在两个三角形中，由于两组角及其加边分别相等，所以两个三角形全等判定依据为 a、 s、 a。 所以全等三角形的对应边相等。 通过以上三道题目，相信同学们对于如何挖掘图形中的隐藏条件，帮助我们证明全等有了一定的经验。接下来我们看下面这道例题。 如图 a、 e。 垂直 b e、 a、 d。 垂直 b、 c。 标记在图上， c、 d 等于 b e。 角 d， a、 b 等于角 e、 a、 c。 最后让证明 a、 c 等于 a、 b。 好。观察图形，我们又能发现要证明的 这两条线段分别为三角形 a、 c、 d 和三角形 a、 b 的边。如果我们能正得这两个三角形是全等的， 那么根据全等三角形的对应边等，我们就可以得出结论了。那么关于这两个三角形，我们又有什么条件呢？我们发现他们有一条边是相等的，还有一组相等的内角为九十度。 然而题目中另外一组相等的角并不是这两个大的直角三角形的内角， 此时需要同学们对条件进行转化。那么这个带正三角形的哪一组内角和已知条件中的这两个角有关系呢？观察图形，我们发现 角 d、 a、 c。 我们可以拆分为角 d、 a、 b。 加上中间这个 b a、 c。 同样的角 e、 a、 b。 也可以拆分为角 e、 a、 c。 加上角 b a、 c。 利用条件中的两个相等角，我们就不难推出角 d、 a、 c。 等于角 e、 a、 b 了， 从而再利用 as 判定方法就可以证明全等了。好，接下来我们看完整的书写过程。首先由角一等于角二等式两边同时加上角三，之后等号人成立，也就是角 d、 a、 c 等于角 a、 b。 接下来又因为两个垂直，所以角地和角翼都是九十度。 那么在这两个三角形中，由于两角及其一角的对边分别相等，所以两个三角形全等判定依据为 a、 a、 s， 所以全等三角形的对应边也是相等的。 通过这道题，我们发现，在证明全等的过程中，题目中的有些条件我们不能直接使用，需要同学们将题目中的条件转化为与代正三角形相关的条件。 接下来我们来看这个练习。如图，角一等于角二，角 b 等于角 d。 求证三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 c 全等。那么关于这两个三角形，我们现有什么条件呢？我们发现它的 一组内角是相等的，也就是角 b 等于角 d。 然而条件中另外一组相等的角角一和角二并不是这个三角形的内角，需要我们对条件进行转化。我们看一下角一和角二和三角形的哪个内角是有关系的呢？ 我们不难发现，角三和角四是角一和角二的零补角，有角一等于角二，我们就能得到角三等于角四，从而发现两个三角形有两组内角分别相等。 那么证明全等所需的第三个条件在哪里呢？观察图形，我们看到这两个三角形有一条公共的边 a、 c， 由此我们可以根据 a、 a、 s 的 判定方法得到两个三角形全等。接下来我们看完整的解答过程。 首先有角三加角一等于一百八和角四加角二等于一百八，以及题目中的角一等于角二这个条件，我们就能得到角三等于角四，此处依据的是等角的补角相等。 接下来，在两个三角形中，由于两组内角及一角的对边分别相等，所以两个三角形全等判定依据为 a s。 所以啊，我们就完成了证明。那么我们再来看一下这道题，除了我们刚才将角一等于角二的条件转化为角三等于角四以外，我们还有没有别的方法 对这个条件进行转化。我们发现角一和角二是代正两个三角形的外角，那么利用外角的性质，我们就不难得到 角一应该是角五加角 b， 而角二呢，应该是角六加角 d， 有角 b 等于角 d 和角一等于角二，我们就能够推得角五等于角六，从而找到了两个三角形另外一组相等的内角。 接下来我们就可以证明两个三角形全等了。在两个三角形中，同样啊，因为两两个角和其中一角的对边分别相等，所以两个三角形全等判定依据为 a a s。 好，这道题 在解题的过程中，不仅需要同学们对题目中的条件进行转化，同时我们还要发现图形中隐藏的条件，也就是两个三角形具有这条公共的边，这都是我们在证明全等过程中需要的一般技巧。 接下来我们来小结本节课我们都学习了几种判定三角形全等的方法，他们分别是什么呢？他们之间有什么相同点和区别呢？ 首先，我们学习了 asa 的判定方法，也就是两角和他们的加边，分别相等的两个三角形是全等的。其次，我们还学习了 as 判定方法，也就是两角和其中一角的对边，分别 相等的两个三角形全等。那么这两个判定方法他们都要求两个三角形里有两个角和一条边要分别相等。 所不同的是， a s a 的判定方法要求这条相等的边是相等两角的加边，而 a s 判定方法这条相等的边为其中一角的对边。 那么根据以上两个判定方法，我们发现，当两个三角形有两个角分别相等之后，相等的那一条边可以是三角形三边中的任意一边。 因此，我们可以将今天所学的两种判定归纳为，若两角一边分别相等，那么两个三角 就是全等的。同时，在证明三角形全等的过程中，往往需要我们构造所需的条件。 第一，我们要注意图形中隐藏的条件，两个三角形可能是具有公共的角，具有公共的边，或者是具有互为对顶角的内角，这都为我们证明全等提供等量关系。 其次，当题目中的一些条件无法直接使用时，需要同学们利用等式的性质或者是相关的几何知识对条件进行转化。好，以下为本节课的课后作业， 这节课我们就上到这里，同学们再见！

那前面我们讲了，边边边可以，脚脚脚不行，脚边脚是可以的，对吧？脚边脚最容易啊，脚边脚是可以的。那我们再来看看脚边脚，你既然有脚边脚，就一定会有边脚边， 对吧？那边角边行不行呢？边角边什么意思啊？两个边和中间的夹角，对吧？所以我现在要想找一个三角形，要首先两个边要跟他相等，而且中间的夹角要跟他一样，那我首先画出一条边，然后我再把这个夹角去锁定住， 哎，此时的话就已经擦掉了，此时的话是不是就已经符合边角？那剩下一个边也是说你接下来这个角的另一边本来是在上面随便找的，但是 你又因为要有一个边还要跟他相等，对吧？所以你在这条边上能画出来的 是不是只有就你长度一锁定，这个第三条边的长度一锁定，比如说是 a 啊？长度是 a 一锁定的话，本来是可以在这上面随便找的，但是又因为我第三条边也要就是第三个条件，这条边也要跟你一样，所以三角形实际上就固定下来了啊，当然我就画的有点远了， 对吧？所以他是唯一的吗？是唯一的，对吧？你找不出第三个，因为你一旦一个边角锁定下来，另一条边一锁定，哎，长度一固定下来就没了。或者你这么去理解啊，我假如先锁定两个边，假如两个边是跟他一样的， 然后呢？两个边相当于是可以自由开合的，本来呢，是可以自由开合的，对吧？然后自由开合，把它就 两头绷跟皮筋一绷，你就是你自由开合的过程，你这两个木棍的长度是不会变的，对吧？就是就是相当于两个边跟原来一样，但是此时你又要求脚一样，所以你开合的过程中你这个张脚是要固定下来的，那你一固定下来就不存在 第二个了，也就是他也符合了我们前面所说的唯一性，对吧？所以边角边也是可以正三角形全等的啊？这个是边角边，为什么可以正三角形全等啊？